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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA "JÚLIO DE MESQUITA FILHO" FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA ELE 0331 PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÕES SINAIS E SISTEMAS Ricardo Tokio Higuti & Cláudio Kitano ISA Julho/2003 SINAIS E SISTEMAS Versão 1.0: 1997 Versão 1.1: 2003 Ricardo Tokio Higuti & Cláudio Kitano Departamento de Engenharia Elétrica da Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira UNESP Todos os direitos reservados. Reprodução por quaisquer meios proibida sem autorização dos autores. Prof. Ricardo Tokio Higuti e-mail: tokio@dee.feis.unesp.br 0xx18 3743 1128 Prof. Cláudio Kitano e-mail: kitano@dee.feis.unesp.br 0xx18 3743 1226 DEE-FEIS-UNESP Av. Brasil Norte, 364 - Caixa Postal 31 15 385 000 - Ilha Solteira – SP SINAIS E SISTEMAS RTH/CK i Índice: PG. CAPÍTULO 1: REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 1 1.1 CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS 1 1.1.1 Sinais unidimensionais e multidimensionais 3 1.1.2 Sinais de tempo contínuo e de tempo discreto 3 1.1.3 Sinais determinísticos e aleatórios 3 1.1.4 Sinais reais e complexos 4 1.1.5 Sinais limitados no tempo 4 1.1.6 Sinais limitados em amplitude 5 1.1.7 Sinais fisicamente realizáveis 5 1.2. TRANSFORMAÇÕES DA VARIÁVEL INDEPENDENTE 5 1.2.1 Rebatimento ou espelhamento 5 1.2.2 Compressão e expansão 6 1.2.3 Deslocamento no tempo 6 1.2.4 Relações de simetria 7 1.2.5 Sinais periódicos 7 1.3. SINAIS ELEMENTARES 8 1.3.1. Sinais senoidais eternos 8 1.3.2. Exponencial real 9 1.3.3. Exponencial complexa periódica 9 1.3.4. Exponencial complexa - caso geral 11 1.3.5. Função sinc 12 1.3.6. Função pulso triangular 12 1.3.7. Função pulso Gaussiano de área unitária 13 1.4 FUNÇÕES DESCONTÍNUAS 13 1.4.1 Função degrau unitário 13 1.4.2. Função sinal 14 1.4.3. Função porta ou pulso unitário 14 1.4.4. Função impulso 15 1.4.5 Sobre a existência do impulso 17 1.4.6 Impulsos no limite 18 1.5 CONVOLUÇÃO DE SINAIS 20 1.6 SINAIS DE ENERGIA E SINAIS DE POTÊNCIA 26 1.6.1 Sinais de Energia 27 1.6.2 Sinais de Potência 28 1.7. FUNÇÕES DE BESSEL DE PRIMEIRA ESPÉCIE 30 1.8 EXERCÍCIOS 32 CAPÍTULO 2: ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS : SÉRIE DE FOURIER 35 2.1 FASORES GIRANTES 35 2.1.1 Espectro de linhas unilateral 36 2.1.2 Espectro de linhas bilateral 38 2.2. PRODUTO ESCALAR – SEMELHANÇA ENTRE SINAIS 39 2.3 SÉRIE DE FUNÇÕES 43 2.3.1 Ortogonalidade de funções reais 43 2.3.2 Ortogonalidade de Funções Complexas 48 2.3.3 Série trigonométrica de Fourier 50 ÍNDICE RTH/CK ii 2.3.4 Série de Fourier-Legendre 51 2.3.5 A Série exponencial de Fourier 52 2.3.6 Representação de uma função periódica pela série de Fourier 52 2.4 ESPECTRO DE FREQUÊNCIA DISCRETO 55 2.5 EXISTÊNCIA DA SÉRIE DE FOURIER 59 2.6- FÓRMULA DE PARSEVAL E DISTRIBUIÇÃO DE POTÊNCIA 62 2.7 EXERCÍCIOS 63 CAPÍTULO 3: ANÁLISE DE SINAIS APERIÓDICOS: TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO CONTÍNUO 65 3.1 A TRANSFORMADA DE FOURIER 67 3.1.1. Pulso retangular de duração (função porta) 69 3.1.2. Impulso de área unitária 71 3.2 CONVERGÊNCIA DA TRANSFORMADA DE FOURIER 71 3.3 RELAÇÕES DE SIMETRIA 73 3.4 TEOREMA DE PARSEVAL 75 3.5 LARGURA DE BANDA ESPECTRAL 76 3.6. RELAÇÃO ENTRE A TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO CONTÍNUO E SINAIS PERIÓDICOS 78 3.7. TRANSFORMADA DE FOURIER DE SINAIS PERIÓDICOS 78 3.7.1 Transformada de Fourier de seno e co-seno eternos 80 3.8. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER 81 3.8.1 Linearidade 82 3.8.2 Deslocamento no tempo 82 3.8.3 Teorema da dualidade 83 3.8.4 Translação em frequência 84 3.8.5 Escalonamento no tempo e frequência 85 3.8.6 Propriedade das áreas 85 3.8.7 Diferenciação e integração no tempo 85 3.8.8 Diferenciação e integração em frequência 87 3.8.9 Convolução e multiplicação 87 3.8.10 Modulação real 88 3.9 TRANSFORMADAS NO LIMITE 90 3.9.1. Função sinal 90 3.9.2. Função constante 91 3.9.3. Degrau unitário 92 3.11 EXERCÍCIOS 93 CAPÍTULO 4: ANÁLISE DE SISTEMAS 99 4.1. INTRODUÇÃO 99 4.2. CARACTERÍSTICAS DE SISTEMAS 100 4.2.1 Sistemas com e sem memória 100 4.2.2. Inversibilidade e sistemas inversos 101 4.2.3. Causalidade (ou realizabilidade) 102 4.2.4. Estabilidade 102 4.2.5. Invariância no tempo 103 4.2.6. Linearidade 105 4.3 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA 108 4.4 RESPOSTA PARA SINAIS ARBITRÁRIOS 111 4.5 RESPOSTA IMPULSIVA E RESPOSTA EM FREQUÊNCIA 113 SINAIS E SISTEMAS RTH/CK iii 4.5.1 Associação de SLITs 118 4.5.2 Resposta impulsiva, estabilidade e causalidade 119 4.6 TRANSMISSÃO SEM DISTORÇÃO 120 4.6.1 Distorção linear e não-linear 121 4.6.2 Equalização 121 4.7 FILTROS IDEAIS 123 4.8 TRANSFORMADA DE HILBERT 125 4.9 EXERCÍCIOS 130 CAPÍTULO 5: AMOSTRAGEM DE SINAIS 133 5.1. AMOSTRAGEM DE SINAIS 133 5.1.1 Amostragem ideal 134 5.1.2 Efeito de subamostagem sobre sinais senoidais 140 5.2 RECONSTRUÇÃO DO SINAL 141 5.3 AMOSTRAGEM POR PULSOS 142 5.4 EXERCÍCIOS 147 CAPÍTULO 6: CORRELAÇÃO DE SINAIS 149 6.1. DENSIDADES ESPECTRAIS DE POTÊNCIA E DE ENERGIA 149 6.2. CORRELAÇÃO ENTRE SINAIS DE POTÊNCIA 150 6.2.1. Valor médio temporal 150 6.2.2. Produto escalar 150 6.2.3. Função de correlação cruzada 151 6.2.4. Função de autocorrelação 151 6.3. CORRELAÇÃO ENTRE SINAIS DE ENERGIA 153 6.4. CORRELAÇÃO ENTRE ENTRADA E SAÍDA EM SLIT 155 6.5. TEOREMA DE WIENER-KINCHINE 157 6.6. EXERCÍCIOS 158 BIBLIOGRAFIA 161 SINAIS E SISTEMAS 1 CAPÍTULO 1: REPRESENTAÇÃO DE SINAIS No dia-a-dia, quase que constantemente nos deparamos com sinais. Um sinal geralmente contém informação sobre algum fenômeno ou acontecimento. Quando falamos ao telefone, a voz, que é um sinal acústico, é convertida em sinais elétricos pelo microfone. Este sinal elétrico é transmitido, por exemplo, por um sistema de satélites e recebido do outro lado da Terra, e convertido novamente num sinal de voz. Quando alguém se submete a um exame de eletrocardiograma, o resultado, que é um indicativo da atividade elétrica do coração, é um sinal que, analisado, mostra as condições cardiológicas do paciente. O índice mensal de inflação ao longo do ano também pode ser considerado um sinal. A energia elétrica que é distribuída para as residências é um sinal senoidal com determinada amplitude e frequência. Na Fig.1, são ilustrados alguns exemplos de sinais, a saber: a) O índice de aquecimento global do planeta entre os anos de 1850 e 2000; b) Um sinal típico de eletrocardiograma (ECG ou EKG); c) Um trecho de alguns segundos de um sinal de áudio. Nesta e em outras disciplinas do curso de graduação em engenharia elétrica será de interesse a manipulação desses sinais, quer analógica ou digitalmente. O tipo de processamento que pode ser executado depende muito do tipo do sinal [1]. Na análise do aquecimento global do planeta, por exemplo, objetiva-se extrair informações dos registros de temperatura média medidas ao longo dos anos a fim de detectar tendências. Então, pode-se perguntar: os dados são cíclicos ou periódicos? Normalmente tendem a crescer monotonicamente? Podem ser ajustados por retas ou polinômios? Podem ser estabelecidas previsões futuras com certo grau de confiança? É possível prever medidas de controle de forma a alterar a sua variação temporal de alguma forma? No caso dos gráficos de ECG pode-se perguntar: qual a forma específica do padrão de ECG? Como elese desvia daquilo que é conhecido como “característica normal”? E, para os sinais de áudio, pergunta-se, por exemplo se é possível executar o reconhecimento automático da voz? Como executar a conversão de áudio para texto num certo idioma? E quanto a tradução automática de um idioma para outro? Neste texto pretende-se fornecer as ferramentas básicas para que o leitor possa iniciar os primeiros estudos nas áreas de processamento de sinais, bem como, em instrumentação eletrônica, telecomunicações, dentre outras disciplinas que são abordadas no curso de engenharia elétrica. Neste capítulo inicia-se apresentando-se os sinais, cuja análise será realizada no demais capítulos, juntamente com o estudo de sistemas lineares invariantes no tempo. 1.1 CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS A seguir são feitas algumas considerações básicas [2] que serão utilizadas posteriormente na análise dos sinais de interesse deste curso: REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 2 (a) 0 1 2 3 4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Eletrocardiograma tempo [s] A m pl itu de [m V ] (b) (c) Figura 1.1 – Exemplos de sinais encontrados no dia-a-dia. a) Índice de aquecimento global do planeta. b) Eletrocardiograma típico. c) Sinal de áudio (uma gargalhada). SINAIS E SISTEMAS 3 1.1.1 Sinais unidimensionais e multidimensionais Os sinais citados anteriormente possuem apenas uma variável independente (ano, tempo, etc) e são chamados de unidimensionais. Por outro lado, uma imagem de vídeo é um sinal bidimensional, que indica uma função (luminosidade) com duas variáveis independentes de posição. Uma projeção holográfica ou um diagrama de irradiação de uma antena são sinais tridimensionais com três variáveis de posição. E assim por diante, para o caso de sinais multidimensionais. Neste texto, trabalha-se eminentemente com sinais unidimensionais em função do tempo. 1.1.2 Sinais de tempo contínuo e de tempo discreto Sinais definidos para todo instante de tempo são chamados de sinais de tempo contínuo, porém, sinais definidos apenas em determinados instantes de tempo são chamados de sinais de tempo discreto. O sinal senoidal representado na Fig. 1.2a é um sinal de tempo contínuo, e o sinal da Fig. 1.2b é um sinal de tempo discreto, pois está definido apenas para os instantes de tempo 0, 1, 2, etc. Este sinal pode ser obtido a partir da amostragem do sinal de tempo contínuo. Um outro exemplo de sinal de tempo discreto é um índice de inflação mensal. Pode-se definir ainda uma classe de sinais que são discretos no tempo e em amplitude, i.e., podem assumir somente determinados valores de amplitude, que são os sinais digitais. Um exemplo está ilustrado na Fig. 1.2c, onde a senóide assume apenas os valores de amplitude iguais a –1, -0,5, 0, +0,5 e +1. 0 50 100 150 200 250 300 -1 0 1 (a) 0 5 10 15 20 25 30 35 -1 0 1 (b) 0 5 10 15 20 25 30 35 -1 0 1 (c) tempo Figura 1.2 – Classificação de sinais. a) Sinal de tempo contínuo. b) Sinal de tempo discreto (obtido através de amostragem. c) Sinal digital (amplitudes –1, -0,5, 0, +0,5 e +1). Um sinal pode ser representado matematicamente por uma função de uma ou mais variáveis. Para um sinal de tempo contínuo, utilizaremos a variável independente como sendo o tempo, t, representada entre parêntesis como, por exemplo, x(t). Para um sinal de tempo discreto, normalmente utiliza-se a variável independente indicada por n ou k, entre colchetes, como x[n] ou x[k], onde n e k são números inteiros. 1.1.3 Sinais determinísticos e aleatórios Sinais determinísticos são aqueles que podem ser descritos sem nenhuma incerteza. Este tipo de sinal pode ser reproduzido de maneira exata e repetida. Um sinal senoidal puro é um exemplo de um sinal determinístico, como ilustra a Fig. 1.3a. REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 4 Um sinal é aleatório se não pode ser descrito com certeza antes de ocorrer. Por exemplo, o conjunto dos resultados obtidos quando se joga um dado não-viciado é um sinal aleatório. Um sinal de um exame de ECG ou EEG também é um sinal aleatório, pois não pode ser previsto com certeza. Portanto sinais aleatórios não podem ser reproduzidos de maneira exata e repetida. Um exemplo de sinal aleatório (ruído) está indicado na Fig. 1.3b. 0 0.5 1 1.5 2 -1 0 1 (a) 0 0.5 1 1.5 2 -5 0 5 tempo [s] (b) Figura 1.3 – Classificação de sinais. a) Sinal determinístico (senóide). b) Sinal aleatório (ruído). 1.1.4 Sinais reais e complexos Sinais encontrados na prática são reais (i.e., têm parte imaginária nula). No entanto, estenderemos a análise a sinais complexos. 1.1.5 Sinais limitados no tempo Sinais limitados no tempo são sinais não periódicos e concentrados em intervalos de tempo com duração bem definida. Basicamente, estes sinais podem ser subdivididos em sinais estritamente e assintoticamente limitados no tempo. 0 t t1 t2 x(t) 0 t t1 t2 x(t) (a) (b) 0 t t1 x(t) 0 t t1 x(t) (c) (d) Figura 1.4 – Sinais limitados no tempo. a) Estritamente limitado. b) Assintoticamente limitado. Sinais estritamente limitados no tempo são aqueles que têm valores não-nulos somente num intervalo de tempo [t1, t2], ou seja, iniciam e terminam em instantes de SINAIS E SISTEMAS 5 tempo definidos valendo zero para t<t1 e t>t2, como os sinais mostrados nas Figs.1.4a) e b). Por outro lado, sinais assintoticamente limitados no tempo são aqueles onde x(t)0 quando t, como aquele mostrado na Fig.1.4 c). Na Fig.1.4 d) ilustra-se um exemplo de sinal não limitado no tempo, uma vez que x(t) quando t+. 1.1.6 Sinais limitados em amplitude Um sinal é limitado em amplitude se existe um valor M tal que | x(t) |<M para todo t. Os sinais mostrados nas Figs. 1.4 a) e c) são limitados em amplitude, porém aqueles nas Figs. 1.4 b) e d) não são limitados. 1.1.7 Sinais fisicamente realizáveis Sinais fisicamente realizáveis são sinais práticos que podem ser medidos num laboratório. Basicamente, estes sinais satisfazem às seguintes condições: a) São sinais limitados no tempo; b) São sinais limitados em amplitude; c) Suas componentes espectrais significativas concentram-se num intervalo de frequências finito; d) Sua forma de onda é uma função temporal contínua; e) Sua forma de onda assume apenas valores reais. Contudo, modelos matemáticos que violam uma ou mais dessas condições serão utilizadas neste texto, pela simples razão de simplificarem a análise matemática. 1.2. TRANSFORMAÇÕES DA VARIÁVEL INDEPENDENTE Muitas vezes é necessário considerar sinais relacionados por uma transformação da variável independente. Por exemplo, considere o sinal x(t) mostrado na Fig.1.5 como sendo um trecho de música gravada numa fita. Nos itens a seguir são apresentadas algumas transformações sobre x(t). t x(t) Figura 1.5 – Pequeno trecho de um sinal de música x(t). 1.2.1 Rebatimento ou espelhamento O sinal y(t) definido a partir de x(t) como y(t) = x(-t), é interpretado como sendo o rebatimento (espelhamento) do sinal em torno do instante t=0, e corresponde, no caso do exemplo considerado, a tocar a música no sentido inverso. Esta é a operação de inversão no tempo e o resultado da transformação está ilustrado na Fig.1.6. REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 6 t y(t)=x(-t) Figura 1.6 – Sinal y(t)=x(-t). Inversão no tempo. 1.2.2 Compressão e expansão Os sinais x(2t) e x(t/2) são, respectivamente, as versões comprimida e expandida de x(t), e correspondem a tocar a música no dobro da velocidade normal, no caso de x(2t), e na metade da velocidade normal, no caso de x(t/2).Ambos os casos estão ilustrados na Fig.1.7. t x(2t) t x(t/2) (a) (b) Figura 1.7 – Transformações de compressão e expansão. (a) Sinal x(2t): compressão. (b) Sinal x(t/2): expansão. 1.2.3 Deslocamento no tempo Frequentemente é necessário se trabalhar com sinais deslocados no tempo. O sinal x(t-) desloca x(t) de segundos para a direita, ou atrasa x(t) por segundos. Similarmente, x(t+) desloca x(t) de segundos para a esquerda, ou avança x(t) por segundos. Isto pode ser verificado facilmente através do valor da função para determinados instantes de tempo. Considere-se o sinal x(t) mostrado na Fig.1.8. Por exemplo, para t=1, x(t-1)=x(0)=1 e x(t+1)=x(2)=1; para t=3, x(t-1)=x(2)=1 e x(t+1)=x(4)=0, e assim por diante. Um sinal numa fita cassete pode, por exemplo, ser avançado ou atrasado em relação a uma referência t=0. -2 -1 1 2 3 4 t x(t) 1 -2 -1 1 2 3 4 t x(t-1) 1 -2 -1 1 2 3 4 t x(t+1) 1 (a) (b) (c) Figura 1.8 – Transformações de deslocamento no tempo. (a) Sinal x(t) original. (b) Sinal atrasado de 1 s. c) Sinal adiantado de 1 unidade de tempo As operações de inversão no tempo e deslocamento podem ser combinadas para obter outros sinais. Seja x(t) considerado na Fig.1.8, e as operações ilustradas na Fig.1.9. O sinal x(-t) é o sinal x(t) rebatido em relação ao ponto t=0. O sinal x(-t-), >0, desloca x(-t) para a esquerda por segundos. Observe que x(t-) é obtido deslocando-se x(t) para a direita. escrevendo x(-t-)=x(-(t+)), então x(-t-) pode ser obtido através do rebatimento de x(t+) em torno de t=-. Analogamente, x(-t+) é SINAIS E SISTEMAS 7 obtido a partir do deslocamento de x(-t) para a direita por segundos, ou através do rebatimento de x(t-) em torno de t=. -4 -3 -2 -1 1 2 t x(-t-1) 1 (b) -4 -3 -2 -1 1 2 t x(-t) 1 (a) -4 -3 -2 -1 1 2 x(-t+1) 1 (c) Figura 1.9 – Operações de inversão e deslocamento no tempo. 1.2.4 Relações de simetria Um sinal é considerado par se é simétrico em relação à origem, i.e., x(t)=x(-t), tal qual o ilustrado na Fig.1.10 a). Um sinal é ímpar se é anti-simétrico em relação à origem: x(t)=-x(-t), como o ilustrado na Fig.1.10 b). Neste último caso, deve-se observar que sempre x(0)=0. t (a) (b) t Figura 1.10 – Relações de simetria. (a) Sinal par. (b) Sinal ímpar. Um fator importante é que qualquer sinal pode ser representado como a soma de dois sinais, um par e outro ímpar. Considere um sinal real x(t). Então os sinais: x t x t x t e( ) ( ) ( ) 2 (1.1a) e x t x t x t o( ) ( ) ( ) 2 , (1.1b) são tais que: x t x t x te o( ) ( ) ( ) (1.2) onde verifica-se facilmente que xe(t) é um sinal par e xo(t) é um sinal ímpar. 1.2.5 Sinais periódicos A periodicidade de sinais também é um fator importante no estudo de sinais e sistemas. Um sinal periódico com período T deve obedecer a condição: x t x t kT( ) ( ), t, k inteiro . (1.3) Um sinal que não apresenta periodicidade é chamado de aperiódico. REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 8 Um exemplo de um sinal periódico encontra-se ilustrado na Fig.1.11, onde nota-se que o sinal também é periódico com 2T, 3T,... t ...... T 2T-T x(t) Figura 1.11 - Sinal periódico com período T. 1.3. SINAIS ELEMENTARES Os sinais básicos apresentados a seguir são importantes isoladamente, na representação de sinais mais complexos e no estudo de sistemas em geral [3], [4]. 1.3.1. Sinais senoidais eternos Um sinal senoidal é representado por: x t A t( ) cos( ) 0 , (1.4) onde A é a amplitude; 0 é a frequência angular, medida em radianos por segundo; f0=2/0 é a frequência medida em ciclos por segundo ou Hertz; é a fase, medida em radianos. O sinal x(t) é periódico com período: T f0 0 0 2 1 , (1.5) uma vez que x t T A t T A t A t x t( ) cos( ) cos( ) cos( ) ( ) 0 0 0 0 0 02 . (1.6) Este sinal, representado na Fig.1.12, trata-se de uma aproximação idealizada, denominada (independentemente do ângulo de fase) de senóide eterna em vista de considerar < t < . Este modelo torna-se mais preciso para aplicações práticas, à medida que os tempos de observação são longos comparados com o seu período T0 = 2/0. t A T f0 0 0 2 1 0 Figura 1.12 – Sinal senoidal de amplitude A, fase e período T0. SINAIS E SISTEMAS 9 1.3.2. Exponencial real A função exponencial real é definida por: x t A e A a reaisat( ) , , . (1.7) Com a=0, tem-se x(t)=A, que é uma função constante. A função exponencial real está ilustrada na Fig.1.13. Para valores de “a” positivos, a função x(t) é crescente com o tempo, e se “a” for negativo, x(t) é uma função decrescente com t. t A (a) t A (b) Figura 1.13 – Exponencial real. (a) Para a>0. (b) Para a<0. A taxa de crescimento ou decaimento de x(t) depende da magnitude de “a”. Para a<0, quando t=0, x(0)=A. Quando t=1/|a| , x(t)=Ae-1 0.37A, ou seja, a função cai a aproximadamente 37% do valor em t=0. Esse valor t=1/|a| é chamado de constante de tempo. Quanto maior a constante de tempo (menor o valor de a), mais tempo a função leva para crescer ou decrescer, e vice-versa. 1.3.3. Exponencial complexa periódica Os sinais descritos até agora são representados por funções reais no tempo. Uma classe importante de sinais são as exponenciais complexas periódicas: x t e realj t( ) , 0 0 . (1.8) Utilizando a fórmula de Euler: x t e t jsin t jj t( ) cos , 0 0 0 1. (1.9) Assim, aplicando-se a propriedade (1.9) quando t = 0), ocorre x(t)= ejcos(+j.sen(jOutros valores importantes da exponencial complexa estão listados na Tab.1.1 Nota-se que x(t) é um sinal complexo cuja parte real é cos 0t e a parte imaginária é sin 0t, e portanto é um sinal periódico com período T0=2/0 . Isto pode ser verificado com mais propriedade, observando-se que )]Tt(jexp[ 00 )tjexp()2jexp().tjexp()]/2t(jexp[ 0000 . REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 10 Tabela 1.1 – Alguns valores particulares da exponencial complexa. Forma Exponencial (polar) Forma retangular 0je 1 2/je j je -1 2/3je -j 2je 1 Podemos representar x(t) em função do tempo num gráfico tridimensional, com eixos representando as partes real e imaginária em função do tempo, conforme mostrado na Fig.1.14: 0 -1 0 1 -1 -0.5 0 0.5 1 t Re Im Figura 1.14 - Representação da exponencial complexa num gráfico tridimensional. No entanto, é mais comum representar o sinal complexo num plano complexo, parametrizado pelo tempo t, conforme a Fig.1.15: 0t -0t Re Im 1 ejot , 0>0 ejot , 0<0 Figura 1.15 - Representação da exponencial complexa num plano. Neste caso, a magnitude do fasor é sempre unitária, pois: e t sin t tj t 0 2 0 2 0 1 2 1 cos ,/ (1.10) e o ângulo é dado por: 0 0 0 t sin t t atan cos . (1.11) SINAIS E SISTEMAS 11 No caso de 0 ser positivo, à medida que o tempo evolui, o fasor gira no sentido anti-horário, e quando completa uma volta, 0t=2, ou t=2/0, que é o período. A partir desse instante, tudo volta a se repetir, explicitando a periodicidade do sinal. No caso de 0 ser negativo, à medida que o tempo passa,o fasor gira no sentido horário. Como 0 é chamada de frequência angular, uma frequência negativa indicaria apenas um sentido de rotação diferente para o fasor que representa o sinal. Da fórmula de Euler (1.9), pode-se mostrar que: cos( ) ( ) ( ) 0 0 0 2 t e ej t j t (1.12) e sin t e e j j t j t ( ) ( ) ( ) 0 0 0 2 (1.13) E ainda, pode-se representar sinais senoidais em função de exponenciais complexas, aplicando-se os operadores real, Re{ . }, e imaginário, Im{ . }: cos( ) Re ( ) 0 0t e j t (1.14) e sin t e j t( ) Im ( ) 0 0 . (1.15) 1.3.4. Exponencial complexa - caso geral Um caso mais geral de exponencial complexa é: x t A ea t( ) , (1.16) com A e “a” complexos: A = |A| e j , a = r + j 0. |A| e rt , r<0 t |A| e rt , r>0 t Figura 1.16 – Exponenciais complexas. (a) r<0. (b) r>0. Assim, fica-se com: x t A e e e A e e A e t j A e sin t j rt j t rt j t rt rt ( ) | | | | | | cos( ) | | ( ) ( ) 0 0 0 0 , (1.17) REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 12 onde nota-se que, se r<0, as partes real e imaginária de x(t) são senóides amortecidas, ou que têm amplitudes crescentes, caso r>0. Na Fig.1.16 ilustram-se essas observações. Nota-se pelas figuras que |A|ert é a magnitude da exponencial complexa, e é chamada de envoltória. Este tipo de sinal aparece na análise de circuitos RLC e da suspensão de automóveis, por exemplo. 1.3.5. Função sinc A função sinc é definida por: x t sinc t sin t t ( ) ( ) ( ) , (1.18) sendo o seu gráfico mostrado na Fig.1.17. -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Figura 1.17 – Função sinc(t). Uma atenção especial deve ser dada ao cálculo de sinc(t) em t=0, o qual deve ser executado com o auxílio da regra de L’Hospital, obtendo-se sinc(0)=1 (o leitor deve verificar isto !). 1.3.6. Função pulso triangular O pulso triangular de amplitude unitária e largura , conforme desenhado na Fig.1.18, é definido através de 2/t,0 2/t,t21)/t(tri . (1.19) tri(t) t0 1 Figura 1.18 – Função pulso triangular. SINAIS E SISTEMAS 13 1.3.7. Função pulso Gaussiano de área unitária O pulso Gaussiano (ou simplesmente Gaussiana) de área unitária e desvio padrão , conforme desenhado na Fig.1.19, é definido como 2 2 1exp 2 1)( ttg . (1.20) 2 1 2 16065,0 0 t g(t) Figura 1.19 – Função pulso Gaussiano. Quando usada em cálculos probabilísticos a Gaussiana é denominada de distribuição normal, sendo útil em vários problemas de engenharia, física e estatística. 1.4 FUNÇÕES DESCONTÍNUAS Algumas funções que exibem transições abruptas no tempo serão discutidas nesta seção. Na prática, essas funções rigorosamente nunca ocorrem, pois os tempos entre transições sempre são finitos, porém, são extremamente importantes sob o ponto de vista de modelo matemático. 1.4.1 Função degrau unitário A função degrau unitário é definida por: u t tt( ) , , 0 0 1 0 (1.21) sendo seu gráfico mostrado na Fig.1.20. Nota-se que u(t) é descontínuo em t=0. u(t) 1 t Figura 1.20 – Função degrau unitário. A função degrau frequentemente é usada quando operações de chaveamento sobre fontes DC estão envolvidas. Além disso, várias outras funções singulares podem ser dela deduzidas a partir de operações como integrações e derivações sucessivas. REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 14 Finalmente, é muito útil na representação de sinais práticos, que existem apenas para t0. 1.4.2. Função sinal A função sinal fornece o sinal do argumento t, ou seja: 0t,1 0t,0 0t,1 )tsgn( (1.22) sendo seu gráfico mostrado na Fig.1.21. -1 1 t sgn(t) Figura 1.21 – Função sinal. Conforme se observa, as funções degrau e sinal podem ser relacionadas por 1)t(u.2)tsgn( . (1.23) 1.4.3. Função porta ou pulso retangular A função porta (ou pulso) de duração T e amplitude unitária é representada por: T t T ttx rect)( (1.24) e encontra-se desenhada na Fig.1.22. A representação como rect(t/T) ou (t/T) depende muito da referência bibliográfica utilizada. T/2-T/2 1 t rect(t/T) Figura 1.22 – Função porta de duração T. A função porta pode ser relacionada com a função degrau através de: ) 2 Tt(u) 2 Tt(u)T/t(rect . (1.25) SINAIS E SISTEMAS 15 1.4.4. Função impulso de Dirac Outro sinal de extrema importância é a função impulso de área unitária ou delta de Dirac, (t), relacionada com o degrau unitário por: ( ) ( )t d u t dt (1.26) e portanto, u t d t ( ) ( ) . (1.27) No entanto, como u(t) é descontínua em t=0, formalmente não é diferenciável nesse ponto. Vamos interpretar a função degrau unitário como uma aproximação da função u(t), tal qual definida na Fig.1.23, para 0: u(t) 1 t Figura 1.23 – Função u(t). A função (t) corresponde à derivada de u(t), e é mostrada na Fig.1.24: (t) 1/ t Figura 1.24 – Função (t). onde nota-se que (t) tem área unitária, e é zero fora do intervalo 0 t . À medida que 0, (t) fica mais estreito e com maior amplitude, mas a área continua igual a 1. Assim, no limite: ( ) lim ( )t t 0 (1.28) e a representação gráfica da função impulso de área unitária é dada na Fig.1.25: t (t) 1 Figura 1.25 – Impulso de área unitária. REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 16 Isto sugere que (t)=0 para todo t, exceto para t=0, onde exibe uma singularidade. O número 1 ao lado do impulso indica a área sob a função. Inclusive é mais correto se dizer que (t) é um impulso de área unitária. Exemplo 1.1: Representar graficamente a função v(t)=A.(t-T). Solução: Trata-se de um impulso de valor A, cuja representação é mostrada na Fig.1.26. A T t v(t) 0 Figura 1.26 – Impulso de valor A aplicado no instante T. Ressalta-se, novamente, que a frase “de valor A” não se refere à amplitude do impulso, que é infinita, mas à sua área e à amplitude do degrau cuja derivada ele representa. Uma propriedade importante da função impulso é a seguinte: considere x(t) uma função contínua em t=0, então a integral x t t dt x( ) ( ) ( ) 0 . (1.29) A prova é dada a seguir. Seja I x t t dt x t t dt x t dt ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) 0 0 0 1 . Utilizando o teorema do valor médio: x t dt x c b a c a b a b ( ) ( ).( ) , ( , ) . Logo, ),0(x ),0(,)(xlim)0()(x1limI 00 pois como x(t) é contínua em t=0, x(0-)=x(0)=x(0+). Portanto, x t t dt x( ) ( ) ( ) 0 . SINAIS E SISTEMAS 17 Em particular, se x(t)=1, obtém-se o importante resultado ( )t dt 1 (1.30) ou seja, (t) é uma função de área unitária. Num caso maisgeral, para um impulso em t=, x t t dt x( ) ( ) ( ) . (1.31) ou seja, a função x(t)(t-) tem área x(), área esta que é igual ao valor da função x(t) no instante t=. Isto é equivalente a se ter um impulso de área x(). Portanto pode-se escrever também: x t t x t( ) ( ) ( ) ( ) (1.32) A equação (1.31) corresponde à propriedade de amostragem do impulso, ou seja, quando se multiplica uma função x(t) por um impulso de área unitária num instante t=, a área sob a função resultante equivale ao valor da função x(t) no instante t=. Uma propriedade adicional do impulso refere-se à mudança de escala: 0),t(1)t( , (1.33) o qual pode ser demonstrado integrando-se ambos os lados em - < t <. Se = -1, então, (-t)=(t), evidenciando que o impulso tem simetria par. 1.4.5 Sobre a existência do impulso O impulso unitário prova ser muito útil e, às vezes, essencial, na análise de sinais e sistemas. O impulso não é uma função no sentido matemático estrito [5]. Ao contrário, a integral definida de uma função que é nula em todos os pontos, exceto um, deveria ter um valor nulo. Por outro lado, x(t) será uma função de “t” se, e somente se, ela puder ser completamente descrita por uma relação ponto-a-ponto, ou seja, atribuindo-se a “x” um valor único para cada valor de “t” dentro da faixa de interesse. Assim, por exemplo, uma afirmativa de que x(t) é zero para t0, e não existe em t=0, até que definiria uma função satisfatória em todos os pontos. Embora algumas equações, inclusive integrais, possam ser usadas para definir indiretamente uma função, elas não podem conter informação que não possa ser deduzida da descrição direta, ponto-a-ponto da função. A afirmativa de que (t) tem área igual à unidade é portanto inadmissível sob o ponto de vista da matemática convencional. Observe também que as equações (1.26) e (1.27) resultam de dt/)t(du)t( e d.)()t(u t devido a que as funções u(t) e (t) se REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 18 tornam u(t) e (t), respectivamente, quando se aproxima de zero. Esta hipótese é correta, entretanto, somente se )t(ulim dt d dt )t(dulim 00 e t 0t0 d)].(lim[d).(lim . Como as definições de diferenciação e integração envolvem um processo limite, o que foi feito, de fato, foi trocar a ordem de dois processos limites, o que nem sempre é justificável. Uma maneira de justificar rigorosamente os resultados dessa seção pode ser executada recorrendo-se à teoria das distribuições, a qual considera o impulso unitário como função generalizada ou distribuição, o que inclui as funções ordinárias da matemática convencional como casos particulares. Entretanto, isto está fora do escopo deste texto. 1.4.6 Impulsos no limite Embora um impulso não exista fisicamente, várias funções convencionais possuem as propriedades de (t) no limite, quando algum parâmetro tende a zero. Em particular, se a função (t) for tal que )0(vdt).t().t(vlim 0 (1.34) então, é dito que )t()t(lim 0 . (1.35) Exemplo 1.2: Mostrar que (1.34) é satisfeito para (t) na forma do pulso mostrado na Fig. 1.27. - t (t) 0 Figura 1.27 – Impulso no limite. Solução: Pela figura verifica-se que )/t(rect1)t( . Seja v(t) uma função arbitrária na origem e cuja série de McLaurin é SINAIS E SISTEMAS 19 ...t !2 )0(vt).0(v)0(v)t(v 2 Então, )0(v... 12 . !2 )0(v 0. )0(v )0(vlim ...dtt !2 )0(v dt.t )0(v dt )0(v limdt).t().t(vlim 3 0 2/ 2/ 22/ 2/ 2/ 2/00 o que conclui a demonstração. Outras funções que satisfazem o critério (1.34) são listadas a seguir, cujos gráficos encontram-se desenhados na Fig.1.28: 0 t (t) 0 t (t) (a) (b) t (t) 0 2/ (c) t (t) 0 1/ (d) Figura 1.28 – Outros exemplos de impulsos no limite. a) Pulso sinc. b) Pulso gaussiano. c) Pulso triangular. d) Pulso exponencial. a) Pulso sinc tsinc1)t( . (1.36) REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 20 b) Pulso Gaussiano 2texp1)t( . (1.37) c) Pulso triangular ttri2)t( . (1.38) d) Pulso exponencial t exp 2 1)t( . (1.39) 2.5 CONVOLUÇÃO DE SINAIS A convolução entre dois sinais x1(t) e x2(t) é definida pela integral d)t(x)(x)t(x)t(x 2121 . (1.40) A integral de convolução é executada em relação à variável muda , sendo t considerada como constante. O resultado da convolução sempre resulta numa função temporal, por isso, em certos livros utiliza-se a notação simplificada x1(t)*x2(t) = x1*x2(t) para indicar que a função resultante x1*x2 depende de t [3]. Considere as funções x1(t), x2(t) e x3(t). A partir da definição (1.40), podem ser demonstradas as seguintes propriedades: a) Propriedade comutativa d)t(x)(x)t(x*)t(x)t(x*)t(x 121221 . (1.41) b) Propriedade associativa 321321 x*)x*x()x*x(*x . (1.42) c) Propriedade distributiva )x*x()x*x()xx(*x 3121321 . (1.43) d) Derivada do produto 2 12 121 x*dt dx dt dx*x)x*x( dt d . (1.44) SINAIS E SISTEMAS 21 Exemplo 1.3: Calcular a convolução v*w(t) para os sinais v(t) e w(t) mostrados na Fig.1.29. Solução: As funções v(t) e w(t) podem ser descritas por: )1t(u)1t(u)t(v e )2t(u)2t(u)t(w e assim )]2t(u)2t(u)].[1(u)1(u[)t(w)(v . -1 1 t 1v(t) (a) 1 t 2-2 w(t) (b) 1 3-3 -1 t (t+3).u(t+3) (t-3).u(t-3) -(t-1).u(t-1) -(t+1).u(t+1) 3-3 -1 1 t 3 -1 v*w(t) 2 (c) Figura 1.29 – Cálculo da convolução. a) Função v(t). b) Função w(t). c) Resultado da convolução: v*w(t) é superposição das retas desenhadas. Aplicando a definição (1.40), obtém-se .d.)2t(u).1(ud.)2t(u).1(u d.)2t(u).1(ud.)2t(u).1(u)t(w*v REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 22 Como 1,1 1,0 )1(u e 1,1 1,0 )1(u , então d.)2t(u d.)2t(ud.)2t(ud.)2t(u)t(w*v 1 111 Também 2t,1 2t,0 )2t(u e 2t,1 2t,0 )2t(u , e então 3tdd).2t(u 2t 11 desde que t+2>-1, i.e., t >-3, 3tdd).2t(u 2t 11 desde que t-2>1, i.e., t >1, 3tdd).2t(u 2t 11 desde que t+2>1, i.e., t >-1 e 3tdd).2t(u 2t 11 desde que t-2>1, i.e., t >3. Portanto, a expressão final da convolução é )3t(u).3t()1t(u).1t()1t(u).1t()3t(u).3t()t(w*v e cujo gráfico está desenhado na Fig.1.29 c). Conforme se observa pelo exemplo anterior, o gráfico da convolução v*w(t) tem largura final igual à soma das larguras das funções individuais v(t) e w(t). Este resultado também se aplica para funções v(t)e w(t) arbitrárias, indicando que a operação de convolução implica num alargamento temporal. Além disso, a função resultante torna-se mais “suave” que as funções individuais [6]. Embora esta operação possa ser executada analiticamente (em alguns poucos casos e com certa dificuldade) ou numericamente, torna-se interessante discutir o processo de determinação gráfica, o qual pode simplificar sensivelmente os cálculos. Exemplo 1.4: Convolução gráfica Executar a convolução dos sinais x(t) e y(t) mostrados na Fig.1.30: -3 -2 -1 1 2 3 4 t 2 1 x(t) -3 -2 -1 1 2 3 4 t 2 1 y(t) Figura 1.30 – Sinais x(t) e y(t). SINAIS E SISTEMAS 23 Solução: A convolução entre x(t) e y(t) é dada por: c t x t y t x y t d( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ou seja, para cada instante de tempo t, o sinal c(t) é a integral (área) do sinal que é obtido da multiplicação de x() por y(t-). Note que, como se está integrando em , deve-se realizar em y uma inversão seguida de um deslocamento de t. Tem-se na Fig.1.31 os sinais x() e y(-), ou seja, para t=0: -3 -2 -1 1 2 3 4 2 1 y(-) x() t=0 Figura 1.31 – x() e y(-). t=0. onde se observa facilmente que a multiplicação entre as funções é igual a zero, e portanto c(t=0)=0. Como para t<0, y(t-) é deslocado para a esquerda, para t<0, também tem-se que c(t)=0. Para t>0, nota-se que a multiplicação entre x() e y(t-) será igual a zero (x e y não vão se sobrepor) até o instante t=1, e portanto, c(t)=0 para t<1. No instante t=1, tem-se a Fig.1.32: -3 -2 -1 1 2 3 4 2 1 y(1-) x() t=1 Figura 1.32 – x() e y(1-). t=1. No instante t=1+t, a multiplicação entre x e y não será mais zero, conforme esquematizado na Fig.1.33: -3 -2 -1 1 2 3 4 2 1 y(1+t-) x() t=1+t 1 2 3 4 2 1 x().y(1+t-) t t (a) (b) Figura 1.33 – (a) x() e y(1+t-). t=1+t. (b) x(). y(1+t-). A área hachurada é igual a c(1+t). e a área hachurada na figura é igual ao valor de c(t=1+t), que é igual a (t)2/2. Para 1t2, tem-se que y está sobrepondo-se a x, e, portanto: REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 24 c t t t t( ) , 1 2 0 1 2 ou, na variável t: c t t t( ) ( ) , 1 2 1 2 2 . Para t=2+t, a ponta do triângulo começa a “sair” do quadrado, e os sinais ficam como na Fig.1.34: -3 -2 -1 1 2 3 4 2 1 y(2+t-) x() t=2+t 1 2 3 4 2 1 x().y(2+t-) t t (a) (b) Figura 1.34 – (a) x() e y(2+t-). t=2+t. (b) x(). y(2+t-). A área hachurada é igual a c(2+t). e a região hachurada tem área 1 2 2 2 2 3 t t t, ( ) ou, c t t t( ) , 3 2 2 3 Para t=3+t, tem-se a Fig.1.35: -3 -2 -1 1 2 3 4 2 1 y(3+t-) x() t=3+t 1 2 3 4 2 1 x().y(3+t-) t t (a) (b) Figura 1.35 – (a) x() e y(3+t-). t=3+t. (b) x(). y(3+t-). A área hachurada é igual a c(3+t). ou seja, a área hachurada começa a diminuir, com valor: ( )( ) , ( ) 2 1 1 2 3 2 2 3 3 4 2 t t t t t t ou c t t t t( ) , 4 2 3 4 2 SINAIS E SISTEMAS 25 e para t>4, os sinais não mais se sobrepõem, e c(t)=0 para t>4. Resumindo, obtém-se: c t t t t t t t t t t ( ) , ( ) , , , , 0 1 1 2 1 2 3 2 2 3 4 2 3 4 0 4 2 2 cujo gráfico encontra-se desenhado na Fig.1.36. 0 1 2 3 4 5 0 0 .5 1 1 .5 t c ( t ) Figura 1.36 – Sinal resultante da convolução c(t). A função impulso unitário, como já foi vista, apresenta a importante propriedade relacionada à amostragem (1.31). Uma outra propriedade importante é obtida considerando-se a convolução: x t t x t d( ) ( ) ( ) ( ) , Como já foi visto, a integral acima é igual ao valor da função x() em =t, ou seja, x t t x t d x t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1.45) e o resultado é que a convolução de um sinal com um impulso é igual à própria função. Esta propriedade é denominada de replicação. Se o impulso estiver deslocado de t0: x t t t x t t d x t t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 (1.46) ou seja, faz-se um deslocamento de t0 na função x(t). REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 26 Exemplo 1.5: a) Esboçar o gráfico da função trem de impulsos definida por n T )nTt()]t([rep , para n inteiro b) Esboçar o gráfico de )]t([rep*)t(v)]t(v[rep TT , onde )/t(rect.A)t(v , para <T. Solução: a) O gráfico de repT[(t)] encontra-se desenhado na Fig. 1.37 a) b) Usando-se a propriedade de replicação, obtém-se n n n T )nTt(v )nTt(*)t(v )nTt(*)t(v)]t(v[rep cujo gráfico encontra-se desenhado na Fig.1.37 b). ...... 0 T 2T-T-2T repT(t) t (a) ...... 0 T 2T-T-2T v(t) t A (b) Figura 1.37 – Trem de funções. a) Trem de impulsos. b) Trem de pulsos. 1.6 SINAIS DE ENERGIA E SINAIS DE POTÊNCIA Em sistemas elétricos, geralmente se trabalha com correntes e tensões. Se uma tensão v(t) é aplicada num resistor de 1, a corrente que passa por ele é i(t)=v(t) e a potência dissipada é igual a p(t)=v(t).i(t)=v2(t). Assim, a energia fornecida pelo sinal v(t) num intervalo de tempo [t1, t2] é: Energia = v t dt t t 2 1 2 ( ) . SINAIS E SISTEMAS 27 De maneira similar, se uma corrente i(t) passa por um resistor de 1, a tensão sobre ele é v(t)=i(t), e a potência dissipada igual a p(t)=v(t).i(t)=i2(t). Assim, a energia fornecida pelo sinal i(t) num intervalo de tempo [t1, t2] é: Energia = i t dt t t 2 1 2 ( ) . 1.6.1 Sinais de energia Estendendo-se a discussão para um sinal x(t) real ou complexo, sua energia (Ex) no intervalo [t1, t2] é definida como: Ex = x t x t dt x t dt t t t t ( ). ( ) | ( )| 1 2 1 2 2 (1.47) onde, se x(t) for real, x(t).x*(t)=x2(t). Um sinal é chamado de sinal de energia, se tem energia finita (E) no intervalo (-, ): E x t dt | ( )|2 . (1.48) Exemplo 1.6: Avaliar se o sinal v(t)= e-2|t| é um sinal de energia Solução: Valos avaliar a integral e dt e dt et t t 2 2 40 4 0 2 2 4 1 2 | | e portanto, v(t) é um sinal de energia. Antes de prosseguir, vamos lembrar que uma função x(t) é estritamente limitada no tempo se tem valores não-nulos somente num intervalo de tempo [t1, t2], sendo nula para t<t1 e t>t2. As funções porta e pulso triangular são exemplos de funções estritamente limitadas no tempo. Já uma função x(t) é dita assintoticamente limitada no tempo se x(t)0 quando t. Esses dois tipos de funções são de duração finita. Como contra-exemplo, cita-se a senóide eterna que, como o próprio nome especifica, não tem duração finita. Por outro lado, um sinal é limitado se existe um valor M tal que | x(t) |<M para todo t. A função degrau, por exemplo, é limitada poisu(t)<M, para qualquer M>1, e para todo t. Por outro lado, o delta de Dirac e a função exponencial real não são limitadas. Assim, pode-se afirmar que se um sinal for limitado e de duração finita ele será um sinal de energia, pois REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 28 | ( )| | ( )| ( )x t dt x t dt M dt M t t t t t t 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 . A maioria dos sinais encontrados na prática são limitados e de duração finita, e portanto são sinais de energia. 1.6.2 Sinais de potência A potência média (Pm) de um sinal x(t) num intervalo [t1, t2] é definida como P t t x t dtm t t 12 1 21 2 | ( )| . (1.49) Um sinal é chamado de sinal de potência se a potência média definida por P T x t dt x t T T T lim | ( )| ( )12 2 2 (1.50) for diferente de zero e finita. Definindo-se então: E x t dtT T T | ( )|2 , (1.51) observa-se que E E T T lim (1.52) para sinais de energia, e P T E T T lim 1 2 . (1.53) para sinais de potência. Para um sinal de energia, a energia total é finita, e portanto P=0. A energia total de um sinal de potência deve ser infinita, pois senão a potência seria nula. Logo, um sinal pode ser um sinal de potência ou um sinal de energia, mas não ambos simultaneamente. No entanto, um sinal pode não ser um sinal de energia nem de potência. Exemplo 1.7: Considere o sinal v(t)=e-2t . Verificar se v(t) é um sinal de energia ou de potência. Solução: A energia do sinal é: SINAIS E SISTEMAS 29 E e dt e dt e eT t T T t T T T T 2 2 4 4 42 14 ( ) e para T, ET. A potência média do sinal é: P T E e e T e T e T T T T T T T T T T lim lim lim lim 1 2 8 8 4 8 4 4 4 4 e portanto e-2t não é um sinal de energia nem de potência. Para sinais periódicos, com período T0 , o cálculo da potência média pode ser simplificado: P P T x t dt T x t dt T x t dtm T T T T T T lim | ( )| | ( )| | ( )| / /1 2 1 12 0 2 2 2 0 2 00 0 0 (1.54) Se o sinal periódico x(t) for limitado, então ele é um sinal de potência. Exemplo 1.8: Considere o sinal senoidal x(t)=A cos(0t + ). Calcular sua potência média. Solução: Aplicando-se (1.53) 2 A T16 )2T2(sinA)2T2(sinA 2 Alim 4 )2T2(sin)2T2(sin T2 T4 Alim dt 2 )t(2cos 2 1 T2 Alimdt)t(cosA T2 1limP 2 0 0 2 0 22 T 0 00 2 T T T 0 2 T T T 0 22 T Pode ser verificado que, integrando num período, chega-se no mesmo resultado. Um sinal de frequência modulada, FM, com sinal modulante senoidal de amplitude Am e frequência m , é representado por ]tsenAtcos[.A)t(v mmpp = ]tsenAcos[.tcosA mmpp ]tsenAsen[.tsen mmp , onde Ap e p são as amplitude e frequência da portadora [3]. Este sinal envolve termos do tipo cos[cos(x)] e sen[sen(x)], os quais podem ser adequadamente expandidos em série de funções de Bessel. Devido à importância desse tipo de função, tal tópico será analisado na próxima seção. REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 30 1.7. FUNÇÕES DE BESSEL DE PRIMEIRA ESPÉCIE Existe uma classe de funções da física matemática, denominada de funções especiais, que se prestam a descrever soluções para equações diferenciais específicas como, por exemplo, a equação diferencial de Bessel [7]. São soluções dessa equação as funções de Bessel de primeira espécie, de segunda espécie (ou funções de Neumann) e de terceira espécie (ou funções de Hankel). Outros exemplos de funções especiais são a função gama, a função beta, a função erro, os polinômios de Legendre, os polinômios de Hermite, os polinômios de Jacobi, os polinômios de Gegenbauer, etc. Neste texto nos limitaremos a estudar as funções de Bessel de primeira espécie, devido à sua importância na teoria de comunicações. A função de Bessel de primeira espécie e ordem n pode ser definida através da série de potências 0k k2nk n )1kn(!k )2/x()1()x(J (1.55) onde (n) é a função gama. Se n for inteiro, então, (n+1)=n!, e assim, ...)4n2)(2n2(4.2 x )2n2(2 x1 !n2 x)x(J 42 n n n . (1.56) Na Fig. 1.38 são ilustradas as 4 primeiras funções de Bessel, evidenciando o comportamento oscilatório e decrescente à medida que o argumento x aumenta. Figura 1.38 - Funções de Bessel de primeira espécie. A partir de (1.55) pode-se mostrar que, se n for inteiro, então )x(J)1()x(J n n n . (1.57) Além disso, com o auxílio de séries de potências, pode-se mostrar que a função geratriz para Jn(x), onde n é inteiro, é SINAIS E SISTEMAS 31 n n n t 1t 2 x t)x(Je . (1.58) A partir de (1.58) é possível demonstrar as seguintes relações de recorrência: a) )x(J)x(J x n2)x(J 1nn1n (1.59a) b) )]x(J)x(J[ 2 1 dx )x(dJ 1n1n n (1.59b) c) )x(Jx)]x(Jx[ dx d 1n n n n (1.59c) d) )x(Jx)]x(Jx[ dx d 1n n n n (1.59c) Exemplo 1.9: A partir da função geratriz mostrar que a) ...2cos).x(J2)x(J)senxcos( 20 b) ...3cos).x(J2sen).x(J2)senxsen( 31 Solução: Basta fazer jet em (1.58) ...}3sen)]x(J)x(J[sen)]x(J)x(J{[j ...}2cos)]x(J)x(J[)]x(J)x(J[)x(J{ ]nsenjn[cos)x(Je)x(Je)]ee(x 2 1exp[ 2211 22110 n n n jn n senjxjj a partir da qual mostra-se o desejado. A partir desse exemplo, podem ser extraídas as importantes relações: ...2cos).x(J2)x(J)senxcos( 20 (1.60a) ...3cos).x(J2sen).x(J2)senxsen( 31 (1.60b) n jn n senjx e)x(Je (1.60c) usadas com grande frequência na teoria de comunicações. Exemplo 1.10: Mostrar a seguinte relação integral: 0n )nsenxcos(1)x(J Solução: Vamos lembrar que REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 32 nm,2/ nm,0dncos.mcos0 nm,2/ nm,0dnsen.msen0 Assim, multiplicando-se a expressão (1.60a) por cos(n) e a expressão (1.60b) por sen(n), e integrando-se entre 0 e , obtém-se (mostrar isto !) ímparn,0 zeroouparn),x(Jdncos.)senxcos( n0 ímparn),x(J zeroouparn,0 dnsen.)senxsen( n 0 Executando-se a soma no caso onde n é zero ou par, obtém-se d.)]nsenx[cos(1 d.]nsen).senxsen(ncos).senx[cos(1)x(J 0 0n A mesma relação se mantém quando n é ímpar, ou seja, é válida para qualquer n inteiro. Vamos observar que, para )nsenxsen()(f , então, f(-) = - f(), ou seja, é uma função ímpar. Portanto, sua integral no intervalo deve ser nula. Assim, utilizando-se o exemplo anterior, conclui-se que de 2 1)x(J )nsenx(jn (1.61) A seguir, apresentam-se alguns exercícios para que o leitor possa testar o conhecimento adquirido nestecapítulo. 1.8 EXERCÍCIOS 1.8.1 Dois sinais de tempo contínuo são mostrados na Fig.P1.8.1. Esboce cuidadosamente os seguintes sinais, com escalas: x(t) t t h(t) 2 1 -1 -1 1 2 3 1 2 3-1-2 1 Figura P1.8.1 SINAIS E SISTEMAS 33 i) x t( ) 2 ii) x t( )1 iii) x t( )2 2 iv) x t( / )2 3 v) x t x t u t( ) ( ) ( ) 2 1 vi) x t t t( ) ( / ) ( / ) 3 2 3 2 vii) x t h t( ) ( ) 1 viii) x t h t( ) ( ) 1 1 ix) x t h t( / ) ( )2 2 4 x) x te ( ) (parte par) xi) x to ( ) (parte ímpar) 1.8.2 A soma de duas ou mais senóides pode ou não ser periódica dependendo da relação entre as frequências. Considere a soma de duas senóides com frequências f1 e f2 . Para a soma ser periódica, f1 e f2 devem ser comensuráveis, i.e., deve existir um número f0 contido um número inteiro de vezes em f1 e f2. Se f0 é esse número, então: f1=n1f0 e f2=n2f0 onde n1 e n2 são inteiros, e f0 é a frequência fundamental. Para os sinais abaixo, determine quais são periódicos e o período, quando aplicável. a) x t t sin t( ) cos( ) (5 ) 2 2 3 b) x t t t( ) cos(5 ) cos( ) 5 15 c) x t sin t sin t( ) ( ) ( ) 3 10 12 d) x t t t sin t( ) cos( ) cos( ) ( ) 4 2 3 4 5 26 1.8.3 Mostre que: ( ) ( )2 1 2 t t Sugestão: Examine a função ( )2t 1.8.4 Considere-se a função )T/t(rect. 2 1 T t.A)t(f , para A e T constantes. a) Esboçar o gráfico de f(t). b) Obter analiticamente o resultado de f(t)*repT[(t)]. c) Esboçar o gráfico de f(t)*repT[(t)]. Qual o nome usual dessa função ? 1.8.5 Calcular o valor das seguintes integrais definidas a) dt).1t).(t( 2 d) 21 2 dt).1t).(1t( b) 11 2 dt).1t).(t( e) 53 3 dt).2t4t).(1t( c) 53 2 dt).1t).(t( f) dt).2t).(t1( 4 REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 34 1.8.6 Mostre que x t u t x t dt t ( ) ( ) ( ) 1.8.7 Executar a convolução, graficamente, das funções )t(ue.A)t(v t e )]Tt(u)t(u[ T t)t(w . Sugestão: Consultar o livro do Carlson [3]. SINAIS E SISTEMAS 35 CAPÍTULO 2: ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS : SÉRIE DE FOURIER Um dos principais objetivos de se analisar sinais é o de determinar o conteúdo de frequência ou a faixa de frequência de sinais. Isto é de extrema importância em diversos campos de aplicação. Em comunicações, sinais transmitidos por estações AM são limitados na faixa de 535 kHz a 1650 kHz [3], [4]. Sinais de estações FM ocupam a faixa de frequência entre 88 MHz a 108 MHz, as de televisão UHF ocupam faixas entre 470 MHz e 890 MHz, e assim por diante, para os demais tipos de serviços. Um sinal de voz típico ocupa uma faixa de 200 Hz a 4 kHz. Através da análise de sinais é possível entender como um sinal de voz ou de música é transmitido em outra faixa de frequência (através de modulação). Na área médica, por exemplo, a análise de um sinal resultante de um exame de eletrocardiograma (ECG) ou eletroencefalograma (EEG) pode indicar se o paciente possui alguma anomalia cardíaca ou na atividade elétrica cerebral. Um submarino emite um sinal acústico próprio dependendo da rotação dos propulsores e vibração dos motores. Este sinal pode ser utilizado em detecção submarina. Abelhas africanizadas (ou "assassinas") e domésticas são quase idênticas em tamanho e aparência, e uma das maneiras de diferenciá-las é com a ajuda de um microscópio. No entanto, descobriu-se que elas batem as asas em frequências diferentes, e, consequentemente, geram sinais diferentes. Estes sinais, detectados, podem ser utilizados para identificar as abelhas assassinas e controlar sua disseminação. Uma outra aplicação importante de análise de sinais é a eliminação de certos tipos de ruídos como o de máquinas, transformadores de potência, ventiladores industriais, etc. Estes tipos de equipamentos geram sinais periódicos, que podem ser decompostos em vários sinais. Um microfone pode captar esse ruído e um sistema computadorizado analisar este sinal e gerar um outro sinal que é a imagem do ruído (um anti-ruído). Isto cancela o ruído, não afetando a conversa normal entre as pessoas que estejam no ambiente, por exemplo, dentro de um avião. Neste capítulo aborda-se a primeira parte da análise dos sinais de tempo contínuo, enfatizando-se os sinais periódicos, através da série de Fourier. No Capítulo 3, serão analisados em detalhes os sinais aperiódicos, com o auxílio da transformada de Fourier. Antes, porém, pretende-se discutir alguns conceitos preliminares sobre espectros de linhas, produto vetorial e similaridades entre sinais variáveis no tempo. 2.1 FASORES GIRANTES Considere, inicialmente, o problema do regime permanente senoidal, tal qual estudado na teoria de circuitos elétricos. Nesse caso, os sinais são constituídos por senóides eternas e têm representação temporal como ilustrado na Fig.2.1, e conforme discutido na Capítulo 1. Assim, se x(t) for um sinal senoidal, então )tcos(.A)t(x 0 (2.1) ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS: SÉRIE DE FOURIER 36 onde A é o valor de pico ou amplitude, 0 é a frequência angular e é o ângulo de fase. A -A x(t) 0-/0 A cos t T=20 ... ... Figura 2.1 – Sinal senoidal eterno. A frequência angular, 0 [rad/s], relaciona-se com a frequência linear, f0 [Hertz], através de 0=2f0. Conforme já foi enfatizado, a senóide eterna trata-se de uma aproximação idealizada, em vista de considerar todos os instantes de tempo ( < t < ). O modelo torna-se mais preciso, à medida que os tempos de observação sejam longos comparados com o seu período T = 2/0. 2.1.1 Espectro de linhas unilateral A representação espectral do sinal senoidal pode ser obtida em termos de fasores girantes, deduzidos a partir do teorema de Euler: sen.jcose j (2.2) onde é um ângulo arbitrário. No caso da senóide eterna (2.1), percebe-se que ]e.e.A[Re)t( tjj 0 . (2.3) O termo entre colchetes em (2.3) pode ser interpretado como um vetor girando no plano complexo, z, conforme ilustra a Fig.2.2. Assim, define-se o fasor girante associado a v(t) como sendo o número complexo (na forma polar) tjj 0e.e.A)t(zz (2.4) O fasor girante tem magnitude A, gira no sentido anti-horário numa taxa de f0 ciclos por segundo (ou Hertz) e em t = 0 forma um ângulo com o eixo real positivo. A projeção do fasor sobre o eixo real permite recuperar x(t), conforme estabelecido por (2.3). A z ot+ Re Im 0 Figura 2.2 - Fasor girante no plano complexo z. SINAIS E SISTEMAS 37 Uma representação equivalente para o fasor complexo z(t), no domínio da frequência, constitui o espectro de linhas (ou raias) unilateral, mostrado na Fig.2.3. Este diagrama informa que na frequência de oscilação f0, o fasor girante tem magnitude A, representado através de uma linha no espectro de magnitudes, e fase , representado por uma linha no espectro de fases. MAGNITUDE FASE 0 0 fo fo f f A Figura 2.3 - Espectro de linhas unilateral. A fim de padronizar a representação espectral dos sinais, torna-se adequado estabelecer as seguintes convenções [3]: a) A variável independente para representar o espectro é a frequência linear, f , (e não a frequência angular, ). Um valor particular de f é identificado por um subscrito como, por exemplo, f0 ; b) Os ângulos de fase são medidos em relação à função co-seno. Sinais em seno precisam ser convertidos para co-senos, através da identidade: sen = cos(-900); c) Considera-se que a magnitude é sempre uma grandeza positiva. Quando sinais negativos estão presentes,utiliza-se a identidade: -A.cos = A.cos( 1800). Exemplo 2.1: Esboçar o espectro unilateral do sinal )t120sen(4)60t40cos(107)t(w 0 , cuja forma de onda está desenhada na Fig.2.4 a). Solução: O espectro de linhas unilateral de w(t) pode ser obtido observado-se que )90t602cos(4)120t202cos(10)t02cos(7)t(w 00 e encontra-se desenhado na Fig. 2.4 b) 20 10 0 1/20 t w(t) (a) (Fig.2.4 continua ...) ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS: SÉRIE DE FOURIER 38 MAGNITUDE FASE 0 0 100 20 f f 120 20 100 o -90o 7 10 4 (b) Figura 2.4 - Análise espectral de w(t). a) Sinal temporal w(t). b) Espectro de w(t). O exemplo anterior é muito ilustrativo pois evidencia que uma superposição de senóides com diferentes frequências e fases pode dar origem a uma forma de onda não- senoidal, embora ainda periódica. Assim, pode-se indagar se uma outra forma de onda arbitrária (porém periódica) como uma dente-de-serra, por exemplo, poderia ser sintetizada a partir da superposição de senóides. Nas próximas seções esta conjectura será confirmada, através do estudo da série de Fourier. 2.1.2 Espectro de linhas bilateral As representações espectrais unilaterais podem não ser tão interessantes e genéricas quanto a representação denominada espectro bilateral, que envolve frequências positivas e negativas. Nesse caso, recorre-se à propriedade dos números complexos *)zz( 2 1]zRe[ , onde z é uma grandeza complexa e z* é o seu complexo conjugado. Assim, a partir de (2.3) e (2.4), para tjj e.e.Az , obtém-se tjjtjj 0 00 ee 2 Aee 2 A)tcos(.A)t(x (2.5) onde 0=2f0. O par de fasores conjugados em (2.5) encontra-se desenhado, no plano complexo, conforme a Fig.2.5 z ot+ Re Im 0 ot+ z* A A Figura 2.5 - Fasores girantes conjugados. Por sua vez, o espectro de linhas bilateral, encontra-se registrado na Fig.2.6, a qual inclui informações sobre ambos os fasores: o fasor normal, associado à frequência positiva (+f0), e o fasor conjugado, correspondente à frequência negativa (f0), a fim de especificar a direção de rotação negativa (no sentido horário). SINAIS E SISTEMAS 39 MAGNITUDE FASE 0 0 A/2A/2 f f Figura 2.6 - Espectro de linhas bilateral. Conforme se observa, o espectro de magnitudes possui simetria par, enquanto o espectro de fases tem simetria ímpar. Exemplo 2.2: Esboçar o espectro bilateral do sinal w(t) estudado no exemplo 2.1. Solução: O sinal w(t) pode ser rescrito como 2 eeee4 2 eeee10e7)t(w t602j90jt602j90jt402j120jt402j120j 0j 0000 e portanto, obtém-se o espectro mostrado na Fig.2.7. MAGNITUDE FASE 0 0 7 f f 55 22 20 60- 60 - 20 120 - 120 o o - 90 90 o o Figura 2.7 - Espectro bilateral de w(t). 2.2. PRODUTO ESCALAR – SEMELHANÇA ENTRE SINAIS Didaticamente, a analogia com o comportamento de vetores no espaço físico pode ser bastante útil na análise de sinais variáveis no tempo. Assim, considere os dois vetores 1V e 2V mostrados na Fig.2.8, e seja eV um vetor de erro, tal que e2121 VVCV (2.6) onde C12 é uma constante com valor entre 0 e 1. ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS: SÉRIE DE FOURIER 40 1V 2V eV C12 2V (a) 1V 2V eV C12 2V (b) 1V 2V eV C12 2V (c) Figura 2.8 - Análise da “semelhança” entre vetores. A magnitude do vetor erro em b) é menor que nos casos a) e c). Por inspeção da figura, torna-se evidente que o menor valor do vetor de erro ocorre no caso b), quando C12 2V corresponde à projeção ortogonal de 1V na direção de 2V . Nesse caso, costuma-se dizer que C12 2V corresponde à componente de 1V na direção de 2V , onde C12 é escolhido de modo que o vetor de erro seja mínimo. Uma outra conclusão pode ser extraída, em situações de projeção ortogonal como no caso da Fig.2.8b), observando-se que quanto maior a componente de um vetor na direção do outro, mais “semelhante” serão esses vetores e menor será o vetor de erro [4]. Então, C12 pode ser interpretado como uma medida da “semelhança” entre 1V e 2V . Se C12=0, então, 1V não tem componente na direção de 2V , sendo os vetores perpendiculares entre si e denominados vetores ortogonais. Neste caso, não existe qualquer relação de dependência entre os vetores, os quais são chamados de vetores independentes. Recorrendo-se a álgebra vetorial, pode-se especificar o fator constante C12 aplicando-se a definição de produto escalar: 2 21 212 V VV VC (2.7) onde 2V é o módulo de 2V . A partir daí, obtém-se 22 21 2 2 21 12 VV VV V VVC (2.8) Observa-se que, se 1V e 2V são ortogonais, então, 0VV 21 e C12=0. A seguir, extrapola-se esses conceitos para o caso de sinais. Considere-se f1(t) e f2(t) dois sinais sobre os quais deseja-se estabelecer o grau de similaridade (ou semelhança) através de um fator C12, ou seja, deseja-se estabelecer a aproximação f1(t) C12.f2(t). Para isso, C12 deve ser tal que minimize a função erro fe(t), )t(fC)t(f)t(f 2121e (2.9) Um critério bastante usado para minimizar fe(t) constitui na minimização do erro quadrático médio, , ou seja, na minimização de SINAIS E SISTEMAS 41 21 t t 2 e 12 dt).t(f tt 1 (2.10) onde (t2-t1) é um intervalo de observação dentro do qual deseja-se efetuar a comparação dos sinais. Assim, torna-se necessário estabelecer o valor de C12 que satisfaça a condição: 0 dC d 12 (2.11) ou, substituindo (2.10), que satisfaça a 0dt).t(fC2dt).t(f)t(f2dt. dC )t(df tt 1 2 1 2 1 2 1 t t 2 2 t t 1221 t t 12 2 1 12 (2.12) Como f1(t) não depende de C12, a primeira integral em (2.12) é nula e, portanto, obtém-se que 2 1 2 1 t t 2 2 t t 21 12 dt)t(f dt)t(f).t(f C (2.13) Ressalta-se a semelhança entre a expressão (2.13), para sinais, e (2.8), para vetores. Assim, por analogia com vetores, C12f2(t) representa a componente de f1(t) sobre o sinal f2(t). Além disso, define-se o produto escalar entre as funções, )t(f).t(f 21 , num intervalo (t1,t2) por 21 t t 21 12 21 dt).t(f).t(ftt 1)t(f).t(f , t1 t t2 (2.14) de tal forma que (2.13) pode ser escrita como )t(f )t(f).t(f C 2 2 21 12 (2.15) Se C12=0, então, é dito que o sinal f1(t) não contém nenhuma componente do sinal f2(t), e, que as duas funções são ortogonais no intervalo (t1, t2). Exemplo 2.3: Mostrar que )tnsen()t(f 01 e )tmsen()t(f 02 são ortogonais em qualquer intervalo (t0, t0+20), para valores de m e n inteiros, mn. Solução: Deve ser mostrado que ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS: SÉRIE DE FOURIER 42 000 /2t t 00 0 21 dt).tmsen().tnsen(/2 1)t(f).t(fI é igual a zero. De fato, desenvolvendo 00 o 00 0 /2t t 00 /2t t 00 0 t)mnsen( mn 1t)mnsen( mn 1 2 1 dt].t)mncos(t)mn[cos( 2 1 /2 1I Uma vez que n e m são inteiros, (n-m) e (n+m) também o são, e assim, I=0 (incentiva-se o leitor a comprovaristo !). O resultado do exemplo anterior evidencia que )tnsen( 0 e )tmsen( 0 são funções ortogonais. Pode-se demonstrar que )tncos( 0 e )tmcos( 0 , bem como )tnsen( 0 e )tmcos( 0 , também são funções ortogonais. Exemplo 2.4: Aproximar a função retangular 2/3trect2/trect)t(f1 pela função tsen)t(f 2 , no intervalo (0,2), de forma que o erro quadrático médio seja mínimo. Solução: Deseja-se aproximar )t(fC)t(f 2121 , tal que C12 conduza ao erro mínimo. O gráfico de f1(t) está desenhado na Fig. 2.9 (em linha pontilhada). f(t) t Figura 2.9 - Aproximação da função retangular por uma senóide. Assim, aplicando-se (2.13), obtém-se 4 dt).t(sen dt.tsen)1(dt.tsen C 2 0 2 2 0 12 e, portanto, tsen4)t(f1 , 0t2 SINAIS E SISTEMAS 43 representa a melhor aproximação de f1(t) por uma função sen t. O desenho de f1(t) também encontra-se na Fig.2.9. Por outro lado, diz-se que a função f1(t) tem uma componente da função sen t cuja magnitude é 4/. 2.3 SÉRIE DE FUNÇÕES Discute-se nesta seção, a expansão de trechos de funções em séries de funções ortogonais como, por exemplo, a série de Fourier trigonométrica. Antes, porém, o conceito de ortogonalidade de funções deve ser detalhado. 2.3.1 Ortogonalidade de funções reais Considere-se, novamente, o caso dos vetores num plano xy, e cujos vetores unitários são xaˆ e yaˆ , conforme esquematizado na Fig.2.10. F xaˆ yaˆ x y x0 y0 0 Figura 2.10 - Vetores no plano xy. Um vetor F , com componentes x0 e y0 nas direções x e y, respectivamente, pode ser expresso como y0x0 aˆyaˆxF (2.16) Qualquer vetor nesse plano pode ser expresso em termos de xaˆ e yaˆ , vetores unitários que satisfazem a nm,1 nm,0 aˆaˆ nm (2.17) onde m e n correspondem a x e y, respectivamente. Assim, os vetores unitários são ortogonais entre si. Contudo, observa-se que este sistema de coordenadas bidimensional é inadequado para expressar um vetor F espacial, sendo necessário haver três eixos de coordenadas. Portanto, para expressar um vetor F tridimensional é necessário que o sistema de coordenadas seja completo. O eixo adicional é o eixo z, cujo vetor unitário é zaˆ . E assim, um vetor no espaço tridimensional será representado por z0y0x0 aˆzaˆyaˆxF (2.18) onde xaˆ , yaˆ e zaˆ são ortogonais entre si. ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS: SÉRIE DE FOURIER 44 No caso geral, hipoteticamente n-dimensional, o conjunto completo de vetores unitários deve possuir “n” componentes ortogonais designadas por 1xˆ , 2xˆ , ..., nxˆ , e assim, um vetor geral F tem componentes C1 , C2, ..., Cn, tais que nn2211 xˆC...xˆCxˆCF (2.19) A condição de ortogonalidade implica que nm,1 nm,0 xˆxˆ nm (2.20) O conjunto ( 1xˆ , 2xˆ , ..., nxˆ ) constitui um espaço vetorial ortogonal, onde 1xˆ , 2xˆ , ..., nxˆ são vetores de base. Em geral, contudo, o produto nm xˆxˆ pode ser qualquer constante km ao invés da unidade: nm,k nm,0 xˆxˆ m nm (2.21) Quando km é igual à unidade o conjunto é chamado espaço ortogonal normalizado, ou então, é dito tratar-se de um conjunto ortogonal normalizado ou espaço vetorial ortonormal. Os valores dos componentes, Cr , podem ser obtidos a partir de (2.19), calculando-se inicialmente o produto escalar ...xˆxˆC...xˆxˆCxˆxˆCxˆF rrrr22r11r (2.22) e aplicando-se (2.21), a fim de obter rrr kCxˆF (2.23) e portanto r r rr r r k xˆF xˆxˆ xˆFC (2.24) A seguir, extrapola-se esses conceitos para o caso de sinais. Considere-se, então, um conjunto de “n” funções g1(t), g2(t), ..., gn(t) ortogonais entre si, num intervalo t1 a t2, ou seja kj,k kj,0dt).t(g).t(g j t t kj 2 1 (2.25) Uma função arbitrária f(t) pode ser aproximada (sintetizada) num intervalo (t1, t2) pela combinação linear dessa n funções ortogonais: SINAIS E SISTEMAS 45 21 n 1r rr nn2211 ttt,)t(gC )t(gC...)t(gC)t(gC)t(f (2.26) A melhor aproximação corresponde àquela onde C1, C2, ..., Cn são tais que minimizam o erro quadrático médio de fe(t), tal qual em (2.10), o qual será repetido por conveniência: 21 t t 2 e 12 dt).t(f tt 1 (2.27) onde n 1r rre )t(gC)t(f)t(f (2.28) Para isto, torna-se necessário impor que 0 C ... C ... CC nr21 . (2.29) Procedendo aos cálculos algébricos em (2.29), pode-se mostrar que o erro mínimo acontecerá quando 2 12 1 2 1 t t r r t t 2 r t t r r dt).t(g).t(fk 1 dt).t(g dt).t(g).t(f C (2.30) (encoraja-se o leitor a verificar isto). Novamente, é interessante comparar essa expressão com (2.24), e concluir que r r rr r r k )t(g).t(f )t(g).t(g )t(g).t(f C , t1 t t2 (2.31) usando-se a definição de produto escalar (2.14). Utilizando-se (2.27), (2.28) e (2.31), o erro quadrático médio será n 1r t t n 1r t t rr 2 r 2 r t t 2 12 2 1 2 1 2 1 dt).t(g).t(fC2dt).t(gCdt).t(f tt 1 n 1r r 2 r t t 2 12 n 1r r 2 r 2 r n 1r 2 r t t 2 12 kCdt).t(f tt 1 kC2kCdt).t(f tt 1 2 1 2 1 (2.32) ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS: SÉRIE DE FOURIER 46 Torna-se evidente que o erro quadrático médio diminui à medida que aumenta- se n, ou seja, quando f(t) é aproximada por um número maior de funções ortogonais. No limite, quando n, o erro tende a zero e f(t) converge para a soma infinita: 1r rr )t(gC)t(f , t1 t t2 (2.33) desde que {gr(t)} constitua um conjunto de funções ortogonais (obedecem a (2.25)) no intervalo (t1, t2) e os coeficientes Cr obedecem a (2.30) ou (2.31). Exemplo 2.5: Considere-se novamente a função retangular f1(t) estudada no exemplo 2.4, que foi aproximada por uma única função sen(t). Discutir como a aproximação melhora quando se usa um número grande de funções ortogonais tnsen 0 e tmsen 0 , para m e n inteiros. Solução: A função retangular f1(t) será aproximada por ntsenC...t2senCtsenC)t(f n211 , 0 t 2 onde 0 2 2 0 2 2 0 1 r dt.rtsendt.rtsen1 dt.rtsen dt.rtsen).t(f C e daí parr,0 ímparr, r 4 Cr Portanto, ...]t5sen 5 1t2sen 3 1t[sen4)t(f1 , 0 t 2 conforme mostrado na Fig.2.11, considerando-se um, dois, três e quatro termos. O erro nessa aproximação é dado por (2.32): 21 t t 2 2 21 2 1 2 1 12 ...kCkCdt).t(f tt 1 onde t2-t1=2 e 20 21 2dt).t(f . Também, 20 21r dt).t(fk 20 2 dt).t(rtsen =. SINAIS E SISTEMAS 47 t )t(sen 4 (a)
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