Apostila Para FATESG MATEMATICA BÁSICA

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MATEMÁTICA BÁSICA 
NIVELAMENTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Mestre Diogo Freire 
Goiânia, 2022 
2 
 
 
 
Sumário 
CAPÍTULO 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS: NÚMEROS NATURAIS E INTEIROS ............................................. 3 
CAPÍTULO 02 – CONJUNTOS NUMÉRICOS:NÚMEROS RACIONAIS ............................................................. 15 
CAPÍTULO 03 – POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO E NOTAÇÃO CIENTÍFICA ....................................................... 24 
CAPÍTULO 04 – PRODUTOS NOTÁVEIS ........................................................................................................ 35 
CAPÍTULO 05 – FATORAÇÃO ........................................................................................................................ 40 
CAPÍTULO 06 – EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU ........................................................................................ 45 
CAPÍTULO 07 – SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU COM DUAS INCÓGNITAS ......................... 50 
CAPÍTULO 08 – EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU ........................................................................................ 54 
CAPÍTULO 09 – PROPORCIONALIDADE ........................................................................................................ 60 
CAPÍTULO 10 – REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA ............................................................................. 65 
CAPÍTULO 11 – PORCENTAGEM .................................................................................................................. 69 
CAPÍTULO 12 – ÂNGULOS ............................................................................................................................ 74 
CAPÍTULO 13 – POLÍGONOS ........................................................................................................................ 81 
CAPÍTULO 14 – TRIÂNGULOS ....................................................................................................................... 87 
CAPÍTULO 15 – QUADRILÁTEROS .............................................................................................................. 106 
CAPÍTULO 16 – CIRCUNFERÊNCIA ............................................................................................................. 118 
CAPÍTULO 17 – TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO ................................................................................... 128 
 
 
 
3 
 
CAPÍTULO 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS: NÚMEROS NATURAIS E 
INTEIROS 
 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
N → Naturais 
São todos os números inteiros não negativos. 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} 
Não há números naturais negativos. 
 
Z → Inteiros 
São todos os números naturais e seus opostos. 
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} 
 
Q → Racionais 
São todas as decimais exatas ou periódicas diferente de zero. Em suma, é todo número que pode ser escrito 
por meio de fração com numerador e denominador inteiro. 
Q = {..., 
4
3−
, 
2
1
, ...} 
 
I → Irracionais 
São todas as decimais não exatas e não periódicas. Em suma, é todo número que não poder ser escrito por meio 
de uma fração com numerador e denominador inteiro. 
I = {..., 2 ,  , e, ...} 
 
R → Reais 
É a união de todos os conjuntos numéricos,  todo número, seja N, Z, Q ou I é um número R (real). 
Obs.: Só não são reais as raízes em que o radicando seja negativo e o índice par 
 
Esta figura representa a classe dos números. 
 
 
NÚMEROS NATURAIS 
 
OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM NÚMEROS NATURAIS 
 
Adição: é a operação que permite determinar o número de elementos da união de dois ou mais conjuntos: 
 
 
Subtração: É a operação que permite determinar a diferença entre dois números naturais: 
 
4 
 
 
 
Multiplicação: A multiplicação é muitas vezes definida como uma adição de parcelas iguais: 
 
 
 
Divisão: É a operação que permite determinar o quociente entre dois números. A divisão é a operação inversa 
da multiplicação. 
 
 
Na verdade, um número pode ser escrito como sendo: 
 
𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 (𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒆𝒏𝒅𝒐) = 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒐𝒓 ∙ 𝒒𝒖𝒐𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 + 𝒓𝒆𝒔𝒕𝒐 
 
No caso do número 4051, teríamos: 
 
4051 = 8 ∙ 506 + 3 
 
MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO 
 
Múltiplo de um número natural é o produto desse número por um outro número natural qualquer. 
Exemplos: 
M (2) {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...} 
M (5) {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...} 
Observações: 
· Zero é múltiplo de todos os números. 
· Qualquer número natural é múltiplo de si mesmo. 
· O conjunto de múltiplos de um número é infinito. 
 
DIVISORES DE UM NÚMERO 
 
Um número é divisor de outro quando está contido neste outro certo número de vezes. Um número pode ter 
mais de um divisor. 
Por Exemplo, os divisores do número 12 são: 1, 2, 3, 4, 6, e 12. 
O conjunto dos divisores de 12 representamos assim: 
 
5 
 
D (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 
 
Se um número é múltiplo de outro, ele e "divisível" por este outro. 
 
Observações: 
· Zero não é divisor de nenhum número. 
· Um é divisor de todos os números. 
 
NÚMEROS PRIMOS 
 
São números que possuem apenas dois divisores: 1 e ele mesmo. 
Os menores números primos que conhecemos são 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... 
 
Número de divisores: Seja um número n cuja decomposição em números primos é 𝑝1
𝛼1 ∙ 𝑝2
𝛼2 ∙ … ∙ 𝑝𝑛
𝛼𝑛 . O 
número de divisores inteiros positivos desse número é calculo por meio da expressão: 
 
(𝛼1 + 1) ∙ (𝛼2 + 1) ∙ … ∙ (𝛼𝑛 + 1) 
 
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE 
 
Sem efetuarmos a divisão podemos verificar se um número é divisível por outro. Basta saber alguns critérios de 
divisibilidade: 
 
Por 2: Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6, ou 8. Ou seja, quando ele é par. Exemplo: 14, 
356, ... 
 
Por 3: Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3. 
Exemplo: 252 é divisível por 3 porque 2 + 5 + 2 = 9 e 9 é múltiplo de 3. 
 
Por 4: Um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismos forem 0 ou formarem um número divisível 
por 4. 
Exemplo: 500, 732, 812 
 
Por 5: Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5. Exemplo: 780, 935 
 
Por 6: Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3. Exemplo: 312, 732 
 
Por 9: Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9. 
Exemplo: 2.538, 7.560 
 
Por 10: Um número é divisível por 10 quando termina em zero. Exemplo: 1.870, 540, 6.000 
 
M.M.C. (mínimo múltiplo comum) e M.D.C. (máximo divisor comum) 
 
6 
 
Chama-se Mínimo Múltiplo Comum de dois ou mais números ao menor dos múltiplos comuns a esses números 
e que seja diferente de zero. 
Chama-se Máximo Divisor Comum de dois ou mais números ao maior número que divide simultaneamente 
estes números. 
 
OBS: Dizemos que dois ou mais números são primos entre si quando seu m.d.c. for igual a 1. 
 
NÚMEROS INTEIROS 
 
Números opostos: Dois números são opostos quando possuem a mesma distância até o zero. Exemplo: +7 e -
7; -100 e + 100. 
 
Valor Absoluto ou módulo: é a distância do número até o zero. Exemplo: |9| = 9 𝑒 |−25| = 25. 
 
OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM NÚMEROS INTEIROS 
 
Soma e subtração algébrica: 
 
Sinais iguais: Soma-se os valores absolutos e dá-se o sinal comum. 
Sinais diferentes: Subtraem-se os valores absolutos e dá-se o sinal do maior. Exemplos: 
 
a) 2 + 4 = 6 
b) – 2 – 4 = – 6 
c) 5 – 3 = 2 
d) – 5 + 3 = – 2 
e) 2 + 3 – 1 – 2 = 5 – 3 = 2 
f) – 1 – 3 + 2 – 4 + 21 – 5 – 32 = 23 – 45 = – 22 
 
Multiplicação e divisão algébrica: 
 
Sinais iguais → resposta positiva 
Sinais diferentes → resposta negativa 
 
 
𝑎) 12 ∙ 3 = 36 
𝑏) (−12) ∙ (−3) = 36 
𝑐) 2 ∙ (−2) = −4 
𝑑)(−2) ∙ 3 = −6 
𝑒) 
48
2
= 24 
𝑓)
−12
4
= −3 
𝑔) 
−36
−9
= 4 
 
EXPRESSÕES NUMÉRICAS ENVOLVENDO NÚMEROS INTEIROS E AS QUATRO OPERAÇÕES 
7 
 
 
Para resolver expressões numéricas realizamos primeiro as operações de multiplicaçãoe divisão, na ordem em 
que estas estiverem indicadas, e depois adições e subtrações. Em expressões que aparecem sinais de reunião: 
(), parênteses, [], colchetes e {}, chaves, efetuam-se as operações eliminando-se, na ordem: parênteses, 
colchetes e chaves, isto é, dos sinais interiores para os exteriores. Quando à frente do sinal da reunião eliminado 
estiver o sinal negativo, trocam-se todos os sinais dos termos internos. Exemplo: 
 
a) 2 + [ 2 – ( 3 + 2 ) – 1 ] = 
b) 2 + { 3 – [ 1 + ( 2 – 5 + 4 ) ] + 8 } = 
c) { 2 – [ 3 ∙ 4 : 2 – 2 ( 3 – 1 ) ] } + 1 = 
 
EXERCÍCIOS 
01) Arme e efetue as operações. 
 
a) 8 337 + 2 791 
b) 7 594 + 5 872 
c) 275 103 + 94 924 
d) 8 649 + 7 514 + 3 211 
e) 2 620 – 945 
f) 7 000 – 1 096 
g) 11 011 – 7 997 
h) 140 926 – 78 016 
i) 153 x 7 
j) 1 007 x 9 
k) 758 x 46 
 l) 1 782 x 240 
m) 7 650 ÷ 3 
n) 11 376 ÷ 2 
o) 4 416 ÷ 6 
p) 2 397 ÷ 17
 
02) Efetue: 
 
a) 2 + 3 – 1 = 
b) – 2 – 5 + 8 = 
c) – 1 – 3 – 8 + 2 – 5 = 
d) 2 * (-3) = 
e) (-2) * (-5) = 
f) (-10) * (-1) = 
g) (-1) * (-1) * (-2) = 
h) 
2
4
−
 = 
i) 
2
8−
 = 
j) 
5
20
−
−
 = 
k) 
2
)1(*)4(
−
−−
 = 
l) 
1
7) - (2 * 5) - 3 1(
−
+−
 = 
m) 
1
3) -5 * 2 - 4 * 3 2(
−
+
 = 
n) 1 } ] 2 ) 3 : 2 * 3 ( 4 - 2 [ 2 - 2 { 2 ++ = 
o) } ) 5 - ( 2 )] 58 - ( : ) 3 3 - ( [ 20 - { - 8 ++ = 
 
03) Identifique a operação que deve ser utilizada e resolva cada problema. 
 
a) Uma escola funciona em dois turnos. No turno matutino há 1 407 alunos e no turno vespertino há 1 
825 alunos. Quantos alunos estudam nessa escola? 
 
b) De acordo com o censo realizado em 1991, o estado da Paraíba tem 1 546 042 homens e 1 654 578 
mulheres. Qual é a população da Paraíba segundo esse censo? 
 
c) Um avião pode transportar 295 passageiros. Em determinado voo, o avião está transportando 209 
passageiros. Quantas poltronas desse avião não estão ocupadas? 
 
8 
 
d) À vista um automóvel custa R$ 26.454. À prazo o mesmo automóvel custa R$ 38.392. A diferença entre 
o preço cobrado é chamado de juros. Qual é a quantia que pagará de juros? 
 
e) De acordo com o Censo de 1980, a população de uma cidade era de 79 412 habitantes. Feito o Censo 
em 1991, verificou-se que a população dessa cidade passou a ser de 94 070 habitantes. Qual foi o aumento 
da população dessa cidade nesse período de tempo? 
 
f) Com 12 prestações mensais iguais de 325 reais posso comprar uma moto. Quanto vou pagar por essa 
moto? 
 
g) Um carro bem regulado percorre 12 quilômetros com um litro de gasolina. Se numa viagem foram 
consumidos 46 litros, qual a distância em quilômetros que o carro percorreu? 
 
h) Em um teatro há 18 fileiras de poltronas. Em cada fileira foram colocadas 26 poltronas. Quantas 
poltronas há nesse teatro? 
 
i) Em um teatro há 126 poltronas distribuídas igualmente em 9 fileiras. Quantas poltronas foram colocadas 
em cada fileira? 
 
j) Quantos garrafões de 5 litros são necessários para engarrafar 315 litros de vinho? 
 
04) Quais são os 6 primeiros múltiplos de: 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7 f) 10 
g) 11 h) 12 i) 15 j) 20 k) 100 l) 25 
 
05) Calcule o M.M.C dos seguintes números: 
a) 4, 6 b) 2, 4 c) 3, 9 d) 4, 10 e) 6, 12, 15 
f) 6, 15, 18 g) 8, 12, 20 h) 9, 15, 27 i) 12, 16, 24 j) 12, 15, 21 
k) 20, 25, 40 l) 16, 32, 48 m) 12, 32, 48 n) 15, 25, 40 o) 24, 30, 45 
p) 25, 50 q) 32, 48, 64 r) 30, 45, 60 s) 6, 12, 18, 30 t) 35, 50, 70, 100 
 
06) Determine todos os divisores naturais de: 
a) 100 b) 250 c) 512 d) 20 e) 32 f) 155 g) 640 
h) 34 i) 68 j) 460 
 
07) Calcule o M.D.C. entre os seguintes números naturais: 
a) 16, 18 b) 15, 20 c) 14, 21 d) 35, 45 e) 50, 60 
f) 14, 28, 35 g) 24, 30, 32 h) 56, 64, 72 i) 56, 66, 76 j) 100, 108, 120 
k) 125, 250 l) 128, 256 m) 81, 243 n) 250, 350, 400 o) 24, 48, 96, 144 
p) 25, 150, 300 q) 40, 60, 80 r) 36, 84, 108 s) 18, 36, 48, 96 
 
08) Determine o maior elemento do conjunto A = {x ∈ IN| x < 5000} que é divisível por 7. 
9 
 
 
09) Decompondo 240 em fatores primos obtém-se 2𝑥 ∙ 3𝑦 ∙ 5𝑧. Determine o valor de x + y + z 
 
10) Duas tábuas devem ser cortadas em pedaços de mesmo comprimento e tamanho maior possível. Se 
uma delas tem 196cm e a outra tem 140cm, determine a medida de cada pedaço e o número de pedaços 
obtidos após essa operação 
 
11) Um colecionador possui um número de moedas antigas compreendido entre 150 e 200. Agrupando-
as de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 36 em 36, sempre sobram 10 moedas. Determine o número de moedas 
desse colecionador. 
 
12) Se o m.d.c. (a, 120) = 24 e m.m.c. (a, 120) = 480, determine o valor do número a. 
 
QUESTÕES DE VESTIBULAR 
 
01) (MACK SP) O número natural 8.5k tem 24 divisores positivos. O valor de k é: 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
 
02) (UnB DF) Dois números positivos, a e b, têm produto igual a 525. Sabendo que a divisão de a por x 
tem quociente 4 e resto 1 e que a divisão de b por x + 1 tem também quociente 4 e resto 1, calcule o 
valor de a + b. 
 
03) (FGV) Pedro tirou menos de uma centena de fotos da festa em comemoração ao seu aniversário e 
quer colocá-las todas num álbum de 20 páginas. Em cada página desse álbum cabem, no máximo, 10 
fotos. Inicialmente, Pedro tentou colocar 6 fotos em cada página. Ao final, depois de preenchidas 
algumas páginas do álbum, ficou sobrando uma foto. Em nova tentativa, dispôs 7 fotos por página e 
ainda assim sobrou uma foto. Finalmente, Pedro conseguiu colocar todas as fotos, de modo que cada 
página contivesse o mesmo número de fotos. Quantas páginas do álbum Pedro preencheu? 
a) 9 
b) 17 
c) 18 
d) 19 
e) 20 
 
04) (UEL PR) Considere dois números inteiros, a e b, consecutivos e positivos. Qual das expressões abaixo 
corresponde necessariamente a um número par? 
a) a + b 
10 
 
b) 1 + ab 
c) 2 + a + b 
d) 2a + b 
e) 1 + a + b 
 
05) (UERJ) Ao analisar as notas fiscais de uma firma, o auditor deparou-se com a seguinte situação: 
Quantidade Mercadoria Preço Unitário(R$) Total(R$) 
Metros Cetim 21,00 56,00 
 
Não era possível ver o número de metros vendidos, mas sabia-se que era um número inteiro. No valor 
total, só apareciam os dois últimos dos três algarismos da parte inteira. Com as informações acima, o 
auditor concluiu que a quantidade de cetim, em metros, declarada nessa nota foi: 
a) 16 
b) 26 
c) 36 
d) 46 
 
06) (UERJ) O número de fitas de vídeo que Marcela possui está compreendido entre 100 e 150. 
Grupando-as de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 20, sempre resta uma fita. A soma dos três 
algarismos do número total de fitas que ela possui é igual a: 
a) 3 
b) 4 
c) 6 
d) 8 
 
07) (FMTM MG) XYZ4 e X4YZ representam dois números inteiros positivos de quatro algarismos. Se X4YZ 
excede XYZ4 em 288 unidades, então Z–Y é igual a 
a) –3. 
b) –1. 
c) 1. 
d) 3. 
e) 5. 
 
08) (FUVEST SP) Um número natural N tem três algarismos. Quando dele subtraímos 396 resulta o número 
que é obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N. Se, além disso, a soma do algarismo das 
centenas e do algarismo das unidades de N é igual a 8, então o algarismo das centenas de N é 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 8 
 
11 
 
09) (FCChagas SP) Sejam os números A = 23 . 32 . 5 e B = 2 . 33 . 52. O MDC e o MMC entre A e B valem, 
respectivamente: 
a) 2 . 32 . 5 e 23 . 33 . 52 
b) 2 . 52 . 52 e 22 . 32 . 5 
c) 2 . 3 . 5 e 23 . 33 . 52 
d) 22 . 32 . 5 e 2 . 32 . 5 
e) 23 . 32 . 52 e 2 . 33 . 52 
 
 
10) (UNIFOR CE) O esquema abaixo representa a multiplicação de dois números inteiros, onde alguns 
algarismos foram substituídos pelas letras A, B e C. 
 
 
 
Para que o resultado obtido esteja correto, A, B e C devem ser tais que A + B + C é igual a: 
a) 12 
b) 14 
c) 16 
d) 17 
e) 19 
 
11) (UFLA MG) Os computadorestrabalham com números na base 2 por uma série de fatores. Nessa base, 
os resultados da soma e do produto (110101) (1100101) + e (111)(101)  são, respectivamente, 
a) (11111110), (11101) 
b) (1000011), (100001) 
c) (10101010), (101010) 
d) (10011010), (100011) 
e) (11100011), (111000) 
 
12) (UFPI) O algarismo das unidades do número 3 x 5 x 87 x 114 x 213 x 311 é: 
a) 8 
b) 5 
c) 3 
d) 1 
e) 0 
 
13) (UESC BA) Quando “Pinóquio” diz uma mentira, o comprimento do seu nariz aumenta 10cm e quando 
diz uma verdade, diminui 5cm. Após fazer as três afirmações sobre números naturais x, y e z quaisquer, 
12 
 
 
· se y.z é um múltiplo de x, então y ou z é múltiplo de x, 
· se x só é divisível por 1 e por x, então x é um número primo, 
· se y + z e y são múltiplos de x, então z é múltiplo de x, 
 
O comprimento do nariz de Pinóquio ficou 
 
01. aumentado de 30cm. 
02. reduzido de 10cm. 
03. com o mesmo comprimento que já tinha. 
04. aumentado de 15cm. 
05. reduzido de 15cm. 
 
14) (FATEC SP) Na multiplicação a seguir, as letras x, y, z, t e u representam algarismos desconhecidos. 
 
36u175
7
tz6yx
 
 
O valor da soma x + y + z + t + u é 
 
a)17 b)18 c) 19 d) 20 e) 21. 
 
15) (PUC MG) Uma praça retangular, de 110m de comprimento por 66m de largura, é contornada por 
fileiras de palmeiras igualmente espaçadas. A distância entre uma palmeira e a seguinte é a mesma e a 
maior possível. Se em cada vértice da praça existe uma palmeira, o número total de palmeiras 
contornando a praça é: 
 
a) 16 
b) 18 
c) 22 
d) 24 
 
16) (UECE)Dois relógios tocam uma música periodicamente, um deles a cada 60 segundos e o outro a cada 
62 segundos. Se ambos tocaram (simultaneamente) às 10 horas, que horas estarão marcando os relógios 
quando voltarem a tocar juntos (simultaneamente) pela primeira vez após as 10 horas? 
a) 10 horas e 31 minutos 
b) 11 horas e 02 minutos 
c) 13 horas e 30 minutos 
d) 17 horas 
 
13 
 
17) (UFG GO) Seja N = 0,1,2,... o conjunto dos números naturais e sejam n e m elementos de N. Pode-
se dizer que: 
01. se n for ímpar e m for par, m + n será ímpar; 
02. se n e m forem ímpares, n + m será par; 
04. se n2 é ímpar então n é ímpar; 
08. se n2 é múltiplo de 9 então n também é; 
16. se n é múltiplo de m e m  0, então o máximo divisor comum de n e m é igual a n; 
32. se n é primo e m não é múltiplo de n, então o mínimo múltiplo comum de m e n é igual ao produto 
m.n 
 
18) (UNIFESP SP) Entre os primeiros mil números inteiros positivos, quantos são divisíveis pelos 
números 2, 3, 4 e 5? 
a)60 
b)30 
c)20 
d)16 
e)15 
 
19) (FGV ) O número natural representado por x possui todos os algarismos iguais a 2, e o número natural 
representado por y possui todos os algarismos iguais a 1. Sabe-se que x possui 2n algarismos, e que y 
possui n algarismos, com n sendo um inteiro positivo. 
Nas condições dadas, a soma dos algarismos do resultado de x – y é igual a 
 
a) 4n – 1. 
b) n. 
c) 2n. 
d) 3n. 
e) 2n – 1. 
 
GABARITO: 
 
EXERCÍCIOS 
01) a) 11 128 b) 13 466 c) 370 027 d) 19 374 e) 1 675 f) 5 904 
g) 3 014 h) 62 910 i) 1 071 j) 9 063 k) 34 868 l) 427 680 
m) 2 550 n) 5 688 o) 736 p) 141 
02) a) 4 b) 1 c) -15 d) -6 e) 10 f) 10 
g) -2 h) -2 i) -4 j) 4 k) -2 l) -15 
m) -1 n) 21 o) 18 
03) a) adição, 3 232 alunos b) adição, 3 200 620 habitantes c) subtração, 86 poltronas 
d) subtração, R$ 11 938 e) subtração, 14 658 habitantes f) multiplicação, R$ 3 900 
g) multiplicação, 552 km h) Multiplicação, 468 poltronas i) divisão, 14 poltronas 
j) divisão, 63 garrafões 
04) a) M(2) = 0, 2, 4, 6, 8 e 10. b) M(3) = 0, 3, 6, 9, 12 e 15. 
c) M(4) = 0, 4, 8, 12, 16 e 20. c) M(5) = 0, 5, 10, 15, 20 e 25 
14 
 
d) M(7) = 0, 7, 14, 21, 28 e 35. e) M(10) = 0, 10, 20, 30, 40 e 50. 
f) M(11) = 0, 11, 22, 33, 44 e 55. g) M(12) = 0, 12, 24, 36, 48 e 60. 
05) a) 12 b) 4 c) 9 d) 20 e) 60 f) 90 
g) 120 h) 135 i) 48 j) 210 k) 200 l)96 
m) 96 n) 600 o) 360 p) 50 q) 192 r) 180 
s) 180 t) 700 
06) a) D(100) = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100} 
b) D(250) = {1,2, 5,10,25, 50,125, 250} 
c) D(512) = {1, 2, 4,8,16,32, 64, 128, 256, 512} 
d) D(20) = {1, 2, 4,5, 10, 20} 
e) D(32) = {1, 2,4,8,16,32} 
f) D(155) = {1,5, 31, 155} 
g) D(640) = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 64, 80, 128, 160, 320, 640} 
h) D(34) = {1, 2, 17,34} 
i) D(68) = {1, 2, 4, 17, 34, 68} 
j) D(460) = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 23, 46, 92, 115, 230, 460} 
07) a) 2 b) 5 c) 7 d) 5 e) 10 f) 7 
g) 2 h) 8 i) 2 j) 4 k) 125 l) 128 
m) 81 n) 50 o) 24 p) 25 q) 20 r) 12 
s) 6 
08) 4 998 09) 6 10) 12 pedaços de 28 cm 11) 190 12) 96 
 
QUESTÕES DE VESTIBULAR 
 
01) C 
02) 46 
03) B 
04) E 
05) C 
06) B 
07) C 
08) C 
09) A 
10) E 
11) D 
12) E 
13) 03 
14) D 
15) A 
16) A 
17) VVVFFV 
18) D 
19) D 
 
15 
 
CAPÍTULO 02 – CONJUNTOS NUMÉRICOS:NÚMEROS RACIONAIS 
 
NÚMEROS RACIONAIS 
 
FRAÇÕES 
 
Fração é um quociente indicado onde o dividendo é o numerador e o divisor é o denominador. 
 
Fração própria: numerador menor que o denominador. 
Exemplos: 
1
5
; 
−3
7
; 
7
12
 
 
Fração imprópria: numerador maior que o denominador. 
Exemplos: 
8
5
; 
−23
7
; 
17
12
 
 
Fração mista: formada por uma parte inteira e uma fração própria. 
Exemplos: 3
1
5
; −4
3
7
; 2
7
12
 
 
Frações equivalentes: possuem representação numérica diferentes, mas indicam a mesma quantidade. 
Exemplo: 
1
2
=
2
4
=
30
60
 
 
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 
 
Soma algébrica de frações: Reduzem-se ao menor denominador comum e somam-se algebricamente os 
numeradores. 
Exemplos: 
1
2
+
1
3
= 
1
2
+
5
6
−
2
3
= 
1
12
−
3
4
+
4
3
− 2 = 
2
1
3
+ 1
1
4
− 4 = 
 
Multiplicação de frações: Multiplicam-se os numeradores entre si da mesma maneira que se faz com os 
denominadores. 
Exemplos: 
1
2
∙
3
5
= 
 
16 
 
(−
1
4
) ∙
1
2
= 
(−
1
3
) ∙ (−
2
5
) = 
(−3) ∙ (−
1
4
) ∙ (−
2
7
) = 
2
3
4
∙ 3
1
5
= 
 
Divisão de frações: Multiplica-se a fração dividenda pelo inverso da fração divisora. 
Exemplos: 
1
2
1
3
= 
(−
2
3)
(−
1
2)
= 
5
2
3
= 
 
DECIMAIS 
 
Transformação de frações decimais em números decimais: Para escrever qualquer número fracionário 
decimal, na forma de "Número Decimal", escreve-se o numerador da fração com tantas casas decimais 
quantos forem os zeros do denominador. 
Exemplos: 
𝑎) 
25
10
= 𝑏) 
43
1000
= 
𝑐) 
135
1000
= 𝑑) 
2343
100
= 
 
Transformação de frações não decimais em números decimais: Para escrever qualquer fração na forma 
de número decimal, basta dividir o numerador pelo denominador da fração. 
Exemplos: 
𝑎) 
1
2
= 𝑏) 
74
5
= 
𝑐) 
423
16
= 𝑑) 
1
3
= 
𝑒) 
8
200
= 𝑓) 
45
7
= 
𝑔) 
1356
80
= ℎ) 
15
9
= 
 
17 
 
Nos exemplos acima, os itens a, b, c, e e g representam números decimais exatos. Já os itens d, f e h, 
representam números decimais não exatos, porém com certa parte decimal que se repete. Este tipo de 
número é chamado de dízima periódica. 
 
Transformação de números decimais em frações: Para transformar um número decimal exato numa 
fração decimal, escrevem-se no numerador os algarismos desse número e no denominador escrevemos 
um algarismo um e mais quantos zeros forem as casas decimais. Transformado em fração decimal, agora 
basta simplificá-la. 
Exemplo: 
 
𝑎) 0,34 = 𝑏) 0,037 = 
𝑐) 5,1 = 𝑑) 24,02 = 
Transformação de dízimas periódicas simples em frações: Uma dízima periódica simples é aquela que 
possui apenas um período (número que se repete indefinidamente), mas não um anteperíodo. 
Exemplo: 
0,111... período igual a 1 
0,252525... período igual a 25 
0,010101... período igual a 01 
0,123123123... período igual a 123 
 
Um método prático para se obter a fração geratriz no caso de dízimas periódicas simples, consiste em 
utilizarmos o período como numerador e utilizarmos como denominador um número formado portantos 
dígitos 9, quantos forem os dígitos do período. Vejamos: 
 0,111… =
1
9
 
0,252525 =
25
99
 
0,010101… =
1
99
 
0,123123123… =
123
999
 
 
Repare no último exemplo que o numerador 123 e o denominador 999 não são primos entre si, de fato o 
seu máximo divisor comum não é 1, mas sim 3. Realizando a simplificação de ambos os termos por 3, a 
fração 
123
999
será transformada na fração irredutível equivalente 
41
333
. 
Caso a dízima possua uma parte inteira, basta a destacarmos e calcularmos a parte decimal como já 
explicado: 
5,7373... = 5
73
99
 
Note que 5
73
99
 é uma fração mista que pode ser transformada na fração imprópria 
568
99
. 
http://www.matematicadidatica.com.br/NumerosPrimosEntreSi.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/MDC.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/FracaoSimplificacao.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/FracaoMistaImpropria.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/FracaoMistaImpropria.aspx
18 
 
 
Transformação de dízimas períodicas compostas em frações: Uma dízima periódica composta é aquela 
que possui um anteperíodo que não se repete. 
Exemplos: 
0,2333... anteperíodo igual a 2 e período igual a 3 
0,45222... anteperíodo igual a 45 e período igual a 2 
0,171353535... anteperíodo igual a 171 e período igual a 35 
0,32101230123... anteperíodo igual a 32 e período igual a 0123 
 
Em função da existência de um anteperíodo, neste caso a técnica é ligeiramente diferente. Veja o exemplo 
abaixo: 
0,171353535...=
17135−171
99000
=
16964
99000
 
O número 17135 é formado pela junção do anteperíodo, 171, com o período, 35. Ao subtrairmos deste 
número o anteperíodo, obtemos 16964, o numerador da fração geratriz. O denominador é formado por 
tantos dígitos 9, quantos são os dígitos do período, assim como no caso das dízimas periódicas simples, 
seguidos de tantos dígitos 0, quantos são os dígitos do anteperíodo. 
A fração 
16964
99000
 é passível de simplificação. Como o maior divisor de ambos os termos é quatro, a fração 
irredutível será 
4241
2475
 . 
Veja abaixo mais alguns exemplos: 
0,2333… =
23 − 2
90
=
21
90
=
7
30
 
 
0,45222… =
452 − 45
900
=
407
900
 
 
0,888313131… =
88831 − 888
99000
=
87943
99000
 
 
0,32101230123… =
3210123 − 321
999000
=
3209802
9999000
=
534967
1666500
 
 
OBS: As frações obtidas são chamadas de fração geratriz, pois geram dízimas periódicas. 
 
OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS 
 
Adição algébrica: Para adicionar ou subtrair dois números decimais, escreve-se um abaixo do outro, de 
tal modo que as vírgulas se correspondam (numa mesma coluna) e adicionam-se ou subtraem-se como 
se fossem números naturais. 
Exemplos: 
19 
 
𝑎) 3,97 + 47,502 = 𝑏) − 24,5 + 8,732 = 
𝑐) − 7,33 − 1,5 = 𝑑) 4,378 − 2 = 
 
Multiplicação: Para multiplicar dois número decimais, primeiramente multiplicam-se os números 
decimais, como se fossem naturais. Ao final, coloca-se a virgula no produto contando-se da direita para a 
esquerda, um número de ordens decimais igual a soma das ordens decimais dos fatores. 
Exemplos: 
 
𝑎) 0,023 ∙ 1,2 = 𝑏) 13,32 ∙ 1,05 = 
 
 
Para multiplicar um número decimal por 10, 100, 1000 ..., desloca-se a vírgula para a direita tantas ordens 
quantos forem os zeros do multiplicador. 
Exemplos: 
a) 2,35 ∙ 10 = 23,5 
b) 43,1 ∙ 100 = 4310 
c) 0,3145 ∙ 1000 = 314,5 
 
Divisão: Para efetuarmos a divisão entre números decimais procedemos do seguinte modo: 
1) igualamos o número de casas decimais do dividendo e do divisor acrescentando zeros; 
2) eliminamos as vírgulas; 
3) efetuamos a divisão entre os números naturais obtidos. 
 
ATENÇÃO: Se a divisão não for exata, para continuá-la colocamos um zero a direita do novo dividendo e 
acrescenta-se uma vírgula no quociente. 
Exemplos: 
𝑎) 1,5 ÷ 0,5 = 𝑏) 3,6 ÷ 0,09 = 
𝑐) 3,297 ÷ 2,31 = 𝑑)47,76 ÷ 24 = 
 
Para dividir um número decimal por 10, 100 ou 1000 ..., desloca-se a vírgula no dividendo para a esquerda 
tantas ordens quantos forem os zeros do divisor. 
Exemplos: 
a) 47,235÷10 = 4,7235 
b) 58,4 ÷100 = 0,584 
 
EXPRESSÕES NUMÉRICAS ENVOLVENDO NÚMEROS RACIONAIS E AS QUATRO OPERAÇÕES 
 
𝑎) 
1
2
− (
1
4
− 1,3) − (
2
5
− 0,9) = 
20 
 
 
𝑏) 3 − (−
7
6
) ÷
12
5
+
17
3
= 
 
𝑐) [1 + (
1
5
− 2) ÷ 3] ÷ (
2
3
− 1) = 
 
𝑑)
6 ∙
2
3
0,4
÷
2
5
= 
 
EXERCÍCIOS 
01) Transforme em número misto: 
a) 
2
3
 = b)
5
12
 = c)
3
100
 = 
 
02) Transforme em fração ordinária: 
a) 
5
1
1 = b)
4
3
2 = c)
10
1
10− = 
 
03) Simplifique as frações: 
a) 
4
2
 = b)
27
9
 = c) 
48
12
 = 
 
04) Compare as frações: 
a) 
2
1
, 
3
2
 b)
3
2
, 
6
5
 c)
7
4
, 
8
3
 
 
05) Resolva: 
a) =+ 
10
1
 
5
1
 
b) = 
3
4
 - 
3
2
 
c) =+ 
6
1
 
3
1
 - 
2
1
 
d) =+ 5 - 
2
1
3 
3
2
2 
e) = 
5
2
 * 
3
1
 
f) = 
5
2
 * 
3
1
 * 
7
3
 
g) =











 
5
2
- * 
6
1
- 
h) =





 
3
1
1- * 
5
1
2 
i) = 
2
1
3
1
 
j) =





 
5
1
- : 
3
2
 
k) = 
4
1
 * 
3
2
 : 
2
1
 
l) = 
5
1
1 : 
5
2
2 
m) =





+ 
2
1
 : 
4
2
 
3
1
 
n) =
+
 
3
3
1 1
 
o) =
+
+
 
2
1
2
2
1 1
 1
 
p) =
+
 
3
13 : 
4
12
5
21 * 
7
51
 - 
4
31 - 
8
52
4
11 
8
13
 
 
21 
 
06) Simplifique: 
a) =
+
+
+
+
+
 
1 1
1
 1
1
 1
1 1
1
 1
 b) =





+
+
++
 1 
17
9
 : 
4
3
 
3
2
4
1
 
3
1
 
2
1
 
 
07) Calcule: 
a) 2,31 + 4,08 + 3,2 = 
b) 4,03 + 200 + 51,2 = 
c) 32,4 – 21,3 = 
d) 48 – 33,45 = 
e) 2,1 * 3,2 = 
f) 48,2 * 0,031 = 
g) 3,21 * 2,003 = 
h) 8,4708 / 3,62 = 
i) 682,29 / 0,513 = 
j) 2803,5 / 4450 = 
k) (FUVEST) 
0,22,3
3,0*2,0
−
 = 
l) 0,041 * 21,32 * 401,05  
m) 0,0281 / 0,432  
n) 
1,5
4,82 * 31,2
  
 
08) Encontre a fração geratriz: 
a) 0,222... b) 0,181818... c) 0,0151515... 
 
QUESTÕES DE VESTIBULAR 
 
01) (PUC) Uma firma gasta mensalmente 6000 reais com material de escritório, 2/3 dessa quantia com 
serviços de terceiros e ¼ dela com transportes. O gasto em reais mensal em conjunto nesses três itens é: 
 
a) 10000 b) 11500 c) 12000 d) 15000 e) 16000 
 
02) (ENEM) 
Café no Brasil 
O consumo atingiu o maior nível da história no ano passado: os brasileiros beberam o equivalente a 331 
bilhões de xícaras. 
Veja. Ed. 2158, 31 mar. 2010 
Considere que a xícara citada na notícia seja equivalente a, aproximadamente, 120 ml de café. Suponha 
que em 2010 os brasileiros bebam ainda mais café, aumentando o consumo em 1/5 do que foi consumido 
no ano anterior. De acordo com essas informações, qual a previsão mais aproximada para o consumo de 
café em 2010. 
 
a) 8 bilhões de litros. 
b) 16 bilhões de litros. 
c) 32 bilhões de litros. 
d) 40 bilhões de litros. 
e) 48 bilhões de litros. 
 
22 
 
03) (FAAP) Uma pessoa investiu ½ de seu dinheiro em ações, ¼ em caderneta de poupança, 1/5 em outro 
e os restantes R$ 10 000,00 em “commodities”. O total investido foi (em R$): 
a) 100 000,00 
b) 150 000,00 
c) 200 000,00 
d) 500 000,00 
2 000 000,00 
 
04) (UFG) Na compra de um carro, foi dada uma entrada, correspondente a um terço do seu valor, e o 
restante foi financiado em 24 prestações fixas de R$ 625,00. Calcule o preço do carro. 
 
05) (UECE) Seja n o menor inteiro positivo para o qual 
9
n
e
8
n
,
7
n
,
6
n
,
5
n
,
4
n
,
3
n
,
2
n são números inteiros. O 
produto dos algarismos do número n é: 
a) 0 
b) 5 
c) 10 
d) 20 
 
06) (UNIFOA MG) Calcule o valor da expressão: 
 
3
1
2
1
1
1
2
+
+
+ 
 
a) 3 
10
7
 
b) 
2
1
2 
c) 
2
1
 
d) 
10
7
2 
e) 
10
7
1 
 
07) (UFMG) Considere o conjunto de números racionais 






=
7
4
,
11
5
,
7
3
,
9
5
M . 
Sejam x o menor elemento de M e y o maior elemento de M. 
Então, é correto afirmar que: 
a) 
11
5
x = e 
7
4
y = 
b) 
7
3
x = e 
9
5
y = 
23 
 
c) 
7
3
x = e7
4
y = 
d) 
11
5
x = e 
9
5
y = 
 
08) (MACK SP) Se m, n e p são inteiros positivos tais que 
7
p3
m = e n = 48 – 3p, então, para o menor valor 
possível de p, a soma m + n é igual a 
 
a)30 b)35 c) 38 d) 40 e) 42 
 
09) Sendo a = 0,555... + 0,111... e b = 0,2 + 0,04, então o valor do quociente 
a
b
 é: 
a) 25/9 b) 3,6 c) 17/5 d) 0,36 
 
GABARITO: 
 
EXERCÍCIOS 
01) a) 1
1
2
 𝑏) 2
2
5
 𝑐) 33
1
3
 
02) a) 
6
5
 𝑏) 
11
4
 𝑐) −
101
10
 
03) a) 
1
2
 𝑏) 
1
3
 𝑐) 
1
4
 
04) a) < b) < c) > 
05) 𝑎) 
3
10
 𝑏) −
2
3
 𝑐) 
1
3
 𝑑) 
7
6
 𝑒) 
2
15
 𝑓) 
2
35
 𝑔) 
1
15
 
h) −
44
15
 𝑖) 
2
3
 𝑗) −
10
3
 𝑘) 
3
16
 𝑙) 2 𝑚) 
5
3
 𝑛) 
4
5
 
o) 7 p) 
13
9
 
06) a) 
9
10
 𝑏) 
1
2
 
07) a) 9,59 b) 255,23 c) 11,1 d) 14,55 e) 6,72 
f) 1,4942 g) 6,2093 h) 2,34 i) 1330 j) 0,63 
k) 0,05 l) 350,56 m) 0,065 n) 2,18 
08) a) 
2
9
 𝑏) 
2
11
 𝑐) 
1
66
 
 
QUESTÕES DE VESTIBULAR 
 
01) B 
02) E 
03) C 
04) R$ 22 500,00 
05) A 
06) D 
07) C 
08) A 
09) D 
 
 
 
24 
 
CAPÍTULO 03 – POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO E NOTAÇÃO 
CIENTÍFICA 
 
POTENCIAÇÃO 
 
Definição: Potência de grau n de um número A é o produto de n fatores iguais a A. Temos que n é o 
expoente da potência, que determina o seu grau e A é a base da potência; 
Assim: 
23 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8 
(2 é 𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒, 3 𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒 8 𝑎 𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎) 
 
(−1)4 = (−1) ∙ (−1) ∙ (−1) ∙ (−1) = 1 
(−1 é 𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒, 4 𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒 1 𝑎 𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎) 
 
CASOS PARTICULARES: 
a) A potência de expoente 1 (1º grau) é igual à base: 
𝐴1 = 𝐴, 21 = 2. 
b) Toda potência de 1 é igual a 1: 
1² = 1; 1³ = 1 
 
c) Toda potência de 0 é igual a 0: 
0² = 0; 0³ = 0 
 
d) Toda potência de expoente par é positiva: 
(- 2)4 = 16; 24 = 16; (- 3)² = 9; 3² = 9 
 
e) Toda potência de expoente ímpar tem o sinal da base: 
3³ = 27 ; (- 3)³ = - 27 
25 = 32 ; (- 2)5 = - 32 
 
f) Toda potência de expoente zero é igual a 1. 
50 = 1; (−10)0 = 1 
 
PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO 
 
Multiplicação de potências de mesma base: Mantém-se a base comum e soma-se os expoentes. 
𝑎) 𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛+𝑚 
𝑏) 52 ∙ 57 ∙ 5 = 59 
 
Divisão de potências de mesma base: Mantém-se a base comum e diminuem-se os expoentes. 
𝑎) 𝑎𝑚 ÷ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 
25 
 
𝑏)59 ÷ 54 = 55 
𝑐) 28 ÷ 2−10 = 218 
𝑑) 7−5 ÷ 7−3 = 7−2 
𝑒) 
67
62
= 65 
𝑓) 
35
3−3
= 38 
 
Multiplicação de potências de mesmo grau (semelhantes): Multiplicam-se as bases e conserva-se o 
expoente comum. 
𝑎) 𝑎𝑏 ∙ 𝑐𝑏 = (𝑎 ∙ 𝑐)𝑏 
𝑏) 25 ∙ 55 = 105 
 
Divisão de potências de mesmo grau (semelhantes): Dividem-se as bases e conserva-se o expoente 
comum. 
𝑎) 𝑎𝑏 ÷ 𝑐𝑏 = (𝑎 ÷ 𝑐)𝑏 
𝑏) 87 ÷ 47 = 27 
 
Potenciação de potência: Eleva-se a base ao produto dos expoentes. Realmente: 
𝑎)(𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚∙𝑛 
𝑏) (22)3 = 26 
𝑐)((32)5)3 = 330 
 
Expoente negativo: Basta inverter a base e tornar o expoente positivo. 
𝑎) (
𝑎
𝑏
)
−𝑐
= (
𝑏
𝑎
)
𝑐
 
𝑏) (
5
2
)
−2
= (
2
5
)
2
 
𝑐) (
1
3
)
−5
= 35 
𝑑) (5)−2 = (
1
5
)
2
 
 
Potências de 10: Efetuam-se as potências de 10 escrevendo à direita da unidade tantos zeros quantas 
forem as unidades do expoente. 
𝑎) 104 = 10 000 
𝑏) 107 = 10 000 000 
𝑐) 102 = 100 
 
Números decimais: Todo número decimal equivalente a um produto do qual um fator é o número 
escrito como inteiro, e outro é uma potência de dez com expoente negativo, com tantas unidades no 
expoente quantas são as ordens decimais. 
 
26 
 
0,0025 =
25
10 000
=
25
104
= 25 ∙ 10−4 
 
RADICIAÇÃO 
 
Definição: Denomina-se raiz de índice n (ou raiz n-ésima) de A, ao número ou expressão que, elevado à 
potência n reproduz A. Representa-se raiz pelo símbolo √. 
 
 
Assim, 
𝑎) √16 = 4, 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 42 = 16. 
𝑏) √8
3
= 2, 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 23 = 8. 
𝑐) √81
4
= 3, 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 34 = 1. 
 
Simplificação de raízes: É possível retirar um fator do radical. Fazemos a fatoração do radicando em 
números primos e dividimos o expoente do radicando pelo índice do radical. 
 
Adição e Subtração de Radicais Semelhantes: Radicais de mesmo índice e mesmo radicando são 
semelhantes. Na adição e subtração de radicais semelhantes, operam-se os coeficientes e conserva-se o 
radical. 
Exemplos: 
a) 2 2- 2 10 - 2 8 2 10 - 2 5 2 3 ==+ 
b) 3333333 2 3 2 6 - 2 9 2 - 2 5 - 2 6 2 3 ==+ 
 
Multiplicação e Divisão de Radicais de Mesmo Índice: Multiplicam-se (dividem-se) os radicandos e dá-se 
ao produto (quociente) o índice comum. 
Exemplos: 
a) 6 3 * 2 3 * 2 == 
b) 3 
2
6
 
2
6
== 
c) 30 2 * 5 * 3 2 * 5 * 3 == 
d) 4
4
4
4
44
2
15
 
2
15
 
2
3 * 5
== 
 
Potenciação de Radicais: Eleva-se o radicando à potência indicada e conserva-se o índice. 
Exemplos: 
 
27 
 
a) ( ) 44 334 27 3 3 == 
b) ( ) 5 245 22
2
5 2 3 * 2 3 * 2 3 * 2 ==




 
 
Radiciação de Radicais: Multiplicam-se os índices e conserva-se o radicando. 
Exemplos: 
 
a) 42 * 2 3 3 3 == 
b) 24
3 4 3 3 = 
 
Expoente Fracionário: Uma potência com expoente fracionário pode ser convertida numa raiz, cujo 
radicando é a base, o índice é o denominador do expoente, sendo o numerador o expoente do radicando. 
Exemplos: 
 
a) 
q pq
p
a a = 
b) a a 2
1
= 
c) 33 23
2
4 2 2 == 
d) 4
3
4 3 6 6 = 
 
Racionalização de Denominadores: 
1º Caso: O denominador é um radical do 2º grau. Neste caso multiplica-se pelo próprio radical o 
numerador e o denominador da fração. 
Exemplos: 
a) 
2
2
 
4
2
 
2 * 2
2 * 1
 
2
1
=== 
b) 
6
3
 
3 * 2
3
 
92
3
 
3 * 32
3 * 1
 
32
1
==== 
c) 
3
6
 
9
6
 
3 * 3
3 * 2
 
3
2
=== 
d) 
15
12
 
30
122
 
6 * 5
122
 
365
122
 
6 * 65
6 * 22
 
65
22
===== 
2º Caso: O denominador é um radical de grau n ≠ 2. Nesse caso, precisamos utilizar uma fator 
raconalizante para cada caso, podendo generalizar do seguinte modo: 
Para um denominador igual a √𝑎𝑚
𝑛
 o fator racionalizante será igual a √𝑎𝑛−𝑚
𝑛
. 
Exemplos: 
 
28 
 
21
√72
5 =
21 ∗ √73
5
√72
5
∗ √73
5 =
21√73
5
√75
5 =
21√73
5
7
= 3√75
5
 
 
9
√113
7 =
9 ∗ √114
7
√113
7
∗ √114
7 =
9 ∗ √114
7
√117
7 =
9√114
7
11
 
 
3º Caso: O denominador é uma soma ou diferença de dois termos em que um deles, ou ambos, são 
radicais do 2º grau. Neste caso multiplica-se o numerador e o denominador pela expressão conjugada do 
denominador. 
OBS: A expressão conjugada de a + b é a – b. 
Na racionalização aparecerá no denominador um produto do tipo: 
(a + b) * (a – b) = a² - b² 
Assim: 
(5 + 3) * (5 – 3) = 5² - 3² = 25 – 9 = 16 
 
Exemplos: 
( )
( ) ( ) ( ) ( ) 3
2 - 5
 
2 - 5
2 - 5
 
2 - 5
2 - 5
 
2 - 5 * 2 5
2 - 5 * 1
 
2 5
1
22
===
+
=
+
 
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )3 - 2 * 5 
1
3 - 2 * 5
 
3 - 4
3 - 2 * 5
 
3 - 2
3 - 2 * 5
 
3 - 2 * 3 2
3 - 2 * 5
 
3 2
5
22
====
+
=
+
 
NOTAÇÃO CIENTÍFICA 
 
A notação científica é uma forma de escrevermos números reais recorrendo a potências de 10. Ao 
escrevermos um número em notação científica utilizamos o seguinte formato: 
𝛼 ∙ 10𝛽 
Onde o coeficiente 𝜶 é um número real denominado mantissa, cujo módulo é igual ou maior que 1 e 
menor que10 e o expoente 𝜷, a ordem de grandeza, é um número inteiro. 
Para escrevemos o número real n em notação científica precisamos transformá-lo no produto de um 
número real igual ou maior que 1 e menor que 10, por uma potência de10 com expoente inteiro. 
A mantissa é obtida se posicionando a vírgula à direita do primeiro algarismo significativo deste número. 
Se o deslocamento da vírgula foi para a esquerda, a ordem de grandeza será o número de posições 
deslocadas. 
Se o deslocamento da vírgula foi para a direita, a ordem de grandeza será o simétrico do número de 
posições deslocadas, será portanto negativa. 
Exemplos: 
2 048 = 2,048 ∙ 103 
0,0049 = 4,9 ∙ 10−3 
1 = 1 ∙ 100 
0,000391 = 3,91 ∙ 10−4 
0,004675 = 4,675 ∙ 10−3 
−34,57 = −3,457 ∙ 101 
http://www.matematicadidatica.com.br/Monomios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/ModuloNumeroReal.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/Potenciacao.aspx
29 
 
180,4 = 1,804 ∙ 102 
65536 = 6,5536 ∙ 104 
OBS: Se deslocarmos a vírgula n posições para a direita, devemos subtrair n unidades do expoente. 
Ao deslocarmos a vírgula n posições para a esquerda, devemos somar n unidades ao expoente. 
 
OPERAÇÕES ENVOLVENDO NOTAÇÃO CIENTÍFICA 
 
Adição algébrica: é necessário que todos eles possuam a mesma ordem de grandeza.Se houver diferença, 
devemos realizar uma conversão para igualar o expoente das potências de 10. 
Exemplos: 
1,7 ∙ 102 + 2,379 ∙ 103 + 3,46 ∙ 10−1= 
2,379 ∙ 103 − 1,7 ∙ 102= 
 
Multiplicação: multiplicamos as mantissas e somamos as ordens de grandeza. 
Exemplo: 
1,7 ∙ 102 ∙ 2,4 ∙ 10−4= 
 
Divisão : dividimos as mantissas e subtraímos as ordens de grandeza. 
Exemplo: 
1,6 ∙ 102 ÷ 2,5 ∙ 10−3 = 
 
Potenciação: Para elevarmos um número em notação científica a um expoente n, devemos elevar a 
mantissa a n e multiplicar a ordem de grandeza também por n. 
Exemplo: 
(2,1 ∙ 10−2)3 = 
 
Radiciação: Para realizarmos a radiciação é necessário que a ordem de grandeza seja divisível pelo índice, 
para assim podermos realizar a retirada do radical. 
Exemplos: 
√1,25 ∙ 102
3
= 
√1,21 ∙ 106 = 
 
EXERCÍCIOS 
01) Calcule: 
 
𝑎) 20 − (−45): (−3)2 + (−2) ∙ (−1)5 = 
𝑏) 14 + (−2)4 − (−2)3 + 07 + 320 + 8 ∙ 22 = 
𝑐) − (−2)3 + (−1)0 − √25 − 32 − 53: 25 = 
𝑑) 
−(−2)2 − √27
3
(−3 + 5)0 − 2
= 
𝑒) (
1
4
)
2
∙
4
5
+
2
5
: (
2
3
)
3
= 
𝑓) 
(1 −
1
2)
3
4
+
1
5
(1 −
4
5
)
2 = 
𝑔) (0,5)2: 5 − 2(0,3 ∙ 1,2 − 0,72: 2,4) = 
http://www.matematicadidatica.com.br/Operacoes-Aritmeticas-Divisao.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/Potenciacao.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/Radiciacao.aspx
30 
 
ℎ) 
1
4
+ 0,19: (4 − 0,8: 0,5 −
1
2
) = 
𝑖) 
0,1 − 0,01
0,2 − 0,02
= 
𝑗) 2−1 + 6 ∙ (
2
3
)
−2
− (−
1
3
)
−1
= 
𝑘) (
1
2
)
−4
:
1
2
∙ (4−1)2 + (−
1
6
)
0
= 
𝑙) 
1
2 +
1
2 +
1
10
= 
𝑚) 
4√8
3
− 3√32
5
2
= 
 
02) Aplicando as propriedades das potências, simplifique as expressões: 
𝑎) 
256 ∙ 49
87
= 
𝑏) 
93 ∙ 274 ∙ 3−7
1
3 ∙ 243
2
= 
𝑐) 
1256 ∙ 25−3
(52)−3 ∙ 257
= 
𝑑) 
12 ∙ 10−3 ∙ 10−4 ∙ 109
3 ∙ 10−1 ∙ 104
= 
 
03) Escreva na forma de notação científica: 
 
a) 0,3 b) 3000 
c) 0,005 d) 0,0625 
e) 3,25 f) 312,51 
g) 8 000 000 h) 6,001 
 
04) Determine o valor da expressão: 
3,2 ∙ 4000 ∙ 0,0008
25,6 ∙ 0,002
 
 
05) Calcule o valor de: 
𝑎) √64 𝑏) √−1
3
 
𝑐) √64
6
 𝑑) √81
4
 
𝑒) √−32
5
 𝑓) 25
1
2 
𝑔) 8
1
3 ℎ) (−27)
2
3 
𝑖) (−1)
7
9 
 
 
06) Calcule o valor das expressões: 
 
𝑎) − √8
3
+ 16
1
4 − (−2) + 27
1
3 = 
𝑏) − √−8
3
+ 16−
1
4 − (−
1
2
)
−2
+ 8−
4
3 = 
𝑐) 4 ∙ (0,5)4 + √0,25 + 8−
2
3 = 
 
07) Racionalize: 
31 
 
𝑎) 
1
√3
= 𝑏) 
2
√10
= 𝑐) 
5
2√5
= 
𝑑) 
1
√10
3 = 𝑒) 
1
√5 − 2
= 𝑓) 
√2
√2 + √3
= 
 
08) Considerando 
3 1
11
1691
63
−
−−
−
+
=
.
x e 
3 3
12
271
23
−
−−
−
+
=
.
y , os valores de x e y são respectivamente: 
a) 3
7
2
 e 11/9 b) 2/45 e 11/25 c) 2/5 e 8/11 
d) 5/8 e 11/36 e) 8/5 e 36/11 
 
09) Considere os números 32 +=a e 244 −=b . O valor de 22 ba + é: 
a) 3 - 53 b) 42 + 127 c) 45 - 146 
d) 72 + 137 e) 9 - 53 
 
10) O valor de é: 
 
 
a) 
721
2
− b) 
3
62
 c) 
16
18
 d) 
3
2
 
 
11) O valor da expressão 
a) 0,125 
b) 0,25 
c) 0,5 
d) 1 
 
12) O valor de 
 
a) 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
13) Seja 
1
11
451
32
−
−−
+
+
=
.
m . 
4 6
2
3
2
2
3
4440
1
3 .
...,
)(m
−






−−=
é:
,, 2050
32
1
4
1












72
1031 2
1
2
1046
234442
−
−−
=
.,
)(...,
m
72
213
72
31
4
231
32 
 
)242072()275382( −+−+=m
O valor de m é igual a 
a) 2/15 b) 4/15 c) 4/9 d) 10/9 
 
 
14) O valor de 
é: 
a) 6 b) 6 2 c) 16 d) 18 e) 12 5 
 
 
15) O valor de   3322 00102310 ,:)()(. −−−−− é: 
 
a) –17 b) –1,7 c) –0,1 d) 0,1 e) 1,7 
 
 
16) o quociente 33192248537 :)( +− é igual a: 
 
a) 33 b) 32 c) 
3
3
 d) 2 e) 1 
 
QUESTÕES DE VESTIBULAR 
 
01) (UEPB) Efetuando 








2
2 (20,25)–2 – 
13
36
6
+








, temos por resultado: 
 
a)
36
17 b)
2
71
− c)
35
36 d) 1 e) 
2
1
− 
 
02) (FGV ) Observe o padrão indicado na tabela a seguir: 
 

40353607196839
576480165618
82354321877
1176497296
168072435
2401814
343273
4992
731
110
73x xx
 
 
a)Determine o algarismo da unidade de 32009. 
33 
 
b)Determine o algarismo da unidade de 3423 + 7651 –258. 
 
03) (MACK SP) A fração 
1012099
345098
2322
842
+−
−+ é igual a 
a)1 b)
6
11
− c)2 d)
2
5
− e)
4
7 
 
04) (UFRRJ) Encontre o valor da expressão abaixo. 
2
1
...33,1
1
7
5
...66,0
6
1
03
−
−










−





+





 
 
05) (FUVEST SP)A metade de 2100 é: 
 
a)250 b)1100 c)299 d)251 e)150 
 
06) (MACK SP) 
( )
2
1
5
12
0
3
222
3
 3)5(
++
+−−
−
 é igual a: 
 
a)
17
3150 b)90 c)
73
1530 d)
3150
17 e)–90 
 
07) (UEMA) O valor de 444,0 é: 
 
a)0,444… b)0,222… c)0,333… d)0,666… e)0,555… 
 
08) (UCS RS) O valor numérico da expressão 3
2
x – 2x0 + 3x–1 para 
8
1x = é 
a)8 b)
4
89− c)2 d)–8 e) 
4
89 
 
09) (FATEC SP) Escrever a expressão 3 2 22 na forma de um único radical. 
 
10) (FAMECA SP) Simplificando-se o radical 
35
1213
2:2
33 + , obtém-se: 
a)
2
243 b)
2
81 c)729 d)243 e)
2
729 
 
11) (UNIP SP) O valor de 3 46148 +++ é: 
 
12) (FUVEST SP) O valor da expressão 
12
22
−
− é: 
a) 2 b)
2
1 c) 2 d) 
2
1 e) 12 + 
 
34 
 
13) (UECE) Marque a alternativa que indica a quantidade de dígitos que tem o número representado 
pela soma 9 + 910 + 9102 + 9103 + ... + 9102010. 
 
a)2009 b)2010 c)2011 d)2012 
 
14) (UNIMONTES MG)O algarismo das unidades do produto (5 + 1)(52 + 1)53 + 1)…(52009 + 1) é 
a)5 b)6 c)2 d)1 
 
15) (UFC CE) Os números naturais 1 -2 q e 12p 6131 =−= são primos. Então, o número de divisores de 2pq é 
igual a: 
a)1 b)2 c)4 d)6 e)8 
 
16) (UFC CE) O último algarismo da soma 1 + 6 + 62 + 63 + ... + 62006 é igual a: 
a)5 b)6 c)7 d)8 e)9 
 
17) (UFPE) Simplificando 3
3331
10
22 + obtemos: 
a)27 b)28 c)29 d) 210 e)211 
 
18) (UFPI) Desenvolvendo a expressão ( )21327 −+ , encontraremos um número no formato 3ba + , com 
a e b números inteiros. O valor de a + b é: 
a)59 b)47 c)41 d)57 e)1 
 
GABARITO 
 
EXERCÍCIOS 
01) a) 27 b) 58 c) 0 d) 7 e) 7/5 f) 17/3 g)-0,07 h) 
0,35 ou 7/20 i) 0,5 j) 17 k) 3 l) 21/52 m) 1 
02) a) 25 b) 32 c) 54 d) 4 ∙ 10−1 
03) 𝑎) 3 ∙ 10−1 𝑏) 3 ∙ 103 𝑐) 5 ∙10−3 𝑑) 6,25 ∙ 10−2 𝑒)3,45 ∙ 100 
𝑓) 3,1251 ∙ 102 𝑔) 8 ∙ 106 ℎ) 6,001 ∙ 100 
04) 200 
05) a) 8 b) -1 c) 2 d) 3 e) -2 f) 5 g) 2 
h) 9 i) -1 
06) a) 5 b) -23/16 c) 1 
07) 𝑎) 
√3
3
 𝑏) 
√10
5
 𝑐) 
√5
2
 𝑑) 
√102
3
10
 𝑒) √5 + 2 𝑓) √6 − 4 
08) A 09) C 10) B 11) D 12) C 13) C 14) A 
15) D 16) E 
QUESTÕES DE VESTIBULAR 
01) A 02)a) o algarismo é 3 b) o algarismo é 6 03) B 04)
5
2
 05) C 
06) C 07) D 08) E 09) 33 3242 = 10) C 11) 32 12) A 
13) C 14 ) B 15) E 16)C 17) D 18) C 
35 
 
CAPÍTULO 04 – PRODUTOS NOTÁVEIS 
 
OPERAÇÕES ALGÉBRICAS 
 
São indicações de operações envolvendo letras ou letras e números. 
Exemplos: 
 
a) 5ax – 4b b) ax² + bx + c c) 7a²b 
 
OBS: No exemplo c, onde não aparece indicação de soma ou de diferença, temos um monômio em que 7 
é o coeficiente numérico e a²b é a parte literal. 
 
OPERAÇÕES COM EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
 
Soma algébrica: Somente é possível somar ou subtrair termos semelhantes (monômios que possuem a 
mesma parte literal). Para somar ou subtrair termos semelhantes (reduzir termos semelhantes) repete-
se a parte literal e opera-se com os coeficientes. 
Exemplo: 
 
3x²y – 4xy² + 7xy² + 5x²y = 8x²y + 3xy² 
 
Multiplicação : Multiplica-se cada termo do primeiro fator por todos os termos do segundo fator e 
reproduzem-se os termos semelhantes. 
Exemplo: 
 
(3a²y) * (2ay) = 6a³y² 
(2x – 4y)(3x + y) = 6x² - 10xy - 4y² 
 
Divisão: 
1º Caso: Divisão de monômios: Divide-se o coeficiente numérico do dividendo pelo 1º coeficiente do 
divisor, e a parte literal do dividendo pela do divisor, observando-se as regras para divisão de potências 
de mesma base. 
2º Caso: Divisão de polinômio por monômio: Divide-se cada termo do dividendo pelo monômio divisor. 
Exemplo: 
 
(42a³bx4) : (7ax²) = 6a²bx² 
 
PRODUTOS NOTÁVEIS 
 
36 
 
Há certos produtos de polinômios, que, por sua importância, devem ser conhecidos desde logo. Vejamos 
alguns deles. 
 
I. Quadrado da soma de dois termos: “O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do 
primeiro mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.” 
 
(𝒂 + 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃² 
 
Exemplo: 
 
(2 + x)² = 2² + 2 * 2x + x² = 4 + 4x + x² 
 
II. Quadrado da diferença de dois termos: “O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado 
do primeiro menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.” 
 
(𝒂 − 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃² 
 
Exemplo: 
 
(x – 3)² = x² - 2 * x * 3 + 3² = x² - 6x + 9 
 
III. Produto da soma de dois termos por sua diferença: “O produto da soma de dois termos por sua 
diferença é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo.” 
 
(𝒂 + 𝒃) ∙ (𝒂 − 𝒃) = 𝒂𝟐 − 𝒃² 
 
Exemplo: 
 
(1 - 3) * (1 + 3) = 1² - ( 3)² = 1 – 3 = - 2 
 
IV. Cubo da soma de dois termos: “O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro mais três 
vezes o produto o quadrado do primeiro pelo segundo mais três vezes o produto do segundo pelo 
quadrado do primeiro mais o cubro do segundo.” 
 
(𝒂 + 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 + 𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 + 𝒃³ 
 
Exemplo: 
 
(2𝑥 + 𝑦)3 = 8𝑥3 + 12𝑥2𝑦 + 6𝑥𝑦2 + 𝑦³ 
 
37 
 
V. Cubo da diferença de dois termos: “O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro 
menos três vezes o produto o quadrado do primeiro pelo segundo mais três vezes o produto do segundo 
pelo quadrado do primeiro menos o cubro do segundo.” 
 
(𝒂 − 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 − 𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 − 𝒃³ 
 
Exemplo: 
 
(2𝑥 − 𝑦)3 = 8𝑥3 − 12𝑥2𝑦 + 6𝑥𝑦2 − 𝑦³ 
 
EXERCÍCIOS 
 
01) Utilizando as regras dos produtos notáveis, calcule: 
 
a) (7𝑎 + 1)(7𝑎 − 1) 
b) (2 + 9𝑥)2 
c) (6𝑥 − 𝑦)2 
d) (3𝑥 +
2
3
𝑎)
2
 
e) (𝑎4 + 𝑚4)(𝑎4 − 𝑚4) 
f) (𝑎3 + 6𝑦2)2 
g) (𝑚2 + 2𝑛3)2 
h) (𝑏𝑐 +
1
3
𝑎) (𝑏𝑐 −
1
3
𝑎) 
i) (3𝑎𝑏 + 1)2 
 
02) Escreva na forma mais simples o polinômio 2𝑎2 + (𝑎 + 3𝑐)2 − 𝑎(𝑎 + 2𝑐). 
 
03) Sabendo que 𝑥2 + 𝑦2 = 13 e 𝑥𝑦 = 6, dê o valor de (𝑥 + 𝑦)². 
 
04) Sabendo que 𝑥2 + 𝑦2 = 89 e 𝑥𝑦 = 40, dê o valor de (𝑥 − 𝑦)². 
 
05) Calcule o valor de 𝑥2 − 𝑦2, sabendo que 𝑥 + 𝑦 = 2,6 𝑒 𝑥 − 𝑦 = 1,6. 
 
06) Escreva na forma mais simples a expressão (𝑎2 + 𝑏2)2 − (𝑎2 + 𝑏2)(𝑎2 − 𝑏2). 
 
QUESTÕES DE VESTIBULAR 
 
01) (MACK SP) Se (x – y)2 – (x + y)2 = - 20, então x . y é igual a: 
 
a) – 1 b) 0 c) 10 d) 5 e) 
5
1 
 
02) (PUC MG) Se x2 + y2 = 17 e xy = 16, o valor de (x + y)2 é: 
 
38 
 
a) 32 b) 41 c) 49 d) 53 e) 54 
 
03) (UFC CE) Seja A = 
23
1
+
, e B = 
23
1
−
 , então, A + B é igual a: 
 
a) – 2 2 b) 3 2 c) –2 3 d) 3 3 e) 2 3 . 
 
04) (UFC CE) O valor exato de 7103271032 −++ é: 
 
a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 8 
 
05) (IBMEC SP) Sendo x e y dois números reais não nulos, a expressão (x–2 + y–2) –1 é equivalente a 
 
a) 
22
22
yx
yx
+
 b) 
2
yx
xy








+
 c) 
2
yx 22 + d) (x + y)2 e) x2 + y2 
 
06) (MACK SP) 
...)7333,0(
12
12
12
12
...)1222,0(








+
−
+
−
+
é igual a: 
 
a) 1 b) 2 c) 
15
11 d) 
90
73 e) 3 
 
07) (FUVEST SP) A diferença entre os quadrados de dois números naturais é 21. Um dos possíveis valores 
da soma dos quadrados desses dois números é: 
 
a) 29 b) 97 c) 132 d) 184 e) 252 
 
08) (UNCISAL) Considerando-se que x e y são números inteiros positivos, que 225)yx( 2 =+ e que 
105yx 22 =+ , pode-se afirmar que a expressão y) . x()yx( ++ possui um valor numérico igual a 
 
a) 60. b) 75. c) 90. d) 105. e)120. 
 
09) (UNIFOR CE) A expressão 
3
7 3
7
7 3+
+
−
 é equivalente a 
 
a) 
6 3 7
3
+ −
 b) 
6 3 7
3
− +
 c) 
21 2
2
+
 d) 
3 7
2
+
 e) 
2 21
2
−
 
 
10) (PUC RJ) Se 1bb3bb3 =+− , então b é igual a: 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 1 e) 1 
 
39 
 
11) (ESPM SP) O valor da expressão 
12
12
12
12
−
+
−
+
− é igual a: 
 
a) 22 b) 22− c) 0 d) 24 e) 24− 
 
12) (FUVEST SP) Qual é o valor da expressão 
13
13
13
13
+
−
−
+
+ ? 
 
a) 3 b) 4 c) 3 d) 2 e) 2 
 
13) (FUVEST SP) Dado 
 3 2
2
35
2 −
−
 é igual a: 
 
a) 3 435 ++ b) 3 235 −+ c) 3 235 −− d) 3 435 −+ e) 3 435 −− 
 
14) (PUC RJ) A expressão 5555 −+ é igual a: 
 
a) 0 b) 5 c) 55 − d) 52 e) 20 
 
GABARITO 
 
EXERCÍCIOS 
01) a) 49𝑎2 − 1 𝑏) 4 + 36𝑥 + 81𝑥² 𝑐) 36𝑥² − 12𝑥𝑦 + 𝑦² 𝑑) 9𝑥² + 4𝑎𝑥 +
4
9
𝑎² 
 e) 𝑎8 − 𝑚8 𝑓) 𝑎6 + 12𝑎³𝑦² + 36𝑦4 𝑔) 𝑚4 + 4𝑚²𝑛³ + 4𝑛6 ℎ) 𝑏²𝑐² −
1
9
𝑎² 
 i) 9𝑎2𝑏2 + 6𝑎𝑏 + 1 
02) 2𝑎2 + 4𝑎𝑐 + 9𝑐2 03) 25 04) 9 05) 4,16 06) 2𝑎2𝑏2 + 2𝑏4 
 
QUESTÕES DE VESTIBULAR 
01) D 
02) C 
03) E 
04) C 
05) A 
06) A 
07) A 
08) B 
09) C 
10) C 
11) E 
12) B 
13) D 
14) D 
 
 
 
 
40 
 
CAPÍTULO 05 – FATORAÇÃO 
 
Fatorar um polinômio é escreve-lo sob a forma de um produto indicado. Os casos de fatoração mais 
indicados são: 
 
1º)Fator Comum: ax + bx = x(a + b) 
A forma mais básica de fatoração é a colocação de fatores comuns em evidência. 
No exemplo abaixo o fator 5 é comum a todos os termos e por isto é possível colocá-lo em evidência: 
 
5𝑥 + 5𝑦 
 
Colocamos o fator 5 em evidência o destacando e o multiplicando pela a expressão quociente da divisão 
da sentença original por tal fator, inserida entre parênteses: 
 
5𝑥 + 5𝑦 = 5 ∙ (𝑥 + 𝑦) 
 
Exemplos: 
 
𝑎) 7𝑎 + 7𝑏 
𝑏) 15𝑥2 − 5𝑥𝑦 
𝑐)14𝑎5𝑏2 + 28𝑎3𝑏 − 21𝑎4 
 
2º) Agrupamento: ax + bx + ay + by = (a + b)(x + y) 
No tipo de fatoração por agrupamento não temos um fator que é comum a todos os termos, no entantotemos fatores que são comuns a alguns termos e outros fatores que são comuns a outros termos. 
Vejamos o exemplo abaixo: 
 
4𝑥 + 6𝑎 + 2𝑏𝑥 + 3𝑏𝑎 = 
2 ∙ (2𝑥 + 3𝑎) + 𝑏 ∙ (2𝑥 + 3𝑎) = 
(2 + 𝑏) ∙ (2𝑥 + 3𝑎) 
Mais exemplos: 
𝑎) 2𝑥𝑦 − 12𝑥 + 3𝑏𝑦 − 18𝑏 
𝑏) 6𝑥2𝑏 + 42𝑥2 − 𝑦2𝑏 − 7𝑦² 
𝑐) 𝑥2 − 10𝑥 + 𝑥𝑦 − 10𝑦 
𝑑)𝑎3𝑏 + 𝑎2 + 5𝑎𝑏3 + 5𝑏² 
𝑒) 2𝑥𝑦 − 4𝑥 + 3𝑥𝑦 − 6𝑥 + 4𝑥𝑦 − 8 
 
3º) Diferença de Dois Quadrados: a2 - b2 = (a + b)(a - b) 
Este e os próximos dois tipos de fatoração que veremos estão relacionados aos produtos notáveis. Aos 
estudá-los vimos que o produto da soma pela diferença de dois termos nos leva à diferença de dois 
http://www.matematicadidatica.com.br/ProdutosNotaveis.aspx
41 
 
quadrados, então podemos utilizar de forma inversa este conhecimento na fatoração da diferença de dois 
quadrados. 
 Exemplo: 
 
25 − 𝑥2 = (5 + 𝑥) ∙ (5 − 𝑥) 
 
𝑎) 169𝑎2 − 196𝑏² 
𝑏) 49𝑤2 − 36𝑦² 
𝑐) 256𝑎4 − 729𝑏6 
 
4º) Trinômio Quadrado Perfeito - Soma: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 
Quando desenvolvemos o quadrado da soma de dois termos chegamos a um trinômio quadrado 
perfeito, que é o que demonstra a sentença acima, só que temos os membros em ordem inversa. Então 
o quadrado da soma de dois termos é a forma fatorada de um trinômio quadrado perfeito. 
Exemplos: 
 
𝑥2 + 14𝑥 + 49 = (𝑥 + 7)² 
 
𝑎) 121 + 22𝑎 + 𝑎² 
𝑏) 4𝑥2 + 12𝑥𝑦 + 9𝑦² 
𝑐)25𝑧4 + 100𝑧2 + 100 
 
5º) Trinômio Quadrado Perfeito - Diferença: a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 
Assim como o caso da soma visto acima, de forma análoga temos o caso da diferença. 
Exemplos: 
 
4𝑥2 − 20𝑥 + 25 = (2𝑥 − 5)² 
 
𝑎) 9𝑥2 − 24𝑥𝑦 + 16𝑦² 
𝑏) 49𝑎2 − 84𝑎𝑏 + 36𝑏² 
𝑐) 9𝑚4 − 12𝑚2 + 4 
 
 
01) Colocando o fator comum em evidência, fatore no caderno os seguintes polinômios: 
 
a) 10𝑎 + 10𝑏 
b) 4𝑎 − 3𝑎𝑥 
c) 𝑎2 + 5𝑎𝑏 
d) 𝑥𝑦 + 𝑦2 − 𝑦 
e) 
1
3
𝑎 +
1
6
𝑏 
f) 35𝑐 + 7𝑐2 
g) 24𝑥5 − 8𝑥4 − 56𝑥3 
h) 𝑝𝑎2 + 𝑝𝑎𝑏 + 𝑝𝑏2 
i) 35𝑥3𝑦2 − 14𝑥2𝑦3 
j) 𝑦 + 𝑦3 + 𝑦5 + 𝑦7 
k) 𝑥𝑦 − 𝑥3𝑦3 
l) 120𝑎𝑥3 − 100𝑎𝑥2 + 60𝑎𝑥 
m) 𝑎(𝑚 + 1) − 𝑏(𝑚 + 1) 
n) 𝑥 ∙ (𝑛 + ℎ) + 𝑦 ∙ (𝑛 + ℎ) 
o) 𝑏2𝑚2 + 4𝑏2𝑚𝑛 
http://www.matematicadidatica.com.br/ProdutosNotaveis.aspx
42 
 
p) 
2
3
𝑎5 +
8
3
𝑎3 
q) 
𝑎
2
+
𝑎3
2
+
𝑎5
2
 
r) 𝑥 ∙ (𝑎 + 𝑏) + 𝑦 ∙ (𝑎 + 𝑏) − 𝑧 ∙ (𝑎 + 𝑏) 
s) 
5
4
𝑥3 −
3
4
𝑥2 
t) 
𝑎𝑏
8
+
𝑎2𝑏
4
−
𝑎𝑏2
2
 
 
02) Fatore no caderno os seguintes polinômios: 
 
a) 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 
b) 𝑎𝑥 − 𝑥 + 𝑎𝑏 − 𝑏 
c) 𝑎5 + 𝑎3 + 2𝑎2 + 2 
d) 𝑏𝑥2 − 2𝑏𝑦 + 5𝑥2 − 10𝑦 
e) 𝑐𝑥 + 𝑥 + 𝑐 + 1 
f) 2𝑏2 + 2 − 𝑏2𝑘 − 𝑘 
g) 5𝑦3 − 4𝑦2 + 10𝑦 − 8 
h) 𝑥 − 1 +
𝑎𝑥
2
−
𝑎
2
 
i) 15 + 5𝑦 + 2𝑎𝑦 + 6𝑎 
j) 𝑎12 + 𝑎8 − 𝑎4 − 1 
k) 2𝑎𝑛 + 𝑛 − 2𝑎𝑚 − 𝑚 
l) 
1
2
+
1
2
𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦 
m) 𝑥2 − 81 
n) 100 − 𝑎2 
o) 𝑏2 −
4
25
 
p) 1 − 𝑚2𝑛2 
q) 16𝑥2 − 9𝑦2 
r) 
1
9
− 4𝑦2 
s) 49ℎ2 − 81𝑝2 
t) 
1
100
− 𝑥2𝑦2 
u) 𝑏2 −
𝑐2
16
 
v) 
1
25
−
𝑎2
4
 
w) 𝑥4 − 𝑦4 
x) 𝑎2𝑏4 − 𝑥2 
y) 𝑎6 − 𝑏6 
z) 𝑥10 − 100 
aa) 𝑦8 − 9 
bb) 𝑟2 − 81𝑠4 
cc) 𝟒𝑥2 − 12𝑥𝑦 + 9𝑦2 
dd) 𝑦2 + 10𝑦 + 25 
ee) 81𝑛2 − 18𝑛 + 1 
ff) 4𝑎2 + 16𝑎𝑥 + 16𝑥2 
gg) 121𝑥2𝑦2 + 44𝑥𝑦 + 4 
hh) 𝑥2 −
2
5
𝑥 + 4 
ii) 100𝑝2 − 20𝑛𝑝 + 𝑛2 
jj) 𝑦2 + 14𝑦 + 49 
kk) 𝑎6 + 12𝑎3 + 36 
ll) 
1
4
𝑚2 −
1
3
𝑚 +
1
9
 
mm) 4𝑝2 − 28𝑝 + 49 
nn) 16𝑥4 + 8𝑥2𝑦 + 𝑦2 
oo) 𝑥2 − 2𝑏𝑐𝑥 + 𝑏2𝑐2 
pp) 𝑚10 + 4𝑚5𝑛3 + 4𝑛6 
 
03) Fatore de forma completa os polinômios: 
 
a) 𝑎4 − 𝑏4 
b) 3𝑥2 − 6𝑥 + 3 
c) 𝑚2𝑥 − 𝑥 
d) 5𝑎2 + 30𝑎𝑏 + 45𝑏2 
e) 𝑥3𝑦 − 𝑥𝑦3 
f) 𝑚8 − 𝑛8 
g) 𝑥3 − 𝑥𝑦2 + 𝑥2𝑦 − 𝑦3 
h) 1 −
1
16
𝑝4 
i) 𝑦3 +
4
3
𝑦2 +
4
9
𝑦 
j) 𝑎𝑥2 − 𝑎 + 𝑏𝑥2 − 𝑏 
 
04) Simplifique no caderno as frações algébricas: 
a) 
5𝑎𝑏
20𝑏𝑐
 
b) 
𝑥4𝑦
𝑥6
 
c) 
12𝑚2𝑥
10𝑚𝑥2
 
d) 
2𝑎3𝑏2𝑐
𝑎4𝑏4
 
e) 
2𝑚10𝑛7
5𝑚5𝑛7
 
f) 
𝑥2𝑦2
6𝑥3𝑦
 
g) 
8
4𝑎−4𝑥
 
h) 
2ℎ3
ℎ3−ℎ2
 
05) Simplifique as seguintes frações algébricas: 
 
a) 
𝑎𝑐−𝑐
𝑐2−𝑐
 
b) 
3𝑥+3𝑦
3−3𝑎
 
c) 
𝑎2−𝑏2
𝑎3−𝑎2𝑏
 
d) 
𝑚2−25
7𝑚−35
 
e) 
𝑥2−8𝑥+16
𝑥2−16
 
f) 
𝑎3+2𝑎2
𝑎2+4𝑎+4
 
g) 
𝑥2+5𝑎𝑥
3𝑥+15𝑎
 
h) 
𝑥2𝑦2−1
2𝑥𝑦+2
 
43 
 
 
06) Dê o valor numérico do polinômio 𝑎𝑏 + 𝑏2 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 , sabendo que 2𝑎 + 2𝑏 = 36 𝑒 3𝑏 + 3𝑐 = 21. 
 
QUESTÕES DE VESTIBULAR 
 
01) (FGV)O valor da expressão 
x7,0
x49,0
y
2
+
−
= para x = –1,3 é: 
a) 2 b) –2 c) 2,6 d) 1,3 e) – 1,3 
 
02) (UNIFOR CE) O número real 
x2x
4x4x
4x
x6x3x3
y
2
2
2
23
−
+−
+
−
−+
= é equivalente a: 
 
a) 
)2x.(x
4x2x3 23
−
+− b)
)2x.(x
4x4x2x3 23
−
+−− c) 
4
21x6x3 3 −− d) 
)1x.(2
2x2x3 2
−
−− e)
x2
4x2x3 2 −+ 
 
03) (UFC CE) Se a expressão 
1x2
b
1x2
a
1x4
5x2
2 −
+
+
=
−
+ , onde a e b são constantes, é verdadeira para todo 
número real x   1/2, então o valor de a + b é: 
 
a) –2 b) –1 c) 1 d) 2 e) 3 
 
04) (UFC CE) O expoente do número 3 na decomposição por fatores primos positivos do número natural 
1063 – 1061 é igual a: 
 
a) 6. b) 5. c) 4. d) 3. e) 2. 
 
05) (UNESP SP) A expressão 
1²x
3x3
2x3²x
8x4
−
−
+
++
+
, para x   1, x  - 2, é equivalente a: 
a) 
1x
3
1x
4
−
−
+
 b) 
1x
1
+
 c) 
1x
7
+
 d) 
1x
3
1x
4
−
+
+
 e) 
1x
1
−
 
 
06) (FURG RS) O valor da expressão: 
n2n
1n2n3n
22
222
A
+
−+
=
−
−++
 
a) 
5
23 b) 
10
46 c) 
2
11 d) 
5
46 e) 
8
115 
 
07) (UNIFOR CE) Se y é um número real, tal que 
22 ax
x2
ax
1
ax
1
y
−
−
−
−
+
= , então y é equivalente a 
a) 
xa
2
−
 b) 
ax
2
−
 c) 
xa
1
−
 d) 
ax
1
−
 e) 
xa
xa
−
+ 
 
08) (ESPM SP) O valor da expressão numérica 
1925
2032
33
33
+
− é igual a 
 
44 
 
a) 1 294 b) 2 184 c) 826 d) 3 114 e) 1 836 
 
09) (UNIA SP) Simplificando a expressão
 
3n
n4n
2.2
2.22
+
+ − , obtém–se: 
a) 2n + 1 = 
8
1 b) 
8
7 c) –2n + 1 d) 1 – 2n e) 
4
7 
 
10) (UFU MG) Desenvolvendo o número 1065 – 92 iremos encontrar todos os algarismos que o compõem. 
Assim, pode-se afirmar que a soma desses algarismos é igual a 
 
a) 575 b) 573 c) 566 d) 585 
GABARITO 
 
EXERCÍCIOS 
01) 𝑎) 10(𝑎 + 𝑏) 𝑏) 𝑎(4 − 3𝑥) 𝑐) 𝑎(𝑎 + 5𝑏) 𝑑) 𝑦(𝑥 + 𝑦 − 1) 𝑒) 
1
3
(𝑎 +
1
2
𝑏) 
f)7𝑐(5 + 𝑐) 𝑔) 8𝑥3(3𝑥2 − 𝑥 − 7) ℎ) 𝑝(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) 𝑖) 7𝑥2𝑦2(5𝑥 − 2𝑦) 𝑗) 𝑦(1 + 𝑦2 + 𝑦4 + 𝑦6) 
k) 𝑥𝑦(1 − 𝑥2𝑦2) 𝑙) 20𝑎𝑥(6𝑥2 − 5𝑥 + 3) 𝑚) (𝑚 + 1)(𝑎 − 𝑏) 𝑛) (𝑛 + ℎ)(𝑥 + 𝑦) 
o) 𝑏2𝑚(𝑚 + 4𝑛) 𝑝) 
2
3
𝑎3(𝑎3 + 4) 𝑞) 
𝑎
2
(1 + 𝑎2 + 𝑎4) 𝑟) (𝑎 + 𝑏)(𝑥 + 𝑦 − 𝑧) 
s) 
𝑥2
4
(5𝑥 − 3) 𝑡) 
𝑎𝑏
2
(
1
4
+
𝑎
2
− 𝑏) 
02) 𝑎) (𝑎 + 𝑥)(𝑎 + 𝑏) 𝑏) (𝑥 + 𝑏)(𝑎 − 1) 𝑐) (𝑎2 + 1)(𝑎3 + 2) 𝑑) (𝑏 + 5)(𝑥2 − 2𝑦) 
e) (𝑥 + 1)(𝑐 + 1) 𝑓) (2 − 𝑘)(𝑏2 + 1) 𝑔) (𝑦2 + 2)(5𝑦 − 4) ℎ) (1 +
𝑎
2
)(𝑥 − 1) 
i) (5 + 𝑎)(3 + 𝑦) 𝑗) (𝑎8 − 1)(𝑎4 + 1) 𝑘) (𝑛 − 𝑚)(2𝑎 + 1) 𝑙) (
1
2
+ 𝑦)(1 + 𝑥) 
m) (𝑥 + 9)(𝑥 − 9) 𝑛) (10 + 𝑎)(10 − 𝑎) 𝑜) (𝑏 +
2
5
) (𝑏 −
2
5
) 𝑝)(1 + 𝑚𝑛)(1 − 𝑚𝑛) 
q) (4𝑥 + 3𝑦)(4𝑥 − 3𝑦) 𝑟) (
1
3
+ 2𝑦) (
1
3
− 2𝑦) 𝑠) (7𝑛 + 9𝑝)(7𝑛 − 9𝑝) 𝑡) (
1
10
+ 𝑥𝑦)(
1
10
− 𝑥𝑦) 
u) (𝑏 +
𝑐
4
) (𝑏 −
𝑐
4
) 𝑣) (
1
5
+
𝑎
2
) (
1
5
−
𝑎
2
) 𝑤) (𝑥2 + 𝑦2)(𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) 
x) (𝑎𝑏2 + 𝑥)(𝑎𝑏2 − 𝑥) 𝑦) (𝑎3 + 𝑏3)(𝑎3 − 𝑏3) 𝑧) (𝑥5 + 10)(𝑥5 − 10) 𝑎𝑎) (𝑦4 + 3)(𝑦4 − 3) 
bb) (𝑟 + 9𝑠2)(𝑟 − 9𝑠2) 𝑐𝑐) (2𝑥 − 3𝑦)2 𝑑𝑑) (𝑦 + 5)2 𝑒𝑒) (9𝑛 − 1)² 
ff) (2𝑎 + 4𝑥)2 𝑔𝑔) (11𝑥𝑦 + 2)2ℎℎ) 𝑛ã𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑖𝑖) (10𝑝 − 𝑛)² 
jj) (𝑦 + 7)2 𝑘𝑘) (𝑎3 + 6)2 𝑙𝑙) (
1
2
𝑚 −
1
3
)
2
 𝑚𝑚) (2𝑝 − 7)2 𝑛𝑛) (4𝑥2 + 𝑦)² 
oo) (𝑥 − 𝑏𝑐)2 𝑝𝑝) (𝑚5 + 2𝑛3)² 
03) 𝑎)(𝑎2 + 𝑏2)(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) 𝑏) 3(𝑥 − 1)2 𝑐) 𝑥(𝑚 + 1)(𝑚 − 1) 𝑑) 5(𝑎 + 3𝑏)² 
e) 𝑥𝑦(𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) 𝑓) (𝑚4 + 𝑛4)(𝑚2 + 𝑛2)(𝑚 + 𝑛)(𝑚 − 𝑛) 𝑔) (𝑥 + 𝑦)²(𝑥 − 𝑦) 
h) (1 +
1
4
𝑝2) (1 +
1
2
𝑝) (1 −
1
2
𝑝) 𝑖) 𝑦 (𝑦 +
2
3
)
2
 𝑗) (𝑎 + 𝑏)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) 
04) 𝑎) 
𝑎
4𝑐
 𝑏) 
𝑦
𝑥²
 𝑐) 
6𝑚
5𝑥
 𝑑) 
2𝑐
𝑎𝑏²
 𝑒) 
2𝑚5
5
 𝑓) 
𝑦
6𝑥
 𝑔) 
2
𝑎−𝑥
 ℎ) 
2ℎ
ℎ−1
 
05) 𝑎) 
𝑎−1
𝑐−1
 𝑏) 
𝑥+𝑦
1−𝑎
 𝑐) 
𝑎+𝑏
𝑎²
 𝑑) 
𝑚+5
7
 𝑒) 
𝑥−4
𝑥+4
 𝑓) 
𝑎²
𝑎+2
 𝑔) 
𝑥
3
 ℎ) 
𝑥𝑦−1
2
 
06) 126 
QUESTÕES DE VESTIBULAR 
01) A 
02) B 
03) C 
04) E 
05) C 
06) D 
07) A 
08) B 
09) B 
10) A
 
45 
 
CAPÍTULO 06 – EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU 
 
Toda sentença aberta expressa por uma igualdade é uma equação. 
A expressão matemática situada à esquerda do símbolo = é denominada primeiro membro, e a expressão 
situada à direita é denominada segundo membro. 
Assim, na equação 
7𝑥2 − 3 = 2𝑥 + 5 
Temos quatro termos (7x², -3, 2x e 5) e o primeiro membro é 7x² -3, enquanto o segundo membro é 2x+5. 
Além disso, a letra x é chamada incógnita da equação. 
Toda equação que, reduzida à sua forma mais simples assume a forma 
𝑎𝑥 = 𝑏 
Em que x representa a incógnita, e a e b são números racionais com a ≠0 é denominada equação do 
primeiro grau com uma incógnita. 
Exemplos de resolução de equação: 
 
𝑎) 5𝑥 + 1 = 36 
𝑏) 7𝑥 = 4𝑥 + 5 
𝑐) 9𝑥 − 7 = 5𝑥 + 13 
𝑑) 2(2𝑥 − 1) − 6(1 − 2𝑥) = 2(4𝑥 + 5) 
𝑒) 3 − (3𝑥 − 6) = 2𝑥 + (4 − 𝑥) 
𝑓) 
3𝑥
4
−
2
3
= 𝑥 −
5
2
 
𝑔) 
2𝑥 + 5
3
−
4𝑥 − 9
6
=
3 − 4𝑥
2
 
 
EXERCÍCIOS 
01) Resolva: 
 
a) 5x – 40 = 2 – x 
b) 20 + 6x = -2x + 26 
c) 3,5x + 1 = 3 + 3,1x 
d) 7p + 15 – 5p - 10 = - 17 + 13p 
e) 13y – 5 = 11 + 9y 
f) 9t – 14 = 7t + 20 
g) 5 – a – 11 = 4a – 22 
h) 2y + 21 – 6y = - 12 + y – 7 
i) 3(x – 2) – (1 – x) = 13 
j) 6(4 – t) – 55 = - 5(2t+ 3) 
k) 5 – 4(x – 1) = 4x – 3(4x – 1) – 4 
l) 3(y – 3) + 4 = 2[-(y – 5) – 4(2y + 1)] 
m) 𝑥 +
𝑥
4
= 20 
𝑛) 
𝑥
2
−
𝑥
5
= 21 
𝑜) 
2𝑥
5
− 2 =
𝑥
4
+ 4 
𝑝) 
2𝑥
9
+
1
6
=
4𝑥
3
+
1
2
 
𝑞) 
5𝑥
4
−
3𝑥 − 9
6
=
9
2
 
𝑟) 
1 + 7𝑥
7
− 1 =
3
7
−
2(2 − 𝑥)
7
 
𝑠) 
3𝑥 + 1
3
=
6𝑥 + 1
12
+
𝑥 + 2
4
 
 
46 
 
02) A soma da sexta parte com a quarta parte de um determinado número é o mesmo que a diferença 
entre esse número e 56. Qual é o número? 
 
03) Uma empresa, em Viçosa, deu férias coletivas aos seus empregados. Sabe-se que 48% dos 
empregados viajaram para o Rio de Janeiro, 28% viajaram para Belém e os 12 restantes ficaram em Viçosa. 
Nessas condições, quantos empregados tem essa empresa? 
 
04) Uma casa, com 250 m2 de área construída, tem 4 dormitórios do mesmo tamanho. Qual é a área de 
cada dormitório, se as outras dependências da casa ocupam uma área de 170 m2? 
 
05) Um reservatório contém combustível até 2/5 de sua capacidade total e necessita de 15 litros para 
atingir 7/10 da mesma. Qual é a capacidade total desse reservatório? 
 
06) A soma de três números inteiros e consecutivos é 60. Qual é o produto desses três números. 
 
QUESTÕES DE VESTIBULAR 
 
01) ( UNICAMP) Para transformar graus Farenheit em graus centígrados usa-se a fórmula 
 ( )C F= −
5
9
32 onde F é o número de graus Farenheit e C é o número de graus centígrados. 
a) Transforme 35 graus centígrados em graus Farenheit. 
b) Qual a temperatura ( em graus centígrados ) em que o número de graus Farenheit é o dobro do 
número de graus centígrados ? 
 
02) (ANGLO) A raiz da equação 
2 1
3 2
1
x x+
− = é um número compreendido entre : 
 a) 0 e 1 b) 2 e 3 c) 3 e 5 d) 5 e 8 e) 9 e 15 
 
03) (VUNESP) Duas empreiteiras farão simultaneamente a pavimentação de uma estrada, cada uma 
trabalhando a partir de uma das extremidades. Se uma delas pavimentar 2/5 da estrada e a outra os81 
km restantes, a extensão dessa estrada é de: 
a)125km b)135km c)142km d)145km e)160km 
 
04) (IMES) Um automóvel, com velocidade de 84 km/h, rodando 5 horas por dia, fez certo percurso em 
12 dias. Se a velocidade fosse de 105 km/h e se rodasse 3 horas por dia, teria feito o mesmo percurso em 
a) 10 dias b)12 dias c)14 dias d)16 dias e) 18 dias 
 
05) (FUVEST) Duas garotas realizam um serviço de datilografia. A mais experiente consegue fazê-lo em 
duas horas, a outra em 3 horas. Se dividirmos o serviço de modo que as duas juntas possam fazê-lo no 
menor tempo possível, esse tempo será: 
a) 1,5 horas b) 2,5/ horas c) 72 minutos d) 1 hora e) 95 minutos 
 
47 
 
06) (PUC-SP) Um feirante compra maçãs ao preço de R$ 0,75 para cada duas unidades e as vende ao 
preço de R$ 3,00 para cada 6 unidades. O número de maçãs que deverá vender para obter um lucro de 
R$ 50,00 é: 
a) 40 b) 52 c) 400 d) 520 e) 600 
 
07) (ESPM) No quadrado mágico abaixo, a soma dos três números de cada linha, de cada coluna ou de 
cada diagonal tem sempre o mesmo valor. 
x+2 y x 
 x+3 
16 x+4 
Nessas condições, o valor de y é: 
a)19 b)17 c)15 d)12 e)10 
 
08) (FUVEST) Sabe-se que a média aritmética de 5 números inteiros distintos, estritamente positivos, é 
16. O maior valor que um desses inteiros pode assumir é: 
a) 16 b)20 c)50 d)70 e)100 
 
09) (METODISTA) Um aluno fez 5 provas de matemática e obteve média final 4,8. Sua professora, de 
espírito maternal, resolveu desconsiderar a pior nota. Em consequência disso, a média da aluna passou a 
ser 5,5 com 4 provas. A pior nota obtida pela aluna foi: 
a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 d) 3,0 e) 3,5 
 
10) (UNICAMP-2a FASE) Após ter corrido 2/7 de um percurso e, em seguida, caminhado 5/11 do mesmo 
percurso um atleta verificou que ainda faltavam 600 metros para o final do percurso. 
a) Qual o comprimento total do percurso? 
b) Quantos metros o atleta havia corrido? 
c) Quantos metros o atleta havia caminhado? 
 
11) (UNICAMP-2a FASE) Uma senhora comprou uma caixa de bombons para seus filhos. Um destes tirou 
para si metade dos bombons da caixa. Mais tarde, o outro menino também tirou para si metade dos 
bombons que encontrou na caixa. Restaram 10 bombons. Calcule quantos bombons havia inicialmente 
na caixa. 
 
12) (UNICAMP-2a FASE) Alguns jornais calculam o número de pessoas presentes em atos públicos 
considerando que cada metro quadrado é ocupado por 4 pessoas. Qual a estimativa do número de 
pessoas presentes numa praça de 4000m² que tenha ficado lotada para um comício, segundo essa 
avaliação? 
 
13) (UNICAMP-2a FASE) A companhia de Abastecimento de Água de uma cidade cobra mensalmente, pela 
água fornecida a uma residência, de acordo com a seguinte tabela: 
48 
 
Pelos primeiros 12m
3
 fornecidos, R$15,00 por m 3 ; pelos 8 m 3 seguintes, R$ 50,00 por m 3 ; pelos 10 m
3
 seguintes, R$ 90,00 por m 3 e, pelo consumo que ultrapassar 30 m 3 , R$ 100,00 o m 3 . Calcule o 
montante a ser pago por um consumo de 32 m 3 . 
 
14) (UNICAMP-2a FASE) Na hora de fazer seu testamento, uma pessoa tomou a seguinte decisão: dividiria 
a sua fortuna entre sua filha, que está grávida, e a prole resultante dessa gravidez, dando a cada criança 
que fosse nascer o dobro daquilo que caberia a mãe, se fosse do sexo masculino e o triplo daquilo que 
caberia a mãe se fosse do sexo feminino. Nasceram trigêmeos, sendo dois meninos e uma menina.Como 
veio a ser repartida a herança legada? 
 
15) (FUNDAÇÃO ) Em um tanque de combustível foram colocados 8 litros de gasolina. O ponteiro do 
marcador de combustível que indicava 1/3 da capacidade do tanque, passou a marcar 4/5 . O valor da 
capacidade total do tanque em litros é : 
a) 120/15 b) 17 c) 120 d) 100 e) 120/7 
 
16) (ANGLO) A raiz da equação 2
2
1
4
13
=
−
−
− xx
é : 
a) menor que 2 b) um número par c) um múltiplo de 3 d) está entre 5 e 8 e) maior que 9 
 
17) (ANGLO) Um barril está cheio e contém uma mistura de água e vinho. O vinho ocupa 70 litros mais 
do que a metade do barril e a água ocupa 65 litros mais que a quarta parte do barril. A capacidade do 
barril é de: 
 
a) 480 litros b) 540 litros c) 600 litros d) 620 litros e) 635 litros 
 
18) (ANGLO) Para que a equação mx - x = n-2, na incógnita x, não admita solução, devemos ter: 
a) m=1 e n=2 b) m=1 e n 2 c) m1 e n=2 d) m1 e n2 e) m0 e n=2 
 
19) (ANGLO) Por 2/3 de um lote de peças iguais, um comerciante pagou R$ 8,00 a mais do que pagaria 
pelos 2/5 do mesmo lote. Qual o preço do lote todo? 
a) R$ 30,00 b) R$ 27,00 c) R$ 20,00 d) R$18,00 e) R$ 19,00 
 
20) (ANGLO) Pedro pediu que seu primo Carlos pensasse em um número e, a seguir, fizesse as seguintes 
operações: 
1) Adicionasse 40 ao número pensado. 
2) Multiplicasse por 5 o resultado obtido. 
3) Dividisse por 2 o novo resultado. 
Ao término dessas operações, Carlos encontrou 120 como resultado. O número que Carlos pensou era: 
a) negativo b) zero c) positivo maior que 8 d) par e) ímpar 
 
49 
 
21) (UNICAMP-04) Em uma sala há uma lâmpada, uma televisão [TV] e um aparelho de ar condicionado 
[AC]. O consumo da lâmpada equivale a 2/3 do consumo da TV e o consumo do AC equivale a 10 vezes o 
consumo da TV. Se a lâmpada, a TV e o AC forem ligados simultaneamente, o consumo total de energia 
será de 1,05 quilowatts por hora [kWh]. Pergunta-se: 
a) Se um kWh custa R$ 0,40, qual será o custo para manter a lâmpada, a TV e o AC ligados por 4 horas por 
dia durante 30 dias? 
b) Qual é o consumo, em kWh, da TV? 
 
22) (PUCSP)Para percorrer uma certa distância, um ciclista observou que, se conduzisse sua bicicleta à 
velocidade média de 12km/h, chegaria a seu destino 1 hora após o meio-dia; entretanto, se a velocidade 
média fosse de 18km/h, chegaria ao mesmo destino 1 hora antes do meio-dia. Se ele pretende fazer o 
mesmo percurso e chegar ao seu destino exatamente ao meio-dia, a quantos quilômetros por hora, em 
média, deverá conduzir sua bicicleta? 
A) 15,6 B) 14,2 C) 15 D) 14 E) 14,4 
 
23) (ESPM) Do centro de uma cidade até o aeroporto são 40km por uma grande avenida. Os táxis que 
saem do aeroporto cobram R$3,60 pela bandeirada e R$0,80 por quilômetro rodado. Os que saem do 
centro cobram R$2,00 pela bandeirada e R$0,60 por quilômetro rodado. Dois amigos se encontraram num 
restaurante que fica nessa avenida, sendo que um tomou o táxi que sai do aeroporto e o outro tomou o 
que parte do centro e, para surpresa dos dois, os seus gastos foram exatamente iguais. A distância do 
restaurante ao aeroporto é de: 
a) 10km b) 12km c) 14km d) 16km e) 18km. 
 
GABARITO 
 
EXERCÍCIOS 
01) a) 7 b) ¾ c) 5 d) 2 e) 4 f) 17 g) 16/5 h) 8 i) 5 j) 4 k) -5/2 l) 1/3 m) 16 
n) 70 o) 40 p)-3/10 q) 4 r) 1 s) 1 
 02) 96 03) 50 04) 20 05) 50 06) 7980 
QUESTÕES DE VESTIBULAR 
01) 95; 160 
02) C 
03) B 
04) D 
05) C 
06) C 
07) B 
08) D 
09) C 
10) 2310; 660; 1050 
11) 40 
12) 16 000 
13) 1680 
14) 1/8: mãe; ¼: cada menino; 3/8: cada menina. 
15) E 
16) D 
17) B 
18) B 
19) A 
20) D 
21) 50,40; 0,09KWH 
22) E 
23) D 
 
 
50 
 
CAPÍTULO 07 – SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU COM 
DUAS INCÓGNITAS 
 
Toda equação do primeiro grau com duas incógnitas, x e y, por exemplo, tem infinitas soluções, cada uma 
delas indicada por um par ordenado de números: o primeiro número representa sempre o valor da 
incógnita x; o segundo representa sempre o valor da incógnita y. Essa ordem precisa ser respeitada. Daí 
o nome par ordenado. Indica-se: (x,y). 
Quando duas equações do 1º grau com duas incógnitas são escritas ligadas pelo conectivo e, dizemos que 
há um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas, cuja solução é um par ordenado (x,y) 
que satisfaz ao mesmo tempo as duas equações. 
Exemplo: 
{
𝑥 + 𝑦 = 14
4𝑥 + 2𝑦 = 48
 
Para se resolver um sistema de equações do primeiro grau com duas incógnitas, temos três métodos: 
• Substituição 
Exemplos: 
𝑎) {
3𝑥 − 2𝑦 = 6
𝑥 − 3𝑦 = 2
 𝑏) {
𝑥 + 𝑦 = 14
4𝑥 + 2𝑦 = 48
 
 
• Adição 
Exemplos: 
𝑎) {
5𝑥 + 3𝑦 = 21
2𝑥 − 3𝑦 = 14
 𝑏) {
5𝑥 + 3𝑦 = 2
4𝑥 − 2𝑦 = 6
 
 
• Comparação 
Exemplos: 
𝑎) {
𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥 − 𝑦 + 1
 𝑏) {
8𝑥 + 5𝑦 = 11
4𝑥 + 5𝑦 = 3
 
Exemplo geral: 
{
3𝑥 − 20 = 𝑦 − 4
𝑥 + 1
3
=
𝑦 + 2
2
+
𝑥
6
 
 
 
51 
 
RESOLVENDO PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU 
Exemplos; 
a) Um número adicionado a 25 dá soma 67. 
b) Quando subtraímos 10 de determinado número obtemos 51. 
c) A soma entre o dobro de um número e 36 é igual a 54. 
d) Quando subtraímos 100 do dobro de um número obtemos 75. 
e) O dobro de um número aumentado do triplo desse mesmo número é igual a 200. 
f) A metade de um número, menos 21, é igual a -5. 
g) Os 2/3 de um número aumentados de 20 resultam no dobro desse número. 
h) A soma da 3ª parte com a 4ª parte de um número é igual a 50. 
i) O preço de uma caneta é o dobro do preço de uma lapiseira, e as duas juntas custam 30 reais. 
j) A soma das idades de duas pessoas é 25 anos, e a diferença entre essas idades é 13 anos. 
k) Uma tábua tem 150 cm de comprimento e deve ser cortada em dois pedaços, de forma que o 
comprimento de uma parte seja igual a 2/3 do comprimento da outra. 
l) A soma de dois números é 50, e o maior deles é igual ao dobro do menor menos 1. 
m) Um terreno tem 1 300 m² de área, e a parte construída deve ser igual a 5/4 da parte destinada ao 
jardim. 
n) Milena tem 8 notas, umas de 5 reais e outras de 10 reais, num total de 55 reais. 
o) Em um terreiro há galinhas e coelhos, num total de 23 animais e 82 pés. 
 
EXERCÍCIOS 
01) Resolva: 
 
𝑎) {
𝑥 + 𝑦 = 360
𝑥 − 𝑦 = 140
 
 
𝑏) {
3𝑥 − 𝑦 = 4
𝑥 − 𝑦 = 8
 
 
𝑐) {
2(𝑥 − 1) = 3(𝑦 + 1)
𝑥 − 3𝑦 = 𝑦 + 5
 
 
𝑑) {
5𝑥 − 4𝑦 = 20
2𝑥 + 3𝑦 = 8
 
 
𝑒) {
2(𝑥 + 2) − 3(𝑦 − 1) = 5,6
𝑥
2
+
𝑦
4
= 0,45
 
 
𝑓) {
𝑥 + 5
5
= 𝑦 −
𝑦
2
5𝑥
2
+ 3(𝑦 − 10) = 5(𝑥 − 10)
 
 
𝑧) {
𝑥 − 𝑦
6
+
𝑥 + 𝑦
8
= 5
𝑥 + 𝑦
4
−
𝑥 − 𝑦
5
= 10
 
 
02) Em um terreiro há galinhas e coelhos, num total de 13 animais e 46 pés. Quantas galinhas e quantos 
coelhos há nesse terreno? 
 
03) A soma de dois números é 20. Se o dobro do maior é igual ao triplo do menor, determine o quadrado 
da diferença desses dois números. 
 
 
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QUESTÕES DE VESTIBULAR 
 
01) (FUVEST) Um copo cheio de água pesa 325 g. Se jogarmos metade da água fora, seu peso cai para 180 
gramas. O peso do copo vazio é: 
a) 20g b) 25g c) 35g d) 40g e) 45g 
 
02) (METODISTA) Um elevador pode levar 20 adultos ou 24 crianças. Se 15 adultos já estão no elevador, 
quantas crianças podem ainda entra? 
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 
 
03) (ANGLO) A idade de Diego é o dobro da idade de Renato. Sabendo-se que daqui a 12 anos Diego terá 
5 anos a mais que Renato, hoje qual é a soma das duas idades? 
a) 8 anos b)15 anos c) 18 anos d) 20 anos e) 22 anos 
 
04) (ANGLO) Eu tenho o dobro da idade que ela tinha, quando eu tinha a idade que ela tem. Hoje a soma 
de nossas idades é 77. Qual é a minha idade? 
a) 40 b)42 c) 44 d) 46 e) 48 
 
05) (VUNESP) Um clube promoveu um show de música popular brasileira ao qual compareceram