Algebra - QUESTIONÁRIO UNIDADE III _

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21/03/2022 19:02 Revisar envio do teste: QUESTIONÁRIO UNIDADE III – ...
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 Revisar envio do teste: QUESTIONÁRIO UNIDADE IIIÁLGEBRA 6153-60_15402_R_E1_20221 CONTEÚDO
Usuário cleidiane.cunha @aluno.unip.br
Curso ÁLGEBRA
Teste QUESTIONÁRIO UNIDADE III
Iniciado 21/03/22 18:26
Enviado 21/03/22 19:01
Status Completada
Resultado da tentativa 4 em 4 pontos  
Tempo decorrido 35 minutos
Resultados exibidos Todas as respostas, Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários, Perguntas respondidas incorretamente
Pergunta 1
Resposta Selecionada: a. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário
da
resposta:
Para veri�car se E = ℤ e a operação de�nida por x * y = x + y + xy é um grupo comutativo, foram veri�cadas as
propriedades: associativa, elemento neutro, elemento simetrizável e comutativa descritas a seguir: 
I. Como (x * y) * z = x * (y * z), dizemos 
que essa operação * é associativa. 
II. Como , dizemos que a operação * possui elemento neutro e este é 
III. Como x’ * x = x * x’ 
= 0, ∀x ∈ E, dizemos que a operação * possui todos os seus elementos simetrizáveis e, portanto, (E, *) é um grupo. 
IV. Como x * y = y * x, dizemos que a operação * é comutativa. Logo, (E, *) é um grupo comutativo. 
Conclui-se que:
Todas são verdadeiras.
Todas são verdadeiras.
Todas são falsas.
I, II e III são falsas.
I, II e III são verdadeiras.
I e IV são verdadeiras.
Resposta: A 
Comentário: para veri�car se (E, *) é um grupo comutativo ou abeliano, devemos checar as
propriedades associativa, elemento neutro, elemento simetrizável e comutativa. Então iniciaremos
pela propriedade associativa: 
I. (Associativa) 
Devemos mostrar que (x * y) * z = x * (y * z). (x * y) * z = (x + y + xy) * z 
= (x + y + xy) + z + (x + y + xy)z 
= x + y + xy + z + xz + yz + xyz 
Por outro lado, 
x * (y * z) = x * (y + z + yz) 
= x + (y + z + yz) + x(y + z + yz) 
= x + y + z + yz + xy + xz + xyz 
Como (x * y) * z = x * (y * z), dizemos 
que essa operação * é associativa. 
  
II. (Elemento neutro) 
Devemos determinar ℯ, de modo que veri�que as condições de: 
ℯ ∗ x = x = x ∗  ℯ; ∀x ∈ E.
UNIP EAD BIBLIOTECAS MURAL DO ALUNO TUTORIAIS LABORATÓRIOSCONTEÚDOS ACADÊMICOS
0,4 em 0,4 pontos
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Da outra igualdade, teremos:
Como e * x = x * e = x, ∀x ∈ E dizemos que a operação * possui elemento neutro, que a partir de
agora será utilizado como e = 0. 
  
III. (Elemento simetrizável) 
Devemos determinar x’, de modo que veri�que as condições de x’ * x = x * x' = e; ∀x ∈ E
Note que nessa operação 𝑒 = 0, como calculado anteriormente.
x' * x = 0
x' + x + x'x = 0
x' + x'x = -x
x'(1 + x) = -x
x' = -x
1 + x
Da outra igualdade, teremos:
x * x' = 0
x + x' + xx' = 0
x' + xx' = -x
x'(1 + x) = -x
x' = -x
1 + x
Como x’ * x = x * x’ = 0, ∀x ∈ E, dizemos que a operação * possui todos os seus elementos
simetrizáveis e, portanto, (E, *) é um grupo. 
Agora veremos se o grupo é também um grupo comutativo, para isso basta veri�car a propriedade
comutativa. 
  
IV. (Comutativa) 
Devemos mostrar que x * y = y * x. De um lado da igualdade, temos: 
x * y = x + y + xy 
Por outro lado, 
y * x = y + x + yx = x + y + xy. Como x * y = y * x, dizemos que a operação * é comutativa. 
Logo, (E, *) é um grupo comutativo.
Pergunta 2
Resposta
Selecionada:
c.
Com base nas estruturas de grupo em relação à operação *, dizemos que:
0,4 em 0,4 pontos
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Respostas: a.
b.
c.
d.
e.
Comentário
da
resposta:
Sendo E = ℕ (conjunto dos números naturais) e a operação de�nida por 
x * y = x + y (operação de adição),  não tem a estrutura de grupo, pois não satisfaz a propriedade
de simetrizável.
Sendo E = {1,2,3} e a operação de�nida por x * y = mdc(x, y), satisfaz as propriedades de elemento
neutro e a simetrizável, com isso dizemos que essa não possui a estrutura de grupo.
Sendo E = {1,2,3} e a operação de�nida por x * y = mdc(x, y), não satisfaz as propriedades do
elemento regular e a distributiva, com isso dizemos que essa  possui a estrutura de grupo.
Sendo E = ℕ (conjunto dos números naturais) e a operação de�nida por 
x * y = x + y (operação de adição),  não tem a estrutura de grupo, pois não satisfaz a propriedade
de simetrizável.
Sendo E = ℝ (conjunto dos números reais) e a operação de�nida por  satisfaz as
propriedades associativa, elemento neutro e simetrizável, com isso dizemos que ela não possui a
estrutura de grupo.
Sendo E = ℝ (conjunto dos números reais) e a operação de�nida por  
não satisfaz as propriedades associativa, elemento neutro e simetrizável, com isso
dizemos que ela possui a estrutura de grupo. 
Resposta: C 
Comentário: sendo E = ℕ (conjunto dos números naturais) e a operação de�nida por x * y = x + y
(operação de adição), não tem a estrutura de grupo. O conjunto dos números naturais, com a
operação de adição, não tem a estrutura de grupo, pois não satisfaz 
a propriedade de simetrizável, observe que se tornarmos o número 2, não existe nenhum elemento
oposto x’ dentro do próprio conjunto, de modo que 2 + x = 0.
Pergunta 3
Resposta Selecionada:
b. 
Respostas:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário
da resposta:
Algumas aplicações preservam as operações, transformando, às vezes, as somas dos elementos do domínio na
soma dos elementos do conjunto da imagem. Outras vezes, transformam um produto de elementos do domínio
no produto de elementos do conjunto imagem. Desta forma, a aplicação , dada por  ,  m 
:
É um homomor�smo de em 
É um mor�smo de em 
É um homomor�smo de em 
Não é um homomor�smo de em 
Não é um mor�smo de em 
É um automor�smo de em 
Resposta: B 
Comentário: a aplicação dada por , é um homomor�smo de 
 em Seja m e n 
0,4 em 0,4 pontos
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Pergunta 4
Resposta
Selecionada: d. 
Respostas:
a. 
b.
c.
d. 
e.
Comentário da resposta:
Considerando os grupos  e a função f de�nida por , f é
um homomor�smo de grupos, pois:
Resposta: D
Comentário: 
Pergunta 5
Resposta Selecionada:
e. 
Respostas:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário da
resposta:
Seja  dado por  , então f:
É um isomor�smo de 
É um automor�smo de 
É um endomor�smo de 
É um monomor�smo de 
É um epimor�smo de 
É um isomor�smo de 
Resposta: E 
Comentário: seja  ,  dado por , então f é um
homomor�smo de 
Sejam x, y 
. A
função é bijetora, então é um isomor�smo.
0,4 em 0,4 pontos
0,4 em 0,4 pontos
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Pergunta 6
Resposta
Selecionada:
a.
Respostas: a.
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário
da
resposta:
Com relação ao conceito de anel de uma estrutura algébrica é incorreto a�rmar que:
 não é um anel, com as operações usuais
de adição e multiplicação de matrizes.
 não é um anel, com as operações usuais
de adição e multiplicação de matrizes.
  é um anel.
  é um anel.
  não é um anel.
  é um anel.
Resposta: A
Comentário: 
é um anel, com as operações usuais de
adição e multiplicação de matrizes, de�nidas por:
Pergunta 7
Resposta Selecionada:
b. 
Respostas:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário da resposta:
No anel  das matrizes 2 por 2 com coe�cientes no anel dos inteiros, a matriz X =  é invertível , então
X’ é igual a:
Resposta: B 
Comentário: para encontrar a matriz inversa, basta fazer X.  X ′ = X ′ · X = I.
0,4 em 0,4 pontos
0,4 em 0,4 pontos
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Pergunta 8
Resposta Selecionada: b. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário da
resposta:
A �gura 1 apresenta a tabela de operação de , em que aparecem apenas os restos das divisões de qualquer
número inteiro por 4.
Figura 1
A linha em branco da �gura 1 deve ser preenchida com os seguintes números, respectivamente:
1, 2, 3 e 0.
0, 1, 2 e 3.
1, 2, 3 e 0.
2, 3, 1 e 0.
3, 2, 1 e 0.
2, 1, 0 e 3.
Resposta: B 
Comentário: 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 2; 1 + 2 = 3 e 1 + 3 = 4 dividindo por 4 resta zero, portanto,
marca zero no quadro.
Pergunta 9
Resposta Selecionada: e. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário da
resposta:
Sabendo-se que duas das raízes da equação x 4-5x 2-10x-6=0 são -1 e 3, as demais são:
- 1 + i e – 1 – i.
1 + i e - 1 – i.
- 1 - i e – 1 – i.
- 1 + i e 1 – i.
- 1 + i e 1 + i.
- 1 + i e – 1 – i.
Resposta: E 
Comentário: resolver a equação x 4-5x 2-10x-6=0, sabendo-se que duas de suas raízes
são -1 e 3. 
Aplicando Briot-Ru�ni:
Para as demais raízes
0,4 em 0,4 pontos
0,4 em 0,4 pontos
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Segunda-feira, 21 de Março de 2022 19h02min09s GMT-03:00
Resolvendo por Bhaskara:
Logo, a solução é dada por:
S = {-1, 3, -1 + i, -1 -i}
Pergunta 10
Resposta Selecionada: d. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário da resposta:
Dados os polinômios: A(a) = 3a 2 + 2a – 4, B(a) = 5a – 3, C(a) = 2a + 5 e as seguintes a�rmações:
I. A + B + C = 3a2 + 9a - 2
II. AB - BC = 15a3 - 9a2 - 45a + 27
III. A2 - 2B = 9a4 + 12a3 - 20a2 - 26a + 22
É correto a�rmar que:
V, V e V.
F, F e F.
V, F e F.
V, V e F.
V, V e V.
F, V e F.
Resposta: D 
Comentário: 
I) A + B + C = (3a 2 + 2a – 4) + (5a – 3) + (2a + 5) = 3a² + 9a – 2 
II) AB – BC = B(A – C) 
(5a – 3)[(3a 2 + 2a – 4) – (2a + 5)] 
(5a – 3)(3a 2 – 9) 
15a³ – 45a – 9a² + 27 
15a³ – 9a² – 45a + 27 
III) A 2 – 2B 
(3a 2 + 2a – 4)² – 2*(5a – 3) 
(3a 2 + 2a – 4)*(3a 2 
+ 2a – 4) – 10a + 6
9a4 + 6a3 - 12a2 + 6a3 + 4a2 - 8a - 12a2 - 8a + 16 - 10a + 6
9a4 + 12a3 - 20a2 - 26a + 22
← OK
0,4 em 0,4 pontos