MATEMÁTICA - Grandezas Proporcionais e Médias Algébricas

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA
Grandezas Proporcionais e Médias Algébricas 
Grandezas é tudo aquilo que pode ser medido ou mensurado. Como exemplos de grandezas poderíamos citar: velocidade, distância, tempo, altura, potência. Duas grandezas, quando comparadas podem ser diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais.
Podemos dizer que duas grandezas são diretamente proporcionais quando ambas aumentam ou diminuem ao mesmo tempo.
Exemplo:
Tempo e distância são grandezas diretamente proporcionais!
Quanto mais tempo ficamos dirigindo em uma estrada, maior distância percorreremos.
Observe que a velocidade pode ser representado por uma razão (divisão) e é calculada por:
Velocidade = Distância/tempo
Há uma proporção que pode ser representado por uma relação de igualdade entre duas ou mais razões (divisões) dessa forma podemos comparar duas grandezas em diferentes situações.
a/b = c/d 
Essa relação pode ser entendida da seguinte maneira: a está para b, assim como c está para d.
Podemos representar graficamente a variação de duas grandezas diretamente proporcionais (distância e velocidade) através de uma reta, Partindo da fórmula da física
v = d/t, sendo v a velocidade uma constante.
Exemplo de proporcionalidade direta
Agora, veremos com números a relação entre as duas grandezas.
Em uma viagem um ciclista percorre um trajeto com velocidade constante de 20 km/h. Veja na tabela abaixo 
	Tempo (h)
	1
	2
	3
	4
	Distância (km)
	20
	40
	60
	80
A constante de proporcionalidade entre as grandezas é encontrada pela razão entre o tempo de trabalho da máquina e o número de cópias realizadas.
20/1 = 40/2 = 60/3 = 80/4240=360=480=5100=120
A razão dessa sequência (20/1), que nesse caso é a velocidade, recebe o nome de constante de proporcionalidade (k) em outras relações de proporcionalidade direta.
Proporcionalidade inversa
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando comparadas e relacionadas entre si e  uma aumenta e a outra diminui.
Como exemplo podemos citar as grandezas velocidade e tempo
Digamos que um automóvel vai precisar percorrer 400 km em uma viagem Podemos dizer que quanto maior for a velocidade de um automóvel menos tempo ele levará na viagem.
Logo   a velocidade e o tempo são grandezas inversamente proporcionais
Graficamente a variação inversamente proporcional de uma grandeza em relação à outra forma uma hipérbole, pois temos y = k/x, sendo k uma constante.
Exemplo de proporção inversa
Quando se aumenta a velocidade, o tempo para concluir um percurso é menor. Da mesma forma, ao diminuir a velocidade mais tempo será necessário para fazer o mesmo trajeto.
Vamos entender como podemos aplicar a relação entre grandezas inversamente proporcionais.
Pedro resolveu pegar sua bicicleta e medir  o tempo que levava da escola para sua casa, ele percorreu esse trajeto com diferentes velocidades.
Veja a tabela
	Tempo (h)
	1
	2
	3
	4
	Velocidade (km/h)
	30
	15
	10
	7,5
Podemos fazer a seguinte relação com os números das sequências:
1.30 = 2.15 = 3. 10 = 4.7,5 = 30
Reescrevendo como igualdade de razões inversas, temos:
1/(1/30) = 2/(1/15) = 3/(1/10) = 4/(1/7,5)
Nesse exemplo, a sequência de tempo (1, 2, 3, 4) é inversamente proporcional à velocidade média pedalando (30, 15, 10 e 7,5) e a constante de proporcionalidade (k) entre essas grandezas é 30.
Observe que quando um número de uma sequência dobra, o número da sequência correspondente reduz pela metade.
Médias 
O tema de médias algébricas aborda vários tipos de cálculos. Eles são divididos em diferentes conceitos, como:
· média aritmética;
· média geométrica ;
· média harmônica.
Média aritmética
A média aritmética é a mais conhecida entre as médias. Talvez o local onde ela é mais encontrada seja em salas de aula. Muitos professores a utilizam para calcular a nota final obtida por um aluno. As médias são utilizadas quando temos um conjunto de dados e queremos estimar um valor que represente esses dados. A média pode ser entendida como um valor central de determinados dados.
Existem dois tipos de média aritmética: simples e ponderada.
Média aritmética simples
A média aritmética simples é obtida dividindo a soma de todos os valores que temos pela quantidade de valores. Geralmente expressamos a média pelo símbolo 
Suponhamos que existam uma quantidade n de dados (x1, x2, x3, ..., xn) . A média entre esses dados será:
Exemplo:
Um aluno obteve as seguintes notas durante um bimestre: 9.2, 8.5 e 8.4. Qual será a média de suas notas?
Temos 3 notas. Basta somá-las e dividir este resultado por 3:
A média será 8.7
Média aritmética ponderada
A média ponderada considera “pesos” para cada item, ou seja, em um conjunto de dados, cada item recebe uma importância. Vamos supor que tenhamos um conjunto com n dados (x1, x2, x3, ..., xn), onde cada dado receberá um peso, respectivamente (p1, p2, p3, ..., pn).
Cada item será multiplicado pelo seu peso. A média será dada pela divisão entre esta soma e a soma dos pesos considerados. A média entre esses dados será representada por e será dada por:
Exemplo: Uma aluna fez uma prova e obteve nota 9.1 e um trabalho, com nota 8,7. A média considera que a prova tenha peso 6 e o trabalho peso 4. Assim, a média dessa aluna será:
A média dessa aluna será 8,94.
Média geométrica
A média geométrica entre um conjunto de n dados é a raiz n-ésima da multiplicação desses dados.
Considere um conjunto de n dados (x1, x2, x3, ..., xn). A média geométrica entre estes dados será:
Exemplo. Qual a média geométrica entre 2, 8 e 32?
Temos três dados, então a média geométrica será a raiz cúbica de 2.8.32:
A média geométrica de 2, 8 e 32 será igual a 8.
Média harmônica
A média harmônica de um conjunto de n dados é obtida dividindo a quantidade de dados pela soma dos inversos dos dados.
Considerando um conjunto de n dados (x1, x2, x3, ..., xn), a média harmônica entre esses dados, indicada por H, será:
Exemplo: qual a média harmônica entre 2, 5 e 6?
Questões 
1) (ENEM) Em 20 de fevereiro de 2011, ocorreu a grande erupção do vulcão Bulusan nas Filipinas. A sua localização geográfica no globo terrestre é dada pelo GPS (sigla em inglês para Sistema de Posicionamento Global) com longitude de 124° 3’ 0” a leste do Meridiano de Greenwich.
Dado: 1° equivale a 60’ e 1’ equivale a 60”.
A representação angular da localização do vulcão com relação a sua longitude da forma decimal é
a) 124,02°.        
b) 124,05°.        
c) 124,20°.       
d) 124,30°.       
e) 124,50°.
2) (ENEM) Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha. Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria de:
a) 920kg        
b) 800kg        
c) 720kg       
d) 600kg      
e) 570kg  
3) Em um mapa de uma pequena cidade, destaca-se a presença de uma rodovia, cuja extensão é de 15 quilômetros. No mapa em questão, sua medida está em 10 centímetros, o que nos permite concluir que a sua escala cartográfica é de:
a) 1:15.000        
b) 1:150.000     
c) 1:1.500    
d) 1:15    
e) 1:100.000
4) (PUC-RIO 2009)
O dono de um restaurante comprou oito caixas, cada uma contendo doze latas de doce em calda por R$6,00 a lata. Em cada caixa, duas latas se estragaram e foram jogadas fora. Por quanto ele deve vender cada lata para ter um lucro total de R$72,00?
a) R$ 7,00 
b) R$ 7,50 
c) R$ 8,10 
d) R$ 8,50 
e) R$ 9,00
5) (Enem 2013) As notas de um professor que participou de um processo seletivo, em que a banca avaliadora era composta por cinco membros, são apresentadas no gráfico. Sabe-se que cada membro da banca atribuiu duas notas ao professor, uma relativa aos conhecimentos específicos da área de atuação e outra, aos conhecimentos pedagógicos, e que amédia final do professor foi dada pela média aritmética de todas as notas atribuídas pela banca avaliadora.
Utilizando um novo critério, essa banca avaliadora resolveu descartar a maior e a menor notas atribuídas ao professor.
A nova média, em relação à média anterior, é:
a) 0,25 ponto maior
b) 1,00 ponto maior
c) 1,00 ponto menor
d) 1,25 ponto maior
e) 2,00 pontos menor
GABARITO
1 – b Com os dados do enunciado, o cálculo é feito da seguinte maneira:
124° 3′ 0” = 124° + 3’/60 = 124° + 0,05° = 124,05°
2 – a 
Primeiramente perceba que se os alunos arrecadaram 12kg por 10 dias então isto resulta em 12kg x 10 dias = 120 kg. Além disso 30 novos alunos se juntaram aos 20 alunos iniciais então teremos 50 alunos arrecadando nos 20 dias que ainda restam.
Nesse caso como a regra de três é composta, devemos comparar a grandeza onde está a incógnita com cada umas das demais. Podemos então perceber que para aumentar o número de alimentos seria necessário que todas as outras grandezas também aumentassem.Logo,todas elas são diretamente proporcionais à grandeza alimento (Kg).Assim, não é preciso inverter a razão. 
Assim:
120/x = 20/50.10/20.3/4
x = 800 kg
Total arrecadado = 800 + 120 (inicialmente) = 920kg
3 – b
A escala (E), como sabemos, é a relação entre uma distância do mapa (d) e o seu valor na superfície real (D).
d = 10 cm
D = 15 km → 1 500 000 cm
Assim, temos que:
E = d
      D
E = 10 : 1500000
Simplificamos o valor da divisão por 10 para obter o valor da escala:
E = 1: 150'000
A escala cartográfica do mapa em questão, portanto, é de um para cento e cinquenta mil.
4 – c
8 . 12 = 96 - 16 latas estragadas = 80 latas em boas condições.
Gastou no total 96 . 6 = 576 reais.
576 reais + 72 reais (lucro) = 648 reais.
648 / 80 latas normais = R$ 8,10.
5 – b
A média aritmética é calculada através da soma das notas dividida pela quantidade de notas.
A média anterior é igual a 18+16+17+13+14+1+19+14+16+1210=14010=14. Descartando a maior nota (19) e a menor (1) a soma decai 19 + 1 = 20 pontos e o número de notas de 10 para 8, assim a nova média é igual a 140−208=1208=15.
A nova média é 15 – 14 = 1 ponto superior que a anterior.