Transformada de laplace

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Sinais e Sistemas 
Engenharia de Controle e Automação e Mecânica 
Universidade Federal de Lavras 
 
Prof. Danton Diego Ferreira 
 
 
Notas de Aula 4 – A Transformada de Laplace 
Sumário 
• A Transformada de Laplace e suas Propriedades 
• Solução de Equações Diferenciais 
• Diagramas de Blocos 
• Aplicação em Controle Malha Fechada 
• Resposta em Frequência e o Diagrama de Bode 
• Projeto de Filtros 
 
As notas de aula tiveram contribuição dos professores 
Bruno Groenner e Alessandra Campos do DEG 
Equações Diferenciais 
• Os sistemas LCIT 
 
 
 
 
▫ Equações diferenciais: 
 
 
 
 
 
Análise no Domínio do Tempo 
• Resposta à Entrada Externa – Caso Contínuo 
▫ Condições iniciais nulas e largura do pulso 
tendendo a zero 
? 
Análise no Domínio do Tempo 
• Resposta à Entrada Externa – Caso Contínuo 
▫ Assim: 
 
 
 
 
 
 Conhecendo a resposta ao impulso, é possível obter a 
resposta do sistema (LIT) a qualquer entrada 
Integral de Convolução! 
Análise no Domínio do Tempo 
• Resposta à Entrada Externa – Caso Contínuo 
▫ Condições iniciais nulas e largura do pulso 
tendendo a zero 
? 
E se a entrada for 
uma exponencial 
complexa est ? 
Análise no Domínio do Tempo 
• Resposta à uma exponencial complexa 
 
 
 
▫ Considerando uma entrada exponencial complexa 
Análise no Domínio do Tempo 
• Resposta à uma exponencial complexa 
 
 
 
 
 
Autovalor Autofunção 
Função de Transferência! 
A Transformada de Laplace 
• Dual em relação à análise no domínio do tempo 
 
• No domínio do tempo quebramos a entrada em 
impulsos 
 
• No domínio da frequência quebramos a entrada 
em exponenciais complexas est 
 
• A Transformada de Laplace é a ferramenta que 
mapeia o comportamento de sinais e sistemas do 
domínio do tempo para o domínio da frequência 
 
 
 
 
A Transformada de Laplace 
• Análise no domínio do tempo 
 
 
 
 
• Análise no domínio da frequência 
 
 
 
 
h(t) 
x(t) y(t) 
H(s) x(t) y(t) L L -1 
X(s) Y(s) 
A Transformada de Laplace 
• Definição 
▫ A Transformada de Laplace mapeia uma função em 
t para uma função em s 
 
 
▫ Duas variantes 
 Bilateral 
 
 
 Unilateral 
Notação: 
A Transformada de Laplace 
• Exemplo: Encontre a TL de x1(t) 
Região de Convergência 
A integral converge se: 
A Transformada de Laplace 
• Exemplo: Encontre a TL de x2(t) 
A Transformada de Laplace 
• Exemplo: Encontre a TL de x2(t) 
A Transformada de Laplace 
• Exemplo: Encontre a TL de x3(t) 
A Transformada de Laplace 
• Exemplos 
Função no tempo Transformada de Laplace 
A Transformada de Laplace 
• Exemplo: Encontre a TL de x4(t) 
A Transformada de Laplace 
• Exemplo: Encontre a TL de x4(t) 
A Transformada de Laplace 
• Interpretação no domínio do tempo: 
A Transformada de Laplace 
• A TL seguinte pode representar quantos sinais? 
A Transformada de Laplace 
• A TL seguinte pode representar quantos sinais? 
A Transformada de Laplace 
• Mais alguns exemplos: 
A Transformada de Laplace 
• Mais alguns exemplos: 
Tabela da Transformada de Laplace 
Tabela da Transformada de Laplace 
Tabela da Transformada de Laplace 
A Transformada Inversa de Laplace 
• Transformar uma equação no domínio s para o 
domínio de t 
• Definição: 
 
 
 
• Integração no plano complexo... 
• Uso de Tabelas! 
A Transformada Inversa de Laplace 
• Exemplo: 
▫ Determine a transformada inversa de Laplace de: 
 
 
 
 
 
• Tabela? 
• Método de Expansão em Frações Parciais 
A Transformada Inversa de Laplace 
• A maioria dos sinas X(s) são racionais: 
 
 
 
 
 
• As raízes de P(s) são chamadas de zeros 
• As raízes de Q(s) são chamadas de pólos 
A Transformada Inversa de Laplace 
• A maioria dos sinas X(s) são racionais: 
 
 
 
 
 
• X(s) é chamada de função estritamente própria se n>m 
• X(s) é chamada de função própria se n=m 
• X(s) é chamada de função imprópria se n<m 
A Transformada Inversa de Laplace 
• Método de Expansão em Frações Parciais 
(funções estritamente próprias) 
A Transformada Inversa de Laplace 
• Método de Expansão em Frações Parciais (funções 
estritamente próprias – raízes múltiplas) 
A Transformada Inversa de Laplace 
• Método de Expansão em Frações Parciais (funções 
estritamente próprias – raízes múltiplas) 
A Transformada Inversa de Laplace 
• Método de Expansão em Frações Parciais (funções 
estritamente próprias – raízes múltiplas) 
A Transformada Inversa de Laplace 
• Método de Expansão em Frações Parciais (funções 
estritamente próprias – raízes complexas) 
 
 
 
▫ Completar os quadrados 
A Transformada Inversa de Laplace 
• Método de Expansão em Frações Parciais (funções 
estritamente próprias – raízes complexas) 
 
 
 
A Transformada Inversa de Laplace 
• Método de Expansão em Frações Parciais (funções 
estritamente próprias – raízes complexas) 
 
 
 
▫ Tabela de Transformadas? 
 
 
 
A Transformada de Laplace 
• Propriedades 
▫ Deslocamento no tempo 
▫ Deslocamento na Frequência 
▫ Diferenciação no Tempo e na Frequência 
▫ Integração no Tempo e na Frequência 
▫ Escalonamento 
▫ Convolução no Tempo e na Frequência 
▫ Valor Inicial e Valor Final 
Propriedades da Transformada de Laplace 
• Deslocamento no tempo 
 
Prove! 
Propriedades da Transformada de Laplace 
• Deslocamento no tempo 
▫ Exemplo 4.5. Encontre a TL de 
 
Propriedades da Transformada de Laplace 
• Deslocamento no tempo 
▫ Exemplo 4.5. Encontre a TL de 
 
Propriedades da Transformada de Laplace 
• Deslocamento na Frequência 
Propriedades da Transformada de Laplace 
• Deslocamento na Frequência 
▫ Exemplo 4.6 
Propriedades da Transformada de Laplace 
• Diferenciação no Tempo 
Prove! 
Propriedades da Transformada de Laplace 
• Diferenciação na Frequência 
Propriedades da Transformada de Laplace 
• Diferenciação no Tempo 
Propriedades da Transformada de Laplace 
• Integração no Tempo 
 
 
 
 
 
e na Frequência 
Propriedades da Transformada de Laplace 
• Escalonamento 
 
 
 
 
▫ Compressão no tempo causa expansão na 
frequência do sinal 
▫ Expansão no tempo causa compressão na 
frequência do sinal 
Propriedades da Transformada de Laplace 
• Convolução no Tempo 
 
 
 
 
e na Frequência 
h(t) 
x(t) y(t) 
H(s) x(t) y(t) L L -1 
X(s) Y(s) 
Propriedades da Transformada de Laplace 
• Convolução no Tempo 
 
 
 
 
Resposta estado nulo 
Entrada 
Função de Transferência! 
Propriedades da Transformada de Laplace 
• Convolução no Tempo 
▫ Exemplo 4.8: Determine 
 
 
 
 
Transformada Inversa de Laplace: