Gabarito_MatemáticaII_Módulo17_8ano

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Uma engenheira ficou encarregada de indicar todas as medidas dos ângulos internos na planta 
de um terreno representado na figura abaixo.
A
E D
B
138°
C
Ela sabe que a medida do ângulo D̂ é o dobro da medida do ângulo Ĉ e a 
medida do ângulo  excede a medida do ângulo Ĉ em 28°. Ajude a engenheira 
a determinar as medidas dos ângulos Â, Ĉ e D̂.
Resolução
 Para determinar as medidas dos ângulos Â, Ĉ e D̂, podemos usar a fórmula que calcula a soma 
das medidas dos ângulos internos de um polígono.
Como o terreno tem 5 lados (n 5 5), temos:
Si 5 (n 2 2) ? 180° 5 (5 2 2) ? 180° 5 3 ? 180° 5 540°
Então: m(Â) m(B̂) m(Ĉ) m(D̂) m(Ê) 540°1 1 1 1 5 (I)
 Vamos chamar a medida do ângulo Ĉ de x. Assim, podemos afirmar que m(D̂) 5 2x e 
m(Â) 5 x 1 28°.
Substituindo as medidas dos ângulos Â, Ĉ e D̂ em (I), obtemos:
x 1 28° 1 138° 1 x 1 2x 1 90° 5 540° ⇒ 4x 1 256° 5 540° ⇒ x 5 71°
Portanto, m(Â) 71° 28° 99°5 1 5 , m(Ĉ) 71°5 e m(D̂) 2 71° 142°5 ? 5 .
1 Determine a medida dos ângulos desconhecidos em cada caso.
a) 
120°
x
xx
b) 
α α
α α
αα
αα
SITUAÇÃO-PROBLEMA
PRATICANDO O APRENDIZADO
x 5 80° α 5 135°
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2 Determine o nome do polígono em que a soma das 
medidas dos ângulos internos é igual a 2 340°.
Pentadecágono.
3 Determine a soma das medidas dos ângulos internos 
de cada polígono abaixo.
a) Quadrilátero.
360°
b) Undecágono.
1 620°
c) Icoságono.
3 240°
4 A diferença entre o número de diagonais de dois polígo-
nos é 26 e a diferença entre o número de lados desses 
dois polígonos é 4. Determine a soma das medidas dos 
ângulos internos de cada um desses polígonos.
720° e 1 440°
5 A razão entre as somas das medidas dos ângulos inter-
nos de dois polígonos convexos é 13
10
, e a soma dessas 
medidas é 8 280°. Quantos lados tem cada polígono?
22 e 28
6 Três polígonos regulares têm respectivamente n, n 1 1 e 
n 1 2 lados. Calcule quantos lados tem cada um deles 
sabendo que a soma das medidas de todos os ângulos 
internos dos três polígonos é 1 620°.
4 lados, 5 lados e 6 lados
7 A soma das medidas dos ângulos internos de um polí-
gono convexo é 900°. Calcule o número de diagonais 
desse polígono.
14 diagonais
8 Qual é o polígono cuja soma das medidas dos ângulos 
internos é 1 800°?
Dodecágono (12 lados)
9 Determine o número de diagonais de um polígono con-
vexo cuja soma das medidas dos ângulos internos é 
3 600°.
209 diagonais
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APLICANDO O CONHECIMENTO
 Utilize o texto abaixo para responder às questões 1 e 2.
 Um arquiteto desenhou a planta de uma casa no for-
mato de estrela, como ilustrado no desenho a seguir. 
As áreas em verde, em amarelo e em laranja represen-
tam os quartos, a área em azul representa o banheiro, 
a área em preto representa a cozinha e a área em cinza 
representa o salão principal.
â
ê
d
î
c
b
ˆ
f̂
ĝ
ĵ
ˆ
ĥ
ˆ
1 Para construir a casa, o mestre de obra pediu ao arqui-
teto que fornecesse a soma das medidas dos ângulos 
a, b, c, d e e. Qual foi o valor fornecido pelo arquiteto?
180°
2 Qual é a soma das medidas dos ângulos f , g, h, i e j do 
salão principal?
540°
 Utilize o texto abaixo para responder às questões 3 e 4.
 Imagine um espetáculo no qual todos os artistas devem 
se posicionar nos vértices de um polígono convexo, 
desenhado no chão do teatro, cuja soma das medidas 
dos ângulos internos é 1 260°.
3 Determine o número de artistas do espetáculo.
9 artistas
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4 Se imaginássemos segmentos de reta unindo todos os 
artistas, dois a dois, quantos segmentos de reta tería-
mos no total?
36 segmentos de reta
5 Um artista plástico criou um quadro no formato de um 
polígono convexo cuja soma das medidas dos ângulos 
internos é o quíntuplo da soma das medidas dos seus 
ângulos externos. Quantos lados tem esse polígono?
12 lados
6 As estrelas de uma constelação imaginária estão loca-
lizadas nos vértices de um polígono regular. Sabendo 
que de cada estrela partem 8 diagonais, determine a 
soma das medidas dos ângulos internos do polígono 
que forma essa constelação.
1 620°
7 Uma praça em forma de polígono é cercada por 6 ruas 
de maneira que as medidas dos ângulos internos V1, V2, 
V3 e V4 são congruentes.
V
2
V
1
V
6
V
5
V
4
V
3
Sendo ( ) ( )m V̂ m V̂5 15 1 1 108 e m V̂ m V̂6 5( ) ( )5 1 1 108, 
determine a medida do maior ângulo interno formado 
pelas ruas.
( ) 5m V̂ 135°6
8 Bruna caminha todos os dias em uma mesma trilha 
cujo percurso forma um polígono, conforme o dese-
nho abaixo.
E
2
E
1
E
5
E
4
E
3
P
2x 2 18°
x 1 20°
x 1 18°
3x
2
x
 Determine a medida do ângulo E P̂E3 4 , sendo E P3 e E P4 
bissetrizes internas dos ângulos E3 e E4, respectivamente.
( ) 5m E P̂E 90°3 4
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DESENVOLVENDO HABILIDADES
1 Constelações são agrupamentos aparentes de estrelas, 
os quais os astrônomos da Antiguidade imaginaram 
formar figuras de pessoas, animais ou objetos. Numa 
noite escura, pode-se ver entre 1 000 e 1 500 estrelas, 
sendo que cada estrela pertence a alguma constelação. 
As constelações nos ajudam a separar o céu em porções 
menores, mas identificá-las é em geral muito difícil. [...] 
As constelações surgiram na Antiguidade para ajudar 
a identificar as estações do ano. Por exemplo, a cons-
telação do Escorpião é típica do inverno do hemisfério 
sul, já que em junho ela é visível a noite toda. Já Órion é 
visível a noite toda em dezembro e, portanto, típica do 
verão do hemisfério sul. Alguns historiadores suspeitam 
que muitos dos mitos associados às constelações foram 
inventados para ajudar os agricultores a lembrarem 
quando deveriam plantar e colher.
Disponível em: <http://astro.if.ufrgs.br/const.htm>. Acesso em: 31 jan. 2018.
Na figura abaixo está representada uma conste-
lação fictícia no formato de um polígono convexo. 
Os ângulos Ê1 , Ê2 , Ê3 e Ê5 são congruentes; os ângulos 
externos das estrelas, Ê4 , Ê6 , Ê7 e Ê9, medem, respec-
tivamente, 30°, 50°, 45° e 55°; e o ângulo interno Ê8 
mede 160°.
E
9
E
8
E
7
E
6
E
5
E
4
E
3
E
2
E
1
A soma das medidas dos ângulos congruentes é:
a) 460°
b) 480°
c) 520°
d) 560°
e) 620°
2 No desenho abaixo, temos duas malhas viárias forman-
do polígonos convexos.
 Qual é a diferença entre as somas das medidas dos 
ângulos internos dos dois polígonos?
a) 180°
b) 200°
c) 260°
d) 360°
e) 380°
3 O geoplano é composto de uma placa de madeira onde 
são cravados pregos, formando uma malha de acordo 
com a figura a seguir.
Sequência 1
Sequência 3
Sequência 4
Sequência 5
Sequência 6
Sequência 2
 Nessa malha, temos 6 sequências de pregos organizados 
em circunferências a partir do prego central, sendo a 
distância entre um prego e outro sempre a mesma.
 Com um barbante, ligamos os pregos da sequência 1, 
formando um polígono convexo. Em seguida, ligamos 
com outro barbante os pregos da sequência 2, forman-
do outro polígono convexo.
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ANOTAÇÕES
 Assinale a alternativa que contém a diferença entre o 
total de diagonais desses dois polígonos e a soma das 
medidas dos ângulos internos do polígono da sequên-
cia 1 com a soma dos ângulos externos do polígono da 
sequência 2.
a) 240 e 8 640°
b) 340 e 7 860°
c) 340 e 8 640°
d) 440 e 8 640°
e) 440 e 7 860°
4 Em uma exposição de arte, três quadros chamavam 
a atenção, pois tinham formatos de polígonos conve-
xos. O número de lados dos três polígonosforma uma 
sequência de três números inteiros consecutivos. Sa-
bendo que a soma das medidas dos ângulos internos 
desses polígonos é 2 700°, calcule o total de diagonais 
do polígono que tem maior número de lados.
a) 5
b) 14
c) 16
d) 20
e) 35
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