Matemática e Raciocínio Lógico

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Didatismo e Conhecimento
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO
TRT - RO JANEIRO /2011 TECNICO
MATEMÁTICA NÚMEROS 
INTEIROS E RACIONAIS: Operações 
(adição, subtração, multiplicação, divisão, 
potenciação).
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS – Z
Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião 
do conjunto dos números naturais (N = {0,1,2,3,4, ..., n, ...}, o 
conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto 
é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto 
pode ser escrito por: Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos 
notáveis:
 O conjunto dos números inteiros não nulos:
Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...}; 
Z* = Z – {0}
 O conjunto dos números inteiros não negativos:
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
Z+ é o próprio conjunto dos números naturais: Z+ = N
 O conjunto dos números inteiros positivos:
Z*+ = {1, 2, 3, 4, ...}
 O conjunto dos números inteiros não positivos:
Z_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}
 O conjunto dos números inteiros negativos:
Z*_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1}
Módulo: chama-se módulo de um número inteiro a distância 
ou afastamento desse número até o zero, na reta numérica inteira. 
Representa-se o módulo por | |.
O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0
O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7
O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9
O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é 
sempre positivo.
Números Opostos: Dois números inteiros são ditos opostos 
um do outro quando apresentam soma zero; assim, os pontos que 
os representam distam igualmente da origem.
Exemplo: O oposto do número 2 é -2, e o oposto de -2 é 2, 
pois 2 + (-2) = (-2) + 2 = 0
No geral, dizemos que o oposto, ou simétrico, de a é – a, e 
vice-versa; particularmente o oposto de zero é o próprio zero.
ADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos 
números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros 
negativos a idéia de perder.
ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+5) + (+3) = (+8)
perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7)
ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3)
perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3)
O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas 
o sinal (–) antes do número negativo nunca pode ser dispensado.
Propriedades da adição de números inteiros: O conjunto 
Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros 
ainda é um número inteiro.
Associativa: Para todos a,b,c em Z:
a + (b + c) = (a + b) + c
2 + (3 + 7) = (2 + 3) + 7
Comutativa: Para todos a,b em Z:
a + b = b + a
3 + 7 = 7 + 3
Elemento Neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em 
Z, proporciona o próprio z, isto é:
z + 0 = z
7 + 0 = 7
Elemento Oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que
z + (–z) = 0
9 + (–9) = 0
EXERCÍCIOS
1- Calcule a soma:
a) (+11) + 0 = g) (–22) + (+34) = 
b) 0 + (–13) = h) (+49) + (–60) =
c) (+28) + (+2) = i) (–130) + (–125) =
d) (–34) + (–3) = j) (+49) + (+121) =
e) (–8) + (–51) = k) (+820) + (–510) =
f) (+21) + (+21) = l) (–162) + (–275) =
2- Determine o número inteiro que se deve colocar no lugar de 
x para que sejam verdadeiras as igualdades:
a) x + (+9) = +13 d) x + (–3) = +3
b) x + (–6) = –10 e) x + (+7) = –8
c) x + (–7) = 0 f) (–20) + x = –18
3- Sabe-se que a = –73, b = +51 e c = –17. Nessas condições, 
calcule o valor de:
a) a + b c) b + c
b) a + c d) a + b + c
4- Numa olimpíada de matemática, uma turma ganhou 13 
pontos na primeira fase e 18 na segunda. Usando a adição de 
números inteiros, calcule quantos pontos essa turma ganhou.
5- Caio tem R$ 3.600,00 na sua conta bancária. Se ele fizer um 
depósito de R$ 4.000,00, como ficará o seu saldo?
6- Em um programa de perguntas e respostas, a cada resposta 
correta Carlos, recebia R$ 20,00 do apresentador do programa. 
Porém, a cada resposta errada, pagava R$ 22,00. De 100 perguntas, 
Carlos acertou 52. Ele ganhou ou perdeu dinheiro? Quantos reais?
7- Sabe-se que Júlio César, famoso conquistador e cônsul 
romano, nasceu no ano 100 a.C. e morreu, assassinado, com a 
idade de 56 anos. Em que ano Júlio César morreu?
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8- Os números a e b são inteiros. Se a e b são opostos, quanto 
dá a adição a + b?
9- Os números a e b são inteiros positivos. É correto afirmar 
que a + b é um número positivo?
10- Na atmosfera, a temperatura diminui cerca de 1 grau a 
cada 200m de afastamento da superfície terrestre. Se a temperatura 
na superfície é de +20 graus, qual será a temperatura na atmosfera 
a uma altura de 10 km?
RESPOSTAS
1- (a) +11) (b) –13) (c) +30) (d) –37) (e) –59) (f) +42) (g) +12) 
(h) –11) (i) –255 (j) +170) (k) +310) (l) –437)
2- (a) +4) (b) –4) (c) +7) (d) +6) (e) –15) (f) +2)
3- (a) –22) (b) –90) (c) +34) (d) –39)
4- (31)
5- (R$ 7.600,00)
6- (Perdeu R$ 16,00)
7- (44 a.C.)
8- (0)
9- (SIM)
10- (–30 graus)
SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
A subtração é empregada quando:
•	 Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade;
•	 Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma 
delas tem a mais que a outra;
•	 Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta 
a uma delas para atingir a outra.
A subtração é a operação inversa da adição.
Observe que: 9 – 5 = 4 4 + 5 = 9
 
diferença
subtraendo
minuendo
Considere as seguintes situações:
1- Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sião passou de 
+3 graus para +6 graus. Qual foi a variação da temperatura?
Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – (+3) 
= +3
2- Na terça-feira, a temperatura de Monte Sião, durante o dia, 
era de +6 graus. À Noite, a temperatura baixou de 3 graus. Qual a 
temperatura registrada na noite de terça-feira?
Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) = +3
Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+6) – 
(+3) é o mesmo que (+5) + (–3). 
Temos:
(+6) – (+3) = (+6) + (–3) = +3
(+3) – (+6) = (+3) + (–6) = –3
(–6) – (–3) = (–6) + (+3) = –3
Daí podemos afirmar: Subtrair dois números inteiros é o 
mesmo que adicionar o primeiro com o oposto do segundo.
EXERCÍCIOS
1- Numa adição, uma das parcelas é 148 e a soma é 301. Qual 
é a outra parcela?
2- Numa subtração, o subtraendo é 75 e a diferença é 208. 
Qual é o minuendo?
3- Dê o valor do número natural representado pela letra x.
a) x – 155 = 45 b) x – 420 = 0
4- Dona Noêmia, a bibliotecária da escola, organizou um 
quadro com o movimento de retirada e devolução dos 40 livros 
indicados para leitura da 5º série.
Movimento na biblioteca
Dia Retirada Devolução
2ª feira 25 -
3ª feira 12 -
4ª feira - 10
5ª feira 7 8
Dos livros indicados para a 5ª série, quantos estavam na 
biblioteca no início da 6ª feira?
5- Um número inteiro é expresso por (53 – 38 + 40) – 51 + 
(90 – 7 + 82) = 101. Qual é esse número inteiro?
6- Calcule a diferença entre:
a) o oposto de – 15 com o oposto de – 35;
b) o oposto de – 24 com o módulo de – 50.
7- Calcule:
a) (+12) + (–40)
b) (+12) – (–40) 
c) (+5) + (–16) – (+9) – (–20)
d) (–3) – (–6) – (+4) + (–2) + (–15)
8- Determine o valor de x de modo a tornar as sentenças 
verdadeiras:
a) x + (–12) = –5
b) x + (+9) = 0
c) x – (–2) = 6
d) x + (–9) = –12
e) –32 + x = –50
f) 0 – x = 8
9- A tabela a seguir refere-se ao movimento bancário da 
conta corrente de minha amiga Cláudia, no período de 10 a 15 de 
fevereiro:
Dia Histórico Débito Crédito Saldo
10/02 Saldo Anterior –120,00
11/02 Cheque 45,00 a)
12/02 Depósito 200,00 b)
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TRT - RO JANEIRO /2011 TECNICO13/02 IOF* 1,00 c)
14/02 Cheque 123,00 d)
15/02 Depósito 150,00 e)
 * IOF – Imposto sobre Operações Financeiras.
Cabe a você encontrar o saldo bancário de Cláudia dia a dia.
10- Qual a diferença prevista entre 
as temperaturas no Piauí e no Rio 
Grande do Sul, num determinado 
dia, segundo as informações?
Tempo no Brasil: Instável a ensolarado no Sul.
Mínima prevista -3º no Rio Grande do Sul.
Máxima prevista 37° no Piauí.
RESPOSTAS
1- 153
2- 283
3 - a) x = 200 b) x = 420
4- 14
5- 270
6- a) -20 b) –26
7- a) –28 b) 52 c) 0
8- a) 7 b) –9 c) 4
9- a) – 165,00 b) 35,00
10- (+40 graus)
MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
A multiplicação funciona como uma forma simplificada de 
uma adição quando os números são repetidos. Poderíamos analisar 
tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente 
alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 
vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição 
pode ser indicada por um x, isto é: 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30
Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 + 2 + 2 
+ ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60
Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: (–2) + 
(–2) + ... + (–2) = 30 x (2) = –60
Observamos que a multiplicação é um caso particular da 
adição onde os valores são repetidos.
Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser 
indicado por a x b, a . b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as 
letras.
Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos 
obedecer à seguinte regra de sinais:
(+1) × (+1) = (+1)
(+1) × (-1) = (-1)
(-1) × (+1) = (-1)
(-1) × (-1) = (+1)
Com o uso das regras acima, podemos concluir que:
Sinais dos números Resultado do produto
iguais positivo
diferentes negativo
Propriedades da multiplicação de números inteiros: O 
conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação 
de dois números inteiros ainda é um número inteiro.
Associativa: Para todos a,b,c em Z:
a x (b x c) = (a x b) x c
2 x (3 x 7) = (2 x 3) x 7
Comutativa: Para todos a,b em Z:
a x b = b x a
3 x 7 = 7 x 3
Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z 
em Z, proporciona o próprio z, isto é:
z x 1 = z
7 x 1 = 7
Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, existe 
um inverso z–1=1/z em Z, tal que
z x z–1 = z x (1/z) = 1
9 x 9–1 = 9 x (1/9) = 1
Distributiva: Para todos a,b,c em Z:
a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
3 x (4+5) = (3 x 4) + (3 x 5)
EXERCÍCIOS
Quando numa expressão aparecem parênteses ( ), colchetes 
[ ] e chaves { }, resolvem-se primeiro as operações contidas nos 
parênteses, depois as operações contidas nos colchetes e por último 
as operações contidas nas chaves.
1- Calcule o valor das seguintes expressões numéricas:
a) –5 + (–3) . (+8)
b) (–6) . (+5) – (–4) . (+3)
c) (–5 + 1) . (–8 + 2)
d) 6 – (–6 + 4) . (–5 + 9)
e) (–3) . (–4) + (–6) . (+5)
f) 12 – (–2) . (+3) + (–4) . (–5)
g) 9 – [(–2) . (+7) – (–8) . (+3)]
h) (–2) . (+3) + {2 . [–3 + (–2) . (–4)]}
2- Calcule o valor numérico das expressões: 
a) 2x – y, sendo x = –3 e y = –5
b) 4x – 2y + 5z, sendo x = –1, y = –6 e z = +5
c) 4ab + 5a, sendo a = 7 e b = –8
d) 6xy – 5y, sendo x = +4 e y = –1
e) 5a – 3ab + 7b, para a = –3 e b = +2
f) 2ab – 5abc, para a = 2, b = 3 e c = –1
3- Use a propriedade distributiva da multiplicação para 
calcular –5 . (–8 + 5).
4- Sem realizar a operação, determine o número inteiro que 
devemos colocar no lugar do número x para que se tenha:
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a) x . (–16) = –16
b) x . (–5) = (–5) . (+9)
c) x . (–8) = 0
d) x . (+1) = +11
5- Quais os dois números inteiros negativos cuja soma é –5 e 
cujo produto é +6?
6- Quais os dois números inteiros, um positivo e outro 
negativo, cuja soma é +3 e o produto é 10?
7- A letra a representa um número inteiro e (+65) . (-12) . a = 
0. Qual é o valor de a? 
8- Qual é o produto de três números inteiros consecutivos em 
que o maior deles é –10? 
9- Três números inteiros são consecutivos e o menor deles é 
+99. Determine o produto desses três números. 
10- Paulo pensou em dois números pares consecutivos. 
Multiplicou-os e obteve +168. Sabendo que um deles é igual a 
–14, faça uma estimativa e, por tentativas, determine o outro. 
RESPOSTAS
1) a) – 29 b) – 18 c) 24 d) 14 e) – 18 f) 38 g) – 1 h) 4
2) a) – 1 b) 33 c) – 189 d) 19 e) 17 f) 42
3) 15
4) a) +1 b) +9 c) 0 d) +11
5) –2 e –3
6) +5 e –2
7) 0
8) -1320
9) 999 900
10) -12
DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS
Dividendo divisor dividendo : divisor = quociente
0 quociente quociente . divisor = dividendo
Sabemos que na divisão exata dos números naturais:
40 : 5 = 8, pois 5 . 8 = 40
36 : 9 = 4, pois 9 . 4 = 36
Vamos aplicar esses conhecimentos para estudar a divisão 
exata de números inteiros. Veja o cálculo:
(–20) : (+5) = q  (+5) . q = (–20)  q = (–4)
Logo: (–20) : (+5) = +4
Considerando os exemplos dados, concluímos que, para 
efetuar a divisão exata de um número inteiro por outro número 
inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo 
módulo do divisor. Daí:
 quando o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, o 
quociente é um número inteiro positivo.
 quando o dividendo e o divisor têm sinais diferentes, o 
quociente é um número inteiro negativo.
 a divisão nem sempre pode ser realizada no conjunto 
Z. Por exemplo, (+7) : (–2) ou (–19) : (–5) são divisões que não 
podem ser realizadas em Z, pois o resultado não é um número 
inteiro.
 No conjunto Z, a divisão não é comutativa, não é 
associativa e não tem a propriedade da existência do elemento 
neutro.
1- Não existe divisão por zero.
Exemplo: (–15) : 0 não tem significado, pois não existe um 
número inteiro cujo produto por zero seja igual a –15.
2- Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de 
zero, é zero, pois o produto de qualquer número inteiro por zero é 
igual a zero.
Exemplos: a) 0 : (–10) = 0 b) 0 : (+6) = 0 c) 0 : (–1) = 0
EXERCÍCIOS
1- Calcule os quocientes:
a) 0 : (–91) 
b) (+182) : (–14) 
c) (–216) : (–24) 
d) (+486) : (–18) 
e) (–490) : (–14) 
f) (+900) : (–15) 
g) (–828) : (+23) 
h) (+1 120) : (–28) 
i) (–1 488) : (+124) 
2- Identifique as sentenças verdadeiras:
a) O sinal do quociente de dois números inteiros é positivo 
se o dividendo for positivo e o divisor zero.
b) O sinal do quociente de dois números inteiros é 
negativo se o dividendo e o divisor tiverem o mesmo sinal.
c) O quociente de dois números inteiros é sempre um 
número inteiro.
d) O quociente de dois números inteiros é zero se o 
dividendo for zero e o divisor for inteiro positivo.
e) O sinal do quociente de dois números inteiros é positivo 
se o dividendo e o divisor tiverem o mesmo sinal. 
3- Copie as igualdades substituindo o x por números inteiros 
de modo que elas se mantenham:
a) (–140) : x = –20 
b) 144 : x = –4 
c) (–147) : x = +21 
d) x : (+13) = +12 
e) x : (–93) = +45 
f) x : (–12) = –36 
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4- Sabendo que A = (–46 – 18) : (59 – 43), determine o valor 
de A. 
5- Sendo x = (–82 + 34 – 6) e y = (–9) . (51 – 53), qual é o 
valor de x : y? 
6- Qual é o valor de B, se B = (–6 + 2 + 4 – 8 + 8) : (+138)? 
7- Sabendo que a = (–25 + 18 – 72 + 49) : (–15) e b = (+24): 
(81 – 93 + 17 – 42 + 25), responda:
a) Qual o valor de a? 
b) Qual o valor de b 
c) Qual o valor do produto a . b? 
 
8- Qual é o número inteiro que dividido por –8 resulta +12? 
9- Nicolau pensou em um número que multiplicado por (-25) 
tem como resultado (+150). Qual foi o número em que Nicolau 
pensou? 
 
10- Adicionando –846 a um número inteiro e multiplicando a 
soma por –3, obtém-se +324. Que número é esse? 
RESPOSTAS1) a) 0 b) – 13 c) 9 d) – 27 e) 35 f) – 60 g) – 36 h) – 40 
i) – 12
2) d, e
3) a) + 7 b) – 36 c) – 7 d) + 156 e) – 4 185 f) + 432
4) -4
5) -3
6) 0
7) a) 2 b) – 2 c) – 4
8) -96
9) -6
10) +738
POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
A potência an do número inteiro a, é definida como um produto 
de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número 
n é o expoente.
an = a × a × a × a × ... × a
a é multiplicado por a n vezes
Exemplos:
33 = (3) x (3) x (3) = 27
(-5)5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125
(-7)² = (-7) x (-7) = 49
(+9)² = (+9) x (+9) = 81
 Toda potência de base positiva é um número inteiro 
positivo.
Exemplo: (+3)2 = (+3) . (+3) = +9
 Toda potência de base negativa e expoente par é um 
número inteiro positivo.
Exemplo: (– 8)2 = (–8) . (–8) = +64
 Toda potência de base negativa e expoente ímpar é 
um número inteiro negativo.
Exemplo: (–5)3 = (–5) . (–5) . (–5) = –125
Propriedades da Potenciação:
Produtos de Potências com bases iguais: Conserva-se a base 
e somam-se os expoentes. (–7)3 . (–7)6 = (–7)3+6 = (–7)9
Quocientes de Potências com bases iguais: Conserva-se 
a base e subtraem-se os expoentes. (+13)8 : (+13)6 = (+13)8 – 6 = 
(+13)2
Potência de Potência: Conserva-se a base e multiplicam-se 
os expoentes. [(+4)5]2 = (+4)5 . 2 = (+4)10
Potência de expoente 1: É sempre igual à base. (+9)1 = +9 
(–13)1 = –13
Potência de expoente zero e base diferente de zero: É igual 
a 1. Exemplo: (+14)0 = 1 (–35)0 = 1
EXERCÍCIOS
1- Determine a quinta potência de –2. 
2- Calcule o valor das seguintes expressões:
a) (–7 + 8 – 4)4 
b) (–13 + 92 – 58)0 
c) (–15 + 8 + 3 + 4)10 
d) (–25 + 39 – 24)3 
e) (–65 + 82 – 23)1 
f) (–108 + 212 – 103)7 
3- Identifique as igualdades verdadeiras:
a) –40 = –1
b) [(+3) + (–2)]5 = (+3)5 + (–2)5 
c) [a2]5 = a7
d) [(+35) : (–7)]5 = (+35)5 : (–7)5
e) a4 . a3 . b2 = a7 . b2
f) (–1)100 = –1 
4- Aplique propriedades de potências de bases iguais e 
calcule os valores de:
a) (–1)8 . (–1)3 
b) (+10)2 . (+10)3 
c) (+12)5 : (+12)4 
d) (–20)6 : (–20)6 
e) [(+1)3]6 
f) [(–2)3]0 
5- Se A = (–9)2 e B = – (–9)2, qual é o valor de A . B? 
6- Considerando A = (–10)3 e B = – (–10)3, qual é o valor de 
A . B? 
7- A letra x representa um número inteiro. A expressão x2 é o 
quadrado do valor de x. Qual é o valor da expressão x2 – 2 . x + 1 
para x = –1? 
8- As letras x e y representam números inteiros, Calcule o 
valor da expressão 2 . x – y2 para x = –2 e y = 5. 
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9- A letra a representa um número inteiro. Se a = (–6)2, qual é 
o valor do quadrado de a? 
10- Se y = –4 . (+8) – (–56) : (+3 – 1)3 + (–3)0 . (–4 –1), 
calcule o valor de y. 
RESPOSTAS
1) -32
2) a) 81 b) 1 c) 0 d) – 1000 e) –6 f) 1
3) a, d, e
4) a) –1 b) 100 000 c) 12 d) 1 e) 1 f) 1
5) (-9)2 . – (-9)2 = 81 . - 81 = – 6 561
6) (-10)3 . – (-10)3 = 1000 . -1000 = -1 000 000 ou -16
7) 4
8) -29
9) 1296
10) -30
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS – Q
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS – Q
Um número racional é o que pode ser escrito na forma n
m
, 
onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser diferente 
de zero. Freqüentemente usamos m/n para significar a divisão de 
m por n. 
Como podemos observar, números racionais podem ser 
obtidos através da razão entre dois números inteiros, razão pela 
qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. 
Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação:
Q = { n
m
: m e n em Z, n diferente de zero}
No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos:
 Q* = conjunto dos racionais não nulos;
 Q+ = conjunto dos racionais não negativos;
 Q*+ = conjunto dos racionais positivos;
 Q _ = conjunto dos racionais não positivos;
 Q*_ = conjunto dos racionais negativos.
REPRESENTAÇÃO DECIMAL DAS FRAÇÕES
Tomemos um número racional 
q
p
, tal que p não seja 
múltiplo de q. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a 
divisão do numerador pelo denominador. 
Nessa divisão podem ocorrer dois casos:
1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um 
número finito de algarismos. Decimais Exatos:
5
2
= 0,4
4
1
= 0,25
4
35
= 8,75
50
153
= 3,06
2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos 
algarismos (nem todos nulos), repetindo-se periodicamente. 
Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas:
3
1
= 0,333... 
22
1
= 0,04545...
66
167
= 2,53030...
REPRESENTAÇÃO FRACIONÁRIA DOS NÚMEROS 
DECIMAIS
Trata-se do problema inverso: estando o número racional 
escrito na forma decimal, procuremos escrevê-lo na forma de 
fração. Temos dois casos:
1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador 
é o número decimal sem a vírgula e o denominador é composto 
pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas 
decimais do número decimal dado:
0,9 = 10
9
5,7 = 
10
57
0,76 = 
100
76
3,48 = 
100
348
0,005 = 
1000
5
= 
200
1
2º) Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para 
tanto, vamos apresentar o procedimento através de alguns 
exemplos:
Exemplo 1 – Seja a dízima 0,333... .
Façamos x = 0,333... e multipliquemos ambos os membros 
por 10: 10x = 0,333 
7
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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO
TRT - RO JANEIRO /2011 TECNICO
Subtraindo, membro a membro, a primeira igualdade da 
segunda:
10x – x = 3,333... – 0,333...  9x = 3  x = 3/9
Assim, a geratriz de 0,333... é a fração
9
3
.
Exemplo 2: Seja a dízima 5,1717... .
Façamos x = 5,1717... e 100x = 517,1717... .
Subtraindo membro a membro, temos:
99x = 512  x = 512/99
Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração 
99
512
.
Exemplo 3: Seja a dízima 1,23434...
Façamos x = 1,23434... 10x = 12,3434... 1000x = 
1234,34... .
Subtraindo membro a membro, temos:
990x = 1234,34... – 12,34...  990x = 1222  
x = 1222/990
Simplificando, obtemos x = 
495
611
, a fração geratriz da dízima 
1,23434... 
Módulo ou valor absoluto: é a distância do ponto que 
representa esse número ao ponto de abscissa zero.
Exemplo: módulo de – 
2
3
 é 
2
3
. Indica-se 
2
3
− = 
2
3
 módulo de + 
2
3
 é 
2
3
. Indica-se 
2
3
+ = 
2
3
Números Opostos: dizemos que –
2
3
 e 
2
3
 são números 
racionais opostos ou simétricos e cada um deles é o oposto do 
outro. As distâncias dos pontos – 
2
3
 e 
2
3
 ao ponto zero da reta 
são iguais.
SOMA (ADIÇÃO) DE NÚMEROS RACIONAIS
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na 
forma de uma fração, definimos a adição entre os números racionais 
b
a
e 
d
c
, da mesma forma que a soma de frações, através de:
b
a
 + 
d
c
 = 
bd
bcad +
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO DE NÚMEROS 
RACIONAIS
O conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a 
soma de dois números racionais ainda é um número racional.
Associativa: Para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a + b 
) + c
Comutativa: Para todos a, b em Q: a + b = b + a
Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em 
Q, proporciona o próprio q, isto é: q + 0 = q
Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que 
q + (–q) = 0
SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS
 A subtração de dois números racionais p e q é a própria 
operação de adição do número p com o oposto de q, isto é: p – q 
= p + (–q)
EXERCÍCIOS
1- Qual é o valor da soma algébrica – 
3
8
 + 
6
5
? 
2- Determine o valor de –2 +
15
2
 + 1,2 – 
4
3
. 
3- Calcule o valor das seguintes somas algébricas:
a) –
15
7
 + 
6
1
 f) – 
5
12
 
+0,6 
b) – 
5
3
 – 
3
1
 g) – 1,25 – 
8
1
 
c) –
15
4
 – 
12
1
 h) 3 – 
2
3
 – 1,6 + 
4
7
 
d) 
10
1
 – 
15
4
 i) 
15
14
 – 1,4 – 
3
8
 + 1,8 
e) – 
12
7
 + 
8
1
 
4- Qual é o valor da soma (–
6
25
) + (+
9
11
)? 
5- Qual é o valor da diferença (–
6
7
) (+0,4)? 
6- Determine o valor de:
a) (– 
4
3
) + (– 
6
5
) d) (+ 
5
3
) – (+ 
8
7
) 
8
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b) (– 
12
5
) – (– 
4
3
) e) (–1,25) – (+ 
8
3
) 
c) (–0,4) + (
6
1
) f) (–
6
7
) + (+0,15) 
7- e destas expressões? Qual é o valor?
a) (–0,3) – (– 
4
1
) + (+
5
3
) 
b) (–1,2) + (– 
6
5
) – (+0,6) 
8- Se A representa um número e A = (– 
3
7
) + (– 
6
5
) – (–2,5), 
então responda:
a) Qual é o valor de A? 
b) Qual é o valor de –27. A? 
c) Qual é o valor de 
A
1
? 
9- Copie as sentenças substituindo o ñ pelos símbolos <, > ou 
= de modo que sejam verdadeiras:
a) – 
4
3
 + 
6
1 � – 
6
7
 
b) – 0,7 � – 3,2 – 
3
5
 
 c) – 1,01 + 
5
8
 � 1,59 
 d) 1 – 1,064 � – 2 + 1,98 
10- Sabe-se que a = –
12
7
 e b = 
9
5
. Responda:
a) Qual é o valor de a + b? 
b) Qual é o valor de –a – b? 
c) Qual é o valor de – (a + b)? 
d) Qual é o valor de 
ba +
1
? 
11- As letras x e y representam números racionais. 
Se x = (–3,5) – (–
12
33
) e y = – 
12
17
, responda:
a) Qual é o valor de x? 
b) Qual é o valor de x – y? 
c) Qual é o valor de –x + y? 
d) Qual é o valor de – (–x + y)? 
12- Qual é o valor da expressão – 
4
1
 + 




 +−
4
3
2
1
? 
13- Determine o valor da expressão
 





 −−
3
7
21
35
13
36+ . 
14- Calcule o valor das expressões:
a) 




 −−
9
8
18
5
+ 
9
4
 
b)
 





 +−
3
5
15
17
+ 1,35 
15- As letras A e B representam números racionais. Sendo A 
= – 
4
3
 + 
7
4 e B = – 
7
30 + 
14
11, responda:
a)	 Qual é o valor de A? -5/28
b)	 Qual é o valor de B? -7/2
c)	 Qual é o valor de A – B? 93/28
d)	 Qual é o valor de B – A? -93/28
16- A soma de dois números racionais é –1,8. Um deles é 9,7. 
Calcule o outro número. 
–11,5
17- Subtraindo-se um número de 52, obtém-se –85,6. Que 
número é esse? 137,6
18- A soma algébrica de dois números racionais é – 
3
5
. Um 
dos números é –
12
5 . Qual é o outro número? -5/4
19- Renato escreveu um número racional na forma decimal e 
adicionou
25
67 a esse número. Para sua surpresa 
o resultado foi zero. Qual foi o número que ele escreveu? -2,68
20- No início de julho, o saldo bancário de Dino era R$ 2,36. 
Durante o mês ele usou cheques no valor de R$ 8,32 e R$ 9,85 e 
fez um depósito de R$ 15,00. Qual era o saldo de Dino no final de 
julho? -0,81 ou R$ 0,81 D
RESPOSTAS
1- (11/6)
2- (-17/12)
3- (a) – 3/10) (b) – 14/15) (c) – 7/20) (d) – 1/6) (e) – 11/24) (f) 
– 9/5 ou – 1,8) (g) – 11/8 ou – 1,375) (h) 33/20 ou 1,65) (i) – 4/3)
21
9
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TRT - RO JANEIRO /2011 TECNICO
4- (- 53/18)
5- (-47/30)
6- (a) -19/12) (b) 1/3) (c) – 7/10) (d) – 11/40) (e) – 13/8) (f) 
– 61/60)
7- (a) 11/20) (b) – 79/30)
8- (a) – 2/3) (b) 18) (c) – 3/2)
9- (a) >) (b) >) (c) <) (d) <)
10- (a) – 1/36) (b) 1/36) (c) 1/36) (d) – 36)
11- (a) – 3/4) (b) 2/3) (c) – 2/3) (d) 2/3)
12- (0)
13- (-16/13)
14 - (a) – 13/18) (b) 113/60)
15 - (a) – 5/28) (b) – 7/2) (c) 93/28) (d) – 93/28)
16 - (-11,5)
17 - (137,6)
18- (-5/4)
19 - (- 2,68)
20 - (-0,81 ou R$0,81)
MULTIPLICAÇÃO (PRODUTO) DE NÚMEROS 
RACIONAIS 
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito 
na forma de uma fração, definimos o produto de dois números 
racionais 
b
a
e 
d
c
, da mesma forma que o produto 
de frações, através de:
b
a
 x 
d
c
 = 
bd
ac
O produto dos números racionais a e b também pode ser 
indicado por a × b, axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre 
as letras.
Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos 
obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática:
(+1) × (+1) = (+1)
(+1) × (-1) = (-1)
(-1) × (+1) = (-1)
(-1) × (-1) = (+1)
Podemos assim concluir que o produto de dois números com o 
mesmo sinal é positivo, mas o produto de dois números com sinais 
diferentes é negativo.
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE 
NÚMEROS RACIONAIS
O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto 
de dois números racionais ainda é um número racional.
Associativa: Para todos a, b, c em Q: a × ( b × c ) = ( a × b 
) × c
Comutativa: Para todos a, b em Q: a × b = b × a
Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo 
q em Q, proporciona o próprio q, isto é: q × 1 = q
Elemento inverso: Para todo q = 
b
a
 em Q, q diferente de 
zero, existe q-1 = 
a
b
em Q: q × q-1 = 1 
b
a
x 
a
b
 = 1
Distributiva: Para todos a, b, c em Q: a × ( b + c ) = ( a × b 
) + ( a × c )
EXERCÍCIOS
1- Calcule os produtos seguintes:
a) 




−
11
48
. 





16
1
 
b) 




+
60
7
. 




−
21
10
 
 c) (–0,3) . 




−
24
25
 
d) (+1,2) . 




−
3
10
 
 e) 




+
48
49
. 




−
7
30
. 




+
5
1
 
 f) 




+
8
21
. 




−
7
16
. 




−
20
1
. 




−
36
75
 
2- Determine o triplo dos seguintes números racionais:
a) –
27
14
 b) – 9,07 c) 
90
17
 
3- A letra y representa um número racional. Qual é o valor de 
y nas sentenças seguintes?
a) y . 




−
27
20
 = 1 
b) 




−
50
1
. y = 1 
c) y . (–0,8) = 1
4- Se dois números racionais opostos são diferentes de zero, 
qual será o sinal do produto desses números? 
5- O produto de dois números racionais inversos tem sinal 
positivo ou sinal negativo? 
10
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6- Pense em dois números racionais inversos e multiplique-os. 
Agora responda:
a)	 Qual foi o resultado? 
b)	 Se você pensar em outros dois números, o que acontecerá? 
7- As anotações que estão na tabela são as dívidas de Roberto 
no mês de julho. No mês de agosto, a sua situação piorou. Resposta, 
usando decimais:
Julho
Dia R$
05 - 2,46
13 - 10,80
31 -3,07
Responda, usando decimais:
a)	 De quanto foi a dívida de Roberto no mês de julho?
b)	 Se a dívida dobrou no mês de agosto, de quanto foi essa 
dívida?
8- Escreva um número racional que multiplicado por 
15
7
− 
resulta 1.
9- A metade de um número racional somada com o,8 é – 0,45. 
Que número é esse?
10- Qual é o número racional cuja terça parte é igual a 3,25?
RESPOSTAS
1) a) – 3/11 b) – 1/18 c) 5/16 d) – 4 e) – 7/8 f) – 15/24
2) a) – 14/9 b) – 27,21 c) 17/30
3) a) – 27/20 b) – 50 c) – 5/4
4) negativo
5) positivo
6) a) 1 b) o produto será 1.
7) a) – 16,33 b) – 32,66.
8) – 15/7
9) – 2,5
10) 9,75
DIVISÃO DE NÚMEROS RACIONAIS
 A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação 
de multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é: p ÷ q = p 
× q-1
EXERCÍCIOS
1) Você se lembra?
Então,
 3
20
9
4
−
−
é igual a 




−
9
4
: 




−
3
20
.
Qual é o valor de 
3
20
9
4
−
−
 ?
2) A letra y representa um número racional. 
Se 




−
26
15
 : y = 
13
20
− , qual é o valor de 
y?3) A letra x representa um número racional.Qual é o valor de x 
nas igualdades seguintes?
a) (–35) . x = 
20
1
 
b) x : (–0,25) = – 0,35 
4)Qual é o valor da expressão 
3
1
− 










 −−




 −−
6
7
12
5
6
1
4
3
–
5)Calcule o valor das expressões numéricas:
a) 
24
7











 +−−




 −
4
3
6
7
8
1
12
5–
b) 




+




−




+
2
5
12
1:
16
3





 −
2
7
4
9
–
6)Qual é o valor de 










−




+
7
9:
35
20





+
3
16
: ?
7)Calcule o valor da expressão numérica (– 0,2) : 





+
65
4





−
5
3





+
6
25
– . 
8)Calcule o valor das expressões numéricas:
a) 










−




−
32
3:
8
5





−
24
5
:
b) 










−




−
25
14:
40
21





+
16
75
: 
c) ( )





−




+ 30:
7
60





−
28
5
5
14





+
8
1– . : 
d) ( )





−




− 16,0:
5
8
 : (+0,25) + 




+
17
50
 : 




−
340
25
11
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9)Considere x = – 










 +−+−
4
9
2
3
5
2 – 










 −−−
5
124
10
7 
e responda:
 
a) Qual é o valor de x ? 
b) Qual é o valor de 
x
1
− ?
c)A letra y representa um número racional e x + y = 0.
Qual é o valor de y? 
10)Sabe-se que a = 




−
7
5 . 










+




 +−
8
21:
8
5
2
3 . 





−
5
7
 
9
5
− . Responda:
a) Qual é o valor de a? 
b) Qual é o valor de – 3 . a ? 
RESPOSTAS
1) 1/15
2) 3/8
3) a) – 1/700 b) 0,0875
4) – 1/6
5) a) – 5/12 b) – 3/2
6) – 1/12
7) – ¾
8) a) – 32 b) 1/5 c) 5/4 d) 0
9) a) 39/20 b) – 20/39
10) a) – 8/9 b) 8/3
POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS
A potência qn do número racional q é um produto de n fatores 
iguais. O número q é denominado a base e o número n é o expoente.
qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes)
Exemplos:
a) 
3
5
2





 = 





5
2
 . 





5
2
 . 





5
2
 = 
125
8
b) 
3
2
1





− = 




−
2
1
 . 




−
2
1
 . 




−
2
1
= 
8
1
−
c) (–5)² = (–5) . ( –5) = 25
d) (+5)² = (+5) . (+5) = 25
Propriedades da Potenciação:
• Toda potência com expoente 0 é igual a 1.
0
5
2





+ = 1
• Toda potência com expoente 1 é igual à própria base.
 
1
4
9





− = 
4
9
−
• Toda potência com expoente negativo de um número 
racional diferente de zero é igual a uma outra potência que tem a 
base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto 
do expoente anterior.
2
5
3 −





− = 
2
3
5





− = 
9
25
• Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal 
da base.
3
3
2





 = 





3
2
 . 





3
2
 . 





3
2
 = 
27
8
• Toda potência com expoente par é um número positivo.
2
5
1





− = 




−
5
1
 . 




−
5
1
 = 
25
1
• Produto de potências de mesma base. Para reduzir 
um produto de potências de mesma base a uma só potência, 
conservamos a base e somamos os expoentes.
2
5
2





 . 
3
5
2





 = 
532
5
2
5
2
5
2.
5
2.
5
2.
5
2.
5
2





=




=











+
• Quociente de potências de mesma base. Para reduzir 
um quociente de potências de mesma base a uma só potência, 
conservamos a base e subtraímos os expoentes.
32525
2
3
2
3
2
3.
2
3
2
3.
2
3.
2
3.
2
3.
2
3
2
3:
2
3





=




==











−
• Potência de Potência. Para reduzir uma potência de 
potência a uma potência de um só expoente, conservamos a base e 
multiplicamos os expoentes.
62322222232
2
1
2
1
2
1
2
1.
2
1.
2
1
2
1





=




=




=
















=














+++
EXERCÍCIOS
1) Escreva o produto 
73
3
2.
3
2





+




+ como uma só 
potência. 
12
Didatismo e Conhecimento
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO
TRT - RO JANEIRO /2011 TECNICO
2) Escreva o quociente 
412
25
16:
25
16





−




− como uma só 
potência. 
3) Se x = 
8
23
10





− ,como se escreve x5 usando um só 
expoente? 
4) Utilize as propriedades das potências de bases iguais e 
escreva como uma só potência:
a)
36
20
17.
20
17





−




− 
 b) 
46
4
3:
4
3





−




− 
c) 
52
25
13













+ 
 
d) [ (– 0,18)3]5 
e) 
59
15
43.
15
43





+




+
f) 
59
15
43.
15
43





+




+
5)Qual é o valor da expressão 




+




−−−
4
3:
2
1
24
13 3
?
6) Calcule o valor das expressões numéricas:
a) 2
3
2:
3
2 25
−




−




− 
b) 





−




−




−




−
36
25
15
28:
5
7:
6
1 3
 
c) ( ) 


 +−+−−
6
13:52.
3
2 2
 
 d) 




−













−+
2
3:
5
2.5
10
3 2
 
 e) 25 – [( 3,3 – 0,2 . 1,5 ) – 6,4 : 0,8]2 
 f) 













 −+−+




 +




 −
−−− 212
2
113
5
1
3
1.
2
13
7) Qual é o valor de 3
21
3
33
−
−− +
?
8) Determine o valor da expressão 
2
2
3
11
3
−
−
−
−
. 
 
9)Como 27 = 33, usando expoentes inteiros negativos podemos 
escrever 3-3 para representar 
27
1
. Procedendo da mesma forma, 
como poderíamos escrever 
27
1
 ?
10) Use potências de base 10 e expoentes inteiros negativos 
para escrever os seguintes números:
a) 0,0003
b) 0,005
c) 0,00018
d) 0,081
e) – 0,00016
f) –0,000418
RESPOSTAS
1) 
10
3
2





+
 
2) 
8
25
16





−
 
3) 
40
23
10





−
4) a) (-17/20)9 b) (-3/4)2 c) (13/25)10 d) (-0,18)15 e) (-719)8 f) 
(-4315)14
5) – 3/8
6) a) -62/27 b) -1/12 c) 23/27 d) -11/15 e) 0 f) 13/10
7) 12
8) 1/72
9) 2-4
10) a) 3.10-4 b) 5.10-3 c) 18.10-5 d) 81.10-3 e) -16.10-5 f) 
-418.10-6
13
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EXPRESSÕES NUMÉRICAS
Expressões Algébricas são aquelas que contêm números e 
letras.
 Ex: 2ax²+bx
Variáveis são as letras das expressões algébricas que 
representam um número real e que de princípio não possuem um 
valor definido. 
Valor numérico de uma expressão algébrica é o número que 
obtemos substituindo as variáveis por números e efetuamos suas 
operações. 
Ex: Sendo x =1 e y = 2, calcule o valor numérico (VN) da 
expressão: 
x² + y » 1² + 2 =3 Portando o valor numérico da expressão 
é 3.
Monômio: os números e letras estão ligados apenas por 
produtos. 
Ex : 4x 
Polinômio: é a soma ou subtração de monômios. 
Ex: 4x+2y 
Termos semelhantes: são aqueles que possuem partes literais 
iguais ( variáveis ) 
Ex: 2 x³ y² z e 3 x³ y² z » são termos semelhantes pois 
possuem a mesma parte literal. 
Adição e Subtração de expressões algébricas 
Para determinarmos a soma ou subtração de expressões 
algébricas, basta somar ou subtrair os termos semelhantes. 
Assim: 2 x³ y² z + 3x³ y² z = 5x³ y² z ou 2 x³ y² z - 3x³ y² z 
= -x³ y² z 
Convém lembrar dos jogos de sinais. 
Na expressão ( x³ + 2 y² + 1 ) – ( y ² - 2 ) = x³ +2 y² + 1 – y² 
+ 2 = x³ + y² +3 
Multiplicação e Divisão de expressões algébricas
Na multiplicação e divisão de expressões algébricas, devemos 
usar a propriedade distributiva.
Exemplos:
1) a ( x+y ) = ax + ay 
2) (a+b)(x+y) = ax + ay + bx + by 
3) x ( x ² + y ) = x³ + xy 
 » Para multiplicarmos potênciasde mesma base, conservamos 
a base e somamos os expoentes. 
 » Na divisão de potências devemos conservar a base e 
subtrair os expoentes
 Exemplos:
1) 4x² : 2 x = 2 x
2) ( 6 x³ - 8 x ) : 2 x = 3 x² - 4
3)
=
[Resolução]
Para iniciarmos as operações devemos saber o que são termos 
semelhantes. 
Dizemos que um termo é semelhante do outro quando suas 
partes literais são idênticas.
Veja: 
► 5x2 e 42x são dois termos, as suas partes literais são x2 e x, 
as letras são iguais, mas o expoente não, então esses termos não 
são semelhantes. 
► 7ab2 e 20ab2 são dois termos, suas partes literais são ab2 e 
ab2, observamos que elas são idênticas, então podemos dizer que 
são semelhantes. 
Adição e subtração de monômios 
Só podemos efetuar a adição e subtração de 
monômios entre termos semelhantes. E quando os termos 
envolvidos na operação de adição ou subtração não forem 
semelhantes, deixamos apenas a operação indicada. 
Veja: 
Dado os termos 5xy2, 20xy2, como os dois termos são 
semelhantes eu posso efetuar a adição e a subtração deles. 
• 5xy2 + 20xy2 devemos somar apenas os coeficientes e 
conservar a parte literal. 
 25 xy2
• 5xy2 - 20xy2 devemos subtrair apenas os coeficientes e 
conservar a parte literal.
 - 15 xy2 
Veja alguns exemplos: 
• x2 - 2x2 + x2 como os coeficientes são frações devemos tirar 
o mmc de 6 e 9. 
3x2 - 4 x2 + 18 x2
 18
17x2 
18 
• 4x2 + 12y3 – 7y3 – 5x2 devemos primeiro unir os termos 
semelhantes. 12y3 – 7y3 + 4x2 – 5x2 agora efetuamos a soma e a subtração. 
5y3 – x2 como os dois termos restantes não são semelhantes, 
devemos deixar apenas indicado à operação dos monômios. 
• Reduza os termos semelhantes na expressão 4x2 – 5x -3x + 
2x2. Depois calcule o seu valor numérico da expressão. 4x2 – 5x - 
3x + 2x2 reduzindo os termos semelhantes. 4x2 + 2x2 – 5x - 3x 
14
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6x2 - 8x os termos estão reduzidos, agora vamos achar o valor 
numérico dessa expressão. 
Para calcularmos o valor numérico de uma expressão devemos 
ter o valor de sua incógnita, que no caso do exercício é a letra x. 
Vamos supor que x = - 2, então substituindo no lugar do x o 
-2 termos: 
6x2 - 8x 
6 . (-2)2 – 8 . (-2) = 
6 . 4 + 16 = 
24 + 16 
40 
Multiplicação de monômios 
Para multiplicarmos monômios não é necessário que eles sejam 
semelhantes, basta multiplicarmos coeficiente com coeficiente e 
parte literal com parte literal. Sendo que quando multiplicamos 
as partes literais devemos usar a propriedade da potência que diz: 
am . an = am + n (bases iguais na multiplicação repetimos a base e 
somamos os expoentes). 
(3a2b) . (- 5ab3) na multiplicação dos dois monômios, devemos 
multiplicar os coeficientes 3 . (-5) e na parte literal multiplicamos 
as que têm mesma base para que possamos usar a propriedade am 
. an = am + n.
3 . ( - 5) . a2 . a . b . b3
-15 a2 +1 b1 + 3 
-15 a3b4 
DIVISÃO DE MONÔMIOS
Para dividirmos os monômios não é necessário que eles sejam 
semelhantes, basta dividirmos coeficiente com coeficiente e parte 
literal com parte literal. Sendo que quando dividirmos as partes 
literais devemos usar a propriedade da potência que diz: am : an 
= am - n (bases iguais na divisão repetimos a base e diminuímos os 
expoentes), sendo que a ≠ 0. 
(-20x2y3) : (- 4xy3) na divisão dos dois monômios, devemos 
dividir os coeficientes -20 e - 4 e na parte literal dividirmos as que 
têm mesma base para que possamos usar a propriedade am : an = 
am – n. 
-20 : (– 4) . x2 : x . y3 : y3 
5 x2 – 1 y3 – 3 
5x1y0 
5x 
Potenciação de monômios 
Na potenciação de monômios devemos novamente utilizar 
uma propriedade da potenciação:
(I) (a . b)m = am . bm 
(II) (am)n = am . n 
Veja alguns exemplos:
(-5x2b6)2 aplicando a propriedade 
(I). (-5)2 . (x2)2 . (b6)2 aplicando a propriedade
(II) 25 . x4 . b12 25x4b12
BINÔMIO
Denomina-se Binômio de Newton , a todo binômio da forma 
(a + b)n , sendo n um número natural . 
Exemplo: 
B = (3x - 2y)4 ( onde a = 3x, b = -2y e n = 4 [grau do binômio] 
). 
Exemplos de desenvolvimento de binômios de Newton :
a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3
c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4 
d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5 
Nota:
Não é necessário memorizar as fórmulas acima, já que elas 
possuem uma lei de formação bem definida, senão vejamos:
Vamos tomar, por exemplo, o item (d) acima:
Observe que o expoente do primeiro e últimos termos são 
iguais ao expoente do binômio, ou seja, igual a 5. 
A partir do segundo termo, os coeficientes podem ser obtidos 
a partir da seguinte regra prática de fácil memorização: 
Multiplicamos o coeficiente de a pelo seu expoente e dividimos 
o resultado pela ordem do termo. O resultado será o coeficiente do 
próximo termo. Assim por exemplo, para obter o coeficiente do 
terceiro termo do item (d) acima teríamos:
5.4 = 20; agora dividimos 20 pela ordem do termo anterior (2 
por se tratar do segundo termo) 20:2 = 10 que é o coeficiente do 
terceiro termo procurado.
Observe que os expoentes da variável a decrescem de n até 0 
e os expoentes de b crescem de 0 até n. Assim o terceiro termo é 
10 a3b2 (observe que o expoente de a decresceu de 4 para 3 e o de 
b cresceu de 1 para 2). 
Usando a regra prática acima, o desenvolvimento do binômio 
de Newton (a + b)7 será:
(a + b)7 = a7 + 7 a6b + 21 a5b2 + 35 a4b3 + 35 a3b4 + 21 a2b5 + 
7 ab6 + b7 
Como obtivemos, por exemplo, o coeficiente do 6º termo (21 
a2b5) ?
Pela regra: coeficiente do termo anterior = 35. Multiplicamos 
35 pelo expoente de a que é igual a 3 e dividimos o resultado pela 
ordem do termo que é 5.
Então, 35 . 3 = 105 e dividindo por 5 (ordem do termo anterior) 
vem 105:5 = 21, que é o coeficiente do sexto termo, conforme se 
vê acima. 
Observações:
1) o desenvolvimento do binômio (a + b)n é um polinômio.
2) o desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 termos .
3) os coeficientes dos termos eqüidistantes dos extremos , no 
desenvolvimento De (a + b)n são iguais .
15
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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO
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4) a soma dos coeficientes de (a + b)n é igual a 2n . 
Fórmula do termo geral de um Binômio de Newton 
Um termo genérico Tp+1 do desenvolvimento de (a+b)
n , sendo 
p um número natural, é dado por 
 onde 
é denominado Número Binomial e Cn.p é o número de 
combinações simples de n elementos, agrupados p a p, ou seja, o 
número de combinações simples de n elementos de taxa p.
Este número é também conhecido como Número 
Combinatório. 
EXERCÍCIOS
 
1 - Determine o 7º termo do binômio (2x + 1)9 , desenvolvido 
segundo as potências decrescentes de x.
 
Solução:
Vamos aplicar a fórmula do termo geral de (a + b)n , onde a 
= 2x , b = 1 e n = 9. Como queremos o sétimo termo, fazemos p 
= 6 na fórmula do termo geral e efetuamos os cálculos indicados. 
Temos então:
T6+1 = T7 = C9,6 . (2x)
9-6 . (1)6 = 9! /[(9-6)! . 6!] . (2x)3 . 1 = 
9.8.7.6! / 3.2.1.6! . 8x3 = 84.8x3 = 672x3. Portanto o sétimo termo 
procurado é 672x3.
 
2 - Qual o termo médio do desenvolvimento de (2x + 3y)8 ? 
Solução:
Temos a = 2x , b = 3y e n = 8. Sabemos que o desenvolvimento 
do binômio terá 9 Termos, porque n = 8. Ora sendo T1 T2 T3 T4 
T5 T6 T7 T8 T9 os termos do desenvolvimento do binômio, o 
termo do meio (termo médio) será o T5 (quinto termo). 
Logo, o nosso problema resume-se ao cálculo do T5 . Para isto, 
basta fazer p = 4 na fórmula do termo geral e efetuar os cálculos 
decorrentes. Teremos:T4+1 = T5 = C8,4 . (2x)
8-4 . (3y)4 = 8! / [(8-4)! . 
4!] . (2x)4 . (3y)4 = 8.7.6.5.4! / (4! . 4.3.2.1) . 16x4.81y4 
Fazendo as contas vem:
T5 = 70.16.81.x
4 . y4 = 90720x4y4 , que é o termo médio 
procurado. 
3 - Desenvolvendo o binômio (2x - 3y)3n , obtemos um 
polinômio de 16 termos. Qual o valor de n? 
Solução:
Ora, se o desenvolvimento do binômio possui 16 termos, 
então o expoente do binômio é igual a 15. 
Logo, 3n = 15 de onde conclui-se que n= 5. 
4 - Determine o termo independente de x no desenvolvimento 
de (x + 1/x )6 . 
Solução: 
Sabemos que o termo independente de x é aquele que não 
depende de x, ou seja, aquele que não possui x.
Temos no problema dado: a = x , b = 1/x e n = 6. 
Pela fórmula do termo geral, podemos escrever: 
Tp+1 = C6,p . x
6-p . (1/x)p = C6,p . x
6-p . x-p = C6,p . x
6-2p . 
Ora, para que o termo seja independente de x, o expoente 
desta variável deve ser zero, pois x0 = 1. Logo, fazendo 6 - 2p 
= 0, obtemos p=3. Substituindo então p por 6, teremos o termo 
procurado. Temos então:
T3+1 = T4 = C6,3 . x
0 = C6,3 = 6! /[(6-3)! . 3! ] = 6.5.4.3! / 3!.3.2.1 
= 20.
Logo, o termo independente de x é o T4 (quarto termo) que é 
igual a 20. 
EXERCÍCIOS
1)	 Qual é o termo em x5 no desenvolvimento de (x + 3)8 ? 
2) Determine a soma dos coeficientes do desenvolvimento de 
(x - 3y)7 . 
3) Qual é o valor do produto dos coeficientes do 2o. e do 
penúltimo termo do desenvolvimento de (x - 1)80 ? 
4) FGV-SP - Desenvolvendo-se a expressão [(x + 1/x) . (x - 
1/x)]6 , obtém-se como termo independente de x o valor:
a) 10 
b) -10 
c) 20 
d) -20
e) 36
5) UF. VIÇOSA - A soma dos coeficientes do desenvolvimento 
de (2x + 3y)m é 625. O valor de m é:
a) 5
b) 6 
c)10 
d) 3 
e) 4 
6) MACK-SP - Os 3 primeiros coeficientes no desenvolvimento 
de (x2 + 1/(2x))n estão em progressão aritmética.O valor de n é:
a) 4 
b) 6 
c) 8 
d) 10
e) 12 
7) No desenvolvimento de (3x + 13)n há 13 termos. A soma 
dos coeficientes destes termos é igual a:
8) UFBA-92 - Sabendo-se que a soma dos coeficientes no 
desenvolvimento do binômio (a + b)m é igual a 256, calcule (m/2)! 
9) UFBA-88 - Calcule o termo independente de x no 
desenvolvimento de (x2 + 1/x)9.
16
Didatismo e Conhecimento
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO
TRT - RO JANEIRO /2011 TECNICO
10) Calcule a soma dos coeficientes do desenvolvimento do 
binômio (3x - 1)10.
RESPOSTAS
(1) T4 = 1512.x
5 
(2) – 128 
(3) 6400 
(4-D) 
(5-E)
(6-8)
(7) 248 
(8) 24 
(9) 84 
(10) 1024
MÚLTIPLOS E DIVISORES DE 
NÚMEROS NATURAIS
Sabemos que 30:6 = 5,porque 5 x 6 = 30.
Podemos dizer então que:
“30 é divisível por 6 porque existe um numero natural (5) que 
multiplicado por 6 dá como resultado 30.”
Um numero natural a é divisível por um numero natural 
b, não-nulo, se existir um número natural c,tal que c . b = a.
Ainda com relação ao exemplo 30 : 6 = 5, temos que:
30 é múltiplo de 6,e 6 é divisor de 30.
Conjunto dos múltiplos de um número natural: é obtido 
multiplicando-se esse número pela sucessão dos números naturais: 
0,1,2,3,4,5,6,...
Para acharmos o conjunto dos múltiplos de 7, por exemplo, 
multiplicamos por 7 cada um dos números da sucessão dos 
naturais:
7 x 0 = 0
7 x 1 = 7
7 x 2 = 14
7 x 3 = 21
7 x 4 = 28
7 x 5 = 35
O conjunto formado pelos resultados encontrados forma o 
conjunto dos múltiplos de 7: M(7) = {0,7,14,21,28,...}.
Observações:
è Todo número natural é múltiplo de si mesmo.
è Todo número natural é múltiplo de 1.
è Todo número natural, diferente de zero, tem infinitos 
múltiplos.
è O zero é múltiplo de qualquer número natural.
è Os múltiplos do número 2 são chamados de números pares, 
e a fórmula geral desses números é 2 k (k∈N ). Os demais são 
chamados de números ímpares, e a fórmula geral desses números 
é 2 k + 1 ( k∈ N ).
Critérios de divisibilidade: são regras práticas que nos 
possibilitam dizer se um número é ou não divisível por outro, sem 
efetuarmos a divisão.
Divisibilidade por 2: Um número é divisível por 2 quando 
termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, ou seja, quando ele é par. Exemplos:
a) 9656 é divisível por 2, pois termina em 6.
b) 4321 não é divisível por 2, pois termina em 1.
Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 quando a 
soma dos valores absolutos de seus algarismos é divisível por 3. 
Exemplos:
a) 65385 é divisível por 3, pois 6 + 5 + 3 + 8 + 5 = 27, e 27 é 
divisível por 3.
b) 15443 não é divisível por 3, pois 1+ 5 + 4 + 4 + 3 = 17, e 
17 não é divisível por 3.
Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 quando 
seus dois algarismos são 00 ou formam um número divisível por 
4. Exemplos:
a) 536400 é divisível por 4, pois termina em 00.
b) 653524 é divisível por 4, pois termina em 24, e 24 é 
divisível por 4.
c) 76315 não é divisível por 4, pois termina em 15, e 15 não 
é divisível por 4.
Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 quando 
termina em 0 ou 5. Exemplos:
a) 35040 é divisível por 5, pois termina em 00.
b) 7235 é divisível por 5, pois termina em 5.
c) 6324 não é divisível por 5, pois termina em 4.
Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando é 
divisível por 2 e por 3. Exemplos:
a) 430254 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3 (4 + 
3 + 0 + 2 + 5 + 4 = 18).
b) 80530 não é divisível por 6, pois não é divisível por 3 ( 8 + 
0 + 5 + 3 + 0 = 16 ).
c) 531561 não é divisível por 6, pois não é divisível por 2.
Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 quando 
seus três últimos algarismos forem 000 ou formarem um número 
divisível por 8. Exemplos:
a) 57000 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos 
são 000.
b) 67024 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos 
formam o número 24, que é divisível por 8.
c) 34125 não é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos 
formam o número 125, que não é divisível por 8.
Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 quando 
a soma dos valores absolutos de seus algarismos formam um 
número divisível por 9. Exemplos:
17
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a) 6253461 é divisível por 9, pois 6 + 2 + 5 + 3 + 4 + 6 + 1 = 
27 é divisível por 9.
b) 325103 não é divisível por 9, pois 3 + 2 + 5 + 1 + 0 + 3 = 
14 não é divisível por 9.
Divisibilidade por 10: Um número é divisível por 10 quando 
termina em zero. Exemplos:
a) 563040 é divisível por 10, pois termina em zero.
b) 246321 não é divisível por 10, pois não termina em zero.
Divisibilidade por 11: Um número é divisível por 11 quando 
a diferença entre a soma dos algarismos de posição ímpar e a soma 
dos algarismos de posição par resulta em um número divisível por 
11. Exemplos:
a) 1º 3º 5º ð Algarismos de posição ímpar.(Soma dos 
algarismos de posição impar: 4 + 8 + 3 = 15.)
 4 3 8 1 3 
 2º 4º ð Algarismos de posição par.(Soma dos 
algarismos de posição par:3 + 1 = 4)
15 – 4 = 11 ð diferença divisível por 11. Logo 43813 é 
divisível por 11.
b) 1º 3º 5º 7º ð (Soma dos algarismos de posição 
ímpar:8 + 4 + 5 + 2 = 19)
 8 3 4 1 5 7 2 1
 2º 4º 6º 8º ð (Soma dos algarismos de posição 
par:3 + 1 + 7 + 1 = 12)
19 – 12 = 7 ð diferença que não é divisível por 11. Logo 
83415721 não é divisível por 11.
Divisibilidade por 12: Um número é divisível por 12 quando 
é divisível por 3 e por 4. Exemplos:
a) 78324 é divisível por 12, pois é divisível por 3 ( 7 + 8 + 3 + 
2 + 4 = 24) e por 4 (termina em 24).
b) 652011 não é divisível por 12, pois não é divisível por 4 
(termina em 11).
c) 863104 não é divisível por 12, pois não é divisível por 3 ( 8 
+ 6 + 3 +1 + 0 + 4 = 22).
Divisibilidade por 15: Um número é divisível por 15 quando 
é divisível por 3 e por 5. Exemplos:
a) 650430 é divisível por 15, pois é divisível por 3 ( 6 + 5 + 0 
+ 4 + 3 + 0 =18) e por 5 (termina em 0).
b) 723042 não é divisível por 15, pois não é divisível por 5 
(termina em 2).
c) 673225 não é divisível por 15, pois não é divisível por 3 ( 6 
+ 7 + 3 + 2 + 2 + 5 = 25).
EXERCÍCIOS
1- Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 5 
menores que 30.
2- Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 8 
compreendidos entre 30 e 50.
3- Qual é o menor múltiplo de 12 maior que 50?
4- Qual é o menor número que devemos somar a 36 para 
obter um múltiplo de 7?
5- Como são chamados os múltiplos de 2?
6- Verifique se os números abaixo são divisíveis por 4.
a) 23418 b) 65000 c) 38036 d) 24004e) 58617
7- Verifique se os números abaixo são divisíveis por 11.
a) 8324701 b) 62784 c) 123211 d) 78298 
e) 2013045
8- Qual é o maior múltiplo de 15 menor que 150?
9- Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 7 
maiores que 10 e menores que 20.
10- Verifique se os números abaixo são divisíveis por 15.
a) 280365 b) 421380 c) 70305 d) 203400 
e) 43123
RESPOSTAS
1- {0, 5, 10, 15, 20, 25}
2- {32, 40, 48}
3- 60
4- 6
5- pares
6- a) N b) S c) S d) S e) N
7- a) N b) S c) S d) S e) N
8- 135
9- {14}
10- a) S b) S c) S d) S e) N
PROBLEMAS
Os problemas matemáticos são resolvidos utilizando inúmeros 
recursos matemáticos, destacando, entre todos, os princípios 
algébricos, os quais são divididos de acordo com o nível de 
dificuldade e abordagem dos conteúdos. Primeiramente os cálculos 
envolvem adições e subtrações, posteriormente as multiplicações 
e divisões. Depois os problemas são resolvidos com a utilização 
dos fundamentos algébricos, isto é, criamos equações matemáticas 
com valores desconhecidos (letras). Observe algumas situações 
que podem ser descritas com utilização da álgebra.
- O dobro de um número adicionado com 4: 2x + 4;
- A soma de dois números consecutivos: x + (x + 1);
- O quadrado de um número mais 10: x2 + 10;
- O triplo de um número adicionado ao dobro do número: 3x 
+ 2x;
- A metade da soma de um número mais 15: x/2 + 15;
- A quarta parte de um número: x/4.
18
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Exemplo 1
A soma de três números pares consecutivos é igual a 96. 
Determine-os.
1º número: x
2º número: x + 2
3º número: x + 4
(x) + (x+2) + (x+4) = 96
Resolução:
x + x + 2 + x + 4 = 96
3x = 96 – 4 – 2
3x = 96 – 6
3x = 90
x = 90/3
x = 30
1º número: x = 30
2º número: x + 2 = 30 + 2 = 32
3º número: x + 4 = 30 + 4 = 34
Os números são 30, 32 e 34.
Exemplo 2
O triplo de um número natural somado a 4 é igual ao quadrado 
de 5. Calcule-o:
Resolução:
3x + 4 = 52
3x = 25 – 4
3x = 21
x = 21/3
x = 7
O número procurado é igual a 7.
Exemplo 3
A idade de um pai é o quádruplo da idade de seu filho. Daqui 
há cinco anos, a idade do pai será o triplo da idade do filho. Qual é 
a idade atual de cada um?
Resolução:
Atualmente
Filho: x
Pai: 4x
Futuramente
Filho: x + 5
Pai: 4x + 5
4x + 5 = 3 . (x + 5)
4x + 5 = 3x + 15
4x – 3x = 15 – 5
X = 10
Pai: 4x = 4 . 10 = 40
O filho tem 10 anos e o pai tem 40.
Exemplo 4
O dobro de um número adicionado ao seu triplo corresponde 
a 20. Qual é o número?
Resolução
2x + 3x = 20
5x = 20
x = 20/5
x = 4
O número corresponde a 4.
Exemplo 5
Em uma chácara existem galinhas e coelhos totalizando 35 
animais, os quais somam juntos 100 pés. Determine o número de 
galinhas e coelhos existentes nessa chácara.
Galinhas: G
Coelhos: C
G + C = 35
Cada galinha possui 2 pés e cada coelho 4, então:
2G + 4C = 100
Sistema de equações
Isolando C na 1ª equação:
G + C = 35
C = 35 – G
Substituindo C na 2ª equação:
2G + 4C = 100
2G + 4 . (35 – G) = 100
2G + 140 – 4G = 100
2G – 4G = 100 – 140
- 2G = - 40
G = 40/2
G = 20
Calculando C
C = 35 – G
C = 35 – 20
C = 15
EXERCÍCIOS
1- A soma das idades de Arthur e Baltazar é de 42 anos. Qual a 
idade de cada um, se a idade de Arthur é 
5
2
 da idade de Baltazar?
A + B = 42 anos
A = 2/5 . B
(substituindo a letra “A” pelo valor 2/5.B)
2/5.B + B = 42 (mmc: 5)
2B + 5B = 210
7B = 210
B = 210/7
B = 30 A = 12
2- A diferença entre as idades de José e Maria é de 20 anos. 
Qual a idade de cada um, sabendo-se que a idade de José é 
5
9
 
da idade de Maria? 
19
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J – M = 20 (substituindo a letra “J” por 9/5M)
J = 9/5M 9/5M – M = 20 (mmc:1;5)
 9M – 5M = 100
 4M = 100
 M = 100/4
 M = 25 e J = 45
3- Verificou-se que numa feira 
9
5
 dos feirantes são de origem 
japonesa e 
5
2
 do resto são de origem portuguesa. O total de 
feirantes japoneses e portugueses é de 99. Qual o total de feirantes 
dessa feira?
F = feirantes (substituindo a letra “J” por 5/9.F)
J = 5/9.F 
P = 
J + P = 99 
 (mmc:9;45)
 
 33F = 4455
 F = 4455/33
 F = 135
4- Certa quantidade de cards é repartida entre três meninos. O 
primeiro menino recebe 
7
3
 da quantidade e o segundo, metade do 
resto. Dessa maneira, os dois receberam 250 cards. Quantos cards 
havia para serem repartidos e quantos cards recebeu o terceiro 
menino? 
X = cards (substituindo o “1°” 
e “2º” pelos valores respectivos)
1º = 3/7.X (mmc: 1;7)
2º = 3x + 2x = 1750 
1º + 2º = 250 5x = 1750 
 X = 1750/5
 X = 350
------------------------------------------------------------------------------
1º = 3/7 . 350 = 150
2º = 2/7 . 350 = 100
3º = 350 – 250 = 100
5- Num dia, uma pessoa lê os 
5
3
 de um livro. No dia seguinte, 
lê os 
4
3
 do resto e no terceiro dia, lê as 20 páginas finais. 
Quantas páginas tem o livro? 
X = livro
1 dia = 3/5 x 1 dia + 2 dia + 3 dia = x
2 dia = ¾ (x – 3/5x) 3/5 x + ¾ (x – 3/5x) 
+ 20 = x
3 dia = 20 páginas 3/5 x + ¾ + 20 = x
 3/5 x + ¾ . 2x/5 + 20 = x
 3/5 x + 6x/20 + 20 = x 
(mmc:5;20)
 12x + 6x + 400 = 20x
 20x – 18x = 400
 2x = 400
 X = 400/2 = 200 páginas
6- Uma caixa contém medalhas de ouro, de prata e de bronze. 
As medalhas de ouro totalizam 
5
3
 das medalhas da caixa. O 
número de medalhas de prata é 30. O total de medalhas de bronze 
é 
4
1
 do total de medalhas. Quantas são as medalhas de ouro e de 
bronze contidas na caixa?
 O + P + B = T
T = total 3/5T + 30 + 1/4T = T (mmc:5;4)
O = 3/5T 12T/20 + 5T/20 + 600/20 = 20T/20
P = 30 17T + 600 = 20T
B = 1/4T 20T – 17T = 600
 3T = 600
 T = 600/3 = 200 medalhas
 ----------------------------------------------------------------------
 O = 3/5T = 3/5 . 200 = 120
 B = 1/4T = ¼ . 200 = 50
7-Uma viagem é feita em quatro etapas. Na primeira etapa, 
percorrem-se os 
7
2
 da distância total. Na segunda, os 
5
3
 do 
resto. Na terceira, a metade do novo resto. Dessa maneira foram 
percorridos 60 quilômetros. Qual a distância total a ser percorrida 
e quanto se percorreu na quarta etapa? 
T = total
1ª = 2/7T
2ª = 
3ª = 
1ª + 2ª + 3ª = 60
2T/7 + 3T/7 + 2T/14 = 60 (mmc:7;14)
4T + 6T + 2T = 840
12T = 840
T = 840/12
T = 70
4ª = 70 – 60 = 10
8- A soma das idades de Lúcia e Gabriela é de 49 anos. Qual a 
idade de cada uma, sabendo-se que a idade de Lúcia é 
4
3
 da idade 
de Gabriela?
L + G = 49 anos (substitui aletra “L” por 3/4G)
L = 3/4G ¾ G + G = 49 (mmc:1;4)
 3G + 4G = 196
 7G = 196
 G = 196/7 = 28 
L = 49 – 28 = 21
9- Num dia, um pintor pinta 
5
2
 de um muro. No dia seguinte, 
pinta mais 51 metros do muro. Desse modo, pintou 
9
7
do muro 
todo. Quantos metros tem o muro? 
20
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TRT - RO JANEIRO /2011 TECNICO
M = muro
1 dia = 2/5M
2 dia = 51 metros
2/5M + 51 = 7/9M (mmc:5;9)
18M/45 + 2295/45 = 35M/45
18M + 2295 = 35M
35M – 18M = 2295
17M = 2295
M = 2295/17
M = 135 metros
10- Um aluno escreve 
8
3
 do total de páginas de seu caderno 
com tinta azul e 58 páginas com tinta vermelha. Escreveu, dessa 
maneira, 
9
7
 do total de páginas do caderno. Quantas páginas 
possui o caderno? 
P = total 3/8P + 58 = 7/9P (mmc:8;9)
Azul = 3/8P 27P + 4176 = 56P
Vermelha = 58 56P – 27P = 4176
 29P = 4176
 P = 4176/29 = 144 páginas
RESPOSTAS
1- Baltazar 30 anos e Artur 12 anos
2- José 45 anos e Maria 25 anos
3- 135 feirantes
4- 350 cards e 3º 100 cards
5- 200 páginas
6- 120 de ouro e 50 de bronze
7- Gabriela 28 anos e Lúcia 21 anos
8- Total 70 km e 4º 10 km
9- 135 metros
10- 144 páginas
FRAÇÕES E OPERAÇÕES COM 
FRAÇÕES
NÚMEROS FRACIONÁRIOS
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
Frações com denominadores iguais:
Exemplo: Jorge comeu 8
3
 de um tablete de chocolate e Miguel 
8
2 desse mesmo tablete. Qual a fração do tablete de 
chocolate que Jorge e Miguel comeram juntos?
A figura abaixo representa o tablete de chocolate. Nela 
também estão representadas as frações do tablete que Jorge e 
Miguel comeram:
3/8 2/8
5/8
Observe que 
8
3 + 
8
2 = 
8
5
Portanto, Jorge e Miguel comeram juntos 
8
5 do tablete de 
chocolate.
Na adição e subtração de duas ou mais frações que 
têm denominadores iguais, conservamos o denominador 
comum e somamos ou subtraímos os numeradores.
Outro Exemplo:
2
1
2
753
2
7
2
5
2
3
=
−+
=−+
Frações com denominadores diferentes:
Calcular o valor de 6
5
8
3
+
. Inicialmente, devemos reduzir as 
frações ao mesmo denominador comum:
mmc (8,6) = 24 
6
5
8
3
+ = 
24
20
24
9
+
24 : 8 . 3 = 9
24 : 6 . 5 = 20
Devemos proceder, agora, como no primeiro caso, 
simplificando o resultado, quando possível:
24
20
24
9
+ = 
24
29
24
209
=
+
Portanto: 
6
5
8
3
+ = 24
20
24
9
+ = 
24
29
24
209
=
+
Na adição e subtração de duas ou mais frações que têm os 
denominadores diferentes, reduzimos inicialmente as frações ao 
menor denominador comum, após o que procedemos como no 
primeiro caso.
21
Didatismo e Conhecimento
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO
TRT - RO JANEIRO /2011 TECNICO
MULTIPLICAÇÃO
Exemplo: De uma caixa de frutas, 
5
4 são bananas. Do total 
de bananas, 3
2
 estão estragadas. Qual é a fração de frutas da 
caixa que estão estragadas?
 
 Representa 4/5 do conteúdo da caixa
 
Representa 2/3 de 4/5 do conteúdo da caixa.
Repare que o problema proposto consiste em calcular o valor 
de 
3
2 de 
5
4 que, de acordo com a figura, equivale a 
15
8 do total 
de frutas. De acordo com a tabela acima, 
3
2 de 
5
4 equivale a 
3
2
. 
5
4 . Assim sendo:
3
2 . 
5
4 = 
15
8
Ou seja:
3
2 de 
5
4 = 
3
2 . 
5
4 = 
5.3
4.2 = 
15
8
O produto de duas ou mais frações é uma fração cujo 
numerador é o produto dos numeradores e cujo denominador é o 
produto dos denominadores das frações dadas.
Outro exemplo: 
3
2 . 
5
4 . 
135
56
9.5.3
7.4.2
9
7
==
Observação: Sempre que possível, antes de efetuar a 
multiplicação, podemos simplificar as frações entre si, dividindo 
os numeradores e os denominadores por um fator comum. Esse 
processo de simplificação recebe o nome de cancelamento.
1
1
3
2
. 
5
4 . 
25
12
10
9
5
3
=
DIVISÃO
Duas frações são inversas ou recíprocas quando o numerador 
de uma é o denominador da outra e vice-versa. Exemplo:
3
2 é a fração inversa de 
2
3
5 ou 
1
5 é a fração inversa de 
5
1
Considere a seguinte situação: Lúcia recebeu de seu pai os 
5
4
dos chocolates contidos em uma caixa. Do total de chocolates 
recebidos, Lúcia deu a terça parte para o seu namorado. Que fração 
dos chocolates contidos na caixa recebeu o namorado de Lúcia?
A solução do problema consiste em dividir o total de chocolates 
que Lúcia recebeu de seu pai por 3, ou seja, 
5
4 : 3.
Por outro lado, dividir algo por 3 significa calcular 
3
1 desse 
algo.
Portanto: 
5
4 : 3 = 
3
1 de 
5
4
Como 
3
1 de 
5
4 = 
3
1 . 
5
4 = 
5
4 . 
3
1 , resulta que
 
5
4 : 3 = 
5
4 : 
1
3 = 
5
4 . 
3
1
 São frações inversas
Observando que as frações 
1
3
 e 
3
1 são frações inversas, 
podemos afirmar que:
Para dividir uma fração por outra, multiplicamos a primeira 
pelo inverso da segunda.
Portanto 
5
4 : 3 = 
5
4 : 
1
3 = 
5
4 . 
3
1 = 
15
4
Ou seja, o namorado de Lúcia recebeu 
15
4 do total de 
chocolates contidos na caixa.
22
Didatismo e Conhecimento
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO
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Outro exemplo: 
6
5
8
5.
3
4
5
8:
3
4
2
1
==
Note a expressão: 
5
1
2
3
. Ela é equivalente à expressão 
5
1:
2
3 .
Portanto 
5
1
2
3
= 
5
1:
2
3 = 
1
5.
2
3 = 
2
15
NÚMEROS E GRANDEZAS 
PROPORCIONAIS: Razões e Proporções
Sejam dois números reais a e b, com b ≠ 0. Chama-se razão 
entre a e b (nessa ordem) o quociente a : b, ou a/b.
A razão é representada por um número racional, mas é lida de 
modo diferente.
Exemplos:
a) A fração 5
3
 lê-se: “três quintos”. 
b) A razão 
5
3 lê-se: “3 para 5”.
Os termos da razão recebem nomes especiais. 
Exemplo 1: A razão entre 20 e 50 é
5
2
50
20
= já a razão entre 
50 e 20 é
2
5
20
50
= .
Exemplo 2: Numa classe de 42 alunos há 18 rapazes e 24 
moças. A razão entre o número de rapazes e o número de moças é 
4
3
24
18
=
, o que significa que para “cada 3 rapazes há 4 moças”. 
Por outro lado, a razão entre o número de rapazes e o total de 
alunos é dada por 7
3
42
18
=
, o que equivale a dizer que “de cada 
7 alunos na classe, 3 são rapazes”.
Razão entre grandezas de mesma espécie: A razão entre 
duas grandezas de mesma espécie é o quociente dos números que 
expressam as medidas dessas grandezas numa mesma unidade.
Exemplo: Uma sala tem 18 m2. Um tapete que ocupar o centro 
dessa sala mede 384 dm2. Vamos calcular a razão entre a área do 
tapete e a área da sala.
Primeiro, devemos transformar as duas grandezas em uma 
mesma unidade:
Área da sala: 18 m2 = 1 800 dm2
Área do tapete: 384 dm2
Estando as duas áreas na mesma unidade, podemos escrever 
a razão:
75
16
1800
384
1800
384
2
2
==
dm
dm
Razão entre grandezas de espécies diferentes: 
Exemplo 1: Considere um carro que às 9 horas passa pelo 
quilômetro 30 de uma estrada e, às 11 horas, pelo quilômetro 170:
Distância percorrida: 170 km – 30 km = 140 km
Tempo gasto: 11h – 9h = 2h
Calculamos a razão entre a distância percorrida e o tempo 
gasto para isso:
hkm
h
km /70
2
140
=
A esse tipo de razão dá-se o nome de velocidade média.
Observe que:
• as grandezas quilômetro e hora são de naturezas 
diferentes;
• a notação km/h (lê-se: “quilômetros por hora”) deve 
acompanhar a razão.
Exemplo 2: A Região Sudeste (Espírito Santo, Minas Gerais, 
Rio de Janeiro e São Paulo) tem uma área aproximada de 927 286 
km2 e uma população de 66 288 000 habitantes, aproximadamente, 
segundo estimativas projetadas pelo Instituto Brasileiro de 
Geografia e Estatística (IBGE) para o ano de 1995.
Dividindo-se o número de habitantes pela área, obteremos o 
número de habitantes por km2 (hab./km2):
2/.5,71
927286
66288000 kmhab≅A esse tipo de razão dá-se o nome de densidade demográfica.
A notação hab./km2 (lê-se:”habitantes por quilômetro 
quadrado”) deve acompanhar a razão.
Exemplo 3: Um carro percorreu, na cidade, 83,76 km com 8 
l de gasolina. Dividindo-se o número de quilômetros percorridos 
pelo número de litros de combustível consumidos, teremos o 
número de quilômetros que esse carro percorre com um litro de 
gasolina:
lkm
l
km /47,10
8
76,83
≅
23
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A esse tipo de razão dá-se o nome de consumo médio.
A notação km/l (lê-se: “quilômetro por litro”) deve 
acompanhar a razão.
Exemplo 4: Uma sala tem 8 m de comprimento. Esse 
comprimento é representado num desenho por 20 cm. Qual é a 
escala do desenho?
Escala = 
40:1
40
1
800
20
8
20 ou
cm
cm
m
cm
orealcompriment
onodesenhocompriment
===
A razão entre um comprimento no desenho e o correspondente 
comprimento real, chama-se Escala.
EXERCÍCIOS
1- Se a razão de x para y é 3
10
, quem é maior: x ou y?
2- Numa escola estão matriculados 800 alunos, dos quais 450 
são meninas. A razão entre o número de meninos e o número de 
meninas é:
a) 
9
7
 b) 
7
9
 c) 16
9
 d)
16
7
3- No campeonato colegial mirim, Reginaldo percorreu 60 m 
em 8 s. Sua velocidade média foi:
a) 6 m/s b) 7 m/s c) 7,5 m/s d) 8 m/s 
4- (Unifor-CE) Se a razão entre dois números é 5
3
, a razão 
entre o quíntuplo do primeiro e a terça parte do segundo é igual a:
a) 
9
1
 b) 
3
1
 c) 1 d) 3 e) 9
5- (Vest. Rio) Um bar vende suco e refresco de tangerina. 
Ambos são fabricados diluindo em água um concentrado desta 
fruta. As proporções são de uma parte de concentrado para três de 
água, no caso do suco, e de uma parte de concentrado para seis de 
água no caso do refresco. O refresco também poderia ser fabricado 
diluindo x partes de suco em y partes de água, se a razão 
y
x
 fosse 
igual a:
a) 
2
1
 b) 
4
3
 c) 1 
d)
3
4
 e) 2
6- (U.F. Santa Maria -RS) A velocidade média é definida 
como o quociente do espaço percorrido, em quilômetros, pelo 
tempo gasto para percorrê-lo, em horas. Um automóvel percorreu 
a distância entre duas cidades, com velocidade média de 60 km/h 
e fez a viagem de regresso com velocidade média de 40 km/h. 
Então, pode-se afirmar que a velocidade média do percurso total, 
ida e volta, foi de:
a) 48 km/h 
 b) 50 km/h 
c) 52 km/h 
d) 60 km/h 
 e) 100 km/h
7- (UFRS) Se a escala de um mapa é 5 por 2 500 000 e dois 
pontos no mapa à distância de 25 cm, ao longo de uma rodovia, a 
distância real em km é:
a) 100 b) 125 c) 150 
d) 200 e) 250
8- (ESPM-SP) Em um mapa verifica-se que a escala é 1 : 22 000 
000. Duas cidades estão distantes de São Paulo, respectivamente, 
4 e 6 cm. Se fosse feita uma estrada ligando as três cidades, qual 
seria o mínimo de extensão que ela teria?
9- (UFRJ) Um automóvel de 4,5 m de comprimento é 
representado, em escala, por um modelo de 3 cm de comprimento. 
Determine a altura do modelo que representa, na mesma escala, 
uma casa de 3,75 m de altura.
10- (UFCE) Em um mapa cartográfico, 4 cm representam 12 
km. Nesse mesmo mapa, 10 cm representarão quantos quilômetros?
RESPOSTAS
(1-X) (2-A) (3-C) (4-E) (5-A) (6-B) (7-B) (8)1.320km) 
(9)2,5cm) (10)30km)
PROPORÇÃO
A igualdade entre duas razões recebe o nome de proporção.
Na proporção 10
6
5
3
= (lê-se: “3 está para 5 assim como 6 
está para 10”), os números 3 e 10 são chamados extremos, e os 
números 5 e 6 são chamados meios.
Observemos que o produto 3 x 10 = 30 é igual ao produto 5 x 6 
= 30, o que caracteriza a propriedade fundamental das proporções:
“Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao 
produto dos extremos”.
24
Didatismo e Conhecimento
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO
TRT - RO JANEIRO /2011 TECNICO
Exemplo 1:
Na proporção 9
6
3
2
= , temos 2 x 9 = 3 x 6 = 18;
e em 16
4
4
1
=
,temos 4 x 4 = 1 x 16 = 16.
Exemplo 2:
Na bula de um remédio pediátrico recomenda-se a seguinte 
dosagem: 5 gotas para cada 2 kg do “peso” da criança.
Se uma criança tem 12 kg, a dosagem correta x é dada por:
kg
x
kg
gotas
122
5
=  x = 30 gotas
Por outro lado, se soubermos que foram corretamente 
ministradas 20 gotas a uma criança, podemos concluir que seu 
“peso” é 8 kg, pois:
pgotas
kg
gotas /20
2
5
=  p = 8kg
(nota: o procedimento utilizado nesse exemplo é comumente 
chamado de regra de três simples.)
Propriedades da Proporção:
• O produto dos extremos é igual ao produto dos meios: 
essa propriedade possibilita reconhecer quando duas razões 
formam ou não uma proporção.
• A soma dos dois primeiros termos está para o primeiro 
(ou para o segundo termo) assim como a soma dos dois últimos 
está para o terceiro (ou para o quarto termo).
10
14
5
7
10
410
5
25
4
10
2
5
=⇒
+
=


 +⇒=
ou
4
14
2
7
4
410
2
25
4
10
2
5
=⇒
+
=


 +⇒=
• A diferença entre os dois primeiros termos está para 
o primeiro (ou para o segundo termo) assim como a diferença 
entre os dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto 
termo).
• 8
2
4
1
8
68
4
34
6
8
3
4
=⇒
−
=


 −⇒=
ou
6
2
3
1
6
68
3
34
6
8
3
4
=⇒
−
=


 −⇒=
• A soma dos antecedentes está para a soma dos 
conseqüentes assim como cada antecedente está para o seu 
conseqüente.
8
2
4
1
8
68
4
34
6
8
3
4
=⇒
−
=


 −⇒=
ou
6
2
3
1
6
68
3
34
6
8
3
4
=⇒
−
=


 −⇒=
• A diferença dos antecedentes está para a diferença 
dos conseqüentes assim como cada antecedente está para o seu 
conseqüente.
8
12
10
15
8
12
28
312
2
3
8
12
=⇒=



+
+
⇒=
ou
2
3
10
15
2
3
28
312
2
3
8
12
=⇒=



+
+
⇒=
EXERCÍCIOS
1- Na proporção 
28
yx
= , sabe-se que x – y = 90. Quanto 
vale x?
2- As áreas de dois terrenos estão uma para a outra assim 
como 2 está para 3. Determine a área de cada um, sabendo-se que 
elas somam 360 m2.
3- A diferença entre a idade de Ângela e a idade de Vera é 12 
anos. Sabendo-se que suas idades estão uma para a outra assim 
como 
2
5
, determine a idade de cada uma.
4- Divida R$ 72,00 entre duas pessoas de modo que a primeira 
e a segunda recebam quantias proporcionais a 3 e a 5.
5- Um segmento de 78 cm de comprimento é dividido em 
duas partes na razão de 
9
4
. Determine o comprimento de cada 
uma das partes.
6- (UFGO) Sabe-se que as casas do braço de um violão 
diminuem de largura seguindo uma mesma proporção. Se a 
primeira casa do braço de um violão tem 4 cm de largura e a 
segunda casa, 3 cm, calcule a largura da quarta casa. 
25
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7- (Ulbra–RS) Água e tinta estão misturadas na razão de 9 
para 5. Sabendo-se que há 81 litros de água na mistura, o volume 
total em litros é de:
a) 45 b) 81 c) 85 
d) 181 e) 126
8- Os números x e y são tais que x + y = – 105 e .
2
5
=
y
x
 Os 
valores de x e y são:
a) –35 e –70 b) –175 e 70 c) 35 e –140 d) 
–30 e –75
9- Calcule x e y na proporção 
25
yx
= , sabendo que x + y = 
84.
10- A diferença entre dois números é 65. Sabe-se que o 
primeiro está para 9 assim como o segundo está para 4. Calcule 
esses números.
RESPOSTAS
1) x = 120 y = 30
2) 144 m2 216 m2
3) Ângela 20 Vera 8
4) R$27,00 R$45,00
5) 24 cm 54 cm
6) 27/16 cm
7) E
8) D
9) x = 60 y = 24
10) 117 e 52
DIVISÃO EM PARTES 
PROPORCIONAIS
NÚMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Considere a seguinte situação:
Joana gosta de queijadinha e por isso resolveu aprender 
a fazê-las. Adquiriu a receita de uma amiga. Nessa receita, os 
ingredientes necessários são:
3 ovos
1 lata de leite condensado
1 xícara de leite
2 colheres das de sopa de farinha de trigo