Resolução Maquinas Eletricas Fitzgerald edição 7 capitulo 8

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SOLUCIONARIO DE MAQUINAS ELETRICAS FITZGERALD EDIÇÃO 7 
CAP 8
PROBLEMA 8.1
Exercício
Repita o Exemplo 8.1 para urna máquina idêntica à analisada naquclc excmplo, exceto 
que o ângulo das faces dos polos do estator é β = 50° e o complimento de entreferro é 2
× 10−2 cm.
Exemplo 8.1
(1.30)
Figura 8.2 Gráficos de indutância versus θm para (a) a MRV saliente da Figura 8.1a e
(b) a MRV duplamente saliente da Figura 8.1b.
Figura 8.1 Máquinas de relutância variável bifásicas básicas: (a) saliente e (b) 
duplamente saliente.
(8.7)
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down 
Parte (a):
Desprezando a corrente de fuga e de fluxos de dispersão, traçar a fase de uma indutância 
L (0m) como uma função de 0:
Primeiramente, consideramos:
Observando o grafico abaixo, observamos que há 
indutância constante com:
na região de sobreposição de
Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down 
Letra (b)
Plote o torque, assumindo:
(i) e
(ii)
que o rotor gira através doAs alterações de indutância medida de 0 a 
ângulo será, portanto:
Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down 
Letra (c):
Calcule o torque líquido (em N. m) que atua no rotor quando ambos os enrolamentos 
são excitados de modo a que:
e os angulos:
Sabendo que a corrente , então:
(i)
(ii)
(iii)
PROBLEMA 8.2
Exercício
No parágrafo que antecede a Eq., o texto afirma que “supondo que a relutância do ferro 
seja desprezível, as indutâncias mútuas entre as fases da MRV duplamente saliente da 
Figura 8.1b scrão zero, com exceçao de urna pequena componente, essencialmente 
constante, associada ao fluxo de dispersão.” Desprezando qualquer efeito devido ao 
fluxo de dispersão, use tècnicas de circuitos magnéticos para mostrar que essa 
afirmação é verdadeira.
(8.1)
Figura 8.1 Máquinas de relutância variável bifásicas básicas: (a) saliente e (b) 
duplamente saliente.
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down
Quando uma única fase é ativada a desenhar um contorno fechado através do estator de 
volta, os pólos dessa fase, através das duas aberturas de ar e através do rotor.
Aplicando a lei de Faraday, vemos a ½ da parte do MMF, isso é, o MMF de uma bobina 
de fase, ocorre através de cada um dos dois “gaps”, intervalos.
Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down
Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down
Se alguém, desenha um contorno semelhante através de um pólo da fase animado e um 
pólo da fase não-animado, vê-se que não há nenhuma FMM adicional disponível para 
conduzir fluxo através da segunda fase.
PROBLEMA 8.3
Exercício
Use técnicas de circuito magnètico para mostrar que a indutância mútua entre fases na 
MRV 6/4 da Figura 8.5 é zero, supondo urna permeabilidade infinita para o ferro do 
estator e do rotor. Despreze qualquer contribuição referente ao fluxo de dispersão.
Figura 8.5
Vista em seção reta de uma MRV 6/4 trifásica
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 2 keyboard_arrow_down
Quando uma única fase é ativada, desenhar um contorno fechado através do estator de 
volta, os pólos de essa fase, através das duas aberturas de ar e através do rotor.
Aplicando a lei de Faraday, vemos que ½ da parte do MMF, isso é, o MMF de uma 
bobina de fase, ocorre através de cada um dos dois airgaps.
Passo 2 de 2 keyboard_arrow_down
Se alguém, desenha um contorno semelhante através de um pólo da fase animado e um 
pólo da fase não-animado, vê-se que não há nenhuma FMM adicional disponível para 
conduzir fluxo através da segunda fase.
PROBLEMA 8.4
Exercício
Use técnicas de circuito magnètico para mostrar que a indutância mútua entre fases na 
MRV 6/4 da Figura 8.5 é zero, supondo urna permeabilidade infinita para o ferro do 
estator e do rotor. Despreze qualquer contribuição referente ao fluxo de dispersão.
Figura 8.5
Vista em seção reta de uma MRV 6/4 trifásica
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 5 keyboard_arrow_down
Considerando que a letras a e b pedem a representação gráfica das fases 1, 2 e 3, sendo 
que o valor de pico será o valor de ,podemos representa-las da seguinte forma:
Letra (a) e (b):
Passo 2 de 5 keyboard_arrow_down 
Letra (c):
Para encontramos da fase 1, consideramos a seguinte equação abaixo:
Passo 3 de 5 keyboard_arrow_down 
Letra (d):
A plotagem do conjugado em função da posição do motor é calculada através da 
equação abaixo, sabendo que o valor de .
Passo 4 de 5 keyboard_arrow_down 
Letra (e):
Para encontrarmos a velocidade angular do rotor e seu sentido de rotação nas 3 fases, 
temos:
9
Fase 1 ON:
Fase 2 ON:
Fase 3 ON:
Passo 5 de 5 keyboard_arrow_down 
Letra (f):
Para encontramos a velocidade angular do rotor e seu sentido de rotação, consideramos 
que o rotor gira em 45 msec.
O rotor irá girar no sentido dos ponteiros do relógio, se a sequência de fase é de 1 - 2 -3-
1 ....
PROBLEMA 8.5
Exercício
Repita o Problema 8.4 para uma MRV 6/4 com ângulos polares de rotor e estator de 
35°. Use as mesmas suposições do Problema 8.4.
Problema 8.4
Uma MRV 6/4 da forma mostrada na Figura 8.5 tem as seguintes propriedades: 
Ângulo dos polos do estator β = 30°
Ângulo dos polos do rotor α = 30°
Comprimento do entreferro g = 0,45 mm 
Raio externo do rotor R = 6,3 cm 
Comprimento ativo D = 8 cm
Essa máquina é ligada como um motor trifásico com polos opostos conectados em série 
para formar cada um dos enrolamentos de fase. Há 45 espiras por polo (90 espiras por
fase). O ferro do rotor e do estator pode ser considerado de permeabilidade infinita e,
portanto, os efeitos de indutância mútua poderão ser desprezados.
a.Definindo o zero do ângulo do rotor θm como a posição em que a indutância da fase
1 é máxima, plote a indutância da fase 1 em função do ângulo do rotor. Inclua também
legendas no gráfico.
b. Sobre o gráfico da parte (a), plote as indutâncias das fases 2 e 3.
c.Encontre a corrente I0da fase 1 da qual resulta uma densidade de fluxo magnético sob 
a face polar da fase 1 de 1,1 T no entreferro quando o rotor está em uma posição de 
indutância máxima para a fase 1.
d.Assumindo que a corrente da fase 1 é mantida constante com o valor encontrado na 
parte (c) e que não há correntes nas fases 2 e 3, plote o conjugado em função da posição 
do rotor.
O motor deve ser acionado por um inversor trifásico com uma fonte de corrente que 
pode ser desligada ou ligada para fornecer corrente zero ou corrente
constante de intensidade I0para qualquer uma das três fases.
e.Com a suposição ideal de que as correntes possam ser ligadas instantaneamente, 
determine a sequencia de correntes de fase (em função da posição do rotor) da qual 
resultará um conjugado do tipo motor positivo constante, independentemente da posição 
do rotor.
f.Se a frequência de excitação do estator for tal que será necessário um tempo T0 = 40
ms para percorrer a scquência de todas as três fases nas condições de excitação da parte
(e), encontre a velocidade angular do rotore seu sentido de rotação.&
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 5 keyboard_arrow_down
Considerando que a letras a e b pedem a representação gráfica das fases 1, 2 e 3,
podemos representa-las da seguinte forma, através do gráfico abaixo, calculando o valor 
da indutância máxima :
Letra (a) e (b):
Passo 2 de 5 keyboard_arrow_down 
Letra (c):
Para encontramos a corrente da fase 1, consideramos a seguinte equação abaixo:
Passo 3 de 5 keyboard_arrow_down 
Letra (d):
A plotagem do conjugado em função da posição do motor é calculada através da 
equação abaixo:
Passo 4 de 5 keyboard_arrow_down 
Letra (e):
Para encontrarmos a velocidade angular do rotor e seu sentido de rotação nas 3 fases, 
temos:
Fase 1 ON:
Fase 2 ON:
Fase 3 ON:
Passo 5 de 5 keyboard_arrow_down 
Letra (f):
Para encontramos a velocidade angular do rotor e seu sentido de rotação, vamos 
considerar que o rotor gira em 45 msec, então:
O rotor irá girar no sentido dos ponteiros do relógio, se a sequência de fase é de 1 - 2 -3-
1 ....
PROBLEMA 8.6
Exercício
NaScçâo 8.2, quando se discute a Figura 8.5, o texto afirma: “Em uma MRV 6/4, além 
do fato de que não há posições de alinhamento simultâneo, pode-se ver também que não 
há posição do rotor na qual seja possível produzir conjugado somente de um mesmo 
sinal (positivo ou negativo).” Mostre que essa afirmação é verdadeira.
Figura 8.5
Vista em seção reta de uma MRV 6/4 trifásica
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down
Um gráfico típico do torque vesus posição, inclui o torque produzido por todas as três 
fases, tais como o grafico apresentada abaixo:
Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down
Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down
Pelo gráfico, verificamos que não há nenhuma posição do rotor em que é possível obter 
torque unidireccional.
PROBLEMA 8.7
Exercício
Considere uma MRV 6/8 trifásica. As fases do estator são excitadas sequencialmente
exigindo um tempo total de 10 ms. Encontre a velocidade angular do rotor em rpm. 
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 2 keyboard_arrow_down
Inicialmente, precisamos considerar que o rotor gira e em cada fase consecutiva ele 
está ativado.
Assim, o rotor irá girar uma revolução em 24 sequências de excitação fase ou 8 
conjuntos completos de excitação de fase.
Passo 2 de 2 keyboard_arrow_down
O rotor vai rodar uma revolução nas 8x10=80! msec. 
Assim, ele vai girar em:
PROBLEMA 8.8
Exercício
Os enrolamentos de fase da máquina com estrutura em castelo da Figura 8.8 devem ser 
excitados ligando e desligando individualmente as fases (isto é, apenas uma fase de cada 
vez pode estar excitada em um instante dado qualquer).
a.Descreva a sequência das excitações de fase necessária para mover o rotor para 
adireita (sentido horário) percorrendo um ângulo de aproximadamente 21,4°.
b.As fases do estator devem ser excitadas com uma sequência regular de pulsos. 
Calcule a ordem das fases e o tempo entre os pulsos, necessários para produzir uma 
velocidade de rotação do rotor em regime permanente de 95 rpm no sentido anti-
horário.
Figura 8.8
Vista esquemática de uma MRV trifásica em castelo com seis polos no estator, com 
quatro dentes por polo, e 28 poles no rotor.
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 2 keyboard_arrow_down 
Letra (a):
Se a fase 1 é desligada e fase 2 é ligado, o rotor irá se mover para a esquerda por
:
Do mesmo modo, desligar a fase 2 e rodando sobre a fase 3 vai fazer com que o rotor se 
mova ainda outra .
Assim, começando com a fase 1 na, para mover exigirá , a 
seqüência será:
1 ON
1 OFF & 2 ON
2 OFF & 3 ON
3 OFF & 1 ON
1 OFF & 2 ON
2 OFF & 3 ON
Passo 2 de 2 keyboard_arrow_down 
Letra (b):
No sentido horário é equivalente a rotação do rotor para a direita. A sequência de fase 
necessária será ... 1-3 - 2 - 1 - 3 - 2 .... O rotor irá girar
e, consequentemente, a velocidade do rotor será:
Assim, o tempo de passo é necessário:
PROBLEMA 8.9
Exercício
Substitua o rotor de 28 dentes do Problema 8.8 por um rotor com 26 dentes.
a.A fase 1 é excitada e permite-se que o rotor entre em repouso. Se a excitação da fase 
1 for removida e uma excitação for aplicada à fase 2, calcule o sentido e o valor (em
graus) resultantes da rotação do rotor.
b.As fases do estator devem ser excitadas com uma sequência regular de pulsos. 
Calcule a ordem das fases e o tempo entre os pulsos, necessários para produzir uma 
velocidade de rotação do rotor em regime permanente de 50 rpm no sentido anti-
horário.
Problema 8.8
Os enrolamentos de fase da máquina com estrutura em castelo da Figura 8.8 devem ser 
excitados ligando e desligando individualmente as fases (isto é, apenas uma fase de cada 
vez pode estar excitada em um instante dado qualquer).
a.Descreva a sequência das excitações de fase necessária para mover o rotor para 
adireita (sentido horário) percorrendo um ângulo de aproximadamente 21,4°.
b.As fases do estator devem ser excitadas com uma sequência regular de pulsos. 
Calcule a ordem das fases e o tempo entre os pulsos, necessários para produzir uma 
velocidade de rotação do rotor em regime permanente de 95 rpm no sentido anti-
horário.
Figura 8.8
Vista esquemática de uma MRV trifásica em castelo com seis polos no estator, com 
quatro dentes por polo, e 28 poles no rotor.
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 2 keyboard_arrow_down 
Letra (a):
Quando a fase 1 é energizada, o rotor vai ser alinhado conforme apresentamos na 
imagem abaixo:
A partir da figura, vemos que, se a fase 1 é desligada e fase 2 é energizado, o eixo irá 
girar graus para a direita (no sentido horário) para se alinhar com o pólo de fase 
2.
Da mesma forma, se a fase 3 está animado após a fase 1 é desligada, o rotor irá 
girar graus para a esquerda( anti-horário).
Passo 2 de 2 keyboard_arrow_down 
Letra (b):
Para calcularmos a ordem das fases e o tempo entre os pulsos, consideramos a equação 
apresentada abaixo:
A sequência de fase exigido será, assim, ... 1 - 3 - 2 - 1 - 3 - 2 - 1 ....
PROBLEMA 8.10
Exercício
Repita o Problema 8.8 para uma MRV com estrutura em castelo, como se mostra na 
Figura 8.8, tendo 5 dentes por polo de estator, 40 polos de rotor e β = 4,5°.
Problema 8.8
Os enrolamentos de fase da máquina com estrutura em castelo da Figura 8.8 devem ser
excitados ligando e desligando individualmente as fases (isto é, apenas uma fase de cada 
vez pode estar excitada em um instante dado qualquer).
a.Descreva a sequência das excitações de fase necessária para mover o rotor para 
adireita (sentido horário) percorrendo um ângulo de aproximadamente 21,4°.
b.As fases do estator devem ser excitadas com uma sequência regular de pulsos. 
Calcule a ordem das fases e o tempo entre os pulsos, necessários para produzir uma 
velocidade de rotação do rotor em regime permanente de 95 rpm no sentido anti-
horário.
Figura 8.8
Vista esquemática de uma MRV trifásica em castelo com seis polos no estator, com 
quatro dentes por polo, e 28 poles no rotor.
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 2 keyboard_arrow_down 
Letra (a):
Como pode ser visso a partir do padrão de pólo, se uma fase está desligada e a fase 2 é 
ligada, o rotor vai mover-se para a esquerda por .
Do mesmo modo, desligando a fase 2 e rodando sobre a fase 3 vai fazer com que o rotor 
se mova ainda mais 3º.Assim, começando com a fase 1, para
mover exigirá , a seqüência será:
1 ON
1 OFF & 2 ON
2 OFF & 3 ON
3 OFF & 1 ON
1 OFF & 2 ON
2 OFF & 3 ON
Passo 2 de 2 keyboard_arrow_down 
Letra (b):
O sentido horário é equivalente a rotação do rotor para a direita. 
A sequência de fases necessária será ... 1 - 3 - 2 - 1 - 3 -? 2 ....
O rotor gira / passo e, consequentemente, a velocidade do rotor será:
Assim, o tempo de passo é necessário:
PROBLEMA 8.11
Exercício
Repita o Problema 8.8 para uma MRV com estrutura em castelo, como se mostra na 
Figura 8.8, tendo 5 dentes por polo de estator, 40 polos de rotor e β = 4,5°.
Problema 8.8
Os enrolamentos de fase da máquina com estrutura em castelo da Figura 8.8 devem ser 
excitados ligando e desligando individualmente as fases (isto é, apenas uma fase de cada 
vez pode estar excitada em um instante dado qualquer).
a.Descreva a sequência das excitações de fase necessária para mover o rotor para 
adireita (sentido horário) percorrendo um ângulo de aproximadamente 21,4°.
b.As fases do estator devem ser excitadas com uma sequência regular de pulsos. 
Calcule a ordem das fases e o tempo entre os pulsos, necessários para produzir uma 
velocidade de rotação do rotor em regime permanente de 95 rpm no sentido anti-
horário.
Figura 8.8
Vista esquemática de uma MRV trifásica em castelo com seis polos no estator, com 
quatro dentes por polo, e 28 poles no rotor.
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 5 keyboard_arrow_down 
Letra(a)
Da equação 8.15, a equação diferencial que rege a atual acumulação na fase 1 é dada 
por:
E, em 380 r/min
Da figura 8.4 (para )
Assim,
E
Passo 2 de 5 keyboard_arrow_down
Portanto, é muito maior do quea resistência .
Isso nos permitirá obter uma solução aproximada para a corrente por negligenciar o 
termo na equação 8.13.
Devemos, então, resolver:
Para os quais a solução está:
Onde . Substituindo:
para a expressão de dada:
Então,
Que é válido até em em que ponto
Passo 3 de 5 keyboard_arrow_down 
Letra (b):
Durante o período de decaimento de corrente, a solução prossegue como na parte (a).
A partir da Fig. 8,4, para , e novamente o
termo pode ser ignorado na Eq. 8.15.
Como resultado disso, durante este período, a corrente de fase-1 pode voltar a ser 
resolvida pela integração, atraves da equação:
Onde e
A partir desta equação, vemos que os atuais chegar a zero em:
Passo 4 de 5 keyboard_arrow_down 
Letra (c):
O torque pode ser encontrado a partir da Eq. 8,9 definindo . Assim
Usando MATLAB e os resultados das partes (A) e (B), a forma de onda de corrente e o 
binário são representados abaixo.
Conforme observamos no gráfico, a integral sob a parte positiva da curva de torque 
é enquanto que sob a parte negativa da curva de torque
é
Assim, vemos que o torque negativo produz uma redução de 16,2% em torque médio da 
que de outra forma seria disponível se a corrente pode ser reduzida a zero 
instantaneamente.
Passo 5 de 5 keyboard_arrow_down
A corrente e o torque são representados abaixo:
PROBLEMA 8.12
Exercício
Repita o Problema 8.8 para uma MRV com estrutura em castelo, como se mostra na 
Figura 8.8, tendo 5 dentes por polo de estator, 40 polos de rotor e β = 4,5°.
Problema 8.8
Os enrolamentos de fase da máquina com estrutura em castelo da Figura 8.8 devem ser 
excitados ligando e desligando individualmente as fases (isto é, apenas uma fase de cada 
vez pode estar excitada em um instante dado qualquer).
a.Descreva a sequência das excitações de fase necessária para mover o rotor para 
adireita (sentido horário) percorrendo um ângulo de aproximadamente 21,4°.
b.As fases do estator devem ser excitadas com uma sequência regular de pulsos. 
Calcule a ordem das fases e o tempo entre os pulsos, necessários para produzir uma 
velocidade de rotação do rotor em regime permanente de 95 rpm no sentido anti-
horário.
Figura 8.8
Vista esquemática de uma MRV trifásica em castelo com seis polos no estator, com 
quatro dentes por polo, e 28 poles no rotor.
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 4 keyboard_arrow_down 
Letra (a):
Da equação 8.15, a equação diferencial que rege acumulação atual na fase 1 é dada por:
E, em 450 r/min,
Da figura 8.4 (para )
Assim,
E
Passo 2 de 4 keyboard_arrow_down
, nos permitirá obter 
do termo na Eq. 8.13.
Portanto, que é muito maior do que a resistência 
uma solução aproximada para a corrente por negligenciar o
Devemos, então, resolver:
Para os quais a solução está:
Onde . Substituindo:
X
Para a expressão de é dada:
E assim:
Que é válido até em , em que ponto
Passo 3 de 4 keyboard_arrow_down 
Letra (b):
Durante o período de decaimento de corrente, a solução prossegue como na parte (a).
Da figura 8.4 para , e novamente de novo o
termo pode ser ignorada na Eq. 8.15.
Como um resultado disso, durante este período, a corrente de fase-1 pode voltar a ser 
resolvida pela integração:
Onde, e
=
A partir desta equação, vemos que os atuais chegar a zero em
Passo 4 de 4 keyboard_arrow_down 
Letra (c):
O torque pode ser encontrado a partir da Eq. 8,9 definindo . Assim:
Usando o MATLAB e os resultados das letras (a) e (b), a forma de onda de corrente e o 
torque são representados abaixo.
Conforme observamos no gráfico, a integral sob a parte positiva da curva de torque 
é enquanto que sob a parte negativa da curva de
torque
Assim, vemos que o torque negativo produz uma redução de 13,3 % em torque médio e
outra forma seria disponível se a corrente pode ser reduzida a zero instantaneamente. A
corrente e o torque são representados abaixo:
PROBLEMA 8.13
Exercício
Use MATLAB/Simulink para reproduzir a simulação do Exemplo. Use a sua simulação 
para calcular o conjugado médio quando o ângulo de chaveamento está adiantado de 
2,5° e 7,5°.
Exemplo 8.4
Exemplo 8.3
Exemplo 8.1
(1.30)
Figura 8.2 Gráficos de indutância versus θm para (a) a MRV saliente da Figura 8.1a e
(b) a MRV duplamente saliente da Figura 8.1b.
Figura 8.1 Máquinas de relutância variável bifásicas básicas: (a) saliente e (b) 
duplamente saliente
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 1 keyboard_arrow_down
Com o software Matlab, encontramos os seguintes resultados:
Com isso, obtemos o coeficiente:
E o número de Mech é igual a:
PROBLEMA 8.14
Exercício
Use MATLAB/Simulink para reproduzir a simulação do Exemplo. Use a sua simulação 
para calcular o conjugado médio quando o ângulo de chaveamento está adiantado de 
2,5° e 7,5°.
Exemplo 8.4
Exemplo 8.3
Exemplo 8.1
(1.30)
Figura 8.2 Gráficos de indutância versus θm para (a) a MRV saliente da Figura 8.1a e
(b) a MRV duplamente saliente da Figura 8.1b.
Figura 8.1 Máquinas de relutância variável bifásicas básicas: (a) saliente e (b) 
duplamente saliente
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 6 keyboard_arrow_down 
(a)
Para resolvermos este item, devemos plotar a indutância da fase 1 em função do ângulo
de rotor. A indutância de fase parece enredo problema 8.4, com a adição do vazamento
igual à 4,5 mH indutância de dispersão. Com isso, obtemos:
Lmax = 21,5 + 4,5 = 26,0 mH.
Passo 2 de 6 keyboard_arrow_down 
(b)
Neste item, precisamos calcular a corrente da fase 1 em função do tempo durante o 
período. Assim, teremos:
Passo 3 de 6 keyboard_arrow_down 
(c)
Vamos calcular o decaimento de corrente durante o tempo em que a corrente diminui 
chegando a zero. Durante este tempo, começando no momento, t = 5.71 msec, v(t) =
−75 V e L(t) = 26.0 × 10−3 − 3.76(t − 5.71 × 10−3). Logo, temos que:
Passo 4 de 6 keyboard_arrow_down
Chega a zero em t = 8,84 ms. O enredo da corrente total de transiente é igual a:
Passo 5 de 6 keyboard_arrow_down 
(d)
Vamos calcular e plotar o conjugado durante os períodos de tempo investigados, nos 
itens (b) e (c):
Passo 6 de 6 keyboard_arrow_down 
Plotando o resultado, obtemos:
PROBLEMA 8.15
Exercício
Suponha que a MRV dos Exemplos 8.1 e 8.3 seja modificada substituindo o seu rotor 
por um rotor em que o ângulo das faces polares seja de 75° como está mostrado na 
Figura 8.12a. Todos os demais parâmetros e dimensões da MRV permanecem os 
mesmos.
Exemplo 8.1
(1.30)
Figura 8.12 Gráficos de indutância versus θm para (a) a MRV saliente da Figura 8.1a e
(b) a MRV duplamente saliente da Figura 8.1b.
Figura 8.1 Máquinas de relutância variável bifásicas básicas: (a) saliente e (b) 
duplamente saliente.
(8.7)
Exemplo 8.3
(8.7)
(8.15)
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 2 keyboard_arrow_down 
(a)
Vamos calcular e plotar o comprimento da máquina. Temos que o segundo rotor girará 
anti-horário, como mostra no diagrama:
Passo 2 de 2 keyboard_arrow_down 
(b)
A excitação fase será semelhante (com T = 41,7 ms), ou seja:
A frequência será de:
PROBLEMA 8.16
Exercício
Repita o Exemplo 8.5 para uma MRV 4/2 bifásica e simétrica, cuja característica λ-
i pode ser representada pela seguinte expressão (para a fase 1) em função de θm dentro 
do intervalo 0 ≤ θm ≤ 90°.
Exemplo 8.5
Figura 8.17 Uma MRV 4/2 com um excesso de 15° no rotor: (a) vista em corte e (b) 
gráficos de L11(θm) e dL11(θm)/dθm versus θm.
(8.17)
(8.19)
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 1 keyboard_arrow_down 
Desta forma, teremos:
PROBLEMA 8.17
Exercício
Repita o Exemplo 8.5 para uma MRV 4/2 bifásica e simétrica, cuja característica λ-
i pode ser representada pela seguinte expressão (para a fase 1) em função de θm dentro 
do intervalo 0 ≤ θm ≤ 90°.
Exemplo 8.5
Figura 8.17 Uma MRV 4/2 com um excesso de 15° no rotor: (a) vista em corte e (b) 
gráficos de L11(θm) e dL11(θm)/dθm versus θm.
(8.17)
(8.19)
Solução passo-a-passoPasso 1 de 3 keyboard_arrow_down 
(a)
Para se obter os ângulos, a seguinte tabela pode ser obtida:
Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down 
(b)
Como temos que a rotação é de 1400 rpm, então
Então, temos que para uma rotação tem-se 8 mudanças, assim, cada mudança terá um 
período de:
Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down
Assim, o tempo entre as mudanças será de 5,357ms.
PROBLEMA 8.18
Exercício
Considere um motor de passo bifásico de ímã permanente com uma relação entre 
conjugado e corrente da forma
como no Exemplo 8.6 com T0 = 3 N·m. O motor é acionado por uma fonte de corrente 
bifásica cujo controle é baseado na posição do rotor de tal forma que
O motor está acionando uma carga cuja potência varia segundo a velocidade elevada ao 
expoente 2,5 e que consome 3,5 kW a uma velocidade de 1400 rpm. A inércia 
combinada do motor e da carga é 0,85 kg·m2.
Supondo que inicialmente o motor está em repouso quando o acionamento é ativado 
com I0 = 8 A, escreva uma simulação MATLAB/Simulink: desse sistema e plote a 
velocidade do motor era função do tempo para γ = 0 e y = π/4.
Exemplo 8.6
Figura 8.21 Diagrama esquemático de um motor de passo bifásico de ímã permanente.
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 1 keyboard_arrow_down
Logo, o resultado obtido graficamente será de:
PROBLEMA 8.19
Exercício
A Figura 8.25 mostra um motor de passo bifásico híbrido com os polos do estator 
apresentando uma estrutura em castelo. O rotor está mostrado na posição que ocupa 
quando a corrente está entrando no terminal positivo da fase 1.
a.Se a fase 1 for desligada e a fase 2 for excitada, com a corrente entrando no seu 
terminal positivo, calcule a respectiva rotação angular do rotor. Esta se dará em sentido 
horário ou anti-horário?
b.Descreva uma sequência de excitação para os enrolamentos de fase que resultará em 
uma rotação uniforme do rotor em sentido horário.
c.Determine a frequência das correntes de fase necessária para obter uma velocidade de 
rotor de 10 rpm.
Figura 8.25
Motor de passo híbrido em castelo para.
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 5 keyboard_arrow_down 
(a)
A rotação será de 2º, pois para que as ranhuras se alinhem com as ranhuras do estator, o 
rotor deverá ter uma rotação equivalente meio passo. Devido a corrente estar entrando 
no terminal positivo da fase 2, o rotor irá girar em sentido horário.
Passo 2 de 5 keyboard_arrow_down 
(b)
A sequência deverá se dar da seguinte forma:
Passo 3 de 5 keyboard_arrow_down 
(c)
Para obter uma rotação de 10 rpm, temos que:
Passo 4 de 5 keyboard_arrow_down
Assim, temos que T = 33,33 ms, então a frequência será:
Passo 5 de 5 keyboard_arrow_down 
Portanto, a frequência será de 7.5Hz.
PROBLEMA 8.20
Exercício
Considere um motor de passo de relutância variável multifásico e de empilhamento 
múltiplo, como o mostrado esquematicamente na Figura 8.20 com 16 polos em cada um 
dos empilhamentos do rotor e do estator. O motor tem (três empilhamentos com um 
enrolamento de fase por empilhamento. O motor é construído de modo que os polos do 
estator de cada empilhamento estejam alinhados.
a. Calcule o afastamento angular entre os empilhamentos do rotor.
b.Determine a frequência das correntes de fase necessária para obter uma velocidade de 
rotor de 750 rpm.
Figura 8.20
Diagrama de um empilhamento e uma fase de um motor de passo de relutância variável 
multifásico, como o da Figura 8.19. Para um motor de nsempilhamentos, o rotor ou o 
estator (mas não ambos) de cada empilhamento está deslocado de 1/ns vezes o passo do 
motor.
Figura 8.19
Vista em corte longitudinal de um motor de passo trifàsico de relutância variável e 
empilhamento triplo. (Foto cortesia da empresa Warner
Electric, urna companhia Altra Industrial Motion.)
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 4 keyboard_arrow_down 
(a)
O afastamento angular será dado por:
Passo 2 de 4 keyboard_arrow_down 
Portanto, o afastamento Af será de 7.5º.
Passo 3 de 4 keyboard_arrow_down 
(b)
A frequência das correntes de fase necessária para obter uma velocidade de 750 rpm, 
pode ser calculada pela seguinte relação:
Passo 4 de 4 keyboard_arrow_down 
Portanto, a frequência será 200Hz.
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