CONTEUDO 4

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24/03/2022 19:09 Bases da matemática para ciências
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Introdução
Autoria: Thiago Fernando Mendes - Revisão técnica: Sheila Motta Steffen do
Nascimento
Bases da matemática para ciências
UNIDADE 4 - TÉCNICAS DO CÁLCULO
DIFERENCIAL E INTEGRAL
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É comum que docentes e discentes de
diferentes países tenham dificuldades
relacionadas ao processo de ensino e
aprendizagem de conceitos do cálculo integral,
em especial nos cursos universitários. É por isso
que pesquisas — principalmente aquelas
voltadas à educação matemática — têm se
dedicado a apresentar sugestões para
solucionar ou minimizar o problema.
Nesse sentido, a aplicação de técnicas de integração, como integrais por partes e
substituições diversas, além do uso de fórmulas clássicas, como as da recursividade,
são meios de facilitar ou potencializar o processo de aprendizagem de conteúdos
relacionados ao cálculo. Com a ajuda dessas ferramentas de ensino, os estudantes
podem, por exemplo, entender erros de interpretação, construir conceitos de modo
mais consistente e obter uma aprendizagem autônoma.
Contudo, você conhece, de fato, as principais técnicas de integração? Consegue
imaginar como essas técnicas podem facilitar os cálculos? Sabe quando devemos
utilizar cada uma das técnicas?
São essas questões que buscaremos responder ao longo desta última unidade. Em
síntese, nossos objetivos de aprendizagem serão resolver integrais envolvendo raiz,
logaritmos e funções exponenciais; resolver integrais que envolvem funções
trigonométricas; assim como conhecer as integrais por partes, as substituições
diversas, a fórmula de recursividade e a tábua de integrais.
Bons estudos!
4.1 Integrais exponenciais e
logarítmicas
Com relação às integrais exponenciais, seja uma função diferenciável de . Temos que a
regra de exponencial simples é dada por . Análoga à ela, conforme nos explica
Thomas (2008), temos a regra exponencial geral: .
Já estudamos anteriormente as regras de diferenciações, mas, neste momento, cabe ressaltar
que cada uma delas, quando referentes às funções exponenciais, trazem sua própria regra de
integração correspondente. Vejamos alguns exemplos, com base nas ideias de Faccin (2015),
Fernandes (2014) e Thomas (2008):
Regra do múltiplo constante 
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Façamos juntos um exemplo calculando a seguinte integral indefinida: . Inicialmente,
consideraremos , logo, temos que . Nesse caso, o fator ausente 3 pode ser
introduzido no integrado mediante a multiplicação e divisão por três:
A obra Chaos: Uma Aventura Matemática, produzida por
Jos Leys, Étienne Ghys e Aurélien Alvarez, é composta
por nove capítulos de 13 minutos cada. Ela aborda
sistemas dinâmicos, efeito borboleta e Teoria do Caos.
Cada assunto está diretamente relacionado aos
conceitos de cálculo integral, especialmente quanto às
integrais exponenciais, logarítmicas e trigonométricas.
Se você gosta dessas temáticas, assista ao filme e
preste atenção aos detalhes. Clique no link a seguir e
descubra cada capítulo!
Acesse (https://www.chaos-math.org/pt-br.html)
Você quer ver?
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Regra da integração por partes 
Regra da soma 
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Já com relação às integrais de funções logarítmicas, Thomas (2008) nos ensina que: seja 
uma função diferenciável de . Temos que a regra logarítmica simples é dada por 
. Análoga à ela, temos a regra logarítmica: .
Assim como a integral exponencial, cada uma das regras de diferenciação de funções
logarítmicas também tem sua regra de integração correspondente:
Para exemplificar, vamos calcular a seguinte integral indefinida: . Fazendo 
, temos . Aqui, devemos introduzir o fator necessário 2 no integrando, multiplicando e
dividindo por dois. Assim, temos:
Nesta unidade, nosso foco está nas técnicas de
integração, mas, caso você tenha interesse em conhecer
Você quer ler?
.
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Regra do múltiplo constante 
Regra da integração por partes 
Regra logarítmica geral 
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Ainda sobre as integrais logarítmicas, conforme destacam Gonçalves e Flemming (2006, p. 47),
elas costumam “[...] ser dadas em forma disfarçada”. Por exemplo, se uma função racional tem
o numerador de grau não inferior ao do denominador, devemos, primeiro, efetuar a divisão,
obtendo uma parte inteira e outra fracionária:
Entendido a respeito desse assunto, estudaremos a respeito das integrais trigonométricas no
próximo tópico. Acompanhe o que preparamos!
como surgiram essas técnicas e de que modo foram
desenvolvidas, indicamos a leitura do livro
Demonstrações de Integrais Indefinidas, em que o autor
Paulo Márcio Farias Coelho, fazendo uso de uma
linguagem bastante simples, cria um ambiente para
estudantes que realmente gostariam de aprender e
dominar as técnicas utilizadas para cálculo de integrais.
Vale ler!
4.2 Integrais
trigonométricas
Antes de abordarmos, especificamente, as integrais trigonométricas, é importante, mesmo que
rapidamente, entendermos as principais propriedades trigonométricas.
Inicialmente, vale destacar que as funções trigonométricas, em síntese, possuem
comportamento periódico, ou seja, cíclico. Precisamos lembrar que a função seno pode ser
definida como , dada por , que associa a cada número real um único
número também real (IEZZI; MURAKAMI, 1993). O comportamento gráfico dessa
função é ilustrado a seguir.
Figura 1 - Comportamento gráfico da função trigonométrica 
Fonte: Elaborada pelo autor, 2020.
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#PraCegoVer: na figura, temos um plano cartesiano com eixo das abscissas indo de a e
eixo das ordenadas indo de -1 a 1. Há uma curva trigonométrica representando o
comportamento gráfico da função .
A função cosseno, por sua vez, é definida como , dada por , que, de
forma análoga à função seno, associa a cada número real um único número também
real (DEMANA et al., 2008). O comportamento gráfico pode ser observado na sequência.
#PraCegoVer: na figura, temos um plano cartesiano com eixo das abscissas indo de a e
eixo das ordenadas indo de -1 a 1. Há uma curva trigonométrica representando o
comportamento gráfico da função .
Por fim, a função tangente é definida como , com com , dada por 
, que associa a cada número real um único número também real
(DEMANA et al., 2008). Vejamos o comportamento gráfico a seguir.
#PraCegoVer: na figura, temos um plano cartesiano com eixo das abscissas indo de a e
eixo das ordenadas indo de -2 a 3. Há uma curva trigonométrica representando o
comportamento gráfico da função .
Figura 2 - Comportamento gráfico da função trigonométrica 
Fonte: Elaborada pelo autor, 2020.
Figura 3 - Comportamento gráfico da função trigonométrica 
Fonte: Elaborada pelo autor, 2020.
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Nesse sentido, Fernandes (2014) elenca algumas propriedades a serem consideradas. Vamos
conhecer cada uma delas?
Partindo dessas propriedades ou identidades, temos as seguintes integrais trigonométricas:
Vejamos na sequência um caso para compreender mais detalhadamente a respeito da
temática. Assim, você poderá aprofundar seus conhecimentos. Confira!
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Caso
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Há na matemática alguns modelos clássicos, como os
mesoscópicos. De acordo com Bassanezi (2002), se
examinarmos mais atentamente o crescimento de certaspopulações ou, até mesmo, de um indivíduo, verificamos que
podem existir comportamentos diferentes em relação ao
tamanho limite pré-estimado.
Ao analisar o crescimento populacional das abelhas em certa
região brasileira, uma equipe de pesquisadores determinou que
tal crescimento se dava à uma velocidade que pode ser descrita
pela função . Com a função, os pesquisadores
determinaram a quantidade de abelhas existentes na região a
partir da primitiva de . Para tanto, bastou calcular 
.
Existem outras propriedades que envolvem as relações trigonométricas e funções
exponenciais, mas nós a conheceremos quando formos tratar das fórmulas de recorrências,
que será muito em breve. No momento, passaremos ao estudo das técnicas de integração,
conforme conteúdo disposto a seguir.
4.3 Técnicas de
integração
Como já tratamos em tópicos anteriores, as técnicas matemáticas nos permitem realizar os
cálculos de forma rápida e prática, de modo que os erros sejam minimizados. No caso das
integrais, também temos uma série de técnicas que facilitam a determinação das funções
primitivas.
Na tentativa de solucionar alguns problemas relacionados à
navegação, os gregos se interessaram em determinar o raio da
Terra e a distância desta à Lua. O último problema implicou no
surgimento das primeiras noções que conhecemos até hoje em
trigonometria. No entanto, os cálculos nunca davam certo! Tais
respostas foram obtidas apenas décadas depois, quando
Você sabia?
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As principais técnicas utilizadas são a integral por partes, as substituições diversas, as próprias
fórmulas de recursividade e a tábua de integrais. Esta reúne uma série de integrais que podem
ser aplicadas na resolução de problemas. Conheceremos cada uma dessas metodologias a
partir de agora. Acompanhe!
4.3.1 Integral por partes
Na integração por partes, aprenderemos a lidar com integrais de produtos de funções do tipo 
. Essa regra, conforme explicitam Fróes, Fábrega e Geraldini (2016), traz que,
dadas duas funções deriváveis e , então .
Por exemplo, vamos calcular a integral da função : . No caso,
inicialmente, devemos escolher e entre as funções da integral. Assim, temos que 
e . Após isso, determinamos , em que .
Analogamente, determinamos , em que e .
Substituindo as funções na regra da integração por partes, temos:
Compreendida essa parte, vamos passar à técnica de substituições diversas. Continue seus
estudos com o próximo item!
4.3.2 Substituições diversas
Sobre a mudança de variáveis ou substituições, Demana et al. (2008) afirma que
determinadas integrais permitem que se realize uma transformação na variável. Isso reduz uma
integral mais complicada em uma simples e imediata.
Para isso, definimos uma nova variável relacionada à variável por meio da expressão 
. Usaremos o seguinte: . Logo, temos que 
.
Por exemplo, a mudança de variáveis facilita o cálculo da integral da função . Assim,
temos . Realizando a substituição, teremos:
Além destas, as substituições trigonométricas também podem ser utilizadas no
desenvolvimento de integrais, conforme regras explicitadas na tabela a seguir.
conhecimentos relacionados às integrais trigonométricos foram
desenvolvidos e puderam ser aplicados em tais contextos (BOYER;
MERZBACH, 2019).
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#PraCegoVer: na tabela, temos três colunas e quatro linhas. Na primeira coluna, encontramos
a expressão no integrando, envolvendo , e . Já na segunda
coluna, temos as substituições, com , e . Na última coluna,
há as restrições sobre .
Neste momento, antes de seguirmos com o conteúdo, vamos realizar uma atividade para fixar
nossos conhecimentos adquiridos? Leia atentamente à questão proposta na sequência e
responda da melhor maneira!
Além das técnicas, as fórmulas clássicas também são mecanismos utilizados nas aulas de
cálculo, a fim de facilitar a determinação das funções primitivas.
4.3.3 Fórmula de recursividade
Assim como as técnicas de integração, o uso de fórmulas também facilita os cálculos e permite
que uma série de primitivas sejam determinadas, sem que haja a necessidade de deduzir
inúmeras relações.
As principais fórmulas de recursividade ou recorrência, são as seguintes:
Tabela 1 - Regras de substituição trigonométrica
Fonte: Elaborada pelo autor, baseada em FRÓES; FÁBREGA; GERALDINI, 2016.
Teste seus conhecimentos
(Atividade não pontuada)
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Ademais, em uma sequência do cálculo diferencial e integral, há fórmulas de recursividade que
têm grande aplicabilidade em outras ciências, como a física, a exemplo da transformada de
Fourier e da transformada de Laplace. No entanto, ambas fazem uso de conceitos relacionados
a equações diferenciais e ordinárias, que não dizem respeito à esta disciplina.
Já que o assunto ficou claro, vamos realizar mais uma atividade? Colocaremos em prática
nossos conhecimentos sobre um cálculo de integral envolver a substituição trigonométrica. Leia
atentamente e tente resolver o problema!
Há, também, mais um mecanismo utilizado nas aulas de cálculo integral, que reúne as
principais propriedades e técnicas: a tábua de integrais. Falaremos a respeito dessa ferramenta
na sequência. Acompanhe!
4.3.4 Tábua de integrais
De acordo com Stewart (2016, p. 132) uma tábua de integrais ou tabela de integrais é “[...]
uma lista que relaciona funções a famílias de antiderivadas apropriadas. Associada às
propriedades de integração, tais tabelas são ferramentas de auxílio no cálculo de integrais”.
Assim, considerando que a integral de uma função é também a sua antiderivada, em uma tábua
de integrais, é comum termos uma lista das principais derivadas.
Pierre-Simon (1749-1827), também conhecido como
Marquês de Laplace, foi um matemático, astrônomo e físico
francês que organizou a astronomia matemática, resumindo
e ampliando o trabalho de importantes estudiosos, como
Isaac Newton. A importância de Laplace para a matemática
foi tão ampla que até hoje seu nome é lembrado nas
disciplinas de cálculo por conta de seus estudos
relacionados, principalmente, à Teoria da Probabilidade.
Você o conhece?
Teste seus conhecimentos
(Atividade não pontuada)
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#PraCegoVer: na figura, temos 20 propriedades para cálculo da derivada de uma função. Vão
desde as mais simples — como a derivada de uma função potência —
até as mais complexas — como a derivada da função arco cosseno.
De forma geral, uma tábua de integrais também apresenta, de forma suscinta, as principais
propriedades de integrais indefinidas, integrais definidas, funções simples (funções racionais,
logaritmos, funções exponenciais, funções irracionais, funções trigonométricas e funções
hiperbólicas), integrais impróprias e funções exponenciais (função gama, função erro,
logaritmos integrais, integral elíptica, seno integral e cosseno integral).
Figura 4 - Relação das principais propriedades derivativas de uma função
Fonte: Elaborada pelo autor, baseada em THOMAS, 2008.
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#PraCegoVer: na figura, temos 21 propriedades para cálculo da integral de uma função. Vão
desde as mais simples — como a integral — até as mais complexas — como as
funções envolvendo substituições trigonométricas.
Por muitos anos o ensino de matemática no Brasil foi completamente processado nos moldes
tradicionais, ou seja, sem a abordagem e discussão de propostas metodológicas voltadas à
inovação. Em um primeiro momento, o uso de tábuas de integrais pode nos remeter a esse
molde de ensino: focado na memorização e reprodução de técnicas. No entanto, no
desenvolvimento desta unidade, observamosque tudo depende dos intuitos pelos quais tais
usos são realizados. No caso da tábua de integrais, especificamente, podemos considerá-la
como algo que facilita a vida do estudante, sem que este precise deduzir cada uma das
propriedades.
Figura 5 - Relação das principais propriedades integrativas de uma função
Fonte: Elaborada pelo autor, baseada em THOMAS, 2008.
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Chegamos ao fim da quarta e última unidade da disciplina de
Bases da Matemática para Ciências. Após discutirmos
conceitos e propriedades importantes anteriormente, aqui,
nosso foco foi as técnicas, que, de várias maneiras, podem
facilitar o trabalho com integrais.
Nesta unidade, você teve a oportunidade de:
Conclusão
conhecer conceitos e técnicas relativas às integrais de
funções de uma variável e suas aplicações;
determinar funções primitivas envolvendo raízes, logaritmos
e funções exponenciais;
resolver integrais envolvendo funções trigonométricas;
trabalhar com técnicas como integrais por partes e
substituições diversas;
aprender sobre a fórmula de recursividade e a tábua de
integrais.
BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem
matemática. São Paulo: Contexto, 2002.
BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C. História da matemática.
São Paulo: Blucher, 2019.
CHAOS: uma aventura matemática. CHAOS, [s. l.], [s. d.]. Disponível em:
https://www.chaos-math.org/pt-br.html (https://www.chaos-math.org/pt-br.html).
Acesso em: 18 dez. 2020.
COELHO, P. M. F. Demonstrações de integrais indefinidas. Rio de Janeiro: Ciência
Moderna, 2012.
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2008.
FACCIN, G. M. Elementos de cálculo diferencial e integral. São Paulo:
InterSaberes, 2015.
FERNANDES, D. B. (org.). Cálculo diferencial. São Paulo: Pearson Education do
Brasil, 2014.
FRÓES, A. L. D.; FÁBREGA, F. M.; GERALDINI, D. Cálculo diferencial e integral II.
Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S.A., 2016.
Referências
https://www.chaos-math.org/pt-br.html
24/03/2022 19:09 Bases da matemática para ciências
https://ambienteacademico.com.br/course/view.php?id=6181 15/15
GONÇALVES, M. B.; FLEMMING, D. M. Cálculo A: funções, limite, derivação,
integração. 6. ed. São Paulo: Pearson Universidades, 2006.
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de matemática elementar: conjuntos,
funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
STEWART, J. Cálculo. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016.
THOMAS, G. B. Cálculo. São Paulo: Pearson, 2008. v. 1.