História do conhecimento matemático na Antiguidade

Prévia do material em texto

18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 1/62
História do conhecimento
matemático na Antiguidade
Prof. Rafael Montoito
Descrição
A História da Matemática com o estudo dos conhecimentos matemáticos das civilizações mesopotâmica,
egípcia e greco-romana.
Propósito
Reconhecer que, de diferentes civilizações, recebemos múltiplas contribuições que ajudaram a matemática
a se desenvolver e contribuíram para a história, é elemento fundamental na formação do educador
matemático.
Objetivos
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 2/62
Módulo 1
Matemática na Mesopotâmia
Reconhecer a contribuição dos povos mesopotâmicos para os conhecimentos matemáticos.
Módulo 2
Matemática no Antigo Egito
Identificar as principais contribuições dos egípcios para a História da Matemática.
Módulo 3
Matemática na Grécia pré-pitagórica
Analisar o período pré-pitagórico grego e o desenvolvimento de elementos essenciais matemáticos.
Módulo 4
Matemática na Antiguidade clássica greco-romana
Analisar a contribuição greco-romana da Antiguidade clássica na constituição da Matemática.
A matemática que estudamos atualmente é o desdobramento de conhecimentos construídos por
diversas civilizações da Antiguidade. Isso significa dizer que a matemática nem sempre foi assim e
que passou por diversas mudanças, ao longo do tempo, recebendo contribuições de povos de
Introdução
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 3/62
1 - Matemática na Mesopotâmia
diferentes culturas, até se transformar na ciência que hoje conhecemos. Podemos, portanto, dizer
que a matemática é uma aventura humana, uma aventura da razão e do intelecto.
Em nosso estudo, veremos como três povos antigos – mesopotâmicos, egípcios e gregos –
contribuíram para que a matemática, em princípio utilizada apenas para atividades práticas como
contar e medir, se elevasse à ciência da exatidão. Além disso, veremos que alguns aspectos da
matemática desses povos continuam entre nós, sendo utilizados de forma bastante corriqueira há
mais de vinte séculos.
Orientação sobre unidade de medida
Em nosso material, unidades de medida e números são escritos juntos (ex.: 25km) por questões de
tecnologia e didáticas. No entanto, o Inmetro estabelece que deve existir um espaço entre o número e
a unidade (ex.: 25 km). Logo, os relatórios técnicos e demais materiais escritos por você devem
seguir o padrão internacional de separação dos números e das unidades.
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 4/62
Ao �m deste módulo, você será capaz de reconhecer a contribuição dos povos
mesopotâmicos para os conhecimentos matemáticos.
Civilização mesopotâmica
A região e o povo da Mesopotâmia
A palavra grega Mesopotâmia significa “entre rios”, motivo pelo qual entendemos o nome dado à região que,
na Antiguidade, se estabeleceu entre os rios Tigre e Eufrates. Nessa extensão geográfica, ao longo de vários
anos, se constituíram pequenos centros de poder por onde passavam diversos povos nômades. A história
dessa região é cheia de lutas e conquistas. Por isso, é fácil compreendermos que, em alguma medida,
elementos de uma cultura foram impregnados por elementos de outra. Com o passar do tempo, essas
combinações configuraram práticas – sociais e matemáticas – que hoje são descobertas e estudadas pelos
historiadores. O mapa a seguir mostra essa região, composta por partes onde atualmente estão localizados
os países Síria, Iraque, Kuwait e Irã.
Mapa da Mesopotâmia.
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 5/62
Mapa atual da antiga região da Mesopotâmia.
Comecemos nossa retrospectiva historiográfica falando dos sumérios, povo que lá habitava. Os sumérios
foram conquistados por Sargão I, rei dos acádios, povo de origem semita, por volta de 2350 a.C. Esse rei
estabeleceu a sede do seu reinado na cidade de Ur, a qual foi substituída mais à frente por uma nova capital,
Acádia. Veja a linha do tempo com as reviravoltas a partir deste acontecimento:
2200 a.C.
Após a morte do rei Sargão I,
os bárbaros gutianos
conquistaram a região.
2100 a.C.
O rei Erech expulsou os
bárbaros gutianos e retomou
o domínio sumeriano.
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 6/62
Quando os livros se referem à Babilônia, é bom termos em mente que também ali diferentes povos e
culturas se entrecruzaram:
Os semitas são conhecidos como os “antigos babilônicos” e não devem ser
confundidos com “neobabilônicos”.
Os “neobabilônicos” são os fundadores no Segundo Império Babilônico (2000 a.C - 1600 a.C.) – período do
qual vem a maioria dos tabletes de argila com registros matemáticos, dos quais falaremos a seguir. Outro
período importante da história dessa região é o da Selêucida, império que se estabeleceu na Babilônia por
volta de 312 a.C., depois da morte de Alexandre, o Grande.
2000 a.C.
O povo elemita dominou a
região, destruiu Ur e pôs fim à
Suméria.
1800 a.C.
Os elemitas foram expulsos
por outro povo de origem
semita, os amoritas, que
fizeram de Babilônia a sua
capital.
1700 a.C.
O rei Hamurabi, de origem
amorita, criou um código de
leis e elevou a Babilônia a
uma posição de grande
destaque e produção
intelectual na região.
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 7/62
Arqueólogos e historiadores conseguiram identificar importantes documentos com registros matemáticos
dessa época áurea da Babilônia. É comum alguns textos apresentarem como “matemática babilônica” os
conhecimentos acumulados antes da criação desse reino ou depois do seu fim, mas só usaremos essa
nomeação quando estivermos nos referindo especificamente aos tabletes ou matemática da Babilônia.
De modo geral, dado que algumas práticas matemáticas guardam semelhanças desde o terceiro milênio da
antiguidade até o período selêucido, a essas nos referiremos como o adjetivo “mesopotâmico”, como
sugere a professora e historiadora da matemática Tatiana Roque.
Atribui-se aos sumérios, com uma data aproximada a 3500 a.C., a invenção da escrita. Porém, quando
falamos aqui de “invenção da escrita”, é preciso abrir mão da ideia de um processo mágico, que teria sido
inventado de um dia para o outro, bem organizado e concluído. Grandes marcas históricas como essa são
processos que se desdobram lentamente, passando por múltiplas modificações até atingirem determinada
estabilidade que vem a perdurar no tempo. A invenção da escrita é passo determinante para o registro dos
números e das ações matemáticas daquele tempo, como veremos a seguir.
Escrita mesopotâmica
A escrita e os registros
Sem a invenção da escrita, o registro de símbolos mesopotâmicos que representam quantidades numéricas
não teria sido possível.
Os registros que sobreviveram ao tempo são exemplos de fontes históricas feitas de argila, aos quais
chamamos de “tabletes”.
Tablete mesopotâmico.
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 8/62
A versão histórica tradicional supunha que a escrita havia começado de forma pictográfica, isto é, associada
ao registro de figuras que representavam objetos do cotidiano. A escrita mesopotâmica é chamada de
“escrita cuneiforme” por ter sido produzida com o auxílio de objetos em forma de cunha, como um estilete.
Essa versão começou a ser contestada por volta de 1930, quando escavações na região de Uruk, no Iraque,
revelaramtabletes dos anos 3000 a.C., aproximadamente. Neles, os historiadores perceberam que as figuras
que representavam algum objeto concreto eram exceção. Encontraram ainda o que parecia revelar a
existência de processos de abstração: figuras ovais, circulares e triangulares.
Décadas mais tarde, a partir da pesquisa de Denise Schmandt-Besserat, começou-se a propor a tese de que
a forma de escrita mais antiga teria sua origem em dispositivos de contagem. Isso porque algumas
escavações revelavam, seguidamente, pequenos tokens, que são objetos de argila em diferentes formatos,
tais como cones, esferas, discos, cilindros etc, que eram utilizados para representar medidas. A figura a
seguir mostra algumas de suas formas:
Tokens.
Os tokens eram uma forma de contar bem diferente da que conhecemos, pois eles não representavam
números. Eram instrumentos particulares que serviam para contar cada tipo de insumo: jarras de óleo
correspondiam a ovoides, pequenas quantidades de grãos a esferas etc. Além disso, os tokens eram
utilizados na relação de um por um: uma jarra era um ovoide, duas jarras eram dois ovoides etc. Essa
contabilidade era “armazenada” em um invólucro de argila, que recebia, em sua forma, representações
gráficas do que armazenava, o que era relativamente prático, pois, caso contrário, quando fosse preciso
saber novamente o que cada invólucro guardava, ele teria de ser quebrado. É o que podemos ver na figura a
seguir.
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 9/62
Invólucro de argila cuja superfície mostra representações de tokens.
Com o tempo, é provável que os povos antigos tenham se dado conta de que não era preciso inserir os
tokens em um invólucro, bastando apenas representá-los graficamente em um tablete. Por isso, atualmente,
muitos historiadores entendem que a substituição dos tokens por sinais foi o primeiro passo para a escrita.
Isso teria colocado, em algum nível, a associação de formas geométricas e atividades de contagem à
gênese da escrita cuneiforme.
Com relação à gênese do número (ROQUE, 2012), os primeiros numerais não eram símbolos criados para
representar números abstratos, mas, sim, sinais impressos que indicavam medidas de grãos. Em um
momento posterior, as marcas passaram a representar quantidades, mas a elas era preciso acrescentar o
ideograma do que estava sendo contado, caso contrário, não seria possível diferenciar quatro ovelhas de
quatro jarros. Na figura a seguir, é possível vermos marcas em forma de cunha associadas à representação
de ovelha.
Tablete plano com inscrições da quantidade de ovelhas.
São essas representações e esse sistema embrionário de escrita que conduziram à organização do sistema
numérico mesopotâmico.
Sistema numérico mesopotâmico

18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 10/62
Relação entre sistemas numéricos mesopotâmicos
Neste vídeo, o professor apresenta o sistema numérico mesopotâmico, demonstrando a relação entre um
sistema sexagesimal e decimal.
Se observarmos atentamente abaixo, veremos formas talhadas que lembram a secção de um cone
representando a quantidade de ovelhas de algum cidadão mesopotâmico. Esse tipo de registro é chamado
de prontocuneiforme, pois antecedeu a escrita cuneiforme.
Representações numéricas.
Isso significa que o sistema numérico mesopotâmico também foi se modificando ao longo dos anos, até
atingir determinada estabilidade.
Para representar quantidades maiores, os mesopotâmicos utilizavam a combinação das formas ou as
desenhavam em tamanho diferente, como se pode ver a seguir:
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 11/62
Sistema numérico mesopotâmico.
Como podemos notar, há apenas dois símbolos, um para a unidade e outro para a dezena. Mas repare que a
representação gráfica para 60 é idêntica à do 1, o que indica que, a partir desse valor, as representações se
repetem: é como se seguíssemos contando por cima da mesma tabela.
Isso acontece porque o sistema numérico mesopotâmico tem base sexagesimal. É provável que, no
começo, pensar os números desse modo cause estranhamento, pois estamos acostumados com o nosso
sistema de base 10. Entretanto, ambos são posicionais, isto é, a representação assume determinado valor
dependendo da posição que ela ocupa. É por isso que o mesmo símbolo mesopotâmico para 1 pode
representar, além do 60, suas potências: 60, 360, 3600, 216000...
Para representarmos determinado número N na base 60, escrevemos do seguinte modo:
Os livros sobre a história da matemática adotam “;” para separar a leitura das partes (unidade, dezena,
centena etc.) do número babilônico, quando vertidas para nosso sistema decimal. Um exemplo é o da
representação <<, que pode ser anotado como 20 (0; 20), conforme a tabela, ou como (10; 10) – neste caso,
o número expresso seria 610, pois:
N = an60
n + an−160
n−1 + an−260
n−2 + ⋯ + a260
2 + a160
1 + an60
∘
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 12/62
Veja, na tabela a seguir, os vários números mesopotâmicos e sua escrita respectiva em base decimal.
Leitura dos números mesopotâmicos em base decimal.
Preste atenção nos seguintes símbolos:
Pensemos agora na seguinte situação: a representação cuneiforme do símbolo 1 tanto serve para 23,
quanto para 1.203 (20; 3), 1.380 (23; 0), 72.003 (20; 0; 3), 82.800 (23; 0; 0), 4.320.180 (20; 0; 3; 0) e tantos
outros números. O que possibilita essa múltipla interpretação é o fato de que não havia nenhum símbolo
para se registrar a casa vazia, o que não facilita sabermos se determinado símbolo está sendo tomado
como unidades, dezenas, centenas etc. A compreensão dependia do contexto das anotações.
Mas na era selêucida, astrônomos, talvez pela necessidade de lidar com números grandes, introduziram o
símbolo 2 para registrar as posições vagas. Disso não decorre que os mesopotâmicos tenham inventado o
zero, pois esse símbolo era utilizado apenas para marcar posições vazias, ou seja, com ausência de
N = an60n + an−160n−1 + an−260n−2 + ⋯ + a2602 + a1601 + an600
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 13/62
quantidade, e não poderia ser colocado no final de um número. Assim, o símbolo 3 continuava
representando 1, 60, 3.600 e as demais potências de 60, mas 7.222 poderia, ao invés de ser cunhado como o
símbolo 4, aparecer na forma do símbolo 5 (2; 0; 22).
Os mesopotâmicos utilizavam raciocínios semelhantes e os mesmos símbolos para trabalhar com números
fracionários, dividindo o inteiro por 60.
Mais matemática mesopotâmica
Outros conhecimentos matemáticos dos mesopotâmicos
Acredita-se que as necessidades da vida comum, tais como negociações e tributos, impulsionaram uma
matemática de cunho prático, com problemas algébricos que representavam situações do dia a dia.
Entretanto, novamente precisamos ter em mente que a álgebra daquele tempo não é exatamente a que
aprendemos hoje!
O historiador J. HØyrup, nos anos 1990, com base em novos estudos e traduções, mostrou que a álgebra
dos babilônicos estava muito relacionada ao procedimento geométrico de “cortar e colar” e, por isso, não
pode ser descrita tal qual a álgebra que conhecemos, sendo mais adequado falarmos em um “cálculo com
grandezas”.
Tanto mesopotâmicos quanto egípcios faziam essa espécie de cálculo, efetuando
procedimentos de coisas que podiam ser medidas.
Em alguns tabletes encontrados, podem ser lidos textos que evidenciam que os babilônios haviam
desenvolvido um bom conhecimento de aritmética e geometria. Tais textos demonstram que eles já sabiam
resolver equações de primeiro e segundo grau pelo métodode completamento de quadrados, conheciam a
propriedade geral dos triângulos retângulos (a que hoje chamamos de "Teorema de Pitágoras"), conseguiam
calcular corretamente certas áreas e volumes, assim como a diagonal de um quadrado de lado unitário
como sendo 1,414213 (uma excelente aproximação, dado que a diagonal vale , que é um número
irracional).
Com relação ao círculo, eram menos precisos: alguns tabletes apontam que o comprimento da
circunferência equivale a 3 vezes o diâmetro, enquanto outros falam em . Na sociedade mesopotâmica,
organizavam-se escolas, pois era preciso que se treinassem escribas para trabalhos comerciais e
governamentais. Embora poucas pessoas tivessem acesso às escolas, elas foram responsáveis por
acumular e propagar os conhecimentos matemáticos daquela época, os quais resistiram à conquista de
√2
3 18
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 14/62
outros povos e ao tempo. Sem esses registros feitos em argila – os "cadernos" antigos –, seria bem difícil
para os historiadores tentarem reconstruir a historiografia daquela região. A figura a seguir mostra um "livro"
babilônico com exercícios de geometria, datado de mais ou menos 1700 a.C.
Livro babilônico.
Todavia, nada do que permaneceu documentado indica qualquer preocupação em provar ou justificar o que
se afirmava, motivo por que se entende que os ensinamentos eram transmitidos como se fossem receitas
do tipo “faça isso, depois isso, em seguida isso e dará o resultado”.
Na época selêucida, por volta de 300 a.C., a astronomia estava bastante desenvolvida e empregava
procedimentos matemáticos sofisticados, o que mostra que o conhecimento da matemática da antiga
Babilônia não foi perdido desde 1600 a.C. até perto do início da nossa era. A observação dos corpos
celestes cujos registros são encontrados no primeiro milênio d.C., bem como a aritmética e o sistema
posicional sexagesimal usados nesse contexto (ROQUE, 2012), pode ter influenciado os estudos dos gregos
Hiparco e Ptolomeu. A astronomia desenvolvida por esses estudiosos no Egito, na virada do milênio, indica
que os cálculos astronômicos e trigonométricos eram feitos por meio do mesmo sistema que os
mesopotâmicos utilizavam, ainda que com simbologia distinta, o que permaneceu por muitos séculos, até a
introdução do sistema decimal indo-arábico.
Curiosidade
Por mais distantes que os mesopotâmicos estejam de nós no tempo, ainda temos resquícios das suas
práticas matemáticas, mas não nos damos conta porque elas foram internalizadas e automatizadas: casos
que podem ser citados dizem respeito a medirmos o ângulo de uma volta em 360º e dividirmos uma hora
em 60 minutos, ambos aplicações de uma base sexagesimal.
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 15/62
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 16/62
Questão 1
Sítios arqueológicos sobre a civilização mesopotâmica revelaram aos historiadores alguns dos indícios
mais antigos sobre práticas matemáticas que conhecemos. Sobre a matemática nos primórdios dessa
civilização, é correto afirmar que:
Parabéns! A alternativa E está correta.
A invenção da escrita é passo determinante para a invenção dos números, que passam a ser
registrados e, assim, ganham forma.
Questão 2
O sistema numérico mesopotâmico é bastante diferente do sistema decimal que estamos
acostumados a utilizar. Sobre esse sistema, é correto afirmar que:
A Está ligada à prática de apenas um povo.
B
Todos os registros sobre a matemática desse período foram encontrados na Babilônia,
devido à cidade ter sido um grande centro administrativo e de comércio.
C
A expressão “matemática babilônica” pode ser utilizada, sem prejuízos de compreensão,
de modo intercambiável com a expressão “matemática mesopotâmica”.
D
As principais fontes históricas que revelam registros matemáticos da civilização
mesopotâmica são na forma de papiros.
E
A invenção da escrita pelos sumérios tem implicação direta na invenção dos números
por eles utilizados.
A
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 17/62
Parabéns! A alternativa B está correta.
O sistema tem base sexagesimal e se utiliza apenas de dois símbolos, um que marca as unidades e
outro que marca as dezenas. Combinados, e em posições distintas, esses símbolos podem representar
qualquer número.
Até hoje permanece indecifrado.
B Utiliza apenas dois símbolos que, combinados, geram todos os números.
C
Combinações de formas ou variações de tamanho dos símbolos registrados são apenas
distorções dos registros e não representam quantidades diferentes.
D É desenvolvido considerando a base 30.
E Desde que surgiu, nunca houve variações significativas nas suas representações.
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 18/62
2 - Matemática no Antigo Egito
Ao �m deste módulo, você será capaz de identi�car as principais contribuições dos egípcios
para a história da matemática.
Civilização egípcia
O Egito e os egípcios
Enquanto a Mesopotâmia foi uma região muito conturbada devido às guerras e às invasões de vários povos,
o Egito foi um país independente ao longo de pelo menos três milênios, até ser conquistado pelo rei persa
Cambises, em 525 a.C.
existência de extensos desertos e pela vasta planície banhada pelo rio Nilo, cujas inundações ajudavam a
fecundar as terras às suas margens. Além disso, o Egito estava bem protegido contra invasões por
condições naturais, o que dificultava que algum povo selvagem africano chegasse sem ser notado. Desse
modo, o Egito desenvolveu-se com pouca interferência de outros povos.
Os egípcios (BURNS, 1965) foram os primeiros a instituir um calendário solar, o qual
passou a ser consultado por volta de 4200 a.C; evidência de que a matemática, e
possivelmente as demais ciências, já haviam alcançado um grau considerável de
desenvolvimento.
Por volta de 3200 a.C., os povos do Baixo Egito (Norte) foram integrados ao Alto Egito (Sul), cujo soberano,
denominado Menés, deu nome a duas dinastias, às quais nos referimos hoje como sendo do período
Arcaico; as dinastias sucessivas, da terceira à sexta, formam o que conhecemos como Antigo Império. O
Egito que existe ainda hoje é herdeiro, no tempo, desses acontecimentos.
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 19/62
Mapa mostrando o Baixo e o Alto Egito.
Do período egípcio, podemos citar várias contribuições, como a confecção de armas, instrumentos, tecidos
de linho, artefatos de cerâmica etc.
A arte egípcia é reverenciada até hoje, podendo ser observada em pinturas em câmeras mortuárias,
tapeçarias, objetos de cerâmica. As representações mostram cenas da vida cotidiana: trabalhadores, flora e
fauna, membros de diferentes castas (incluindo, por vezes, o faraó) e até mesmo alguns de seus deuses
dividem espaço com símbolos da escrita egípcia.
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 20/62
Tapeçaria egípcia.
Templo de Abul-Simbel.
Os egípcios também foram especialistas no trato da irrigação e no saneamento de terras pantanosas. A
cobrança de imposto, acredita-se, foi o primeiro imperativo para o desenvolvimento da geometria, pois
embora teoricamente todas as terras e bens fossem do faraó, na prática os indivíduos tinham imóveis.
O governo determinava os impostos da terra tendo como base a altura da enchente do ano e a área de
superfície daspropriedades, por isso era preciso haver um modo claro e fácil de calcular essas áreas. Assim
também eram feitas as suas famosas grandes construções. O que nos leva a questionar:
De que outro modo seria possível erguer tamanhas esculturas e construções se não
houvesse alguma noção de proporção e de quanta matéria bruta deveria ser
utilizada?
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 21/62
Conhecendo todo esse contexto, fica fácil percebermos que a matemática egípcia se desenvolveu a partir de
necessidades práticas.
A matemática egípcia
Sistema numérico
O sistema numérico egípcio
Neste vídeo, o professor apresenta o sistema numérico egípcio através de demonstração, bem como os
demais conhecimentos egípcios que contribuíram para a Matemática.
O sistema numérico egípcio já estava bem desenvolvido por volta do ano 3000 a.C. Ele tem base decimal e é
posicional, pois a ordem de leitura do número, realizada da esquerda para a direita, mostra sempre os
maiores valores primeiros, o que facilita sua leitura. Os egípcios utilizavam elementos da sua cultura em
representação hieroglífica – hieróglifo é o tipo de caractere da linguagem egípcia – para representar os
números (as representações gráficas e os nomes podem variar um pouco de um livro para outro). Eram
usadas barras para representar do 1 ao 9; uma alça (ou osso do calcanhar) para o 10; uma espiral (ou laço)
para o 100; uma flor de lótus para o 1.000; um dedo para o 10.000; um girino para o 100.000; e um deus com
as mãos levantadas para o 1.000.000

18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 22/62
Sistema numérico egípcio.
A leitura de um número é feita facilmente, pois o sistema é aditivo, isto é, basta somar os valores que cada
símbolo representa. Por exemplo: considerando a sequência a seguir, os números expressos são,
respectivamente, 217; 3.527; 22.126
Representação de vários números.
Algo peculiar nesse sistema é que, às vezes, números maiores, como , acabam sendo
representados com menos símbolos - no caso, apenas dois deuses. Por outro lado, para escrevermos o
número egípcio equivalente a , precisaríamos de deuses, pois cada deus vale
 Sendo assim, esse sistema não é adequado para números muito grandes. Isso, porém,
não significa que esse sistema numérico era falho, apenas era adequado às suas necessidades.
Os egípcios também operavam com frações. Algumas delas tinham uma representação especial, como a de
, que era anotada como o hieróglifo, mas a maioria seguia uma representação bastante uniforme, com
uma oval desenhada sobre a quantidade que hoje chamamos de denominador.
2.000.000
1 ⋅ 10300 10394
106e 10
300
106
= 10394.
1
2
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 23/62
Exemplos de frações egípcias.
Precisamos destacar que a representação oval colocada acima do número não representa o que hoje
entendemos como sendo um numerador. Nas frações que conhecemos, o numerador indica quantas partes
pegamos de uma subdivisão feita em partes (indicada pelo denominador), o que não corresponde à
notação egípcia, que sempre se refere a uma única parte do todo – isto é, uma "atualização" da notação
egípcia para o nosso sistema nos levaria a escrever frações do tipo Se fôssemos egípcios daquele
tempo e fizéssemos uma divisão qualquer em partes, pegaríamos sempre apenas uma parte delas.
Operações no sistema numérico egípcio
Resolver adições no sistema numérico egípcio era bastante fácil, pois bastava efetuar as adições e trocar os
símbolos por outros que representavam valores maiores. Por exemplo, para resolvermos a adição de 123 e
48, o primeiro passo é escrevê-los em numerais egípcios.
n
1
n .
n
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 24/62
Exemplo de adição com números egípcios.
A parte marcada em vermelho mostra que as barras, que representam as unidades, somadas dão 11, ou
seja, precisamos substituí-las por uma dezena (alça) e por uma. Desse modo, a soma, no valor de 171,
ficaria representada como a seguir:
Exemplo de adição com números egípcios.
Para efetuar multiplicações, os egípcios faziam sempre uma sequência de multiplicações por 2 ou, para
acelerar o processo, por 10. Isso também era bastante fácil porque a duplicação em um sistema aditivo é
uma operação simples, já que duplicar um número é apenas dobrar sua escrita e substituí-la por símbolos
que representam maior valor, o que pode ser feito a qualquer momento.
Como exemplo, suponhamos que desejamos saber a quantidade de jarros a serem distribuídos para 9
egípcios, assumindo que cada um deveria receber 13 jarros. O desenvolvimento dessa operação
(multiplicação) aparece a seguir:
Multiplicação de 13 por 9, no sistema numérico egípcio.
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 25/62
A coluna da esquerda representa os egípcios, contados de 2 em 2. Portando, na primeira linha, vemos que
um egípcio teria direito a 13 jarros e, na segunda, vemos dois egípcios, cada um com seus 13 jarros, o que
dá um total de 26 jarros. Na linha seguinte, dobramos o valor encontrado para contemplarmos 4 egípcios e,
depois, repetimos o processo para chegarmos a 8 egípcios. O resultado da multiplicação será a soma dos
valores encontrados na primeira e na última linha, pois 1 + 8 = 9 egípcios, que era o total de pessoas a quem
devíamos distribuir os jarros. Logo, se uma pessoa fica com 13 jarros e 8 pessoas ficam com 104 jarros, a
quantidade total seria 117 jarros (exatamente 9∙13) ou, em hieróglifos:
Resultado da multiplicação.
Obviamente, podemos efetuar uma multiplicação com o algoritmo egípcio, mas utilizando nosso próprio
sistema numérico. Por exemplo: para multiplicarmos 17 por 21, teríamos:
Númeo multiplicado por Representação no sistema decimal
1 17
2 34
4 68
8 136
16 272
Processo de multiplicação, baseado no algoritmo egípcio.
Como queremos o produto por 21, formamos 21 somando os índices da primeira, da terceira e da última
linhas (1 + 4 + 16). Isso nos leva à soma dos valores respectivos na segunda coluna (17 + 68 + 272), cujo
resultado é 357.
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 26/62
Procedimento semelhante a esse era empregado para se efetuar divisões, como como podemos ver abaixo
(representação da divisão de 130 por 5):
Número multiplicado por Dividendo
1 5
2 10
4 20
8 40
16 80
Processo de divisão, baseado no algoritmo egípcio.
Aqui precisamos ter cuidado para fazer a leitura começando na segunda coluna, que mostra a multiplicação
sucessiva do divisor. Como queremos dividir 130, observamos que, se somarmos os valores da segunda, da
quarta e da última linhas do divisor (10 + 40 + 80), chegamos ao valor. Na primeira coluna, respectivamente,
temos 2, 8 e 16, cuja soma dá 26. Logo, o resultado da divisão de 130 por 5 é 26.
Outros conhecimentos matemáticos dos egípcios
Sobre operaçôes com frações, os egípcios as tomavam sempre considerando 1 na posição que hoje
chamamos de numerador. Mas como eles dividiriam, por exemplo, 6 sacos de grãos por 10 pessoas (em
nossa notação: )? A divisão egípcia consistia em um procedimento realizado em etapas, conforme
ilustra a figura a seguir:
6
10
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 27/62
Representação de uma divisão egípcia.
Pensemos o seguinte: se houvesse apenas 5 sacos, cada egípcio ficaria com a metade de um deles. No
entanto, sobra o sexto saco, cujo conteúdo precisa serdividido em 10 partes iguais. Sendo assim, cada
egípcio ganharia meio saco mais um décimo de saco, reafirmando o que vimos sobre, para os egípcios, uma
fração ser sempre composta pela soma de frações que representavam uma parte do todo: .
O procedimento egípcio pode ser pensado na forma de um algoritmo com os seguintes passos: (1)
multiplique o numerador por um número que exceda o denominador e cujo resultado seja o mais próximo
desse; (2) subtraia, do valor encontrado, o denominador: (3) repita os procedimentos anteriores até a
subtração dar zero. Lembrando que aqui estamos utilizando "numerador" denominador" atribuindo às
contas um olhar atual.
Vejamos, a seguir, um exemplo para tentarmos dividir 
Passos do algoritmo Resultado Comentários
Multiplique o numerador
por 5
2 . 5 = 10
10 é o primeiro valor obtido de multiplicação
de 2 que excede o denominador, o que
signgicada que ficamos com 1/5.
Subtraria, do resultado, o
denominador
10 - 9 = 1
Sobrou ainda 1 inteiro para ser dividido em
partes.
Aqui o resultado da multiplicação não mostra
excesso, mas exatamente o valor do
denominador.
Representação egípcia de por meio da soma de frações.
A questão é que não é a única possibilidade para a representação de Sabendo disso, os
egípcios organizaram grandes tabelas que eram consultadas quando necessário e facilitavam a escolha da
representação mais adequada para o que precisava ser resolvido. Os egípcios, ao contrário dos
6
10 =
1
2 +
1
10
e′′
2
9 .
2
9
1
9 +
1
45
2
9 .
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 28/62
mesopotâmicos, escreviam em papiros feitos de uma planta perecível, sendo mais suscetíveis à
deterioração. Muitos dos papiros que os arqueólogos encontraram são como "livros escolares", com
exercícios que os aspirantes a escribas precisavam aprender.
Os egípcios também parecem ter desenvolvido regras práticas para resolver problemas de geometria. O
papiro de Ahmes (chamado assim por esse ser o nome do escriba que o criou), também conhecido como
papiro de Rhind (por causa do egiptólogo inglês que o encontrou) data de aproximadamente 1650 a.C. e
está exposto no Museu Britânico. Sem apresentar justificativas, esse papiro ensina que a área de um círculo
é o quadrado de do seu diâmetro , ou seja, Em linguagem atual, isso equivale a
tomarmos , indiscutivelmente uma aproximação muito boa para aquela época, dado que a ideia
formal do só foi desenvolvida posteriormente pelos gregos.
Outro elemento interessante que podemos observar no papiro de Ahmes é que os egípcios já utilizavam
símbolos para indicar a adição (duas perninhas caminhando no sentido da escrita) e a subtração (duas
perninhas caminhando no sentido oposto). Na figura a seguir, é possível repararmos nessas notações.
Símbolos para adição e subtração no papiro de Ahmes.
Como vimos, a ênfase inicial da matemática egípcia ocorreu na aritmética e na mensuração das terras.
Acredita-se que a necessidade de lidar com questões práticas (como o cultivo e os impostos) levou os
egípcios a uma “pré-álgebra”, o que paulatinamente foi apontando para a necessidade do estudo da ciência
por si mesma e para a organização de um tipo de escola, pois, com a expansão da sociedade, eram
necessários mais escribas e pessoas que entendessem as matemáticas.
Contudo, a sistematização da álgebra e da geometria só viria com os gregos, que realmente elevaram a
matemática do campo prático para o campo da razão abstrata.
8
9 D A = (
8
9 D)
2
.
π ≅3, 1605
π
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 29/62
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 30/62
O sistema numérico egípcio era constituído de hieróglifos e utilizava diferentes figuras para representar
alguns números. Sobre esse sistema, é correto afirmar que:
Parabéns! A alternativa C está correta.
Apesar de utilizar, para formar os números, representações diferentes daquelas com hoje que estamos,
o sistema egípcio também é de base decimal; para cada potência de 10, há um símbolo específico a ser
utilizado na escrita do número.
Questão 2
O sistema de numeração egípcio servia adequadamente às necessidades daquele povo e possibilitava
que operações aritméticas fossem feitas. Sobre esse sistema, são feitas as seguintes afirmações:
I. Os egípcios só realizavam operações com números inteiros.
II. Os egípcios calculavam qualquer multiplicação a reduzindo à multiplicação por 2.
III. Para efetuar divisões, os egípcios utilizavam um método muito similar ao da multiplicação.
Das afirmativas acima:
A
Mesmo com representações diferentes, ele foi herdado do sistema numérico
mesopotâmico.
B Há símbolos diferentes para representar cada dezena.
C Tem a mesma base numérica que o sistema decimal.
D Os símbolos utilizados não guardam relação com objetos reais.
E
Por ser aditivo, o sistema não precisa ser posicional, o que permite que os símbolos
sejam intercambiáveis no momento da escrita do número, sem que isso cause prejuízo à
sua compreensão.
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 31/62
Parabéns! A alternativa E está correta.
As operações de multiplicação e divisão eram feitas de forma muito parecida, pois ambos os processos
utilizavam a ideia da multiplicação por 2, o que era bastante fácil de ser executado com os símbolos
egípcios.
A Apenas I é verdadeira.
B Apenas II é verdadeira.
C Apenas III é verdadeira.
D I e II são verdadeiras.
E II e III são verdadeiras.
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 32/62
3 - Matemática na Grécia pré-pitagórica
Ao �m deste módulo, você será capaz de analisar o período pré-pitagórico grego e o
desenvolvimento de elementos essenciais matemáticos.
Civilização grega
Apesar de atribuirmos à Grécia o desenvolvimento do método axiomático, cujas rigorosas provas dedutivas
e encadeamento sistemático de teoremas demonstrativos dão à Matemática o status de ciência atual, os
primórdios da civilização grega, de meados do segundo milênio a.C. até por volta do século VI a.C., revelam
que, na educação da aristocracia grega, pouco ou nenhum valor era atribuído ao conhecimento da escrita ou
da matemática. Cuidados com o corpo, destreza com armas e o estudo de alguns elementos que
ressaltavam as qualidades morais e espirituais constituíam o ideário para a formação do homem
considerado perfeito naquela época, embora essa tendência não fosse unânime para todos os grupos
sociais e mesmo para sua vasta região.
As fontes históricas que foram localizadas não permitem sabermos, com clareza, como se deu a transição
da matemática mesopotâmica e egípcia para a Grécia. Contudo, é compreensível que, devido ao
crescimento populacional e à dispersão dos gregos pela bacia do Mediterrâneo, as diferentes culturas
tenham entrado em contato, pois são geograficamente próximas. Isso sem falarmos nas sucessivas
batalhas e conquistas de territórios.
Mapa da Antiguidade Clássica.
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 33/62
Apesar de a cultura grega clássica ser reconhecida pelos seus deuses e mitos, ela é o berço da filosofia e do
pensamento racional ocidental. Em Atenas, principalmente, e em colônias gregas no litoral da Ásia Menor,
como Mileto e Samos, o exercício da vida política esteve intimamente imbricado com a razão (pensamento
racional) e perpassava as principais atividades gregas, como, por exemplo, organização racional e
geométrica doterritório.
Vários filósofos da escola de Mileto e, posteriormente, os pitagóricos e os sofistas formularam
pensamentos baseados na observação (a gênese do método científico) para explicar, de modo racional, a
formação do universo a partir de elementos passíveis de racionalidade.
Exemplo
Para Tales e Anaxímenes, ambos de Mileto, a origem de tudo estava, respectivamente, na água e no ar; para
os pitagóricos, o ser de todas as coisas é o número.
Os gregos tiveram diversos sistemas de numeração, dentre os quais dois merecem destaque: o ático (ou
herodiânico) e o jônico. Ambos eram associados às letras do alfabeto grego.
Sistema de numeração ático
No sistema ático, I era usado para 1, para 5, para 10, H para 100, X para 1.000 e M para 10.000. Os
números eram compostos a partir da sobreposição destes caracteres, o que indicava uma multiplicação de
seus valores, considerando a respectiva posição. Na figura a seguir, vemos, respectivamente, os números
 e 
Números no sistema grego.
Sistema de numeração jônico
O sistema jônico ganhou popularidade a partir do século IV a.C. As letras do alfabeto grego foram divididas
em três grupos para representarem as unidades, dezenas e centenas, como podemos ver na tabela a seguir.
As letras cujos nomes aparecem escritos haviam caído em desuso no alfabeto grego, pois eram do grego
arcaico, mas foram recuperadas para a representação numérica.
Γ Δ
50(5 ⋅ 10), 500(5 ⋅ 100) 10.517(10.000+ 5 ⋅ 100 + 10 + 5 + 2)
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 34/62
Associação entre letras gregas e números
1α ' 10l ' 100p '
2β ' 20k ' 200σ '
3y ' 30λ ' 300 π '
4δ ' 40μ ' 400u '
5ε ' 50v ' 500Φ '
6c ' (stigma) 60ε ' 600x '
7ξ ' 70o ' 700ψ '
8n ' 80π ' 800ω '
9θ ' 90o ' (koppa) 900Ϡ ' (sampi)
Unidades, dezenas e centenas no sistema de numeração grego.
Podemos observar que um pequeno sinal, semelhante ao apóstrofo e colocado no alto e à direita da
sequência de símbolos, avisava que as letras precedentes eram numerais. Quando o número ultrapassava
, colocava-se outro pequeno sinal também semelhante ao apóstrofo, embaixo e à esquerda da
sequência de símbolos. Assim, por exemplo, e 62786. Nesse sistema, de base 10 e
aditivo, podiam ser representados números até um milhão sem grandes dificuldades.
Matemáticos gregos
Alguns matemáticos e seus feitos
Quando falamos em matemática grega – aliás, esta palavra é de origem grega: nuatukń – estamos nos
referindo a um conjunto de conhecimentos que abarcavam a aritmética, a geometria, a astronomia e a
mecânica (os pitagóricos trocaram a mecânica pela música). De igual modo, o matemático era aquele que
(′)
1.000
ρξx′ = 163 ξβψπc′ =
μαθ
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 35/62
pensava vários desses temas a partir do ponto de vista racional, motivo por que parece, visto de hoje, que
todos os matemáticos gregos eram, também, filósofos.
Veja a seguir uma síntese dos principais nomes e estudos feitos nessa época, uma amostra da largueza e
variedade dos estudos matemáticos do período grego.
VI a.C.
V a.C.
Tales de Mileto
Tido como o pai da geometria.
Pitágoras
Tido como o pai da aritmética.
Filolaus de Crotona
Astronomia.
Hipasus de Metapontum
Primeiro a provar a existência dos irracionais.
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 36/62
IV a.C.
Hipócrates de Quios
Quadratura das lúnulas.
Parmênides de Eleia
Primeiro a discutir que o discurso da verdade estava associado à lógica.
Zenão de Eleia
Elaboração de paradoxos.
Hípias de Élis
Geômetra
Platão
Os sentidos humanos só captam uma representação dos objetos matemáticos perfeitos que
estão no mundo das ideias.
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 37/62
Eudoxo de Cnidos
Reformulou a teoria das proporções, passando a considerar a existência dos irracionais.
Teodoro de Cirene
Pioneiro no estudo das raízes quadradas de números inteiros não quadrados.
Teeteto de Atenas
Especialista no estudo das grandezas incomensuráveis.
Arquitas de Tarento
Fundou a mecânica matemática.
Aristóteles
Nega o caráter suprassensível dos objetos matemáticos e oferece como resposta a sua
filosofia empirista da matemática.
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 38/62
III a.C. (considerado o século de ouro da matemática grega)
Menêcmo
Atribui-se a ele a descoberta das curvas elipse, parábola e hipérbole.
Autólico de Pitane
Estudou a relação entre o nascente e o poente dos corpos celestes; acredita-se que seu livro A
esfera em movimento é o mais antigo tratado matemático grego completamente preservado.
Eudemo de Rodes
Historiador da Matemática e da Geometria.
Euclides
Autor de Elementos.
Apolônio de Perga
Autor de As Cônicas.
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 39/62
II a.C. a I a.C.
Arquidemes de Siracusa
Um dos maiores físicos de todos os tempos, descobriu as leis do empuxo e da alavanca.
Eratóstenes de Cirene
Efetuou a primeira medição rigorosa do comprimento da circunferência terrestre.
Hiparco de Niceia
Precursor da trigonometria.
Teodósio de Bitínia
Autor de Esféricos, um livro sobre a geometria da esfera para os estudos de Astronomia.
Heron de Alexandria
Autor de Métrica, que versa sobre a medição de figuras simples de planos sólidos.
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 40/62
II a III
Cláudio Ptolomeu
Geógrafo e astrônomo.
Nicômano de Gerasa
Autor de um tratado sobre a teoria dos números.
Téon de Esmirna
Autor de Matemáticas para entender Platão.
Menelau de Alexandria
Primeiro a escrever a definição de triângulos esféricos.
Diofanto de Alexandria
Precursor da álgebra.
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 41/62
IV
V a VI
Papo de Alexandria
Organizou uma síntese da geometria dos séculos anteriores; descobriu vários teoremas
precursores da geometria projetiva.
Téon de Alexandria
Comentador de obras clássicas, produziu, em 390, uma versão mais elaborada de Elementos
de Euclides, que sobreviveu até os dias atuais.
Hipátia
Filha de Téon, é a primeira mulher documentada na história como sendo matemática; foi
chefe da escola platônica em Alexandria.
Proclo Lício Diadoco de Constantinopla
Escreveu comentários sobre o pensamento platônico e sobre Elementos de Euclides.
Eutócius
C t d d A lô i A i d
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 42/62
Importante destacarmos que termos como “precursor”, “autor” e “primeiro” devem ser relativizados, afinal,
essa reconstituição historiográfica foi feita a partir das fontes que chegaram até nós, as quais não dão conta
de todo o rico período grego de produção matemática e intelectual. Vamos destacar dois desses
personagens e compreender um pouco mais de perto por que foram tão brilhantes.
Tales e a altura da pirâmide
Tales e Eratóstenes
Neste vídeo, o professor apresenta a pirâmide de Tales e a circunferência da Terra, de Eratóstenes.
Tales de Mileto (624 a.C. - 548 a.C.) é considerado o primeiro pensador da história, no sentido filosófico do
verbo. Ele não se interessou muito pelos números, aplicando-se ao estudo das figuras geométricas,
Comentador de Apolônio e Arquimedes.
Anício Mânlio Torquato Severino Boécio
Último matemático da antiguidade;autor de um tratado que descrevia meticulosamente o
desenvolvimento do sistema musical da Grécia Antiga e seu modo rigoroso ao tratar das
quantidades numéricas que regiam a música.

18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 43/62
principalmente de circunferências, retas e triângulos. Foi o primeiro a considerar o ângulo como um ente
matemático e fez dele a quarta grandeza da geometria, acrescentando-a ao trio comprimento, superfície e
volume.
Tales mostrou que cada triângulo podia corresponder uma circunferência, a chamada circunferência
circunscrita, para a qual propôs uma construção geral.
Era algo totalmente novo afirmar que quaisquer três pontos não alinhados definiam,
além de um triângulo, uma circunferência.
Ainda, demonstrou que um triângulo isósceles tinha dois ângulos iguais, estabelecendo assim um forte
vínculo entre os comprimentos e os ângulos (dois lados iguais, dois ângulos iguais).
Depois de tratar das relações entre circunferências e triângulos e entre ângulos e lados, Tales abordou as
relações entre retas e circunferências. Tendo pesquisado nas obras dos primórdios da matemática grega,
estudou os três modos que a reta podia se relacionar com a circunferência (secante, externa ou tangente) e
afirmou que, para dividir a circunferência em partes iguais, a corda deveria obrigatoriamente passar pelo
centro.
Saiba Mais
Apesar de todos esses feitos, Tales é mais conhecido pelo seu teorema das proporções, de imensa
aplicabilidade até os dias de hoje. Foi por meio desse teorema que Tales conseguiu medir a altura de uma
pirâmide egípcia.
Conta-se que, em uma viagem ao Egito, Tales foi desafiado a descobrir o valor da altura da pirâmide de
Quéops, construída por volta de 2500 a.C, com base quadrada de 230 metros de lado. Tales viu no Sol o
artifício que precisava. Compenetrando-se na ideia de que ele mantinha com sua sombra a mesma relação
que a pirâmide com a sombra dela, concluiu que, no instante em que sua altura fosse igual à sua sombra,
também a altura da pirâmide seria a igual à sombra dela. No entanto, Tales estava certo de que a sombra
visível da pirâmide não era a medida real, pois sendo ela de base muito grande, uma boa parte da sombra
desta “caía” no interior dela mesma. Sabendo que a pirâmide de base quadrada tem o eixo exatamente no
centro, Tales mediu o que faltava por fora da pirâmide, isto é, metade da base. Logo, a altura era o pedaço da
sombra mais meio lado.
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 44/62
Representação do experimento de Tales para medir a altura da pirâmide.
Esse raciocínio, hoje simples, exigiu ainda outros conhecimentos e cuidados fundamentais. Baseando-se no
fato de que o Sol está suficientemente longe e que devido a isso seus raios são paralelos (o que garantia a
mesma proporção entre os corpos e suas sombras), era preciso ainda encontrar o momento exato em que a
sombra da pirâmide fosse igual à altura.
O fato é que o Sol não está sempre no mesmo lugar. Além disso, na maioria das vezes, a projeção do eixo
seria oblíqua à base, o que acarretaria um erro na medição. Apenas em um momento particular do dia a
sombra seria perpendicular à base: quando os raios do Sol também o fossem. Sabendo que a pirâmide fora
construída com uma das faces voltadas para o Sul e tendo conhecimentos de Astronomia, Geodesia e
Geografia, Tales sabia que a sombra seria igual à altura do objeto quando os raios solares estivessem
inclinados a 45o e que seria perpendicular quando o Sol estivesse no seu zênite, isto é, exatamente ao meio-
dia.
De acordo com os astrônomos, Tales só pôde ter efetuado essa medição nos dias 21 de novembro ou 20 de
janeiro para ter obtido todas essas condições. Por semelhança de triângulos, Tales determinou que a altura
era de 276,25 côvados da medida local (seu erro foi irrisório para a época, pois a pirâmide media 280
côvados, cerca de 147 metros).
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 45/62
Eratóstenes e a circunferência terrestre
De igual brilhantismo foi o experimento de Eratóstenes (276 a.C. - 194 a.C), que forneceu a primeira medição
rigorosa do comprimento da circunferência terrestre. Eratóstenes primeiro pensou que, se tomasse a
distância entre duas cidades, ela representaria um arco que seria parte de toda a circunferência terrestre.
Ao menos desde o tempo de Aristóteles já se sabia que a Terra não é plana!
Para seu experimento, Eratóstenes também contou com o auxílio do Sol. Ele escolheu realizá-lo
considerando as cidades de Siena e de Alexandria, pois sabia que, no vigésimo primeiro dia de junho,
acontecia o solstício de verão. Nessa data, precisamente ao meio-dia, o Sol brilhava dentro de um certo
poço em Siena e iluminava seu fundo sem que nenhuma sombra se projetasse em suas paredes. Entretanto,
por saber que a Terra era redonda, tinha conhecimento de que, em Alexandria, exatamente à mesma hora,
havia sombras sendo projetadas. O matemático tinha alguns conhecimentos sobre ângulos e sombras e
sabia que é possível medir o ângulo do Sol pela sombra projetada pelos objetos. Sabendo de tudo isso, no
dia e horário precisos, colocou em prática seu experimento, o qual está representado na figura a seguir.
Representação do experimento de Eratóstenes para medir a circunferência terrestre.
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 46/62
Podemos perceber que Eratóstenes também conhecia um importante resultado da geometria: que retas
paralelas cortadas por uma transversal determinam ângulos alternos internos de mesma pedida. Portanto, o
ângulo que acharia em Alexandria corresponderia ao ângulo interno à Terra, algo importante para depois
determinar o comprimento do arco que ligava Siena e Alexandria.
Ele então calculou e, para determinar , provavelmente consultou alguma tabela trigonométrica,
encontrando o ângulo de {{7,2°}}. Depois, com o auxílio dos bematistas agrimensores do rei, treinados para
caminhar com passos sempre do mesmo tamanho -, descobriu que a distância entre as cidades era de 5000
estádios (essa era uma antiga medida de comprimento, equivalente à extensão de um campo grego de
jogos esportivos). Considerando a Terra como um círculo perfeito com , para calcular o comprimento 
utilizou proporção:
A medida de um estádio podia variar levemente, mas Eratóstenes utilizou a que equivalia a 157 metros e
encontrou, para a circunferência terrestre, o comprimento de 39.250km (um erro de apenas 320km,
considerando a medida que hoje conhecemos).
tan θ = L
′
L θ
360∘ C
5.000
C
=
7, 2∘
360∘
⇒ C =
5.000 ⋅ 360∘
7, 2∘
= 250.000
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 47/62
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
A civilização grega desenvolveu uma matemática com aspectos diferentes daquelas que os
historiadores encontraram nas civilizações mesopotâmica e egípcia. Com relação aos primórdios da
matemática na civilização grega, são feitas as seguintes afirmações:
I. A vida política da Grécia teve implicações diretas no desenvolvimento da matemática grega,
sobretudo por conta do uso do pensamento racional na construção de argumentações.
II. A matemática grega é totalmente independente da mesopotâmica e da egípcia, ou seja, não guarda
nenhuma relação com elas.
III. O pensamento racional utilizado no desenvolvimento da matemática grega dialoga com a filosofia
grega que, também pelo uso da razão, se propunha a entender o princípio de tudo.
Das afirmações acima:
A Apenas I é verdadeira.
18/09/2023, 11:11 História do conhecimentomatemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 48/62
Parabéns! A alternativa D está correta.
A matemática grega é considerada a primeira a realmente utilizar o raciocínio lógico na construção de
seus elementos, compreensões e demonstrações. O pensamento lógico é característica fundamental
da civilização grega, pois os gregos foram o primeiro povo a tentar compreender a origem do mundo
desapegado do misticismo e a construir argumentos lógicos para discussões políticas.
Questão 2
Tales de Mileto é considerado o primeiro “pensador” da história, filosoficamente falando. Sobre ele, é
correto a firmar que:
B Apenas II é verdadeira.
C Apenas III é verdadeira.
D I e III são verdadeiras.
E II e III são verdadeiras.
A Foi o primeiro a considerar o ângulo como um objeto matemático.
B Desenvolveu toda a sua matemática em território grego.
C Boa parte de seus estudos foi dedicada a investigar as propriedades dos números.
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 49/62
Parabéns! A alternativa A está correta.
Uma das contribuições de Tales para a matemática grega foi considerar o ângulo com o quarto ente da
geometria, acrescentando-o ao grupo que era formado anteriormente apenas pelo comprimento,
superfície e volume.
4 - Matemática na Antiguidade clássica greco-romana
Ao �m deste módulo, você será capaz de analisar a contribuição greco-romana da Antiguidade
clássica na constituição da matemática.
D
Tales é mais conhecido pelo teorema que relaciona, para os lados de um triângulo
retângulo, o quadrado de sua hipotenusa ser igual à soma dos quadrados de seus
catetos.
E
Tales estudou a posição relativa entre reta e circunferência e demonstrou que nunca
uma reta consegue intersectar a circunferência de modo a dividi-la em partes iguais.
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 50/62
Pitágoras e sua escola
Vamos, agora, conhecer mais alguns personagens gregos fundamentais para a matemática, começando por
Pitágoras! É provável que o que sabemos a respeito dele seja, verdade, uma mistura de fatos e lendas. Não é
consenso entre os autores que ele tenha travado contato com Tales, embora se reconheça que as ideias do
matemático de Mileto o tenham influenciado.
Depois de passar pelo Egito – e, talvez, pela Mesopotâmia –, Pitágoras estabeleceu-se em Crotona, onde,
por volta de 540 a.C., fundou uma escola voltada ao estudo da filosofia, das ciências naturais e da
matemática, a qual durou 150 anos. Tal escola, que recebeu cerca de 218 discípulos, acabou por se
transformar em uma sociedade secreta com estranhos rituais que vieram a provocar grande suspeição da
parte dos crotonenses.
Saiba Mais
Apesar da abordagem místico-religiosa, pitagóricos desenvolveram notáveis estudos na matemática.
Embora Tales tenha sido o primeiro a declarar que as verdades matemáticas devem ser provadas pelo
raciocínio, acredita-se que pitagóricos foram os primeiros a produzir demonstrações razoavelmente
rigorosas e a enxergar a matemática como algo abstrato, pairando acima da realidade física.
Os pitagóricos sabiam como resolver algumas equaçóes de segundo grau por meio de construções
geométricas. Para, por exemplo, uma equação do tipo , com e representando medidas de
seguimentos de reta , as raízes e eram obtidas ao se erguer perpendicularmente ao ponto
médio de e traçar um arco, de comprimento , que intersectasse o comprimento .
x2 + b2 = ax a b
(b ≤ a2 ) x1 x2 b
a a2 a
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 51/62
Resolução geométrica de uma equação de segundo grau.
Os números para os pitagóricos não eram objetos matemáticos abstratos, e sim tinham caráter especial e
concreto. Os pitagóricos acabaram descobrindo diversas propriedades dos números, que ganharam nomes
especiais: números perfeitos (os que são iguais à soma dos seus divisores, exceto eles próprios, como o 6 e
o 28); números amigos (quando cada um é igual à soma dos divisores do outro, como acontece com o 220 e
o 284); e números figurados (quando podem ser representados por um polígono regular).
Na figura a seguir, podemos observar uma sequência de números figurados, respectivamente: triangulares,
quadrados e pentagonais.
Alguns números figurados.
Os números pitagóricos eram constituídos de uma multiplicidade de pontos que remetiam a elementos
discretos, como pedrinhas organizadas segundo determinada configuração. A partir dessa manipulação
visual, chegaram às leis de formação das sequências desses números, algo importante que marca a origem
da teoria dos números.
Sobre o famoso Teorema de Pitágoras para o triângulo retângulo, alguns historiadores apontam que ele já
era conhecido por diversos povos anteriores aos gregos e, por isso, chamá-lo de Teorema de Pitágoras seria
uma imprecisão. O que sabemos é que os pitagóricos tinham um método para determinar triplas
pitagóricas, ou seja, triplas formadas por dois números quadrados e um terceiro número quadrado que fosse
a soma dos dois primeiros. Seu enunciado era mais ou menos assim: associando um dado número ímpar ao
menor dos lados de um triângulo que formam o ângulo reto, tomamos o seu quadrado, subtraímos a
unidade e dividimos por 2, obtendo o outro lado que forma o ângulo reto; para obtermos o terceiro lado,
somamos a unidade a esse resultado.
Exemplo
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 52/62
Se o menor lado for 3, o outro lado que forma o ângulo reto será 4 (o dobro de 3 menos 1) e o terceiro lado
(a hipotenusa) será 5 (uma unidade somada ao 4).
Pitágoras via números em todas as partes: para ele, tudo o que existia podia ser traduzido em números. Foi
na música que os descobriu pela primeira vez: o intervalo de oitava podia ser expresso pela relação , o de
quinta por e o de quarta por .
Para os pitagóricos, o universo inteiro estava em harmonia, de modo que a própria ordem dos céus se
exprimia por meio de uma escala musical, a qual Pitágoras chamou cosmos. De modo geral, o projeto dos
pitagóricos era traduzir a natureza para a linguagem numérica e, ao estudarem os números em si para
realizarem esse intento, acabaram inventando a Aritmética, a ciência dos números, que diferenciaram da
Logística, que tratava do puro cálculo dos mercadores.
Platão e a Academia
A filosofia de Platão marca profundamente a história da civilização ocidental, sendo amplamente estudada
até hoje. Suas obras apresentam reflexões sobre os mais diversos assuntos, por exemplo sobre o belo, a
sabedoria, a ética, a verdade, a retórica, a política e a gestão das cidades, o amor, o conhecimento científico
etc. Ao contrário de seus predecessores pré-socráticos, que escreveram em poesia ou prosa, e de seu
mestre Sócrates que, infelizmente, não deixou nenhum escrito, Platão confiou ao diálogo a expressão e
transmissão de sua filosofia, pois esse tipo de escrita dava forma à dialética socrática e visava reproduzi-la.
Depois da morte de seu mestre Sócrates, acusado de corromper a juventude e introduzir novos deuses na
cidade de Atenas, Platão, desiludido, viajou pelo mediterrâneo e aprendeu muitas coisas com outros
filósofos e geômetras. Acredita-se que tenha conhecido os pitagóricos e aprendido, com eles, muito do que
discutiam na escola de Pitágoras. Anos depois, retornou a Atenas, onde, por volta de 386 a.C, fundou a
célebre Academia de Platão, algo parecido com as universidades que temos hoje.
Comentário
Platão reconhece a matemática como tendo um papel fundamental nesse movimento de ascese; em
especial, pensa a aritmética como o principal elemento de conversão da alma, capaz de levá-la à luz que
permitiria não mais contemplaras sombras dos objetos reais, mas a própria realidade.
Com Platão, temos a matemática sendo concebida como um conhecimento importante não pelo seu valor
prático, como era o costume até então, mas pela sua capacidade de despertar o pensamento do homem,
que deveria começar a estudá-la já na infância.
Além disso, o filósofo via nas matemáticas uma virtude formadora profunda que ajudaria a aprender as mais
diversas profissões, pois entendia que ela ajudava quem a estudava a adquirir desembaraço, memória e
1
2
2
3
3
4
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 53/62
vivacidade. Muitos estudantes não conseguiam avançar no estudo da matemática e Platão estava ciente do
fato de ser difícil aprendê-la. Para o filósofo, essa era uma característica importante que permitia fazer uma
seleção dos melhores alunos, ou seja, dos homens mais aptos a atingirem os altos postos da sociedade
grega.
Pela primeira vez (MIORIM, 1998) a matemática se colocava como um elemento fundamental para a seleção
dos melhores e a ideia de que aqueles que a compreendem são mais inteligentes – são espíritos mais
talentosos – que os demais. Infelizmente, essa distorção ainda é encontrada em nossa sociedade.
Grandes matemáticos passaram pela Academia de Platão. Dentre eles, podemos destacar Eudoxo de
Cnidos, que reformulou a teoria das proporções de modo a levar em conta a existência dos irracionais e
provou a conjectura do método de exaustão. Segundo essa conjectura, a área de um círculo pode ser
estimada por meio da área de um polígono nele inscrito, com uma quantidade muito grande de lados.
Esse método é o cerne da teoria dos limites e dos cálculos diferencial e integral,
que só seriam formulados muitos séculos depois.
A imagem a seguir explica o método de exaustão. É possível percebermos que, quanto mais lados tiver o
polígono, mais próximo o valor da sua área será do valor da circunferência.
Representação do método de exaustão.
Outro discípulo de Platão, Teeteto, descobriu o octaedro (8 faces) e o icosaedro (20 faces) que, juntos com
os sólidos anteriormente achados pelos pitagóricos – tetraedro (4 faces), cubo (6 faces) e dodecaedro (12
faces) –, completam o conjunto dos chamados poliedros de Platão.
Poliedros de Platão.
Os poliedros de Platão são poliedros convexos em que todas as faces são polígonos regulares e
congruentes e em todos os vértices encontra-se o mesmo número de arestas.
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 54/62
Biblioteca de Alexandria e os romanos
Por volta de 338 a.C., o rei Felipe II da Macedônia e seu filho Alexandre, o Grande, subjugaram a Grécia.
Depois da morte de seu pai, Alexandre conquistou o Império Persa, estendendo seu domínio e incorporando
nele o Egito. Ptolomeu I Sóter, general macedônio de Alexandre, virou sátrapa do Egito no período de 323 a.C
a 283 a.C. e, com o ideário de difundir a cultura grega, deu início à construção da Biblioteca de Alexandria:
estima-se que seu acervo de papiros tenha chegado a setecentos mil volumes, entre literários, acadêmicos e
religiosos.
Acredita-se que o filósofo Demétrio de Falermo foi o idealizador da Biblioteca de Alexandria e que, por sua
indicação, Ptolomeu I, por volta de 300 a.C., convidou Euclides para morar nela e ensinar geometria.
Convivendo com todo o saber lá disponível, Euclides escreveu Elementos, obra dividida em treze volumes
que contém a geometria plana, a teoria dos números e a geometria espacial.
Elementos e sua contribuição para a Matemática
Neste vídeo, o professor apresenta o livro Elementos e mostra, através da explicação dos Postulados do
Livro I, sua importância para a História da Matemática.
Na verdade, Euclides não pode ser tomado como autor desse livro, visto que seu trabalho foi organizar e
compilar os conhecimentos anteriores, mas também não podemos negar que provavelmente tenha
interpolado algumas informações que julgava interessantes.

18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 55/62
Papiro com trecho do Livro II, em grego.
O Livro I oferece os fundamentos básicos para o estudo de todos os tópicos da geometria, começando com
as definições de pontos, retas, círculos, polígonos, ângulos e alguns de seus elementos. Há também as
chamadas noções comuns, que são ideias facilmente compreensíveis (como, por exemplo, que duas coisas
iguais a uma terceira são iguais entre si e que o todo é maior que suas partes). Já os postulados são
verdades que não podem ser demonstradas forma axiomática; devem ser aceitos, pois no nível da razão são
bastante intuitivos.
Os cinco postulados do Livro I são:
Fique postulado traçar uma reta a partir de todo ponto até todo ponto.
Também prolongar uma reta limitada, continuamente, sobre uma reta.
E, com todo centro e distância, descrever um círculo.
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 56/62
Ao todo, Elementos contém 465 proposições, que basicamente são problemas que devem ser resolvidos
(demonstrados) apenas com o uso da régua não graduada (que representa a reta) e o compasso (que
representa o círculo). Isso demonstra que os gregos eram bastante puristas. O Livro I, sobre geometria
plana, possui 48 proposições.
Elementos é o ápice da matemática grega e da razão, pois cada uma das
proposições é um resultado generalizado, que vale para qualquer situação em que
as condições se repliquem.
Exemplo
Podemos citar a proposição I do Livro I: “sobre uma linha reta determinada descrever um triângulo
equilátero". Esse resultado é válido para um segmento de reta de qualquer comprimento e a demonstração
mostra, passo a passo, como resolver este problema.
A Biblioteca de Alexandria, infelizmente, acabou sendo destruída devido às sucessivas batalhas entre
gregos, romanos e outros povos. Posteriormente, em 642, as tropas árabes apossaram-se de Alexandria e
os papiros foram reduzidos a pó. As obras de Euclides e de outros só não foram perdidas para sempre
porque os árabes já haviam copiado muitas delas.
Com a expansão do Império Romano, que durou de 27 a.C. a 395 d.C., os romanos integraram, em sua
cultura, muitos aspectos da cultura grega, inclusive os que haviam organizado sobre a matemática. É por
isso que não ouvimos falar de uma matemática romana, mas vale a pena ressaltarmos que seu sistema de
numeração era diferente do grego, embora também usasse letras, como podemos ver a seguir:
1 = I 10 = X 100 = C 1000 = M 10000 = X
Serem iguais entre si todos os ângulos retos.
Caso uma reta, caindo sobre duas retas, faça os ângulos interiores e do mesmo lado menores
do que dois retos, sendo prolongadas as duas retas, ilimitadamente, encontrarem-se no lado
no qual estão os menores do que dois retos.
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 57/62
2 = II 20 = XX 200 = CC 2000 = MM
3 = III 30 = XXX 300 = CCC 3000 = MMM
4 = IV 40 = XL 400 = CD 4000 = MV
5 = V 50 = L 500 = D 5000 = V
6 = VI 60 = LX 600 = DC 6000 = VI
7 = VII 70 = LXX 700 = DCC 7000 = VII
8 = VIII 80 = LXXX 800 = DCCC 8000 = VIII
9 = IX 90 = XC 900 = CM 9000 = IX
Números romanos.
O sistema de numeração romano, utilizado ainda hoje, tem base decimal. Os números são gerados a partir
da soma ou subtração de seus valores, quando colocados à direita ou à esquerda das letras que os
representam.
Muitas influências da matemática greco-romana chegaram até a modernidade. Elementos, por exemplo,
tornou-se a obra mais famosa da história da matemática, sendo utilizado como livro didático no mundo todo
até o século XVII – e hoje é objeto histórico de diversas pesquisas na área da história e da educaçãomatemática.
O Postulado V do Livro I, conhecido hoje como “postulado das paralelas”, por ser o menos intuitivo, gerou
dúvidas em diversos matemáticos que, por séculos, tentaram demonstrá-lo como se fosse uma proposição.
Tantas tentativas levaram os matemáticos, no século XVII, a sistematizarem outras geometrias, chamadas
não euclidianas, como a Geometria Hiperbólica e a Geometria Esférica.
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 58/62
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Pitágoras é considerado um grande matemático e filósofo. Ele fundou a escola pitagórica, que durou
mais ou menos 150 anos e recebeu mais de 200 alunos, os quais ficaram conhecidos como
“pitagóricos”. Sobre essa escola, são feitas as seguintes afirmações:
I. Todos os conteúdos estudados eram abordados de forma estritamente racional.
II. Acredita-se que nela surgiram as primeiras demonstrações razoavelmente rigorosas.
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 59/62
III. A escola dedicava-se exclusivamente ao estudo de tópicos de matemática.
Das afirmações acima:
Parabéns! A alternativa B está correta.
Apesar de Tales ser considerado o primeiro matemático a dar primazia à razão para a elaboração de
verdades matemáticas, os historiadores acreditam que foram os pitagóricos os primeiros que
conseguiram, de uma maneira razoavelmente rigorosa, colocar isso em prática.
Questão 2
A Academia de Platão é reconhecida como a primeira universidade da civilização ocidental e, nela,
algumas ideias filosóficas discutidas apareciam associadas diretamente à matemática. Sobre a visão
de Platão acerca da matemática, são feitas as seguintes afirmações:
I. O ponto central da filosofia de Platão é o anseio por traduzir tudo o que existe em representações
geométricas.
II. A filosofia de Platão impõe uma separação bem clara entre matemática e política.
III. Para Platão, a matemática teria um papel importantíssimo para libertar o espírito humano da
ignorância.
Das afirmações acima:
A Apenas I é verdadeira.
B Apenas II é verdadeira.
C Apenas III é verdadeira.
D I e III são verdadeiras.
E II e III são verdadeiras.
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 60/62
Parabéns! A alternativa C está correta.
Platão atribui à matemática um papel fundamental no movimento de ascese; ela compreende que ela
ajudaria o homem a perceber as verdades do mundo inteligível
Considerações �nais
De todo o exposto neste conteúdo, fica fácil percebermos que a matemática é uma invenção humana, uma
aventura da construção do conhecimento, e que algumas ideias da antiguidade estão conectadas às
descobertas e aos avanços da matemática dos últimos séculos. Isso nos possibilita pensar que a
matemática é uma atividade de homens comuns, não de deuses ou de espíritos superiores e, por
conseguinte, todos podem aprendê-la – e se encantar com seus mistérios.
A Apenas I é verdadeira.
B Apenas II é verdadeira.
C Apenas III é verdadeira.
D I e III são verdadeiras.
E II e III são verdadeiras.
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 61/62
Podcast
Agora, o professor encerra abordando os pontos mais importantes do conteúdo.

Explore +
Para aprimorar os seus conhecimentos no assunto estudado:
• Assista ao vídeo produzido pela BBC A História da Matemática completo, disponível no YouTube, e sobre
aprenda mais sobre as civilizações antigas.
• Leia o livro O Teorema do Papagaio, de Denis Guedj (Editora Companhia das Letras, 1999), que apresenta,
de forma romanceada, a História da Matemática da Antiguidade aos dias atuais.
• Acesse a edição virtual do Livro I de Elementos, disponibilizada pela Universidade de Coimbra, e conheça a
estrutura da obra e as demonstrações das proposições.
• Assista a Donald no país da Matemágica, um Clássico Disney, de 1959. Ainda hoje, é uma referência à
história da matemática, para crianças e adultos.
Referências
BURNS, E. M. História da civilização ocidental: do Homem das Cavernas até a Bomba Atômica. 2. ed. Rio de
Janeiro: Globo, 1965.
18/09/2023, 11:11 História do conhecimento matemático na Antiguidade
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212hu/03455/index.html# 62/62
GARBI, G. G. A rainha das ciências. São Paulo: Livraria da Física, 2009.
MIORIM, M. A. Introdução à história da educação matemática. São Paulo: Atual, 1998.
ROQUE, T. História da matemática: uma Visão Crítica, Desfazendo Mitos e Lendas. Rio de Janeiro: Zahar,
2012.
VINAGRE, A.; LUNAZZI, J. Eratóstenes e a medida do diâmetro da Terra. Campinas: UNICAMP, 2002.
Material para download
Clique no botão abaixo para fazer o download do conteúdo completo em formato PDF.
Download material
O que você achou do conteúdo?
Relatar problema
javascript:CriaPDF()