Modelagem, Controle e Simulação da Dinâmica Eletromecânica de uma Micro Usina Hidrelétrica na Amazônia

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INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
1O¯ TEN JOSÉ CARLOS LEÃO VELOSO SILVA
MODELAGEM, CONTROLE E SIMULAÇÃO DA DINÂMICA
ELETROMECÂNICA DE UMA MICRO USINA
HIDRELÉTRICA NA AMAZÔNIA
Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso de
Mestrado em Engenharia Elétrica do Instituto Militar
de Engenharia, como requisito parcial para obtenção do
título de Mestre em Ciências em Engenharia Elétrica.
Orientador: Paulo César Pellanda, Dr. ENSAE, Maj
QEM
Co-orientador: José Carlos Cesar Amorim, Dr. INPG
Rio de Janeiro
2003
c2003
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
Praça General Tibúrcio, 80-Praia Vermelha
Rio de Janeiro-RJ CEP 22290-270
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orientador(es).
S586 Silva, José Carlos L.V.
Modelagem, Controle e Simulação da Dinâmica Eletromecânica de Uma
Micro Usina Hidrelétrica na Amazônia. / José Carlos Leão Veloso Silva. -
Rio de Janeiro : Instituto Militar de Engenharia, 2003.
136 p. : il., graf., tab.
Dissertação (mestrado) - Instituto Militar de Engenharia - Rio de Janeiro,
2003.
1. Modelagem Matemática de SEP. 2. Projeto de reguladores de tensão e
de velocidade. 3. Simulação não-linear. I. Instituto Militar de Engenharia.
II. Título.
CDD 629.8312
2
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
1O¯ TEN JOSÉ CARLOS LEÃO VELOSO SILVA
MODELAGEM, CONTROLE E SIMULAÇÃO DA DINÂMICA
ELETROMECÂNICA DE UMA MICRO USINA HIDRELÉTRICA NA
AMAZÔNIA
Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso de Mestrado em Engenharia Elétrica
do Instituto Militar de Engenharia, como requisito parcial para obtenção do título de
Mestre em Ciências em Engenharia Elétrica.
Orientador: Paulo César Pellanda, Dr. ENSAE, Maj QEM
Co-orientador: José Carlos Cesar Amorim, Dr. INPG
Aprovada em 19 de dezembro de 2003 pela seguinte Banca Examinadora:
Paulo César Pellanda, Dr. ENSAE, Maj QEM do IME - Presidente
José Carlos Cesar Amorim, Dr. INPG do IME
Mário Cesar Mello Massa de Campos, Dr. ECP do CENPES
Antonio Eduardo Carrilho da Cunha, Dr. Eng do IME
Rio de Janeiro
2003
3
A meus pais, Paulo e Vera; a meus irmãos, Ana Paula
e José Paulo; a minha avó Dulce; e a meus familia-
res e amigos, por me mostrarem que "Vale a Pena...".
"Os que lançam as sementes entre lágrimas, ceifa-
rão com alegria.
Chorando de tristeza sairão, espalhando suas semen-
tes; cantando de alegria voltarão, carregando os seus
feixes!" (Sl. 125)
4
AGRADECIMENTOS
Ao Exército Brasileiro, ao Instituto Militar de Engenharia, e em especial ao Depar-
tamento de Engenharia Elétrica, pela oportunidade que me deram de realizar este curso
de Mestrado.
Aos professores do Grupo de Sistemas de Controle deste Instituto, e de modo todo
especial aos professores Coronel Geraldo Magela Pinheiro Gomes e Major Roberto Ades,
pelos ensinamentos, paciência, compreensão e amizade. Ao Coronel Pinheiro e ao Major
Ades a minha mais sincera gratidão.
Ao professor Glauco Nery Taranto (COPPE/UFRJ) pelo conhecimento transmitido,
pelas sugestões e esclarecimentos fundamentais dados em relação a sistemas de potência.
Ao professor e membro da banca examinadora, Capitão Antônio Eduardo Carrilho
da Cunha (IME), pelas diversas dúvidas que me sanou, por sua solicitude e pela valiosa
contribuição dada a este trabalho.
Ao professor Mário Cesar Mello Massa de Campos (CENPES) pelos conhecimentos
transmitidos na cadeira de Introdução à Neuro-Computação e durante a confecção desta
dissertação, sobretudo com relação à lógica fuzzy, tópico fundamental deste trabalho.
Por sua amizade e gentileza em aceitar participar da banca, contribuindo em muito para
o aprimoramento desta dissertação.
Aos companheiros de mestrado, e em particular a meus caros amigos 10 Ten Trajano
Alencar de Araújo Costa, do Departamento de Engenharia Mecânica, pelas mais variadas
explicações e conselhos, e por seu apoio; 10 Ten José Julimá Bezerra Júnior e 10 Ten
Alberto Mota Simões, ambos do Grupo de Sistemas de Controle do Departamento de
Engenharia Elétrica, pelo enorme privilégio que me deram de suas amizades.
Aos meus familiares, por me fazerem prosseguir, mesmo quando tudo parece concorrer
para que eu pare.
Ao professor José Carlos Cesar Amorim (IME), por sua co-orientação, sobretudo nos
assuntos relativos ao sistema hidráulico, e por ter acreditado em mim sendo um grande
incentivador deste trabalho.
Ao professor Major Paulo César Pellanda (IME), pela confiança em mim depositada
ao aceitar orientar esta dissertação, e pela forma como a conduziu, estando sempre ao
meu lado nos momentos mais difíceis, sacrificando, inclusive, horas de descanso com sua
família. Ao Major Pellanda o meu mais profundo respeito, admiração e agradecimento.
5
SUMÁRIO
LISTA DE ILUSTRAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
LISTA DE TABELAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIATURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1 Posicionamento e Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 Organização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 CONFIGURAÇÃO DO SEP EM ESTUDO E SUA MODELAGEM
MATEMÁTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1 Configuração do SEP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1 Comentários sobre a Carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Modelagem do Sistema Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.1 Modelo do Gerador Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.2 Modelo da Rede Elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Modelagem do Sistema Hidráulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Valores Base, Especificação de Materiais e Dados de Parâmetros . . . . . . . . . . . 30
2.4.1 Sistema Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.2 Sistema Hidráulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 MODELO LINEARIZADO DO SISTEMA ELÉTRICO - REGU-
LADORES DE TENSÃO E SIMULAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1 Linearização das Equações do Sistema Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Os Pontos de Operação do SEP e a Solução da Equação de Rede . . . . . . . . . . 39
3.3 As Formulações Aumentada (ou Implícita) e em Espaço de Estados . . . . . . . . 45
3.4 Projeto de Reguladores de Tensão e Simulações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4.1 Comparações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.5 Interpolação de Ganhos dos RAT via Lógica Difusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62
3.5.1 Estrutura de Controle com Tabelamento de Ganhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.5.2 Montagem da Lógica Fuzzy e Obtenção do Regulador Final . . . . . . . . . . . . . . 64
6
4 MODELAGEM E SIMULAÇÃO DO SISTEMA HIDRÁULICO E
DO REGULADOR VELOCIDADE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1 Modelo da Turbina Hidráulica e dos Atuadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2 Modelo do Regulador de Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3 Partida do Sistema e Simulações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5 MODELO NÃO-LINEAR DO SEP E SIMULAÇÕES . . . . . . . . . . . . . 89
5.1 O Sistema Elétrico e a Solução das EAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2 Modelo Completo do SEP e Simulações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.3 Linearização do Modelo Matemático do Sistema Elétrico por Pertur-
bação Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.1 Resumo e Análise dos Principais Resultados Alcançados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.2 Resumo da Contribuição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.3 Críticas e Perspectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8 APÊNDICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.1 APÊNDICE 1: Programas Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.1.1 Definição dos Pontos de Operação e Parâmetros do Sistema Elétrico-
Solução da Equação de Rede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.1.2 Formulação Aumentada - Obtenção das Matrizes ABCD (Espaço de Estados)124
8.1.3 Programa S-Function para o Modelo Não-Linear do Sistema Elétrico . . . . . . . 127
8.1.4 Programa S-Function para o Modelo do Sistema Elétrico Empregado
na Linearização por Perturbação Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.1.5 Cálculo dos Valores das Variáveis do Sistema Elétrico nos Pontos de
Operação considerados e Validação da Linerização Analítica . . . . . . . . . . . . . . 135
7
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
FIG.2.1 Diagrama unifilar do sistema elétrico em estudo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
FIG.3.1 Diagrama de pólos e zeros da FT ∆|V1|(s)
∆Efd(s)
, do SEP. Primeiro ponto
de operação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
FIG.3.2 Diagrama de pólos e zeros da FT ∆|V1|(s)
∆Efd(s)
, do SEP- ampliação da
região do gráfico próxima à origem. Primeiro ponto de operação. . . . . . 48
FIG.3.3 Diagrama em blocos de malha fechada da planta elétrica com o
RAT, mostrando os sinais da tensão de referência (∆Vref ), da
tensão de campo (∆Efd) e da tensão terminal do gerador (∆Vt). . . . . . . 50
FIG.3.4 Modelo em Simulink do sistema elétrico em malha fechada. . . . . . . . . . . . 50
FIG.3.5 Resposta de ∆|V1| para uma entrada ao degrau de 0,05 pu em
∆Vref , com um regulador tipo I (integrador)- primeiro ponto de
operação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
FIG.3.6 Resposta de ∆|V1| para uma entrada ao degrau de 0,05 pu em
∆Vref , com um regulador tipo PI (proporcional - integral)- primeiro
ponto de operação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
FIG.3.7 Resposta de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e du-
ração de 1 segundo em ∆Vref , com um regulador tipo PI (propor-
cional - integral)- primeiro ponto de operação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
FIG.3.8 Resposta de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e du-
ração de 1 segundo em ∆Vref , com um regulador tipo PI (propor-
cional - integral)- segundo ponto de operação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
FIG.3.9 Resposta de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e du-
ração de 1 segundo em ∆Vref , com um regulador tipo PI (propor-
cional - integral)- terceiro ponto de operação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
FIG.3.10 Resposta de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e du-
ração de 1 segundo em ∆Vref , com um regulador tipo PI (propor-
cional - integral)- quarto ponto de operação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
FIG.3.11 Resposta de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e du-
ração de 1 segundo em ∆Vref , com um regulador tipo PI (propor-
cional - integral)- quinto ponto de operação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
FIG.3.12 Resposta de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e du-
ração de 1 segundo em ∆Vref , com um regulador tipo PI (propor-
8
cional - integral)- sexto ponto de operação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
FIG.3.13 Resposta de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e du-
ração de 1 segundo em ∆Vref , com um regulador tipo PI (propor-
cional - integral)- sétimo ponto de operação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
FIG.3.14 Resposta de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e du-
ração de 1 segundo em ∆Vref , com um regulador tipo PI (propor-
cional - integral)- oitavo ponto de operação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
FIG.3.15 Resposta de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e du-
ração de 1 segundo em ∆Vref , com um regulador tipo PI (propor-
cional - integral)- nono ponto de operação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
FIG.3.16 Resposta de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e du-
ração de 1 segundo em ∆Vref , com um regulador tipo PI (propor-
cional - integral)- décimo primeiro ponto de operação. . . . . . . . . . . . . . . . 57
FIG.3.17 Resposta de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e du-
ração de 1 segundo em ∆Vref , com um regulador tipo PI (propor-
cional - integral)- décimo segundo ponto de operação. . . . . . . . . . . . . . . . 58
FIG.3.18 Resposta de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e du-
ração de 1 segundo em ∆Vref , com um regulador tipo PI (propor-
cional - integral)- décimo quarto ponto de operação. . . . . . . . . . . . . . . . . 58
FIG.3.19 Resposta de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e du-
ração de 1 segundo em ∆Vref , com um regulador tipo PI (propor-
cional - integral)- décimo quinto ponto de operação. . . . . . . . . . . . . . . . . 59
FIG.3.20 Respostas de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e du-
ração de 1 segundo em ∆Vref , com um regulador sintonizado no
terceiro e outro no décimo quinto ponto de operação- sistema li-
nearizado no terceiro ponto de operação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
FIG.3.21 Respostas de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e du-
ração de 1 segundo em ∆Vref , com um regulador sintonizado no
terceiro e outro no décimo quinto ponto de operação- sistema li-
nearizado no décimo quinto ponto de operação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
FIG.3.22 Evolução temporal do erro percentual de ∆|V1| em relação à en-
trada de referência (∆Vref ), com o regulador sintonizado para
o terceiro ponto de operação e o sistema linearizado no décimo
quinto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9
FIG.3.23 Diagrama esquemático da estrutura de controle com tabelamentos
de ganhos via lógica fuzzy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63FIG.3.24 Função de pertinência para a variável de entrada potência ativa
(Pa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
FIG.3.25 Função de pertinência para a variável de entrada fator de potência
(FP ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
FIG.3.26 Função de pertinência para a variável de saída ganho 1 (g1). . . . . . . . . . . 67
FIG.3.27 Superfície de variação do ganho g3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
FIG.3.28 Diagrama em Simulink do regulador de tensão final obtido por
técnica de tabelamento de ganhos via lógica fuzzy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
FIG.3.29 Diagrama do subsistema Reguladores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
FIG.4.1 Diagrama em blocos da turbina hidráulica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
FIG.4.2 Diagrama em blocos dos atuadores da turbina hidráulica. . . . . . . . . . . . . . 75
FIG.4.3 Diagrama em blocos do regulador de velocidade em conjunto com
os atuadores da turbina hidráulica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
FIG.4.4 Diagrama em blocos da nova configuração do regulador de veloci-
dade (na malha direta) em conjunto com os atuadores da turbina
hidráulica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
FIG.4.5 Diagrama em blocos responsável pela simulação da abertura inicial
do distribuidor da turbina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
FIG.4.6 Resposta da abertura inicial gi da turbina em pu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
FIG.4.7 Diagrama em blocos da EQ. 2.4 substituindo-se os parâmetros re-
lativos à potência pelos respectivos torques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
FIG.4.8 Diagrama do subsistema entitulado partida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
FIG.4.9 Diagrama do subsistema contr-servo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
FIG.4.10 Diagrama em blocos completo do sistema hidráulico. . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
FIG.4.11 Resposta da velocidade de rotação da turbina (em pu) para uma
abertura inicial do distribuidor de 0,32 pu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
FIG.4.12 Resposta da abertura do distribuidor da turbina (em pu) ao longo
da partida do sistema hidráulico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
FIG.4.13 Resposta da potência mecânica de saída da turbina (em pu) ao
longo da partida do sistema hidráulico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
FIG.4.14 Ampliação de Pmec em torno de 15,5 segundos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
10
FIG.4.15 Resposta da velocidade da água no conduto forçado (em pu) ao
longo da partida do sistema hidráulico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
FIG.5.1 Diagrama em Simulink mostrando as saídas e as entradas (com a
realimentação das variáveis algébricas) do bloco S-Function. . . . . . . . . . 93
FIG.5.2 Diagrama em Simulink proposto em SHAMPINE (1999) para a
solução de EAD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
FIG.5.3 Modelo completo, em diagrama de blocos, do SEP em estudo. . . . . . . . . . 97
FIG.5.4 Diagrama em blocos do sistema hidráulico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
FIG.5.5 Diagrama em blocos do subsistema reg-tensao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
FIG.5.6 Diagrama em blocos usado para a definição das potências ativa e
reativa do consumidor- caso do quartel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
FIG.5.7 Resposta da freqüência de saída do gerador, ω (em pu)- variações
de carga a cada 45 segundos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
FIG.5.8 Resposta da tensão de saída do gerador, Vt (em pu)- variações de
carga a cada 45 segundos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
FIG.5.9 Resposta da abertura do distribuidor, g (em pu)- variações de carga
a cada 45 segundos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
FIG.5.10 Resposta da freqüência de saída do gerador, ω (em pu)- variações
de carga a cada 60 segundos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
FIG.5.11 Resposta da tensão de saída do gerador, Vt (em pu)- variações de
carga a cada 60 segundos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
FIG.5.12 Resposta da abertura do distribuidor, g (em pu)- variações de carga
a cada 60 segundos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
FIG.5.13 Resposta da tensão de saída do gerador, Vt (em pu)- utilização do
RAT projetado para o sétimo ponto de operação (variações de
carga a cada 45 segundos). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
FIG.5.14 Comparação das respostas da tensão de saída do gerador, Vt (em
pu), obtidas com o regulador fuzzy e com o RAT do sétimo ponto
de operação- início da operação do SEP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
FIG.5.15 Comparação das respostas da tensão de saída do gerador, Vt (em
pu), obtidas com o regulador fuzzy e com o RAT do sétimo ponto
de operação- primeira variação de carga (45 segundos). . . . . . . . . . . . . . . 107
FIG.5.16 Comparação das respostas da tensão de saída do gerador, Vt (em
pu), obtidas com o regulador fuzzy e com o RAT do sétimo ponto
11
de operação- segunda variação de carga (90 segundos). . . . . . . . . . . . . . . 107
FIG.5.17 Comparação das respostas da tensão de saída do gerador, Vt (em
pu), obtidas com o regulador fuzzy e com o RAT do sétimo ponto
de operação- terceira variação de carga (135 segundos). . . . . . . . . . . . . . . 108
FIG.5.18 Comparação das respostas da tensão de saída do gerador, Vt (em
pu), obtidas com o regulador fuzzy e com o RAT do sétimo ponto
de operação- quarta variação de carga (180 segundos). . . . . . . . . . . . . . . 108
FIG.5.19 Diagrama em blocos do sistema elétrico utilizado para linearização
por perturbação numérica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
FIG.5.20 Diagrama em blocos do subsistema sist-ele utilizado para a linea-
rização do sistema elétrico via perturbação numérica. . . . . . . . . . . . . . . . 113
FIG.5.21 Janela de diálogo do bloco S-Function. Inicialização das variáveis
do sistema elétrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
FIG.5.22 Gráfico de σ̄m para Ga(jω) − Gp(jω), em todos os quinze pontos
de operação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
12
LISTA DE TABELAS
TAB.2.1 Valores dos parâmetros do gerador elétrico. As grandezas em pu
estão na base 480V/105 KW. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
TAB.2.2 Valores dos parâmetros do gerador elétrico com as grandezas em
pu na base 179,6V/100 KW. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
TAB.2.3 Valores dos parâmetros de interesse da rede elétrica com as grandezas
em pu na base 11.268KV/100KW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
TAB.2.4 Parâmetros de interesse da planta hidráulica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
TAB.3.1 Pólos e zeros da FT ∆|V1|(s)
∆Efd(s)
nos pontos de operação analisados. . . . . . . . 49
TAB.3.2 Valores dos parâmetros dos reguladores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
TAB.3.3 Reguladores a serem usados no tabelamento de ganhos e sua re-
presentação. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
13
LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIATURAS
ABREVIATURAS
SEP Sistema Elétrico de Potência
RAT Regulador Automático de Tensão
FT Função de Transferência
EAD Equações Algébrico-Diferenciais
SÍMBOLOS
<+ Conjunto dos Números Reais Não-Negativos
14
RESUMO
Esta dissertação descreve a modelagem da dinâmica eletromecânica de um Sistema
Elétrico de Potência (SEP) de geração isolada, tendo-se como referência uma Micro Usina
Hidrelétrica pertencente ao Exército Brasileiro instalada na Amazônia. O projeto de re-
guladores de tensão e de velocidade também é abordado neste trabalho, sendo o desem-
penho de ambos avaliado por intermédio de simulações computacionais realizadas com
base nos modelos não-lineares das plantas elétrica e hidráulica.
Os desenvolvimentos relacionados ao regulador de tensão dividem-se em três partes
principais: a linearização analítica do sistema elétrico em diferentes pontos de operação;
a obtenção de reguladores para os modelos linearizados do sistema a partir de técnicas de
controle linear; e o emprego de um método de interpolação (ou tabelamento) dos ganhos
desses reguladores via lógica fuzzy.
O projeto do regulador de velocidade envolve a implementação de vários diagramas
de bloco e de metodologias que permitem a execução das simulações desejadas.
A simulação não-linear de toda a dinâmica do SEP é baseada no uso do pacote S-
Function do programa Matlab/Simulink, responsável por resolver as Equações Algébrico-
Diferenciais (EAD) que modelam esse sistema. A S-Function é ainda aplicada na line-
arização do sistema elétrico via perturbação numérica. Esse resultado é comparado,
com base na teoria referente a valores singulares de matrizes e sistemas, com o obtido
analiticamente. É constatada a equivalência dos dois métodos.
Com relação ao controle das oscilações eletromecânicas em sistemas elétricos isolados,
os resultados deste trabalho mostram claramente que a abordagem normalmente adotada
na prática pode não proporcionar a melhor qualidade da energia gerada.
15
ABSTRACT
This dissertation describes the electromechanical dynamics modelling of an Islanding
Power System. A Micro Hydroelectric Station belonging to the Brazilian Army installed
in the Amazon Forest is used as a reference. The design of voltage and frequency regu-
lators is also exploited in this work. Their performance are evaluated through computa-
cional simulations that are based on the nonlinear models of the electric and hydraulic
plants.
The development related to the voltage regulator is threefold: the analytical line-
arization of the electric system at different operating conditions; the design of a set of
regulators corresponding to the set of linearized models through linear control techniques;
and the application of a gain scheduling control method to these regulators that is based
on a fuzzy logic approach.
The design of the frequency regulator involve the implementation of several block
diagrams and methodologies that allow the running of the desired simulations.
The nonlinear simulation of the overall Power System dynamic is performed by using
the S-Function package, which is responsible for solving the Differential Algebraic Equa-
tions (DAE) that model the system. The S-Function is also used to linearize the electrical
system model via a numerical perturbation strategy. Through the use of singular value
concept applied to matrices and systems, this result is compared with that obtained by
the analytical method. The equivalency of both methods is verified.
Regarding to the control of electromechanical oscillations in Islanding Power System,
the results of this work clearly show that the approach normally adopted in practice may
not provide the best quality of the generated energy.
16
1 INTRODUÇÃO
1.1 POSICIONAMENTO E MOTIVAÇÃO
Um sistema elétrico de potência (SEP) pode ser resumidamente definido como sendo
aquele cuja função essencial é converter uma dada modalidade energética, obtida a par-
tir de uma fonte primária (que pode ser hidráulica, nuclear, fóssil, etc.), em energia
elétrica, transportando-a ao consumidor. Para tanto, uma quantidade significativa de
dispositivos, dinâmicos ou estáticos, são necessários, dentre os quais: turbinas, geradores
elétricos, transformadores, linhas de transmissão e/ou de distribuição. A diversidade
destes elementos e a natureza não linear de alguns deles tornam a modelagem e o con-
trole tarefas complexas. Esta complexidade, quando se trata de SEP de grande porte
com várias unidades geradoras interligadas entre si, é ainda mais crítica.
Vastos são os estudos e trabalhos desenvolvidos e publicados no campo do controle
aplicado à estabilidade de sistemas elétricos de potência interligados, os quais estão pre-
sentes, possivelmente, em quase todos os países do mundo, sendo os responsáveis por
levar energia elétrica aos mais variados tipos de consumidores, movimentando economias
e proporcionando desenvolvimento e conforto a seus povos. Por estes fatos, compreende-
se facilmente porque este tipo de sistema tem sido alvo de tanta pesquisa. Na área de
controle ela se volta, entre outras direções, ao desenvolvimento de teorias, técnicas e
componentes que estabilizem o SEP. A estabilidade pode ser vista como a manutenção
do sincronismo entre máquinas e de níveis de tensão e freqüência próximos a valores
nominais, em situação normal ou não de operação 1.
Há casos, contudo, como o brasileiro, em que o sistema interligado não abrange a
totalidade do território. Povoados ou comunidades são privados de energia elétrica e
de suas benécies e uma fonte local de eletricidade deve ser provida. Muitas vezes, estes
sistemas locais são de pequeno porte e não estão conectados a nenhum outro, sendo então
denominados isolados ou tipo "ilha". As publicações disponíveis referentes a este tipo de
sistema elétrico com geração isolada, particularmente no que se refere ao seu controle,
1Naturalmente, dependendo da natureza e da intensidade do distúrbio ou da anormalidade, a desejada
estabilidade pode não ser conseguida, a não ser através de medidas mais drásticas como, por exemplo, o
corte de cargas.
17
são bem menos pródigas. Se por um lado a questão do sincronismo entre máquinas passa
a não mais existir, por outro, o problema do controle de tensão e de freqüência em níveis
compatíveis permanece.
No contexto acima descrito se insere a presente dissertação: um estudo mais deta-
lhado de sistemas elétricos de potência isolados, passando desde sua modelagem mate-
mática até o projeto de sistemas de controle de tensão e de freqüência, tomando-se como
base um SEP real pertencente ao Exército Brasileiro e instalado na Amazônia.
Em alguns casos não basta uma aplicação direta ou uma mera adaptação ou sim-
plificação das técnicas de controle utilizadas em sistemas interligados. Para estes sis-
temas, por exemplo, trabalha-se muito com a chamada estabilidade a pequenos sinais
ou pequenos distúrbios, situação em que parte-se para uma linearização dos modelos
matemáticos em torno de um determinado número de pontos de operação; o mesmo,
entretanto pode não ser conveniente para SEP isolados, onde grandes distúrbios são mais
comumente encontrados, já que uma única usina geradora terá que "absorver" toda e
qualquer variação na operação, como perdas de cargas, de linhas, faltas, etc. Em virtude
disto, para sistemas com geração isolada, simulações do modelo não-linear são, certa-
mente, mais representativas dos fenômenos reais.
Técnicas de controle aplicáveis em sistemas Lineares Invariantes no Tempo (LIT) são
válidas apenas para pequenas perturbações em torno de pontos de operação. Para sis-
temas não-lineares, dois recursos têm sido utilizados: as simulação no domínio do tempo
através de métodos de integração numérica, e os chamados métodos diretos, que se valem
de funções de energia, estas sendo um tipo possível de função de Lyapunov (verKUN-
DUR (1994)). Enquanto os métodos diretos oferecem condições de se chegar a modelos
de controladores que atendam aos requisitos estabelecidos para a operação de um SEP,
as simulações constituem-se, apenas, em resultados gráficos, em sua maioria, da resposta
de um sistema. Sua importância, então, está em constatar se determinados controladores
projetados responderam ou não de maneira eficiente. Em caso negativo, ajustes tem que
ser feitos no controle até que as simulações apresentem resultados satisfatórios. Méto-
dos baseados em funções de energia, apesar de suas vantagens evidentes, ainda são muito
conservativos. A tendência atual tem sido buscar um método híbrido que mescle os bene-
fícios dos dois acima citados. Neste trabalho os métodos diretos não-lineares não foram
tratados, sendo os controladores obtidos por métodos lineares e testados em simulações.
Esta dissertação, como já dito, está pautada em um sistema de potência do Exército
18
Brasileiro, uma micro usina hidrelétrica (MUH) 2(ver ELETROBRÁS (2000), HARVEY
(1993)) situada na localidade de Pari-Cachoeira, no extremo oeste do estado do Ama-
zonas, próxima à fronteira com a Colômbia. Ela possui uma capacidade de geração de,
aproximadamente, 100KVA e foi construída com o objetivo de oferecer aos militares e
seus familiares, que lá vivem, um mínimo de infra-estrutura, antes inexistente. Vale
ressaltar que esta usina, a exemplo das demais existentes, a maioria em regiões isoladas
de fronteira da Amazônia, abastece, também, e gratuitamente, comunidades locais, o
que tem provocado, inclusive, um fluxo migratório para esta região, dadas as potenciali-
dades trazidas com a chegada da energia elétrica. Outro fato relevante foram as análises
e experiências feitas pelo Exército com outras fontes de energia locais, como: painéis
fotovoltaicos, grupo-geradores a diesel e usinas termelétricas a lenha, conforme relatado
em HUSS (1994). De todas elas, seja por motivos econômicos e/ou ambientais, a que se
mostrou mais promissora foi a MUH.
Embora o provimento de energia elétrica em regiões tão distantes e carentes já tenha
sido um enorme e importante avanço, isto não impede que melhorias na qualidade desta
tensão gerada sejam buscadas. Sabe-se que em algumas usinas, pelo menos, nas mais
antigas, e portanto, mais rústicas, o sinal elétrico possui oscilações de tensão e freqüência
indesejadas. Isto pode ser explicado pelo fato de parâmetros dos reguladores de tensão,
ou Reguladores Automáticos de Tensão (RAT), ou AVR (Automatic Voltage Regulator),
e dos reguladores de velocidade serem ajustados para, apenas, um determinado ponto de
operação. Ao se afastar deste ponto, o desempenho dos controladores sofre normalmente
um declínio, prejudicando a qualidade dos sinais de saída do gerador elétrico. Assim, a
possibilidade de o estudo desenvolvido nesta dissertação contribuir para um aprimora-
mento da qualidade da energia fornecida, mediante o projeto de controles mais eficientes,
se tornou um importante agente motivador.
1.2 OBJETIVOS
O presente trabalho tem por objetivo modelar e simular o comportamento dinâmico
de um SEP isolado, com vistas ao projeto de reguladores de velocidade e de tensão
que favoreçam a estabilidade e o desempenho do sistema para variadas condições de
operação. Espera-se, também, que os conhecimentos adquiridos possam auxiliar em
2A denominação micro central hidrelétrica (MCH) é equivalentemente adotada em diversas literaturas
referentes a este tema.
19
estudos presentes ou futuros do Exército Brasileiro no que se refere às suas micro usinas
hidrelétricas.
1.3 ORGANIZAÇÃO
Esta dissertação está organizada em seis capítulos, incluindo esta introdução.
No Capítulo 2 é apresentada a configuração do sistema elétrico a partir de um dia-
grama unifilar. É desenvolvida toda a modelagem matemática do SEP, relativa às plantas
elétrica e hidráulica, necessária aos capítulos posteriores, sendo ainda especificados ma-
teriais e parâmetros da MUH do Exército, referência para todo o estudo desenvolvido.
O Capítulo 3 aborda a linearização das equações do sistema elétrico bem como todo
o procedimento necessário, iniciando com a definição dos pontos de operação, para se
chegar às realizações em espaço de estados deste sistema (uma para cada ponto de ope-
ração). Em cima dos modelos linearizados são projetados reguladores de tensão, sendo
seus desempenhos avaliados por simulação. Um RAT final é desenvolvido mediante o
tabelamento (ou interpolação) de ganhos destes reguladores.
A modelagem do sistema hidráulico em diagrama de blocos, no ambiente de simu-
lação Matlab/Simulink, é apresentada no Capítulo 4. Os diagrama são feitos com base
nas equações pertinentes desenvolvidas no Capítulo 2. Também no quarto capítulo é
apresentado o projeto do regulador de velocidade. A resposta da partida deste sistema,
para uma situação de operação em vazio do gerador, é simulada.
O modelo não-linear completo do sistema de potência, também em ambiente Simulink,
é discutido no Capítulo 5. Inicialmente, apresenta-se o método empregado para a solução
das chamadas Equações Algébrico-Diferenciais (EAD) do sistema elétrico. Em seguida,
com todo o SEP modelado, são simuladas as respostas da freqüência e da tensão de
saídas do gerador a partir de variações de carga. Ainda neste capítulo é feita a lineari-
zação do sistema elétrico por perturbação numérica, permitindo uma comparação com a
linearização analítica apresentada no Capítulo 3.
Finalmente, o Capítulo 6 apresenta um resumo conclusivo dos resultados alcançados
ao longo de todo o trabalho, procurando dar uma maior ênfase àqueles que acredita-se
terem uma contribuição maior a dar para trabalhos futuros. Algumas críticas e sugestões
de estudos em torno do mesmo tema são oferecidas.
20
2 CONFIGURAÇÃO DO SEP EM ESTUDO E SUA MODELAGEM
MATEMÁTICA
Este capítulo apresenta a configuração do SEP, com base, conforme já salientado
na introdução, na MUH de Pari-Cachoeira. Isto é feito a partir do chamado diagrama
unifilar. As informações contidas neste diagrama são suficientes para as análises que serão
procedidas e incluem dados dos seguintes elementos: gerador elétrico, transformadores e
impedâncias de linhas e cargas. Com relação ao tipo de carga considerada dispensou-se
uma atenção maior. A seu respeito são feitos alguns comentários explicativos na Seção
2.1.1.
A representação unifilar pressupõe um equilíbrio entre as três fases do sistema, con-
sideração esta que permanecerá válida ao longo do trabalho, e que é comumente utilizada
em trabalhos similares. A partir do unifilar é montada uma matriz denominada admitân-
cia nodal, que estabelece uma relação entre as tensões e correntes injetadas nas diver-
sas barras representadas. Assim são obtidas, facilmente, as equações da rede elétrica,
necessárias para modelagem matemática do SEP. A modelagem completa do sistema de
potência engloba, ainda, equações da dinâmica do gerador elétrico e da turbina hidráulica,
que são também desenvolvidas neste capítulo. São especificados, ainda, materiais e va-
lores de parâmetros da usina geradora, valores estes, em sua maioria, apresentados em
grandezas por unidade (pu), o que exige a definição de determinados valores de refe-
rência ou valores base, o que é feito. A grande parte destes dados foi obtida mediante
informações dos próprios fabricantes, por tabelas constantes em STEVENSON (1978),
ou por profissionais, que, direta ou indiretamente atuaram no projeto e/ou execução da
MUH. Aqueles dados que não puderam ser colhidos de nenhuma fonte foram retirados
de KUNDUR (1994) com as considerações de validade necessárias.
2.1 CONFIGURAÇÃO DO SEP
O diagrama unifilar do sistema elétrico estudado é mostrado na Figura 2.1. Os
símbolos apresentados são representativos dos seguintes elementos, identificados da es-
querda para a direita: gerador elétrico com seus terminais ligados a uma primeira barra;
transformador de distribuição elevador de tensão;linha de distribuição principal com
sua impedância; uma segunda barra de onde partem três derivações; em cada ramal de
21
derivação tem-se a linha com a respectiva impedância, um transformador abaixador de
tensão e a carga. Os três ramais correspondem, respectivamente, à linha que abastece a
unidade militar, à linha que alimenta a vila militar e à linha alimentadora da comunidade
indígena. Vale ressaltar que esta configuração é um retrato muito próximo da realidade
encontrada em Pari-Cachoeira -AM. Uma descrição mais detalhada dos componentes
acima citados é dada na Seção 2.4.1.
1
2
3
4
5
quartel
vila
militar
comunidade
FIG. 2.1: Diagrama unifilar do sistema elétrico em estudo.
2.1.1 COMENTÁRIOS SOBRE A CARGA
O conhecimento pleno de todas as cargas que compõe um determinado sistema de
potência é algo difícil de ser alcançado, de tal forma que sua modelagem precisa também
o será. Este fato é facilmente explicável dada a enorme variedade de tipos de cargas e
de regimes de operação possíveis. Assim sendo, torna-se quase imperativa uma série de
simplificações para se chegar a um modelo para as cargas, as quais podem ser divididas
em duas grandes classes: cargas estáticas e dinâmicas.
As cargas estáticas são aquelas que podem ser definidas por funções algébricas da
tensão e da freqüência em qualquer instante de tempo. Três são os tipos básicos que as
representam: cargas à potência constante, à corrente constante ou à impedância cons-
tante. As cargas dinâmicas, por sua vez, são modeladas por equações diferenciais, sendo
um exemplo os motores de indução, muito comuns em consumidores industriais.
Devido às já mencionadas simplificações, e levando-se em conta que os consumidores
da MUH de Pari-Cachoeira têm características muito mais residenciais, o tipo de carga
22
considerado neste trabalho foi impedância constante. As cargas dinâmicas existentes
foram consideradas não significativas.
Cargas a impedância constante podem ser inseridas na própria matriz admitância
nodal facilitando alguns cálculos que se utilizam das equações de rede. Isto poderá ser
melhor compreendido no Capítulo 3.
2.2 MODELAGEM DO SISTEMA ELÉTRICO
O modelo matemático do sistema elétrico está baseado nas equações algébrico -
diferenciais (EAD) do gerador e nas equações algébricas da rede elétrica, ambas pos-
suindo não-linearidades devido à necessária conversão realizada entre dois referenciais:
um síncrono (R− I), do sistema, e outro da máquina (d− q), que gira junto com seu ro-
tor. Esta transformação de referenciais serve para compatibilizar as equações do gerador
e da rede. Uma melhor compreensão destes fatos se dará com o desenvolvimento destas
equações, que passam a ser apresentadas a seguir.
2.2.1 MODELO DO GERADOR ELÉTRICO
As equações da máquina são apresentadas em MARTINS (1990), sendo também
utilizadas em PELLANDA (1993). Elas são as seguintes:
Ė
′
q =
1
T
′
d0
[
Efd −
(
Xd − X
′
d
)
Id − E
′
q
]
(2.1)
Ė
′′
d =
1
T
′′
q0
[(
Xq − X
′′
q
)
Iq − E
′′
d
]
(2.2)
Ė
′′
q =
1
T
′′
d0
[
E
′
q −
(
X
′
d − X
′′
d
)
Id − E
′′
q
]
(2.3)
ω̇ =
1
2H
(Pmec − Pe) (2.4)
δ̇ = ω0 (ω − 1) (2.5)
0 = −E ′′d + Vd + RaId − X
′′
q Iq (2.6)
0 = −E ′′q + Vq + RaIq + X
′′
d Id (2.7)
A menos das constantes de tempo, que são dadas em mili-segundos (ms), e da veloci-
dade angular síncrona ω0, igual a 2πfs radianos elétricos por segundo (rad/s), sendo fs
a freqüência síncrona em Hertz (no caso 60 Hz), todos os demais parâmetros são dados
em por-unidade (pu). Estes parâmetros são abaixo definidos:
23
• Efd : tensão de campo (no sistema pu não-recíproco3);
• E ′′d e E
′′
q : componentes dos eixos d (direto) e q (de quadratura) da tensão subtran-
sitória interna do gerador elétrico;
• E ′q : componente do eixo q da tensão transitória interna da máquina;
• Xd e Xq: reatâncias dos eixos d e q da máquina;
• X ′d: reatância transitória do eixo da máquina;
• X ′′d e X
′′
q : reatâncias subtransitórias dos eixos d e q do gerador;
• Vd e Vq: componentes dos eixos d e q da tensão de saída da máquina;
• Id e Iq: componentes dos eixos d e q da corrente de saída do gerador;
• T ′′d0 e T
′′
q0: constantes de tempo subtransitórias de circuito aberto dos eixos d e q do
gerador;
• T ′d0: constante de tempo transitória de circuito aberto do eixo d do gerador;
• ω: velocidade angular do rotor do gerador;
• ω0: velocidade angular síncrona (rad/s);
• H: constante de inércia por unidade (pu), definida como a energia cinética (em
Watts.segundos) na velocidade angular síncrona de rotação do rotor do gerador,
ωom (em radianos mecânicos por segundo), dividida pela potência base, Pbase; ou
seja:
H =
1
2
Jω20m
Pbase
(2.8)
onde, J é o momento de inércia combinado do gerador e da turbina a ele acoplado;
• Pmec: potência mecânica aplicada ao eixo do rotor do gerador;
• Pe: potência elétrica de entre-ferro do gerador, dada por:
Pe = Pt + RaI
2
t (2.9)
3Para maiores detalhes a respeito dos sistemas pu recíproco e não-recíproco ver KUNDUR (1994).
24
sendo, Pt a potência ativa de saída do gerador, Ra sua resistência de armadura, e
It o módulo da corrente de saída da máquina; Pt e It são dados, respectivamente,
pelas seguintes expressões:
Pt = VdId + VqIq (2.10)
It =
√
(
I2d + I
2
q
)
(2.11)
• δ: ângulo do rotor ou de carga, definido como o ângulo entre o eixo R do referencial
(R − I) e o eixo q do referencial (d − q)
Uma observação importante deve ser feita com relação à EQ. 2.4, chamada equação
de movimento ou de swing. Sua formulação mais correta dar-se-ia com a substituição dos
parâmetros Pmec e Pe por Tmec e Te, respectivamente, correspondendo os dois últimos aos
torques mecânico e elétrico. Entretanto, quando se trabalha com o modelo linearizado,
ou quando se considera a velocidade de rotação do rotor igual (ou muito próxima) a sua
velocidade síncrona em pu, os termos potência e torque praticamente se igualam podendo
ser intercambiáveis, sendo que a literatura referente ao assunto costuma apresentar a
equação de movimento como aqui foi visto. Nos Capítulos 4 e 5, que modelam a turbina
hidráulica e o SEP em suas formas não lineares, respectivamente, a devida correção será
feita de tal forma a se trabalhar com Tm e Te.
A conversão entre os sistemas de referência (R − I) e (d − q) é mostrada abaixo:
[
Vd
Vq
]
=
[
senδ − cos δ
cos δ senδ
][
VR
VI
]
(2.12)
[
VR
VI
]
=
[
senδ cos δ
− cos δ senδ
][
Vd
Vq
]
(2.13)
[
Id
Iq
]
=
[
senδ − cos δ
cos δ senδ
][
IR
II
]
(2.14)
[
IR
II
]
=
[
senδ cos δ
− cos δ senδ
][
Id
Iq
]
(2.15)
sendo V e I a tensão e a corrente no gerador, respectivamente.
Substituindo as EQ. 2.9, 2.10 e 2.11 na EQ. 2.4 chega-se a uma nova formulação dada
por:
ω̇ =
1
2H
[
Pmec − VdId − VqIq − Ra
(
I2d + I
2
q
)]
(2.16)
25
e operando com a EQ. 2.12 nas EQ. 2.16, 2.6 e 2.7, com relação aos parâmetros Vd e Vq,
obtêm-se os seguintes resultados:
ω̇ =
1
2H
[Pmec − (VRsenδ − VI cos δ) Id −
− (VR cos δ + VIsenδ) Iq − Ra
(
I2d + I
2
q
)
] (2.17)
0 = −E ′′d + VRsenδ − VI cos δ + RaId − X
′′
q Iq (2.18)
0 = −E ′′q + VR cos δ + VIsenδ + RaIq + X
′′
d Id (2.19)
As EQ. 2.1, 2.2, 2.3, 2.5, 2.17, 2.18 e 2.19, com as quais se trabalhará ao longo
dos próximos capítulos, modelam completamente, para os propósitos desta dissertação,
o comportamento dinâmico do gerador síncrono.
2.2.2 MODELO DA REDE ELÉTRICA
Através de um olhar mais cuidadoso nas equações do gerador, acima descritas, pode-
se perceber que existem 5 (cinco) equações diferenciais com suas 5 variáveis: E
′
q, E
′′
d , E
′′
q ,
ω e δ; e 2 (duas) equações algébricas com 4 (quatro) variáveis: VR, VI , Id e Iq. Portanto o
número de incógnitas é superior ao número de equações. As responsáveis por solucionar
este problema serão as formulações algébricas da rede elétrica, que justamente relacionam
as tensões e as correntes injetadas nas diversas barras do sistema de potência.
A modelagem matemáticada rede elétrica está toda baseada em sua configuração.
Para o caso tratado neste trabalho ela é definida pela FIG. 2.1. Percebe-se que as li-
nhas foram modeladas, apenas, por impedâncias série, o que pode ser feito sem nenhum
problema por tratar-se de linhas curtas, com comprimentos muito inferiores a 80 km.
Ainda a partir desta figura monta-se a expressão a seguir, denominada equação de rede,
que nada mais é do que um conjunto de equações de nó, muito usadas para solução de
circuitos elétricos, formatadas matricialmente:
I = Y V (2.20)
onde o vetor I corresponde às injeções de corrente nas barras, Y é a denominada matriz
admitância nodal, e o vetor V representa as tensões nas barras.
26
A EQ. 2.20 pode ser detalhada para o caso particular do sistema em estudo, resul-
tando em:










I1
0
0
0
0










=










y11 y12 y13 y14 y15
y21 y22 y23 y24 y25
y31 y32 y33 y34 y35
y41 y42 y43 y44 y45
y51 y52 y53 y54 y55




















V1
V2
V3
V4
V5










(2.21)
A representação de injeção de corrente só é feita na barra 1 devido à presença do gerador
a ela conectada, ou seja, ela é exatamente a corrente de saída do gerador. Na matriz
admitância nodal estão presentes as admitâncias que chegam ou unem as barras, inclusive
de cargas tipo impedância constante (que é o caso considerado aqui). Salienta-se que os
índices de todos os elementos da expressão acima são uma referência direta à barra ou às
barras correspondentes. Uma explicação detalhada de como é feita a montagem da EQ.
2.21 é dada em KUNDUR (1994). Em ASSIS (2002) tem-se o exemplo para o caso de
um sistema tipo máquina-barra infinita.
As variáveis da EQ. 2.21 (corrente, admitâncias e tensões) podem ser entidades com-
plexas. Neste trabalho é adotada uma abordagem onde as partes real e imaginária são
separadas 4. A separação é possível de ser feita por uma simples manipulação algébrica
conforme exemplificado abaixo:
[
IR
II
]
=
[
G −B
B G
][
VR
VI
]
(2.22)
onde, os índices R e I fazem referência às partes real e imaginária, respectivamente,
correspondendo, exatamente, aos eixos do referencial (R− I); G e B são a condutância e
susceptância da admitância considerada. Assim sendo, cada elemento do vetor de injeção
de correntes, inclusive os nulos, passa a ter a dimensão 2x1; da matriz de admitâncias, a
dimensão 2x2; e do vetor de tensões, também a dimensão 2x1.
Aplicando a EQ. 2.22 na EQ. 2.21, chega-se a uma nova formulação a ser empregada,
cuja dimensão será, portanto, o dobro da primeira. Isto poderá ser visto no próximo
capítulo.
4Tal procedimento evita o aparecimento de resíduos imaginários nos valores numéricos dos elementos
das matrizes do modelo de estado do sistema, pois passa-se a manipular somente grandezas reais.
27
Enfatiza-se, ainda, que a equação da rede, EQ. 2.21, é montada com base no referen-
cial externo (R − I).
A equação da rede associada às da máquina, acima discutidas, modelam comple-
tamente o sistema elétrico. Um formato mais adequado, a partir do qual é possível
encontrar a realização em espaço de estados de seu modelo linearizado, será desenvolvido
em um capítulo posterior.
2.3 MODELAGEM DO SISTEMA HIDRÁULICO
O sistema hidráulico de um SEP é composto pelos seguintes elementos básicos: reser-
vatório, conduto forçado, turbina e atuadores (incluindo o regulador de velocidade), res-
ponsáveis pela abertura e fechamento do distribuidor da mesma. O modelo dos atu-
adores será discutido no Capítulo 4. As equações da planta hidráulica estão baseadas
nas seguintes hipóteses simplificadoras: conduto inelástico, fluido (água) incompressível
e inexistência de chaminé de equilíbrio. Dadas as características do SEP do Exército
considerado, estas simplificações mostram-se perfeitamente aceitáveis. Ressalte-se que,
de fato, não há chaminé de equilíbrio na usina.
Duas são as equações principais (KUNDUR, 1994) que modelam o sistema hidráulico
(para maiores detalhes sobre máquinas hidráulicas ver também MACINTYRE (1983)):
a primeira relacionada à coluna d’água, e a segunda à turbina, respectivamente:
U̇ = − 1
TW
(H − H0) = −
1
TW
[
(
U
Atg
)2
− H0
]
(2.23)
Pmec = (P − PL)Pru = (U − UNL) HPru = (U − UNL)
(
U
Atg
)2
Pru (2.24)
Todos os parâmetros das duas formulações acima estão em pu, a menos do tempo de
partida da água, TW , dado em segundos (s). Estes são assim definidos:
• Pmec: potência mecânica de saída da turbina (aplicada ao rotor do gerador);
• PL: perda de potência fixa da turbina, onde:
PL = UNLH (2.25)
• UNL: velocidade da água sem carga; tomando-se o regime de estado estacionário
para uma condição sem carga, da EQ. 2.23 tira-se que:
UNL = AtgNL (H0)
1/2 (2.26)
28
• P : potência total da turbina, onde:
P = UH (2.27)
• U : velocidade da água no conduto forçado;
• H: altura da coluna d’água,da superfície do reservatório até o distribuidor da
turbina (não confundir com a constante de inércia H);
• H0: valor nominal de H considerado;
• g: abertura real do distribuidor da turbina;
• At: ganho da turbina dado por:
At =
1
gFL − gNL
(2.28)
sendo gFL e gNL as aberturas do distribuidor a plena carga e sem carga, respecti-
vamente. O produto de At por g define um outro parâmetro, G, que é a abertura
ideal do distribuidor, ou seja:
G = Atg (2.29)
• TW : tempo de partida da água ou constante de tempo de inércia da água, dado
por:
TW =
LUr
agHr
(s) (2.30)
sendo L o comprimento do conduto (em metros), Ur a velocidade da água de refe-
rência ou base (em m/s), ag a aceleração da gravidade (em m/s2), e Hr a altura
da coluna d’água de referência ou base (em metros);
• Pru: potência de referência (ou base) da turbina por unidade, dada por:
Pru =
KWbase(turbina)
KWbase(gerador)
=
Pr
Pbase
(2.31)
A modelagem da planta hidráulica estaria completa se, além das EQ. 2.23 e 2.24, fosse
incluído o modelo matemático dos atuadores. A apresentação deste modelo, porém, foi
reservada para o Capítulo 4 para permitir uma abordagem conjunta com o regulador de
velocidade, tratado no mesmo capítulo.
29
2.4 VALORES BASE, ESPECIFICAÇÃO DE MATERIAIS E DADOS DE PARÂME-
TROS
Esta seção define e especifica os materiais e parâmetros do SEP analisado. Estas
informações retratam fielmente a realidade encontrada na MUH em estudo. As grandezas
base consideradas do sistema elétrico e do sistema hidráulico também são explicitadas.
2.4.1 SISTEMA ELÉTRICO
O sistema elétrico possui as seguintes características gerais: geração em baixa tensão
(220 V), transmissão da energia em média tensão (13,8 KV), atendimento às cargas em
baixa tensão (220 V). Estes valores são de linha e nominais. A potência de geração
aproximada é de 100 KW. Com esses dados reais optou-se por escolher os seguintes
valores base:
• potência base (Pbase):
Pbase = 100 KW
• tensão base na baixa tensão (vbase): igual a tensão fase-neutro de pico nominal
vbase =
(
220√
3
)√
2 ≈ 179, 6 V
• corrente base na baixa tensão (ibase): definida como a corrente de pico de linha
ibase =
Pbase
(3/2) vbase
≈ 371, 13 A
• impedância base na baixa tensão(zbase):
zbase =
vbase
ibase
≈ 0, 484 Ω
• tensão base na alta (média) tensão (Vbase): obtido pela relação entre as tensões
nominais de linha no primário e no secundário do transformador
Vbase = vbase
13, 8
220
103 ≈ 11, 268 KV
• corrente base na alta (média) tensão (Ibase):
Ibase =
Pbase
(3/2) Vbase
≈ 5, 916 A
30
TAB. 2.1: Valores dos parâmetros do gerador elétrico. As grandezas em pu estão na
base 480V/105 KW.
Xd Xq X
′
d X
′′
d X
′′
q Ra T
′
d0 T
′′
d0 T
′′
q0 J
∗
(pu) (pu) (pu) (pu) (pu) (pu) (ms) (ms) (ms) (kg.m2)
2,75 1,01 0,172 0,144 0,156 0,024 749 1,106 12,2 16,886
• impedância base na alta (média) tensão (Zbase):
Zbase =
Vbase
Ibase
≈ 1904, 4 Ω
• freqüência elétrica base (ωbase): é a freqüência síncrona ω0
ωbase = 2π60 ≈ 376, 99 (rad/s)
Formulações muito semelhantesa estas aparecem no programa do Apêndice 8.1.1.
Com as grandezas base acima especificadas têm-se as ferramentas necessárias para
que valores de parâmetros elétricos sejam colocados em pu, ou sejam convertidos de uma
determinada base para aquela abordada no parágrafo anterior, conforme desenvolvimento
a seguir, começando-se pelo gerador elétrico.
a) Gerador Elétrico
• características gerais: gerador síncrono Weg padrão, modelo GTA200MI26, 105
KVA, 240 V, 60 Hz, 4 pólos, trifásica;
• parâmetros da máquina: os valores dos parâmetros de interesse do gerador elétrico
estão mostrados na TAB. 2.1; suas definições já foram dadas na Seção 2.2;
Uma observação deve ser feita com relação ao parâmetro J , definido como o momento
de inércia combinado do gerador e da turbina. Na verdade, existe um outro elemento
que também compõe a inércia total, que é o chamado volante de inércia. Não tendo sido
possível o levantamento de J de todo o conjunto (gerador+volante+turbina) foi estimado
um valor para o mesmo a partir do valor de J do gerador, fornecido pelo fabricante. E é
este valor estimado que aparece na TAB. 2.1.
Os parâmetros da TAB. 2.1 que estão em pu foram obtidos tomando-se como base
uma tensão de 480 V (tensão nominal de linha) e uma potência de 105 KW. Sendo estes
valores distintos daqueles arbitrados como base, e definidos anteriormente, então uma
31
mudança de bases faz-se necessária. A seguinte expressão é utilizada com este objetivo,
servindo como exemplo o parâmetro Xd:
Xd(nova base)(pu) = Xd(base antiga)(pu)
z(base antiga)(Ω)
z(nova base)(Ω)
(2.32)
Sendo a tensão de 480 volts um valor nominal de linha, e não uma tensão fase-neutro
de pico, então uma outra equação é usada para se obter a impedância base correspondente:
zbase =
v2base(V )
Pbase(KW )
10−3 =
4802
105
10−3 ≈ 2, 194 (2.33)
Tendo agora em mente que deseja-se passar da base 480V/105KW, para a base
179,6/100KW, e aplicando a EQ. 2.32 em todos os parâmetros devidos, obtêm-se:
Xd = 2, 75
2, 194
0, 484
≈ 12, 46 (2.34)
Xq = 1, 01
2, 194
0, 484
≈ 4, 58 (2.35)
X
′
d = 0, 172
2, 194
0, 484
≈ 0, 779 (2.36)
X
′′
d = 0, 144
2, 194
0, 484
≈ 0, 653 (2.37)
X
′′
q = 0, 156
2, 194
0, 484
≈ 0, 71 (2.38)
Ra = 0, 024
2, 194
0, 484
≈ 0, 11 (2.39)
Finalmente, como na modelagem do gerador se trabalha com o parâmetro H, e não
com J , então, empregando-se a EQ. 2.8 e sabendo-se que a máquina possui 4 pólos,
pode-se determinar o valor de H na base desejada de 100KW. Isto é mostrado na equação
abaixo:
H =
1
2
(
16, 886 [2π (1800/60)]2
100
)
10−3 ≈ 3 (2.40)
Os valores definitivos dos parâmetros de interesse do gerador, na base 179,6V e
100KW, são listados na TAB. 2.2.
b) Rede Elétrica
• características gerais:
(i) linhas: toda a rede de média tensão é formada pelo mesmo cabo de alumínio,
6 fios, bitola de 4 AWG, espaçamento aproximado entre os fios de 60 cm (2 pés),
32
TAB. 2.2: Valores dos parâmetros do gerador elétrico com as grandezas em pu na base
179,6V/100 KW.
Xd Xq X
′
d X
′′
d X
′′
q Ra T
′
d0 T
′′
d0 T
′′
q0 H
(pu) (pu) (pu) (pu) (pu) (pu) (ms) (ms) (ms) (pu)
12,46 4,58 0,779 0,653 0,71 0,11 749 1,106 12,2 3
e comprimentos da linha principal, do ramal do quartel, da vila dos militares e da
comunidade de 7, 1, 1,5 e 3 km (quilômetros), respectivamente; as linhas de baixa
tensão foram desconsideradas, isto porque supô-se um modelo no qual todas as
cargas estariam concentradas junto aos transformadores;
(ii) transformadores: transformador elevador de tensão (ligado ao gerador), 112KVA,
classe de tensão 15KV, tensão na baixa de 220/127 V, tensão na alta de 13,8 KV,
ligação estrela/triângulo; transformador abaixador (ligado ao quartel), 45KVA,
classe de tensão 15KV, tensão na alta de 13,8KV, tensão na baixa de 220/127
volts, ligação triângulo/estrela; transformadores da vila militar e da comunidade
com as mesmas características do anterior, mas com uma potência de 30KVA; todos
os transformadores da WEG;
• parâmetros da rede: abaixo são especificados os parâmetros de interesse da rede
elétrica. No caso dos transformadores, sendo seus valores fornecidos em pu, são
feitas as devidas transformações para a base de interesse. As simbologias utilizadas
são as mesmas constantes do programa do Apêndice 8.1.1, e a identificação dos
índices numéricos existentes pode ser feita observando-se a FIG. 2.1.
(i) RL: resistência da linha;
RL = 1, 4 Ω/km
(ii) XL: indutância da linha;
XL = 0, 434 Ω/km
(iii) xt1: indutância do transformador da barra 1 (do gerador) em pu, na base
15KV/112KVA;
xt1 = 0, 035
(iv) xt2: indutância do transformador da barra 3 (do quartel) em pu, na base
15KV/45KVA;
xt2 = 0, 035
33
TAB. 2.3: Valores dos parâmetros de interesse da rede elétrica com as grandezas em pu
na base 11.268KV/100KW
RL XL xt1 xt2 xt3 xt4
(Ω/km) (Ω/km) (pu) (pu) (pu) (pu)
1,4 0,434 0,0369 0,09189 0,1378 0,1378
(v) xt3 e xt4: indutâncias dos transformadores das barras 4 (vila militar) e 5 (co-
munidade) em pu, na base 15KV/30KVA;
xt3 = xt4 = 0, 035
Com relação aos transformadores dois fatos devem ser salientados: suas resistências
não foram citadas, isto porque elas podem ser consideradas desprezíveis; e suas reatâncias
precisam ser convertidas para a base correta, o que é feito através da EQ. 2.33 com os
devidos ajustes, e da EQ. 2.32, conforme procedimento abaixo.
Z(base)t1 =
152
112
103 ≈ 2008, 9 Ω (2.41)
Z(base)t2 =
152
45
103 = 5000 Ω (2.42)
Z(base)t3 = Z(base)t4 =
152
30
103 = 7500 Ω (2.43)
xt1 = 0, 035
2008, 9
1904, 4
≈ 0, 0369 (pu) (2.44)
xt2 = 0, 035
5000
1904, 4
≈ 0, 09189 (pu) (2.45)
xt3 = xt4 = 0, 035
7500
1904, 4
≈ 0, 1378 (pu) (2.46)
Um resumo dos parâmetros de interesse da rede elétrica com seus respectivos valores
é dado na TAB. 2.3
2.4.2 SISTEMA HIDRÁULICO
A planta hidráulica possui as seguintes especificações abaixo listadas.
• turbina tipo Michel-Banki, com uma potência nominal de saída (Pmec) de 100KW;
• comprimento do conduto forçado (L): 83 m (metros);
• diâmetro do conduto forçado (D): 1,10 m;
34
• velocidade média da água (U0): 1,8 (m/s);
• altura de queda, ou da coluna d’água, nominal (H0): 7,7 m (já considerando a
perda de carga);
• abertura real do distribuidor da turbina a plena carga (gFL): 0,96 (pu);
• abertura real do distribuidor da turbina sem carga (gNL): 0,16 (pu);
• ganho da turbina (At):
At =
1
0, 96 − 0, 16 = 1, 25 (adimensional)
Com os dados acima citados, foram arbitrados os seguintes valores como base (ou
referência):
• Pr: 100 KW (igual à potência base do gerador elétrico);
• Ur: 1,8 (m/s);
• Hr: 7,7 (m);
• TW : tempo de partida da água;
TW =
83 × 1, 8
9, 81 × 7, 7 ≈ 1, 98 (s)
Através destas informações, e das definições e equações tratadas na Seção 2.3 pode-
se chegar aos valores dos parâmetros de interesse do sistema hidráulico apresentados na
TAB. 2.4. Observe-se que o ganho da turbina At é um termo adimensional (s/d).
TAB. 2.4: Parâmetros de interesse da planta hidráulica.
At H0 UNL TW Pru
(s/d) (pu) (pu) (s) (pu)
1,25 1 0,2 1,98 1
35
3 MODELO LINEARIZADO DO SISTEMA ELÉTRICO -
REGULADORES DE TENSÃO E SIMULAÇÕES
Neste capítulo, as equações do sistema elétrico discutidas na Seção 2.2 são lineariza-
das e manipuladas em vistas à obtenção de Reguladores Automáticos de Tensão (RAT)
via técnicas de controle linear. Para se chegar a este objetivo, entretanto, algumas eta-
pas intermediárias são necessárias. Na Seção 3.1 procede-se à linearização analítica das
equações da planta elétrica. Em seguida, Seção 3.2, através da determinação de valores
para as cargas do sistema, passa-se à definição dos pontos de operação, em tornos dos
quais as equações da planta serão aplicadas. A matriz admitância nodal é então montada,
e com um simples rearranjo da equação de rede (EQ. 2.21) são determinados, para todos
os pontos de operação, os valores das variáveis algébricas de interesse, sem necessidade
de se executar um algoritmo de fluxo de carga. Já a Seção 3.3 consiste na modelagem
do sistemaelétrico de acordo com uma formulação denominada aumentada ou implícta,
baseada nas equações linearizadas do sistema elétrico. A formulação aumentada permite
a obtenção das matrizes A, B, C e D, da realização em espaço de estados, para os vários
pontos de operação, o que também é tratado nessa seção. O projeto dos reguladores de
tensão é abordado na Seção 3.4. Um RAT é obtido para cada ponto de operação sendo
seus desempenhos avaliados via simulação. É mostrada, também, uma comparação entre
os desempenhos de dois reguladores, estando apenas um deles sintonizado no ponto de
operação considerado. Finalmente, na Seção 3.5 chega-se à obtenção de um regulador
de tensão final através da interpolação, via lógica difusa (fuzzy), dos ganhos de RAT
projetados na seção precedente.
É relevante comentar que os cálculos e procedimentos tratados nas Seções 3.2 e 3.3
estão implementados nas rotinas Matlab apresentadas nos Apêndices 8.1.1 e 8.1.2. As
nomenclaturas adotadas no texto são, basicamente, as mesmas presentes nesses progra-
mas, sendo recomendável, então, que a leitura deste capítulo seja acompanhada de uma
constante referenciação às partes pertinentes dos citados apêndices.
36
3.1 LINEARIZAÇÃO DAS EQUAÇÕES DO SISTEMA ELÉTRICO
As equações algébrico-diferenciais (EAD) do sistema elétrico podem ser escritas nas
seguintes formas genéricas:
˙̄x = f̄ (x̄, r̄, ū) (3.1)
0̄ = ḡ(x̄, r̄) (3.2)
onde,
x̄: vetor de n variáveis diferenciais, ou de estado;
r̄: vetor de m variáveis algébricas;
ū: vetor de k entradas;
f̄ : vetor de funções das equações diferenciais;
ḡ: vetor de funções das equações algébricas;
0̄: vetor de zeros;
Em um ponto de equilíbrio (ou de operação) tem-se que:
˙̄x0 = f̄ (x̄0, r̄0, ū0) = 0̄ (3.3)
A linearização das EQ. 3.1 e 3.2 em torno de um ponto de operação genérico (x̄0, r̄0, ū0)
é feita pela expansão em Séries de Taylor, e tomando-se somente o primeiro termo, como
mostrado a seguir.
∆ẋi =
(
∂fi
∂x1
)
x̄0,r̄0,ū0
∆x1 + ... +
(
∂fi
∂xn
)
x̄0,r̄0,ū0
∆xn +
+
(
∂fi
∂r1
)
x̄0,r̄0,ū0
∆r1 + ... +
(
∂fi
∂rm
)
x̄0,r̄0,ū0
∆rm +
+
(
∂fi
∂u1
)
x̄0,r̄0,ū0
∆u1 + ... +
(
∂fi
∂uk
)
x̄0,r̄0,ū0
∆uk; i = 1, ..., n (3.4)
0 =
(
∂gp
∂x1
)
x̄0,r̄0
∆x1 + ... +
(
∂gp
∂xn
)
x̄0,r̄0
∆xn +
+
(
∂gp
∂r1
)
x̄0,r̄0
∆r1 + ... +
(
∂gp
∂rm
)
x̄0,r̄0
∆rm; p = 1, ...,m (3.5)
onde ∆ simboliza uma variação incremental em torno do ponto de operação considerado.
De forma análoga, a linearização das EQ. 2.1, 2.2, 2.3, 2.5, 2.17, 2.18 e 2.19 resulta
em:
37
∆Ė
′
q = −
1
T
′
d0
∆E
′
q −
(Xd − X ′d)
T
′
d0
∆Id +
1
T
′
d0
∆Efd (3.6)
∆Ė
′′
d = −
1
T
′′
q0
∆E
′′
d +
Xq − X ′′q
T
′
d0
∆Iq (3.7)
∆Ė
′′
d = −
1
T
′′
d0
∆E
′′
q +
1
T
′′
d0
∆E
′
q −
(X
′
d − X
′′
d )
T
′′
d0
∆Id (3.8)
∆ω̇ =
(−VR10Id0 cos δ0 − VI10Id0senδ0 + VR10Iq0senδ0 − VI10Iq0 cos δ0)
2H
∆δ +
+
(−VR10senδ0 + VI10 cos δ0 − 2RaId0)
2H
∆Id +
+
(−VR10 cos δ0 − VI10senδ0 − 2RaIq0)
2H
∆Iq +
+
(−Id0senδ0 − Iq0 cos δ0)
2H
∆VR1 +
(Id0 cos δ0 − Iq0senδ0)
2H
∆VI1 +
+
1
2H
∆Pmec (3.9)
∆δ = ω0∆ω (3.10)
0 = −∆E ′′d + (VR10 cos δ0 + VI10senδ0)∆δ + Ra∆Id − Xq∆Iq +
+senδ0∆VR1 − cos δ0∆VI1 (3.11)
0 = −∆E ′′q + (−VR10senδ0 + VI10 cos δ0)∆δ + X
′′
d ∆Id + Ra∆Iq +
+ cos δ0∆VR1 + senδ0∆VI1 (3.12)
Um ponto a ser enfatizado é que, a partir das formulações acima, passou-se a utilizar
a notação VR1 e VI1 para a tensão terminal do gerador, ao invés de VR e VI , sendo o índice
1 uma referência à barra a qual está ligada a máquina.
Duas equações devem ainda ser linearizadas, fora uma terceira, relacionada ao mó-
dulo da tensão terminal do gerador, que será deixada para a Seção 3.3. Para explicar
as duas primeiras há de se enfatizar o seguinte aspecto: a corrente da rede, I1 (ver EQ.
2.21), é igual à corrente de saída do gerador. A primeira é escrita no referencial (R− I),
enquanto a segunda o é no referencial (d − q). Com isto em mente pode-se intuir que
uma conversão de referenciais se faz necessária, o que ficará evidente na próxima seção,
quando a formulação aumentada for descrita. Assim sendo, da EQ. 2.15 vem que:
IR1 = senδId1 + cos δIq1 (3.13)
II1 = − cos δId1 + senδIq1 (3.14)
38
Sabendo-se que Id1 e Iq1 são o mesmo que Id e Iq, respectivamente, então a linearização
das EQ. 3.13 e 3.14 resulta em:
∆IR1 = (cos δ0Id0 − senδ0Iq0)∆δ + senδ0∆Id + cos δ0∆Iq (3.15)
∆II1 = (senδ0Id0 + cos δ0Iq0)∆δ − cos δ0∆Id + senδ0∆Iq (3.16)
Por um olhar mais atento nas EQ. 3.6 a 3.12, 3.15 e 3.16 percebe-se que devem ser
conhecidos (ou determinados) os valores dos seguintes parâmetros, os quais definem os
pontos de operação do gerador e, conseqüentemente, do sistema elétrico: VR10, VI10, Id0,
Iq0 e δ0. A definição dos pontos de operação e a determinação destes parâmetros são
tratadas na seção a seguir.
3.2 OS PONTOS DE OPERAÇÃO DO SEP E A SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE
REDE
Conforme citado na seção anterior, a linearização do modelo matemático de um
sistema é feita em torno de um ponto de equilíbrio, o qual define as condições operativas
deste sistema. No caso do SEP abordado neste trabalho, que é do tipo gerador-carga,
a determinação de um ponto de operação depende do conhecimento dos valores das
cargas (consumidor). O método adotado para a especificação das potências das cargas,
bem como todo o desenvolvimento feito para se calcular os parâmetros descritos no
último parágrafo da Seção 3.1 estão presentes nos programas dos Apêndices 8.1.1 e 8.1.2.
As rotinas iniciais do primeiro programa, que se referem à definição das cargas, estão
baseadas em uma série de considerações de caráter eminentemente subjetivo. Por esta
razão, achou-se por bem tecer alguns comentários a respeito destas rotinas visando uma
melhor compreensão por parte do leitor. Isto é feito a seguir.
Com o cuidado de se tentar cobrir situações de operação do sistema com baixos,
médios e elevados níveis de carregamento foram estipulados cinco valores para a potência
ativa total das cargas (em pu), quais sejam: 0,175, 0,425, 0,675, 0,925 e 1. Três foram os
fatores de potência considerados para o conjunto das cargas: 0,6, 0,8 e 1. Desta forma,
para cada valor de potência ativa outros três de potência reativa são obtidos. A matriz
PC ("Potência das Cargas") do programa é responsável por armazenar todos estes dados.
Cada uma de suas colunas define um ponto de operação, em um total de quinze.
Uma outra matriz simbolizada por DP foi criada com o intuito de se determinar
o percentual de carga devido a cada consumidor em cada ponto de operação. Foram
39
especificadas seis distribuições percentuais possíveis, cada uma correspondendo a uma
coluna. A correlação entre as distribuições e os pontos de operação foi feita a partir
de uma estrutura de seleção do tipo "if, elseif, else", que gera duas outras matrizes,
CCP e CCQ, contendo, respectivamente, as potência ativa e reativa de cada um dos
consumidores para todos os pontos de operação. Nesta correlação foi levado em conta
o limite máximo de potência de cada consumidor, dado pelos valores dos respectivos
transformadores (ver Seção 2.4.1).
Seguindo a seqüência do mesmo programa passa-se às definições e cálculos de valores
base e parâmetros da rede elétrica. Praticamente tudo isto já foi apresentado no Capítulo
2 a não ser por dois aspectos que são agora destacados. O primeiro diz respeito à obtenção
da condutância, g, e da susceptância, b, de um elemento, conhecida sua impedância z.
Seja, então, um z genérico dado por: z = r + jx, sendo r a resistência e x a reatância do
elemento, ambos em pu, e j =
√
−1 . Assim, tem-se que:
g =
r
r2 + x2
(pu) (3.17)
b = − x
r2 + x2
(pu) (3.18)
O segundo trata da relação entre a condutância gc e a susceptância bc, de uma carga tipo
impedância constante, e suas potências ativa e reativa, respectivamente. Não é difícil
mostrar que gc e bc podem ser encontrados pelas seguintes equações:
gc =
Pc
v2c
(mho) (3.19)
bc = −
Qc
v2c
(mho) (3.20)
onde,
Pc: potência ativa nominalda carga em Watts (W);
Qc: potência reativa nominal da carga em Volt-Ampére-reativo (VAr)
vc: tensão nominal da carga em volts (V); em se tratando de carga trifásica pode-se
inferir que é igual à tensão de linha nominal que a alimenta;
Reescrevendo as EQ. 3.19 e 3.20 em pu, a partir das definições dos valores base
apresentadas em 2.4.1, tem-se que:
gc(pu) =
gc
gbase
=
gc
1
zbase
= gczbase =
Pc
v2c
(3/2)v2base
Pbase
(3.21)
40
Da própria definição de vbase pode-se tirar que:
vbase =
vL
√
2√
3
(3.22)
sendo vL a tensão de linha nominal;
Substituindo 3.22 em 3.21, tem-se:
gc =
Pc
v2c
3
2
(
vL
√
2√
3
)2
Pbase
=
Pcv
2
L
Pbasev2c
(3.23)
Considerando que vc seja igual a vL, conclui-se que:
gc =
Pc
Pbase
= Pc (pu) (3.24)
O mesmo raciocínio pode ser adotado com relação à susceptância resultando em:
bc = −
Qc
Pbase
= −Qc (pu) (3.25)
Neste ponto já se dispõe de todo o subsídio necessário para a montagem da matriz
de admitâncias, Y . Saliente-se a inserção das condutâncias e susceptâncias de cada
consumidor (carga) nesta matriz. Como estes parâmetros das cargas dependem do ponto
de operação considerado, pode-se concluir que serão quinze as matrizes de admitâncias
geradas (uma para cada ponto).
A próxima etapa é a solução da equação de rede (EQ. 2.21) para a determinação das
variáveis algébricas, ou seja, corrente injetada pelo gerador e tensões nas barras. Para
isso, faz-se necessário o arbítrio da tensão de uma barra, de tal forma que ela sirva como
referência para toda a rede. Por conveniência foi escolhida a barra 1, a qual está conec-
tado o gerador, sendo sua tensão V1 especificada da seguinte forma:
V1 =
[
VR1
VI1
]
=
[
1
0
]
(3.26)
ou, equivalentemente
V1 = VR1 + jVI1 = 1 + j0 (3.27)
41
Estando definida a tensão V1, as demais variáveis algébricas da EQ. 2.21 podem ser
determinadas sem necessidade de se executar um programa de fluxo de carga (MONTI-
CELLI, 1983), através de uma simples manipulação algébrica. Trocando I1 e V1 de lugar,
pode-se reestruturar a EQ. 2.21 da seguinte forma:
N1 = N2 ∗ N3 (3.28)
onde,
N1 =










−y11V1
−y21V1
−y31V1
−y41V1
−y51V1










(3.29)
N2 =










−IN y12 y13 y14 y15
0 y22 y23 y24 y25
0 y32 y3(:, :, i) y34 y35
0 y42 y43 y4(:, :, i) y45
0 y52 y53 y54 y5(:, :, i)










(3.30)
N3 =










I1
V2
V3
V4
V5










(3.31)
Levando-se em consideração os diversos elementos nulos das matrizes N1 e N2 (ver
Apêndice 8.1.1), tem-se:
N1 =










−y11V1
−y21V1
0
0
0










(3.32)
42
N2 =










−IN y12 0 0 0
0 y22 y23 y24 y25
0 y32 y3(:, :, i) 0 0
0 y42 0 y4(:, :, i) 0
0 y52 0 0 y5(:, :, i)










(3.33)
Alguns comentários podem ser feitos a respeito das matrizes acima definidas:
(i) por razões de simplificação, os elementos das matrizes N1, N2 e N3 não estão mostra-
dos com a devida expansão em suas partes real e imaginária; se isto fosse feito a
dimensão de cada uma das matrizes dobraria (ver programa do Apêndice 8.1.1);
(ii) o elemento IN representa uma matriz identidade de ordem 2;
(iii) N2 é uma matriz muito semelhante à matriz admitância nodal, com as mudanças
necessárias devido à permutação entre I1 eV1;
(iv) os elementos y3(:, :, i), y4(:, :, i) e y5(:, :, i) são aqueles nos quais os parâmetros das
cargas (condutâncias e susceptâncias) se fazem presentes; o índice i, variando de 1
a 15, indica o ponto de operação;
A solução da equação de rede é então obtida facilmente, pela seguinte expressão:
N3 = N
−1
2 ∗ N1 (3.34)
Naturalmente, ter-se-á um conjunto de soluções (N3) correspondente ao conjunto
de pontos de operação. Na verdade, porém, do conjunto solução, apenas os valores da
variável I1 serão usados nas equações linearizadas do sistema elétrico 5.
Tendo sido definido o valor de V1 (que permanecerá o mesmo para todos os pontos
de operação) e calculados os valores de I1, basta agora encontrar os ângulos δ nos pon-
tos de operação desejados para que as equações linearizadas do sistema elétrico sejam
implementadas.
Os pontos de equilíbrio de um sistema dinâmico, definidos matematicamente pela EQ.
3.3, correspondem a situações de estado estacionário do mesmo. Em regime estacionário
5Para constatação deste fato o leitor deve recorrer ao programa do Apêndice 8.1.2.
43
a seguinte expressão é válida para o gerador elétrico (KUNDUR, 1994), (CHAPMAN,
1991):
Eq = VT + (Ra + jXq)IT (3.35)
sendo,
Eq a tensão interna da máquina;
VT a tensão terminal do gerador, e
IT sua corrente de saída; (os demais parâmetros já foram definidos na Seção 2.2.1).
Expandindo-se os termos do referencial (R−I) em suas componentes real e imaginária
tem-se:
ERq + jEIq = (VRT + jVIT ) + (Ra + jXq)(IRT + jIIT ) (3.36)
Como VT e IT são idênticos a V1 e I1, respectivamente, então, a EQ. 3.36 pode ser
reescrita:
ERq + jEIq = (VR1 + jVI1) + (Ra + jXq)(IR1 + jII1) (3.37)
Separando-se as partes real e imaginária, e indicando-se os diferentes pontos de ope-
ração pelo índice i, chega-se a:
ERq(i) = VR1(i) + RaIR1(i) − XqII1(i) (3.38)
EIq(i) = VI1(i) + XqIR1(i) + RaII1(i) (3.39)
donde pode-se tirar que:
δ(i) = tg−1
(
EIq(i)
ERq(i)
)
(3.40)
Com relação aos procedimentos adotados para a determinação do ângulo δ cabem
algumas observações:
(i) o cálculo do ângulo é feito para cada ponto de operação;
(ii) a EQ. 3.40 foi executada no programa do Apêndice 8.1.2 pelo uso da função angle
do Matlab;
(iii) as seguintes notações do citado programa e deste texto são correspondentes: Eqr
e ERq; Eqm e EIq; V 1(1, i) e VR1(i); V 1(2, i) e VI1(i); I1(1, i) e IR1(i); I1(2, i) e
II1(i);
As considerações, desenvolvimentos e cálculos feitos acima fornecem as informações
necessárias e suficientes para que o modelo do sistema elétrico seja formatado segundo
uma formulação denominada aumentada ou implícita, a partir da qual uma realização
em espaço de estados pode ser obtida. Estes assuntos são abordados a seguir.
44
3.3 AS FORMULAÇÕES AUMENTADA (OU IMPLÍCITA) E EM ESPAÇO DE ES-
TADOS
No momento, o objetivo do trabalho se concentra na obtenção de controladores que
garantam a manutenção da tensão de saída do gerador elétrico dentro de níveis muito
próximos a um valor nominal, para variadas situações de operação do SEP. Para tanto,
naturalmente, há de se empregar técnicas de controle baseadas no modelo matemático
da dinâmica do sistema em questão. Esse modelo, contudo, deve ser trabalhado de tal
forma a se chegar, a partir dele, em uma formatação adequada ao uso destas técnicas
de controle, como a realização em espaço de estados, por exemplo. Em se tratando,
porém, de sistemas cuja modelagem seja dada por EAD parece mais adequado que estas
equações sejam inicialmente configuradas segundo uma formulação denominada aumen-
tada (ou implícita). Isto porque, a partir desta formulação torna-se simples a obtenção
da realização em espaço de estados do sistema. A forma de estado aumentada pode ser
descrita pelas seguintes expressões:




˙̄x
. . .
0̄




=




J1
... J2
. . . . . .
J3
... J4








x̄
. . .
r̄




+




Bx
. . .
Br




ū (3.41)
ȳ =
[
Cx
... Cr
]




x̄
. . .
r̄




(3.42)
onde,
x̄: vetor de variáveis de estado (ou diferenciais);
r̄: vetor de variáveis algébricas;
ū: vetor de entradas;
0̄: vetor de elementos nulos;
ȳ: vetor de saídas;
Para o caso de equações linearizadas em torno de um ponto de operação i, as EQ.
3.41 e 3.42 podem ser reescritas da seguinte maneira mais representativa:




∆˙̄x
. . .
0̄




=




(J1)i
... (J2)i
. . . . . .
(J3)i
... (J4)i








∆x̄
. . .
∆r̄




+




(Bx)i
. . .
(Br)i




∆ū (3.43)
45
∆ȳ =
[
(Cx)i
... (Cr)i