Geometria Plana_Unidade I

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Autores: Profa. Valéria de Carvalho
 Profa. Ana Chiummo
 Prof. Gaston H. Concha
 Profa. Ariela Veloso de Paula
Colaboradores: Profa. Mirtes Mariano
 Prof. Daniel Scodeler Raimundo
Geometria Plana
Professora conteudista: Dra. Ariela Veloso de Paula
Ariela Veloso de Paula é natural de Guaratinguetá (SP) e moradora de Osasco (SP). Ingressou na Faculdade de 
Engenharia Química de Lorena (Faenquil) (atual Escola de Engenharia de Lorena – Universidade de São Paulo, EEL/USP) 
em março de 2001, graduando-se com o título de engenheira química em dezembro de 2005. Ingressou no programa 
de pós-graduação em Engenharia Química, na Escola de Engenharia de Lorena, em Junho de 2006, com a dissertação 
Seleção de preparações comerciais de lipase para interesterificação da gordura do leite com óleo de soja, conseguindo 
uma bolsa concedida pela Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (Fapesp). Iniciou o doutorado no 
programa de pós-graduação em Biotecnologia Industrial dando continuidade ao projeto de pesquisa de mestrado. A 
tese entitulada Reestruturação da gordura de leite por interesterificação enzimática empregando lipase imobilizada: 
otimização das condições reacionais e operacionais, foi finalizada em dezembro de 2012. Durante a execução do 
trabalho de doutorado, foi bolsista da Capes e realizou, no âmbito do Programa de doutorado no País com Estágio 
no Exterior, de setembro/2010 a fevereiro/2011, parte das atividades de seu projeto de doutorado nos laboratórios do 
Centro de Engenharia de Biossistemas-CEER do Instituto Superior de Agronomia da Universidade Técnica de Lisboa, 
Portugal. Atualmente é professora na UNIP, trabalhando na Coordenadoria de Estágios em Educação (CEE) da UNIP 
Interativa. 
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
P324g Paula, Ariela Veloso de 
Geometria plana / Ariela Veloso de Paula. – São Paulo: Editora 
Sol, 2012.
 96 p., il.
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e 
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XVII, n. 2-068/12, ISSN 1517-9230.
1. Geometria plana. 2. Aplicativos de informática. 3. Recursos 
Básicos. I. Título.
CDU 514.12
Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Prof. Dr. Yugo Okida
Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy 
Prof. Marcelo Souza
Profa. Melissa Larrabure
 Material Didático – EaD
 Comissão editorial: 
 Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
 Dr. Cid Santos Gesteira (UFBA)
 Dra. Divane Alves da Silva (UNIP)
 Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
 Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
 Dra. Valéria de Carvalho (UNIP)
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
 Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
 Revisão:
 Cristina Alves
 Amanda Casale
Sumário
Geometria Plana
APRESENTAçãO ......................................................................................................................................................7
INTRODUçãO ...........................................................................................................................................................7
Unidade I
1 ELEMENTOS BÁSICOS DA GEOMETRIA ....................................................................................................11
1.1 Ponto ..........................................................................................................................................................11
1.2 Reta ............................................................................................................................................................11
1.3 Plano .........................................................................................................................................................11
2 AXIOMAS FUNDAMENTAIS .......................................................................................................................... 12
3 MAIS ALGUNS CONCEITOS IMPORTANTES DE GEOMETRIA PLANA ............................................ 13
4 CARACTERÍSTICAS E PROPRIEDADES DOS ÂNGULOS ...................................................................... 14
4.1 Partições de um ângulo ..................................................................................................................... 16
4.1.1 Bissetriz de um ângulo ......................................................................................................................... 16
4.1.2 Bissetriz de um ângulo em que o vértice não é acessível ...................................................... 16
4.1.3 Trissecção de um ângulo reto ............................................................................................................ 17
4.2 Ângulo formado por duas retas ..................................................................................................... 18
4.3 Ângulos formados por retas transversais ................................................................................... 19
4.4 Propriedades dos ângulos: retas paralelas cortadas por uma transversal .................... 19
4.5 Teorema de Tales ................................................................................................................................. 20
4.6 Triângulos ................................................................................................................................................ 23
4.6.1 Elementos de um triângulo ................................................................................................................ 23
4.6.2 Classificação dos triângulos ............................................................................................................... 24
4.7 Propriedades dos triângulos ............................................................................................................ 26
4.8 Pontos notáveis dos triângulos ...................................................................................................... 30
4.9 Teorema de Pitágoras ......................................................................................................................... 33
4.10 Teorema de Euclides ......................................................................................................................... 36
Unidade II
5 GEOMETRIA PLANA ........................................................................................................................................ 41
5.1 Quadriláteros .......................................................................................................................................... 41
5.1.1 Classificação dos quadriláteros ......................................................................................................... 43
5.2 Polígonos regulares ............................................................................................................................. 46
5.2.1 Propriedades dos polígonos regulares ........................................................................................... 47
5.3 A circunferência e o círculo ............................................................................................................. 49
5.3.1 Definição de circunferência ................................................................................................................50
5.3.2 Elementos da circunferência .............................................................................................................. 50
5.3.3 Posições relativas da reta e na circunferência ............................................................................ 52
5.4 Posições relativas de duas circunferências ................................................................................ 53
5.5 Potência .................................................................................................................................................. 55
5.6 Ângulos em uma circunferência .................................................................................................... 55
6 ÁREAS E PERÍMETROS DE FIGURAS PLANAS ....................................................................................... 57
6.1 Áreas e perímetros ............................................................................................................................... 57
Unidade III
7 GEOMETRIA PLANA EM UM APLICATIVO COMPUTACIONAL LIVRE SOFTwARE LIVRE ........ 67
8 wINGEOM: INSTALAçãO E RECURSOS BÁSICOS ............................................................................... 67
8.1 Construindo triângulos ...................................................................................................................... 70
8.2 Construindo pontos .............................................................................................................................71
8.3 Construindo retas, semirretas e segmentos de retas ............................................................. 72
8.4 Construindo circunferências ............................................................................................................ 73
8.5 Tabelas de comandos no wingeom .............................................................................................. 75
8.6 Construindo polígonos regulares ................................................................................................... 76
8.7 Medindo ângulos ................................................................................................................................ 79
8.8 Construindo retas paralelas e transversais ................................................................................ 80
8.9 Construindo circunferência: raio-centro .................................................................................. 84
7
APresentAção
Esta apostila encontra-se dividida em três unidades. Na primeira, explanamos rapidamente como 
a geometria se faz presente em nosso cotidiano; a seguir, iniciamos nossos estudos apresentando os 
elementos básicos da geometria. Dando sequência à construção de nossos conhecimentos geométricos, 
nos dedicamos ao estudo dos ângulos e dos triângulos. Já na segunda unidade, estudamos os quadriláteros, 
os polígonos, as circunferências e o círculo e finalizamos nos dedicando às áreas e perímetros de figuras 
planas. Por fim, na terceira unidade, apresentamos um software livre para ser usado no estudo pessoal 
das geometrias, bem como para servir de ferramenta de futuro trabalho docente na preparação de 
aulas, de exercícios e de atividades: o wingeom. Recomendamos que o aluno consulte e estude também 
outros textos, pois sua dedicação como estudante influenciará diretamente sua competência e sucesso 
profissional. 
Bons estudos! 
IntroDução
Inúmeras coisas ao nosso redor no cotidiano envolvem conceitos de geometria. Fazemos conexões e 
estabelecemos linhas entre pontos, associamos distâncias e direções aos objetos, deciframos tamanhos 
e formas. Tudo o que observamos no mundo está repleto de geometria e aspectos geométricos. As 
figuras, desde sempre, têm ocupado um valor de destaque na sociedade e na Matemática. Pontos, linhas, 
quadriláteros, círculos, triângulos e outras inúmeras formas e figuras são a base de toda a geometria 
com origem na Grécia.
Na história da Matemática, aprendemos que, no Egito, as águas do Nilo subiam apagando 
os limites das propriedades. Todo ano era necessário medir as terras e demarcar os terrenos 
novamente. Essa habilidade de medir a terra, em grego, denomina-se geometria. Assim, partindo 
dessa prática, os povos gregos aprenderam a descobrir as relações existentes entre as formas, as 
figuras e suas propriedades.
Na história, também aprendemos que entre os séculos VI e IV a.C., na Grécia, surgiram as escolas 
científicas e filosóficas mais relevantes da época. Podemos destacar, sem sombra de dúvida, pensadores 
como Euclides, Pitágoras e Tales de Mileto como os mais significativos desse contexto.
A geometria clássica foi o primeiro ramo da Matemática e teve seu ponto culminante com Os 
Elementos, de Euclides (IV a.C.), em que foram reunidos e formalizados todos os conhecimentos 
matemáticos da época. A partir de cinco postulados (axiomas), toda a geometria existente foi 
estruturada e demonstrada, formando um sistema de enunciados que é, até hoje, a base de toda 
a geometria plana.
Nesta disciplina, estudaremos os fundamentos dessa geometria partindo do cotidiano, observando 
as formas geométricas e descobrindo as relações e propriedades existentes, tão analisadas e conhecidas 
pelos gregos e tão fascinantes e cativantes para os matemáticos que desejam entender uns dos pilares 
de todo o conhecimento existente. 
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Se pensarmos que nosso espaço, em termos simples, é tridimensional1, podemos descobrir nele 
as origens de todos os conceitos que fundamentam a geometria plana. Assim, se imaginarmos, por 
exemplo, figuras sólidas (corpos) como uma caixa de sapatos, uma lata de refrigerante e uma bola, como 
representados a seguir, descobriremos que crianças manifestam alguma dificuldade para identificar as 
diferenças existentes entre figuras planas e os corpos tridimensionais.
Figura 1
Por esse motivo, partiremos desses sólidos geométricos, de modo que, ao nos referirmos a uma 
figura, será como que se observássemos a forma resultante de se “carimbar” cada uma das faces ou 
lados dos objetos acima numa folha de papel. Por exemplo, ao “carimbarmos” o lado pelo qual tiramos 
o lacre da latinha de refrigerante, teremos representado uma figura plana, correspondente a essa face 
do corpo geométrico.
Podemos observar, na figura a seguir, como resultam em formas geométricas diferentes cada vez que 
utilizamos um sólido com características também diferentes, ao projetar uma das faces desse sólido no 
plano. Assim, na figura, representamos o resultado desse exercício:
Um retângulo e um quadrado Um retângulo e um círculo Um círculo
Figura 2
Dessa forma, podemos agora apresentar alguns elementos clássicos que compõem os fundamentos 
da geometria plana. Se partirmos, por exemplo, da caixa de sapatos, podemos definir de forma intuitiva 
três conceitos importantíssimos da geometria plana clássica. Temos que, ao estender de forma indefinida 
1 Possui três dimensões: altura, largura e profundidade. Na geometria plana, nosso foco será o espaço bidimensional, 
os objetos possuirão apenas altura e comprimento.
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a tampa da caixa, a figura geométrica que se define é o plano. Da mesma maneira, a linha que intercepta 
os planos da caixa de sapatos, pode ser definida como uma reta. As interseções das três linhas laterais, 
que são as “quinas” da caixa de sapatos, podem ser chamadas de vértices, e esses vértices representam o 
que conheceremos matematicamente como ponto, na geometria plana. Mais adiante, apresentaremos 
uma breve definição desses conceitos e como eles se representam na geometria plana.
É importante notar que são inúmeras as formas geométricas que podemos observar ao “mover 
ou manipular” corpos sólidos e ao representá-los no plano em uma folha de papel. Vejamos exemplos 
dessas representações em que, partindo de diferentes sólidos, podemos obter variadas figuras planas 
correspondentes às facesdos sólidos. 
Figura 3 - Figuras Planas
Nesta disciplina, Geometria Plana e Aplicativos da Informática, teremos a oportunidade de identificar, 
estudar e analisar as principais características e propriedades dessas figuras geométricas.
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Geometria Plana
Unidade I
1 eLeMentos BÁsICos DA GeoMetrIA
O ponto, a reta e o plano são os três entes geométricos e os elementos fundamentais da geometria 
plana.
1.1 Ponto
Imagine uma praia na qual estão presentes infinitos pequenos grãos de areia. O grão de areia 
é a menor partícula e pode lhe auxiliar a compreender o conceito de ponto. O ponto é um objeto 
geométrico que não tem altura, comprimento ou largura, ou seja, é unidimensional. É a menor 
unidade de medida da geometria. Quando é necessário representá-lo, são utilizadas letras maiúsculas 
do nosso alfabeto (A, B, C...).
1.2 reta 
Uma reta é formada por infinitos pontos colineares, alinhados e unidos. Trata-se de um objeto 
geométrico infinito, pois não possui origem nem fim. Por um ponto, passam infinitas retas e para se 
traçar uma reta são necessários apenas dois pontos distintos. A representação de uma reta é realizada 
por letras minúsculas do nosso alfabeto (a, b, c...).
1.3 Plano 
Um plano é um objeto geométrico formado por infinitas retas e infinitos pontos. Para traçar 
um plano, três pontos não alinhados são necessários. O plano tem duas dimensões, por isso 
é chamado de bidimensional, sendo representado por uma letra minúscula do alfabeto grego, 
geralmente α ou β. Um plano pode ainda ser representado por três pontos distintos do plano ou 
por retas paralelas. É importante lembrarmos que, apesar de não possuírem nenhum ponto em 
comum, as retas paralelas são coplanares.
Agora que já sabemos o conceito de ponto, reta e plano, ficará mais fácil de identificarmos cada um 
deles na representação geométrica a seguir: 
Plano α
α
A
Ponto A Reta r
Figura 4
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 Lembrete
O ponto, a reta e o plano são os três entes geométricos e os elementos 
fundamentais da geometria plana.
Para melhor fixar esses conceitos, imagine uma mesa de bilhar (figura a seguir). Ela representa o 
plano, os tacos representam as retas e as bolas, os pontos.
Figura 5
2 AXIoMAs FunDAMentAIs
Você sabe o que é um axioma? Por definição, é uma verdade universal aceita sem discussão. 
Apresentamos a seguir alguns axiomas fundamentais da geometria plana:
• Dois pontos determinam uma reta única.
• Duas retas com dois pontos em comuns são coincidentes.
• Uma linha quebrada é formada por vários segmentos e linhas retas.
• Qualquer linha não reta e não quebrada é considerada curva.
• Dados dois pontos de um plano, a reta que os contém está contida no plano.
• Três pontos definem um único plano.
• Duas retas paralelas não se cruzam.
• Duas retas que se cruzam o fazem em um único ponto.
• Duas retas não paralelas têm pelo menos um ponto em comum em que se cruzam.
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Geometria Plana
• Uma reta paralela a um plano não o corta.
• Se uma reta não é paralela a um plano, corta-o em um único ponto.
• Dois planos paralelos não têm nenhum ponto em comum.
• Dois planos não paralelos se interceptam em uma reta.
• Uma reta é perpendicular a um plano se também o for a toda reta do plano que essa reta corta.
• A distância entre dois pontos é a longitude do segmento que as une.
• A distância entre duas retas paralelas é a longitude de um segmento perpendicular a ambas.
• A distância entre duas retas que se cruzam se mede sobre uma terceira perpendicular a ambas.
• A distância entre um ponto e um plano se mede sobre uma perpendicular ao plano que passe pelo 
ponto.
• A distância entre dois planos se mede sobre uma perpendicular a ambos.
Esses axiomas se fundamentam no sistema da geometria de Euclides e são perfeitamente válidos para 
tudo o que faremos nesta disciplina. Não nos podemos esquecer de que os postulados se fundamentam 
em axiomas, e axiomas não precisam de demonstração, são verdades aceitas a priori.
3 MAIs ALGuns ConCeItos IMPortAntes De GeoMetrIA PLAnA
Neste item do livro texto, apresentaremos mais alguns conceitos importantes que facilitarão o 
aprendizado. Já sabemos o que é uma reta, mas qual a definição de semirreta? E segmento de reta? 
Semirreta é uma linha que tem início, mas não tem fim, enquanto o segmento de reta é uma reta 
que possui origem e fim. Observe a figura a seguir, que pode auxiliar nessa definição:
Semirreta 
Segmento de reta 
Figura 6
Além disso, é importante que se tenha claro o conceito de ângulo: é a união de duas semirretas 
diferentes, não opostas e de mesma origem. O ponto de origem é chamado vértice desse ângulo. A 
seguir, pode-se observar a representação de um ângulo de origem P. 
Ângulo 
LadoVértice
Lad
o
P
Figura 7
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4 CArACterÍstICAs e ProPrIeDADes Dos ÂnGuLos
Agora que já se sabe a definição de ângulo, vamos estudar suas características e principais 
propriedades. 
Um ângulo é denominado côncavo quando mede mais de 180º, e convexo quando mede menos de 
180º. Quando duas retas se cortam, formam quatro ângulos iguais, dois a dois (aqueles que são opostos 
pelo vértice), e suplementares, dois a dois (aqueles cuja soma é 180º). Quando dois ângulos possuem 
um lado em comum, dizemos que são consecutivos. 
Na ilustração a seguir, mostramos uma representação desses tipos de ângulos:
β
Côncavo
α
Convexo
α
α
β
β
Oposto pelo vértice
β
α
Consecutivo
Figura 8
Quando um ângulo é inferior a 90°, é chamado agudo; quando é superior a 90º e menor que 
180º, é chamado obtuso; se o ângulo for de 90º, é chamado reto, e sua representação é dada 
por duas semirretas perpendiculares. Um ângulo raso ou estendido é aquele cuja medida é 180º; 
o ângulo completo é aquele que mede 360°; um ângulo é denominado nulo quando medir 0º. 
Dois ângulos são chamados suplementares, se somam 180º, e complementares, se somam 90º. 
Dois ângulos são replementares quando a soma de suas medidas for 360º. Para uma melhor 
compreensão, observe a ilustração a seguir, que representa todos esses ângulos.
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< 90º > 90º 90º
Agudo
Obtuso Reto
180
360º
0º
Nulo
Completo
Raso
α
Complementares
360º
Replementares
α β
Suplementares
β
Figura 9
Quando traçamos duas retas perpendiculares (t e u) aos lados de um ângulo (r e s), estas formam 
um ângulo igual ao que é dado e suplementar. Quando traçamos duas retas paralelas (t e u) aos lados 
(r e s) de um ângulo, estas formam um ângulo igual ao que é dado e suplementar. Essas propriedades 
podem ser visualizadas a seguir:
r
sα
β
t
α
u
sα
r
αβ u
t
Figura 10
 Lembrete
Quando um ângulo é inferior a 90°, é chamado agudo; quando superior 
a 90º e menor que 180º, é chamado obtuso; se o ângulo for de 90º, é 
chamado reto.
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4.1 Partições de um ângulo
4.1.1 Bissetriz de um ângulo
O que é a bissetriz de um ângulo? Bissetriz nada mais é do que a linha que divide um ângulo emduas 
partes iguais e, portanto, é equidistante dos lados que formam o ângulo. Na figura, a bissetriz b dividiu 
o ângulo A em dois ângulos iguais (α/2). 
A
2
α
2
α
b
Figura 11
Para traçar a bissetriz de um ângulo, é preciso desenhar um arco de raio qualquer centrado no 
vértice. Esse arco intercepta os lados nos pontos M e N. Em seguida, centre o compasso em M e trace 
um arco de circunferência maior do que a metade do segmento MN, a fim de evitar imprecisões; 
centre o compasso em N e trace o mesmo arco anterior. A interseção dos arcos determina o ponto Q. A 
bissetriz (b) do ângulo A passa pelo vértice e pelo ponto Q.
A N
M
Q b
Figura 12
4.1.2 Bissetriz de um ângulo em que o vértice não é acessível
Para encontrar a bissetriz de um ângulo em que o vértice não é acessível, primeiro traçamos duas 
retas r’ e s’ paralelas com as respectivas retas, r e s, de modo que a distância d entre os dois pares de 
paralelas é a mesma. A bissetriz b procurada é a mediatriz de r’s’.
d
d
s´
s
r
r´
b
Figura 13
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Outra forma de se determinar essa bissetriz será desenhando um segmento arbitrário MN que tem 
uma extremidade em cada uma das retas dadas, r e s. Depois, traçam-se as bissetrizes dos quatro 
ângulos formados em M e N. Essas bissetrizes se cortam nos pontos da bissetriz procurada, porque, 
sendo a interseção de bissetrizes, cada um dos pontos é equidistante das três retas.
M
b
r
s
N
Figura 14
4.1.3 Trissecção de um ângulo reto
Dividir um ângulo reto (90º) em três partes iguais significa fazer uma trissecção do ângulo. Em 
geometria, essa construção geométrica não é possível em nenhum outro ângulo. 
Para fazer a trissecção de um ângulo reto, primeiro traçamos um arco de raio arbitrário com centro 
no vértice, que corta os lados do ângulo nos pontos M e N, como mostra a ilustração a seguir. Em 
seguida, desenhamos outro arco de igual raio com centro em N. Os pontos P, A e N definem um triângulo 
equilátero; logo, o ângulo PAN mede 60º. Assim, o ângulo MAP é complementar e, portanto, mede 30º. 
Se desenharmos um terceiro arco com o mesmo raio e com centro em M, temos o ponto Q. Verificamos 
que PAQ e QAN são ângulos de 30º e consequentemente realizamos a trissecção do ângulo reto. 
NA
M P
Q
b
B
NA
M P
Q
Figura 15
Podemos aproveitar essa construção para desenhar o ângulo de 45º, pois se prolongamos os arcos 
AP e AQ, vemos que eles se cortam no ponto B, que pertence à bissetriz do ângulo reto inicial. Portanto, 
temos o desenho do ângulo de 45º.
Podemos também desenhar de forma direta os ângulo de 60º e 30º, e, para isso, basta construir um 
triângulo equilátero PAN e a respectiva bissetriz. 
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A N
60º
P
A N
Q
30º
Figura 16
A ilustração indica como obter os ângulos de 60º e 30º utilizando o compasso.
Da mesma forma, podemos utilizar a trissecção de um ângulo reto para construir os ângulos 60º, 
30º, 75º e 15º, como mostra a ilustração a seguir.
NA
M P
60º
NA
M
Q
30º
NA
M
P
15º
Q
NA
M P
75º
Q
Figura 17
4.2 Ângulo formado por duas retas
Quando duas retas r e t se cortam, formam quatro ângulos iguais, dois a dois, por serem opostos pelo 
vértice e suplementares também dois a dois.
t
r
α
Figura 18
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4.3 Ângulos formados por retas transversais
Na interseção de duas retas paralelas por uma transversal, como indica a ilustração, obtemos oito 
ângulos, sendo quatro em cada ponto de interseção.
L1
L2
L1 // L2
Figura 19
São ângulos correspondentes, ou seja, que possuem a mesma medida, aqueles que têm a mesma 
posição em ambos os grupos de quatro ângulos. Na ilustração a seguir, chamaremos de ângulos 
alternos internos os pares de ângulos formados por (3 e 4) e (5 e 6) e de ângulos alternos externos 
os pares de ângulos formados por (1 e 2) e (7 e 8).
L2
L1
3 4
65 L2
L1 12
7 8
Ângulos alternos internos Ângulos alternos externos
Figura 20
4.4 Propriedades dos ângulos: retas paralelas cortadas por uma transversal
Observe a figura a seguir. Podemos verificar que os pares de ângulos (1 e 5), (2 e 6), (3 e 7) e (4 e 8) 
possuem a mesma posição em relação às paralelas e, portanto, são congruentes, ou seja, têm a mesma 
medida. Além disso, podemos observar também que se os pares de ângulos (1 e 3), (2 e 4), (5 e 7) e (6 e 
8) são opostos pelo vértice, são congruentes, ou seja, têm a mesma medida. 
L2
L1
3 4
56
2 1
7 8
Figura 21
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Finalmente, podemos concluir que, segundo a representação na ilustração anterior, os ângulos 
que possuem a mesma posição e aqueles que são opostos pelo vértice formam os grupos de ângulos 
congruentes. Assim, os grupos de ângulos 1, 3, 5 e 7 são congruentes. Da mesma maneira, o grupo de 
ângulos formados pelos ângulos 2, 4, 6 e 8 também possuem a mesma medida, conforme indicado a 
seguir:
L2
L1
3 4
2 1
7 8
56
Figura 22
 observação
Imagine o “z” de Zorro (figura a seguir). Sempre que o aluno ver 
um “z” irá se lembrar desta propriedade e será capaz de fazer o uso 
correto dela.
Figura 23
4.5 teorema de tales 
Um teorema é uma afirmação que pode ser provada e que tem grande importância matemática. 
Dentre os principais teoremas da Matemática, destaca-se o Teorema de Tales, que estabelece proporções 
que relacionam retas paralelas e transversais. Esse importante teorema foi estabelecido por Tales de 
Mileto, que defendia a ideia de que os raios solares que chegavam à Terra estavam na posição inclinada. 
O teorema mostra que, em um plano, um feixe de retas paralelas cortado por retas transversais forma 
segmentos proporcionais. Contudo, o que entendemos por “um feixe de retas paralelas” e por “retas 
transversais”? Seguem algumas definições que facilitarão a compreensão: 
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Geometria Plana
• um feixe de retas paralelas é um conjunto de retas coplanares (ou seja, que pertencem ao 
mesmo plano) paralelas entre si;
• retas transversais de um feixe de retas paralelas são retas pertencentes ao plano do feixe que 
concorrem com todas as retas do feixe; 
• os pontos das transversais que estão numa mesma reta do feixe são denominados pontos 
correspondentes.
Observe a figura a seguir. As retas r, s e t formam um feixe de retas paralelas, enquanto as retas 
a e b são transversais ao feixe de retas paralelas formado pelas retas r, s e t. Na figura, são pontos 
correspondentes: A e A’, B e B’, C e C’. Os segmentos AB e A’B’, BC e B’C’, AC e A’C’ são denominados 
segmentos correspondentes das transversais a e b.
A A’
B B’
C C’
a b
r
s
t
Figura 24
O Teorema de Tales diz que: “Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então 
a razão entre dois segmentos quaisquer de uma das transversais é igual à razão entre os respectivos 
segmentos correspondentes da outra transversal”.
Considerando a figura anterior, pelo teorema de Tales, o segmento AB está para o segmento 
BC, assim como o segmento A’B’ está para o segmento B’C’. Também é possível afirmar que o 
segmento AC está para o segmento AB, assim como o segmento A’C’ está para o segmento A’B’ 
e, ainda, queo segmento AC está para o segmento BC, assim como o segmento A’C’ está para o 
segmento B’C’.
Assim, na figura anterior, estabelecemos as seguintes proporcionalidades:
 AB A’B’------- = -------
 BC B’C’ ou 
 AC A’C’------- = -------
 AB A’B’ ou 
 AC A’C’------- = -------
 BC B’C’
Exemplo de aplicação
Vamos aplicar o teorema de Tales na figura a seguir para encontrarmos os valores dos segmentos 
AB e BC, que são desconhecidos. Observe que na figura há um feixe de retas paralelas cortado por retas 
transversais, e, portanto, há a formação de segmentos proporcionais. 
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A A’
B B’
C C’
a b
r
s
t
2x+2 4
4x-2 6
Figura 25
Pelo teorema de Tales, vale a seguinte proporcionalidade: 2x + 2 4-------------- = ---- 4x - 2 6
Por meio de uma multiplicação cruzada, obtemos: 
(2x + 2) . 6 = 4 . (4x - 2)
Logo:
12x + 12 = 16x - 8  12x - 16x = - 8 - 12  -4x = -20
4x = 20  x = 20------- 4 = 5
Portanto, o segmento AB mede 2x + 2 = 10 + 2 = 2 e no segmento BC = 4x - 2 = 20 - 2 = 18  
BC = 18
Vejamos outro exemplo: na figura, temos que DC // AB e DC = 8cm, AB = 12cm e BC = 3cm. 
Então, qual é o valor de CE?
E
D
A B
C
X
Figura 26
Sabemos que, por semelhança de triângulos, temos:
 DC EC------- = ------
 AB EB
Se se supuser que CE = x, temos:
 8 x-------- = ------------  x = 6
 12 x + 3’
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Geometria Plana
 saiba mais
Tales de Mileto era filósofo, geômetra, astrônomo, físico, político 
e comerciante. Acredita-se que tenha nascido no ano 625 a.C. Que tal 
pesquisar e conhecer mais sobre esse grande contribuidor da geometria? 
Leia:
Filosofias da matemática, de Jairo José da Silva, Editora UNESP, 2007.
O romance das equações algébricas, de Gilberto Geraldo Garbi, Editora 
Livraria da Física, 2009.
4.6 triângulos
Neste tópico, falaremos sobre uma das figuras geométricas mais amplamente utilizadas e estudadas 
na Matemática: os triângulos. O que é um triângulo? Imagine três pontos A, B e C não colineares (não 
alinhados). A reunião dos segmentos AB, AC e BC chama-se triângulo ABC. 
Triângulo ABC = ∆ABC
4.6.1 Elementos de um triângulo
Os triângulos possuem elementos que o formam e que devem estar claramente definidos: 
Vértices: os pontos A, B e C são os vértices do ∆ABC.
Lados: os segmentos AB (de medida c), AC (de medida b) e BC (de medida a) são os lados do triângulo.
Ângulos: os ângulos BA^ C ou Â, AB^ C ou B^ , AC^ B ou C^ , são os ângulos do ∆ABC.
C ^
A ^ B ^
c
ab
A B
C
Figura 27
Dizemos que os lados BC, AC e AB e os ângulos A^ , B^ e C^ são, respectivamente, opostos.
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4.6.2 Classificação dos triângulos
Como mencionamos, os triângulos são polígonos de três lados, e podemos classificá-los de três 
maneiras: segundo seus lados, segundo a medida de seus ângulos e segundo o número de eixos de 
simetrias que possuem. 
4.6.2.1 Classificação dos triângulos segundo a medida de seus lados
Segundo a medida de seus lados, os triângulos podem ser classificados em equiláteros, isósceles ou 
escalenos. 
 
• Equilátero: se, e somente se, tiver todos os lados congruentes (iguais). Nesse caso, a medida de 
cada ângulo interno de um triângulo equilátero será 60º.
C
A B
AB = BC = AC
Figura 28 - Triângulo equilátero
• Isósceles: se, e somente se, tiver dois lados congruentes (iguais). Nesse caso, observe que apenas 
os ângulos da base são congruentes (iguais). 
C
A B
AC = BC
Figura 29 - Triângulo isósceles
• Escaleno: se, e somente se, dois quaisquer dos lados não forem congruentes. Em outras 
palavras, podemos afirmar que um triângulo escaleno é aquele que possui todos os lados 
diferentes entre si.
C
A B
Figura 30 - Triângulo escaleno
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4.6.2.2 Classificação segundo a medida de seus ângulos
Segundo a medida de seus ângulos, os triângulos podem ser classificados em acutângulos, retângulos 
ou obtusângulos. 
• Acutângulo: todos os seus ângulos são agudos (menores que 90º).
C
A
B
Ângulos agudos
Figura 31
• Retângulo: um de seus ângulos é um ângulo reto (de 90º).
C
A B
AB ⊥ AC
Figura 32
• Obtusângulo: um de seus ângulos é maior que um ângulo reto.
C
B
A
Ângulo maior que um 
ângulo reto
Figura 33
4.6.2.3 Classificação segundo a medida de seus eixos de simetrias
Segundo a medida de seus eixos de simetrias, os triângulos podem se apresentar com apenas 
um eixo de simetria, mais de um ou nenhum eixo de simetria. Contudo, o que é um eixo de 
simetria? Em geometria, ele é uma linha que divide uma figura em partes simétricas, isto é, partes 
iguais. 
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• Só um eixo de simetria: dois lados iguais.
Figura 34
• Mais de um eixo de simetria: neste caso, temos três lados iguais.
Figura 35
• Nenhum eixo de simetria: todos os lados são diferentes.
Figura 36
Agora que já vimos como os triângulos são classificados, vamos estudar quais são suas principais 
propriedades. 
4.7 Propriedades dos triângulos
Primeira propriedade: “A soma dos três ângulos interiores de um triângulo é 180º”.
Podemos verificar isso de forma simples:
1. Desenhe um triângulo qualquer, como indica a figura a seguir.
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Geometria Plana
Figura 37
2. Pinte cada um dos ângulos com cores diferentes.
Figura 38
3. Marque os pontos médios de dois lados da figura anterior.
 
Figura 39
4. Dobre na linha que une ambos os pontos médios, como indica a figura anterior.
Figura 40
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5. Dobre pelas linhas descontínuas dos outros vértices até formar um ângulo de 180º. 
Figura 41
Observe que os ângulos formam um ângulo de 180º.
Segunda propriedade (a desigualdade triangular): “Em todo triângulo, a medida de cada lado é 
menor que a soma dos outros dois”.
A verificação dessa propriedade é evidente quando construímos um triângulo.
1. Desenhe um triângulo ABC, como indica a figura a seguir:
C
BA
Figura 42
2. Meça os três lados do triângulo.
C
BA
10 cm9 cm
 8 cm < 10 cm + 9 cm
10 cm < 9 cm + 8 cm
 9 cm < 8 cm + 10 cm
Figura 43
É importante observar que, em todo triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois lados. 
Observe a figura que mostra essa propriedade:
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Geometria Plana
C
A B
b a
c
a < b + c
b < a + c <==> | b - c | < a < b + c
c < a + b
C ^
A ^ B ^
Figura 44
Terceira propriedade (igualdade e semelhança de triângulos): “Dois triângulos são iguais se têm 
seus três lados e os três ângulos correspondentes iguais”.
A
C
B
M
P
N
Figura 45
Na ilustração, os triângulos ABC e MNP são iguais.
Numericamente, temos: os triângulos ABC e PNM são triângulos iguais.
B
CA
6 cm
10 cm
8 cm
60º
30º
10 cm
8 cm
6 cm
60º
M N
P
30º
Figura 46
Dois triângulos são semelhantes quando têm os lados diretamente proporcionais e os ângulos 
correspondentes iguais. 
A
C
B
M
P
N
Figura 47
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Em nosso exemplo, os triângulos ABC e MNP são semelhantes.
Quarta propriedade (desigualdades nos triângulos): “Ao maior lado de um triângulo, opõe-se o 
maior ângulo”.
É importante observar que, se dois lados de um triângulo não são congruentes, então os ângulos 
opostos a eles não são congruentes. Além disso, o maior lado do triângulo estará oposto ao maior 
ângulo. 
BC > AC ==> BA^ C > AB^ C
BA^ C > AB^ C ==> BC > AC
C
AB c
b a
Figura 48
4.8 Pontos notáveis dos triângulos
Os pontos notáveis são alguns pontos importantes de um triângulo. São eles: baricentro, incentro, 
circuncentro e ortocentro. Vamos estudá-los:
• Ortocentro (H): o ponto de interseção (cruzamento) das alturas de um triângulo é seu ortocentro. 
A altura de um triângulo é o segmento de reta que é perpendicular a um lado e contém o vértice 
oposto a esse lado. Denotamos ortocentro pela letra H, como indica a figura a seguir.
C
BA
Hb Ha
Hc
H
Figura 49
• Baricentro (G): o ponto de interseção (cruzamento) das três medianas de um triângulo é 
seu baricentro. Denomina-se mediana de um triângulo o segmento que liga um vértice ao 
ponto médio do lado oposto a esse vértice. As três medianas de um triângulo interceptam-
se em um mesmo ponto que divide cada mediana em duas partes tais, que a parte que 
contém o vértice é o dobro da outra. Na figura, G é o baricentro do triângulo ABC.
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C
BA
M1M2
M3
G
Figura 50
• Circuncentro (O): é o ponto de interseção das mediatrizes dos lados de um triângulo. A 
mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular ao segmento que passa pelo 
seu ponto médio. Na figura a seguir, m1, m2 e m3 são mediatrizes dos lados BC, AC e AB, 
respectivamente. As mediatrizes dos lados de um triângulo interceptam-se em um mesmo 
ponto (circuncentro), que está a igual distância dos vértices do triângulo. O circuncentro é 
o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.
C
BA
m1m2
m3
O
Figura 51
• Incentro (S): é o ponto de interseção das três bissetrizes internas de um triângulo. A bissetriz 
do ângulo interno de um triângulo é o segmento de reta que divide o ângulo interno em 
duas metades iguais. Na figura a seguir, S1, S2 e S3 são bissetrizes dos ângulos A, B e C, 
respectivamente. O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo. As três bissetrizes 
internas de um triângulo interceptam-se em um mesmo ponto, que está a igual distância dos 
lados do triângulo.
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BA
S1
S2
S3
S
C
A
B
S
Figura 52
Finalmente, podemos escrever que as retas e pontos notáveis de um triângulo são:
•	 as mediatrizes m1, m2 e m3, que se cortam em um ponto chamado circuncentro O, centro da 
circunferência circunscrita ao triângulo ABC;
•	 as medianas M1, M2 e M3, que se cortam no baricentro, G, centro de gravidade do triângulo ABC;
•	 as bissetrizes, s1, s2 e s3, que se cortam no incentro, S, centro da circunferência inscrita do triângulo ABC;
•	 as alturas, h1, h2 e h3, que se cortam no ortocentro, H, do triângulo ABC.
 observação
No triângulo retângulo, o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa.
B
C
A
G
S
H
O
m2
m1
m3
Figura 53 - Retas e pontos notáveis de um triângulo
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4.9 teorema de Pitágoras
O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da Matemática e descreve 
uma relação existente no triângulo retângulo. Ele possui esse nome porque sua descoberta é atribuída 
à Escola Pitagórica. Anteriormente, na Mesopotâmia e no Egito antigo, se conheciam trios de valores 
que correspondem aos lados de um triângulo, usados para resolver problemas relacionados ao referido 
triângulo, tal como indicam alguns papiros, mas não existem documentos históricos que mostrem essa 
relação. 
Alguns historiadores encontraram evidências, na Pirâmide de Kefren, datadas do século XXVI a.C., 
de que a primeira grande pirâmide foi construída com base no chamado triângulo sagrado egípcio, de 
proporções 3 – 4 – 5, indicando que as antigas civilizações já conheciam a utilização dessas relações 
matemáticas. Vejamos o triângulo a seguir:
3 cm 3
4
5
5 cm
4 cm
Figura 54
Observe que o quadrado maior, desenhado sobre a hipotenusa, contém tantos pequenos 
quadrados como o total de pequenos quadrados desenhados nos catetos do triângulo. O 
quadrado formado na hipotenusa do triângulo retângulo contém 25 pequenos quadrados e os 
quadrados formados sobre os catetos do triângulo retângulo contêm 9 e 16 pequenos quadrados 
respectivamente.
Assim, vemos que se cumpre a seguinte relação:
52 = 32 + 22  25= 9 + 16  25 = 25
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 saiba mais
Saiba um pouco mais sobre o Teorema de Pitágoras. Visite:
<http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm25/pitagoras/dirhpitagoras.
htm> e <http://www.urcamp.tche.br/matematica/trabalhos/pitagoras.
pdf>. Acesso em 03 ago. 2012.
Enunciado do Teorema de Pitágoras: “em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa 
é igual à soma dos quadrados dos catetos”. Em outras palavras, o Teorema de Pitágoras estabelece a 
seguinte relação: a2 + b2 = c2 , em que a e b são os catetos e c representa a hipotenusa do triângulo 
retângulo.
Assim, se um triângulo tem lados a, b e c, com os lados a e b formando um ângulo de 90º (ângulo 
reto), como indica a figura, temos que os lados a, b se chamam catetos do triângulo, e o lado oposto 
ao ângulo reto se chama hipotenusa c,do triângulo retângulo.
B
C Ab
ca
a2 + b2 = c2
90º
Figura 55
Veremos a seguir algumas aplicações simples de como usar o Teorema de Pitágoras para determinar, 
por exemplo, a altura de um triângulo equilátero, a diagonal de um quadrado e também a apótema de 
um hexágono regular.
Cálculo da altura de um triângulo equilátero
Seja o triângulo equilátero ABC de altura h. Observamos que essa altura divide o triângulo ABC em 
dois triângulos retângulos, em que as hipotenusas são AC e AD. Como sabemos, a altura AH divide a base 
BC em duas partes iguais. 
Se aplicamos o Teorema de Pitágoras no ∆CAH ou ∆HAB, temos: a = b = c.
Logo:
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h
a
b h
a
a2
2
2 2
2
2
2 2
+



 = → +



 =
h a
a
a
a a2 2
2
2
2 2
2 4
3
4
= −



 = − =
h
a
=
3
2
: altura triângulo equilátero
B
A
C
c b
a
H
h
Figura 56 
Em todo triângulo equilátero, temos que a altura fica determinada pela relação:
h
a
=
3
2
Cálculo da diagonal de um quadrado
A diagonal de um quadrado divide este em dois triângulos retângulos iguais, de forma que a diagonal 
é a hipotenusa de ambos os triângulos. Podemos calcular assim:
d a a a2 2 2 22= + =
d a a= =2 22
a
aa
a
d
Figura 57
Cálculo do apótema deum hexágono regular
Apótema é o segmento de reta que, partindo do centro geométrico da figura, é perpendicular a um 
dos seus lados.
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Sendo OA e OB o raio do hexágono, e OH o apótema do mesmo, forma-se o triângulo equilátero 
AOB, em que o apótema divide-se em dois triângulos retângulos iguais, sendo ele um cateto comum de 
ambos os triângulos. O apótema será determinado por:
OH OB HB2 2 2= −
OH OB HB= −2 2
A BH
O
Figura 58
4.10 teorema de euclides
Esse teorema tem dois enunciados que são conhecidos como Teorema da Altura e Teorema do 
Cateto. 
• O Teorema da Altura diz que: “o quadrado da altura sobre a hipotenusa é igual ao produto 
das projeções dos catetos sobre a hipotenusa”. Na figura a seguir, observe que h representa 
a altura sobre a hipotenusa, enquanto m e n representam as projeções dos catetos sobre a 
hipotenusa.
C
BA
c
nm
h
ab
Figura 59
Assim, considerando-se a figura anterior, podemos afirmar que:
hipotenusa2 = projeção de a . projeção de b
h2 = m . n
h = m n.
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• O Teorema do Cateto diz que “o quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela 
projeção do cateto sobre a hipotenusa”. Seja b o cateto do triângulo da figura a seguir, b’ é a 
projeção desse cateto sobre a hipotenusa c. Assim, b b c= ’ . . 
C
BA
c
b’ a’
h
b a
Figura 60
Em termos simples, isso significa que a projeção do cateto do triângulo retângulo e a hipotenusa 
deste determinam a seguinte relação:
Cateto2 = projeção do cateto . hipotenusa
Logo, substituindo temos: b2 = b’. c 
Da mesma forma temos: a2 = a’. c 
 resumo
As civilizações antigas já usavam a geometria no seu cotidiano. 
Antes de Cristo, a Mesopotâmia, o Egito utilizavam seus conhecimentos 
geométricos para a construção de obras, para controlar as enchentes, 
para remarcar os limites das propriedades agrícolas, para construir 
pirâmides etc.
Nesta primeira unidade, explanamos rapidamente como a geometria 
se faz presente em nosso cotidiano. Em seguida, iniciamos nossos estudos 
apresentando os elementos básicos da geometria. O estudo da geometria 
se baseia em dois princípios: os conceitos sobre ponto, reta e plano e os 
chamados axiomas ou postulados, que são aceitos sem demonstração 
porque funcionam na prática. 
Estudamos o Teorema de Tales, que possui diversas aplicações no 
cotidiano, constituindo uma importante ferramenta da geometria no 
cálculo de distâncias e nas relações envolvendo semelhança entre 
triângulos. 
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Unidade I
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Finalmente, estudamos também os ângulos e triângulos e aprendemos 
sobre um dos teoremas mais utilizados na geometria: o Teorema de Pitágoras. 
 exercícios
Questão 1. (prova de Matemática, Enade 2008).
A R
U
P Q
T
M S B
DC
Figura 61
Uma professora do Ensino Fundamental resolveu utilizar, em suas aulas, a construção de um avião 
de papel para explorar alguns conceitos e propriedades da geometria plana. Utilizando uma folha de 
papel retangular, os estudantes deveriam começar fazendo as dobras na folha ao longo dos segmentos 
de reta indicados nessa figura. 
As seguintes condições, segundo instruções da professora, devem ser satisfeitas:
• a reta determinada por M e U é a mediatriz do segmento AB;
• AC, BD e AB são segmentos congruentes;
• PT e TQ são segmentos congruentes;
• PD e BD são segmentos congruentes.
A partir da análise da figura, um estudante afirmou o seguinte:
O triângulo PQD é obtusângulo porque o triângulo PQT é equilátero.
Com relação ao que foi afirmado pelo estudante, assinale a opção correta.
A) As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira.
B) As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda não é uma justificativa correta da 
primeira.
C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa.
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Geometria Plana
D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira.
E) Ambas as asserções são proposições falsas.
Resposta correta: alternativa C.
Resolução do exercício
De acordo com o enunciado, podemos verificar que o triângulo ACB é retângulo em A. Logo, os 
ângulos C e B valem 45o, pois os segmentos AC e AB são congruentes. Então, ABDC é um quadrado que 
tem suas diagonais AD e BC interceptando-se em T, formando ângulos de 90o. 
Sendo assim, o ângulo T do triângulo PTQ é retângulo, e os ângulos P e Q são iguais a 45o, pois PT e 
TQ são segmentos congruentes, formando um triângulo isósceles.
Conclui-se que o triângulo PQD é obtusângulo, mas o triângulo PTQ não é equilátero.
Logo, a primeira proposição é verdadeira, e a segunda proposição é falsa.
A, B, D e E – alternativas incorretas.
Justificativa. De acordo com a discussão anterior, a primeira asserção é uma proposição verdadeira, 
e a segunda é falsa.
C – alternativa correta.
Justificativa: de acordo com a discussão anterior, a primeira asserção é uma proposição verdadeira, 
e a segunda é falsa.
Questão 2. (prova de Matemática, Enade 2005). É comum alunos do Ensino Médio conhecerem a 
demonstração do Teorema de Pitágoras feita no livro I de Os Elementos de Euclides. Nela, usa-se o fato 
de que todo triângulo retângulo ABC, de catetos a e b e hipotenusa c, está inscrito em um semicírculo. 
Demonstra-se que as projeções m e n de AB e AC sobre a hipotenusa satisfazem a relação mn = h2 em 
que h é a altura do triângulo. Por meio das relações de proporcionalidade entre os lados dos triângulos 
ABD, CAD e CBA, prova-se que a2 + b2 = c2.
A
B D C
m n
h
Figura 62
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Além de demonstrar o Teorema de Pitágoras, o professor pode, ainda, com essa estratégia, demonstrar 
que:
I. É possível construir, com régua e compasso, a média geométrica entre dois números reais m e n. 
II. É possível construir, com régua e compasso, um quadrado de mesma área que a de um retângulo 
de lados m e n.
III. Todos os triângulos retângulos que aparecem na figura são semelhantes.
Assinale a opção correta.
A) Apenas um item está certo.
B) Apenas os itens I e II estão certos.
C) Apenas os itens I e III estão certos.
D) Apenas os itens II e III estão certos.
E) Todos os itens estão certos.
Resolução desta questão na plataforma.