ESTATÍSTICA-3er ano

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Prof. Dr. Uriel Castellanos
urielcastellanos@gmail.com
Curriculo Lattes: http://lattes.cnpq.br/6479213510946258 
ORCID iD: https://orcid.org/0000-0002-7811-5874 
Ministério da Educação
Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Bahia
Campus de Salvador
ESTATÍSTICA
Amostra é um subconjunto da população.
mailto:urielcastellanos@gmail.com
https://www.google.com/url?q=http://lattes.cnpq.br/6479213510946258&sa=D&source=editors&ust=1629932294905000&usg=AOvVaw29wQtIrof3Af3m17d5hV8h
https://www.google.com/url?q=https://orcid.org/0000-0002-7811-5874&sa=D&source=editors&ust=1629932294905000&usg=AOvVaw2Xs6ilZKKpFfGQEn_TOgBo
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Definição: A Estatística Descritiva é utilizada 
para se organizar e resumir informações 
relativas a uma população inteira, como 
ocorre, por exemplo, nos censos demográficos 
efetuados pelo Instituto Brasileiro de Geografia 
e Estatística (IBGE). Estudaremos inicialmente
as medidas de tendência central e as medidas 
de dispersão. Ao final, estudaremos algumas 
das principais representações gráficas.
Medidas de Tendência Central: 
● Média, Moda e Mediana.
Medidas de Tendência Central.
VIOLA, Denise Nunes; SILVA, Giovana Oliveira. Estatística: licenciatura em Matemática/ Denise Nunes Viola; Giovana Oliveira Silva. Salvador: EDUNEB, 2013. p. 88
https://cmapspublic3.ihmc.us/rid=1P1DZ4CRL-1HJZ9KS-17VK/MEDIDAS%20DE%20POSI%C3%87%C3%83O.cmap
Curiosidade
As medidas de tendência central 
representam os fenômenos pelos 
seus valores médios, em torno dos 
quais tendem a se concentrar em os 
dados.
M.T.C.
As medidas de tendência central também 
denominadas medidas de posição, são 
constituídas por Média Aritmética (X), a 
Mediana (Md) e a Moda (Mo).
Nesse tópico serão apresentadas algumas estatísticas 
úteis para resumir, de modo bastante conciso, as 
informações contidas em um conjunto de dados. 
Estatística, nesse contexto, significa alguma quantidade 
numérica cujo valor é determinado pelos dados. 
https://www.google.com/url?q=https://cmapspublic3.ihmc.us/rid%3D1P1DZ4CRL-1HJZ9KS-17VK/MEDIDAS%2520DE%2520POSI%25C3%2587%25C3%2583O.cmap&sa=D&source=editors&ust=1629932295847000&usg=AOvVaw0XDK2mbZuha7Lx13Uo8AN7
O IBGE é uma fundação pública da 
administração federal brasileira e tem 
aplicações ligadas também a estatística, a 
geografia e a probabilidade, o que inclui 
realizar censos e organizar as informações 
obtidas nesses censos para suprir órgãos 
das três esferas governamentais: federal, 
estadual e municipal, além de outras 
instituições e o público em geral.
Fonte/texto: https://pt.wikipedia.org/wiki/Instituto_Brasileiro_de_Geografia_e_Estat%C3%ADstica
Fonte/Imagem: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/pt/7/72/IBGE.jpg
Censo é o conjunto de 
dados estatísticos que informa 
diferentes características dos 
habitantes de uma cidade, um 
estado ou uma nação. A palavra tem 
origem no latim “census” que 
significa "estimativa". Na Antiga 
Roma, o censo era realizado para 
identificar os proprietários de terras 
e determinar o pagamento 
de impostos.
Situações Problemas na Cotidianidade
ROL E AMPLITUDE TOTAL
Rol: Organizar os dados.
Amplitude Total: A= máx - min
Exemplo:
Considere as massas de 20 alunos em Kg.
Como se calcula a amplitude?
● Liste os elementos de seu conjunto de dados...
● Identifique os números mais alto e mais baixo no conjunto...
● Subtraia o menor número em seu conjunto de dados do maior 
número...
50 70 72 70 50
60 65 70 65 70
65 70 72 65 72
80 80 72 72 70
ROL: 50 50 60 65 65 65 65 70 70 70 70 70 70 72 72 72 72 72 80 80
Atotal= máx - min
Atotal= 80 - 50
Atotal= 30
Média Aritmética Simples e Ponderada:
(i) Média Aritmética Simples: Seja x uma 
variável quantitativa e x1, x2,..., xn os valores 
assumidos por x. A média aritmética simples de 
x é definida como a divisão da soma de todos 
esses valores pelo número de valores, isto é:
Solução: A nota média obtida pelo aluno é:
Exemplo: Um aluno, preparando-se para o 
exame vestibular, fez 12 simulados no cursinho 
ao longo do ano. Em cada simulado, o número de 
questões era 80. Os valores seguintes 
correspondem às pontuações obtidas nesses 
exames: 56, 52, 61, 53, 48, 68, 49, 59, 61, 62, 60 
e 55. Qual é a média aritmética desses valores?
Média Aritmética Simples e Ponderada:
(ii) Média aritmética ponderada: Seja x uma 
variável quantitativa que assume os valores x1, 
x2,..., xn com frequências absolutas 
respectivamente iguais a f1, f2, … , fn. A média 
aritmética ponderada de x é definida como a 
divisão da soma de todos os produtos (xi . fi ), 
com (i =1,2, … , n) pela soma das frequências, 
isto é: Determine a média de gols por partida marcados 
pelos atacantes desse time.
Exemplo: Exemplo: Observe as anotações feitas 
pela direção de um time de futebol a respeito dos 
gols marcados por seus atacantes:
Solução: A média de gols marcados por partida é 
dada por:
Média Aritmética Simples e Ponderada:
Média geométrica: Sejam os números reais 
positivos x1, x2,..., xn, a média geométrica dos 
números é definida como a raiz n-ésima do 
produto desses números: 
Exemplo: 
Média Aritmética Simples e Ponderada:
Moda (Mo): É a medida que tem maior 
frequência em um conjunto de dados.
Observação: Se a moda da série for mais de 
um valor, então ela é Multimodal e se ela não 
existir, então a série é Amodal.
Calcular a Mo. 
a) 2, 4, 5, 5, 7.
Mo = 5, unimodal.
Calcular a Mo. 
a) .
b) 3, 4, 4, 8, 8.
Mo = 4 e 8. Bimodal.
Calcular a Mo. 
a) .
b)
c) 3, 3, 4, 4, 8, 8.
Mo = Não tem elemento que mais se 
repete. Por tanto, é amodal.
Média Aritmética Simples e Ponderada:
Mediana (Md): Existem dois casos, vejamos abaixo:
(1º) O rol (série de dados 
dispostos em ordem 
crescente) tem uma 
quantidade n ímpar de 
valores. Neste caso, a 
mediana é o valor 
localizado no centro do rol, 
isto é, a mediana 
corresponde a seu termo 
central, isto é, o termo de 
ordem:
(2º) O rol tem um número n 
par de valores. Neste caso, a 
mediana corresponde à 
média aritmética dos dois 
termos centrais, ou seja, a 
média aritmética entre os 
termos:
Primeiro ordenamos os dados.
Rol: 3, 4, 5, 7 e 7
Primeiro ordenamos os dados.
Me: 2, 3, 4, 5, 5, 8.
Calcular a Me. 
a) 5, 7, 4, 3, 7.
Calcular a Me. 
a) .
b) 5, 5, 8, 4, 3, 2.
Me = 4,5
Me = 5
1) Calcular a média aritmética dos 
salários de 5 pessoas que recebem 
mensalmente R$ 20.000,00; R$ 
32.000,00; R$ 36.000,00; R$ 
42.000,00 e R$ 1.200,00.
Resposta: A média aritmética dos salários é de R$ 26.240,00.
EXERCÍCIOS
2) Sabe-se que a média aritmética 
simples de cinco números inteiros e 
consecutivos é 15. Qual é o maior 
deles?
Resposta: 17
EXERCÍCIOS
3) Numa escola há 800 alunos, dos 
quais 500 estudam no período 
matutino e 300 no período 
vespertino. Numa prova, a média 
geral do colégio foi 8,0. No entanto, 
considerando-se apenas os alunos 
do vespertino, a média caiu para 7,0. 
Qual foi a média dos alunos do 
matutino?
Resposta: 8,6
EXERCÍCIOS
4) A média aritmética dos 40 
números de um conjunto é 70. Os 
números 10 e 16 são retirados desse 
conjunto. Qual a média dos números 
restantes?
Resposta: 73
EXERCÍCIOS
5) Paulo verificou os rendimentos 
brutos diários da sua barraca de 
lanche obtendo os valores, em reais, 
68,00; 72,80; 58,40; 60,50; 74,80; 
80,20 e 48,70. Calcule o rendimento 
médio da barraca.
Resposta: O rendimento médio da barraca é de R$ 66,20.
EXERCÍCIOS
6) Para ser aprovada em Estatística II, 
Joana precisa obter média igual ou 
superior a 7,0. Suas notas foram 
iguais a 5,6; 8,2 e 6,0 cujos pesos 
são, respectivamente iguais a 3; 5 e 
1. Pode-se dizer que Joana foi 
aprovada?
Resposta: Joana foi aprovada com a média igual a aproximadamente 7,1.
EXERCÍCIOS
7) Pedro é um excelente aluno de 
Matemática. Obteve notas 8; 9,2 e9,6 cujos pesos respectivos são 1,5; 2 
e 3. Calcule a média final de Pedro.
Resposta: A média final de Pedro foi igual a 9,1.
EXERCÍCIOS
8) Em uma fábrica que tem 100 
operários, 50 recebem R$ 60,00; 20 
recebem R$ 40,00 e 30 recebem R$ 
50,00 por hora. Determine o salário 
médio por hora.
Resposta: O salário médio por hora é igual a R$ 53,00.
EXERCÍCIOS
9) O número de faltas mensais no 
primeiro semestre de 2008 de um 
funcionário da metalúrgica Ferro 
Forte foi de 5; 7; 4; 15 e 8. Qual a 
média aritmética e geométrica dos 
dados apresentados?
Respostas: A média aritmética foi de 7,8 e a média geométrica foi de 
aproximadamente 7,0.
EXERCÍCIOS
10) Calcule a mediana da seguinte 
amostra: {3, 4, 5, 7, 8, 10}
Resposta: A mediana é igual a 6.
EXERCÍCIOS
11) Após coletar as notas da prova de 
Geografia, um aluno apresentou a 
seguinte série ordenada: {7, 8, 8, 9, 9, 
10, 10}. Qual é a mediana da série?
Resposta: A mediana é igual a 9.
EXERCÍCIOS
12) Obtenha a moda das séries:
a) {2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6}
Resposta: As modas são iguais a 2 e 6, ou seja, a série é bimodal.
b) {3, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8}
Resposta: A moda é igual a 4.
EXERCÍCIOS
13) Uma quitanda vendeu nas últimas 
quatro semanas 2.500; 2.300; 1.900 
e 1.800 laranjas. Qual foi a 
quantidade média vendida na 
semana?
Resposta: 2.125 laranjas.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
14) As notas obtidas por um aluno de 
Cálculo I foram: 8,0; 7,0; 6,8 e 7,4. 
Qual a nota média obtida pelo aluno?
Resposta: A nota média obtida pelo aluno foi de 7,3.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
15) Dona Zezé calculou a média 
aritmética das vendas mensais da 
lanchonete em que trabalha no 
primeiro semestre do ano passado, 
obtendo o valor igual a R$ 500,00. 
Sabendo-se que nos cinco primeiros 
meses as vendas foram iguais a R$ 
400,00; R$ 350,00; R$ 320,00; R$ 
640,00 e R$ 510,00. 
Qual foi o valor das vendas do mês 
de junho?
Resposta: Foi vendida no mês de junho a quantia de R$ 780,00.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
16) O time titular de vôlei do IFBA tem 
jogadores com as seguintes alturas, 
tem polegadas: 68,5; 70,5; 67,8; 74,2; 
72,6 e 69,6. Qual seria a média de 
altura do time em metros? (Use: 1 
polegada = 25,4mm)
Resposta: A média de altura do time é 1,79 metros.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
17) Para a amostra de idades de 
alguns alunos {17, 18, 19, 19, 21, 23} 
monte a tabela de desvios absolutos.
Resposta: Vamos calcular os desvios 
absolutos das alturas, usando a 
tabela a seguir, onde DMA é o desvio 
médio absoluto:
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
18) Num concurso público Pedro 
obteve nas provas de Direito, 
Informática, Matemática e Português, 
notas respectivamente iguais a 7,52; 
5,08; 8,45 e 9,32. Tais provas têm 
pesos respectivos iguais a 3; 1,5; 2,5 
e 3.
Seu colega Carlos obteve notas 6,92; 
6,45; 8,82 e 9,65.
a) Monte uma tabela que melhor 
ilustre os dados acima.
b) Determine a ordem de 
classificação dos dois candidatos.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Resposta a:
Resposta b: A média de 
Pedro foi de 
aproximadamente 7,93 e 
a média obtida por Carlos 
foi igual a 8,14. Portanto, 
Carlos foi melhor 
classificado do que Pedro 
nesse
concurso.
19) O time de futebol do Vitória 
coletou os seguintes dados 
referentes ao peso, em kg, dos seus 
atletas da divisão de base:
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Determine a média aritmética 
ponderada do peso dos atletas.
Resposta: A média aritmética ponderada do peso dos atletas é igual a 
aproximadamente 68 kg.
20) Obtenha a média dos dados 
agrupados em classes apresentados 
a seguir:
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Resposta: A média dos dados agrupados em classes é igual a 17.
21) Uma empresa de informática pensa em instalar 
uma nova filial em São Paulo ou no Rio de Janeiro. 
Sabe-se que, dentre os critérios de decisão de 
escolha, alguns se destacam:
- Proximidade do Centro Consumidor - PCC (peso 
igual a 7,0);
- Benefícios Fiscais Oferecidos - BFO (peso igual 
a 9,0);
- Custo das Instalações - CI (peso igual a 4,0). 
As notas obtidas pelas duas cidades estão 
apresentadas na tabela seguinte. Estime, com 
base na média aritmética ponderada, qual a 
cidade que deve ser escolhida.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Resposta: A média ponderada de São Paulo é 5,65, enquanto que a média 
ponderada do Rio de Janeiro é 7,1. Portanto a cidade escolhida é o Rio de Janeiro.
22) A distribuição das idades de um 
grupo de alunos matriculados em 
Radiologia pode ser vista na tabela 
seguinte. Calcule a idade média dos 
alunos.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Resposta: A idade média dos alunos é igual a 20,25 anos.
TABELA DE FREQUÊNCIA (COM DADOS BRUTOS)
Resolva o exercício Tipo Prova:
Um dado foi lançado 50 vezes e foram registrados os seguintes resultados:
5 4 6 1 2 5 3 1 3 3 4 4 1 5 5 6 1 2 5 1 3 4 5 1 1 
6 6 2 1 1 4 4 4 3 4 3 2 2 2 3 6 6 3 2 4 2 6 6 2 1
Construa uma distribuição de frequência sem intervalo de classe.
O que é uma tabela de frequência?
● Tanto os dados qualitativos quanto os 
quantitativos podem e devem ser 
agrupados em frequências para construir 
uma tabela. Uma tabela é constituída por 
dados organizados em linhas e colunas. A 
frequência de um dado é o número de 
ocorrências ou repetições de um dado.
Como elaborar uma tabela de distribuição de 
frequência?
● A construção de uma tabela de 
distribuição de frequência pontual é 
equivalente à construção de uma tabela 
simples, onde se listam os diferentes 
valores observados da variável com suas 
frequências absolutas, denotadas por (ƒi) 
(o índice i corresponde ao número de 
linhas da Tabela) como é mostrado na 
Tabela
O que é uma tabela de distribuição de 
frequência?
● Em estatística, a distribuição de frequência 
é um arranjo de valores que uma ou mais 
variáveis tomam em uma amostra. Cada 
entrada na tabela contém a frequência ou 
a contagem de ocorrências de valores 
dentro de um grupo ou intervalo 
específico, e deste modo, a tabela resume 
a distribuição dos valores da amostra.
Notas fi Fi fr Fr ac
1 2 2 (2/20)*100= 10% 10%
2 2 4 (2/20)*100 = 10% 20%
3 6 10 (6/20)*100 = 30% 50%
4 8 18 (8/20)*100 = 40% 90%
5 2 20 (2/20)*100 = 10% 100%
Total 20 100%
Resolva o exercício:
As notas de uma prova foram:
2 3 4 4 4
1 3 4 5 3
3 4 4 2 3
3 4 4 5 1
Construa uma distribuição de 
frequência sem intervalo de classe.
n População Total.
fi Frequência Absoluta.
Fi Frequência Acumulada.
fr Frequência Relativa.
Fr 
ac
Frequência Relativa 
Acumulada.
fr Frequência Relativa
fr = ( fi/ n ) * 100
TABELA DE FREQUÊNCIA (COM CLASSES)
Massa fi
20 ⊢ 24 3
24 ⊢ 28 5
28 ⊢ 32 8
32 ⊢ 36 0
36 ⊢ 40 4
Total 20
Resolva o exercício:
Massa:
20, 20, 20, 25, 25, 25, 25, 25, 28, 28, 
28, 28, 28, 28, 30, 30, 40, 40, 40, 40. 
Construa uma distribuição de frequência com 
intervalo de classe.
1. Ordenamos os dados (ROL).
2. Calculamos os n0 de classes.
3. Calculamos a amplitude total.
4. Calculamos a amplitude do 
intervalo (h).
5. Construímos a tabela.
1
2 n
0 de classes.
Método prático:
5, se n < 25
√n, se n ≥ 25
Como n = 20
n0 de classes = 5
3 Amplitude Total: AT= máx - min
 A
T
= 40 - 20
 A
T
= 20
4 Amplitude do Intervalo (h): 
A
I
= A
T
 / n0 de classes.
A
I
= 20/5
A
I
= 4 ⇒ h = 4
Observação: 
Se h é um número decimal, vamos arredondar sempre 
para cima (4,2 = 5). Porque se arredondamos para 
menos, não vai conseguir atingir todos os dados.
Lembrando que se passar do valor máx, nosso 
intervalo vai fechar no valor máx.
⊢ representa o intervalo:
[ fechado no inicio, aberto no final [
5
Para calcular a primeira classe, vamos tomar 
o valor mín e somar h: 
20 + 4 = 24, logo colocamos em forma de 
intervalo: 
20 ⊢ 24
Continuaremos com este processo até atingir 
o valor máx.
24) Ao medir a massa corporal dos 
jogadores de futebol do time da FRB, 
encontrou-se o seguinte resultado: 72, 72, 
72, 76, 76, 80, 81, 81.
Pede-se:
a) Montar a tabela de frequência simples 
absolutadesses dados.
b) Montar a tabela de frequência completa 
desses dados.
Resposta a:
Resposta b:
EXERCÍCIOS
25) Estabelecer a tabela de frequência para esse rol de 
idades de alunos: 17, 17, 18, 18, 18, 19, 19, 20, 20, 21.
Resposta:
Uma forma, ainda mais simples, para analisar os dados 
poderia ocorrer se, além das frequências simples, fossem 
fornecidas as frequências percentuais e acumuladas. Assim, 
além de facilitar a compreensão, permite-se considerações 
mais rápidas sobre as idades. 
A elaboração de tabelas de frequências para dados 
quantitativos que apresentam grande dispersão pouco ajuda 
no processo de síntese dos dados. Nestes casos, um melhor 
resultado pode ser obtido através do agrupamento em 
classes, isto é, a criação das classes de frequências.
EXERCÍCIOS
26) A tabela seguinte representa os salários pagos 
a um grupo de administradores de empresas.
Com base nos valores apresentados encontre:
a) A frequência simples absoluta da 5ª Classe. 
Resposta: 24
b) A frequência total. Resposta: 90
c) O limite inferior da 6ª Classe. Resposta: 3,00
d) O limite superior da 4ª Classe. Resposta: 2,95
e) A amplitude do intervalo de Classe. Resposta: 0,05
f) A amplitude total. Resposta: 0,5
EXERCÍCIOS
27) A tabela seguinte representa os salários pagos 
a um grupo de administradores de empresas.
Com base nos valores apresentados encontre:
g) O ponto médio da 3ª Classe. Resposta: 2,875
h) O número total de Classes. Resposta: 10
i) A frequência absoluta acumulada até a 6ª 
Classe. Resposta: 64
j) A porcentagem de valores iguais ou maiores do 
que 3,20. Resposta: 3,33%
k) Construa todas as frequências.
EXERCÍCIOS
Média aritmética para dados agrupados em classes
Definição: A média aritmética para dados 
agrupados em classes de frequência é 
calculada da seguinte forma:
Exemplo 2: Agrupar em classes de frequência 
e determinar a média dos seguintes dados 
originais: 3; 5; 5; 6; 7; 10; 10; 12; 13; 16; 17; 18; 
18; 19; 20; 21; 23; 24; 24; 25; 27; 27; 28; 33.
onde PMi é o ponto médio de um determinado intervalo de 
classe, Fi é a frequência absoluta de um intervalo de classe 
e n é o número de intervalos de classe.
A média é calculada por:
28) Exemplo 1: rol: 36; 40; 40; 49; 49; 
50; 51; 52; 52; 52; 52; 54; 59; 60; 60; 
60; 60; 61; 61; 61; 61; 62; 62; 63; 64; 
64; 65; 65; 65; 67; 68; 74; 77; 77; 81; 
81; 83; 87; 90.
Agrupar e calcular a média aritmética
EXERCÍCIOS
29) Exemplo 4: A distribuição de 
idades de um grupo de alunos 
matriculados em Cálculo III pode ser 
vista na tabela seguinte. Calcular a 
média de idade dos alunos.
Resposta: A média de idade dos alunos de Cálculo III é igual a 20,25 anos.
EXERCÍCIOS
Medidas de Dispersão
Ao analisar dados, muitas vezes a média e a mediana 
apresentam valores idênticos. Por exemplo, um investidor 
analisa a perspectiva de investimento em apenas uma de 
duas ações analisadas A e B. Os retornos históricos dos 
últimos cinco meses para as duas ações podem ser vistos 
na tabela seguinte e supõe-se que o futuro pode ser 
previsto com base nesses dados. Com base nas medidas 
de posição central, a média e a mediana, o investidor tenta 
sintetizar as informações, constatando que a média e a 
mediana tem valores iguais 8%, em ambas as ações. Apesar disso, nota-se a diferença do comportamento do 
retorno de ambas as ações: enquanto A apresentou uma 
variação de 1 a 15, a ação B apresentou retornos entre 5 
e 11. Logo, a variabilidade e o risco seria menor na ação 
B. O objetivo das medidas de dispersão consistem na 
medição dessa variabilidade. Dentre as mais usuais 
medidas de dispersão destacam-se: a amplitude total ou 
intervalo ou Range, o desvio médio absoluto, o desvio 
padrão e o coeficiente de variação.
Medidas de Dispersão
1) Amplitude total: Representa a diferença entre o maior e 
o menor valor numérico de um conjunto de dados 
analisados. Costuma ser representada pela letra R.
Exemplo: Seja A = {13, 2, 11, 4, 5, 6, 9, 3, 15}.
Constrói-se o Rol: {2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 13, 15}. 
A amplitude total é igual a:
R = maior – menor = 15 - 2 = 13.
Em relação aos dados das ações A e B, o cálculo dos 
intervalos poderia ser feito com base na tabela seguinte:
Observe que o intervalo em A é maior do que em B, o que 
levaria um investidor julgar um maior risco em A do que 
em B.
Medidas de Dispersão
2) Desvio Médio Absoluto (DMA): É definido como a 
média aritmética dos desvios absolutos, isto é,
O valor encontrado para desvio médio absoluto foi igual a 
____________________, indicando que os números se 
afastam em média ____________________ da média 
aritmética dos dados analisados.
Exemplo: Calcular o desvio médio absoluto da 
série {4, 6, 16, 22, 12}.
Exercício: Construir a tabela como a anterior para o exemplo 
das ações A e B abordadas no início desse capítulo.
Medidas de Dispersão
3) Variância ( 𝛒2): Corresponde à média aritmética dos 
quadrados dos desvios absolutos.
Conclusão: Enquanto a variância de A foi de 
____________, a variância de B foi igual a ____________ 
apenas, logo a dispersão de B é bastante inferior.
Exercício: Construir a tabela adequada e 
calcular as variâncias para os retornos das 
ações A e B.
Medidas de Dispersão
4) Desvio padrão ( 𝛒 ): O desvio padrão resolve o 
problema decorrente da análise da variância – 
representado pelo fato desta apresentar grandezas 
elevadas ao quadrado. O desvio padrão corresponde à raiz 
quadrada da variância.
Exemplo: Para calcular o desvio padrão da série {4, 6, 16, 
22, 12}, basta extrair a raiz quadrada da variância.
Ou seja, a variância é igual a 6,5727.
Para os dados referentes ao retorno das ações A e B, 
os cálculos dos desvios padrões podem ser efetuados 
com base nas raízes quadradas das variâncias:
De forma similar às demais medidas de dispersão 
encontradas, o desvio padrão ilustra os Riscos relativos às 
duas ações. A ação A apresenta um risco maior.
Observação importante: Em Finanças, o conceito de 
Risco é, muitas vezes, representado pelos desvios 
padrões dos retornos passados.
Medidas de Dispersão
5) Medidas de dispersão relativa: O coeficiente de 
variação (CV).
A mais usual medida de dispersão relativa é o coeficiente 
de variação, representado pela razão entre o desvio padrão 
e a média aritmética.
2) Faça o mesmo para os 
seguintes dados agrupados:
1) Monte uma tabela para o cálculo do desvio padrão, 
dados os valores da variável: 8, 10, 11, 15, 16 e 18.
30) A indústria de queijos Leite Fino Ltda 
extraiu uma amostra composta por 20 
produtos. Os pesos encontrados (em 
gramas) foram iguais a:
1.040, 1.100, 950, 980, 1.100, 1.010, 1.010, 
900, 1.005, 1.015, 1.030, 910, 1.010, 1.015, 
1.030, 910, 1.050, 930, 950 e 910.
Pede-se calcular:
a) o desvio médio absoluto; b) a 
variância populacional; c) o desvio 
padrão populacional; d) o coeficiente de 
variação.
Dica: distribua os dados em classes de 
frequência.
Resposta:
Rol: 900; 910; 910; 910; 930; 950; 950; 980; 1.005; 1.010; 1.010; 1.010; 1.015; 1.015; 
1.030; 1.030; 1.040; 1.050; 1.100; 1.100.
EXERCÍCIOS
Representação Gráfica
Os gráficos constituem um importante instrumento de análise e interpretação de um 
conjunto de dados. Estudaremos quatro tipos de representação gráfica:
O gráfico de setores (ou “pizza”), o gráfico de barras (verticais ou horizontais), o 
histograma e o gráfico de linhas (poligonal).
Representação Gráfica
Gráfico de setores ou de “pizza”: É a representação 
gráfica dos dados estatísticos num círculo através de 
setores. As áreas são proporcionais aos valores da série. 
O gráfico a seguir informa a distribuição da população 
brasileira que vive no campo (zona rural) e nas cidades 
(zona urbana).
Para representar essa distribuição, dividimos um círculo em 
duas partes (setores circulares), uma com ângulo de 
medida proporcional à porcentagem da população rural e 
outra com ângulo de medida proporcional à porcentagem da 
população urbana. Para fazer esse cálculo, basta utilizar 
uma regra de três simples envolvendo asporcentagens 
apresentadas para a população de cada zona.
De modo geral, quando uma variável assume n valores 
distintos, dividimos um círculo em n setores circulares cujas 
medidas dos ângulos são proporcionais às frequências 
correspondentes a cada um desses valores.
Diagrama de pontos
Resolva o exercício:
Construir um gráfico de pontos dos seguintes dados.
a) 1,2 2,5 2,9 1,4 2,2 2,4 1,2 2,5 2,5
0 1 2 3 
||||||||||||||||||||||||| ||||||||||||||||||||||||| ||||||||||||||||||||||||| 
Construir um gráfico de pontos da seguintes tabela:
Turma Notas dos alunos Média
A 4 5 5 6 6 7 7 8 6
B 1 2 4 6 6 9 10 10 6
C 0 6 7 7 7 7,5 7,5 6
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| 
0 2 4 6 8 10
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| 
0 2 4 6 8 10
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| 
0 2 4 6 8 10
A
B
C
 _
x ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| 
0 2 4 6 8 10
Representação Gráfica
Gráfico de linhas: É utilizado usualmente para verificar o 
comportamento de uma determinada variável ao longo do tempo 
(série temporal). O eixo x representa anos, meses, semestres, entre 
outros. As linhas são mais eficientes neste tipo de gráfico porque 
permitem a detecção de flutuações ou mudanças intensas nas séries 
e também possibilitam a representação de várias séries
no mesmo gráfico. Para construir um gráfico em linhas, basta marcar 
os pontos correspondentes às grandezas e uní-los através de 
segmentos de reta. O gráfico a seguir mostra a evolução da taxa de 
desemprego no Brasil no período de 1989 a 2002. A cada ano está 
associada certa taxa de desemprego.
A leitura do gráfico nos permite concluir que:
● A taxa de desemprego aumentou de 1989 a 1992, 
teve ligeira queda de 1992 a 1995 e a partir daí 
cresceu até 1998. De 1998 a 1999, manteve-se 
praticamente constante, caindo a partir daí até 2001, 
quando houve retomada de crescimento.
● Nos últimos cinco anos, a taxa de desemprego 
manteve-se acima de 6% da população 
economicamente ativa.
● Considerando-se dois anos consecutivos, pode-se 
dizer que o maior aumento do desemprego ocorreu 
de 1997 a 1998, com acréscimo de 
aproximadamente 2 pontos percentuais na taxa.
Gráfico de Linha
Dia T (oC)
1 12
2 6
3 10
4 10
5 14
6 8
Resolva o exercício:
Construir um gráfico de linha das 
temperaturas para a tabela 
apresentada.
Responder:
a) Qual dia foi a maior 
temperatura?
b) Qual dia foi a menor 
temperatura?
c) Podemos identificar a 
temperatura mais constante?
d) Construa o rol das 
temperaturas.
e) Quais dias a temperatura foi 
constante?
14
12
10
8
6
4
2
0
T
 (o
C
)
1 2 3 4 5 6 
Dia
Rol: 6 8 10 10 12 14
Representação Gráfica
Gráfico de barras: Tem a finalidade de comparar 
grandezas por meio de retângulos de igual largura e 
alturas proporcionais às respectivas grandezas.
O gráfico a seguir relaciona os países onde há maior 
número de telefones (fixos e celulares, somados) e as 
quantidades correspondentes a cada um.
Ao lado do nome de cada país há uma barra cujo comprimento é 
proporcional ao número de telefones. Nessa escala, cada centímetro 
equivale a aproximadamente 70 milhões de telefones. Esse tipo de 
gráfico é denominado de gráfico de barras horizontais.
No gráfico acima está representado o aumento da população brasileira 
em um século. A cada ano corresponde uma coluna cujo comprimento é 
proporcional ao número de habitantes. Na escala utilizada, cada meio 
centímetro equivale a aproximadamente 35 milhões de habitantes.
Esse tipo de gráfico é denominado de gráfico de barras verticais.
Representação Gráfica
Histograma: É a 
representação gráfica de uma 
distribuição de freqüência por 
meio de retângulos 
justapostos, cujas áreas são 
proporcionais às freqüências 
das classes. Vale mencionar 
que, tanto as frequências 
absolutas simples, quanto as 
frequências relativas simples 
podem ser representadas 
através de histogramas.
Na tabela a seguir, extraída do 
Atlas do Desenvolvimento 
Humano no Brasil, está 
relacionada à renda per capita 
média em cada estado (dados 
do Censo de 2000), expressa 
em reais.
Agrupando esses valores em cinco classes de intervalos de 
classes temos:
é possível construir uma tabela de frequência.
Para representar graficamente essas informações, construímos 
um gráfico semelhante ao de barras verticais, usando como 
abscissa os limites das classes de intervalos e como ordenada a 
frequência (absoluta ou relativa).
Esse tipo de gráfico é denominado histograma.
HISTOGRAMA E POLÍGONO DE FREQUÊNCIA
Massa fi Fi 
5 ⊢ 10 20 20
10 ⊢ 15 30 50
15 ⊢ 20 25 75
20 ⊢ 25 15 90
25 ⊢ 30 10 100
Total 100
Resolva o exercício:
⊢
Limite 
Inferior
Limite 
Superior
Construir um histograma para a 
tabela de distribuição de 
frequências que representa o 
número de litros de gasolina 
vendidos por veículo no posto X.
A base representa os intervalos.
A altura representa a frequência.
Responder:
a) Qual intervalo tem menor 
número de litros de gasolina?
b) Quantos intervalos tem 20 
ou menos litros de gasolina?
c) Tem intervalos com mais de 
20 litros de gasolina?
Para graficar uma OGIVA, utilizamos a Fi Frequência 
Acumulada.
Ogiva é um dos três tipos de gráficos que fornecem dados da 
distribuição de frequência (os outros dois tipos são os 
histogramas e o polígono de frequências). O gráfico de ogiva 
representa a frequência acumulada.
100
75
50
25
0
N0 de litros de gasolina / por veículo.
31) Representar as informações da 
tabela abaixo em gráfico de barras.
EXERCÍCIOS
32) Representar as informações da 
tabela abaixo em gráfico de barras 
múltiplas.
EXERCÍCIOS
33) Representar as informações da 
tabela abaixo em gráfico de setores.
EXERCÍCIOS
34) As vendas no mês de maio de 
2010 do supermercado Pague e Leve 
Ltda. Estão representadas na tabela 
seguinte. Construa o agrupamento em 
classes de frequência, elaborando o 
histograma e o diagrama de 
frequências.
EXERCÍCIOS
35) Para a série de dados contínuos 
apresentados a seguir elabore a 
tabela de frequências mostrando os 
cálculos necessários para a 
construção das classes.
EXERCÍCIOS
3er ano
Daniel Albano, Davi Ribeiro, Mariana Oliveira: 2 - 6 - 9 - 17 - 18 - 20.
Ana Luiza Rocha, Laisa Oliveira Gama, Milena Matos Mario: 4, 7, 11, 16, 20 e 22.
Luna Almeida, Rebeca Oliveira, Sara David: Falta 3 - 8 - 10 - 15 - 19 - 21.
Luiza Brandão, Rebeca Garrido, Yasmin Gouveia: 1 - 5 - 10 - 13 - 14 - 16.
Ana Flávia Lopes , Camila Silva, Francislane Santos: 4 - 7- 11 - 14 - 20 - 22.
Lista de exercícios: 30/08/2021
Aula tema novo (Matemática Financeira): 
31/08/2021
Prova: 01/09/2021
https://cmapspublic3.ihmc.us/rid=1P1DZ4CRL-1HJZ9KS-17VK/MEDIDAS%20DE%20POSI%C3%87%C3%83O.cmap
https://www.google.com/url?q=https://cmapspublic3.ihmc.us/rid%3D1P1DZ4CRL-1HJZ9KS-17VK/MEDIDAS%2520DE%2520POSI%25C3%2587%25C3%2583O.cmap&sa=D&source=editors&ust=1629932302907000&usg=AOvVaw3vvL8Wh8b4MG8nJEMIooB2
REFERÊNCIAS:
● Guia IFBA 3er ano. DEPARTAMENTO DE 
MATEMÁTICA.
● Castellanos, Uriel. Distribuição normal e de Student e 
medidas de dispersão. Noções de amostragem. Noções de 
inferência estatística. Disponivel em: 
https://docs.google.com/presentation/d/1kQIBSZ4IFP8qxch5
A4KR0vPequa1uNLm/edit?usp=sharing&ouid=103946783806825190120&rtpof=true&sd=true 
Tarefas:
● Link para resolver exercícios em dupla: 
https://ufbabr-my.sharepoint.com/:w:/g/personal/uriel_castell
anos_ufba_br/EQcKXICsyItIvj1fiMib66sB6x4TT1yt8eUG5
_LGvoIq1Q?e=DjoCXH 35
Matemática 3er Ano
Temas:
● Estatística.
Objetivo:
● Conhecer os elementos da Estatística e sua articulação 
no processo de resolução de situações-problemas.
Conteúdos: 
● Estatística Descritiva: Média/ Moda/ Mediana / Média 
Aritmética Simples, Ponderada e Geométrica. Dados 
Agrupados e Distribuição de Frequência;
● Medidas de Dispersão: Amplitude/ Variância / Desvio 
Médio Absoluto/ Desvio padrão;
● Interpretação Gráficos e Tabelas.
https://www.google.com/url?q=https://docs.google.com/presentation/d/1kQIBSZ4IFP8qxch5A4KR0vPequa1uNLm/edit?usp%3Dsharing%26ouid%3D103946783806825190120%26rtpof%3Dtrue%26sd%3Dtrue&sa=D&source=editors&ust=1629932302924000&usg=AOvVaw2WSHGO3oiv5JGrd-Nal14d
https://www.google.com/url?q=https://docs.google.com/presentation/d/1kQIBSZ4IFP8qxch5A4KR0vPequa1uNLm/edit?usp%3Dsharing%26ouid%3D103946783806825190120%26rtpof%3Dtrue%26sd%3Dtrue&sa=D&source=editors&ust=1629932302925000&usg=AOvVaw2RDQ337UBPG2pqMT4Q_O_2
https://www.google.com/url?q=https://docs.google.com/presentation/d/1kQIBSZ4IFP8qxch5A4KR0vPequa1uNLm/edit?usp%3Dsharing%26ouid%3D103946783806825190120%26rtpof%3Dtrue%26sd%3Dtrue&sa=D&source=editors&ust=1629932302925000&usg=AOvVaw2RDQ337UBPG2pqMT4Q_O_2
https://www.google.com/url?q=https://ufbabr-my.sharepoint.com/:w:/g/personal/uriel_castellanos_ufba_br/EQcKXICsyItIvj1fiMib66sB6x4TT1yt8eUG5_LGvoIq1Q?e%3DDjoCXH&sa=D&source=editors&ust=1629932302925000&usg=AOvVaw1wlGdV6pJYm1RvLDuFK3JX
https://www.google.com/url?q=https://ufbabr-my.sharepoint.com/:w:/g/personal/uriel_castellanos_ufba_br/EQcKXICsyItIvj1fiMib66sB6x4TT1yt8eUG5_LGvoIq1Q?e%3DDjoCXH&sa=D&source=editors&ust=1629932302925000&usg=AOvVaw1wlGdV6pJYm1RvLDuFK3JX
https://www.google.com/url?q=https://ufbabr-my.sharepoint.com/:w:/g/personal/uriel_castellanos_ufba_br/EQcKXICsyItIvj1fiMib66sB6x4TT1yt8eUG5_LGvoIq1Q?e%3DDjoCXH&sa=D&source=editors&ust=1629932302926000&usg=AOvVaw3ugU19yFY5Sqi-j2-IiZ0N
 
Obrigado pela 
atenção…
Prof. Dr. Uriel Castellanos
urielcastellanos@gmail.com
http://lattes.cnpq.br/6479213510946258
https://orcid.org/0000-0002-7811-5874
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he
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 m
ar
ke
d 
w
ith
 C
C
0
 1
.0
https://www.google.com/url?q=http://lattes.cnpq.br/6479213510946258&sa=D&source=editors&ust=1629932303406000&usg=AOvVaw3whEYdZKAu9TDNjt3_U6Wk