GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR_APOSTILA_ESTACIO

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DEFINIÇÃO
O conceito de vetores e espaço vetorial no plano e no espaço.
PROPÓSITO
Compreender o conceito de vetor e espaço vetorial, aplicando as propriedades e operações vetoriais
no plano e no espaço.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora cientí�ca, ou
use a calculadora de seu smartphone/computador.
OBJETIVOS
Identi�car o
conceito de vetor,
suas
caracterizações e
operações básicas
Identi�car o
conceito de vetor
no plano e no
espaço
Aplicar os produtos
escalares, vetoriais
e misto
Aplicar o conceito
do ângulo vetorial
nas condições de
paralelismo e
ortogonalidade
 Identi�car o conceito de vetor, suas caracterizações e operações básicas.
INTRODUÇÃO
Em várias aplicações da ciência e da Matemática, torna-se necessária a de�nição de um
elemento que requer na sua concepção, além de seu tamanho, sua orientação (direção e
sentido).
Por exemplo, ao se a�rmar que um veículo está se locomovendo a uma velocidade de 80km/h,
falta a informação de direção e sentido que ele está se encaminhando, para que se tenha um
dado completo do problema.
Este elemento, que tem na sua concepção o tamanho e a orientação, é o vetor. O conjunto dos
vetores, atendendo a algumas operações básicas, irá de�nir o espaço vetorial.
Neste estudo, vamos de�nir o espaço vetorial, o vetor e as suas operações básicas e,
posteriormente, aplicar estes conceitos na resolução de alguns problemas
ESPAÇO VETORIAL
O espaço vetorial V consiste em um conjunto, não vazio, de elementos (objetos) que atendem a
operações da adição e de multiplicação por um número real.
Sejam u e v elementos de V, não vazio. Assim, V será um espaço vetorial,
se e somente se:
Se u e v pertencem a V então u + v pertence a V;
Se u pertence a V e k é um número real, então ku pertence a V.
Estas duas propriedades nos dizem que o espaço vetorial é fechado para operação da adição e
multiplicação por real, pois ao operarmos com elementos do espaço, o resultado fornece um outro
elemento do mesmo conjunto.
Na Álgebra, podemos de�nir espaços vetoriais de vários tipos de elementos, como por exemplo de
matrizes de n linhas e m colunas, de funções reais de variável real e o espaço vetorial real de n
dimensões (R ).
Um espaço vetorial muito trabalhado nas aplicações em Geometria Analítica e de Álgebra Linear é o
espaço vetorial R . Este espaço vetorial será composto por elementos de n-dimensões reais, isto é
n
n
Para n = 2 e n = 3, consegue-se associar uma análise geométrica ao estudo analítico do R . A partir
de n > 3 as representações geométricas não são mais possíveis.
Desta forma, particularmente para problemas no plano e no espaço, trabalharemos com R e R ,
respectivamente.
n
2 3
 
Exemplo
1. Seja o conjunto C = {(x , 5) / x número real}. Veri�que se o conjunto C é um espaço vetorial.
S O L U Ç Ã O
Para ser espaço vetorial, deve ser um conjunto não vazio de elementos que atende a duas operações
básicas.
Quando x = 2, o elemento (2,5) pertence a C, assim prova-se que o conjunto C é um conjunto não
vazio.
Seja um número real k = 2.
Se u = (2, 5), então 2u = (2.2, 5.2) = (4, 10) = v.
Mas v (4, 10) ≠(𝑥,5) para todo x. Portanto, v não pertence ao conjunto C.
Desta forma, a operação de multiplicação por real não é fechada para o conjunto C. Então, C não é
espaço vetorial.
Pode-se também veri�car que a operação de adição igualmente não é fechada para o conjunto C.
Se u = (2, 5) e v = (3, 5), ambos pertencem a C. Mas u + v = (2+3, 5+5) = (5, 10) não
pertencerá a C.
2. Seja o conjunto M composto de todas as Matrizes 2 x 2 com elementos reais. Veri�que se o
conjunto C é um espaço vetorial.
S O L U Ç Ã O
Para ser espaço vetorial, deve ser um conjunto não vazio de elementos que atende a duas operações
básicas.
Seja o elemento do conjunto M, onde x, y, z e w são reais.
Fazendo x = y = z = w = 1 tem-se o elemento demonstrando que pelo menos um
elemento existe no conjunto m, portanto ele não é vazio.
Vamos supor k real.
Ao multiplicarmos uma matriz por um número real, multiplica-se cada elemento da matriz por este
número. Assim .
Mas kx, ky, kz e kw são número reais, portanto, n também é um elemento do conjunto M
demostrando que a operação de multiplicação por real é fechada no conjunto M.
Sejam e dois elementos de M e p = m + n.
Ao somarmos duas matrizes, somamos elemento a elemento, assim:
Como x + a, y + b, z + d e w + c são número reais, então p pertence a M, demonstrando também que a
operação da adição é fechada para o conjunto M.
Desta forma, veri�ca-se que o conjunto M é um espaço vetorial.
VETORES E OPERAÇÕES BÁSICAS
Existem dois tipos de grandeza: escalares e vetoriais.
GRANDEZA ESCALAR
A grandeza escalar é um ente
matemático de�nido
completamente pelo seu valor
(magnitude, módulo, valor ou 
GRANDEZA VETORIAL
A grandeza vetorial, denominada de
vetor, é um ente matemático que,
para ser de�nido completamente,
necessita, além da sua magnitude
amplitude). A temperatura de uma
sala ou a massa de um objeto são
exemplos de grandezas escalares.
(módulo, valor ou amplitude), da
de�nição da direção e do sentido. A
velocidade de um carro ou a força
atuante em um objeto são exemplos
de grandeza vetorial.
O vetor é amplamente utilizado na Geometria Analítica e na Álgebra Linear e será o objeto (elemento)
do espaço vetorial R , de�nido no item anterior. O vetor será representado pelos seus componentes.n
Atenção
Assim sendo, um vetor de R será de�nido por n
componentes reais, representado por (x , x , ..., x ). Cada
componente real x representa um tamanho da projeção do
vetor na i-ésima dimensão. A combinação das n-
componentes do vetor irá de�nir a orientação deste, dentro
do espaço vetorial R .
n
1 2 n
i
n
Para nosso caso particular do R e R podemos dar uma de�nição geométrica para o vetor através de
um segmento de reta orientado.
Seja o seguimento orientado de reta , no plano ou no espaço, que seria um segmento de reta
que apresenta um sentido de�nido.
O ponto A é denominado de origem ou ponto inicial. O ponto B é chamado de extremidade ou ponto
�nal. Este segmento orientado é de�nido pelo seu módulo (tamanho), direção e sentido.
Se dois segmentos orientados tiverem módulos, direções e sentidos iguais serão
segmentos equipolentes ou equivalentes.
2 3
çã
ó
Importante!
O conjunto de todos os segmentos orientados equivalentes é
denominado de vetor. Assim, vetor será representado
geometricamente por um segmento orientado que apresenta
um módulo, uma direção e um sentido determinado.
O vetor será representado por vetor ou pelos dois pontos que são suas extremidades na ordem do
seu sentido, vetor .
Dessa forma, os vetores e são dois vetores diferentes. Eles terão mesmo módulo, mesma
direção, mas sentidos opostos.
OPERAÇÕES BÁSICAS
Como já visto, os vetores são objetos do espaço vetorial. Logo, podemos de�nir algumas operações
básicas contidas no espaço vetorial:
1- Igualdade entre vetores
Sejam vetores do R .
Assim , para todo i = 1, 2, ..., n
n
2 - Adição entre vetores
Sejam e dois vetores pertencentes ao R .
Se , para todo i = 1,
2, ..., n
w também pertence ao R .
n
n
3 - Multiplicação por número real
Seja vetor do R e k um número real.
Se , para todo i = 1, 2, ..., n
w também pertence ao R .
n
n
Algumas propriedades podem ser de�nidas através da adição e multiplicação por um número real k:
Associativa na Adição: 
Comutativa: 
Existência do Elemento Neutro na Adição (0, denominado de elemento nulo): 
Existência do Elemento Oposto na Adição: 
Distributiva por Vetor: 
Distributiva por Escalar: 
Associativa na Multiplicação por Real: 
Existência do Elemento Neutro na Multiplicação (1, denominado de elemento unitário): 
Importante!
Para realizar a subtração de dois vetores - , seria
semelhante a multiplicar o vetor por -1 e somar ao vetor 
Exemplo
1. Determine o valor de b e d para que os vetores ( 4, b + d, 0, 1) e ( 4 , 5 , 0, b – d) sejam iguais.
S OL U Ç Ã O
Para que dois vetores sejam iguais, todos os seus elementos devem ser iguais.
Assim: 
Resolvendo o sistema, através da segunda equação tem-se b = 1 + d
Substituindo na primeira, 1 + d + d = 5 → 2d = 5 – 1 = 4 → d = 2
Então, b = 1 + d = 1+ 2 = 3
Atenção!
Este exercício só foi possível porque o primeiro componente,
que vale 4, e o terceiro, que vale 0, eram iguais nos dois
vetores. Se um dos dois fosse diferente, o exercício seria
impossível.
TEORIA NA PRÁTICA
Em uma determinada região do espaço, um avião tem velocidade, em km/h, dada por vetor (100,
b, 300). Um segundo avião apresenta uma velocidade, em km/h, dada por (50+a, 80, 300).
Determine o valor de a + b para que os aviões tenham a mesma velocidade.
 Clique no botão para ver as informações.
SOLUÇÃO
MÃO NA MASSA
B Ã
1. Um conjunto B é um espaço vetorial. Marque a alternativa que NÃO está correta em
relação ao conjunto B.
Comentário
Parabéns! A alternativa "C" está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito de espaço vetorial
Se o conjunto B é um espaço vetorial, então consiste em um conjunto, não vazio,
de elementos (objetos) que atendem a operações da adição e de multiplicação por
um número real.
Assim, a letra A, B e D são verdadeiras
Em relação à letra C , u - v é uma operação de multiplicar um elemento por –1 e
depois somar dois elementos do conjunto, logo, obrigatoriamente, este resultado
pertence ao conjunto B. Esta a�rmativa é verdadeira.
2. Sejam os vetores e . Determine o valor de 
Comentário
Parabéns! A alternativa "A" está correta.
Tem pelo menos um elemento.A)
É fechado em relação à operação de adição.B)
Se u e v pertencem a V então u - v pode não pertencer a V.C)
Se u pertence a V e k é um número real, então ku pertence a V.D)
(–4, 1, 2, 7, -1)A)
(4, 2, 1, 6, 0)B)
(2, 3, 2, -1, 1)C)
(0, 2, 7, 1, 1)D)
Parabéns! Você entendeu a operação de vetores.
Assim,
 
 
 
 
Portanto,
3. A força age em um objeto. Este objeto de massa (m) de 1kg
adquire uma aceleração igual à . Sabendo que , determine
o valor de x e y respectivamente.
Comentário
Parabéns! A alternativa "A" está correta.
No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.
5 e 0A)
0 e 5B)
10 e 15C)
2 e 4D)
06:03
4. Sejam os vetores , com a e b números reais.
Determine a e b respectivamente, sabendo que 
Comentário
Parabéns! A alternativa "B" está correta.
Parabéns! Você entendeu a operação de vetores.
Usando as propriedades vistas:
Usando as operações vetoriais e sabendo que 0 é representado por (0,0):
Assim, substituindo a segunda questão na primeira se tem
 
5. Quatro vetores do 
, com
a e b reais, satisfazem a seguinte equação: . Determine o valor de a
+ b + c.
0 e 0A)
-1 e 1B)
1 e -1C)
0 e 1D)
Comentário
Parabéns! A alternativa "C" está correta.
No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.
07:19
6. Sejam os vetores , com a, b e c números
reais. Determine a soma de a + b + c, sabendo que o vetor é
equivalente ao vetor (2, 3, 3).
Comentário
12A)
13B)
14C)
15D)
1A)
2B)
3C)
4D)
Parabéns! A alternativa "B" está correta.
Parabéns! Você entendeu a operação de vetores.
Usando as propriedades vistas, se o vetor é equivalente ao vetor (2, 3, 3), eles
terão as mesmas coordenadas.
Usando as operações vetoriais para se obter as coordenadas do vetor 
Igualando ao vetor (2, 3, 3)
Multiplicando a primeira equação por 2: 4a−2b=4, somando a segunda equação
Substituindo na terceira equação 
Assim,
a + b + c = 2
VERIFICANDO O APRENDIZADO
ATENÇÃO!
Para desbloquear o próximo módulo, é necessário que você
responda corretamente a uma das seguintes questões:
1. Seja o vetor e o vetor . Determine o valor
de 2a – b, onde a e b são números reais, para que .
Comentário
Parabéns! A alternativa "C" está correta.
Parabéns! Você entendeu a operação de vetores.
Para que , as componentes devem ser iguais nas três dimensões.
Assim a + b = 450 e a – b = 100
Somando as duas equações 2a = 550 → a = 275
Então, b = 450 – a = 450 – 275 = 175
Assim, 2a – b = 2.275 – 175 = 375
2. Sejam os vetores u, v e w elementos do espaço vetorial R . Sabe-se que 2u – 3v + w é
equivalente ao elemento nulo. De�nimos u(0, 1, a, b + c), v(1, b, 2, b – c) e w(3 , – 13a, 8c, 0),
com a, b e c números reais. Determine o valor de a + b + c.
4
Comentário
Parabéns! A alternativa "C" está correta.
Parabéns! Você entendeu a operação e propriedades dos vetores.
Para que , as componentes devem ser iguais nas três dimensões.
Assim:
175A)
215B)
375C)
470D)
1A)
3B)
5C)
impossível 2u - 3v + w = 0D)
Substituindo a quarta equação na segunda se tem:
Mas na terceira equação:
Substituindo na anterior:
Se
E
Portanto
 (ok, se aqui desse algo diferente disso a resposta
seria impossível) 
 
 
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 Identi�car o conceito de vetor no plano e no espaço.
INTRODUÇÃO
Nas aplicações da Geometria Analítica, utiliza-se uma interpretação geométrica, além do
cálculo analítico. Assim, para se trabalhar no plano ou no espaço, usa-se os espaços vetoriais
R e R .
Os vetores, sujeitos às mesmas operações descritas no módulo anterior, terão neste caso uma
representação por segmento orientado de reta e necessitarão de referências para serem de�nidos.
Dessa forma, será apresentado o sistema cartesiano como um sistema de representação e referência
para nossos estudos.
Por �m, a de�nição de direções e sentidos é importante em várias aplicações, sendo necessária,
portanto, a de�nição de vetores unitários que terão este objetivo.
2 3
VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
Como já visto no módulo anterior, a representação geométrica de um vetor será um segmento
orientado de reta. Desse modo, torna-se necessário de�nir direções e sentidos, isto é, de�nir
referências. Estas referências devem ser tanto para posição quanto para direção/sentido. Por isso,
vamos adotar o sistema cartesiano para referenciarmos o espaço vetorial R e R .
No caso do R , serão utilizados três eixos ortogonais, x, y e z, com valores reais, para referenciar as
três dimensões. Qualquer direção/sentido no espaço pode ser de�nida por três direções ortogonais. A
origem do sistema será de�nida no cruzamento dos eixos, ponto 0. O eixo x é denominado de
abscissa, o eixo y de ordenada e o eixo z de cota. A seta de cada eixo de�ne o sentido positivo de cada
direção de referência.
2 3
3
No caso do R , serão utilizados apenas dois eixos ortogonais, x e y, com valores reais, para referenciar
as suas duas dimensões. Qualquer direção/sentido no plano pode ser de�nida por duas direções
ortogonais.
2
Atenção
Antes de de�nirmos como representar um vetor no plano ou
no espaço, necessitamos de�nir a representação de um ponto
nestas regiões. Um ponto P do R será representado por 3
componentes, que denominaremos de coordenadas. Cada
coordenada representa as distâncias que o ponto tem em
relação aos três planos que de�nem o espaço.
3
Seja o Ponto P (X, Y, Z), com X, Y e Z números reais. X representa a distância de P ao plano YZ, Y a
distância de P ao plano XZ e Z a distância de P ao plano XY.
Se o ponto estiver do lado oposto do plano, antes da origem, os sinais serão negativos.
Na �gura ao lado estão representados os pontos
P (1, 2, 2), Q (–1, –2, 1), R (1 , 2, –2) e S (1, –2, –2).
A origem dos eixos será representada por O (0, 0, 0)..
O R é um caso particular do R , assim, os pontos no R apresentam apenas valores para abscissa e
ordenada, ou seja, P(X,Y).
Para representarmos um vetor, é preciso conhecer a sua projeção nas três direções representadas
pelos eixos que de�nem o sistema de coordenadas. Veja a �gura, o vetor projetado na direção do
eixo x apresenta um tamanho v , na direção do eixo y apresenta um tamanho v e na direção do eixo z
um tamanho v .
2 3 2
x y
z
Caso a projeção em relação a um dos eixos seja contrária ao sentido positivo do eixo, o sinal da
coordenada será negativo. Portanto,o vetor terá coordenadas (v , v , v ) , em que v , v e v são
número reais. No caso do R , caso particular do R , o vetor não terá a componente v .
Podemos representar, também, as coordenadas de um vetor através de uma matriz coluna, ou seja, 
Na �gura a seguir temos a representação, no plano, dos vetores (3, 1), (−1, 1) e (1, −3).
x y z x y z
2 3
z
Podemos observar que os segmentos e apresentam o mesmo módulo, mesma direção e
mesmo sentido, sendo representações, portanto, do mesmo vetor . Por isso, terão as mesmas
coordenadas (3, 1).
Importante!
A notação de Grassmann nos mostra que as coordenadas de
um vetor podem ser obtidas com as coordenadas dos seus
pontos extremos, isto é, sua origem e sua extremidade.
Assim, 
Se a origem do vetor for a origem dos eixos coordenados O(0,
0, 0), a coordenada do vetor será igual à coordenada de sua
extremidade.
javascript:void(0)
Logo, 
Exemplo
1. Represente no sistema cartesiano os pontos P(1, 2), Q(-1, 2) e R(1, -1)
S O L U Ç Ã O
2. Represente no sistema cartesiano os vetores:
a) (1, 0) com ponto inicial no ponto (1, 2);
b) (0, -2) com ponto inicial no ponto (1, 0);
c) (1, -1) com ponto inicial no ponto (-1, 2).
S O L U Ç Ã O
3. Determine as coordenadas do vetor que tem origem no ponto A(2, 3, -1) e extremidade no ponto
B(0, 2, 1). Determine também o vetor = - .
S O L U Ç Ã O
Usando a notação de Grassmann:
Como = - poderia também se usar a propriedade de multiplicação por real:
MÓDULO OU NORMA DE UM VETOR
Denominamos o tamanho de um vetor por módulo ou norma. O módulo do vetor será
representado por ou .
Observe a �gura do item anterior, que apresenta as componentes do vetor. O módulo do vetor será
dado pelo tamanho do segmento OP, assim .
Ao aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo OPQ e veri�car que o tamanho de PQ é a componente
z do vetor , isto é, v tem-se quez
Aplicando agora o Teorema de Pitágoras no triângulo OQR, obtém-se.
O tamanho de OR será a componente x do vetor , isto é, v e o tamanho de QR será igual ao tamanhox
de OS que é a componente y do vetor , isto é, v .
Desta forma:
Obtendo-se, assim, a fórmula que determina o módulo ou norma através das componentes do vetor:
y
Exemplo
Determine o módulo dos vetores :
S O L U Ç Ã O
SAIBA MAIS
Seja um triângulo ABC
Na Geometria existe um teorema que diz que o comprimento de um dos lados é sempre menor do que
a soma dos outros dois lados. Repare que, se um dos lados fosse a soma dos outros, não haveria um
triângulo formado.
Se e , então AC será a soma dos dois vetores: 
Dessa forma, os lados dos triângulos serão os módulos dos vetores e . Usando o mesmo
teorema da Geometria, obtemos , que é denominada de Desigualdade Triangular.
Desta desigualdade podemos de�nir outras:
a) Se substituirmos por -
Então
b) Se substituirmos o vetor por -
OPERAÇÕES BÁSICAS NO PLANO OU NO ESPAÇO
Retornando às operações básicas dos vetores, vistas no módulo anterior, vamos agora aplicá-las para
o caso do R e R . Assim, temos:2 3
Multiplicação por número real
Seja , onde k é o número real.
Então: 
A multiplicação por um número real positivo tem como resultado um vetor de mesma direção, mesmo
sentido e de tamanho alterado para k vezes o módulo do vetor original. Caso o k seja negativo, o vetor
altera também o sentido. Se , o novo vetor aumenta em relação ao anterior, porém, se ,
ocorre uma redução do tamanho.
Adição entre vetores
Seja
Então 
Se , seria semelhante a multiplicar o vetor por -1 e somar ao vetor 
Então 
Geometricamente, podemos representar a soma e a subtração de vetores, no plano ou no espaço, pela
regra do paralelogramo.
Pode-se usar a Lei de Cossenos para calcular o módulo da soma dos vetores, , e da
diferença dos vetores, .
e
Exemplo
1. Determine o módulo do vetor , sendo (1 ,2 , −1) e (0 ,1 ,3).
S O L U Ç Ã O
Assim,
VERSOR DE UM VETOR
Às vezes torna-se necessário de�nir-se um vetor unitário em uma determinada direção e
sentido. Este vetor unitário é conhecido por versor.
Um vetor pode ser representado pela forma = , isto é, seu módulo multiplicado pelo versor que
de�ne a sua direção e sentido.
Por exemplo, imagine que eu queira um vetor que tenha a mesma direção e sentido do que o vetor 
, mas que tenha módulo k. Se eu de�nir estaria errado, pois , e o módulo de só
seria k se o módulo de fosse unitário.
Preciso, portanto, de�nir o vetor unitário que tenha a direção e o sentido do vetor , com notação 
ou , que é denominado de versor: 
Como é uma constante positiva, terá a mesma direção e sentido do que , mas com módulo 
Retornando ao nosso exemplo, o correto, então, é de�nir que , pois . Agora,
sim, ele teria a mesma direção e sentido do que , que são os mesmos do que e módulo k.
Atenção!
Uma aplicação direta do versor é a de�nição dos vetores
unitários canônicos que de�nem as direções e sentidos do
sistema cartesiano. Desse modo, a direção de x é de�nida
pelo vetor , a direção de y por e a
direção de z por . No caso do plano, haveria os
vetores .
Qualquer vetor pode ser representado através dos vetores unitários canônicos, pois podemos
considerar um vetor como sendo a soma de três vetores ortogonais.
Seja , vamos de�nir os vetores , e , assim, 
Mas, podemos de�nir estes vetores através dos vetores unitários
Exemplo
1. Determine o versor do vetor (3, 0, -4):
S O L U Ç Ã O
TEORIA NA PRÁTICA
Uma caixa de de massa percorre um piso liso com uma aceleração de 2m/s . A direção e o
sentido do movimento são de�nidos pelo vetor unitário . A força que gera o movimento
tem vetor representado por , com a real. Determine o valor de a e b.
2
 Clique no botão para ver as informações.
SOLUÇÃO
MÃO NA MASSA
1. O vetor tem origem no ponto D (4, 6, -2) e extremidade no ponto C (2, 0, 1).
Determine o vetor = - .
Comentário
Parabéns! A alternativa "C" está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito de vetores no plano e espaço.
(-2, -6, 3))A)
(0, 6, 3)B)
(2, 6, -3)C)
(6, 1, -3)D)
Outra forma de fazer é que como
2. Determine o módulo do vetor (2, 4, - 5).
Comentário
Parabéns! A alternativa "A" está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito de módulo ou norma de um vetor.
3. Seja o versor do vetor (3, 0. −4). Determine as coordenadas do vetor .û û
A)
45B)
1C)
D)
A)
B)
C)
D)
Comentário
Parabéns! A alternativa "C" está correta.
No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.
03:51
4. Determine o vetor que tem módulo 6 e tem a mesma direção e sentido do vetor
.
Comentário
Parabéns! A alternativa "D" está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito de versor de um vetor.
A)
B)
C)
D)
Comentário
Parabéns! A alternativa "B" está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito de módulo ou norma de um vetor.
Usando a Lei dos cossenos
Assim, 
Assim, 
VERIFICANDO O APRENDIZADO
ATENÇÃO!
Para desbloquear o próximo módulo, é necessário que você
responda corretamente a uma das seguintes questões:
1. Determine o módulo do vetor que tem origem no ponto A(–2, 4, 1) e extremidade na
origem dos eixos.
D)
A)
B)
C)
Comentário
Parabéns! A alternativa "B" está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito de vetores no plano e no espaço e módulo de um
vetor.
2. O vetor (0, 2a, 2b), com a e b reais positivos, tem módulo 10 e apresenta a mesma
direção e sentido do que o vetor . Determine o valor de (a + b), sabendo que o vetor (0,
𝑝, 4) têm módulo 5.
Comentário
Parabéns! A alternativa "B" está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito de módulo de um vetor.
, mas como a e b são positivos, 2a = 6 e
2b = 8, então a = 3 e b = 4.
Assim, a + b = 7
D)
1A)
7B)
9C)
11D)
5. Determine o módulo da diferença de por . Sabe-se que o módulo de vale 5 e o
módulo de vale 12. Os dois vetores são ortogonais.
Comentário
Parabéns! A alternativa "C" está correta.
No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.
04:52
6. Determine o módulo da diferença de por . Sabe-se que o módulo devale 3 , o
módulo vale 4 e o ângulo formado por eles vale 60°.
12A)
15B)
13C)
10D)
A)
B)
C)
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 Aplicar os produtos escalares, vetoriais e misto.
INTRODUÇÃO
A operação matemática de multiplicação (produto) entre dois vetores não é de�nida. Em
compensação, de�nimos três tipos de produtos entre dois elementos vetoriais:
Produto
escalar  Produtovetorial  Produto misto
Neste módulo, iremos de�nir estes produtos e apresentar algumas de suas aplicações.
PRODUTO ESCALAR OU PRODUTO INTERNO
Sejam os vetores e do R .
De�ne-se o produto escalar entre e como:
3
Como foi observado, o produto escalar tem como resultado um escalar, isto é, um número
que pode ser positivo, negativo ou zero. O produto escalar pode ser de�nido para vetores do
R . Para n > 3, esta operação será denominada apenas de produto interno.
O produto escalar apresenta algumas propriedades:
n
C O M U T A T I V A M U L T I P L I C A Ç Ã O P O R R E A L D I S T R I B U T I V A
, onde k é real
Importante!
Repare que 
Assim, 
Exemplo
1. Dados os vetores (2, 2) e (– 1, 3), determine o produto escalar entre os vetores e - .
S O L U Ç Ã O
PRODUTO VETORIAL OU PRODUTO EXTERNO
Sejam os vetores e do R . Considere que o ângulo entre e vale .
De�ne-se o produto vetorial entre e , com notação X , tal que:
| x | 
direção X ortogonal a e a 
sentido: regra da mão direita
3
Como o nome informa, o resultado do produto vetorial é um vetor que tem direção
perpendicular aos dois vetores iniciais, sendo, portanto, um vetor perpendicular ao plano
formado pelos vetores e .
A regra da mão direita permite
identi�carmos o sentido do vetor x
.
Na regra da mão direita, o dedo
indicador �ca na direção/sentido do
primeiro vetor do produto e o dedo
médio do segundo vetor. Assim, x 
 será apontado para baixo,
diferente de x .
O produto vetorial, de forma diferente do produto escalar, só é de�nido para o R .3
Importante!
O vetor x x . Eles terão mesmo módulo e mesma
direção, mas pela regra da mão direita, mudando a ordem de 
 e , terão sentidos contrários.
O produto vetorial apresenta algumas propriedades
a) Multiplicação por real: k ( x ) = (k x ) = ( x k ), onde k é real
b) Distributiva pelo produto vetorial: x ( + ) = x + x 
c) Se , isto é, se é paralelo a : x 
d) x = 0
e) x = ( x )
Seja = x , ao se resolver analiticamente a busca do vetor que atende às de�nições de produto
vetorial, obtêm-se que:
Dica
O sistema acima pode ser representado pelo cálculo de um
determinante:
 x 
Exemplo
1. Determine o vetor x , sabendo que ( 1, 2, −1) e (0, 1, −2)
S O L U Ç Ã O
Você pode aplicar diretamente as equações, mas fazendo através do determinante, �ca mais prático: 
 x =
PRODUTO MISTO
Sejam os vetores do R .
O produto misto, cuja notação é , é de�nido através de uma combinação entre produto
escalar e produto vetorial.
[ , , ] = ( x ) . = . ( x )
3
Atenção!
O produto misto só é de�nido no R , e por ser o resultado de
um produto escalar, fornece como resultado um escalar.
3
Ao se resolver analiticamente o produto misto, obtém-se uma expressão que pode ser representada
pelo cálculo do seguinte determinante:
 = 
Importante!
Se o produto misto é nulo, quer dizer que um dos três vetores
é combinação linear dos outros dois. Em outras palavras, os
três vetores fazem parte de um mesmo plano no espaço.
Assim, três vetores serão coplanares, isto é, pertencerão ao
mesmo plano, se e somente se, 
O produto misto apresenta algumas propriedades:
a) Multiplicação por real (k): 
b) 
c) 
Exemplo
1. Dados os vetores (0, 2, –5 ), (1, –1, 2) e (2, 0, –1 ). Determine o produto misto entre os
vetores , e , nesta ordem.
S O L U Ç Ã O
TEORIA NA PRÁTICA
Três aeronaves, que realizam um movimento retilíneo, têm velocidades dadas pelos vetores (a, 1, –
1), (0, 2, 1) e (1, 0, 2 ). Elas desejam voar de tal forma que as direções de seus movimentos
formem um plano. Determine o valor de a, real, para que isso ocorra.
 Clique no botão para ver as informações.
SOLUÇÃO
MÃO NA MASSA
1. Sejam (1, 2, –3) e (2, –2, 4). Determine o produto escalar entre e :
Comentário
Parabéns! A alternativa "D" está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito do produto escalar.
Assim, 
2. Determine o módulo do vetor + , sabendo que que (0, 12 , –5) e (0 , –4, 3).
-14A)
70B)
-84C)
84D)
A)
B)
144C)
68D)
Comentário
Parabéns! A alternativa "A" está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito do produto escalar.
3. Determine o valor de 2 x (-4 ). Sendo (1, –1, 0) e (2, 2, 1):
Comentário
Parabéns! A alternativa "A" está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito do produto vetorial.
2 x (-4 ) = 2 . (-4) x = (-8) ( x )
 x = 
(-8) ( x ) = 
4. Dados os vetores , determine o produto
misto entre os vetores , nesta ordem:
(8, 8, -32)A)
(-8, -8, 32)B)
(24, 24, -32)C)
(8, -12, -32)D)
Comentário
Parabéns! A alternativa "C" está correta.
No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.
06:05
5. Sejam os vetores . Determine o valor de ,
sabendo que o produto misto vale o produto escalar somado a 6.
Comentário
Parabéns! A alternativa "B" está correta.
2A)
-4B)
-2C)
4D)
A)
-3B)
3C)
D)
VERIFICANDO O APRENDIZADO
ATENÇÃO!
Para desbloquear o próximo módulo, é necessário que você
responda corretamente a uma das seguintes questões:
1. Sendo , e , determine o produto escalar entre o
vetor e o vetor :
Comentário
Parabéns! A alternativa "D" está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito do produto escalar.
Assim 2.2 + 4 = 8
2. Sendo e , determine o valor de a+b sabendo que 
:
4A)
6B)
10C)
8D)
-2A)
Assim, 
6. Sejam os vetores e . Sabe-se que vale duas vezes o produto
vetorial de com . Determine o módulo do vetor :
Comentário
Parabéns! A alternativa "B" está correta.
No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.
06:35
A)
B)
C)
D)
Comentário
Parabéns! A alternativa "A" está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito do produto vetorial.
Assim
O conteúdo ainda não acabou.
Clique aqui e retorne para saber como desbloquear.
 Aplicar o conceito do ângulo vetorial nas condições de paralelismo e ortogonalidade
-4B)
2C)
4D)
INTRODUÇÃO
O conhecimento do ângulo formado por dois vetores pode ter algumas aplicações práticas,
por exemplo, a veri�cação se os vetores são paralelos ou ortogonais.
Assim, torna-se necessária uma forma de obter o ângulo através das coordenadas vetoriais.
ÂNGULO ENTRE VETORES
O ângulo entre dois vetores é aquele de�nido entre suas orientações positivas, ou seja, suas setas.
No módulo anterior, aprendemos a usar a Lei de Cossenos, então, uma forma para obter o ângulo dos
vetores é através desta solução:
ou
No entanto, existe uma forma mais simples para cálculo do ângulo entre vetores através do produto
escalar. Pode ser provado que 
Assim, 
Se conhecemos o ângulo entre dois vetores, podemos veri�car o sinal do produto escalar através da
equação dada:
a) Se se tem , então 
b) Se se tem , então 
c) Se se tem , então 
Exemplo
1. Determine o cosseno do ângulo formado entre os vetores (2, 2) e (-1, 3):
S O L U Ç Ã O
PROJEÇÃO DE UM VETOR SOBRE OUTRO
Uma aplicação direta do produto escalar, versor e ângulo entre vetores é a determinação da projeção
de um vetor sobre o outro. Sejam dois vetores e que formam um ângulo α entre si. A projeção de 
sobre será denominada de 
Mas 
Exemplo
1. Determine a projeção do vetor (1, 1, 1) sobre o vetor (3, 0, −4):
S O L U Ç Ã O
Assim,
CONDIÇÃO DE PARALELISMOS E ORTOGONALIDADE
A equação dada no item anterior nos permite conhecer o ângulo através do produto escalar, assim: 
Desse modo, se dois vetores e são ortogonais, isto é, com ângulo entre si de , então 
sendo esta a condição de ortogonalidade.
Se dois vetores   e são paralelos entre si, então = k , com k real.
Como já visto,neste caso x = 0. Sendo esta uma possível condição de paralelismo.
Outra opção é que se = k , k real, usando as propriedades básicas do vetor:
Importante!
As condições de ortogonalidade e paralelismo podem ser
extrapoladas para a dimensão do R . Assim, dois vetores em
R serão ortogonais se seu produto interno for zero e serão
paralelos se suas coordenadas forem proporcionais.
n
n
Exemplo
1. Determine o valor de b para que os vetores (2, b, 0) e (–1, 1, 3) sejam ortogonais.
S O L U Ç Ã O
Para serem ortogonais,
2. Determine o valor de a e b para que os vetores (2, b, a) e (–1, 1, 3) sejam paralelos.
S O L U Ç Ã O
Se u e v são paralelos, então
Assim,
b = -2 e a = (-3) . 2 = -6
TEORIA NA PRÁTICA
O trabalho de uma força (w), medido em Joule (J), é um conceito de Física que mede o efeito de uma
força sobre um deslocamento, logo, , em que é a força aplicada ao objeto e o vetor
deslocamento feito pelo objeto. Uma caixa de massa 2kg sofre o efeito de uma força (2, −2, 2)N.
Com a aplicação desta força, a caixa se desloca do ponto A(– 1, 0, 2) até o ponto B (3, 0, 1).
Determine o trabalho provocado por esta força na caixa durante este deslocamento.
 Clique no botão para ver as informações.
SOLUÇÃO
MÃO NA MASSA
1. Determine o ângulo formado pelos vetores e :
Comentário
Parabéns! A alternativa "C" está correta.
No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.
04:38
2. Determine k + p para que os vetores sejam
paralelos:
Comentário
Parabéns! A alternativa "C" está correta.
A)
B)
C)
D)
0A)
1B)
-1C)
-2D)
Comentário
Parabéns! A alternativa "C" está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito de ângulo entre vetores.
assim, 
O módulo do vetor vale 
5. Dois vetores, , são ortogonais entre si. Sabe que e que vale
5. Determine o valor da constante a, sabendo que , com a e b reais.
Comentário
Parabéns! A alternativa "C" está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito de ortogonalidade entre os vetores.
5B)
6C)
8D)
A)
B)
C)
D)
Se os vetores são ortogonais então 
Assim, 
Se os vetores são ortogonais, usando o teorema de Pitágoras 
Assim, 
Se não fosse observado o triângulo retângulo, poderia ser achado o vetor 
Assim, 
Dando o mesmo resultado.
6. O ângulo entre dois vetores 𝑒 vale 45°. O módulo do vetor vale . Quanto vale
o produto escalar entre e o versor do vetor ?
Comentário
Parabéns! A alternativa "B" está correta.
2A)
1B)
0C)
-1D)
Se u e v são paralelos, então 
Assim, 
Então, 
3. Determine k para que os vetores sejam ortogonais:
Comentário
Parabéns! A alternativa "D" está correta.
No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.
03:55
4. Determine o módulo da projeção do vetor sobre o vetor :
0A)
1B)
-1C)
-2D)
4
A)
Parabéns! Você entendeu o conceito de ângulo entre vetores.
Mas 
VERIFICANDO O APRENDIZADO
ATENÇÃO!
Para desbloquear o próximo módulo, é necessário que você
responda corretamente a uma das seguintes questões:
1. Determine o cosseno do ângulo formado pelos vetores e .
Comentário
Parabéns! A alternativa "A" está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito de ângulo entre vetores.
A)
B)
C)
D)
2. Determine o valor da constante k para que os vetores e ( 1, 1, 1) sejam
ortogonais.
Comentário
Parabéns! A alternativa "B" está correta.
Parabéns! Você entendeu a condição de ortogonalidade .
Para serem ortogonais
O conteúdo ainda não acabou.
Clique aqui e retorne para saber como desbloquear.
0A)
1B)
2C)
3D)
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao longo dos quatro módulos, foi possível descrever a de�nição de espaço vetorial e, principalmente,
do elemento vetorial denominado de vetor, além da representação do vetor, suas operações
matemáticas e aplicações no plano e no espaço. Por �m, relacionado à determinação do ângulo entre
vetores, foram analisadas as condições de ortogonalidade e paralelismo.
PODCAST
0:00 6:43
CONQUISTAS
Você atingiu os seguintes objetivos:
 Identi�cou o conceito de vetor, suas
caracterizações e operações básicas.
 Identi�cou o conceito de vetor no plano e no
espaço.
 Aplicou os produtos escalares, vetoriais e
http://estacio.webaula.com.br/cursos/temas/vetores_e_espacos_vetoriais/podcast/vetores_e_espacos_vetoriais_podcast_audiok.mp3
misto.
 Aplicou o conceito do ângulo vetorial nas
condições de paralelismo e ortogonalidade.
CONTEUDISTA
Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
 Currículo Lattes
REFERÊNCIAS
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012. p. 119-
180.
APOSTOL, T. M. Cálculo, Volume 1. Espanha: Editorial Reverte SA, 1985. p. 519-536.
HOFFMAN, K.; KUNZE, R. Linear Algebra. 2. ed. Nova Jersey: Prentice-Hall, 1971. p. 28-39.
PEREIRA, Paulo. Cálculo é fácil - Cálculo 1: aulas 2 a 15, In: Equaciona com Paulo Pereira, Youtube.
Publicado em: 8 mar. 2019
SANTOS, R. J. Um Curso de Geometria Analítica e Álgebra Linear. Belo Horizonte: Imprensa
Universitária da UFMJ, 2012. p. 132-208.
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DEFINIÇÃO
Aplicação dos conceitos de retas e planos na Geometria Analítica.
PROPÓSITO
De�nir as equações de retas e planos na Geometria Analítica e aplicar os conceitos nas posições relativas entre
retas e planos, bem como na distância entre pontos e estas �guras geométricas.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora cientí�ca ou use a
calculadora de seu smartphone/computador.
OBJETIVOS
Módulo 1
Aplicar a de�nição da reta na
determinação da equação da
reta no plano e no espaço
Módulo 2
Aplicar equações da reta na
obtenção da interseção, do
ângulo e das posições relativas
entre retas
Módulo 3
Aplicar a de�nição do plano na
determinação da equação do
plano e nas posições relativas
entre os planos
Módulo 4
Aplicar o conceito de ponto,
reta e plano na determinação
de distância entre pontos, retas
e planos
MÓDULO 1
 Aplicar a de�nição da reta na determinação da
equação da reta no plano e no espaço
INTRODUÇÃO
A Geometria Analítica apresenta, através de equações analíticas, diversas �guras da Geometria, que serão
denominadas de Lugares Geométricos.
Neste módulo, estudaremos a reta e obteremos a equação que a representa analiticamente. A reta é de�nida por
dois pontos, mas existem outras formas de determinarmos a sua equação.
A equação de uma reta, no plano ou no espaço, pode ter vários tipos de apresentação: simétrica, geral, reduzida,
vetorial e paramétrica. Todos os tipos de equação serão equivalentes, isto é, representam os mesmos pontos no
plano ou no espaço.
EQUAÇÃO DA RETA NO PLANO
A geometria nos ensina, através de um de seus axiomas, que uma reta é de�nida por dois pontos. No plano estes
dois pontos podem ser representados por sua abscissa e ordenada, isso é, A(X , Y ) e B(X ,Y ).A A B B
Deseja-se obter uma equação que representa todos os pontos dessa reta. Assim, de�ne-se um ponto genérico P
(x, y), pertencente à reta formada pelos pontos A e B, e determina-se uma equação que é satisfeita por ele.
Na Geometria Analítica são de�nidos vários tipos de apresentação para a equação da reta, com formatos
diferentes, porém, representando os mesmos pontos. Diz-se que essas equações são equivalentes. Será de�nida a
equação simétrica, geral, vetorial, reduzida e paramétrica. Como será visto, de uma forma pode-se obter as
demais. A �gura abaixo representa a reta r formada pelos pontos A e B:
~
EQUAÇÃO SIMÉTRICA E GERAL
Os pontos A, B e P estão alinhados, assim, o vetor = B - A vetor = P - A são paralelos, consequentemente,
tem suas coordenadas proporcionais.
Comoos pontos A e B são dados, a parcela da direita se transforma em uma fração numérica.
Então, , d e f reais e diferentes de zero.
Obtém-se, assim, uma equação que representa todos os pontos (x,y) que pertencem à reta analisada. Esta
equação é denominada de EQUAÇÃO SIMÉTRICA da reta.
Os valores de d e f são números reais obtidos através dos dois pontos conhecidos da reta.
Exemplo
Determine a equação simétrica da reta que passa pelos pontos A
(1,2) e B ( 3, – 1).
 Clique na barra para ver as informações.
SOLUÇÃO 
Assim, aplicando diretamente no modelo da equação:
. Logo, a equação simétrica da reta será: 
Partindo da equação simétrica da reta, através de uma manipulação matemática, obtém-se uma equação da
forma 
ax + by + c = 0, com a, b e c sendo números reais.
Assim,
 
Chamando de f = a e d = -b, obtém-se uma equação do tipo ax + by + c = 0, denominada de EQUAÇÃO GERAL da
reta.
Cuidado: se multiplicarmos ambos os lados por um número real k, ainda temos a mesma equação.
ax + by + c = d ⇔ akx + bky + ck = 0, com k real
Existe uma forma alternativa para se determinar a equação geral da reta diretamente através dos dois pontos
dados, A e B. Esta forma é através de um cálculo de um determinante.
Sejam A (X ,Y ) e B (X ,Y ) dois pontos distintos da reta r, então a equação geral da reta será obtida por: A A B B
Exemplo
Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos A (1, 2) e
B (3, –1).
 Clique na barra para ver as informações.
SOLUÇÃO 
Aplicando diretamente o determinante 
Resolvendo o determinante: (2+1)x + (3-1)y + (-1-6) = 0 → 3x + 2y - 7 = 0
Importante – Condição de um Ponto Pertencer a Reta
Um ponto para pertencer a reta tem que satisfazer a equação da reta.
Dessa forma, seja a reta e um ponto . Se o ponto P pertence à reta r, então 
. Se o ponto P não pertence à reta r, então 
Esta propriedade vale para qualquer tipo de equação da reta, não apenas para equação geral.
Exemplo
Ache a equação geral da reta e veri�que se os pontos Q (5, –4) e R (2,
3) pertencem à reta r dada pela equação .
 Clique na barra para ver as informações.
SOLUÇÃO 
Substituindo o ponto Q (5, – 4) na reta se tem: e 
Portanto, as coordenadas do ponto satisfazem a equação da reta e o Ponto Q pertence à reta r.
Substituindo o ponto R (2, 3) na reta se tem: 3.2 + 2.3 – 7 = 6 + 5 – 7 ≠ 0
Como as coordenadas do ponto não satisfazem a equação da reta, então R não pertence à reta.
EQUAÇÃO REDUZIDA
Continuando na apresentação dos tipos das equações da reta. Partindo agora da equação geral e isolando o valor
de y se tem: ,com a,b e c reais.
Substituindo m = e q = → y = mx + q, que será a EQUAÇÃO REDUZIDA da reta.
O parâmetro m é denominado de coe�ciente angular da reta, ele é igual à tangente do ângulo que a reta forma
com o eixo x. O parâmetro q é denominado de coe�ciente linear, que representa o ponto onde a reta corta o eixo
y.
Quando m > 0 → tg θ > 0 → 0 < θ < 90°, a reta será crescente.
Quando m < 0 → tg θ < 0 → 90° < θ < 180°, a reta será decrescente.
A reta horizontal do tipo y = constante, terá m = 0 e a reta vertical do tipo x = constante não terá valor de m.
Exemplo
Determine a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A (2,
4) e B ( –3, 1). Obter o coe�ciente angular e linear da reta.
 Clique na barra para ver as informações.
SOLUÇÃO 
Deste modo, a equação reduzida será 
Portanto, o coe�ciente angular vale m = e o coe�ciente linear q = 
Então, o ângulo que a reta r faz com o eixo positivo x vale . O coe�ciente linear q = , Logo, o
ponto em que a reta corta o eixo y é o ponto .
Assim, aplicando diretamente no modelo da equação simétrica 
EQUAÇÃO VETORIAL E PARAMÉTRICA
Se retornarmos à �gura inicial, além do paralelismo entre os vetores e , pode-se dizer que o vetor será
proporcional ao vetor , λ real.
A equação do tipo será denominada de EQUAÇÃO VETORIAL da reta.
Ao invés do vetor , poderia ter sido usado o vetor , pois a reta tem uma direção, mas não tem sentido. O
vetor ou vetor , que de�ne a direção da reta, é denominado de vetor diretor da reta. Na �gura, o vetor
diretor está representado pelo vetor .
Aqui, vemos mais uma alternativa para se obter a equação da reta, caso não se conheça os dois pontos da reta. Se
forem conhecidos um ponto e a direção de�nida pelo seu vetor diretor, será possível obter a equação vetorial da
reta. O ponto conhecido fará o papel do ponto A e o vetor diretor da reta fará o papel do vetor .
Atenção
Quaisquer dois pontos de uma reta podem ser usados para de�nir
o vetor diretor da reta. Não existe um vetor diretor, mas in�nitas
possibilidades, pois se é um vetor diretor da reta, então todo os
vetores , com k real diferente de zero, também serão.
Se substituirmos as coordenadas dos pontos A, B e P (genérico) na equação vetorial, obtém-se duas equações,
cada uma relacionada a uma das coordenadas:
Esta equação é denominada de EQUAÇÃO PARAMÉTRICA da reta.
Ressalta-se que se pode obter a equação simétrica através da equação paramétrica. Basta isolar o valor de λ nas
duas equações.
Se for a equação simétrica da reta r, então o vetor (d,f) é o vetor diretor da reta r.
Exemplo
Determine a equação vetorial e paramétrica da reta que passa nos
pontos A (1,2) e B (3, –1). Determine qual ponto desta reta tem
ordenada igual a 5.
 Clique na barra para ver as informações.
SOLUÇÃO 
Determinando o vetor diretor da reta = B - A = (3 - 1, -1 - 2) = (2,-3)
Assim, a equação vetorial será P = A + λ , λ real
ou, (x, y) = (1, 2) + λ(2,-3) = ( 1 + 2λ, 2 - 3λ) , λ real
Separando as duas equações, obtém-se a equação paramétrica: r:
Para determinar o ponto Q(x, 5) que pertence à reta, ele deve satisfazer a equação e 
. 
Assim, 
Portanto, x = 1 + 2λ = 1 + 2.(–1) = 1 – 2 = – 1, o ponto será (–1, 5).
VETOR NORMAL DA RETA
Nós já vimos que o vetor diretor da reta pode ser obtido diretamente da equação paramétrica ou da equação
simétrica da reta. Outro vetor importante é o vetor perpendicular a ela, denominado de vetor normal da reta, com
notação de .
Para o caso do plano, comparando as equações da reta simétrica e geral, ax + by + c = 0 , tem-se a = f e b = -d,
onde (d, f) é o vetor diretor da reta. Vide transformação feita no início deste item.
Se de�nirmos um vetor ( a, b), pode ser veri�cado que: = a.d + b.f = f.d + (-d).f = 0, portanto, o vetor é
perpendicular ao vetor diretor da reta . As coordenadas de serão (a, b), que pode ser obtida diretamente da
equação geral da reta.
Atenção
Se ax + by + c = 0 for a equação geral da reta r, então o vetor (a,b) é o
vetor normal à reta r.
O vetor normal pode ser usado como uma terceira alternativa para se obter a equação geral da reta.
Ao se conhecer um ponto da reta e o vetor normal, pode-se obter a equação geral através de um produto escalar 
, pois serão vetores perpendiculares.
Exemplo
Determine a equação geral da reta que passa no ponto (2, 3) e tem
vetor normal (1,4).
 Clique na barra para ver as informações.
SOLUÇÃO 
A equação geral é dada pela equação
 
Assim, a equação geral da reta é .
 Saiba mais
javascript:void(0)
EQUAÇÃO DA RETA NO ESPAÇO
Como no caso do plano, uma reta no espaço pode ser de�nida tendo-se dois pontos ou até mesmo um ponto e o
vetor diretor. A diferença é que tanto os pontos como o vetor diretor possuem três dimensões e não mais duas.
No caso do espaço, não existem as equações geral e reduzida da reta. Como será visto em módulo posterior, a
equação do tipo 
ax + by + cz+ d = 0 representará um plano e não uma reta.
Assim, seguindo raciocínio análogo da equação da reta no plano, seja a reta r que passa pelos pontos A(X ,Y ,Z ) e B(X ,Y ,Z ) e tem um
vetor diretor 
 = (X - X , Y - Y , Z - Z ) = (c ,d ,f), com c, d e f pertencente aos reais. De�nimos as seguintes equações da reta no espaço:
Simétrica: ;
Vetorial: 
Paramétrica: 
A A A B B B
A B A B A B
Da mesma forma que no plano, um ponto para pertencer a uma reta no espaço deve ter suas coordenadas
satisfazendo a equação da reta.
No caso do espaço,não temos nenhuma equação que nos apresenta diretamente o vetor normal da reta, como no
caso da equação geral da reta no plano.
Exemplo
Determine a equação simétrica e paramétrica da reta que passa
pelos pontos A (1, 2, – 1) e B (0, 3, 1).
 Clique na barra para ver as informações.
SOLUÇÃO 
Assim, aplicando diretamente no modelo da equação simétrica
A equação simétrica da reta será 
Analisando a equação, veri�ca-se que o vetor diretor da reta será o vetor 
Escolhendo o ponto A que pertence à reta, portanto, a equação paramétrica será
Exemplo
Determine o valor de k e p para que o ponto pertença à
reta que passa pelos pontos e .
 Clique na barra para ver as informações.
SOLUÇÃO 
Obtendo o vetor diretor da reta: .
O ponto A (2,3,4) pertence à reta, então, a equação paramétrica será dada por
Para que P pertença à reta, ele deve satisfazer as três equações acima
x = 0 = 2 – λ → λ = 2, y = k = 3 – 3 λ → k = 3 – 3.2 = –3 e z = p = 4 – 2 → p = 4 – 2 = 2
TEORIA NA PRÁTICA
Um canhão se encontra em uma posição do solo e deve acertar um alvo que se encontra em cima de uma
elevação. Considera-se, por não ser uma distância muito longa, que o projetil ao sair do canhão percorre a
trajetória até o alvo em linha reta. Sabendo que o canhão se encontra na posição (0, 5) e o alvo se encontra na
posição (100, 400), qual deve ser o ângulo de elevação do canhão em relação ao solo para que o projetil acerte o
objetivo?
Solução em vídeo:
No vídeo a seguir o professor vai desenvolver o cálculo que resultará na resposta desta questão. Assista:
08:45
MÃO NA MASSA
1. Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos A (3,5) e ponto B (– 1, 3).
x -2y -13 = 0A)
x - 2y + 7 = 0B)
x + 2y - 3 = 0C)
x + 2y - 7 = 0
D)
Tentar novamente
Comentário
Assim, aplicando diretamente no modelo da equação
. Então, a equação simétrica da reta será: 
Assim, 2(x – 3) = 4 (y – 5) → 2x - 6 = 4y - 20 →2 x- 4y + 14 = 0 → x - 2y + 7 = 0.
2. Qual o ponto que tem abscissa 3 e que pertence à reta 2x - y + 10 = 0.
Comentário
Parabéns! A alternativa "C" está correta.
Se o ponto P ( x , y ) pertence à reta, ele satisfaz a equação da reta 2x - y + 10 = 0.
Como x = 3 → 2.3 - y + 10 = 0 → y = 16.
p p
p
3. Uma reta forma um ângulo com o eixo positivo de x de 45°. Esta reta passa pelo ponto
(2,1). Determine o valor de p para que o ponto (1, p) pertença à reta.
Tentar novamente
(3, 10)A)
(3, 12)B)
(3, 16)C)
(3, 20)D)
3A)
1B)
2C)
0D)
Comentário
Se o ângulo da reta com o eixo x vale 45°, então m = tg 45° = 1.
Logo, a equação da reta é y = mx + q = x + q
Como o ponto P (2,1) pertence à reta, então o ponto satisfaz a equação, assim 1 = 2 + q → q
= – 1
A reta terá equação y = x – 1. Como o ponto (1, p) pertence à reta → p = 1 – 1 = 0.
4. O ponto R (k, 2) pertence à reta . Determine o valor de k:
Comentário
Parabéns! A alternativa "A" está correta.
No vídeo a seguir o professor vai desenvolver o cálculo que resultará na resposta desta
questão.
04:49
19A)
17B)
15C)
13D)
5. Seja a reta de equação . O vetor normal desta reta tem coordenadas (a, b)
e o coe�ciente linear dela vale q. Marque a alternativa que apresenta o valor de 
.
Tentar novamente
Comentário
Transformando a equação simétrica para geral se obtém:
Analisando a equação geral, veri�ca-se que o vetor normal vale (3,4).
Transformando a equação geral na equação reduzida 
Assim, o coe�ciente linear . O valor de q poderia ser obtido também fazendo x = 0 na
equação geral. Assim, a + b + 4 q = 3 + 4 – 6 = 1.
6. Marque a alternativa que apresenta as coordenadas do ponto P (k, 4, p) que pertence
às retas que passam pelos pontos A (– 1 , 1 , 2) e B ( 3 , 2 , 3).
Comentário
Parabéns! A alternativa "C" está correta.
0A)
-1B)
-2C)
1D)
(12, 4, 3)A)
(10, 4, 1)B)
(11, 4, 5)C)
(2, 4, 3)D)
No vídeo a seguir o professor vai desenvolver o cálculo que resultará na resposta desta
questão.
07:41
VERIFICANDO O APRENDIZADO
ATENÇÃO!
Para desbloquear o próximo módulo, é necessário que você responda
corretamente a uma das seguintes questões:
1. Seja a equação ax + by + 16 = 0 da reta que passa pelos pontos A (3,2) e B (2,4). Seja o
ponto C de coordenadas (p, – 2) que também pertence a esta reta. Marque a alternativa
que apresenta o valor de .
0A)
-1B)
Comentário
Parabéns! A alternativa "B" está correta.
Aplicando diretamente o determinante para encontrar a equação da reta:
Resolvendo o determinante: (2 - 4)x + (2 - 3)y + (12 - 4) = 0 → -2x - y + 8 = 0
Assim, a equação da reta vale -2x - y + 8 = 0, mas o enunciado diz que o termo independente
vale 16, logo, devemos multiplicar todos os termos por 2, �cando com uma equação -4x - 2y +
16 = 0. Portanto a = – 4 e b = – 2.
Se C pertence à reta, ele satisfaz a equação da reta, assim -2p + 2 + 8 = 0 → 2p = 10 → p = 5
Portanto, a + b + p = – 4 – 2 + 5 = – 1.
2. Seja a reta r que passa nos pontos (1,2,3) e (– 2, 4, 1). Sabe-se que o ponto P (4, t, p)
pertence a esta reta que tem vetor diretor dado por (a, – 2, b). Determine o valor de 
.
Comentário
Parabéns! A alternativa "C" está correta.
Determinando-se a equação simétrica da reta no plano:
O vetor diretor será qualquer vetor proporcional a (– 3, 2, –2). No enunciado, a coordenada y do
vetor diretor tem valor de – 2, assim, o vetor diretor escolhido será (3, – 2, 2), que foi obtido
multiplicando o anterior por –1. Então, a = 3 e b = 2.
Se o ponto P pertence à reta, ele satisfaz as equações da reta:
-2C)
1D)
8A)
9B)
10C)
11D)
Resolvendo as equações e p = 5. Portanto, a + b + t + p = 3 + 2
+ 0 + 5 = 10.
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MÓDULO 2
 Aplicar equações da reta na obtenção da interseção,
do ângulo e das posições relativas entre retas
INTRODUÇÃO
No módulo anterior, aprendemos a equação analítica de uma reta no plano ou no espaço.
Ao compararmos as equações de duas retas, observa-se que duas retas no plano podem ter três posições
relativas entre si: concorrentes, paralelas ou coincidentes. No caso do espaço, além dos três tipos anteriores,
temos o caso de retas reversas, que são aquelas que pertencem a dois planos paralelos distintos.
As equações analíticas das retas podem também ser usadas para se descobrir o ângulo formado pelas retas e, se
for o caso, o ponto de interseção que elas possuem.
INTERSEÇÃO ENTRE DUAS RETAS
Como já visto no módulo anterior, um ponto P para pertencer a uma reta deve satisfazer a equação da reta. Assim,
se um ponto é interseção entre duas retas, ele deve, obrigatoriamente, obedecer, simultaneamente, às equações
das duas retas.
Desta forma, a coordenada do ponto de interseção, caso exista, será a solução do sistema linear composto pelas
duas retas analisadas. Se este sistema for possível e determinado, a solução será o ponto de interseção entre as
retas. Se a solução do sistema for possível e indeterminada, será o caso de as duas retas serem a mesma reta,
assim, todos os pontos da reta são comuns entre as duas, tendo, portanto, in�nitas soluções no sistema. E, por
�m, se a solução do sistema for impossível, é porque as retas não têm ponto comum.
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS
Quando se está trabalhando no plano, duas retas podem ter, entre si, três posições relativas, são elas:
 Clique nas barras para ver as informações.
CONCORRENTES 
Apresentam um ponto de interseção, isto é, um ponto comum.
COINCIDENTES 
São na verdade a mesma reta, tendo, portanto, in�nitos pontos comuns.
PARALELAS 
Têm a mesma direção, porém são distintas, não tendo nenhum ponto em comum.
Um caso particular das retas concorrentes é o caso das retas perpendiculares ou ortogonais, que fazem 90° entre
si.
Os três casos anteriores representam retas que pertencem ao mesmo plano, isto é, coplanares. No caso de estar
se trabalhando no espaço, temos uma quarta possibilidade. Esta quarta possibilidade está associada com as retas
que não são coplanares. Em outras palavras, pertencem a dois planos paralelos distintos. Estas retassão
denominadas de retas reversas e não apresentam pontos de interseção. As retas reservas podem ser obliquas ou
ortogonais, veja.
O item anterior apresentou uma forma de se obter os pontos de interseção através da resolução do sistema. Ao se
determinar os pontos de interseção, pode-se avaliar as posições relativas entre as retas. Se as retas tiverem
apenas um ponto em comum, elas só podem ser retas concorrentes. Se tiverem in�nitos pontos em comum, as
retas serão coincidentes. Se as retas não tiverem pontos em comum, podem ser paralelas ou reversas.
Para o último caso, observa-se que apenas com a análise da interseção não se pode concluir sobre a posição
entre as retas, tornando-se necessária a análise complementar de se observar a direção relativa das retas, através
dos vetores diretores.
Resumindo
Assim, resumidamente:
Retas concorrentes: apenas um ponto comum. Neste caso, apesar
de não ser necessária a análise, os vetores diretores não são
paralelos;
Retas coincidentes: in�nitos pontos em comum. Neste caso, apesar
de não ser necessária a análise, os vetores diretores são paralelos;
Retas paralelas: nenhum ponto em comum e os vetores diretores são
paralelos;
Retas Reversas: nenhum ponto em comum e os vetores diretores
não são paralelos.
A veri�cação se os vetores diretores são ou não paralelos é feita através da averiguação das coordenadas dos
mesmos serem ou não proporcionais, isto é: Se 
No caso do plano, a comparação das equações gerais é um método simples para se veri�car a posição relativa
entre duas retas. Seja a reta r: a x + b y + c = 0 e a reta s: a x + b y + c = 0, assim:
Se , então, as retas r e s serão coincidentes;
Se , então, as retas r e s serão paralelas;
Se , então, as retas r e s serão concorrentes.
1 1 1 2 2 2
As condições acima estão relacionadas com as direções dos vetores normais das retas.
ÂNGULO ENTRE RETAS
O ângulo entre as retas será o mesmo ângulo que existe entre seus vetores diretores. Assim, sejam as retas r, com
vetor diretor e a reta s, com vetor diretor . O ângulo θ formado entre as duas retas será calculado por: 
Por de�nição, como as retas não têm sentido, o ângulo entre elas será sempre o ângulo agudo, isto é, menor ou
igual a 90°. Como o ângulo agudo tem cosseno positivo, foi colocado um módulo na fórmula do cosseno do
ângulo entre as retas.
O ângulo formado entre os vetores diretores também será o mesmo ângulo formado pelos vetores normais. Isto
parte de uma propriedade da Geometria. Assim, no cálculo do ângulo através da fórmula anterior, ela pode ser
usada com o vetor normal ao invés do vetor diretor.
Se as retas forem paralelas ou coincidentes, por de�nição se considera como 0° o ângulo entre elas.
No caso das retas reversas, de�ne-se ângulos entre elas como o ângulo formado pela primeira reta e uma reta
paralela à segunda reta, porém pertencente ao plano da primeira. A fórmula apresentada já leva em conta esta
de�nição.
No caso da análise no R , o plano, ao invés de usar o vetor diretor para a análise das posições relativas das retas,
pode ser usado, alternativamente, o vetor normal da reta.
2
Exemplo
Determine, caso exista, o ponto de interseção entres as retas 
 e e veri�que as posições
relativas entre as retas.
 Clique na barra para ver as informações.
SOLUÇÃO 
Resolvendo o sistema abaixo. Se o sistema for possível e determinado, existirá o ponto de interseção.
Assim, o ponto (– 1,3) pertence as duas retas sendo o ponto de interseção entre elas.
Portanto, neste caso, as duas retas são concorrentes.
Se for veri�cado os coe�cientes das equações das retas:
 e . Como , então as retas r e s são concorrentes.
Exemplo
Determine o ângulo existente entre as retas do exemplo anterior.
 Clique na barra para ver as informações.
SOLUÇÃO 
Os vetores normais das retas são (2,1) e (3,-1).
Assim, 
Exemplo
Determine, caso exista, o ponto de interseção entre a retas 
 e a reta e
veri�que as posições relativas entre as retas.
 Clique na barra para ver as informações.
SOLUÇÃO 
Transformando a equação simétrica da reta s para equação paramétrica .
Assim, λ + α= -1 → λ = -1 - α que substituindo na terceira equação
3α + (-1 - α) = 1 → 2α = 2 → α = 1 → λ = – 2
Portanto, existe apenas uma solução α = 1 e λ = – 2. Para achar o valor do ponto de interseção, substitui-se
em qualquer uma das duas retas
Logo, o ponto P (6, 9, – 3) é o ponto de interseção e as retas são concorrentes.
Apenas como observação, se fossem veri�cados os vetores diretores das retas, eles seriam (-2,-3,2) e 
(2,3,-6) sendo, portanto, vetores que não são paralelos. A conclusão dessa análise seria que as retas
poderiam ser concorrentes ou reversas, mostrando que esta análise isolada não permite, neste caso, concluir
sobre as posições relativas, tornando-se necessário veri�car a interseção.
Se na solução do sistema anterior fossem encontrados in�nitos valores de α e λ, então o sistema seria
possível e indeterminado, e as retas seriam a mesma reta. Se não fosse determinado nenhum valor de α e λ
para satisfazer o sistema, as retas não se cortariam, não tendo ponto de interseção.
Igualando as coordenadas 
TEORIA NA PRÁTICA
Um determinado terreno tem dois de seus lados fazendo um ângulo de 60°. A primeira cerca liga os pontos (4,1) e
(1,1). A segunda cerca liga os pontos (1,1) ao ponto (4, 3 + 1). O morador do terreno do lado diz que a segunda
cerca está entrando em seu terreno, isto é, está fazendo um ângulo maior do que 600 com o primeiro lado do
terreno. Como você pode ajudar ao dono do terreno a mostrar que o ângulo está correto?
Solução em vídeo:
No vídeo a seguir o professor vai desenvolver o cálculo que resultará na resposta desta questão. Assista:
09:05
MÃO NA MASSA
1. O ponto P (a, b) é ponto comum entre as retas x + 2y - 2 = 0 e x - y + 4 = 0. Determine o
valor de a + b.
0A)
1B)
2C)
3D)
Tentar novamente
Comentário
Resolvendo o sistema abaixo. Se o sistema for possível e determinado, existirá o ponto de
interseção.
.
Subtraindo uma equação da outra: 2y + y - 2 - 4 = 0 → 3y = 6 → y = 2 = a
Então, x = y - 4 = 2 - 4 = -2 = b. Portanto, a + b = 2 – 2 = 0.
2. Determine a posição relativa entre as retas r, de�nida pela equação 2x + 3y + 5 = 0, e a
reta s, de�nida pela equação 4x + 6y – 9 = 0.
Tentar novamente
Comentário
Veri�cando-se os coe�cientes das equações das duas retas, observa-se que:
Como , as retas r e s são paralelas.
Se fosse resolvido o sistema , veri�ca-se que ele é impossível. Não se
tem nenhum ponto que atende as duas equações.
ParalelasA)
ConcorrentesB)
ReservasC)
CoincidentesD)
3. Determine a posição relativa entre as retas de�nida pela equação , e a
reta .
Comentário
Parabéns! A alternativa "D" está correta.
No vídeo a seguir o professor vai desenvolver o cálculo que resultará na resposta desta
questão.
07:39
4. Determine o ponto de interseção entre a retas e a reta 
ParalelasA)
ConcorrentesB)
ReservasC)
CoincidentesD)
( 14 , – 1 , 0)A)
( 1 , 14 , 2 )B)
Tentar novamente
Comentário
Transformando a equação simétrica da reta s para equação paramétrica 
.
Igualando as coordenadas 
Assim, λ + α = 3 → λ = 3 - α que substituindo na terceira equação
2 α - 3.(3 - α) = 1 → 2α + 3α = 1 + 9 = 10 → α = 10/5 → α = 2 e λ = 3 - α = 3 - 2 = 1
Portanto, existe apenas uma solução, α = 2 e λ = 1. Para achar o valor do ponto de interseção,
substitui-se em qualquer uma das duas retas
Então, o ponto P ( 0, 14 , – 1) é o ponto de interseção entre as retas.
5. Marque a alternativa que apresenta o cosseno do ângulo formado pelas retas
 e a reta .
( 0 , 14 , – 1)C)
( 3 , 11 , 14)D)
A)
B)
C)
1D)
Comentário
Parabéns! A alternativa "A" está correta.
Veri�ca-se que os vetores diretores são (– 1, 3, 2) e (3, 2 ,1) que não são paralelos, assim, as
retas serão concorrentes ou reversas. Logo, o ângulo é obtido pela fórmula 
6. Determine o cosseno do ângulo formado entre as retas 
 e .
Comentário
Parabéns! A alternativa "C" está correta.
No vídeo a seguir o professor vai desenvolvero cálculo que resultará na resposta desta
questão.
09:05
A)
B)
C)
D)
VERIFICANDO O APRENDIZADO
ATENÇÃO!
Para desbloquear o próximo módulo, é necessário que você responda
corretamente a uma das seguintes questões:
1. Sejam as retas r, de equação 3x + 5y – 8 = 0, e a reta s, de equação . O ponto
P (a, b) é o ponto comum as duas retas. Marque a alternativa que apresenta o valor de a +
b.
Comentário
Parabéns! A alternativa "B" está correta.
Transformando a equação da reta s, para equação geral, 6x + 6 = 4y + 8 → 6x - 4y – 2 = 0
→ 3x - 2y – 1 = 0
Repare que . Como , então as retas r e s são concorrentes.
Resolvendo o sistema , subtraindo as duas equações 7y – 7 = 0 → y = 1.
1A)
2B)
In�nitos valoresC)
Não existe a e bD)
Assim, 3x + 5,1 – 8 = 0 → 3x = 3 → x = 1. Portanto, o ponto comum é P (1,1), assim a + b = 1 +
1 = 2.
2. Marque a alternativa que apresenta a posição relativa entre as retas. Determine, caso
exista, o ponto de interseção entre a retas e a reta 
 e veri�que as posições relativas entre as retas.
Comentário
Parabéns! A alternativa "C" está correta.
Veri�ca-se que os vetores diretores são (– 1, 3, 2) e (2, 3 ,1) que não são paralelos, assim, as
retas serão concorrentes ou reversas.
Transformando a equação da reta s para paramétrica 
Igualando coordenada a coordenada: 
Resolvendo o sistema, obtém-se o valor de λ = 0 e α = – 2 que atende as três equações.
Assim é o ponto comum. As retas serão, portanto,
concorrentes
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CoincidentesA)
ParalelasB)
ConcorrentesC)
ReversasD)
MÓDULO 3
 Aplicar a de�nição do plano na determinação da
equação do plano e nas posições relativas entre os
planos
INTRODUÇÃO
Abordamos, anteriormente, a �gura geométrica da reta no plano e no espaço. Neste módulo, estudaremos o lugar
geométrico denominado de plano. Como visto na Geometria, um plano é de�nido por três pontos não colineares.
Apesar disso, existem diversas maneiras de se de�nir a sua equação.
De forma similar à reta, o plano terá alguns tipos de equações equivalentes para representar os seus pontos: geral,
vetorial e paramétrica. Por �m, além de de�nirmos a equação que representa um plano no espaço, serão
analisadas também as posições relativas e o ângulo entre os planos, de forma similar ao feito na reta.
EQUAÇÃO DO PLANO NO ESPAÇO
Não há sentido em falar de equação do plano no R , pois todo R é um plano particular, isto é, o plano xy com
equação z = 0. A equação do plano vai ser estudada no espaço, ou seja, no R .
Para se de�nir um plano, necessita-se de três pontos que não pertençam à mesma reta (não colineares), porém,
para se de�nir uma equação de um plano, algumas alternativas são possíveis.
2 2
3
É importante termos a seguinte noção:
Um ponto, para pertencer a um plano, deve satisfazer a equação do plano;
Um vetor, para pertencer ao plano, deve ser paralelo ao plano. Assim, vetor paralelo ao plano ou pertencente
ao plano serão sinônimos;
Uma reta, para pertencer ao plano, deve ter, no mínimo, dois pontos distintos da reta que satisfaça a equação
do plano.
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO
Assim, pode-se de�nir uma equação do plano, conhecendo-se no mínimo:
Um ponto e o vetor normal ao plano;
Dois pontos e um vetor do plano;
Três pontos não colineares;
Um ponto e dois vetores, não paralelos, que pertencem ao plano;
A primeira equação analisada é a EQUAÇÃO GERAL do plano, que tem forma similar à equação geral da reta: ax +
by + cz + d = 0, com a, b, c e d reais. Uma das formas para se determinar esta equação parte do conhecimento de
um ponto A (X ,Y ,Z ), que pertence ao plano, e um vetor normal (perpendicular) ao plano 
(a,b,c). A metodologia é similar à que �zemos na reta.
A A A
De�ne-se um ponto genérico do plano P (x, y, z) e calcula-se o vetor 
. O vetor normal , por ser perpendicular ao plano π , será
perpendicular a qualquer vetor deste plano, então, perpendicular a 
Se multiplicarmos ambos os lados por um número real k, ainda temos a mesma equação.
a x +b y + c z + d = 0 ⇔ ak x + bk y + ck z + dk = 0 , k ∈ R
Exemplo
Determine a equação geral e paramétrica do plano que passa pelos
pontos A (1, 4, 2) e é perpendicular ao vetor (2, – 1, 2).
 Clique na barra para ver as informações.
SOLUÇÃO 
Resolvendo a equação = 0 será obtida a equação geral do plano. P (x, y, z) é um ponto genérico.
2x - y + 2z - 2 = 0
Para obter a equação paramétrica, façamos x = α e y = λ, com α e λ reais.
Assim, 2α - λ + 2z - 2 = 0 → 2z = 2 - 2α + λ
Desta forma 
A segunda possibilidade, caso se conheça dois pontos (A e B) e um vetor do plano, transforma-se no caso anterior,
pois pode-se obter o vetor normal através de um produto vetorial com dois vetores que pertencem ao plano. Um já
é conhecido e o outro é obtido através dos dois pontos dados, isto é, ou . Dessa forma, teremos
novamente um ponto e o vetor normal ao plano.
Na terceira possibilidade, são dadas as coordenadas de 3 pontos do plano (A, B e C). Neste caso, podemos ter
duas alternativas. Através dos três pontos, de�ne-se dois vetores que pertenceram ao plano, por exemplo, e 
. Com estes dois vetores, obtém-se o vetor normal pelo produto vetorial entre eles e se repete o primeiro caso
analisado neste tópico.
A segunda alternativa é lembrar a condição de coplanaridade entre três vetores, que é o produto misto igual a zero.
Assim, através dos 3 pontos, acrescentamos um ponto genérico P(x,y,z) e fazemos que: [ , , ]=0.
Ressalta-se que pode ser escolhido qualquer vetor que liga os pontos, apenas se escolhendo um vetor com o
ponto P genérico.
O último caso, no qual se é conhecido um ponto e dois vetores do plano, também recai no primeiro, pois o vetor
normal pode ser obtido pelo produto vetorial destes dois vetores dados. Existe, porém, uma segunda alternativa
para este caso, de�nindo-se o outro tipo de equação do plano.
Exemplo
Determine a equação geral do plano que passa pelos pontos A (1, 1,
– 1), B (2, 0, 3) e C (0, 4, 2).
 Clique na barra para ver as informações.
SOLUÇÃO 
A primeira forma é fazer o produto misto [ , , ]=0
=( x-1,y-1,z-(-1))=(x-1,y-1,z+1)
=( 2-1,0-1,3-(-1))=(1,-1,4)
=( 0-1,4-1,2-(-1))=(-1,3 ,3)
Outra opção é achar o vetor normal e usar a mesma solução do exemplo anterior.
EQUAÇÃO VETORIAL E PARAMÉTRICA DO PLANO
Além da equação geral, pode ser de�nida a equação paramétrica do plano. Para isso, torna-se necessário
conhecer um ponto do plano e dois vetores pertencentes ou paralelos a ele. O conceito é que qualquer ponto P (x,
y, z) que pertença ao plano π, obrigatoriamente é obtido, partindo do ponto dado A, por uma combinação linear dos
dois vetores do plano.
Em outras palavras, seja o ponto A (X , Y , Z ) e dois vetores não paralelos (c,d,f) e (p,q,r) que pertencem ao
plano π. E seja o ponto genérico P(x,y,z) do plano, assim: , com α e β reais
A A A
A equação , com α e β reais, é denominada de EQUAÇÃO VETORIAL da reta.
Separando a mesma para cada uma das coordenadas, de�ne-se a EQUAÇÃO PARAMÉTRICA do plano como:
Pode-se obter a equação paramétrica através da equação geral do plano, basta fazer x = α, y = β na equação geral
e obter o valor de z. Assim, se produz uma equação paramétrica
Para se obter a equação geral através da equação paramétrica do plano: pegue duas das três equações e ache o
valor de α e β em relação as duas coordenadas escolhidas, por exemplo, x e y. Depois, substitua o valor de α e β na
terceira equação, então, obtém-se a equação geral.
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PLANOS
Você sabia que dois planos no espaço apresentam entre si posições relativas que podem ser classi�cadas como
concorrentes, paralelos ou coincidentes? A seguir, veja detalhadamente cada um:
 Clique nas barras para ver as informações.
CONCORRENTES 
Apresentam uma reta de interseção.
COINCIDENTES 
São, na verdade, o mesmo plano, tendo, portanto, in�nitos pontos comuns.
PARALELOS 
Não têm nenhum ponto em comum.
Um caso particular dos planos concorrentes, são os planos ortogonais,isto é, fazem 90° entre si.
A posição relativa entre os planos é dada pela análise do vetor normal aos mesmos. Como visto no item anterior,
um plano de equação geral tem um vetor normal dado por . Sejam dados
dois planos , com vetor normal , e 
, com vetor normal .
Se , as duas equações representam o mesmo plano, assim, os planos π e μ serão
planos coincidentes.
 representam que os dois vetores normais são paralelos, mas não são equações do
mesmo plano, assim, os planos π e μ serão planos paralelos.
Os demais casos vão denotar que os planos π e μ serão planos concorrentes.
No caso dos planos concorrentes, pode-se obter a equação da reta que há a interseção dos planos. Os pontos da
reta de interseção devem satisfazer as duas equações do plano
Uma solução é resolver o sistema para duas variáveis em relação a terceira. Dessa forma, teremos, por exemplo, y
e z em função de x. Logo, de�ne-se x como um parâmetro λ e teremos as equações paramétricas.
Exemplo
Determine a posição relativa, interseção e ângulo entre os planos 
 e .
 Clique na barra para ver as informações.
SOLUÇÃO 
Comparando os coe�cientes das equações gerais dos planos:
Como , assim, os planos π e μ serão planos paralelos.
Desta forma, não existe interseção entre os planos e o ângulo formado entre eles é zero.
ÂNGULOS ENTRE PLANOS
De forma similar às retas, o ângulo entre os planos será o mesmo ângulo entre seus vetores normais. Assim,
sejam os planos π e μ, com vetores normais e . O ângulo θ formado entre os planos será calculado por: 
π
π
Por de�nição, o ângulo entre os planos será sempre o ângulo agudo, isto é, menor ou igual a 90°.
Se o produto escalar , então os dois planos serão ortogonais. Se os planos forem paralelos ou
coincidentes, o ângulo é dito como 0°
Exemplo
Determine a posição relativa, interseção e ângulo entre o plano 2y –
4x – 4z – 2 = 0 e o plano .
 Clique na barra para ver as informações.
SOLUÇÃO 
Convertendo a equação do segundo plano para equação geral. Separando duas das três equações e achando
o valor de β e α em relação às coordenadas:
Comparando agora os coe�cientes das equações gerais dos planos:
Como as duas equações representaram o mesmo plano, portanto os planos π e μ
serão coincidentes. A interseção entre eles é o próprio plano e o ângulo formado entre eles é zero.
 na primeira equação .
Substituindo na segunda: 
Assim, .
Substituindo na equação do 
Exemplo
Determine a posição relativa, interseção e ângulo entre o plano 
 e o plano .
 Clique na barra para ver as informações.
SOLUÇÃO 
Comparando os coe�cientes das equações gerais dos planos 
Como , os dois planos são concorrentes.
Para se obter o ângulo entre os planos: 
 e 
.
Assim, , portanto, 
Fazendo x = λ , então y = 3 – λ e z = 4 – 3λ , λ real.
A reta de interseção dos planos será 
 e 
TEORIA NA PRÁTICA
Na interseção entre duas elevações, existe um rio que segue uma trajetória retilínea. A primeira elevação é
modelada como plano e a segunda elevação é modelada pela equação do plano 
. Qual a equação que modela a trajetória do rio?
No vídeo a seguir o professor vai desenvolver o cálculo que resultará na resposta desta questão.
05:25
MÃO NA MASSA
1. Determine a posição relativa entre os planos 2x + 3y – z + 4 = 0 e 7x – y + 3z – 2 = 0.
Tentar novamente
Comentário
Comparando os coe�cientes entre os planos:
Assim, os planos são concorrentes.
2. Determine a equação do plano que passa pelos pontos e é
perpendicular ao vetor .
CoincidentesA)
ParalelosB)
ConcorrentesC)
ReversosD)
x + 2y + z - 1 = 0A)
x + y - 2z - 7 = 0B)
Comentário
Parabéns! A alternativa "B" está correta.
Resolvendo a equação será obtida a equação geral do plano. P (x, y, z) é um
ponto genérico. → (1,1,- 2).(x- 2,y-3,z-(-1))=0
→ (x - 2) + (y - 3) - 2(z + 1) = 0 → x + y - 2z - 7 = 0.
3. Determine o valor da equação geral do plano que passa pelos pontos A ( 0, 1, 3), B ( 1,
1, 2) e 
C (1, – 2 , 1).
Comentário
Parabéns! A alternativa "C" está correta.
No vídeo a seguir o professor vai desenvolver o cálculo que resultará na resposta desta
questão.
07:53
x - y - 3z - 9 = 0C)
2x + y - z + 1 = 0D)
3x - y + 3z - 5 = 0A)
3x - y + 2z - 8 = 0B)
3x - y + 3z - 8 = 0C)
2x - y + 3z - 8 = 0D)
4. Determine o cosseno do ângulo formado pelos planos x + y – 2 = 0 e 2y – z + 3 = 0.
Tentar novamente
Comentário
Comparando os coe�cientes das equações gerais dos planos:
, os dois planos são
concorrentes.
Para se obter o ângulo entre os planos: 
e . Assim c
5. Sejam os planos 2x + ky = 0 e x + pz + 3 = 0, com k e p reais. Sabe-se que o ângulo entre
os planos vale 60° e que o ponto P (0, 1, 1) pertence ao primeiro plano. Determine o
valor de k + p .2
1A)
B)
C)
D)
0A)
1B)
2C)
3D)
Assim, seu vetor normal será 
 e um ponto deste plano será o ponto (1, 7, 2).
portanto, a equação geral será dada por 
 → (- 2,1,- 2).(x- 1,y-7,z-2) = 0
→ (-2)(x - 2) + (y - 7)-2(z - 2) = 0 → 2x - y + 2z + 1 = 0
Pela equação paramétrica do segundo plano, pode-se obter dois vetores paralelos a este
plano e .
Dessa forma, seu vetor normal será 
 e um ponto deste plano será o ponto (3, 1,
4).
Assim, a equação geral será dada por 
 → (-10, 5, -10).(x - 3, y - 1, z - 4) = 0
(-10)(x - 3) + 5(y - 1) - 10(z - 4) = 0 → 10x - 5y + 10z - 65 = 0
→ 2x - y + 2z - 13 = 0
Comparando-se as duas equações gerais dos planos, veri�ca-se que 
Assim sendo, os planos são paralelos.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
ATENÇÃO!
Para desbloquear o próximo módulo, é necessário que você responda
corretamente a uma das seguintes questões:
Comentário
Parabéns! A alternativa "D" está correta.
No vídeo a seguir o professor vai desenvolver o cálculo que resultará na resposta desta
questão.
05:12
6. Determine a posição relativa entre os planos  e  
Tentar novamente
Comentário
Pela equação paramétrica do primeiro plano, pode-se obter dois vetores paralelos a este
plano e .
CoincidentesA)
ParalelosB)
ConcorrentesC)
ReversosD)
1. O plano passa no ponto e é paralelo aos
vetores e vetores . Determine o valor de .
Comentário
Parabéns! A alternativa "B" está correta.
Obtendo o vetor normal 
Resolvendo a equação será obtida a equação geral do plano.
 → (1,-1 ,1).(x - 2, y - 3, z + 2)= 0 → x - y + z + 3 = 0 → a + b + c + d = 4
2. Marque a alternativa que apresenta a posição relativa entre o plano 2x – y + 4y – 8 = 0 e
o plano α e β reais.
Comentário
Parabéns! A alternativa "C" está correta.
Convertendo a equação do segundo plano para equação geral.
 → Subtraindo: 2z – x = 4 – 2 + 4β – β = 2 + 3 β
3A)
4B)
5C)
6D)
CoincidentesA)
ParalelasB)
ConcorrentesC)
ReversasD)
Então, e, substituindo na equação 
Dessa forma, 
Substituindo na equação do 
Comparando agora os coe�cientes das equações gerais dos planos:
 → dois planos são
concorrentes.
O conteúdo ainda não acabou.
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MÓDULO 4
 Aplicar o conceito de ponto, reta e plano na
determinação de distância entre pontos, retas e planos
INTRODUÇÃO
Nos módulos anteriores, introduzimos os conceitos de ponto, reta e plano.
Neste módulo, aplicaremos estes conceitos na determinação da distância entre pontos, entre ponto e reta e entre
reta e plano.
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Sejam dois pontos no espaço e . A distância entre A e B será dada pelo
módulo do vetor . Assim,
No caso particular do R , os pontos só terão abscissa e ordenada, assim:2
Exemplo
Determine a distância entre os pontos e 
.
 Clique na barra para ver as informações.
SOLUÇÃO 
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E PLANO
Sejam o ponto P (X , Y , Z ) e o plano π com vetor normal (a,b,c) e equação ax + by + cz + d = 0. A distância do
Ponto P ao plano será dada pela projeção vertical do vetor na direção do vetor normal , sendo, portanto, o
módulo do vetor 
P P P
Exemplo
Determine a distância entre os pontos e o plano 
.
 Clique na barra para ver as informações.
SOLUÇÃO 
A equação do plano já está na forma geral. Se estivesse em outro formato,