(C)-GEOMETRIA-ANALÍTICA-ESPACIAL-com-a-LINGUAGEM-VETORIAL-(P2)

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A RETA NO REFERENCIAL CARTESIANO ESPACIAL
1) CONCEITO
“Dois pontos distintos determinam uma única reta”.
Sejam dados, num Sistema Cartesiano Ortogonal ( 0, ), dois pontos distintos, A e B. 
Tais pontos determinam uma única reta r, a qual pertencem. Se A e B são distintos, então o vetor = B-A não é nulo. Um ponto X do espaço pertencerá à reta r se, e somente se, os vetores X-A e B-A forem paralelos. Em outras palavras, existe um número real m tal que:
	X-A = m (B – A) 
 Sendo B-A = , tem-se: X - A = m ou, simplesmente,
	X = A + m 
Que é a EQUAÇÃO VETORIAL PARAMÉTRICA DE UMA RETA NO ESPAÇO E3.
( OBS.: O vetor B-A = é chamado de VETOR – DIRETOR da reta r . )
EXEMPLO: Ache a equação da reta determinada pelos pontos A = (2, 0, 3) e B = (6, 8, 4).
(A) Ache um outro ponto C pertencente à essa reta;
(B) O ponto P = (4, 4, 3) pertence a essa reta? 
SOLUÇÃO:Considere = B-A = (6, 8, 4) – (2, 0, 3) = (4, 8, 1). Assim, a equação vetorial paramétrica dessa reta é X = (2, 0, 3) + m (4, 8, 1), m R.
(A) Efetuando-se a substituição de m por qualquer número real, na equação acima, encontra-se um particular ponto pertencente à reta AB, que será chamado de C .
 Por exemplo, para m = 2, tem-se: X = (2, 0, 3) + 2 (4, 8, 1) = (10, 16, 5) 
 Então, o ponto C = (10, 16, 5) pertence à reta AB.
(B) 
O ponto P = (4, 4, 3) pertencerá à reta AB se existir um número real mtal que (4, 4, 3) = (2, 0, 3) + m (4, 8, 1) (2, 4, 0) = m (4, 8, 1) 2 = 4 m , 4 = 8 m e 0 = m 1. As soluções destas três últimas equações não são iguais, isto mostra não existe um únicomreal que verifique a igualdade anterior, logo o ponto P não pertence à reta AB
2) FORMAS DE EQUAÇÃO DE RETA
As principais formas de equação de uma reta, no espaço tridimensional, são:
(A) EQUAÇÃO VETORIAL PARAMÉTRICA
X = A + m , sendo:
A = um ponto conhecido da reta , X = um ponto genérico da reta ,
 = vetor-diretor (não nulo) e M = um número real qualquer .
(B) EQUAÇÕES CARTESIANAS PARAMÉTRICAS
 Seja uma reta cuja Equação Vetorial Paramétrica é X = A + m , sendo A = (x0, y0, z0) e = ( a, b, c) . Assim, um ponto qualquer dessa reta, X = (x, y, z), é dado por: (x, y, z) = ( x0, y0, z0) + m (a, b, c) , donde conclui-se que: 
x = x0 + m.a 
 y = y0 + m.b (m R) 
 z = z0 + m.c 
 que são as EQUAÇÕES CARTESIANAS PARAMÉTRICAS dessa reta.
(C) EQUAÇÕES REDUZIDAS
 São as equações obtidas a partir da eliminação do parâmetro, isto é, acha-se o parâmetro m em uma das três equações e substitui nas outras duas, obtendo-se, assim, duas equações, como mostra o exemplo abaixo.
EXEMPLO: Considere a reta de equação X = (2, 0, 3) + m (4, 8, 1). Achar as 
(A) Equações Cartesianas Paramétricas dessa reta; 
(B) Equações Reduzidas, dessa reta. x = 2 + 4 m 
SOLUÇÃO: (A) (x, y, z) = (2, 0, 3) + m (4, 8, 1) y = 8 m 
 z = 3 + m, 
 que são as equações cartesianas paramétricas da reta. 
(B) da última equação, tem-se: m = z - 3 . Substituindo essa expressão de 
m nas outras duas equações, obtém-se as equações reduzidasda reta.
 x = 2 + 4 . (z – 3) e y = 8 . ( z – 3 ) , isto é:
 x = - 10 + 4.z 
 y = -24 + 8.z
3) OBTENÇÃO DE EQUAÇÕES DE UMA RETA
 Uma reta fica determinada, no espaço, por exemplo: 
1ª) POR DOIS PONTOS DISTINTOS
Dados dois pontos do espaço, A e B, a reta, a qual esses dois pontos pertencem, tem equação: X = A + m ( B-A), onde m R.
2ª) POR UM PONTO E UM VETOR–DIRETOR
Dados um ponto do espaço, A, e um vetor não nulo, , a reta que passa por esse ponto e cuja direção é a do vetor , tem equação: X = A + t , onde t R.
3ª) POR UM PONTO E DIREÇÃO DE UMA OUTRA RETA
Um ponto do espaço A, e uma reta s, cuja equação é X = B + m , então a equação da reta que passa por A e é paralela à reta s tem equação: X = A + h , onde h R.
EXEMPLO: Sejam dados os pontos A = (1,2,3) e B = (5,7,4), achar uma equação vetorial paramétrica da reta e, em seguida, suas equações cartesianas paramétricas, em cada caso.
(A) Determinada pelos pontos A e B ;
(B) 
 Contém o ponto A e tem a direção do vetor = ( 2, -1, 7)
(C) Contém o ponto B e tem a direção da reta (s) de equação X = (4,1,7) + h.(5,3,1,) .
SOLUÇÃO: 
x = 1 + 4.m
(A) X = (1,2,3) + m . (4, 5, 1) , donde: y = 2 + 5.m
 z = 3 +1 . m 
 (B) X = (1,2,3) + t . (2 , -1, 7) , donde: x = 12 + 2.t , y = 2 – t e z = 3 + 7.t 
(C) X = (5,7,4) + p . (5,3,1) , donde: x = 5 + 5.p , y = 7 + 3.p e z = 4 + p 
4) ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS 
O ângulo entre duas retas é o ângulo entre as direções dessas retas, que são dadas pelos
respectivos vetores-diretores.
EXEMPLO:Qual a medida do ângulo entre a reta de equação X = (0,0,7) + m . (1,2,2 ) e
o eixo x ?
SOLUÇÃO:O eixo x é uma reta que passa pelo ponto O = (0,0,0) e tem a direção do vetor que é o vetor = (1,0,0) , isto é, a equação do eixo x é: X = (0,0,0) + m.(1,0,0) 
Logo, a medida do ângulo entre a reta dada e o eixo x é a medida do ângulo entre o vetor-diretor da reta, = (1,2,2), e o vetor-diretor do eixo x, = (1,0,0) . Assim, tem-se:
 X = || . | | . cos , donde : 1 = 3 . 1 . cos 0 . 
 Logo, cos = e, portanto: 71º . 
5) PROBLEMA RESOLVIDO
 Seja X = (4, -2, -2) + m (1, -2, -1) uma equação vetorial paramétricada reta r .
 Achar os pontos que pertencem, ao mesmo tempo, à reta r e aos planos coordenados, 
 isto é achar a intersecção entre a reta r e os planos coordenados. 
SOLUÇÃO: As equações cartesianas paramétricas da reta r são:
 x = 4 + m
 y = – 2 – 2.m
 z = – 2 – m
(*) P plano xy P = (x, y, 0).
Se 0 = – 2 – m m = – 2.
Logo, P = (2, 2, 0).
(**) Q plano yz Q = (0, y, z).
Se 0 = 4 + m m = – 4.
Logo, Q = (0, 6, 2).
(***) R plano xz R = (x, 0, z).
 Se 0 = – 2 – 2 m m = – 1 .
Logo, R = (3, 0, –1).
6) PROBLEMAS PROPOSTOS
P1) Ache as equações paramétricas - vetorial e cartesianas - e reduzidas das 
retas que contém os lados do triângulo LMN, sendo L = (1, 0, 0) , 
M = (2, 4, 0) e N = (0, 6, 3).
P2) Considere a reta de equação X = (3, 2, -1) + m (1, -2, -1). Sejam P e Q os 
pontos de intersecção dessa reta com os planos xy e yz, respectivamente. 
Calcule:a área do triângulo OPQ, onde O é a origem do referencial, e a 
 altura desse triângulo, relativa à base OP.
ESBOCE UM GRÁFICO CARTESIANO.
P3) Ache uma equação vetorial da reta que passa pelo ponto A = (6, -1, 0) e pelo ponto médio do segmento BC, sendo B = (1, 2, 4) e C = (5, 2, 6).
P4) Quais as equações dos eixos coordenados?
P5) Seja a reta de equações reduzidas y = 6 - 2x e z = 4. Ache equações paramétricas – vetorial e cartesianas - dessa reta e as intersecções com os planos coordenados.ESBOCE UM GRÁFICO CARTESIANO.
P6)Decompor o vetor = (9, 6, 3) em 2 vetores, e , tais que:
 r e r , onde r é a reta de equação X = (0, 0, 7) + t (1, 2, 2).
O PLANO, NO REFERENCIAL CARTESIANO ESPACIAL
(1) EQUAÇÃO GERAL DO PLANO
“Três pontos, não colineares, determinam um único plano”.Sejam dados, num Sistema Cartesiano Ortogonal (0, ), três pontos, não colineares, A, B e C. Tais pontos determinam um único plano , ao qual pertencem. Um ponto X do espaço
 pertencerá ao plano se, e somente se,os
 vetores X-A, B-A e C-A forem coplanares. 
Sejam A = (x0, y0, z0),
X = (x, y, z),
X-A = (x-x0, y-y0, z-z0),
B-A = = (u1, u2, u3) e 
C-A = = (v1, v2, v3). Logo: cujos cálculos darão: 
a x + b y + c z + d = 0, que é a EQUAÇÃO GERAL desse plano.
 OBSERVAÇÃO: a, b e c nunca são simultaneamente nulos!
EXEMPLO:Achar a equação geral do plano determinado pelos pontos A = (4,0,1) , 
B =(3,2,0) e C = (2,0,2 ) .
SOLUÇÃO:Seja X um ponto genérico pertencente ao plano. Logo, X = (x, y, z). Assim,tem-se: X-A = (x-4, y, z-1) , B-A = (-1,2,-1) e C-A = (-2,0,1) . Assim, a equação geral desse plano é dada por:
= 0 => 2 x + 3 y + 4 z – 12 = 0 =>2.x + 3.y + 4.z = 12
(2)INTERSECÇÃO DE UM PLANO COM 
OS EIXOS COORDENADOSE COM OS PLANOS COORDENADOS
Seja um plano cuja equação geral é a x + b y + c z = d . 
 Os pontos, onde o plano intercepta 
 os eixos coordenados são:
P = (p, 0, 0), no eixo x,
Q = (0, q, 0), no eixo y e
R = (0, 0, r) no eixo z.
As retas que são as intersecções do plano dado
com os planos coordenados são:
· Reta PQ, com o plano xy
· Reta QR, com o plano yz
· Reta RP, com o plano zx
EXEMPLO: Achar as intersecções do plano 2x + y + z – 4 = 0 com os eixos coordenados e com os planos coordenados.
SOLUÇÃO:Os pontos de intersecção do plano com os eixos coordenados são:
 P = (2, 0, 0), Q = (0, 4, 0) e R = (0, 0, 4). 
 Logo, as retas de intersecção do plano com os planos coordenados são:
 (*) reta PQ: X = (2, 0, 0) + m (-2, 4, 0)
 (**) reta QR: X = (0, 4, 0) + n (0, -4, 4)
(***) reta RP: X = (0, 0, 4) + p (2, 0, -4).
3) VETOR – NORMAL A UM PLANO
Um vetor é chamado de vetor-normal de 
umplano se, e somente se, ele for 
perpendicularao plano, isto é, 
perpendicular a qualquer
vetor que tenha representante 
nesse plano.
Se a equação geral do plano éa.x + b.y + c.z = d então = ( a , b , c )
EXEMPLO:Considere o plano cuja equação geral é 2.x + 3.y + 4.z = 12 . ACHAR:
(A) o vetor normal desse plano;
(B) uma equação vetorial paramétrica da reta que é perpendicular a esse plano e 
que passa pelo ponto P = (8 , 7 , 1); 
(C) a interseção da reta com o plano.
SOLUÇÃO: 
(A) 
 Como tem-se a equação geral do plano, então = ( 2 , 3 , 4 ) 
(B) Uma reta perpendicular a um plano tem a direção do vetor normal, logo, como 
ela passa pelo ponto P , tem-se: X = (8 , 7, 1) + m . (2 , 3 , 4) .
(C) Como X = (x, y, z), para achar a intersecção do plano com a reta basta resolver 
 o sistema abaixo:
 2x + 3y + 4z = 12
 x = 8 + 2m
 y = 7 + 3m
 z = 1 + 4m
Que dá m = -1 , donde o ponto de intersecção da reta com o plano dado é o ponto T = ( 6 , 4 , -3 ) .
4) PROBLEMA RESOLVIDO
R1) Analisar a equação a x + b y + c z + d = 0, quando a b c d = 0.
SOLUÇÃO:1º caso: a = 0, b 0 e c 0.
O plano b y + c z + d = 0 tem vetor normal = (0, b, c) que é paralelo ao plano yz. Logo o plano interceptará os eixos y e z, não interceptando o eixo x. 
 Se d = 0, isto é, b y + c z = 0, o plano conterá o eixo x.
2º caso: a 0, b = 0 e c 0.
O plano a x + c z + d = 0 tem vetor normal = (a, 0, c) que é paralelo ao plano xz. Logo, o plano interceptará os eixos x e z, não interceptando o eixo y.
Se d = 0, isto é, a x + c z = 0, o plano conterá o eixo y.
3º caso: a 0, b 0 e c = 0
O plano a x + b y + d = 0 tem um vetor normal = (a, b, 0) que é paralelo ao plano xy. Logo, o plano interceptará os eixos x e y, não interceptando o eixo z.
Se d = 0 , isto é, a x + b y = 0, o plano conterá o eixo z.
4º caso: a = 0, b = 0 e c 0.
O plano c z + d = 0 tem um vetor normal = (0, 0, c) que é paralelo ao eixo z. Logo, o plano interceptará o eixo z, não interceptando os eixos x e y.
Se d = 0, isto é, c .z = 0 ou, simplesmente, z = 0, é a equação do plano xy.
5º caso: a 0, b = 0 e c =0.
O plano a x + d = 0 tem um vetor normal = (a, 0, 0) que é paralelo ao eixo x. Logo, o plano interceptará o eixo x, não interceptando os eixos y e z.
Se d = 0, isto é, a x = 0 ou simplesmente, x = 0, é a equação do plano yz.
6º caso: a = 0, b 0 e c = 0.
O plano b y + d = 0 tem um vetor normal = (0, b, 0) que é paralelo ao eixo y. Logo, o plano interceptará o eixo y, não interceptando os eixos x e z.
Se d = 0, isto é, b y = 0 ou, simplesmente, y = 0, é a equação do plano xz.
7º caso: a 0, b 0 e c 0.
O plano a x + b y + c z + d = 0 tem um vetor normal = (a, b, c) que não é paralelo a nenhum dos eixos coordenados nem a nenhum dos planos coordenados. Logo, o plano intercepta os três eixos. Se d = 0, o plano a x + b y + c z = 0, passa pela origem (não contendo nenhum dos eixos).
5) PROBLEMAS PROPOSTOS
P1) A figura ao lado representa um galpão. Os números representam as dimensões do galpão. Determine:
a) as equações dos planos que contém os telhados e as paredes;
b) a equação da reta que contém a cumeeira;
c) qual o volume desse galpão?
P2) Ache a equação geral do plano determinado pelos pontos 
 A = (-2, 1, 0), B = (-1, 4, 2) e C = (0, -2, 2).
P3) Quais as equações gerais dos planos coordenados?
P4) Achar as intersecções do plano de equação 2x + y – 3z = -18 com os eixos 
 coordenados e com os eixos coordenados. ESBOCE O GRÁFICO CARTESIANO 
 DESSE PLANO.
P5) Ache a equação geral do plano que contém o ponto A = (1, 2, 1) e cuja 
 direção normal é a do vetor = (1, -2, 3), 
P6) Sejam A, B e C os pontos de intersecção do plano de equação geral 
 6.x – 2.y + 3.z = 12 com os eixos coordenados. Calcule:
a) O volume do tetraedro OABC, sendo O = (0,0,0); 
b) A área do triângulo ABC;
c) A altura do tetraedro OABC, relativa ao vértice O.
P7) Ache uma equação vetorial paramétrica da reta que passa pelo ponto P = (4,5,6) e
 é perpendicular ao plano de equação x + y + z = 6 . Qual é a intersecção da reta 
 encontrada com o plano dado?
P8) Em cada um dos seguintes casos, achar as intersecções do plano dado com os planos coordenados
a) x – 2y + 6 = 0 
b) x + 3z = 6
c) 2y + z = 8 
d) x = 5
e) y – 4 = 0 
f) z = -7
EQUAÇÕES VETORIAIS
 1ª) X = k
EXEMPLO: Resolver a equação X (1, 1, 2) = 12 e dar uma interpretação geométrica.
SOLUÇÃO:Se = (x, y, z) então : (x, y, z) X (1, 1, 2) = 12 x + y + 2z = 12 
 Geometricamente, a equação dada possui 
 infinitas soluções que são vetores posição dos pontos
 que se encontram no plano x + y + 2z = 12.
 Fazendo y = m e z = h, obtém-se:
 x = - m - 2h + 12 
 y = m 
 z = h 
 Assim, vem: = ( –m – 2h + 12, m , h ) com h, m R
2ª) , com .
OBS.: Note que essa equação só terá soluções se, e somente se, e forem ortogonais.
EXEMPLO:Resolver a equação (1, 1, 1) = (3, 6, -9) e dar uma interpretação geométrica.
SOLUÇÃO: Note que ( 1, 1, 1) x (3, 6, -9) = 3 + 6 – 9 = 0 . Logo e são ortogonais.
 Se = (x, y, z) então (x, y, z) (1, 1, 1) = (3, 6, -9) 
y – z = 3 (I) Assim, de (II), tem-se: z = x + 6; de (III),z – x = 6 (II) tem-se: y = x + 9
x – y = -9 (III
.
Substituindo-se y e z na equação (I), concluí-se que o sistema de equações
acima é indeterminado, admitindo infinitas soluções. Fazendo x = m, os vetores-solução da equação vetorial dada são: 
 = (m, m + 6, m + 9), com m |R.
Geometricamente, a equação dada possui infinitas 
soluções que são vetores-posição de pontos que se encontram
 na reta X = (0, 6, 9) + m (1, 1, 1). 
Prova-se que essas soluções podem ser encontradas aplicando-se a fórmula:
 = + t , t |R.
EXEMPLO: Resolver a equação (1, 1, 1) = (3, 6, -9).
SOLUÇÃO: Condição de Existência: (1, 1, 1) X (3, 6, -9) = 0, logo a equação dada admite infinitas 
soluções dadas pela fórmula acima.
Sejam = (1, 1, 1) e = (3, 6, 9). Nessas condições:
 = (-15, 12, 3) e || = , logo:
 = + t (1, 1, 1) = (-5, 4, 1) + t (1, 1, 1) ou 
 simplesmente, = ( -5+t, 4+t , 1+t ), t |R.
 A reta associada a essa equação é X = (-5, 4, 1) + t (1, 1, 1), cujos pontos são extremidades dos vetores que são soluções da equação vetorial.
3ª) PROBLEMAS PROPOSTOS
P1) Achar o conjunto-solução das equações:
(a) X (1, 2, 3) = 140;
(b) X (1, 0, 1) = -2;
(c) X (1, 1, 1) = 0.
P2) Achar o conjunto-solução das equações: 
(a) (1, 1, 1) = (1, 2, 3);
(b) (1, 0, -1) = (2, 6, 2);
(c) (4, 5, 6) = (0, 0, 0).
P3) Dê a solução-geral das equações:
(a) X (2, 1, 0) = -10;
(b) (2, 1, 0) = (-1, 2, 5).
P4) Achar o conjunto-solução das equações:
(a) (1, 5, 0) X = 26;
(b) (1, 1, 1) = (2, -1, -1).
P5) Dada a equação X (1, -1, 2) = 18.
1. apresentar a solução geral;
1. achar as 2 soluções particulares;
1. 
verificar se os vetores = (6, 0, 6) e = (5, 4, 1) são soluções da equação;
P6) Dada a equação: X (1, -1, 2) = 18
1. achar a equação do plano cujos pontos são extremidades dos vetores que são soluções da equação dada;
1. achar a projeção ortogonal da origem nesse plano;
P7) Dada a equação: (1, 1, -2) = (0, 12, 6).
1. apresentar a solução geral;
1. achar 2 soluções particulares;
1. 
verificar se os vetores = (1, 2, 3) e = (3, -3, 6) são soluções da equação.
P8) Dada a equação: (1, 1, -2) = (0, 12, 6).
1. ache a equação da reta cujos pontos são extremidades dos vetores que são soluções da equação dada;
1. qual a intersecção dessa reta com o plano yz?
r
v
x
r
v
r
x
r
v
u
r
r
=
u
r
0
r
u
r
v
r
x
r
x
r
x
r
2
u
v
u
r
r
r
L
u
r
x
r
u
r
v
r
u
r
v
r
u
r
3
x
r
(
)
3
3
,
12
,
15
-
x
r
x
r
x
r
x
r
Þ
a
r
b
r
x
r
x
r
Î
r
i
Û
r
w
r
u
r
r
r
i
j
k
,
,
r
u
0
3
2
1
3
2
1
0
0
0
=
-
-
-
v
v
v
u
u
u
z
z
y
y
x
x
1
0
2
1
2
1
1
z
y
4
x
-
-
-
-
-
k
,
j
,
i
r
r
r
r
n
r
n
r
n