Trem de Engrenagem

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Maria Ribeiro Machado Pires 
 
 
 
Dinâmica de Máquinas e Vibrações 
PROF. Antônio Wagner Forti 
 
 
 
Trem de Engrenagens 
Trabalho 4 
 
 
 
 
 
Guaratinguetá 
2022 
 
INTRODUÇÃO 
 As engrenagens são usadas para transmitir torque e velocidade angular em diversas 
aplicações. Existem várias opções de engrenagens de acordo o uso a qual ela se destina. A 
maneira mais fácil de se transmitir rotação motora de um eixo a outro é através de dois 
cilindros. Eles podem se tocar tanto internamente como externamente. Se existir atrito 
suficiente ocorrerá deslizamento. Com o objetivo de se aumentar o atrito entre os cilindros, 
fez-se necessária a utilização de dentes que possibilitam uma transmissão mais eficiente e com 
maior torque, é assim que surge uma engrenagem. 
 Neste trabalho sobre trem de engrenagens serão feitas algumas definições e mostrados 
alguns exemplos e suas aplicações. 
 
TEORIA 
 Trens de engrenagens é um acoplamento de duas ou mais engrenagens. Um par de 
engrenagens é a forma mais simples de conjugar engrenagens e é frequentemente utilizada a 
redução máxima de 10:1. Trens de engrenagem podem ser simples, compostos e planetários. 
Sua classificação pode ser dada por engrenagens normais ou planetárias. Os trens normais são 
aqueles que tem o apoio fixo e podem ser do tipo simples, em que cada roda tem seu próprio 
veio, ou compostos, em que há pelo menos duas rodas montadas no mesmo veio, que se 
subdividem em revertidos ou não revertidos. Enquanto que os trens planetários são aqueles que 
pelo menos o eixo de uma roda não é fixo. 
Figura 1: Representação de trem de engrenagem simples, composto e planetário 
respectivamente (USP, 2017): 
 
Simples Composto Planetário 
 
 
Trem de engrenagem simples 
 Trens de engrenagens simples são aqueles que apresentam apenas um eixo para cada 
engrenagem. A relação entre as duas velocidades é dada pela equação abaixo: 
𝑒 = ± (
𝑟𝑒𝑛𝑡
𝑟𝑠𝑎í𝑑𝑎
) = ± (
𝑑𝑒𝑛𝑡
𝑑𝑠𝑎í𝑑𝑎
) = ± (
𝑁𝑒𝑛𝑡
𝑁𝑠𝑎í𝑑𝑎
) 
 A Figura 2 mostra um jogo de engrenagens com 5 engrenagens em série e a equação 
para a relação de velocidades é: 
 
 
 
𝑒 = ± (−
𝑁2
𝑁3
) (−
𝑁3
𝑁4
) (−
𝑁4
𝑁5
) (−
𝑁5
𝑁6
) = ±
𝑁2
𝑁6
 
 
 
 
Figura 2 (UFGC, 2015) 
 
 Cada jogo de engrenagem influi na relação das velocidades, mas no caso de trens 
simples o valor numérico de todas as engrenagens menos a primeira e a ultima são cancelados. 
As engrenagens intermediárias apenas influem no sentido de rotação da engrenagem de saída. 
Se houver um número par de engrenagens o sentido de rotação da ultima será oposto ao da 
primeira. Havendo um número ímpar de engrenagens, o sentido permanecerá o mesmo. É 
interessante notar que uma engrenagem de qualquer número de dentes pode ser usada para 
modificar o sentido de rotação sem que haja alteração na velocidade, atuando como 
intermediária. 
 
Trem de engrenagem composto 
 
 Para se obter reduções maiores que 10:1 é necessário que se utilize trens de engrenagens 
compostos. O trem composto se caracteriza por ter pelo menos um eixo no qual existem mais 
de uma engrenagem.A Figura 3 mostra trens compostos de engrenagens sem reversão (a) e com 
reversão (b): 
 
 
Figura 3 (UFGC, 2015) 
 
 A Figura 3 mostra um trem composto de quatro engrenagens. A relação das velocidades 
é: 
𝑒 = (−
𝑁2
𝑁3
)(−
𝑁4
𝑁5
) 
 Essa equação pode ser generalizada para qualquer número de engrenagens no trem 
como: 
𝑒 = ±
𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑛𝑔𝑟𝑒𝑛𝑎𝑔𝑒𝑛𝑠 𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟𝑎𝑠
𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑛𝑔𝑟𝑒𝑛𝑎𝑔𝑒𝑛𝑠 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑑𝑎𝑠
 
 Nota-se que as engrenagens intermediárias influem diretamente no processo de 
determinação da velocidade de saída e de entrada. Assim uma relação mais elevada pode ser 
obtida apesar da limitação de 10:1 para trens individuais. O sinal positivo ou negativo na 
equação depende do número e do tipo de disposição das engrenagens internas ou externas. 
 
Trem de engrenagem planetário 
 Existem muitas maneiras de empregar engrenagens. Um tipo específico de engrenagens 
é chamado de trem de engrenagens planetárias. Essas resolvem o seguinte problema: supondo 
que se queira uma relação de marcha de 6:1 com a rotação de entrada girando na mesma direção 
da rotação de saída. Uma maneira de criar esta relação é com o seguinte trem de três 
engrenagens: 
 
 
Figura 4: Três engrenagens (UFGC, 2015). 
 Neste trem, a engrenagem azul tem seis vezes o diâmetro da engrenagem amarela, 
fornecendo a relação 6:1. O tamanho da engrenagem vermelha não importa, uma vez que está 
presente apenas para reverter o sentido da rotação, de forma que as engrenagens azul e amarela 
girem da mesma forma. Entretanto, imagine que você queira que o eixo da engrenagem de 
saída seja o mesmo da engrenagem de entrada. Uma situação comum, onde há a necessidade 
de se usar o mesmo eixo, é o da parafusadeira elétrica. Nesse caso você pode usar um sistema 
de engrenagens planetárias, conforme mostrado aqui: 
 
Figura 4: Engrenagem Planetária (UFGC, 2015) 
 Neste sistema, a engrenagem amarela (engrenagem solar) se engrena com todas as três 
vermelhas (engrenagens planetárias) simultaneamente. Todas as três estão ligadas a um prato 
(suporte planetário) e se conectam com o lado interno da engrenagem azul (coroa), em vez de 
se conectarem com seu lado externo. Em razão de existirem três engrenagens vermelhas em 
vez de uma, este trem de engrenagens é extremamente robusto. O eixo de saída é conectado à 
coroa azul e o suporte planetário permanece estacionário, fornecendo a mesma relação de 6:1. 
 As relações em trem de engrenagem planetário são: 
o Sistema fixo (𝑋0, 𝑌0, 𝑍0) 
➢ 𝜔𝑠𝑜𝑙, 𝜔𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒𝑡𝑎, 𝜔𝑎𝑛𝑒𝑙, 𝜔𝑏𝑟𝑎ç𝑜 
o Sistema móvel (𝑋𝑏, 𝑌𝑏 , 𝑍𝑏) 
➢ 𝜔𝑠/𝑏 , 𝜔𝑝/𝑏 , 𝜔𝑎/𝑏 
 
𝑣𝑃/𝑇 = 𝑣𝑃/𝑂 + 𝑣𝑂/𝑇 
↓ 
𝜔𝑠 = 𝜔𝑠/𝑏 + 𝜔𝑏 
𝜔𝑝 = 𝜔𝑝/𝑏 + 𝜔𝑏 
𝜔𝑎 = 𝜔𝑎/𝑏 + 𝜔𝑏 
Em que s/b é sol em relação ao braço. 
 
Figura 5: Trem de engrenagem planetário (USP, 2017) 
 
 
Sintetizando algumas informações de cada tipo de trem de engrenagem: 
SIMPLES COMPOSTO PLANETÁRIO 
Usar razão máxima de até 
10:1 
Eixos são fixos Eixos são fixos e móveis 
Eixos são fixos 
Um dos eixos tem mais de 
uma engrenagem 
Dois graus de liberdade 
Cada eixo tem uma 
engrenagem 
Razão máxima de 10:1 
para cada par e razão 
máxima pode ser maior 
que 10:1 
 
 
APLICAÇÃO 
Roda dentada em ferro fundido com engrenagens de madeira (acionada por roda 
hidráulica externa ) engatada em uma roda dentada em ferro fundido, conectada a 
uma polia com correia de transmissão . Moinho de óleo em Storkensohn ( Haut-Rhin ), França. 
(STRINGFIXER): 
 
 
 
https://stringfixer.com/pt/Cast_iron
https://stringfixer.com/pt/Water_wheel
https://stringfixer.com/pt/Water_wheel
https://stringfixer.com/pt/Pulley
https://stringfixer.com/pt/Drive_belt
https://stringfixer.com/pt/Haut-Rhin
Engrenagem redutora em um forno micro-ondas (STRINGFIXER): 
 
Câmbio Manual - Transmissão automotiva manual de quatro velocidades sincronizada. 
(QUATRO RODAS, 2021): 
 
 
Câmbio Automático - Transmissão automotiva automática de quatro velocidades (PORTAL 
LUBES, 2019): 
 
EXERCÍCIOS 
A Figura 6 representa um trem de engrenagens normal simples de rodas cilíndricas em 
que o pinhão roda no sentido horário com uma frequência de rotação igual a 1500 rpm. Sabendo 
que z1=15, z2=30, z3=20, z4=40 e z5=25, determine: (i) a relação de transmissão do trem; (ii) 
a frequência de rotação da roda 5, indicando as suas magnitude e direção. 
Resposta: 
O cálculo da relação de transmissão num trem de engrenagens normal simples pode ser 
efetuado utilizando a equação, ou seja 
 
A frequência de rotação da roda 5 pode ainda ser determinada do seguinte modo 
 
 
Figura 6 (GUIMARÃES, 2020) 
Na figura 7 está representado um trem de engrenagens normalsimples de rodas cónicas 
constituído por dois engrenamentos. A roda 1 é o órgão motor, a qual roda a 500 rpm. Sabendo 
que z1=18, z2=24 e z3=27, determine: (i) a relação de transmissão do trem, (ii) as frequências 
de rotação das rodas 2 e 3. 
 Resposta: 
A relação de transmissão do trem é dada por 
 
A frequência de rotação da roda 2 pode ser calculada do seguinte modo 
 
De igual modo, a frequência de rotação da roda 3 é obtida da seguinte forma 
 
 
Figura 7 (GUIMARÃES, 2020) 
A figura 8 mostra um trem de engrenagens normal composto de rodas cilíndricas, em 
que se conhece o número de dentes das rodas, isto é, z1=20, z2=45, z3=40, z4=60 e z5=16. 
Atendendo a que o pinhão motor, roda 1, gira com uma frequência de rotação de 1000 rpm no 
sentido horário, determine a frequência de rotação da roda 5, bem como o seu sentido de 
rotação: 
Resposta: 
A relação de transmissão total do trem é dada por 
 
 
Figura 8 (GUIMARÃES, 2020) 
Considere o trem epicicloidal ilustrado na figura 9a sem roda fixa, em que z1=40, z2=20 
e z4=80. Sabendo que a velocidade angular do planetário 1 é de – 100 rad/s e que a velocidade 
angular do anel 4 é igual a +300 rad/s, determine a velocidade angular do porta-satélites 3. 
Resposta: 
Considerando que o planetário 1 é a roda de entrada e que o anel 4 é a roda de saída, 
então da aplicação da fórmula de Willis resulta que 
 
 
Figura 9: – (a) Trem de engrenagens epicicloidal com roda fixa; (b) Inversão do trem em que se fixa o 
porta-satélites e se liberta o planetário. (GUIMARÃES, 2020) 
CONCLUSÃO 
Engrenagens são peças de máquinas circulares rotativas com dentes cortados, ou no 
caso de rodas dentadas ou rodas dentadas, dentes de inserção (chamados de engrenagens) que 
engrenam com outra roda dentada para transmitir torque. Portanto, após as informações aqui 
explicitadas vimos que as engrenagens podem alterar a velocidade, torque e direção da fonte 
de energia. Engrenagens de tamanhos diferentes produzem mudanças de torque por meio de 
suas relações de transmissão, que criam uma vantagem mecânica e podem ser consideradas 
máquinas simples. A velocidade de rotação e o torque de ambas as engrenagens são 
proporcionais aos seus diâmetros. Os dentes de ambas as engrenagens têm a mesma forma. 
 
 
REFERÊNCIAS 
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2010. 9788580550122. Disponível em: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580550122/. Acesso em: 09 fev. 2022. 
ISHY, Guilherme. Elemento de Máquinas Engrenagem. [S. l.], 2017. Disponível em: 
https://www.passeidireto.com/arquivo/36789384/elementos-de-maquinas-engrenagem. Acesso em: 8 
fev. 2022. 
CLAUDIO C. HOLANDA CAVALCANTI, Antonio; DE M. NÓBREGA ALVES, Railson; TÁCIO 
DE S. SOUSA, Tito. Trem de Engrenagem. Campo Grande - PB, 2015. Disponível em: 
https://www.academia.edu/18962854/ELEMENTOS_II_20151_Trens_de_engrenagem. Acesso em: 8 
fev. 2022. 
NAN PAI, Chi. Trem de Engrenagem. São Paulo -SP, 21--?. Disponível em: 
https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/3494565/mod_resource/content/1/Trem%20de%20engrenage
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MARQUES, Filipe; FLORES, Paulo. Órgãos de Máquinas II: Análise e Síntese de Trens de 
Engrenagens. [S. l.], 21--?. Disponível em: https://www.researchgate.net/profile/Paulo-Flores-
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_Analise_e_Sintese_de_Trens_de_Engrenagens/links/5e332249458515072d70f2b6/Orgaos-de-
Maquinas-II-Analise-e-Sintese-de-Trens-de-Engrenagens.pdf. Acesso em: 8 fev. 2022. 
AGUIAR E HENRIQUE RODRIGUEZ , Gabriel. Por que é difícil engatar a primeira marcha em 
movimento? Leia mais em: https://quatrorodas.abril.com.br/auto-servico/por-que-e-dificil-
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