METODO~1

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MINISTÉRIO DA DEFESA
EXÉRCITO BRASILEIRO
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
CURSO DE MESTRADO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
THIAGO HENRIQUE SANCHES BOSSA
METODOLOGIA BASEADA EM TESTES DE RESPOSTA EM
FREQUÊNCIA PARA AVALIAÇÃO DE ESTABILIZADORES DE
SISTEMAS DE POTÊNCIA
Rio de Janeiro
2011
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
THIAGO HENRIQUE SANCHES BOSSA
METODOLOGIA BASEADA EM TESTES DE RESPOSTA EM
FREQUÊNCIA PARA AVALIAÇÃO DE ESTABILIZADORES DE
SISTEMAS DE POTÊNCIA
Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso de
Mestrado em Engenharia Elétrica do Instituto Militar
de Engenharia, como requisito parcial para obtenção do
t́ıtulo de Mestre em Ciências em Engenharia Elétrica.
Orientador: TC Paulo César Pellanda, Dr. ENSAE
Co-orientador: Nelson Martins, Ph. D.
Rio de Janeiro
2011
c2011
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
Praça General Tibúrcio, 80-Praia Vermelha
Rio de Janeiro-RJ CEP 22290-270
Este exemplar é de propriedade do Instituto Militar de Engenharia, que poderá inclúı-
lo em base de dados, armazenar em computador, microfilmar ou adotar qualquer forma
de arquivamento.
É permitida a menção, reprodução parcial ou integral e a transmissão entre bibliotecas
deste trabalho, sem modificação de seu texto, em qualquer meio que esteja ou venha a
ser fixado, para pesquisa acadêmica, comentários e citações, desde que sem finalidade
comercial e que seja feita a referência bibliográfica completa.
Os conceitos expressos neste trabalho são de responsabilidade do autor e dos orienta-
dores.
B745m Bossa, Thiago Henrique Sanches
Metodologia Baseada em Testes de Resposta em Fre-
quência para Avaliação de Estabilizadores de Sistemas
de Potência, Thiago Henrique Sanches Bossa. – Rio de
Janeiro: Instituto Militar de Engenharia, 2011.
98 p.:il.
Dissertação: (mestrado) – Instituto Militar de Enge-
nharia, Rio de Janeiro, 2011.
1. Engenharia Elétrica – dissertação. 2. Sistemas de
potência. 3. Estabilizadores de potência. I. T́ıtulo. II.
Instituto Militar de Engenharia.
CDD 621.317
2
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
THIAGO HENRIQUE SANCHES BOSSA
METODOLOGIA BASEADA EM TESTES DE RESPOSTA EM
FREQUÊNCIA PARA AVALIAÇÃO DE ESTABILIZADORES DE
SISTEMAS DE POTÊNCIA
Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso de Mestrado em Engenharia Elétrica
do Instituto Militar de Engenharia, como requisito parcial para obtenção do t́ıtulo de
Mestre em Ciências em Engenharia Elétrica.
Orientador: TC Paulo César Pellanda, Dr. ENSAE
Co-orientador: Nelson Martins, Ph. D.
Aprovada em 28 de janeiro de 2011 pela seguinte Banca Examinadora:
TC Paulo César Pellanda, Dr. ENSAE do IME - Presidente
Nelson Martins, Ph. D. do CEPEL
Cap Alberto Mota Simões, Dr. ENSAE do IME
Prof. Aguinaldo Silveira e Silva, Ph. D. da UFSC
Rio de Janeiro
2011
3
Este trabalho é dedicado... À minha famı́lia, meus
amados pais Edson Bossa e Servina Sanches Bossa
e meu irmão Diogo Henrique Sanches Bossa. Eles
foram exemplos de perseverança, honestidade e com-
petência, me apoiando e incentivando nos momen-
tos mais dif́ıceis com muito amor e compreensão. À
minha futura esposa, Priscila Machado de Araújo,
pelo amor dedicado a mim.
4
AGRADECIMENTOS
Antes de tudo a DEUS, principalmente por me ter concedido a honra de ter tra-
balhado e convivido com profissionais do mais alto grau de competência, seriedade e
simplicidade, que permitiu desenvolver esta dissertação com grande prazer e satisfação
pessoal e profissional.
Ao meu orientador, TC Prof. Paulo César Pellanda, pela atenção e profissionalismo
com que acompanhou a realização deste trabalho, além da oportunidade de mestrado
incialmente oferecida a mim.
Ao meu co-orientador, Dr. Nelson Martins, pela atenção e profissionalismo com que
acompanhou a realização deste trabalho, sobretudo, pela grande amizade e incentivo que
muito contribúıram para que eu o conclúısse com êxito.
A todos os professores e funcionários do Departamento de Engenharia Elétrica do
Instituto Militar de Engenharia que, de alguma forma, contribúıram para a realização
deste trabalho.
À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nı́vel Superior (CAPES) pelo apoio
financeiro.
À meus pais Edson e Nina, e meu irmão Diogo, que, mesmo à distância, foram
verdadeiras fontes de apoio e inspiração.
Finalmente, um agradecimento muito especial à minha noiva Priscila, companheira
idônea, pelo incansável, compreensivo e amoroso apoio na realização deste trabalho.
5
”[...] se vi mais longe, foi porque estava sobre os om-
bros de gigantes.”(Isaac Newton).
6
SUMÁRIO
LISTA DE ILUSTRAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
LISTA DE TABELAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
LISTA DE ABREVIATURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1 Contexto e Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 Organização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 ESTUDO DA ESTABILIDADE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA . 21
2.1 Introdução à Estabilidade dos Sistemas de Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1 Conceito de Sistema Elétrico de Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2 Questão da Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.3 Estabilidade de Ângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.4 Estabilidade a Pequenos Sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Modelo Máquina Barra Infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1 Máquina Śıncrona: Modelo Clássico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2 Máquina Śıncrona: Fluxo de Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.3 Adição do Sistema de Excitação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.4 Efeito do Estabilizador de Sistema de Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Modelo Multimáquina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.1 Abordagem Tradicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.2 Abordagem para Sistemas de Grande Porte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 CANAL DE PERTURBAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1 Conceituação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Aplicação ao Gerador Śıncrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Aplicação a um Caso Clássico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4 Exemplo Gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4.1 Sistema I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.2 Sistema II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7
3.4.3 Análise dos SistemasExemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4 MODELAGEM DE UMA USINA MULTIGERADORES . . . . . . . . . 48
4.1 Modelo Usina Multigeradores Barra Infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2 Modelo em Espaço de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3 Transformação de Similaridade Modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4 Canal de Perturbação Multivariável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.5 Transformação Modal da Matriz de Transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.6 Analogia com Impedâncias de Sequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.7 Abordagem por Zeros Multivariáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.7.1 Modo Gerador Agregado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.7.2 Modo Intraplanta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5 PROPOSTA DE ENSAIO DE CAMPO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.1 Prática Atual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2 Teste Proposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2.1 Diagrama do Ensaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2.2 Fundamentação Teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6 RESULTADOS DO ENSAIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.1 Teste de Campo Realizado na UHE Itaipu 60 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.1.1 Rúıdo nos Sinais Medidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.1.2 Descrição do SIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.2 Resposta de cada Gerador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.3 Modo Gerador Agregado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.4 Modo Intraplanta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.5 Análise de Sensibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.6 Análise de Robustez a Assimetrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.6.1 Assimetria Localizada em Unidades Externas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.6.2 Assimetria Localizada na Unidade Interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8
9 APÊNDICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.1 APÊNDICE 1: Zeros Multivariáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.2 APÊNDICE 2: Sistema Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.2.1 Modelagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.2.2 Modelo em Espaço de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9.2.3 Transformação de Similaridade Modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9.2.4 Transformação de Similiaridade em Frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.2.5 Aplicação dos Zeros Multivariáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.2.5.1Modo Gerador Agregado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.2.5.2Modo Intraplanta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
9.2.6 Proposta de Ensaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
9
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
FIG.2.1 Controles associados ao sistema de potência: em negrito, a malha
de controle objeto de estudo deste trabalho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
FIG.2.2 Classificação da estabilidade de um sistema de potência: em negrito,
o ramo objeto deste estudo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
FIG.2.3 a) Sistema de potência em estudo e seu respectivo b) modelo SMIB
(Máquina Barra Infinita). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
FIG.2.4 Representação das componentes do torque elétrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
FIG.2.5 Sistema equivalente utilizando modelo clássico de gerador. . . . . . . . . . . . . 29
FIG.2.6 Diagrama de blocos representando a máquina śıncrona. . . . . . . . . . . . . . . 31
FIG.2.7 Sistema de excitação simplificado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
FIG.2.8 Representação da máquina śıncrona e do sistema de excitação. . . . . . . . . 33
FIG.2.9 Representação da máquina śıncrona e seus controles. . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
FIG.2.10 Representação da máquina śıncrona e seus controles utilizando con-
ceito de GEP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
FIG.2.11 Estrutura de um PSS t́ıpico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
FIG.2.12 Estrutura do modelo multimáquina de um sistema de potência,
onde * denotam equações algébricas e ** equações diferenciais. . . . . . . . 37
FIG.3.1 Sistema canônico com canal de perturbação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
FIG.3.2 Diagrama de blocos do canal de perturbação referente a um gerador
śıncrono e seu PSS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
FIG.3.3 a)–b) Sistema Máquina Barra infinita (SMIB) e sua c) represen-
tação em diagrama de blocos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
FIG.3.4 Sistema exemplo I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
FIG.3.5 Sistema exemplo II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
FIG.3.6 a) Gráfico de módulo para ambos os sistemas em malha fechada:
HIzw e H
II
zw. b) Fase do Sistema I. c) Fase do Sistema II. Mapas de
polo-zero para d) Sistema I e e) Sistema II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
FIG.4.1 Usina multigeradores conectada a uma barra infinita através de
uma impedância (MPIB). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
10
FIG.4.2 Diagrama de blocos multivariável do sistema MPIB destacando a
chave (F), que promove a abertura virtual simultânea dos laços
de torque de amortecimento mecânico de todas as UGs. . . . . . . . . . . . . . 50
FIG.4.3 Circuito elétrico do sistema MPIB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
FIG.5.1 Diagrama de um ensaio de campo convencional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
FIG.5.2 Gráfico de resposta em frequência de VT1(s)/VREF1(s) para um ger-
ador agregado (-.-.-), para o gerador #1 de uma usina de n-
unidades, com n = 2 ( ), n = 4 (—), n = 10 (-.-.-) e para umaúnica unidade (1/10 do tamanho do gerador agregado) conectado
a uma barra infinita (equivalente ao modo intraplanta) (· · · ). . . . . . . . 64
FIG.5.3 Diagrama esquemático do ensaio de campo proposto. . . . . . . . . . . . . . . . . 65
FIG.6.1 a) VPSSd1 e RVPSSd1 . b) VPSS1 e RVPSS1,VPSSd1 . c) VPSS2 e 10 ×
RVPSS2,VPSSd1 ; A curva (—) é o sinal não-tratado, enquanto ( ) é
o sinal filtrado; o sinal senoidal aplicado é de 0.5 Hz. d) VPSS2 e
RVPSS2,VPSSd1 para um sinal senoidal de 2 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
FIG.6.2 Diagrama geográfico do SIN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
FIG.6.3 Diagrama simplificado de Itaipu 60 Hz e 50 Hz e suas interligações
com o SIN. Os valores em preto indicam capacidade máxima de
geração/transformação, enquanto que os dados em vermelho in-
dicam o carregamento aproximado durante o ensaio. . . . . . . . . . . . . . . . . 71
FIG.6.4 Gráfico de resposta em frequência de P (s) = VPSS1(s)/VPSSd1(s)
obtidos de simulações (—) e ensaio de campo (F). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
FIG.6.5 Gráfico de resposta em frequência de T (s) = VPSS2(s)/VPSSd1(s)
obtidos de simulações (—) e ensaio de campo (F). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
FIG.6.6 Gráfico de resposta em frequência de Hagzw(s) obtido de simula-
ções (—), ensaio de campo (F) e um ajuste de curvas de 2a or-
dem (-.-.-). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
FIG.6.7 Gráfico de resposta em frequência de H ipzw(s) obtido de simula-
ções (—), ensaio de campo (F) e um ajuste de curvas de 3a or-
dem (-.-.-). Foi inclúıdo também o gráfico de resposta em frequên-
cia de P (s) obtido via ensaio de campo (|.|.|.|), contido na FIG. 6.4. . . . . 75
FIG.6.8 Resultados simulados para polos de malha aberta (sem PSS) (⃝),
11
suas sensibilidades à adição de PSSs com ganhos incrementais (→)
e polos de malha fechada (com PSS) associados (×). . . . . . . . . . . . . . . . 76
FIG.6.9 Gráfico de resposta em frequência de Hagzw(s) obtido de simulações
usando modelo simétrico (—) e modelo com assimetria na unidade
externa (-.-.-). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
FIG.6.10 Gráfico de resposta em frequência de Hagzw(s) obtido de simulações
usando carregamento simétrico instável ( ) e para unidade per-
turbada com um carregamento 20% menor (—). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
FIG.9.1 Usina 3-unidades conectada a uma barra infinita através de uma
impedância (3PIB). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
FIG.9.2 Circuito elétrico do sistema 3PIB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
FIG.9.3 Diagrama de blocos de uma usina 3-geradores, destacando entradas
e sáıdas dos canais de perturbação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
12
LISTA DE TABELAS
TAB.1.1 Evolução do SIN (ONS – OPERADORNACIONAL DO SISTEMA,
2008) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
TAB.2.1 Comportamento do torque elétrico gerado pelo sistema de exci-
tação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
TAB.3.1 Polos, zeros de Hzw(s) e respostas em frequência dos sistemas ex-
emplos de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
TAB.6.1 Desempenho da usina de Itaipu 60 Hz no SIN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
TAB.6.2 Desempenho do modo intraplanta da usina de Itaipu 60 Hz. . . . . . . . . . . 74
TAB.9.1 polos e zeros relativos a direção do modo agregado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
TAB.9.2 polos e zeros relativo a direção do modo intraplanta. . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
13
LISTA DE ABREVIATURAS
ABREVIATURAS
3PIB - 3-generator Power plant Infinite Bus
CEPEL - Centro de Pesquisas em Energia Elétrica
DFT - Discrete Fourier Transform
FACTS - Flexible AC Transmission System
FT - Função de Transferência
FTMA - Função de Transferência de Malha Aberta
FTMF - Função de Transferência de Malha Fechada
HVDC - High Voltage Direct Current
IDZ - Input Decoupling Zero
MIMO - Multiple input - Multiple output
MPIB - Multigenerator Power plant Infinite Bus
ODZ - Output Decoupling Zero
POD - Power Oscillation Damping
PSS - Power System Stabilizer
pu - por unidade
SEP - Sistema Elétrico de Potência
SIN - Sistema Interligado Nacional
SISO - Single Input - Single Output
SIMO - Single Input - Multiple Output
SMIB - Single-Machine Infinite Bus
SNR - Signal-to-Noise Ratio
SVC - Static Var Compensator
TCSC - Thyristor Controlled Series Capacitor
UG - Unidade Geradora
UHE - Usina Hidroelétrica
14
RESUMO
Este trabalho propõe uma nova metodologia de ensaio de campo para verificar a efe-
tividade dos estabilizadores de potência (PSS) no amortecimento dos modos de oscilação
eletromecânica em usinas multigeradores. A proposta se fundamenta na extensão multi-
variável do conceito de canal de perturbação, proposto teoricamente para uma formulação
SISO. O conceito permite verificar o desempenho de um gerador tanto em malha aberta
(sem o PSS) quanto em malha fechada (com PSS) por meio de medições em malha fechada,
enquanto sua formulação MIMO permite a determinação independente dos modos gerador
agregado e intraplanta de uma usina multigeradores.
O teste de campo foi conduzido pela primeira vez na UHE Itaipu 60 Hz em 2008, que
envolveu um teste de resposta em frequência em duas unidades geradoras, consistindo na
aplicação de sinais no sistema de excitação de um dos geradores com respectivas medições
no próprio gerador e num gerador vizinho.
As funções de transferência referentes aos canais de perturbação de ambos geradores
foram identificadas e os modos gerador agregado e intraplanta foram determinados. As
respostas obtidas do ensaio de campo concordaram com os resultados de simulação com-
putacional, validando a metodologia de ensaio. Os resultados do ensaio confirmaram a
efetividade dos PSSs de Itaipu 60 Hz em amortecer adequadamente o modo de oscilação
dominante da usina (modo gerador agregado), além de revelar que a usina teria um de-
sempenho oscilatório inaceitável caso os PSSs fossem desativados. Adicionalmente, os
resultados também indicaram que o atual ajuste do PSS não altera significativamente o
amortecimento do modo intraplanta, mantendo seu desempenho em ńıveis adequados.
Uma análise de sensibilidade, baseada em simulações, foi realizada para verificar se
a nova proposta de ensaio é robusta a posśıveis violações na simetria da planta, que é
uma das premissas básicas do método. Os resultados confirmaram que o novo ensaio de
campo é significativamente robusto a desvios em parâmetros e carregamentos que existem
na prática, sendo seguramente recomendado em aplicações práticas.
15
ABSTRACT
This work proposes a new field test technique to adequately assess the oscillation
damping effectiveness of the power system stabilizer (PSS) in a multigenerator power
plant. This proposal is based on the multivariable extension of the disturbance channel
concept, theoretically designed for a SISO formulation. This concept allows assessing
both open-loop (without PSS) and closed-loop (with PSS) responses from closed-loop
measurements, while its MIMO formulation allows the separate identification of both
aggregate and intraplant behaviors.
The field test was first carried out at the Itaipu 60 Hz power station in 2008, which
involved a SIMO frequency response test in two generating units, consisting in the injection
of a series of sinusoids in the excitation system of a generating unit and the measurement
of determined output inthe same unit and in a neighbor generator.
The transfer functions relating the disturbance channels of the two generators were
identified, and the aggregate and intraplant modes were determined. The results obtained
from field tests showed a good match with the ones obtained from simulations, validating
the test methodology. The field test results confirmed the effectiveness of the Itaipu 60 Hz
PSSs in damping the dominant oscillation mode (aggregate generator mode), as well as
it revealed that the power plant would have an unacceptable damping performance if all
PSSs were disabled. In addition, the results also indicate that the current PSS setting
does not change significatively the characteristics of the intraplant mode.
A sensitivity analysis, based on computer simulations, was also carried out to verify
whether the new field test is robust to possible violations in plant symmetry, which is
one the method’s basic assumption. The results confirmed that the new field test is quite
resilient to the parameter and dispatch imbalances that exist in practice and, therefore,
can be safely recommended for wider practical use.
16
1 INTRODUÇÃO
1.1 CONTEXTO E MOTIVAÇÃO
Com o crescimento dos sistemas elétricos de potência, houve a necessidade de am-
pliação da capacidade de geração de energia, a qual demandava a integração dos novos
parques geradores, geralmente distantes dos centos de carga. Exemplos desses casos são
as usinas térmicas mine mouth (“boca de mina”), que eram instaladas próximas às minas
de carvão, e das usinas hidrelétricas, constrúıdas em lugares com maior aproveitamento
hidráulico. Com o ińıcio da operação dessas novas usinas e de suas respectivas longas
linhas de transmissão, foram observadas as primeiras oscilações eletromecânicas.
Com o aumento da importância da confiabilidade de um SEP, a capacidade dos sis-
temas de potência em suportar contingências era um critério de projeto, motivando o
uso de diversos equipamentos e sistemas de controle que maximizassem a capacidade de
transmissão da energia gerada (ROGERS, 2000b).
Dentre os sistemas de controle utilizados num SEP, destaca-se o regulador de tensão
(Automatic Voltage Regulator – AVR), devido à sua grande influência na estabilidade tran-
sitória de um gerador, recebendo ainda mais importancia com o advento das excitatrizes
estáticas que, por serem rápidas e possuirem um alto ganho, aumentaram significativa-
mente a capacidade do sistema em suportar contingências severas.
Entretanto, a ação desse tipo de regulador de tensão introduzia amortecimento ne-
gativo às oscilações quando os geradores se encontravam altamente carregados e com
interconexões fracas, provocando desligamentos das interligações minutos depois de os ge-
radores terem suportado uma contingência. Esta é uma situação operativa caracteŕıstica
dos sistemas elétricos dos EUA e Canadá (PAL, 2005), bem como do sistema brasileiro,
que possuem grandes parques geradores conectados aos centros de carga por longas linhas
de transmissão, destacando o caso brasileiro da usina de Itaipu.
A alternativa encontrada foi introduzir sinais de controle adicionais nas referências de
alguns reguladores de tensão, com a finalidade de adicionar um torque de amortecimento
positivo aos geradores. O controlador que produz tal sinal é denominado estabilizador de
sistemas de potência (Power System Stabilizer – PSS), cujo sinal de realimentação classi-
17
camente utilizado é a velocidade do rotor, apesar de existirem outras variações (KUNDUR,
1994).
Desde então, os PSSs, com ajustes apropriados, têm praticamente eliminado proble-
mas de oscilação eletromecânica, aumentando consideravalmente os limites seguros de
transmissão de potência ativa. Esses controladores foram aplicados no setor de 60 Hz na
usina de Itaipu em 1991.
O ajuste dos PSSs das unidades geradoras de Itaipu 60 Hz foi realizado aplicando
a metodologia mais utilizada na época, que considerava a representação do sistema de
potência pelo modelo máquina barra infinita (Single Machine Infinite Bus – SMIB), des-
crito em (DE MELLO, 1969). O ajuste era validado por ensaios convencionais (LEE,
1980; LARSEN, 1981; BERUBE, 2007; KUNDUR, 1989, 2003; ROGERS, 2000a).
Esse ajuste eliminou a ocorrência de oscilações pouco amortecidas na usina e apresen-
tou um bom desempenho frente a perturbações. Em 1998, o ajuste implantado foi avaliado
com a análise da estabilidade a pequenos sinais, em um modelo multimáquinas, pelo uso
do programa PacDyn, do CEPEL, também apresentando bom desempenho. Desde então,
o Sistema Interligado Nacional (SIN) teve sua configuração alterada significativamente
(TAB. 1.1), com novas interligações importantes (destacando a entrada em operação do
terceiro circuito Foz do Iguaçu-Ivaiporã 765 kV) e posśıveis reflexos nos modos de os-
cilações locais e inter-áreas do sistema.
TAB. 1.1: Evolução do SIN (ONS – OPERADOR NACIONAL DO SISTEMA, 2008)
Elementos modelados SIN em 1998 SIN em 2007
Barras 2380 3647
Linhas 3450 5175
Máquinas 124 191
PSS 52 102
Cargas não-lineares 2536 3639
Apesar dessas alterações, o desempenho dinâmico do setor de 60 Hz de Itaipu tem sido
satisfatório, como bem mostrou (DA SILVA, 2006), o que não descarta a possibilidade de
serem reavaliados.
Assim, houve a necessidade de avaliar os efeitos que a evolução do sistema elétrico
teve no desempenho dinâmico da usina, com o intuito de determinar a necessidade de
se melhorar os ajustes dos PSSs de Itaipu 60 Hz, de forma a aumentar os limites de
estabilidade desta importante interligação do SIN.
O trabalho desenvolvido por (MARTINS, 2007) sugeriu uma nova metodologia de
18
análise da efetividade de controladores por realimentação (introduzindo o conceito de canal
de perturbação), contemplando o caso da análise de efetividade de PSSs. No entanto, a
metodologia foi aplicada somente em ambiente de simulação, e ainda representava cada
usina por um único gerador equivalente. Uma vez que a usina de Itaipu 60 Hz continha 10
unidades em paralelo, a metodologia proposta teve que ser estendida ao caso de múltiplas
unidades antes da sua aplicação em uma planta real, por meio de um ensaio de campo.
Este trabalho foi desenvolvido nesse contexto, onde a abordagem de (MARTINS, 2007)
foi não só estendida ao caso multigeradores como aplicada à usina de Itaipu 60 Hz com
êxito, introduzindo uma nova metodologia de ensaio de campo, que apresenta inúmeras
vantagens em relação aos métodos de ensaio convencionais.
1.2 OBJETIVOS
Este trabalho visa apresentar uma nova metodologia de ensaio de usinas multigeradores
bem como os resultados da sua aplicação ao caso da usina de Itaipu 60 Hz, ao mesmo
tempo que procura construir sua fundamentação teórica de maneira didática, por meio
do cumprimento sequencial dos seguintes objetivos intermediários:
• apresentar conceitos básicos da estabilidade eletromecânica de sistemas de potência;
• descrever detalhadamente a metodologia proposta em (MARTINS, 2007);
• estender a formulação de (MARTINS, 2007) para o caso de uma usina com múltiplas
unidades geradoras;
• formular uma proposta de ensaio a partir da aplicação da nova metodologia;
• descrever as condições de realização do ensaio em Itaipu 60 Hz;
• apresentar os resultados do ensaio e compará-los com os obtidos via simulação com-
putacional.
Os principais resultados e contribuições deste trabalho foram aceitos para publicação
em periódico cient́ıfico internacional (BOSSA, 2011).
19
1.3 ORGANIZAÇÃO
No Caṕıtulo 2 são apresentados alguns conceitos básicos de estabilidade de sistemas
de potência, bem como os principais modelos dinâmicos utilizados na análise de estabi-
lidade eletromecânica. No Caṕıtulo 3 é abordado o conceito do canal de perturbação,
desenvolvido por (MARTINS, 2007). No Caṕıtulo 4 é apresentada a extensão doconceito
do canal de perturbação para o caso de uma usina contendo múltiplas unidades gerado-
ras. No Caṕıtulo 5 é apresentada a proposta de ensaio. No Caṕıtulo 6 são avaliados os
resultados da aplicação da metodologia proposta na UHE de Itaipu 60 Hz. Conclusões e
comentários finais são apresentados no Caṕıtulo 7. O Apêndice traz uma breve descrição
sobre o conceito de zeros multivariáveis, bem como a aplicação da metodologia proposta
a um sistema exemplo simbólico, para fins didáticos.
20
2 ESTUDO DA ESTABILIDADE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Um sistema elétrico de potência (SEP) é composto por uma infinidade de elemen-
tos dinâmicos, tais como máquinas śıncronas, sistemas de excitação, SVCs, TCSCs, etc.
Para o estudo da estabilidade de um SEP, este deve ser modelado matematicamente de
forma a representar adequadamente a dinâmica dos elementos de interesse. Uma vez
que este trabalho está contido na área de estabilidade eletromecânica, torna-se necessário
definir, descrever e justificar a modelagem utilizada na formulação e análise do desem-
penho dinâmico de uma usina conectada a um SEP, que é o alvo deste caṕıtulo. Também
é apresentada, inicialmente, uma breve resenha acerca dos principais conceitos de estabi-
lidade de um SEP.
2.1 INTRODUÇÃO À ESTABILIDADE DOS SISTEMAS DE POTÊNCIA
2.1.1 CONCEITO DE SISTEMA ELÉTRICO DE POTÊNCIA
Um SEP tem a função básica de disponibilizar energia elétrica aos consumidores de
forma segura, confiável e economicamente viável. Os SEPs variam em tamanho e comple-
xidade, porém todos consistem basicamente em múltiplas fontes geradoras conectadas a
cargas por uma complexa rede de transmissão, que transmite energia por grandes distân-
cias, com a finalidade de abastecer consumidores espalhados numa grande área. Entre-
tanto, um SEP deve ser projetado e operado de forma a atender a requisitos fundamentais,
destacados por (KUNDUR, 1994):
• deve ser capaz de atender uma demanda variável, sendo necessário possuir reservas
de potência ativa e reativa nos geradores e equipamentos, pois a energia elétrica não
pode ser armazenada em quantidades significativas;
• o sistema deve suprir energia a um mı́nimo custo e menor impacto ecológico;
• o fornecimento de energia deve atingir padrões mı́nimos de qualidade.
A qualidade da energia elétrica é verificada através da avaliação de algumas carac-
teŕısticas da energia fornecida, sendo as principais:
21
• constância de frequência;
• constância de tensão;
• grau de confiabilidade.
Para atender a estes padrões de qualidade são empregados vários ńıveis de controle,
envolvendo um arranjo complexo de equipamentos. A FIG. 2.1 identifica os vários sub-
sistemas de um sistema de potência e os controles associados aos equipamentos.
FIG. 2.1: Controles associados ao sistema de potência: em negrito, a malha de controle
objeto de estudo deste trabalho.
2.1.2 QUESTÃO DA ESTABILIDADE
Estabilidade de um SEP é a propriedade desse sistema de retornar a um ponto de
equiĺıbrio (ponto de operação) depois de ser submetido a uma perturbação. Essa carac-
22
teŕıstica depende da configuração do SEP, do seu ponto inicial de operação e do tipo de
perturbação.
Tradicionalmente, o problema de estabilidade consiste em manter a operação śıncrona
do sistema, pois para a operação satisfatória do sistema, todos os geradores de energia
elétrica (máquinas śıncronas) devem permanecer sincronizados. No entanto, instabilidade
pode ocorrer sem perda de sincronismo, como é o caso do colapso de tensão.
Para a avaliação da estabilidade de um SEP, é verificado o comportamento do sistema
quando submetido a uma perturbação. Pequenas perturbações na forma de variações de
carga ocorrem constantemente no sistema e este deve ser capaz de abastecer o máximo de
carga posśıvel operando de maneira segura sob essas condições. O SEP também deve ser
capaz de suportar perturbações mais severas, tais como perda de um grande gerador ou
carga, perda de interligação entre subsistemas, curto-circuito em linhas de transmissão,
entre outros.
A estabilidade de um SEP é extremamente complexa quando abordada como um único
problema, sendo impraticável sua modelagem e estudo. Portanto, tornou-se necessária a
classificação da estabilidade em categorias, permitindo uma melhor análise do problema,
identificação dos fatores que mais contribuem para a instabilidade e a formação de métodos
que aperfeiçoem a operação estável do sistema.
A FIG. 2.2 representa a classificação do problema da estabilidade de um SEP, elabo-
rada segundo os seguintes critérios:
• natureza f́ısica da instabilidade (ex: ângulo ou tensão);
• magnitude da perturbação (ex: grande ou pequena);
• dispositivos, processos e tempo de análise que devem ser considerados para deter-
minar a estabilidade;
• método mais apropriado para cálculo e predição da estabilidade.
2.1.3 ESTABILIDADE DE ÂNGULO
A ocorrência de alguma perturbação no sistema, como por exemplo a perda de uma
linha de transmissão, muda a topologia do sistema alterando significativamente a potência
elétrica fornecida pelo gerador ligado a esta linha, criando assim desbalanço entre a potên-
cia elétrica fornecida pelo gerador e a potência mecânica aplicada ao rotor da máquina.
23
FIG. 2.2: Classificação da estabilidade de um sistema de potência: em negrito, o ramo
objeto deste estudo.
Esse desbalanço causa aceleração ou desaceleração no rotor da máquina, provocando uma
variação no seu ângulo interno que, se for suficientemente grande, leva o gerador a um
ponto de operação instável sendo necessário desconectá-lo do sistema.
A estabilidade de ângulo do rotor é a capacidade das máquinas śıncronas de um SEP
de permanecerem em sincronismo. O problema da estabilidade envolve o estudo das os-
cilações eletromecânicas inerentes a um sistema de potência. Por conveniência de análise,
é comum classificar a estabilidade de ângulo do rotor em duas categorias: estabilidade
transitória e estabilidade a pequenos sinais.
A estabilidade transitória está relacionada com a capacidade do sistema de manter
o sincronismo quando submetido a uma perturbação severa (ex: perda de interligações,
curto-circuito em grandes transformadores). Neste caso, a resposta do sistema envolve
grandes excursões angulares do rotor sendo influenciado significativamente pela relação
24
não-linear potência-ângulo.
A estabilidade a pequenos sinais é a propriedade do sistema suportar pequenas per-
turbações mantendo o sincronismo. Neste tipo de análise, o sistema de equações que
descrevem a resposta do sistema podem ser linearizadas em torno do ponto de operação,
facilitando a análise dos fatores que influenciam na estabilidade do sistema.
2.1.4 ESTABILIDADE A PEQUENOS SINAIS
Os SEPs são continuamente excitados por pequenas perturbações (e.g. pequenas
variações de carga do sistema) e devem manter o sincronismo frente a essas variações.
Uma vez que as equações utilizadas para representar a dinâmica do sistema são lineares,
a estabilidade de ângulo de um gerador pode ser avaliada a partir do comportamento do
seu torque elétrico incremental (2.1).
∆Te , KeS∆δ︸ ︷︷ ︸
∆TeS
+KeD∆ω︸ ︷︷ ︸
∆TeD
(2.1)
A constante KeS é o coeficiente da componente da variação do torque elétrico que
está em fase com a variação do ângulo do rotor (∆δ). Esta componente é denominada
de torque sincronizante e diz respeito à intensidade com a qual as máquinas tendem
a restabelecer o equiĺıbrio. O coeficiente KeD representa a componente do torque que
está em fase com o desvio de velocidade do rotor (∆ω), sendo denominado torque de
amortecimento, responsável por amortecer as oscilações entre os rotores dos geradores até
que estes atinjam um ponto de equiĺıbrio.
A estabilidade do sistema depende da existênciade ambas componentes de torque
para cada uma das máquinas śıncronas (STEVENSON JR., 1982). A falta de torque
sincronizante suficiente resulta em instabilidade monotônica, com o aumento progressivo
do ângulo do rotor e consequente perda de sincronismo. Por outro lado, a falta de torque
de amortecimento resulta em oscilações rotóricas de amplitude crescente, caracterizando
uma instabilidade oscilatória.
Atualmente, o principal problema tem sido o amortecimento insuficiente de oscilações
(KeD insuficiente ou até negativo), principalmente devido ao uso de excitatrizes rápidas
(KUNDUR, 1994; ROGERS, 2000b; PAL, 2005; ROGERS, 1990). Abaixo segue uma
descrição dos principais modos de oscilação e suas causas (PAL, 2005).
• Modo local, máquina-sistema ou gerador agregado: está associado com a oscilação
das unidades geradoras de uma usina contra o restante do sistema.
25
• Modo intraplanta: diz respeito às oscilações entre as unidades geradoras de uma
mesma usina.
• Modo inter-área: está associado à oscilação entre conjuntos de geradores; geralmente
é causado por grupos de máquinas fortemente acopladas ligados a outros grupos por
interligações fracas.
• Modo de controle: está relacionado com o ajuste inadequado dos controles das
unidades geradoras (sistema de excitação) e de outros dispositivos do sistema.
• Modo torsional: é oriundo de uma posśıvel interação entre o movimento rotacional
do eixo turbina-gerador com ajustes de controles de dispositivos do sistema, tais
como excitação das máquinas, reguladores de velocidade, linhas com compensação
série, entre outros.
Em suma, o grande foco do estudo da estabilidade angular a pequenos sinais é iden-
tificar as caracteŕısticas das oscilações de potência existentes num SEP e fornecer subśı-
dios para ajuste de elementos de controle (principalmente reguladores de tensão e estabi-
lizadores de potência) de forma a melhorar o desempenho dinâmico deste SEP.
2.2 MODELO MÁQUINA BARRA INFINITA
Geralmente, um SEP é demasiado extenso em termos de quantidade de elementos
representados, o que exige um grande esforço computacional ao considerar a dinâmica de
todos eles na resposta do sistema. Desta forma, nem sempre é vantajoso modelar todo
sistema para analisar a estabilidade de algum elemento, pois só uma pequena parcela dos
elementos do SEP está efetivamente acoplada à dinâmica do elemento em estudo.
Uma vez que existe um grande interesse em avaliar individualmente a estabilidade de
uma única usina, i.e., seus geradores e controles locais associados, o sistema de potên-
cia pode ser aproximado por um modelo equivalente simplificado. Neste equivalente
(FIG. 2.3), conhecido por modelo Máquina Barra Infinita (Single-Machine Infinite Bus
– SMIB), todo o SEP que se conecta a essa usina é representado por um gerador “in-
finito” (i.e., sua tensão e frequência são fixas para qualquer perturbação), de forma que a
conexão entre a usina e a barra infinita é modelada por uma impedância externa (Zeq),
conforme FIG. 2.3b. Além disso, considerando que uma usina geralmente é composta por
múltiplas unidades geradoras (UGs) idênticas, neste modelo ela é representada por um
26
único gerador agregado, idêntico a cada unidade geradora, porém com potência igual a
soma de todas as UGs em paralelo. Desta forma, só o comportamento coerente da usina
é modelado, desprezando as posśıveis interações entre UGs da mesma usina (modo de
oscilação intraplanta).
FIG. 2.3: a) Sistema de potência em estudo e seu respectivo b) modelo SMIB (Máquina
Barra Infinita).
O fato deste método não modelar a dinâmica dos elementos internos do SEP ao qual
o gerador em estudo está conectado possibilita um melhor entendimento dos fatores que
afetam o comportamento dinâmico da usina e seus controles associados. Esta metodologia
é utilizada principalmente para estimar os modos de oscilação eletromecânicos inerentes
a um sistema de potência, dando informações a respeito da frequência natural e amorte-
cimento dessas oscilações.
∆ω̇2H = ∆TM −∆Te−∆TD (2.2)
∆δ̇ = ω0∆ω (2.3)
O estudo de oscilações eletromecânicas nas máquinas de um SEP tem sua origem na
equação de balanço de uma máquina śıncrona (2.2).
∆Te , KeS∆δ︸ ︷︷ ︸
∆TeS
+KeD∆ω︸ ︷︷ ︸
∆TeD
(2.4)
∆TD , KD∆ω (2.5)
Esta equação, já linearizada, relaciona o torque mecânico aplicado ao rotor pela fonte
primária de energia (∆TM) com o torque elétrico produzido pelo gerador (∆Te) e a vari-
ação de velocidade do rotor (∆ω) onde: H é a constante de inércia do gerador, ω é a
27
velocidade do rotor e ω0 a velocidade śıncrona em rad/s, δ é o ângulo do rotor em rad,
KeS, KeD são constantes e ∆TeS, ∆TeD os torques elétricos sincronizante e de amorte-
cimento, respectivamente. Os śımbolos KD e TD representam a constante e o torque de
amortecimento mecânico, respectivamente.
Sabendo que os fenômenos transitórios envolvidos com estabilidade de ângulo são da
ordem de frações de segundos e que o amortecimento mecânico de um rotor é geral-
mente despreźıvel e dif́ıcil de ser determinado, duas simplificações podem ser feitas na
equação (2.2):
• é desprezado o efeito do regulador de velocidade (∆TM = 0);
• o amortecimento mecânico do rotor também é desprezado (KD = 0).
Logo:
2H∆ω̇ = −∆TeS −∆TeD (2.6)
O torque elétrico pode ser dividido em duas componentes, conforme a equação (2.4),
e o sistema pode ser representado pelo diagrama de blocos da FIG. 2.4.
FIG. 2.4: Representação das componentes do torque elétrico.
Formulando a equação caracteŕıstica desse sistema, encontram-se os seus autovalores,
os quais são as ráızes desta equação:
s2 +
KeD
2H
s+
KeSω0
2H
= 0 (2.7)
λ1,2 = −ζωn ± jωn
√
1− ζ2 (2.8)
ωn =
√
KeSω0
2H
(2.9)
28
ζ =
KeD
4Hωn
(2.10)
Esses autovalores descrevem o modo de oscilação eletromecânico do SEP para pequenas
perturbações. Assim, pode-se verificar que um torque elétrico com componente KeD
negativo produzirá autovalores com amortecimento negativo, dando origem a um modo
de oscilação instável.
De fato, as componentes KeS e KeD dependem da frequência devido à dinâmica da
máquina śıncrona e dos seus controles associados. Para maior clareza, o modelo SMIB
será constrúıdo passo-a-passo, onde, em cada subseção subsequente, a ordem do modelo
será incrementada, de modo a esclarecer o seu efeito no modo de oscilação do sistema.
2.2.1 MÁQUINA SÍNCRONA: MODELO CLÁSSICO
Para exemplificar, será utilizado o modelo clássico de uma máquina śıncrona na de-
terminação do comportamento do torque elétrico, conforme diagrama da FIG. 2.5.
FIG. 2.5: Sistema equivalente utilizando modelo clássico de gerador.
A potência elétrica fornecida é definida por:
Pe = Te =
E ′V
XT
sin(δ) (2.11)
onde: E ′ é a tensão transitória do gerador em valores por unidade (pu); XT = X
′d+Xe
é a soma das reatâncias transitória X ′d e equivalente da rede Xe; V é a tensão da barra
infinita.
A partir da linearização da equação acima, obtém-se:
∆Te =
dTe
dδ
∣∣∣∣
δ=δ0
∆δ =
E ′V cos(δ0)
XT
∆δ (2.12)
29
Assim, verifica-se que a variação de torque elétrico só possui componente em fase com
a variação de ângulo KeS.
KeS =
dTe
dδ
∣∣∣∣
δ=δ0
=
E ′V cos(δ0)
XT
(2.13)
Considerando o amortecimento mecânico da máquina nulo, tem-se que KD = 0. De-
senvolvendo a equação caracteŕıstica deste sistema e seus respectivos autovalores:
s2 +
KeSω0
2H
= 0 (2.14)
λ1,2 = ±j
√
KeSω0
2H
(2.15)
A partir dos autovalores (2.15) para esse modelo de gerador, o sistema é oscilatório
não amortecido, por só possuir a componente sincronizante do torque. Nas próximas
seções, a modelagem apresentada procura se assemelhar com a notação e desenvolvimento
utilizados em (KUNDUR, 1994).
2.2.2 MÁQUINA SÍNCRONA: FLUXO DE CAMPO
Para o estudo do sistema é utilizado o modelo de máquina śıncrona em coordenadasdq0 representando a variação do fluxo de campo (reação de armadura) e sua saturação.
Para este modelo, o torque elétrico linearizado do gerador é definido por:
∆Te = ∆Ψdiq0 +Ψd0∆iq −∆Ψqid0 −Ψq0∆id (2.16)
onde ∆Ψ são os fluxos incrementais, d e q significam de eixo de direto e quadratura
respectivamente, i é a corrente elétrica e 0 denota valor da grandeza antes da linearização.
A partir de manipulações algébricas e escolha apropriada de variáveis, descritas de-
talhadamente em (KUNDUR, 1994), o sistema pode ser representado pelo diagrama da
FIG. 2.6.
O torque elétrico pode ser calculado conforme a seguinte dedução:
GFD =
K3
1 + sT3
(2.17)
∆ΨFD = GFD(∆EFD −K4∆δ) = −K4GFD∆δ (2.18)
∆TeFD = ∆ΨFDK2 = −K4GFDK2∆δ (2.19)
∆TeFD = ∆TeAR = ∆ΨFDK2 = −K4GFDK2∆δ = −
K4K3K2
1 + sT3
∆δ (2.20)
30
FIG. 2.6: Diagrama de blocos representando a máquina śıncrona.
∆TeS = K1∆δ (2.21)
∆Te = ∆TeS +∆TeFD (2.22)
A partir da análise da equação (2.20), verifica-se que a reação de armadura produz uma
parcela de torque elétrico (∆TeAR) variável com a frequência. Este torque varia desde
puramente dessincronizante, quando em regime permanente, até puramente de amorteci-
mento, para altas frequências.
2.2.3 ADIÇÃO DO SISTEMA DE EXCITAÇÃO
Uma máquina śıncrona tem sua tensão terminal (E) gerada por indução eletromag-
nética, produzido pela rotação do fluxo magnético do rotor, sendo este último produzido
pela corrente de campo (FITZGERALD, 1961). Assim, a corrente de campo, e conse-
quentemente, a tensão terminal do gerador, pode ser ajustada através da aplicação de
uma tensão adequada nos terminais do circuito de campo, chamada tensão de campo
(EFD).
A função básica do sistema de excitação, também chamado de AVR (Automatic Voltage
Regulator, é controlar de maneira automática a tensão da armadura da máquina śıncrona
(E) a partir do controle direto da tensão aplicada no enrolamento de campo da máquina
(EFD).
O sistema de excitação pode ser dividido em 3 partes principais, identificados na
FIG. 2.7:
• Regulador: é o elemento de controle do sistema de excitação, responsável por, a
partir de um erro de controle entre a tensão de referência (VREF ) e a tensão terminal
do gerador (E), gerar um sinal que ajustará a tensão no enrolamento de campo
31
(EFD), de forma a deixar a tensão no terminal do gerador num valor próximo ao
desejado (referência).
• Excitatriz: é o elemento amplificador do sistema de excitação, responsável por trans-
formar o sinal de controle oriundo do regulador em um valor de tensão de campo,
provendo corrente de exicitação para o campo do gerador. Atualmente, são uti-
lizadas excitatrizes estáticas, i.e., circuitos retificadores que fornecem tensão e cor-
rente DC ao enrolamento de campo, sendo alimentados pela própria tensão terminal
da máquina. Por serem baseados em eletrônica de potência, possuem tempo de res-
posta menor que 2 ciclos elétricos (35ms) e são dimensionados com capacidade de
fornecer elevadas tensões de campo (até 8 pu).
• Limitadores: responsáveis por limitarem a ação do regulador/excitatriz de forma a
operarem dentro da curva de capacidade da máquina śıncrona, respeitando limites
transitórios e de regime permanente de tensão de campo, corrente de campo, subex-
citação, temperatura, etc. Devido a utilização de um modelo linear, a influência
desses limitadores serão descartadas.
FIG. 2.7: Sistema de excitação simplificado.
As caracteŕısticas e desempenho dos sistemas de excitação são amplamente estudados,
pois são os maiores responsáveis pelo desempenho dinâmico da unidade geradora, por
possuirem uma grande influência sobre o fluxo de potência ativa durante um transitório
eletromecânico (DE MELLO, 1969, 1978). Isso será ilustrado na FIG. 2.8, a partir da
integração desse sistema de excitação simplificado ao modelo SMIB, realizada a partir
de transformações algébricas que expressem a tensão no terminal da máquina (∆E) em
termos dos estados do modelo (∆δ e ∆ΨFD).
32
FIG. 2.8: Representação da máquina śıncrona e do sistema de excitação.
A partir do diagrama, as seguintes relações podem ser deduzidas:
∆TeAR = −K4
GFD
1 +GFDGexK6
K2∆δ (2.23)
∆TeAV R = −K5
GFDGex
1 +GFDGexK6
K2∆δ (2.24)
∆TeFD = ∆TeAR +∆TeAV R (2.25)
De modo a simplificar a análise, a função de transferência (FT) do sistema de ex-
citação (Gex(s), da FIG. 2.7) pode ser representado por um ganho KX = KCKA. Isso
é perfeitamente fact́ıvel, uma vez que as excitatrizes estáticas possuem ação quase que
instantânea (TA → 0).
∆TeAV R = −K5K2
K3KX
(1 + sT3) +K3K6KX
∆δ (2.26)
Antes de analisar a influência do sistema de excitação no amortecimento das oscilações,
deve-se atentar para o valor da constante K5, o qual, dependendo do ponto de operação,
pode se tornar negativo. Normalmente este valor é positivo, porém, num sistema em que
o gerador está em alto carregamento e conectado ao sistema por uma elevada impedância
de transmissão, esta constante torna-se negativa.
O efeito que o sistema de excitação tem no torque elétrico é descrito pela equação
(2.26), cuja interpretação encontra-se condensada na TAB. 2.1, conforme sintetizado por
(KUNDUR, 1994).
A partir dessas informações, fica evidente o comportamento conflituoso das atuais
excitatrizes estáticas. O sistema de excitação com regulador de alto ganho, aliado à alta
velocidade e capacidade de fornecimento de tensão da excitatriz eletrônica, promove um
33
TAB. 2.1: Comportamento do torque elétrico gerado pelo sistema de excitação.
Valores de K5 Valores de KX Regime permanente Durante oscilação
Negativo Grande Fortemente sincronizante Fortemente instabilizante
Pequeno Fracamente sincronizante Fracamente instabilizante
Positivo Grande Fortemente dessincronizante Fortemente estabilizante
Pequeno Fracamente dessincronizante Fracamente estabilizante
aumento significativo no torque de sincronismo em regime permanente, o qual é necessário
para um bom desempenho em estabilidade transitória a grandes perturbações. Entretanto,
esse alto ganho também introduz um amortecimento negativo para frequências t́ıpicas de
oscilações (entre 0.1 e 2.0 Hz), sendo o principal causador de instabilidade oscilatória num
sistema de potência (BAKER, 1975; DE MELLO, 1969; PAL, 2005).
2.2.4 EFEITO DO ESTABILIZADOR DE SISTEMA DE POTÊNCIA
Tendo conhecimento da instabilidade oscilatória introduzida pelos atuais sistemas de
excitação, bem como do seu ótimo desempenho frente a grandes perturbações, a melhor
solução adotada foi criar um sistema de controle suplementar que amorteça esses modos
de oscilação insuficientemente amortecidos ou até instáveis. Surge então a figura do esta-
bilizador de sistema de potência, mais conhecido por PSS (Power System Stabilizer), que
consiste num controle por realimentação cujo objetivo primário é introduzir uma com-
ponente de torque elétrico proporcional ao desvio de velocidade do rotor (BOLLINGER,
1980; WATSON, 1973).
Um PSS clássico, que possui realimentação de velocidade (∆ω), é então integrado
ao sistema de excitação conforme FIG. 2.9. Existem PSSs que utilizam outros sinais
estabilizantes em sua realimentação, tais como potência elétrica e frequência (CHOW,
2000; KEAY, 1971; DE MELLO, 1978), destacando-se o PSS2A, integral da potência
acelerante (BERUBE, 2007), que é o mais usado atualmente. Estes tipos de PSS não
serão abordados aqui por estarem além do escopo deste trabalho.
A partir do sistema da FIG. 2.9, o torque elétrico provido pelo PSS pode ser deduzido:
∆TeFD = ∆TeAR +∆TeAV R +∆TePSS (2.27)
∆TePSS = GPSS
GFDGex
1 +GFDGexK6
K2∆ω (2.28)
Para facilitar o entendimento da ação do PSS, surge o conceito do GEP (s) que significa
Generator-Exciter-to-Power system (DE MELLO, 1969), que nada mais é do que a FTMA
34
FIG. 2.9: Representaçãoda máquina śıncrona e seus controles.
entre a entrada do sinal do PSS e o torque elétrico produzido por este, conforme (2.29).
∆Te
∆VPSS
= GEP = K2
GFDGex
1 +GFDGexK6
(2.29)
Assim a expressão do torque elétrico introduzido pelo PSS pode ser compactada:
∆TPSS = GPSSGEP∆ω (2.30)
O GEP (s) pode ser melhor visualizado simplificando a FIG. 2.9 através da equação
(2.29), cujo diagrama resultante (FIG. 2.10) se assemelha com o proposto por (HEFFRON,
1952), utilizado inicialmente por (DE MELLO, 1969).
A partir de (2.30), verifica-se que o PSS tenta acrescentar um torque em fase com a
variação da frequência do rotor (∆ω). Para isso, a função de transferência GPSS(s) deve
ser projetada de forma a compensar o atraso de fase introduzido pela excitação e pelo
circuito de campo da máquina, que é representado pela função de transferência GEP (s)
(LARSEN, 1981).
O PSS possui a seguinte estrutura básica (KUNDUR, 1994):
• Bloco washout : é um filtro passa-alta que previne que a tensão de campo seja afetada
por qualquer variação de regime permanente da velocidade da máquina, evitando
uma ação (indesejada) do PSS. O valor de TW é escolhido de forma a oferecer uma
banda de passagem para sinais contendo modos de oscilação local e inter-áreas,
agindo somente durante transitórios.
35
FIG. 2.10: Representação da máquina śıncrona e seus controles utilizando conceito de
GEP .
FIG. 2.11: Estrutura de um PSS t́ıpico.
• Bloco avanço de fase: consiste no principal parâmetro do PSS, que deve ser ajustado
de forma a neutralizar o atraso de fase introduzido por GEP (s). Como é imposśıvel
realizar uma compensação perfeita do atraso de fase do GEP (s) em toda faixa de
frequência, o projeto dos blocos de avanço de fase buscam um compromisso entre
melhor ajuste para faixa próxima do modo de oscilação menos amortecido (geral-
mente modo local, ou gerador agregado) e maior compensação para outras faixas
de frequência (modo intraplanta, em frequências mais altas, e modo interárea em
frequências mais baixas).
• Bloco de ganho: deve ser ajustado de forma a prover adequada taxa de amorteci-
mento às oscilações. Ganhos muito altos não são praticados pois, apesar de proverem
grande amortecimento ao modo de oscilação desejado, podem alterar significativa-
mente a frequência dos modos de oscilação, causando até mesmo instabilização de
outros modos. Isso ocorre principalmente em casos onde é necessário conciliar amor-
tecimento de modos distantes no espectro de frequência (e.g. modos inter-area e
36
intraplanta) (LARSEN, 1981). Nesses casos, é recomendado o uso de técnicas de
ajustes coordenados (JABR, 2010a).
Em suma, o sinal do PSS tem a finalidade de gerar um torque elétrico efetivamente
em fase com a variação de velocidade nas frequências de oscilação que se deseja melhorar
o amortecimento, sendo imprescind́ıvel em sistemas radiais (KUNDUR, 1989).
2.3 MODELO MULTIMÁQUINA
Um SEP pode ser estudado de maneira mais completa a partir da elaboração de um
modelo em espaço de estados que contenha a dinâmica de todos os elementos perten-
centes a este SEP, tais como: máquinas śıncronas e seus controles associados (AVR, PSS,
regulador de velocidade), sistemas HVDC, dispositivos FACTS (SVCs e TCSCs), cargas
dinâmicas e outros tipos de máquinas (geradores eólicos), entre outros.
Tal modelo completo do sistema é denominado de modelo multimáquina. A FIG. 2.12
mostra um diagrama esquemático dessa representação.
FIG. 2.12: Estrutura do modelo multimáquina de um sistema de potência, onde * denotam
equações algébricas e ** equações diferenciais.
A partir desta representação, podem ser estudadas as interações entre os diversos
elementos do sistema de potência, permitindo identificar problemas que não poderiam
ser representados num modelo SMIB. Assim, surgiram diversas técnicas que lançam mão
da representação multimáquina em espaço de estados do SEP para ajustar de maneira
37
coordenada dispositivos de controle, com o intuito de solucionar eficientemente proble-
mas de oscilações eletromecânicas (JABR, 2010b; MARTINS, 1990a; DE MELLO, 1980;
MARTINS, 2000).
O desenvolvimento aqui apresentado da modelagem multimáquina de pequenos sinais,
tanto por meio da abordagem tradicional quanto por meio das técnicas utilizadas em
sistemas de grande porte, segue notação utilizada em (MARTINS, 1990b).
2.3.1 ABORDAGEM TRADICIONAL
Um SEP é modelado dinamicamente por um sistema de equações não-lineares tanto
diferenciais quanto e algébricas, conforme (2.31).
ẋ = f(x, z)
0 = g(x, z)
(2.31)
onde x é o vetor de estados e z o vetor de variáveis algébricas.
A análise da estabilidade a pequenos sinais de um SEP envolve a linearização de (2.31)
para um ponto de operação (x0, z0):[
∆ẋ
0
]
=
[
J1 J2
J3 J4
]
+
[
∆x
∆z
]
(2.32)
A matriz de estado do sistema de potência pode ser obtida eliminando o vetor de
variáveis algébricas ∆z em (2.32).
∆ẋ = [J1 − J−12 J4J3]︸ ︷︷ ︸
A
∆x (2.33)
Com a escolha apropriada das matrizes de entrada e sáıda, o modelo de espaço de
estados pode ser constrúıdo.
∆ẋ = A∆x+Bu
∆y = CT∆x+Du
(2.34)
Através desta representação em espaço de estados, é posśıvel obter informações deta-
lhadas sobre cada uma das oscilações caracteŕısticas do sistema, destacando aqui algumas:
• frequência da oscilação e respectivo amortecimento (autovalores);
• quais elementos do sistema (geralmente máquinas śıncronas) mais contribuem com
um determinado modo de oscilação e como eles agem dentro deste modo (fatores de
participação);
38
• quais variáveis do sistema possibilitam identificar mais facilmente o modo de os-
cilação (observabilidade);
• quais entradas têm maior influência num modo de oscilação (controlabilidade);
• parâmetros de quais controladores tem maior influência num modo de oscilação
(sensibilidade).
2.3.2 ABORDAGEM PARA SISTEMAS DE GRANDE PORTE
No estudo de um grande SEP, como é o caso do SIN que possui uma matriz de estado
em torno de 3000 estados e 4000 equações algébricas, a resposta completa do sistema não
pode ser computada com algoritmos convencionais, i.e., que resolvem matriz de estados
não esparsa, pois estes estão limitados a aproximadamente 500 estados, devido ao alto
custo computacional de processamento e memória (MARTINS, 1990b). Devido à evolução
da capacidade de processamento dos computadores nas últimas duas décadas, atualmente
esta capacidade se expandiu para alguns milhares de estados.
Para contornar essa limitação, foi adotada a representação estendida do sistema, con-
forme mostrado em (2.35):[
∆ẋ
∆0
]
︸ ︷︷ ︸
∆ẋa
=
[
J1 J2
J3 J4
]
︸ ︷︷ ︸
J
[
∆x
∆z
]
︸ ︷︷ ︸
∆xa
+Ba∆u
∆y =
[
CTx C
T
z
]
︸ ︷︷ ︸
CTa
[
∆x
∆z
]
︸ ︷︷ ︸
∆xa
(2.35)
onde ∆xa é o vetor de estados aumentado, Ba é o vetor de entrada aumentado e C
T
a a
matriz de sáıda aumentada.
A grande vantagem dessa representação é que a matriz jacobiana (J) do sistema é al-
tamente esparsa, permitindo o uso de eficientes algoritmos especializados em esparsidade,
capazes de trabalhar com sistemas da ordem de alguns milhares de estados.
Existe um aplicativo nacional elaborado pelo CEPEL, chamado Pacdyn, que aplica
esta modelagem linear ao SIN utilizando algoritmos tanto convencionais quanto especial-
izados, por meio do qual foram desenvolvidos vários trabalhos (MARTINS, 1990a, 2000),
utilizado neste trabalho para simular os resultados da metodologia nele proposta.
39
3 CANAL DE PERTURBAÇÃO
Ométodo proposto neste trabalho se baseia extensivamente nos conceitos apresentados
em (MARTINS, 2007), os quais permitem a obtenção de polos de malha aberta de um
sistema dinâmico a partir de medidas em malha fechada. Portanto, neste caṕıtulo, o
conceito do canal de perturbação é exposto de maneira detalhada para um caso SISO,
i.e. uma usina é representada por um únicogerador agregado (equivalente), conforme
proposto originalmente em (MARTINS, 2007). Também foram adicionados exemplos
numéricos para facilitar a visualização do conceito, cujo entendimento é fundamental
para compreensão de caṕıtulos posteriores, onde o método aqui descrito é estendido para
uma formulação multigeradores (MIMO).
3.1 CONCEITUAÇÃO
Dado um sistema dinâmico linear e invariante no tempo, a relação entre uma entrada
u(s) e uma sáıda y(s) quaisquer pode ser representada por uma função de transferência
de malha aberta (FTMA) G(s). Supondo que o sistema G(s) apresente uma resposta
oscilatória, deseja-se amortecê-la com a inserção de um controlador por realimentação
dinâmica de sáıdaK(s). É também adicionada a este sistema uma entrada de perturbação
w(s) e uma sáıda sintética z(s), conforme FIG. 3.1.
FIG. 3.1: Sistema canônico com canal de perturbação.
40
Este sistema canônico pode ser representado pela seguinte matriz de transferência:[
y(s)
z(s)
]
=
[
Hyu(s) Hyw(s)
Hzu(s) Hzw(s)
]
︸ ︷︷ ︸
H(s)
[
u(s)
w(s)
]
(3.1)
Detaca-se que Hyu(s) é a função de transferência (FT) do canal de controle em malha
fechada e Hzw(s) representa a relação entre a entrada de perturbação e a soma da resposta
da realimentação com o sinal de perturbação (canal de perturbação). Substituindo G(s)
e K(s) na equação (3.1), as FTs podem ser explicitadas na equação (3.2).
H =
[
G −G
GK 1
]
1
1 +GK
(3.2)
Sabendo que:
G(s) =
nG(s)
dG(s)
e K(s) =
nK(s)
dK(s)
(3.3)
têm-se:
Hyu(s) =
y(s)
u(s)
=
nGdK
dGdK + nGnK
(3.4)
Hzw(s) =
z(s)
w(s)
=
dGdK
dGdK + nGnK
(3.5)
Pode-se verificar através da equação (3.5) que a definição da função Hzw(s) fornece
informações importantes a respeito do sistema. Os polos dessa função são os polos de
malha fechada do sistema, que refletem o desempenho do sistema compensado pela reali-
mentação. Já o seu conjunto de zeros contém os polos do sistema de malha aberta, que
refletem o desempenho do sistema como se estivesse operando sem o estabilizador.
A capacidade deste método em fornecer dados sobre o desempenho espećıfico de um
controlador por realimentação pode ser melhor entendida tendo em vista a dedução al-
ternativa abaixo, onde se verifica que a FT Hzw(s) é a razão entre a resposta de malha
fechada e de malha aberta do sistema (3.6).
Hzw(s) =
G−1(s)G(s)
1 +G(s)K(s)
=
Hyu(s)
G(s)
(3.6)
Uma vez que esta função de transferência contém informações tanto da resposta em
malha aberta como em malha fechada, sua determinação (seja experimental ou por si-
mulações) permite avaliar a efetividade do estabilizador no amortecimento dos modos
de oscilação do sistema, fornecendo subśıdios para avaliar a necessidade de reajuste ou
mudança do controlador.
41
3.2 APLICAÇÃO AO GERADOR SÍNCRONO
Uma vez apresentada uma nova abordagem de estudo de um sistema dinâmico canônico,
este método pode ser então aplicado para se estudar o desempenho de um gerador sin-
cronizado ao sistema juntamente com seu respectivo PSS.
Para representar adequadamente a máquina e o seu estabilizador no sistema elétrico, a
entrada u(s) é definida como tensão de referência do regulador de tensão em pu (∆VREF )
e a sáıda y(s) como a variação da velocidade do rotor (∆ω) em pu. O controlador inserido
na realimentação, K(s), é a FT do próprio PSS, chamada de GPSS(s), ao passo que a
FTMA G(s) representa a dinâmica do conjunto gerador-sistema elétrico na ausência do
PSS. Reescrevendo o diagrama da FIG. 3.1, tem-se o sistema representado na FIG. 3.2.
FIG. 3.2: Diagrama de blocos do canal de perturbação referente a um gerador śıncrono e
seu PSS.
Os resultados obtidos por esta abordagem são de interesse para a identificação e con-
trole do amortecimento de oscilações em sistemas elétricos de potência. Os zeros do-
minantes de Hzw(s) representam os modos de oscilação inerentes ao sistema em malha
aberta, ou seja, com o PSS virtualmente desligado. Por sua vez, os polos representam as
oscilações existentes no sistema com o PSS em funcionamento.
Esta abordagem, quando aplicada a um sistema de potência, apresenta as seguintes
vantagens:
• o desempenho de um gerador conectado à rede pode ser verificado através de ensaio
de campo espećıfico, o qual também permite inferir qual seria este desempenho na
ausência dos PSSs, sem a necessidade de abrir fisicamente a malha (i.e., desligar o
PSS);
• os zeros e polos da FT do canal de perturbação permitem identificar os modos de
oscilação caracteŕısticos dessa usina em relação ao sistema, tanto em malha aberta
(ausência dos PSSs) como em malha fechada (com PSSs);
42
• com estes dados também é posśıvel verificar a efetividade do ajuste do PSS, fornecendo
subśıdio para o projeto ou ajustes, mas também de sinais estabilizadores aplicados
a equipamentos FACTS, tais como SVC e TCSC.
Estas vantagens justificam a utilização deste método, no que diz respeito a ajustes e
validação de estabilizadores de sistemas de potência, sobretudo em usinas multigeradores,
onde métodos convencionais são pouco efetivos (ver seções 5.1 e 6.4).
3.3 APLICAÇÃO A UM CASO CLÁSSICO
A metodologia descrita na seção anterior será aplicada a um sistema SMIB clássico
(FIG. 3.3b), semelhante ao já descrito na seção 2.2. Uma vez que este modelo apresenta
um torque elétrico puramente sincronizante, a seguinte simbologia foi modificada: ∆TS ,
∆TeS e KS , KeS.
FIG. 3.3: a)–b) Sistema Máquina Barra infinita (SMIB) e sua c) representação em dia-
grama de blocos.
A expressão para o coeficiente de torque sincronizante KS é facilmente derivado do
circuito elétrico na FIG. 3.3b:
KS =
dTS
dδ
∣∣∣∣
δ=δ0
=
E ′V cos δ0
Xe+Xg
(3.7)
onde: E ′ é a tensão transitória do gerador em pu; Xg = X ′d + Xtr é a soma das
reatâncias transitóriaX ′d e de seu transformador elevador associadoXtr; Xe é a reatância
equivalente da rede; V é a tensão da barra infinita e δ0 é o ângulo de carga.
43
A FIG. 3.3c é uma representação em diagrama de blocos do sistema SMIB da FIG. 3.3a–
b, no formato utilizado na FIG. 3.2. De modo a aplicar a metodologia descrita na seção
anterior, o coeficiente de amortecimento mecânico KD será considerado como um contro-
lador por realimentação de sáıda, análogo ao GPSS(s) da FIG. 3.2.
Definindo:
κ , KS
2H
e 2γ , KD
2H
(3.8)
a função de transferência de malha fechada (FTMF) (chave F fechada)Hyu(s) da FIG. 3.3c
é dada por:
Hyu(s) =
ω(s)
TM(s)
=
s
2H
s2 + 2γs+ κω0
(3.9)
e a FTMA (chave F aberta) G(s) é dada por:
G(s) =
ω(s)
TM(s)
=
s
2H
s2 + κω0
(3.10)
A FTMF do canal de perturbação (Hzw) é:
Hzw(s) =
Tp(s)
Td(s)
=
Hyu(s)
G(s)
=
s2 + κω0
s2 + 2γs+ κω0
(3.11)
A equação (3.11) mostra que os zeros de Hzw(s) são os polos de G(s), os quais não
possuem amortecimento, enquanto os polos de Hzw(s) são os polos da FTMF, os quais
governam a resposta atual do sistema (com amortecimento mecânico).
3.4 EXEMPLO GRÁFICO
Para melhor visualizar a aplicação deste conceito, foram sugeridos dois sistemas de
segunda ordem que procuram relacionar as configurações de polo-zero com as respectivas
respostas em frequência. A referência (GRUND, 1990) mostra 8 configurações de pares
de polo/zero que os autores consideraram em sua técnica de construção de equivalentes
em sistemas de potência, dos quais somente dois (casos 3 e 6 em (GRUND, 1990)) são de
interesse para este trabalho, uma vez que eles se aplicam aos dois tipos de resultados que
podem ser esperados da aplicação deste conceito em uma usina conectada a um sistema
de potência. Abaixo serão descritos os 2 sistemas que exemplificam os casos de interesse.
44
3.4.1 SISTEMA I
O Sistema I retrata o caso de uma usina que possui seu modo eletromecânico instável
sem a presença do PSS, o qual é uma possibilidade fact́ıvel dentro de um SEP. A FT
GI(s), queé instável em malha aberta, representa a dinâmica de um gerador sincronizado
a um SEP, sendo estabilizada pelo seu PSS (KI(s)), à semelhança das FIGs. 3.1 e 3.2,
tendo seu diagrama de blocos representados na FIG. 3.4.
FIG. 3.4: Sistema exemplo I.
A FTMA deste sistema é dada por:
GI(s) =
s+ 3.373
s2 − 0.339s+ 31.98
(3.12)
e a FTMF é dada por (HIyu(s)):
HIyu(s) =
GI(s)
1 +GI(s)KI(s)
=
s+ 3.373
s2 + 1.885s+ 39.48
(3.13)
e, finalmente, a FT do canal de perturbação é dada por:
HIzw(s) =
HIyu(s)
GI(s)
=
s2 − 0.339s+ 31.98
s2 + 1.885s+ 39.48
(3.14)
3.4.2 SISTEMA II
O Sistema II representa o caso de uma usina cujo modo eletromecânico possui amor-
tecimento insuficiente sem o PSS, que é o caso da Usina de Itaipu 60 Hz, cujos resultados
tanto de simulações computacionais quanto de ensaios de campo são mostrados no Caṕı-
tulo 6.
O Sistema II apresenta a mesma estrutura do Sistema I, com FTMA GII(s) e estabi-
lizador KII(s), tendo seu diagrama de blocos representados na FIG. 3.5.
45
FIG. 3.5: Sistema exemplo II.
A FTMA deste sistema é dada por:
GII(s) =
s+ 4.87
s2 + 0.339s+ 31.98
(3.15)
a FTMF é dada por (HIIyu(s)):
HIIyu(s) =
GII(s)
1 +GII(s)KII(s)
=
s+ 4.87
s2 + 1.885s+ 39.48
(3.16)
e, finalmente, a FT do canal de perturbação é dada por:
HIIzw(s) =
HIIyu(s)
GII(s)
=
s2 + 0.339s+ 31.98
s2 + 1.885s+ 39.48
(3.17)
3.4.3 ANÁLISE DOS SISTEMAS EXEMPLOS
A TAB. 3.1 lista os pares de polo/zero para os sistemas exemplos I e II, cujos polo-zero
e respostas em frequência são apresentadas na FIG. 3.6.
TAB. 3.1: Polos, zeros de Hzw(s) e respostas em frequência dos sistemas exemplos de
segunda ordem
Sistemas Zeros Polos Figuras
+0.17± j5.65 −0.94± j6.21 mapa P-Z: FIG. 3.6d
I ωd = 0.90Hz ωd = 0.99Hz Módulo: FIG. 3.6a
ζ = −3.0% ζ = 15.0% Fase: FIG. 3.6b
−0.17± j5.65 −0.94± j6.21 mapa P-Z: FIG. 3.6e
II ωd = 0.90Hz ωd = 0.99Hz Módulo: FIG. 3.6a
ζ = 3.0% ζ = 15.0% Fase: FIG. 3.6c
Uma vez que os polos de malha fechada dos dois sistemas são idênticos, os gráficos e
tabela apresentados esclarecem que, por meio do seu par de zeros dominantes, a FT do
46
canal de perturbação mostra como seria a resposta do gerador em malha aberta (i.e. PSS
desabilitado), estando este gerador em malha fechada (PSS habilitado).
−1 −0.5 0
0
2
4
6
8
d)
Im
ag
in
ár
io
Real
−1 −0.5 0
0
2
4
6
8
e)
Im
ag
in
ár
io
Real
0 0.5 1 1.5 2
−15
−10
−5
0
a)
 M
ód
ul
o 
(d
B
)
Frequência (Hz)
0 0.5 1 1.5 2
−300
−200
−100
0
b)
 F
as
e 
(g
ra
us
)
Frequência (Hz)
0 0.5 1 1.5 2
−20
0
20
40
60
80
c)
 F
as
e 
(g
ra
us
)
Frequência (Hz)
FIG. 3.6: a) Gráfico de módulo para ambos os sistemas em malha fechada: HIzw e H
II
zw.
b) Fase do Sistema I. c) Fase do Sistema II. Mapas de polo-zero para d) Sistema I e e)
Sistema II.
O Sistema II representa o caso de uma usina cujo modo eletromecânico possui amor-
tecimento insuficiente sem o PSS, que é o caso da Usina de Itaipu 60 Hz, cujos resultados
tanto de simulações computacionais e de ensaios de campo são mostrados no Caṕıtulo 6.
47
4 MODELAGEM DE UMA USINA MULTIGERADORES
Em estudos de estabilidade eletromecânica, as usinas (que geralmente possuem vários
geradores idênticos em paralelo), são, em sua maioria, representadas por um único ger-
ador agregado, de potência equivalente ao total da capacidade de todas as UGs de cada
usina. Esse procedimento é útil e amplamente utilizado, pois reduz o número de estados
necessários para representar o comportamento da usina, que, por questões de simetria, é
idêntico ao comportamento coerente das UGs. Esse fato justifica a referência (MARTINS,
2007) ter desenvolvido o conceito do canal de perturbação para um caso SISO, existindo
somente uma realimentação de controle.
Na prática, uma usina de grande porte é composta de vários geradores (cada um
com seu dispositivo de controle), inviabilizando um ensaio de campo que pudesse fornecer
diretamente as informações de malha aberta, conforme abordado no caṕıtulo anterior.
Assim, para a viabilização de um ensaio de campo capaz de fornecer tais informações
para uma usina multigeradores, este caṕıtulo trata da extensão do conceito de canal de
perturbação para o caso MIMO, levando em conta os vários geradores que compõem a
usina, permitindo inferir a resposta de um suposto gerador agregado a partir de dados de
ensaio, envolvendo medições em apenas dois geradores.
Para explanar a metodologia, ela é aplicada a um sistema do tipo usina multigeradores
barra infinita (Multigenerator Power plant Infinite Bus – MPIB), semelhantemente ao
sistema SMIB, abordado na seção 3.3.
4.1 MODELO USINA MULTIGERADORES BARRA INFINITA
A FIG. 4.1 representa uma usina multigeradores conectada a uma barra infinita através
de uma linha de transmissão radial. A usina do sistema MPIB possui n unidades gerado-
ras igualmente carregadas, representadas por modelo clássico de máquina śıncrona com
parâmetros idênticos.
As equações linearizadas para o sistema MPIB formam um sistema de 2n estados,
sendo a extensão multivariável das equações de balanço (swing equations) utilizadas an-
48
FIG. 4.1: Usina multigeradores conectada a uma barra infinita através de uma impedância
(MPIB).
teriormente no modelo SMIB:
∆ω̇2HI = ∆TM −∆TS −∆TD (4.1)
∆δ̇ = ω0∆ω (4.2)
onde
∆TD = KDI︸︷︷︸
KD
∆ω e ∆TS = KS∆δ (4.3)
e H é a constante de inércia do gerador, I é a matriz identidade (n×n), ω e δ são vetores
contendo os ângulos e velocidades dos rotores dos n geradores em paralelo, KS e KD são
matrizes de constantes, ∆TM é o vetor de torque mecânico ∆TS e ∆TD são os vetores
contendo os torques de sincronismo e amortecimento dos geradores, respectivamente.
O canal de perturbação do sistema SMIB (FIG. 3.3c), que é um sistema SISO, pode
ser estendido para sua versão MIMO para representar adequadamente o canal de pertur-
bação multivariável do sistema MPIB, conforme FIG. 4.2. As entradas (∆TM , ∆Td) e
sáıdas (∆ω, ∆Tp) anteriormente escalares, aparecem agora como vetores (∆TM, ∆Td)
e (∆ω,∆Tp).
O par entrada/sáıda do canal de perturbação pode ser equacionado a partir da inspeção
da FIG. 4.2:
∆Tp = KD∆ω e ∆Td = −∆TM (4.4)
A matriz KS, de dimensão n × n, que descreve as relações de torque sincronizante
entre as n UGs e a barra infinita, é definida pela linearização da potência elétrica de cada
gerador para uma dada condição de operação do sistema, sendo sua dedução explicada a
seguir.
49
FIG. 4.2: Diagrama de blocos multivariável do sistema MPIB destacando a chave (F), que
promove a abertura virtual simultânea dos laços de torque de amortecimento mecânico
de todas as UGs.
A expressão não-linear para a potência ativa do i-ésimo gerador (Pgi), que é equiva-
lente ao seu torque elétrico em pu, TSi , pode ser estabelecida aplicando a Lei das Malhas
de Kirchoff ao circuito elétrico da FIG. 4.3 (KIMBARK, 1948):
FIG. 4.3: Circuito elétrico do sistema MPIB.
Todas as constantes das máquinas e reatâncias do sistema estão expressas em pu na
base de uma UG, e portanto, a reatância externa do sistema se torna Xe/n.
Pgi = TSi =
E ′i
Xe+Xg
(
V sin δi +
Xe
nXg
n∑
k = 1
k ̸= i
E ′k sin(δi − δk)
)
(4.5)
A linearização de (4.5), estendida aos n geradores de uma planta, produz a equação
50
matricial:
∆TS =
[
∂(TS1 , ..., TSn)
∂(δ1, ..., δn)
∣∣∣∣
δ1,...,δn=δ0
]
︸ ︷︷ ︸
KS
∆δ (4.6)
A simetria topológica do sistema e a operação equilibrada (E ′i = E
′
k = E
′ e δi =
δk = δ0) permitem simplificações consideráveis, as quais são ainda mais reduzidas pela
adoção de śımbolos para representar as expressões algébricas que repetidamente ocorrem
nos elementos matriciais do sistema linearizado. Assim, a matriz de torques sincronizantes
KS pode ser representada:
KS =

ks km · · · km
km ks km
...
. . .
km · · · km ks
 (4.7)
onde
ks=
E ′V cos δ0
Xe+Xg
+ (n− 1) E
′2Xe
nXg(Xe+Xg)