EBOOK _ Fluxo de Carga e Estabilidade_Completo_DIGITAL PAGES (VERSÃO DIGITAL) UNINASSAU

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FLUXO DE 
CARGA E ESTABILIDADE
FLUXO DE 
CARGA E ESTABILIDADE
FLU
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E
Eric Bernardo da Silva e Shigueru Nagao JuniorEric Bernardo da Silva e Shigueru Nagao Junior
G
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gente criando o futuro
A disciplina de Fluxo de Carga e Estabilidade, presente nos cursos de Engenharia Elé-
trica, é de fundamental importância para o engenheiro elétrico. Principalmente para 
àqueles que irão trabalhar em usinas de energia elétrica ou estações de distribuição.
Através de explicações passo a passo em cada etapa do estudo, o estudante com-
preenderá o funcionamento dos sistemas elétricos de potência em uma rede de trans-
missão de corrente alternada, bem como seus principais componentes.
Para que o estudante se familiarize com os termos matemáticos abordados, ele re-
ceberá exercícios que simulam situações hipotéticas de funcionamento dos compo-
nentes da rede elétrica, em situações específi cas. Isso o ajudará a colocar em prática 
o conhecimento teórico adquirido.
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Shigueru Nagao Junior
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DADOS DO FORNECEDOR
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Edição de Arte, Diagramação, Design Gráfico e Revisão.
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Boxes
ASSISTA
Indicação de filmes, vídeos ou similares que trazem informações comple-
mentares ou aprofundadas sobre o conteúdo estudado.
CITANDO
Dados essenciais e pertinentes sobre a vida de uma determinada pessoa 
relevante para o estudo do conteúdo abordado.
CONTEXTUALIZANDO
Dados que retratam onde e quando aconteceu determinado fato;
demonstra-se a situação histórica do assunto.
CURIOSIDADE
Informação que revela algo desconhecido e interessante sobre o assunto 
tratado.
DICA
Um detalhe específico da informação, um breve conselho, um alerta, uma 
informação privilegiada sobre o conteúdo trabalhado.
EXEMPLIFICANDO
Informação que retrata de forma objetiva determinado assunto.
EXPLICANDO
Explicação, elucidação sobre uma palavra ou expressão específica da 
área de conhecimento trabalhada.
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Unidade 1 - Introdução ao cálculo de fluxo de carga
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 13
Definições e componentes das redes elétricas ............................................................. 14
História .............................................................................................................................. 14
Componentes das redes elétricas ................................................................................ 18
Elementos ligados entre um nó (barra) qualquer e o nó (barra) terra .................... 19
Elementos ligados entre dois nós (barras) quaisquer ............................................... 20
Definição do problema e modelagem da barra .............................................................. 21
Aplicações ........................................................................................................................ 23
Modelagem de linhas de transmissão ......................................................................... 24
Modelagem dos transformadores ................................................................................ 26
Equações de correntes e equações de fluxo de potências ......................................... 32
Fluxo de potência para linhas de transmissão ........................................................... 32
Fluxo de potência para transformador em fase ......................................................... 33
Fluxo de potência para transformador defasador ..................................................... 33
Formulação matricial I = YE ............................................................................................... 34
Potências nodais ............................................................................................................. 36
Sintetizando ........................................................................................................................... 37
Referências bibliográficas ................................................................................................. 38
Sumário
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Sumário
Unidade 2 - Métodos iterativos de solução do fluxo de carga em uma rede elétrica
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 40
Métodos iterativos aplicados a sistemas de equações ............................................... 41
Método de Gauss-Seidel ................................................................................................ 43
Método de Newton-Raphson ........................................................................................ 45
Método de Newton-Raphson aplicado a sistemas não lineares ............................ 47
Matrizes de rede ................................................................................................................... 49
Matriz de admitâncias nodais (matriz Y) ..................................................................... 50
Matriz de impedâncias nodais (matriz Z) ................................................................... 52
Fluxo de carga nos sistemas elétricos de potência ...................................................... 57
Resolução pelo método de Gauss-Seidel ................................................................... 58
Resolução pelo método de Newton-Raphson ............................................................ 61
Resolução pelo método de Newton-Raphson desacoplado .................................... 64
Sintetizando ........................................................................................................................... 66
Referências bibliográficas ................................................................................................. 67
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Sumário
Unidade 3 - Controle e limites
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 69
Introdução a controle e limites ......................................................................................... 70
Modos de representação ............................................................................................... 73
Controle de tensão em barras PV ................................................................................. 75
Limite de tensão em barras PQ .......................................................................................... 77
Transformadores em fase com controle automático de TAP ................................... 78
Transformadores defasadores com controle automático de fase .......................... 83
Controle de intercâmbio entre áreas ................................................................................ 85
Ajuste alternado e simultâneo ......................................................................................87
Controle de tensão em barras remotas e cargas variáveis com a tensão ............ 88
Introdução ao fluxo de carga linearizado ....................................................................... 89
Formulação matricial ...................................................................................................... 90
Modelo CC ........................................................................................................................ 91
Sintetizando ........................................................................................................................... 92
Referências bibliográficas ................................................................................................. 93
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Sumário
Unidade 4 - Técnicas de esparsidade e estabilidade do sistema elétrico de potência
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 95
Técnicas de esparsidade .................................................................................................... 96
Graus de esparsidade de uma matriz ............................................................................... 98
Esquemas de armazenamento compacto de matrizes esparsas ................................. 99
Esquema de Knuth ......................................................................................................... 100
Esquema circular KRM (Knuth-Rheinboldt-Mesztenyi) .......................................... 101
Esquema circular KRM modificado ............................................................................ 102
Esquema RR(C)O (Row-wise Representation Complete and Ordered) ................ 103
Esquema de Zollenkopf ................................................................................................ 104
Resolução de sistemas de equações algébricas lineares envolvendo matri-
zes esparsas ................................................................................................................... 105
Estabilidade do sistema elétrico de potência .............................................................. 107
Estabilidade angular ..................................................................................................... 109
Estabilidade de tensão ................................................................................................. 109
Estabilidade de frequência ......................................................................................... 110
Dinâmica do rotor e equação de oscilação .................................................................. 110
Equação do ângulo de potência ...................................................................................... 111
Coeficiente de potência sincronizante ...................................................................... 113
Critério da igualdade de área para estabilidade ...................................................... 114
Representação clássica de estabilidade multimáquinas ....................................... 116
Solução passo a passo da curva de oscilação ........................................................ 117
Sintetizando ......................................................................................................................... 119
Referências bibliográficas ............................................................................................... 121
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A disciplina de Fluxo de Carga e Estabilidade, presente nos cursos de En-
genharia Elétrica, é de fundamental importância para o engenheiro elétrico. 
Principalmente para aqueles que irão trabalhar em usinas de energia elétrica 
ou estações de distribuição.
Através de explicações passo a passo em cada etapa do estudo, o estudante 
compreenderá o funcionamento dos sistemas elétricos de potência em uma rede 
de transmissão de corrente alternada, bem como seus principais componentes.
Para que o estudante se familiarize com os termos matemáticos abordados, 
ele receberá exercícios que simulam situações hipotéticas de funcionamento 
dos componentes da rede elétrica, em situações específi cas. Isso o ajudará a 
colocar em prática o conhecimento teórico adquirido.
FLUXO DE CARGA E ESTABILIDADE 9
Apresentação
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Ao meu pai, José Carlos da Silva, 
minha mãe, Jurema Bernardo da 
Silva e minha noiva, Erica Sócio 
da Silva e Sá.
O professor Eric Bernardo da Silva 
tem mestrado em Física Nuclear pelo 
Instituto de Pesquisa Energética e 
Nuclear IPEN-USP (2018) e estágio no 
ISOLDE-CERN durante sua pesquisa 
de mestrado com fi nanciamento e 
apoio da Universidade do Missouri, 
nos Estados Unidos da América, e da 
Comissão Nacional de Energia Nu-
clear (CNEN). Também possui licencia-
tura em Física pelo Instituto Federal 
de Educação, Ciência e Tecnologia de 
São Paulo – IFSP (2014). Atua como 
professor em cursos de Engenha-
ria, Recursos Humanos, Marketing e 
Matemática desde agosto de 2018. 
Realizou pesquisas em simulação, 
construção e testes de um detector 
de múons para raios cósmicos na USP 
(agosto/2013 - julho/2014); modelos 
cosmológicos no IFSP (setembro/2012 
- julho/2013); e fundamentos de Física 
Moderna no estudo de modelos cos-
mológicos no LFTC na UNICSUL (mar-
ço/2011 - junho/2012).
Currículo Lattes:
http://lattes.cnpq.br/0401034758913065
FLUXO DE CARGA E ESTABILIDADE 10
O autor
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Esta obra é dedicada à minha 
família. Eles são a minha fonte 
inspiradora e motivadora.
O professor Shigueru Nagao Junior é 
mestre em Sistemas de Potência pela 
Escola Politécnica da Universidade de 
São Paulo – USP (2017) e graduado em 
Engenharia Elétrica pela Universidade 
Nove de Julho - UNINOVE (2012). Atual-
mente, é pesquisador do Departamento 
de Engenharia de Energia e Automação 
Elétricas da Escola Politécnica da Uni-
versidade de São Paulo e coordenador 
de ensino superior nas disciplinas rela-
cionadas à Tecnologia da Informação do 
Centro Universitário UniDrummond.
Currículo Lattes:
http://lattes.cnpq.br/3751061631641930
O autor
FLUXO DE CARGA E ESTABILIDADE 11
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ERIC BERNARDO 
DA SILVA
1
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Definir e apresentar o problema do fluxo de carga por meio da introdução 
dos conceitos fundamentais do assunto;
 Analisar os principais componentes de uma rede elétrica; 
 Desenvolver os cálculos fundamentais de modelagem para esses 
componentes e seu funcionamento; 
 Desenvolvimento matemático das características fundamentais da matéria.
 Definições e componentes das 
redes elétricas
 História
 Componentes das redes elé-
tricas
 Elementos ligados entre um nó 
(barra) qualquer e o nó (barra) 
terra
 Elementos ligados entre dois 
nós (barras) quaisquer
 Definição do problema e mode-
lagem da barra
 Aplicações
 Modelagem de linhas de trans-
missão
 Modelagem dos transforma-
dores
 Equações de correntes e equa-
ções de fluxo de potências
 Fluxo de potência para linhas 
de transmissão
 Fluxo de potência para trans-
formador em fase
 Fluxo de potência para trans-
formador defasador
 Formulação matricial I = YE
 Potências nodais
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Definições e componentes das redes elétricas
 Fluxo de carga, ou fl uxo de potência, defi ne-se pelo estudo que tem por objetivo 
determinar o estado de uma rede elétrica por meio dos caminhos percorridos pe-
las potências ativas e reativas em todos os elementos da rede elétrica, assim como 
tensão e corrente elétrica.
É através do cálculo do fl uxo de potência que se pode determinaro estado 
de uma rede elétrica. Partimos do pressuposto de que a modelagem do siste-
ma é estática, ou seja, admite-se que o tempo em consideração é tão pequeno 
que tende a zero e, portanto, será desconsiderado pelo conjunto das equações 
algébricas não lineares.
Há outras situações em que a modelagem é dinâmica, considerando um in-
tervalo de tempo não nulo, e fará uso de cálculos computacionais. Entretanto, 
esse não será nosso objeto de estudo nesta unidade.
Os principais objetivos do estudo de fl uxo de potência são a se-
gurança da rede elétrica, para que a mesma continue 
operando sem interrupção da transmissão de energia, 
o planejamento e a operação para que a rede elétrica 
continue operando dentro dos limites de segurança, 
atendendo o aumento constante da demanda.
História
Na história da industrialização é notável o papel que a energia e suas fontes 
têm no desenvolvimento desse fenômeno. Desde que o processo de industria-
lização se iniciou, o ser humano sempre esteve preocupado com a quantidade 
de energia que consome, como preservar a maior quantidade de energia e ob-
ter o melhor resultado possível de seu uso. 
Um exemplo disso é transportar algo de um ponto para outro evitando desper-
dícios que resultem no encarecimento do produto fi nal. Além disso, outro fator de 
importância é qual o tipo de energia usar em cada situação específi ca, consideran-
do que sua fonte não é inesgotável e deve ser preservada de maneira inteligente. 
Em todos esses processos sempre há a conservação e transformação da 
energia entre um tipo e outro, e o fl uxo de potência é uma das ferramentas 
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de conversão e transporte de energia usual atualmente. Façamos uma breve 
leitura dos principais eventos históricos que contribuíram para a evolução do 
sistema de fluxo de potência.
ASSISTA
Na série Gigantes da indústria, do canal a cabo History 
Chanel, é apresentado o contexto histórico em que a ener-
gia elétrica foi desenvolvida e industrializada até chegar 
ao formato que conhecemos hoje. Além disso, no episódio 
também são apresentados Thomas Edson, Nikola Tesla e 
outras figuras importantes da industrialização, não só da 
energia elétrica, mas de outros equipamentos que contri-
buíram para o desenvolvimento do setor.
O desenvolvimento de sistemas de corrente alternada se iniciou em 
1885, nos Estados Unidos da América (EUA), quando George Westinghouse 
comprou as patentes dos sistemas de transmissão de corrente alternada de 
L. Gaulard e J. D. Gibbs (STEVENSON, 1986).
A primeira linha de transmissão de corrente alternada dos EUA foi posta 
em operação em 1890, transportando energia elétrica de uma usina hidroelé-
trica a distância de 21 km, das cataratas de Willamette até Portland, Oregon.
A primeira linha de transmissão era monofásica e sua energia era usada 
apenas para iluminação. Até mesmo os primeiros motores eram monofásicos, 
mas em 1888 Nikola Tesla apresentou um artigo com motores de duas fases.
As vantagens do motor polifásico foram imediatas, e uma demonstração 
de um sistema de corrente alternada (AC ou CA) de duas fases foi a público 
no Columbiam Exposition em Chicago em 1893. 
A partir de então, a transmissão de eletricidade por corrente alternada 
foi substituindo a transmissão por corrente contínua. Em janeiro de 1894 
havia cinco usinas geradoras de eletricidade nos EUA, sendo uma de duas 
fases e as outras quatro trifásicas. Uma das razões da rápida aceitação dos 
sistemas AC foi o transformador, que tornava possível a transmissão de 
energia elétrica em voltagens maiores do que as utilizadas na usina gera-
dora. Uma transmissão de alta voltagem requer menos corrente na linha de 
transmissão para uma potência dada, o que resulta em menor perda de RI2 
na linha. 
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Além disso, um gerador de corrente alternada é um dispositivo mais simples 
do que um gerador de corrente contínua, o que constitui uma grande vantagem.
A única forma de transferir energia elétrica é por meio de cabos e fi os 
elétricos interligados por estações de distribuição em pontos estratégicos. 
A demanda por energia elétrica no século XX, principalmente após a 2ª 
Guerra Mundial, cresceu exponencialmente e, com isso, cada vez mais se 
fez necessário implementar melhorias no sistema de transmissão e distri-
buição a fi m de entregar um produto barato e efi ciente ao maior número de 
consumidores possível.
A Tabela 1 ilustra a produção de energia elétrica nos EUA em intervalos 
de dez anos entre as décadas de 1920 e 1950. Podemos ver o quanto a de-
manda de energia elétrica cresceu no período mencionado, e é aí que entra 
o engenheiro elétrico com estudos e previsões de futuros crescimentos de 
demanda por energia. O engenheiro elétrico é responsável por pensar nas 
instalações em locais apropriados, na distribuição, na segurança, etc.
ANO CAPACIDADE (KW) PRODUÇÃO ANUAL (KWH)
1920 12713608 39404639000
1930 32384363 91111548000
1940 39926881 141837010000
1950 68919040 329141343000
19201920
1930
19401940
1950
1271360812713608
32384363
12713608
3238436332384363
3992688139926881
68919040
39926881
6891904068919040
3940463900039404639000
91111548000
39404639000
91111548000
39404639000
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141837010000
91111548000
141837010000
329141343000
91111548000
141837010000
329141343000
141837010000
329141343000329141343000329141343000
TABELA 1. RESUMO DE ALGUNS DADOS DE PRODUÇÃO ANUAL DE ELETRICIDADE EM KWH 
E CAPACIDADE EM KW, SEPARADOS POR DÉCADAS NA PRIMEIRA METADE DO SÉCULO XX 
NOS EUA
Fonte: ANDERSON, 1995, p. 4.
O Brasil não fi cou muito atrás e, no início do século XX, viu a energia elétrica 
sendo bastante utilizada nas principais cidades do país. Porém, na primeira 
metade do mesmo século os sistemas de geração e distribuição eram todos 
isolados, de modo que não se comunicavam entre si e a eletricidade gerada era 
transportada diretamente para os pontos de consumo. 
Com o passar do tempo, o aumento de demanda por potências cada vez 
maiores e maior confi abilidade no uso de energia elétrica contribuiu para a 
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interligação das redes a sistemas vizinhos. As primeiras interligações ocor-
reram na região Sul-Sudeste do Brasil onde a interligação era feita apenas 
conectando subsistemas individuais (blocos) com usinas, transformadores, 
linhas de transmissão e sistemas de distribuição.
Na década de 1990, o sistema Norte-Nordeste foi interligado ao sistema 
Sul-Sudeste por meio de linhas de transmissão de corrente alternada de 
500 kV com cerca de 1200 km de extensão. Esse novo sistema chamado 
de Furnas conecta a subestação Imperatriz - MA à subestação de Serra da 
Mesa, em Goiás. 
Graças ao estudo do fluxo de potência, foi possível prever que essa inter-
ligação seria capaz de transmitir até 1300 MW de potência tanto no sentido 
norte quanto no sentido sul por meio de capacitores ligados em série e rea-
tores ligados em paralelo.
Hoje as empresas de geração e distribuição de energia compreendem o 
chamado Sistema Interligado Nacional (SIN), responsável por quase toda to-
talidade de geração e distribuição de energia no país. A exceção é parte da 
região amazônica com cerca de 3,4% que ainda não compõem esse sistema. 
O sistema de produção e transmissão de energia elétrica brasileiro é predo-
minantemente hidrotérmico de grande porte devido às suas dimensões. Seu 
sistema é composto principalmente 
por usinas hidrelétricas, mas com ex-
pectativa de fontes alternativas como 
energia solar e eólica na sua matriz 
energética. A Figura 1 apresenta as 
principais linhas de transmissão do 
sistema elétrico brasileiro.
CURIOSIDADE
Apesar da matriz energética brasileira ainda ser predominantemente hi-
drelétrica, já há diversaspesquisas e tentativas de implementação de um 
sistema de energia elétrica a partir de fontes renováveis como a energia 
solar. No artigo “Microgeração fotovoltaica conectada à rede elétrica: 
considerações acerca de sua difusão e implantação no Brasil” os autores 
apresentam dados e informações que mostram a viabilidade e as princi-
pais barreiras e vantagens para a introdução desse sistema no Brasil.
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Figura 1. Mapa das principais linhas de transmissão do Brasil: Sistema Eletrobrás. Fonte: Eletrobrás. Acesso em: 
28/10/2019.
Componentes das redes elétricas
É de conhecimento do estudante que uma rede elétrica é composta por 
diversos componentes elétricos que são responsáveis pelo seu funcionamen-
to. Esses componentes se interligam por meio de fi os de transmissão que se 
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conectam a estações e subestações desde o seu ponto de geração, e chegam 
até sua residência, ao seu local de trabalho ou de estudo. 
A fi m de facilitar o nosso estudo, faremos a análise de cada um dos compo-
nentes individualmente, pois são compostos de muitos detalhes e requerem 
um olhar aprofundado, tanto pelo ponto de vista físico, quanto matemático. 
Portanto, apresentaremos a seguir, primeiramente, a defi nição dos princi-
pais componentes das redes elétricas e suas funções básicas, e mais adiante 
nos dedicaremos a explicar como se comportam em uma rede elétrica em ple-
no funcionamento, e como se relacionam entre si para que a transmissão de 
energia elétrica se dê de forma adequada e esperada. 
Os principais componentes de uma rede elétrica podem ser divididos entre 
a linha de transmissão e aqueles nela conectados. Para facilitar a familiaridade 
com esses componentes, vamos dividi-los em duas categorias: os que estão 
ligados entre uma barra qualquer e uma barra aterrada, e os que estão ligados 
entre duas barras quaisquer. 
Elementos ligados entre um nó (barra) qualquer e o nó 
(barra) terra
Numa rede elétrica completa há diversos componentes em toda a sua 
extensão. Parte desses componentes está conectada na linha de transmis-
são, nas barras ou aterrados. 
Veremos que há uma diferença entre os elementos interligados entre 
uma barra qualquer e uma aterrada. Os elementos ligados entre uma barra 
qualquer e uma barra aterrada são: a própria barra, geradores, carga e ele-
mentos shunt. Aqui estão as defi nições básicas de cada um deles:
• Barra: podem ser defi nidas como os nós da rede que se conectam entre as 
linhas de transmissão e os transformadores. São considerados elementos 
condutores de resistência desprezível quando comparados com 
as impedâncias das linhas de transmissão e dos trans-
formadores. Ficam localizadas nas subestações;
• Geradores (G): são as máquinas primárias res-
ponsáveis pela geração de energia elétrica por 
meio da rotação de um enrolamento de fi o condu-
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tor. Essa geração pode se dar por meio de turbinas hidráulicas, uso de va-
por, gás, combustão interna, vento (energia eólica) ou, até mesmo, reação 
nuclear. Os geradores mais usuais são os de hidrelétricas com tecnologia 
convencional, que operam com tensões na faixa de 10 a 30 kV, devido a 
limitações físicas;
• Cargas (L): produto fi nal do sistema de potência que será distribuído para 
a rede elétrica e abastecerá a cidade;
• Elementos shunt (RSh): são, em essência, os capacitores e indutores da 
rede e podem ser fi xos ou variáveis. As variações podem ser manuais ou 
automáticas dependendo da rede considerada.
Elementos ligados entre dois nós (barras) quaisquer
Assim como no caso de uma barra qualquer e uma aterrada, no caso de 
duas barras quaisquer há outros elementos específi cos, como: linha de trans-
missão e transformadores. Aqui estão as defi nições básicas e as funcionalida-
des de cada um desses elementos:
• Linhas de transmissão (LT): elemento responsável pela interligação 
das estações geradoras de energia elétrica e os pontos de distribuição 
da mesma. Essa interligação ocorre por meio das barras que se encon-
tram em subestações. A capacidade de transmissão depende da distân-
cia entre as subestações e da quantidade de energia a ser transportada 
(potência elétrica). O propósito da linha de transmissão é transportar a 
maior quantidade de energia em qualquer direção desejada a baixo cus-
to sem falhas operacionais;
• Transformadores (TR): os transformadores são equipamentos elétricos 
que atuam diretamente no aumento ou diminuição da intensidade da ten-
são na rede elétrica. Quando todos os elementos mencio-
nados acima são combinados, obtemos um sistema de 
potência como ilustrado na Figura 3 que mostra a estru-
tura geral de um sistema de potência. A energia gera-
da no gerador passa por um transformador em uma 
subestação que a encaminha, por meio das linhas de 
transmissão, para a distribuição e consumidor fi nal.
FLUXO DE CARGA E ESTABILIDADE 20
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Gerador
c. a.
c. a.
c. a.
c. c.
Linha de transmissão
Conversor Inversor
Transformador
Distribuição
Transformador Carga
Figura 2. Estrutura geral do sistema de potência.
Definição do problema e modelagem da barra
Na formulação mais simples do problema do fl uxo de carga, chamada de for-
mulação básica, são associadas quatro variáveis a cada barra, onde duas delas 
entram como dados conhecidos e as outras duas como incógnitas. Cada barra 
representa um nó no circuito, chamaremos esses dados de variáveis nodais. 
Esse tipo de problema é solucionado por meio de equações algébricas não lineares 
equivalentes às leis de Kirchhoff e elementos da rede elétrica e de seus componentes.
Na Tabela 2 vemos três tipos de barras com suas respectivas variáveis nodais. 
Na Figura 3 vemos um exemplo de uma rede hipotética com três barras onde 
podemos identifi car os principais componentes de uma rede elétrica, tais como: 
gerador, transformador, linha de transmissão, elementos shunt, carga e distribui-
ção. As barras são defi nidas de acordo com as variáveis de entrada e saída.
TIPO DE BARRA NOTAÇÃO DADOS INCÓGNITAS
Barra de carga PQ Pk e Qk Vk e θk
Tensão controlada PV Pk e Vk θk e Qk
Referência Vθ Vk e θk Pk e Qk
TABELA 2. NOMENCLATURA DE TRÊS TIPOS DE BARRAS E NOTAÇÃO USUAL PARA DESCREVÊ-
LAS
Fonte: MONTICELLI; GARCIA, 2000, p. 2-3.
Barra de cargaBarra de carga
Tensão controlada
Barra de carga
Tensão controlada
Barra de carga
Tensão controlada
Referência
Barra de carga
Tensão controlada
Referência
Tensão controlada
Referência
Tensão controlada
Referência
PQ
PVPV
Vθ
Pk e Q
P V
V e θk
V θ
θ e Q
P e Qk
FLUXO DE CARGA E ESTABILIDADE 21
SER_ENGELE_FLUXOCE_UNID1.indd 21 29/04/2020 15:00:35
Onde:
Vk = magnitude da tensão das barras;
θk = ângulo de tensão das barras;
Pk = fluxo de potência ativa (geração menos carga);
Qk = fluxo de potência reativa.
A barra de referência tem duas funções:
1 - Fornecer a referência angular para a rede;
2 - Fazer o balanço de potência do sistema considerando as perdas durante 
a transmissão. 
Além disso, a fim de facilitar a compreensão de uma rede elétrica, na Figura 
3 são destacadas duas regiões principais, externa e interna, compreendidas 
entre a geração até sua distribuição. A região externa está destacada em azul e 
a região interna está destacada em vermelho.
É importante salientar que essa divisão em duas partes não implica que 
uma seja mais importante do que a outra, mas serve apenas como ferramenta 
didática para melhor compreensão da rede elétrica. Todas as partes e compo-
nentes de uma rede elétrica são importantes e devem ser considerados para 
que a mesma funcione de forma apropriada.
Gerador
Transformador
1km 1mk
Linha de transmissão
Elementos shunt
Carga
Distribuiçãoc.a
k m
Figura 3. Fluxo de carga: exemplo de uma rede com três barras (a região destacada em azul é a parte externa e a 
região destacada em vermelho é a parte interna).
A Figura 4 ilustra a situação de injeção de potência complexa Sk numa barra 
k qualquer de um sistema de fluxo de carga.
FLUXO DE CARGA E ESTABILIDADE 22
SER_ENGELE_FLUXOCE_UNID1.indd 22 29/04/2020 15:00:35
Gerador
k
Sk = Pk +iQk
SKC
SKG
Ek = Vk 0k
Figura 4. Potência complexa entrando na barra k qualquer.
Onde:
Sk = Soma das potências ativa e reativa;
Pk = Fluxo de potência ativa;
Qk = Componente da injeção de potência reativa devido ao elemento shunt 
da barra terminal k;
Ek = Magnitude da tensão no terminal da barra k;
θk = Ângulo da tensão no terminal da barra k.
Pela 1ª lei de Kirchhoff , podemos escrever: Sk = Sk
G - Sk
C.
É importante salientar a seguinte convenção de sinais:
1 - As injeções líquidas de potência são positivas quando entram na barra 
(geração) e negativas quando saem da barra (carga);
2 - Os fl uxos de potência são positivos quando saem da barra e negativos 
quando entram;
3 - Para os elementos shunt das barras é adotada a mesma convenção das 
potências.
Aplicações
A principal aplicação do estudo de fl uxo de carga está no fornecimento ade-
quado de energia elétrica, evitando desperdícios, prejuízos e prevendo even-
tuais problemas no sistema para que não haja corte do fornecimento elétrico 
e danos à rede. 
FLUXO DE CARGA E ESTABILIDADE 23
SER_ENGELE_FLUXOCE_UNID1.indd 23 29/04/2020 15:00:36
Esse estudo é desenvolvido, na maior parte dos casos, pelas concessioná-
rias de energia elétrica responsáveis pela geração e transmissão de energia 
elétrica e por órgãos responsáveis pela fi scalização e operação do sistema elé-
trico, e fazem uso de engenheiros capacitados para a tarefa.
Numa rede elétrica convencional em pleno funcionamento, o fl uxo de po-
tência tem como característica a prevenção de problemas que venham a pre-
judicar a rede. Porém, há situações inesperadas que podem ocorrem. Algumas 
delas são ocasionadas por fatores externos, provenientes de tempestades, en-
chentes e problemas naturais que independem do ser humano. 
Nesse caso, o estudo do fl uxo de potências também tem como base a res-
tauração da rede à situação inicial e adequada através do conhecimento deta-
lhado de todos os componentes, estações e subestações.
Modelagem de linhas de transmissão
Para calcularmos o fl uxo de potência nas linhas de transmissão, fazemos 
uso do modelo da Figura 5 conhecido como modelo π (pi). Este modelo é apli-
cado para sistemas em equilíbrio com as barras terminais entre as linhas de 
transmissão. 
ib shkm
k m
Zkm = rkm + ixkm
ib shkm
Ikm Imk
Figura 5. Modelo π para cálculo do fl uxo de potência em linhas de transmissão. Fonte: MONTICELLI; GARCIA, 2000, p. 5.
A impedância é dada pela soma da resistência e reatância, conforme mos-
trado na equação: Zkm = rkm + ixkm.
FLUXO DE CARGA E ESTABILIDADE 24
SER_ENGELE_FLUXOCE_UNID1.indd 24 29/04/2020 15:00:36
É importante salientar que a impedância é proporcional ao comprimento da 
linha de transmissão, ou seja, quanto maior for a linha de transmissão, maior 
será o valor da impedância.
Outras duas grandezas são consideradas no modelo π para modelagem da 
linha de transmissão, sendo elas:
• Condutância série gkm (≥ 0), onde: 
rkmgkm = 2Xkmrkm
2
• Susceptância série bkm (≤ 0) (indutivo), onde: 
Xkm
2Xkmrkm
2bkm =
A soma da condutância e susceptância nos leva à admitância, série que é o 
inverso da impedância, como pode ser visto na equação:
ykm = gkm + ibkm → ykm = zkm-1
Portanto:
zkm =-1 - i
rkm
2Xkmrkm
2
Xkm
2Xkmrkm
2
Na situação em que o modelo π representa uma linha 
de transmissão, admite-se rkm e xkm positivos, assim gkm 
também é positivo e bkm é negativo. Resumindo:
Este modelo é definido por três parâmetros 
fundamentais:
• resistência série rkm (≥ 0);
• reatância série xkm (≥ 0) (indutivo);
• susceptância shunt ibkm (≥ 0) (capacitivo).
A corrente elétrica na Figura 5 é formada por uma 
componente série e uma componente shunt, e pode ser 
calculada a partir das tensões das barras k e m, respecti-
vamente, Ek e Em do modelo π.
Ikm = ykm(Ek - Em) + ibkm Ek
Com: 
Ek = Vke
iθk 
Em = Vme
iθm 
Da mesma forma, a corrente partindo da barra m em direção à barra k Imk 
pode ser calculada por:
Imk = ykm(Ek - Ek ) + ibkmEm
FLUXO DE CARGA E ESTABILIDADE 25
SER_ENGELE_FLUXOCE_UNID1.indd 25 29/04/2020 15:00:36
Modelagem dos transformadores
O transformador é um dos componentes elétricos mais antigos. Inventado 
por Michael Faraday em 1831, é um componente que tem como principal fun-
ção transformar os níveis da tensão elétrica e corrente elétrica sem alterar a po-
tência elétrica. Essa modifi cação dos níveis pode ser no intuito de aumentar ou 
diminuir a sua intensidade, de acordo com as necessidades do circuito elétrico.
Há uma grande variedade de tipos de transformador no mercado que 
atendem a diversas demandas. Elas podem ser para a grande indústria ou in-
dústria de pequeno porte. 
Nesta disciplina vamos supor que o estudante já esteja familiarizado com o 
princípio básico do transformador e vamos considerar a modelagem matemá-
tica do transformador em fase e do transformador defasador, que são compo-
nentes fundamentais para o funcionamento da rede elétrica.
CURIOSIDADE
• Quanto à finalidade: transformadores de corrente, transformado-
res de potência, transformadores de distribuição, transformadores 
de força;
• Quanto ao tipo: dois ou mais enrolamentos, autotransformador;
• Quanto ao material do núcleo: ferromagnético, núcleo de ar;
• Quanto ao número de fases: monofásico, trifásico, polifásico.
Ainda é possível inserir propriedades específicas dos transformado-
res para cada uma das classificações citadas.
Transformador em fase: na Figura 6 temos a representação de um trans-
formador em fase com admitância ykm de relação de 
transformação 1:t, com t sendo um número real (t = a) 
devido ao fato de o transformador estar em fase. 
Para manter o nível tensão da saída de uma subes-
tação de energia em patamares apropriados, os ope-
radores devem considerar diversos aspectos, tais 
como: nível de geração de potência reativa, ligação 
de compensadores síncronos e banco de capaci-
tores, uso de reatores de barra e ajuste de taps 
dos transformadores.
FLUXO DE CARGA E ESTABILIDADE 26
SER_ENGELE_FLUXOCE_UNID1.indd 26 29/04/2020 15:00:36
K
Ikm ykm1 : t p Imk
m
Ek= Vkeiθk Em= Vmeiθm
Ep= Vpeiθp
Figura 6. Transformador em fase. Fonte: MONTICELLI; GARCIA, 2000, p. 8.
As relações entre as tensões na barra k e o nó p no transformador em fase 
é dada pela expressão:
Como estamos tratando de um transformador ideal em fase, as potências 
de entrada e saída são iguais. Dessa forma, não há dissipação de potência ativa 
e reativa entre os nós k e p da Figura 6. Assim, a soma das potências complexas 
se iguala a zero:
Skp + Spk = 0 → EkI km + EpI mk = 0 → EkI km + (aEkI mk ) = 0
 
Portanto: 
Ikm
Imk
 = - a
Imk e Ikm são defasados de 180° e suas magnitudes estão na razão a : 1.
Como: 
Ep
Ek
Vpe
iθp
Vke
iθk
= a
Se trocarmos o numerador pelo denominador nessa equação, obtemos:
Ek
Ep
1
a
-
Imk
Ikm
Ipm
Ikm
Equacionando Ikm, obtemos:
Ikm = aIpm = a(-Imk ) → Ikm = a[ykm(Ep - Em )] → Ikm = aykm(aEk - Em )]
Ep
Ek
Vpe
iθp
Vke
iθk
= a �
VP = aVk
θP = θk
com
FLUXO DE CARGA E ESTABILIDADE 27
SER_ENGELE_FLUXOCE_UNID1.indd 27 29/04/2020 15:00:36
Portanto: Ikm = (a
2ykm )Ek + (-aykm ) Em
Equacionando Imk , obtemos:
Imk = -Ipm = -[ykm(Ep - Em)] → Imk = -ykm(aEk - Em) → 
Portanto: Imk = (-aykm )Ek +(ykm)Em
Resumindo:
Ikm = (a
2ykm ) Ek + (-aykm ) Em
Imk = (-aykm)Ek + (ykm )Em
Simplificando o transformador por meio de um modelo π como mostrado 
na Figura 7, podemos escrever as equações das correntes de forma mais sim-
ples por meio dos parâmetros A, B e C.
Ikm = (A + B)Ek + (-A)EmImk = (-A) Ek + (A + C)Em
�
�
B
Ak m
C
Ek Em
ImkIkm
Figura 7. Circuito equivalente ao modelo π do transformador em fase. Fonte: MONTICELLI; GARCIA, 2000, p. 7.
Os parâmetros A, B e C, quando isolados algebricamente, podem ser escritos em 
função de a e da admitância série ykm conforme: A = aykm , B = a(a - 1)ykm, C = (1 - a)ykm.
Resumindo, podemos interpretar os resultados da seguinte forma:
Para 𝖆 = 1, o tap está na posição nominal. Isso implica que B = C = 0, impli-
cando que o circuito se reduz a uma admitância série ykm como mostrado na 
Figura 8.
FLUXO DE CARGA E ESTABILIDADE 28
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Ek Em
ykm
k m
Ek
Vk Vm
Em
A
B C
k m
Figura 8. Admitância série com B = C = 0 para o transformador em fase.
Figura 9. Modelo π do transformador em fase com B capacitivo e C indutivo.
Para 𝖆 < 1, então B apresenta efeito capacitivo e C apresenta efeito indu-
tivo, o que implica aumentar a tensão Vk e diminuir a tensão Vm como ilustra o 
modelo π da Figura 9.
Para 𝖆 > 1, então B apresenta efeito indutivo e C apresenta efeito capacitivo 
o que implica em aumentar a tensão Vm e diminuir a tensão Vk como ilustra o 
modelo π da Figura 10.
FLUXO DE CARGA E ESTABILIDADE 29
SER_ENGELE_FLUXOCE_UNID1.indd 29 29/04/2020 15:00:37
Ek
Vk Vm
Em
A
B C
k m
K
p
1 : αe jφIkm Imkykm
m
Ek = Vkeiθk Ep = Vpeiθp
Em = Vmeiθm
Figura 10. Modelo π do transformador em fase com B indutivo e C capacitivo.
Figura 11. Transformador defasador adaptado. Fonte: MONTICELLI; GARCIA, 2000, p. 8.
Transformador defasador: nesse modelo de transformador é possível 
controlar o fluxo de potência ativa do ramo em que se encontra o transforma-
dor. Imagine que é inserida uma fonte de tensão contínua um ramo de um cir-
cuito. Devido à introdução dessa fonte no circuito, a corrente poderá aumentar 
ou diminuir de acordo com a sua polaridade.
No caso de uma rede elétrica com corrente alternada, o defasador tem a 
função de alterar o fluxo de potência ativa introduzindo uma defasagem entre 
os nós k e indicado pelo termo 1:aeiφ na Figura 11.
FLUXO DE CARGA E ESTABILIDADE 30
SER_ENGELE_FLUXOCE_UNID1.indd 30 29/04/2020 15:00:37
O termo 1:aeiφ é resultante da relação de transformação das intensidades 
das tensões do enrolamento primário e secundário por meio do ângulo de fase 
dos mesmos. As intensidades das tensões exercem pouca influência no fluxo 
de potência ativa e, portanto, admitimos que 𝖆 = 1 para o transformador defa-
sador puro de modo que sua relação de transformação passe a ser 1: eiφ.
A partir daqui, procederemos da mesma forma que procedemos para o 
caso do transformador em fase por meio das relações de tensão dos nós p e k.
Ek
Ep
1
eiφ
→ Ep = Eke → Vp eiθp = Vkei(θk + φ)
Portanto: �
VP = Vk
θP = θk + φ
Assim como relacionamos as potências de entrada e saída para o transfor-
mador ideal, também o faremos para o transformador defasador:
Skp + Spk = 0 → EkI km + EpI mk = 0 → EkI km + Ek eiφ I mk ) = 0
Assim:
I km + e
iφI mk = 0
Portanto:
Ikm
Imk
-e-iφ = -t*
Onde:
 Imk = ykm(Em - Ep) → Imk = ykm(Em - tEk) → Imk = (-tykm ) Ek + (ykm ) Em
 Ikm = -t
*Imk → Ikm = -t*[(-tykm ) Ek + (ykm ) Em ] → Ikm = (|t|2 ykm ) Ek + (-t*ykm ) Em
com: (|t| = |eiφ| = 1)
Portanto: Ikm = (ykm ) Ek + (-t
*ykm) Em
Podemos resumir as equações das correntes Imk e Ikm, respectivamente:
Imk = (ykm) Ek + (-t
*ykm ) Em
Ikm = (-tykm ) Ek + (ykm) Em
No caso do transformador defasador, não é possível construir o circuito no 
modelo π, pois o coeficiente de Em em Ikm é diferente do coeficiente de Ek em Imk, 
como pode ser visto nas equações deduzidas acima. 
iφ
FLUXO DE CARGA E ESTABILIDADE 31
SER_ENGELE_FLUXOCE_UNID1.indd 31 29/04/2020 15:00:37
Equações de correntes e equações de fluxo de potências
Agora iremos deduzir as equações de fl uxo de potência a 
partir das equações de corrente para as linhas de transmissão, 
transformadores em fase e transformadores defasadores. 
Até agora consideramos a modelagem de cada componen-
te da rede elétrica isoladamente, mas a partir desta etapa passaremos 
a olhar para a rede elétrica como um único objeto porque estamos vendo 
como a potência se comporta em toda a sua extensão considerada.
Quando a corrente atravessa uma das barras da rede, ela é transmitida pela 
linha de transmissão que a encaminha para outras barras e/ou componentes 
da rede. Nesse processo há um fl uxo de potência ativo (barra transmissora) e 
reativo (barra receptora) entre as barras ou componentes que vai depender das 
características da rede em questão. 
Fluxo de potência para linhas de transmissão
Já vimos que a corrente Ikm é dada pela soma da componente série e da com-
ponente shunt por meio das tensões nos terminais k e m do modelo π. Matema-
ticamente, pela 1ª lei de Kirchhoff :
Ikm = I1 + I2 → Ikm = ykm(Em - Ep ) + ibkm Ek
Onde:
Ek = Vk e
iθk
Ep = Vp e
iθp
Em = Vm e
iθm
Portanto: Ikm = ykm(Vm e
iθm - Vp ee
iθp) + ibkm Vk e
iθk
Da mesma forma, vimos que Imk pode ser obtido de forma similar:
Imk = ykm(Em - Ek) + ibkmEm
Portanto: Imk = ykm(Vme
iθm - Vke
iθk) - ibkm Vm e
iθm )
Também já vimos que o fl uxo de potência é dado por:
Skm = - iQkm = Ek Ikm → Skm = ykmVk e-iθk(Vkeiθk - Vm eiθm) + ibkm Vk2
Os fl uxos de potência Pkm e Qkm podem ser identifi cados separando-se as par-
tes reais e imaginárias da equação anterior.
Pkm = Vk
2 gkm - VkVm gkm cosθkm - VkVm bkmsenθkm
FLUXO DE CARGA E ESTABILIDADE 32
SER_ENGELE_FLUXOCE_UNID1.indd 32 29/04/2020 15:00:37
Qkm = -Vk
2 (bkm + ibkm ) + VkVmbkmcosθkm - Vk Vm gkm senθkm
Da mesma forma, podemos obter os fl uxos de potência Pmk e Qmk usando o 
mesmo procedimento, porém trocando os índices k e m das equações.
Pmk = Vm
2 gkm - VkVm gkmcosθkm - VkVmbkm senθkm
Qmk = -Vm
2 (bkm + bkm ) + Vk Vm bkm cosθkm - VkVm gkm senθkm
Durante todo o processo, há perdas de potência que também podem ser cal-
culadas.
Perda de potência ativa:
Pkm + Pmk = gkm (Vk
2 + Vm
2 -2VkVm cosθkm ) → Pkm + Pmk = gkm|Ek - Em|2
Perda de potência reativa:
Qkm + Qmk = - bkm (Vk
2 + Vm2 - 2VkVmcosθkm ) → 
Qkm + Qmk = - bkm (Vk
2 + Vm
2 ) - bkm|Ek - Em|
2
Onde:
|Ek - Em|
2 : se defi ne como a intensidade das tensões;
gkm|Ek - Em|
2 : perdas ôhmicas;
-bkm|Ek - Em |
2 : perdas reativas no elemento série;
- ibkm (Vk
2 + Vm
2): geração de potência reativa nos elementos shunt.
Fluxo de potência para transformador em fase 
Já vimos que a corrente Ikm na linha de transmissão é dada por:
Ikm = aykm(aEk - Em)]
Skm = Pkm - iQkm → Skm = Ek Ikm
Portanto: Skm = aykm Vk e
-iθk(aVk e
iθk - Vm e
iθm) 
Assim como fi zemos para o fl uxo de potências para a linha de transmissão, no 
caso do transformador também podemos obter os fl uxos de potência Pkm e Qkm
separando-se as partes reais e imaginárias da equação anterior.
Pkm = (aVk )
2 gkm - (aVk)Vm gkm cosθkm - (aVk)Vmbkmsenθkm
Qkm = -(aVk )
2 bkm + (aVk )Vm bkm cosθkm - (aVk )Vm gkm senθkm
Fluxo de potência para transformador em defasador
Já vimos que a corrente Ikm para o transformador defasador é dada por:
FLUXO DE CARGA E ESTABILIDADE 33
SER_ENGELE_FLUXOCE_UNID1.indd 33 29/04/2020 15:00:38
Ikm = ykm(Ek - e
-iφkmEm ) e
iθk) → Ikm = ykm e-iφkm - Em )
Agora podemos escrever as equações do fl uxo de potência:
Skm = Pkm - iQkm → Skm = Ek Ikm →
Skm = ykm Vk e
-i(θk+ φkm ) (Vk e
-i (θk+ φkm) - Vme
θm)
Separando as partes reais e complexas da equação anterior, podemos escre-
ver as equações do fl uxo de potência:
Pkm = Vk
2 gkm - VkVm gkmcos(θkm + φkm ) - VkVmbkmsen(θkm + φkm )
Qkm = -Vk
2 bkm + VkVm bkmcos(θkm + φkm ) - VkVm gkm sen(θkm + φkm )
Por fi m, podemos escrever as equações dos fl uxos de potência para linhas de 
transmissão, transformador em fase e transformador defasador:
Pkm = (aVk )
2 gkm - (aVk )Vm gkm cos(θkm + φkm ) - (aVk )Vm bkmsen(θkm + φkm )
Qkm = -(aVk )
2 (bkm + bkm )+ (aVk )Vmbkmcos(θkm+ φkm ) - (aVk )Vm gkm sen(θkm + φkm ) 
De forma análoga, podemos obter as equações de fl uxo de potência Pmk e Qmk, 
respectivamente.
Pkm = gkm Vm
2 - (aVk ) Vm [gkm cos(θkm + φkm ) - bkm sen(θkm + φkm )
Qmk = -(bkm + ibkm ) Vm
2 + (aVk )Vm [gkm sen(θkm + φkm ) - bkm cos(θkm + φkm ) 
É importante salientar que existe uma convenção de sinais para os fl uxos de 
potência ativa e/ou corrente nos ramos do circuito de modo que: 
• Positivos: se saem das barras e;
• Negativos: se entram na barra.
Assim:
• Se Pkm > 0, o fl uxo de potência parte da barra k para a barra m, portanto positivo;
• Se Pkm < 0, o fl uxo de potência parte da barra m para a barra k, portanto negativo.
O mesmo pode ser feito para os fl uxos de potência reativa Pmk.
Formulação matricial I = YE
Considere o circuito da Figura 12, onde a corrente elétrica entra em uma bar-
ra k e se divide de modo que parte dela vá para a barra m. Aplicando a lei dos 
nós de Kirchhoff :
∑m∈ΩkIkm = Ikm + lk com número de barras (k = 1)
Onde:
Ωk é o número de barras vizinhas da barra k:
FLUXO DE CARGA E ESTABILIDADE 34
SER_ENGELE_FLUXOCE_UNID1.indd 34 29/04/2020 15:00:38
I shk
I k
I km
k m
Figura 12. Corrente elétrica entrando numa barra k e se dividindo após sair da barra k em direção à barra m.
Vimos que as correntes para linhas de transmissão, transformador em fase e 
transformador defasador são:
Ikm = (ykm + ibkm )Ek +(-ykm)Em
Ikm = (a
2 ykm)Ek +(-aykm )Em
Ikm = (-tykm) Ek + (ykm )Em
Quando colocadas de forma generalizada, a corrente entre a barra k e m, fica:
Ikm = (a
2ykm + ibkm )Ek +(-at
*ykm)Em
A equação geral da corrente pode ser reescrita na forma:
Ikm = [ibkm + ∑m∈Ωk(a2 ykm + ibkm )Ek + ∑m∈Ωk(-atykm)Em
No caso de k = 1, a expressão pode ser escrita na forma matricial do tipo:
Onde:
• I se define como o vetor das injeções das correntes elétricas de componen-
tes Ik para k = 1;
• E se define como o vetor das tensões nodais de componentes Ek = Vkeiθk.
• Y se define como a matriz admitância de modo que Y = G + iB, cujos ele-
mentos são:
• G se define como a matriz condutância nodal;
• B se define como a matriz susceptância nodal.
Ik.
.
.
lm
Ek.
.
.
Em
Zkk.
.
.
Zmk
Zkm.
.
.
Zmm
FLUXO DE CARGA E ESTABILIDADE 35
SER_ENGELE_FLUXOCE_UNID1.indd 35 29/04/2020 15:00:38
Ykm = -ae
-iφkmykm (elementos fora da diagonal principal)
Ykk = ibkm + ∑m∈Ωk(a2ykm + ibkm )(elementos da diagonal principal)
Admitimos que na maioria das vezes essa matriz será esparsa, ou seja, mui-
tos elementos serão nulos quando Ykm = 0, sempre que entre as barras k e m 
não existirem linhas de transmissão ou transformador.
• Se o elemento entre a barra k e m for uma linha de transmissão, então Ykm = - ykm;
• Se o elemento entre a barra k e m for um transformador em fase, então 
Ykm = - aykm;
• Se o elemento entre a barra k e m for um transformador defasador, então 
Ykm = -e
-iφkmykm;
• Se a rede for formada por linhas de transmissão e transformadores em 
fase, a matriz Y será simétrica.
Se houver defasadores na rede, a matriz se tornará assimétrica, pois:
Ykm = -e
-iφkmykm e Ymk = -e
-iφkmykm
Potências nodais
A injeção de corrente elétrica na barra k em função dos elementos da matriz 
admitância é dada por:
Ikm = YkkEk + ∑m∈ΩYkm Em → Ikm = ∑m∈ΩKYkmEm
Visto que Y = G + iB e Em = Vme
iθm, a expressão anterior pode ser reescrita na 
forma:
Ikm = ∑m∈k(G + iB)Vm e
iθm
Sabendo que o cálculo da potência complexa é dado por:
Sk = Pk + iQk → Sk = Ek Ik e Ek = Vke-iθk
Substituímos então a equação Ik na expressão do cálculo de potência obtendo:
Skm = Vk e
-iθk m∈K(G + iB)Vmeiθm
Dessa forma, as injeções de potência ativa e reativa podem ser obtidas sepa-
rando-se a parte real e a parte imaginária, escrevendo-as em função dos compo-
nentes da tensão e da admitância:
Pkm = Vk ∑m∈kVm[Gkm cosθkm + Bkm senθkm ) 
Qmk = Vk ∑m∈kVm [Gkm senθkm + Bkm cosθkm )
FLUXO DE CARGA E ESTABILIDADE 36
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Sintetizando
Nesta unidade vimos o funcionamento dos principais componentes da rede 
elétrica e as equações matemáticas que modelam o seu comportamento quan-
do em atividade. O sistema elétrico de potência é compreendido por uma com-
plexa estrutura de componentes elétricos, tais como: linhas de transmissão, 
capacitores, reatores, geradores e transformadores que exigem supervisão e 
controle de qualidade em tempo real.
Esses componentes se interligam por meio do SIN e se espalham por mi-
lhares de quilômetros dentro do Brasil em diferentes usinas e centros de dis-
tribuição.
O sistema de potência pode ser dividido em três categorias: geração de 
energia elétrica na usina, transmissão da energia gerada por meio de linhas de 
transmissão e distribuição de carga para o consumidor final. 
Para que a rede elétrica se mantenha em pleno funcionamento é necessá-
rio um estudo detalhado de seus componentes desde o início da transmissão 
na usina até a passagem das subestações onde a energia é distribuída para o 
consumidor final.
Cada etapa do processo de geração e distribuição de energia na rede deve 
ser modelado matematicamente e fisicamente, levando em consideração to-
das as variáveis que compõem o sistema. Por isso é bastante útil separá-las em 
partes menores da rede facilitando a sua análise.
Como o estudante pôde ver, a modelagem dos componentes da rede elétri-
ca não é tarefa fácil e depende de uma série de fatores físicos e conhecimento 
matemático adequado para trabalhar as equações que descrevem os fenôme-
nos físicos envolvidos em todo o processo. Por conta disso, é extremamente 
importante e necessário o estudante refazer os passos matemáticos envolvi-
dos em cada etapa da modelagem, bem como consultar a bibliografia reco-
mendada para que tenha uma visão mais ampla do problema de fluxo de carga.
FLUXO DE CARGA E ESTABILIDADE 37
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FLUXO DE CARGA E ESTABILIDADE 38
SER_ENGELE_FLUXOCE_UNID1.indd 38 29/04/2020 15:00:38
MÉTODOS ITERATIVOS 
DE SOLUÇÃO DO 
FLUXO DE CARGA EM 
UMA REDE ELÉTRICA
2
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Evidenciar e conceituar os principais métodos iterativos utilizados no cálculo 
de fluxo de carga em redes elétricas;
 Apresentar nomenclaturas e exemplos de resolução de fluxo de carga em 
uma rede elétrica genérica, apontando as vantagens e desvantagens dos 
métodos utilizados.
 Métodos iterativos aplicados a 
sistemas de equações
 Método de Gauss-Seidel
 Método de Newton-Raphson
 Método de Newton-Raphson 
aplicado a sistemas não lineares
 Matrizes de rede
 Matriz de admitâncias nodais 
(matriz Y)
 Matriz de impedâncias nodais 
(matriz Z) 
 Fluxo de carga nos sistemas 
elétricos de potência
 Resolução pelo método de 
Gauss-Seidel
 Resolução pelo método de 
Newton-Raphson
 Resolução pelo método de 
Newton-Raphson desacoplado
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Métodos iterativos aplicados a sistemas de equações
Na análise do fl uxo de carga (ou de potência, como referenciado por alguns 
autores), é comum encontrarmos sistemas extensos e cuja solução analítica 
por métodos diretos, como o método da eliminação de Gauss, se torna inviável, 
uma vez que muitos passos algébricos seriam necessários, mesmo se levando 
em conta aspectos computacionais. 
Um exemplo possível da situação supracitada é um trecho de rede de trans-
missão que abranja determinadas cidades, ou mesmo o estudo de uma rede 
de distribuição de grandes centros urbanos, como São Paulo ou Rio de Janeiro, 
entre outras capitais brasileiras e grandes metrópoles.
Esse problema foi solucionado através do uso de métodos iterativos. No 
caso presente, analisaremos os métodos relativos a Gauss-Seidel e Newton-
-Raphson, além de seu emprego em sistemas elétricos de potência. Para isso, 
considere o seguinte sistema genérico:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn
(1)
Escrevendo as linhas de maneira mais conveniente, temos:
(2)
x1 =
j = 2(b1 - Σ
n a1jxj)
a11
xi =
j ≠ i(bi - Σ
n aijxj)
aii
xn =
j = 1(bn - Σ
n - 1anjxj)
ann
O matemático Carl Gustav Jacobi (1804 - 1851) apresentou os métodos ite-
rativos em que, a partir das equações (2) descritas, supõe-se conhecida uma 
dada aproximação inicial. Convém informar que em sua leitura, o índice supe-
rior indica o número da iteração e o inferior representa a posição da incógnita 
no sistema em pauta. Desta forma, o valor atual de uma dada incógnita é obti-
do das soluções a priori. Matematicamente temos:
x(k + 1) =i
1
aii
aijxj
(k)bi - Σ
j = 1, j ≠ i
n
(3)
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A expressão (3) evidencia a forma genérica de iteração da i-ésima incógnita 
e a iteração k + 1, em que k ∈ ℕ.
Por se tratar de um método cuja solução é aproximada, torna-se necessário 
estabelecer um critério de parada, ou truncamento, em que assegura-se uma 
determinada tolerância ou erro, conforme expresso na Equação (4).
x(k + 1) - xki i < tolerância (4)
Exemplo:
Observe o sistema linear a seguir, considerando uma aproximação inicial à 
seguinte sequência (CUNHA, 2000):
4,00x1 + 0,24x2 - 0,08x3 = 8,00
0,09x1 + 3,00x2 - 0,15x3 = 9,00
0,04x1 - 0,08x2 - 0,15x3 = 20,00
Aplicando (3) temos:
x(k + 1) =1
1
4,00 8,00 - 0,24x
(k) + 0,08x(k)2 3
x(k + 1) =2
1
3,00 9,00 - 0,09x
(k) + 0,15x(k)1 3
x(k + 1) =3
1
4,00 20,00 - 0,04x
(k) + 0,08x(k)1 2
A Tabela 1 mostra as três primeiras iterações a título de exemplifi cação do 
cálculo por meio do método de Jacobi, em que x(k)~ representa a sequência so-
lução aproximada na k-ésima iteração. Já a última coluna representa o erro 
absoluto. A solução exata é dada por:
x =~
1,9092
3,1950
5,0448
x(1)~ x(2)~ x(3)~ x(3) - x~
-
2,00 1,92 1,909 0,2 × 10-3
3,00 3,19 3,1944 0,6 × 10-3
5,00 5,04 5,0466 0,2 × 10-3
2,00
3,003,00
5,005,00
1,92
3,193,19
5,045,04
1,9091,909
3,19443,1944
5,04665,04665,0466
0,2 × 100,2 × 100,2 × 10
0,6 × 100,6 × 10
0,2 × 100,2 × 100,2 × 10-3
TABELA 1. ITERAÇÕES
Fonte: CUNHA, 2000, p. 60. (Adaptado).
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CURIOSIDADE
A utilização da notação matricial em métodos iterativos é importante para 
analisar a convergência das iterações a partir de estudos da matriz dos 
coefi cientes das incógnitas.
O método de Jacobi foi o precursor e a base dos demais métodos iterativos, 
tais como o método de Gauss-Seidel e de Newton-Raphson, que serão apre-
sentados nas próximas seções.
Método de Gauss-Seidel
Até o presente momento, o método clássico de iteração exposto anterior-
mente e conhecido como método de Jacobi utilizava as componentes de x(k)~ para 
calcular as componentes x(k + 1)i e x(k + 1)~ . Entretanto, para i > 1 os valores de x(k)i já fo-
ram calculados e representam aproximações melhores que seus antecessores. 
Desta forma, parece mais razoável utilizar os valores mais recentes das com-
ponentes no cálculo das demais. Este método, conhecido como técnica iterativa 
de Gauss-Seidel, é representado pela Equação (5):
(5)x(k + 1) = 1aii
aijxj
(k + 1) -bi - Σ
j = 1
i - 1
aijxj
(k)Σ
j = 1 + 1
n
A Tabela 2 mostra os procedimentos de cálculo deste algoritmo em um am-
biente computacional.
ALGORITMO: Método de Gauss-Seidel
Dados: A, b, x(0)~
1. Para k = 0 até max, faça
2. Para i = 1 até n, faça
3. x(k + 1) = 1aii
aijxj
(k + 1) -bi -Σ j = 1i - 1 Σ j = 1 + 1n aijxj(k)
4. Se x(k + 1) - x(k)i < tolmax1 ≤ i ≤ n i
5. x = x(k + 1)
6. Caso contrário, se k = max, então
7. Não houve convergência
ijx
(k)
TABELA 2. MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
Fonte: CUNHA, 2000, p. 61. (Adaptado).
FLUXO DE CARGA E ESTABILIDADE 43
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Na Tabela 2, A representa a matriz dos coefi cientes das incógnitas, b é a 
matriz dos termos independentes x(0)~ é a solução inicial, ou ponto de partida, 
da iteração. Para fi ns de comparação dos métodos, e visando a comprovação 
da efi ciência do método de Gauss-Seidel em relação ao de Jacobi, o exemplo 
anterior será utilizado.
Exemplo: 
Observe o sistema linear a seguir, considerando uma aproximação inicial à 
seguinte sequência (CUNHA, 2000):
4,00x1 + 0,24x2 - 0,08x3 = 8,00
0,09x1 + 3,00x2 - 0,15x3 = 9,00
0,04x1 - 0,08x2 - 0,15x3 = 20,00
A Tabela 3 mostra o resultado das três primeiras iterações utilizando 
Gauss-Seidel e na última coluna o erro absoluto da terceira iteração, da mes-
ma maneira que no cálculo que utilizou o método de Jacobi.
TABELA 3. MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
Fonte: CUNHA, 2000, p. 61. (Adaptado).
x(1)~ x(2)~ x(3)~ x(3) - x~
-
2 1,924376 1,909240 0,4 × 10-4
2,94 3,194209 3,194955 0,96 × 10-5
5,0388 5,044640 5,044807 0,6 × 10-6
2
2,942,94
5,03885,0388
1,9243761,9243761,924376
3,1942093,1942093,1942093,194209
5,0446405,0446405,044640
1,9092401,9092401,909240
3,1949553,1949553,194955
5,0448075,0448075,044807
0,4 × 100,4 × 10
0,96 × 100,96 × 100,96 × 10-5
0,6 × 100,6 × 100,6 × 10-6
Importantes conclusões podem ser tiradas a partir desses exemplos:
• Com o mesmo número de iterações, o método de Gauss-Seidel se aproxi-
mou mais da solução exata do que o de Jacobi. Posto isso, é possível assegurar 
que, com o mesmo tempo computacional, obtém-se resultados melhores;
• Embora essa convergência ocorra na maioria das vezes, há situações em 
que o método de Gauss-Seidel irá divergir e o de Jacobi não. Portanto, é impor-
tante analisar a convergência por meio do estudo da matriz A antes de, efetiva-
mente, iniciar os cálculos propriamente ditos.
FLUXO DE CARGA E ESTABILIDADE 44
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Método de Newton-RaphsonEste método é destinado à resolução de sistemas de equações não li-
neares e foi originalmente proposto por Isaac Newton e sistematizado por 
Joseph Raphson, em 1690. Decorre desse fato a origem do nome método de 
Newton-Raphson. Para aplicação desse procedimento, é necessário levar em 
consideração duas ideias básicas: a linearização e a iteração. Agora, ainda 
objetivando a melhor compreensão do método, observe o Gráfi co 1.
GRÁFICO 1. RETAS TANGENTES EM (xi, yi)
Fonte: CUNHA, 2000, p. 77. (Adaptado).
Inicialmente, é necessário linearizar uma curva genérica nas vizinhanças 
de um ponto desejado, utilizando, para isso, o desenvolvimento em série de 
Taylor. Ademais, para que isso seja possível, é preciso tomar os primeiros 
termos desta série. Por se tratar de uma linearização, somente a derivada de 
primeira ordem será utilizada.
Ao considerar o ponto (x0, y0) do Gráfi co 1 e utilizando a série de Taylor, 
obtém-se a reta tangente neste ponto. Posto isso, ao encontrar o ponto de 
intersecção desta reta tangente com o eixo das abscissas obtém-se um novo 
ponto, denominado de x1.
Este processo é repetido outras vezes e a cada nova iteração calcula-se um 
novo ponto, até que a condição de tolerância seja satisfeita. Matematicamente, 
é possível escrever este método da seguinte forma:
(6)xk + 1 = xk - = xk -
yk
ýk
f(xk)
f́ (xk)
x*
y = f(x)
x2 x0x1
θ 
x
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Agora, analise a Tabela 4, que mostra o algoritmo computacional do método 
de Newton-Raphson:
ALGORITMO: Método de Newton-Raphson
Dados: x0, f(x), f΄(x), ε1 e/ou ε2
1. Para k = 1, 2, 3, ..., faça
2. xk = xk - 1 -
f(xk - 1)
f'(xk - 1)
3. Se f(xk) < ε1 então x* = xk
4. ou...
5. Se xk - xk - 1 < ε2 então x* = xk
Para k = 1, 2, 3, ..., façaPara k = 1, 2, 3, ..., façaPara k = 1, 2, 3, ..., façaPara k = 1, 2, 3, ..., faça
x
Para k = 1, 2, 3, ..., faça
 = x
Para k = 1, 2, 3, ..., faça
 - 1 -
f(x
Se 
Para k = 1, 2, 3, ..., faça
f(x
f'(x
f(x
ou...
k - 1)
f'(x
< ε
ou...
Se
1 então
Se
então
k - x
 x* = x
k - 1
 x* = x
< ε entãoentão x* = x x* = xk
TABELA 4. MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
Fonte: CUNHA, 2000, p. 78. (Adaptado).
CURIOSIDADE
Neste método, é importante perceber que temos dois critérios de parada 
de iteração: um em função do zero da função, outro em função da proximi-
dade de valores consecutivos.
Exemplo: 
Utilizando o método de Newton-Raphson, é possível calcular a raiz quadra-
da de 2. Agora, considere a função f(x) = x2 - 2, em que sua derivada de primeira 
ordem é f'(x) = 2x. Eis o gráfi co desta função quadrática:
GRÁFICO 2. FUNÇÃO f(x) = x2 - 2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
X
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
Y =
 f(
x)
FLUXO DE CARGA E ESTABILIDADE 46
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Portanto, utilizando o método de Newton-Raphson, obtém-se a seguinte 
aproximação:
xk + 1 = xk - = xk - = =
f(xk)
f'(xk) 2xk
xk - 2
2
2xk
xk + 2
2
2xk
2xk - xk + 2
2 2
Utilizando o valor inicial x0 = 1, chegaremos aos valores evidenciados na Tabela 5.
Iteração (k) Valor estimado (xk)
1 1,5000000000
2 1,4166666667
3 1,4142156862
4 1,4141135623
5 1,4142135623
1
2
3
1,50000000001,50000000001,5000000000
1,4166666667
5
1,5000000000
1,4166666667
1,4142156862
1,5000000000
1,4166666667
1,4142156862
1,4166666667
1,4142156862
1,4141135623
1,4142156862
1,4141135623
1,4142135623
1,4142156862
1,4141135623
1,4142135623
1,4141135623
1,41421356231,41421356231,4142135623
TABELA 5. CÁLCULO DE 2 UTILIZANDO NEWTON-RAPHSON
Fonte: CUNHA, 2000, p. 76. (Adaptado).
Método de Newton-Raphson aplicado a sistemas
não lineares
Neste tópico, iremos generalizar a aplicação do método de Newton-Ra-
phson para um sistema de equações não lineares que serão importantes, no 
que diz respeito ao cálculo do fl uxo de potência nas redes elétricas. Para isso, 
considere o seguinte sistema de equações, no qual o objetivo é determinar os 
valores das incógnitas:
f1(x1, x2, x3, ..., xn) = 0
f2(x1, x2, x3, ..., xn) = 0
fn(x1, x2, x3, ..., xn) = 0
(7)
x = (x1, x2, ..., xn)~ é um vetor de n elementos e F(x) = (f1(x), f2(x), ..., fn(x))~~ ~ ~ uma fun-
ção vetorial de variável vetorial. Realizando um procedimento análogo ao tra-
tamento dado quando havia somente uma equação não linear, mas agora na 
função vetorial F(x)~ ., é possível determinar que:
F(x) ≃ F(xk) + F'(xk)(x - xk) (8)~ ~ ~ ~ ~
FLUXO DE CARGA E ESTABILIDADE 47
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Da mesma forma, truncamos a expansão em série de Taylor na derivada de pri-
meira ordem, de forma que o processo de linearização é efetuado. Já a matriz F'(xk)~ 
é denominada de Jacobiana de F(x)~ , e seu cálculo é efetuado da seguinte forma:
(9)J(x) = F'(x) =
∂fi(x)
∂xj i × j
~
~ ~
Utilizando (8) e (9), pode-se obter a expressão matemática do método de Newton-
-Raphson para sistemas não lineares, conforme assevera a Equação (10):
xk + 1 = xk - J-1(xk)F(xk) (10)~ ~ ~ ~
Computacionalmente, a inversão de matrizes é muito onerosa e pode to-
mar um tempo precioso de processamento. Sendo assim, é possível recorrer a 
alguns artifícios, como será demonstrado a seguir.
Considere v = xk + 1 - xk~ ~ ~ . Utilizando a Equação (8) obtém-se:
J(xk)v = -F(xk) ⇒ xk + 1 = xk + v (11)~ ~ ~ ~ ~~
Exemplo: 
Utilizando o método de Newton-Raphson, é possível resolver o sistema:
f2(x1, x2) = x1x
2 - x2 - 4 = 03
f1(x1, x2) = 2x
3 - x2 - 1 = 021
Calculando as derivadas parciais destas funções para determinação do Ja-
cobiano, temos:
∂f1
∂x1
∂f1
∂x2
= 6x21 = -2x2
∂f2
∂x1
∂f2
∂x2
= x32 = 3x1x
2 - 12
Logo:
J(x1, x2) =
6x21 -2x2
x32 3x1x
2 - 12
Utilizando como aproximação inicial x0 = (1,2; 1,7)~ :
8,94 -3,4
4,91 9,4
J(x0) =~
-0,4340
0,1956
F(x0) =~
Utilizando a Equação (11) obtém-se:
1,2349
1,6610
x1 =~
FLUXO DE CARGA E ESTABILIDADE 48
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Por fi m, repetindo os passos anteriores para uma nova iteração, temos:
1,2343
1,6615
x2 =~
A Tabela 6 ilustra o algoritmo de cálculo do método de Newton-Raphson 
para sistemas.
ALGORITMO: Método de Newton-Raphson para sistemas
~x
(0); fi, i = 1: n; , i, j = 1: n; ε1, ε2
∂fi
∂xj
Dados:
1. Para k = 1, 2, ..., faça
2. Para i = 1 até n, faça
3. Fi = fi(xk - 1) 
4. Para j = 1:n, faça
5. Jij = (xk - 1)
∂fi
∂xj
6. Resolva o sistema Jv = -F
7. ~xk = xk - 1 + v~ ~
8. Se max
1 ≤ i ≤ n
fi(x
k)~ < ε1 então x* = xk~ ~
9. ou...
10. Se max1 ≤ i ≤ n x
k - xk - 1~~ i i < ε2 então x* = xk~ ~
Para k = 1, 2, ..., k = 1, 2, ..., 
Para i = 1 até n, 
 k = 1, 2, ..., 
Para i = 1 até n, 
faça
Para i = 1 até n, Para i = 1 até n, 
F = f
Para i = 1 até n, faça
 = f = fi = f (x
faça
) 
Para j = 1:n, Para j = 1:n, 
J
Para j = 1:n, 
∂f
Resolva o sistema 
faça
(x∂x∂xj∂x
Resolva o sistema 
)
Resolva o sistema 
 = x
Resolva o sistema 
k - 1 + v
Se 
Resolva o sistema Jv = -F
 + v~
max
1 ≤ i ≤ n
Jv = -F
1 ≤ i ≤ n
f (x
ou...
) < ε1 então
Se max
então
max
1 ≤ i ≤ n
x
 x = x~
 - xk - 1 < ε2 entãoentão = x
TABELA 6. MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON PARA SISTEMAS
Fonte: CUNHA, 2000, p. 84. (Adaptado).
Matrizes de rede
As matrizes de rede que serão estudadas são as denominadas matrizes de 
admitâncias nodais, aqui representadas por Y e baseadas na primeira lei de 
Kirchhoff . Já as matrizes de impedâncias nodais, doravante denominadas de Z, 
são baseadas na segunda lei de Kirchhoff .
FLUXO DE CARGA E ESTABILIDADE 49
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Matrizes de admitâncias nodais (matriz Y)
Antes de tudo, torna-se necessário retomar alguns conceitos básicos da 
teoria de circuitos. Para isso, considere o circuito da Figura 1, na qual está re-
presentado um bipolo passivo.
Figura 1. Elementos de rede. Fonte: ZANETTA, 2005, p. 207. (Adaptado).
Ipq γpq
Vp Vq
P q
Na Figura 1, o bipolo é representado de acordo com a convenção do recep-
tor. As relaçõesentre as grandezas de tensão e correntes elétricas podem ser 
expressas por:
(12)Ipq = ypqVpq
Generalizando conforme a Figura 2, temos que:
Figura 2. Elementos conectados a um nó genérico. Fonte: ZANETTA, 2005, p. 215. (Adaptado).
Ii
Iin
Ii1
Ii0
Ii2
Ii3
Yi1
V1
V2
V3
VnYi0
Yi2
Yi3
Yi4
Vi
FLUXO DE CARGA E ESTABILIDADE 50
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Aplicando as relações de tensão e corrente nas admitâncias:
(1) I1 = Yi1(Vi - V1)
(2) I2 = Yi2(Vi - V2)
(3) I3 = Yi3(Vi - V3)
Generalizando:
(13)In = yin(Vi - Vn)
Aplicando a primeira lei de Kirchhoff ao nó genérico i ilustrado na Figura 2, 
obtém-se a seguinte equação:
Ii = Yij(Vi - Vj) + Yi0Vi = -(Yi1V1 + Yi2V2 + ... + YinVn) + Vi Σ
j = 1
n
Σ
j = 1
n
(Yij + Yi0) (14)
Realizando este procedimento para os demais nós da rede em análise, é 
possível obter a seguinte equação matricial de análise nodal: [I] = [Y ] · [V ].
Em que:
[I]: Vetor das correntes injetadas nos nós
[V]: Vetor das tensões nodais
[Y]: Matriz das admitâncias nodais
Tendo por base a Equação (13) e considerando a Figura 2, é possível estabe-
lecer a seguinte regra de formação da matriz de admitâncias de determinada 
rede elétrica:
y11 y12 y13 y1n
y21 y22 y23 y2n
y31
yn1 yn2 yn3 ynn
Y = , onde: 
yij = -Yij, i ≠ j
yij = yij + Yi0, i = jΣ j = 1
n (15)
Regra básica de formação: na diagonal principal da matriz de admitâncias, 
o termo é composto pela soma de todas as admitâncias que chegam a este nó. 
Fora da diagonal principal, o termo é composto pela soma das admitâncias que 
pertencem aos nós envolvidos, mas com sinal trocado.
Neste ponto, é conveniente introduzir algumas definições que são essenciais:
Admitância de entrada: considere uma barra genérica i. Define-se como 
admitância de entrada a relação entre a corrente injetada nesta barra sobre 
a tensão aplicada nela. Isso ocorre quando todas as demais barras do sistema 
são curto-circuitadas para a barra de referência.
FLUXO DE CARGA E ESTABILIDADE 51
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Yii =
Ii
.
Vi
.
Admitância de transferência: considere as barras i e j de um sistema elé-
trico. Defi ne-se como admitância de transferência entre as barras i e j a relação 
entre a corrente injetada na barra j e a tensão aplicada na barra i, desde que to-
das, menos a i-ésima barra, estejam curto-circuitadas para a barra de referência.
Yji =
Ij
.
Vi
.
Matrizes de impedâncias nodais (matriz Z)
A matriz das impedâncias nodais é dada pela inversão da matriz de admi-
tâncias, logo:
[Z] = [Y]-1 (16)
Entretanto, é importante frisar que, devido ao alto custo computacional exi-
gido na inversão de matrizes, há uma alternativa no que diz respeito à obten-
ção da matriz de impedâncias nodais. Esta opção será elucidada a seguir.
Os elementos da matriz Z são compostos por impedância de entrada e im-
pedância de transferência, defi nidos como:
Impedância de entrada: considerando uma barra genérica i, defi ne-se 
como impedância de entrada a relação entre a tensão aplicada na barra i sobre 
a corrente injetada nesta barra quando as demais barras do sistema são dei-
xadas em aberto.
Zii = Ii
.
Vi
.
Impedância de transferência: considerando duas barras distintas i e j, im-
pedância de transferência é defi nida como a relação entre a tensão na barra j 
sobre a corrente injetada na barra i. Isso ocorre quando as demais são deixa-
das em aberto, menos a i-ésima barra.
Zji = Ii
.
Vj
.
Exemplo: 
Utilizando a defi nição de impedância de entrada e impedância de transfe-
rência, é possível obter a matriz Z de impedâncias nodais do circuito na Figura 3.
FLUXO DE CARGA E ESTABILIDADE 52
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Figura 3. Rede com dois nós. Fonte: KAGAN et al., 2005, p. 309. (Adaptado).
1 2
Z2Z1
Z12
Agora, deve-se construir a matriz de impedância aplicando as definições de im-
pedância de entrada e impedância de transferência. Logo, considere dado o nó 1.
Figura 4. Cálculo da matriz Z pela definição (primeira coluna). Fonte: KAGAN et al., 2005, p. 314. (Adaptado).
Z1 V1 V2 Z2
Z12
1pu
1 2
Primeira coluna
Aplicando a 1ª lei de Kirchhoff ao nó 1: ± Ii = 0Σ i = 1
n
1 = + =z1
V1
.
z12 + z2
V1
.
z1(Z12 + z2)
V1(z12 + z2) + V1Z1
. .
V1(z1 + z2 + z12) = 1 . z1(Z12 + z2)
.
FLUXO DE CARGA E ESTABILIDADE 53
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Portanto: (z1 + z2 + z12)
z1(z12 + z2)V1 = 1
.
(z1 + z2 + z12)
z1z2e V2 = 1
Aplicando as definições de impedância de entrada e de transferência:
Z11 = =
V1
.
I1
.
Vi
.
1 z1 + z2 + z12
Z1(Z12 + Z2)= (impedância de entrada)
Z21 = =
V2
.
I2
. V2
.
1 z1 + z12 + z2
z1z2= (impedância de transferência)
Segunda coluna
Figura 5. Cálculo da matriz Z pela definição (segunda coluna). Fonte: KAGAN et al., 2005, p. 314. (Adaptado).
1pu
21
Z2V2Z1 V1
Z12
Procedendo de forma análoga ao item anterior, temos:
z1 + z2 + z12
z2(z12 + z1)Z22 = z1 + z12 + z2
z1z2e Z21 =
Desta forma, a matriz de impedâncias nodais será:
z1 + z12 + z2
1[Z] =
z1(z12 + z2) z1z2
z1z2 z2(z12 + z1)
Exemplo: 
Considerando o sistema elétrico a seguir, é possível obter a matriz de admi-
tâncias e impedância da rede.
FLUXO DE CARGA E ESTABILIDADE 54
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Figura 6. Diagrama unifilar de uma rede elétrica. Fonte: BENEDITO, [s.d.], p. 10. (Adaptado).
Aplicando os modelos dos dispositivos elétricos como transformadores e 
geradores, obtém-se o diagrama de impedâncias representado na Figura 7.
Figura 7. Diagrama de impedâncias. Fonte: BENEDITO, [s.d.], p. 10. (Adaptado).
1Ea = 1,5∠00
Ec = 1,5∠00
Eb = 1,5∠-36,70
j1,15 + j0,1
j1,15 + j0,1 j0,125
j0,4
j0,25
j0,2
j0,2j1,15 + j0,1
2
3
4
Zt = j 0,1
Zt = j 0,1
Zt = j 0,1
Zg = j 1,15
Z14 = j 0,2
Z13 = j 0,25
Z34 = j 0,125
Z24 = j 0,2
Z23 = j 0,4
Zg = j 1,15
Zg = j 1,15
Ea = 1,5 ∠ 00
Ec= 1,5 ∠ 00
Eb = 1,5 ∠ -36,70
~
~
~
1
3
4
2
.
.
.
FLUXO DE CARGA E ESTABILIDADE 55
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Aplicando o teorema de Norton, obtém-se o diagrama de admitâncias ilustra-
do na Figura 8 e, a partir dele, é possível construir a matriz de admitâncias nodais.
Figura 8. Diagrama de admitâncias. Fonte: BENEDITO, [s.d.], p. 11. (Adaptado).
y1 = -j0,8
I3 = 1,2 - 126,870
y7 = -j8,0
y5 = -j2,5
y2 = -j0,8
y4 = -j4,0
y6 = -j5,0
y8 = -j5,0
y3 = -j0,8
0
1
2
3
4
I1 = 1,2 - 900
I3 = 1,2 - 900
Construção da matriz de admitâncias nodais
Aplicando a regra de formação da matriz de admitância Y, temos:
-j9,8 0,0 j4,0 j5,0
0,0 -j8,3 j2,5 j5,0
j4,0 j2,5 -j15,3 j8,0
j5,0 j5,0 j8,0 -j18,0
Y =
.
.
.
FLUXO DE CARGA E ESTABILIDADE 56
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Construção da matriz de impedâncias nodais
Z = Y-1
j0,47774 j0,3706 j0,4020 j0,4142
j0,3706 j0,4872 j0,3922 j0,4126
j0,4020 j0,3922 j0,4558 j0,4232
j0,4142 j0,4126 j0,4232 j0,4733
Z =
Fluxo de carga nos sistemas elétricos de potência
O objetivo principal desta análise para o engenheiro elétrico é, através de 
cálculo das grandezas de interesse, determinar as condições operacionais de 
determinado sistema elétrico, seja ele de pequeno ou grande porte.
Nesta análise os consumidores, como indústrias, comércio, residências, ci-
dades, entre outros, e os produtores, como as usinas, serão representados por 
barras que recebem os nomes de barras de carga e barras de geração, respec-
tivamente. Elas são representadas pela Figura 9.
Figura 9. Representação genérica de uma barra. Fonte: ZANETTA, 2005, p. 244. (Adaptado).
Pi + jQi
Ii
Vi 0i
As grandezas de interesse na análise do fl uxo de potência são V, θ, P, Q, re-
presentadas em preto. A corrente I está em vermelho e indica uma grandeza 
que pode variar de acordo com a demanda solicitada e, por isto, não é levada 
em conta no cálculo do fl uxo de potência.
FLUXO DE CARGA E ESTABILIDADE 57
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