controle estatistico

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Métodos Estocásticos da Engenharia III
Capítulo 3 - Controle Estatístico de Processos:
Cartas de Controle
Prof. Magno Silvério Campos
2019/2
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/2 1 / 77
Bibliografia
Bibliografia
Essas notas de aulas foram baseadas nas seguintes obras:
1 CARPINETTI, L. C. R.; et al. Controle Estatístico de Qualidade. 2 ed. São Paulo:
Atlas, 2009.
2 DEVORE, J. L. Probabilidade e estatística para Engenharia e Ciências. São Paulo:
Cengage Learning, 2014.
3 HINES, W.W.; et al. Probabilidade e Estatística na Engenharia. 4. ed. Rio de
Janeiro: LTC, 2006.
4 LEVINE, D. M.; et al. Estatística - Teoria e Aplicações. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC,
2008.
5 MONTGOMERY, D.C.; RUNGER, G.C. Estatística Aplicada e Probabilidade para
Engenheiros. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
6 MONTGOMERY, D. C. Introdução ao Controle Estatístico da Qualidade. 7. ed. Rio
de Janeiro: LTC, 2016.
7 MOORE, D.S. A Estatística Básica e sua Prática. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011.
8 RIBEIRO Jr., J. I. Métodos Estatísticos Aplicados ao Controle da Qualidade. Viçosa:
Editora UFV, 2013.
9 RYAN, T. R. Estatística Moderna para Engenharia. Rio de Janeiro: Elsevier, 2009.
10 WALPOLE, R. E.; et al. Probabilidade & Estatística para Engenharia e Ciências. 8.
ed. São Paulo: Pearson, 2009.
Aconselha-se pesquisá-las para se obter um maior aprofundamento e um melhor aproveita-
mento nos estudos.
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Conteúdo Programático
Conteúdo Programático
Seção 0 - Introdução
Seção 1 - Gráficos de controle para variáveis
Para subgrupos:
Carta X̄ −R (média - amplitude);
Carta X̄ − S (média - desvio-padrão);
Carta Z (zona);
Para medidas individuais:
Carta I −AM (individual - amplitude móvel);
Carta Z −AM (padronização - amplitude móvel);
Seção 2 - Gráficos de controle para atributos
Carta P (proporção de sucessos);
Carta NP (número de sucessos referentes a P);
Carta P de Laney;
Carta U (sucessos por unidade);
Carta C (total de sucessos referentes a U);
Carta U de Laney;
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Conteúdo Programático
Conteúdo Programático
Seção 3 - Gráficos de controle ponderados no tempo
Carta MA (média móvel) ?;
Carta EWMA (média móvel ponderada exponencialmente) ?;
Carta CUSUM (soma cumulativa) ?;
Seção 4 - Gráficos de controle para eventos raros
Carta G (Geométrica - número de tentativas entre eventos raros);
Carta T (intervalo entre eventos raros);
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Seção 0 - Introdução
Introdução
Processo sob controle estatístico
Um processo que esteja operando com somente certa variabilidade natural ou inerente ao
processo é dito estar sob controle estatístico.
Processo fora controle estatístico
Um processo que esteja operando também com certa variabilidade especial ou atribuída é
dito estar fora de controle estatístico.
Objetivo
O objetivo principal do controle estatístico é a eliminação da variabilidade no processo, mesmo
que seja impossível zerá-la, pode-se reduzi-la.
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Seção 0 - Introdução
Princípios básicos de um gráfico de controle estatístico
Seja θ uma estatística da amostra que mede alguma característica da qualidade de interesse.
Suponha que a média de θ seja µθ e o desvio-padrão de θ seja σθ.
Limites de controle
LSC = µθ + kσθ
LC = µθ
LIC = µθ − kσθ (1)
Esboço do gráfico de controle
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Seção 0 - Introdução
Padrões de comportamento nos gráficos de controle
Existem algumas regras para se detectar padrões não aleatórios em gráficos de controle, como
as que se seguem:
Regras Western Electric
1 1 ponto maior que 3 desvios-padrão da linha central;
2 9 pontos consecutivos do mesmo lado da linha central;
3 6 pontos em uma corrida (linha), todos crescentes ou todos decrescentes;
4 14 pontos em uma corrida (linha), alternando para cima e para baixo;
5 2 de 3 pontos maiores que dois desvios-padrão da linha central (mesmo lado);
6 4 de 5 pontos maiores que 1 desvio-padrão da linha central (mesmo lado);
7 15 pontos consecutivos dentro de 1 desvio-padrão da linha central (ambos os lados);
8 8 pontos em uma corrida (linha) maiores que 1 desvio-padrão da linha central (ambos
os lados).
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Gráficos de controle para variáveis - com subgrupos
Gráficos de controle para variáveis - com subgrupos
[1] - Carta X̄ −R (média - amplitude)
A linha central e os limites de controle para este tipo de carta são dados por:
LSC = ¯̄x+A2r̄
LC = ¯̄x
LIC = ¯̄x−A2r̄, (2)
Carta R (amplitude)
A linha central e os limites de controle para este tipo de carta são dados por:
LSC = D4r̄
LC = r̄
LIC = D3r̄, (3)
Onde:
¯̄x é a média global para todas as amostras, isto é, a média das médias amostrais;
A2, D3 e D4 são constantes tabeladas, em função do tamanho da amostra (subgrupo);
r̄ é a média das amplitudes de cada amostra.
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Gráficos de controle para variáveis - com subgrupos
Observação 1:
O LIC para um gráfico R pode resultar em um valor negativo. Neste caso, é comum estabe-
lecer o LIC igual a zero.
Observação 2:
É aconselhável analisar a carta R primeiro, antes da carta X̄ −R, uma vez que se a variabili-
dade do processo não for constante ao longo dos subgrupos, os limites de controle calculados
para a carta X̄ −R podem ser mal-interpretados.
Observação 3:
Os dados não precisam ser normais.
Observação 4:
Ao invés de se basear em amplitudes, uma outra abordagem leva em consideração o desvio-
padrão de cada subgrupo, culminando na carta X̄ − S, como se segue.
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Gráficos de controle para variáveis - com subgrupos
[2] - Carta X̄ − S (média - desvio-padrão)
A linha central e os limites de controle para este tipo de carta são dados por:
LSC = ¯̄x+ 3
s̄
C4
√
n
LC = ¯̄x
LIC = ¯̄x− 3
s̄
C4
√
n
, (4)
Carta S (desvio-padrão)
A linha central e os limites de controle para este tipo de carta são dados por:
LSC = s̄+ 3s̄(C4)
−1(
√
1− C24 )
LC = s̄
LIC = s̄− 3s̄(C4)−1(
√
1− C24 ), (5)
Onde:
¯̄x é a média global para todas as amostras, isto é, a média das médias amostrais;
C4 é uma constante tabelada, em função do tamanho da amostra (subgrupo);
s̄ é a média dos desvios-padrão de cada amostra.
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Gráficos de controle para variáveis - com subgrupos
Observação 1:
O LIC para um gráfico S pode resultar em um valor negativo. Neste caso, é comum estabe-
lecer o LIC igual a zero.
Observação 2:
É aconselhável analisar a carta S primeiro, antes da carta X̄−S, uma vez que se a variabilidade
do processo não for constante ao longo dos subgrupos, os limites de controle calculados para
a carta X̄ − S podem ser mal-interpretados.
Observação 3:
Os dados não precisam ser normais.
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Gráficos de controle para variáveis - com subgrupos
Exemplo 1 - (Adaptado - [Montgomery e Runger(2016)])
A espessura de uma peça metálica é um importante parâmetro da qualidade para certo
processo. Dados sobre a espessura, em polegadas, são apresentados na tabela abaixo, para
25 amostras com 5 peças cada uma, isto é, subgrupos de tamanho 5.
Baseando-se nas cartas X̄−R ou X̄−S, responda se o problema está sob controle estatístico.
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Gráficos de controle para variáveis - com subgrupos
Resolução 1: Stat → Cartas de controle → Cartas de variáveis para subgrupos → X-barra R
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Gráficos de controle para variáveis - com subgrupos
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Gráficos de controlepara variáveis - com subgrupos
Observação 1:
Observando as cartas X̄ −R, percebemos que os pontos 1, 6, 14, 15, 17, 21 e 22 ultrapassam
os limites de controle. Supondo que essas causas especiais possam ser sanadas, devemos
revisar os limites de controle uma vez, eliminando esses pontos e procedendo com os cálculos
novamente, agora sem eles. Assim, teremos:
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Gráficos de controle para variáveis - com subgrupos
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Gráficos de controle para variáveis - com subgrupos
Observação 2:
Mesmo eliminando-se algumas amostras, o processo permanece fora de controle estatístico.
Novas melhorias são aconselhadas.
Conclusões:
A partir da carta X̄ −R, pode-se constatar que o processo está fora de controle estatístico e
que melhorias são indicadas.
Toda vez que melhorias forem feitas no processo, os limites de controle devem ser revistos.
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/2 17 / 77
Gráficos de controle para variáveis - com subgrupos
Resolução 2: Stat → Cartas de controle → Cartas de variáveis para subgrupos → X-barra S
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Gráficos de controle para variáveis - com subgrupos
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/2 19 / 77
Gráficos de controle para variáveis - com subgrupos
Observação 1:
Observando as cartas X̄ − S, percebemos que os pontos 1, 6, 14, 15, 17, 21 e 22 ultrapassam
os limites de controle. Supondo que essas causas especiais possam ser sanadas, devemos
revisar os limites de controle uma vez, eliminando esses pontos e procedendo com os cálculos
novamente, agora sem eles. Assim, teremos:
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Gráficos de controle para variáveis - com subgrupos
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/2 21 / 77
Gráficos de controle para variáveis - com subgrupos
Observação 2:
Mesmo eliminando-se algumas amostras, o processo permanece fora de controle estatístico.
Novas melhorias são aconselhadas.
Conclusões:
A partir da carta X̄ − S, pode-se constatar que o processo está fora de controle estatístico e
que melhorias são indicadas.
Toda vez que melhorias forem feitas no processo, os limites de controle devem ser revistos.
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/2 22 / 77
Gráficos de controle para variáveis - com subgrupos
Qual carta utilizar?
Fonte: Minitab 18
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Gráficos de controle para variáveis - com subgrupos
[2] - Carta Z (zona)
A carta Z ou carta Zona classifica as médias dos subgrupos (X̄i) por zonas, de acordo com
suas distâncias da linha central ( ¯̄X).
A carta Z atribui pesos aos pontos representados graficamente com base na região, localizados
a 1, 2 ou 3σ a partir da linha central ( ¯̄X).
Os pesos consecutivos dos pontos do gráfico localizados no mesmo lado da linha central são
somados a uma pontuação acumulada.
Quando a pontuação acumulada é igual ou superior a 8, então o processo pode ser considerado
fora de controle.
Quando os pontos cruzam a linha central, a pontuação acumulada é zerada e começa a
contagem novamente.
Cartas Z podem ser usadas para os dados nos subgrupos com tamanhos de subgrupo igual
ou diferente ou com observações individuais.
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Gráficos de controle para variáveis - com subgrupos
Na carta Z, plota-se os pontos no gráfico de acordo com a região a que pertence a média
do subgrupo i, isto é, X̄i. Atribui-se o rótulo ao ponto indicando o peso da região a que
pertence.
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Gráficos de controle para variáveis - com subgrupos
Exemplo 2 - (Adaptado - [Montgomery e Runger(2016)])
Para os dados do exemplo 1, verifique se o processo em questão está sob controle estatístico
utilizando a carta Z.
Resolução: Stat → Cartas de controle → Cartas de variáveis para subgrupos → Zona
Os pontos que possuem soma acumulada ≥ 8 fazem o processo estar fora de controle estatís-
tico. Em um primeiro momento, podemos eliminar esses pontos e refazer os cálculos, como
procedemos nas cartas X̄ −R e X̄ − S. Essa etapa será omitida aqui.
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Gráficos de controle para variáveis - medidas indiv.
Gráficos de controle para variáveis - medidas individuais
[1] - Carta I (individual)
A linha central e os limites de controle para este tipo de carta são dados por:
LSC = x̄+ 3
am
D2
LC = x̄
LIC = x̄− 3
am
D2
, (6)
Carta AM (amplitude móvel)
A linha central e os limites de controle para este tipo de carta são dados por:
LSC = D4am
LC = am
LIC = D3am = 0, (7)
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/2 27 / 77
Gráficos de controle para variáveis - medidas indiv.
Onde:
x̄ é a média global para todas as amostras;
D2, D3 e D4 são constantes tabeladas, em função do tamanho da amostra, que nesse
caso é 2;
ami = |xi − xi−1|;
am1 = 0;
am é a média das amplitudes móveis de cada amostra.
Observação 1:
As amplitudes móveis são correlacionadas e essa correlação pode frequentemente induzir um
padrão na carta AM . Já as medidas individuais são não correlacionadas e por isso, qualquer
comportamento atípico na carta I deve ser investigado.
Observação 2:
O gráfico de medidas individuais I é pouco sensível a pequenas mudanças na média do
processo, ou seja, pode mascarar a falta de controle em certas situações! Uma alternativa é
considerar as cartas ponderadas no tempo (CUSUM e EWMA), que serão apresentadas mais
a frente.
Observação 3:
Os dados devem ser razoavelmente normais.
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/2 28 / 77
Gráficos de controle para variáveis - medidas indiv.
Exemplo 3 - (Adaptado - [Montgomery e Runger(2016)])
O diâmetro de orifícios é medido em ordem consecutiva por um sensor automático. Os
resultados da medição de 25 orifícios estão na tabela abaixo:
Baseando-se na carta I −AM , responda se o problema está sob controle estatístico.
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/2 29 / 77
Gráficos de controle para variáveis - medidas indiv.
Resolução: Stat → Cartas de controle → Cartas de variáveis para indivíduos → I-AM
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/2 30 / 77
Gráficos de controle para variáveis - medidas indiv.
Observando-se as cartas acima, principalmente a carta I, percebe-se um problema com o
ponto 12. Logo, o processo está fora de controle estatístico e as causas merecem ser investi-
gadas e eliminadas.
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/2 31 / 77
Gráficos de controle para variáveis - medidas indiv.
[2] - Carta Z −AM (padronização - amplitude móvel)
Essas são as chamadas cartas de corrida curta, isto é, para quando não há dados suficientes
em cada corrida para produzir boas estimativas de parâmetros do processo
A carta Z − AM padroniza os dados da medição, subtraindo a média para centralizar os
dados e, em seguida, dividindo pelo desvio padrão. Padronizar permite avaliar dados de
ensaios diferentes, interpretando uma carta de controle única.
Carta Z (padronização)
A linha central e os limites de controle para este tipo de carta são dados por:
LSC = + 3
LC = 0
LIC = − 3 (8)
Nesta carta, plotam-se os valores de Zi = xi−µ̂σ̂ .
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/2 32 / 77
Gráficos de controle para variáveis - medidas indiv.
Carta AM (amplitude móvel)
A linha central e os limites de controle para este tipo de carta são dados por:
LSC = + 3, 686
LC = am = 1, 128
LIC = 0 (9)
Nesta carta, plotam-se os valores da amplitude móvel de Zi, isto é, de RZi .
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/2 33 / 77
Gráficos de controle para variáveis -medidas indiv.
Exemplo 4
Em certo processo, são coletadas medidas de espessura de três tipos de produtos, ao longo
de cinco ensaios, conforme pode ser verificado nos dados da tabela abaixo:
Baseando-se na carta I −AM , responda se o problema está sob controle estatístico.
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/2 34 / 77
Gráficos de controle para variáveis - medidas indiv.
Resolução: Stat → Cartas de controle → Cartas de variáveis para indivíduos → Z-AM
Observando-se as cartas acima, percebe-se que o processo está sob controle estatístico.
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/2 35 / 77
Gráficos de controle para variáveis - medidas indiv.
Qual carta utilizar?
Fonte: Minitab 18
Além dessas, tem-se também:
Carta Z para subgrupos;
Carta Z −AM para poucos dados individuais.
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/2 36 / 77
Gráficos de controle para atributos
Gráficos de controle para atributos
[1] - Carta P (proporções)
Com esta carta pode-se verificar se a proporção de não-conformes está sob controle estatístico.
Lembre-se que p = Y
n
, onde Y representa o número de não-conformes (“sucessos”). A linha
central e os limites de controle para este tipo de carta são dados por:
LSC = p̄+ 3
√
p̄(1− p̄)
n
LC = p̄
LIC = p̄− 3
√
p̄(1− p̄)
n
, (10)
Onde p̄ é o valor observado da fração média de não-conformes.
Nesta carta, são plotados os valores da proporção de não-conformes para cada amostra, isto
é, de pi.
Observação:
Se p̄ for pequena, o LIC pode se tornar negativo! Se isso ocorrer, faça-o igual a zero.
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Gráficos de controle para atributos
Exemplo 5 - (Adaptado - [Montgomery e Runger(2016)])
Os seguintes dados representam os defeitos encontrados em amostras de 500 peças.
Baseando-se na carta P , responda se o problema está sob controle estatístico.
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/2 38 / 77
Gráficos de controle para atributos
Resolução: Stat → Cartas de controle → Cartas de atributos → P
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/2 39 / 77
Gráficos de controle para atributos
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/2 40 / 77
Gráficos de controle para atributos
Observação 1:
Observando a carta P , percebemos que os pontos 1, 2, 3, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 15, 17 e 20
ultrapassam os limites de controle. Supondo que essas causas especiais possam ser sanadas,
devemos revisar os limites de controle uma vez, eliminando esses pontos e procedendo com
os cálculos novamente, agora sem eles. Assim, teremos:
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/2 41 / 77
Gráficos de controle para atributos
Observa-se que após as melhorias, o processo fica sob controle estatístico.
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/2 42 / 77
Gráficos de controle para atributos
[2] - Carta NP (número de sucessos referentes a P )
Com esta carta pode-se verificar se o número de não-conformes está sob controle estatístico.
Lembre-se que p = Y
n
, onde Y = np representa o número de não-conformes (“sucessos”). A
linha central e os limites de controle para este tipo de carta são dados por:
LSC = np̄+ 3n
√
p̄(1− p̄)
n
LC = np̄
LIC = np̄− 3n
√
p̄(1− p̄)
n
, (11)
Onde p̄ é o valor observado da fração média de não-conformes.
Nesta carta, são plotados os números de não-conformes para cada amostra, isto é, de npi.
Observação:
O uso de uma carta NP evita as frações de um gráfico P .
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/2 43 / 77
Gráficos de controle para atributos
Exemplo 6 - (Adaptado - [Montgomery e Runger(2016)])
Os seguintes dados representam os defeitos encontrados em amostras de 500 peças.
Baseando-se na carta NP , responda se o problema está sob controle estatístico.
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/2 44 / 77
Gráficos de controle para atributos
Resolução: Stat → Cartas de controle → Cartas de atributos → NP
Observando a carta NP , percebe-se que o processo está fora de controle estatístico. Em um
primeiro momento, podemos eliminar esses pontos e refazer os cálculos, como procedemos
nas cartas anteriores. Essa etapa será omitida aqui.
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/2 45 / 77
Gráficos de controle para atributos
[3] - Carta P de Laney
A carta P de Laney se assemelha a uma carta P tradicional. Porém, a carta P de Laney
funciona melhor nas seguintes situações:
? para subgrupos grandes com dados que apresentam superdispersão;
A superdispersão pode fazer com que os pontos em uma carta P tradicional pareçam estar
fora de controle, quando não estão. Se há superdispersão, os limites de controle em uma carta
P de Laney são mais amplos do que os de uma carta P tradicional. Os limites de controle
mais amplos significam que somente desvios importantes em seu processo são identificados
como fora de controle.
? para dados que apresentam subdispersão, para subgrupos de qualquer tamanho;
A falta de aleatoriedade pode causar subdispersão, resultando em limites de controle que são
muito amplos para os dados. A carta P de Laney corrige isso, calculando limites de controle
mais estreitos.
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/2 46 / 77
Gráficos de controle para atributos
A linha central e os limites de controle para este tipo de carta são dados por:
LSC = p̄+ 3σZ ·
√
p̄(1− p̄)
n
LC = p̄
LIC = p̄− 3σZ ·
√
p̄(1− p̄)
n
, (12)
Onde:
p̄ é o valor observado da fração média de não-conformes;
σZ =
(AM)Z
1,128
;
(AM)Z é a amplitude móvel média, de ordem 2, com relação aos escores Zi;
Zi =
pi−p̄√
p̄(1−p̄)
n
.
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Gráficos de controle para atributos
Teste para detectar presença de superdispersão/subdispersão
Stat → Cartas de controle → Cartas de atributos → Carta P de Diagnóstico
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/2 48 / 77
Gráficos de controle para atributos
Exemplo 7
Considere novamente os dados do exemplo 5. Tais dados representam os defeitos encontrados
em amostras de 500 peças.
Verifique se há superdispesão ou subdispersão nos dados. Baseado nesta resposta, utilize a
carta mais recomendada para responder se o problema está sob controle estatístico.
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/2 49 / 77
Gráficos de controle para atributos
Resolução:
Diagnóstico: Stat → Cartas de controle → Cartas de atributos → Carta P de Diagnóstico
A partir destes resultados, percebe-se que o processo possui supersdispersão nos dados. Assim,
a carta mais indicada para verificar se o processo está ou não sob controle estatístico é a carta
P de Laney.
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/2 50 / 77
Gráficos de controle para atributos
Stat → Cartas de controle → Cartas de atributos → P de Laney
Observando a carta P de Laney, percebe-se que o processo está fora de controle estatís-
tico. Em um primeiro momento, podemos eliminar esse ponto e refazer os cálculos, como
procedemos nas cartas anteriores. Essa etapa será omitida aqui.
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/2 51 / 77
Gráficos de controle para atributos
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/2 52 / 77
Gráficos de controle para atributos
[4] - Carta U (sucessos por unidade)
Com esta carta pode-se verificar se o número de não-conformidades por unidade de produto
está sob controle estatístico. Se cada amostra consistir de n unidades e se houver um total de
C não-conformidades na amostra, então U = C
n
será o número médio de defeitos por unidade.
A linha central e os limites de controle para este tipo de carta são dados por:
LSC = ū+ 3
√
ū
n
LC = ū
LIC = ū− 3
√
ū
n
, (13)
Onde ū é o valor observado do número médio de não-conformidades por unidade.
Nesta carta, são plotados os valoresdos números médios de não-conformidades por unidade
para cada amostra, isto é, de ui.
Observação:
Se ū for pequena, o LIC pode se tornar negativo! Se isso ocorrer, faça-o igual a zero.
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/2 53 / 77
Gráficos de controle para atributos
Exemplo 8 - (Adaptado - [Montgomery e Runger(2016)])
Os seguintes dados representam o número de defeitos encontrados em amostras de 5 peças.
Baseando-se na carta U , responda se o problema está sob controle estatístico.
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Gráficos de controle para atributos
Resolução: Stat → Cartas de controle → Cartas de atributos → U
Observando a carta U , percebe-se que o processo está fora de controle estatístico. Em um
primeiro momento, podemos eliminar esses pontos e refazer os cálculos, como procedemos
nas cartas anteriores. Essa etapa será omitida aqui.
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Gráficos de controle para atributos
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Gráficos de controle para atributos
[5] - Carta C (total de sucessos referentes a U)
Com esta carta pode-se verificar se o total de não-conformes em uma amostra está sob controle
estatístico. Lembre-se que U = C
n
, onde C = nU representa o total de não-conformes
(“sucessos”) em uma amostra. A linha central e os limites de controle para este tipo de carta
são dados por:
LSC = nū+ 3n
√
ū
n
LC = nū
LIC = nū− 3n
√
ū
n
, (14)
Onde ū é o valor observado do número médio de não-conformidades por unidade.
Nesta carta, são plotados os totais de não-conformes para cada amostra, isto é, de nui.
Observação:
O uso de uma carta C evita as frações de um gráfico U .
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Gráficos de controle para atributos
Exemplo 9 - (Adaptado - [Montgomery e Runger(2016)])
Os seguintes dados representam o número de defeitos encontrados em amostras de 5 peças.
Baseando-se na carta C, responda se o problema está sob controle estatístico.
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Gráficos de controle para atributos
Resolução: Stat → Cartas de controle → Cartas de atributos → C
Observando a carta C, percebe-se que o processo está fora de controle estatístico. Em um
primeiro momento, podemos eliminar esses pontos e refazer os cálculos, como procedemos
nas cartas anteriores. Essa etapa será omitida aqui.
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Gráficos de controle para atributos
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Gráficos de controle para atributos
[6] - Carta U de Laney
A carta U de Laney se assemelha a uma carta U tradicional. Porém, a carta U de Laney
funciona melhor nas seguintes situações:
? para subgrupos grandes com dados que apresentam superdispersão;
A superdispersão pode fazer com que os pontos em uma carta U tradicional pareçam estar
fora de controle, quando não estão. Se há superdispersão, os limites de controle em uma carta
U de Laney são mais amplos do que os de uma carta U tradicional. Os limites de controle
mais amplos significam que somente desvios importantes em seu processo são identificados
como fora de controle.
? para dados que apresentam subdispersão, para subgrupos de qualquer tamanho;
A falta de aleatoriedade pode causar subdispersão, resultando em limites de controle que são
muito amplos para os dados. A carta U de Laney corrige isso, calculando limites de controle
mais estreitos.
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Gráficos de controle para atributos
A linha central e os limites de controle para este tipo de carta são dados por:
LSC = ū+ 3σZ ·
√
ū
n
LC = ū
LIC = ū− 3σZ ·
√
ū
n
, (15)
Onde:
ū é o valor observado do número médio de não-conformidades por unidade;
σZ =
(AM)Z
1,128
;
(AM)Z é a amplitude móvel média, de ordem 2, com relação aos escores Zi;
Zi =
ui−ū√
ū
n
.
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Gráficos de controle para atributos
Teste para detectar presença de superdispersão/subdispersão
Stat → Cartas de controle → Cartas de atributos → Carta U de Diagnóstico
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Gráficos de controle para atributos
Exemplo 10
Os dados a seguir representam o número de defeitos encontrados em amostras de 5 peças.
Verifique se há superdispesão ou subdispersão nos dados. Baseado nesta resposta, utilize a
carta mais recomendada para responder se o problema está sob controle estatístico.(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/2 64 / 77
Gráficos de controle para atributos
Resolução:
Diagnóstico: Stat → Cartas de controle → Cartas de atributos → Carta U de Diagnóstico
A partir destes resultados, percebe-se que o processo possui supersdispersão nos dados. Assim,
a carta mais indicada para verificar se o processo está ou não sob controle estatístico é a carta
U de Laney.
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Gráficos de controle para atributos
Stat → Cartas de controle → Cartas de atributos → U de Laney
Observando a carta U de Laney, percebe-se que o processo está fora de controle estatís-
tico. Em um primeiro momento, podemos eliminar esse ponto e refazer os cálculos, como
procedemos nas cartas anteriores. Essa etapa será omitida aqui.
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Gráficos de controle para atributos
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Gráficos de controle para eventos raros
Gráficos de controle para eventos raros
Muitas situações envolvem a verificação do controle estatístico para eventos raros, tais como
explosão de peças, complicações cirúrgicas, etc.
Por serem raros de ocorrer, tais eventos dificultam o uso da carta P ou da carta U , pois seriam
necessárias a coleta de muitas amostras até se ter um número suficiente de observações para
se prever os limites de controle adequados.
Para tais situações, são mais indicadas as cartas G e T , descritas a seguir.
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Gráficos de controle para eventos raros
[1] - Carta G (Geométrica - número de tentativas entre eventos raros)
A carta G é indicada para monitorar o número de oportunidades ou, em muitos casos, o
número de dias entre eventos considerados raros. Essa carta é baseada na distribuição geo-
métrica, e plota o número de oportunidades entre eventos raros de forma que seja possível
detectar facilmente quando esses eventos ocorrem com mais ou menos frequência do que
esperado.
A linha central e os limites de controle para este tipo de carta são dados por:
LSC = percentil 0,135% da distribuição Geom(p̂ =
n−1
n
X̄ + 1
)− 1
LC = mediana da distribuição Geom(p̂ =
n−1
n
X̄ + 1
)− 1
LIC = percentil 99,865% da distribuição Geom(p̂ =
n−1
n
X̄ + 1
)− 1, (16)
Plota-se o número de tentativas entre sucessos.
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Gráficos de controle para eventos raros
Exemplo 11 - (Adaptado - Biblioteca de conjuntos de dados do Minitab)
O administrador de um hospital monitora a taxa de infecções pós-cirúrgicas para assegurar
que ela permaneça a mais baixa possível ao longo do tempo. A equipe do hospital registra a
data de cada infecção, conforme tabela abaixo:
Verifique se essa taxa está sob controle estatístico.
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Gráficos de controle para eventos raros
Resolução: Stat → Cartas de controle → Cartas de eventos raros → G
Observando a carta G, percebe-se que o processo está fora de controle estatístico. Perceba
que equipe registrou 5 infecções no dia 26 de outubro!
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Gráficos de controle para eventos raros(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/2 72 / 77
Gráficos de controle para eventos raros
[2] - Carta T (intervalo entre eventos raros)
Se forem conhecidas a data e a hora específicas para cada evento, use a carta T para monitorar
o intervalo entre eventos raros. Essa carta é baseada na distribuição Weibull (ou também
na Exponencial), e plota o intervalo de tempo entre eventos raros de forma que seja possível
detectar facilmente quando esses eventos ocorrem com mais ou menos frequência do que
esperado.
Plota-se o intervalo de tempo entre sucessos.
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Gráficos de controle para eventos raros
Exemplo 12 - (Adaptado - Biblioteca de conjuntos de dados do Minitab)
Um hospital implementou protocolos rigorosos para reduzir o número de ferimentos com
agulhas. Para monitorar a eficácia dos novos protocolos, a equipe do hospital registra a data
e a hora de cada ferimento com agulha, conforme tabela abaixo:
Verifique se o tempo entre ferimentos está sob controle estatístico.
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Gráficos de controle para eventos raros
Resolução: Stat → Cartas de controle → Cartas de eventos raros → T
Observando a carta T , percebe-se que o processo está fora de controle estatístico.
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/2 75 / 77
Gráficos de controle para eventos raros
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Gráficos de controle para eventos raros
Resumo:
Fonte: Minitab 18
Além destas, estudou-se também as cartas Z, Z − AM , NP , P de Laney, C, U de Laney,
MA, EWMA e CUSUM .
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Gráficos de controle para eventos raros
Montgomery, D., Runger, G., 2016. Estatística Aplicada e
Probabilidade para Engenheiros. Rio de Janeiro: LTC.
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	Bibliografia
	Conteúdo Programático
	Seção 0 - Introdução
	Gráficos de controle para variáveis - com subgrupos
	Gráficos de controle para variáveis - medidas indiv.
	Gráficos de controle para atributos
	Gráficos de controle para eventos raros