AULA 3 - Sinais e Sistemas

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TEMA 3 – Efeitos no domínio do tempo e da frequência da amostragem e do janelamento de sinais
OBJETIVOS 
· Avaliar o impacto da subamostragem do sinal nos domínios do tempo e frequência.
· Avaliar o impacto da aplicação da janela retangular na resposta em frequência de sinais.
PALAVRAS-CHAVE
Domínio temporal. Domínio frequencial. Subamostragem de sinais. Janelamento. Resposta em frequência de sinais.
TEXTO-BASE
1. Subamostragem dos sinais nos domínios do tempo e frequência e seus impactos
Analogamente aos sinais discretos, os sinais contínuos possuem uma representação em função dos impulsos unitários deslocados. Em um aspecto mais amplo, tal representação se dá por meio da integral de convolução, isto é:
com um sinal contínuo qualquer, a variável indicativa de tempo contínuo e a variável de integração da integral de convolução.
Os sinais (tanto contínuos, como discretos) são funções, e e também são funções: de entrada e saída, respectivamente. Essas nomenclaturas se devem ao fato de ambas funções ( e ) fazerem parte de um processo de manipulação, tratamento, modificação, transformação de sinais (denominado de sistema) e, é por isso que também é comum que as funções de entrada e de saída sejam chamadas, por vários autores, de sinais de entrada e de saída (Ver Figura 12).
Figura 12: Diagrama de blocos de um sistema generalizado simples – Generalização das figuras destacadas pela fonte.
Fonte: (SIMON HAYKIN; BARRY V. VEEN. 2001)
Na figura acima, percebe-se que em um sistema há uma íntima relação entre as partes envolvidas: o sinal de entrada, o operador (o qual também é uma função) e o sinal de saída (também conhecido como resposta do sinal de entrada). Essa relação é conhecida como interconexão de sinais, ou seja, o operador do sistema faz a interconexão entre o sinal de entrada e a sua resposta.
Matematicamente, a interconexão entre os sinais e (representado pelo diagrama de blocos da Figura 12) é entendida como: , fato que pode produzir um sinal de saída com propriedades distintas do sinal de entrada.
1.1.1 Tipos de sistemas e suas propriedades
Assim como os sinais, existem vários tipos de sistemas, os quais são classificados tanto pela variável de referência, contínua ou discreta (ver figuras 13 e 14), quanto pela existência, ou não, de propriedades importantes no tratamento de sinais. Essas propriedades são herdadas da Álgebra e das Análises real e complexa. 
Figura 13: Diagrama de blocos de um sistema contínuo.
Figura 14: Diagrama de blocos de um sistema discreto.
Fonte: (SIMON HAYKIN; BARRY V. VEEN. 2001)
As principais propriedades a serem verificadas em um sistema são:
· Causalidade - um sistema é causal quando ele não depende, em hipótese alguma, de sinais de entrada em tempos futuros: , com , na versão contínua e
, com , na versão discreta do sistema;
· Aditividade - dados dois ou mais sinais de entrada, não-nulos e diferentes entre si. Um sistema é aditivo se, e somente se, a modificação da somatória dos sinais de entrada for exatamente a soma das modificações dos sinais:, para todo ;
· Homogeneidade - dado um sinal de entrada não-nulo, um sistema é homogêneo, quando a transformação do produto do sinal por um escalar, diferente de zero, for igual ao produto da transformação do sinal pelo mesmo escalar: , qualquer que seja ;
· Linearidade - um sistema é linear se, e somente se, ele for aditivo e homogêneo: , para todo e ;
· Estabilidade - dada uma quantidade finita de sinais (não-nulos) diferentes entre si, um sistema é estável, quando essa quantidade finita de sinais de entrada implicar em uma quantidade finita ou, no mínimo, uma quantidade controlada de suas respostas;
· Invariância - um sistema é invariante quando o comportamento gráfico dos sinais não se modifica com as mudanças temporais.
Os sistemas abordados, ao longo do curso, são aqueles que possuem, pelo menos, duas propriedades básicas: a linearidade e a invariância. Tais sistemas são conhecidos como sistemas lineares e invariantes no tempo (LIT). Havendo a possibilidade de algum sistema ser, também, causal, então, tratar-se-á de um sistema linear, causal e invariante no tempo (LCIT).
Ainda que o foco do curso sejam sistemas LIT, é importante destacar a diferença que há na abordagem matemática dos sistemas de sinais contínuos e discretos; a principal distinção entre eles é que os sistemas contínuos são matematicamente modelados por meio de equações diferenciais (veja a seguir um dos exemplos de sistemas LCIT contínuo):
Por sua vez, os sistemas discretos são modelados via equações de diferenças (veja a seguir um dos exemplos de sistemas LCIT discreto):
1.1.2 Transformada e Série de Fourier
Quando se trata de análises de sinais e de suas respostas fornecidas por um sistema, há casos em que certas operações entre os sinais envolvidos são melhor executadas, mediante a uma mudança de referencial, domínio. Os domínios comumente abordados em análises de sistemas são: tempo e frequência.
A operação responsável pela mudança do domínio temporal de um sinal contínuo para o domínio frequencial do mesmo sinal é a transformada de Fourier: , na qual é a unidade imaginária e é espectro de frequência do sinal , a qual pode ser aplicada tanto a sinais aperiódicos (não-periódicos) quanto a sinais periódicos.
Analogamente, a operação responsável pela mudança do domínio temporal de um sinal discreto para o domínio frequencial do mesmo sinal é a série de Fourier que, de acordo com OPPENHEIM et al (2010), possui o seguinte formato:
, em que é conhecido como espectro de frequência do sinal .
Uma vez realizadas as devidas análises espectrais frequenciais, dentro das condições previstas, pode-se aplicar a transformada inversa de Fourier para voltar ao domínio do tempo. No caso dos sinais contínuos:
 e , para a versão discreta dos sinais, qualquer que seja .
É importante destacar que os sinais são periódicos quando os seus gráficos se repetem e completam um ciclo, dentro de um intervalo de tempo, ou seja, possuem um período ( para sinais contínuos e para sinais discretos). A frequência de um sinal periódico ( para sinais contínuos e para sinais discretos) é definida como o número de ciclos, repetições dentro de um intervalo de tempo.
Outro detalhe importante é que os menores valores de período e frequência são chamados de período fundamental ( para sinais contínuos e para sinais discretos) e frequência fundamental ( para sinais contínuos e para sinais discretos).
Além disso, a versão contínua da equação em que se encontra o período fundamental e a frequência fundamental é: e é a versão discreta da mesma equação, sendo que a frequência é encontrada no argumento do sinal periódico como sendo um múltiplo de e ser o menor inteiro para que também seja inteiro.
1.1.3 Efeitos da amostragem de sinais
A transformada de Fourier e a sua inversa proporcionam algumas análises com uma maior riqueza de detalhes e informações. Essa riqueza de detalhamento se justifica pela íntima relação que há entre o período e a frequência: .
Com essa equação, chega-se às seguintes conclusões:
· Quanto maior for o número de informações do sinal de entrada no domínio do tempo (isto é, quanto menor for o período de uma informação para outra), menor será a quantidade de informações espectrais de frequência (ou seja, maior será a banda de frequência de uma informação espectral para a outra); tal fenômeno analítico é chamado de sobreamostragem temporal.
· Quanto menor for o número de informações do sinal de entrada no domínio do tempo (isto é, quanto maior for o período de uma informação para outra), maior será a quantidade de informações espectrais de frequência (ou seja, menor será a banda de frequência de uma informação espectral para a outra), gerando uma sobreposição (aliasing) dos espectros; tal fenômeno analítico é denominado de subamostragem temporal.
Essas conclusões ficam ainda mais evidentes, quando se utiliza o produto e a convolução de, pelo menos, dois sinais, pois uma das propriedades notáveis das transformadas(de Fourier, Laplace, e de qualquer outra transformada) é a relação de implicação entre o produto de sinais e a convolução de sinais.
2. Teorema da convolução (demonstração).
Dentre os desenvolvimentos das transformadas e das suas inversas, a propriedade de grande relevância para estudos de amostragem de sinais é a convolução de dois sinais temporais, a convolução de dois espectros de frequência e as consequências de cada uma, as quais são resultados da demonstração do Teorema da Convolução. Acompanhe a seguinte demonstração:
Sejam funções integráveis, , cujos respectivos gráficos são (ver figura abaixo):
Os gráficos abaixo traduzem o que de fato vem a ser uma convolução entre duas funções (ver figura):
Matematicamente, nota-se que as funções e podem ser interpretadas como, respectivamente:
Além disso, perceba que com . Logo:
Com isso tudo em mente, perceba que, dadas duas funções definidas por integrais impróprias, com limites de integração eternos (][), nota-se que:
e
onde e são os núcleos das transformadas integrais das funções () e (), respectivamente. Ao fazer , tem-se que:
Ao fazer uma substituição simples de variáveis, usando , tem-se que: ; com e com , logo, tem-se que:
Fazendo , percebe-se que:
Já que e, lembrando que:
logo:
() Admita que e possuam transformadas integrais inversas (anti-transformadas integrais), tais que:
e
onde e são os núcleos das anti-transformadas integrais das funções e , respectivamente. Ao fazer , tem-se que:
Ao fazer uma substituição simples de variáveis, usando , tem-se que: ; com e com , logo, tem-se que:
Fazendo , percebe-se que:
Já que e, lembrando que:
logo:
Em outras palavras: nota-se que a convolução de dois sinais temporais (realizada por meio de uma transformada que transforme sinais temporais em espectros de sinais) é exatamente o produto de dois espectros de frequência, enquanto que a convolução de dois espectros de frequência (realizada por meio de uma transformada inversa) deve ser exatamente o produto de dois sinais temporais (um desses é o sinal de entrada e o outro é um dos filtros do sistema de processamento de sinais).
3. Janelamento de sinais e de espectros
Como em qualquer outro estudo científico, aqui se encontram dois cenários: o teórico (o ideal, utópico) e o prático (real). Com o estudo de filtros de sinais, não seria diferente.
De fato há, fundamentalmente, dois tipos de sinais: os ideais (assim designados pela total resolução, pureza, verossimilhança, transparência, nitidez, em termos de modulação de um sinal de entrada [durante a difusão de um sinal de entrada], a ponto de não haver distorção alguma das informações oriundas do sinal de entrada) e os reais (conhecidos por possuírem uma porcentagem de resolução [podendo ser alta ou baixa], o que implica em uma boa, ou pouca, aproximação para com o sinal de entrada [durante a difusão deste], havendo, portanto, uma relativa distorção das informações).
O papel fundamental dos filtros (sejam eles ideais ou reais) é de selecionar (filtrar) dados; funcionalidade essa conhecida como filtragem ou, ainda, janelamento de sinais (sejam eles periódicos ou aperiódicos).
O tipo de janelamento de um sinal depende, basicamente, do tipo de filtro. Dentre os mais variados tipos de janelas (filtros), uma das mais utilizadas é a janela retangular, também conhecida como trem de impulsos unitários que, por sua vez, é definido por uma sequência de impulsos unitários deslocados no tempo.
Seguem as respectivas versões contínua e discreta do trem de impulsos unitários: e . Como fora dito anteriormente, o trem de impulsos unitários é uma das janelas responsáveis pela filtragem, discretização, seleção de informações, acerca dos sinais de entrada, cujo processo depende do período analítico de referência, seja ele um período de adiantamento, seja ele um de atraso.
Vale destacar que o processo de janelamento também é aplicável aos espectros de frequência e ao unir esse fato com o conhecimento de que o adiantamento implica em uma superamostragem, assim como o atraso implica em uma subamostragem (seja de sinais, seja de espectros). Assim, tornam-se possíveis as seguintes conclusões:
· Quanto maior for o número de informações do espectro de frequência (isto é, quanto menor for a banda de frequência de uma informação espectral para outra), menor será a quantidade de informações temporais de um correspondente sinal de entrada (ou seja, maior será o período de uma informação para a outra); isto é o que caracteriza a superamostragem espectral de frequência.
· Quanto menor for o número de informações espectrais de frequência (isto é, quanto maior for a banda de frequência de uma informação espectral para outra), maior será a quantidade de informações temporais de um correspondente sinal de entrada (ou seja, menor será o período de uma informação para a outra), que é o que define a subamostragem espectral de frequência.
· A sobreamostragem temporal (ou seja, o rico detalhamento de informações temporais de um sinal), com o uso de uma transformada integral (no caso contínuo), ou de uma série (no caso discreto), gera: uma subamostragem espectral, quedas progressivas de amplitudes dos espectros e, consequentemente, uma perda de informações espectrais, o que prejudica a eventual recuperação do sinal de entrada; De acordo com VELASQUEZ(INTRODUÇÃO AO TEOREMA DE NYQUIST: Aliasing e Amostragem por Trem de Impulsos | Sinais e Sistemas, 2021) e SEABRA (Eletrônica Aplicada - Aula 19 - Ruído em Circuitos Eletrônicos, UNIVESP, 2016), no domínio do tempo, o sistema estaria captando ruídos oriundos de interferências (construtivas e/ou destrutivas) provindas de ondas eletromagnéticas causadas por situações aleatórias (muito comuns em circuitos elétricos e eletrônicos) como: os componentes de um circuito (resistor(es), capacitor(es), indutor(es), ...) e o próprio sistema;
· A subamostragem temporal (isto é, o précário detalhamento de informações temporais de um sinal), com o uso de uma transformada integral (no caso contínuo), ou da série (no caso discreto), gera uma sobreposição de informações espectrais (aliasing espectral), fato que resulta em ruídos provenientes de interferências espectrais destrutivas, o que também gera perdas de informações do sinal de saída no domínio temporal.
O efeito do aliasing é evidente em amostragens cujas frequências de amostragem são menores que o dobro da frequência máxima do espectro do sinal de entrada (ver exemplos na figura abaixo).
Fonte: OPPENHEIM, Alan V.; WIILLSKY, Alan S.; NAWAB, Syed H. 2010, página 315
Essas conclusões são de alta importância no que cerne à recuperação de dados (analógicos [sinais discretos] ou digitais [sinais contínuos]), dando utensílios aos procedimentos de segurança de dados (via criptografia), e no que cerne à quebra de bloqueios de dados sigilosos como sendo as principais aplicações da amostragem e do janelamento (de sinais e de espectros de frequência). 
Ainda no contexto do cotidiano, a forma de amostragem de sinais é de grande relevância no dimensionamento de filtros adequados, a fim de eliminar, ou diminuir, a aparição de ruídos no sistema de controle, com o intuito de evitar ao máximos as eventuais perdas de informações e proporcionar a recuperação de sinais com uma maior qualidade possível, já que, na prática, utiliza-se de filtros não-ideais.
SAIBA MAIS
O pleno entendimento dos conceitos apresentados é de grande importância na solidificação de carreiras periciais de Engenharias, Computação e das demais áreas correlacionadas (Matemática, Física, Tecnologia da Informação etc.). Ressalta-se, nesse material indicado, um detalhamento desses conceitos com outra percepção, com o objetivo de melhor solidificar a compreensão acerca deles.
VELASQUEZ, Ester. Sinais e Sistemas - Sistemas LIT Causais descritos por Equações de Diferenças. 2021. (Canal: Matemateca). Disponível em: 
https://youtu.be/QCHUNh55q0o. Acesso em: 17 jun. 2021.
VELASQUEZ, Ester. Sinais e Sistemas - Como representar Sinais Periódicosusando Série de Fourier de Tempo Discreto? 2021. (Canal: Matemateca). Disponível em: 
https://youtu.be/FUssYSOHDoI. Acesso em: 17 jun. 2021;
VELASQUEZ, Ester. INTRODUÇÃO AO TEOREMA DE NYQUIST: Aliasing e Amostragem por Trem de Impulsos | Sinais e Sistemas, 2021. (Canal: Matemateca). Disponível em: https://youtu.be/QUEw6JT-BQc. Acesso em: 13 set. 2021;
SEABRA, Antônio Carlos. Eletrônica Aplicada - Aula 19 - Ruído em Circuitos Eletrônicos , 2016. (Canal: UNIVESP). Disponível em: https://youtu.be/K7jVTqtk6XE. Acesso em: 13 set. 2021;
ABREU, Luciano. Análise no domínio da frequência - Amostragem de um sinal. 2012. Disponível em:
https://youtu.be/QRzRcj4DA_o. Acesso em: 17 jun. 2021.
DICA DE LEITURA
Embora, até aqui, os conceitos essenciais tenham sido abordados, esses materiais elucidam a amostragem de sinais e o janelamento deles, de maneira mais precisa.
OPPENHEIM, Alan V.; WIILLSKY, Alan S.; NAWAB, Syed H. Sinais e Sistemas. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2010. 592 p;
NISE, Norman S. Engenharia de Sistemas de Controle. LTC. 2009. 706p.
FINALIZANDO
O conteúdo de amostragem e filtragem aqui abordados são de grande relevância nas áreas de Tecnologia da Informação, Informática, Segurança de dados e outras demais correlatas; notadamente as que possuem partes periciais.
Vale destacar que, em meio à essa sociedade líquida de Bauman, os princípios norteadores mais sólidos nunca foram tão requisitados e necessários como nos dias atuais. Por isso, é muito importante que os estudantes fiquem atentos, a todo momento, à procura de resultados e informações confiáveis oriundos de novas descobertas, usando, sempre, o bom senso. 
REFERÊNCIAS
OPPENHEIM, Alan V.; WIILLSKY, Alan S.; NAWAB, Syed H. Sinais e Sistemas. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2010. 592 p.
NISE, Norman S. Engenharia de Sistemas de Controle. LTC. 2009. 706p.
 
DÚVIDAS FREQUENTES
1) O que são e ?
Resposta - São exponenciais imaginárias, as quais serão melhor abordadas na próxima aula.
2) Já que coisas ideais não existem, por que estudar filtros ideais?
Resposta - O estudo de filtros ideais é essencial para se dimensionar filtros com resoluções de alta qualidade e com distorções cada vez menores.
3) O que vem a ser uma aliasing de fato?
Resposta - Aliasing representa uma interferência, um falseamento sofrido pelos espectros de frequência sobrepostos em decorrência da subamostragem temporal.
4) Como visualizar, matematicamente, a implicação que há entre o produto de sinais e a convolução de espectros de frequência e vice-versa, usando a transformada de Fourirer e a sua inversa nos respectivos processos?
Resposta - O produto de dois sinais é facilmente visto como: . Aplicando a Transformada de Fourirer:
No domínio da frequência, o produto de espectros é visto como: . Aplicando a Transformada Inversa de Fourier:
QUESTÕES DE SISTEMATIZAÇÃO DA APRENDIZAGEM
QUESTÃO 1
Em meio a cenários pandêmicos, a utilização de filtros de informações e de meios de comunicação são de extrema importância para que não haja a propagação de fake News, nem de fofocas. 
Em Jornalismo, estuda-se que o meio difusores de informação ideais são imparciais, plenamente transparentes, que transmitem informações recebidas com exatidão, sem distorção alguma.
Fazendo um paralelo entre as duas asserções acima , julgue as sentenças abaixo como verdadeiras (V) ou falsas (F).
I. O filtro de um sinal de entrada de um sistema ideal possui característica análogas aos meios ideais de difusão da informação.
II. Analogamente aos telejornais atuais, assim também são os filtros de sinais atuais: possuem nenhuma porcentagem de distorção dos dados recebidos.
III. Assim como na disciplina de Sinais e Sistemas, no Jornalismo também é possível recuperar uma informação distorcida por meio da comparação, interpolação, de dados, de notícias.
A alternativa correta é a letra
A) V, F, V
B) V, V, V
C) F, V, F
D) F, F, F
E) F, V, V
Feedback da resposta certa
A alternativa “a” é de fato a correta, pois, na afirmação I, os filtros ideais de sinais em muito se assemelham ao jornalismo ideal, devido à plena transparência ser algo em comum entre eles; a proposição II é falsa, porque nem os telejornais atuais, nem os filtros atuais de sinais são ideais; ambos possuem um relativo percentual de distorção. A asserção III está certa, pois a principal técnica de recuperação de dados é a comparação e a interpolação de informações, oriundas de outras fontes, de outros sistemas.
Feedback das respostas erradas
A alternativa “b” está errada pelo fato de a afirmação II ser falsa; a alternativa “c” não está certa, porque as proposições I e III são verdadeiras e a asserção II é falsa; a alternativa “d” está incorreta pelo fato de apenas a afirmação II ser falsa; a alternativa “e” está errada, porque a afirmação I é de fato verdadeira e a asserção II é falsa. 
QUESTÃO 2
Nas temporadas de verão, o uso do ar condicionado é desejável pela maioria da população, e um bom ar condicionado, em pleno funcionamento, é o que possui um filtro de ar que retenha um grande número de partículas sólidas em suspensão. Analise os gráficos a seguir.
Fonte: ABREU, Luciano. Análise no domínio da Frequência – Amostragem de um sinal. 2012. Disponível em: https://youtu.be/QRzRcj4DA_o
Considere que o gráfico representa a quantidade de partículas sólidas em suspensão no ar ao longo do tempo; o gráfico representa a filtragem do ar feita pelo filtro do ar condicionado ao longo do tempo; e que o gráfico representa a quantidade de partículas sólidas retidas pelo filtro do ar condicionado ao longo do tempo.
NESSAS CONDIÇÕES
Pode-se concluir que
A) o filtro do ar condicionado está em ótimas condições de uso.
B) a refrigeração do ar condicionado está nos conformes.
C) a refrigeração do ar condicionado está com defeito.
D) o filtro do ar condicionado está com problemas de filtragem.
E) nenhuma das alternativas anteriores está correta.
Feedback da resposta certa
A alternativa “d” é a opção correta, pois é notório que a quantidade de partículas sólidas retidas pelo filtro do ar condicionado, ao longo do tempo, em nada se aproxima da quantidade de partículas sólidas em suspensão no ar, ao longo do tempo, antes do processo de filtragem. Esse fato se torna ainda mais evidente quando se esboça os espectros de frequência.
Feedback das respostas erradas
A alternativa “a” é uma opção incorreta, porque, claramente, pela análise gráfica, percebe-se que o filtro do ar condicionado está com problemas de funcionamento, seja por excesso de partículas sólidas acumuladas, seja por algum defeito de fabricação. A alternativa “b” não é uma opção correta pelo fato de a refrigeração do ar condicionado estar fora do contexto de análise; a alternativa “c” é uma opção errada, pelo mesmo motivo do item anterior; e alternativa “e” não é uma opção correta pelo fato de haver apenas uma proposição verdadeira: a da letra “d”.
QUESTÃO 3
Dentre as contribuições de Joseph Fourier, as mais importantes foram as séries de senos e cossenos com coeficientes constantes e as consequentes integrais, as quais fazem a ponte entre os números reais e os imaginários.
A Transformada de Fourier de um sinal
A) gera um correspondente espectro de frequência, dando condições para eventuais análises gráficas no domínio da frequência.
B) é uma mudança temporal que resulta em deslocamento vertical do sinal para cima, identificada pela divisão do sinal por uma constante.
C) assemelha-se à reflexão, facilmente identificada pela simetria especular do gráfico em relação ao eixo horizontal.
D) é uma transformação comportamental do gráfico que modifica a(s) amplitude(s) do sinal.
E) é uma mudança de variável no tempo do sinal que resulta no deslocamento do sinal para a direita.
Feedback da resposta certa
A alternativa “a” está correta por ser exatamente a consequência da aplicação da Transformada de Fourier de um sinal.
Feedback das respostas erradas
A alternativa “b” não está correta, porque a Transformada de Fourier em nada modifica com relação ao tempo do sinal; a alternativa “c”está errada, pois a Transformada de Fourier promove uma transformação no sinal que em nada se assemelha com a reflexão gráfica do mesmo; a alternativa “d” está errada pelo fato de a Transformada de Fourier não modificar a(s) amplitude(s) de um sinal; a alternativa “e” não é verdadeira em virtude de a Transformada de Fourier não ser uma mudança de variáveis no tempo.
QUESTÃO 4
O principal processo que grande parte das empresas de mídia têm investido para preservar e manter seguros os dados pessoais digitais é a Criptografia. Graças a ela que a maior parte dos backups diários, semanais e/ou mensais são protegidos. 
Dados gerados diariamente, semanalmente, mensalmente ou até anualmente, em sua maioria, são interpretados como informações discretas. 
Sejam e a quantidade de compartilhamento de vídeos e número de fotos compartilhadas diariamente, respectivamente.
I. A soma dessas informações gera um sistema linear.
II. Tratam-se de informações discretas aperiódicas.
III. O período fundamental dessas informações é de 6 dias.
IV. Essas informações não são LIT.
É verdadeiro o que se afirma em 
A) I e III, apenas.
B) II e IV, apenas.
C) II apenas.
D) II, III e IV, apenas.
E) I, II, III e IV.
Feedback da resposta certa
A alternativa “a” é a correta, porque as únicas proposições corretas estão na asserção I e na afirmação III, pois, em I, a soma das informações gera, sim, um sistema linear; basta comparar a combinação linear das duas informações a uma terceira informação de modo que essa seja uma combinação linear das duas primeiras e, em III, ao notar que e ao utilizar a equação:
 é percebível que e isso implica que ; como é o menor inteiro para que também seja inteiro, então e, portanto, dias.
Feedback das respostas erradas
A alternativa “b” não é a correta, pois as afirmações II e IV não são verdadeiras pelos seguintes fatos: 1) as informações são periódicas e 2) ambas informações geram um sistema LIT por meio da soma delas; basta verificar que a soma parcial dos atrasos, ou adiantamentos, em dias, de ambas informações, é igual a soma das mesmas informações em atraso, ou adiantamento, em dias. A alternativa “c” não está correta porque a afirmação II está errada, anteriormente justificada; a alternativa “d” não é correta, pois, apesar da afirmação III ser verdadeira, as afirmações II e IV são falsas; a alternativa “e” não está correta pelo fato de, apenas, as proposições I e III serem verdadeiras.
QUESTÃO 5
Em meio a era digital, uma das primeiras ferramentas convertidas da sua versão analógica para o digital foi o relógio. 
Assim, com a sua versão digital, as pessoas logo se adaptaram com o novo hábito de olhar no relógio com os números claramente expostos com precisão de minutos, segundos e centésimos de segundo, em alguns casos.
Suponha que seja o sinal que represente a configuração dos números do relógio digital.
Ao se efetuar a adição de uma constante positiva ao argumento de , deve-se se atentar à configuração numérica modificada.
POIS
I. A adição de uma constante positiva ao argumento de um sinal é uma transformação que implica na aceleração do sinal. Essa funcionalidade é muito útil em viagens internacionais em cujos países sejam de fusos horários adiantados.
APESAR
Da modificação, o sinal continua gerando um sistema digital LIT.
A) As afirmações I, II e III são falsas.
B) As asserções I, II e III são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. 
C) As afirmações I e III são verdadeiras, e a II é uma proposição falsa.
D) A asserção I é uma proposição falsa, e as asserções II e III são proposições verdadeiras.
E) As sentenças I, II e III são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. 
Feedback da resposta certa
A alternativa “e” é a correta porque, de fato, as asserções I, II e III são informações que se complementam, pois a união das duas primeiras sentenças é a definição de mudança temporal do tipo adiantamento, e o sinal gera, sim, um sistema LIT pelo fato de os números do relógio em adiantamento gerarem um relógio digital com as horas adiantadas.
Feedback das respostas erradas
A alternativa “a” está errada pelo fato de todas as afirmações serem verdadeiras; a alternativa “b” está errada, pois a afirmação II é a justificativa I; a alternativa “c” está errada porque a afirmação II é, também, uma proposição verdadeira; a alternativa “d” não é correta, pois a asserção I é verdadeira também.
 
 
TEMA
 
3
 
–
 
Efeitos no domínio do tempo 
e da frequência da amostragem 
e
 
do janelamento de sinais
 
 
OBJETIVOS 
 
?
 
Avaliar o impacto da subamostragem do sinal nos
 
domínios do tempo 
e frequência
.
 
?
 
Avaliar o impacto da aplicação da janela retangular na resposta em 
fre
quência de sinai
s
.
 
 
PALAVRAS
-
CHAVE
 
Domínio temporal
. 
Domínio frequencial
. 
Subamostragem de sinais
. 
Janelamento
. 
R
esposta em 
frequência
 
de sinais
.
 
 
TEXTO
-
BASE
 
1.
 
Subamostragem dos sinais nos domínios do tempo e frequência e 
seus impactos
 
 
Analogamente aos sina
is discretos, os sinais contínuos possuem uma 
representa
ção em função dos impulsos unitários deslocados
.
 
Em um aspecto 
mais amplo, t
al representação se dá 
por meio da integral de convolução
,
 
isto é:
 
 
??
?
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?
=
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+
8
-
8
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*
??
(
??
)
 
 
com 
??
(
??
)
 
um sinal contínuo qualquer, 
??
 
a variável indicativa de tempo contínuo 
e 
??
 
a variável de integração da integral de convolução
.
 
Os
 
sinais (tanto contínuos, como discretos) são funções
,
 
e 
??
 
e 
??
 
também 
são funções: de entrada e saída, respectivamente.
 
Es
s
as nomenclaturas se 
devem ao fato de ambas funções (
??
 
e 
??
) fazerem parte de um processo de 
manipulação, tratamento, modificação
, transformação de sinais (denominado 
de sistema)
 
e, é por isso que também é comum
 
que as funções de entrada e 
de saída sej
am 
chamadas, 
por vários autores
, de sinais de entrada e de saída
 
(Ver Figura 12)
.
 
 
 
TEMA 3 – Efeitos no domínio do tempo e da frequência da amostragem e 
do janelamento de sinais 
 
OBJETIVOS 
? Avaliar o impacto da subamostragem do sinal nos domínios do tempo 
e frequência. 
? Avaliar o impacto da aplicação da janela retangular na resposta em 
frequência de sinais. 
 
PALAVRAS-CHAVE 
Domínio temporal. Domínio frequencial. Subamostragem de sinais. 
Janelamento. Resposta em frequência de sinais. 
 
TEXTO-BASE 
1. Subamostragem dos sinais nos domínios do tempo e frequência e 
seus impactos 
 
Analogamente aos sinais discretos, os sinais contínuos possuem uma 
representação em função dos impulsos unitários deslocados. Em um aspecto 
mais amplo, tal representação se dá por meio da integral de convolução, isto é: 
 
????=????????-??????
+8
-8
=????*??(??) 
 
com ??(??) um sinal contínuo qualquer, ?? a variável indicativa de tempo contínuo 
e ?? a variável de integração da integral de convolução. 
Os sinais (tanto contínuos, como discretos) são funções, e ?? e ?? também 
são funções: de entrada e saída, respectivamente. Essas nomenclaturas se 
devem ao fato de ambas funções (?? e ??) fazerem parte de um processo de 
manipulação, tratamento, modificação, transformação de sinais (denominado 
de sistema) e, é por isso que também é comum que as funções de entrada e 
de saída sejam chamadas, por vários autores, de sinais de entrada e de saída 
(Ver Figura 12).