APOSTILA-FUNDAMENTOS-DE-MATEMÁTICA-ELEMENTAR

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CENTRO UNIVERSITÁRIO FAVENI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 
ELEMENTAR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GUARULHOS – SP 
 
1 
 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 4 
2 FUNÇÃO ................................................................................................................. 5 
2.1 Funções injetoras .................................................................................................. 7 
2.2 Funções sobrejetoras ........................................................................................... 7 
2.3 Funções bijetoras .................................................................................................. 8 
2.4 Reconhecimento através de gráfico ...................................................................... 9 
3 DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DA RETA ........................................................ 10 
3.1 Função afim ........................................................................................................ 11 
3.2 Como determinar o valor de uma função afim? .................................................. 11 
3.3 Gráfico de uma função afim ................................................................................ 12 
3.4 Construção do gráfico ......................................................................................... 13 
3.5 Coeficientes angular e linear de uma reta........................................................... 14 
3.6 Função crescente e função decrescente ............................................................ 15 
4 FUNÇÕES LINEARES .......................................................................................... 16 
4.1 Função identidade .............................................................................................. 18 
5 FUNÇÕES QUADRÁTICAS .................................................................................. 19 
5.1 Raízes da função quadrática .............................................................................. 19 
5.2 Resolução de equações de segundo grau .......................................................... 20 
5.3 Representação gráfica ........................................................................................ 21 
5.4 Vértice da parábola ............................................................................................. 24 
5.5 Forma canônica .................................................................................................. 25 
6 FUNÇÃO EXPONENCIAL..................................................................................... 26 
6.1 Propriedades de uma função exponencial .......................................................... 27 
6.2 Gráficos de funções exponenciais ...................................................................... 28 
 
2 
 
6.3 Modelos com funções exponenciais ................................................................... 30 
6.4 Situações aplicadas envolvendo crescimento e decrescimento exponencial ..... 32 
6.5 Crescimento exponencial .................................................................................... 32 
6.6 Decrescimento exponencial ................................................................................ 34 
7 FUNÇÃO LOGARÍTMICA ..................................................................................... 35 
7.1 Gráfico da função logarítmica ............................................................................. 39 
7.2 Relação entre função exponencial e função logarítmica ..................................... 40 
8 TRIGONOMETRIA ................................................................................................ 42 
8.1 Razões trigonométricas seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo ......... 42 
9 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E SUAS RELAÇÕES NO CÍRCULO 
UNITÁRIO..................................................................................................................45 
9.1 Funções seno e cosseno .................................................................................... 45 
9.2 Função tangente ................................................................................................. 49 
9.3 Função secante .................................................................................................. 50 
9.4 Função cossecante ............................................................................................. 51 
9.5 Função cotangente ............................................................................................. 51 
10 CONJUNTOS NUMÉRICOS ................................................................................. 52 
10. Notação ............................................................................................................... 53 
10.2 Subconjuntos ..................................................................................................... 54 
10.3 Conjuntos numéricos especiais ..................................................... ...................54 
10.4 Conjuntos numéricos e suas operações ........................................... .................55 
11 CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS ....................................................... 61 
11.1O que são números imaginários e números complexos? ................................... 61 
11.2Forma algébrica dos números complexos .......................................................... 64 
11.3 Forma trigonométrica dos números complexos ................................................. 65 
 
3 
 
11.4 Operações sobre números complexos .............................................................. 67 
11.4.1 Adição e subtração ......................................................................................... 67 
11.4.2 Multiplicação ................................................................................................... 68 
11.4.3 Divisão......... ................................................................................................... 69 
12 A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E O ENSINO DA MATEMÁTICA .......................... 70 
12.1 A educação matemática em seu contexto interdisciplinar ................................. 72 
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 74 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
Prezado aluno! 
 
O Grupo Educacional FAVENI, esclarece que o material virtual é semelhante 
ao da sala de aula presencial. Em uma sala de aula, é raro – quase improvável - um 
aluno se levantar, interromper a exposição, dirigir-se ao professor e fazer uma 
pergunta, para que seja esclarecida uma dúvida sobre o tema tratado. O comum é 
que esse aluno faça a pergunta em voz alta para todos ouvirem e todos ouvirão a 
resposta. No espaço virtual, é a mesma coisa. Não hesite em perguntar, as perguntas 
poderão ser direcionadas ao protocolo de atendimento que serão respondidas em 
tempo hábil. 
Os cursos à distância exigem do aluno tempo e organização. No caso da nossa 
disciplina é preciso ter um horário destinado à leitura do texto base e à execução das 
avaliações propostas. A vantagem é que poderá reservar o dia da semana e a hora 
que lhe convier para isso. 
A organização é o quesito indispensável, porque há uma sequência a ser 
seguida e prazos definidos para as atividades. 
 
Bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
2 FUNÇÃO 
 
O estudo da matemática é fundamental para a vida diária, escolar/acadêmica 
e profissional. Dos conhecimentos matemáticos mais básicos até os mais profundos, 
conceitos, terminologias, usos e aplicações podem ser diferenciais decisivos em 
ambientes cada vez mais competitivos. As funções estão presentes em diversas 
situações do cotidiano e podemser utilizadas para resolver problemas em diferentes 
âmbitos. A palavra função é utilizada para designar a ação de exercer uma influência, 
ou seja, quando certa grandeza ou característica depende de outra. (SILVA, 2018). 
Outro aspecto interessante é que as funções podem ser percebidas em 
situações bem-próximas a nós, como na conta de energia elétrica que recebemos 
mensalmente para pagar. O valor pago depende da quantidade de kW/h consumida 
em um mês. Ou seja, nesse exemplo, há uma relação entre duas variáveis. Podemos, 
ainda, pensar na cobrança que os estacionamentos de veículos fazem: em geral, 
cobra-se um valor fixo e um variável que dependerá de quanto tempo o veículo 
permanecerá no estacionamento. 
De acordo com Hoffmann et al. (2018), a palavra função é utilizada para 
designar a ação de exercer uma influência, ou seja, certa grandeza ou característica 
depende de outra. Sendo assim, função pode ser definida como “uma regra que 
associa a cada objeto de um conjunto A e apenas um objeto de um conjunto B. O 
conjunto A é chamado de domínio da função, e o conjunto B é chamado de 
contradomínio” (HOFFMANN et al., 2018, p. 2). 
 
 
Fonte: https://www.superprof.com.br/ 
 
6 
 
Basicamente, a função é uma relação entre dois elementos. Sejam dois 
conjuntos, por exemplo, A e B; uma função é a relação que cada elemento de A 
associa a um único elemento de B, indicadas por: 
 
f: A → B 
 
Hoffmann et al. (2018) destacam que, às vezes, é conveniente representar uma 
relação funcional como uma equação do tipo y = f(x). Nesse contexto, x e y são 
chamados de variáveis (HOFFMANN et al., 2018, p. 2). 
Em particular, como o valor numérico de y é determinado pelo valor de x, y é 
chamado de variável dependente, e x de variável independente. Não havendo 
condições adicionais, supomos que o domínio de uma função f é o conjunto de todos 
os números x para os quais f(x) existe. Além disso, para determinar o domínio de uma 
função, é necessário excluir, por exemplo, os números x que resultam em uma divisão 
por zero ou uma raiz quadrada de um número negativo. 
Portanto, função determina uma relação entre os elementos de dois conjuntos. 
Podemos defini-la utilizando uma lei de formação, em que, para cada valor de x, temos 
um valor de f(x). Chamamos x de domínio e f(x) ou y de imagem da função. 
 
 
 
Assim sendo, cada elemento do conjunto x é levado a um único elemento do 
conjunto y. Essa ocorrência é determinada por uma lei de formação. A partir dessa 
definição, é possível constatar que x é a variável independente e que y é a variável 
dependente. Isso porque, em toda função, para encontrar o valor de y, devemos ter 
inicialmente o valor de x. 
 
7 
 
2.1 Funções injetoras 
 
Denominamos que, a função injetora transforma diferentes elementos do 
domínio (conjunto A) em diferentes conjuntos da imagem (elementos do conjunto B), 
ou seja, não existe elemento da imagem que possui correspondência com mais 
de um elemento do domínio. (OLIVEIRA, 2021). 
Exemplos: 
A função f de A = {0, 1, 2, 3} em B = {1, 3, 5, 7, 9} definida pela lei f(x) = 2x + 1 
é injetora, pois dois elementos distintos de A têm como imagem dois elementos 
distintos de B. Observemos que não existem duas ou mais flechas convergindo para 
um mesmo elemento de B. 
 
 
Fonte: MURAKAMI, 2013 
 
para x = 0 no elemento A, tem-se f(x) = 2x + 1 = 2.0 +1 = 1 no elemento B; 
para x = 1 no elemento A, tem-se f(x) = 2x + 1 = 2.1 +1 = 3 no elemento B; e 
assim por diante. 
 
2.2 Funções sobrejetoras 
 
Uma função é sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto imagem for 
especificadamente igual ao contradomínio, Im = B. Ou seja, uma função f de A em B 
é sobrejetora se, e somente se, para todo y pertencente a B existe um elemento x 
pertencente a A tal que: f(x) = y (MURAKAMI, 2013). 
Exemplos: 
A função f de A = {1, 0, 1, 2} em B = {0, 1, 4} definida pela lei f(x) = x² é 
sobrejetora, pois, para todo elemento y ∈ B, existe o elemento x ∈ A tal que y = x². 
Observemos que para todo elemento de B converge pelo menos uma flecha. 
 
8 
 
 
Fonte: MURAKAMI, 2013 
 
para x = 0 no elemento A, tem-se f(x) = x² = 0² = 0; 
para x = -1 no elemento A, tem-se f(x) = x² = -1² = 1; 
para x = 1 no elemento A, tem-se f(x) = x² = 1² = 1; e assim por diante. 
 
2.3 Funções bijetoras 
 
Uma função f de A em B é bijetora se, e somente se, f é sobrejetora e injetora. 
(MURAKAMI, 2013). 
Em símbolos: 
f: A → B 
f é bijetora ⇔ f é sobrejetora e injetora 
 
Exemplos: 
A função f de A = {0, 1, 2, 3} em B = {1, 2, 3, 4} definida por f(x) = x + 1 é bijetora 
 
 
Fonte: MURAKAMI, 2013 
 
... pois f é sobrejetora e injetora, isto é, para todo elemento y ∈ B, existe um único 
elemento x ∈ A, tal que y = x + 1. Observemos que para cada elemento de B converge 
uma só flecha. 
 
9 
 
2.4 Reconhecimento através de gráfico 
 
Pela representação cartesiana de uma função f, podemos verificar se f é 
injetora, sobrejetora ou bijetora. Para isso, basta analisarmos o número de pontos de 
interseção das retas paralelas ao eixo x, conduzidas por cada ponto (0, y) em que 
y ∈ B (contradomínio de f). (MURAKAMI, 2013). 
1º). Se cada uma dessas retas cortar o gráfico em um só ponto ou não cortar o 
gráfico, então a função é injetora. (MURAKAMI, 2013). 
Exemplos: 
 
 
Fonte: MURAKAMI, 2013 
 
2º). Se cada uma das retas cortar o gráfico em um ou mais pontos, então a 
função é sobrejetora. (MURAKAMI, 2013). 
Exemplos: 
 
 
Fonte: MURAKAMI, 2013 
 
3º). Se cada uma dessas retas cortar o gráfico em um só ponto, então a função 
é bijetora. (MURAKAMI, 2013). 
 
10 
 
Exemplos: 
 
Fonte: MURAKAMI, 2013 
 
Resumo 
Dada a função f de A em B, consideram-se as retas horizontais por (0, y) com 
y ∈ B: 
I) se nenhuma reta corta o gráfico mais de uma vez, então f é injetora. 
II) se toda reta corta o gráfico, então f é sobrejetora. 
III) se toda reta corta o gráfico em um só ponto, então f é bijetora. 
 
3 DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DA RETA 
 
Um dos estudos mais relevantes na área da matemática é o das funções. Em 
diversas situações, sempre há uma definição que correlaciona grandezas, 
determinando uma regra que associe uma variável a outra. 
Ao quantificar o custo de determinado produto, calcular o espaço em função do 
tempo (estabelecendo o conceito de velocidade) ou estabelecer uma relação entre 
escalas termométricas, estamos criando uma função. São inúmeras as formas de se 
correlacionar variáveis e, diretamente, especificar uma função. (PAES, 2018). 
Muitas vezes, a forma mais interessante de representar uma função é 
graficamente. Interpretações de dados, por exemplo, podem ser facilitadas por meio 
de um gráfico. Nesta seção, você vai estudar o conceito de função afim, a reta que, 
graficamente, é característica dessa função, bem como seus coeficientes angular e 
linear. 
 
 
 
 
11 
 
3.1 Função afim 
 
Entre as funções polinomiais que existem, a função polinomial de 1º grau, 
também denotada como função afim, é uma das mais conhecidas. Uma função 
polinomial é do tipo: 
 
 
 
Onde: 
n = número inteiro positivo ou nulo, determina o grau do polinômio 
x = variável 
 
 
 
A função afim é a função polinomial de grau 1. Sua lei de formação é: 
y = f(x) = ax + b 
 
Onde a e b são coeficientes, x é a variável (domínio), e y é a imagem. O 
conjunto do domínio e contradomínio é o conjunto dos números reais R. (PAES, 2018). 
Há dois casos particulares no caso da função afim, que são conhecidos como: 
 função constante, quando a função é do tipo f(x) = b; 
 função linear, quando a função é do tipo f(x) = ax. 
 
3.2 Como determinar o valor de uma função afim? 
 
Dada uma função f = R → R, de 1° grau f(x) = ax + b, para calcular o valor de 
uma função afim para determinado x, por exemplo x = x0 , basta aplicar a função: 
f(x0) = ax0 + b. 
 
Exemplo: 
 
Dada uma função f(x) = 2x + 1, calculef(2). 
 
12 
 
f(x) = 2x + 1 
f(2) = 2 ∙ 2 + 1 
f(2) = 4 + 1 
f(2) = 5 
 
Cada ponto correspondente a x → y é chamado de par ordenado. (PAES, 
2018). Um conjunto de pares ordenados descreve um gráfico. Veja que, no exemplo 
anterior, x = 2 e y = 5 representam um par ordenado (2,5). 
 
3.3 Gráfico de uma função afim 
 
Funções podem ser representadas em forma gráfica. Muitas vezes, é a melhor 
maneira de se interpretar uma dada situação. Para entendermos a construção de um 
gráfico e a sua interpretação, é necessário utilizar o plano cartesiano. (PAES, 2018). 
O plano cartesiano é um sistema de eixos ortogonais. O eixo horizontal é o eixo 
das abscissas, onde marcamos os valores de x (comumente chamado eixo de x). O 
eixo vertical é o eixo das ordenadas, onde marcamos os valores de y (comumente 
chamado eixo dos y). No cruzamento dos eixos, temos a origem, o marco zero. 
O plano cartesiano é dividido em quatro quadrantes: 
 1° quadrante: x > 0 e y > 0; 
 2° quadrante: x < 0 e y >0; 
 3° quadrante: x < 0 e y < 0; 
 4° quadrante: x > 0 e y < 0 
 
 
Fonte: BaMic_illustrations/Shutterstock.com. 
 
13 
 
3.4 Construção do gráfico 
 
Para melhor entendimento, vamos construir um gráfico: dada uma função 
f: A → B, cuja a lei de formação é y = 2x + 1. Sendo y = R → R, escolhendo para 
exemplo x = (0,1,2,3), para determinar os pontos (x, y), calculamos y = 2x + 1, para 
todos os pontos escolhidos para x. Veja o cálculo no Quadro a seguir: 
 
 
Fonte: Soluções Educacionais Integradas, SAGAH. 
 
Para gerar o gráfico, basta marcar os pontos utilizando o plano cartesiano. 
Cada par ordenado (x, y) representa um ponto. O gráfico é definido por, pelo menos, 
dois pontos. Veja, na Figura abaixo, o gráfico que representa a função y = 2x + 1 
 
 
Fonte: Soluções Educacionais Integradas, SAGAH. 
 
O gráfico de uma função pode ter formas variadas. A curva que descreve a 
função está relacionada com o tipo de função. Observe que os pontos obtidos no 
exemplo gráfico pertencem a uma mesma reta. Quanto mais pontos calcularmos, 
melhor definiremos uma reta. De modo geral, o gráfico de uma função afim é uma 
reta. (PAES, 2018). 
 
14 
 
O gráfico de qualquer função constante, do tipo y = 1, será uma reta 
horizontal. Observe a Figura a seguir: 
 
 
Fonte: Soluções Educacionais Integradas, SAGAH. 
 
3.5 Coeficientes angular e linear de uma reta 
 
Na função polinomial de 1° grau y = f(x) = ax + b, os coeficientes a e b são 
especiais no estudo da reta. Esses coeficientes da função afim, a e b, são chamados 
de coeficiente angular e coeficiente linear, respectivamente. Uma vez conhecidos 
os coeficientes de uma reta, é possível determinar o gráfico que representa a função. 
(PAES, 2018). 
 Coeficiente angular: com papel fundamental na equação da reta, o 
coeficiente angular expressa a inclinação da reta em relação ao eixo das abscissas 
(eixo dos x). 
 Coeficiente linear: caracteriza o ponto onde a reta intercepta o eixo das 
coordenadas (eixo dos y). 
Conhecendo quaisquer dois pontos de uma reta, é possível determinar o 
coeficiente angular. Dado um ponto P¹ = (x¹ ,y¹ ) e P² = (x² ,y² ), basta calcular a razão 
entre a variação de y e variação de x para encontrar a inclinação (CORREA, 2012). A 
variação de x é determinada por x² – x¹, a variação de y é calculada por y² – y¹. 
Observe, graficamente, na Figura a seguir: 
 
15 
 
 
Fonte: Adami, Dorneles Filho e Lorandi (2015). 
 
Para determinar o coeficiente angular, basta calcular: 
 
 
 
Para encontrar o coeficiente linear, basta calcular o ponto em que x = 0. 
Em y = ax + b, quando x = 0, y = b. 
 
3.6 Função crescente e função decrescente 
 
Uma reta pode ser caracterizada como função crescente e decrescente. Uma 
função é crescente quando o valor de x aumenta, o valor de y também aumenta 
sempre (MATEMÁTICA DIDÁTICA, 2018). Uma função é dita decrescente quando, 
aumentando o valor de x, o valor de y diminui. 
Conhecendo a equação da reta, podemos identificar se uma reta é crescente 
ou decrescente pelo sinal do coeficiente linear, que respeita a seguinte relação: 
 
 
 
16 
 
4 FUNÇÕES LINEARES 
 
Oliveira (2016) destaca que podemos encontrar números desconhecidos em 
cálculos de matemática, física, química, biologia, assim como em problemas do nosso 
cotidiano. Quando reunimos informações sobre esse valor para expressá-lo de forma 
algébrica, isso resultará em uma equação. As equações lineares — ou do primeiro 
grau — são aquelas em que o expoente da incógnita é um. 
Nesse contexto, Friedrich e Manzini (2010, p. 42) formalizam a função afim da 
seguinte forma: “Chama-se de função afim ou função polinomial do 1º grau a toda 
função definida por onde as constantes a e b pertencem ao 
conjunto dos números reais e a e b devem ser diferentes de zero.” 
Ou seja, uma função do 1° grau ou função afim é definida pela lei de formação 
f(x) = a.x + b, na qual a e b são reais e a ≠ 0. Mas entre a vasta gama de funções do 
1° grau, existe um tipo particular de grande importância: a função linear. 
A função linear é aquela em que temos b = 0, isto é, sua lei de formação é do 
tipo f(x) = a.x, com a real e diferente de zero. Observe que toda função que não possui 
valor para o coeficiente b é classificada como função linear e, por consequência, é 
também uma função afim. Vejamos alguns exemplos de função linear e seus 
respectivos gráficos 
 
Exemplo 1: f(x) = 2x, onde f = y. 
Se x for igual a 1: 
f(x) = 2x 
f(x) = 2. 1 
f(x) = 2 
 
Se x for igual a 2: 
f(x) = 2x 
f(x) = 2. 2 
f(x) = 4 
 
Ou seja, se x for igual a 1, y será igual a 2 ... se x for igual a 2, y será igual a 4 
e assim por diante. 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/grafico-funcao-1-grau.htm
 
17 
 
Essa é uma função linear que pode ser classificada como crescente, uma vez 
que a = 2 > 0. (GONÇALVES, 2021). 
Podemos visualizar seu gráfico na imagem a seguir: 
 
 
Gráfico da função f(x) = 2x 
Fonte: https://brasilescola.uol.com.br 
 
Exemplo 2: f(x) = – 2x 
Se x for igual a 1: 
f(x) = – 2x 
f(x) = – 2. 1 
f(x) = – 2 
 
Se x for igual a 2: 
f(x) = – 2x 
f(x) = – 2. 2 
f(x) = – 4 
 
Ou seja, se x for igual a 1, y será igual a -2 ... se x for igual a 2, y será igual a 
-4 e assim por diante. 
 
18 
 
Essa também é uma função linear, pois seus coeficientes são a = – 2 e b = 0. 
Podemos ainda dizer que essa função é decrescente, uma vez que a < 0. 
(GONÇALVES, 2021). 
 
 
Gráfico da função linear f(x) = – 2x 
Fonte: https://mundoeducacao.uol.com.br/ 
 
 
4.1 Função identidade 
 
Entre as funções lineares, temos a função identidade. Uma aplicação f de R em 
R recebe o nome de função identidade quando a cada elemento x ∈ R associa o 
próprio x, isto é: f(x) = x 
 
 
Fonte: MURAKAMI, 2013 
 
19 
 
Desta forma, todos os pares ordenados que pertencem à função identidade são 
do tipo (a; a) e o gráfico que a representa contém as bissetrizes do 1º e 3º quadrantes. 
A imagem da função identidade é Im = R. 
 
5 FUNÇÕES QUADRÁTICAS 
 
Equações em que o expoente de maior grau é 2 são chamadas de equações 
do segundo grau — ou funções quadráticas. Nem sempre é possível resolver esse 
tipo de equação isolando a incógnita. É importante mencionar que se chama de raiz 
de uma equação o valor para o qual a equação se anula. No caso da equação do 
segundo grau, ela terá de zero até duas raízes reais e pode ser escrita, de forma geral, 
como y = ax² + bx + c, em que a, b e c são números reais e a ≠ 0 (OLIVEIRA, 2016). 
 
5.1 Raízes da função quadrática 
 
Vimos que a equação do segundo grau terá de zero até duas raízes reais e 
pode ser escrita, de forma geral, como y = ax² + bx + c. Assim, para resolvê-la, 
utilizamos a conhecida fórmula de Bhaskara, que nos permite encontrar as raízes da 
função quadrática. Para isso, vamos relembrá-la: 
 
 
 
Para resolver essa fórmula, olhamos para a forma geral da funçãoquadrática 
e buscamos seus elementos: a, b e c. 
Friedrich e Manzini (2010) lembram que a expressão b² – 4ac é conhecida 
como discriminante e pode ser representada pela letra grega ∆. Portanto, podemos 
reescrever a fórmula de Bhaskara como: 
 
 
 
Nesse contexto, Friedrich e Manzini (2010, p. 65) definem a função quadrática 
da seguinte forma: “A função f: R → R, definida por f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c 
 
20 
 
reais e a diferente de zero, é chamada de função quadrática ou função do segundo 
grau” 
 
5.2 Resolução de equações de segundo grau 
 
Ao resolver uma equação, estamos buscando suas raízes. Dessa forma, a 
função genérica f(x) = ax² + bx + c deve ser igualada a zero, de modo que se 
obtenham as suas raízes, ficando da seguinte forma: ax² + bx + c = 0 (FERREIRA, 
2018). 
Existem diversos métodos para resolução das equações, de qualquer ordem. 
Para as equações de segundo grau, abordaremos a fatoração pelo método da 
fatoração e pela fórmula de Bhaskara (ou fórmula quadrática). 
 
Exemplos: 
1. Dada a equação -x² -4x +5 = 0, podemos afirmar que o conjunto de soluções dessa 
equação é... 
Para calcular o valor de delta, temos que: 
a = - 1 b = -4 e c = 5 
Δ = (-4)² -4·(-1)·5 
Δ = 16 + 4 ·5 
Δ = 16 + 20 
Δ = 36 
 
Agora utilizando a fórmula de Bhaskara, temos que: 
 
 
Ou seja, o conjunto solução da equação é x’ = -5 e x” = 1 
 
21 
 
2. Determinar o conjunto solução da fórmula f (x) = x2 + 6x + 8, em que e a = 1, b = 6 
e c =8. 
Para calcular o valor de delta, temos que: 
 
Δ = (6)² -4·(1)·8 
Δ = 36 - 4 ·8 
Δ = 36 - 32 
Δ = 4 
 
Logo, 
x = - b ± √ Δ / 2.a 
 
 
 
Assim, x’ = –3 + 1 resultando em x’ = –2; e x’’ = –3 –1 resultando em x’’ = –4. 
 
 
5.3 Representação gráfica 
 
Na fórmula de Bhaskara, a expressão sob a raiz quadrada, (b2 – 4ac), é 
chamada de delta, ou representada pela letra grega ∆. 
Os gráficos de uma função do segundo grau são sempre uma parábola. Vamos 
entender o que caracteriza a parábola com concavidade voltada para cima ou para 
baixo. Oliveira (2016) mostra esses casos com exemplos gráficos, como você pode 
ver a seguir. 
 
Exemplos: 
 
O coeficiente a diz se a concavidade da parábola está voltada para cima ou 
para baixo. Lembre-se de que a lei de formação de uma função quadrática é dada por 
y = ax² + bx + c. 
 
 
 
22 
 
1. Para entender vamos aplicar y: x² + x – 2, sendo a= 1; b = 1 e; c = -2 
 
Δ = b² – 4ac 
Δ = (1)² -4·1·(-2) 
Δ = 1 + 8 
Δ = 9 
 
Logo, 
x = - b ± √ Δ / 2.a 
x = -1 ± √9 / 2 
x = -1 ±3 / 2 
x’ = -1 +3 / 2 x” = -1 – 3 / 2 
x’ = 2 / 2 x” = - 4 / 2 
x’ = 1 x” = -2 
 
O coeficiente a = 1 da fórmula apresentada é positivo, portanto a parábola será 
voltada para cima. O coeficiente c indica a ordenada do ponto em que o gráfico corta 
o eixo y, ou seja, em (0, c (que no caso é -2)). (SILVA, 2018). 
Os pontos em que as funções cortam o eixo x são as raízes ou os zeros da 
função. Para encontrá-los, basta resolver a equação do segundo grau f(x) = 0. 
(x’ = 1; x” = -2). 
 
 
Fonte: Fonte: Oliveira (2016, p. 66–67). 
 
23 
 
2. Para entender vamos aplicar y: - x² - x + 2, sendo a= -1; b = -1 e; c = 2 
 
 
Δ = b² – 4ac 
Δ = (-1)² -4·(-1)·2 
Δ = 1 + 8 
Δ = 9 
 
Logo, 
x = - b ± √ Δ / 2.a 
x = - (-1) ± √9 / -2 
x = 1 ±3 / -2 
x’ = 1 +3 / -2 x” = 1 – 3 / -2 
x’ = 4 / -2 x” = - 2 / -2 
x’ = -2 x” = 1 
 
O coeficiente a = - 1 da fórmula apresentada é negativo, portanto a parábola 
será voltada para baixo. O coeficiente c indica a ordenada do ponto em que o gráfico 
corta o eixo y, ou seja, em (0, c (que no caso é 2)). (SILVA, 2018). 
Os pontos em que as funções cortam o eixo x são as raízes ou os zeros da 
função. Para encontrá-los, basta resolver a equação do segundo grau f(x) = 0. 
(x’ = -2; x” = 1). 
 
 
Fonte: Fonte: Oliveira (2016, p. 66–67). 
 
 
 
24 
 
5.4 Vértice da parábola 
 
Uma parábola tem infinitos pontos; um deles é o vértice v (xv , yv ). O vértice 
se encontra no ponto médio das raízes da equação do segundo grau e pode ser obtido 
pela seguinte fórmula . Para encontrar o yv, basta substituir o valor do x 
encontrado na função ou fazer (FRIEDRICH; MANZINI, 2010). Observe no 
exemplo o significado do vértice da parábola. 
Exemplo: 
Se a > 0, o vértice é o ponto que tem o menor valor de y entre todos os pontos 
da curva. Por isso, é chamado também de ponto de mínimo absoluto da função. 
Assim, o ponto mínimo da função y = x² – 4x + 3 é o ponto (2, –1), como mostra a 
Figura a seguir: 
 
 
Vértice da parábola (com a > 0). 
Fonte: SILVA, 2018 
 
O vértice também pode ser o ponto que tem o maior valor de y entre todos os 
pontos da curva. Por isso, é chamado também de ponto de máximo absoluto da 
função, como mostra a figura abaixo: 
 
 
25 
 
 
Vértice da parábola (com a < 0). 
Fonte: Friedrich e Manzini (2010, p. 69). 
 
5.5 Forma canônica 
 
A construção do gráfico da função quadrática y = ax² + bx + c com o auxílio de 
uma tabela de valores x e y, como foi feito no item anterior, torna-se às vezes um 
trabalho impreciso, pois na tabela atribuímos a x alguns valores inteiros e pode 
acontecer que em determinada função quadrática os valores de abscissa (valores de 
x), em que a parábola intercepta o eixo dos x ou a abscissa do ponto da parábola de 
maior ou menor ordenada, não são inteiros. (MURAKAMI, 2013). 
Para iniciarmos um estudo analítico mais detalhado da função quadrática, 
vamos primeiramente transformá-la em outra forma mais conveniente, chamada 
forma canônica. 
 
 
 
Representando b² - 4ac por Δ, também chamado discriminante do trinômio do segundo 
grau, temos a forma canônica. 
 
 
 
 
26 
 
6 FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
Funções exponenciais são aquelas que trazem a variável independente, por 
exemplo x, como um expoente. (STEFANI, 2018). Tendo como domínio o conjunto 
dos números reais, uma função exponencial genérica pode ser descrita por: 
 
f(x) = a˟ 
 
em que a > 0, a ≠ 1 e a ∈ R. Foi excluído o caso em que a = 1 uma vez que, 
nessa hipótese, seja qual for o expoente, a função será sempre constante, com f(x) = 
1, ∀x. Você pode conferir alguns exemplos numéricos de funções exponenciais a 
seguir: 
 
 
Em uma função exponencial, 
 
f(x) = 8˟ 
 
a variável independente x indica quantas vezes o número 8 irá se repetir em 
uma multiplicação. Por exemplo, supondo x = 3 para esta mesma função, teremos: 
 
f(3) = 8ᶟ = 8 × 8 × 8 
f(3) = 512 
 
De maneira mais genérica, a expressão an indica que o número a será 
multiplicado por ele mesmo n vezes: 
 
an = a × a × ... × a com n fatores 
 
Para obter o valor da função em um valor de x específico, basta colocar o 
referido valor no lugar da variável independente. Por exemplo, seja a função: 
 
f(x) = 8˟ 
 
 
27 
 
Se x = 1 → f(x) = f(1) = 8¹ ; logo, para x = 1 → f(1) = 8 ou y = 8. 
Se x = 5 → f(x)= f(5) = 85 ; logo, para x = 5 → f(5) = 32.768 ou y = 32.768. 
E assim por diante. 
 
Além disso, vamos ver, a seguir, algumas propriedades das funções 
exponenciais. 
 
6.1 Propriedades de uma função exponencial 
 
Considerando os números a e b positivos e x e n ∈ R (STEFANI, 2018): 
 
– Multiplicação de potências de mesma base: 
Exemplo: 
 
 
– Divisão de potências de mesma base: 
Exemplo: 
 
 
– Multiplicação elevada a um expoente: 
Exemplo: 
 
 
– Divisão elevada a um expoente: 
Exemplo: 
 
 
 
28 
 
– Potência de potência: 
Exemplo: 
 
 
– Expoentes negativos: 
Exemplo: 
 
 
– Raízes: 
Exemplo: 
 
 
Inúmeros processos ou acontecimentos do nosso dia a dia podem obedecer a 
padrões com características exponenciais. É muito importante conhecer e aplicar esse 
tipo de função para resolver problemas aplicando esses modelos. (STEFANI,2018). 
 
6.2 Gráficos de funções exponenciais 
 
Para traçar o gráfico de funções exponenciais, como ocorre em qualquer outro 
tipo de função, basta atribuir valores para a variável independente. Ao substituir o valor 
pretendido na função, você poderá calcular o valor correspondente da função, naquele 
ponto. (STEFANI, 2018). 
Outra característica importante das funções exponenciais é o crescimento, ou 
decrescimento de seu gráfico. 
Para a função genérica 
f(n) = bn 
 
Se b > 1 esta função é dita crescente. Se 0 < b < 1, a função é decrescente. 
Observe a Figura a seguir e entenda um pouco mais este conceito. 
 
 
29 
 
 
Gráficos de funções exponenciais, crescente e decrescente. 
Fonte: Adaptada de Rogawski e Adams (2018, p. 41) 
 
Vamos, agora, construir o gráfico de uma função exponencial. Supondo a 
função f(x) = 2˟ vamos, inicialmente, construir a tabela de valores que relacionará x e 
sua correspondente f(x), conforme proposto no Quadro abaixo. 
 
 
 
Colocando estes pares no plano cartesiano, você pode verificar na Figura a seguir: 
 
 
 
Caso você se depare com funções do tipo f(x) = (3x + 2)x, o método de 
resolução deverá seguir as regras básicas da matemática: substituir os valores de x, 
resolver a expressões dentro dos parênteses e depois resolver a exponenciação. 
Assim, f(3) = (3 × 3 + 2)ᶟ = 11ᶟ . (STEFANI, 2018). 
 
 
30 
 
6.3 Modelos com funções exponenciais 
 
Criar modelos matemáticos de situações e sistemas diversos pode ser muito 
útil para prever o crescimento ou decrescimento de determinado evento. Funções 
exponenciais têm muitas aplicações nestes modelos matemáticos. (STEFANI, 2018). 
Segundo Safier (2011) alguns destes modelos já estudados são: 
 
Juros compostos: Se temos um investimento de P Reais, a uma taxa anual 
de juros r, sendo estes juros creditados na conta do investidor n vezes ao ano; o valor 
resultante (A), gerado em um período t de tempo, é modelo pela função: 
 
 
 
Juros compostos contínuos: Se temos um investimento de P Reais, a uma 
taxa anual de juros r, sendo estes juros creditados na conta do investidor 
continuamente; o valor resultante (A), gerado em um período t de tempo, é modelado 
pela função: 
 
 
Crescimento populacional ilimitado: Uma população N, com número Nᵒ de 
indivíduos iniciais, sendo considerada como crescente e sem limites, em qualquer 
instante t posterior, pode ser calculada por (sendo a taxa de crescimento k uma 
constante a determinar): 
 
 
Crescimento populacional logístico: Uma população N, com número Nᵒ de 
indivíduos iniciais, sendo considerada como crescente e com limite de P indivíduos, 
devido a recursos limitados, em qualquer instante t posterior, pode ser calculada por 
(sendo a taxa de crescimento k uma constante a determinar): 
 
 
 
Como exemplo, vamos observar as situações descritas a seguir: 
 
31 
 
Considere um capital de R$ 9.000,00 aplicado a uma taxa de 15% ao ano, 
capitalizados mensalmente, durante seis anos. Ao final do período, considerando a 
aplicação com juros compostos, o valor resultante gerado no período seria: 
 
 
 
Portanto, ao final de seis anos, o valor resultante será de R$ 22.013,28. Um 
pequeno país, em 1970, possuía 200.000 habitantes. Após novo levantamento, 40 
anos depois, sua população era de 235.000. Qual será a população estimada em 
2030? Como não há qualquer restrição ao crescimento populacional deste país, 
vamos utilizar a relação . Para tanto, precisamos determinar as 
constantes Nᵒ e k. 
Assim, 
 
 
 
Para definir a constante k: 
 
 
 
 
32 
 
Logo, no ano de 2030, 60 anos depois da nossa referência, a população será: 
 
 
 
A matemática possui uma área de concentração específica de observação e 
modelagem de situação e sistemas. Esta área possui aplicações em diversas ciências, 
como a engenharia, medicina, biologia, educação física. A modelagem matemática é 
uma área sempre muito importante. Outros exemplos do que ela pode estudar são a 
absorção de determinada substância ou medicamento pelo corpo humano, a eficiência 
no trabalho, o crescimento bacteriano, entre outras. (STEFANI, 2018). 
 
6.4 Situações aplicadas envolvendo crescimento e decrescimento 
exponencial 
 
Crescimento e decrescimento exponencial é uma análise muito utilizada em 
diversas situações. Podemos aplicar ao estudo do crescimento de qualquer 
população, à matemática financeira calculando os juros compostos sobre uma 
operação, pode-se obter níveis de radioatividade em um ambiente, resfriamento 
corporal, entre outras diversas aplicações. (PAES, 2018). 
A função exponencial é defendida como crescente ou decrescente, de acordo 
com os valores para a base a. 
 
6.5 Crescimento exponencial 
 
Um exemplo clássico de crescimento exponencial é sobre a análise do número 
de indivíduos de uma população. Um grupo de biólogos estudou o processo de 
reprodução em uma cultura de bactérias, a partir de dados coletados em determinado 
período de tempo. Foi observado que o número de indivíduos N, em função do tempo 
t em horas, é dado por: 
Pelo valor da base a, sendo a > 1, pode-se concluir que é uma função 
exponencial crescente. Podemos determinar valores de tempo t para confirmar. Veja: 
 
 
 
33 
 
Para t = 0, temos: 
 
 
Para t = 1, temos: 
 
 
Para t = 3, temos: 
 
 
Para t = 10, temos: 
 
 
*Observação — Nos cálculos do número de indivíduos para t igual a 1, 2, 3 e 
10, os resultados foram arredondados para se obter um número inteiro, pois não é 
possível existir 0,5 indivíduo. Por exemplo, em t = 1, temos N(t) = 61,55 indivíduos, e 
consideramos N(t) = 61 indivíduos. À medida que o tempo aumenta, o número de 
indivíduos também aumenta, o que caracteriza uma função crescente. (PAES, 2018). 
Logo, essa função representa um crescimento exponencial. Observe, na Figura 
abaixo, o gráfico dessa função. Repare que o eixo vertical representa o número de 
indivíduos, e o eixo horizontal representa o tempo t em horas. 
 
 
Fonte: PAES, 2018 
 
 
34 
 
6.6 Decrescimento exponencial 
 
Um estudo interessante sobre decrescimento é o cálculo de meia-vida de um 
elemento radioisótopo. Alguns desses elementos são utilizados na área da saúde para 
diferentes tipos de doenças. O radioisótopo iodo-131, por exemplo, é comumente 
utilizado para tratamentos de câncer de tireoide. Esses elementos sofrem 
desintegração, e seu tempo de vida é em função disso. O tempo de meia-vida do iodo-
131 é de 8 horas. Isso significa que, decorridas 8 horas, sua atividade será reduzida 
à metade em relação ao seu valor inicial. 
Uma dose de iodo-131 é administrada ao paciente. A função que relaciona 
porcentagem de iodo-131 após ser administrado em t dias é representada pela 
seguinte equação: 
 
 
Pelo valor da base a, sendo 0 < a < 1, podemos concluir que é uma função 
exponencial decrescente. Podemos determinar valores de tempo t para confirmar. 
(PAES, 2018). 
Veja: 
Para t = 0, temos: 
 
 
Para t = 8, temos: 
 
 
Para t = 24, temos: 
 
 
Para t = 32, temos: 
 
 
35 
 
Repare que, quando o tempo aumenta, a porcentagem do radioisótopo diminui. 
Isso é característico de uma função decrescente. Logo, essa função representa um 
decrescimento exponencial. A Figura abaixo traz o gráfico dessa função, onde o eixo 
vertical corresponde à quantidade de iodo-131 em porcentagem presente no paciente, 
e o eixo horizontal corresponde ao tempo em dias. 
 
 
Fonte: PAES, 2018 
 
7 FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
Elaborados na primeira metade do século XVII por John Napier, os logaritmos 
consistem em um dispositivo de cálculo eficiente e que, apesar do uso de modernas 
máquinas de calcular, ainda detêm a capacidade de relacionar diferentes fenômenos 
naturais, podendo ser aplicados na matemática financeira, física, química, biologia, 
geografia e até na música. (OLIVEIRA, 2018). 
O logaritmo pode ser descrito como a operação inversa da exponenciação, poispossibilita identificar o valor ao qual uma base foi elevada para gerar determinado 
número. Desse modo, se a exponenciação de a elevado a x resulta em um valor y, 
então, o logaritmo desse número será informado de que x é o valor do expoente da 
base que fornece y. 
 
36 
 
Atualmente, o uso dos logaritmos como uma técnica de cálculo praticamente 
desapareceu, mas o estudo das funções logarítmicas ainda é muito importante, em 
razão das muitas aplicações existentes dessas funções. 
Na concepção de um logaritmo, é importante destacar que a base a deve ser 
sempre maior que 0 (a > 0) e diferente de 1 (a ≠ 1) para que essa dinâmica seja 
possível. Safier (2011) denomina logaritmo de b na base a o expoente que se deve 
dar à base a de modo que a potência obtida seja igual a b, ou seja: 
 
 
 
Onde: 
 a = base do logaritmo 
 b = logaritmando 
 x = logaritmo 
 
São exemplos de logaritmos: 
 
 
 
 
As operações com os logaritmos, assim como nos exponenciais, necessitam 
da utilização de propriedades para facilitar o seu cálculo algébrico. (OLIVEIRA, 2018). 
Nesse sentido, é de extrema importância que sejam conhecidas suas propriedades 
operatórias. É possível observar essas propriedades no Quadro a seguir, que tem por 
base os números reais 0 < a ≠ 1, 0 < b ≠ 1, c ≠ 0, x e y ≠ 0 < a. 
 
 
37 
 
 
Fonte: OLIVEIRA, 2018 
 
De acordo com Iezzi, Dolce e Murakami (2013), uma função logarítmica pode 
ser descrita como uma relação. Denotamos essa função por: 
 
onde: 
 b = base 
 x = logaritmando 
 
A função logarítmica pode ser classificada em crescente ou decrescente; 
assim, a função é: 
 crescente se e somente se a base for maior que 1 (b > 1) e; 
 decrescente se a base for um valor maior que 0 e menor que 1 (0 < b < 1). 
 
Assim: 
 
 
Exemplos: 
Classifique as funções logarítmicas em crescente ou decrescente: 
 
a) f(x) log₉x 
b) f(x) log₀¸₇₅x 
 
38 
 
Para classificar uma função, é necessário identificar sua respectiva base e 
enquadrá-la nas categorizações possíveis, logo: 
 
a) f(x) = log₉x → b = 9, logo, a função logarítmica é crescente, pois 9 > 1 
b) f(x) = log₀¸₇₅ x → b = 0,75, logo, a função logarítmica é decrescente, pois 0 
< 0,75 < 1 
 
O domínio de uma função logarítmica reflete o comportamento da função 
mediante o domínio fixado, uma vez que não é possível calcular logaritmos de um 
número negativo existindo uma base positiva, qualquer base positiva sempre resulta 
em um valor, também positivo. Por essa razão, o domínio da função logaritmo é o 
conjunto dos número reais positivos não nulos, ou seja, D(f) = R, enquanto seu 
contradomínio resume-se aos reais positivos maiores que 0 (R+ * ), logo, pode ser 
descrita como: f: R→ R+ * 
A imagem da função logarítmica é o conjunto dos números reais, uma vez que, 
se 0 < a ≠ 1 e definida por f(x) = logₐ x, sabe-se que essa relação admite como função 
inversa g de R → R + * definida por g(x) = a˟ , caracterizando f(x) como bijetora, logo, 
Im = R. (OLIVEIRA, 2018). 
 
Exemplos: 
Estabeleça o domínio da função definida g(x) = logᴈ (2x – 4). 
Uma das condições para a existência de um logaritmo é que o logaritmando 
seja maior que 0, logo: 
2x – 4 > 0 
2x > 4 → x > 2 
 
Assim, é possível concluir que o domínio da função g(x) = log3 (2x – 4) é 
D = {x ∈ R|x > 2}. 
 
O 0 de uma função logarítmica é um valor para o qual a função indicada por 
uma lei de formação se anula, ou seja, é necessário determinar o valor de x para que 
ocorra f(x) = 0. No caso específico de uma função logarítmica, para determinar sua 
raiz, é imprescindível conhecer e dominar a concepção de logaritmo, assim como as 
propriedades de potência de um número e logarítmicas. 
 
39 
 
7.1 Gráfico da função logarítmica 
 
A representação gráfica de uma função logarítmica indicada por logₐ x com 0 < 
a ≠ 1 tem as seguintes características: 
 localiza-se à direita do eixo das ordenadas (eixo y), ou seja, x > 0; 
 intersecta o eixo das abscissas no ponto (1,0), pois logₐ1 = 0; 
 é simétrico em relação à reta y = x do gráfico de g(x) = a˟ . 
 
Na Figura abaixo, é possível observar as representações gráficas de uma 
função logarítmica, dada a sua classificação como crescente ou decrescente, assim 
como a presença da propriedade simétrica quando comparado à reta bissetriz dos 
quadrantes ímpares. (IEZZI; DOLCE; MURAKAMI, 2013). 
 
 
Gráfico função logarítmica. 
Fonte: Adaptada de Iezzi, Dolce e Murakami (2013) 
 
Exemplo: 
Construa o gráfico da função: 
 
Para delinear um gráfico, sugere-se recorrer a uma tabela onde serão inseridos 
valores possíveis para x e calculado o respectivo valor de y: 
 
 
40 
 
 
 
 
De posse desses pontos, basta encontrá-los no plano cartesiano, localizando 
corretamente os valores de x e seu respectivo correspondente y (OLIVEIRA, 2018), 
chegando-se à seguinte curva: 
 
 
Fonte: OLIVEIRA, 2018 
 
7.2 Relação entre função exponencial e função logarítmica 
 
Conhecidas como funções inversas, as funções exponencial e logarítmica 
recebem essa característica porque, ao inverter a lei de formação de uma dada por 
f(x) =a˟ , f: R → R+ *, será encontrada uma função logarítmica cuja lei de formação é 
 
41 
 
f(x) = logₐ x; outra característica é o fato de que o domínio e o contradomínio se 
invertem quando comparados à função exponencial. (OLIVEIRA, 2018). 
Essa característica é fácil de entender quando visualizada em uma 
representação gráfica, onde, ao ser traçada a reta bissetriz dos quadrantes ímpares 
(1° e 3°), é possível reconhecer que o gráfico da função exponencial é simétrico, ou 
seja, possui distâncias proporcionais ao gráfico indicativo da função logarítmica. 
Vamos construir o gráfico das funções f(x) = 3˟ e g(x) = logᴈ x, para isso, observe: 
 
 
 
Observe que o par ordenado da tabela de f(x), por exemplo (1,3), quando 
inserido na lei de formação de g(x), equivale a logᴈ 1 = 1, logo, origina o ponto (3,1). 
Outra análise relevante é quanto à disposição das funções f(x) e g(x), bem 
como a observação da propriedade simétrica referente à reta y = x, que corta os 
quadrantes ímpares do plano cartesiano. É possível notar essa característica na 
Figura abaixo, onde f(x) está indicado em vermelho, y = x, em verde, e g(x), em roxo. 
 
 
 
42 
 
8 TRIGONOMETRIA 
 
A trigonometria tem origem grega e seu significado está ligado às medidas de 
um triângulo (trigonos, triângulo; metrein, medidas). É a área da matemática em que 
são estudadas as relações existentes entre os lados e os ângulos de um triângulo. 
Um dos motivos de esse estudo surgir foi a necessidade do uso na astronomia para 
calcular o tempo, e seu desenvolvimento ocorreu na geografia e na navegação. O 
teorema de Pitágoras é muito conhecido e tem um papel importante no 
desenvolvimento dos estudos trigonométricos, pois é por meio dele que 
desenvolvemos fórmulas teóricas comumente utilizadas nos cálculos relacionados a 
situações práticas cotidianas. (BENTO, 2018). 
 
8.1 Razões trigonométricas seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo 
 
O triângulo é a figura geométrica mais simples, mas, ao mesmo, uma das mais 
importantes. Tem propriedades e definições de acordo com o tamanho de seus lados 
e com a medida dos ângulos internos, sendo classificados como acutângulo, 
obtusângulo e retângulo. 
Todo triângulo retângulo apresenta um ângulo reto e dois agudos. O triângulo 
ABC, mostrado na Figura a seguir, é um retângulo em C. 
 
 
 
Usaremos as letras maiúsculas dos vértices para denotar também os ângulos 
internos correspondentes, e as letras minúsculas a, b, c para denotar os lados opostos 
aos ângulos A, B e C, respectivamente, e também as medidas dos lados. Assim, 
temos C = 90° e A + B = 90°, pois a soma das medidas dos ângulos internos de 
 
43 
 
qualquer triângulo é igual a 180°. Os nomes cateto e hipotenusa são usados apenas 
nos triângulos retângulos, no nosso caso, a hipotenusaé a, o lado oposto ao ângulo 
reto, e os demais lados b e c são ditos catetos (b = cateto adjacente e c = cateto 
oposto). Para os triângulos retângulos, vale o importante teorema de Pitágoras, o 
qual define: “em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma 
dos quadrados dos catetos: a² = b² + c²”. O teorema de Pitágoras é um caso particular 
da Lei dos Cossenos, utilizada em triângulos quaisquer. 
Para um ângulo agudo de um triângulo retângulo, definimos as importantes 
razões seno, cosseno e tangente. 
 
 
 
As seis razões trigonométricas — seno, cosseno, tangente, cossecante, 
secante e cotangente — não dependem do “tamanho do triângulo retângulo”; elas 
dependem apenas da medida do ângulo. De fato, dois triângulos retângulos com um 
ângulo agudo de mesma medida são semelhantes. (BENTO, 2018). 
 
44 
 
Como calcular as Razões Trigonométricas? 
Para compreender melhor a aplicação das fórmulas, confira abaixo dois 
exemplos: 
Encontre os valores do seno, cosseno e tangente do ângulo do triângulo 
abaixo. 
 
 
Para encontrar os valores do seno, cosseno e tangente, devemos substituir a 
medida de cada lado do triângulo nas respectivas fórmulas. (BENTO, 2018). 
Observando a imagem, identificamos que: 
 o cateto oposto mede 5 cm; 
 o cateto adjacente mede 12 cm e; 
 a medida da hipotenusa é igual a 13 cm. 
Assim, temos: 
 
 
 
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos: a² = b² + c² = 13² = 5² +12² = 169 = 
25 + 144 = 169 = 169. A soma dos quadrados dos catetos tem que ser igual a medida 
da hipotenusa ao quadrado. 
 
45 
 
9 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E SUAS RELAÇÕES NO CÍRCULO UNITÁRIO 
 
9.1 Funções seno e cosseno 
 
Considere a circunferência de raio unitário e o centro na origem do sistema 
ortogonal de coordenadas, chamado de círculo trigonométrico. 
Convencionaremos o seguinte: o ponto A é a origem dos arcos sobre a 
circunferência, e o comprimento x de um arco é positivo quando obtido a partir de A, 
deslocando-se no sentido anti-horário, e negativo, se no sentido horário. 
Chama-se função seno a função f : R → R, indicada como f(x) = sen x, que 
associa a cada número real x, entendido como o comprimento de um arco AB da 
circunferência, a ordenada do ponto B no eixo OY. Em uma circunferência de raio r, o 
comprimento x de um arco e o ângulo θ subentendido estão relacionados pela fórmula 
x = θ ∙ r. (BENTO, 2018). 
A função seno é uma função periódica e seu período é 2π. No círculo 
trigonométrico, o sinal da função seno é positivo quando x pertence ao primeiro e 
segundo quadrantes. Já no terceiro e quarto quadrantes, o sinal é negativo. 
 
 
Fonte: https://www.todamateria.com.br/ 
 
Além disso, no primeiro e quarto quadrantes a função f é crescente. Já no 
segundo e terceiro quadrantes a função f é decrescente. 
O domínio e o contradomínio da função seno são iguais a R. Ou seja, ela 
está definida para todos os valores reais: Dom(sen)=R. 
 
46 
 
Já o conjunto da imagem da função seno corresponde ao intervalo real [-1, 1]: 
-1 < sen x < 1. 
Em relação à simetria, a função seno é uma função ímpar: sen(-x) = -sen(x). 
O gráfico da função seno f(x) = sen x é uma curva chamada de senoide: 
 
Gráfico da função seno. 
Fonte: Costa; Guerra (2009, documento on-line). 
 
A função cosseno é a função f : R→ R indicada por f(x) = cos x, que associa 
a cada número real x, entendido aqui também como o comprimento de um arco AB 
da circunferência unitária, a abcissa do ponto B no eixo OX. (BENTO, 2018). 
A função cosseno é uma função periódica e seu período é 2π. No círculo 
trigonométrico, o sinal da função cosseno é positivo quando x pertence ao primeiro 
e quarto quadrantes. Já no segundo e terceiro quadrantes, o sinal é negativo. 
 
 
Fonte: https://www.todamateria.com.br/ 
 
 
47 
 
Além disso, no primeiro e segundo quadrantes a função f é decrescente. Já no 
terceiro e quarto quadrantes a função f é crescente. 
O domínio e o contradomínio da função cosseno são iguais a R. Ou seja, ela 
está definida para todos os valores reais: Dom(cos)=R. 
Já o conjunto da imagem da função cosseno corresponde ao intervalo real [-1, 
1]: -1 < cos x < 1. 
Em relação à simetria, a função cosseno é uma função par: cos(-x) = cos(x). 
O gráfico da função cosseno f(x) = cos x é uma curva chamada de cossenoide: 
 
 
Gráfico da função cosseno. 
Fonte: Costa; Guerra (2009, documento on-line). 
 
Ambas as funções têm por conjunto imagem o intervalo [−1, 1]. Para todos os 
valores de x ∈ R, tem-se que −1 ≤ sen x ≤ 1 e −1 ≤ cos x ≤ 1. 
Sendo x o comprimento de um arco AB circunferência unitária, a ordenada e a 
abcissa de B, sen x e cos x são, no máximo, 1 e, no mínimo, −1, qualquer que seja x, 
como se constata examinando-se a Figura abaixo. (As funções seno e cosseno são 
exemplos importantes de funções periódicas.) 
Uma função f(x) é chamada de periódica quando satisfaz, para algum p, a 
relação f(x) = f(x + p), qualquer que seja x ∈ Domf. O menor valor de p para o qual se 
tem f(x + p) = f(x) para qualquer x ∈ R é chamado de período da função f. 
As funções seno e cosseno são funções periódicas com período 2π. Isso 
significa que, para todo x ∈ R, sen = (x + 2π) = sen x, cos(x + 2π) = cos x. (BENTO, 
2018). 
Essa propriedade segue da interpretação geométrica dessas funções. 
Examinando o círculo trigonométrico, conclui-se que a extremidade C de um arco AC 
 
48 
 
de comprimento x + 2π coincide com o ponto B do arco AB e, portanto, B e C têm as 
mesmas coordenadas. 
A função cosseno é uma função par. De fato, considere o arco AB de 
comprimento x > 0, como indica a Figura, e o arco AC, medido no sentido anti-horário, 
cujo comprimento é também –x (isto é, AC arco-x). Os pontos B e C, portanto, têm a 
mesma abcissa, de modo que cos(−x) = cos x. 
 
 
Gráfico da função círculo unitário. 
Fonte: Costa; Guerra (2009, documento on-line) 
 
A função seno é uma função ímpar, isto é, sen(−x) = (−1) sen(x). (BENTO, 
2018). 
 As funções sen x e cos x satisfazem algumas relações, chamadas de relações 
trigonométricas. Em particular, aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo 
retângulo Q0B, obtém-se a relação: cos² x + sen² x = 1. 
 
 
Gráfico da função círculo unitário sen e cos. 
Fonte: Costa; Guerra (2009, documento on-line). 
 
49 
 
9.2 Função tangente 
 
A função f: A → R, f(x) = tg x, definida por tg x = sen x / cos x, em que A = {x ∈ 
ℜ | cos x ≠ 0}, é chamada de cos x função tangente. (BENTO, 2018). A função tangente 
tem uma interpretação geométrica que é a seguinte: na circunferência unitária, a reta 
é tangente à circunferência no ponto A, chamada eixo das tangentes, como indica a 
Figura a seguir: 
 
. Gráfico da função círculo unitário tangente. 
Fonte: Costa; Guerra (2009, documento on-line). 
 
A função tangente é uma função periódica e seu período é π. Ela é expressa 
por: função f(x) = tg x 
No círculo trigonométrico, o sinal da função tangente é positivo 
quando x pertence ao primeiro e terceiro quadrantes. Já no segundo e quarto 
quadrantes, o sinal é negativo. 
 
 
Fonte: https://www.todamateria.com.br/ 
 
50 
 
Além disso, a função f definida por f(x) = tg x é sempre crescente em todos os 
quadrantes do círculo trigonométrico. 
O domínio da função tangente é: Dom(tan)={x ∈ R│x ≠ de π/2 + kπ; K ∈ Z}. 
Assim, não definimos tg x, se x = π/2 + kπ. Já o conjunto da imagem da 
função tangente corresponde a R, ou seja, o conjunto dos números reais. 
Em relação à simetria, a função tangente é uma função ímpar: tg(-x) = -tg(-x). 
(BENTO, 2018). 
O gráfico da função tangente f(x) = tg x é uma curva chamada de tangentoide: 
 
 
Gráfico da função tangente 
Fonte: Costa; Guerra (2009, documento on-line). 
 
9.3 Função secante 
É a função f: A → R, indicada por f(x) = sec x, em que sec x = e; 
A = {x ∈ R | cos x ≠ 0} 
 
 
Gráfico da função secante. 
Fonte: Costa; Guerra (2009, documento on-line). 
 
51A função secante é uma função par e periódica com período 2π. Seu conjunto 
imagem é Im(sec x) = (−∞, −1] ∪ [1, + ∞). (BENTO, 2018). 
 
9.4 Função cossecante 
 
É a função f: A → R, em que A é o conjunto dos números reais x, tais que sen 
x ≠ 0, dada por f(x) = cossec x 
Vejamos, agora, o gráfico da função cossecante na Figura a seguir: 
 
 
Gráfico da função cossecante. 
Fonte: Costa; Guerra (2009, documento on-line). 
 
A função cossec x é uma função ímpar, periódica com período 2π. Seu conjunto 
imagem é o conjunto: Im(cos sec x) = (−∞, −1] ∪ [1, ∞).(BENTO, 2018). 
 
9.5 Função cotangente 
 
A função f: A → R, dada por f(x) = cotg x = cos x / sen x, em que A é o conjunto 
dos números reais x, tais que sen x ≠ 0, é chamada função cotangente. 
A função cotangente é uma função ímpar, periódica de período π e Im(cotg x) 
= R. 
 
 
 
 
 
52 
 
 
Gráfico da função cotangente. 
Fonte: Costa; Guerra (2009, documento on-line) 
 
10 CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
Os conjuntos são bastante importantes em matemática. Talvez os mais 
famosos sejam os conjuntos numéricos, como os reais, os inteiros e os naturais. 
Embora eles tenham muitas aplicações puramente matemáticas, muitas áreas se 
beneficiam de suas teorias, como quando temos que dividir grupos que tenham 
características similares ou não, ou parcialmente similares, e problemas de 
reconhecimento de padrões. (FERREIRA; FERRAZ; 2018). 
Um conjunto pode ser definido como uma coleção de entidades, as quais são 
seus elementos. Ou seja, é uma coleção de elementos que estão relacionados 
segundo alguma regra. Por exemplo, os elementos poderiam ser números, frutas, 
pessoas, carros, etc. Já a regra à qual os elementos obedecem deve ser bem-definida 
— por exemplo, poderíamos ter um conjunto de palavras pertencentes à língua 
portuguesa. 
Geralmente, são utilizadas letras maiúsculas para se especificar os conjuntos, 
como A, B, W, …, e letras minúsculas para os elementos de um conjunto, como a, b, 
c ,z,... Por exemplo: 
g, h ∈ A, 
 
que significa que os elementos g e h pertencem ao conjunto A. O símbolo ∈ 
pode ser interpretado como “é um elemento de”. Para a negativa dessa afirmação, 
usa-se ∉, o que significa “não é um elemento de”. 
 
 
53 
 
10.1 Notação 
 
Para se descrever os elementos de um conjunto, geralmente são utilizadas 
chaves {} e vírgulas para separar os elementos. (FERREIRA; FERRAZ; 2018). 
Por exemplo: 
 
{–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}. 
 
Para conjuntos com número de elementos muito grandes, a notação acima não 
seria a mais indicada, pois geraria imensas listas. Assim, uma maneira de se 
descrever os conjuntos é utilizar uma letra, como x. Por exemplo: 
 
B = {x│x é um inteiro e |x| < 6}, 
 
o qual lemos como “B é um conjunto dos elementos x, tal que x é um inteiro e 
tem módulo menor que 6. Equivalentemente, podemos escrever: 
 
B = {x│x ∈ Z, |x| < 6 
 
Aqui, o símbolo | significa “tal que”, Z representa o conjunto dos inteiros, e a 
vírgula é interpretada como “e”. 
 
 
 
 
54 
 
10.2 Subconjuntos 
 
Suponha que tenhamos dois conjuntos, A e B. Se a ∈ A, implica que a ∈ B. 
Podemos dizer que A é um subconjunto de B e, alternativamente, que A está contido 
em B, A ⊆ B, ou que B contém A, B ⊇ A. Por exemplo, se P = {2, 4, 6} e S = {"inteiros 
pares"}, então, temos que P ⊆ S. 
Se dois conjuntos são iguais, cada conjunto está contido no outro, Assim, A = 
B "se, e somente se” A ⊆ B e B ⊆ A. Para os subconjuntos, temos o seguinte teorema: 
sejam A, B e C conjuntos quaisquer, então: 
1. A ⊆ A; 
2. Se A ⊆ B e B ⊆ A, então A = B; 
3. Se A ⊆ B e B ⊆ C, então A = C. 
 
10.3 Conjuntos numéricos especiais 
 
Alguns conjuntos são muito usados e, assim, acabaram recebendo tratamento 
especial. (FERREIRA; FERRAZ; 2018). Veja a seguir. 
 N: conjunto dos números naturais, ou inteiros positivos, com o zero — N = 
{0, 1, 2, 3, 4, …}. 
 Z: conjunto dos números inteiros, ou seja, todos os números inteiros 
positivos, negativos e o zero — Z ={…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}. 
 Q: conjunto dos números racionais, números reais com dígitos decimais 
finitos. Números que podem ser escritos em forma de fração de números inteiros, 
resultando assim em decimais com dígitos finitos – 𝑄 = . 
 I: Conjunto dos números irracionais, números que não podem ser escritos 
em forma de fração de números inteiros, resultando assim em decimais com dígitos 
infinitos — por exemplo, raízes não exatas o número 𝜋 e o número de 
Euler e. 
 R: conjunto dos números reais, o qual inclui os racionais e os irracionais — 
R = Q ∪ I. 
 C: conjunto dos números complexos, pares (a, b) de números reais, ou seja, 
números da forma z = a + bi, onde a e b são números reais e i² = –1. 
 
55 
 
A partir dessa descrição, podemos pensar N como uma parte de Z, Z como 
uma parte de Q e Q como uma parte de R. Em Q, equações do tipo x2 – 3 = 0 ou o 
cálculo da área do círculo, por exemplo, não podem ser resolvidas. Temos então um 
novo conjunto, os irracionais e esse conjunto I pode ser entendido como uma parte de 
R. No entanto, alguns problemas não podem ser resolvidos apenas em R, o que 
motivou o desenvolvimento dos números complexos. Por exemplo, a equação x² + 1 
= 0 não tem solução em R, mas, em C, veremos que ela tem solução. 
 
10.4 Conjuntos numéricos e suas operações 
 
De modo intuitivo, o conceito de conjunto remete à ideia de coleção, 
agrupamento, classe de objetos ou entes que compartilham de uma mesma 
característica. Nesse sentido, temos o conjunto das vogais, dos meses de um ano, 
das cartas de um baralho de um mesmo naipe, entre tantas outras coleções ou 
agrupamentos. No entanto, apesar dos inúmeros exemplos, matematicamente, pouco 
nos é informado sobre a natureza de um conjunto e das operações que atuam sobre 
ele. Nesse caso, faz-se necessário enunciar de modo formal um conjunto e seus 
elementos. 
 
 
 
Considere A um conjunto; além disso, considere o elemento a; caso esse 
elemento pertença ao conjunto A, denota-se por x ∈ A, leia-se x é elemento de A, ou 
x pertence ao conjunto A. Do contrário, caso x não seja elemento de A, denota-se por 
x ∉ A, leia-se: x não pertence ao conjunto A, ou x não é elemento de A. A forma mais 
simples de representar um conjunto, como demonstram Iezzi e Murakami (2019), é 
por meio dos pontos interiores a uma linha fechada e não entrelaçada, como é 
mostrado na Figura a seguir: 
 
 
56 
 
 
Conjunto A, seus elementos e os elementos não pertencentes a esse conjunto. 
 
A partir da imagem anterior e dos conceitos já estudados, é possível afirmar 
que o conjunto A contém os elementos d, e, f, g, h, ou seja, d ∈ A, e ∈ A, f ∈ A, g ∈ A, 
h ∈ A, ou ainda de outra forma, A = {d, e, f, g, h}. Por outro lado, os elementos k, l, m 
não pertencem ao conjunto A; dessa forma, são representados por l ∉ A, m ∉ A, k ∉ 
A. (IEZZI; MURAKAMI, 2019). 
Agora que vimos as três primitivas básicas sobre os conjuntos, é possível 
avançar com os estudos na direção das operações entre conjuntos. Cabe observar 
que, até agora, trabalhamos apenas com elementos e conjunto. Essencialmente, são 
três as operações entre conjuntos, a saber: união, intercessão, diferença e 
complementar. 
A primeira operação entre conjuntos que será apresentada é a união entre 
conjuntos, também conhecida como reunião entre os conjuntos. Nesse sentido, 
considere o conjunto A = {a, b, c, d} e o conjunto B = {e, f, g, h}. 
 
 
 
A partir da formalização do conceito de união entre conjuntos, considere os 
exemplos a seguir. 
 
 
 
57 
 
Exemplo 1: 
Seja A = {a, b, c, d} e B = {a, b, c}, então, A ∪ B = {a, b, c, d} ∪ {a, b, c} = {a, b, 
c, d} 
 
Exemplo 2: 
Seja A = {a, b} e B = {c, d, e, f, g}, então, A ∪ B = {a, b} ∪ {c, d, e, f, g} = {a, b, 
c, d, e, f, g} 
 
Exemplo 3: 
Seja A = {∅} o conjunto vazio e B = {c, d, e, f, g}, então, A ∪ B = ∅} ∪ {c, d, e, f, 
g} = {c, d, e, f, g} 
 
Outraforma de representar a operação de união entre conjuntos A e B é por 
meio da área hachurada do diagrama de Venn (IEZZI; MURAKAMI, 2019), como é 
mostrado pela Figura a seguir: 
 
 
União dos conjuntos A = {d, e, f, g, h} e B = {d, l, m, h, k}. 
 
A operação de união entre conjuntos satisfaz um conjunto de propriedades, as 
quais serão apresentadas a seguir, considerando-se os conjuntos A, B e C. 
1. A ∪ A = A (idempotente) 
2. A ∪ ∅ = A (elemento neutro) 
3. A ∪ B = B ∪ A (comutativa) 
4. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (associativa) 
 
Estudados os conceitos fundamentais sobre a operação de união entre 
conjuntos, prosseguimos com o estudo da operação de interseção. Assim, considere 
os conjuntos A = {a, b, c, d, e} e B = {a, b, k, l, m}. 
 
58 
 
A interseção do conjunto A com o conjunto B consiste no conjunto formado 
pelos elementos pertencentes, de modo simultâneo, ao conjunto A e ao conjunto B, 
sendo matematicamente denotado por: 
 
A ∩ B = {x|x ∈ A e x ∈ B} 
 
No caso em que A = {a, b, c, d, e} e B = {a, b, k, l, m}, a interseção de A com B, 
ou seja, A ∩ B, é dada por: A ∩ B = {a, b} 
Como observam Iezzi e Murakami (2013), se o elemento x pertence à 
interseção dos conjuntos A e B, ou seja, x ∈ A ∩ B, isso significa que x pertence a A 
e também x pertence a B. O conectivo colocado entre as duas condições significa que 
elas devem ser satisfeitas ao mesmo tempo. 
A fim de consolidar os conceitos vistos até esse ponto sobre a interseção de 
conjuntos, considere os seguintes exemplos. 
 
Exemplo 1: 
Seja A = {a, b} e B = {b, c, d}, então, A ∩ B = {a, b} ∪ {b, c, d} = {b} 
 
Exemplo 2: 
Seja A = {a, b} e B = {a, b, c, d}, então, A ∩ B = {a, b} ∪ {a, b, c, d} = {a, b} 
 
Exemplo 3: 
Seja A = {a, b} e B = {c, d}, então, A ∩ B = {a, b} ∪ {c, d} = ∅ A operação de 
interseção entre os conjuntos A e B também pode ser representada por meio da área 
hachurada do diagrama de Venn, como é mostrado pela Figura abaixo: 
 
 
Interseção dos conjuntos A = {d, e, f, g, h} e B = {d, h, l, m, k}. 
 
59 
 
Considerando os conjuntos A, B e C, e seja U o conjunto universo, que consiste 
naquele que contém todos os elementos de um dado assunto, valem as seguintes 
propriedades, de acordo com Iezzi e Murakami (2013): 
1. A ∩ A = A (idempotente) 
2. A ∩ U = A (elemento neutro) 
3. A ∩ B = B ∩ A (comutativa) 
4. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (associativa) 
 
Os autores citados observam ainda que as operações de união e interseção 
entre conjuntos se inter-relacionam e satisfazem as propriedades a seguir. Sejam A, 
B e C conjuntos, considere as operações de união (∪) e interseção (∩). Então, são 
válidas as seguintes operações. 
1. A ∪ (A ∩ B) = A 
2. A ∩ (A ∪ B) = A 
3. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 
4. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) 
 
Além das operações entre conjuntos vistas até aqui, tem-se ainda a operação 
de diferença entre os conjuntos e de complementar, as quais serão vistas nessa 
ordem. A fim de compreender a diferença entre conjuntos, considere, inicialmente, o 
conjunto A e o conjunto B quaisquer. A diferença entre o conjunto A e o conjunto B 
consiste em todos os elementos do conjunto A que não pertencem a B, sendo 
matematicamente denotada por: A – B = {x|x ∈ A ou x ∉ B} 
 
No caso em que A = {a, b, c, d} e B = {a, b, f, e}, a diferença de A e B, ou seja, 
A – B, é dada por: A – B = {c, d}. 
Os exemplos a seguir auxiliarão você a consolidar esse conceito. 
 
Exemplo 1: 
Seja A = {a, b} e B = {b, c, d}, então, A – B = {a, b} – {b, c, d} = {a} 
 
Exemplo 2: 
Seja A = {a, b, c} e B = {b, d}, então, A – B = {a, b, c} – {b, d} = {a, c} 
 
60 
 
Exemplo 3: 
Seja A = {a, b, c} e B = {a, b, c}, então, A – B = {a, b, c} – {a, b, c} = ∅ 
 
A Figura a seguir ilustra o conceito de diferença entre o conjunto A e o conjunto 
B. 
 
 
A diferença entre os conjuntos A = {d, e, f, g, h} e B = {d, h, l, m, k}. 
 
Por fim, a última operação entre conjuntos estudada neste tópico será a 
operação de complementaridade. Considere dois conjuntos A e B. 
O complementar do conjunto B, contido no conjunto A, consiste no conjunto 
formado pelos elementos pertencentes A e que não pertencem. (IEZZI; MURAKAMI, 
2019). Nesse caso, é importante observar que o conjunto B está contido em A. 
Matematicamente, essa operação é denotada por: 
 
No caso em que A = {a, b, c, d, e} e B = {a, b, c}, o complementar de B em 
relação a A é dado por 
A seguir, a fim de consolidar esses conceitos, seguem alguns exemplos. 
 
Exemplo 1: 
Seja A = {a, b, c, d, e, f} e B = {a, b}, então, CA B = A – B = {c, d, e, f} 
 
Exemplo 2: 
Seja A = {a, b, c, d, e, f} e B = {g, h}, então, CA B = A – B = {a, b, c, d, e, f} A 
 
A Figura abaixo demonstra uma operação de complementariedade do conjunto 
A ao conjunto B: 
 
61 
 
 
Complementar do conjunto B em relação ao conjunto A. 
 
11 CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS 
 
O conjunto dos números complexos tem sido largamente utilizado em diversas 
áreas não somente da matemática teórica, mas também das ciências aplicadas. Os 
resultados que podem ser observados com a manipulação de elementos desse 
conjunto dão suporte à modelagem de diversos problemas, os quais, de outra 
maneira, não poderiam ser solucionados de forma precisa. (MACHADO, 2018). 
 
11.1 O que são números imaginários e números complexos? 
 
Durante os estudos da resolução de equações polinomiais, como as equações 
quadráticas da forma: 
ax² + bx + c = 0. 
 
Utilizando-se a fórmula de Bhaskara: 
 
 
 
Muitas vezes, encontra-se uma expressão negativa dentro do radical. Por 
exemplo, ao aplicar a fórmula para a equação: 
x2 + 1 = 0. 
 
Tem-se: 
 
 
62 
 
Logo, as raízes seriam: 
 
 
O resultado obtido indica que a equação não possui raízes no conjunto dos 
números reais, já que não existe um número real associado à solução de uma raiz 
com radicando negativo e índice par. 
Conforme lecionam Anton e Bubsy (2006), os matemáticos do século XVIII 
inventaram um artifício algébrico para resolver essa questão: foi introduzida na 
matemática uma “unidade imaginária”, denotada i, com várias propriedades que 
permitem o cálculo de raízes que possuem radicando negativo e índice par. Com isso, 
uma nova categoria de números estava nascendo: os chamados números 
imaginários. 
De acordo com Lipschutz e Lipson (2011), define-se a unidade imaginária i 
como possuindo as seguintes propriedades: 
 i = √ -1; 
 i² = –1. 
Um número imaginário sempre aparece descrito com valores junto à unidade 
imaginária i. Pode-se criar infinitos números imaginários, como: 3i, –2i, i√3. De forma 
simplificada, um número imaginário possui a forma bi, onde b é um número real 
diferente de zero. 
Calcular a potência de números imaginários pode dar uma boa noção da sua 
relação com o cálculo de raízes de índice par e radicando negativo. A potência de um 
número imaginário é uma construção indutiva, como exemplificado a seguir. 
 
 
63 
 
Observa-se que um padrão de quatro valores possíveis se repete infinitamente 
a partir das quatro primeiras potências. Assim, para calcular qualquer potência não 
negativa de i, tem-se o seguinte algoritmo: divide-se o valor do expoente por 4; o resto 
encontrado fica entre 0 e 3, que é a potência correspondente dos quatro primeiros 
resultados (1, i, –1, –i). (MACHADO, 2018). 
Agora, realizando a potência de dois de um número imaginário qualquer, temos 
uma relação com a raiz quadrada de um número real negativo. Por exemplo, 
calculando o quadrado de 5i: 
 
(5i)² = 5² ∙ i² = 25 ∙ i² = 25 ∙ -1 = - 25 
 
O fato de que (5i)² = –25 significa que 5i = √–25. 
O resultado anterior também pode ser utilizado no processo de simplificação 
de um número imaginário. Para a > 0, tem-se √–a = i√a. Juntando esse fato com as 
propriedades algébricas sobre simplificação de radicais, potências e multiplicação, 
pode-se realizar a simplificação de qualquer númeroimaginário. 
Formalmente, de acordo com Lipschutz e Lipson (2011), um número 
complexo é um par ordenado (a, b) de números reais, em que a é chamado de parte 
real, e b é chamado de parte imaginária. O conjunto dos números complexos possui 
operações algébricas bem definidas e duas interpretações bem importantes (algébrica 
e trigonométrica) que os relacionam com os números reais. 
 
 
 
 
64 
 
O conjunto de todos os números complexos é denotado por ℂ. A Figura 1 traz 
uma representação da relação de contingência entre o conjunto ℂ e os demais 
conjuntos numéricos usuais. Um número complexo cuja parte imaginária é zero 
corresponde a um número real; já um número complexo cuja parte real é zero 
corresponde a um número imaginário. (MACHADO, 2018). Assim: 
 o número real a é identificado com o número complexo (a, 0); 
 o número imaginário bi é identificado com o número complexo (0, b). 
 
 
Relações entre os conjuntos numéricos. 
Fonte: MACHADO, 2018 – Soluções Educacionais Integradas, SAGAH 
 
11.2 Forma algébrica dos números complexos 
 
Todo número complexo (a, b) pode ser escrito na forma: 
 
z = a + bi 
 
Dessa forma, a é a parte real, b é a parte imaginária e i é a unidade imaginária 
(ANTON; BUSBY, 2006; LIPSCHUTZ; LIPSON, 2011; NICHOLSON, 2006). Esse 
modo de escrever um número complexo é denominado forma algébrica de um 
número complexo. A parte real do número complexo z será denotada Re(z), e a parte 
imaginária será denotada Im(z) 
 
 
65 
 
 
 
A forma algébrica é importante, pois facilita a definição das operações de soma, 
subtração e multiplicação entre dois números complexos, mas não é a única. Já que 
um número complexo é um par (a, b), pode-se construir uma forma trigonométrica e 
apresentar uma interpretação do número complexo sobre um plano cartesiano. 
(MACHADO, 2018). 
 
11.3 Forma trigonométrica dos números complexos 
 
Os números complexos podem ser interpretados geometricamente como 
pontos de um plano cartesiano. O plano no qual os números complexos são 
representados, segundo Nicholson (2006), recebe o nome de plano complexo ou 
plano de Argand-Gauss. 
O plano complexo possui como reta horizontal (usualmente chamada de eixo 
x) os valores da parte real do número complexo e como reta vertical (também 
chamada de eixo y) os valores da parte imaginária do número complexo, conforme 
representado na Figura a seguir: 
 
 
66 
 
 
Representação de números complexos no plano complexo. 
Fonte: Nicholson (2006, p. 104). 
 
Segundo Anton e Busby (2006), se z = a + bi é um número complexo diferente 
de zero, e se ϕ é o ângulo do eixo real à semirreta induzida pelo ponto (a, b), a partir 
da origem do plano complexo, então, as partes real e imaginária de z podem ser 
expressas por: 
a = |z| cos ϕ 
 
e 
b = |z| sin ϕ 
 
onde (pelo teorema de Pitágoras). Assim, o número complexo z = a + bi 
pode ser representado em sua forma trigonométrica (ou forma polar) como: 
 
z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) 
 
Elementos da forma trigonométrica de um número complexo. 
Fonte: Anton e Busby (2006, p. 578) 
 
 
67 
 
 
 
11.4 Operações sobre números complexos 
 
Dados dois números complexos z = a + bi e w = c + di, define-se a igualdade, 
a soma, a subtração e a multiplicação como segue. (MACHADO, 2018). 
 
11.4.1 Adição e subtração 
 
Diz-se que z = w se, e somente se, ambos possuem as mesmas partes reais e 
imaginárias, ou seja, se Re(z) = Re(w) e Im(z) = Im(w). De outra forma, a = c e b = d. 
Para somar ou subtrair números complexos, somam-se ou subtraem-se distintamente 
a parte real e a parte complexa: 
 
 
 
68 
 
Sejam os números complexos z₁ = a + bi e z₂ = c + di. 
A adição e subtração são feitas entre as partes reais e as partes imaginárias 
separadamente. (SILVEIRA, 2018). Dessa forma, temos: 
 
 
 
11.4.2 Multiplicação 
 
Para multiplicar dois números complexos, realiza-se o processo de 
multiplicação de polinômios lineares, e se aplicam as propriedades de comutatividade 
e distributividade (lembrando que i² = –1): 
 
 
 
Sejam os números complexos z₁ = a + bi e z₂ = c + di. O produto entre números 
complexos atende a definição de produto entre pares ordenados. Dessa forma, temos: 
 
 
 
Outra maneira de realizar o produto é utilizando a propriedade distributiva e as 
propriedades de potência da unidade imaginária. (SILVEIRA, 2018). Assim, temos: 
 
 
 
Também é útil definir os conceitos de conjugado e valor absoluto de um número 
complexo. O conjugado de um número complexo z = a + bi é denotado z – = a – bi. O 
valor absoluto é denotado , para o valor da raiz quadrada não negativa. 
 
 
69 
 
 
 
 
11.4.3 Divisão 
 
Para definir a divisão dos complexos, antes precisamos definir o conjugado de 
um número complexo. Seja z₁ = a + bi um número complexo. Dizemos que a − bi é o 
conjugado de z₁. Representamos com z₁. (SILVEIRA, 2018). Os conjugados possuem 
as propriedades a seguir. O conjugado da soma é igual à soma dos conjugados: 
 
 
 
O conjugado do produto é igual ao produto dos conjugados: 
 
 
70 
 
O produto de um número complexo pelo seu conjugado é um número real não 
negativo. 
 que é um 
número real positivo. O produto de um número complexo pelo seu conjugado é 
denominado norma de um número complexo. Portanto, dizemos que um número 
complexo z = a + bi foi normalizado, se ele foi escrito na forma: a² + b². 
Sejam dois números complexos z₁ e z₂, sendo z₂ ≠ 0. Obter o quociente da 
divisão de z₁ por z₂ significa encontrar um número complexo zᴈ. Dessa forma, 
escrevendo zᴈ na sua forma algébrica, temos: 
Veja o exemplo abaixo. 
 
 
 
12 A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E O ENSINO DA MATEMÁTICA 
 
Até a metade do século passado, a matemática era ensinada 
predominantemente com base no método. Como você sabe, uma era tecnológica 
despontou após a Segunda Guerra Mundial e durante a Guerra Fria. Nessa época, os 
alunos frequentavam a escola a fim de se tornarem operários. A ideia era que 
auxiliassem nas linhas de produção industriais pelo mundo. (SILVEIRA, 2018). 
Óbvio que sempre haveria aqueles que ascenderiam e ocupariam diferentes 
posições ou funções. Porém, a grosso modo, a escola era vista como uma linha de 
produção. Dentro das escolas, havia excesso de rigor matemático, foco em 
memorização de fórmulas e baterias de exercícios à exaustão. Não havia 
preocupação com o contexto no qual o conhecimento estava inserido. 
 
71 
 
A partir da década de 1970, principalmente na Europa, uma série de estudiosos 
começou a defender, em congressos, que a forma de se ensinar a matemática deveria 
ser revista. Seus apontamentos indicavam que a metodologia puramente conteudista, 
voltada para práticas tecnicistas, estava ultrapassada. Segundo eles, essa 
metodologia estava produzindo uma mão de obra de autômatos, que não sabiam 
como aplicar, no dia a dia, tudo o que haviam absorvido em sala de aula. Segundo Sá 
(2018, documento on-line) “A Educação Matemática, que tem como patrono o 
pesquisador e educador matemático Ubiratan D'Ambrosio, nasceu para corrigir as 
mazelas matemáticas advindas de métodos de ensino ultrapassados, mais 
conhecidos como tradicionalistas [...]”. Nas metodologias tradicionalistas, o aluno era 
um personagem coadjuvante. Ou seja, era uma espécie de esponja seca que deveria 
ir à escola para se encharcar com o conhecimento do professor, que seria o único 
protagonista do processo de ensino e aprendizagem. 
Aos poucos, esses modelos foram sendo modificados e substituídos por 
dinâmicas que davam mais espaço ao aluno. Desse modo, professor e aluno 
participavam de forma interativa da construção do saber. No Brasil, contudo, as 
práticas tradicionalistas, mais especificamente o tecnicismo empregado ao longo do 
período dos governos militares, perdurou por um pouco mais de tempo. Sua 
substituição iniciou-se tardiamente, na década de 1990, após a reabertura 
democrática. 
A