Resolução Maquinas Eletricas Fitzgerald edição 7 capitulo 6

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Resolução Maquinas Eletricas Fitzgerald edição 7 capítulo 6
1-
Exercício
A placa de um motor de indução de quatro polos, 400 V, 35 kW e 50 Hz indica que sua 
velocidade com carga nominal é 1458 rpm. Suponha que o motor esteja operando com a 
carga nominal.
a. Qual é o escorregamento do motor?
b. Qual é a frequência das correntes do rotor em Hz?
c.Qual é a velocidade angular da onda de fluxo produzida pelo estator no entreferro em 
relação ao estator em rad/s? Em relação ao rotor?
d.Qual é a velocidade angular da onda de fluxo produzida pelo rotor no entreferro em 
relação ao estator em rad/s? Era relação ao rotor?
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 6 keyboard_arrow_down 
(a)
Primeiramente, vamos calcular a velocidade síncrona para o motor.
Passo 2 de 6 keyboard_arrow_down 
(b)
A partir da velocidade síncrona podemos determinar, assim, o escorregamento do motor 
de indução.
Passo 3 de 6 keyboard_arrow_down
A frequência do rotor pode ser determinada pela frequência de escorregamento, dada 
por:
Passo 4 de 6 keyboard_arrow_down 
(c)
A velocidade angular da onda produzida pelo estator no entreferro em relação ao estator 
em rad/s é igual à velocidade síncrona ns. Transformando em rad/s, obtemos:
Passo 5 de 6 keyboard_arrow_down
Para obtermos a velocidade angular da onda em relação ao rotor, devemos multiplicar 
ws pelo escorregamento.
(d)
A velocidade angular da onda produzida pelo rotor em relação ao estator é igual a 
velocidade síncrona ns. Transformando em rad/s, obtemos:
Passo 6 de 6 keyboard_arrow_down
Para obtermos a velocidade angular da onda em relação ao rotor, devemos multiplicar 
ws pelo escorregamento:
thumb_up
2-
Exercício
Um motor de indução de enrolamento bobinada, dois polos, 60 Hz e 208 V tem um 
enrolamento de estator trifásico com 42 espiras/fase e ura enrolamento de rotor com 38 
espiras /fase. Quando está operando na tensão de terminal nominal, observa-se que o 
motor está girando na velocidade de 3517 rpm. Cálculos indicam que, nessa condição 
de operação, a onda de fluxo de entreferro induz uma tensão de linha de 193 V no
enrolamento do estator. Calcule a respectiva tensão induzida no enrolamento do rotor. 
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down
Vamos começar determinando a velocidade síncrona e, em seguida, o escorregamento 
do motor dado.
Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down
A relação de espiras entre o enrolamento do estator e o enrolamento do rotor pode ser 
determinada por:
Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down 
Portanto,
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3-
Exercício
Campos de dispersão induzirão tensões com a frequência do rotor em uma bobina de
captação montada no eixo de um motor de indução. A medição da frequência dessas
tensões induzidas pode ser usada para determinar a velocidade do rotor.
a.Qual será a velocidade do rotor em rpm de um motor de indução de seis polos e 50
Hz se a frequência da tensão induzida é 0,73 Hz?
b.Calcule a frequência da tensão induzida produzida por um motor de indução de 
quatro polos e 60 Hz operando na velocidade de 1763 rpm. Qual é o respectivo 
escorregamento?
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 4 keyboard_arrow_down 
(a)
Vamos começar determinando a velocidade síncrona e o escorregamento do motor de 
indução de seis polos.
Passo 2 de 4 keyboard_arrow_down 
Portanto, a velocidade do rotor será:
Passo 3 de 4 keyboard_arrow_down 
(b)
Como a frequência elétrica mudou, devemos calcular novamente a velocidade síncrona.
Passo 4 de 4 keyboard_arrow_down
Assim, podemos determinar a frequência pedida, que é a frequência do rotor.
thumb_up
4-
Exercício
Um motor de indução trifásico funciona na velocidade de 1198 rpm a vazio e 1119 rpm 
a plena carga, quando alimentado por uma fonte trifásica de 60 Hz.
a. Quantos polos este motor deve ter?
b. Qual é o escorregamento em porcentagem a plena carga?
c. Qual é a respectiva frequência das correntes do rotor?
d.Qual é a respectiva velocidade em rpm do campo do rotor em relação ao rotor? Em 
relação ao estator?
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 6 keyboard_arrow_down 
(a)
Para analisarmos quantos polos tem o motor, devemos fazer uma análise da velocidade 
e concluir o número de polos a partir daí.
Passo 2 de 6 keyboard_arrow_down
Sabemos que ns>1198.
Passo 3 de 6 keyboard_arrow_down
Como sabemos que o número de polos é um número inteiro e par, concluímos
Passo 4 de 6 keyboard_arrow_down 
(b)
Obteremos o escorregamento para plena carga, ou seja, n = 1119rpm.
Passo 5 de 6 keyboard_arrow_down 
(c)
Para determinar a frequência das correntes do rotor, basta fazermos:
(d)
A velocidade do campo do rotor em relação ao rotor é s.ns, portanto:
Passo 6 de 6 keyboard_arrow_down
Em relação ao estator, a velocidade do rotor é igual à velocidade síncrona.
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5-
Exercício
Os motores de indução lineares têm sido propostos para diversas aplicações, incluindo 
transporte terrestre a alta velocidade. Um motor linear fundamentado no princípio do 
motor de indução consiste em um carro que se desloca sobre uma base. Essa base
consiste em um enrolamento de gaiola de esquilo em forma plana e ocarro, com 6,7 m 
de comprimento e 1,75 m de largura, apresenta um enrolamento de armadura trifásico 
com 10 pares de polos também em forma plana. A potência a 40 Hz é fornecida ao carro 
por meio de braços que se estendem através de ranhuras até trilhos situados abaixo do 
nível do solo.
a. Qual é a velocidade síncrona em km/h?
b. O carro atingirá essa velocidade? Explique a sua resposta.
c.Qual será o escorregamento se o carro estiver se deslocando a 89 km/h? Nessas 
condições, qual é a frequência das correntes que circulam na base?
d.Sc o sistema de controle determina o valor e a frequência das correntes do carro para 
manter constante o escorregamento, qual é a frequência das correntes do enrolamento de 
armadura quando o carro está se deslocando a 75 km/h? Nessas condições, qual é a 
frequência das correntes que circulam na base?
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 8 keyboard_arrow_down 
(a)
Para determinarmos a velocidade síncrona em Km/h, precisamos obter a distância e o 
tempo. No caso, para um fluxo de onda, devemos calcular o comprimento da onda 
fundamental e o período da excitação aplicada.
Passo 2 de 8 keyboard_arrow_down
O comprimento de onda fundamental do fluxo de onda é igual à distância entre dois 
polos. Como para dez pares de polos o comprimento total é 6,7m, temos que:
Podemos, assim, determinar a velocidade síncrona.
Passo 3 de 8 keyboard_arrow_down 
(b)
Sabemos que um motor de indução sempre apresenta velocidade menor do que a 
velocidade síncrona e possui escorregamento.
Passo 4 de 8 keyboard_arrow_down
Podemos concluir, portanto, que o carro nunca atingirá a velocidade calculada no item 
(a).
Passo 5 de 8 keyboard_arrow_down 
(c)
O escorregamento em um motor de indução é definido como:
Passo 6 de 8 keyboard_arrow_down
Assim, para uma velocidade v=89km/h, temos:
Passo 7 de 8 keyboard_arrow_down
(d)
Nesse caso, o escorregamento deve ser manter constante para a nova situação. Portanto,
Passo 8 de 8 keyboard_arrow_down
Lambda, que representa o comprimento de onda, não irá mudar. Podemos, assim, 
calcular a frequência:
A frequência das correntes que circulam na base, será:
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6-
Exercício
O cstator de um motor de indução de 208 V e 60 Hz é enrolado com bobinas de 10 
espiras, Os enrolamentos do motor devem ser refeitos para que o motor opere com 400 
V e 50 Hz. Calcule o número de espiras por bobina para que o motor com novos 
enrolamentos funcione com a mesma densidade de fluxo do motor original.
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 4 keyboard_arrow_down
Neste problema, trabalharemos com o aspecto construtivo da máquina, modificando os 
seus enrolamentos para que uma nova operação seja realizada.
Passo 2 de 4 keyboard_arrow_down 
Vamos começar calculando as constantes.
Passo 3 de 4 keyboard_arrow_downPara a condição inicial, temos um motor de indução de 208V, 60Hz e 10espiras.
Passo 4 de 4 keyboard_arrow_down
Podemos agora calcular o número de espiras por bobina para a nova operação.
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7-
Exercício
Descreva o efeito sobre a característica de conjugado versus velocidade de um motor de
indução produzido pela (a) redução à metade da tensão aplicada e (b) redução à metade
de ambas, a tensão e frequência aplicadas. Esboce as curvas resultantes de
conjugado versusvelocidade relativas às que são produzidas com tensão e frequência
nominais. Despreze os efeitos da resistência de estator e da reatância de dispersão.
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 4 keyboard_arrow_down
Vamos começar a nossa análise com a equação que relaciona o conjugado com a 
velocidade.
......(1)
Passo 2 de 4 keyboard_arrow_down
Observando a equação (1), percebemos que o torque é diretamente proporcional ao 
quadrado da tensão aplicada, então,
Passo 3 de 4 keyboard_arrow_down
Conclui-se que ao reduzir a tensão aplicada pela metade, o torque reduz-se quatro vezes.
Passo 4 de 4 keyboard_arrow_down
A frequência está ligada à velocidade síncrona, que caíra pela metade, no entanto a 
velocidade da máquina não irá se alterar se desconsiderarmos os efeitos da resistência 
do estator e a reatância de dispersão.
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8-
Exercício
Um sistema como o mostrado na Figura 6.26 é usado para converter tensões 
equilibradas de 60 Hz em outras frequências. O motor síncrono tem seis polos e aciona 
o eixo de acoplamento no sentido horário. A máquina de indução tem quatro polos e 
seus enrolamentos de cstator são conectados à fonte de modo a produzir um campo que 
gira em sentido anti-horário (no sentido oposto à rotação do motor síncrono). A 
máquina de indução tem um rotor bobinado cujos terminais são levados para fora por 
anés deslizantes.
a.Com o sistema alimentado com uma fonte de 50 Hz, com que velocidade o motor 
funciona?
b.Qual é a frequência das tensões produzidas nos anéls deslizantes do motor de 
indução?
c.Qual será a frcquéncia das tensões produzidas nos anéis deslizantes do motor de 
indução se dois terminais do cstator do motor de indução forem trocados entre si, 
invertendo o sentido de rotação do campo girante resultante?
Figura 6.26 Máquinas de indutância e síncrona interconectadas.
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 4 keyboard_arrow_down
Para essa situação, temos dois motores conectados: um de indução e outro síncrono. 
Dois motores conectados devem girar à mesma velocidade e, por conseguinte, 
funcionarem na mesma frequência, ou seja, sincronizados.
Passo 2 de 4 keyboard_arrow_down 
(a)
Alimentando os motores com 50Hz, podemos determinar para o motor síncrono que 
comandará a velocidade do motor de indução:
Passo 3 de 4 keyboard_arrow_down 
(b)
Apareceram frequências de 100Hz nos anéis deslizantes, pois elas são sempre o dobro 
da frequência aplicada.
Passo 4 de 4 keyboard_arrow_down 
(c)
Quando acontecer a inversão da rotação do motor de indução, a velocidade síncrona 
determinada em (a) funcionará como um escorregamento para a máquina. Fazendo com 
que:
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9-
Exercício
Um motor de indução trifásico de gaiola, oito polos, 60 Hz, 4160 V e 1000 kW tem os 
seguintes parâmetros de circuito equivalente em ohms por fase Y referidos ao cstator:
Determine que mudanças ocorrerão nessas constantes como resultado das seguintes 
propostas de modificação. Considere cada modificação em separado.
a.Substitua o enrolamento de estator por outro idêntico, mas com uma bitola de fio cuja 
área da seçao rcta 6 incrementada em 6%.
b.Diminua o diâmetro interno das lâminas do cstator de modo que o entreferro seja 
diminuído em 15%.
c.Substitua as barras de alumínio do rotor (condutividade 3,5 × 107 S/m) por barras de 
cobre (condutividade 5,8 × 107 S/m).
d.Refaça as conexões do enrolamento de cstator, originalmente ligado em Y para 
operar em 4160 V, ligando-o em ∆ para operar em 2,4 kV.
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 6 keyboard_arrow_down
Para todas as subpartes da questão (a, b, c, d) consideraremos o subíndice n como o 
indicador dos parâmetros novos, ou seja, após as alterações construtivas sugeridas.
Passo 2 de 6 keyboard_arrow_down 
a.
Aplicando a segunda lei de Ohm, que relaciona a resistência elétrica (R) à resistividade 
do material (ρ), ao comprimento do resistor (l) e à área de seção reta (A), ao estator:
......(1)
A alteração na bitola do fio influencia na área da seção reta (A) e consequentemente na 
resistência elétrica. As demais grandezas de (1) permanecem inalteradas, por isso 
podemos escrever a seguinte relação entre os parâmetros novos e os originais:
......(2)
O incremento de 6% na área da seção reta é representado matematicamente por:
......(3)
Pelas considerações (2) e (3), concluímos que a nova resistência (R1n) será de 0,176 ?.
Passo 3 de 6 keyboard_arrow_down 
b.
A relutância equivalente (Reeq) de um circuito magnético com gap é dada pela soma das 
relutâncias do ferro e do gap:
Porém, como a relutância do ferro (ReFe) é bem menor que a do gap (Regap), esta pode 
ser desprezada na soma. Sendo assim, a relutância equivalente pode ser calculada 
simplesmente pela relutância do gap, mais explícita em (4) em termos do comprimento 
do gap (lg), da permeabilidade magnética do vácuo (μ0) e da área do gap (Ag).
......(4)
A reatância de magnetização é dada em termos da relutância equivalente (Reeq), da 
frequência angular da rede (ω) e do número de espiras (N):
......(5)
Desenvolvendo (5) com (4), obtemos:
A alteração no tamanho do gap (lg) influência apenas no valor da relutância, já que os 
outros valores são considerados constantes, sendo assim é possível relacionar os 
parâmetros novos e os originais:
......(6)
A diminuição do entreferro é expressa matematicamente por:
......(7)
Passo 4 de 6 keyboard_arrow_down
Pelas considerações (6) e (7), concluímos que a nova reatância de magnetização (Xmn) é 
45,70 ?.
Passo 5 de 6 keyboard_arrow_down 
c.
Vamos aplicar a segunda lei de Ohm à resistência do rotor:
......(8)
Pela definição de condutividade (σ), ela é o inverso da resistividade (ρ).
......(9)
Sendo assim, a segunda lei de Ohm (8) pode ser reescrita com base em (9):
Uma vez que as grandezas comprimento do resistor (l) e área da seção reta (A) não 
mudam, temos:
Substituindo os valores dados no exercício da resistência original do rotor (R2), 
condutividade elétrica do alumínio (σAl) e do cobre (σCu), obtemos a nova resistência 
elétrica do rotor (R2n) igual a 0,106 ?.
Passo 6 de 6 keyboard_arrow_down 
d.
Na situação original temos a máquina ligada em Y, com sua impedância equivalente 
(Z), diretamente relacionada à impedância do circuito monofásico equivalente.
Porém na situação modificada, o circuito monofásico equivalente tem sua impedância
dividida por 3, levando consequentemente à divisão de todas resistências e reatâncias
por 3:
R1n = 0,0623 ?; R2n = 0,0587 ?; X1n = 0,5533 ?; X2n = 0,6867 ?; Xmn = 12,95 ?.
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10-
Exercício
Os parâmetros de circuito equivalente monofásico de um motor de indução trifásico em 
ohms por fase são:
Para um escorregamento de 3,5% e uma tensão de terminal de 460 V, tensão de linha:
a. Calcule a corrente de fase do motor e as potências ativa e rcativa de entrada.
b. Calcule a potência de saída mecânica e a potência dissipada no rotor. Você 
pode supor que as perdas do motor por atrito e ventilação sejam de 270 W.
c. Calcule as perdas do motor no núcleo e o rendimento do motor. 
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 9 keyboard_arrow_down 
a.
O circuito a seguir representa o equivalente monofásico do motor, de acordo com os 
parâmetros dados no enunciado e com o escorregamento (s) igual a 3,5%.
Partindo do circuito equivalente, consideremos os seguintes agrupamentos de 
impedâncias:
Assim, podemos calcular a impedância de entrada (Zin) do circuito monofásico 
equivalentecomo o paralelo de Zm com Z2 em série com Z1.
Passo 2 de 9 keyboard_arrow_down
Daí, o módulo da corrente de fase (Ifase = I1) é simplesmente dado pelo módulo da 
divisão entre a tensão de fase (com um ângulo arbitrário) e a impedância de entrada 
(Zin).
......(1)
Passo 3 de 9 keyboard_arrow_down
Da potência de entrada complexa (Sin), podemos extrair as potências ativa (Pin) e reativa 
(Qin) de entrada que corresponderão respectivamente às partes real e imaginária 
respectivamente (* denota a operação de conjugado):
......(2)
......(3)
Passo 4 de 9 keyboard_arrow_down
Do desenvolvimento das equações com os dados do exercício, a solução final do 
exercício é dada pelas equações (1), (2) e (3). Sendo o módulo da corrente de fase igual 
a 37,075 A, a potência ativa de entrada igual a 27,803 kW e potência reativa de 
entrada igual a 9,978 kvar.
Passo 5 de 9 keyboard_arrow_down 
b.
Com base nos dados da subparte a. e nos estudos dos conceitos relacionados ao 
circuito monofásico equivalente de motores de indução trifásicos, podemos afirmar:
A potência dissipada no rotor é potência no resistor R2:
A potência de saída mecânica é a potência no resistor variável menos a perda por atrito 
e ventilação (Pav):
Passo 6 de 9 keyboard_arrow_down
Percebemos, portanto que o cálculo da corrente I2 é importante para estes resultados, a 
qual pode ser obtida por um divisor de corrente, usando a corrente de fase (obtida em 
a.), que é igual a I1:
Passo 7 de 9 keyboard_arrow_down
Agora, temos todas as equações necessárias, basta substituirmos numericamente os 
valores indicados pelas variáveis para concluir que a potência dissipada no rotor é de 
933,6 W e a potência mecânica de saída é igual a 25,47 kW.
Passo 8 de 9 keyboard_arrow_down 
c.
Pela definição de rendimento (η), ele é a razão entre a potência útil (Pout) e a potência de 
entrada (Pin), portanto:
......(4)
Pela conservação de energia podemos fazer um balanço entre a potência de entrada, a 
potência de saída e as perdas, incluindo as perdas no núcleo magnético (Pmag) e perdas 
joule no estator (PJ1):
......(5)
As perdas joule no estator são facilmente calculadas com a corrente de fase:
Passo 9 de 9 keyboard_arrow_down
É possível então isolar a perdas no núcleo em (5), obtendo um resultado de perdas no 
núcleo de 427,3 W e o rendimento é obtido em (4) com valor de 91,61%.
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11-
Exercício
Escreva um script de MATLAB que calcula a corrente de terminal, o fator de potência, 
a potênciado saída no eixo e o rendimento para um motor de indução. São dados os 
parâmetros de circuito equivalente e as perdas por atrito e ventilação. A entrada para o 
programa será a tensão de terminal do motor e o escorregamento de funcionamento.
Teste seu programa com o motor do Problema 6.10. 
Problema 6.10
Os parâmetros de circuito equivalente monofásico de um motor de indução trifásico em 
ohms por fase são:
Para um escorregamento de 3,5% e uma tensão de terminal de 460 V, tensão de linha:
a. Calcule a corrente de fase do motor e as potências ativa e rcativa de entrada.
b.Calcule a potência de saída mecânica e a potência dissipada no rotor. Você pode 
supor que as perdas do motor por atrito e ventilação sejam de 270 W.
c.Calcule as perdas do motor no núcleo e o rendimento do motor. 
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 9 keyboard_arrow_down
O programa desenvolvido leva em conta o circuito monofásico equivalente mostrado 
abaixo e calcula de forma completa o especificado nos exercícios 6.10 e 6.11, com 
dados do problema 6.10, conforme enunciado. O programa pode ser dividido em etapas 
e as explicações vêm na forma de comentários do Matlab (em verde).
Passo 2 de 9 keyboard_arrow_down
Vejamos a percentagem dos dados de entrada R1 = 0.17:
X1 = 1.05;
R2 = 0.24;
X2 = 0.87;
XM = 82.1;
Rc = 435;
s = 3.5/100;% Escorregamento 
Vlinha_módulo = 460; % Tensão
terminal Pav = 270; % Atrito e ventilação
Passo 3 de 9 keyboard_arrow_down 
Agora, o cálculo das impedâncias parciais:
Z1 = R1+j*X1;
Z2 = R2/s+j*X2;
ZM = Rc*j*XM/(Rc+j*XM);
Passo 4 de 9 keyboard_arrow_down
O cálculo da impedância de entrada da máquina:
Zin = Z1 + ZM*Z2/(ZM+Z2);
Passo 5 de 9 keyboard_arrow_down 
Cálculo das grandezas de fase:
Vfase_modulo = Vlinha_modulo/sqrt(3);
Vfase_fasor = Vfase_modulo; %Ângulo 0 arbitrariamente
Ifase_fasor = Vfase_fasor/Zin;
Ifase_modulo = abs(Ifase_fasor); %Corrente de terminal
Passo 6 de 9 keyboard_arrow_down 
Potências de entrada:
%Complexa, ativa, reativa e fator de potência
Stotal = 3*Vfase_fasor*conj(Ifase_fasor); 
Ptotal = real(Stotal);
Qtotal = imag(Stotal);
fp = cos(angle(Stotal)); %Fator de potência
Passo 7 de 9 keyboard_arrow_down
O cálculo da corrente I2 (vide circuito equivalente)
% Usando divisor de corrente 
I1 = Ifase_fasor;
I2 = I1 * ZM/(ZM+Z2);
Passo 8 de 9 keyboard_arrow_down 
A Potência mecânica total:
%Resistor R2*(1-s)/s
Pmec_total = 3 * (R2*(1-s)/s) * abs(I2)^2; 
Pmec_saida = Pmec_total - Pav; %Saída no eixo 
Passo 9 de 9 keyboard_arrow_down
%Perdas e rendimento
Pjoule2 = 3 * R2 * abs(I2)^2; 
Pjoule1 = 3 * R1 * abs(I1)^2;
Pmag = Ptotal - Pjoule1 - Pjoule2 - Pmec_saida - Pav; 
rendimento = Pmec_saida/Ptotal;
%Fim do script 
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12-
Exercício
Um motor de indução trifásico, ligado em Y, quatro polos, 460 V (tensão de linha), 37 
kW e 60 Hz tem os seguintes parâmetros de circuito equivalente em ohms por fase, 
referidos ao estator:
As perdas totais por atrito e ventilação podem ser consideradas constantes iguais a 390 
W, e as perdas no núcleo podem ser consideradas iguais a 325 W. Com o motor ligado 
dirctamente a uma fonte de 460 V, calcule a velocidade, o conjugado e a potência de 
saída no eixo, a potência de entrada, o fator de potência e o rendimento para 
escorregamentos de 1, 2 e 3%. Você pode escolher entre representar as perdas no núcleo 
por uma resistência ligada diretamente ao terminal do motor, ou pela
resistência Rcligada em paralelo com a reatância de magnetização Xm. 
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 6 keyboard_arrow_down
Dado um escorregamento (s) e os dados de ensaio e o circuito equivalente monofásico:
Podemos então fazer os seguintes agrupamentos de impedâncias e também a 
impedância de entrada (Zin) do circuito monofásico equivalente como o paralelo 
de Zm com Z2 em série com Z1:
Passo 2 de 6 keyboard_arrow_down
Daí, a corrente de fase (Ifase = I1) é simplesmente dada pela divisão entre a tensão de 
fase (com um ângulo arbitrário) e a impedância de entrada (Zin).
Temos então dados suficientes para cálculo da potência complexa de entrada (Sin):
OBS.: * denota a operação de conjugado.
Passo 3 de 6 keyboard_arrow_down
Da potência complexa de entrada (Sin), podemos extrair a potência ativa de entrada (Pin), 
que corresponde à parte real:
Também extraímos o fator de potência (FP), que corresponde ao cosseno de seu ângulo 
(argumento) em situações de regime senoidal sem distorções, como é a nossa:
Passo 4 de 6 keyboard_arrow_down
Precisamos então do valor da corrente I2, a qual pode ser obtida por um divisor de 
corrente, usando a corrente de fase, que é igual a I1 no circuito equivalente:
Agora, podemos calcular a potência de saída mecânica, que corresponde à potência no 
resistor variável menos a perda por atrito e ventilação (Pav):
Pela definição de rendimento (η), ele é a razão entre a potência útil (Pout) e a potência de 
entrada (Pin), portanto:
Passo 5 de 6 keyboard_arrow_down
Para as grandezas mecânicas, calculamos primeiramente a rotação síncrona (ns) em rpm
como função da frequência da rede (f) e o número de polos (p), já realizando as devidas
conversões de unidades pelo fator 60 (rpm/Hz):
A rotação síncrona é então 1800 rpm, sendo a única, das variáveis listadas no exercício, 
independente do escorregamento.
Dada a rotação síncrona e em função do escorregamento (s), calculamos a rotação em 
que o motor opera em rpm (n) ouem rad/s (ω):
Da equação da potência mecânica desenvolvida na carga, podemos obter o conjudado 
(torque) em N.m:
Passo 6 de 6 keyboard_arrow_down
Todo o procedimento da solução dessa questão deve ser repetido para os valores de s 
= de 1 a 3% (0,01 a 0,03), obtendo o seguinte quadro de respostas:
s (%) n (rpm) T (N.m) P out (W) P in (W) FP η (%)
1 1782 67,78 12649 13553 0,90393,33
2 1764 132,61 24496 25950 0,93194,40
3 1746 189,54 34656 36951 0,92093,79
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13-
Exercício
Sabe-se que um motor de indução trifásico de 4 polos e 460 V tem os seguintes 
parâmetros de circuito equivalente monofásico em ohms por fase Y:
Observa-se que o motor está operando na tensão de terminal de 450 V, tensão de linha, 
com uma potência de saída de 95 kW e uma velocidade de 1780,7 rpm. Calcule a 
resistência de rotor R2 do circuito equivalente monofásico assumindo que as perdas do 
motor no núcleo são de 1200 W e as perdas por atrito e ventilação são de 700 W. 
Sugestão: A solução é mais fácil fazendo uma pesquisa com MATLAB.
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 5 keyboard_arrow_down
Em primeiro lugar, podemos calcular a velocidade síncrona (em rpm) para a
frequência
(f) de 60 Hz e o número de polos (p) que é de 4 polos.
Obtemos uma rotação síncrona de 1800 rpm e consequentemente o escorregamento do 
ponto de operação em questão (1780,7 rpm):
Concluímos então que o escorregamento é de 0,0107.
Passo 2 de 5 keyboard_arrow_down
O próximo cálculo é para determinar a resistência do núcleo (Rc) em função das perdas
do núcleo, aproximando que a tensão nominal é totalmente aplicada ao enrolamento de
magnetização, para obtenção do modelo abaixo:
Passo 3 de 5 keyboard_arrow_down
Conforme sugerido no enunciado, vamos obter o valor de R2 fazendo uma varredura 
(pesquisa) no Matlab. Primeiramente, devemos montar uma função que forneça a 
potência mecânica de saída em função de um valor de R2:
function Pmec_saida = Pout(R2)
%Caracteristicas nominais e construtivas 
Vlinha_nominal = 460;
f = 60;
p = 4;
ns = 120*f/p;
%Perdas nominais 
Pav = 700;
Pnucleo = 1200;
%Dados do circuito equivalente 
R1 = 19.7e-3;
X1 = 0.129;
%R2 dado na entrada da função 
X2 = 0.187;
XM = 13.9;
Rc = (Vlinha_nominal)^2/(Pnucleo);
%Características operacionais 
n = 1780.7;
s = (ns-n)/ns; 
Vlinha_operacao = 450;
%Cálculo das impedâncias parciais 
Z1 = R1+j*X1;
Z2 = R2/s+j*X2;
ZM = Rc*j*XM/(Rc+j*XM);
%Cálculo da impedância de entrada da máquina 
Zin = Z1 + ZM*Z2/(ZM+Z2);
%Cálculo das grandezas de fase 
Vfase_modulo = Vlinha_operacao/sqrt(3);
Vfase_fasor = Vfase_modulo; %Ângulo 0 arbitrariamente 
I1 = Vfase_fasor/Zin;
%Cálculo da corrente I2 (vide circuito equivalente)
%Usando divisor de corrente 
I2 = I1 * ZM/(ZM+Z2);
%Potência mecânica total
%Resistor R2*(1-s)/s
Pmec_total = 3 * (R2*(1-s)/s) * abs(I2)^2; 
Pmec_saida = Pmec_total - Pav; %Saída no eixo 
end
Passo 4 de 5 keyboard_arrow_down
Posteriormente, devemos montar um código que implementa a varredura. No caso 
usaremos o método numérico da bisseção para o refinamento, aplicada à função 
construída na etapa anterior:
Pmec_alvo = 95e3;
inicio = 0.01;
incremento = 0.01;
%Encontro da troca de sinal 
a = inicio;
while ((Pout(a)-Pmec_alvo)*(Pout(a+incremento)-Pmec_alvo) > 0) 
a = a + incremento;
end
b = a + incremento;
%Método da bisseção 
for k = 1:20
c = (a+b)/2;
if ((Pout(a)-Pmec_alvo)*(Pout(c)-Pmec_alvo) < 0) 
b = c;
else 
a = c; 
end 
end
R2 = (a+b)/2;
Passo 5 de 5 keyboard_arrow_down
Ao executarmos o código anterior, resulta que R2 = 0,0211 ?. O que quer dizer que 
Pout(0,0211 ?) = 95 kW.
thumb_up
14-
Exercício
Um motor de indução trifásico de 4 polos, 75 kW e 460 V tem os seguintes parâmetros 
de circuito equivalente monofásico em ohms por fase:
Você pode assumir que as perdas por atrito e ventilação de 1250 W permanecem 
constantes na faixa normal de operação e que as perdas do motor no núcleo para 460 V 
são de 780 W.
a.Calcule o escorregamento do motor, a velocidade, a corrente de terminal, o fator de 
potência e o rendimento quando o motor está operando em 460 V e fornecendo a sua 
potência de saída nominal. Sugestão: Pode ser mais fácil pesquisar o pomo desejado de 
operação usando MATLAB.
b.Faça uma tabela incluindo o escorregamento do motor, a velocidade, a corrente de 
terminal, o fator de potência e o rendimento quando o motor está operando em 460 V
com plena carga (parte (a)), 75%, 50% e 25% da carga nominal e também a vazio. 
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 5 keyboard_arrow_down
Note que a parte a. é um caso particular da parte b. no qual o motor funciona com 100% 
de sua carga. Assim, o problema pode ser resolvido, no Matlab, de uma forma geral 
para a parte b. apenas, sendo que uma coluna da tabela-solução corresponderá 
exatamente ao que se pede na parte a.
Passo 2 de 5 keyboard_arrow_down
Uma primeira sub-rotina deve ser criada para fornecer os dados pedidos no enunciado 
mais a potência mecânica de saída para um dado escorregamento:
function [Pmec_saida,n,Iterminal,fp,rendimento] = Dados(s)
%Caracteristicas nominais e construtivas 
Vlinha_nominal = 460;
f = 60;
p = 4;
ns = 120*f/p;
%Perdas nominais 
Pav = 1250;
Pnucleo = 780;
%Dados do circuito equivalente 
R1 = 24.5e-3;
X1 = 0.267; 
R2 = 55.2e-3; 
X2 = 0.277;
XM = 19.8;
Rc = (Vlinha_nominal)^2/(Pnucleo);
%Cálculo das impedâncias parciais 
Z1 = R1+j*X1;
Z2 = R2/s+j*X2;
ZM = Rc*j*XM/(Rc+j*XM);
%Cálculo da impedância de entrada da máquina 
Zin = Z1 + ZM*Z2/(ZM+Z2);
%Cálculo das grandezas de fase
Vfase_modulo = Vlinha_nominal/sqrt(3);
Vfase_fasor = Vfase_modulo; %Ângulo 0 arbitrariamente 
Ifase_fasor = Vfase_fasor/Zin;
Iterminal = abs(Ifase_fasor);
%Potências de entrada:
%Complexa, ativa, reativa e fator de potência 
Sin = 3*Vfase_fasor*conj(Ifase_fasor);
Pin = real(Sin);
fp = cos(angle(Sin)); %Fator de potência
%Cálculo da corrente I2 (vide circuito equivalente)
%Usando divisor de corrente 
I1 = Ifase_fasor;
I2 = I1 * ZM/(ZM+Z2);
%Potência mecânica total
%Resistor R2*(1-s)/s
Pmec_total = 3 * (R2*(1-s)/s) * abs(I2)^2; 
Pmec_saida = Pmec_total - Pav; %Saída no eixo
Passo 3 de 5 keyboard_arrow_down 
Continuando,
rendimento = Pmec_saida/Pin;
%Rotação em rpm 
n = (1-s)*ns;
end
Passo 4 de 5 keyboard_arrow_down
Em seguida uma função deve executar o processo de varredura dos 
escorregamentos para verificar qual escorregamento corresponde à dada potência 
mecânica de saída.
function [s,n,Iterminal,fp,rendimento] = PontoOperativo(Pmec_alvo) 
inicio = 0.001;
incremento = 0.001;
%Encontro da troca de sinal 
a = inicio;
while ((Dados(a)-Pmec_alvo)*(Dados(a+incremento)-Pmec_alvo) > 
0) a = a + incremento;
end
b = a + incremento;
%Método da bisseção 
for k = 1:40
c = (a+b)/2;
if ((Dados(a)-Pmec_alvo)*(Dados(c)-Pmec_alvo) < 0)
b = c;
else 
a = c; 
end 
end
s = (a+b)/2;
[~,n,Iterminal,fp,rendimento] = Dados(s); 
end
Passo 5 de 5 keyboard_arrow_down
Do processo iterativo, obtemos a tabela de resultados abaixo:
Carregamento (%)
s (%) n (rpm) I terminal (A)
Fator pot. Rend. (%)
100 2,23 1759,8 105,63 0,945 94,30
75 1,63 1770,7 78,89 0,949 94,31
50 1,07 1780,7 53,61 0,939 93,45
25 0,54 1790,2 30,04 0,875 89,59
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15-
Exercício
O motor do Problema 6.14 deve funcionar a partir de um acionamento trifásico de 
tensão e frequência variáveis. A tensão de saída do acionamento é 460 V, tensão de 
linha, em 60 Hz e é proporcional ã frequência. Assuma que os parâmetros do motor
(resistências e indutâncias) não variam com a tensão e frequência aplicadas. Você 
também pode assumir que, nesse funcionamento, as perdas por atrito e ventilação 
variam com o cubo da velocidade do motor (1250 W em 1800 rpm) e que as perdas no 
núcleo variam com o quadrado da frequência aplicada.
a.Calcule o escorregamento do motor, a velocidade, a corrente de terminal, o fator de 
potênciae o rendimento quando o motor está operando em 460 V e fornecendo a sua 
potência de saída nominal. Sugestão: Pode ser mais fácil pesquisar o ponto desejado de 
operação usando MATLAB.
Com as frequências de operação do acionamento do motor abaixo de 60 Hz, a saída de 
potência máxima do motor corresponde à potência que resulta em uma corrente de 
terminal do motor igual àquela encontrada na parte (a).
b.Calcule a potência de carga máxima que pode ser fornecida por esse sistema na 
frequência de 50 Hz. Calcule as respectivas tensão de terminal, escorregamento, 
velocidade, fator de potência e rendimento.
Problema 6.14
Um motor de indução trifásico de 4 polos, 75 kW e 460 V tem os seguintes parâmetros 
de circuito equivalente monofásico em ohms por fase:
Você pode assumir que as perdas por atrito e ventilação de 1250 W permanecem 
constantes na faixa normal de operação e que as perdas do motor no núcleo para 460 V 
são de 780 W.
a.Calcule o escorregamento do motor, a velocidade, a corrente de terminal, o fator de 
potência e o rendimento quando o motor está operando em 460 V e fornecendo a sua
potência de saída nominal. Sugestão: Pode ser mais fácil pesquisar o pomo desejado de 
operação usando MATLAB.
b.Faça uma tabela incluindo o escorregamento do motor, a velocidade, a corrente de 
terminal, o fator de potência e o rendimento quando o motor está operando em 460 V
com plena carga (parte (a)), 75%, 50% e 25% da carga nominal e também a vazio. 
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 5 keyboard_arrow_down
A primeira etapa é levantar as funções que regem as variações entre as grandezas:
Frequência (f) varia proporcionalmente ao módulo da tensão (|Vlinha|) e é igual a 60 Hz 
quando a tensão é de 460 V:
Todas as reatâncias (Xi) variam em função da frequência com relação a sua reatância 
nominal (a 60 Hz), simbolizada por “XiN”, onde i é um subíndice qualquer:
As perdas por atrito e ventilação (Pav) é variante com o cubo da rotação (n) tendo valor 
de 1250 W a 1800 rpm:
As perdas no núcleo (Pnucleo) variam com o quadrado da frequência aplicada (f), tendo o 
valor de 780 W a 60 Hz:
Passo 2 de 5 keyboard_arrow_down
Agora, é necessário construir uma função capaz de fornecer dados da operação do motor 
tendo o escorregamento e tensão de linha como dados de entrada:
function [Pmec_saida,n,Iterminal,fp,rendimento] = Acionamento(Vlinha_modulo,s)
%Frequência, nº de polos e rotações 
f = Vlinha_modulo*3/23;
p = 4;
ns = 120*f/p; 
n = (1-s)*ns;
%Perdas variáveis
Pnucleo = 0.21667*f^2;
Pav = 2.1433e-7*n^3;
%Dados do circuito equivalente 
R1 = 24.5e-3;
R2 = 55.2e-3;
X1 = 0.267*f/60;
X2 = 0.277*f/60;
XM = 19.8*f/60;
Rc = (Vlinha_modulo)^2/(Pnucleo);
%Cálculo das impedâncias parciais 
Z1 = R1+j*X1;
Z2 = R2/s+j*X2;
ZM = Rc*j*XM/(Rc+j*XM);
%Cálculo da impedância de entrada da máquina 
Zin = Z1 + ZM*Z2/(ZM+Z2);
%Cálculo das grandezas de fase 
Vfase_modulo = Vlinha_modulo/sqrt(3);
Vfase_fasor = Vfase_modulo; %Ângulo 0 arbitrariamente 
Ifase_fasor = Vfase_fasor/Zin;
Iterminal = abs(Ifase_fasor);
%Potências de entrada:
%Complexa, ativa, reativa e fator de potência 
Sin = 3*Vfase_fasor*conj(Ifase_fasor);
Pin = real(Sin);
fp = cos(angle(Sin)); %Fator de potência
%Cálculo da corrente I2 (vide circuito equivalente)
%Usando divisor de corrente 
I1 = Ifase_fasor;
I2 = I1 * ZM/(ZM+Z2);
%Potência mecânica total
%Resistor R2*(1-s)/s
Pmec_total = 3 * (R2*(1-s)/s) * abs(I2)^2;
Passo 3 de 5 keyboard_arrow_down 
Pmec_saida = Pmec_total - Pav; %Saída no eixo
rendimento = Pmec_saida/Pin;
end
Passo 4 de 5 keyboard_arrow_down 
a.
Executando o método iterativo da bisseção (usado em cálculo numérico) podemos 
executar a varredura em valores de escorregamento para a tensão de 460 V, a fim de 
encontrar o ponto em que a potência mecânica de saída é igual a 75 kW.
Vlinha = 460; 
Pmec_alvo = 75e3; 
inicio = 0.01;
incremento = 0.01;
%Encontro da troca de sinal 
a = inicio;
while ((Acionamento(Vlinha,a)-
Pmec_alvo)*(Acionamento(Vlinha,a+incremento)- Pmec_alvo) > 0)
a = a + incremento; 
end
b = a + incremento;
%Método da bisseção 
for k = 1:30
c = (a+b)/2;
if ((Acionamento(Vlinha,a)-Pmec_alvo)*(Acionamento(Vlinha,c)-Pmec_alvo) < 
0) b = c;
else
a = c;
end
end
clc
s = (a+b)/2
[Pmec_saida,n,Iterminal,fp,rendimento] = Acionamento(Vlinha,s) 
O resultado encontrado após a execução do programa é:
P saída (kW) s (%) n (rpm) I terminal (A)
Fator pot. Rend. (%)
75 2,23 1760 105,5 0,945 94,41
Passo 5 de 5 keyboard_arrow_down
b.
De forma similar ao que foi realizado na subparte a., executaremos uma varredura no
escorregamento em busca do ponto de operação que corresponde à corrente terminal
encontrada na subparte a., porém na frequência de 50 Hz.
clear 
clc
f = 50;
Vlinha = 23*f/3;
%Corrente terminal da parte a. 
Iterminal_alvo = 105.5131;
inicio = 0.01;
incremento = 0.01;
%Encontro da troca de sinal 
a = inicio;
[~,~,Iterminal1,~,~] = Acionamento(Vlinha,a); 
[~,~,Iterminal2,~,~] = Acionamento(Vlinha,a+incremento);
while ((Iterminal1-Iterminal_alvo)*(Iterminal2-Iterminal_alvo) > 0) 
a = a + incremento;
[~,~,Iterminal1,~,~] = Acionamento(Vlinha,a); 
[~,~,Iterminal2,~,~] = Acionamento(Vlinha,a+incremento); 
end
b = a + incremento;
%Método da bisseção 
for k = 1:30
c = (a+b)/2;
[~,~,Iterminal1,~,~] = Acionamento(Vlinha,a); 
[~,~,Iterminal2,~,~] = Acionamento(Vlinha,c);
if ((Iterminal1-Iterminal_alvo)*(Iterminal2-Iterminal_alvo) < 0) 
b = c;
else
a = c;
end 
end
s = (a+b)/2
[Pmec_saida,n,Iterminal,fp,rendimento] = Acionamento(Vlinha,s) 
Executando o programa, obtemos os resultados:
P máx (W) V linha (V) s (%) n (rpm)
Fator pot. Rend. (%)
62,48 383,3 2,68 1460 0,945 0,9437
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16-
Exercício
Considere o motor de indução do Problema 6.12 operando em sua tensão de terminal 
nominal.
a.Encontre a velocidade do motor em rpm que corresponde à potência de saída nominal 
no eixo de 37 kW. (Sugestão: Isso pode ser feito facilmente escrevendo um script de 
MATLAB que faz uma pesquisa com o escorregamento do motor.)
b.De modo semelhante, encontre a velocidade em rpm para a qual o motor funciona
sem carga externa no eixo (supondo que a carga do motor nessa velocidade consista
apenas em perdas por atrito e ventilação).
c.Plote o rendimento do motor versus a potência de saída quando a potência de saída do 
motor varia de 5 kW até a plena carga.
Problema 6.12
Um motor de indução trifásico, ligado em Y, quatro polos, 460 V (tensão de linha), 37 
kW e 60 Hz tem os seguintes parâmetros de circuito equivalente em ohms por fase, 
referidos ao estator:
As perdas totais por atrito e ventilação podem ser consideradas constantes iguais a 390 
W, e as perdas no núcleo podem ser consideradas iguais a 325 W. Com o motor ligado 
dirctamente a uma fonte de 460 V, calcule a velocidade, o conjugado e a potência de 
saída no eixo, a potência de entrada, o fator de potência e o rendimento para 
escorregamentos de 1, 2 e 3%. Você pode escolher entre representar as perdas no núcleo 
por uma resistência ligada diretamente ao terminal do motor, ou pela
resistência Rcligada em paralelo com a reatância de magnetização Xm. 
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 8 keyboard_arrow_down
Toda a resolução é baseada no circuito equivalente da figura abaixo e nos parâmetros do 
motor de indução dados na questão 6.12:
Nº de polos Freq.
R1 R2 X1 X2 Xm Pav Pnúcleo
4 60 Hz 0,070 ? 0,152 ? 0,743 ? 0,764 ? 40,1 ? 390 W 325 W
Passo 2 de 8 keyboard_arrow_down 
a.
Observando o circuito equivalente e os parâmetros dados e calculados, percebemos que 
só nos resta o valor do escorregamento para ter um circuito completo para calcular a 
potência mecânica de saída. Por isso, devemos construir uma função em Matlab capaz 
de fornecer o valor da potência mecânica para um escorregamento qualquer:
function [Pmec_saida, rendimento] = Pmec(s)
%Caracteristicas nominaise construtivas 
Vlinha_nominal = 460;
%Perdas nominais 
Pav = 390;
Pnucleo = 325;
%Dados do circuito equivalente 
R1 = 0.070;
X1 = 0.743;
R2 = 0.152;
X2 = 0.764;
XM = 40.1;
Rc = (Vlinha_nominal)^2/(Pnucleo);
%Cálculo das impedâncias parciais 
Z1 = R1+j*X1;
Z2 = R2/s+j*X2;
ZM = Rc*j*XM/(Rc+j*XM);
%Cálculo da impedância de entrada da máquina 
Zin = Z1 + ZM*Z2/(ZM+Z2);
%Tensão e corrente de fase 
Vfase_modulo = Vlinha_nominal/sqrt(3);
Vfase_fasor = Vfase_modulo; %Ângulo 0 arbitrariamente 
I1 = Vfase_fasor/Zin;
%Cálculo da potência de entrada 
Sin = 3*Vfase_fasor*conj(I1); 
Pin = real(Sin);
%Cálculo da corrente I2 (vide circuito equivalente)
%Usando divisor de corrente 
I2 = I1 * ZM/(ZM+Z2);
%Potência mecânica total e rendimento
Pmec_total = 3 * (R2*(1-s)/s) * abs(I2)^2; 
Pmec_saida = Pmec_total - Pav; %Saída no eixo 
rendimento = Pmec_saida / Pin;
end
Passo 3 de 8 keyboard_arrow_down
Dada a função anterior, podemos construir sua função inversa por método de varredura 
(pesquisa): uma função que dê o escorregamento para uma potência mecânica qualquer.
function [s, rendimento] = PontoOperacao(Pmec_alvo)
inicio = 0.001;
incremento = 0.001;
%Encontro da troca de sinal 
a = inicio;
while ((Pmec(a)-Pmec_alvo)*(Pmec(a+incremento)-Pmec_alvo) > 0) 
a = a + incremento;
end
b = a + incremento;
%Método da bisseção 
for k = 1:20
c = (a+b)/2;
if ((Pmec(a)-Pmec_alvo)*(Pmec(c)-Pmec_alvo) < 0) 
b = c;
else 
a = c; 
end 
end
s = (a+b)/2;
[~, rendimento] = Pmec(s); 
end
Ao executar essa função para a potência nominal de eixo do motor (37 kW), obtemos 
um escorregamento (s) de 3,26%.
Passo 4 de 8 keyboard_arrow_down
Para encontrar a velocidade em que o motor opera com potência nominal de eixo, 
devemos encontrar a velocidade síncrona (ns), em rpm, em função da frequência da rede
(f) e do número de polos (p):
......(1)
Passo 5 de 8 keyboard_arrow_down
Encontramos a velocidade síncrona de 1800 rpm e finalmente a velocidade no ponto de 
operação de 1741 rpm, usando a fórmula do escorregamento:
......(2)
Passo 6 de 8 keyboard_arrow_down
b.
A situação em que o motor opera sem carga externa corresponde à potência mecânica
total ser igual às perdas por atrito e ventilação, o que matematicamente implica numa
potência de saída no eixo (potência útil) igual a zero.
Executando a função “PontoOperacao” da subparte a. para uma potência mecânica alvo 
igual a zero, obtemos um escorregamento de 0,029 %.
Usando as equações (1) e (2) da subparte a., encontramos finalmente a velocidade de 
1799,5 rpm para o motor sem carga no eixo.
Passo 7 de 8 keyboard_arrow_down 
c.
Note que as funções em Matlab mostradas na subparte a. tem como segunda saída o 
rendimento. Usaremos dessa variável para construir o gráfico pedido no enunciado, com 
auxílio de um script de Matlab:
%Número de pontos a calcular 
Npontos = 200;
%5 kW até plena carga (37 kW) 
Psaida = linspace(5e3,37e3,Npontos);
%Vetor inicializado
%Rendimento a ser calculado no loop for 
Rendimento = zeros(1,Npontos);
%Cálculo do rendimento para cada valor de potência 
for k = 1:Npontos
[~,Rendimento(k)] = PontoOperacao(Psaida(k)); 
end
%Plot do gráfico solicitado 
plot(Psaida,Rendimento*100,'-','LineWidth',2.5)
axis([4e3 38e3 85 95]) 
grid
xlabel('Potência de saída (W)') 
ylabel('Rendimento (%)')
Passo 8 de 8 keyboard_arrow_down 
O gráfico obtido é o seguinte:
thumb_up
17-
Exercício
Escreva um script de MATLAB para analisar o desempenho de um motor do indução 
trifásico operando com suas frequência e tensão nominais, As entradas devem ser a 
tensão, a potência e a frequência nominais do motor, além do número de polos, os 
parâmetros de circuito equivalente e as perdas rotacionais. Dada uma velocidade 
específica, o programa deve calcular a potôncia de saída, a potência de entrada, o fator 
de potência e o rendimento do motor. Teste o seu programa com um motor de indução 
trifásico de quatro polos, 450 kW, 3,3 kV e 50 Hz operando com 1466 rpm, cujas 
perdas rotacionais na velocidade nominal são de 2,8 kW, cujas perdas no núcleo são de 
3,7 kW e cujos parâmetros de circuito equivalente em ohms por fase são:
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down
O produto desta questão é o desenvolvimento de um script em Matlab. Este script será 
montado na forma de função com parâmetros de entrada e saída solicitada, dividida em 
partes explicadas na forma de comentários do próprio Matlab.
O desenvolvimento da função é baseado no circuito equivalente do motor de indução:
Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down 
Veja o Script desenvolvido em Matlab:
function [P_mec_saida,P_entrada,fp,rendimento] = 
Motor(Vlinha_n,Pn,fn,Npolos,Pav,Pnucleo,R1,R2,X1,X2,XM,vel_rpm)
%Cálculo da resistência ligada em paralelo
%com a reatância de magnetização
Rc = (Vlinha_n/sqrt(3))^2/(Pnucleo/3);
%Rotação síncrona 
vel_sinc = 120*fn/Npolos;
s = (vel_sinc-vel_rpm)/vel_sinc;
%Cálculo das impedâncias parciais 
Z1 = R1+j*X1;
Z2 = R2/s+j*X2;
ZM = Rc*j*XM/(Rc+j*XM);
%Cálculo da impedância de entrada da máquina 
Zin = Z1 + ZM*Z2/(ZM+Z2);
%Tensão e corrente de fase
Vfase_modulo = Vlinha_n/sqrt(3);
Vfase_fasor = Vfase_modulo; %Ângulo 0 arbitrariamente 
I1 = Vfase_fasor/Zin;
%Potências de entrada:
%Complexa, ativa, reativa e fator de potência 
S_entrada = 3*Vfase_fasor*conj(I1); 
P_entrada = real(S_entrada);
fp = cos(angle(S_entrada)); %Fator de potência
%Cálculo da corrente I2 (vide circuito equivalente)
%Usando divisor de corrente 
I2 = I1 * ZM/(ZM+Z2);
%Potência mecânica total e rendimento 
P_mec_total = 3 * (R2*(1-s)/s) * abs(I2)^2; 
P_mec_saida = P_mec_total - Pav; %Saída no eixo 
rendimento = P_mec_saida/P_entrada;
end
Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down
Agora, devemos testar a função feita anteriormente com os dados fornecidos na questão 
e verificar os resultados:
Vlinha_n = 3.3e3;
Npolos = 4;
Pn = 450e3;
fn = 50;
vel_rpm = 1466; 
Pnucleo = 3.7e3;
Pav = 2.8e3; 
R1 = 0.178;
R2 = 0.280;
X1 = 2.28;
X2 = 2.69;
XM = 215;
[P_mec_saida,P_entrada,fp,rendimento] = 
Motor(Vlinha_n,Pn,fn,Npolos,Pav,Pnucleo,R1,R2,X1,X2,XM,vel_rpm)
Executando o teste, obtemos os resultados:
Pmec_saida Pentrada
Fator de potência Rendimento
70,66 kW 73,99 kW 0,908 95,5 %
thumb_up
18-
Exercício
Um motor de indução trifásico com gaiola de esquilo de alumínio, seis polos, 120 kW e 
460 V tem os seguintes parâmetros de circuito equivalente monofásico em ohms por 
fase:
Você pode assumir que as perdas por atrito e ventilação de 1370 W permanecem 
constantes na faixa normal de operação e que as perdas do motor no núcleo para 460 V 
são de 1100 W.
a. Faça uma tabela incluindo o escorregamento do motor, a velocidade, a corrente de
terminal, o fator de potência e o rendimento quando o motor está operando em 460 V e
fornecendo a sua potência de nominal. Sugestão: Pode ser mais fácil pesquisar o ponto
desejado de operação usando MATLAB.
b.O fabricante propõe a substituição do rotor desse motor por um outro rotor idêntico, 
exceto que a gaiola de esquilo é feita de cobre em vez de alumínio. Assumindo que a 
condutividade elétrica do cobre é 1,5 vezes a do alumínio, repita os cálculos da parte (a) 
para o motor funcionando com esse novo rotor. Amplie a tabela da parte (a) incluindo o 
desempenho do motor com rotor de cobre e comparando os resultados.
c.Compare o desempenho desse motor com rotor de alumínio e de cobre quando está 
operando com a tensão nominal e 75, 50 e 25% da carga nominal.
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 6 keyboard_arrow_down
O efeito da substituição do rotor, de alumínio para cobre, afeta apenas resistência do 
rotor R2, em função da mudança de condutividade (σ). O comprimento do resistor (l) e a 
área de seção reta (A) permanecem inalterados.
Do enunciado, temos a relação entre a condutividade do cobre (Cu) e do alumínio (Al):
Passo 2 de 6 keyboard_arrow_downCom o uso da segunda lei de Ohm e a relação dada, temos que a resistência do rotor de 
alumínio é de 34,5 m?, enquanto a do rotor de cobre é 23 m? (1,5x menor).
O próximo passo é desenvolver uma função baseada no circuito elétrico equivalente 
monofásico, que retorne a potência mecânica de saída e as outras variáveis pedidas para 
um dado escorregamento, tendo especificado o material do rotor (alumínio ou cobre):
function [Pmec_saida,n,Iterminal,fp,rendimento] = Motor_Al_Cu(s,aluminio_ou_cobre)
%Caracteristicas nominais e construtivas 
Vlinha_nominal = 460;
f = 60;
p = 6; %Número de polos 
ns = 120*f/p;
%Perdas nominais 
Pav = 1370;
Pnucleo = 1100;
%Dados do circuito equivalente 
R1 = 15.3e-3;
X1 = 0.183;
if (aluminio_ou_cobre == 1)
R2 = 34.5e-3; %Rotor de alumínio 
else
R2 = 34.5e-3 / 1.5; %Rotor de cobre
end
X2 = 0.219;
XM = 13.4;
Rc = (Vlinha_nominal)^2/(Pnucleo);
%Cálculo das impedâncias parciais 
Z1 = R1+j*X1;
Z2 = R2/s+j*X2;
ZM = Rc*j*XM/(Rc+j*XM);
%Impedância de entrada da máquina 
Zin = Z1 + ZM*Z2/(ZM+Z2);
%Cálculo das grandezas de fase 
Vfase_modulo = Vlinha_nominal/sqrt(3);
Vfase_fasor = Vfase_modulo; %Ângulo 0 arbitrariamente 
Ifase_fasor = Vfase_fasor/Zin;
Iterminal = abs(Ifase_fasor);
%Potências de entrada:
%Complexa, ativa, reativa e fator de potência 
Sin = 3*Vfase_fasor*conj(Ifase_fasor);
Pin = real(Sin);
fp = cos(angle(Sin)); %Fator de potência
%Corrente I2 (circuito equivalente) – divisor de corrente 
I1 = Ifase_fasor;
I2 = I1 * ZM/(ZM+Z2);
%Potência mecânica total e rendimento
Pmec_total = 3 * (R2*(1-s)/s) * abs(I2)^2; 
Pmec_saida = Pmec_total - Pav; %Saída no eixo 
rendimento = Pmec_saida/Pin;
%Rotação em rpm
Passo 3 de 6 keyboard_arrow_down 
n = (1-s)*ns;
end
Passo 4 de 6 keyboard_arrow_down
Em seguida, devemos fazer uma função capaz realizar uma varredura no 
escorregamento (pelo método da bisseção) em busca de uma potência mecânica alvo 
especificada.
Ao encontrar esse ponto de operação, devemos obter também as outras variáveis 
solicitadas:
function [s,n,Iterminal,fp,rendimento] = 
Operacao_Al_Cu(Pmec_alvo,aluminio_ou_cobre)
inicio = 0.001;
incremento = 0.001;
%Encontro da troca de sinal
a = inicio;
b = inicio + incremento;
while ((Motor_Al_Cu(a,aluminio_ou_cobre)-
Pmec_alvo)*(Motor_Al_Cu(b,aluminio_ou_cobre)-Pmec_alvo) > 0)
a = a + incremento;
b = b + incremento; 
end
%Método da bisseção 
for k = 1:40
c = (a+b)/2;
if ((Motor_Al_Cu(a,aluminio_ou_cobre)-
Pmec_alvo)*(Motor_Al_Cu(c,aluminio_ou_cobre)-Pmec_alvo) < 0)
b = c; 
else
a = c;
end 
end
s = (a+b)/2;
[~,n,Iterminal,fp,rendimento] = Motor_Al_Cu(s,aluminio_ou_cobre);
end
Passo 5 de 6 keyboard_arrow_down
Da execução dessa função de varredura podemos completar tabelas com as variáveis da 
operação para o rotor de alumínio e de cobre, respectivamente:
Carregamento
(%)
Escorregamento
(%)
Rotação
(rpm)
Corrente
terminal (A)
Fator de
potência
Rendimento
(%)
100 2,265 1173 169,9 0,935 94,9
75 1,634 1180 125,9 0,944 95,1
50 1,065 1187 84,7 0,939 94,6
25 0,533 1194 46,6 0,882 91,7
Carregamento
(%)
Escorregamento
(%)
Rotação
(rpm)
Corrente
terminal (A)
Fator de
potência
Rendimento
(%)
100 1,496 1182 168,5 0,935 95,6
75 1,083 1187 125,1 0,944 95,6
50 0,707 1192 84,5 0,939 95,0
25 0,355 1196 46,5 0,881 91,9
Passo 6 de 6 keyboard_arrow_down
•a resposta à subparte a. corresponde à linha de 100% de carregamento para rotor de 
alumínio;
•a resposta à subparte b. corresponde às linhas de 100% de carregamento para rotores 
de alumínio e cobre;
•a resposta à subparte c. corresponde às linhas de 25, 50 e 75% de carregamento para 
rotores de alumínio e cobre;
•podemos visualizar a diferença de desempenho do cobre e do alumínio pelo maior 
rendimento do rotor de cobre, isso se deve à diminuição da resistência elétrica do rotor 
que por sua vez diminui as perdas joule no rotor.
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19-
Exercício
Um motor de indução de gaiola de esquilo, trifásico, seis polos, 10 kW, 460 V, 60 Hz e 
ligado em Y desenvolve o conjugado nominal com escorregamento de 3,2%, quando 
está funcionando em tensão e frequência nominais. Para os propósitos deste problema, 
as perdas no núcleo e as rotacionais podem ser desprezadas. Os seguintes parâmetros do 
motor, em ohms por fase, foram obtidos:
Determine (i) o conjugado nominal do motor, (ii) o conjugado máximo e a respectiva
velocidade na tensão e frequência nominais e (iii) o conjugado e a corrente de partida
com tensão e frequência nominais.
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 10 keyboard_arrow_down
Analisemos os parâmetros do circuito equivalente monofásico em confronto com os 
dados do enunciado:
Ao considerar as perdas no núcleo nulas, a resistência do núcleo (Rc) assume valor 
infinito, equivalente a um circuito aberto.
Sendo as perdas rotacionais também nulas, a potência mecânica (desenvolvida na 
resistência variável) é inteiramente entregue à carga.
No ponto de operação nominal, o escorregamento é dado, porém não é dado o valor da 
resistência do rotor (R2). Devemos dirigir a solução a fim de encontrá-lo, antes de 
determinar as variáveis pedidas.
Passo 2 de 10 keyboard_arrow_down
Pela análise do circuito monofásico equivalente, podemos desenvolver analiticamente 
uma função cuja entrada é a resistência do rotor e a saída principal é a potência 
mecânica desenvolvida:
function [Pmec, w] = Pot_R(R2)
%Caracteristicas nominais construtivas 
Vlinha_nominal = 460;
f = 60;
Npolos = 6;
ns = 120*f/Npolos;
%Dados do circuito equivalente 
R1 = 1.26;
%R2 dado na entrada da função 
X1 = 1.56;
X2 = 1.56;
XM = 60.6;
%Características nominais operacionais 
s = 3.2/100;
n = (1-s)*ns;
w = 2*pi*n/60;
%Cálculo das impedâncias parciais
Z1 = R1+j*X1;
Z2 = R2/s+j*X2; 
ZM = j*XM;
%Cálculo da impedância de entrada 
Zin = Z1 + ZM*Z2/(ZM+Z2);
%Cálculo das grandezas de fase 
Vfase_modulo = Vlinha_nominal/sqrt(3);
Vfase_fasor = Vfase_modulo; %Ângulo 0 arbitrariamente 
I1 = Vfase_fasor/Zin;
%Cálculo da corrente I2 (vide circuito equivalente)
%Divisor de corrente
I2 = I1 * ZM/(ZM+Z2);
%Potência mecânica total
Pmec = 3 * (R2*(1-s)/s) * abs(I2)^2; 
end
Passo 3 de 10 keyboard_arrow_down
Devemos construir a função inversa de forma iterativa (varredura), cuja entrada é a
potência mecânica e a saída principal é a resistência do rotor (R2):
clc
Pm_nominal = 10e3;
inicio = 0.001;
incremento = 0.001;
%Encontro da troca de sinal 
a = inicio;
b = a+incremento;
while ((Pot_R(a)-Pm_nominal)*(Pot_R(b)-Pm_nominal) > 0) 
a = a + incremento;
b = b + incremento; 
end
%Método da bisseção 
for k = 1:30
c = (a+b)/2;
if ((Pot_R(a)-Pm_nominal)*(Pot_R(c)-Pm_nominal) < 0) 
b = c;
else
a = c; 
end 
end
%Resistência do estator
R2 = (a+b)/2
%Rotação e conjugado nominais 
[~,W_nominal] = Pot_R(R2) %rad/s 
C_nominal = Pm_nominal/W_nominal %N.m 
Passo 4 de 10 keyboard_arrow_down
Da execução do código anterior, encontramos o valor da resistência do rotor (R2) igual a 
0,0216 ?, a velocidade angular nominal igual a 121,6 rad/s e principalmente o 
conjugado nominal, pedido no item (i), com valor de 82,21 N.m.
Passo 5 de 10 keyboard_arrow_down
Com o valor da resistência do rotor (R2) encontrado, é possível construir uma função 
que dada uma rotação (em rpm), retorne o valor do conjugado mecânico relacionado:
function Conj = Conjugado(n_rpm)
%Caracteristicas nominais construtivas 
Vlinha_nominal = 460;
f = 60;
Npolos = 6;
ns = 120*f/Npolos;
%Dados do circuito equivalente 
R1 = 1.26;
R2 = 0.021622;
X1 = 1.56;
X2 = 1.56;
XM = 60.6;
%Escorregamento na rotação dada 
s = (ns-n_rpm)/ns;
%Cálculo das impedâncias parciais 
Z1 = R1+j*X1;
Z2 = R2./s+j*X2; 
ZM = j*XM;
%Cálculo da impedância de entrada 
Zin = Z1 + (ZM.*Z2)./(ZM+Z2);
%Cálculo das grandezas de fase 
Vfase_modulo = Vlinha_nominal/sqrt(3);
Vfase_fasor = Vfase_modulo; %Ângulo 0 arbitrariamenteI1 = Vfase_fasor./Zin;
%Cálculo da corrente I2 (vide circuito equivalente)
%Divisor de corrente
I2 = I1 .* ZM./(ZM+Z2);
%Dados mecânicos
Pmec = 3 * (R2*(1-s)./s) .* abs(I2).^2; 
w = 2*pi*n_rpm/60; %rad/s
Conj = Pmec./w;
end
Passo 6 de 10 keyboard_arrow_down
Executando uma varredura na rotação, usando a função anterior, podemos obter a curva 
característica do conjugado motor e também encontrar o ponto de máximo conjugado 
por meio do seguinte procedimento:
%Rotação síncrona = 1200 rpm
ns = 1200;
n_rpm = 1150:0.1:1200;
Conj = Conjugado(n_rpm); 
[Cmax,indice_max] = max(Conj);
fprintf('O máximo conjugado é %.1f N.m',Cmax); 
fprintf(' na rotação de %.1f rpm\n',n_rpm(indice_max));
%Gráfico
plot(n_rpm,Conj,'b-',n_rpm(indice_max),Cmax,'k*','LineWidth',2) 
grid
xlabel('Rotação (rpm)') 
ylabel('Conjugado (N.m)')
Passo 7 de 10 keyboard_arrow_down
Como resultado do procedimento, o máximo conjugado obtido é de 176,8 N.m e sua
respectiva velocidade é de 1192,2 rpm, respondendo ao item (ii). Também é possível
visualizar a curva característica do conjugado motor:
Passo 8 de 10 keyboard_arrow_down
Na partida, temos rotação zero e escorregamento igual a um. O conjugado de partida
(CP) é dado pela razão entre a potência dissipada na resistência equivalente (R2/s), 
também chamada de potência eletromagnética pela velocidade angular síncrona (ωs):
Passo 9 de 10 keyboard_arrow_down
Para extração de dados relacionados à partida do motor, foram feitos os cálculos do 
circuito equivalente para um escorregamento unitário, por meio de pequenas 
modificações nas rotinas de Matlab já apresentadas na questão:
%Caracteristicas nominais construtivas
Vlinha_nominal = 460;
f = 60;
Npolos = 6;
ns = 120*f/Npolos;
%Dados do circuito equivalente 
R1 = 1.26;
R2 = 0.021622;
X1 = 1.56;
X2 = 1.56;
XM = 60.6;
%Escorregamento na rotação dada 
s = 1;
%Cálculo das impedâncias parciais 
Z1 = R1+j*X1;
Z2 = R2./s+j*X2; 
ZM = j*XM;
%Cálculo da impedância de entrada 
Zin = Z1 + (ZM.*Z2)./(ZM+Z2);
%Cálculo das grandezas de fase 
Vfase_modulo = Vlinha_nominal/sqrt(3);
Vfase_fasor = Vfase_modulo; %Ângulo 0 arbitrariamente 
I1 = Vfase_fasor./Zin;
IPrms = abs(I1); %Módulo do fasor
%Cálculo da corrente I2 (vide circuito equivalente)
%Divisor de corrente
I2 = I1 .* ZM./(ZM+Z2);
%Potência e conjugado
Pelem = 3 * (R2./s) .* abs(I2).^2; 
ws = 2*pi*f; %rad/s
CP = Pelem./ws; %N.m
Passo 10 de 10 keyboard_arrow_down
Executando o procedimento, chegamos a um conjugado de partida igual a 1,04 N.m e o 
valor RMS da corrente de partida igual a 79,6 A respondendo, portanto, o item (iii).
thumb_up
20-
Exercício
Um motor de indução trifásico, operando com tensão e frequência nominais, tem um 
conjugado de partida de 115% e um conjugado máximo de 230%, ambos relativos a seu 
conjugado de carga nominal, Os efeitos da resistência de estator e das perdas rotacionais 
são desprezíveis. Assumindo parâmetros de rotor constantes em função do 
escorregamento e uma resistência de rotor constante, determiner:
a. o escorregamento para o conjugado máximo.
b. o escorregamento para a carga nominal.
c.a corrente do rotor na partida (como porcentagem da corrente de rotor para carga 
nominal).
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 11 keyboard_arrow_down
Ao desprezar queda de tensão e perdas no estator do circuito equivalente monofásico da
máquina de indução, temos a tensão de fase totalmente aplicada no rotor da máquina. A
partir desta conclusão, podemos construir um circuito equivalente simplificado do rotor:
A potência mecânica entregue à carga é igual à potência dissipada no resistor variável, 
já que as perdas por atrito e ventilação são desprezíveis.
Passo 2 de 11 keyboard_arrow_down
Analisando o circuito, o valor RMS da corrente I2 é igual a:
......(1)
Passo 3 de 11 keyboard_arrow_down
De posse do valor RMS da corrente I2, a potência mecânica (PMEC: entregue à 
resistência variável) é dada por:
Passo 4 de 11 keyboard_arrow_down
A expressão para o conjugado mecânico (C) em função das potências, da velocidade
angular síncrona (ωs) e da velocidade angular de operação (ω) é:
Sabendo que:
Desenvolvemos melhor a expressão geral do conjugado:
Passo 5 de 11 keyboard_arrow_down
O exercício trata do conjugado em 3 operações distintas. Por isso, façamos uma tabela 
para melhor distingui-los:
Operação
Conjugado (C) Escorregamento (s)
Valor relativo
Partida
Cp
1 115 %
Máximo conjugado
Ck sk
230 %
Nominal
Cn sn
100 %
Assim, temos:
Na operação de máximo conjugado temos um ponto crítico na função do conjugado:
O desenvolvimento da derivada leva à conclusão:
......(2)
Passo 6 de 11 keyboard_arrow_down
Podemos simplificar ainda mais a expressão do máximo conjugado:
Passo 7 de 11 keyboard_arrow_down
Façamos a razão entre conjugado máximo e conjugado de partida:
Usando (2), chegamos à equação de segundo grau:
Devemos resolvê-la para encontrar um escorregamento na faixa de operação de motor:
Portanto, temos a expressão final para o escorregamento do conjugado máximo:
Passo 8 de 11 keyboard_arrow_down
De posse do valor de escorregamento na operação em máximo conjugado, façamos a 
razão entre conjugado máximo e conjugado nominal:
Usando (2), chegamos à equação de segundo grau para sk:
A expressão final para o escorregamento nominal, considerando a faixa de operação de 
motor é:
Passo 9 de 11 keyboard_arrow_down
Substituindo os valores dados no enunciado obtemos (a.) o escorregamento para o
conjugado máximo (sk) igual a 0,2679 e (b.) o escorregamento para carga nominal (sn) 
igual a 0,0613.
Passo 10 de 11 keyboard_arrow_down
Ao utilizar (1) para comparar as correntes de rotor da operação de partida (I2p) com a 
operação nominal (I2n), temos:
Substituindo (2) na equação anterior:
Passo 11 de 11 keyboard_arrow_down
Ao substituir os valores de escorregamento calculados anteriormente, obtemos o valor 
da relação:
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21-
Exercício
Quando está funcionando em tensão e frequência nominais, um motor trifásico de 
indução de gaiola de esquilo apresenta, a plena carga, um escorregamento de 7,6%, 
além de desenvolver um conjugado máximo de 255% da carga plena com um 
escorregamento de 62%, Despreze as perdas rotacionais e as no núcleo, assumindo que 
a resistência do rotor e a indutância permanecem constantes, não dependendo do 
escorregamento. Determine, na tensão e frequência nominais, o conjugado de partida 
por unidade tomando como base o seu valor a plena carga.
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 4 keyboard_arrow_down
Ao desprezar queda de tensão e perdas no estator do circuito equivalente monofásico da 
máquina de indução, temos a tensão de fase totalmente aplicada no rotor da máquina.
Desta conclusão, podemos construir um circuito equivalente simplificado do rotor:
A potência mecânica entregue à carga é igual à potência dissipada no resistor variável, 
já que as perdas por atrito e ventilação são desprezíveis.
Passo 2 de 4 keyboard_arrow_down
A expressão para o conjugado mecânico (C) em função das potências, da velocidade 
angular síncrona (ωs) e da velocidade angular de operação (ω) é:
Sabendo que:
Desenvolvemos a expressão geral do conjugado em função do escorregamento (s):
No ponto de máximo conjugado, temos que:
Chegando às conclusões:
......(1)
Passo 3 de 4 keyboard_arrow_down
Façamos a razão entre conjugado máximo e conjugado de partida:
Usando (1), chegamos à equação:
Podemos dividir os dois membros da equação pelo conjugado nominal para termos os 
valores referenciados a ele:
Passo 4 de 4 keyboard_arrow_down
Substituindo os valores dados, chegamos ao resultado final de que o conjugado de 
partida é 38,53% do conjugado nominal:
thumb_up
22-
Exercício
Um motor de indução trifásico com gaiola de esquilo de alumínio, seis polos, 125 k.W, 
575 V e 60 Hz tem os seguintes parâmetros de circuito equivalente monofásico em 
ohms por fase:
Esse motor deve operar comogerador conectado a um sistema de 575 V que tem uma 
reatância equivalente em série de 0,19 Ω. Calcule a velocidade do gerador em rpm e a
tensão de terminal do gerador quando a potência elétrica de saída do gerador é 110 kW. 
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 4 keyboard_arrow_down
Devemos considerar o circuito equivalente sem perdas no núcleo conectado a um 
equivalente de Thévenin representando o restante do sistema elétrico:
Passo 2 de 4 keyboard_arrow_down
Percebemos que para o cálculo dos elementos do circuito, o único dado não fornecido é 
o escorregamento. Assim, é necessário desenvolver uma função em Matlab que, dado o 
escorregamento (s), responda com a potência elétrica consumida pela máquina, bem 
como os outros dados pedidos no enunciado:
function [P_sis, n, Vt] = Gerador(s)
%Caracteristicas nominais e construtivas 
f = 60;
p = 6;
ns = 120*f/p;
%Dados da operação 
Vlinha_modulo = 575;
n = (1-s)*ns;
%Dados do circuito equivalente 
R1 = 19.5e-3;
R2 = 30.6e-3; 
X1 = 0.249;
X2 = 0.294;
XM = 23.5;
%Dados do sistema elétrico
Vsis_fase_fasor = Vlinha_modulo/sqrt(3); %Angulo 0 arbitrariamente 
Xsis = 0.19;
%Impedâncias dos ramos 
Zsis = j*Xsis;
Z1 = R1+j*X1;
Z2 = R2/s+j*X2; 
ZM = j*XM;
%Impedância do gerador
Zg = Z1 + ZM*Z2/(ZM+Z2);
%Impedância vista pelo sistema 
Zin = Zsis + Zg;
%Tensão terminal (divisor de tensão)
Vt_fase_fasor = Zg/(Zsis+Zg)*Vsis_fase_fasor; 
Vt = abs(Vt_fase_fasor)*sqrt(3);
%Potência fornecida pelo sistema
S_sis = 3*abs(Vsis_fase_fasor)^2/conj(Zin); 
P_sis = real(S_sis);
end
Passo 3 de 4 keyboard_arrow_down
Em seguida, devemos encontrar por um processo iterativo (de varredura) qual é o 
escorregamento correspondente a uma potência gerada ao sistema de 110 kW 
equivalente a uma potência consumida pelo motor de -110 kW, uma vez que não há 
dissipação na impedância do sistema:
Pel_alvo = -110e3;
inicio = -0.0001;
incremento = -0.01;
%Encontro da troca de sinal 
a = inicio;
while ((Gerador(a)-Pel_alvo)*(Gerador(a+incremento)-Pel_alvo) > 0) 
a = a + incremento;
end
b = a + incremento;
%Método da bisseção
for k = 1:20
c = (a+b)/2;
if ((Gerador(a)-Pel_alvo)*(Gerador(c)-Pel_alvo) < 0) 
b = c;
else
a = c; 
end 
end
s = (a+b)/2
[~, n_rpm, Vterminal] = Gerador(s)
Passo 4 de 4 keyboard_arrow_down
Ao executar o procedimento computacional descrito, obtemos uma velocidade do 
gerador igual a 1213,5 rpm e uma tensão terminal de 561,8 V (tensão de linha).
thumb_up
23-
Exercício
Uma máquina de indução de quatro polos, 1,5 MW, 2400 V e 60 Hz tem os seguintes 
parâmetros de circuito equivalente, em ohms por fase, referidos ao estator:
Funcionando como motor, ela atinge a saída nominal no eixo quando o escorregamento 
é de 2,35%, com um rendimento de 95,2%. A máquina deve ser usada como gerador, 
impulsionado por uma turbina cólica. Ela será ligada a um sistema de distribuição de 60 
Hz que pode ser representado por um barramento infinito de 2400 V.
a.Com os dados apresentados, calcule as perdas totais rotacionais e as do núcleo para a 
carga nominal.
b. Se a turbina eólica acionar a máquina de indução com um escorregamento de
−2,35%, calcule (i) a potência clétrica de saída em MW, (ii) o rendimento (potência 
elêtrica de saída por potência de entrada no eixo) em porcentagem e (iii) o fator de 
potência medido nos terminais da máquina.
c.O sistema de distribuição real, ao qual o gerador é ligado, tem uma impedância 
efetiva de 0,041 + j0,15 Ω/fase. Para um escorregamento de −2,35%, calcule a potência
etétrica que é medida (i) no barramento infinito e (ii) nos terminais da máquina. 
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 8 keyboard_arrow_down 
a.
Devido à pequena queda de tensão no circuito do estator, pode se considerar o resistor
equivalente do núcleo, logo na entrada do circuito monofásico equivalente, tal como a
figura:
Nessa situação, é possível resolver o circuito sem o valor da resistência de núcleo, para 
depois poder calculá-la em função das perdas do núcleo.
Passo 2 de 8 keyboard_arrow_down
Partindo do circuito equivalente, consideremos os seguintes agrupamentos de 
impedâncias:
Assim, podemos calcular a impedância de entrada (Zin) do circuito monofásico 
equivalente como o paralelo de Zm com Z2 em série comZ1.
Todos esses cálculos devem considerar o escorregamento nominal fornecido de 2,35 %.
Passo 3 de 8 keyboard_arrow_down
Daí, o módulo da corrente de fase (Ifase = I1) é simplesmente dado pelo módulo da 
divisão entre a tensão de fase (com um ângulo arbitrário) e a impedância de entrada 
(Zin).
Da potência de entrada complexa (Sin), podemos extrair a potência ativa (Pin), ambas 
desconsiderando as perdas no núcleo (o símbolo “*” denota a operação de conjugado):
Substituindo valores, temos uma potência ativa de entrada, desconsiderando perdas no 
núcleo, igual 1,56 MW.
Passo 4 de 8 keyboard_arrow_down
A potência de saída mecânica é a potência no resistor variável menos as perdas 
rotacionais, também chamadas de perdas por atrito e ventilação (Pav):
Do enunciado, sabemos que a potência mecânica de saída na operação nominal (Pout) é 
igual a 1,5 MW. Portanto, ao rearranjar a fórmula podemos calcular as perdas 
rotacionais com valor de 7,15 kW.
A potência elétrica total que entra na máquina corresponde à soma da potência de 
entrada (Pin), desprezando perdas no núcleo, com as perdas no núcleo (Pnúcleo), assim 
podemos escrever a equação do rendimento:
Do enunciado, sabemos que o rendimento (η) é igual a 95,2% na operação nominal.
Portanto, ao rearranjar a fórmula podemos calcular as perdas no núcleo (Pnúcleo) com
valor de 15,45 kW.
Passo 5 de 8 keyboard_arrow_down
b./c.
Podemos agora utilizar a resistência do núcleo (Rc) em paralelo com a reatância de
magnetização, voltando ao circuito equivalente monofásico tradicional, agora com
escorregamento negativo igual a -2,35%:
Passo 6 de 8 keyboard_arrow_down
A máquina se insere em sistema elétrico representado por seu equivalente de Thévenin 
com uma impedância do tipo RL:
Assim, teremos os agrupamentos de impedâncias:
Passo 7 de 8 keyboard_arrow_down
Podemos, então, calcular a potência complexa fornecida ao sistema elétrico externo
(Ssis) e também a respectiva potência ativa:
Devemos calcular também a corrente de entrada do circuito (I1) e também a potência 
perdida na impedância do sistema para enfim sabermos qual a potência elétrica de saída 
da máquina assíncrona em questão:
Agora, do circuito equivalente do gerador, devemos calcular a potência relacionada ao 
resistor variável, pois ela representa a potência mecânica aproveitada no gerador:
Finalmente, podemos calcular o fator de potência (FP) na entrada da máquina e seu 
rendimento (η):
Passo 8 de 8 keyboard_arrow_down
Com as expressões desenvolvidas no raciocínio anterior podemos calcular as grandezas 
solicitadas nas subpartes b. e c.
Cada subparte tem sua respectiva impedância equivalente do sistema elétrico externo, 
sendo que na subparte b. esta é nula (máquina conectada diretamente ao barramento 
infinito):
Rsis (?) Xsis (?)
b.0,000 0,000
c. 0,041 0,150
Ao executar os cálculos, teremos na subparte b. uma potência elétrica de saída igual a 
1,577 MW, um rendimento de 95,31% e um fator de potência de 0,983.
Para a subparte c., temos uma potência de 1,567 MW entregue ao barramento infinito e 
1,585 MW na saída da máquina.
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24-
Exercício
Escreva um script de MATLAB para plotar o rendimento em função da saída de 
potência clétrica do gerador de indução do Problema 6.23 quando a velocidade varia de 
1800 rpm a 1840 rpm, Assuma que o gerador está operando em um sistema com a 
impedância do alimentador da parte (c) do Problema 6.23.
Problema 6.23
Uma máquina de indução de quatro polos, 1,5 MW, 2400 V e 60 Hz tem os seguintes 
parâmetros de circuito equivalente, em ohms por fase, referidos ao estator:
Funcionando como motor, ela atinge a saída nominalno eixo quando o escorregamento 
é de 2,35%, com um rendimento de 95,2%. A máquina deve ser usada como gerador, 
impulsionado por uma turbina cólica. Ela será ligada a um sistema de distribuição de 60 
Hz que pode ser representado por um barramento infinito de 2400 V.
a.Com os dados apresentados, calcule as perdas totais rotacionais e as do núcleo para a 
carga nominal.
b. Se a turbina eólica acionar a máquina de indução com um escorregamento de
−2,35%, calcule (i) a potência clétrica de saída em MW, (ii) o rendimento (potência 
elêtrica de saída por potência de entrada no eixo) em porcentagem e (iii) o fator de 
potência medido nos terminais da máquina.
c.O sistema de distribuição real, ao qual o gerador é ligado, tem uma impedância 
efetiva de 0,041 + j0,15 Ω/fase. Para um escorregamento de −2,35%, calcule a potência
etétrica que é medida (i) no barramento infinito e (ii) nos terminais da máquina. 
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down
O script em Matlab faz uma varredura nas velocidades e para cada uma calcula a 
potência elétrica de saída e o rendimento:
Npontos = 200;
vel_rpm = linspace(1800,1840,Npontos);
Psaida = zeros(1,Npontos);
rend_maq = zeros(1,Npontos); 
for k = 1:Npontos
[Psaida(k), rend_maq(k)] = GeradorSis(vel_rpm(k)); 
end
plot(Psaida/1e6,rend_maq*100); 
xlabel('Potência elétrica de saída (MW)') 
ylabel('Rendimento (%)');
grid
Nesse script é feito o uso da função GeradorSis que ainda deve ser desenvolvida.
Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down
Para construir a função faltante, devemos transformar todo o procedimento de resolução
do exercício 6.23 em uma função que retorna o rendimento e a potência elétrica de saída
para uma dada rotação em rpm:
function [P_ele_saida, rend_maq] = GeradorSis(n_rpm)
%Caracteristicas nominais e construtivas 
V_linha = 2400;
f = 60;
p = 4;
ns = 120*f/p;
%Perdas
Pav = 7.1536e3;
Pnucleo = 1.5445e4;
%Operação
s = (ns-n_rpm)/ns;
%Dados do circuito equivalente 
R1 = 0.0384;
R2 = 0.0845;
X1 = 0.182;
X2 = 0.078;
XM = 32.7;
Rc = V_linha^2/Pnucleo;
%Dados do sistema elétrico
Vsis_fase_fasor = V_linha/sqrt(3);%Angulo 0 arbitrariamente 
Rsis = 0.041;
Xsis = 0.150;
%Impedâncias parciais 
Zsis = Rsis+j*Xsis;
Z1 = R1+j*X1;
Z2 = R2/s+j*X2;
ZM = j*XM*Rc/(Rc+j*XM);
%Impedância do gerador
Zg = Z1 + ZM*Z2/(ZM+Z2);
%Impedância vista pelo sistema 
Zin = Zsis + Zg;
%Potência fornecida ao sistema
S_sis = -3*abs(Vsis_fase_fasor)^2/conj(Zin); 
P_sis = real(S_sis);
%Perdas na impedância do sistema 
I1 = Vsis_fase_fasor/Zin; 
S_perdas_sis = 3*Zsis*abs(I1)^2;
%Potência mecânica aproveitada 
I2 = I1 * ZM / (Z2 + ZM);
Pmec_aproveitada = -3*R2*(1-s)/s*abs(I2)^2;
%Potência fornecida pela máquina
S_maq = S_sis + S_perdas_sis; 
P_ele_saida = real(S_maq); 
fp_maq = cos(angle(S_maq));
rend_maq = P_ele_saida/(Pmec_aproveitada+Pav);
end
Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down
Como resultado de tudo isso, temos o gráfico seguinte:
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25-
Exercício
Em um motor trifásico de gaiola, 75 kW, 460 V e 60 Hz, operando com tensão e 
frequência nominais, as perdas I2R do rotor, quando o conjugado é máximo, são 8,5 
vezes as do conjugado de plena carga. O escorregamento para o conjugado de plena 
carga é 0,026, A resistência do estator e as perdas rotacionais podem ser desprezadas 
podendo-se assumir que a resistência e a indutância do rotor são constantes.
Expressando o conjugado por unidade do conjugado a plena carga, obtenha (a) o 
escorregamento para o conjugado máximo, (b) o conjugado máximo e (c) o conjugado 
de partida.
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 8 keyboard_arrow_down
Ao desprezar queda de tensão e perdas no estator do circuito equivalente monofásico da 
máquina de indução, temos a tensão de fase totalmente aplicada no rotor da máquina.
Desta conclusão, podemos construir um circuito equivalente simplificado do rotor:
A potência mecânica entregue à carga é igual à potência dissipada no resistor variável, 
já que as perdas por atrito e ventilação são desprezíveis. E a perda joule (I²R) do rotor é 
a dissipada no resistor de valor constante (R2).
Passo 2 de 8 keyboard_arrow_down
Vamos desenvolver os cálculos para as perdas joule no rotor:
......(1)
Passo 3 de 8 keyboard_arrow_down
O exercício trata do conjugado em 3 operações distintas. Por isso, façamos uma tabela 
para melhor distingui-los e desenvolver suas expressões:
Operação
Conjugado (C) Escorregamento (s)
Valor relativo
Partida
Cp
1 115 %
Máximo conjugado
Ck sk
230 %
Nominal
Cn sn
100 %
Na condição de conjugado máximo ( ), temos as expressões:
......(2)
Passo 4 de 8 keyboard_arrow_down
Devemos agora comparar as perdas joule no rotor (1), nas condições de máximo
conjugado e nominal (plena carga), sabendo que elas têm uma razão (PJ2k/PJ2n) de 8,5. 
Posteriormente devemos desenvolver a expressão com o auxílio de (2):
Podemos simplificar ainda mais e isolar o escorregamento para conjugado máximo (sk):
Passo 5 de 8 keyboard_arrow_down
Substituindo os valores, temos sk igual a 0,1040.
Vamos fazer agora a razão entre o conjugado máximo e o conjugado nominal:
Novamente, isolando X2 ou R2 em (2), desenvolvemos:
Passo 6 de 8 keyboard_arrow_down
Substituindo o valor do escorregamento nominal dado no enunciado e do 
escorregamento para conjugado máximo obtido anteriormente, temos o máximo 
conjugado igual a 212,5 % do conjugado nominal.
Passo 7 de 8 keyboard_arrow_down
Agora, vamos comparar o conjugado de partida ao conjugado nominal e desenvolver a 
expressão novamente com o auxílio de (2):
Passo 8 de 8 keyboard_arrow_down
Substituindo o valor do escorregamento nominal dado no enunciado e do 
escorregamento para conjugado máximo obtido anteriormente, temos o conjugado de
partida igual a 43,73 % do conjugado nominal.
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26-
Exercício
Um motor de indução de gaiola funciona a plena carga com um escorregamento de 
3,5%. A corrente do rotor na partida é 4,8 vezes a corrente do rotor a plena carga. A
resistência e a indutância do rotor não dependem da frequência do rotor e pode-sc 
desprezar a resistência do cstator e as perdas rotacionais e suplementares. Expressando 
o conjugado por unidade do conjugado de plena carga, calcule (a) o conjugado de 
partida e (b) o conjugado máximo e o escorregamento no qual ocorre o conjugado 
máximo.
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 9 keyboard_arrow_down
Ao desprezar queda de tensão e perdas no estator do circuito equivalente monofásico da 
máquina de indução, temos a tensão de fase totalmente aplicada no rotor da máquina.
Desta conclusão, podemos construir um circuito equivalente simplificado do rotor:
Passo 2 de 9 keyboard_arrow_down
Do circuito, podemos concluir que o módulo da corrente de rotor é:
......(1)
Na operação de partida (rotação nula), temos escorregamento unitário, logo:
Passo 3 de 9 keyboard_arrow_down
O exercício trata do conjugado em 3 operações distintas. Por isso, façamos uma tabela 
para melhor distingui-los e desenvolver suas expressões:
Operação
Conjugado (C) Escorregamento (s)
Valor relativo
Partida
Cp
1 115 %
Máximo conjugado
Ck sk
230 %
Nominal
Cn sn
100 %
Na condição de conjugado máximo ( ), temos as expressões:
......(2)
Passo 4 de 9 keyboard_arrow_down
Devemos agora comparar as correntes de rotor (1) nas condições de partida e operação 
nominal:
Utilizando (2), podemos concluir que:
Passo 5 de 9 keyboard_arrow_down
Calculamos então o escorregamento para o conjugado máximo igual a 0,1667.
Passo 6 de 9 keyboard_arrow_down
Vamos fazer agora a razão entre o conjugado máximo e o conjugado nominal:
Novamente, isolando X2 ou R2 em (2), desenvolvemos:
Passo 7 de 9 keyboard_arrow_down
Substituindo o valor do escorregamento nominal dado no enunciado e do 
escorregamento para conjugado máximo obtido anteriormente, temos o máximo 
conjugado igual a 248,6 % do conjugado nominal.
Passo 8 de 9 keyboard_arrow_down
Agora, vamos comparar