Aula 4 1- Transformada de Laplace

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TRANSFORMADA DE LAPLACE
Prof. Dr. Walterley A. Moura
1
Oliver Heaviside, quando estudava processos simples para obter soluções de
Equações Diferenciais, vislumbrou um método de Cálculo Operacional que leva ao
conceito matemático da Transformada de Laplace, que é um método simples para
transformar um Problema com Valores Iniciais(PVI), em uma equação algébrica de
uma variável complexa, de modo a obter um asolução deste PVI de uma forma
indireta, sem o cálculo de Integrais e Derivadas para obter a solução geral da
Equação Diferencial. Pela utilidade deste método em Matemática, na Computação,
nas Engenharias, na Física e outras ciências aplicadas, o método representa algo
importante neste contexto. As transformadas de Laplace são muito usadas em
diversas situações, porém, aqui trataremos de suas aplicações na resolução de
Equações Diferenciais Ordinárias Lineares.
Oliver Heaviside (Londres, 1850-1925): Foi auto-didata, engenheiro, físico e
matemático. Adaptou os números complexos ao estudo de circuitos elétricos.
2
Solução de Equação Diferencial 
com Transformada de Laplace
3
     0 0, 0 , 0 , , ,ay by cy f t y y y y a b c         
A transformada de Laplace pode ser usada para resolver problemas de valor inicial da forma
Transformada de Laplace F(s) de uma função é 
definida por:
       
0
, : 0,
0
stL f t F s f t e dt f
para s

     

 
4
5
 A transformada de Laplace de uma função f(t) existe se a integral de Laplace convergir.
1 - Uma função seccionalmente contínua é uma função que pode ter um número finito
de pontos de descontinuidade, existindo no entanto limites laterais finitos da função.
3.1 Definição
2 – Uma função f(t) será de ordem exponencial se:
   
   
   
0
0
0, tal que
lim lim 0
st
st
Kt Kt
t t
F s f t e dt
F s f t e dt
K
f t e e f t




 
 


 
 


6
3.2 Integral Imprópria
Seja f uma função real de variável real definida no intervalo [a, +∞ [ e integrável em
qualquer intervalo [a,x], x>a. Nestas condições podemos definir a função:
   
x
a
g x f t dt 
Esta integral é denominada de indefinida com a origem em "a". Se calcularmos o limite
 lim
x
x
a
f t dt
 
e, se este limite der um valor finito, L, então f é integrável em sentido impróprio em [a, +∞ [
e tem-se
 
a
L f t dt

 
Nestas condições:
i) a integral imprópria existe e é convergente, com valor L;
ii) se o limite não existir, então f não é integrável em [a, +∞ [ e diz-se que a integral
diverge.
3.3 Condição suficiente para a existência da transformada de Laplace 
A integral de laplace vai convergir se f(t) é seccionalment contínua em [a, +∞ [ e se ela 
for de ordem exponencial quando t tender ao infinito .
7
4.1) Função Degrau
 
0, 0
1, 0
t
u t
t

 

A transformada de Laplace de f (t) é dada por:  
0
1
1 stL u t e dt
s

     
4.2) Função Rampa:    f t tu t
A transformada de Laplace de f (t) é dada por:
   
0
0
2
0 00
1 1
st
st
st st
st
L f t tu t e dt
te dt
e e
t dt e dt
s s s s




   

  

   
 


 
Obs.: Integração por partes:
udv uv vdu  
8
4.3) Função Senoidal e Cossenoidal
   : 0, , jath definida por h t e  
   
 
 
 
 
 
 
 
*0
0 0 0
lim
1 1
0 , 0
s ja t s ja T s ja
s ja tst jat
T
e e e
H s e e dt e dt
s ja s ja s ja
para s
s ja s ja
       
 

     
     
   
  
 
A transformada de Laplace de h (t) é dada por:
Por outro lado, sabemos que:
   
 
       
0
0 0
cos sen
cos sen
st st
st st
H s L h t
e at je at dt
e at dt j e at dt
L f t jL g t F s jG s

 
 
 
   
 
 
         

 
   cos senjate at j at f t jg t   
9
Assim tomando a parte real e a parte imaginária, temos: 
         Re ImF s H s e G s H s 
  2 2 2 2 2 2
1 1 s ja s ja s a
H s j
s ja s ja s ja s a s a s a
 
     
     
Calculando a parte Real e a parte Imaginária de H(s), temos:
4.4) Transformada de Laplace de   cosf t at
  2 2
1
Re , 0
s
F s para s
s ja s a
 
   
  
4.5) Transformada de Laplace de   seng t at
  2 2
1
Im , 0
a
G s para s
s ja s a
 
   
  
Seja n um inteiro positivo. Calcular a Transformada de Laplace da função
   : 0, , , 0,1,2,...nnf definida por f t t para n   
 
 
 
 
1
1 1
1
00 0 0
integração por partes
n n
st
st
n st
st n st n st n
n n
udv uv vdu
u t du nt dt
e
dv e dt v
s
t e n n n
F s e t dt e t dt e t dt F s
s s s s


  
    

 
  
  

    
 
 
  
Aplicando a fórmula
de recorrência, temos:
     
         
         
1 0 01
2 1 0 0 02 2
3 2 0 0 02 3 3
1 1!
2 2 1 1 2 2!
3 3 2! 3 2! 3!
F s F s F s
s s
F s F s F s F s F s
s s s s s
F s F s F s F s F s
s s s s s

 


   


   
 10
4.6) Função Potência:
 0
1
F s
s
Mas,
Assim, temos:
Logo:    0
!
n n
n
F s F s
s

  1
!
, 0n n
n
F s s
s 
  
é a Tranformada de Laplace de   1f t 
OBS.: Para calcular a Tranformada de Laplace de outras funções vamos usar as 
propriedades que apresentamos a seguir.
11
Se a Tranformada de Laplace de f(t) é F(s), para s > a1, e a Tranformada de Laplace de g(t) é 
G(s), para s > a2, então para constantes  e , tem-se
        1 2, max ,L f g t L f t L g t para s a a           
       
   
   
   
0
0 0
st
st st
L f g s e f t g t dt
e f t dt e g t dt
L f t L g t
F s G s


 
 
    
  
        
  

 
OBS.: Desenvolver exemplos.
12
4.7) Teorema da Linearidade
Seja "a" uma constante. Se a Transformada de Laplace da função f(t) é 
F(s), para s>c, então a Transformada de Laplace da função
   atg t e f t é
    ,G s F s a para s a c   
    
   
 
0
0
sa st at
s a t
L e f t e e f t dt
e f t dt
F s a

 

 


 


OBS.: Desenvolver 
exemplos. 13
4.8) 1º Teorema do Deslocamento
         a sg t f t a u t a L g t e F s      
14
4.9) 2º Teorema do Deslocamento
       
 
     
 
 
0
0 0
0
,
st
st
a
s a s sa
a s s
a s
L f t a u t a f t a u t a e dt
f t a e dt t a
f e d f e d
e f e d
e F s




 
   

  

      
    
     
  



 

(a) Suponha que f (t) seja derivável com f '(t) seccionalmente contínua. Então:
     0L f s sF s f    
       2 0 0L f t s F s sf f     
(b) Suponha que f (t) seja derivável duas vezes com f ''(t) seccionalmente contínua. Então:
         
   
0
0 0
0
st st stL f t e f t dt e f t s e f t dt
f sF s
 
        
  
 
(a) Vamos provar para o caso em que f '(t) é contínua.
F(s) é a Transformada de Laplace de f (t) .
15
4.10) Teorema da Derivação
(b) Vamos provar para o caso em que f ''(t) é contínua. Usando o item anterior:
     
     
     
     
     2
0
0
0
0 0
0 0
L f t sF s f
L f t sL f t f
L f t sL f t f
s sF s f f
s F s sf f
    
        
         
    
  
16
17
4.11) Função Pulso
 
1, 0
0, caso contrário
t a
f t
 
 

A função f (t) pode ser escrita da seguinte maneira:
     f t u t u t a  
     L f t L u t L u t a            
0
t
 f t
a
Aplicando-se o teorema do deslocamento, temos:
   1 1 1
sa
s aeL f t e
s s s

     
18
4.12) Função Impulso unitário: A função impulso é o caso limite de 
uma função pulso. Considere a função impulso 
 
1
, 0
0, caso contrário
t
d t

  
 

 Podemos construir a seguinte função:isto é, um retâgulo centrado no ponto, com largura
"ε" e altura "1 ", conforme mostra a figura abaixo.
d t

   
0
, 0
lim
0, 0
t
d t t
t


 
   

19
A função impulso pode ser considerado como uma função pulso, ou seja:
     ,
1 1
ad t u t u t    
 
Então a transformada de Laplace é obtida com segue:
     
 
   
 
 
,
,
0 0
0
0 0
1 1
1 1
1 1
lim lim
1
lim 1 , Aplicando-se a regra de L'Hospital, temos:
1
lim lim
a
s
s
a
s
s
L d t L u t L u t
e
s s
L d t e
s s
L t e
s
d
e
sd
d
s
d

 
 

 
 

 
 
   
              
 
 
         
 
        
 
   
 
 
se
s
 
 
1
1L t

   
A função impulso cuja cuja área é igual a 1 é chada de função impulso unitário
ou função delta de Dirac. Esta função ocorrendo em é usualmente 
denotada por , que satisfaz as seguintes relações:
0t t
 0t t 
 
 
 
0 0
0 0
0
0, para
, para
1
t t t t
t t t t
t t dt


   
    
  
OBS.:
Um pulso que tem amplitude infinita e duração nula é uma ficção matemática
e não ocorre em sistemas físicos reais. Se, entretanto, a amplitude de um
pulso de entrada em um sistema físico é muito grande e sua duração muito
pequena comparada com as constantes de tempo do sistema, podemos
aproximar a entrada em pulso por uma entrada em impulso.
20
 
1 s
L f t F
 
        
   
   
 
 
0
0
0
Fazendo 
Fazend
1
o
1
 
1
st
s
u
u
L f t f t e dt
L f t f u e du
f u
du
t u d
e du
s
F F
t
s







   

 
    
    

 
    
  

 



21
4.13) Homotetia (escala) na transformada de Laplace
Seja a transformada de Laplace dada por
   
0
stF s f t e dt

 
Derivaremos ambos os membros da igualdade em relação à variável s, obteremos: 
 
 
     
      
   
 
 
0
0 0
0 0
st
st st
st st
dF s d
f t e dt
ds ds
d
f t e dt f t e dt
s ds
f t t e dt t f t e dt
L t f t
dF s
L tf t
ds


 
 
 
 


   
     
   
   

 
 
22
4.14) Derivada da Transformada de Laplace
4.15) Transformada de Laplace da integral de uma função
     
 
0 0
t t F s
g t f u du L f u du
s
 
   
 
 
   
   
 
 
     
 
   
 
 
 
   
   
 
0
00
0
0
0
0
1
lim ,
0 1
lim
0
se 0 0
st
st
st
Ast
st
A
sA
st
A
F s
t
t
G s e g t dt
udv uv vdu
u g t du g t dt
e
dv e dt v
s
g t e
G s g t e dt g t f t
s s
g A e g
G s f t e dt
s s s
F s g
L f u du
s s
F s
g L f u du




 


 




 
  
   
     
    
 
  
 
 
   
 

 




 
s
Demonstração:
23
24
Teoremas 
5 Integral de Convolução
Determinar a transformada de Lapalce de:
       
0
t
f t g t f t g d     
a integral acima é denominada integral de convolução.
A transformada de Lapalce da integral de convolução:
         
0
t
L f g L f t g d F s G s
 
       
 

25
26
Demonstração:    
         
     
     
       
   
   
0 0
0 0
0 0
0 0
1
0 0
0 0
0,
,
t
st
st
s v
sv s
sv s
f t u t para t
L f t g d L f t u t g d
e f t u t g d dt
f t u t e dt g d v t
f v u t e dv g d
f v e dv g d
f v e e dv g d
f

 

 

 
 

 
  
 
  
      
   
             
   
 
       
 
         
    
  
  

 
 
 
 
 
 

       
0 0
sv sv e dv g e d F s G s
 
     
6 Teorema do Valor Final
27
Relaciona o comportamento em regime estacionário de f(t), ou seja:  lim
t
f t

Temos a seguinte regra:    
0
lim lim
t s
f t sF s
 

Demonstração:
       
     
 
   
     
       
       
0 0 0
0
0 0
0
0
0
0
0 0
0
lim lim lim 0
lim lim 0
lim 0
lim 0
lim 0 lim lim 0
lim 0 lim 0
lim
st
s s s
st
s s
s
t
t s s
t s
t
L f t f t e dt sF s f
f t dt e sF s f
df t
dt sF s f
dt
df t f t f
f t f sF s f
f t f sF s f


  


 




  
 

         
 
      
 
    
  
   
   




   
0
lim
s
f t sF s


7 Teorema do Valor Inicial
28
Este teorema é a contraparte do teorema do valor inicial, ou seja:
   0 lim
s
f sF s


Demonstração:
Para demonstrar este teorema será utilizado a transformada de Laplace de  f t
     
       
   
0 0
0
lim lim lim 0 0
0 lim
st st
s s s
s
L f t sF s f
f t e dt f t dt e sF s f
f sF s
 
 
 

  


    
 
        
  

 
8 Equacões Diferenciais Lineares com 
Coeficientes Não-Constantes
Quando os coeficientes de uma equação diferencial linear são
polinômios, a transformada de Laplace pode ser calculada usando
os seguintes resultados:
 
 
   
   
   
   
 
   
 
     
 
     
   
 
     
 
       
2
1 1
1 1 0
1 1 0 0
n n
n nn
n n
n n
n nn
n n
n n
n nn
n n
dF s
tf t
ds
d f t d F s
t f t
ds ds
d d
t f t f t sF s f
ds ds
d d
t f t f t s F s sf y'
ds ds
   
        
              
              
L
L
L
L L
L L
29
Tomando-se a derivada sucessiva de F(s), teremos a regra geral:
     
 
 
 
 
 
 
1
1
1 , 1,2,3.....
fazendo 1, temos:
1
n
nn
n
d
t f t F s n
ds
t
dF s
tf t
ds
dF s
tf t
ds
dF s
f t
t ds


     

   
 
   
 
 
   
 
L
L
L
L
30
9 Transformada Inversa de Laplace
   1f t F s   L
Teorema de Lerch: Se f(t) é seccionalmente contínua e ordem
exponencial então a transformada inversa de Laplace existe e é
única.
31
32
10 Solução de equações lineares invariantes
no tempo
Na solução de equações lineares invariantes no tempo pelo
método das Transformada de Laplace são necessárias duas
etapas:
1. Aplica-se a transformada de Laplace a cada um dos membros da
equação diferencial, converter em uma equação algébrica em “s” e
obter a expressão da transformada de Laplace da variável dependente,
rearranjando a equação algébrica;
2. A solução da equação diferencial é obtida achando-se a transformada
de Lapalce inversa da variável dependente.
33
Exemplos:
Obter a solução x(t) da equação diferencial abaixo:
      
      
1 3 2 0 0 1, 0 2
2 2 5 3 0 0, 0 0
x t x x x x
x t x x x x
      
      
11 frações parciais de funções racionais
34
a) Expansão em Frações Parciais para polos distintos
 
 
 
 
      
1
1 2
1
,
....
m
i
i
i
n
n
i
i
b s
P s P s
F s m n
Q s s p s p s p s p


   
    

 
       
1 2
11 2
n
n i
in i
A AA A
F s ....
s p s p s p s p
    
   

  1 21 2
1
n i
n
p t p tp t p t
n i
i
f t A e A e ...... A e Ae  

    
Polos: zeros do denominador
Raízes: zeros do numerador ou da função F(s)
35
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 2
1 2
.... ...
k
k
k
k
s p
k n
k k k k k
k n s p
k k
s p
P s
s p
Q s
A AA A
s p s p s p s p A
s p s p s p s p
P s
A s p
Q s



 
 
           
    
 
36
b) Expansão em Frações Parciais para polos múltiplos
 
 
2
3
2 3
1
s s
F s
s
 


A expansão em frações parciais envolve três termos:
     
 
 
     
 
2
3 2 3
2
3 2
3
3
2 3
11 1 1
2 3
1 1 1 11
Fazendo 1, temos:
1
s s A B C
ss s s
s s
s A s B s C
s
s
C s
 
  
  
 
     

 
 
 
2
3
2 3
1
s s
s
 

   
2
1
1 2 1 3 2
s
C

 
        
 
 
37
Derivando a equação (1), temos:
 
3
1
d
s
ds

 
2
3
2 3
1
s s
s
 

   
   
2
1
1
1 ` 1
1 1
2 2 2 1
0 0
s
s
s s
d
A s B s C
ds
s A s B
B B


 
 
       
  
 
     
  
Derivando novamente a equação (1), temos:
 
2
3
2
1
d
s
ds

 
2
3
2 3
1
s s
s
 

   
   
2
1
1
1 ` 1
1 1
2 2 2 1 2 2 1
s
s
s s
d
A s B s C
ds
d d
s A s B A A
ds ds


 
 
       
  
 
         
38
   
   
 
1
1 1 1
2 3
2
2
1 0 2
1 1 1
0
1 0
t t
t
f t L F s
L L L
s s s
e t e
t e t

  
 

   
    
               
  
  
39
b) Expansão em Frações Parciais para polos complexos
 
     
   
   
   
   
 
2
2 2 2
2 2
2 2
1 1 1
2 2
2 12
2 5
2 12 6 1 5
2 2
1 4 1 4 1 4
1 5
2
1 4 1 4
1 5 2
2
21 4 1 4
1 5 2
2
21 4 1 4
5
2 cos 2 2 sen 2
2
t t
s
F s
s s
s s s
s s s
s
s s
s
s s
s
f t L F s L L
s s
f t e t e t
  
 


 
   
  
     
 
  
     
 
  
     
    
                     
 
Exemplos
40
1) Decompor em frações parciais a função racional abaixo
Solução: Inicialmente devemos escrever
   
22 1
1 2 3 1 2 3
s s A B C
s s s s s s
 
  
     
 
   
22 1
1 2 3
s s
F s
s s s
 

  
b) Expansão em Frações Parciais com polos múltiplos
 
  
2
3
5 15 11
1 2
s s
F s
s s
 

 
      
2
3 2 3
5 15 11
1 21 2 2 2
s s A B C D
s ss s s s
 
   
    
41
2) Decompor em frações parciais a função racional abaixo
 
  
3 25 9 7
1 2
s s s
G s
s s
  

 
3) Decompor em frações parciais a função racional abaixo
Observe que o grau do polinômio do numerador é maior que o 
grau do polinômio do denominador.
42
12 Solução de equações diferenciais 
lineares e invariante no tempo
43
 
2
0 1 2 2
1 2
...
onde , ,..., são constantes
n
n n
n
dy d y d y
a y a a a f t
dt dt dt
a a a
    
Uma equação diferencial ordinária linear de ordem n com uma 
incógnita é uma equação que pode ser escrita como:
1) Encontre a solução da equação diferencial abaixo.
   2 7 3 0, 0 3, 0 0y y y y y      
   
     
   

 

   

 
     
     
  
 
2
3 0 3
2
2
2
2
2 7 3 0
2 7 3 0
2 0 0 7 0 3 0
2 3 7 3 3 0
2 6 7 21 3 0
2 7 3 6 21
6 21
2 7 3
L y y y L
L y L y L y
s Y s s y y sY s y Y s
s Y s s sY s Y s
s Y s s sY s Y s
Y s s s s
s
Y s
s s
  
   
   
   
        
      
         
    
   


 
44
13 Circuitos Elétricos Lineares e Invariantes 
no Tempo
45
• Circuito elétrico
R L C
i(t)v(t)
46
       
   
 
 
   
Aplicando a lei de Kircchhof no domínio do tempo, temos:
onde:
Tensão no resistor:
Tensão noindutor:
1
Tensão no capacitor:
R L C
R
L
t
c
v t v t v t v t
v s Ri t
di t
v t L
dt
v t i d
C

  


  

47
       
   
     
 
       
   
0
Aplicando a lei de Kircchhof no domínio de Laplace, temos:
onde:
Tensão no resistor:
Tensão no indutor: 0
01
Tensão no capacitor: , 0
0
R L C
R
L
C
V s V s V s V s
V s RI s
V s L sI s i
qI s
V s q i t dt
C s s
qI s
sC sC






  

   
 
   
  
 


   
   
01
0
qI s
sC s C
vI s
sC s


 
  
  
 
48
   
     
 
   
Tensão no resistor:
Tensão no indutor: 0
0
Tensão no capacitor:
R
L
C
V s RI s
V s sLI s Li
vI s
V s
sC s



 
 
RESUMINDO
49
Solução de Equações Diferenciais
e Integro-Diferenciais
50
A propriedade de diferenciação no tempo da transformada de
Laplace possibilita a resolução de equações diferenciais (ou
integro-diferenciais) lineares com coeficientes constantes.
51
 Considere a EDO linear com coeficientes constantes:
   
0 0
k kn m
k kk k
k k
d y t d x t
a b
dt dt 
 
 Considere a aplicação da transformada de Laplace
em ambos os membros da equação:
   
0 0
k kn m
k kk k
k k
d y t d x t
a b
dt dt 
   
   
   
 L L
52
   
         
         
           
   
0 0
1
1 2 1 0
1
1 2 1 0
2
1 2
1
0 0 0
0
k kn m
n k n kk k
k k
n n
n n n
m m
m m m
n n n
m m
d y t d x t
a b
dt dt
a y a y a y a y a y
b x b x b x b x b x
a Y s a sY s y a s Y s sy y
b X s b sX s y
 
 

 

 
  
 

   
   
   
            
           
            
 
 



L L
L L L L L
L L L L L
       
 
  
  
 
  
 
2
2
2 1
1 2 3 02
1 2 0 2
2 3 0
2 1
1 2 3 02
1 2 0
2 3
0 0
0
0
0
0
m
n
n n nn
n n n n
n n
m
m m mn
m m m
m m
b s X s sy y
y a a s a s a s
Y s a a s a s a s
y a a s a s
x b b s b s b s
X s b b s b s b s
x b b s
  

 
  
   
 
 
  
  
 
         
     
               
    
      
  



 


 20 mb s 
 
 
   
 A partir da propriedade de linearidade, temos:
53
 
 
  
  
  
2
1 2 0
2
1 2 0
2 1
1 2 3 0
2
2 3 0
2 1
1 2 3 0
0
Condições iniciais da saída
0
0
Condições iniciais da entrada
n
n n n
m
m m m
n
n n n
n
n n
m
m m m
A s a a s a s a s
B s b b s b s b s
y a a s a s a s
y a a s a s
x b b s b s b s
 
 
 
  
 
 
 
  
    
    
     
  
      
    
 




 

  
 
 
  
  
  
 
2
2 3 0
2 1
1 2 3 02
1 2 0 2
2 3 0
2 1
1 2 3 02
1 2 0
2 3 0
0
0
0
0
0
m
m m
m
m m mm
m m m m
m m
n
n n nn
n n n n
n n
x b b s b s
x b b s b s b s
b b s b s b s
x b b s b sY s
X s y a a s a s a s
a a s a s a s
y a a s a s
 
 
 
  
   
 
 
  
   
 
 
 
     
     
     
      
    
    
   
 


 


 2
 
 
  
54
         
         
 
 
1
1
2
1 2 0
1
Se o sistema for causal, temos:
0 0 0 0 0
Se o sistema estiver relaxado, estado nulo, temos:
0 0 0 0 0
Desse modo, podemos escrever que:
m
n
m
m m m
n n
x x x x
y y y y
Y s b b s b s b s
X s a a s
   
   
 

     
     
   

 



 
 
 
2
2 0
estadonulo
A relação
Função de Transferência do sistema
n
na s a s
Y s
H s
X s
  
 

55
A função de transferência é uma relação de entrada-saída;
A relação de entrada-saída de um sistema é uma descrição externa do sistema;
A função de transferência é uma função racional, ou seja, é uma 



       
 
 
 
   
 
 
 
   
0, temos
fração composta
por dois polinômios e , onde é o numerador e é o denominad
:
0 raízes de são denominados da função de transferência.
0 raízes de são 
or
B s
H s
A s
B s B s zeros
B s
H s
A s
A s A s
B s A s B s A s
 
 
 
 
  
denominados da função de transferência.
grau ordem da função de transferência.
polos
A s n 
CONCLUSÃO
56
Característica da função de transferência:
i) A função de transferência de um sistema é um modelo matemático no sentido de
que se constitui um método operacional de expressar a equação diferencial que
relacionaa variável de saída à variável de entrada;
ii) A função de transferência é uma propriedade intrínseca do sistema, independe
da magnitude e da natureza do sinal ou da função de excitação;
iii) A função de transferência inclui as unidades necessárias para relacionar o sinal
de entrada ao sinal de saída; no entanto ela não fornece qualquer informação
concernente a estrutura física do sistema;
iv) Se a função de transferência for conhecida, a saída ou resposta pode ser
estudada para várias formas de entrada com vistas ao entendimento da natureza
física do sistema;
v) A função de transferência não indica qual é o fenômeno que está sendo
analizado.
57
Transformada de Laplace bilateral
58
1) Transformada de Laplace bilateral F(s) de uma 
função é definida por:
      stL f t F s f t e dt



    
59
2) Transformada de Laplace bilateral expressa em 
termos de duas transformadas unilaterais
• Seja a função x(t) mostrada na figura abaixo:
t
 x t
60
• Separação de x(t) em duas componentes x1(t) e x2(t)
t
 1x t
t
 2x t
t
 2x t
61
• Podemos escrever que
     
     
1
2
x t x t u t
x t x t u t

 
• A transformada bilateral de x(t) é dada por
   
   
   
0
2 1
0
2 1
st
st st
F s f t e dt
x t e dt x t e dt
X s X s






 


 
 

 
   
 
   
0
2 2
2
0
2 2
0
st
st
st
X s x t e dt
x t e dt
X s x t e dt









 
 



62
Obs.: 
• x2(t) é causal, portanto X2(-s) pode ser determinada da tabela
de transformada unilateral, trocando o sinal de s em X2(-s)
obtemos X2(s);
• A transformada bilateral X2(s) pode ser calculada a partir das 
transformadas unilaterais em dois passos:
1. Divida x(t) em componentes causal e anticausal;
2. Os sinais x1(t) e x2(t) são causais. Determine a 
transformada de Laplace de x1(t) e some a ela a 
transformada de Laplace de x2(-t), com s substituído 
por –s.
63
Exemplo 1: Encontrar a transformada bilateral de      
bt atx t e u t e u t  
     
   
 
   
   
 
1
2
2
2
Transformada lateral da componente causal: 
1
, Re
Transformada lateral da componente anticausal causal: 
1
 , Re
Então,
1 1
, Re
P
bt at
at
at
bt
bt
x t e u t e u t
x t e u t
e u t s a
s a
x t e u t
x t e u t s b
s b
X s s b
s b s b

  

 

 
    


  
  
 
 
  
ortanto,
1
, Re
1 1
, Re e Re
, Re
bte u t s b
s b
X s s a s b
s b s a
a b
a s b
s a s b

  


   
 

  
 
64
Região de convergência:
 x t
 
a b
jw

65
Exemplo 2: Encontrar a transformada inversa bilateral de
   2 Re 1; Re 1; Re 2a s b s s     
 
  
3
2 1
X s
s s


 
 
 
 
2 Re 1
1 1
2 1
polo em 2 estando a esquerda da região de convergência
 corresponde ao sinal causal;
polo em 1 estando a direita da região de convergência
 corresponde ao sinal anticausal
a s
X s
s s
x t e
  
 
 




   2t tu t e u t  
 
  
 
3 1 1
2 1 2 1
polos de : 2 e 1
X s
s s s s
X s

  
   

66
 
     2
Re 1
os dois polos estão a esquerda da região de convergência,
portanto os dois polos correspondem a sinais causais
t t
b s
x t e e u t

 

 
     2
Re 2
os dois polos estão a direita da região de convergência,
portanto os dois polos correspondem a sinais anticausais
t t
c s
x t e e u t
 
   

67
CARACTERIZAÇÃO NA 
FREQUÊNCIA DOS SINAIS E 
SISTEMAS
68
A resposta em frequência de um sistema LTI fornece a
caracterização intuitiva do comportamento entrada-saída do
sistema. Isto ocorre porque a convolução no domínio tempo
transforma-se em multiplicação no domínio frequência. Sendo
assim, a saída do sistema representada no domínio frequência é
obtida multiplicando-se a representação em frequência do
sinal de entrada pela resposta em frequência do sistema.
6 Resposta em frequência de sistemas LTI
69
6.1 Resposta ao impulso
Conforme visto em capítulos anteriores, a resposta ao impulso em
frequência de um sistema contínuo ou discreto constituem o par:
   
   
   
   
TL
TZ
TFTC
TFTD j
h t H s
h n H z
h t H j
h n H e w


 w

70
6.2 Condições de Dirichlet
Para que as duas representações sejam possíveis, as condições de
Dirichlet devem se satisfeitas:
 
 
:
caracterizando a resposta ao impulso como absolutamente integrável
:
caracterizando a resposta ao impulso como absolutamente somável
n
TFTC h t dt
TFTD h n




 
 


71
 Para ambos os caso, constata-se que a obtenção da resposta em
frequência somente será possível se o sistema de interesse for
ESTÁVEL.
 Sendo assim, o sistema de tempo contínua tem a seguinte
representação:
 x t
 h t
 y t
     y t x h t d


    
 X s
 H s
 Y s
     Y s X s H s
72
 Ou ainda, podemos escrever:
           
           
           
           
TL
TZ
TFTC
TFTD j j j
y t x t h t Y s X s H s
y n x n h n Y z X z H z
y t x t h t Y j X j H j
y n x n h n Y e X e H ew w w
   
   
   w  w w
   
73
6.3 Propriedades
       
       
i Y j H j X j
ii Y j H j X j
w  w w
w  w  w
74
6.4 Decibel
 Ganho e Atenuação: é a relação entre duas grandezas de mesma
natureza, tendo uma das grandezas como referência.
 Exemplo: O liminar da intensidade sonora para o ouvido humano é:
12
0 2
10
W
I
cm

suponha que a intensidade sonora medida seja: 8
2
10
W
I
cm

a relação entre as intensidades, considerando I0 referência será:
8
4
12
0
10
10
10
I
I


 
75
 O Decibel é utilizado para medir o nível da intensidade sonora,
mas é amplamente utilizado em eletrônica, sinais e
comunicações;
 A intensidade em Decibel (dB) é dado por:
 
0
dB 10log
I
I
I

 Para o exemplo, temos:
  4dB 10log10 40dBI  
76
77
 Para o caso de um circuito com impedância Z, temos:
 
2 2
0 1
0 1
0
1
e
potência de referência ou deentrada
potência de saída
V V
P P
Z Z
P
P
 


 O ganho, calculada a partir da tensão, será dado por:
2 2
1 1 1
2 2
0 0 0
2
1 1
0 0
10 log 10log 10log
10log 20log
P V Z V
G
P V Z V
V V
G
V V
  
 
   
 
 Cálculo da frequência de corte:
0
1
2
2
1 1 1 1
2
2 0 0 0
1
0
A frequencia de corte ocorre quando: 
2
1 1
2 2
1
20log 20log 10log 2 3dB
2
P
P
P V V V
P V V V
V
G
V

 
     
 
     
78
6.5 Gráficos do logaritmo do módulo –
Diagrama de Bode.
 É conveniente o uso da escala logarítmica para os módulos da
transformada;
 Principais motivos podem ser observados nas equações da
propriedades dadas acima. A relação de fase é aditiva, enquanto
que a relação dos módulos envolvem produto.
 Podemos escrever:
     log log logY j H j X jw  w  w
     Y j H j X jw  w  w
 Diagrama de Bode
   log e logH j H jw  w w  w
79
6.5.1. Filtros
a) Filtro Passa-Baixas:
O sistema atenua as frequências altas do sinal de entrada, deixando
passar apenas as componentes de frequências mais baixas.
 H jw
w
W W
Caso Contínuo
 
1,
0,
frequência de cortec
W
H j
W
W
 w 
w  
w 
 w 
Caso Contínuo
80
b) Filtro Passa-Altas:
O sistema atenua as frequências baixas do sinal de entrada,
deixando passar apenas as componentes de frequências mais altas.
 H jw
w
W W
Caso Contínuo
 
0,
1,
frequência de corte
c
c
c
H j
W
 w  w
w  
w  w
 w 
81
c) Filtro Passa-Faixa:
O sistema deixa passar sinais dentro de uma faixa de frequências,
atenuando as componentes do fora dessa faixa.
Caso Contínuo
 H jw
w
2W 1W1W 2W
 
1 2
1 2
1,
0, ou 
frequência de cortec
W W
H j
W W
W
  w 
w  
w  w 
 w 
82
CasoDiscreto
 jH e w
w
2   2W W
 jH e w
w
2   2W W
 
1,
0,
frequência de corte
c
c
c
H j
W
 w  w
w  
w  w  
 w 
 
0,
1,
frequência de corte
c
c
c
H j
W
 w  w
w  
w  w  
 w 
83
6.5.2 Diagrama de BODE – Gráficos Logarítmicos
Fatores básicos da função de transferência  H jw
i. Ganho
ii. Fator integrativo
iii. Fator derivativo
iv. Fator integrativo de primeira ordem
v. Fator derivativo de primeira ordem
vi. Fator de segunda ordem
84
i) Ganho K:  H j Kw 
   
 
Módulo da função de transferência:
20log 20log
Ângulo da função de transferência:
0
H j K H j K
H j
w   w 
  w 


Gráficos:
logw

logw
20log K
dB
85
ii) Fator integral:  
1
H j
j
w 
w
 
 
Módulo da função de transferência
1 1
20log 20log 20log 20log dB 20 db/década
Ângulo da fução de transferência
1 0 90 90º
H j
j
H j j
w     w  
w w
w   w    


Gráficos:
logw
dB
40
20
0
-20
-40
0,01 0,1 1 10 100
20dB década
logw

90º
86
iii) Fator derivativo:  H j jw  w
 
Módulo d função de transferência
20log 20log 20log dB 20 db/década
nguloda função de transferência
90º
H j j
Â
j
w  w  w 
  w 


Gráficos:
logw

90º
logw
dB
40
20
0
-20
-40
0,01 0,1 1 10 100
20dB década
87
 
 
 
 
   
     
     
   
2
1
2 22
2
2
2 2
2
Módulo da função de transferência
1 1
1 1
1
20log 20log 20log 1 10log 1
1
1 1 1 20log 0
1 1
20log 10log 20log 20log
Assim, para
H j
j
H j
i H j
ii
H j

w  
w  w
   w    w    w
   
 w
w    w   w 
w    w  w 
w   w   w 

 1, temos que o logaritmo do módulo
é aproximadamente uma função linear de log , cuja
 inclinação é 20 dB década
w 
w

iv) Fator integrativo de primeira ordem:  
1
1
H j
j
w 
 w
88
   
Ângulo da função de transferência
1 1 1 arctan
0 0
1 45º
90º
H j j j  w    w    w   w
w   
w    
w  

Gráficos:
89
v) Fator derivativo de primeira ordem:   1H j jw   w
   
       
     
     
   
2
1
2 2 22
2
2 2
2
Módulo da função de transferência
1 1
20log 20log 1 20log 1 10log 1
1 1 1 20log 0
1 1
20log 10log 20log 20log
Assim, para 1,
H j j
H j
i H j
ii
H j
w   w   w
   w   w   w   w
   
w    w   w 
w    w  w 
w  w  w 
w 

 temos que o logaritmo do módulo
é aproximadamente uma função linear de log , cuja
 inclinação é 20 dB década
w
90
   
Ângulo da função de transferência
1 1 arctan
0 0
1 45º
90º
H j j j  w   w   w  w
w   
w   
w 

Gráficos:
91
 
   
2
2 2
2
2
Módulo da função de transferência
1
20log 20log
1 2
10log 1 2
20log 10log1 0 dB
 A assíntota de baixa frequência é uma reta hori
n n
n n
n
H j
j j
i H j

w 
   w w
     
w w   
    w w
        
w w     
w  w  w   
   
   
4
4
zontal em 0 dB 
20 log 10log 40log 40log 40log
 A assíntota de alta frequência é uma reta que possui inclinação de 40 dB/década
20log 40log 40log1 0dB
 
n n
n n
n
n
ii H j
iii H j
w w
w  w  w       w w
w w

w
w  w  w     
w
 A assíntota de alta frequência cruza a de baixa frequência em nw  w
vi) Fator de segunda ordem:
  2
1
1 2
n n
H j
j j
w 
   w w
     
w w   
92
 
 
 
 
2
2
Ângulo da função de transferência
2
1 1 2 arctan
1
0 0
90º
180º
n
n n
n
n
H j j
i
ii
iii

w

  ww w
  w        
w w    w
 
w 
w    
w  w    
w    
93
Gráficos:
94
Frequência de ressonância e valor de pico de ressonância
• Se apresentar um valor de pico em alguma frequência,
esta frequência é denominada de frequência de ressonância;
• Para calcular a frequência de ressonância, basta fazer
rw rM
 H jw
       
 
    
 
2 2
2
2 22
2
2 2
2 2 2 2 2
2
1 2 , 1 2
0
2 1 2 8 0
1 2 0, 0 1 2 1 2
Logo,
1 2
n n n
r n
g u g u u u
g u
g u u u u
u u u u u u
   w ww
w             
w w w   
 
      
             
w  w  
95
Conclusões:
• Cálculo da frequência de ressonância
• Conforme  tende a zero, a frequência de ressonância tende
tem a wn;
• O fator , ou seja,
• A frequência de ressonância é menor que a frequência
natural
• O pico de ressonância ocorre em
• À medida que  tende a zero, Mr tende a infinito
• Se o sistema não amortecido for excitado por sua frequência
natural, o valor de se tornará infinito.
21 2r nw  w  
21 2 0   0 0,707  
   
2
1
2 1
r rmáx
M H j H j w  w 
 
 H jw
96
Procedimento geral para a construção do diagrama de Bode
1) Desenhe o diagrama de Bode da seguinte função de
transferência
 
 
     
2
10 3
2 2
j
H j
j j j j
w
w 
 w w w  w
 
Para evitar possíveis erros na construção da curva. É desejável
colocar H(jw) na forma normalizada, onde as assíntotas de baixa
frequência dos fatores de primeira ordem e segunda ordem
estão na reta 0 dB. Ou seja,
 
 
     
 
 
2
2
10 3 1
3
2 1 2 1
2 22
7,5 1
3
1 1
2 2 2
j
H j
j j j
j
j
jj j
j
w 
 
 w 
 w w w  
w       
     
w 
 
 
 ww w 
w     
    
97
A função é composta pelos seguintes fatores:
 
12
1 1
7,5 1 1
3 2 21
2
1º 2º 3º 4º 5º
jj j
jj

 ww w
   
ww    
As frequências de corte do 3º, 4º e 5º termos são,
respectivamente:
3º 4º 5º3, 2 e 2w  w  w 
  2
1 1 1
20log 20log 7,5 20log 20log 1 20log 20log
3 11 12 2 2 2
j
H j
jj
j j
w
w      
ww w w        
   
98
 
 
121
1
7,5 1 1 1
3 2 2 2
1º 2º 3º 4º 5º
jj j j
j



 ww w w 
w      
    
99
2) Desenhe o diagrama de Bode da seguinte função de
transferência
 
 
   
100 1
10 100
j
H j
j j
 w
w 
 w  w
100
Diagrama de BODE – Gráficos Logarítmicos
Discussão geral. Seja a resposta em frequência
dada abaixo
 
     
     
1 2
1 2
...
...
m
n
G j G j G j
H j K
D j D j D j
w w w
w 
w w w
i) Cálculo do argumento (ângulo ou fase) de  H jw
           
   
             
       
2 2
1 2 1 2
1 1
e
onde, e Re Im
... ...
1
i i i i i i
j
m n
m n
i i
i i
G j G j G j D j D j D j
e G G G
H j G j G j G j D j D j D j
H j G j D j

 
w  w w w  w w
         
 w  w  w   w  w  w   w
 
w  w  w 
101
ii) Cálculo do módulo em dB de  H jw
       
     
   
 
 
1 2
1 2
1 1
20 log 20log 20log 20log ... 20 log
1 1 1
20log 20log ... 20 log
1
20log 20log 20log 20 log 2
m
n
m n
i
i i i
H j K G j G j G j
D j D j D j
H j K G j
D j 
w   w  w   w 
 
    
w w w  
w   w 
w
 
A operação acima, dada pela equação (2), deverá ser feita
separadamente. Deve-se verificar em qual fator se enquadra
cada Gi e Di, ou seja, se é fator é um ganho, ou fator integrativo,
ou fator derivativo, ou fator de primeira ordem integrativo, ou
fator de primeira ordem derivativo, ou fator de segunda ordem.
Após a identificação de cada fator, os mesmos devem ser
escritos na forma padrão. Em seguida, deve determinar a
frequência de corte, para os fatores de primeira ordem
integrativo e derivativo e, finalmente, determinar a frequência
natural para o fator de segunda ordem. Neste último caso é
aconselhável determinar o fator de amortecimento do sistema,
para verificar se curva fica acima ou abaixo das retas assíntotas.
O limiar ocorre em  = 0,5. Maior que 0,5, a curva está acima e,
menor que 0,5 a curva está abaixo.102
Em qual tipo de escala deve-se fazer o diagrama de Bode
Para fazer o diagrama deve-se utilizar o papel em escala
logarítmica. O eixo X é eixo das frequências que deve se
colocada em escala logarítmica. O eixo Y é o eixo do
módulo da resposta em frequência, este valor já é calculado
como sendo 20log|H(jw)|, assim não há necessidade de
colocar este eixo na escala logarítmica.
10-2 10-1 100 101 102 103 104
-40
-20
0
20
40
60
 
 
Y
 (
d
B
)
X (rad/s)
Sistemas Elétricos
• Circuitos RLC
• Amplificadores Operacionais
103
104
Circuitos RLC
1 - Introdução
As leis básicas que governam os circuitos elétricos são as
leis de Kirchhoff das correntes e das tensões.
• Lei de Kirchhoff das correntes: a soma algébricas
das corrente que entram ou saem de um nó é zero.
• Lei de Kirchhoff das tensões: as soma algébricas das
tensões em uma malha de um circuito elétrico é zero.
105
2 – Impedância no domínio de Laplace
 
 
   
     
 
       
INDUTOR :
1 1
CAPACITOR :
RESISTOR:
L L L
C C C
R R R
di t
v t L V s sLI s Z sL
dt
I s
v t i t dt V s Z
C sC sC
v t Ri t V s RI s Z R
    
    
    

106
Exercícios 1: Calcular
 
 
0
i
E s
E s
107
Amplificadores Operacionais 
O termo amplificador operacional (ampop) foi introduzido em 1947 por
John Ragazzini quando realizava seus trabalhos com computadores
analógicos para o Conselho Nacional de Pesquisa e Defesa durante a
Segunda Guerra Mundial.
1 - Introdução
Ragazzini, John - Engenheiro Eletricista
New York, 1912-1988
• Tese: 1941: The Effect of Fluctuation Voltages on Linear
Detection
• Orientados de Ragazzini: Rudolf E. Kalman (filtros de Kalman);
Eliahu I. Jury (transformada z); Lotfi Aliasker Zadeh (logica
Fuzzy).
108
O ampop é um circuito ativo desenvolvido para executar
operações matemáticas como:
• Adição
• Subtração
• Multiplicação
• Divisão
• Diferenciação
• integração.
2 - Conceito de Amplificador Operacional
109
O ampop é um dispositivo eletrônico consistindo de um
complexo arranjo de resistores, transistores, capacitores e
diodos.
3 - Composição dos Amplificadores Operacionais
110
4 - Característica Física dos Amplificadores Operacionais
Os ampop’s são comercialmente disponíveis em circuitos
integrados e de vários formatos e tipicamente são
compostos de 8 pinos.
111
5 - Configuração típica dos ampop’s e pinagem
Os cinco terminais mais importantes são:
• Pino 2: entrada inversora;
• Pino 3: entrada não inversora;
• Pino 6: saída;
• Pino 7: alimentação positiva, V+;
• Pino 4: alimentação negativa, V-
(a) Configuração da pinagem e (b) símbolo do circuito
112
6 – Características de um AMP OP
i. Ganho de Tensão: O ganho de tensão que é obtido através da relação entre a 
tensão de saída pela tensão de entrada;
ii. Tensão de OFFSET : Um AMPOP real tem a saída de um amplificador ideal nula
quando suas entradas estão em curto circuito. Nos amplificadores reais acontece
um casamento de impedâncias imperfeito dos dispositivos de entrada e a saída do
AMP OP pode ser diferente de zero quando ambas as entradas assumem
potencial zero. Significa dizer que há uma tensão CC equivalente na entrada,
chamada de tensão de OFFSET. Os valores desta tensão normalmente nos
amplificadores comerciais estão situados na faixa de 1 a 100mV os componentes
comerciais estão dotados de entradas para ajuste da tensão de OFFSET.
113
iv. Slew Rate: é a máxima variação de tensão de saída por unidade de tempo.
Normalmente o SR é dado em V/µs. Em termos gerais, podemos dizer que o valor
de SR nos dá a “velocidade” de resposta do amplificador. Quanto maior o SR,
melhor será o amplificador. O AOP 741 possui o SR = 0,5V/µs, o LF351 possui SR
= 13V/µs e o LM318 possui SR=70V/µs.
iv. Overshoot: é a “sobrepassagem” ou “sobressinal”. O OVERSHOOT é o valor, dado
em porcentagem, que nos indica quanto o nível de tensão de saída foi
ultrapassado durante a resposta transitória do circuito, ou seja, antes da saída
atingir o estado permanente. Para o 741, o OVERSHOOT é da ordem de 5%. O
overshoot é um fenômeno prejudicial, principalmente quando se trabalha com
sinais de baixo nível.
114
7 - Alimentação dos Amplificadores Operacionais
Como elemento ativo os ampop’s devem ser alimentados
como ilustra a figura abaixo:
115
8 - Circuito equivalente do Amplificador Operacional
i. A seção de saída consiste de uma fonte de tensão dependente
em série com uma resistência de saída Rout;
ii. A seção de entra consiste de uma resistência de entrada Rin.
116
9 - Equacionamento do Amplificador Operacional
2 1dv v v 
• v1 é a tensão no terminal inversor;
• v2 é a tensão no terminal não inversor.
 0 2 1dv Av A v v  
117
10 - Valores típicos dos parâmetros dos Amplificadores Operacionais
Parâmetros Valores 
Típicos
Valor
Ideal
A, ganho de malha aberta 105 a 108 ∞
Ri, resistência de entrada 10
6 a 1013 ∞
R0, resistência de saída 10 a 100 Ω 0
Vcc, tensão de alimentação 5 a 24 V
cc out ccV v V  
118
11 - Amplificadores Operacionais ideal
Para facilitar o entendimento dos circuitos com amplificadores
operacionais assumiremos que eles são ideais, ou seja:
Parâmetros Valor Ideal
A, ganho de malha aberta ∞
Ri, resistência de entrada ∞
R0, resistência de saída 0
119
Exercícios 1: Calcular eo
4,80 mV
4,75 mV
0e
 
5
3 5
4,75 4,80 0,05 mV
fazendo 10 , temos
0,05 10 10 5 V
o
o
e K K
K
e 
   

     
120
Exercício 2:
Um amop tem um ganho de tensão de malha aberta de 2.105,
resistência de entrada igual de 2 MΩ e resistência de saída igual a
50 Ω. Calcule o ganho vo / vi.
(a) Circuito original (b) Circuito equivalente
121
Exercício 3: Amplificadores Inversor
1 2
1 1 0
1
1 2
0 0
1 1
0
i
f
fi
f i
i i
v v v v
R R
v v
Rv v v
R R v R

 

 

   
122
Exercício 4:
1 2
0
1
0
1
0
1 1
0
1 1
0
1 1
2
2 2
2 2
1 1
2
2 1
i a a
f
a b
i
f
i
f f
i
f f
f f
i
i i
v v v v
R R
v v
v v
R R
v v
R R R R
v v
R R R R
R R
v v
R R

 

 
 

  
 
    
 
 
   
 