Conceitos introdutórios sobre funções

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53
MATEMÁTICA
Unidade II
5 FUNÇÕES
5.1 Conceitos introdutórios
Nesse tópico, alguns conceitos preliminares ao estudo de funções serão apresentados, tais como: 
plano cartesiano e relações entre conjuntos.
5.1.1 Plano cartesiano
O plano cartesiano é formado por duas retas reais perpendiculares, denominadas eixo x e y. O ponto 
de cruzamento dessas retas é denominado origem dos eixos, pois representa o início da contagem dos 
eixos x e y e tem o zero como marcador.
Os eixos x e y dividem o plano em quatro áreas, os quadrantes, que são organizados no sentido anti-
horário e numerados em ordem crescente, com início em 1.
A ilustração a seguir apresenta o plano cartesiano e seus principais componentes:
y (eixo das ordenadas)
x (eixo das abscissas)
Ponto de origem
2º quadrante 1º quadrante
4º quadrante3º quadrante
0
Figura 32
54
Unidade II
 Observação
O eixo y também é chamado de eixo das ordenadas ou eixo vertical e o 
eixo x também é chamado de eixo das abscissas ou eixo horizontal.
5.1.2 Par ordenado
Um par ordenado (a;b) representa um único ponto no plano cartesiano e vice-versa. O par ordenado 
pode ser representado matematicamente da seguinte forma:
y
b
0 a x
P=(a; b)
Figura 33
 Observação
A notação do ponto P pode ser P = (a;b), P (a;b) ou P ↔ (a;b).
Observe, na ilustração, alguns exemplos de pontos representados no plano cartesiano:
y
x
C
D
E
B
A
–3
–2
0
1
2
3
–2 1 2
Figura 34
55
MATEMÁTICA
A = (1;3) ou A (1;3) ou A ↔ (1;3).
B = (2;1) ou B (2;1) ou B ↔ (2;1).
C = (-2;2) ou C (-2;2) ou C ↔ (-2;2).
D = (-2;-3) ou D (-2;-3) ou D ↔ (-2;-3).
E = (2;-2) ou E (2;-2) ou E ↔ (2;-2).
5.1.3 Produto cartesiano (AxB)
O produto cartesiano de AxB é o conjunto de todos os pares ordenados (x;y), tal que x pertença ao 
conjunto A e y ao B, sendo que A e B não podem ser dois conjuntos vazios.
A notação matemática que representa o produto cartesiano é: A x B = {x |x ∈ A e y ∈ B}.
Existem diversas formas de representar o produto cartesiano, tais como a notação de conjuntos, o 
diagrama de flechas e o próprio plano cartesiano. Vejamos alguns exemplos:
Dados os conjuntos A = {-2;3} e B = {0;1;3}, temos os seguintes produtos cartesianos:
Exemplo 1
Produto cartesiano AxB
AxB = {(-2;0), (-2;1), (-2;3), (3;0), (3;1), (3;3)}
O produto cartesiano AxB representado no diagrama de flechas:
AxB
A B
–2
3
3
1
0
Figura 35
56
Unidade II
O produto cartesiano AxB representado no plano cartesiano:
y
x
–3
–2
0
1
2
3
–2 1 2 3
–1
–3 –1
Figura 36
 Lembrete
O plano cartesiano é formado por duas retas reais perpendiculares, 
denominadas eixo x e y. O ponto de cruzamento dessas retas é denominado 
origem dos eixos, pois representa o início da contagem dos eixos x e y e tem 
o zero como marcador.
Exemplo 2
Produto cartesiano BxA
BxA= {(0;-2), (0;3), (1;-2), (1;3), (3;-2), (3;3)}
O produto cartesiano BxA representado no diagrama de flechas:
BxA
B A
–2
3
3
1
0
Figura 37
57
MATEMÁTICA
O produto cartesiano BxA representado no plano cartesiano:
y
x
–3
–2
0
1
2
3
–2 1 2 3
–1
–3 –1
Figura 38
Exemplo 3
Produto cartesiano AxA
A2 = AxA = {(-2;-2), (-2;3), (3;-2), (3;3)}
O produto cartesiano AxA representado no diagrama de flechas:
AxB
A B
–2
3
–2
3
Figura 39
58
Unidade II
O produto cartesiano AxA representado no plano cartesiano:
y
x
–3
–2
0
1
2
3
–2 1 2 3
–1
–3 –1
Figura 40
5.1.4 Relações
A relação de A em B é qualquer subconjunto do produto cartesiano AxB, sendo que A e B não podem 
ser dois conjuntos vazios. Uma relação R de A em B é denotada pelo símbolo R: A → B.
Por exemplo:
Dados os conjuntos A = {-2;3} e B = {0;1;3}, temos AxB = {(-2;0), (-2;1), (-2;3), (3;0), (3;1), (3;3)}, 
sendo R1, R2 e R3, descritas a seguir, relações de A em B:
R1= {(-2;0), (-2;1), (-2;3)}
R2= {(-2;3), (3;0)}
R3= {(-2;0), (-2;1), (3;1), (3;3)}
Observe que R1, R2 e R3 são subconjuntos do produto cartesiano AxB.
5.1.5 Domínio e imagem
Em uma relação R de A em B, um par ordenado (x;y) associa x a y, no qual y é denominado imagem 
de x em R.
Por exemplo, na relação ilustrada no diagrama a seguir, note que:
• o 1 do conjunto A está associado ao 0 do conjunto B;
59
MATEMÁTICA
• o 2 do conjunto A está associado ao 4 do conjunto B;
• o 4 do conjunto A está associado ao 6 e ao 8 do conjunto B.
R: A→B
A B
3
2
1
4
0
2
4
6
8
Figura 41
Assim, podemos dizer que:
• 0 é a imagem de 1;
• 4 é a imagem de 2;
• 6 e 8 são imagens de 4.
Note ainda que o elemento 3 do conjunto A não está associado a qualquer elemento de B e que o 2 
do conjunto B não é imagem de nenhum elemento do conjunto A.
Considerando uma relação R qualquer de A em B, denominam-se domínio e imagem os seguintes 
conjuntos:
• domínio de R ou D(R) é o conjunto de todos os elementos de A que estão associados a pelo 
menos um elemento de B: D(R) = {1, 2, 4};
• imagem de R ou Im(R) é o conjunto de todos os elementos de B que são imagens de pelo menos 
um elemento de A: Im(R) = {0, 4, 6, 8}.
5.2 Conceitos elementares de função
Função é uma relação entre dois conjuntos A e B definida por uma regra de formação f na qual 
cada elemento de A é relacionado a apenas um elemento de B. A função é denotada pela notação 
f: A → B.
60
Unidade II
Observe os exemplos a seguir:
Exemplo 1
R1: A→BA B
3
2
1
4
3
2
1
4
5
Figura 42
Ao adotar o conjunto A como o de partida das setas e o B como o conjunto de chegada das setas, 
temos que:
• o domínio de R1 é o conjunto de partida (A);
• o contradomínio de R1 é o conjunto de chegada (B);
• o conjunto imagem de R1 é um subconjunto do contradomínio composto dos elementos que 
possuem uma relação com os elementos de A, no caso, {1,3,4,5}.
Porém, observe que R1 não é uma função de A em B, pois o elemento 3 do conjunto A não está 
associado a qualquer elemento de B, assim, R1 é apenas uma relação.
Exemplo 2
R3: A→BA B
3
2
1
4
3
2
1
4
5
Figura 43
Aqui, temos que:
• o domínio de R2 é o conjunto de partida (A);
61
MATEMÁTICA
• o contradomínio de R2 é o conjunto de chegada (B);
• o conjunto imagem de R2 também é o conjunto de chegada (B).
Note ainda que R2 também não é uma função de A em B, uma vez que o elemento 4 do conjunto A 
está associado a dois elementos de B, o 4 e o 5, assim, R2 é apenas uma relação.
Exemplo 3
R3: A→BA B
3
2
1
4
3
2
1
4
5
Figura 44
Nesse exemplo, temos que:
• o domínio de R3 é o conjunto de partida (A);
• o contradomínio de R3 é o conjunto de chegada (B);
• o conjunto imagem de R3 é um subconjunto do contradomínio composto pelos elementos que 
possuem uma relação com os elementos de A, no caso, {1,2,3,4}.
Atente para o fato de que R3 é uma função de A em B, pois cada elemento do conjunto A está 
relacionado a um único elemento do conjunto B.
 Lembrete
Se uma relação é uma função de A em B, então A é o domínio da 
função, B é o contradomínio da função e o conjunto imagem da função é 
formado pelos elementos do contradomínio B que estão associados aos do 
domínio A.
62
Unidade II
5.2.1 Domínio e imagem: análise gráfica
A imagem de f é o conjunto de todos os valores possíveis de f(x) quando x varia por todo o domínio. 
Essa variação também é chamada de variação de f.
Imagem
Domínio
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
–1,0
1,0 2,0–1,0–2,0–3,0–4,0–5,0–6,0
Figura 45
Teste da reta vertical
Uma curva no plano cartesiano só é um gráfico de uma função se nenhuma reta vertical cortar a 
curva mais de uma vez.
É curva de uma função
y
0
x
Não é curva de uma função
y
0
x
(A) (B)
Figura 46
Definindo o domínio de uma função
O domínio é constituído por todos os valores reais de x para os quais seja possível o cálculo da 
imagem. Vejamos mais alguns exemplos:
63
MATEMÁTICA
Exemplo 1
f x
x
  

2
1
O domínio da função é D=R-{1}, pois o valor x = 1 faz com que o denominador seja zero.
Exemplo 2
f x x   1
Aqui, D = [1, ∞], pois, para x < 1, o radicando é negativo e não existe raiz quadrada de número 
negativo.
Exemplo 3
f(x) = x2 +2x
Aqui, D = R, pois, nesse exemplo, x pode ser qualquer valor real.
5.3 Funções definidas por fórmulas matemáticas
Uma função f:A → B pode ser representada por uma lei, como y = f(x), que estabelece um critério 
na associação dos pares ordenados (x,y) ∈ AxB.
Exemplo 1
Dados os conjuntos A = {1; 2; 3} e B = {0; 2; 4; 6; 8}, nos quais a relação de f:A → B é definida pela 
função f(x) = 2x (com (x,y) ∈ A x B e também representada por y = 2x), temos:
Tabela 1
x y = f(x) = 2x Par ordenado (x;y)
1 y = f(1) = 2.1 = 2 (1,2)
2 y = f(2) = 2.2 = 4 (2,4)
3 y = f(3) = 2.3 = 6 (3,6)
• domínio: D(f) = {1; 2; 3}
• contradomínio: C(f) = {0; 2; 4; 6; 8}
• imagem: Im(f) = {2; 4; 6}
64
Unidade II
Confira a representação no diagrama de flechas:
f: A→B
A B
3
2
1
4
2
0
6
8
Figura 47
Verifique a representação no plano cartesiano:
y
x0 9
8
7
6
5
4
3
2
1
87654321
Figura 48
Exemplo 2
Dados os conjuntos A = {0; 1; 2; 3; 4; 5} e B = {1; 3; 5; 7; 9; 11}, nos quais a relação de f:A → B é 
definida pela função f(x) = 2x + 1 (com x ∈ A e y ∈ B, e também representada por y=2 x + 1), temos:
Tabela 2
x y = f(x) = 2x + 1 Par ordenado (x,y)
0 y = f(0) = 2.0 + 1 = 0 + 1 = 1 (0,1)
1 y = f(1) = 2.1 + 1 = 2 + 1 = 3 (1,3)
2 y = f(2) = 2.2 + 1 = 4 + 1 = 5 (2,5)
3 y = f(3) = 2.3 + 1 = 6 + 1 = 7 (3,7)
4 y = f(4) = 2.4 + 1 = 8 + 1 = 9 (4,9)
5 y = f(5) = 2.5 + 1 = 10 + 1 = 11 (5,11)
65
MATEMÁTICA
• domínio: D(f) = {0; 1; 2; 3; 4; 5}
• contradomínio: C(f) = {1; 3; 5; 7; 9; 11}
• imagem: Im(f) = {1; 3; 5; 7; 9; 11}
Veja a representação no diagrama de flechas:
f: A→B
A B
5
3
1
7
9
11
2
1
0
3
4
5
Figura 49
Confira a representação no plano cartesiano:
y
x0
8
7
6
5
4
3
2
1
7654321
10
9
11
Figura 50
66
Unidade II
5.4 Função do 1º grau (função linear ou afim)
Uma função do 1o grau é toda função f: R → R definida pela regra y = f(x) = ax + b, com a e b ∈ R 
e sendo a e b constantes denominadas coeficientes da função.
As principais características da função do 1º grau são:
• o gráfico da função do 1º grau é sempre uma reta;
• quando a constante a for positiva (a > 0), a função é crescente, ou seja, quanto maior o valor de 
x, maior será o valor de y;
• quando a constante a for negativa (a < 0), a função é decrescente, ou seja, quanto maior o valor 
de x, menor será o valor de y;
• quando a constante a for nula (a = 0), a função é constante, ou seja, para qualquer valor de x, o 
valor de y é sempre o mesmo;
• quando a constante b for igual a zero, o gráfico sempre passará pela origem dos eixos;
• a constante b, denominada coeficiente linear da reta, é o intercepto do gráfico no eixo y;
• a constante a, denominada coeficiente angular da reta, representa a taxa de variação de y, dada 
uma variação na variável independente x;
• o coeficiente angular é dado pela relação a
y
x
y y
x x
  



0
0
, assim, a partir de dois pontos, é 
possível se encontrar o coeficiente angular da reta.
Comportamento da função do 1º grau
Quando a constante b da função é alterada, o gráfico da função é deslocado verticalmente na 
quantidade de unidades expressa em b. Observe o exemplo a seguir: a função y = x + 1 é a função 
y = x deslocada 1 unidade para cima e a função y = x - 2 é a função y = x deslocada 2 unidades 
para baixo:
67
MATEMÁTICA
–1,0–2,0–3,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
–1,0
–2,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
+1
–2
y = x + 1
y = x 
y = x – 2
Figura 51
Já a constante a afeta a inclinação da reta. Quanto maior for o valor de a, mais distante a reta ficará 
do eixo x, ou seja, o ângulo formado pelo eixo x e a reta aumenta. Observe:
–2,0
–1,0
1.0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0–1,0–2,0–3,0–4,0–5,0
y = 5x
y = 3x
y = 2x
y = x
y = 0,5x
y = 0,25x
Figura 52
Para construir gráficos da função do 1º grau, verifiquemos os exemplos a seguir:
Exemplo 1
Dada a função y = f(x) = 2x + 6, nota-se que f é uma função crescente, já que a = 2 > 0.
68
Unidade II
As instruções para desenhar o gráfico da função são:
1o passo: calcular o valor de y para x = 0
y = 2x + 6
y = 2.0 + 6 = 6
Como x = 0 e y = 6, temos P1 = (0,6).
2o passo: calcular o valor de x para y = 0 (raiz ou zero da função)
y = 2x + 6
0 = 2x + 6
–6 = 2x ⇒ 2x = –6
x    6
2
3
Como x = –3 e y = 0, temos P2 = (–3,0).
3o passo: inserir os dois pontos no diagrama cartesiano e traçar uma reta que passe por eles
7,0
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
–4,0 –3,0 –2,0 –1,0 1,0 2,0 3,0
Figura 53
69
MATEMÁTICA
O gráfico da função intercepta o eixo x (ou horizontal) em -3 e intercepta o eixo y (ou vertical) em 6.
Perceba que, ao aumentar 1 unidade em x, a função aumenta 2 unidades em y:
f(x) = 2x + 6
f(–2) = 2.(–2) + 6 = –4 + 6 = 2
f(–1) = 2.(–1) + 6 = –2 + 6 = 4
Essa é a taxa de crescimento da função, fornecida por meio do coeficiente a. Nesse exemplo, a = 2, 
o que indica um aumento de 2 unidades em y a cada 1 unidade aumentada em x.
Exemplo 2
Dada a função y = f(x) = –2x + 6, observa-se que f é uma função decrescente, já que a = -2 < 0.
As instruções para desenhar o gráfico da função são:
1º passo: calcular o valor de y para x = 0
y = – 2x + 6
y = – 2 . 0 + 6 = 6
Como x = 0 e y = 6, temos P1 = (0,6).
2º passo: calcular o valor de x para y = 0 (raiz ou zero da função)
y = –2x + 6
0 = –2x + 6
–6 = –2x ⇒ –2x = –6
x = =6
2
3
Como x = 3 e y = 0, temos P1 = (3,0).
3º passo: inserir os dois pontos no diagrama cartesiano e traçar uma reta que passe por eles:
70
Unidade II
7,0
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
–4,0 –3,0 –2,0 –1,0 1,0 2,0 3,0
Figura 54
Observe que o gráfico da função intercepta o eixo x (ou horizontal) em 3 e o eixo y (ou vertical) em 6.
Note ainda que, ao aumentar 1 unidade em x, a função diminui 2 unidades em y:
f(x) = –2 + 6
f(1) = –2.(1) + 6 = –2 + 6 = 4
f(2) = –2.(2) + 6 = –4 + 6 = 2
Essa é a taxa de crescimento da função, fornecida por meio do coeficiente a.
Atente para o fato de que, nesse exemplo, em que a = -2, ou seja, a < 0, há um decréscimo de 2 
unidades em y a cada 1 unidade aumentada em x.
Exemplo 3
Dada a função y = f(x) = 6 = 0x + 6, observa-se que f é uma função constante, já que a = 0.
As instruções para desenhar o gráfico da função são:
71
MATEMÁTICA
1º passo: calcular o valor de y para x = 0
y = 0x + 6
y = 0.0 + 6 = 6
Como x = 0 e y = 6, temos P1 = (0,6).
2º passo: calcular o valor de y para x = 1
y = 0x + 6
y = 0.1 + 6 = 0 + 6 = 6
Como x = 1 e y = 6, temos P2 = (1,6).
3º passo: inserir os dois pontos no diagrama cartesiano e traçar uma reta que passe por eles:
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
–4,0 –3,0 –2,0 –1,0 1,0 2,0 3,0
Figura 55
O gráfico da função não intercepta o eixo x (ou horizontal) e intercepta o eixo y (ou vertical) em 6.
Perceba que, ao aumentar 1 unidade em x, a função mantém-se constante em y:
f(x) = 0x + 6
f(1) = 0.(1) + 6 = 6
f(2) = 0.(2) + 6 = 6
72
Unidade II
Nesse exemplo, a = 0, o que indica que não há aumento de unidades em y quando 1 unidade é 
aumentada em x.
Exemplo 4
Dada a função y = f(x) = 2x, observa-se que f é uma função crescente, já que a = 2 > 0.
As instruções para desenhar o gráfico da função são:
1º passo: calcular o valor de y para x = 0
y = 2x
y = 2.0 = 0
Como x = 0 e y = 0, temos P1 = (0,0).
2º passo: calcular o valor de y para x = 1
y = 2x
y = 2.1 = 2
Como x = 1 e y = 2, temos P2 = (1,2).
3º passo: inserir os dois pontos no diagrama cartesiano e traçar uma reta que passe por eles
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
–4,0 –3,0 –2,0 –1,0
–1,0
1,0 2,0 3,0
Figura 56
73
MATEMÁTICA
Observe que o gráfico da função intercepta tanto o eixo horizontal como o eixo vertical no zero, 
ou seja, ele passa pela origem (0,0). Além disso, ao aumentarmos 1 unidade em x, a função diminuirá 2 
unidades em y:
f(x) = 2x
f(1) = 2.(1) = 2
f(2) = 2.(2) = 4
Nesse exemplo, a = 2, o que indica um crescimento de 2 unidades em y a cada 1 unidade aumentada 
em x.
5.4.1 Ponto de intersecção de duas retas
Determinando e representandoo ponto de intersecção de duas retas num mesmo sistema de 
coordenadas, temos os exemplos expostos a seguir:
Exemplo 1
Dado o seguinte sistema de equações:
y x
y x
  
 



2 5
1
Tracemos os gráficos das duas funções em um mesmo sistema de coordenadas, apontando o ponto 
de intersecção entre elas:
1º passo: obter os pontos que a função y = –2x + 5 intercepta nos eixos x e y
para x = 0, temos:
y = –2 . 0 + 5 = 5
portanto, P1 = (0;5)
para y = 0, temos:
0 = –2x + 5
2x = 5
x
b
a
y
a
V
b
a a
v
v
 
 






  



2
4
2 4

,  x
5
2
2 5.
74
Unidade II
portanto, P2 = (2,5;0)
2º passo: obter os pontos que a função y = x – 1 intercepta nos eixos x e y
para x = 0, temos:
y = 0 –1 = –1
portanto P1 = (0;–1)
para y = 0, temos:
0 = x – 1
x = 1
portanto, P2 = (1;0).
3º passo: obter o ponto de intersecção. Para isso, basta igualar as duas equações
–2x + 5 = x – 1
–2x – x = –1 – 5
–3x = –6
x  

6
3
2
4º passo: substituir x em uma das equações para achar y
y = x –1
y = 2 –1 = 1
portanto, o ponto de intersecção é (2;1)
75
MATEMÁTICA
5º passo: traçar as retas e o ponto de interseção em um mesmo sistema de coordenadas
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
–2,0 –1,0
–1,0
–2,0
1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
Figura 57
5.5 Função do 2º grau (função quadrática)
Função do 2o grau é toda função f: R → R definida pela regra y = f(x) = ax2 + bx + c, com a e b ∈ R 
e a ≠ 0, sendo a, b e c denominados coeficientes da função.
As principais características da função do 2º grau são:
• o gráfico de uma função quadrática é uma curva denominada parábola;
• quando o coeficiente a for positivo (a > 0), o gráfico da função tem concavidade voltada 
para cima;
• quando o coeficiente a for negativo (a < 0); o gráfico da função tem concavidade voltada 
para baixo.
Ao estudar o comportamento da função quadrática, verificamos que a constante a da função do 2º 
grau está relacionada à abertura da parábola, ou seja, quanto maior o valor de a, mais fechada será a 
parábola, como mostra a ilustração a seguir:
76
Unidade II
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
–2,0 –1,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0–3,0–4,0–5,0
10x2
5x2
2x2
x2
0,5x2
0,25x2
0,1x2
Figura 58
A constante c da função do 2º grau, por sua vez, afeta o deslocamento vertical do gráfico. Veja:
–2,0–3,0 –1,0 1,0 2,0
–1,0
–2,0
1,0
2,0
3,0
4,0
x2+1
x2
x2-2
+1
–2
Figura 59
77
MATEMÁTICA
A seguir, apresentamos instruções para desenhar o gráfico da função quadrática.
1º passo: análise do coeficiente a
• se a > 0, o gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para cima;
• se a < 0, o gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para baixo.
(A) a > 0 (B) a < 0
Figura 60
2º passo: calcular os zeros ou raízes da função
Calcule ∆ = b2 – 4ac e analise o resultado: se ∆ > 0, a função admite duas raízes reais e diferentes, 
que podem ser obtidas pelas fórmulas:
x
b
a
’    
2 
x
b
a
"    
2
Porém, se ∆ > 0, a parábola intercepta o eixo x (horizontal) em dois pontos diferentes (x’ e x”):
(A) 
a > 0
x’ x”
 (B) 
a < 0
x’ x”
Figura 61
78
Unidade II
Se ∆ = 0, a função admite duas raízes reais e iguais que podem ser obtidas pela fórmula:
x x x
b
a
   ’ "
2
Além disso, se ∆ = 0, a parábola intercepta o eixo x (horizontal) em um único ponto (x’ = x”). Observe:
(A) 
a > 0
x’ = x” (B) 
x’ = x”
a < 0
Figura 62
Por fim, se ∆ < 0, a função não admite raízes reais e a parábola nunca interceptará o eixo x (horizontal).
(A) 
a > 0
 (B) 
a < 0
Figura 63
3o passo: calcular o vértice da parábola
x
b
a
y
a
V
b
a a
v
v
 
 






  



2
4
2 4

,
79
MATEMÁTICA
4o passo: calcular o ponto que intercepta o eixo y (vertical). Para isso, calcule o valor de y para x = 0
y = ax2 + bx + c, fazendo x = 0, temos que:
y = a.02 + b.0 + c
y = c
O ponto que intercepta o eixo y é (0, c).
Verifique a seguir alguns exemplos:
Exemplo 1
Construa o gráfico da função f(x) = x2 – 4x – 5:
a = 1 b = (–4) c = (–5)
1º passo: análise do coeficiente a
Como a = 1 > 0, o gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para cima.
2º passo: calcular os zeros ou raízes da função
∆ = b2 – 4ac = (–4)2 – 4 . 1 . (–5) = 16 + 20 = 36
Como ∆ = 36 > 0, a função admite duas raízes reais e diferentes, calculadas a seguir:
x
b
a
’
.
   
       
2
4 36
2 1
4 6
2
10
2
5
x
b
a
"
.
   
         
2
4 36
2 1
4 6
2
2
2
1
Portanto, a parábola intercepta o eixo x nos pontos -1 e 5.
3º passo: calcular o vértice da parábola
x
b
a
y
a
V
b
a a
v
v
 
 






  



2
4
2 4

, → 
x
y
V
v
v
    
     






  
( )
.
.
,
4
2 1
4
2
2
36
4 1
36
4
9
2 9
80
Unidade II
4º passo: obter o ponto que o gráfico intercepta no eixo y. Para isso, calcule o valor de y para x = 0. 
Assim, o ponto que intercepta o eixo y é (0, –5)
5º passo: colocar todos os pontos no diagrama cartesiano e traçar o gráfico
1,0
–1,0
–2,0
–3,0
–4,0
–5,0
–2,0 –1,0 3,0 4,0 5,01,0 2,0 6,0
–6,0
–7,0
–8,0
–9,0
Figura 64
Exemplo 2
Construa o gráfico da função f(x) = –x2 + 6x – 9:
a = (–1) b = 6 c = (–9)
1º passo: análise do coeficiente a
Como a = -1 < 0, o gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para baixo.
2º passo: calcular os zeros ou raízes da função
∆ = b2 – 4ac = (6)2 – 4.(–1).(–9) = 36 – 36 = 0
81
MATEMÁTICA
Como ∆ = 0, a função admite duas raízes reais e iguais, calculadas a seguir
x x x   
  


’ "
.
6
2 1
6
2
3
portanto, a parábola intercepta o eixo x no ponto 3.
3º passo: calcular o vértice da parábola
x
b
a
y
a
V
b
a a
v
v
 
 






  



2
4
2 4

, → 
x
y
V
v
v
 

 


 

 








  
6
2 1
6
2
3
0
4 1
0
4
0
3 0
.( )
.( )
,
4º passo: obter o ponto que o gráfico intercepta no eixo y. Para isso, calcule o valor de y para x = 0. Assim, 
o ponto que intercepta o eixo y é (0, –9)
5o passo: colocar todos os pontos no diagrama cartesiano e traçar o gráfico
1,0
–1,0
–2,0
–3,0
–4,0
–5,0
–2,0 –1,0 3,0 4,0 5,01,0 2,0 6,0
–6,0
–7,0
–8,0
–9,0
Figura 65
82
Unidade II
Exemplo 3
Construa o gráfico da função f(x) = x2 + 2x + 3:
a = 1 b = 2 c = 3
1º passo: análise do coeficiente a
Como a = 1 > 0, o gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para cima.
2º passo: calcular os zeros ou raízes da função
∆ = b2 – 4ac = (2)2 – 4 . 1 . (3) = 4 – 12 = –8
Como ∆ = - 8 > 0, a função não admite raízes reais, portanto, não intercepta nem toca o eixo x.
3º passo: calcular o vértice da parábola
x
b
a
y
a
V
b
a a
v
v
 
 






  



2
4
2 4

, → 
x
y
V
v
v
   
   






  
2
2 1
1
8
4 1
2
12.
( )
.
,
4º passo: obter o ponto que o gráfico intercepta no eixo y. Para isso, calcule o valor de y para x = 0. 
Assim, o ponto que intercepta o eixo y é (0,3)
83
MATEMÁTICA
5º passo: colocar todos os pontos no diagrama cartesiano e traçar o gráfico
7,0
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
–4,0 –3,0 –2,0 –1,0 1,0 2,0 3,0
8,0
Figura 66
5.5.1 Ponto de intersecção: reta e parábola
Ao determinar e representar um ponto de intersecção entre retas e parábolas num mesmo sistema 
de coordenadas, temos, por exemplo, o seguinte sistema de equações:
y x
y x x
  
   




2 5
4 42
Façamos os gráficos das duas funções em um mesmo sistema de coordenadas e apontemos o ponto 
de intersecção entre elas.
1º passo: obter os pontos que a função y = -2x + 5 intercepta nos eixos x e y
para x = 0, temos:
y = –2.0 + 5 = 5
portanto, P1 = (0;5)
84
Unidade II
para y = 0 temos:
0 = –2x + 5
2x = 5
  x 5
2
2 5,
portanto, P2 = (2,5;0).
2º passo: obter os pontos necessários para traçar o gráfico da função y = -x2 + 4x + 4
a = (–1) b = 4 c = 4
Como a = - 1 < 0, o gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para baixo.
Façamos ocálculo dos zeros ou raízes da função:
∆ = b2 –4ac = (4)2 –4.(–1).4 = 16 + 16 = 32
Como ∆ = 32 > 0, a função admite duas raízes reais e diferentes, calculadas a seguir:
x ’
.
, ,
,
  
  
 



 
4 32
2 1
4 5 66
2
166
2
0 83
x "
.
, ,
,
  
  
 

 

 
4 32
2 1
4 5 66
2
9 66
2
4 83
A parábola intercepta o eixo horizontal (eixo x) em dois pontos diferentes: -0,83 e 4,83.
Calculemos o vértice da parábola:
 
V
b
a a
 



 
    




  
2 4
4
2 1
32
4 1
2 8,
( )
.
,
.
,

Logo, os pontos de interceptação no eixo y são (0,c) = (0,4).
85
MATEMÁTICA
3º passo: obter o ponto de intersecção. Para isso, é preciso igualar as duas equações
–x2 + 4x + 4 = –2x = 5
–x2 + 4x + 4 + 2x – 5 = 0
–x2 + 6x –1 = 0
Calculemos as raízes da função:
∆ = b2 – 4ac = (6)2 –4.(–1).(–1) = 36 – 4 = 32
Como ∆ = 32 > 0, a função admite duas raízes reais e diferentes:
x ’
.
, ,
,
 
  
 

 

6 32
2 1
6 5 66
2
0 35
2
0 17x ’
.
, ,
,
 
  
 

 

6 32
2 1
6 5 66
2
0 35
2
0 17x "
.
, ,
,
  
  
 

 

 
4 32
2 1
4 5 66
2
9 66
2
4 83
x "
.
, ,
,  
  
 

 

6 32
2 1
6 5 66
2
1166
2
5 83
Para achar o valor de y, é necessário substituir x em uma das equações:
y’ = 2x’ + 5
y’ = 2.(0,17) + 5 = 4,66
y” = – 2x” + 5
y” = –2(5,83) + 5 = 6,66
Portanto, os pontos de intersecção entre a reta e a parábola são (0,17; 4,66) e (5,83; -6,66).
86
Unidade II
4º passo: traçar a reta, a parábola e o ponto de interseção em um mesmo sistema de coordenadas
7,0
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
–2,0 –1,0 1,0 3,0 4,0 5,0
8,0
2,0 6,0
–1,0
–2,0
–3,0
–4,0
–5,0
–6,0
-7,0
Figura 67
5.6 Equação exponencial
Uma equação exponencial é aquela que apresenta a incógnita no expoente em pelo menos uma 
potência da expressão. Para resolver uma equação exponencial, é necessário reduzir ambos os lados da 
equação a potências de mesma base a (a > 0 e a ≠ 1) e aplicar a seguinte propriedade:
ax1 = ax2 → x1 = x2
87
MATEMÁTICA
Veja alguns exemplos:
Exemplo 1
2x = 23
x = 3
S = {3}
Exemplo 2
2x = 16
2x = 24
x = 4
S = {4}
Exemplo 3
42x = 4x+1
2x = x + 1
2x – x = 1
x = 1
S = {1}
Exemplo 4
1
3
81




x
(3–1)x = 34
3–x = 34
x = –4
S = {–4}
88
Unidade II
Exemplo 5
2 64  x
2 2
1
2 6







x
2 2
1
2 6







x
2 2
1
2 6







x
2 2
1
2 6







x
2 2
1
2 6







x
x
2
6=
x = 12
S = {12}
Exemplo 6
(3x)x+1 = 729
3x2+ x = 36
x2 + x = 6
x2 + x – 6 = 0
Ao resolver a equação, obtemos as raízes: x = –3 ou x = 2, S = {2, –3}.
Exemplo 7
22x+1.43x+1 = 8x–1
22x+1.(22)3x+1 = (23)x–1
22x+1.26x+2 = 23x–3
28x+3 = 23x–3
8x + 3 = 3x – 3
x   6
5
S  




6
5
89
MATEMÁTICA
5.7 Função exponencial
Uma função exponencial é toda função f de R em R dada pela regra f(x)=ax, onde a é um número 
real positivo e diferente de 1.
Assim, as propriedades das funções exponenciais são:
1º caso: função exponencial com base maior que 1 (a > 1).
Observe o gráfico da função y = 2x, ilustrado a seguir:
10,0
9,0
8,0
7,0
6,0
5,0
4,0
11,0
2,0
1,0
3,0
–2,0 –1,0 2,0 3,01,0–3,0
Figura 68
Verifique que:
• como y = ax > 0, ou seja, y > 0 para todo x, o gráfico de y = ax estará localizado no 1º e no 2º 
quadrante;
90
Unidade II
• o eixo x é assíntota horizontal, uma vez que, quando x diminui, y se aproxima de zero;
• a função y = ax intercepta o eixo y no ponto (0,1);
• a função y = ax, para a > 1, é crescente, uma vez que x1 > x2 → a
x1 > ax2.
A seguir, é apresentado o gráfico da função y = 2-x. Essa função é semelhante à função y = 2x. 
A diferença entre elas é o expoente negativo:
10,0
9,0
8,0
7,0
6,0
5,0
4,0
11,0
2,0
1,0
3,0
–2,0 –1,0 2,0 3,01,0–3,0–4,0–5,0 4,0
12,0
13,0
Figura 69
Note que o gráfico da função y = 2-x é obtido por meio do espelhamento no eixo y do gráfico da 
função y = 2x.
2º caso: função exponencial com base entre 0 e 1 (0 < a < 1).
91
MATEMÁTICA
Observe o gráfico da função y
x
 



1
2
, ilustrado a seguir:
10,0
9,0
8,0
7,0
6,0
5,0
4,0
11,0
2,0
1,0
3,0
–2,0 –1,0 2,0 3,01,0–3,0–4,0–5,0 4,0
Figura 70
Verifique que:
• como y = ax > 0, ou seja, y > 0 para todo x, o gráfico de y = ax está no 1º e no 2º quadrante;
• o eixo x é assíntota horizontal, uma vez que, quando x aumenta, y se aproxima de zero;
• a função y = ax intercepta o eixo y no ponto (0,1);
• a função y = ax, para 0 < a < 1, é decrescente, uma vez que x1 > x2 → a
x1 < ax2.
Desse modo, podemos considerar algumas conclusões importantes:
• em ambos os casos, o eixo x é assíntota horizontal;
92
Unidade II
• o gráfico corta o eixo y no ponto (0,1);
• para a > 1, temos uma função exponencial crescente e, para 0 < a < 1, temos uma função 
exponencial decrescente.
Verifique outros exemplos:
Na ilustração a seguir, encontra-se o gráfico da função y = -2x. O que ocorrerá se a função exponencial 
com base maior que 1 (a > 1) for multiplicada por um número negativo?
–2,0
–3,0
–4,0
–5,0
–6,0
–7,0
–8,0
–1,0
–10,0
–11,0
–9,0
–2,0 –1,0 2,0 3,01,0–3,0–4,0–5,0 4,0
–12,0
1,0
–6,0
Figura 71
Verifique que:
• como y = -ax < 0, ou seja, y < 0 para todo x, então o gráfico de y = -ax está localizado no 3º e no 
4º quadrante;
93
MATEMÁTICA
• o eixo x é assíntota horizontal, uma vez que, quando x diminui, y se aproxima de zero;
• a função y = -ax intercepta o eixo y no ponto (0,-1);
• a função y = -ax para a > 1 é decrescente, uma vez que x1 > x2 → a
x1 < ax2.
Na ilustração a seguir, encontra-se o gráfico da função y
x
 



1
2
. Observe o que acontece se a 
função exponencial com base entre 0 e 1 (0 < a < 1) for multiplicada por um número negativo:
–2,0
–3,0
–4,0
–5,0
–6,0
–7,0
–8,0
–1,0
–10,0
–11,0
–9,0
–2,0 –1,0 2,0 3,01,0–3,0–4,0–5,0 4,0
–12,0
1,0
–6,0 5,0 6,0
Figura 72
Verifique que:
• como y = -ax < 0, ou seja, y < 0 para todo x, o gráfico de y = -ax se localizará no 3º e no 
4º quadrante;
94
Unidade II
• o eixo x é assíntota horizontal, uma vez que, quando x diminui, y se aproxima de zero;
• a função y = -ax intercepta o eixo y no ponto (0;-1);
• a função y = -ax, para 0 < a < 1, é crescente, uma vez que x1 > x2 a
x1 > ax2.
5.7.1 Crescimento exponencial
Se uma grandeza com valor inicial y0 crescer a uma taxa constante k, após um tempo x ela será 
expressa pela seguinte fórmula:
y = y0(1 + k)
x
Para isso, é necessário que k e x sejam medidos na mesma unidade.
Por exemplo, daqui a 10 anos, qual será o número aproximado de habitantes de uma cidade que hoje 
tem 10.000 habitantes e cresce a uma taxa de 5% ao ano?
Para a resolução, adote:
• y = ? (número de habitantes daqui a 10 anos);
• yo = 10.000 (número de habitantes que a cidade tem hoje);
• k = 5% = 0,05 (taxa de crescimento anual);
• x = 10 (período em anos).
Ao substituir os dados na fórmula y = y0(1 + k)
x, temos:
y = 10.000 (1 + 0,05)10
y = 10.000 (1,05)10
y = 10.000.1,629
y = 16.290
Assim, essa cidade terá aproximadamente 16.300 habitantes daqui a 10 anos.
95
MATEMÁTICA
5.8 Logaritmos
A expressão a seguir é chamada de logaritmo de b na base a:
loga b = x ⇔ a
x = b, a e b ∈ R+
No caso, a e b são números reais positivos, com a ≠ 1.
Assim, na expressão loga b = x, temos:
• a é base do logaritmo;
• b é o logaritmando;
• x é o logaritmo.
 Observação
A expressão loge x = lnx indica o logaritmo neperiano ou logaritmo 
natural, onde e é um número irracional aproximadamente igual a 
2,718281828459045... (número de Euler).
Observe os exemplos a seguir:
log2 8 = 3, pois 2
3 = 8
log3 9 = 2, pois 3
2 = 9
log2
1
4
2  , pois 2
1
4
2 
log5 5 = 1, pois 5
1 = 5
log4 1 = 0, pois 4
0 = 1
log3 3
1
2
= , pois 3 3
1
2 =
log1
2
8 3  , pois 1
2
8
3





log0,5 0,25 = 2, pois (0,5)
2 = 0,25
96
Unidade II
As propriedades dos logaritmos são:
• o logaritmode 1 em qualquer base a é igual a 0: loga 1 = 0, pois a
0 = 1
• o logaritmo da própria base, qualquer que seja ela, é igual a 1: loga a = 1, pois a
1 = a
• a potência de base a e expoente loga b é igual a b: a
loga b = b
• produto: loga (b . c) = loga b + loga c. Por exemplo:
log2 6 = log2 (2 . 3) = log2 2 + log2 3 = 1 + log2 3
log4 30 = log4 (2 . 3 . 5) = log4 2 + log4 3 + log4 5
• quociente: log log loga a a
b
c
b c  . Por exemplo:
log log log10 10 10
2
3
2 3 
log log log log2 2 2 2
1
5
1 5 5   
• potência: loga b
r = r . loga b. Por exemplo:
log5 2
3 = 3 . log5 2
log log .log10 10
1
2
102 2 2=
log log .log2 2
3
2
1
27
3 3 3  
• mudança de base: log
log
loga
b
b
a
= 0
0
. Por exemplo:
log
log
log
,
,
,2
10
10
3
3
2
0 4771
0 3010
159  
log
log
log
,
,1000
10
10
7
7
1000
0 8451
3
0 28 
Assim, a partir do exposto, vejamos a aplicação dos conceitos no exemplo a seguir:
Uma cidade tem 10.000 habitantes e cresce a uma taxa de 5% ao ano. Daqui a quantos anos aproximadamente 
essa cidade terá 20.000 habitantes, ou seja, o dobro do que tem hoje? (Dado: log1,05 2 ≅ 14,2067).
97
MATEMÁTICA
Para a resolução, adote:
• y = 20.000 (número de habitantes daqui a 10 anos);
• yo = 10.000 (número de habitantes hoje);
• k = 5% = 0,05 (taxa de crescimento anual);
• x = ? (período em anos).
Ao substituir os dados na fórmula y = y0(1 + k)
x, temos:
20.000 = 10.000 (1 + 0,05)x
20 000
10 000
1 05
.
.
,  x
2=(1,05)x
Usando loga b = x ⇔ a
x = b, temos:
2 = (1,05)x ⇔ log1,05 2 = x
Usando a informação dada no enunciado, obtemos que x é aproximadamente 14,2.
Portanto, a cidade terá o dobro de habitantes daqui a aproximadamente 15 anos.
5.9 Função logarítmica
A função logarítmica de base a é uma função de R *+ em R dada pela regra f(x) = loga x, com a sendo 
um número real (0 < a ≠ 1). Exemplos: y = log2 x, y = log10 x, y = log0,5 x etc.
As características das funções logarítmicas são:
• domínio: conjunto dos números reais não negativos;
• interceptos: a intersecção com o eixo x é o ponto (1,0);
• não intercepta o eixo y.
Observe os gráficos das funções f x x f x x f x x e f x x1 2 2 1
2
3 2 4 1
2
             log , log , log log , 
ilustrados a seguir:
98
Unidade II
2,0
1,0
–1,0
–2,0
–3,0
3,0
2,0 3,0 6,0 7,05,01,0 4,0–1,0 8,0
4,0
–2,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0
f1(x) = log2 x
Figura 73
2,0
1,0
–1,0
–2,0
–3,0
3,0
2,0 3,0 6,0 7,05,01,0 4,0–1,0 8,0
4,0
–2,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0
f x x2 1
2
   log
–4,0
Figura 74
99
MATEMÁTICA
2,0
1,0
–1,0
–2,0
–3,0
3,0
2,0 3,0 6,0 7,05,01,0 4,0–1,0 8,0
4,0
–2,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0
–4,0
–5,0
14,0 15,0 16,0
5,0
f3(x) = –log2 x
Figura 75
2,0
1,0
–1,0
–2,0
–3,0
3,0
2,0 3,0 6,0 7,05,01,0 4,0–1,0 8,0
4,0
–2,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0
–4,0
–5,0
14,0 15,0 16,0
5,0
f x x4 1
2
    log
Figura 76
A partir da função f(x) = b . loga x, onde b é um número real, as propriedades das funções logarítmicas, 
por sua vez, são:
100
Unidade II
• se a > 1 e b > 0, a função logarítmica é crescente;
• se a > 1 e b < 0, a função logarítmica é decrescente;
• se 0 < a < 1 e b > 0, a função logarítmica é decrescente;
• se 0 < a < 1 e b < 0, a função logarítmica é crescente.
 Saiba mais
Para aprofundar seus conhecimentos sobre funções, acesse:
FUNÇÃO de 1º grau. Só Matemática, 2017. Disponível em: <http://www.
somatematica.com.br/emedio/funcao1/funcao1.php>. Acesso em: 5 jun. 2017.
E também:
<http://ecalculo.if.usp.br/>.
5.10 Outras funções
5.10.1 Função polinomial
Uma função de grau n é denominada função polinomial se f(x) = a0x
n + a1x
n–1 + a2x
n–2 + ... + an–1x
1 + an, 
em que a0, a1, a2, ... , an são todos números reais com a0 ≠ 0.
Alguns exemplos de funções polinomiais:
• f(x) = 5: função constante;
• f(x) = x + 3: função de 1º grau ou linear;
• f(x) = x2 – 5x + 6: função de 2º grau ou quadrática;
• f(x) = 2x3 + x2 – 3x + 7: função de 3º grau ou cúbica;
• f(x) = x4 + 3x2 –2x: função de 4º grau;
• f(x) = –7x5 + x3 – x + 4: função de 5º grau e assim por diante.
101
MATEMÁTICA
5.10.2 Função racional
Função racional é toda função expressa por um quociente de dois polinômios, com denominador 
não nulo. O domínio da função racional são todos os valores de x, tais que Q(x) ≠ 0. Assim, com P(x) e 
Q(x) sendo polinômios e com Q(x) ≠ 0:
f x
P x
Q x
     
Veja alguns exemplos de funções racionais:
f x
x
x x
    
 
3
2 9
2
2
f x
x
x
   

2
2
f x
x
  

1
3
Dentre as funções racionais, há um caso importante, que é a função hipérbole f x
x
  


1 , ilustrada 
a seguir:
2,0
1,0
–1,0
–2,0
–3,0
3,0
2,0 3,01,0–5,0 4,0
4,0
–6,0 5,0 6,0
–4,0
5,0
–5,0
6,0
–3,0–4,0 –1,0–2,0
Figura 77 – Função hipérbole
102
Unidade II
As propriedades da função hipérbole são:
• o domínio são os reais, exceto o zero;
• quando x se aproxima de zero f x
x
  


1
, tende ao infinito.
 Saiba mais
Para aprofundar seus conhecimentos sobre as aplicações do uso de 
funções matemáticas na administração, leia:
MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W. O. Introdução ao cálculo para 
administração, economia e contabilidade. São Paulo: Saraiva. 2009.
SILVA, S. M. et al. Matemática para os cursos de economia, administração 
e ciências contábeis. São Paulo: Saraiva, 2007.
6 SISTEMA DE EQUAÇÕES
6.1 Introdução
Chama-se sistema de equações um conjunto de equações com duas ou mais incógnitas. Para sua 
resolução, há diversos métodos, sendo o método de substituição e o de adição os mais comuns.
6.2 Identificando um sistema de equações
Todo sistema de equações do tipo 
a x b y z
a x b y w
1 1
2 2
 
 



 é denominado sistema linear de duas equações 
 
de m x n (lê-se: m por n) com conjunto solução S de m equações e n incógnitas, onde m e n são números 
inteiros positivos. Veja alguns exemplos:
• x y
x y
 
 



4 1
3 2
 é um sistema linear com duas equações e duas incógnitas;
• 
2 2 0
0
2 5 0
x y z
x y z
x y z
  
  
  




 é um sistema linear com três equações e três incógnitas;
• 
2 4 1
3 2 7
x y z w
x y z w
   
   



 é um sistema linear com duas equações e quatro incógnitas.
103
MATEMÁTICA
A solução de um sistema é expressa por uma sequência ordenada (x1, x2, ... xn). Por exemplo, a solução 
do sistema x y
x y
 
 



5
3
 é o par ordenado (4,1), pois, ao substituir as incógnitas pelos valores em questão, 
 
as equações do sistema são verdadeiras. Assim, substituindo x = 4 e y = 1, temos:
x y
x y
 
 




 
 



5
3
4 1 5
4 1 3
Ou seja, o par ordenado (4,1) satisfaz as duas equações do sistema.
Já a solução do sistema 
x y z
x y z
x y z
  
  
  




10
4
0
 é a tripla ordenada (5,3,2) pois, substituindo x = 5, y = 3 e 
z = 2, temos:
x y z
x y z
x y z
  
  
  





  
  
  




10
4
0
5 3 2 10
5 3 2 4
5 3 2 0
Dessa forma, a tripla ordenada (5,3,2) satisfaz as três equações do sistema.
Quando dois sistemas possuem o mesmo conjunto solução, eles são denominados sistemas 
equivalentes. Por exemplo:
x y
x y
e
x y
x y
 
 



 
  



10
2
3 2 26
2 5 8
O conjunto solução desses dois sistemas é o par ordenado (6,4), portanto, eles são sistemas 
equivalentes.
6.3 Classificação dos sistemas
A classificação de um sistema está relacionada ao número de soluções que ele possui.
Um sistema pode ser possível ou impossível, ou seja, se tiver solução é possível, caso contrário, 
é impossível.
Se o sistema for possível e tiver apenas uma solução, ele é determinado. Se ele for possível e tiver 
mais de uma solução, é indeterminado. Veja a seguir:
104
Unidade II
Sistema
Possível
Impossível (SI: sistema 
impossível)
Conjunto solução vazio
Determinado (SPD: sistema possível e 
determinado)
Conjunto solução unitário
Indeterminado (SPI: sistema possível 
e indeterminado)
Conjunto soluçãoinfinito
Figura 78
Considere os exemplos a seguir para exemplificar o que foi ilustrado anteriormente:
O par ordenado (1,6) é a única solução do sistema 
  
  



x y
x y
5
3 3
. Logo, ele é um sistema possível 
e determinado (SPD).
O sistema 
5 5 5 10
2
x y z
x y z
  
  



 apresenta infinitas soluções, por exemplo: (1,1,2), (0,2,4), (1,0,1) etc. 
 
Consequentemente, ele é um sistema possível e indeterminado (SPI).
O sistema 
x y
x y
  
 



3
5
 não apresenta solução alguma, assim, ele é um sistema impossível (SI).
 Saiba mais
Para saber mais sobre sistema de equações lineares, acesse:
RIBEIRO, A. G. Regra de Sarrus. Brasil Escola, [s.d.]. Disponível em <http://
brasilescola.uol.com.br/matematica/regra-sarrus.htm>. Acesso em: 7 jun. 2017.
SISTEMAS lineares. Só matemática, 2017. Disponível em: <http://www.
somatematica.com.br/emedio/sistemas/sistemas3.php>. Acesso em: 7 jun. 2017.
105
MATEMÁTICA
6.4 Solução do sistema
6.4.1 Métodos de adição e subtração
Como mencionamos, existem vários métodos utilizados para solucionar um sistema de equações.
As equações a seguir formam um sistema de duas equações e duas incógnitas. Nosso objetivo é 
encontrar um par ordenado (x,y) de números reais que satisfaça as duas equações simultaneamente.
10 11
5 3 2
x y
x y
 
 



Iremos resolver esse sistema primeiramente pelo método da adição.
1º passo: multiplicar a segunda equação por (-2). A ideia é gerar um termo que, ao ser somado com 
o correspondente da outra equação, resulte em zero
10 11
5 3 2
2
10 11
10 6 4
x y
x y
x
x y
x y
 
 



   
   


� ���������
2º passo: somar as duas equações
10 11
10 6 4
7 7
x y
x y
y
 
   




3º passo: resolver a equação obtida a partir da soma
y = =7
7
1
4º passo: retornar ao sistema original e substituir o valor de y por 1 em uma das equações, para 
encontrar x
10 11
10 11
10 11
1
10
10
1
x y
x
x
x





 
 
106
Unidade II
A conclusão a que chegamos é de que x = 1 e y = 1 e, portanto, a solução do sistema é o par ordenado (1,1).
Agora, iremos resolver o mesmo sistema de equação usando o método da substituição:
1° passo: escolher uma das equações do sistema e isolar o y ou o x. No exemplo, a equação escolhida 
foi a primeira, e a incógnita isolada será o y
10 11
10 6 4
x y
x y
 
   



10x + y = 11
y = 11 – 10x
2° passo: substituir o resultado na outra equação. No exemplo, o y será substituído na segunda equação:
–10x + 6y = –4
–10x + 6(11 – 10x) = –4
–10x + 66 – 60x = –4
–10x – 60x = –4 – 66
–70x = –70
70x = 70
x = =70
70
1
3° passo: retornar à equação do 1° passo e substituir o valor encontrado no 2° passo:
y = 11 – 10x
y = 11 – 10.1 = 11 – 10 = 1
A conclusão a que chegamos é a mesma, ou seja, x = 1 e y = 1, portanto, a solução do sistema é o 
par ordenado (1,1).
Exemplo 1
Pedrinho comprou duas coxinhas e um refrigerante pelos quais pagou R$ 7,00. Seu irmão 
Joãozinho comprou uma coxinha e um refrigerante a mais, pagando R$ 11,50. Qual o preço do 
refrigerante e da coxinha?
Modelando o problema: C = coxinha, R = refrigerante
2C R 7 Equação I 
3C 2R 11,50 Equação II
+ = →
 + = →
107
MATEMÁTICA
Utilizando o método da adição, podemos multiplicar a primeira equação por (-2) para eliminar a 
variável R:
(x 2)2C R 7 4C 2R 14 
3C 2R 11,503C 2R 11,50 
−+ = − − = − 
→  + =+ = 
4C 2R 14
3C 2R 11,50
C 2,50 
− − = −
+ =
− = −
x( 1)
C 2,50 C R$2,50
−
− = − → ∴ =
O valor de C pode ser substituído tanto na equação I como na equação II. Escolhendo a equação I, temos:
2C + R = 7
2 . (2,50) + R = 7 ∴ R = R$ 2,00
Desta forma, o preço correspondente ao refrigerante e a coxinha são R$ 2,00 e R$ 2,50 respectivamente.
Exemplo 2
Uma empresa A tem 5 anos a mais de mercado que uma empresa B. A soma da idade de ambas é 
igual a 39 anos. Qual é a idade de cada uma?
Modelando o problema: 
A B 5 Equação I 
A B 39 Equação II
= + →
 + = →
Se escolhermos o método da substituição, devemos substituir o valor de A na equação II:
A + B = 39
(B + 5) + B = 39
2B + 5 = 39 ∴ B = 17
Substituindo B = 17 na equação I, temos:
A = B + 5
A = 17 + 5 ∴ A = 22
108
Unidade II
Logo, as empresas A e B têm 22 e 17 anos respectivamente.
Sistemas com três variáveis podem ser resolvidos através dos processos já conhecidos e estudados: 
substituição ou adição.
As equações a seguir formam um sistema de três equações e três incógnitas. Nosso objetivo é encontrar 
os valores das incógnitas (x, y e z) de números reais que satisfaçam as três equações simultaneamente.
x 2y z 12 Equação I
x 3y 5z 1 Equação II
2x y 3z 10 Equação III
+ + = →
 − + = →
 − + = →
 
 
Iremos resolver esse sistema usando o método da substituição:
1° passo: para resolver um sistema desse tipo devemos escolher uma das equações e isolar uma das 
incógnitas. Escolhendo a equação I, temos:
x = 12 - 2y - z
2° passo: substituir o resultado nas outras duas equações. No exemplo, o x será substituído nas 
equações II e III, formando em seguida as equações IV e V:
Substituindo x na equação II:
x - 3y + 5z = 1
(12 - 2y - z) - 3y + 5z = 1
12 - 2y - z - 3y + 5z = 1 
-5y + 4z = - 11 → Equação IV
Substituindo x na equação III:
2x - y + 3z = 10
2 . (12 - 2y - z) - y + 3z = 10
24 - 4y - 2z - y + 3z = 10
-5y + z = - 14 → Equação V
3° passo: as equações IV e V constituem um sistema linear com duas variáveis que pode ser resolvido 
pelos métodos de adição ou substituição
5y 4z 11
5y z 14
− + = −
 − + = −
109
MATEMÁTICA
Utilizando o método da adição, podemos multiplicar a primeira equação por (-1) para eliminar a 
variável y
x( 1)5y 4z 11 5y 4z 11
5y z 14 5y z 14
−− + = − − = 
→ − + = − − + = − 
5y 4z 11
5y z 14
3z 3 
− =
− + = −
− = −
x( 1)
z 3 z 1
−
− = − → ∴ =
O valor de z pode ser substituído tanto na equação IV como na equação V. Escolhendo a equação 
IV, temos:
-5y + 4z = -11
- 5 y + 4(1) = -11 ∴ y = 3
4° passo: retornar à equação do 1° passo e substituir os valores de y e z para determinar o valor de x
x = 12 - 2y - z
x = 12 - 2(3) - (1) ∴ x = 5
A conclusão a que chegamos é que x = 5, y = 3 e z = 1.
6.4.2 Regra de Cramer
A regra de Cramer é um teorema em álgebra linear, que dá a solução de um sistema de equações 
lineares em termos de determinantes. Porém, ela só poderá ser utilizada na resolução de sistemas em 
que o número de equações e o número de incógnitas forem iguais.
Resolvendo sistemas usando a regra de Cramer
Dado o sistema de equações com duas incógnitas 
10x y 11
5x 3y 2
+ =
 − =
1° passo: calcular o determinante da matriz dos coeficientes, que chamaremos de D
D 

          10 1
5 3
10 3 1 5 30 5 35. .
110
Unidade II
2° passo: verificar se a regra de Cramer pode ser aplicada
• se D ≠ 0, podemos prosseguir usando a regra de Cramer, pois o sistema é possível e 
determinado (SPD);
• se D = 0, não se aplica a regra de Cramer.
3° passo: aplicar a regra de Cramer
Para cada incógnita que se quer determinar, calcula-se um novo determinante, que é o da matriz 
obtida, substituindo-se, na matriz dos coeficientes, a coluna dos coeficientes da incógnita a ser 
determinada pela coluna dos termos independentes. Veja:
D para er ar xx ( det min ) . . 
          11 1
2 3
11 3 1 2 33 2 35
D para er ar yy ( det min ) . .           
10 11
5 2
10 2 11 5 20 55 35
O valor de cada incógnita é quociente (razão ou divisão) de cada um desses determinantes por D:
x
D
D
x  

35
35
1
y
D
D
y  

35
35
1
Assim, novamente, a solução do sistema é o par ordenado (1,1).
Para utilizar a regra de Cramer em sistemas com três equações e três incógnitas, precisamos primeiro 
entender a regra de Sarrus para então resolver o determinante.
Podemos aplicar a regra de Sarrus para calcular o determinante de uma matriz do tipo 3x3, .
Para entender como é feito o cálculo do determinante com essa regra, considere a seguinte matriz 
Ade ordem 3:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
=
111
MATEMÁTICA
Inicialmente, as duas primeiras colunas são repetidas à direita da matriz A:
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
a a a a a
 a a a a a
a a a a a
Em seguida, os elementos da diagonal principal são multiplicados. Esse processo deve ser feito 
também com a diagonal que está à direita da diagonal principal para que seja possível somar os produtos 
dessas três diagonais.
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
a a a a a
 a a a a a
a a a a a
det AP = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32
O mesmo processo deve ser realizado com a diagonal secundária e as demais diagonais à sua direita.
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
a a a a a
 a a a a a
a a a a a
det AS = a12.a21.a33 + a11.a23.a32 + a13.a22.a31
Unindo os dois processos, é possível encontrar o determinante da matriz A. Entretanto é necessário 
subtrair os produtos encontrados na diagonal principal dos produtos da diagonal secundária.
det A = det Ap – det As
det A = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 – (a12.a21.a33 + a11.a23.a32 + a13.a22.a31)
Dado o sistema de três equações com três incógnitas:
x 2y z 12 Equação I
x 3y 5z 1 Equação II
2x y 3z 10 Equação III
+ + = →
 − + = →
 − + = →
 
 
112
Unidade II
1° passo: calcular o determinante da matriz dos coeficientes, que chamaremos de D:
( )( ) ( ) ( )( )
[ ]
1 2 1
D 1 3 5
2 1 3
1 2 1 1 2
D 1 3 5 1 3 1. 3 .3 2.
(2.1.3) (1.5.( 1)) (1.( 3
5.2 1.1. 1
2 1 3
) 2 5
1
. ) 1
2
= −
−
 = − − = − + + − − 
− −
+ − + − =
2° passo: verificar se a regra de Cramer pode ser aplicada
• se D ≠ 0, podemos prosseguir usando a regra de Cramer, pois o sistema é possível e 
determinado (SPD);
• se D = 0, não se aplica a regra de Cramer.
3° passo: aplicar a regra de Cramer
Para cada incógnita que se quer determinar, calcula-se um novo determinante, que é o da matriz 
obtida, substituindo-se, na matriz dos coeficientes, a coluna dos coeficientes da incógnita a ser 
determinada pela coluna dos termos independentes.
Veja:
( )
( )( ) ( ) ( )
[ ]
x
x
12 2 1
D para determinar x 1 3 5
10 1 3
12 2 1 12 2
D 1 3 5 1 3 12. 3 .3 2.5.10 (1.1.(
(2.1.3) (12.5.( 1)) (1.( 3).1
1)
10 1 3 10 1
0) 75
= −
−
 = − − = − + + − − 
− −
+ − + − =
113
MATEMÁTICA
( )
( ) ( ) ( )
[ ]
y
y
1 12 1
D para determinar y 1 1 5
2 10 3
1 12 1 1 12
D 1 1 5 1 1 1.1.3 12.5.2 1.1.10 
2 10 3 2 1
(12.1.3) (1.5.10) (1.1 2) 45
0
.
=
 = = + + − 
+ + =
( )
( ) ( ) ( )
[ ]
z
z
1 2 12
D para determinar z 1 3 1
2 1 10
1 2 12 1 2
D 1 3 1 1 3 1.( 3).10 2.1.2 12.1.(
(2
1
.1.10) (1.1.( 1)) (12.( 3).
2 1 10
2 1
2
) 5
1
 
= −
−
 = − − = − + + − − 
− −
+ − + − =
O valor de cada incógnita é quociente (razão ou divisão) de cada um desses determinantes por D:
x
y
Z
D 75
x 5
D 15
D 45
y 3
D 15
D 15
z 1
D 15
= = =
= = =
= = =
Assim, a conclusão a que chegamos novamente é que x = 5, y = 3 e z = 1.
Exemplo 1
A relojoaria do sr. Joaquim consegue vender 10 relógios a um preço de U$ 80,00. Desejando aumentar 
a venda, ele resolveu reduzir o preço em 75% do valor inicial e verificou que a quantidade de relógios 
vendidos duplicou. Utilizando a regra de Cramer, determine a função demanda, admitindo que seja uma 
função linear.
114
Unidade II
A função demanda pode ser escrita como uma função linear do tipo y = ax + b onde y representa o 
preço e x a quantidade (p = aq + b)
Para os valores apresentados, temos a seguinte informação:
P Q
80,00 10
60,00 20
Substituindo esses valores na função aq + b = p, temos:
10a b 80
20a b 60
+ =
 + =
Calculando o determinante:
10 1
D 10 20 10
20 1
= = − = − ⇒ Determinante ≠ 0
a
b
80 1
D 80 60 20
60 1
10 80
D 600 1.600 1.000
20 60
= = − =
= = − = −
Determinando os valores de a e b
a bD D20 1.000a 2 e b 100
D 10 D 10
−
= = = − = = =
− −
Logo, a função demanda pode ser escrita: p = - 2q + 100
Exemplo 2
Na feira, uma dona de casa verificou que as barracas A, B e C tinham preços diferentes por quilo do 
produto, conforme a tabela a seguir:
115
MATEMÁTICA
Tabela 3
Tomate Batata Cebola
A R$ 40,00 R$ 50,00 R$ 30,00
B R$ 50,00 R$ 40,00 R$ 40,00
C R$ 50,00 R$ 40,00 R$ 30,00
Comprando x quilos de tomate, y quilos de batatas e z quilos de cebolas, tanto na barraca A quanto 
na barraca B, a dona de casa gastaria a mesma quantia: R$ 260,00; comprando as mesmas quantidades 
na barraca C, ela economizaria R$ 10,00. Determine x + y + z.
Representando os valores no sistema, temos:
40x 50y 30z 260
50x 40y 40z 260
50x 40y 30x 250
+ + =
 + + =
 + + =
O primeiro passo é montar a matriz (3x3) dos coeficientes, que chamaremos de D, e calcular o valor 
do determinante:
40 50 30
D 50 40 40
50 40 30
40 50 30 40 50
D 50 40 40 50 40 48.000 100.000 60.000
50 40 30 50
(75.000 64.000 60.000) 9.00
40
0
=
= = + + −
+ + =
x
260 50 30 260 50
D 260 40 40 260 40 312.000 500.000 312.000
250 40 30 250 40
= = + + −
 (390.000 + 416.000 + 300.000) = 18.000 
116
Unidade II
y
40 260 30 40 260
D 50 260 40 50 260 312.000 520.000 375.000
50 250 30 50 250
= = + + −
 (390.000 + 400.000 + 390.000) = 27.000 
z
40 50 260 40 50
D 50 40 260 50 40 400.000 650.000 520.000
50 40 250 50 40
= = + + −
 (625.000 + 416.000 + 520.000) = 9.000 
Determinando os valores de x, y e z:
x
y
Z
D 18.000
x 2
D 9.000
D 27.000
y 3
D 9.000
D 9.000
z 1
D 9.000
= = =
= = =
= = =
Logo, as quantidades são x= 2 kg de tomate, y = 3 kg de batata e z = 1 kg de cebola.
 Resumo
Nesta unidade, foram apresentados os conceitos de plano cartesiano, 
de relações entre conjuntos e de funções.
O plano cartesiano é formado por duas retas reais perpendiculares, 
denominadas eixo x e eixo y. O ponto de cruzamento dessas retas é 
denominado origem dos eixos, pois representa o início da contagem dos 
eixos x e y, tendo o número zero (0) como marcador.
Os eixos x e y dividem o plano em quatro regiões chamadas de 
quadrantes, organizadas no sentido anti-horário e numeradas em ordem 
crescente (iniciando em 1).
O produto cartesiano de AxB, por sua vez, é o conjunto de todos os 
pares ordenados (x;y) tal que x pertença ao conjunto A e y pertença ao 
conjunto B, sendo A e B dois conjuntos não vazios.
117
MATEMÁTICA
Já a relação de A em B é qualquer subconjunto do produto cartesiano 
AxB, sendo A e B dois conjuntos não vazios. Em uma relação R de A em B, 
um par ordenado (x;y) associa x a y, sendo que y será chamado de imagem 
de x em R.
O conceito de função é expresso por uma relação entre dois conjuntos 
A e B definida por uma regra de formação f na qual cada elemento de A é 
relacionado com apenas um elemento de B.
Assim, função do 1o grau é toda função f: R → R definida pela regra 
y = f(x) = ax + b, com a e b ∈ R, sendo a e b constantes denominadas por 
coeficientes da função.
Já a função do 2o grau é toda função f: R → R definida pela regra 
y = f(x) = ax2 + bx + c, com a e b ∈ R e a ≠ 0, sendo a, b e c coeficientes 
da função.
Existem diversas outras relações do tipo função, por exemplo, a função 
exponencial, que é toda função f de R em R dada pela regra f(x) = ax, em 
que a é um número real positivo e diferente de 1.
Entretanto, um grupo de funções de grande uso são as funções 
polinomiais, denominadas pela notação: f(x) = a0x
n + a1x
n-1 + a2x
n-2 + ... + 
an-1x
1 + an, em que a0, a1, a2, ..., an são números reais com a0 ≠ 0.
Além disso, é importante saber que a função racional se origina das 
funções polinomiais. A função racional é toda função expressa por um 
quociente de dois polinômios com denominador não nulo.
Também apresentamos algumas formas de se resolver sistemas de 
equações com duas ou três incógnitas, sendo o método de substituição e o 
de adição os mais comuns.
A classificação de um sistema está relacionada ao número de soluções 
que ele possui. Um sistema pode ser possívelou impossível, ou seja, se tiver 
solução, é possível, caso contrário, é impossível. Se o sistema for possível e 
tiver apenas uma solução, ele é determinado. Se ele for possível e tiver mais 
de uma solução, é indeterminado.
Outra forma de se resolver sistemas de equações é utilizando a regra 
de Cramer. Essa regra é um teorema em álgebra linear, que dá a solução 
de um sistema de equações lineares em termos de determinantes. Porém, 
ela só poderá ser utilizada na resolução de sistemas em que o número de 
equações e o número de incógnitas sejam iguais.
118
Unidade II
No caso de sistemas com três equações e três incógnitas, se faz 
necessário entender antes a regra de Sarrus, para então utilizar a regra de 
Cramer na determinação das variáveis.
 Exercícios
Questão 1. (Enade 2011) Suponha que um instituto de pesquisa de opinião pública realizou um 
trabalho de modelagem matemática para mostrar a evolução das intenções de voto, nas campanhas dos 
candidatos Paulo e Márcia ao Governo do Estado, durante 36 quinzenas. Os polinômios que representam, 
em porcentagem, a intenção dos votos dos eleitores de Paulo e Márcia na quinzena x são, respectivamente,
P(x) = - 0,006x2 + 0,8x + 14
e
M(x) = - 0,004x2 + 0,9x + 8
Em que 0 ≤ x ≤ 36 representa a quinzena, P(x) e M(x) são dados em porcentagens. De acordo com 
as pesquisas realizadas, a ordem de preferência nas intenções de voto de Paulo e Márcia sofreram 
alterações na quinzena:
A) 6.
B) 12.
C) 20.
D) 22.
E) 30.
Resposta correta: alternativa C.
Análise das alternativas
Justificativa geral: a intenção de votos é representada por um polinômio de grau 2. Podemos 
determinar a intersecção das duas curvas por:
P(x) = M(x)
- 0,006x2 + 0,8x + 14 = 0,004x2 + 0,9x + 8
- 0,010x2 - 0,1x + 6 = 0
119
MATEMÁTICA
Na função do 2º grau encontrada, temos que a = -0,010, b = -0,1 e c = 6. Usando a fórmula de 
Bhaskara, determinaremos os valores de x.
∆ = (-0,1)2 - 4 . (-0,010) . (6) = 0,25
( )
1
2
( 0,1) 0,25 0,1 0,5
x
2. 0,010 0,02
0,1 0,5
x 30
0,02
0,1 0,5
x 20
0,02
− − ± + ±
= =
− −
+
= = −
−
−
= =
−
A raiz x = 20 pertence ao domínio da função. A representação gráfica é dada a seguir:
40
30
20
P(x)
M(x)
10
0 10 20
x
30
Figura 79 - Intenção dos votos (%)
Questão 2. (Enade 2014) Em uma loja de material escolar, as mercadorias caneta, lápis e borracha, 
de um único tipo cada uma, são vendidas para três estudantes. O primeiro comprou uma caneta, três 
lápis e duas borrachas pagando R$ 10,00; o segundo adquiriu duas canetas, um lápis e uma borracha 
pagando R$ 9,00; o terceiro comprou três canetas, quatro lápis e três borrachas pagando R$ 19,00.
120
Unidade II
Os estudantes, após as compras, sem verificarem os valores de cada mercadoria, procuraram resolver 
o problema: a partir das compras efetuadas e dos respectivos valores totais pagos por eles, qual o 
preço da caneta, do lápis e da borracha? Para isso, montaram um sistema de equações lineares cujas 
incógnitas são os preços das mercadorias.
Esse sistema de equações é:
A) Possível determinado, sendo o preço da borracha maior que o do lápis.
B) Impossível, pois saber os totais das compras não garante a existência de solução.
C) Possível determinado, podendo admitir como solução o valor do preço da caneta, do lápis e da 
borracha.
D) Possível indeterminado, de forma que a soma dos valores possíveis da caneta, do lápis e da 
borracha é igual a cinco vezes o preço do lápis subtraído de R$ 9,00.
E) Possível indeterminado, de forma que a soma dos valores possíveis da caneta, do lápis e da 
borracha é igual a 1/5 da adição do preço da borracha com R$ 28,00.
Resolução desta questão na plataforma.