Teoria das Estruturas 1 - Aula 4 - 2013 1S - EC

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1 
T E O R I A D A S E S T R U T U R A S 1 
C E N T R O U N I V E R S I T Á R I O E S T Á C I O R A D I A L D E S Ã O P A U L O 
C U R S O D E G R A D U A Ç Ã O E M E N G E N H A R I A C I V I L 
P R O F . A L E X A N D R E A U G U S T O M A R T I N S 
6 º P E R Í O D O 
2 0 1 3 / 1 S 
A
U
LA
 4
 
0
1.0
3.
20
13
 
2 
“ L I Ç Ã O D E C A S A ” 
3 
C D 
B 
5 m 
120 tf 
70 tf 
90 tf 
6 m 
100 tf 
4 m 
A 
4 m 4 m 3 m 1 m 
85 tf/m 
200 tf.m 
PEDE-SE: 
 REDUÇÃO AO PONTO B; 
 RESULTANTES DAS FORÇAS DE AÇÃO E DE REAÇÃO DO PÓRTICO 
4 
C D 
B 
5 m 
120 tf 
70 tf 
90 tf 
6 m 
100 tf 
4 m 
A 
4 m 4 m 3 m 
1 
m 
85 tf/m 
200 tf.m 
5 m 
4 m 
+ 
70 tf / m 
C D 
B 120 tf 
6 m 
100 tf 
A 
4 m 4 m 3 m 
1 
m 
680 tf 
200 tf.m 
20 tf 
5 
1,5 
m 
630 tf 
C D 
B 
5 m 
120 tf 
100 tf 
4 m 
A 
4 m 4 m 3 m 
680 tf 
200 tf.m 
90 tf 
4 m 
1,5 
m 
+ 
70 tf / m 
C D 
B 120 tf 
6 m 
100 tf 
A 
4 m 4 m 3 m 
1 
m 
680 tf 
200 tf.m 
20 tf 
6 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS 
EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
(1) Σ Fx = 0 
 HB – 120 = 0 
 HB = 120 tf 
(2) Σ Fy = 0 
 VA + VB – 680 – 100 – 90 – 630 = 0 
 VA + VB = 1500 tf (a) 
(3) Σ MB = 0 
 VB . 0 + VA . 11 – HB . 0 + 120 . O – 680 . 11 
 – 100 . 7 – 90 . 3 – 630 . 1,5 + 200 = 0 
 VA . 11 – 7480 – 700 – 270 – 945 + 200 = 0 
 11 VA = 9195 
 VA = 9195 / 11 
 VA = 835,91 tf 
 de (a), VB = 664,09 tf 
1,5 
m 
630 tf 
C D 
B 
5 m 
120 tf 
100 tf 
4 m 
A 
4 m 4 m 3 m 
680 tf 
200 tf.m 
90 tf 
4 m 
1,5 
m 
7 
630 tf 
C D 
B 
120 tf 
100 tf 
A 
680 tf 
200 tf.m 
90 tf 
835,91 tf 
664,09 tf 
120 tf 
8 
R Ó T U L A S E O E Q U I L Í B R I O E S T Á T I C O 
9 
CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS EM BARRAS QUANTO AO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
 HIPOSTÁTICAS 
 OCORREM QUANDO O NÚMERO DE VÍNCULOS INTERNOS (ESFORÇOS DE LIGAÇÃO 
ENTRE OS SEUS COMPONENTES) E/OU VÍNCULOS EXTERNOS (ESFORÇOS DE 
LIGAÇÃO COM O MEIO EXTERIOR) FOREM INSUFICIENTES PARA O EQUILÍBRIO 
ESTÁTICO DA ESTRUTURA OU DE SUAS PARTES, SOB AÇÕES EXTERNAS 
QUAISQUER; 
 EM OUTRAS PALAVRAS: ESTRUTURAS HIPOSTÁTICAS CARACTERIZAM-SE QUANDO 
SÃO POSSÍVEIS DESLOCAMENTOS DE CORPO RÍGIDO DA ESTRUTURA OU 
POSSÍVEIS DESLOCAMENTOS RELATIVOS ENTRE ALGUMAS DE SUAS PARTES; 
 SÃO, PORTANTO, MODELOS ESTRUTURAIS QUE NÃO TÊM NÚMERO SUFICIENTE 
DE VÍNCULOS EM RELAÇÃO ÀS REAÇÕES DE EQUILÍBRIO. 
10 
A B 
A B 
A B 
VA VB 
VA VB 
VA VB 
CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS EM BARRAS QUANTO AO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
 REPRESENTAÇÕES USUAIS DE ESTRUTURAS HIPOSTÁTICAS 
11 
CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS EM BARRAS QUANTO AO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
 ISOSTÁTICAS 
 SÃO TAMBÉM CONHECIDAS COMO ESTRUTURAS ESTATICAMENTE 
DETERMINADAS; 
 SÃO VERIFICADAS QUANDO OS VÍNCULOS FOREM ESTRITAMENTE OS 
NECESSÁRIOS PARA MANTER O EQUILÍBRIO ESTÁTICO DE TODA A BARRA E DE 
SUAS DIVERSAS PARTES; 
 TANTO AS REAÇÕES DE APOIO QUANTO OS ESFORÇOS INTERNOS PODEM SER 
DETERMINADOS, APENAS, PELA ADOÇÃO DAS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO; 
 O NÚMERO DE VÍNCULOS INTERNOS E EXTERNOS SE IGUALA AO NÚMERO DE 
CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO. 
12 
A B 
A B 
VA VB 
VA VB 
CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS EM BARRAS QUANTO AO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
 REPRESENTAÇÕES USUAIS DE ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS 
A 
VA 
HA MA 
HB 
HB HA 
HA 
13 
CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS EM BARRAS QUANTO AO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
 HIPERESTÁTICAS 
 SÃO TAMBÉM CHAMADAS DE ESTRUTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS; 
 QUALIFICAM-SE POR POSSUÍREM VÍNCULOS INTERNOS OU EXTERNOS 
EXCEDENTES EM RELAÇÃO AO NÚMERO DE CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO; 
 NESTE CASO, AS EQUAÇÕES DA ESTÁTICA NÃO SÃO SUFICIENTES PARA A 
DETERMINAÇÃO DE SEUS ESFORÇOS REATIVOS E/OU SECCIONAIS; 
 PARA DETERMINAR OS ESFORÇOS INTERNOS E AS REAÇÕES DE APOIO EM 
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS, É NECESSÁRIO CONSIDERAR, ALÉM DAS 
CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO, OUTRAS VARIÁVEIS QUE, DE FORMA SIMPLISTA, 
LEVAM EM CONTA A “DEFORMABILIDADE” DO MODELO ESTRUTURAL. 
14 
CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS EM BARRAS QUANTO AO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
 REPRESENTAÇÕES USUAIS DE ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS 
B A 
VB 
HB MB 
VA 
B A 
VB 
HB MB 
VA 
HA MA 
A B 
VA VB 
HB HA 
15 
LIGAÇÕES ENTRE AS BARRAS: 
 RÍGIDAS (NÓS RÍGIDOS): 
TRANSMITEM TODOS OS ESFORÇOS SECCIONAIS DO MODELO DE ESTRUTURA EM 
QUESTÃO; 
 ARTICULADAS (NÓS ARTICULADOS): 
LIBERARAM DESLOCAMENTOS ENTRE AS EXTREMIDADES DAS BARRAS E ANULAM OS 
ESFORÇOS SECCIONAIS ASSOCIADOS AOS DESLOCAMENTOS; 
 SEMIRRÍGIDAS (NÓS SEMIRRÍGIDOS): 
AINDA QUE NÃO MUITO COMUNS, TRANSMITIEM DESLOCAMENTOS RELATIVOS 
ENTRE AS EXTREMIDADES, MAS COM DIFUSÃO PARCIAL DOS CORRESPONDENTES 
ESFORÇOS SECCIONAIS. 
16 
ARTICULAÇÕES: 
 INTERNAS: 
ESTÃO PRESENTES, PROPRIAMENTE, EM UMA RELAÇÃO ENTRE BARRAS; 
 EXTERNAS: 
REFEREM-SE À RELAÇÃO DAS BARRAS COM O MEIO EXTERNO EM QUE ESTÃO 
INSERIDAS. 
 
AS ARTICULAÇÕES PODEM SER TRATADAS COMO UM TIPO DE APOIO QUE PERMITE 
DESLOCAMENTOS. A ARTICULAÇÃO PODE OCORRER TAMBÉM NO MEIO DE UMA 
BARRA, QUANDO ENTÃO EXISTE UM MECANISMO QUE PERMITE DESLOCAMENTO(S) 
ENTRE AS PARTES DA BARRA POR ELE DIVIDIDAS. 
17 
RÓTULA: 
 TRATA-SE DE UM CASO BASTANTE PARTICULAR DE LIGAÇÃO ARTICULADA, QUE 
LIBERA A ROTAÇÃO DA EXTREMIDADE DE UM TRAMO DE MANEIRA A QUE SEJA NULO 
O MOMENTO FLETOR NESSA MESMA EXTREMIDADE; 
 UMA LIGAÇÃO ARTICULADA EM UM MODELO ESTRUTURAL (UMA VIGA, POR 
EXEMPLO) É CHAMADA DE RÓTULA E É REPRESENTADA POR UM CÍRCULO NA 
LIGAÇÃO; 
 UMA RÓTULA LIBERA A CONTINUIDADE DE ROTAÇÃO NO INTERIOR DE UMA 
ESTRUTURA; 
 NA GRANDE MAIORIA DAS ESTRUTURAS, CONTUDO, A RÓTULA APRESENTA-SE COMO 
UMA LIGAÇÃO COM REDUZIDA CAPACIDADE DE TRANSMISSÃO DE MOMENTOS 
FLETORES. ISTO SIGNIFICA DIZER QUE, AINDA QUE EFETIVAMENTE EXISTA NA 
RÓTULA, O VALOR DO MOMENTO É TÃO ÍNFIMO QUE PODE SER DESCONSIDERADO!; 
18 
P 
q 
CONFIGURAÇÃO RESULTANTE 
(ESTRUTURA JÁ DEFORMADA 
COM AMPLIAÇÃO EXAGERADA) 
CONFIGURAÇÃO ORIGINAL 
(ANTES DA DEFORMAÇÃO) 
19 
RÓTULA: 
 O FATO DE O MOMENTO SER NULO EM UMA RÓTULA CONFIGURA-SE COMO UMA 
CONDIÇÃO IMPOSTA ADICIONAL DE EQUILÍBRIO, UMA VEZ QUE A RESULTANTE DE 
QUALQUER UM DOS LADOS DA RÓTULA, DEVE SER NULA. SE ASSIM NÃO O FOSSE, 
CADA PARTE GIRARIA EM TORNO DO PONTO CENTRAL DA RÓTULA; 
 NO EXEMPLO ANTERIOR DOS PÓRTICOS, O MODELO ESTRUTURAL CONSIDERA QUE A 
LIGAÇÃO ENTRE A VIGA E O PILAR DA DIREITA É PERFEITAMENTE ARTICULADA, O QUE 
NÃO É VERDADE PARA OS CASOS REAIS, QUE SÓ FAZEM SENTIDO SE AS ROTAÇÕES 
FOREM MUITO PEQUENAS; 
 COMO OS MOMENTOS FLETORES EM RÓTULAS SÃO NULOS, AS RÓTULAS INTERNAS 
IMPLICAM EM EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO ADICIONAIS ÀS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO 
DA ESTRUTURA COMO UM TODO. 
20 
EXEMPLO 1: 
RÓTULAS INTERNAS NOS PONTOS B; D; E. 
A RÓTULA B PERMITE UMA ROTAÇÃO DO TRAMO ABF DA ESTRUTURA EM RELAÇÃO À 
OUTRA PARTE CBG. A RÓTULA D ADMITE UMA ROTAÇÃO DA BARRA AD EM RELAÇÃO AO 
RESTANTE DO PÓRTICO. POR ANALOGIA, O MESMO ACONTECE COM A BARRA CE EM 
FUNÇÃO DA RÓTULA E. 
A 
B 
C 
E D 
F G 
p p 
21 
 Σ MB
AFB = 0; 
 Σ MD
AD = 0; 
 Σ ME
CE = 0; 
ONDE: 
ÍNDICE INFERIOR = PONTO DE CÁLCULO DO MOMENTO; 
ÍNDICE SUPERIOR = TRECHO DO PÓRTICO PARA O QUAL 
SE ESCREVE A EQUAÇÃO. 
ASSIM, ÀS TRÊS EQUAÇÕES QUE EXPRESSAM O EQUILÍBRIO DE TODO O PÓRTICO, SOMAM-SE 
MAIS TRÊS DE EQUILÍBRIO INDEPENDENTE ENTRE SI, TORNANDO ESTA UMA ESTRUTURA 
ISOSTÁTICA. 
A 
B 
C 
E D 
F G 
p p 
HF 
VF 
HG 
VG 
VC VA 
22 
EXEMPLO 2: 
RÓTULA INTERNA APENAS NO PONTO B. 
A RÓTULA B PERMITE UMA ROTAÇÃO DA PARTE ABD DA ESTRUTURA EM RELAÇÃO AO 
TRAMO CBE. 
A 
B 
C 
D E 
p 
23 
A 
B 
C 
D E 
p 
HD 
VD 
HE 
VE 
VC VA 
ONDE: 
ÍNDICE INFERIOR = PONTO DE CÁLCULO DO MOMENTO; 
ÍNDICE SUPERIOR = TRECHO DO PÓRTICO PARA O QUAL 
SE ESCREVE A EQUAÇÃO. 
PORTANTO, ÀS TRÊS EQUAÇÕES QUE EXPRESSAM O EQUILÍBRIO DE TODO O PÓRTICO, SOMAM-SE 
APENAS MAIS DUAS DE EQUILÍBRIO INDEPENDENTE ENTRE SI, O QUE CONFIRMAQUE ESTA É UMA 
ESTRUTURA HIPERESTÁTICA. 
 Σ MB
BD = 0 
 Σ MB
BD = 0 
 Σ MB
BE = 0 
 Σ MB
BE = 0 
 Σ MB
AC = 0 
 Σ MB
AC = 0 
E 
E 
E 
OU 
OU 
24 
G R A U D E H I P E R E S T A T I C I D A D E 
25 
CONSIDERAÇÕES GERAIS 
 DIZ-SE QUE OS ESFORÇOS EM EXCESSO, NO EQUILÍBRIO DE UMA ESTRUTURA EM 
BARRAS, SÃO HIPERESTÁTICOS OU REDUNDANTES ESTÁTICOS E QUE O NÚMERO 
DESSAS REDUNDANTES FORMA O GRAU DE INDETERMINAÇÃO ESTÁTICA – OU GRAU 
DE HIPERESTATICIDADE; 
 ASSIM, O PÓRTICO DO EXEMPLO 2 TEM GRAU DE INDETERMINAÇÃO ESTÁTICA IGUAL 
A 1. E A IDENTIFICAÇÃO DESSE EQUILÍBRIO ESTÁTICO DESENVOLVE A HABILIDADE DE 
VISUALIZAR CONFIGURAÇÕES ESTÁVEIS; 
 O GRAU DE HIPERESTATICIDADE PODE SER DETERMINADO PELA FÓRMULA: 
g = [NÚMERO DE INCÓGNITAS DO PROBLEMA ESTÁTICO] – 
[NÚMERO DE EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO] 
26 
CONSIDERAÇÕES GERAIS 
 AS INCÓGNITAS DO PROBLEMA DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO DEPENDEM DOS VÍNCULOS 
DE APOIO DA ESTRUTURA E DA EXISTÊNCIA DE CICLOS FECHADOS DE BARRAS (OU 
ANÉIS); 
 CADA COMPONENTE DE REAÇÃO DE APOIO É UMA INCÓGNITA, ISTO É, AUMENTA EM 
UMA UNIDADE O GRAU DE HIPERESTATICIDADE. 
C L A S S I F I C A Ç Ã O D O S M O D E L O S E S T R U T U R A I S 
GRAU DE HIPERESTATICIDADE CONSEQUÊNCIA 
g < 0 
CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA O MODELO SER 
HIPOSTÁTICO E INSTÁVEL 
g = 0 
CONDIÇÃO NECESSÁRIA PARA O MODELO SER 
ISOSTÁTICO E ESTÁVEL 
g > 0 
CONDIÇÃO NECESSÁRIA PARA O MODELO SER 
HIPERESTÁTICO E ESTÁVEL 
27 
ATENÇÃO: 
 O GRAU DE HIPERESTATICIDADE DE MODELOS ISOSTÁTICOS E HIPERESTÁTICOS NÃO É 
SUFICIENTE PARA CARACTERIZAR A ESTABILIDADE DA ESTRUTURA, POIS APENAS 
CONTABILIZA O NÚMERO DE INCÓGNITAS DO PROBLEMA DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO E 
O NÚMERO DE EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO; 
 NEM TODA VIGA COM REAÇÕES EM NÚMERO IGUAL AO DO DE EQUAÇÕES DE 
EQUILÍBRIO DA ESTÁTICA É ISOSTÁTICA; 
 NEM TODA VIGA COM REAÇÕES EM NÚMERO SUPERIOR A ESSAS EQUAÇÕES, É 
HIPERESTÁTICA. 
28 
EXEMPLO 1: 
VIGA HIPOSTÁTICA! 
P 
A B 
l1 l2 
α 
P 
HA 
VA VB 
A B 
ISSO ACONTECE PORQUE HÁ TRÊS REAÇÕES DE APOIO E QUATRO REAÇÕES DE 
EQUILÍBRIO LINEARMENTE INDEPENDENTES ENTRE SI: TRÊS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO 
DA VIGA COMO UM TODO E UMA EQUAÇÃO DE MOMENTO NULO, DEVIDO À RÓTULA 
INTERNA, NO CENTRO DA BARRA. 
29 
EXEMPLO 2: P 
A B 
l1 l2 
α 
P 
HA 
VA 
HB 
A B 
NESTE CASO, AINDA QUE EXISTAM TRÊS REAÇÕES DE APOIO E TRÊS DE EQUILÍBRIO, AS 
REAÇÕES HA E HB INDICADAS SÃO COLINEARES, NÃO RESTRINGINDO, PORTANTO, 
ROTAÇÕES INFINITESIMAIS DE CORPO RÍGIDO EM TORNO DA EXTREMIDADE ESQUERDA, 
NA QUAL SE LOCALIZA O APOIO FIXO. 
VIGA HIPOSTÁTICA! 
30 
EXEMPLO 3: 
A 
l1 l2 l3 l5 l6 
B C D 
α 
P 
l4 
A B C D 
P 
VA VB VC VD 
ESTA SITUAÇÃO MOSTRA, EM UM PRIMEIRO MOMENTO, UMA SITUAÇÃO DE 
HIPERASTICIDADE. CONTUDO, MESMO HAVENDO QUATRO REAÇÕES DE APOIO 
VERTICAIS E TRÊS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO ESTÁTICO, NÃO EXISTEM RESTRIÇÕES 
QUANTO AOS DESLOCAMENTOS HORIZONTAIS, O QUE TORNA A ESTRUTURA INSTÁVEL. 
VIGA HIPOSTÁTICA! 
31 
EXEMPLO 4: 
D 
B A 
E F 
C 
l1 l2 
VA 
D 
B A 
E F 
C 
VB VC 
ESTE PÓRTICO TRAZ TRÊS COMPONENTES DE REAÇÃO DE APOIO QUE SÃO VERTICAIS, 
NÃO EXISTINDO, PORÉM, NENHUM VÍNCULO QUE IMPEÇA O MOVIMENTO 
HORIZONTAL. SE UMA FORÇA NESSE SENTIDO FOR APLICADA, A EQUAÇÃO GLOBAL DE 
EQUILÍBRIO NA DIREÇÃO HORIZONTAL NÃO FICA SATISFEITA. 
PÓRTICO HIPOSTÁTICO! 
32 
EXEMPLO 5: 
VB 
P 
VA 
HA 
A 
B 
P 
A 
B 
l1 
l2 
β 
NESTE CASO, SÃO TRÊS AS REAÇÕES DE APOIO CONCORRENTES NO “PONTO A”. 
PORTANTO, NÃO É POSSÍVEL EQUILIBRAR O MOMENTO DE FORÇAS ATUANTES, COMO O 
DA “CARGA P”, EM RELAÇÃO AO PONTO DE CONVERGÊNCIA DAS REAÇÕES DE APOIO. 
ESTRUTURA HIPOSTÁTICA! 
33 
EXEMPLO 6: 
P 
l1 
l4 
l2 
l5 l6 l3 
A 
C 
D 
E 
B 
P 
VA 
HA 
A 
C 
D 
E 
B 
VB 
HB 
ESTA ESTRUTURA TRIARTICULADA TEM DOIS APOIOS DO 2º GÊNERO LOCALIZADOS NAS 
EXTREMIDADES, ALÉM DE UMA RÓTULA INTERNA CENTRAL. TODOS, ALINHADOS. PARA 
A SOLICITAÇÃO INDICADA, AS REAÇÕES DE APOIO TÊM DE SER FORÇAS HORIZONTAIS 
PARA QUE O MOMENTO FLETOR NA RÓTULA SEJA NULO. CONTUDO, JÁ QUE SE 
LOCALIZAM NO MESMO EIXO DE APLICAÇÃO, ESSAS MESMAS REAÇÕES NÃO SÃO 
CAPAZES DE EQUILIBRAR A “CARGA P” APLICADA. 
ESTRUTURA HIPOSTÁTICA! 
34 
GRAU DE HIPERESTATICIDADE EM PÓRTICOS PLANOS: 
 DEVE-SE VISUALIZAR O PÓRTICO DE FORMA GLOBAL, NÃO SEPARANDO-O PELAS 
RÓTULAS; 
 O NÚMERO DE INCÓGNITAS É CALCULADO PELA SEGUINTE FÓRMULA: 
NÚMERO DE INCÓGNITAS DO PROBLEMA ESTÁTICO = 
[(NÚMERO DE COMPONENTES DE REAÇÕES DE APOIO) + (NÚMERO DE ANÉIS) . 3] 
 UM ANEL INTRODUZ TRÊS VARIÁVEIS (OU INCÓGNITAS) PARA O PROBLEMA DO 
EQUILÍBRIO ESTÁTICO; 
 OU SEJA, CADA ANEL DE UM PÓRTICO PLANO AUMENTA EM TRÊS UNIDADES O GRAU 
DE HIPERESTATICIDADE. 
35 
GRAU DE HIPERESTATICIDADE EM PÓRTICOS PLANOS: 
 PARA AS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO ESTÁTICO, DEVE-SE CONSIDERAR AS TRÊS 
EQUAÇÕES TRADICIONAIS QUE GARANTEM O EQUILÍBRIO GLOBAL DA ESTRUTURA 
(ΣFX = 0; ΣFY = 0; E ΣM = 0), ALÉM DAS EQUAÇÕES PROVENIENTES DE LIBERAÇÕES DE 
CONTINUIDADE INTERNA DA ESTRUTURA; 
 PARA ESTE CURSO EM ESPECÍFICO, SERÃO CONSIDERADAS APENAS AS LIBERAÇÕES 
DE CONTINUIDADE DE ROTAÇÃO PROVOCADAS PELAS RÓTULAS (QUE IMPÕEM 
APENAS UMA CONDIÇÃO ADICIONAL DE EQUILÍBRIO, COMO JÁ VISTO). 
 TEM-SE ENTÃO: 
NÚMERO DE EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO = 
(3 EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO GLOBAL) + (NÚMERO DE EQUAÇÕES GERADAS PELAS 
ARTICULAÇÕES INTERNAS) 
36 
GRAU DE HIPERESTATICIDADE EM PÓRTICOS PLANOS: 
D 
B A 
E F 
C 
l1 l2 
 PARA O CASO DE ARTICULAÇÕES COM 
TRÊS BARRAS CONVERGINDO, COMO 
NO EXEMPLO AO LADO, SÃO DUAS AS 
EQUAÇÕES ADICIONAIS DE EQUILÍBRIO 
A SEREM CONSIDERADAS; 
 O MOMENTO FLETOR DEVE SER 
IMPOSTO NULO ENTRANDO SOMENTE 
POR DUAS DAS BARRAS ADJACENTES, 
SENDO QUE NÃO É PRECISO IMPOR 
MOMENTO FLETOR NULO ENTRANDO 
PELA TERCEIRA BARRA, UMA VEZ QUE 
O EQUILÍBRIO GLOBAL DE MOMENTOS 
JÁ GARANTE ESSA CONDIÇÃO. 
37 
GRAU DE HIPERESTATICIDADE EM PÓRTICOS PLANOS: 
 ESSA CONCLUSÃO PODE SER GENERALIZADA DA SEGUINTE MANEIRA: 
O NÚMERO ADICIONAL (EM RELAÇÃO ÀS EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO GLOBAL) DE 
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO (MOMENTO FLETOR NULO) INTRODUZIDO POR UMA 
ARTICULAÇÃO COMPLETA (OU RÓTULA) NA QUAL CONVERGEM “N BARRAS” É IGUAL 
A “N – 1”; 
 ARTICULAÇÃO COMPLETA É AQUELA EM QUE TODAS AS SEÇÕES TRANSVERSAIS DE 
BARRAS ADJACENTES SÃO ARTICULADAS; 
 RESUMINDO: 
GRAU DE HIPERESTATICIADE EM UM PÓRTICO PLANO = 
[(NÚMERO DE COMPONENTES DE REAÇÕES DE APOIO) + (NÚMERO DE ANÉIS . 3] – 
[3 + (NÚMERO DE EQUAÇÕES VINDAS DE ARTICULAÇÕES INTERNAS)] 
38 
GRAU DE HIPERESTATICIDADE EM PÓRTICOS PLANOS: 
 O PÓRTICO PLANO AO LADO POSSUI 
APENAS UM NÓ NO QUAL CONVERGEM 
TRÊS BARRAS; 
 APENAS UMA DESSAS BARRAS É 
ARTICULADA (TRECHO FG); 
 AS DEMAIS (EF; BF), POR SUAS 
RESPECTIVAS CONDIÇÕES E AINDA QUE 
CONTENHAM RÓTULAS, NÃO PODEM 
SER CONSIDERADAS ARTICULADAS); 
 COM ISSO, NESTE CASO EM ESPECÍFICO, 
A RÓTULA INTRODUZ SOMENTE UMA 
EQUAÇÃO ADICIONAL DE EQUILÍBRIO. 
D 
B A 
E 
F 
C 
l1 l2 
G 
39 
EXEMPLO 1: 
CÁLCULO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE DO PÓRTICO 
PLANO E DEFINIÇÃO DA SUA SITUAÇÃO DE EQUILÍBRIO: 
g = 
[(NÚMERO DE COMPONENTES DE REAÇÕES DE APOIO)+ 
(NÚMERO DE ANÉIS . 3] 
– 
[3 + (NÚMERO DE EQUAÇÕES VINDAS DE ARTICULAÇÕES 
INTERNAS)] 
g = [(2 + 2 + (0 . 3] – [3 + (1)] 
g = 4 – 4 
g = 0 
PORTANTO, ESTE PÓRTICO É ISOSTÁTICO 
C 
A 
D E 
B 
l1 l2 
HA 
VA 
HB 
VB 
40 
EXEMPLO 2: 
CÁLCULO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE DO PÓRTICO 
PLANO E DEFINIÇÃO DA SUA SITUAÇÃO DE EQUILÍBRIO: 
g = 
[(NÚMERO DE COMPONENTES DE REAÇÕES DE APOIO)+ 
(NÚMERO DE ANÉIS . 3] 
– 
[3 + (NÚMERO DE EQUAÇÕES VINDAS DE ARTICULAÇÕES 
INTERNAS)] 
g = [(2 + 1 + (1 . 3] – [3 + (1)] 
g = 6 – 4 
g = 2 
PORTANTO, ESTE PÓRTICO É HIPERESTÁTICO 
C 
A 
D 
B 
l1 
HA 
VA 
VB 
41 
EXEMPLO 3: 
CÁLCULO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE DO PÓRTICO 
PLANO E DEFINIÇÃO DA SUA SITUAÇÃO DE EQUILÍBRIO: 
g = 
[(NÚMERO DE COMPONENTES DE REAÇÕES DE APOIO)+(NÚMERO DE ANÉIS . 3] 
– 
[3 + (NÚMERO DE EQUAÇÕES VINDAS DE ARTICULAÇÕES 
INTERNAS)] 
g = [(2 + 2 + (1 . 3] – [3 + (1)] 
g = 7 – 4 
g = 3 
PORTANTO, ESTE PÓRTICO É HIPERESTÁTICO 
C 
A 
D E 
B 
l1 l2 
F 
HA 
VA 
HB 
VB 
42 
EXEMPLO 4: 
CÁLCULO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE DO PÓRTICO 
PLANO E DEFINIÇÃO DA SUA SITUAÇÃO DE EQUILÍBRIO: 
g = 
[(NÚMERO DE COMPONENTES DE REAÇÕES DE APOIO)+ 
(NÚMERO DE ANÉIS . 3] 
– 
[3 + (NÚMERO DE EQUAÇÕES VINDAS DE ARTICULAÇÕES 
INTERNAS)] 
g = [(3 + 2 + (1 . 3] – [3 + (1 + 2)] 
g = 8 – 6 
g = 2 
PORTANTO, ESTE PÓRTICO É HIPERESTÁTICO 
C A 
D E 
B 
l1 l2 
F 
HA 
VA 
HB 
VB 
MA 
43 
EXEMPLO 5: 
CÁLCULO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE DO PÓRTICO 
PLANO E DEFINIÇÃO DA SUA SITUAÇÃO DE EQUILÍBRIO: 
g = 
[(NÚMERO DE COMPONENTES DE REAÇÕES DE APOIO)+ 
(NÚMERO DE ANÉIS . 3] 
– 
[3 + (NÚMERO DE EQUAÇÕES VINDAS DE ARTICULAÇÕES 
INTERNAS)] 
g = [(2 + 2 + (2 . 3] – [3 + (2)] 
g = 10 – 5 
g = 5 
PORTANTO, ESTE PÓRTICO É HIPERESTÁTICO 
C 
A 
D E 
B 
l1 l2 
F 
HA 
VA 
HB 
VB 
44 
EXEMPLO 6: 
CÁLCULO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE DO PÓRTICO 
PLANO E DEFINIÇÃO DA SUA SITUAÇÃO DE EQUILÍBRIO: 
g = 
[(NÚMERO DE COMPONENTES DE REAÇÕES DE APOIO)+ 
(NÚMERO DE ANÉIS . 3] 
– 
[3 + (NÚMERO DE EQUAÇÕES VINDAS DE ARTICULAÇÕES 
INTERNAS)] 
g = [(2 + 1 + (1 . 3] – [3 + (3)] 
g = 6 – 6 
g = 0 
PORTANTO, ESTE PÓRTICO É ISOSTÁTICO 
C 
A 
D 
B 
l1 l2 
HA 
VA VB 
45 
EXEMPLO 7: 
CÁLCULO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE DO PÓRTICO 
PLANO E DEFINIÇÃO DA SUA SITUAÇÃO DE EQUILÍBRIO: 
g = 
[(NÚMERO DE COMPONENTES DE REAÇÕES DE APOIO)+ 
(NÚMERO DE ANÉIS . 3] 
– 
[3 + (NÚMERO DE EQUAÇÕES VINDAS DE ARTICULAÇÕES 
INTERNAS)] 
g = [(2 + 2 + 2 + (0 . 3] – [3 + (1)] 
g = 6 – 4 
g = 2 
PORTANTO, ESTE PÓRTICO É HIPERESTÁTICO 
D 
B A 
E 
F 
C 
l1 l2 
G 
HA 
VA 
HB 
VB 
HC 
VC 
46 
C O N T I N U A . . . 
47 
PRINCIPAIS REFERÊNCIAS DESTA AULA: 
VISANDO ESCLUSIVAMENTE FINS DIDÁTICOS, ESTA AULA FOI DESENVOLVIDA POR 
INSPIRAÇÃO OU POR MEIO DE ALGUMAS TRANSCRIÇÕES INTEGRAIS OU PARCIAIS 
DAS OBRAS “ANÁLISE DE ESTRUTURAS – CONCEITOS E MÉTODOS BÁSICOS”, DE 
LUIZ FERNANDO MARTHA (1ª EDIÇÃO, EDITRA CAMPUS, SÃO PAULO, 2010) E 
“ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS”, DE HUMBERTO LIMA SORIANO (2ª EDIÇÃO, 
EDITORA CIÊNCIA MODERNA, SÃO PAULO, 2010). A AMBOS, A MAIORIA DOS 
CRÉDITOS DE CONTEÚDO DEVEM SER ATRIBUÍDOS. 
QUANDO CONVENIENTE, FORAM ADOTADAS ADAPTAÇÕES TEXTUAIS E NAS 
FIGURAS – ALÉM DA INCLUSÃO DE NOVAS IMAGENS E/OU ESQUEMAS E/OU 
EXEMPLOS – DE FORMA A FAZER COM QUE ESTE MATERIAL ESTEJA 
CONVENIENTEMENTE ALINHADO À PROPOSTA DA DISCIPLINA “TEORIA DAS 
ESTRUTURAS 1”, DO CURSO DE ENGENHARIA CIVIL .