Cisalh Transv Flexo Torção

Prévia do material em texto

Paracambi 
26/11/2014 
 
TEC00205 – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
TURMA C1/B1 
AULA 15 
 
SOLICITAÇÕES SIMPLES 
(CISALHAMENTO TRANSVERSAL) 
e 
SOLICITAÇÃO COMPOSTA 
(FLEXO-TORÇÃO) 
Prof. Renata Faísca 
Prof. Eliane Pires 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
2 
SOLICITAÇÕES SIMPLES 
(CISALHAMENTO TRANSVERSAL) 
INTRODUÇÃO 
• Em geral, as vigas suportam cargas 
transversais que geram esforço 
cortante e, também, momento fletor. O 
esforço cortante V é o resultado de 
uma distribuição de tensão de 
cisalhamento transversal que age na 
seção transversal da viga. 
• Devido à propriedade complementar de 
cisalhamento, observe que tensões de 
cisalhamento longitudinais associadas 
também agirão ao longo dos planos 
longitudinais da viga. 
• A presença do esforço interno V gera 
simultaneamente tensões de 
cisalhamento transversal e longitudinal. 
3 
Corte transversal, mostrando 
uma seção retangular da viga. 
4 
Observando tA - Devido à 
propriedade complementar do 
cisalhamento, e para gerar o 
equilíbrio da seção, tensões 
cisalhantes longitudinais precisam 
atuar simultaneamente. 
Observando tB e tc – Não 
ocorrem tensões cisalhantes 
nestes pontos, pois não há 
deslizamento das fibras 
Considere uma viga carregada 
transversalmente na qual o 
esforço cortante V, age na 
seção transversal, como 
mostrado na figura. 
5 
• Fisicamente, explica-se o desenvolvimento das tensões de 
cisalhamento nos planos longitudinais, considerando que uma 
viga é composta por três tábuas. 
• Se as superfícies superior e inferior de cada tábua forem lisas e as 
tábuas estiverem soltas (a), a aplicação da carga P fará com que as 
tábuas deslizem livremente uma sobre a outra sem gerar tensão de 
cisalhamento entre as tábuas. Contudo, todas sofrerão deflexão. Por 
outro lado, se as tábuas forem coladas entre si (b), as tensões de 
cisalhamento longitudinais geradas entre elas impedirão o 
deslizamento de uma sobre a outra e, consequentemente, a viga 
agirá como um única peça monolítica. 
t = 0 
t ≠ 0 
6 
• Inclusive, uma aplicação prática considerando este conceito de tensão 
de cisalhamento são as vigas mistas, que utilizam-se da interação 
entre materiais diferentes, a partir de conectores de cisalhamento 
(pinos), para utilizar as características de cada um em benefício 
estrutural. 
Capa de concreto 
Pinos 
Armadura de tela soldada 
7 
Considerando uma barra feita de um material com alta capacidade 
de deformação: 
Como resultado da tensão cisalhante, desenvolvem-se deformações 
cisalhantes, que tendem a distorcer (empenar) a seção transversal de 
maneira bem complexa. 
A distribuição não-uniforme de tensão cisalhante sobre a seção provoca 
distorção da seção que não permanece plana, diferente da consideração 
feita para o momento fletor. 
 
8 
Apesar desta constatação, admitiremos que essa deformação é 
suficientemente pequena quando estivermos trabalhando com vigas 
esbeltas, onde o comprimento é consideravelmente grande em relação 
à sua largura. 
Deformação devida ao Momento Fletor Sem carregamento (Não-deformada) 
Deformação devida ao Esforço Cortante 
Flecha 
Flecha 
9 
Considere a viga carregada transversalmente 
A fórmula do cisalhamento será desenvolvida a partir da fórmula da 
flexão e da relação entre momento fletor e força de cisalhamento 
(V = dM/dx). 
10 
Considerando somente as forças axiais atuando nas seções 
transversais de um elemento de viga de comprimento dx, tem-se: 
Considerações: 
O diagrama de corpo livre (DCL) mostra apenas a distribuição de tensão 
normal que atua no elemento. 
Essa distribuição é provocada pelos momentos fletores M e (M+dM). 
O efeitos de V e (V+dV) e W(x) foram excluídos por serem cargas verticais. 
A fórmula do cisalhamento será desenvolvida a partir da fórmula da flexão: 
e da relação entre momento fletor e força de cisalhamento 
(V = dM/dx). 𝜎 =
𝑀𝑦
𝐼
 
11 
Considerando o segmento superior do elemento, seccionado a uma distância y’ 
da Linha Neutra (LN) e que possui largura t na seção transversal e área A’. 
 
A’ = parte superior da área da seção transversal do elemento, definida pela 
seção onde t é medido. 
Onde: 
= distância até o centróide de A’, medida a partir da linha neutra 
12 
Impondo o equilíbrio das forças atuando na direção axial x, tem-se: 
 
Os momentos resultantes de cada lado do elemento diferem por dM, a 
condição ∑ Fx=0 não será satisfeita, a menos que a tensão cisalhante 
longitudinal t atue sobre a face inferior e sobre a área t dx. 
13 
Aplicando a condição de equilíbrio das forças horizontais, admitindo que a 
tensão cisalhante seja constante ao longo de toda a área t dx e usando a 
fórmula de flexão, tem-se: 
Usando a fórmula da flexão 
σ σ’ 
 
𝑀 + 𝑑𝑀
𝐼
𝑦𝑑𝐴 − 
𝑀
𝐼
𝑦𝑑𝐴 + 𝜏 𝑡𝑑𝑥 = 0
𝐴′𝐴′
 
14 
Então: 
 
Resolvendo para t temos: 
Sabendo que: 
 
 V= dM/dx 
 
Momento de 1ª ordem da 
área A’ em torno da linha 
neutra, denotado por Q. 
 
 
A localização do centróide da área A’ é dada por: 
 
Que também pode ser escrita como: 
A’ = parte superior (ou inferior) da área da seção transversal do elemento, definida 
pela seção onde t é medido. 
 
= distância até o centróide de A’, medida a partir da linha neutra. 
Onde: 
Momento de 1ª ordem da 
área A’ em torno da LN 
15 
 
 
A fórmula do cisalhamento fica: 
 
𝜏 = tensão cisalhante no ponto localizado a uma distância y’ da linha neutra do 
elemento, supõe-se que seja média ao longo da largura t; 
V = esforço cortante resultante; 
I = Momento de inércia de toda área da seção transversal, calculado em torno da linha 
neutra; 
 
 
 A’ = parte superior (ou inferior) da área da seção transversal do elemento, 
definida pela seção onde t é medido; 
 = distância do ponto em questão até o centróide de A’, medida a partir da linha neutra. 
Momento de 1ª ordem da área A’ em torno da Linha Neutra; 
16 
t = largura da seção transversal do elemento, medida no ponto onde 𝜏 deve ser 
determinada. 
Onde: 
17 
Cálculo de Q 
A tensão de cisalhamento (𝝉) é 
determinada no ponto P; 
Q = momento da área da seção 
transversal que está acima ou abaixo 
do ponto P em que a tensão de 
cisalhamento (𝝉) deve ser 
determinada. 
 
 
Tensão de Cisalhamento em Vigas com Seção Transversal 
Prismática Retangular ou quadrada 
A distribuição de tensão cisalhante ao longo de toda a seção transversal é 
determinada a partir da tensão cisalhante a uma altura arbitrária y da Linha 
Neutra (LN). 
 
18 
 
 
Calculando Q = Momento de 1ª ordem da área A’ em relação a LN: 
A’ 
19 
 
 
Aplicando à fórmula do cisalhamento 
ou 
Tem-se: Equação do segundo grau 
20 
 
 A partir da fórmula: 
Verifica-se: 
A tensão cisalhante sobre a seção transversal é parabólica. 
A intensidade varia de zero nas partes superior e inferior (y=±h/2) ao valor 
máximo na linha neutra (y=0). 
Eq do 2º grau 
21 
Se y=0, ou seja, na LN, pode-se calcular tmax: 
Note que tmax é 50% maior que 
a tensão cisalhante média 
estudada. 
A 
 
 
Note que tmax é 50% 
maior que a tensão 
cisalhante média 
estudada. 
22 
𝜎𝑧 =
𝑀𝑥𝑦
𝐼
 
Fig 2. viga sujeita a flexão pura 
(só há momento fletor), 
mostrando a distribuição linear da 
tensão de flexão (𝜎𝑧) (tensões 
normais de tração e de 
compressão), que é máxima nas 
extremidades superior e inferior 
da seção transversal e nula na 
LN. 
M 
M 
Fig1. viga sujeita ao cisalhamento 
puro (só há esforço cortante), 
mostrando a distribuição não 
linear da tensão de cisalhamento, 
que é máxima na LN e nula nas 
extremidades superior e inferior 
da seção transversal. 
Tensão de cisalhamento (𝜏) 
X 
Tensão de flexão (𝜎) 
 
y 
z 
x 
 
 
É importante lembrar que: 
 
Para cada t que atua na seção transversal, há um correspondente t 
atuando no sentido longitudinal da vigaSe a viga for cortada por um plano longitudinal através de seu eixo 
neutro, a tensão cisalhante máxima ocorrerá nesse plano 
 
23 
 
 
Neste caso, a distribuição de tensão de cisalhamento varia parabolicamente ao 
longo da altura da viga. 
 
A tensão cisalhante varia levemente ao longo da alma. 
Ocorre aumento da seção cisalhante na junção da aba com a alma, visto 
que a espessura da seção transversal muda de b para tw. 
Por comparação, a alma suporta significativamente mais força cortante 
que as abas. 
Tensão de Cisalhamento em Vigas de Abas Largas 
24 
 
 
A viga mostrada na figura é feita de duas tábuas. Determinar a tensão 
cisalhante máxima na cola necessária para manter as tábuas unidas ao 
longo da junção. Os apoios B e C exercem somente reações verticais 
sobre a viga. 
 
Exemplo 1 
25 
 
Cisalhamento Interno: As reações dos apoios e o diagrama de força cortante (DEC) 
da viga são mostrados na figura. Vê-se que a força cortante máxima na viga é de 19,5 
kN. 
 
Solução Exemplo 1 
DEC (kN) 
8 
26 
 
 
Propriedades da Seção: O centróide e, portanto, a linha neutra serão 
determinados pelo eixo de referência situado na parte inferior da área da 
seção transversal: 
 
(0,150 +
0,030
2
) (0,150/2) 
27 
 
 
Propriedades da Seção: O momento de inércia, calculado em torno da 
linha neutra é: 
Teoria dos eixos paralelos 𝐼 = 𝐼 + 𝐴𝑑2 
0,150 + 0,030/2 
28 
 
 
Propriedades da Seção: A tábua superior (aba) está presa à inferior 
(alma) pela cola, que é aplicada sobre a espessura t = 0,03 m. 
Consequentemente, A’ é definida como a área do topo (aba ou mesa) da 
tábua: 
 
29 
120 mm 
𝑄 = 0,180𝑚 − 0,015𝑚 − 0,120𝑚 0,03m .0,150m 
𝑄 = 0,045𝑚 0,0045𝑚2 → 𝑄 = 0,2025(10−3)𝑚3 
60 mm 
 
Tensão de Cisalhamento: aplicando a 
fórmula de cisalhamento, temos: 
OBS: É a resistência da cola a esta tensão de cisalhamento horizontal ou 
lateral que impede as tábuas de deslizar sobre o apoio C. 
(Resposta) 
30 
31 
Ensaio de cisalhamento em vigas 
32 
Ensaio de cisalhamento em vigas 
https://www.youtube.com/watch?v=8jp8TfUay7A 
33 
SOLICITAÇÃO COMPOSTA 
(FLEXO-TORÇÃO) 
 
 
Tensões provocadas por cargas combinadas 
 Na maioria das vezes, a seção transversal de um elemento está sujeita a 
vários tipos de cargas simultaneamente. 
 
 O método da superposição, se aplicável, pode ser usado para determinar a 
distribuição da tensão resultante provocada pelas cargas. 
 
 Para aplicar a superposição, é preciso determinar a distribuição de tensão 
devido a cada carga e, então, essas distribuições são superpostas para 
determinar a distribuição de tensão resultante. 
 
 O princípio da superposição pode ser usado desde que exista uma relação 
linear entre a tensão e as cargas. 
 
 A geometria do elemento não deve sofrer mudança significativa quando as 
cargas são aplicadas. 
 
 Isso é necessário para assegurar que a tensão resultante seja obtida pelo 
somatório das tensões e não pelo somatório das cargas, pois estas atuam 
sobre diferentes áreas ou seções. 
 34 
Esforços Simples 
Esforço Normal - Tende a promover variação da distância 
que separa as seções, permanecendo as mesmas paralelas uma 
à outra. 
 
 
 
 
O esforço normal será positivo quando de tração, ou seja, 
quando tender a afastar duas seções infinitamente 
próximas, e negativo quando de compressão. 35 
 Esforço Cortante - Tende a promover o deslizamento 
relativo de uma seção em relação à outra. 
 
 
 
 
O esforço cortante será positivo quando, calculado pelas 
forças situadas do lado esquerdo da seção, tiver o sentido 
positivo do eixo y e quando calculado pelas forças situadas 
do lado direito da seção, tiver o sentido negativo do eixo y. 
36 
𝑽 
Momento Torsor - Tende a promover uma rotação relativa 
entre 2 seções infinitamente próximas em torno de um eixo que 
lhes é perpendicular, passando pelo seu centro de gravidade 
 
 
 
 
O momento torsor é positivo quando o vetor de seta dupla 
que o representa estiver tracionando a seção. 
37 
Momento Fletor - Tende a provocar uma rotação da seção em 
torno de um eixo situado em seu próprio plano. 
 
 
 
 
 
O efeito de pode ser assimilado ao binário, isto provoca uma 
tendência de alongamento em uma das partes da seção e 
encurtamento na outra, deixando a peça fletida. 
38 
Resumo 
 
 
 
 
Esforço normal 
Esforço cortante/ 
cisalhante 
Momento fletor 
Momento torsor 
39 
 
Esforços internos 
 
As componentes internas das forças devem agir passando pelo 
centróide da seção transversal, já as componentes internas dos 
momentos devem ser calculadas em torno dos eixos do centróide, os 
quais representam os eixos principais de inércia para a seção 
transversal. 
40 
São as componentes internas da força normal e da força cortante 
(tangencial) resultantes, bem como as componentes dos momentos 
fletor e torsor. 
Tensão normal média 
 
 
Calculada a partir da componente da tensão associada ao esforço 
interno. Para cada caso, representa o efeito como uma distribuição de 
tensão que age sobre toda a área da seção transversal ou mostra a 
tensão sobre um elemento do material localizado em um ponto específico 
na seção transversal. 
41 
Tensão normal 
Tensão de Cisalhamento devido ao esforço cortante 
𝝉 =
𝑽𝑸
𝑰𝒕
 
𝝈 =
𝑵
𝑨
 
A tensão normal é associada a uma distribuição uniforme do esforço 
normal sobre a área da seção, e é determinada por: 
A tensão de cisalhamento é associada a uma distribuição uniforme do 
esforço cortante em um elemento submetido a flexão, e é determinada 
pela fórmula de cisalhamento: 
 
 
42 
Tensão de Flexão 
A distribuição de tensão é determinada pela fórmula da flexão: 
Para eixos e tubos circulares, o esforço de momento torsor gera uma 
distribuição de tensão de cisalhamento que varia linearmente do eixo que 
passa pelo centróide da seção transversal até um valor máximo nas fibras 
mais afastadas desse eixo. 
 
A distribuição de tensão de cisalhamento é determinada pela fórmula de 
torção: 
 𝝉 =
𝑻𝝆
𝑱
 
𝝈 =
𝑴𝒚
𝒍
 
Para elementos retos, a tensão de flexão é gerada pelo esforço de 
momento fletor, e varia linearmente de zero, no eixo longitudinal que 
passa pelo centróide da seção transversal, a um valor máximo positivo 
(normal de tração) a um valor máximo negativo (normal de compressão) 
nas fibras mais afastadas desse eixo. 
Tensão de Cisalhamento devido ao momento torsor 
 
 
Superposição 
• Uma vez calculadas as componentes da tensão normal e da tensão 
de cisalhamento para cada tipo de esforço interno, usa-se o princípio 
da superposição para determinar as componentes das resultantes 
dessas tensões. 
 
• Representam-se os resultados em um elemento material localizado 
num dado ponto da seção transversal ou se mostram os resultados na 
forma de uma distribuição de tensão sobre toda a área da seção 
transversal. 
43 
 
 
A haste maciça tem raio de 0,75 pol. Se for submetida ao carregamento 
mostrado, qual será o estado de tensão no ponto A? 
 
Exemplo 1 
44 
Solução exemplo 1 
 
 Esforços internos: a haste é secionada através do ponto A. Usando o 
diagrama de corpo livre (DCL) do segmento AB, determina-se a resultante 
dos esforços internos pelas 6 equações de equilíbrio: 
 
y 
My = Ty = 
Mx= 
Mz= 
45 
 
 
 Para visualizar melhor as distribuições de tensão devida a cada uma 
desses esforços internos consideraremos as resultantes iguais,porém 
opostas, que atuam sobre AC. 
 
46 
 
 
 Esforço Normal (N = 500 lb) – A distribuição de tensão normal no ponto 
A fica: 
1ksi =1000 psi 
47 
= N 
 
 
 Esforço Cortante (V = 800 lb) – A distribuição de tensão cisalhante no 
ponto A fica: 
A’ = parte superior (ou inferior) da área da 
seção transversal do elemento, definida 
pela seção onde t é medido; 
 
= distância até o centróide de A’, medida a partir do eixo neutro 
Onde: 
48 
Para o ponto A, Q é determinada pela área semicircular 
sombreada: 
Onde: 
Q = Momento de 1ª ordem da área em torno da linha neutra. 
I = Momento de inércia de toda área da seção transversal, calculado 
em torno da linha neutra; 
t = Diâmetro (neste caso). 
V = 
 
 
O centro de gravidade de um semicírculo 𝑦 ′ é: 
𝑄 =
4 ∙ 0,75
3𝜋
∙
1
2
∙ 𝜋 ∙ 0,752 = 0,3183 ∙ 0,8836 
 
𝑸 = 𝟎, 𝟐𝟖𝟏𝟑 𝒑𝒐𝒍𝟑 
49 
(Tabelado) 
𝑄 = 𝑦 ́𝐴´ 
 
 
Então: 
O Momento de Inércia I da área circular 
1ksi =1000 psi 
50 
 
Momentos Fletores – Para a componente Mx= 8.000 lb.pol, o ponto A 
localizado no eixo neutro, a tensão normal fica: 
= Mx 
51 
 
 
Momentos Fletores – Para a componente Mz= 7000 lb.pol, o ponto A 
localizado no eixo neutro, a tensão normal fica: 
c = r = 0,75 pol 
1ksi =1000 psi 
Momento de inércia (I) 
da área circular é: 
𝜎𝐴 =
𝑀𝑐
𝐼
=
7000𝑙𝑏 ∙ 𝑝𝑜𝑙 0,75 ∙ 𝑝𝑜𝑙
1
4𝜋 0,75 ∙ 𝑝𝑜𝑙
4
= 21126 𝑝𝑠𝑖 
52 
= Mz 
 
 
Momento Torsor – Para a componente My= Ty =11.200 lb.pol, no ponto A, 
o raio r = c = 0,75 pol. Então a tensão cisalhante fica: 
53 
= My= Ty 
 
 
Resultado da Superposição 
54