Artigo-II-Funções-Matemáticas

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Funções Matemáticas 
Sua história contada por meio da evolução de suas definições 
 
Verônica Gitirana1 
Veronica.gitirana@gmail.com 
 
 
1 Verônica Gitirana Gomes Ferreira. 
O conceito de função matemática até a 
década passada era introduzida em 
nossa escola de uma forma abstrata, 
apesar de suas inúmeras aplicações do 
cotidiano. Sua introdução se dava, 
convencionalmente, após o estudo de 
relações binárias, de pares ordenados e 
do sistema Cartesiano. Função era, 
finalmente, introduzida como um caso 
especial de relação binária. 
Posteriormente, algumas famílias de 
funções são exploradas. Cada família de 
funções é definida por meio de sua 
fórmula geral, seguida por um suporte 
gráfico. Desconsiderava-se, assim, toda 
a utilidade de funções e o conhecimento 
intuitivo do aluno sobre função. De 
fato, e em sintonia com resultados sobre 
a representação social do professor 
(MAIA, 1997), função é abordada na 
escola como parte da Matemática 
abstrata. 
Chama-se função de 2o. grau ou 
função quadrática a função 
f(x)=ax2+bx+c (a, b, c reais e a 
não nulo) definida para todo x 
real. (IEZZI et al, 1990). 
É assim que, após uma rápida 
exemplificação de relações quadráticas 
por meio de sua relação, o livro-texto de 
Matemática (IEZZI et al, 1990), 
bastante utilizado na década de 90 no 
antigo segundo grau, introduzia o 
conceito de função quadrática. Assim 
como para outras famílias de funções, 
tradicionalmente, funções afins (em 
nosso currículo denominada polinomial 
de 1o. grau) e quadráticas (denominada 
em nosso currículo também por função 
do 2o. grau) têm sido introduzidas por 
sua fórmula (sua representação 
algébrica) e os estudantes são 
desafiados a associar as regras para 
estas funções com situações que 
envolvem uma rotina. A representação 
algébrica de uma função tem sido em 
nosso currículo sinônimo de função, ou 
ao menos a sua essência, como apontou 
o estudo desenvolvido em meu trabalho 
de doutoramento (GOMES FERREIRA, 
1997), que é compatível com o mesmo 
resultado investigado por vários 
educadores matemáticos. Em vez de 
discutirmos as várias famílias de 
funções pelos padrões que elas são 
capazes de modelar, nos preocupamos, 
tão e somente, com sua definição 
algébrica. 
mailto:Veronica.gitirana@gmail.com
 
 
 
Apesar desta abordagem, alguns tipos 
de funções aparecem no dia a dia como 
invariantes relacionais (VERGNAUD, 
1991). Um exemplo é o cálculo da 
idade de um amigo mais velho. Em 
geral, relacionamos a idade de um 
amigo com a nossa por um fator que é 
constante (a diferença entre as duas 
idades (A)) ou decoramos sua data de 
nascimento. Atribuímos, assim, uma 
relação funcional entre nossa idade (x) e 
a do amigo (f(x)), como forma fácil de 
memorizar e que nos permite calcular 
em qualquer ano sua idade, bastando 
saber a nossa (f(x)=x+A)2. Antes de 
iniciarmos qualquer discussão sobre o 
ensino de função precisamos discutir a 
evolução da concepção de função. 
Esse texto aborda as concepções sobre 
função na história, por meio da 
evolução da história das definições de 
função. 
 
HISTÓRIA DAS DEFINIÇÕES 
A história da Matemática mostra que o 
estudo de função tem tido diferente 
ênfases. Desde tempos pré-históricos, a 
civilização se interessa por entender o 
comportamento funcional dos processos 
da natureza (BOYER, 1946), tal como a 
relação entre as fases da lua e os dias do 
mês. A matemática medieval, mesmo 
sem abstração nem definição, estudou a 
funcionalidade como ciência dos 
 
2 Tal função possui um erro dado que depende 
também de uma segunda variável - a data do 
ano que estivermos calculando a idade do 
amigo. O resultado depende se na data do ano 
em questão: ambos fizeram aniversário, um 
fez e o outro não, ou se ambos fizeram 
aniversário. 
dinâmicos. Taxa de variação tal como 
velocidade e aceleração foram focos de 
discussão. Note que neste estudo o 
interesse principal era como a variação 
em uma quantidade afetaria a variação 
em outra quantidade - tomando-se uma 
visão variacional. Segundo Malik 
(1980), esta ênfase foi fundamental para 
a origem do conceito de função. 
Posteriormente, o conceito evoluiu de 
uma perspectiva geométrica, no século 
17, passando por uma perspectiva 
algébrica no século 18, e chegando a 
uma perspectiva de teoria de conjuntos 
nos tempos modernos. 
Em 1692, Leibniz e Bernoulli adotaram 
o termo função “para designar certa 
quantidade geométrica variável, tais 
como ordenadas, tangentes, e raios de 
curvatura...” (BOYER, 1946: 12). Ao 
ser conectada com curvas, o termo 
recebeu uma perspectiva geométrica. 
Apesar de se estudar a variação, o 
aspecto pictórico da figura também 
estava envolvido no conceito. 
No século 18, matemáticos 
desenvolveram outra definição que trata 
o conceito essencialmente como 
equações. Para eles função era: “uma 
expressão analítica representando uma 
relação entre duas variáveis cujo gráfico 
não tem quinas” (MALIK, 1980: 490). 
A perspectiva geométrica novamente 
determinou uma mudança da definição 
de função “Euler viu que qualquer 
curva desenhada a mão-livre no plano 
determina uma relação funcional que 
pode não ser representável, tanto 
implícita quanto explicitamente, de 
 
 
 
forma analítica ordinária” (BOYER, 
1946: 12). Tal observação foi usada por 
Lacroix para dar uma nova definição ao 
termo: “qualquer quantidade, o valor 
que depende de uma ou mais 
quantidades é dito ser uma função das 
demais, caso ou não se saiba por qual 
operação passa-se das demais para a 
primeira” (op.cit.: 12-13). Em 1837, 
Dirichlet revisou a definição de função 
para: “y é uma função de x, para um 
domínio dado de valores de x, sempre 
que uma lei precisa pode ser dada 
relacionando x e y” (op.cit.: 13) onde 
ele usa ‘lei precisa’ referindo-se a uma 
regra do tipo: ‘dado x, um e somente 
um valor de y pode ser obtido’. A 
unicidade de uma função foi enfatizada. 
Com a introdução da Topologia e 
espaços métricos, matemáticos notaram 
que as propriedades de um conjunto 
eram de fundamental importância no 
estudo de funções (domínio e conjunto 
imagem). A definição de Dirichlet-
Bourbaki surgiu como: 
 
‘Uma função ƒ de A em B é 
definida como um subconjunto 
do produto Cartesiano de A e B, 
tal que, para todo aA existe 
exatamente um bB tal que 
(a,b)ƒ’. 
 
Nesta definição, função é enfatizada 
como uma entidade matemática. 
ALGUMAS CONSIDERAÇÕES… 
A matemática escolar seguindo uma 
ênfase tradicional tem introduzido o 
conceito de função segundo a definição 
de Dirichlet-Bourbaki. Apesar disto, os 
exemplos explorados, em geral, 
consistem de funções que podem ser 
expressas algebricamente. Como 
demonstra Vinner e Dreyfus (1989) e 
argumenta Malik (1980: 490-491), 
estudantes não se utilizam da definição 
para articularem suas idéias. “Um 
estudante retém um conceito somente se 
este é usado no curso; se somente uma 
forma particular do mesmo é usada, o 
estudante inconscientemente aceita essa 
forma particular...”. 
Vinner e Dreyfus (1989) mostrou que as 
concepções dos estudantes de função 
também dependem da representação 
usada. Através de gráficos, função é 
usualmente percebida como uma curva 
bem comportada. Pesquisas apontam 
que estudantes usualmente interpretam 
subconceitos de função a partir de 
gráficos tendo por referência seu 
formato como uma figura estática 
(GOLDENBERG, 1988; CLEMENT, 
1985) - pictoricamente. Por exemplo, o 
subconceito de monotonicidade 
(Crescente, decrescente e constante) é 
usualmente reconhecido pela ‘direção 
da linha reta’ (GOMES FERREIRA3, 
1997). Com esta percepção pictórica, 
pode-se dizer que ƒ1 é uma função 
crescente e ƒ2 é decrescente (figura 1). 
Porém, como se poderia caracterizarƒ3? Seu gráfico nem reta é! Ou ainda, 
como os estudantes fazem a 
generalização de tal percepção para ƒ3? 
 
3 Tese de doutoramento, também de Verônica 
Gitirana GOMES FERREIRA. 
 
 
 
Ou, será que tal generalização 
simplesmente não é feita? 
 
Fig. 1: Exemplos de funções crescentes e decrescentes 
 
Fonte: Gomes Ferreira (1997) 
 
Ao ser introduzida e enfatizada por 
equações, como no caso do currículo 
seguido pelos estudantes brasileiros 
analisado em Gomes Ferreira (1997), a 
função é essencialmente percebida 
como um processo, onde dado x e uma 
relação ƒ obtém-se a imagem de x, ƒ(x). 
Percepção esta que tem sido 
denominada de procedural. Note que 
quando os estudantes não vêm x como 
variável, essa ênfase pode levar os 
estudantes a uma visão pontual, uma 
relação entre pontos isolados. 
Preece (1983) detectou que alguns 
estudantes não eram capazes de 
responder questões advindas de 
subconceitos relacionados com 
variáveis. Como Goldenberg (1993) 
argumenta, ao analisarem um “... 
gráfico Cartesiano e declararem uma 
função como crescente sobre uma parte 
do domínio...” os especialistas em 
matemática estão “...vendo movimento 
numa figura estática, e usando 
considerável habilidade interpretativa 
que os novatos não parecem trazer” 
(p.13). Como argumenta Tierney et al 
(1992), para analisar subconceitos de 
função tais como derivada e valores 
extremos, os estudantes precisam adotar 
uma visão variacional — considerando 
na função a relação entre a ‘variação de 
x1 a x2’ e a ‘variação de ƒ(x1) a ƒ(x2)’. 
Em outras palavras, x tem que ser 
considerado como uma variável. 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
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