MATEMÁTICA - Geometria espacial

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MATEMÁTICA
Geometria espacial 
A geometria espacial é a área da matemática que estuda os sólidos geométricos e a geometria no espaço. Pensar na geometria com objetos tridimensionais é buscar compreender o mundo em que vivemos, logo a geometria espacial tem como objetivo entender as formas de objetos em três dimensões.
A geometria plana, que se volta para objetos em duas dimensões, é a base para uma série de conceitos da geometria espacial, sendo essencial o domínio de uma para compreender a outra. A geometria espacial surge a partir de elementos primitivos, que são assim chamados por não possuírem uma definição. São eles: o ponto, a reta, o plano e o espaço.
Tendo como base os elementos primitivos, podemos desenvolver uma série de conceitos importantes e conhecer as formas, como os poliedros e os corpos redondos. Além de conhecer esses sólidos, é importante compreender o cálculo de volume e de área total, pois cada sólido geométrico possui sua fórmula específica.
Conceitos básicos da geometria espacial
Os primeiros conceitos que precisamos entender são os elementos primitivos da geometria espacial. Eles não possuem definição, mas conseguimos intuitivamente reconhecê-los. É a partir deles que temos todos os conceitos da geometria. Os elementos primitivos são a reta, o ponto, o plano e o espaço.
As noções de semirreta, segmento de reta e até mesmo a de ângulo surgem a partir desses elementos. Com base neles, também podemos definir conceitos mais avançados, como sólidos geométricos, volume, área total etc.
Então começaremos reconhecendo a representação desses elementos primitivos.
· Pontos
Os pontos são representados por letras maiúsculas do alfabeto.
· Reta
A reta é representada por letras minúsculas do alfabeto.
· Plano
· Espaço
Pensando nos elementos primitivos, o ponto, a reta e o plano são objetos também da geometria plana. Na geometria espacial, estudamos o comportamento desses elementos no espaço, ou seja, em um universo tridimensional.
Figuras da geometria espacial
Na geometria espacial, são estudados os sólidos geométricos. Os mais estudados são divididos em dois grupos: os poliedros e os corpos redondos.
· Poliedros
Poliedros são sólidos geométricos compostos com faces formadas por polígonos. Todo poliedro é composto por vértices, faces e arestas.
As faces são os polígonos que formam o sólido geométrico — nesse caso, são os retângulos que formam o sólido. As arestas são os segmentos de reta que ligam os vértices do sólido. Podemos notar também que a aresta é o lado do polígono que forma a face do poliedro. Já os vértices são os pontos formados pelo encontro de três ou mais arestas.
Os principais poliedros são as pirâmides e os prismas. Existem pirâmides de base triangular, quadrada, pentagonal, etc. Já os prismas mais conhecidos são o cubo e o paralelepípedo, mas também há prismas de base triangular, pentagonal, entre outros.
· Corpos redondos
Os corpos redondos são sólidos geométricos que possuem superfícies curvas, logo não possuem vértice, face e aresta. Conhecidos também como sólidos de revolução, os principais corpos redondos são o cilindro, o cone e a esfera.
Fórmulas da geometria espacial
Todos esses sólidos geométricos possuem fórmulas específicas para o cálculo de volume (V) e da área total (At).
· Prisma
Para os prismas, é possível perceber que a sua área da base pode ser diferente de um formato para o outro, logo a área total e o volume dependem diretamente da área da base.
V = Ab· h
At = 2Ab + Al
Ab → área da base
Al → área lateral
h → altura
· Pirâmide
Assim como os prismas, a base da pirâmide pode ser diferente, logo o volume depende diretamente da base.
Ab → área da base
Al → área lateral
h → altura
· Cilindro
O cilindro sempre possui base circular, logo sua área total e seu volume dependem somente da altura (h) e do raio (r) do cilindro.
V = πr² ·h
At = 2πr ( r + h)
· Cone
Com base também circular, o volume do cone depende somente da sua altura e de seu raio. Porém, para encontrar a sua área total, é necessário encontrar a geratriz do cone.
Logo, no cone, há três fórmulas importantes. Uma delas é para encontrar a geratriz (g), e as outras são as já conhecidas dos outros poliedros, isto é, fórmulas de volume e de área total.
g² = r² + h²
At = πr (r+ g)
· Esfera
Para calcular o volume e a área total da esfera, é necessário conhecer o valor do raio. As fórmulas são:
At = 4πr²
Cubo e paralelepípedo 
Cubo 
O cubo (também chamado de Hexaedro Regular) e o paralelepípedo retângulo são dois casos particulares de prismas. Veremos agora as relações específicas de cada um. 
O Cubo é formado por seis quadrados (dois deles formando as bases e quatro formando as lateraisl). Veja na imagem para você compreender e ir gravando na cabeça:
Áreas e volume no Cubo
· Sendo as arestas do cubo igual à “a”, teremos
· Área da base (AB)
· AB = a2
Veja os cálculos básicos do Cubo
· A Área Lateral (AL) e  formada pela área dos quatro quadrados que a formam, assim:
· AL = 4a2
 
· A Área Total (AT) : corresponde à soma da área lateral com as duas bases do cubo.
· AT = 6a2
O Cálculo de Volume no Cubo
V = a3
Diagonal do cubo (D)
Paralelepípedos
O Paralelepípedo é uma figura geométrica espacial que faz parte dos sólidos geométricos.
Trata-se de um prisma que possui base e faces em formato de paralelogramos (polígono de quatro lados).
Em outras palavras, o paralelepípedo é um prisma quadrangular com base de paralelogramos. 
Faces, Vértices e Arestas do paralelepípedo
O paralelepípedo possui:
· 6 faces (paralelogramos)
· 8 vértices
· 12 arestas
Classificação do paralelepípedo
De acordo com a perpendicularidade de suas arestas em relação a base, os paralelepípedos são classificados em:
Paralelepípedos Oblíquos: possuem arestas laterais oblíquas à base.
Paralelepípedos Reto: possuem arestas laterais perpendiculares à base, ou seja, apresentam ângulos retos (90º) entre cada uma das faces.
Lembre-se que o paralelepípedo é um sólido geométrico, ou seja, uma figura com três dimensões (altura, largura e comprimento).
Todos os sólidos geométricos são formados pela união de figuras planas. Para exemplificar melhor, confira abaixo a planificação do paralelepípedo reto:
Fórmulas do paralelepípedo
Segue abaixo as principais fórmulas do paralelepípedo, onde a, b e c são as arestas do paralelogramo:
· Área da Base: Ab = a.b
· Área Total: At = 2ab+2bc+2ac
· Volume: V = a.b.c
· Diagonais: D = √a2 + b2 + c2
 
Questões 
1) Questão 1 – (Enem 2015) Para resolver o problema de abastecimento de água foi decidida, numa reunião do condomínio, a construção de uma nova cisterna. A cisterna atual tem formato cilíndrico, com 3 m de altura e 2 m de diâmetro, e estimou-se que a nova cisterna deverá comportar 81 m³ de água, mantendo o formato cilíndrico e a altura da atual. Após a inauguração da nova cisterna a antiga será desativada. Utilize 3,0 como aproximação para π.
Qual deve ser o aumento, em metros, no raio da cisterna para atingir o volume desejado?
A) 0,5
B) 1,0
C) 2,0
D) 3,5
E) 8,0
2) (Enem 2017) Uma rede hoteleira dispõe de cabanas simples na ilha de Gotland, na Suécia, conforme Figura 1. A estrutura de sustentação de cada uma dessas cabanas está representada na Figura 2. A ideia é permitir ao hóspede uma estada livre de tecnologia, mas conectada com a natureza.
A forma geométrica da superfície cujas arestas estão representadas na figura 2 é:
A) tetraedro.
B) pirâmide retangular.
C) tronco de pirâmide retangular.
D) prisma quadrangular reto.
E) prisma triangular reto.
3)  ENEM 2013  - Uma cozinheira, especialista em fazer bolos, utiliza uma forma no formato representado na figura:
Nela identifica-se a representação de duas figuras geométricas tridimensionais. Essas figuras são
A - um tronco de cone e um cilindro.
B - um cone e um cilindro.
C - um tronco de pirâmide e um cilindro.
D - dois troncos de cone.
E - dois cilindros.
4)  Uma pirâmide possui base formada por um triângulo retângulo que tem catetos medindo 6 centímetros e 8 centímetros e altura igual a 10 centímetros. Então, o volume dessapirâmide, em cm³, é igual a:
A) 160 cm³
B) 240 cm³
C) 50 cm³
D) 70 cm³
E) 80 cm³
5) Qual a medida da diagonal do bloco retangular abaixo?
a) 277,18 cm
b) 175,18 cm
c) 187,18 cm
d) 188,18 cm
e) 177,18 cm
6) Para uma obra artística, foi necessário pintar até dois terços da altura de um cubo de vermelho. Determine a área desse cubo que foi pintada de vermelho sabendo que sua aresta mede 3 metros.
a) 33 m2
b) 36 m2
c) 39 m2
d) 42 m2
e) 45 m2
GABARITO
1 – c
Dados: h = 3, π = 3 e V = 81m³.
O volume do cilindro é calculado por:
Sabendo que o diâmetro antigo era 2 e como o raio é metade do diâmetro, o raio antigo era igual a 1.
Logo, de 1 para 3, houve um aumento de 2 metros.
2 – e
A figura 2 possui duas bases triangulares e ângulos retos, logo é um prisma triangular reto.
3 – d
As duas figuras geométricas tridimensionais possuem duas bases circulares paralelas, porém esses círculos que formam cada base não possuem o mesmo raio, logo não se trata de cilindros. Ambas as figuras são formadas a partir de um corte transversal paralelo à base de um cone, sendo portanto, troncos de cone. 
4 – e
Primeiro calcularemos a área da base da pirâmide. Como ela é um triângulo retângulo, calculamos a área multiplicando a base pela altura e dividindo por dois
Ab = b · h : 2
Ab = 6 · 8 : 2
Ab = 48 : 2
Ab = 24
Agora calcularemos o volume da pirâmide.
5 – e 
Para calcular a diagonal de um paralelepípedo, basta usar a seguinte fórmula:
d = √(a2 + b2 + c2)
d = √(1442 + 642 + 812)
d = √(20736 + 4096 + 6561)
d = √(31393)
d = 177,18 cm aproximadamente
6 – a 
Para resolver esse problema, perceba que as áreas solicitadas são: a área da base e dois terços da área de cada face lateral. Nos termos apresentados, a área superior do cubo não será pintada. Assim, temos:
Ab = 32 = 9 m2
2Al = 2·4·l2 = 8·32 = 8·9 = 72 = 24 m
 3       3           3         3        3
A soma das duas áreas é: 9 + 24 = 33 m2