A Importância das Funções Matemáticas

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31/03/2022 16:22 Matemática
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MATEMÁTICA
CAPÍTULO 2 – FUNÇÕES: QUAL A SUA
IMPORTÂNCIA NO DECORRER DO
NOSSO COTIDIANO?
Thuysa Schlichting de Souza
INICIAR 
Introdução
O estudo das funções é o tema central deste segundo capítulo. Podemos
considerá-las como ferramentas matemáticas que nos permitem descrever e
analisar inúmeros problemas das ciências em geral e situações do nosso próprio
cotidiano. Qualquer que seja a forma como uma função está representada: como
uma fórmula, uma tabela de valores ou um gráfico; elas descrevem relações entre
elementos de dois conjuntos, de modo que cada elemento do primeiro conjunto é
associado a um único elemento do segundo. 
Algumas funções são descritas mais facilmente por meio de um tipo de
representação do que por outro, mas existe um especial interesse no estudo de
funções em que a variável dependente y, também representada por f (x) — lê-se
função f   em relação à variável x ou, mais costumeiramente, f de x —, pode ser
calculada a partir da variável independente x por meio de uma fórmula, que
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chamamos de lei de formação da função. É importante que consigamos transitar
entre essas formas de representação para se obter um entendimento completo da
função. 
De modo geral, costuma-se separar as funções em categorias que são definidas a
partir das características principais das suas leis de formação, enquanto
expressões algébricas, e das diferentes representações geométricas, quando
representadas no plano cartesiano ou no espaço tridimensional, no caso de
funções de uma ou de duas variáveis independentes, respectivamente. Neste
capítulo, vamos tratar especificamente das funções polinomiais de 1º e de 2º grau,
além das funções algébricas e das racionais. Veremos como identificar essas
funções por meio da lei de formação ou da representação gráfica, bem como
analisaremos situações e problemas práticos que envolvem esses conceitos.
Com isso, esperamos que você possa responder às seguintes questões: o que
caracteriza uma função como polinomial do 1º grau ou do 2º grau? O que define as
funções algébricas e as racionais? Para que servem essas funções? Como podemos
usá-las nas diferentes áreas de conhecimento?
Vamos estudar!
2.1 Função crescente e função
decrescente
Vamos considerar uma função que associa a cada número real um número real 
, sendo  , o triplo de  . Dessa forma, podemos escrever sua lei de formação como 
, ou . Para compreender melhor o comportamento de  , vamos
construir uma tabela relacionando os valores do domínio com sua respectiva
imagem. Observe que o domínio da função    é igual a e, portanto, os valores
para a construção da tabela serão tomados de forma arbitrária. Veja na tabela a
seguir, os valores da função , para .
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Note que a função determina um conjunto de pares ordenados de números,
como , cujos primeiros
elementos pertencem ao domínio   e cujos segundos elementos pertencem à
imagem, que neste caso, também correspondem aos número reais  . Podemos,
então, representar cada par ordenado geometricamente por meio de dois eixos
perpendiculares, um horizontal, chamado de eixo das abscissas, e um vertical,
denominado de eixo das ordenadas, conforme figura abaixo. 
 Tabela 1 - Valores da função f(x) = 3x,
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
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Vamos associar a cada par ordenado que compõe a função um ponto nesse
sistema de eixos coordenados, o qual é conhecido como sistema de coordenadas
cartesianas.
O filósofo e matemático francês René Descartes formalizou o sistema de coordenadas cartesianas, em
1637, no apêndice “A geometria” do livro “O discurso do método”. Descartes começou a estudar
matemática em 1618 e escreveu diversas obras sobre filosofia e matemática ao longo da vida. Em 1628,
ele iniciou seu primeiro livro sobre a física da luz, mas a publicação foi adiada, quando ele soube da
Figura 1 - O plano cartesiano e seus quatro quadrantes. Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
VOCÊ O CONHECE?
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prisão de Galileu. Em vez disso, ele desenvolveu suas ideias sobre pensamento lógico na obra de 1637.
Em 1649, ele foi para a Suécia atuar como tutor da Rainha Cristina, porém morreu de pneumonia após
alguns meses (STEWART, 2014).
O primeiro elemento do par é associado a um ponto no eixo das abscissas e o
segundo elemento é associado a um ponto no eixo das ordenadas. Assim, o
gráfico da função consistirá de todos os pontos , tais que , com 
pertencente ao domínio da função. Em outras palavras, como   é uma função com
domínio , seu gráfico consistirá em infinitos pares ordenados do tipo 
. Vejamos como será o gráfico de:  , com .  
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Vamos investigar a variação da função . Analisando a tabela e a figura da
função, o que acontece com os valores de , quando aumentamos os valores de 
? 
Observe que, à medida que o valor de    aumenta, o correspondente valor de 
também aumenta. Ou seja, para quaisquer dois elementos  pertencentes ao
domínio da função, tem-se que, se , então, . Dessa forma, a função 
 é uma função crescente em todo o seu domínio.
Figura 2 - Gráfico da função f(x) = 3x. Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
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Vamos analisar, agora, a função real de variável real dada pela regra .
Tomando alguns valores arbitrários do domínio, podemos construir uma tabela de
valores da função, com , e seu gráfico, da seguinte forma: 
Observe que, à medida que o valor de aumenta, o correspondente valor de 
diminui. Em termos matemáticos, para quaisquer dois elementos ,
pertencentes ao domínio da função, tem-se que, se ,  então, . Dessa
forma, a função é uma função decrescente para todos os valores de
seu domínio.
Vale ressaltar que uma mesma função pode não apresentar o mesmo
comportamento (crescente ou decrescente) em todos os valores do seu domínio.
Frequentemente, encontramos funções crescentes em certos subconjuntos de seu
domínio e decrescente em outros. Por exemplo, a função definida no conjunto
dos reais e dada pela lei de formação , isto é, , quando 
, quando . Vejamos seu gráfico, com :  
Figura 3 - Tabela de valores e gráfico da função g(x) = -1/10 x³. Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
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Como podemos observar no gráfico da função , no intervalo , se , temos
que . Ou seja, e, portanto,    é
crescente. No intervalo , se  , temos que .
Isto é, e, portanto,   é decrescente. Assim, podemos dizer que
a função   é crescente no intervalo   e decrescente no intervalo  .
De modo geral, a construção do gráfico de uma função utilizando o recurso tabular
e encontrando alguns pontos da função não é suficiente para que possamos ter
uma ideia global do seu comportamento em todo o domínio. Sendo assim,
precisamos estudar outras ferramentas matemáticas.
VOCÊ SABIA?
Atualmente diversos recursos computacionais nos permitem realizar a construção degráficos de
funções por meio da sua lei de formação. Alguns exemplos são o Excel, o Maple, o Wolframalpha e
o GeoGebra. Este último é um so�ware gratuito que, além da visualização de gráficos de funções,
Figura 4 - Gráfico da função h(x) = |x|. Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
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também possibilita uma análise detalhada de seus elementos. Outra vantagem é que ele pode ser
utilizado como aplicativo web. Para mais informações, sugerimos acessar o site:
<https://www.geogebra.org/ (https://www.geogebra.org/)>.
Nos próximos tópicos, estudaremos algumas funções elementares e
aprenderemos a construir seus gráficos utilizando as propriedades destas funções.
Vamos começar com as funções polinomiais do 1º grau.
2.2 Equação e função polinomial do 1º
grau
Você já conhece o conceito de função, seus elementos principais e as diferentes
formas de representá-la. Agora, vamos estudar um tipo especial de função,
chamada de função polinomial do 1º grau, enfocando suas propriedades e
utilizando os conceitos já estudados como base para analisá-la de forma
detalhada.
Inicialmente, vamos identificar o seu uso na resolução de um problema prático
para, na sequência, realizarmos sua formalização matemática. Comecemos pelo
seguinte problema: um vendedor de assinaturas de TV a cabo ganha R$ 2.200,00
de salário base mensal, mais uma comissão de R$ 40,00 por cada assinatura
realizada no mês. Sendo , o número de assinaturas que ele vendeu num
determinado mês, como podemos expressar seu salário total mensal em função
de  ?
O salário do vendedor é dado por duas parcelas aditivas: a primeira se trata do
salário base (SB) de R$ 2.200,00 mensais e a segunda é uma quantia variável (SV),
calculada pela comissão de R$ 40,00 por assinaturas vendidas . Para determinar
de quanto será seu salário, o vendedor precisa considerar as duas parcelas, ou
seja, somar seu salário base com a parte variável. 
Note que a comissão pode ser calculada pela seguinte função: .
Portanto, podemos determinar o salário mensal utilizando a função dada pela
soma: , sendo (pois estamos lidando com
quantidade de assinaturas). 
https://www.geogebra.org/
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Como , podemos observar que essa função apresenta sua lei de
formação da forma , em que e .  Funções que podem ser
descritas dessa maneira, com os coeficientes e sendo números reais e ,
representam funções polinomiais do 1º grau. 
Vejamos outros exemplos:
 
Vale destacar que, em muitos casos, o domínio da função polinomial do 1º grau
não é especificado. Assim, como o conjunto é o “maior” conjunto numérico para
os quais é possível encontrar , você pode assumir que o domínio será  . 
De modo geral, as funções polinomiais do 1º grau com variável real são
comumente chamadas de funções afim. E, mais especificamente, as funções da
forma são denominadas de funções lineares, como é o caso
da função apresentada no exemplo anterior. 
Na sequência, vamos estudar, mais detalhadamente, as principais características
desse tipo especial de função e aprender a esboçar seu gráfico, utilizando
propriedades algébricas.
2.2.1 O gráfico da função polinomial do 1º grau
Vamos esboçar o gráfico da função polinomial do 1º grau dada pela lei de
formação e definida no conjunto dos reais. 
Para a construção do seu gráfico, inicialmente atribuiremos valores arbitrários do
domínio à variável calcularemos o valor de . Como já foi visto, o gráfico
será o conjunto de todos os pares ordenados . 
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Observe que os pares ordenados obtidos representam pontos que estão alinhados
no gráfico. O domínio da função é o conjunto e está representado por todos os
valores do eixo das abscissas. Assim, o gráfico será uma reta oblíqua aos eixos
das abscissas e das ordenadas. 
Sabemos que bastam dois pontos para se definir uma reta e, portanto, só é
necessário calcularmos dois pontos da função para realizarmos sua construção
gráfica. De modo geral, costuma-se optar pelos pontos que cruzam o eixo das
abscissas e o eixo das ordenadas.
Podemos verificar, na figura, que a reta que representa a função corta o eixo das
abscissas no ponto .  Este ponto foi obtido resolvendo-se a equação
formação , da seguinte forma: . Como   tem
como imagem o zero, dizemos que é o zero da função .
Vamos examinar agora o ponto , que é o intercepto da reta com o eixo das
ordenadas no plano cartesiano. Para encontrá-lo, realizamos o cálculo de , 
obtendo o resultado . Note que, quando , a parcela é anulada, restando
apenas o valor de que é igual a 1 na função .
Figura 5 - Construção gráfica da função afim formação f(x) = 2x + 1. Fonte: Elaborada pela autora,
2018.
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E como é o comportamento de ? 
Quando aumentamos os valores de , o correspondente valor de também
aumenta. Isto é, para quaisquer  pertencentes ao domínio, tem-se a relação: 
. Portanto, pela definição já estudada, a função é crescente. 
A reta que representa a função    está “desenhada” abaixo do eixo das abscissas
quando , e está acima do eixo das abscissas quando . Assim, temos
duas relações que nos dizem sobre o comportamento da imagem da função: 
 e .  
Agora, vamos investigar o comportamento de outra função polinomial do 1º grau,
utilizando os mesmos parâmetros de análise anteriores. Dessa vez, consideramos
a função definida no conjunto dos reais e dada pela lei de formação .  
Figura 6 - Construção gráfica da função afim g(x) = -2x + 1. Fonte: Elaborada pela autora, 2018.
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Observe que o gráfico também é uma reta oblíqua aos eixos das abscissas e das
ordenadas. A reta cruza o eixo das abscissas no ponto , pois o resultado da
equação  (o zero da função ).
O ponto  que cruza o eixo das ordenadas do plano, é obtido calculando-se o
valor de . Note que, quando , a parcela  é anulada, restando apenas o
valor de que é igual a 1 na função  .
Quanto ao comportamento de , podemos verificar que, à medida que
aumentamos os valores de , o correspondente valor de , diminui. Isto é, para
quaisquer  pertencentes ao domínio, tem-se que: . Logo, a
função é decrescente. 
A reta que representa a função   está abaixo do eixo das abscissas quando , e
está acima do eixo das abscissas quando . Assim, temos duas relações que nos
dizem sobre o comportamento da imagem da função:    e 
. 
Vamos generalizar os resultados obtidos até aqui? 
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau , com , é sempre
uma reta oblíqua aos eixos das abscissas e das ordenadas. Logo, basta calcular
dois pontos da função para conseguirmos desenhá-la. Um ponto interessante é o
zero da função, que pode ser obtido resolvendo-se a equação .
Isto significa que a reta que representa uma função polinomial do 1º grau sempre
corta o eixo das abscissas em um único ponto, o qual é indicado pelo par
ordenado .
Perceba, ainda, que o gráfico de   sempre cruza o eixo das ordenadas no
ponto , pois a parcela  é anulada sempre que , como podemos verificar: 
.
Quanto à variação da função polinomial do 1º grau, é possível afirmar que:
a função é crescente quando o coeficiente de  é positivo, ou seja, ;
a função é decrescente quando o coeficiente de   é negativo, ou seja, .
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Além disso, com relação aos valores da imagem da função, podemos afirmar que: 
para as funções crescentes, temos que  e ;
para as funções decrescentes, temos que  e .
Na sequência, vamos resolver alguns problemas sobre aplicações da função
polinomial do 1º grau que demandam os conhecimentos estudados até aqui na
busca da solução adequada.
2.2.2 Problemas e aplicações
As funções polinomiais do 1º grau nos ajudam a resolver muitos problemas reais,
principalmente na área econômica. Assim, o conhecimento detalhado da sua lei
de formação e da sua representação gráfica, pode auxiliar na tomada de
importantes decisões. Agora que já conhecemos este tipo especial de função, bem
como suas características algébricas e geométricas, podemos utilizá-los como
ferramentas para interpretar e analisar os dois problemas a seguir.
Problema 1: Em uma empresa, o custo fixo mensal é igual a R$ 5.000,00; o custo
de produção de cada unidade do produto é R$ 10,00; e o preço de venda de cada
unidade desse produto é R$ 15,00. Calcule o custo total mensal e o lucro com a
produção e venda de 3.000 unidades do produto (MORETTIN; HAZZAN; BUSSAB,
2012).
Você sabe o que significa custo variável e custo fixo? 
Devemos ter em mente que, para se fabricar um produto, existe um custo fixo,
que é constituído pela soma dos custos que não dependem da quantidade
produzida, tais como aluguel, seguros e outros. Existe também um custo variável,
que é formado por custos ligados diretamente à produção e que dependem da
quantidade de produto produzida. Quando esta produção varia dentro de certos
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limites (geralmente de pequena amplitude), o custo variável é obtido pela
multiplicação de uma constante pela quantidade produzida (MORETTIN; HAZZAN;
BUSSAB, 2012).
Levando em consideração tais conceitos, vamos sistematizar as informações
disponibilizadas no enunciado:      
custo fixo ( ): R$ 5.000; 
custo variável por unidade ( ): R$ 10,00; 
preço de venda por unidade ( ): R$ 15,00;
quantidade produzida no mês ( ): 3.000. 
Observe que o custo total depende da quantidade    de produtos produzidos no
mês. Sendo assim, existe uma relação entre eles, que chamaremos de função
custo total. A variável independente,  , será a quantidade produzida, enquanto
que a variável dependente, , será o custo total. 
Note que a função custo total é calculada pela soma dos custos fixo e variável. Em
termos matemáticos: . Como o problema pede o
valor do custo total mensal, sabendo-se a quantidade fabricada no mês, basta
substituirmos    por 3000. Dessa forma, temos a igualdade: 
. Isto é, R$ 35.000,00.
É importante perceber que o lucro total de uma empresa é calculado pela
diferença entre a receita e o custo total de produção. No caso da empresa em
questão, a receita  é a quantia recebida pela venda da quantidade   do produto,
ou seja, . Portanto, o lucro total será dado pela função lucro: 
.  Agora, basta calcularmos , da
seguinte forma: . Isso significa, que o lucro
total da empresa com a produção e venda de 3000 unidades de produto será de R$
10.000,00.
Vale ressaltar que estamos admitindo que o produto indicado no enunciado seja
divisível (como quilogramas ou litros), logo, os valores de  , são números reais
positivos. Dito isso, vamos construir os gráficos da função custo e da função
receita.
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Podemos observar que os gráficos se interceptam no ponto . Neste
ponto, a receita e o custo são iguais e, portanto, o lucro é zero. A abscissa deste
ponto é chamada ponto crítico (ou de nivelamento). Assim, se , o lucro será
positivo, e se , o lucro será negativo, isto é, a empresa terá prejuízo.
Figura 7 - Função custo e função receita se interceptam num ponto cuja abscissa é chamada de ponto
crítico. Fonte: Elaborada pela autora, 2018.
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Problema 2: um comerciante compra 100 unidades de um produto por R$ 20,00
cada unidade. Ele acrescenta 50% ao custo e passa a vender o produto para seus
clientes. Construa um modelo linear que descreva a receita e o lucro do
comerciante em função das unidades vendidas do produto (SILVA; SILVA; SILVA,
2010). 
Para calcular a receita do comerciante, em função da quantidade de produto
vendida, precisamos encontrar o valor acrescido ao custo por unidade e depois
adicionar esse valor aos R$ 20,00. Sendo assim, o acréscimo será dado pela
multiplicação , que resulta em R$ 10,00. Somando esse valor ao custo por
unidade temos: . Ou seja, o preço de venda por unidade é de R$ 30,00.
Logo, a receita em função da quantidade vendida será obtida pela fórmula 
.
Já o lucro por unidade vendida corresponde ao acréscimo de 20% em cada
unidade do produto, ou seja, R$ 10,00. Portando, o lucro para unidades vendidas
será dado pela função . 
É importante observar que a quantidade do produto só pode variar de 0 a 100
unidades, pois esta é a disponibilidade do comerciante para a venda do produto.
Assim, o domínio da função receita e da função lucro será .
Veja outra situação prática que utiliza a ideia de função polinomial do 1º grau na
análise da questão.
SO
trabalha como vendedora numa loja especializada em vendas de eletrodomésticos. Ela recebe um salário
e R$ 600,00 mensais, além de uma quantia variável (SV), que é calculada pela porcentagem de 12% do
vendido no mês ( ). Para determinar de quanto será seu salário no final do mês, Maria precisa somar seu
se com a parte variável. Observe que esta última parcela é dada pela seguinte função linear: 
.
lo, supondo que Dona Maria vendeu R$ 20.000,00 num mês, sua comissão será calculada da forma: 
. Sendo assim, ela receberá a quantia de R$ 2.400,00, mais seu salário base no
$ 600,00, obtendo R$ 3.000,00 no mês em questão. Portanto, Dona Maria consegue calcular seu salário
izado a função polinomial do 1º grau: .
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Neste tópico, você estudou o conceito de função polinomial do 1º grau e pode
perceber que se trata de um conhecimento matemático muito importante, devido
a sua aplicação em muitas situações práticas. Na sequência, estudaremos sobre
outro tipo de função polinomial que podem ser empregada em contextos diversos:
a função polinomial do 2º grau. 
2.3 Equação e função polinomial do 2º
grau
Vamos iniciar nosso estudo das funções polinomiais do 2º grau analisando o
problema a seguir: o proprietário de uma fazenda possui 6.000 metros de arame,
com os quais deseja cercar um pasto retangular localizado em um trecho reto à
margem de um rio. Assim, ele precisará cercar apenas três lados, já que o quarto
será a própria margem. Encontre uma função  na variável  que expresse a área
do pasto se o proprietário usar todo o arame (TAN, 2014).
Vamos denotar de  , a largura do pasto retangular e de , o seu comprimento. Note
que podemos calcular a área do pasto multiplicando os respectivos lados e
obtemos a expressão: . Já comprimento total da cerca, ou seu perímetro, é
encontrado somando-se os três lados do pasto, isto é, .
Como todo o arame será usado para cercar o pasto, temos que  e, portanto,
. Reescrevendo a expressão de modo que    fique isolado, temos que 
.
Lembra da expressão da área? Agora, vamos utilizá-la substituindo o valor de   por
, da seguinte forma: . Observe que a área está
em função da largura do pasto, assim a função na variável que expresse a área
do pasto tem como lei de formação: . 
Agora, precisamos definir o domínio da função. Observe que,    e  , devem ser
números positivos, pois representam a largura e o comprimento do retângulo,respectivamente. Isto significa, em termos matemáticos, que . Da
última desigualdade, temos que: . Portanto, a função 
 tem o domínio . 
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É importante compreender que a função  , do ponto de vista
matemático e sem ponderar o contexto do problema, teria como elementos do
domínio todo o conjunto dos números reais.
Observe que a lei de formação da função   é uma expressão polinomial de grau 2.
Quando uma aplicação a associa a cada    o elemento ( ,
onde os coeficientes  ,    e    são números reais e , dizemos que    é uma
função polinomial do 2º grau ou uma função quadrática. Sendo assim, sua lei de
formação é da forma: .
Observe outros exemplos de funções quadráticas, classificadas de acordo com as
características de seus coeficientes: 
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Note que existem três tipos de funções quadráticas na forma incompleta. Quando 
, a função é escrita como  ou, de maneira fatorada, .
Quando , a função é da forma . E, no último caso, se    e  ,
então .
 Figura 8
- Reconhecimento dos coeficientes das funções quadráticas. Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
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De modo geral, o coeficientes de uma função quadrática não possuem uma
denominação especial. Convencionou-se chamar , e    de coeficiente de ,
coeficiente de  e termo independente, respectivamente. 
A seguir, vamos aprofundar as relações entre os coeficientes e os tipos de raízes de
uma função quadrática, respondendo às seguintes questões: como é a lei de
formação de uma função quadrática quando suas duas raízes são iguais a zero? Se
uma função quadrática apresenta duas raízes reais distintas, existe alguma
característica especial que pode ser verificada manipulando seus coeficientes?
Quais são as características de uma função quadrática que não apresenta raízes
reais? 
2.3.1 As raízes de uma função quadrática
Recorde que as raízes de uma função são os valores  do domínio que são soluções
da igualdade: . Dessa forma, as raízes de uma função quadrática são os
valores que satisfazem a equação do segundo grau: . Isto significa que
é necessário resolver uma equação do segundo grau para que seja possível
identificar as raízes de uma função quadrática. 
Então, como podemos resolver uma equação do segundo grau? Uma opção é
substituir    por valores arbitrários até encontrar os números que satisfazem à
igualdade. Contudo, esta tarefa pode se tornar bastante trabalhosa e demorada,
em muitos casos. 
Uma segunda forma mais eficaz é utilizar um algoritmo que determina
precisamente quais são as raízes da função quadrática, o qual é conhecido como
fórmula de resolução da equação do segundo grau ou fórmula de Báskara: 
.  
VOCÊ SABIA?
A fórmula de resolução da equação do segundo grau é famosa no Brasil pelo nome de fórmula de
Báskara. Essa designação se estabeleceu no país na década de 1960, e é aparentemente um hábito
só brasileiro. Não é usual a denominação “de Báskara” para essa fórmula na literatura
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internacional. Cabe destacar que Báskara foi um importante matemático do século XII, porém a
fórmula para obter as raízes de uma equação do segundo grau só foi utilizada após o século XVI,
quando começou-se a representar os coeficientes de uma equação por letras (RPM, 1999).
Vale ressaltar que o símbolo da fórmula indica que devemos usar duas
expressões aritméticas para se calcular o valor de : uma com o sinal antes da
raiz quadrada e a outra com o sinal . Portanto, a equação do segundo grau tem
duas soluções e, consequentemente, a função polinomial do 2º grau terá duas
raízes.
Vamos utilizar a fórmula de resolução da equação do segundo grau para calcular
as raízes de algumas funções quadráticas apresentadas na tabela anterior: 
.
. 
Pela fórmula,   e  .
Portanto, a função quadrática   tem duas raízes reais distintas. 
. 
Pela fórmula,  .
Não existem números reais que satisfaçam a equação e, portanto, a função
quadrática   não tem raízes reais.
.
Pela fórmula,   e .
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Verifica-se, então, que a função quadrática    tem duas raízes reais
distintas. 
.
Pela fórmula,  .
Portanto, a função quadrática   tem duas raízes reais de mesmo valor e
iguais a zero. 
Podemos observar que a existência de raízes reais para a função quadrática
depende de ser um valor real. Sendo assim, o valor do radicando, ou
discriminante, determina a quantidade de raízes da função quadrática.
De modo geral, quando (positivo), existem duas raízes reais e distintas;
quando , existe uma única raiz real (ou uma raiz dupla); e quando 
(negativo), não existem raízes reais para a função.
Agora, vamos examinar a forma de cada função quadrática já apresentada e os
tipos de raízes em cada caso: 
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Além da relação entre as raízes e o discriminante de uma função quadrática,
existem outros resultados importantes que associam seus coeficientes e suas
raízes. Acompanhe a seguir.
Podemos afirmar que uma função quadrática incompleta do tipo 
sempre terá uma raiz dupla igual a zero. Isto porque, 
. 
 Tabela 2 -
Raízes das funções quadráticas. Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
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A função quadrática da forma   sempre terá duas raízes reais
distintas. Observe que, para calcular sua raiz, podemos usar a forma
fatorada e teremos: . Portanto, um dos termos da multiplicação 
 é zero, isto é,  ou . As duas soluções possíveis serão: 
 e .
Por fim, uma função quadrática incompleta do tipo  ou não tem
raiz real ou tem duas raízes distintas. Isto porque, 
. Então, se , o radicando será negativo e a
função não terá raiz real. Se , tem-se que .  
Perceba que a compreensão da equação do segundo grau não está simplesmente
na aplicação da fórmula de resolução. O processo de resolução é apenas uma
consequência do princípio da igualdade. Na sequência, vamos relacionar os
elementos algébricos estudados até aqui com a representação gráfica da função
polinomial do 2º grau.
2.3.2 O gráfico de uma função quadrática 
Vamos utilizar o GeoGebra® como ferramenta para a construção do gráfico de três
funções polinomiais do 2º grau definidas no conjunto dos reais e já analisadas
anteriormente.
Figura 9 - Gráficos de funções polinomiais do 2º grau. Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
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Observe que os gráficos das três funções são similares quanto ao formato das
curvas. Isto porque, o gráfico de toda função quadrática é uma parábola com
concavidade para cima ou para baixo (MORETTIN; HAZZAN; BUSSAB, 2012). 
VOCÊ SABIA?
Define-se uma parábola como “o conjunto de pontos em um plano cujas distâncias a um ponto
fixo F (denominado foco) e a uma reta fixa (chamada diretriz) são iguais”. O vértice é o ponto na
metade do caminho entre o foco e a diretriz está na parábola. O eixo da parábola é a reta que
passa pelo foco e é perpendicular à diretriz. Foi Galileu quem mostrou, no século XVI, que a
trajetória deum projétil atirado no ar com um certo ângulo, em relação ao solo, é uma parábola.
Desde então, os formatos parabólicos têm sido usados para desenhar faróis de carro, telescópios e
pontes suspensas (STEWART, 2013, p. 606).
Podemos perceber que existem diferenças entra as parábolas apresentadas: uma é
mais “fechada” ou “aberta” do que a outra; duas apresentam a concavidade
voltada para cima e a outra tem a concavidade para baixo; uma está deslocada
mais para a esquerda do eixo das ordenadas, enquanto as outras duas estão
centralizadas.
Vamos estudar, detalhadamente, como os coeficientes das funções quadráticas
estão relacionados a tais características das parábolas.
Primeiro, vamos tratar do ponto da parábola que intercepta o eixo das ordenadas,
ou seja, do par ordenado ,  cujo valor  é zero. Note que, para , os dois
primeiros termos da função quadrática  se anulam. Portanto, o
gráfico de uma função quadrática corta o eixo das ordenadas no ponto .  
Retomando as funções quadráticas apresentadas na figura anterior, temos que: 
 corta o eixo das ordenadas no ponto ;  
 cruza o eixo das ordenadas no ponto ; e
 intercepta o eixo das ordenadas na origem do plano cartesiano,
ou seja, em ; 
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Agora, vamos analisar o coeficiente da função quadrática. O sinal de determina
a concavidade do gráfico da função. É possível afirmar que: quando , a
parábola tem concavidade voltada para cima e o gráfico da função quadrática terá
um ponto de mínimo, que chamaremos de . Quando , a parábola tem
concavidade voltada para baixo e, consequentemente, terá um ponto de máximo 
 (MORETTIN; HAZZAN; BUSSAB, 2012).
Observe nos gráficos anteriores que os pontos de máximo ou de mínimo das
funções ocorrem quando o correspondente valor de , que denotaremos de , se
encontra no ponto médio de suas raízes . Isto significa que: . 
Pela fórmula de resolução da equação do segundo grau, temos ainda que 
. Substituindo estes valores na igualdade
anterior, obtém-se: . Assim, é possível determinar o valor    utilizando os
coeficientes da função quadrática.
Lembre-se que a ordenada do vértice é imagem da abscissa do vértice, ou seja, 
. Realizando os cálculos e considerando que , obtemos a igualdade:
. Sendo assim, o ponto de máximo ou mínimo da função quadrática é
dado pelo par ordenado , e é chamado de vértice da parábola.
Veja os vértices de cada função quadrática indicadas na figura anterior e confira os
pontos nos respectivos gráficos:
Podemos sistematizar as informações obtidas com a análise do discriminante e
dos coeficientes na tabela:
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Para facilitar a construção gráfica de uma função quadrática, sugerimos os quatro
passos a seguir:
observar o sinal do coeficiente , uma vez que ele define a concavidade da
parábola. Se , a concavidade da parábola é voltada para cima. Se ,
a concavidade da parábola é voltada para baixo;
encontrar as raízes da função quadrática. Se  são suas raízes, os pontos
de intersecção da parábola com o eixo das abscissas serão ;
o par ordenado  representa o ponto em que a parábola corta o eixo das
ordenadas; 
Tabela 3 - Análise dos sinais da função quadrática. Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
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determinar o vértice da parábola  que indica qual será o ponto
de mínimo (se ) ou de máximo (se ) da curva.  
Acabamos de aprender que o gráfico de uma função polinomial do 2º grau é representado por uma
parábola, cujo eixo de simetria é paralelo ao eixo das ordenas. Contudo, existem parábolas que não
expressam uma função. Você pode entender melhor este assunto e saber mais sobre as aplicações das
parábolas em situações da vida real, lendo o artigo de Eduardo Wagner (2004), que é intitulado: “Por
que as antenas são parabólicas?”, disponível em:<http://www.ime.unicamp.br/~apmat/parabola-e-
paraboloide-nas-
antenas/#:~:text=O%20formato%20das%20antenas%20que,em%20torno%20de%20seu%20eixo.
(http://www.ime.unicamp.br/~apmat/parabola-e-paraboloide-nas-
antenas/#:~:text=O%20formato%20das%20antenas%20que,em%20torno%20de%20seu%20eixo.)>. 
Estudamos de forma detalhada as características de uma função quadrática, seus
coeficientes e como identificar alguns pontos notáveis no seu gráfico. Agora, você
está munido dos conhecimentos necessários para resolver problemas mais
elaborados que envolvem o conceito de função quadrática e sua interpretação
gráfica.
2.3.3 Problemas e aplicações
Existem diversos problemas que podem ser formulados em termos de funções
quadráticas. Por exemplo, podemos usá-las em estudos de alguns movimentos na
Física, na análise de situações econômicas e mesmo em problemas de geometria.
Vamos estudar, detalhadamente, duas aplicações da função quadrática por meio
de problemas resolvidos. Assim, você terá a oportunidade de verificar como os
conceitos estudados até aqui podem ser utilizados na resolução de problemas
práticos. Serão ressaltados os exemplos que exigem a aplicação do conhecimento
de raízes da função quadrática e aqueles que utilizam a ideia de maximização e de
minimização da função.
VOCÊ QUER LER?
http://www.ime.unicamp.br/~apmat/parabola-e-paraboloide-nas-antenas/#:~:text=O%20formato%20das%20antenas%20que,em%20torno%20de%20seu%20eixo.
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Um problema da Física que pode ser descrito utilizando o conceito de função
quadrática é um lançamento vertical. Sabe-se que a altura , acima do solo, de um
objeto lançado verticalmente é dada pela expressão , em que  é
a altura inicial em metros,  é a velocidade inicial em metros por segundo e  é a
aceleração gravitacional, que vale aproximadamente 9,8 m/s² (BAUER; WESTFALL;
DIAS, 2012).
Imagine que uma bola é lançada verticalmente para cima, partindo do solo, com
uma velocidade de 39,2 m/s². Pense nas questões: como podemos expressar a
altura  , em metros, em função do tempo , em segundos, decorrido após o
lançamento do objeto? A função terá raízes reais? O que elas representam no
contexto do problema? Qual é a altura máxima atingida pela bola?
Vamos iniciar a análise do problema, considerando as informações fornecidas no
enunciado. A primeira informação dada é que a bola é lançada do chão, o que
significa que sua altura inicial é zero e, em termos matemáticos: . Além disso,
sabemos que a velocidade inicial será de 39,2 m/s², ou seja, . 
Agora, podemos substituir estes valores na expressão , e obtemos
a função adequada ao problema: .
Note que a altura está variando de acordo com o tempo. Como não faz sentido
considerarmos tempo com valores negativos, o domínio da função  , será o
conjunto dos números reais positivos, ou seja, .
Para determinarmos as raízes de  , precisamos resolver a equação do 2º grau: 
  Repare que esta função é da forma  , assim podemos
calcular sua raiz usando sua forma fatorada . Desse modo, 
. As duas soluções possíveis serão:  e .
Isso significa que a bola atingirá novamente o chão (altura zero) após 8 segundos
do momento em que foi lançada.  
Como , o gráfico da função    tem a concavidade voltada para baixo, e,
portanto, existe uma altura máxima que a bola poderá alcançar. Para determiná-
la, precisamos encontrar os valores do vértice da função  .
Substituindo os valores dos coeficientes, obtemos que . Isto é, a bola
atingirá o ponto mais alto de 78,4 metros após quatro segundos decorridos do seu
lançamento. 
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Vejamos o gráfico da trajetória realizada pela bola:
Este exemplo da área da Física nos permite perceber que, em situações reais, o
domínio da função precisa ser adequado às condições da natureza da variável em
questão. Além disso, a ideia de máximo de uma função quadrática foi essencial
para a análise da situação. Agora, vamos examinar um problema de maximização
aplicado para uma situação econômica.
O artigo de Geraldo Ávila (2004), intitulado “Funções e gráficos num problema de freagem”, apresenta
um exemplo concreto de aplicação da função quadrática. O autor desenvolve os conceitos de variável e
de função quadrática como variabilidade das grandezas envolvidas. As conclusões do artigo são
Figura 10 - Representação gráfico da função h(t) = 39,2t – 4,9t2. Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
VOCÊ QUER LER?
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interessantes para complementar nossos estudos. O texto está disponível em:
<http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/21325/pdf/funcoes_graficos.pdf
(http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/21325/pdf/funcoes_graficos.pdf)>.
O problema que discutiremos, a seguir, apresenta uma situação econômica para
ser resolvida. Estudamos anteriormente, neste capítulo, que, quando o preço de
um produto é constante, a função receita é dada por uma função polinomial do 1º
grau. Porém, é possível obter a função receita na forma de uma função polinomial
do 2º grau nos casos em que o preço do produto pode ser modificado.
Segundo Tan (2014, p. 82), “em uma economia de livre mercado, a demanda de
consumo por determinado bem depende do preço unitário”. Dessa forma, uma
função de- manda pode ser definida por , sendo    mede o preço por
unidade e  o número de unidades demandadas do bem em questão. Esse valor é
muito importante, pois a receita total  de uma empresa é calculada de acordo
com a quantia recebida pela venda da quantidade total   do produto. 
Considerando esses conceitos, suponha que uma empresa produz e vende uma
quantidade    de um produto e que sua função demanda seja .
Qual é a quantidade do produto que proporciona a máxima receita e o valor dessa
máxima receita?
Sabemos que a receita total é dada por . Substituindo pelos valores
fornecidos no enunciado, temos que: . 
Observe que a função receita é uma função polinomial do 2º grau, cujo coeficiente
a tem sinal negativo. Logo, o gráfico da função é uma parábola com concavidade
voltada para baixo e existirá um ponto de máximo. Podemos inferir, então, que a
receita máxima obtida pela empresa será o  da função receita. 
Já vimos que o vértice de uma função quadrática é da forma: .
Substituindo os valores dos coeficientes, tem-se que . Sendo assim, a
máxima receita de R$ 4.900,00 será obtida quando a demanda for de 400
unidades do produto.
Note ainda que as raízes da função são os valores para . Ou
seja,  e . Portanto, a função só é definida no intervalo , uma
vez que os valores de  negativos não teriam significado (   é a quantidade
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/21325/pdf/funcoes_graficos.pdf
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produzida) e valores de   maiores do que 700 geram uma receita negativa, e isso
também não tem significado. 
No vídeo Roda de samba (ROMAN, 2012), dois personagens estão preocupados com a quantia
arrecadada em um evento que foi promovido objetivando levantar fundos para uma comunidade. É
verificado, então, que a arrecadação pode ser calculada em função do preço do convite e modelada
como uma função quadrática. No vídeo, discute-se como obter as coordenadas do ponto de máximo
dessa função, utilizando as propriedades de simetria do gráfico da função quadrática. Para assisti-lo,
acesse: <https://www. (https://www.youtube.com/watch?v=DXPHL7IU-hk)y
(https://www.youtube.com/watch?v=DXPHL7IU-hk)outube.com/watch?v=DXPHL7IU-hk
(https://www.youtube.com/watch?v=DXPHL7IU-hk)>.
Podemos perceber que as funções polinomiais do 2° grau são empregadas no
estudo de muitas situações e problemas práticos. Por isso, é importante
conhecermos as propriedades algébricas de uma função quadrática e sua relação
com a representação gráfica. Os problemas de otimização, de máximos e mínimos,
destacam-se como aplicações da função quadrática e podem ser usados em
diversas áreas do conhecimento, como na Física e na Economia.
Na sequência, estudaremos outro tipo especial de função e que utiliza os
conhecimentos sobre polinômios e expressões algébricas aprendidos
anteriormente.
VOCÊ QUER VER?
2.4 Funções algébricas e funções
racionais
Outra classe importante de funções são as funções racionais. Uma função racional
é definida como o quociente de dois polinômios. Isto é, uma função da forma 
, onde  e  são polinômios. 
https://www.youtube.com/watch?v=DXPHL7IU-hk
https://www.youtube.com/watch?v=DXPHL7IU-hk
https://www.youtube.com/watch?v=DXPHL7IU-hk
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https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=HXoE9h8YTkZNPQ9oISSNNg%3d%3d&l=fM3Hp14sLcpTmN53Ts7GoA%3d%3d&cd=lYtM… 34/38
Como a divisão por zero não é permitida, o domínio de uma função racional é o
conjunto de todos os números reais, exceto os valores que anulam o polinômio ,
isto é, as raízes da equação .
Veja, a seguir, os exemplos de funções racionais e seus domínios.
A função  tem como domínio , pois  anula ;
A função    tem como domínio , uma vez que os
valores  e  anulam .
Assim como fizemos com as funções polinomiais, podemos determinar os zeros ou
raízes de uma função racional. Note que as raízes de uma função racional  são os
valores  do seu domínio para os quais o numerador se anula, ou seja, .
Por exemplo, a raiz da função  é  . Já a função  tem como suas raízes   e 
, pois  ou . Daí, resolvendo
as equações, temos as duas raízes.
A análise das propriedades das funções racionais é facilitada pelo uso das
ferramentas de cálculo mais avançadas que ainda não serão estudadas aqui. No
entanto, o conhecimento sobre fatoração e sobre funções polinomiais já
realizados permitem o estudo e o esboço do gráfico de algumas funções racionais
específicas.
Observe os gráficos das funções racionais  abaixo: 
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Os gráficos foram obtidos após a simplificação das funções racionais, utilizando as
técnicas de fatoração já estudadas. Veja:
.
.
.
Note que  não pertence ao domínio da função , por isso  não pertence ao
gráfico da função. Nesse caso, indicamos a inexistência da imagem utilizando uma
“bola aberta” no ponto . O mesmo acontece com as funções  e  que não
apresentam imagem para  e , respectivamente.
É importante que você compreenda o conceito de funções racionais, como
determinar seu domínio e suas raízes. Contudo, não aprofundaremos sua análise
gráfica, pois ainda não desenvolvemos as ferramentas necessárias para isso. De
qualquer forma, aconselhamos a utilização de so�wares computacionais para
investigar o comportamento das funções racionais. Indique funções racionais
arbitrárias e observe o que acontece com os valores da função à medida que
deslocamos os valores do domínio para a esquerda ou para a direita. 
Figura 11 - Gráficos de funções racionais cujas leis de formação podem ser simplificadas. Fonte:
Elaborado pela autora, 2018.
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Você perceberá que não é possível fazer generalizações sobre o gráfico das funções
racionais, mas poderá verificar algumas regularidades.
As funções elementares apresentadas no capítulo são fundamentais para seus
estudos futuros. São inúmerasas aplicações das funções polinomiais e das
funções racionais nas mais diversas áreas do conhecimento. Por isso, é importante
que você consiga transitar entre as representações algébricas e geométricas das
funções. 
Síntese
Neste segundo capítulo, você teve a oportunidade de estudar o conceito de função
polinomial do 1º, de função polinomial do 2° grau e de funções racionais, bem
como analisar suas propriedades de forma detalhada. Você pode observar ainda
que essas funções auxiliam na resolução de diversos problemas práticos e que
seus gráficos podem auxiliar na visualização de características importantes desses
problemas. 
Neste capítulo, você teve a oportunidade de:
identificar e estudar as principais características da função polinomial do 1º
grau;
construir e analisar o gráfico da função polinomial do 1º grau;
aplicar os conhecimentos de função polinomial do 1º grau em situações
reais;
reconhecer a lei de formação de uma função polinomial do 2° grau;
resolver equações do 2° grau utilizando diferentes métodos;
construir e analisar os gráficos de funções polinomiais do 2° grau; 
resolver problemas práticos envolvendo a função polinomial do 2° grau; 
identificar e estudar as principais características da função racional.
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Bibliografia
ÁVILA, G. Funções e gráficos num problema de freagem. In: Explorando o ensino
da Matemática. Brasília: MEC, 2004. Disponível em:
<http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/funcoes_modelagem/modulo_IV/pdf/fu
ncoes_graficos.pdf
(http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/funcoes_modelagem/modulo_IV/pdf/fun
coes_graficos.pdf)>. Acesso em: 26/06/2018
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31/03/2022 16:22 Matemática
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