Momento estático Aula 4

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ATIVIDADES 
 
Construa os diagramas de esforços cortantes e de momentos fletores para a 
viga: 
 
 
 
Solução 
 
Reações de apoio 
Carga Resultante Posição 
(x) 
Reação 
A 
Reação 
B 
Triangular 12 2.667 8.44 3.56 
Uniforme 30 6.500 8.33 21.67 
Concentrada 10 12.000 -3.33 13.33 
Total 52 13.44 38.56 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
Diagrama de esforços cortantes 
 
 
 
Trecho inicial: 
 
A carga total de 12kN faz com que o diagrama, iniciado com o valor positivo de 
13,44 (reação do apoio A), fique com o valor de 1,4 em x=4m, final do trecho 
analisado. 
 
A variação no trecho é parabólica pela natureza da carga imposta. 
 
Vamos construir a equação do trecho (x entre 0 e 4 m). 
𝑉(𝑥) = 13,44 − 1,5 𝑥 .
𝑥
2
 
 
 
𝑽(𝒙) = 𝟏𝟑, 𝟒𝟒 − 𝟎, 𝟕𝟓 𝒙𝟐 (daí a forma parabólica). 
 
Trecho central: 
 
A carga total de 30kN faz com que o diagrama, iniciado com o valor positivo de 
1,4 (x=4m), fique com o valor de -28,6 em x=9m (apoio B), final do trecho 
analisado. 
 
A variação no trecho é linear pela natureza da carga imposta. 
 
Vamos construir a equação do trecho (x entre 4 e 9m). 
 
 
 
 
 3 
𝑽(𝒙) = 13,44 − 12 − 6 (𝑥 − 4) = 𝟐𝟓, 𝟒𝟒 − 𝟔𝒙 (daí a forma linear). 
 
A aplicação da reação do apoio B em x=9m, leva o valor do diagrama de esforços 
cortantes de -28,56kN para -28,56+38,56 = 10kN. 
 
Trecho em balanço: 
 
O trecho em balanço, que inicia com valor positivo de 10kN permanece com esse 
valor até o final pela ausência de carregamento. No final, a carga concentrada de 
10kN aplicada na ponta do balanço “fecha” o diagrama. 
 
Diagrama de momentos fletores: 
 
 
O momento negativo pode ser obtido imediatamente, bastando, para isso, 
multiplicar a carga de 10kN pelo comprimento do balanço que é de 3m, dando um 
total de 30kNm. 
 
O diagrama do trecho inicial pode ser representado pela equação: 
𝑀(𝑥) = 13,44 𝑥 − 1,5 𝑥 .
𝑥
2
 .
𝑥
3
 
 
Onde: 
 1,5 x é o valor da carga em x; 
 x é a extensão da carga; 
 A divisão por 2 é porque a carga é triangular (representa a totalidade da carga 
entre 0 e x, para valores de x entre 0 e 4). 
 
 
 
 
 4 
Essa resultante deve ser multiplicada por um terço de x para se obter o momento 
devido ao carregamento em x, originando a seguinte expressão (válida para valores 
de x entre 0 e 4): 
𝑴(𝒙) = 𝟏𝟑, 𝟒𝟒 𝒙 − 
𝒙𝟑
𝟒
 
 
Com isso, em x=4 M(x), vale 𝟏𝟑, 𝟒𝟒 . 𝟒 − 
𝟒𝟑
𝟒
 = 37,76kNm. 
 
No segundo trecho, entre 4 e 9m, a função que representa a variação de momento 
deve ser construída da seguinte forma: 
 
𝑀(𝑥) = 13,44 𝑥 −
6 . 4
2
 . (𝑥 − 
2 . 4
3
 ) − 6 . (𝑥 − 4)(
𝑥 − 4
2
) 
 
𝑀(𝑥) = 13,44 𝑥 − 12 . (𝑥 − 
8
3
 ) − 3 . (𝑥 − 4)(𝑥 − 4) 
𝑀(𝑥) = 13,44 𝑥 − 12 𝑥 + 32 − 3 . (𝑥2 − 8𝑥 + 16) 
𝑀(𝑥) = 13,44 𝑥 − 12 𝑥 + 32 − 3𝑥2 + 24𝑥 − 48 
𝑴(𝒙) = −𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝟓, 𝟒𝟒 𝒙 − 𝟏𝟔 
 
 
Aplicando x=9, temos o valor de -30, como esperado. 
 
O momento fletor máximo é um valor muito importante para projeto. Ele ocorre 
no ponto de esforço cortante nulo. 
 
Também podemos obter esse valor derivando a função M(x) e igualando a zero. 
𝑀´(𝑥) = −6𝑥 + 25,44 = 0 
 
Com isso, x vale 25,44 sobre 6 que é 4,24m. 
 
Para sabermos o valor, podemos calcular a área do diagrama de esforços cortantes 
de 0 a 4,24 ou simplesmente aplicar x=4,24 em M(x). 
 
 
 
 5 
 
𝑴(𝟒, 𝟐𝟒) = −𝟑 . 𝟒, 𝟐𝟒𝟐 + 𝟐𝟓, 𝟒𝟒 . 𝟒, 𝟐𝟒 − 𝟏𝟔 
𝑴(𝟒, 𝟐𝟒) = 𝟑𝟕, 𝟗 𝒌𝑵𝒎 
 
Observação: 
Os diagramas apresentados foram criados com o programa FTool, que apresenta 
os valores com 1 casa decimal.