historia_da_matematica_Unidade I

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Autora: Profa. Marisa Rezende Bernardes
Colaboradores: Profa. Mirtes Vitória Mariano 
Profa. Valéria de Carvalho
Prof. Daniel Scodeler Raimundo
História da Matemática
Professora conteudista: Marisa Rezende Bernardes
Possui graduação em Engenharia Civil pela Universidade Estadual de Maringá (1980), graduação 
em Licenciatura em Matemática pela Universidade Estadual de Maringá (1988), mestrado e doutorado 
pelo programa de pós graduação da Faculdade de Ciências da Universidade Estadual Paulista Júlio 
de Mesquita Filho, concluídos respectivamente em 2003 e 2009, e é vinculada ao grupo de pesquisa 
em História Oral e Educação Matemática (GHOEM). Profissionalmente, é professora titular da 
Universidade Paulista, campus Bauru, desde 2003.
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
B522 Bernardes, Marisa Rezende
História da Matemática. / Marisa Rezende Bernardes - São 
Paulo: Editora Sol.
164 p. il.
Notas: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos 
e Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XVII, n. 2-028/11, 
ISSN 1517-9230.
1.História da Matemática 2.Educação Matemática 3.Memória 
I.Título
CDU 511.2
Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Prof. Dr. Yugo Okida
Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy 
Prof. Marcelo Souza
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
 Material Didático – EaD
 Comissão editorial: 
 Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
 Dra. Divane Alves da Silva (UNIP)
 Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
 Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
 Dra. Valéria de Carvalho (UNIP)
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
 Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
 Revisão:
 Simone Oliveira dos Santos
Sumário
História da Matemática
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................7
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................7
Unidade I
1 MATEMÁTICA: DA PRÉ-HISTÓRIA AO MUNDO ANTIGO .................................................................. 13
1.1 A Pré-História: panorama cultural ................................................................................................ 13
2 MATEMÁTICA NO ANTIGO EGITO .............................................................................................................. 18
2.1 Influência egípcia ................................................................................................................................. 24
3 MATEMÁTICA NA MESOPOTÂMIA ............................................................................................................ 26
4 MATEMÁTICA NA GRÉCIA ANTIGA ........................................................................................................... 33
Unidade II
5 MATEMÁTICA NA CHINA, ÍNDIA E MUNDO ÁRABE ........................................................................... 72
5.1 Matemática na China ......................................................................................................................... 72
5.2 Matemática na Índia ........................................................................................................................... 76
5.3 Matemática no mundo árabe .......................................................................................................... 84
6 MATEMÁTICA NA ÉPOCA DO RENASCIMENTO E PANORAMA CULTURAL DOS 
SÉCULOS XVI A XVIII .......................................................................................................................................... 86
7 A MATEMÁTICA NOS SÉCULOS XVI A XX E A ESCOLA BRASILEIRA ...........................................107
7.1 A matemática nos séculos XVI a XVIII ........................................................................................107
7.2 A matemática nos séculos XIX e XX............................................................................................120
8 ESCOLA BRASILEIRA: OS GRANDES MATEMÁTICOS DO PAÍS .....................................................136
7
APRESENTAÇÃO
A introdução a seguir tem a função de apresentar de forma mais elaborada os objetivos da disciplina 
História da Matemática e sua vinculação com o projeto pedagógico e político do curso. É uma perspectiva 
que defende não ser concebível estudar a história da matemática como algo estanque, sem vinculação 
pedagógica com disciplinas específicas e muito menos utilizá-la como mero atrativo inicial para conteúdos 
específicos. A história da matemática é, sobretudo, uma forma de orientação aos profissionais docentes 
a respeito da origem de questões ideológicas que perpassam o ensino, notadamente, a força da visão 
eurocêntrica da matemática. Portanto, o objetivo aqui proposto é sistematizar o conhecimento que a 
humanidade acumulou nesta área, mas sem perder de vista as análises dos contextos social, histórico e 
cultural que proporcionam a possibilidade de compreensão da ciência de modo mais abrangente e, em 
consequência, uma ação política mais efetiva na esfera da educação.
INTRODUÇÃO
Nascer: já assisti gata parindo. Sai o gato envolto num saco de água e todo 
encolhido dentro. A mãe lambe tantas vezes o saco de água que este enfim 
se rompe e eis um gato quase livre, preso apenas pelo cordão umbilical. 
Então a gata-mãe-criadora rompe com os dentes esse cordão e aparece um 
fato no mundo. (...) Estou dando a você a liberdade. Antes rompo o saco de 
água. Depois corto o cordão umbilical. E você está vivo por conta própria 
(LISPECTOR, 1973, p. 41).
A primeira perspectiva que este texto irá abordar é o fato de ele ter sido elaborado para um curso 
de educação à distância. Esta é uma questão importante, uma vez que estabelece um ambiente 
de aprendizagem diferente daquele utilizado pelo ensino presencial e, portanto, com exigências 
diferenciadas. Mais do que em outra modalidade, a educação à distância caracteriza-se por ser uma 
prática educativa que exige do estudante construir conhecimentos e participar efetivamente de seu 
próprio crescimento. Esse modelo implica, obviamente, um processo de ensino próprio, uma vez que 
modifica ou mesmo suprime o aparato físico e estrutural do ensino presencial. Assim, a função docente 
sofre um deslocamento: o professor tem seu papel descentralizado e a forma de atenção ao aluno 
está mais próxima do que se entende por pesquisa em meios acadêmicos. É um novo formato de 
ensino-aprendizagem na graduação, no qual os estudantes, assim como aqueles que se iniciam em 
pesquisas acadêmicas, devem aprender a estudar sozinhos, buscar informações com base em indicações 
do docente responsável pelo curso e serem capazes de fazer inferências na produção de seu próprio 
conhecimento.
Como este texto foi produzido para a modalidade EaD, as leituras indicadas estão em sua maioria 
disponíveis on-line. Essa preocupação está relacionada ao fato de alguns alunos da UNIP Interativa serem 
de regiões onde o acesso a determinados materiais impressos é difícil. Porém, isso não os descompromete 
de fazer pesquisas de materiais pertinentes à área de interesse das disciplinas em bibliotecaslocais.
Este texto foi dividido em três unidades (e seus subtópicos), conforme o leitor poderá aferir no sumário. 
No entanto, essa foi uma arbitrariedade da autora, já que a história da matemática se desenvolveu de acordo 
8
com condições e necessidades históricas, ou seja, ela não é linear e nem suas descobertas estiveram sempre 
relacionadas. Na verdade, a história da matemática é caótica, muitas vezes completamente anônima. Essa ressalva 
é importante porque há na sociedade uma visão arraigada – e inúmeros trabalhos acadêmicos comprovam isso 
– de que a abordagem que a maioria dos professores de matemática defende (conscientemente ou não) é a 
abordagem internalista, que privilegia somente o conhecimento do ponto de vista interno da própria matemática, 
levando os estudantes a crerem que o desenvolvimento da área sempre esteve pautado pela racionalidade.
No entanto, mesmo defendendo à exaustão alguns pontos de vista (inclusive o internalista), os 
professores têm uma vida que transcende a defesa de seus pontos de vista sobre a matemática. Suas 
vidas em família, a relação com seus companheiros e filhos, com colegas de profissão e com amigos 
e parentes acrescentam fatos novos ao que se sabe das relações individuais com a categoria docente 
e com a sociedade. Todos esses aspectos permitem uma reflexão sobre os condicionantes de práticas 
pedagógicas estarem, assim como a sociedade e a cultura de uma época histórica, sempre adaptando-se 
a um mundo em transição – assim como ocorreu com a história da matemática.
Em sua obra, Michel Foucault defende a possibilidade de se interrogar o discurso do outro além da 
ideologia no qual se inscreve: o discurso é muito mais. O discurso é o que se deve apreender a partir de 
posições assumidas, da fala, das práticas cotidianas, de profissionais que denunciam os efeitos recíprocos 
do par saber-poder e a sua integração estratégica na conjuntura de correlação de forças nos diversos 
confrontos produzidos na reprodução da vida (BERNARDES, 2009, p. 53-54).
Dentro dessa perspectiva, a matemática é uma forma de discurso do poder e, como o estudante 
perceberá no decorrer da leitura deste texto, o panorama cultural da humanidade avaliza essa 
perspectiva.
A história da matemática não conseguiu atribuir muitas de suas descobertas aos seus autores. Feita 
por e para as coletividades, ela não concedeu certificados, apenas alguns nomes são conhecidos e, mesmo 
assim, em muitos casos apenas porque transmitiram, exploraram e comentaram certos conhecimentos 
desenvolvidos por outras pessoas.
 Saiba mais
A leitura do artigo indicado a seguir permitirá uma visão panorâmica do 
que será tratado mais detalhadamente na disciplina:
SOUZA, A. C. C. Histórias, sensos matemáticos e constructos reflexivos 
matemáticos: questões sobre educação. Disponível em: <http://www.
diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/arquivos/File/conteudo/artigos_
teses/MATEMATICA/Artigo_Carrera.pdf>. Acesso em: 18 abr. 2011.
Outro aspecto que deve ser mencionado com clareza nesta introdução é a identificação da perspectiva 
a partir da qual foi desenvolvido este texto: ele está atrelado ao projeto pedagógico do curso, formador 
9
de professores em matemática. Porém, entrelaçada a essa diretriz fornecida pela Instituição está a 
perspectiva atual da comunidade de educadores matemáticos. Na introdução do livro de Bicudo & 
Garnica (2001), há uma observação que nos mostra a complexidade atual do fazer docente, daqueles 
profissionais que trabalham tanto com pesquisas quanto com o ensino da matemática:
O amadurecimento de uma área faz-se sentir pela zona de densidade que 
a envolve, quando são encontrados concepções, conceitos, questões que se 
superpõem, entrelaçam-se, criando a impossibilidade de ver-se com clareza 
do que e de qual perspectiva se fala. É essa a situação que percebemos na 
educação matemática, no momento (BICUDO & GARNICA, 2001, p. 09).
Nessa perspectiva, não é concebível estudar a história da matemática como algo estanque, sem 
vinculação pedagógica com disciplinas específicas e muito menos utilizá-la como mero atrativo 
inicial para conteúdos específicos. A história da matemática é, sobretudo, uma forma de orientação 
aos profissionais docentes a respeito da origem de questões ideológicas que perpassam o ensino, 
notadamente, a força da visão eurocêntrica da matemática.
O objetivo aqui proposto é sistematizar o conhecimento que a humanidade acumulou nesta área, 
no entanto, tendo sempre em vista que a análise do contexto social, histórico e cultural proporciona 
a possibilidade de compreensão da ciência de modo mais abrangente do que aquele mantido pelo 
positivismo, como assim defendem Bicudo & Garnica:
Permitem que se aceite como ciência procedimentos que conduzam à 
construção do conhecimento sustentados em critérios de rigor que digam 
dos modos de obter dados, de analisá-los, de interpretá-los, de generalizar 
resultados obtidos, de construir argumentações e de dispor de argumentos 
contrários, incompletos e insatisfatórios de maneira a articulá-los em torno 
de uma ideia sustentada pelo autor, explicitando sua lógica e convencendo 
o leitor quanto à sua plausibilidade (BICUDO & GARNICA, 2001, p. 16).
Essa forma de pensar caracteriza-se por ser analítica, crítica, reflexiva e abrangente e, segundo a 
perspectiva aqui defendida, o caro leitor talvez já possa desenvolver ferramentas para romper o saco 
gestacional que tem guardado a gestação do futuro professor e, com os próprios dentes, obter a liberdade 
de propor ações, intervenções e decisões em seu ambiente formativo e, posteriormente, profissional.
Assim, ele poderá contribuir efetivamente para o conhecimento do mundo cultural, científico, 
tecnológico, religioso, artístico, enfim, do mundo humano. Poderá analisar também qual a função do 
cordão umbilical que normalmente liga os estudantes e professores às crenças fortemente arraigadas 
ao pensamento matemático de que a matemática é independente do humano, portanto, independente 
dos âmbitos cultural e social.
Essa liberdade é estar “vivo por conta própria”, como definiu Clarice Lispector no recorte que inicia 
esta Introdução. É analisar e refletir propostas e ações educacionais nos diferentes contextos em que 
ocorrem. O futuro professor, liberto do saco gestacional e do cordão umbilical que a escola lhe impõe, 
10
terá condições de educar o olhar: não só observar a escola, mas buscar a finalidade e a intenção dos 
procedimentos na área de educação.
Souza (2001) observa que só é possível perscrutar a paisagem escolar a fim de identificar a rede 
de fenômenos que ela abriga quando se educa o olhar usando ferramentas intelectuais adequadas. 
As paisagens que o olhar captura não são construídas somente a partir do natural, mas, também, 
segundo uma perspectiva histórico-social: há os atores das paisagens que nela transitam, transitaram 
ou transitarão e há sempre presença e não presença naquilo que permanece e naquilo que muda. Os 
sujeitos que percorrem anonimamente a paisagem se movem e agrupam-se sob um substrato comum: a 
sociedade, que é historicamente determinada, vinculada a uma dada cultura e abrange um conjunto de 
vidas e suas infinitas relações. Desse modo, embora o olhar sempre tenha algo de pessoal ou individual, 
ele avalia a paisagem a partir de juízos e de valores estéticos e éticos que a sociedade da qual faz parte 
lhe insufla: ao construir a paisagem, o sujeito também é construído por ela.
Souza ainda considera que o fato de o tempo não ser um continuum é importante na constituição 
das paisagens pelo sujeito: há um ponto entre o passado e o futuro no qual o ser humano se encontra e 
no qual o tempo se modifica, onde o ser individual tem de se posicionar, “tensionado” ao mesmo tempo 
pelo passado e pelo futuro. A educação é a possibilidade de o ser humano arbitrar essa luta, projetando-se 
para o futuro a partirdo ponto em que, apesar da mobilidade, se encontra indefinidamente.
Para que esse ponto não se torne uma lacuna entre o passado e o futuro, mas uma terceira força1, é 
necessário um esforço do sujeito, que deverá marcar simultaneamente posições frente ao passado e ao 
futuro. A proposta do autor parece óbvia: o passado balizando o futuro. Essa é a finalidade de se estudar 
a história da matemática.
No entanto, há uma grande dificuldade nesta tarefa delegada à educação: a de não alimentar as 
possibilidades de perpetuar relações hegemônicas. O grande entrave desse encargo atribuído à educação 
é a memória coletiva sempre ter sido disputada por classes, grupos ou estamentos.
(...) a memória coletiva foi posta em jogo de forma importante na luta 
das forças sociais pelo poder. Tornarem-se senhores da memória e do 
esquecimento é uma das grandes preocupações das classes, dos grupos, 
dos indivíduos que dominaram e dominam as sociedades históricas. Os 
esquecimentos e os silêncios da história são reveladores desses mecanismos 
de manipulação da memória coletiva (LE GOFF, 2003, p. 422).
Ao manipular a memória, esse mecanismo do poder instala uma luta na constituição da paisagem 
na mente do sujeito, resultado de movimentos de lembranças e apagamentos. Souza observa que a 
memória, o olhar, o cenário e a paisagem estão imbricados em uma teia de relações que impede o 
1Em Souza (2001), percebe-se claramente que essa terceira força é uma resultante – metáfora apoiada obviamente 
numa concepção vetorial, no paralelogramo de composição de forças. As forças do passado e do presente chocar-se-iam 
caso o sujeito (cuja interferência determina a intensidade da resultante) não se interpusesse de modo a provocar um 
“desvio” no ponto onde ocorreria o “choque”.
11
privilégio de um sobre o outro. Essa teia de relações constitui o sujeito da paisagem como elemento 
do próprio cenário. Segundo o mesmo autor, por essa razão o olhar do nosso tempo precisa buscar as 
relações entre o visível e o invisível, pois nelas é que se encontra uma possível interpretação do real. A 
análise dessa articulação permite perceber a memória e o cotidiano como artífices da paisagem, sendo 
esta distinta da estática percepção do natural.
Assim, Souza considera que educar o olhar é buscar analisar quais práticas educacionais habitam 
o cotidiano escolar e relacioná-las às normas e regras praticadas no contexto social mais amplo, 
objetivando a percepção e a análise de um campo múltiplo e móvel de correlação de forças existentes 
em dada sociedade. Em suma, educar o olhar é se perceber sujeito da paisagem em qualquer cenário, 
seja ele escolar, urbano, rural, de miséria ou de luxo.
E você está vivo por conta própria (LISPECTOR, 1973, p. 41).
 Saiba mais
A leitura do artigo indicado a seguir permitirá um questionamento 
sobre outras possibilidades além da lógica formal para o pensar e fazer 
profissional:
BERGAMO, G. A.; BERNARDES, M. R.. A produção do conhecimento na 
teoria marxista, questões metodológicas e implicações na educação. In: 
Educação & Sociedade. vol. 27, no 94. Campinas, jan./abr., 2006. Disponível 
em: <http://www.sepq.org.br/IIsipeq/anais/pdf/gt4/07.pdf>. Acesso em: 27 
mar. 2011.
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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
Unidade I
1 MATEMÁTICA: DA PRÉ‑HISTÓRIA AO MUNDO ANTIGO
Observações iniciais: sobre a memória
De acordo com Le Goff (2003), no estudo da memória histórica é necessário dar uma importância 
especial para a lacuna entre as sociedades de memória essencialmente oral e as de memória essencialmente 
escrita e, também, para as fases de transição da oralidade à escrita. Esse cuidado é necessário uma vez 
que as novas gerações, acostumadas à extensão da memória à maquina – com o advento dos modernos 
computadores –, tendem a negligenciar as manipulações conscientes ou inconscientes que o interesse, 
a afetividade, o desejo, a inibição e a censura exercem sobre a memorial individual e, consequentemente, 
refletem na memória coletiva.
Pareceu preferível, para melhor valorizar as relações entre a memória e a 
história, (...) evocar separadamente a memória nas sociedades sem escritas 
antigas ou modernas – distinguindo, na história da memória, nas sociedades 
que têm simultaneamente memória oral e memória escrita, a fase antiga de 
predominância da memória oral em que a memória escrita ou figurada tem 
funções específicas; a fase medieval de equilíbrio entre as duas memórias, 
com transformações importantes das funções de cada uma delas; a fase 
moderna de processos decisivos da memória escrita, ligada à imprensa e à 
alfabetização; e, por fim, reagrupar os desenvolvimentos do último século 
relativamente ao que Leroi-Gourhan chama “a memória em expansão” (LE 
GOFF, 2003, p. 423).
1.1 A Pré‑História: panorama cultural
Como já foi dito anteriormente, o desenvolvimento do conhecimento em matemática sempre esteve 
relacionado às necessidades dos grupos ou sociedades. Apenas por pretensão didática, o texto será 
dividido em épocas e será feita a tentativa de relacionar os efeitos da atividade mnêmica própria de 
cada grupo ou sociedade com a impossibilidade de uma escrita linear para a história da matemática.
O primeiro momento a ser focado é o da Idade da Pedra (c. 5000000 – 3000 a.C). O período designado 
para essa era é arbitrário, pois não se sabe com certeza quando a Idade da Pedra começou.
Nessa época, o ser humano era nômade, vivia em pequenos grupos, caçava pequenos animais 
selvagens, pescava e colhia frutas, castanhas e raízes. Segundo Eves (2004), esses grupos ocupavam 
porções habitáveis da África, sul da Europa, sul da Ásia e América Central.
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Eves ainda observa que também não se pode precisar com certeza o final da Idade da Pedra: 
algumas culturas persistiram nesse estágio em algumas partes do mundo até o século XIX ou XX. Os 
conquistadores europeus se depararam nos séculos XVI e XVII no sul da África, Austrália e Américas com 
povos que ainda viviam na Idade da Pedra.
Figura 01 – Machado de pedra encontrado no sítio Santa Clara (de propriedade de Valério Otávio Rabelo Rezende), no município de 
Engenheiro Beltrão, Paraná
A sociedade era rígida e as comunidades formadas por clãs ou tribos tinham um líder ou chefe. Não 
havia ascensão social e nem rudimentos de política, valendo a “lei do mais forte”. Os homens caçavam 
para obter alimento e as mulheres cuidavam dos filhos, da limpeza e preparavam os alimentos. Os 
grupamentos humanos não eram numerosos, uma vez que a comida era escassa e estragava rapidamente. 
Por isso, era necessário que frequentemente se deslocassem, o que justifica o caráter nômade das tribos 
primitivas.
Le Goff (2003) afirma que, nessas sociedades sem escrita, a memória coletiva aparentemente 
ordenava-se segundo três grandes interesses: a idade coletiva do grupo, que se fundava em certos 
mitos de origem; o prestígio das famílias dominantes, expresso pelas genealogias; e o saber técnico, 
transmitido por fórmulas práticas fortemente ligadas à magia religiosa.
Uma possível esquematização da Idade da Pedra em três períodos é dada por Eves e mostra como 
as necessidades humanas foram modificando-se e, com elas, as adaptações possíveis ao mundo em 
transformação foram surgindo. Segundo o autor, os historiadores esquematizam essas transformações 
dividindo a Idade daPedra em três períodos:
• Paleolítico ou Antiga Idade da Pedra (c. 5000000 – 10000 a.C.).
• Mesolítico ou Média Idade da Pedra (c. 10000 – 7000 a.C.).
• Neolítico ou Nova Idade da Pedra (c. 7000 – 3000 a.C.).
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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
Nos dois primeiros períodos da Idade da Pedra, há poucos registros de avanços científicos e intelectuais 
em decorrência da atividade de caça e colheita de frutos desses povos. Embora sem tempo para as 
atividades intelectuais em função da dificuldade para sobreviver, algum progresso científico ocorreu 
em decorrência da comercialização já existente entre as pessoas. Elas comercializavam entre si e havia 
necessidade de anotar a parte de cada família na caçada e na colheita – um prelúdio do pensamento 
científico. Assim, em relação ao desenvolvimento matemático, no período pré-histórico o ser humano 
iniciou um rudimentar processo de contagem no qual utilizava desenhos em cavernas e em pedras, 
ranhuras em ossos e marcas em galhos. Mas, de acordo com Le Goff, foi no período Paleolítico Médio 
que apareceram as primeiras figuras, ligadas à mitologia.
O último período caracterizou-se pelo declínio da Idade da Pedra e por dar lugar às Idades do 
Bronze e do Ferro. Por volta do ano 4000 a.C., com o desenvolvimento dos utensílios de bronze e com o 
florescimento da agricultura, a vida dos grupamentos humanos foi se modificando. Quando a produção 
de alimentos passou a ser superior às necessidades locais, começou a surgir o comércio. A partir daí, 
iniciou-se as descobertas científicas e se desenvolveram as grandes civilizações.
Em torno de 3000 a.C., as primeiras civilizações emergiram ao longo das margens de grandes rios 
tais como o Nilo, na África (Egito); o Tigre e o Eufrates, no Oriente Médio (Mesopotâmia); o Amarelo, na 
China; e os rios Indo e Ganges, na Índia.
 Observação
A grande valorização do trabalho se dá na cidade. Esta é uma das 
funções históricas fundamentais da cidade: nela são vistos os resultados 
criadores produtivos do trabalho (LE GOFF, 1998, p. 49).
As civilizações que emergiram nesse período diferiam amplamente das sociedades de caçadores e 
colhedores da Idade da Pedra. Eves (2004) afirma que a densidade populacional obrigou esses povos a 
encontrar outros meios de obter alimentos. Iniciou-se, assim, uma agricultura intensiva. O autor pontua 
que essa espécie de “revolução agrícola” criou novas necessidades, tais como o desenvolvimento da 
engenharia em construções de sistemas de barragens e irrigações, registros das estações das chuvas e 
das enchentes e, também, traçados de mapas que especificavam as valas de irrigação. “Os agricultores 
rezavam aos deuses para que as cheias e as chuvas pudessem vir conforme as tabelas e, no processo, 
observavam o movimento das estrelas. Todas essas atividades deram origem a novas classes de homens 
educados: sacerdotes, escribas e astrólogos” (Ibidem, p. 53). No interior desses agrupamentos já fixados 
em cidades e sem a necessidade de se deslocar atrás de alimento, surgiram pessoas – reis, sacerdotes, 
mercadores e escribas – que tinham tempo para ponderar sobre os mistérios da natureza e da ciência.
Em suma, o período de 3000 a 525 a.C. testemunhou o nascimento de uma nova 
civilização humana cuja centelha foi uma revolução agrícola. Novas sociedades 
baseadas na economia agrícola emergiram das névoas da Idade da Pedra nos 
vales dos rios Nilo, Amarelo, Indo, Tigre e Eufrates. Esses povos criaram escritas; 
trabalharam metais; construíram cidades; desenvolveram empiricamente a 
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matemática básica da agrimensura, da engenharia e do comércio; e geraram 
classes superiores que tinham tempo bastante de lazer para se deter e considerar 
os mistérios da natureza. Depois de milhões de anos, afinal a humanidade 
tomava a trilha das realizações científicas (EVES, 2004, p. 56).
As cidades propiciavam condições para mercados de agricultores e artesãos trocarem bens, surgindo, 
assim, uma classe de mercadores.
Figura 02 – Pintura rupestre esquemática em Peña Escrita, Fuencaliente, província de Ciudad Real (Espanha)
Nessa época, há a criação da escrita, evolução das antigas figuras rupestres ainda desordenadas.
Figura 03 – Escrita cuneiforme
Na Mesopotâmia, por volta de 4000 a.C, os sumérios desenvolveram a escrita cuneiforme, 
representada em placas de argila. Quase simultaneamente foram desenvolvidas no Egito duas formas de 
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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
escrita: uma mais simples, denominada demótica, e uma forma mais complexa, a hieroglífica, composta 
de símbolos e figuras. O aparecimento e difusão da escrita provocaram uma revolução na memória 
coletiva, propiciando a preservação de registros necessários ao desenvolvimento urbano que emergia 
nessas regiões:
A memória coletiva, no início da escrita, não deve romper o seu movimento 
tradicional a não ser pelo interesse que tem em se fixar de modo excepcional 
num sistema social nascente. Não é, pois, pura coincidência o fato de a escrita 
anotar o que não se fabrica nem se vive cotidianamente, mas sim o que 
constitui a ossatura duma sociedade urbanizada, para a qual o nó do sistema 
vegetativo está numa economia de circulação entre produtos, celestes e 
humanos, e dirigentes. A inovação diz respeito ao vértice do sistema e engloba 
seletivamente os atos financeiros e religiosos, as dedicatórias, as genealogias, 
o calendário, tudo o que nas novas estruturas das cidades não é fixável na 
memória de modo completo, nem em cadeias de gestos, nem em produtos 
(LEROI-GOURHAN, 1964-1965, p. 67-68, In: LE GOFF, 2003, p. 429).
Eves afirma, assim, que a ênfase da matemática primitiva ocorreu na aritmética e na mensuração 
prática, como uma ciência empírica para assistir atividades ligadas à agricultura e à engenharia. Essas 
atividades necessitavam de uma forma de cálculo para um calendário utilizável; do desenvolvimento de 
um sistema de pesos e medidas para ser empregado na colheita; da criação de métodos de agrimensura 
para o armazenamento e distribuição de alimentos, a construção de canais e reservatórios e para dividir 
a terra; e da instituição de práticas financeiras e comerciais para o lançamento e arrecadação de taxas 
para propósitos mercantis. No entanto, foi nesse contexto que se desenvolveram tendências no sentido 
da abstração e, até certo ponto, passou-se então a estudar a ciência por si mesma. Assim, conclui o 
autor que a álgebra evolui ao fim da aritmética e a geometria teórica originou-se da mensuração.
Há dificuldades em localizar no tempo as descobertas em matemática. As comunidades não se 
comunicavam com facilidade e os escritos sobre as descobertas na Antiguidade não se preservaram em 
decorrência da fragilidade dos materiais utilizados para esse registro. Os babilônios usavam tábuas de argila 
cozida, os egípcios usavam pedra e papiros e os primitivos chineses e indianos usavam casca de árvores e 
bambu para esses escritos. Além disso, algumas civilizações foram extintas e, com elas, suas descobertas.
Em decorrência desse tipo de dificuldade e, também,de a matemática ter seu desenvolvimento 
relacionado com a história das necessidades e preocupações de grupos sociais, Ifrah (1996) a considera 
completamente anônima, apesar de sua importância. Feita por e para as coletividades, a matemática 
não concedeu certificados e somente alguns de seus nomes são conhecidos, nomes estes de pessoas que 
transmitiram, exploraram e comentaram algarismos e sistemas de numeração. Porém, sobre os próprios 
autores, o teórico conclui que as informações estão certamente perdidas para sempre, talvez porque 
algumas invenções remontem a uma Antiguidade muito mais remota do que se supõe ou porque foram 
feitas por homens relativamente humildes a quem a história não deu direito a registro.
Mas estas descobertas nunca estão para sempre asseguradas: uma 
civilização se apaga, a dos babilônios ou a dos maias, e, junto com sua 
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casta de sacerdotes rigorosamente recrutados, é um pouco da técnica dos 
números que desparece, toda uma invenção a refazer. Trata-se, pois, de uma 
história caótica e tumultuada, cheia de avanços fulgurantes e de recaídas, 
em que o passo incerto, errático, feito de tentativas e de erros, de impasses, 
de esquecimentos e de renúncias da espécie humana, parece (para nós, que 
conhecemos seu coroamento, pelo menos em relação a esse ponto) com o 
de um bêbado (IFRAH, 1996, p. 11).
Resumidamente, conclui-se então que a invenção dos algarismos é anterior à escrita e estes 
estiveram relacionados com o pensamento místico e religioso do homem no decorrer da história. Assim, 
a lógica não foi o fio condutor da história da matemática. Em verdade, uma nova civilização emergiu 
no período de 3000 a 525 a.C. por conta da necessidade de uma economia agrícola que desse conta 
das necessidades colocadas pelos agrupamentos ao longo dos rios Nilo, Amarelo, Indo, Tigre e Eufrates. 
Esses povos construíram cidades, criaram escritas, utilizaram metais e desenvolveram empiricamente a 
matemática básica da agrimensura, da engenharia e do comércio. No entanto, foram as preocupações 
de contadores, sacerdotes, astrônomos-astrólogos e, em último lugar, de matemáticos que presidiram 
à invenção e à revolução dos sistemas de numeração. Muitos nomes de números, notações e símbolos 
distintos existiram ao longo da história da humanidade, entretanto, apenas alguns acabaram por ter 
influência na civilização ocidental, daí serem denominados de “berços da civilização” as regiões agrícolas 
do Oriente Médio, da China e do Egito.
2 MATEMÁTICA NO ANTIGO EGITO
Figura 04 – Mapa do Egito
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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
O Egito localiza-se no nordeste da África, na região do deserto do Saara. A vida no Egito sempre 
dependeu e teve estreita relação com o rio Nilo, que provia a população de água e dos peixes para sua 
sobrevivência, além de viabilizar em suas margens a agricultura e o cultivo do papiro para a escrita. O 
Nilo também possibilitava o transporte e a comunicação entre as diversas regiões situadas de Norte a 
Sul e, por ter águas caudalosas, facilitava a construção de canais de irrigação e diques.
A história do Egito Antigo vai de aproximadamente 4000 a.C. até 30 a.C., quando essa civilização entra 
em declínio com a invasão dos romanos. Sua subdivisão é feita em diversos períodos, porém, os contextos 
social, político e econômico se assemelham, assim como o matemático e o científico. A sociedade egípcia 
era composta pelo faraó, a nobreza, os sacerdotes, os militares, os escribas, os artesãos, os mercadores, os 
camponeses (lavradores e pastores) e os escravos. O faraó era o senhor do Egito, considerado uma divindade 
– o que lhe dava o poder absoluto – e a nobreza o auxiliava na administração estatal. Os egípcios eram 
politeístas, ou seja, acreditavam em vários deuses e animais sagrados. Havia também a crença na vida após a 
morte, motivo pelo qual os egípcios desenvolveram a técnica de mumificação de corpos para sua preservação 
e construíram pirâmides para abrigar esses corpos e os artefatos da nobreza para a próxima vida.
Inicialmente, a economia egípcia foi centrada na agricultura, com os camponeses cultivando a terra 
e fornecendo os produtos para o faraó e a nobreza e retendo para si somente o suficiente para a 
sobrevivência. O desenvolvimento do comércio com outros povos para a troca de mercadorias ocorreu 
somente num momento posterior.
O desenvolvimento da ciência e da matemática no Antigo Egito teve estreita relação com suas 
necessidades práticas. Os estudos de astronomia e agrimensura surgiram pela premência que os egípcios 
tinham em saber quando ocorreriam enchentes no Nilo e quais seriam suas extensões. No entanto, o 
fato de o rio ter um comportamento bastante regular e, segundo Boyer, de o país ser geograficamente 
protegido de invasões estrangeiras permitiram um alto grau de estagnação no desenvolvimento das 
ciências. No campo da administração territorial, surgiu a necessidade de registros e cálculos para 
possibilitar a cobrança de impostos e taxas diversas.
Quanto à educação no Egito Antigo, ela se destinava apenas ao faraó e sua família, aos sacerdotes 
e aos nobres e era uma educação elementar. Por decisão do faraó, alguns escribas tinham acesso à 
educação para exercerem sua função.
Figura 05 – Hieróglifos em Memphis, com a estátua de Ramsés II ao fundo
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Por volta do ano 3000 a.C., os egípcios já tinham desenvolvido seu sistema de escrita: os hieróglifos. 
Eles não desenvolveram um alfabeto, mas determinaram símbolos correspondentes aos sons de sua 
língua. Ao combinar os fonogramas, formavam-se as versões esquematizadas de palavras. Com o passar 
do tempo, foram desenvolvidas mais duas formas para a escrita: a hierática e a demótica. A hierática 
foi usada pelos sacerdotes em textos sagrados e era uma escrita cursiva, geralmente gravada em papiro, 
madeira ou couro. A demótica era uma forma simplificada de escrita, usada para as situações de comércio 
e situações gerais do dia a dia.
Em seguida, um exemplo de escrita gravada predominantemente em papiros:
Figura 06 – Papiro: documento em escrita cursiva hierática
Figura 07 – Documento em escrita hierática, registrado em papiro e obtido no Templo de Amun
A partir das figuras anteriores, é possível observar as duas formas de escrita egípcia. No entanto, 
segundo Boyer, as escritas demótica e hieroglífica só foram desvendadas a partir da descoberta em 
1799 pela expedição de Napoleão da pedra de Rosetta (antigo porto de Alexandria). Ela continha uma 
mensagem em três línguas: demótica, hieroglífica e grego. Champollion, na França, e Thomas Young, na 
Inglaterra, decifraram as escritas antigas por serem conhecedores da língua grega.
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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
Figura 08 – Pedra de Rosetta
Figura 09 – Demarcação dos trêstipos de escrita
Desta forma, Boyer indica que a numeração hieroglífica egípcia foi facilmente decifrada. Pelo menos 
tão antigo quanto as pirâmides e datando de cerca de 5000 anos atrás, o sistema baseava-se na escala 
de dez. Para a representação numérica, tinham símbolos em hieróglifos e em hierático:
Figura 10 – Hiróglifos
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Figura 11 – Hierático
O sistema de numeração dos Egípcios baseava-se em sete números-chave: 1, 10, 100, 1.000, 10.000, 
100.000 e 1.000.000. Todos os outros números eram escritos combinando os números chave.
1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000
Figura 12
Esses símbolos eram colocados lado a lado e repetidos até nove vezes. Por exemplo, o número 1.342 
seria escrito da seguinte forma:
Figura 13
O sistema usado era o decimal, ou seja, cada dez símbolos eram trocados por um símbolo de ordem 
superior, mas não era posicional: cada símbolo não tinha um valor relativo, ou seja, um valor que dependia 
da sua posição dentro do número. Não havia um símbolo para o zero. Os sistemas de numeração tinham 
por objetivo prover símbolos e convenções de agrupamento desses símbolos de forma a registrar a 
informação quantitativa e poder processá-la.
Boyer aponta que as inscrições egípcias revelam familiaridade com grandes números desde tempos 
remotos. Os egípcios eram precisos no contar e no medir e, em razão disso, as pirâmides foram construídas 
com alto grau de precisão e orientação.
Com base na relação que estabeleceram entre as inundações do rio Nilo e os surgimentos heliacais 
da estrela de Sirius, os egípcios construíram um bom calendário solar feito de 12 meses de 30 dias e mais 
cinco dias de festa. Como esse calendário perdia um quarto de dia por ano, as estações avançavam em 
torno de um dia a cada quatro anos. A data de sua origem é discutível, mas se supõe que esse calendário 
tenha sido construído em torno de 2773 a.C.
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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
Para Eves, o Egito sempre se manteve em um semi-isolamento. A natureza tranquila do rio Nilo fez 
com que o desenvolvimento do conhecimento matemático no Egito não tenha sido tão importante 
quanto aquele alcançado na Babilônia.
Embora tenham desempenhado um papel relevante na obtenção de informações sobre a matemática 
desenvolvida pelos egípcios, os calendários e pedras tumulares forneceram informações sobre o contar 
e o medir. Os conhecimentos e registros históricos que temos sobre a civilização egípcia e a matemática 
por eles desenvolvida provêm principalmente de alguns papiros encontrados a partir do século XIX, que 
resistiram ao desgaste do tempo por mais de três milênios e meio. Os papiros mais importantes são o de 
Rhind, o de Moscou e o de Berlim.
Papiro de Rhind (ou de Ahmes)
O papiro que ficou conhecido como papiro de Rhind (ou papiro de Ahmes), segundo Boyer, foi comprado 
em 1858 pelo escocês Alexander Henry Rhind em uma loja de Luxor. Ele é um antigo papiro egípcio, com 
cerca de 0,30 m de altura e 5 m de comprimento, contém 85 problemas matemáticos escritos em hierático 
e foi feito pelo escriba Ahmes, que o copiou por volta de 1650 a.C. de outro documento mais antigo, de 
aproximadamente 2000 a.C. Em sua maioria, os problemas envolvem assuntos de natureza prática, são de 
cunho aritmético ou geométrico e cada um deles está acompanhado de sua resolução. O papiro de Rhind 
encontra-se no British Museum (exceto alguns fragmentos, que estão no Brooklin Museum).
Figura 14–Papiro de Rhind
De acordo com Boyer, os numerais e outros assuntos não foram escritos no papiro de Rhind na forma 
hieroglífica, mas sim em escrita cursiva. A numeração é decimal, mas com a introdução de sinais especiais 
para representar dígitos e múltiplos de potências de dez, em um processo denominado de ciferização. O 
autor ainda complementa que, introduzido pelos egípcios há cerca de 4000 anos, esse processo significou 
uma importante contribuição à numeração e continua sendo um instrumento eficaz até os dias atuais.
Eves afirma que, ao descrever os métodos de multiplicação e divisão utilizados por este povo, os 
papiros também são fontes primárias ricas sobre a matemática egípcia antiga, já que através deles 
sabe-se que os egípcios faziam uso das frações unitárias e do emprego da regra de falsa posição2, 
solução para o problema da determinação da área de um círculo e para muitos problemas práticos os 
quais as aplicações da matemática solucionariam.
2O método de falsa posição será mostrado no tópico “Influência egípcia”.
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Papiro de Moscou
O papiro de Moscou data de aproximadamente 1850 a.C. e foi escrito por um escriba desconhecido e com 
menos cuidado do que o papiro de Rhind. Ele também é chamado de papiro de Golonishev em homenagem 
a quem o comprou em 1893, no Egito. O papiro de Moscou está também escrito em hierática e nele são 
apresentados 25 problemas matemáticos, quase todos da vida prática. O curioso em relação a esse papiro é 
que nele há um trapézio, mas os cálculos associados são referentes ao tronco de uma pirâmide.
Papiro de Berlim
O papiro de Berlim também foi adquirido por A. H. Rhind, em Luxor, em 1850. Boyer afirma que ele 
data de aproximadamente 2000 a.C. e está parcialmente danificado. Ele é o mais antigo documento que 
chegou até nossos dias e apresenta uma equação de 2° grau.
Cronologia
O quadro abaixo é feito com base em Eves (2004, p. 67-71):
Quadro 1
História Civilização egípcia Comentários
3000 a.C. Cetro real egípcio com gravações em hieróglifos 
egípcios
Numeração da ordem de centenas de 
milhares e milhões
2600 a.C. Construção da grande pirâmide de Gizé Envolveu problemas de matemática e 
engenharia
1950 a.C Papiro de Kahun Problemas teóricos a respeito de 
progressões aritméticas e geométricas
1850 a.C. Papiro de Moscou ou de Golonishev 
1850 a.C. Data do mais antigo instrumento astronômico 
existente, misto de fio de prumo e colimador
1650 a.C. Papiro de Rhind (ou papiro de Ahmes)
1500 a.C. Extração do maior obelisco existente, erigido 
diante do Templo do Sol, em Tebas. 
Tem 105 pés de altura, base quadrada de 
lado igual a 10 pés e pesa 430 toneladas
1500 a.C. O mais antigo relógio de sol que existe data 
dessa época
Está no Museu de Berlim
1350 a.C. Papiro de Rollin, contém algumas enumerações 
elaboradas sobre alimentos
Está no Museu do Louvre e mostra a 
utilização prática de grandes números
1167 a.C. Papiro de Harris. Foi preparado por Ramsés IV, 
quando ascendeu ao trono
Relata grandes obras de seu pai, Ramsés 
III
2.1 Influência egípcia
Aritmética e álgebra
Eves expõe que todos os 110 problemas dos papiros de Moscou e de Rhind são numéricos. A maioria 
deles é de natureza prática, mas há também alguns de natureza teórica.
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HISTÓRIA DA MATEMÁTICAO autor sustenta que uma das características do sistema de numeração egípcio é o caráter aditivo 
da aritmética dependente. A multiplicação e a divisão eram em geral efetuadas por uma sucessão de 
duplicação, considerando que todo número pode ser representado por uma soma de potências de 2. 
Esse sistema se adequa muito bem ao ábaco e, por essa razão, perdurou enquanto este esteve em uso.
Boyer indica que, para os egípcios, era familiar a comutatividade da multiplicação e muitos dos 
problemas do papiro de Ahmes mostram manipulações equivalentes à regra de três.
 Observação
Método da Falsa Posição:
Considere a equação: x
x
+ =
7
24
Assumindo um valor conveniente para x, tal qual x = 7: 7
7
7
8+ =
Como 8 deverá ser multiplicado por 3 para resultar 24, o valor de x 
correto é 3.(7) = 21.
Ainda, os egípcios eram calculadores e estudaram geometria, contudo, não faziam provas geométricas 
nem generalizavam suas conclusões. Por meio de exemplos, conheciam o teorema de Pitágoras e 
contribuíram com os gregos com relação às regras de cálculo.
Eves percebe que já havia certo simbolismo na álgebra egípcia, já que no papiro de Rhind 
aparecem símbolos para mais e menos e símbolos ou ideogramas para igual e incógnita também eram 
empregados.
Frações Unitárias
Na Idade da Pedra não havia o conhecimento sobre frações. Boyer considera que foi com o advento 
de culturas mais avançadas durante a Idade do Bronze que parece ter surgido a necessidade do conceito 
de fração e de notação de frações.
Para os egípcios, as frações de denominador 1, chamadas de frações unitárias, indicavam o recíproco de 
qualquer número inteiro através de um simbolismo próprio. Algumas passagens encontradas nos papiros 
indicam que havia alguma percepção das regras gerais e dos métodos no tratamento de frações.
Geometria
Eves aponta que dos 110 problemas presentes nos papiros de Moscou e de Rhind, 26 são geométricos. 
Muitos deles estão relacionados à mensuração de terras e a volumes de grãos. Aparecem também 
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problemas relativos à proporção e tentativas de cálculo de volumes de sólidos. Boyer chama atenção 
para o fato de o conhecimento de proporção ser vital na construção de pirâmides, uma vez que as faces 
deveriam manter uma inclinação constante. Eves complementa afirmando que, no papiro de Moscou, 
existe um exemplo correto da fórmula do volume de um tronco de pirâmide e nenhum outro exemplo 
inquestionavelmente genuíno dessa fórmula foi encontrado na matemática oriental antiga.
Boyer revela que não se conhece teorema ou demonstração formal na matemática egípcia. Entretanto, 
algumas comparações relacionando perímetros e áreas de círculos e quadrado efetuadas no vale do rio 
Nilo estão entre as primeiras afirmações precisas da história referentes a figuras curvilíneas.
3 MATEMÁTICA NA MESOPOTÂMIA
A Mesopotâmia localizava-se no Oriente Médio, na região situada no vale dos rios Eufrates e Tigre, 
onde hoje se localiza o Iraque e a Síria. A palavra Mesopotâmia, em grego, significa “entre rios”. A região 
foi habitada inicialmente pelos sumérios que, por volta do ano 4000 a.C., desenvolveram o sistema de 
escrita provavelmente mais antigo da história humana.
Figura 15 – Mapa da Mesopotâmia
Ao longo do tempo, essa região foi invadida por diversos grupos humanos, tais como os amoritas, os 
cassitas, os elamitas, os hititas, os assírios, os medos e os persas, que absorveram a cultura local. Os antigos 
povos que habitavam a Mesopotâmia são frequentemente chamados de babilônios, embora, segundo Boyer, 
essa denominação não seja inteiramente correta. Ele afirma que, a princípio, a cidade de Babilônia não foi o 
centro de cultura associado com os dois rios, mas a expressão “babilônica” foi atribuída à região durante o 
período de 2000 a.C. a 600 a.C., aproximadamente. Quando a cidade foi tomada por Ciro da Pérsia, em 538 a. 
C., o império babilônico terminou. A região é ocasionalmente denominada de Caldeia em razão da dominação 
dos caldeus, provenientes do sul da Mesopotâmia, principalmente durante o último século antes de Cristo.
Os povos da Mesopotâmia escreviam em tabletes de argila cozida em fornos ou ao sol e, para gravar 
os caracteres, usavam estiletes. Como mencionado anteriormente, eles desenvolveram uma escrita que 
ficou conhecida como cuneiforme, pois as marcas feitas na argila pareciam pequenas cunhas. Esses 
tabletes se mostraram mais resistentes ao tempo do que os papiros e uma enorme quantidade deles 
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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
resistiu e chegou até os nossos dias, permitindo acesso à cultura dos babilônios. Hoje, eles estão no acervo 
de diversas universidades inglesas e norte-americanas. Dessas, destaca-se particularmente a coleção G. 
A. Plimpton, da Universidade de Columbia, com tabletes de 1900 a.C. a 1600 a.C., aproximadamente. Nos 
tabletes, entre outros assuntos, estão registrados problemas matemáticos, fórmulas e desenhos.
Eves relata que os arqueólogos têm trabalhado nessa região sistematicamente desde antes da metade do 
século XIX, tendo sido desenterrado mais de meio milhão de tábuas de argila. Somente no sítio da antiga Nipur 
foram encontradas mais de 50.000 tábuas. Das cerca de meio milhão delas, quase 400 foram identificadas como 
estritamente matemáticas. No entanto, o autor observa que o trabalho para decifrar sua escrita cuneiforme foi 
árduo e posterior à decifração dos hieróglifos egípcios, ocorrendo, portanto, pouco antes de 1800.
Boyer pondera que, apesar da abundância de materiais relativos à Mesopotâmia, eles provêm estranhamente 
de dois períodos muito distantes no tempo. Há uma quantidade de material dos primeiros séculos do segundo 
milênio a.C. (Babilônia antiga) e outra dos últimos séculos do primeiro milênio a.C. (período selêucida). A 
maior parte das contribuições importantes em matemática remonta ao período mais antigo.
Por volta de 3000 a.C., a civilização dos sumérios era avançada, com estruturas políticas e religiosas definidas 
e um sistema sofisticado de irrigação, com canalização e diques para o controle das enchentes dos rios Tigre 
e Eufrates. Entre 2100 a.C. e 2004 a.C., os sumérios tiveram grande prosperidade e consolidaram seu sistema 
jurídico, seu sistema meteorológico simplificado, seu calendário e ainda construíram diversos templos.
O desenvolvimento da civilização na Mesopotâmia ocorreu em estreita dependência dos rios Tigre e Eufrates. 
Os povos prosperaram com base na agricultura, que se desenvolvia graças à fertilização da terra decorrente das 
inundações dos dois rios. Contudo, de forma diversa do que se passava com as águas do rio Nilo, os períodos de 
cheia dos rios Tigre e Eufrates eram bastante irregulares, obrigando a realização de numerosas obras de irrigação 
e drenagem. Desse modo, desenvolveu-se a engenharia e a navegação para o transporte de mercadorias.
Quanto à matemática, assim como no Antigo Egito ela se desenvolveu em função das necessidades 
do dia a dia: inicialmente para contabilizar animais, cereais etc., posteriormente para a administração dos 
bens, organização de obras e cobrança de impostos. Eves observa que as tábuas encontradas mostram 
que os sumérios antigos estavam familiarizados com todos os tipos de contratos legais e usuais, tais 
como faturas, recibos, notas promissórias, crédito, juros simples e compostos,hipotecas, escrituras de 
venda e endossos. O autor afirma que há tábuas que são documentos de empresas comerciais e outras 
que lidam com sistemas de pesos e medidas. Os sumérios efetuaram também medições do tempo e 
observações na astronomia para auxiliar suas atividades práticas.
Boyer indica que os babilônios usavam um sistema numérico sexagesimal, isto é, com base no número 60. 
Eles conheciam os resultados das multiplicações e divisões, raízes quadradas e cúbicas, equações e o processo 
de fatoração. Eles usavam palavras como incógnitas num sentido abstrato. Os assuntos matemáticos que 
se apresentam nos tabletes vindos da Mesopotâmia são: o sistema de numeração sexagesimal e as tábuas 
trigonométricas e, na geometria, o estudo do tronco de cone e do tronco de pirâmide quadrangular regular; o 
perímetro da circunferência; e o teorema de Pitágoras e as ternas pitagóricas. Ainda, o sistema de numeração 
usado variava entre o posicional, o decimal e o sexagesimal e a base 60 era apropriada principalmente para o 
cálculo com frações, por conta dos divisores naturais de 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.
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Figura 16 – Símbolos para os números
Segundo Boyer, especula-se que o sistema sexagesimal teve origem provavelmente na astronomia, 
especificamente na contagem do tempo, isto é, na divisão do tempo em horas, minutos e segundos. O 
sistema seria originário da junção de dois sistemas mais antigos: o decimal e outro de base seis. No entanto, 
o autor considera mais provável que a base de 60 unidades tenha sido adotada e legalizada no interesse da 
metrologia, uma vez que uma grandeza de 60 unidades pode ser mais facilmente subdividida em metades, 
terços, quartos, quintos, sextos, décimos, dozeavos, quinzeavos, vigésimos e trigésimos, fornecendo assim 
dez subdivisões. Eves informa que, mesmo nas tábuas mais antigas, o sistema sexagesimal posicional já 
estava estabelecido. Muitos dos textos dos primeiros tempos mostram a distribuição de produtos agrícolas 
e de cálculos aritméticos baseados neste sistema. Apesar da forma fundamentalmente decimal das 
sociedades atuais, esse sistema ainda permanece nas unidades de tempo e angulares.
 Saiba mais
Baseados na obra de Georges Ifrah, que faz parte de nossa referência 
bibliográfica, alunos da licenciatura em ensino de matemática da Faculdade 
de Ciências da Universidade de Lisboa apresentaram uma série de seminários 
que foram reproduzidos no texto 6 formas de pensar os algarismos, 
disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/
algarismos/introducao.htm>. Acesso em: 19 maio 2011.
Operações fundamentais
De acordo com Boyer, os babilônios desenvolveram a melhor notação para frações conhecida até 
a Renascença. A precisão de seus resultados diferia muito pouco daqueles possibilitados pelo processo 
atual. Além disso, segundo o autor, os matemáticos babilônios não foram hábeis apenas com sistemas de 
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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
numeração, mas também no desenvolvimento de processos algoritmos, entre os quais um para extrair a 
raiz quadrada. As operações aritméticas fundamentais eram tratadas de forma semelhante à atual e com 
facilidade comparável. Ainda segundo o autor, também existem tabelas babilônicas que contêm potências 
sucessivas de um dado número, semelhante às atuais tabelas de logaritmos ou, mais propriamente, de 
antilogaritmos. Apesar de existirem lacunas em suas tabelas exponenciais, os babilônios utilizavam a 
interpolação por partes proporcionais para a obtenção de valores intermediários aproximados.
Geometria
Este campo sempre esteve relacionado à mensuração prática. Segundo Eves, no período de 2000 
a.C a 1600 a.C., os babilônios já conheciam as regras gerais do triângulo retângulo, do volume de um 
paralelepípedo reto-retângulo e o volume de um prisma reto com base trapezoidal. No entanto, como 
observa o autor, a principal marca da geometria babilônica é seu caráter algébrico.
Álgebra
Eves aponta que, em torno de 2000 a.C., a aritmética babilônia já havia evoluído para uma álgebra 
retórica bem desenvolvida. Eles não só resolviam equações quadráticas, seja pelo método equivalente ao 
de substituição numa fórmula geral, seja pelo método de completar quadrados, mas também discutiam 
algumas equações cúbicas e algumas equações biquadradas. Para Boyer, esses conhecimentos indicam 
tanto o alto grau de habilidade técnica dos matemáticos babilônios quanto a maturidade e flexibilidade 
dos conceitos algébricos envolvidos.
Plimpton 322
Do ponto de vista matemático, um dos mais importantes documentos que chegaram até nós 
é o tablete designado por Plimpton 3223. Eves indica que ele foi escrito no período babilônico 
antigo (aproximadamente entre 1900 e 1600 a.C.). Boyer observa que a tábula encontra-se 
parcialmente danificada, mas o esquema de construção é claramente discernível. Inicialmente, 
ela foi tomada como um registro comercial, mas uma análise mais profunda mostrou que aquilo 
que foi registrado nela constitui em profundo significado matemático na teoria dos números. 
Sabe-se que, entre outras notações, a tábula traz a relação entre os três lados de um triângulo.
Figura 17 – Plimpton 322
3Sua designação se deve ao fato de pertencer à coleção de G. A. Plimpton, da Universidade da Columbia, e à sua 
catalogação sob o número 322.
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Um momento de reflexão para o futuro professor
Boyer faz uma observação curiosa que, no contexto de um curso de licenciatura, vale a pena ser 
comentada:
As realizações dos babilônios no domínio da álgebra são admiráveis, 
mas os motivos que impulsionaram essa obra não são fáceis de 
entender. Era suposição comum que virtualmente toda a ciência e a 
matemática pré-helênicas eram puramente utilitárias; mas que espécie 
de situação da vida real na Babilônia antiga podia levar a problemas 
envolvendo a soma de um número e seu recíproco, ou a diferença entre 
uma área e um comprimento? Se o motivo era utilitário, então o culto 
do imediatismo era menos forte do que hoje, pois conexões diretas 
entre o objetivo e a prática na matemática babilônia não são nada 
aparentes. Que pode ter havido tolerância para com a matemática por 
si mesma, se não encorajamento, é sugerido por uma tableta (No 322) 
na Plimpton Collection da Columbia University. A tableta do período 
babilônio antigo (1900 a 1600 a.C. aproximadamente) e as tabelas que 
contêm podiam facilmente ser tomadas por um registro de negócios. 
No entanto, a análise mostra que há um profundo significado na 
teoria dos números, e que talvez se relacionasse com uma espécie de 
prototrigometria (BOYER, 2003, p. 23).
O comentário do autor é interessante porque ele reitera uma perspectiva que não pode passar 
despercebida ao futuro professor: a matemática é uma criação humana e a forma como ela é apropriada 
difere conforme o contexto em que ela é utilizada. De fato, nos primórdios da sociedade humana a 
ênfase da matemática primitiva ocorreu na aritmética e na mensuração, como uma ciência prática para 
assistir a atividadesligadas à agricultura e à engenharia. Mas foi exatamente esse contexto que criou as 
condições para que se desenvolvessem tendências no sentido da abstração. Uma forma de se perceber 
isso é o alerta de Ifrah (1996) em relação à importância de se diferenciar a forma como o número é 
concebido por diferentes grupos humanos, ou seja, as pessoas nem sempre são capazes de conceber 
qualquer número abstrato.
O autor aponta que inúmeras hordas “primitivas”, como os zulus e os pigmeus da África, os aranda 
e kamilarai da Austrália, os aborígenes das ilhas Murray e os botocudos do Brasil percebem o número 
de modo um tanto qualitativo. Para esses grupos, o número se reduz a uma “pluralidade material” e 
assume o aspecto de uma realidade concreta indissociável da natureza dos seres e objetos em questão. 
O traço comum de diferentes agrupamentos possuírem a mesma quantidade de itens, tais como cinco 
carneiros ou cinco árvores, se reduz a uma espécie de capacidade natural chamada de “percepção 
direta do número” ou “sensação numérica”. Expressões como “muito” e “vários” são utilizadas para 
caracterizar agrupamentos e avaliá-los. Essa aptidão natural não pode ser confundida com a “faculdade 
abstrata de contar”, que diz respeito a um fenômeno mental mais complicado e constitui uma aquisição 
relativamente recente da inteligência humana.
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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
Figura 18 – Objeto de decoração reproduzindo momento de reflexão de um membro de uma horda primitiva
Determinadas espécies animais também são dotadas de um certo tipo de percepção direta dos 
números. Em alguns casos, são capazes de reconhecer as modificações de conjuntos numericamente 
reduzidos. No entanto, é curioso notar que as faculdades humanas de percepção direta dos números 
não ultrapassavam a de certos animais, pois não iam além do número quatro. Ifrah indica que, para que 
o ser humano pudesse progredir no universo dos números, foi necessário que certos procedimentos 
mentais fossem agregados à sensação numérica inata. Daí que, diante da existência de um embrião 
de capacidade de abstração entre os babilônios, a perplexidade de Boyer causa certa estranheza, pois 
as condições geográficas da Mesopotâmia exigiam o desenvolvimento da matemática e ela de nada 
serviria se ficasse trancafiada a um grupo de sábios.
É importante observar a história segundo essa perspectiva porque, atualmente, ainda há controvérsias 
a respeito de a quem deve ser dada a capacidade de abstração e de inferência. É a discussão que Vianna 
(2003) coloca para a educação matemática:
A educação matemática só é possível porque, uma vez que existe a 
matemática, as pessoas podem trocar experiências matemáticas entre si. 
Quero deixar bem claro aqui uma prioridade que dou à matemática: se ela 
não existisse, não haveria educação matemática. Mas não basta que exista 
matemática, ela deve ser instituída como uma prática social relevante, e é 
essa relevância e esse modo de instituição que vão determinar a necessidade 
de uma educação matemática. (...) A educação matemática depende, de modo 
radical, de como a sociedade institui, a cada época, a matemática como 
prática social relevante. A educação matemática existe porque, existindo 
a matemática, as sociedades, ao fazerem dela um dos elementos de sua 
cultura, criaram necessidades específicas de comunicação e, a par dessas 
necessidades, encontraram dificuldades no exercício dessa comunicação 
(VIANNA, 2003, p. 48).
Os professores de matemática irão se deparar com essas dificuldades de comunicação que os objetos 
matemáticos colocam para sua prática. Além disso, em um primeiro momento ainda confundirão os 
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objetos da educação matemática com os da matemática. No entanto, é exatamente na perplexidade de 
Boyer que talvez resida o caminho para diferenciá-los.
O desenvolvimento da matemática está intrinsecamente ligado ao humano, inclusive como faculdade de 
abstração. Boyer relaciona a capacidade de abstração às possibilidades que uma sociedade proporciona:
As culturas pré-helênicas também têm sido estigmatizadas como puramente 
utilitárias, com pouco ou nenhum interesse pela matemática por ela mesmo. 
Aqui, também, está envolvido um julgamento, mais do que prova indiscutível. 
Então, como agora, a vasta maioria da humanidade se preocupava com problemas 
imediatos de sobrevivência. O lazer era muito mais raro do que hoje, mas mesmo 
assim havia no Egito e na Babilônia problemas que têm características de 
matemática de recreação. Se um problema pede a soma de gatos e medidas de 
trigo, ou de comprimento e uma área, não se pode negar a quem o perpetrou ou 
um certo humor ou uma procura de abstração (BOYER, 2003, p. 29).
Por fim, vale destacar que é da civilização que se desenvolveu na Mesopotâmia o primeiro código de 
leis escrito da história: o código do imperador Hamurabi. Esse código continha uma legislação sobre o 
direito de propriedade, escravidão, relações familiares, religião, crimes, comércio, empréstimos a juros etc. 
e era extremamente rígido. Nele, estavam previstas as punições para roubo, auxílio à fuga ou ocultação 
de escravos e incesto, por exemplo.
Acredita-se que, infelizmente, vários problemas matemáticos da época não foram registrados, 
contudo, provavelmente a civilização que se desenvolveu na Mesopotâmia produziu conhecimentos 
além do que podemos imaginar.
Quadro 2 – Cronologia
História Civilização da Mesopotâmia Ciência
8000 a.C. Objetos em argila
3500-3000 a.C. Cidades sumerianas - Desenvolvimento da 
escrita cuneiforme
Criação da roda
3000-2350 a.C. Primeiros tabletes de Argila com 
problemas matemáticos
2100-2000 a.C. Desenvolvimento do sistema 
sexagesimal
2000-1600 a.C. Tabelas com multiplicações, raízes, 
coeficientes e algoritmos
1700 a.C. Babilônios – Legislação Código de Hamurabi, desenvolvimento 
da álgebra e da geometria
1500-747 a.C. Babilônios – Palácios Astronomia
650 a.C. Assírios – Biblioteca de Astronomia Astronomia
612 a.C. Caldeus Artes Astronomia
540 a 500 a.C. Persas – Calendários Astronomia
336 a.C. Alexandre
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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
4 MATEMÁTICA NA GRÉCIA ANTIGA
Figura 19 – Mapa da Grécia
A atividade intelectual das civilizações do Egito e da Mesopotâmia perdeu seu ritmo bem antes da era 
cristã, cedendo espaço para uma nova civilização assumir a hegemonia cultural. Segundo Struik (1997), 
os novos povos que se destacavam eram os hebreus, os assírios, os fenícios e os gregos. No entanto, 
como já mencionado anteriormente, o período anterior à era cristã foi marcado por um longo período 
de progresso intelectual e científico. Em regiões agrícolas denominadas “berço da civilização” (Oriente 
Médio, China e Egito), projetos de irrigação foram desenvolvidos e as primeiras cidades, pirâmides, 
monumentos e os Jardins Suspensos da Babilônia foram construídos. Além disso, a escrita foi inventada 
e desenvolveu-se a matemática, a astrologia e a metalurgia. O sistema de tribos foi substituído por 
sistemas complexos de governo, como as cidades-estado e os pequenosimpérios. Porém, como observa 
Eves, as realizações culturais mais impressionantes ocorreram na Grécia, durante o período Helênico (c. 
800-336 a.C.), e na China, nos primeiros tempos do Período Clássico (c. 600-221 a.C.).
A civilização na Grécia antiga se constituiu por volta de 2000 a.C. pela migração vinda do Egito e do 
Oriente Médio, pouco depois da fundação do Império Babilônio pelos amoritas.
Eves nota que, em 300 anos, despontou na Ilha de Creta uma nova civilização, altamente avançada, 
que dominava a escrita e a leitura. A localização geográfica dessa civilização foi entre os mares Egeu, 
Jônico e Mediterrâneo, mas, como observa Boyer, a civilização helênica não estava só localizada ali. Em 
600 a.C., colônias gregas podiam ser encontradas ao longo das margens do Mar Negro e Mediterrâneo e 
foi nessas regiões afastadas que um novo impulso se manifestou na matemática. O autor constata que 
os colonistas da beira-mar, especialmente na Jônia, contavam com duas vantagens: tinham o espírito 
ousado e imaginativo típico de pioneiros e estavam mais próximos dos dois principais vales de rio 
dos quais podiam extrair conhecimentos. Ainda de acordo com o autor, os gregos não hesitavam em 
absorver elementos de outras culturas, de outra forma, não teriam aprendido como passar tão depressa 
à frente de seus predecessores imputando a tudo sua marca.
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Os gregos atuais se denominam helenos em função de seus antepassados. Considera-se que o povo 
heleno, denominação dada aos cidadãos da Grécia antiga, foi aquele que construiu a base da civilização 
ocidental.
Struik afirma que a Idade do Bronze foi substituída, então, pela Idade do Ferro, o que transformou a 
arte da guerra, baixou os custos dos instrumentos de produção, aumentou o excedente social, estimulou 
o comércio e permitiu maior participação dos cidadãos nas questões econômicas e de interesse público. 
As cidades que surgiam ao longo da costa da Ásia Menor e no continente grego eram cidades comerciais, 
onde os antigos proprietários de terras tinham que lutar contra uma classe de mercadores independentes 
e politicamente conscientes.
Ainda segundo as afirmações de Struik, por volta de 800 a.C. começaram a surgir as “pólis”, isto é, 
as cidades-estado, delineando a vida política grega. Essa nova organização social criou um novo tipo 
de homem. Os mercadores eram independentes, mas sabiam que tinham de lutar por esse estado de 
coisas constantemente. Não havia lugar para uma visão estática de vida. Adicionalmente, a religião era 
politeísta – os deuses possuíam características humanas – e a mitologia era muito importante para os 
gregos, já que os mitos e as lendas eram usados para transmitir ensinamentos.
Embora tivessem existido várias dezenas de cidades-estado gregas, algumas se sobressaíram. Como 
ilustra Eves, sendo portos marinhos, Corinto e Argos eram cidades comerciais de grande movimento. 
Situadas nas costas da Jônia (hoje Turquia), Mileto e Esmirna eram cidades-empório importantes. Rodes, 
Delfos e Samos eram comunidades ilhoas que se dedicavam à pesca e ao comércio. Siracusa era a maior 
das colônias gregas, na Itália. Tebas era um grande centro agrícola e Olímpia era sede dos famosos Jogos 
Olímpicos quadrienais. Porém, o autor conclui que as cidades gregas mais importantes eram Atenas 
(grande centro comercial e cultural) e a militarista Esparta.
O período até 336 a.C. foi marcado por conflitos entre as cidades-estado em virtude da escassez de 
alimentos. Premido pela deficiência de condições de sobrevivência, o povo espartano se militarizou ao 
máximo e travou sangrentas guerras com outras cidades-estado. Eves afirma que o exército espartano 
era temido em toda a Grécia, mas a manutenção do poderio bélico teve como consequência uma herança 
intelectual praticamente nula. Atenas também passou por momentos de turbulência em decorrência da 
escassez de alimentos e sofreu inclusive com uma guerra interna entre pobres e ricos. Ela só retomou o 
caminho da prosperidade quando o reformador Sólon foi eleito. O novo líder alterou a forma agrícola da 
região, incentivando o cultivo de oliveiras e videiras, e deu início a uma constituição bastante democrática 
para o mundo antigo, apesar de, à época, mulheres e escravos serem impedidos de votar.
Depois de Sólon, a prosperidade e democracia estiveram juntas em Atenas. O azeite e o vinho, 
acondicionados em jarras artísticas produzidas pelos artesãos, eram comercializados em ampla escala 
não só na Grécia, mas também fora dela. O grande mercado ágora era reduto também da vida intelectual 
da cidade. O mesmo acontecia em outras cidades-estado, locais onde os filósofos ensinavam seus 
discípulos e lançavam novas ideias.
Contudo, um período turbulento de guerras contra a Pérsia e contra Esparta arruinou parte do 
mundo grego. Uma vez enfraquecidas, as cidades gregas foram dominadas pelos macedônios e, em 336 
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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
a.C., Alexandre, o Grande (356-323 a.C.) uniu toda a Grécia sob o Império Macedônio. Alexandre havia 
sido aluno do grego Aristóteles e, por este motivo, admirava a cultura grega, que seguiu progredindo.
Nessa fase, o centro se desloca para Alexandria e a cultura grega se funde com a oriental, o que leva 
a novo desenvolvimento da matemática e das ciências. Após a morte de Alexandre, o império se divide 
em três partes e, no século I a.C., todas as cidades-estado foram dominadas pelos romanos, levando a 
cultura grega ao declínio.
Os gregos se destacaram na dramaturgia (como foi o caso de Sófocles (496?-406? a.C.)), na poesia, 
nas artes plásticas e na arquitetura. Segundo dados de Eves, a descrição das vitórias gregas sobre 
os invasores persas feita por Heródoto (484?-424? a.C.) e o relato da luta fratricida entre Esparta e 
Atenas feito por Tucídides (460?-400? a.C.) foram os primeiros relatos reais do mundo antigo. Eles 
desenvolveram a filosofia principalmente no período clássico, sendo Platão e Sócrates os filósofos mais 
conhecidos desse tempo.
A matemática grega começou a se desenvolver na Jônia, localizada na Ásia Menor, e tomou impulso 
a partir dos conhecimentos e descobertas dos egípcios e dos babilônios com os quais os gregos tiveram 
contato por meio de viagens. Entretanto, a grande diferença entre os gregos e esses outros povos era 
que aqueles tentaram explicar os fenômenos da natureza de forma científica, sem recorrer a mitos e à 
religião. A utilização do raciocínio dedutivo em matemática – o que, segundo Eves, se deve a Tales de 
Mileto (640?-564?) e Pitágoras (586?-500 a.C.) – deu origem à criação de uma matemática organizada, 
diferente daquela de caráter prático desenvolvida no Egito e na Mesopotâmia. A lógica foi sistematizada 
num tratamento medicinal de Aristóteles e Hipócrates de Quio (a quem se deve o famoso juramento 
médico hipocrático), que lançou os fundamentos da medicina moderna.
Portanto, em torno do século VI a.C. surgiram Tales e Pitágoras, que tiveram para a matemática a 
mesma importância que Homero na história e Hesíodo na literatura, no entanto, as obras desses últimos 
foram copiadas e sobreviveram, chegando aos nossos dias atuais, enquanto que as de Tales e Pitágoras 
se perderam e chegaram até nós apenas pelas narrações de historiadores e matemáticos posteriores, 
sendo que Tales e Pitágoras viajaram ao Egito e à Babilônia e tiveram