Questão resolvida - Considere a função f R-R definida por f(x)(x3)(x-x-2), para cada x R. Determine, aproximadamente, a área da região limitada pelo gráfico da função y f (x), o eixo 0x e as retas ...

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Considere a função definida por: , para cada x ∊ R. f : R R→ f x =( )
x + 3
x² - x - 2
Determine, aproximadamente, a área da região limitada pelo gráfico da função 
, o eixo e as retas e .y = f x( ) 0x x = 3 x = 5
 
Escolha uma opção:
 
○ a. 2, 43 u. a.
 
○ b. 0, 87 u. a.
 
○ c. 1, 56 u. a.
 
○ d. 0, 64 u. a.
 
○ e. 0, 28 u. a.
 
Resolução:
 
Primeiro, vamos resolver a equaçãodo 2° do denominador, isso possibilitará sua fatoração;
 
x² - x - 2 = 0
 
x = x' = = = = = 2
- -1 ±
2 ⋅ 1
( ) -1 - 4 ⋅ 1 ⋅ -2( )2 ( )
→
1 +
2
1 + 8 1 +
2
9 1 + 3
2
4
2
 
 x" = = = = = - 1
1 -
2
1 + 8 1 -
2
9 1 - 3
2
-2
2
 
Com isso, podemos fatorar a expressão do denominador;
 
f x = =( )
x + 3
x² - x - 2
x + 3
x - 2 x + 1( )( )
 
O domínio da função é conjunto dos reais, menos 2 e -1; como os limtes de integração da 
área a ser encontrada não está neste intervalo, podemos escrever que a área da região é 
dada pela integral;
 
 
 
A = dx
5
3
∫ x + 3
x - 2 x + 1( )( )
 
Essa integral é resolvida usando a técnica de frações parciais, vamos resolver a integral, 
primeiro, em sua forma indefinida;
 
dx, usando a técnica de frações parcias, temos que;∫ x + 3
x - 2 x + 1( )( )
 
= + = =
x + 3
x - 2 x + 1( )( )
A
x- 2
B
x + 1
A x + 1 + B x - 2
x - 2 x + 1
( ) ( )
( )( )
Ax + A + Bx - 2B
x - 2 x + 1( )( )
 
= x + 3 = x A + B + A- 2B
x + 3
x - 2 x + 1( )( )
Ax + Bx + A- 2B
x - 2 x + 1( )( )
→ ( ) ( )
 
Logo, temos o sistema de equações;
 
A + B = 1
A- 2B = 3
 
Multiplicando a equação de cima por 2 e somando com a equação de baixo, fica;
 
Como , então B é;A =
5
3
A- 2B = 3 - 2B = 3 -2B = 3 - -2B = -2B = B = B = -→
5
3
→
5
3
→
9 - 5
3
→
4
3
→
4
-2 ⋅ 3
→
2
3
 
Com isso, podemos reescrever a expressão como:
 
= + = -
x + 3
x - 2 x + 1( )( ) x - 2
5
3
-
x + 1
2
3
→
x + 3
x - 2 x + 1( )( )
5
3 x - 2( )
2
3 x + 1( )
 
 
 
 2A + 2B = 2
 A- 2B = 3
3A = 5 A =→
5
3
Assim, também, podemos reescrever a integral como;
 
dx = dx - dx∫ x + 3
x - 2 x + 1( )( )
∫ 5
3 x - 2( )
∫ 2
3 x + 1( )
 
Tirando as constantes, temos;
 
dx + dx = dx - dx∫ 2
3 x - 2( )
∫ 5
3 x + 1( )
5
3
∫ 1
x - 2
2
3
∫ 1
x + 1
 
Agora, vamos resolver as 2 intgerais que apareceram, separadamente;
 
1° )
 
dx, u = x - 2 du = dx dx = du = ln|u| = ln|x - 2|
5
3
∫ 1
x - 2
→ →
5
3
∫ 1
x - 2
5
3
∫1
u
5
3
5
3
 
2° )
 
- dx; u = x + 1 du = dx - dx = - du = - ln|u| = - ln|x + 1|
2
3
∫ 1
x + 1
→ →
2
3
∫ 1
x + 1
2
3
∫1
u
2
3
2
3
 
Finalmente, a solução da integral em sua forma indefinida é;
 
dx = ln|x - 2| - ln|x + 1| + c∫ x + 3
x - 2 x + 1( )( )
5
3
2
3
 
Voltando para a integral em sua forma definida, fica;
 
A = dx = ln|x-2|- ln|x+ 1| = ln|5-2|- ln|5 + 1|- ln|3-2|- ln|3 + 1|
5
3
∫ x+ 3
x-2 x+ 1( )( )
5
3
2
3
5
3
5
3
2
3
5
3
2
3
 
A = ln|3|- ln|6|- ln|1|- ln|4| A = ln|3 |- ln|6 |- ⋅0 + ln|4 | = ln5
3
2
3
5
3
2
3
→
5
3
2
3
5
3
2
3
3 ⋅4
6
5
3
2
3
2
3
 
A ≅ 1, 56 u. a.
 
 
(Resposta )