APLICAÇÃO DE MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ESTIMATIVA DE VARIÁVEIS

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__________________________________ 
1 Engo Agrônomo, Prof. Dr., Departamento de Ciências Exatas, Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz” - ESALQ/USP, 
Av. Pádua Dias, 11 Caixa Postal 9, Piracicaba - SP, Fone: (0XX19) 3429.4283, ramal: 210, jhmirand@esalq.usp.br 
2 Prof. Associado, Departamento de Ciências Exatas, ESALQ/USP, Piracicaba - SP, lrangelo@esalq.usp.br 
3 Profa. Dra., Departamento de Engenharia Rural, ESALQ/USP, Piracicaba - SP, kosilva@uol.com.br 
4 Prof. Dr., Departamento de Engenharia Rural, ESALQ/USP, Piracicaba - SP, snduarte@esalq.usp.br 
5 Prof. Associado, Departamento de Ciências Exatas, ESALQ/USP, Piracicaba - SP, navnova@esalq.usp.br 
Recebido pelo Conselho Editorial em: 30-1-2006 
Aprovado pelo Conselho Editorial em: 30-8-2006 
Eng. Agríc., Jaboticabal, v.26, n.3, p.686-694, set./dez. 2006 
APLICAÇÃO DE MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ESTIMATIVA DE VARIÁVEIS 
PSICROMÉTRICAS 
 
JARBAS H. DE MIRANDA1, LUIZ R. ANGELOCCI2, KÉSIA O. DA SILVA3, 
SERGIO N. DUARTE4, NILSON A. VILLA NOVA5 
 
RESUMO: O ar atmosférico é formado por uma composição de ar seco e vapor d'água, cujos 
valores da quantidade de vapor, em termos quantitativos, são variáveis em função dos elementos 
climáticos, tais como: temperatura e pressão. Portanto, para estimar os valores de umidade relativa 
do ar, são necessárias informações completas de séries de dados de temperatura do ar (Tar), pressão 
atual de vapor (ea) e temperatura de bulbo úmido (Tu). O trabalho apresenta como objetivo a 
elaboração de rotina computacional para encontrar valores da temperatura do termômetro de bulbo 
úmido (Tu) em função de outras variáveis, para uma série de dados obtidos, mediante a aplicação 
de métodos numéricos (Método de Newton-Raphson e Método da Secante), para fins de 
complementação de uma série de dados diários para Piracicaba - SP. Verificou-se que os métodos 
numéricos de Newton-Raphson e da Secante apresentaram bom desempenho na simulação dos 
resultados, porém o método da Secante apresentou-se como o melhor para encontrar os valores de 
Tu, mediante a resolução numérica da equação psicrométrica. 
 
PALAVRAS-CHAVE: métodos numéricos, temperatura de bulbo úmido, umidade relativa. 
 
 
APPLICATION OF NUMERIC METHODS FOR PSYCHROMETRIC VARIABLES 
ESTIMATION 
 
ABSTRACT: The atmospheric air is formed by a composition of dry air and water vapour, whose 
values of the vapour amount, in quantitative terms, are variable in function of climatic elements 
such as temperature and pressure. Therefore, to estimate the air relative humidity is necessary 
complete information’s of historical data series of air temperature (Tar), vapour pressure (ea) and 
wet-bulb temperature (Tu). Therefore, these values were used to calculate Tu in order to complete 
the daily data series for Piracicaba - SP, Brazil. This work had the objective of elaborating a 
computational routine to estimate values of the wet-bulb temperature (Tu) as a function of climate 
variables, to obtain data series, based on numeric methods (Newton-Raphson Method and Secant 
Method). The results showed that the numeric methods of Newton-Raphson and Secant presented 
good estimates of Tu, however the Secant method showed as the best numeric method to be applied 
for the numeric solution of the psychrometric variables. 
 
KEYWORDS: numeric methods, wet-bulb temperature, relative humidity. 
 
INTRODUÇÃO 
O desenvolvimento de técnicas de manejo de irrigação requer o conhecimento de quando, 
quanto e como aplicar água, sendo dependentes das condições atmosféricas locais; o conhecimento 
dessas variações tem grandes aplicações no meio agrícola, principalmente em se tratando das 
necessidades hídricas das culturas (CASTELLVÍ et al., 1996). O ar atmosférico é composto por 
uma mistura de ar seco e vapor d'água e, em certas condições de temperatura e pressão, essa 
composição é capaz de conter quantidades variáveis de vapor d’água, pois normalmente o ar 
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encontra-se não-saturado e, portanto, capaz de reter maior quantidade de vapor d’água (SILVA, 
2002). Para que ocorra essa retenção, é necessário que a água passe da fase líquida para a fase de 
vapor, cuja mudança demanda certa quantidade de energia, a qual é retirada do ar, resfriando-o 
(SILVA, 2002). Nesse caso, pode-se definir a evaporação como sendo a transição entre fase 
líquido-vapor (vaporização), ou seja, a uma temperatura menor que a de ebulição e possuindo as 
moléculas da interface atuando no processo, caracterizando-se, portanto, como um fenômeno de 
superfície. 
Dados meteorológicos do ambiente freqüentemente podem ser apresentados por diferentes 
maneiras, em termos de variações da quantidade de vapor d´água na atmosfera, na escala vertical e 
temporal, e normalmente são obtidos por diferentes instrumentos (JUPP, 2003). 
O conhecimento de propriedades psicrométricas é fundamental para projetar sistemas de 
controle ambiental para plantas, animais e seres humanos (SINGH et al., 2002). 
Normalmente, as pesquisas sobre psicrometria são feitas utilizando-se de um instrumento 
denominado psicrômetro, o qual se trata, basicamente, de um conjunto de termômetros de bulbo 
seco e úmido (coberto por um tecido imerso em água) (DIAS, 2001). Quando o termômetro de 
bulbo úmido é colocado em uma corrente de ar, a água se evapora do tecido, até que atinja uma 
temperatura de equilíbrio, chamada temperatura do termômetro de bulbo úmido (Tu). Esse processo 
não é de saturação adiabática, a qual define a Tu em termos dinâmicos, mas trata-se de 
transferência de calor e massa simultâneos no bulbo úmido (BEYER, 1998, citado por DIAS, 
2001). 
Portanto, por intermédio do psicrômetro, podem ser obtidas as temperaturas de bulbo úmido 
e da temperatura do ar (bulbo seco), tendo sido o método mais comum para obter informações 
sobre o vapor d´água em estações meteorológicas tradicionais. Com essas duas propriedades 
psicrométricas, juntamente com a pressão atmosférica, é possível calcular várias propriedades 
psicrométricas, tais como: a pressão exercida pelo vapor sobre a massa líquida, chamada de pressão 
atual de vapor (ea) (COSTA, 2003), e a umidade relativa do ar, que é a razão entre a pressão atual 
de vapor e a pressão de saturação de vapor (es) (MONTEITH & UNSWORTH, 1990). 
Porém, a determinação de Tu, que é uma medida da quantidade de umidade do vapor d´água 
contido no ar, torna-se algumas vezes difícil e, diante das equações disponíveis, pode ser obtida 
mediante tentativas ou iterações, realizadas por métodos numéricos, tais como: Newton-Raphson e 
Secante. Pode-se dizer, em termos gerais, que são métodos bastante difundidos e com ampla 
aplicação em diferentes áreas da Engenharia Agrícola. O método da secante é uma variação do 
método de Newton-Raphson, o qual converge quadraticamente para raízes simples, enquanto o 
método da secante converge linearmente para a mesma situação (DÍEZ, 2003). 
Portanto, o objetivo do presente trabalho foi desenvolver rotina computacional, em Visual 
Basic 6.0, aplicando métodos numéricos (Método de Newton-Raphson e Método da Secante) para 
encontrar valores da temperatura de bulbo úmido em função de outros parâmetros (pressão parcial 
de vapor d´água, constante psicrométrica, pressão do local e temperatura do ar), para completar 
uma série de dados meteorológicos obtidos para Piracicaba - SP. 
 
MATERIAL E MÉTODOS 
Os dados meteorológicos de temperatura do ar (Tar) e pressão atual de vapor (ea), utilizados 
neste trabalho, foram obtidos por uma sonda de temperatura e umidade relativa do ar, do tipo 
HMP35C (Campbell Scientific, Inc.), instalada no posto agrometeorológico da Escola Superior de 
Agricultura “Luiz de Queiroz” - ESALQ/USP, localizado a 22o42’30” S e 47o38’00” W, a 546 m 
de altitude, em Piracicaba - SP. 
O equipamento coletou dados diários de temperatura do ar (Tar) e da pressão atual de vapor 
(ea) emintervalos de 15 minutos, iniciando-se à 0 h do dia 1o-1-2003 até às 7h30 do dia 8-12-2003, 
totalizando-se 32.767 valores, utilizados para a simulação. 
Jarbas H. de Miranda, Luiz R. Angelocci, Késia O. da Silva et al. 
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Pressão de saturação de vapor 
Para calcular os valores de pressão de saturação de vapor em situações práticas, utiliza-se da 
aproximação e derivações de TETENS (1930), amplamente utilizadas em Agrometeorologia, 
expressa por MURRAY (1967), dada por: 
Ts237,3
7,5Ts
s 100,6108e
+= (1) 
em que, 
es - pressão de saturação de vapor d´água, kPa, e 
Ts - temperatura do psicrômetro de bulbo seco, oC. 
 
Pressão parcial de vapor d´água 
A pressão exercida pela massa atual de vapor d´água existente na atmosfera é definida pelo 
símbolo ea. A pressão parcial de vapor (ea) varia desde zero, para o ar totalmente seco, até ao valor 
máximo denominado de pressão de saturação de vapor d´água (es) (PEREIRA et al., 2001), dada 
por: 
( )ussua TTPcpee −−= (2) 
em que, 
ea- pressão atual de vapor d´água, kPa; 
esu - pressão de saturação de vapor d´água, com base na temperatura do termômetro de bulbo 
úmido, oC; 
cp - constante psicrométrica (0,0008 oC-1, psicrômetro não-aspirado); 
P - pressão atmosférica local, kPa; 
Ts - temperatura do termômetro de bulbo seco, oC, e 
Tu - temperatura do termômetro de bulbo úmido, oC. 
 
Substituindo-se a expressão de pressão de saturação de vapor d´água, com base na 
temperatura do termômetro de bulbo úmido, na eq.(2), obtém-se a eq.(3), dada por: 
( )usTu237,3
7,5Tu
a TTPcp100,6108e −−=
+ (3) 
A partir da eq.(3), chega-se ao problema a ser resolvido, uma vez que a série de dados, 
coletada na estação, disponibiliza apenas a pressão atual de vapor (kPa), a temperatura do 
termômetro de bulbo seco (oC), a constante psicrométrica (cp) e a pressão do local (P), restando 
somente a temperatura do termômetro de bulbo úmido (Tu), utilizando-se de métodos numéricos 
para encontrar os valores de Tu e completar a série de dados e ser disponibilizada para os usuários, 
mediante a resolução numérica da eq.(4), por meio de processos iterativos (f(Tu) = ea). 
( ) ( )
�
�
�
�
�
�
�
�
−−= + us
T237,3
7,5T
u TTPcp100,6108Tf u
u
 (4) 
Métodos numéricos 
Foram aplicados dois métodos numéricos: o método de Newton-Raphson e o método da 
Secante. O método de Newton-Raphson é muito útil para determinar raízes de funções. A 
seqüência gerada dessa maneira converge para uma raiz de f(Tu), em que Tu1 é um valor 
inicialmente atribuído à raiz. Geometricamente, o método de Newton-Raphson funciona traçando 
tangentes à curva nas aproximações de Tu e tomando a próxima aproximação dada pela interseção 
da reta tangente com o eixo de Tu (Figura 1). 
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0
1,5
3
4,5
6
7,5
9
0 10 20 30 40
Ts (oC)
es
 (k
P
a)
X1
f(X1)
f(X)
 
(a) 
0
1,5
3
4,5
6
7,5
9
0 10 20 30 40
Ts (oC)
es
 (k
P
a)
X0
f(X0)
X1
f(X1)
X2
f(X2)
f(X)
(b) 
 
FIGURA 1. Representação esquemática do método de Newton-Raphson (a) e do método da 
Secante (b). 
 
O método de Newton-Raphson é baseado num processo de iteração dado por: 
( )
( )Tuf´
Tuf
TuTu i1i −=+ (4) 
 
Cada método apresenta uma característica própria para a resolução e, dentre essas, pode-se 
ressaltar que existe uma desvantagem do Método de Newton-Raphson, que é a obtenção da 
derivada da função (f´(Tu)), cujas expressões são dadas pelas eqs.(5) e (6): 
( )
�
�
�
�
�
�
�
�
−+−= + us
tu237,3
tu7,5
a
u
TTPcp100,6108e
dT
d
f´(Tu) (5) 
( )
( ) Pcp10Ln
T237,3
T
7,5
T237,3
7,5
100,6108f´(Tu) 2
u
u
u
T237,3
T
7,5
u
u
−
�
�
�
�
�
�
�
�
+
−
+
−= + (6) 
 
Diante disso, elaborou-se uma rotina computacional capaz de determinar os valores de Tu 
para uma série extensa de dados, com rapidez e precisão, utilizando-se, para tal, dos métodos 
numéricos de Newton-Raphson e Secante. O fluxograma da rotina computacional para o método de 
Newton-Raphson é mostrado na Figura 2. 
O outro método aplicado foi o da Secante, que contorna de certa forma a dificuldade do 
método de Newton-Raphson, substituindo-se a derivada da função por uma aproximação. Pode-se, 
portanto, descrever que, sendo dadas duas aproximações iTu e 1iTu + , traça-se uma reta secante 
que passa por ( iTu , f( iTu )) e ( 1iTu + , f( 1iTu + )). Nesse caso, obtém-se a interceção com o eixo x em 
((ϕ( 1iTu + ), 0). Faz-se iTu assumir o valor de 1iTu + , e 1iTu + receber o valor de ϕ( 1iTu + ). Repete-se 
esse processo até obter a precisão estabelecida, ou seja, o fato de que os dois métodos numéricos 
são executados até satisfazer uma condição de erro (estabelecido pelo usuário), que nada mais é do 
que o estabelecimento de uma diferença entre a leitura calculada ( 1iTu + ) e a obtida, anteriormente 
( iTu ). No caso das duas rotinas, o erro estabelecido foi de 10
-8. Esse processo para a determinação 
de aproximações das raízes de uma equação é semelhante ao método de Newton-Raphson. Nele, a 
equação da tangente é substituída pela equação da secante que corta a curva da função em dois 
pontos cujas abscissas definem um intervalo no qual está contida a raiz (TLI = temperatura limite 
inferior; TLS = temperatura limite superior). O fluxograma da rotina computacional para o método 
da Secante é mostrado na Figura 3. 
Jarbas H. de Miranda, Luiz R. Angelocci, Késia O. da Silva et al. 
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Não 
Sim 
Início 
Entrada manual da 
pressão do local, 
constante psicrométrica 
e Tui e Ler o Banco de 
Dados (ea e Ts) 
( )iTuf e ( )iTu´f 
( )
( )i
i
i1i Tu´f
Tufea
TuTu
−−=+ 
1ii TuTu += 
 
ErroTuTu i1i <−+ 
 
 
 
Fim 
 
FIGURA 2. Fluxograma do método de Newton-Raphson. 
 
 
Não 
Início 
Entrada manual da 
pressão do local, 
constante psicrométrica 
e TLI e TLS, Ler o 
Banco de Dados (ea e 
Ts) 
Tu = TLI 
 
( )LITea 
 
iLIii )T(eaeaFx −= 
Tu = TLS 
 
( )LSTea 
 
iLSi1i )T(eaeaFx −=+ 
LILS
i1i
i TT
FxFx
m
−
−= + 
i
1i
LSi m
Fx
TTu +−= 
iLS
LSLI
TuT
TT
=
=
 
Sim 
 
ErroTuTu i1i <−+ 
 
 
 
Fim 
 
FIGURA 3. Fluxograma do método da Secante. 
Aplicação de métodos numéricos para estimativa de variáveis psicrométricas 
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Rotina computacional 
Desenvolveu-se um programa em Visual Basic 6.0, que permite ao usuário a opção de 
aplicação de um dos métodos numéricos descritos anteriormente, para encontrar o valor de Tu 
correspondente ao valor da pressão atual de vapor (kPa), registrada pela estação automática, 
conforme Figura 4. 
 
(a) 
 
(b) 
FIGURA 4. Tela da rotina computacional para a estimativa de Tu, utilizando-se do Método da 
Secante (a); tela da rotina computacional para a estimativa de Tu, utilizando-se do 
Método de Newton-Raphson (b) 
 
RESULTADOS E DISCUSSÃO 
Nota-se que os métodos de Newton-Raphson e Secante apresentaram bom desempenho na 
simulação dos resultados, porém, para algumas situações, por exemplo, 263 valores de Tu foram 
nulos, para a série de 32.767 valores avaliados. Isso indica que o método de Newton-Raphson não 
convergiu para uma solução da equação, o que não aconteceu para o método da Secante. Verifica-
se que, na série de dados, 5.467 valores apresentaram valores de Tu, obtidos pelo método de 
Newton-Raphson, superiores aos obtidos pelo da Secante (Figura 5). 
y = 0,9981x
R2 = 0,9593
0
5
10
15
20
25
30
0 5 10 15 20 25 30
Método da Secante - Tu (oC) 
M
ét
od
o 
de
 N
ew
to
n-
R
ap
hs
on
 - 
Tu
 (o
C
)
 
FIGURA 5. Correlação dos 32.767 valores de Tu obtidos pelos métodos numéricos de Newton-
Raphson e Secante. 
 
O fato de o método de Newton-Raphson, em certas situações, não ter convergido para uma 
solução numérica, fez com que o númerode iterações fosse maior do que o da Secante. Para a 
resolução dos valores de Tu, o método de Newton-Raphson totalizou média de 11,75 iterações para 
encontrar o resultado da equação, ao passo que o método da Secante apresentou média de 3,11 
iterações. Porém, em termos de tempo de máquina, pelo método de Newton-Raphson, foram gastos 
Jarbas H. de Miranda, Luiz R. Angelocci, Késia O. da Silva et al. 
Eng. Agríc., Jaboticabal, v.26, n.3, p.686-694, set./dez. 2006 
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um total de 28 s, enquanto, pelo método da Secante, foram gastos aproximadamente 55 s. Isso 
evidencia que o método de Newton-Raphson é mais eficiente que o da Secante para a resolução da 
equação, porém, devido a algumas situações, o referido método não encontrou as soluções da 
equação. 
Na tentativa de melhor esclarecimento desse comportamento do Método de Newton-
Raphson, elaborou-se um gráfico com os valores de temperatura do ar (Tar) e de pressão parcial de 
vapor (ea), para os referidos 263 valores, nos quais o Método de Newton-Raphson apresentou os 
valores nulos para Tu (Tabela 1). Pôde-se observar que o comportamento dos valores de Tar e de ea 
para que o Método de Newton-Raphson não convergisse para uma solução, deve-se ao fato, 
principalmente, de que são valores baixos, especialmente entre o período de 7 de maio e 10 de 
setembro (Figura 6). 
 
TABELA 1. Valores médios, mínimos e máximos da temperatura do ar (Tar) e pressão atual de 
vapor (ea) (263 dados), de uma série de 32.767 valores, do ano de 2003, para 
Piracicaba - SP. 
Elementos Climáticos 
Temperatura do Ar (Tar) 
oC 
Pressão Atual de Vapor (ea) 
kPa 
Média 11,03 1,0351 
Valor Mínimo 10,00 0,5450 
Valor Máximo 18,11 1,1800 
 
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Dados
Te
m
pe
ra
tu
ra
 d
o 
ar
 (o
C
)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
P
ressão atual de vapor (ea) - kP
aTar ea
07 de maio 17 de agosto 10 de setembro
 
FIGURA 6. Análise dos 263 valores de Tar e de ea, em que o Método de Newton-Raphson não 
convergiu para uma solução da equação psicrométrica. 
 
Por outro lado, também se observa pela Figura 5 que alguns valores de Tu obtidos pelo 
Método de Newton-Raphson foram superiores aos obtidos pelo da Secante. Na tentativa de explicar 
esse comportamento, elaborou-se um gráfico com os valores de Tar e de ea para os referidos 
valores; no total, foram 5.467 valores, nos quais o Método de Newton-Raphson superestimou os 
valores de Tu em relação ao da Secante (Tabela 2). Pôde-se observar que o comportamento dos 
valores de Tar e de ea para que o Método de Newton-Raphson superestimasse os valores, deve-se 
principalmente ao fato de que os valores de Tar e ea foram maiores para o respectivo período 
(Figura 7). 
Portanto, diante das simulações realizadas pela rotina computacional, pode-se evidenciar 
melhor desempenho do Método da Secante em relação ao de Newton-Raphson para a resolução 
numérica da equação psicrométrica. Isso se deve, principalmente, ao fato de que algumas situações 
P
re
ss
ão
 a
tu
al
 d
e 
va
po
r (
e a
) -
 k
P
a 
Te
m
pe
ra
tu
ra
 d
o 
ar
 (º
C
) 
Aplicação de métodos numéricos para estimativa de variáveis psicrométricas 
Eng. Agríc., Jaboticabal, v.26, n.3, p.686-694, set./dez. 2006 
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combinadas entre a Tar e a ea fizessem com que o método de Newton-Raphson não convergisse 
para uma solução. 
 
TABELA 2. Valores médios, mínimos e máximos de Tar e ea (5.467 dados), da série de 32.767 
valores, de 2003, para Piracicaba - SP. 
Elementos Climáticos 
Temperatura do Ar (Tar) 
oC 
Pressão Atual de Vapor (ea) 
kPa 
Média 19,41 1,6884 
Valor Mínimo 5,93 0,460 
Valor Máximo 35,23 3,398 
 
0
5
10
15
20
25
30
35
Dados
Te
m
pe
ra
tu
ra
 d
o 
ar
 (o
C
)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
P
ressão atual de vapor (ea) - kP
a
Tar ea
01 de janeiro 08 de dezembro
50
 
FIGURA 7. Análise dos 5.467 valores de Tar e de ea, em que o Método de Newton-Raphson 
superestimou os valores de Tu em relação ao da Secante. 
 
CONCLUSÕES 
Os métodos numéricos de Newton-Raphson e da Secante apresentaram bom desempenho na 
simulação dos resultados, porém o método da Secante foi melhor para ser aplicado à resolução 
numérica da equação psicrométrica. 
Para valores baixos de Tar e de ea, o método de Newton-Raphson encontrou dificuldades em 
solucionar a equação psicrométrica; para valores elevados de Tar e de ea, o método de Newton-
Raphson apresentou tendência de superestimar os valores de Tu em relação ao da Secante. 
 
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re
ss
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 a
tu
al
 d
e 
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po
r (
e a
) -
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P
a 
Te
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pe
ra
tu
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 d
o 
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 (º
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