373550529-Caderno-Resmat-i-2017-1-Final-Rev

Prévia do material em texto

2 
 
 
www.redentor.edu.br 
 
3 
 
 
www.redentor.edu.br 
 
4 
 
 
www.redentor.edu.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A autora do caderno de estudos é a professora Muriel Batista de Oliveira, 
brasileira, natural de Rio Grande/RS, bacharel em Engenharia Civil pela Universidade 
Federal de Rio Grande (FURG, 2002), Mestre em Engenharia Civil pela Universidade 
Federal do Rio de Janeiro (COPPE/UFRJ, 2005) e Doutora em Ciências da Educação 
pela Universidad Americana (2016). Especialista em Docência do Ensino Superior 
(REDENTOR, 2007), Especialista em Engenharia de Segurança do Trabalho 
(REDENTOR, 2011) e Especialista em Educação Ambiental (FETREMIS, 2014). 
Professora da Faculdade Redentor desde 2006, nos cursos de Engenharias. 
Coordena o curso de engenharia civil na modalidade EaD. Tem experiência nas 
disciplinas de Cálculo 0, Geometria Descritiva, Geometria Analítica, Metodologia 
Científica, Álgebra Linear, Probabilidade e Estatística, Resistência dos Materiais, 
Equipamentos, Engenharia de Segurança do Trabalho, Fenômenos de Transporte, 
Instalações Prediais II, Saneamento e Trabalho de Conclusão de Curso. Atuou como 
Engenheira Civil, como projetista e responsável técnica de obras públicas e privadas. 
 
Muriel Batista de Oliveira 
 
5 
 
 
www.redentor.edu.br 
 
 
Olá querido aluno (a), seja muito bem-vindo (a)! 
Continuando sua formação em Engenharia, você tem um novo e grande desafio 
para concluir as disciplinas do ciclo básico. Nossa disciplina intitula-se Resistência 
dos Materiais I e aborda conteúdos que são ferramentas importantes para a formação 
profissional na área de Engenharia. 
Após terminar esta disciplina você deverá ser capaz de compreender o 
comportamento dos materiais sujeitos a agentes mecânicos, dentre outros, que atuam 
sobre peças de formas simples, buscando-se a quantificação dos efeitos através da 
introdução de hipóteses simplificadoras as quais, ao tempo em que permitem a 
obtenção de fórmulas matemáticas mais simples que não deixam de representar a 
realidade prática, nos limites de precisão exigidos pelas necessidades da Engenharia. 
É importante frisar que nesse caderno você encontrará o básico dos conceitos 
e aplicações. O conteúdo vai muito além. Vale ressaltar que será muito importante 
consultar as bibliografias básica e complementar. Acima de tudo, você deverá praticar 
muito. Sugiro que após cada capítulo, que estarão apresentados divididos em aulas, 
você busque fazer alguns dos exercícios propostos nas listas e na bibliografia indicada 
ao final das mesmas. 
A disciplina foi dividida em sete capítulos divididos em dezesseis aulas, 
contendo exemplos e atividades a serem resolvidas, sendo importante você manter 
uma constância em seus estudos. 
 Portanto, não acumule dúvidas! Consulte o professor, participe dos fóruns, 
releia o caderno, as bibliografias recomendadas, faça os exercícios teóricos e 
principalmente os práticos, assista aos vídeos sugeridos e outras fontes que você 
considerar importantes para sua aprendizagem. 
Não esqueça: é preciso praticar... E muito! 
Bons estudos! 
 
Apresentação 
6 
 
 
www.redentor.edu.br 
 
A Resistência dos Materiais é um ramo da Mecânica Aplicada que estuda a 
resistência de materiais de engenharia e seu comportamento mecânico sob ação de 
carregamentos. A disciplina busca fornecer a você aluno(a) conceitos sobre 
resistência dos materiais, objetivando prepará-lo(a) para as disciplinas do ciclo 
profissional onde esses conceitos são aplicados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este caderno de estudos tem como objetivos: 
 
➢ Compreender o comportamento de estruturas mecânicas sujeitas a 
esforços externos; 
➢ Analisar elementos que compõem projetos; 
➢ Interpretar catálogos, manuais e tabelas; 
➢ Especificar elementos que compõem projetos; 
➢ Interpretar e distinguir materiais, elementos e suas propriedades nos 
sistemas; 
➢ Dimensionar e especificar materiais; 
➢ Efetuar cálculos e identificar os materiais quanto a sua capacidade de 
carga e tensões; 
➢ Analisar o gráfico tensão/deformação e o comportamento de um material; 
➢ Conhecer as propriedades mecânicas dos materiais; 
➢ Aplicar conceitos de tensão admissível e fator de segurança; 
➢ Analisar as classes de resistência: tração, flexão, compressão, 
cisalhamento, torção, flexotorção e flambagem. 
➢ Ajudar e dar subsídio para o aluno desenvolver a sua capacidade de 
projetar sistemas estruturais. 
➢ Interpretação e de solução de problemas espaciais nas demais disciplinas 
do curso. 
➢ Capacitar o acadêmico na habilidade de interpretação e resolução de 
problemas concretos e abstratos, aumentando sua visão espacial, 
integrando conhecimentos multidisciplinares e viabilizando a 
representação de figuras associadas a novos padrões e técnicas de 
resolução. 
Objetivos 
7 
 
 
www.redentor.edu.br 
 
 
 
AULA 1 
APRESENTAÇÃO DA AULA .............................................................................................. 12 
1 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS TENSÕES .............................................................. 13 
1.1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 13 
1.2 FORÇAS E TENSÕES ........................................................................................... 20 
1.3 FORÇAS AXIAIS, TENSÕES NORMAIS ................................................................ 21 
1.4 TENSÃO DE CISALHAMENTO .............................................................................. 23 
1.5 TENSÕES DE ESMAGAMENTO ............................................................................ 24 
1.6 TENSÕES EM UM PLANO OBLÍQUO AO EIXO .................................................... 24 
1.7 COMPONENTE DE TENSÃO ................................................................................. 25 
1.8 TENSÕES ADMISSÍVEIS, TENSÕES ÚLTIMAS E COEFICIENTE DE 
SEGURANÇA ............................................................................................................... 26 
 
AULA 2 
APRESENTAÇÃO DA AULA .............................................................................................. 35 
EXEMPLOS RESOLVIDOS: INTRODUÇÃO Ao ESTUDO DAS TENSÕES ....................... 36 
 
AULA 3 
APRESENTAÇÃO DA AULA .............................................................................................. 56 
2 TENSÃO E DEFORMAÇÃO - CARREGAMENTO AXIAL ............................................. 57 
2.1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................57 
2.2 DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA NORMAL SOB CARREGAMENTO AXIAL.............. 57 
2.3 DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO ................................................................... 58 
2.4 COMPORTAMENTO ELÁSTICO E PLÁSTICO DOS MATERIAIS ......................... 63 
2.5 LEI DE HOOKE, MÓDULO DE ELASTICIDADE ..................................................... 66 
2.6 DEFORMAÇÃO DE BARRAS SUJEITAS A CARGAS AXIAIS ............................... 68 
2.7 PROBLEMAS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS .......................................... 69 
2.8 COEFICIENTE DE POISSON ................................................................................. 69 
2.9 TENSÕES TÉRMICAS ........................................................................................... 70 
 
 
Sumário 
8 
 
 
www.redentor.edu.br 
 
AULA 4 
APRESENTAÇÃO DA AULA .............................................................................................. 77 
EXEMPLOS RESOLVIDOS: TENSÃO E DEFORMAÇÃO – CARREGAMENTO AXIAL .... 78 
 
AULA 5 
APRESENTAÇÃO DA AULA .............................................................................................. 99 
3. TORÇÃO .................................................................................................................... 100 
3.1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 100 
3.2 APLICAÇÃO DO MÉTODO DAS SEÇÕES........................................................... 101 
3.3 DEFORMAÇÃO EM SEÇÕES TRANSVERSAIS CIRCULARES .......................... 102 
3.4 TENSÕES NO REGIME ELÁSTICO ..................................................................... 103 
3.5 ÂNGULO DE TORÇÃO NO REGIME ELÁSTICO ................................................. 105 
3.6 EIXOS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS ................................................... 107 
3.7 PROJETO DE EIXOS DE TRANSMISSÃO........................................................... 107 
3.8 TORÇÃO EM BARRAS DE SEÇÃO NÃO CIRCULAR .......................................... 108 
3.9 CONVENÇÃO DE SINAIS .................................................................................... 111 
 
AULA 6 
APRESENTAÇÃO DA AULA ............................................................................................ 117 
EXEMPLOS RESOLVIDOS: TORÇÃO ............................................................................. 118 
 
AULA 7 
APRESENTAÇÃO DA AULA ............................................................................................ 139 
4 FLEXÃO PURA ........................................................................................................... 140 
4.1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 140 
4.2 BARRAS PRISMÁTICAS EM FLEXÃO PURA ...................................................... 140 
4.3 ANÁLISE DAS TENSÕES NA FLEXÃO PURA ..................................................... 141 
4.4 DEFORMAÇÃO EM UMA BARRA SIMÉTRICA NA FLEXÃO ............................... 142 
4.5 TENSÕES E DEFORMAÇÕES NO REGIME ELÁSTICO ..................................... 144 
4.6 FLEXÃO DE BARRAS COMPOSTAS ................................................................... 147 
4.7 FLEXÃO OBLÍQUA ............................................................................................... 149 
 
AULA 8 
APRESENTAÇÃO DA AULA ............................................................................................ 157 
EXEMPLOS RESOLVIDOS: FLEXÃO PURA ................................................................... 158 
 
9 
 
 
www.redentor.edu.br 
 
AULA 9 
APRESENTAÇÃO DA AULA ............................................................................................ 179 
5. CARREGAMENTO TRANSVERSAL .......................................................................... 180 
5.1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 180 
5.2 CARREGAMENTO TRANSVERSAL EM BARRAS PRISMÁTICAS ...................... 180 
5.3 HIPÓTESES BASICAS PARA A DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NORMAIS ........ 183 
5.4 DETERMINAÇÃO DO FLUXO DE CISALHAMENTO EM UM PLANO 
LONGITUDINAL ......................................................................................................... 183 
5.5 DETERMINAÇÃO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO xy EM UMA VIGA ............ 185 
5.6 TENSÕES DE CISALHAMENTO τxy EM SEÇÕES TRANSVERSAIS USUAIS ..... 186 
5.7 CISALHAMENTO EM UMA SEÇÃO LONGITUDINAL ARBITRÁRIA .................... 189 
5.8 TENSÕES DE CISALHAMENTO EM BARRAS DE PAREDES FINAS ................. 190 
EXEMPLO RESOLVIDO 1 ............................................................................................. 191 
EXEMPLO RESOLVIDO 2 ............................................................................................. 193 
 
AULA 10 
APRESENTAÇÃO DA AULA ............................................................................................ 199 
EXEMPLOS RESOLVIDOS: CARREGAMENTO TRANSVERSAL .................................. 200 
 
AULA 11 
APRESENTAÇÃO DA AULA ............................................................................................ 218 
6. INTRODUÇÃO AO PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS .................................. 219 
6.1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 219 
6.2 MÉTODO DO TRABALHO VIRTUAL PARA DEFLEXÕES ................................... 219 
6.3 EQUAÇÕES DO TRABALHO VIRTUAL PARA SISTEMAS ELÁSTICOS ............. 221 
 
AULA 12 
APRESENTAÇÃO DA AULA ............................................................................................ 235 
EXEMPLOS RESOLVIDOS: INTRODUÇÃO AO PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS
 .......................................................................................................................................... 236 
 
AULA 13 
APRESENTAÇÃO DA AULA ............................................................................................ 253 
7. ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES ............................................................ 254 
7.1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 254 
7.2 ESTADO PLANO DE TENSÕES .......................................................................... 256 
7.3 TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA ................... 259 
10 
 
 
www.redentor.edu.br 
7.4 CÍRCULO DE MOHR – TENSÃO NO PLANO ...................................................... 262 
_Toc475526248 
AULA 14 
APRESENTAÇÃO DA AULA ............................................................................................ 273 
EXEMPLOS RESOLVIDOS: ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES ..................... 274 
 
AULA 15 
APRESENTAÇÃO DA AULA ............................................................................................ 288 
7.5 TEORIAS DE RESISTÊNCIA ............................................................................... 289 
7.5.1 CRITÉRIOS DE FRATURA ................................................................................ 290 
7.5.2 CRITÉRIOS DE ESCOAMENTO ......................................................................292 
 
AULA 16 
APRESENTAÇÃO DA AULA ............................................................................................ 308 
PROBLEMAS PROPOSTOS ............................................................................................ 309 
 
 
 
11 
 
 
www.redentor.edu.br 
 
 
 
Iconografia 
12 
 
 
www.redentor.edu.br 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
Nesta aula faremos uma breve revisão de conceitos básicos de estática e 
estudaremos os conceitos iniciais da Resistência dos Materiais, os tipos de 
carregamentos aos quais as estruturas podem estar sujeitas, além dos conceitos de 
tensão normal e de cisalhamento e coeficiente de segurança. 
 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
➢ Aplicar os conceitos da estática para calcular as forças internas 
resultantes em um corpo; 
➢ Aplicar o conceito de tensão normal 
➢ Aplicar o conceito de tensão de cisalhamento 
➢ Aplicar o conceito de coeficiente de segurança para cálculo de tensões 
admissíveis; 
➢ Analisar estruturas sujeitas a cargas axiais ou cisalhantes. 
 
 
Aula 1 
CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS TENSÕES 
 
 
13 
 
 
www.redentor.edu.br 
1 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS TENSÕES 
1.1 INTRODUÇÃO 
 
Para iniciarmos nosso estudo na disciplina é 
importante relembrarmos alguns conceitos e definições 
para entender onde está situada a Resistência dos Materiais 
(Figura 1.1): 
Figura 1.1 – Divisões da Mecânica Aplicada 
 
• Mecânica Aplicada: Ramo da ciência que, 
através da aplicação dos princípios de mecânica, busca 
entender, explicar e prever as ações e reações de corpos 
em repouso ou movimento. 
• Mecânica do Contínuo: Ramo da ciência que lida 
com meios contínuos, incluindo sólidos e fluidos. 
• Mecânica dos Sólidos: Estuda a física de sólidos contínuos, com forma 
definida quando em repouso. 
• Elasticidade: Descreve o comportamento de materiais que retomam sua 
forma original após a aplicação de esforços mecânicos. 
• Plasticidade: Descreve o comportamento de materiais que têm sua forma 
original modificada após a aplicação de esforços mecânicos. 
A história da 
Resistência dos 
Materiais é uma 
combinação de teoria e 
experiência. Cientistas, 
como Leonardo da 
Vinci e Galileu Galilei 
fizeram experiências 
para determinar a 
resistência de fios, 
barras e vigas, sem 
que tivessem 
desenvolvido teorias 
adequadas (pelos 
padrões de hoje) para 
explicar os resultados 
atingidos. Outros 
gênios, como Leonhard 
Euler, desenvolveram 
teorias matemáticas 
muito antes de 
qualquer experiência 
que evidenciasse a 
importância do seu 
achado. No início do 
sec. XVIII Saint-
Venant, Poisson e 
Navier desenvolveram 
estudos com 
aplicações da 
mecânica dos corpos 
materiais, que foram 
denominados 
Resistência dos 
Materiais. 
14 
 
 
www.redentor.edu.br 
• Resistência dos Materiais: Estuda a resistência de materiais de engenharia 
e seu comportamento mecânico sob ação de carregamentos. 
 A teoria da elasticidade e a teoria da plasticidade são áreas da Mecânica 
Avançada, que com pesquisas contínuas busca além de resolver problemas 
avançados de engenharia, justificar a maior utilização e as limitações da teoria 
fundamental da mecânica dos materiais (HIBBELER, 2010). 
O principal objetivo de um curso de Resistência dos Materiais / Mecânica dos 
Sólidos é o desenvolvimento de relações entre as cargas aplicadas a um corpo e as 
forças internas e deformações nele originadas. Estas relações são obtidas através de 
métodos matemáticos ou experimentais, que permitam a análise destes fenômenos. 
✓ Problema: Corpo sujeito a ação de esforços externos (forças, momentos, 
etc.). 
✓ Solução: Determinar esforços internos (tensões), deslocamentos e 
deformações. 
Normalmente buscamos a solução de três tipos de problemas: 
✓ Projetos: Definição de materiais, forma e dimensões da peça estudada. 
✓ Verificações: Diagnosticar a adequação e condições de segurança de um 
projeto conhecido. 
✓ Avaliação de capacidade: Determinação da carga máxima que pode ser 
suportada com segurança. 
Entre muitos dos conceitos que deve estar claros e que são indispensáveis para 
a solução de problemas de engenharia estão: 
• Força: é toda a grandeza capaz de provocar movimento, alterar o estado de 
movimento ou provocar deformação em um corpo. Em análise estrutural as 
forças são divididas em: 
- Forças Externas: atuam na parte externa na estrutura. Podem ser ativas ou 
reativas. 
- Ativas: São forças independentes que podem atuar em qualquer ponto de uma 
estrutura. Correspondem às cargas as quais estaremos submetendo a estrutura, 
normalmente conhecidas ou avaliadas. Por exemplo: peso do pedestre em uma 
passarela, peso próprio das estruturas, etc. 
15 
 
 
www.redentor.edu.br 
- Reativas: São forças que surgem em determinados pontos de uma estrutura 
(vínculos ou apoios), sendo consequência das ações, portanto não são 
independentes, devendo ser calculadas para se equivalerem as ações e assim 
preservarem o equilíbrio do sistema. 
Assim, podemos dizer que sempre que uma peça de estrutura carregada tiver 
contato com elementos externos ao sistema (vínculo), neste ponto surge uma força 
reativa. 
Forças Internas: são aquelas que mantêm unidos os pontos materiais que 
formam o corpo sólido da estrutura (solicitações internas). Se o corpo é 
estruturalmente composto de diversas partes, as forças que mantém estas partes 
unidas também são chamadas de forças internas (forças desenvolvidas em rótulas). 
A Figura 1.2 ilustra os esforços internos de Tração, Compressão, 
Cisalhamento, Flexão, Torção e Esforços combinados. 
 
Figura 1.2 – Esforços internos: 
(a) Tração; (b) Compressão; (c) Cisalhamento; (d) Flexão; (e) Torção. 
 
• Momento: Momento de uma força é a medida da tendência que tem a força 
de produzir giro em um corpo rígido. Este giro pode se dar em torno de um ponto 
(momento polar) ou em torno de um eixo (momento axial). 
16 
 
 
www.redentor.edu.br 
• Princípio da superposição de efeitos: "O efeito produzido por um conjunto 
de forças atuando simultaneamente em um corpo é igual à soma do efeito produzido 
por cada uma das forças atuando isolada". 
Deve-se fazer a ressalva de que a validade deste princípio se resume a casos 
em que o efeito produzido pela força seja diretamente proporcional a mesma. Isto 
acontece na maioria dos casos estudados. A partir deste princípio podemos dizer que 
o momento resultante de um sistema de forças é a soma algébrica dos momentos, 
produzidos em relação ao mesmo ponto,por cada uma das forças atuando isolada. 
• Vínculo: É todo o elemento de ligação (dispositivo mecânico) entre as partes 
de uma estrutura ou entre a estrutura e o meio externo, cuja finalidade é restringir um 
ou mais graus de liberdade de um corpo. Os esforços reativos (reações), juntamente 
com as ações (cargas aplicadas à estrutura) formam um sistema em equilíbrio 
estático. 
 Uma estrutura espacial possui seis graus de liberdade: três translações e 
três rotações segundo três eixos ortogonais. A fim de evitar a tendência de movimento 
da estrutura, estes graus de liberdade precisam ser restringidos. 
- Vínculos externos: São vínculos que unem os elementos de uma estrutura 
ao meio externo e se classificam quanto ao número de graus de liberdade restringidos. 
No caso plano o vínculo pode restringir até 3 graus de liberdade (GL) e, portanto, se 
classifica em três espécies (Figura 1.3). 
(a) Primeira espécie ou primeiro gênero (apoio móvel): restringe uma 
translação 
(b) Segunda espécie ou segundo gênero (apoio fixo): restringe duas 
translações 
(c) Terceira espécie ou terceiro gênero (engaste): restringe duas translações e 
uma rotação 
 
 
 
 
 
Figura 1.3 – Vínculos de primeiro, segundo e terceiro gênero 
 
 (a) (b) (c) 
17 
 
 
www.redentor.edu.br 
- Vínculos internos: São aqueles que unem partes componentes de uma 
estrutura. Compõem as estruturas compostas. 
• Equilíbrio: Sempre que se deseja trabalhar com uma peça componente de 
uma estrutura ou máquina, devemos observar e garantir o seu equilíbrio externo e 
interno. 
- Equilíbrio externo: Para que o equilíbrio externo seja mantido se considera 
a peça monolítica e indeformável. Diz-se que um corpo está em equilíbrio estático 
quando as forças atuantes formam entre si um sistema equivalente à zero, isto é, sua 
resultante e o seu momento em relação a qualquer ponto são nulos. 
Como se costuma trabalhar com as forças e momentos referenciados a um 
sistema tri-ortogonal de eixos, desta maneira o equilíbrio se verifica se as seis 
equações abaixo são satisfeitas: 
∑𝐹𝑥 = 0 ∑𝑀𝑥 = 0 (1.1) 
 
∑𝐹𝑦 = 0 ∑𝑀𝑦 = 0 (1.2) 
 
∑𝐹𝑧 = 0 ∑𝑀𝑧 = 0 (1.3) 
Diante de um caso de carregamento plano e, portanto, apresentando 3 graus 
de liberdade, as condições de equilíbrio se reduzem apenas às equações: 
∑𝐹𝑥 = 0 ∑𝐹𝑦 = 0 ∑𝑀𝑧 = 0 (1.4) 
Observe que as equações de equilíbrio adotadas devem ser apropriadas ao 
sistema de forças em questão, e se constituem nas equações fundamentais da 
estática. 
- Equilíbrio interno: De uma maneira geral podemos dizer que o equilíbrio 
externo não leva em conta o modo como o corpo transmite as cargas para os vínculos. 
O corpo quando recebe cargas vai gradativamente deformando-se até atingir o 
equilíbrio, onde as deformações param de aumentar (são impedidas internamente), 
gerando solicitações internas. Estas solicitações internas são responsáveis pelo 
equilíbrio interno do corpo. 
 O método das seções é utilizado para determinar as resultantes internas em um 
ponto localizado sobre a seção de um corpo. Em geral, essas resultantes consistem 
18 
 
 
www.redentor.edu.br 
em uma força normal, uma força de cisalhamento, um momento de 
torção e um momento fletor. 
A Figura 1.4 ilustra esse procedimento numericamente: 
 
Figura 1.4 – Esquema do método das seções 
Fonte: HIBBELER, 2010. 
 
Como vimos, a Resistência dos Materiais é um ramo da Mecânica 
que estuda as relações entre as cargas externas aplicadas a um 
corpo deformável e a intensidade das forças internas que agem no 
interior do corpo. Assim, tem-se envolvido o cálculo das 
deformações do corpo e o estudo da estabilidade do mesmo quando 
sujeito a forças externas. 
O cálculo de uma estrutura depende de três critérios: 
✓ Estabilidade: Toda estrutura deverá atender às equações universais de 
equilíbrio estático. 
✓ Resistência: Toda estrutura deverá resistir às tensões internas geradas 
pelas ações solicitantes. 
✓ Rigidez: Além de resistir às tensões internas geradas pelas ações 
solicitantes, as estruturas não podem se deformar excessivamente. 
A boa compreensão dos conceitos que envolvem a mecânica dos sólidos está 
intimamente ligada ao estudo de duas grandezas físicas: A tensão e a deformação, 
que serão abordadas durante todo o tempo nesta disciplina. 
19 
 
 
www.redentor.edu.br 
Este capítulo, nas aulas 1 e 2, está voltado para o conceito de tensão e a 
introdução dos métodos usados na análise e projeto de máquinas e estruturas de 
sustentação, que se constituem de diversos elementos estruturais que podem ser 
classificados como: blocos, placas, cascas (placas curvas), barras e de outros 
elementos estruturais complexos (Figuras 1.5 a 1.8). 
 
Figura 1.5- Blocos (ex. sapata de fundação e bloco de coroamento de estaca) 
 
 
 
Figura 1.6- Placas (ex. pavimento de concreto) e Cascas (ex. caldeira, avião, navio, lata). 
 
20 
 
 
www.redentor.edu.br 
 
Figura 1.7- Barras: Podem ser retas (vigas, pilares, tirantes e escoras) ou curvas (arcos). 
 
 
Figura 1.8- Elementos Estruturais complexos (estruturas rebuscadas) 
 
1.2 FORÇAS E TENSÕES 
 
Consideremos uma barra reta submetida a duas forças axiais P e P’ (Figura 
1.9). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.9 
A força por unidade de área ou a intensidade das forças distribuídas numa 
certa seção transversal é chamada tensão atuante (σ) “sigma”. A tensão em uma 
barra se seção transversal A, sujeita a uma força axial P é obtida dividindo-se o 
módulo P da força pela área A. 
21 
 
 
www.redentor.edu.br 
 𝜎 =
𝑃
𝐴
 (1.5) 
onde: 
 σ: tensão média em qualquer ponto na área da seção transversal; 
 P: força normal interna resultante, que é aplicada no centroide da área da 
seção transversal. P é determinada pelo método das seções e pelas equações de 
equilíbrio; 
 A: área da seção transversal da barra. 
Obs: O método das seções é usado para determinar as cargas resultantes internas 
que agem sobre a superfície do corpo secionado. 
 
Unidades: 
P [N] newton, [lb] libras 
A [m²] metro², [in²] polegada² 
σ [N/m²] = [Pa], [Psi ou ksi] 
 
Convenção: 
 A convenção de sinais para as tensões deve ser de tal maneira que não permita 
que uma mesma tensão tenha valores algébricos de sinais opostos quando se analisa 
uma face ou outra do solido de tensões. 
 Para as tensões normais: São positivas quando estão associadas à tração (como 
mostrado na Figura 1.9) e negativas quando estão associadas à compressão. 
 
1.3 FORÇAS AXIAIS, TENSÕES NORMAIS 
 
Na equação 1.5, σ representa o valor médio das tensõesna seção transversal. 
Para definir a tensão em um dado ponto Q da seção transversal, deve-se considerar 
uma pequena área ΔA (Figura 1.10). Fazendo ΔA tender a zero, obtém-se a tensão 
no ponto Q. 
 
 
 
 
 
22 
 
 
www.redentor.edu.br 
 𝜎 = 𝑙𝑖𝑚
∆𝐴→0
∆𝐹
∆𝐴
 (1.6) 
Figura 1.10 
 
Na equação 1.6 o valor da tensão é diferente do valor obtido com a equação 
1.5, pois σ varia ao longo da seção transversal (em 1.6). 
A distribuição real das tensões em uma certa seção transversal é estaticamente 
indeterminada. 
Na prática, vamos assumir que a distribuição de tensões é uniforme em uma 
barra carregada axialmente, com a exceção das seções vizinhas ao ponto aplicação 
da carga. 
Uma distribuição uniforme de tensões só é possível se a linha de ação das 
forças aplicadas P e P’ passar pelo centroide da seção considerada (Figura 1.11). A 
carga centrada será adotada como carregamento atuante em todas as barras do eixo 
reto das treliças e estruturas reticuladas (barras conectadas por pinos). Cargas 
excêntricas serão vistas no capítulo 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.11 
23 
 
 
www.redentor.edu.br 
1.4 TENSÃO DE CISALHAMENTO 
 
Consideremos a barra da Figura 1.12 onde duas forças P e P’ são aplicadas 
na direção transversal à barra. A resultante de intensidade P é chamada de força 
cortante na seção. Ao dividirmos a força P cortante pela área da seção transversal A 
obtemos a tensão média de cisalhamento na seção (méd). 
 
 
 
 𝜏𝑚é𝑑 =
𝑃
𝐴
 (1.7) 
 
 Ou 
 
 𝜏𝑚é𝑑 =
𝐹
𝐴
 (1.8) 
 
 Figura 1.12 
Contrariamente ao que foi dito para tensões normais, a distribuição das tensões 
de cisalhamento na seção transversal não pode ser assumida como uniforme, como 
será visto no capítulo 5. 
As tensões de cisalhamento (equação 1.8) são encontradas em parafusos, 
pinos e rebites ligando membros estruturais ou componentes de máquinas. Sendo 
estes elementos finos, pode-se desprezar o momento criado pela força F. Por 
consequência, para equilíbrio, a área da seção transversal do conector e a superfície 
de fixação entre os elementos estão sujeitos a somente uma única força de 
cisalhamento simples, sendo assim, P = F. 
 
 
 
 
 
Figura 1.13 
 
24 
 
 
www.redentor.edu.br 
1.5 TENSÕES DE ESMAGAMENTO 
 
Os parafusos, pinos e rebites provocam tensão de esmagamento nas barras 
que estão ligando, ao longo da superfície de contato. 
A tensão de esmagamento (σe) é obtida dividindo-se a força P pela área que 
representa a projeção do rebite sobre a seção da chapa. Essa área é igual a t.d, onde 
t é a espessura da chapa e d é o diâmetro do rebite. (Figura 1.14) 
 
Figura 1.14 
(Fonte: BEER, 2006) 
 
 𝜎𝑒 =
𝑃
𝐴
=
𝑃
𝒕𝒅
 (1.7) 
 
 
1.6 TENSÕES EM UM PLANO OBLÍQUO AO EIXO 
 
Consideremos agora tensões que surgem sobre uma seção oblíqua de uma 
barra sujeita a um par de cargas axiais. Observa-se que ambas as tensões normais e 
de cisalhamento ocorrem nessa situação. Denotando por θ o ângulo entre a seção e 
o plano normal (Figura 1.15) e por A0 a área de uma seção perpendicular ao eixo da 
barra, podemos escrever: 
 
 
 
Figura 1.15 
 𝜎 =
𝑃
𝐴0
𝑐𝑜𝑠 ² 𝜃 e 𝜏 =
𝑃
𝐴0
𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜃 (1.10) 
 
Observação: 
25 
 
 
www.redentor.edu.br 
σmáx =
P
A0
 para θ = 0° e σ =
P
2A0
 para θ = 45° 
 
τmáx =
P
2A0
 para θ = 45° e τ = 0 para θ = 0° 
 
Um exemplo de aplicação de tensões oblíquas ao eixo será abordado 
na aula 2. 
 
 
1.7 COMPONENTE DE TENSÃO 
 
Tomando-se então cada um dos três planos ortogonais yz (vetor normal 
paralelo ao eixo x), xz (vetor normal paralelo ao eixo y) e xy (vetor normal paralelo ao 
eixo z) é possível definir três vetores tensões, (Figuras 1.16) que serão fundamentais 
no estudo da grandeza tensão. 
Consideremos um pequeno cubo centrado em M (Figura 1.17). Denotamos por 
σx a tensão normal exercida sobre uma face do cubo perpendicular ao eixo x, e por 
xy e xz, respectivamente, as componentes y e z da tensão de cisalhamento exercida 
sobre a mesma face do cubo. Repetindo esse procedimento para as duas outras faces 
do cubo e observando que xy = yx, yz = zy, zx = xz pode-se concluir que são 
necessárias seis componentes de tensões para definir o estado de tensão em dado 
ponto M, ou seja, σx, σy, σz, xy, yz e zx. 
 
Figura 1.16- Tensões nos três planos ortogonais. 
26 
 
 
www.redentor.edu.br 
 
Figura 1.17- Tensão sob carregamento axial. 
Convenção: 
 A convenção de sinais as tensões tangenciais é a seguinte: Quando a normal 
externa do sólido de tensões apontar na mesma direção do eixo coordenado, as 
tensões tangenciais são positivas quando apontarem para o mesmo sentido do seu 
respectivo eixo coordenado (como na Figura 1.17). 
✓ Tensões normais: Estas tensões são resultado de um carregamento que 
provoca a aproximação ou o afastamento de moléculas que constituem o sólido. 
✓ Tensões cisalhantes ou tangenciais: Estas tensões são resultado de um 
carregamento que provoca um deslizamento relativo de moléculas que constituem o 
sólido. 
 
1.8 TENSÕES ADMISSÍVEIS, TENSÕES ÚLTIMAS E COEFICIENTE DE SEGURANÇA 
 
Um engenheiro responsável pelo projeto de um elemento estrutural ou 
mecânico, deve restringir a tensão atuante no material a um nível seguro. Além disso, 
uma estrutura ou máquina em uso contínuo deve ser analisada periodicamente para 
que se verifiquem quais cargas adicionais seus elementos ou partes podem suportar. 
Portanto, deve-se fazer os cálculos usando-se uma tensão admissível. 
27 
 
 
www.redentor.edu.br 
• Carga última ou carregamento último: é a força que o membro estrutural ou 
componente de máquina está no limite de falhar. Deve ser consideravelmente maior 
do que a carga admissível. 
• Carga admissível: carga que o membro ou componente irá suportar em 
condições normais de utilização. 
• Coeficiente ou fator de segurança (CS ou FS): é a relação entre o 
carregamento último e o carregamento admissível. 
 
 𝐶𝑆 =
𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎
𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙
 (1.11) 
 
 𝐶𝑆 =
𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎
𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙
 (1.12) 
 
A carga de ruptura é determinada por ensaios experimentais do material e o 
fator de segurança é selecionado com base na experiência. 
A escolha de um CS baixo pode levar a possibilidadede ruptura de uma 
estrutura muito alta, enquanto que um CS muito alto torna projetos antieconômicos ou 
pouco funcionais. O fator de segurança escolhido é maior que 1, para evitar o potencial 
de falha. 
A escolha de um CS deve levar em conta: 
✓ Modificações nas propriedades dos materiais: a composição resistência 
e dimensões dos materiais estão sujeitas a pequenas variações durante a fabricação 
das peças e também durante o transporte, armazenamento ou execução da estrutura; 
✓ Número de vezes de aplicação de carga: relacionado ao fenômeno de 
fadiga, que pode levar a uma diminuição do valor da tensão última; 
✓ Tipo de carregamento do projeto e futuro: existe a possibilidade de 
alterações futuras na finalidade da máquina ou estrutura que está sendo projetada; 
✓ Modo de ruptura que pode ocorrer: materiais frágeis rompem 
repentinamente e materiais dúcteis apresentam grande deformação antes da ruptura. 
Quando existe possibilidade de ruptura repentina o coeficiente se segurança deve ser 
maior do que no caso de materiais com ruptura com indícios de colapso; 
28 
 
 
www.redentor.edu.br 
✓ Métodos aproximados e análise: esses métodos são baseados em 
simplificações e levam a diferenças entre as tensões calculadas e as tensões que 
realmente atuam na estrutura; 
✓ Falta de manutenção ou causas naturais imprevistas: em locais sujeitos 
a corrosão por ferrugem, por exemplo, devemos adotar um coeficiente de segurança 
com valor elevado; 
✓ A importância do membro para estrutura: peças principais de uma 
estrutura exigem um coeficiente se segurança maior do que peças de secundárias e 
de contraventamentos. 
Existem casos em que o colapso não traz risco de morte, e a perda de materiais 
é mínima, podemos usar um coeficiente de segurança mais baixo. 
 Seus valores, os quais podem ser encontrados em normas de projeto e 
manuais de engenharia, pretendem manter um equilíbrio entre garantir a segurança 
pública e ambiental e oferecer soluções de projetos econômicos e razoáveis. 
Agora, para fecharmos este capítulo, vamos fazer um exemplo para fixar os 
conceitos de tensão normal, tensão cisalhante, tensão de esmagamento, tensões 
últimas e coeficiente de segurança, além de calcular os esforços em uma estrutura. 
 
29 
 
 
www.redentor.edu.br 
EXEMPLO 
 (BEER, 2006) Observe a estrutura abaixo e a seguir responda as 
seguintes questões apresentando a resolução com todos os cálculos 
necessários: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Sabendo-se que a barra AB é feita de aço com a tensão última de 600 MPa, qual 
o diâmetro da barra para que o CS seja de 3,3? 
b) O pino do ponto C é feito de aço com tensão última de cisalhamento de 350 MPa. 
Qual o diâmetro do pino C que leva um CS de cisalhamento de 3,3? 
c) Qual a espessura necessária das chapas de apoio em C, sabendo-se que a tensão 
admissível para esmagamento do aço utilizado é de 300 MPa? 
 
Solução: 
Primeiramente vamos calcular as reações impostas pelo apoio e o valor da força P, 
considerando positivo o momento no sentido anti-horário, a força vertical para cima e 
a força horizontal para direita: 
 
∑𝑀𝐶 = 0: 𝑃𝐴𝐵(0,6) − 50(0,3) − 15(0,6) = 0 → 𝑃𝐴𝐵 = 40 𝐾𝑁 
∑𝐹𝑦 = 0: −𝐶𝑦 − 50 − 15 = 0 → 𝐶𝑦 = 65 𝐾𝑁 
∑𝐹𝑥 = 0: 𝐶𝑥 − 𝑃 = 0 → 𝐶𝑥 = 𝑃 = 40 𝐾𝑁 
 
30 
 
 
www.redentor.edu.br 
a) Dados: 𝜎𝑈 = 600 𝑀𝑃𝑎, CS = 3,3; 𝑑𝐴𝐵 = ? 
𝐶𝑆 = 
𝜎𝑈
𝜎𝑎𝑑𝑚
→ 3,3 =
600
𝜎𝑎𝑑𝑚
→ 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 181,81 𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝑎𝑑𝑚 = 
𝑃𝐴𝐵
𝐴𝐴𝐵
 → 181,81 ×106 =
40×103
𝐴𝐴𝐵
 
𝐴𝐴𝐵 = 
𝜋𝑑2
4
 
181,81 ×106 =
40×103
𝐴𝐴𝐵
→ 181,81 ×106 =
40×103
𝜋𝑑2
4
 → 𝑑2 = 
40×103
181,81 ×106
 ×
4
𝜋
 
𝑑 = √
40×103
81,81 ×106
 ×
4
𝜋
 → 𝒅 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟔𝟕𝟒 𝒎 → 𝒅 = 𝟏𝟔, 𝟕𝟒 𝒎𝒎 
O diâmetro da barra AB é de aproximadamente 17 mm. 
 
b) Dados: 𝜏𝑈 = 350 𝑀𝑃𝑎; CS = 3,3; 𝑑𝐶 = ? 
𝜏𝑎𝑑𝑚 = 
𝜏𝑈
𝑐𝑠
= 
350
3,3
= 106,06 𝑀𝑃𝑎 
𝜏𝑎𝑑𝑚 =
𝑃𝑐
𝐴𝐶
 𝐴𝐶 = 
𝜋𝑑𝐶
2
4
 
Como o pino em C está sujeito a corte duplo dividimos a resultante das forças por 
dois: 
𝑃𝑐 = 
√𝐶𝑥2 + 𝐶𝑦2
2
 → 
√402 + 652
2
 → 𝑃𝑐 = 38,16 𝐾𝑁 
106,06×106 = 
38,16×103
𝐴𝐶
 
𝑑𝑐 = √
38,16×103
106,06×106
 ×
4
𝜋
 → 𝒅𝒄 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟏𝟒 𝒎 → 𝒅 = 𝟐𝟏, 𝟒 𝒎𝒎 
 
O diâmetro do pino do ponto C é de aproximadamente 22 mm. 
 
c) Dados: 𝜎𝑒 = 300 𝑀𝑃𝑎; 𝑡𝑐 = ? 
O carregamento do ponto C é 𝑃𝑐 = 38,16 𝐾𝑁 e o diâmetro do pino é 𝑑𝑐 = 0,0214 𝑚 
𝜎𝑒 = 
𝑃𝑐
𝑡×𝑑
 → 300×106 = 
38,16×103
𝑡×0,0214
 
𝒕 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝟗𝟒 𝒎 → 𝒕 = 𝟓, 𝟗𝟒 𝒎𝒎 
A espessura das chapas de apoio é de aproximadamente 6 mm. 
31 
 
 
www.redentor.edu.br 
 
 
Nesta aula, abordamos: 
 
✓ Revisão dos conceitos básicos de estática; 
✓ Introdução aos tipos de esforços que serão vistos nos capítulos ao longo da 
disciplina, com foco em carregamento axial; 
✓ Introdução dos métodos usados na análise e projeto de máquinas e estruturas 
de sustentação; 
✓ Conceitos de tensões admissíveis e tensões últimas normais e cisalhantes; 
✓ Conceito de coeficiente de segurança e critérios para sua escolha; 
✓ Exemplo resolvido. 
 
 
Fonte: HIBBELER (2010). Pág. 5 e 17 
Resumo 
32 
 
 
www.redentor.edu.br 
 
 
 
Para enriquecer seu conhecimento é importante que você: 
 
✓ Revise os tópicos abordados nesta aula em bibliografia 
presente na Biblioteca Digital e material complementar; 
✓ Resolva exemplos resolvidos 1.6 a 1.11 do HIBBELER (2010) 
– Biblioteca Digital e outros que julgar necessários da 
bibliografia básica; 
✓ Resolva os exercícios da lista de exercícios 1. 
 
 
 
 
Complementar 
33 
 
 
www.redentor.edu.br 
 
 
Básica: 
BEER, F. P. Resistência dos Materiais, 3ª ed. São Paulo: McGraw Hill, 2006. 
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2010. 
POPOV, E.P. Introdução à Mecânica dos Sólidos. São Paulo: Ed. Edgard Blucher, 
1978. 
 
Complementar: 
ASSAN, A. E. Resistência dos Materiais. São Paulo, UNICAMP, 2010. 
BOTELHO, M. H. Resistência dos Materiais para entender e gostar. São Paulo: 
Studio Nobel, 1998. 
DI BLASI, C.G. Resistência dos Materiais. Ed. Freitas Bastos. 1990. 
GERE, J. M. Mecânica dos Materiais. Tradução da 7ª Edição Norte-Americana, 
2011. 
LACERDA, F. S. Resistência dos Materiais. Ed. Globo, Rio de Janeiro. 1964. 
MELCONIAN, S. Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais. Ed. Érica, 2002. 
NASH, W. A. Resistência dos Materiais. São Paulo. McGraw-Hill do Brasil. 2° ed. 
2003. 
 
Referências Bibliográficas 
34www.redentor.edu.br 
 
 
 
1 – Quais os princípios básicos do estudo da Resistência dos Materiais? 
 
2 – Exemplifique tipos de estruturas que podem ser analisadas sobre o princípio da 
Resistência dos Materiais. 
 
3 – Qual a finalidade do coeficiente de segurança e quais os critérios utilizados para 
sua escolha? 
 
4 – Qual a diferença entre tensões normais e tensões cisalhantes em relação as 
moléculas que constituem o sólido? 
 
5 – Em termos de “carregamentos” qual a diferença entre tensões normais, tensões 
cisalhantes e tensões de esmagamento? 
 
 
. 
 
Exercícios 
AULA 1 
35 
 
 
www.redentor.edu.br 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
Nesta aula iremos resolver exercícios sobre o conteúdo apresentado na aula 1. 
Os exemplos ilustrados aqui representam apenas algumas das muitas aplicações das 
equações para tensão média normal e tensão média de cisalhamento média que são 
utilizadas em projetos e análise de sistemas estruturais de engenharia. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após a resolução dos exercícios presentes nessa aula, você 
seja capaz de: 
➢ Relembrar os conceitos de estática; 
➢ Aplicar os conceitos tensão normal média e tensão de cisalhamento média; 
➢ Aplicar o conceito de coeficiente de segurança para cálculo de tensões 
admissíveis; 
➢ Analisar e interpretar estruturas sujeitas a forças axiais ou cisalhantes. 
 
Aula 2 
CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS TENSÕES 
 
 
36 
 
 
www.redentor.edu.br 
EXEMPLOS RESOLVIDOS: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS 
TENSÕES 
 
Em todas as aplicações das equações para tensão normal média e 
tensão de cisalhamento média será considerado que a distribuição de 
tensão é uniformemente distribuída na seção transversal. 
Primeiramente será necessário considerar cuidadosamente a seção 
na qual a carga crítica terá ação. A partir da seção definida, o elemento deverá ser 
dimensionado/projetado para que a área da seção transversal seja suficiente para 
resistir a tensão aplicada sobre ela. 
É importante não esquecer que a força resultante interna na seção é 
determinada pelas equações de equilíbrio. É útil fazer um diagrama de corpo livre 
(DCL) de um segmento ou seção do elemento de interesse. 
Consideraremos positivo o momento no sentido anti-horário, a força vertical 
para cima e a força horizontal para direita. Como símbolo para força normal ou 
carregamento usaremos P ou N. 
 
EXEMPLO 1 
As duas partes da peça AB são coladas em um plano que forma um 
ângulo  com a horizontal. As tensões ultimas para a união colada 
valem U = 17 MPa e U = 9 MPa. Determine a faixa de valores de  
para os quais o coeficiente de segurança é pelo menos igual a 3. 
 
SOLUÇÃO: 
Para resolvermos esse exercício usaremos as equações 1.10, tensões em um plano 
oblíquo ao eixo. 
37 
 
 
www.redentor.edu.br 
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝑃
𝐴0
 e 𝜏𝑎𝑑𝑚 =
𝑃
𝐴0
sen 𝜃 . cos 𝜃 
Vamos calcular a área da seção perpendicular ao eixo, ou seja, do retângulo colocado 
no plano: 
𝐴0 = 𝑏×ℎ = 0,05×0,03 = 1,5×10
−3 𝑚² 
O problema nos fornece o valor das tensões últimas 𝜎𝑈 e 𝜏𝑈, mas em problemas de 
engenharia trabalhamos com a tensão admissível 𝜎𝑎𝑑𝑚 e 𝜏𝑎𝑑𝑚, assim temos que 
encontrar esses valores a partir do coeficiente de segurança: 
Dados: 𝐶𝑆 = 3; 𝜎𝑈 = 17 𝑀𝑃𝑎; 𝜏𝑈 = 9 𝑀𝑃𝑎 
𝐶𝑆 =
𝜎𝑈
𝜎𝑎𝑑𝑚
 → 3 =
17×106
𝜎𝑎𝑑𝑚
 → 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 5,67 𝑀𝑃𝑎 
𝐶𝑆 =
𝜏𝑈
𝜏𝑎𝑑𝑚
 → 3 =
9×106
𝜏𝑎𝑑𝑚
 → 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 3 𝑀𝑃𝑎 
Determinando a faixa de valores de 𝜃: 
Dados: 𝑃 = 10 𝐾𝑁; 𝐴0 = 1,5×10
−3 𝑚² ; 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 5,67 𝑀𝑃𝑎 
Para tensões normais: 
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝑃
𝐴0
cos² 𝜃 → 5,67×106 =
10×103
1,5×10−3
cos² 𝜃 → cos² 𝜃 = 0,85 
Para encontrar o valor do ângulo temos que usar uma identidade trigonométrica: 
cos² 𝜃 =
1
2
(1 + cos 2𝜃) 
cos2 𝜃 = 0,85 → 
1
2
(1 + cos 2𝜃) = 0,85 → 1 + cos 2𝜃 = 1,7 
cos 2𝜃 = 0,7 → 2𝜃 = cos−1 0,7 → 2𝜃 = 45,57 → 𝜽 = 𝟐𝟐, 𝟖° 
 
Dados: 𝑃 = 10 𝐾𝑁; 𝐴0 = 1,5×10
−3 𝑚² ; 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 3 𝑀𝑃𝑎 
Para tensões cisalhantes: 
𝜏𝑎𝑑𝑚 =
𝑃
𝐴0
sen 𝜃 . cos 𝜃 → 3×106 =
10×103
1,5×10−3
ein 𝜃 . cos 𝜃 → sen 𝜃 . cos 𝜃 = 0,45 
Para encontrar o valor do ângulo temos que usar uma identidade trigonométrica: 
sin 𝜃 . cos 𝜃 =
1
2
sen 2𝜃 
sen 𝜃 . cos 𝜃 = 0,45 → 
1
2
sen 2𝜃 = 0,45 → sen 2𝜃 = 0,9 → 2𝜃 = sen−1 0,9 
2𝜃 = 64,16 → 𝜽 = 𝟑𝟐, 𝟏° 
Resposta: 𝟐𝟐, 𝟖° ≤ 𝜽 ≤ 𝟑𝟐, 𝟏° 
38 
 
 
www.redentor.edu.br 
EXEMPLO 2 
 
Duas barras circulares maciças estão soldadas em B, como 
mostrado na figura. Determine a tensão normal na seção média de 
cada trecho. 
 
 
SOLUÇÃO: 
Esta barra possui dois trechos: AB e BC. 
Primeiramente vamos achar a área de cada barra já que foi pedido a tensão normal 
e foi dado o carregamento: 
𝐴𝐴𝐵 = 
𝜋𝑑2
4
= 
𝜋×0,022
4
= 3,14×10−4 𝑚2 
𝐴𝐵𝐶 = 
𝜋𝑑2
4
= 
𝜋×0,032
4
= 7,07×10−4 𝑚2 
Agora vamos calcular a tensão em cada barra: 
Para a barra AB: 𝑃𝐴𝐵 = 30 𝐾𝑁; 𝐴𝐴𝐵 = 3,14×10
−4 𝑚2 
𝜎𝐴𝐵 = 
𝑃𝐴𝐵
𝐴𝐴𝐵
 =
30×103
3,14×10−4
 → 𝝈𝑨𝑩 = 𝟗𝟓, 𝟓× 𝟏𝟎
𝟔𝑷𝒂 → 𝝈𝑨𝑩 = 𝟗𝟓, 𝟓 𝑴𝑷𝒂 
 
Para a barra BC: 𝑃𝐵𝐶 = 80 𝐾𝑁 (já que o extremo fixo, ponto C, suporta a carga total 
aplicada nas barras, 50 + 30 = 80 KN) e 𝐴𝐵𝐶 = 7,07×10
−4 𝑚2 
𝜎𝐴𝐵 = 
𝑃𝐴𝐵
𝐴𝐴𝐵
 =
80×103
7,07×10−4
 → 𝝈𝑨𝑩 = 𝟏𝟏𝟑, 𝟐×𝟏𝟎
𝟔 𝑷𝒂 → 𝝈𝑨𝑩 = 𝟏𝟏𝟑, 𝟐 𝑴𝑷𝒂 
 
 
39 
 
 
www.redentor.edu.br 
EXEMPLO 3 
(Adaptado de POPOV, 1978) Uma força de 500 KN é aplicada ao nó 
B do sistema de duas barras articuladas representadas na figura. 
Determinar a área necessária para a seção transversal da barra BC 
se as tensões admissíveis valem 100 MPa à tração e 70 MPa à 
compressão. 
 
SOLUÇÃO: 
Esse exemplo ilustra uma treliça engastada entre os pontos A e C. Primeiramente 
temos que fazer uma seção nas barras AB e BC (barra de interesse) separando da 
parte fixa e em seguida calcular o ângulo que as barras AB e BC fazem com a 
horizontal, bem como da força de 500KN com o eixo horizontal. 
Ângulo da força: 𝛼 = tan−1 (
4
3
) = 53,13° 
Ângulo da barra AB: 𝛾 = tan−1 (
3,0
3,0
) = 45° 
Ângulo da barra BC: 𝛽 = tan−1 (
1,5
3,0
) = 26,56° 
Após devemos calcular os esforços nas barras: 
∑𝐹𝑥 = 0: − 𝑁𝐴𝐵 cos 45° + 𝑁𝐵𝐶 cos 26,56° + 500 cos 53,13° = 0 
𝑁𝐴𝐵 = 
𝑁𝐵𝐶 cos 26,56° + 300
cos 45°
 → 𝑁𝐴𝐵 = 
0,89𝑁𝐵𝐶 + 300
cos 45°
 
∑𝐹𝑦 = 0: − 𝑁𝐴𝐵 sen 45° − 𝑁𝐵𝐶 sen 26,56° + 500 sen 53,13° = 0 
−(
0,89𝑁𝐵𝐶 + 300
cos 45°
) sen 45° − 𝑁𝐵𝐶 sen 26,56° + 500 sen 53,13°
= 0 𝑜𝑏𝑠: sen 45°= cos 45° 
−0,89𝑁𝐵𝐶 − 300 − 0,45𝑁𝐵𝐶 + 400 = 0 → −0,89𝑁𝐵𝐶 − 0,45𝑁𝐵𝐶 = 300 − 400 
−1,34𝑁𝐵𝐶 = −100 → 𝑁𝐵𝐶 = 
−100−1,34
 
 𝑁𝐵𝐶 = 74,62×10
3 → 𝑁𝐵𝐶 = 74,62𝐾𝑁(𝑡𝑟𝑎çã𝑜) 
40 
 
 
www.redentor.edu.br 
O problema pede a área da barra BC, assim determinando a força aplicada na barra 
temos: 
Dados: 𝜎𝑎𝑑𝑚 (𝑡𝑟𝑎çã𝑜) = 100 𝑀𝑃𝑎; 𝜎𝑎𝑑𝑚 (𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜) = 70 𝑀𝑃𝑎; 𝐴𝐵𝐶 = ? 
Utilizaremos o valor da tensão admissível para tração (𝜎𝑎𝑑𝑚 (𝑡𝑟𝑎çã𝑜) = 100 𝑀𝑃𝑎) já 
que o valor força encontrado foi positivo, o que indica que está tracionando, como 
mostra no diagrama de corpo livre. 
𝜎𝑎𝑑𝑚 = 
𝑃𝐵𝐶
𝐴𝐵𝐶
 → 𝜎𝑎𝑑𝑚 𝐵𝐶 = 
𝑁𝐵𝐶
𝐴𝐵𝐶
 → 100×106 =
74,62×103
𝐴𝐵𝐶
 
 𝑨𝑩𝑪 = 𝟕𝟒𝟔, 𝟐×𝟏𝟎
−𝟔 𝒎² → 𝑨𝑩𝑪 = 𝟕𝟒𝟔, 𝟐 𝒎𝒎² 
 
EXEMPLO 4 
 
Sabe-se que a haste BE tem seção transversal retangular uniforme 
de 12 x 25 mm. Determine a intensidade P das forças aplicadas, de 
forma que a tensão normal em BE seja de +90 MPa. 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
Dados 𝐴𝐵𝐸 = 12×25 𝑚𝑚 = 0,012×0,025 = 3×10
−4 𝑚2; 𝜎𝐵𝐸 = 90𝑀𝑃𝑎 (𝑡𝑟𝑎çã𝑜) P = ? 
 
Primeiramente vamos calcular as incógnitas devido aos vínculos, as reações de apoio: 
Para calcular o valor da força na haste BE, 𝑁𝐵𝐸, temos que usar a fórmula de tensão 
normal. 
𝜎𝐵𝐸 = 
𝑁𝐵𝐸
𝐴𝐵𝐸
 → 90×106 = 
𝑁𝐵𝐸
3×10−4
 → 𝑁𝐵𝐸 = 27×10
3𝑁 
41 
 
 
www.redentor.edu.br 
No ponto C temos uma rótula o que nos permite fazer somatório de momentos à direita 
ou à esquerda da rótula. Neste caso faremos o somatório de momentos à direita do 
ponto C encontrando o valor da força vertical em D em função de P: 
∑𝑀𝐶
𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 = 0 → 𝐷𝑦(0,25) − 𝑃(0,1) = 0 → 𝐷𝑦 = 0,4𝑃 
Agora basta fazermos momento no ponto A considerando todos os esforços na viga e 
determinando P. 
∑𝑀𝐴 = 0 → 27(0,15) − 𝑃(0,35) − 𝑃(0,45) − 𝑃(0,55) + 0,4𝑃(0,7) = 0 
𝑷 = 𝟑, 𝟕𝟗×𝟏𝟎𝟑𝑵 → 𝟑, 𝟕𝟗 𝑲𝑵 
 
EXEMPLO 5 
A haste AB será construída em aço, para o qual a tensão última 
normal é de 450 MPa. Determine a área da seção transversal para 
AB admitindo um coeficiente de segurança igual a 3,5. A haste está 
adequadamente reforçada em torno dos pinos A e B. 
 
 
SOLUÇÃO: 
Dados: 𝜎𝑈 = 450 𝑀𝑃𝑎; 𝐶𝑆 = 3,5; 𝐴𝐴𝐵 = ? 
Conhecida a tensão última e o coeficiente de segurança calculamos a tensão 
admissível. Sabemos que 𝐶𝑆 =
𝜎𝑈
𝐶𝑆
 
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝜎𝑈
𝐶𝑆
 → 𝜎𝑎𝑑𝑚 =
450×106
3,5
 → 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 128,57 ×10
6 𝑃𝑎 
Considerando que a haste AB está tracionando o ponto B, fazemos somatório de 
momentos no ponto D encontrando o carregamento da barra AB: 
∑𝑀𝐷 = 0: − 𝑁𝐴𝐵 sen 35° (0,8) + 20(0,4) + 8(1,2)(0,2) = 0 
 𝑁𝐴𝐵 = 21,61×10
3 𝑁 
42 
 
 
www.redentor.edu.br 
Agora tendo a tensão normal admissível e o carregamento da barra AB podemos 
calcular a área da seção transversal dessa haste: 
Dados: 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 128,57 ×10
6 𝑃𝑎, 𝑁𝐴𝐵 = 21,61×10
3 𝑁, 𝐴𝐴𝐵 = ? 
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝑁𝐴𝐵
𝐴𝐴𝐵
 → 128,57 ×106 =
21,61×103
𝐴𝐴𝐵
 
𝑨𝑨𝑩 = 𝟏𝟔𝟖, 𝟎𝟖×𝟏𝟎
−𝟔 𝒎² → 𝑨𝑨𝑩 = 𝟏𝟔𝟖, 𝟎𝟖 𝒎𝒎² 
 
 
EXEMPLO 6 
 
Duas barras de alumínio AB e AC têm, respectivamente, 
diâmetros iguais a 10 mm e 8 mm. Determinar a maior força 
vertical P que pode ser aplicada ao conjunto como mostrado na 
figura. A tensão normal admissível para o alumínio vale 150 MPa. 
(DCL) 
SOLUÇÃO: 
Fazemos o diagrama de corpo livre e calculamos os esforços nas barras, 
encontrando NAB e NAC em função de P: 
∑𝐹𝑦 = 0: 𝑁𝐴𝐵 sin 45° − 𝑃 = 0 → 𝑁𝐴𝐵 = 1,41𝑃 
∑𝐹𝑥 = 0: − 𝑁𝐴𝐶 + 𝑁𝐴𝐵 cos 45° = 0 → −𝑁𝐴𝐶 + (1,41𝑃) cos 45° = 0 → 𝑁𝐴𝐶 = 𝑃 
Agora vamos calcular a área de cada barra: 
Dados: 𝑑𝐴𝐵 = 10 𝑚𝑚; 𝑑𝐴𝐶 = 8 𝑚𝑚; 𝐴𝐴𝐵 =? ; 𝐴𝐴𝐶 =? 
𝐴𝐴𝐵 =
𝜋𝑑2
4
=
𝜋(0,01)2
4
→ 𝐴𝐴𝐵 = 7,85×10
−5 𝑚2 
𝐴𝐴𝐶 =
𝜋𝑑2
4
=
𝜋(0,008)2
4
→ 𝐴𝐴𝐶 = 5,02×10
−5 𝑚2 
Em seguida vamos determinar a maior força vertical P, sendo 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 150 𝑀𝑃𝑎 e 
𝐴𝐴𝐶 = 5,02×10
−5 𝑚2; 𝐴𝐴𝐵 = 7,85×10
−5 𝑚2; 𝑁𝐴𝐵 = 1,41𝑃; 𝑁𝐴𝐶 = 𝑃 
43 
 
 
www.redentor.edu.br 
Barra AC: 
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝑁𝐴𝐶
𝐴𝐴𝐶
 → 150×106 =
𝑃
5,02×10−5
 → 𝑷 = 𝟕, 𝟓𝟑 𝑲𝑵 
Barra AB: 
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝑁𝐴𝐵
𝐴𝐴𝐵
 → 150×106 =
1,41𝑃
7,85×10−5
 → 𝑃 = 8,35 𝐾𝑁 
 
A carga máxima a ser aplicada pela força P é aquela que 
pode ser suportada pelas duas barras, logo, 𝑷𝒎á𝒙 = 𝟕, 𝟓𝟑×
𝟏𝟎𝟑𝑵 = 𝟕, 𝟓𝟑 𝑲𝑵, pois se aplicarmos uma carga de 8,35KN a 
barra AC ela não suportará. 
 
 
EXEMPLO 7 
 
(HIBBELER, 2010) Dois cabos de aço AB e AC são usados para 
suportar a força P indicada na figura. Se ambos cabos têm tensão 
admissível à tração igual a 200 MPa, determinar o diâmetro mínimo 
necessário para cada um desses cabos quando P = 5 kN. 
(DCL) 
SOLUÇÃO: 
Primeiramente vamos calcular o ângulo e, em seguida os esforços nas barras: 
𝛼 = tan−1 (
3
4
) = 36,86° 
∑𝐹𝑥 = 0: − 𝑁𝐴𝐵 cos 30° + 𝑁𝐴𝐶 cos 36,86° = 0 → 𝑁𝐴𝐵 =
𝑁𝐴𝐶 cos 36,86°
cos 30°
 
𝑁𝐴𝐵 = 𝑂, 92𝑁𝐴𝐶 
∑𝐹𝑥 = 0: 𝑁𝐴𝐵 sen 30° + 𝑁𝐴𝐶 sen 36,86° − 5 = 0 
44 
 
 
www.redentor.edu.br 
(𝑂, 92𝑁𝐴𝐶) sen 30° + 𝑁𝐴𝐶 sen 36,86° = 5 → 1,05𝑁𝐴𝐶 = 5 → 𝑁𝐴𝐶 = 4,76 𝐾𝑁 
𝑁𝐴𝐵 = 𝑂, 92𝑁𝐴𝐶 → 𝑁𝐴𝐵 = 0,92(4,76) = 4,38 𝐾𝑁 
 
Dados: 𝜎𝑎𝑑𝑚 = +200 𝑀𝑃𝑎; 𝑁𝐴𝐵 = 4,38 𝐾𝑁; 𝑁𝐴𝐶 = 4,76 𝐾𝑁; 𝑑𝐴𝐵 =? 𝑑𝐴𝐶 =? 
Barra AB: 
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝑁𝐴𝐵
𝐴𝐴𝐵
 → 200×106 =
4,38×103
𝐴𝐴𝐵
 → 𝐴𝐴𝐵 = 21,9 𝑚𝑚² 
𝐴𝐴𝐵 =
𝜋𝑑𝐴𝐵
2
4
 → 21,9 =
𝜋𝑑𝐴𝐵
2
4
 → 𝑑𝐴𝐵 = √
21,9×4
𝜋
 
𝒅𝑨𝑩 = 𝟓, 𝟐𝟔×𝟏𝟎
−𝟔 𝒎 = 𝟓, 𝟐𝟔 𝒎𝒎² 
 
Barra AC: 
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝑁𝐴𝐶
𝐴𝐴𝐶
 → 200×106 =
4,76×103
𝐴𝐴𝐶
 → 𝐴𝐴𝐶 = 23,8 𝑚𝑚² 
𝐴𝐴𝐶 =
𝜋𝑑𝐴𝐶
2
4
 → 23,8 =
𝜋𝑑𝐴𝐶
2
4
 → 𝑑𝐴𝐶 = √
23,8×4
𝜋
 
𝒅𝑨𝑪 = 𝟓, 𝟓×𝟏𝟎
−𝟔 𝒎 = 𝟓, 𝟓 𝒎𝒎² 
 
 
EXEMPLO 8 
 
Cada barra da treliça mostrada na figura tem área transversal igual 
a 1,25 in². Se a tensão normal admissível para as barras vale 20 ksi, 
quer à tração quer à compressão, determinar a máxima carga P que 
pode ser aplicada a esta treliça como indicado. 
(DCL) 
 
45 
 
 
www.redentor.edu.br 
SOLUÇÃO: 
Primeiramente vamos converter a unidades de medida de pés (ft) para polegadas 
(in): 
3 𝑓𝑡 (𝑝𝑒ç𝑎)×12 = 36 𝑖𝑛 (𝑝𝑜𝑙𝑒𝑔𝑎𝑑𝑎); 4 𝑓𝑡×12 = 48 𝑖𝑛 
Podemos fazer uma seção passando pelas barras AD, BD e BC e calculamos o ângulo 
da barra BD com a horizontal. 
𝛼 = tan−1 (
48
36
) = 53,13° 
Agora podemos calcular as forças nas barras: 
∑𝐹𝑥 = 0: − 𝑁𝐵𝐷 cos 53,13° + 𝑃 = 0 → 𝑁𝐵𝐷 =
1𝑃
cos 53,13°→ 𝑁𝐵𝐷 = 1,66𝑃 
∑𝑀𝐷 = 0: − 𝑁𝐵𝐶(36) − 𝑃(48) = 0 → 𝑁𝐵𝐶 =
−48𝑃
36
 → 𝑁𝐵𝐶 = −1,33𝑃 
Note que as barras AB e BD estão na mesma linha de ação do ponto D, logo são 
desprezadas. 
∑𝐹𝑦 = 0: − 𝑁𝐴𝐷 −𝑁𝐵𝐶 − 𝑁𝐵𝐷 sen 53,13° = 0 
−𝑁𝐴𝐷 − (−1,33𝑃) − (1,66𝑃) sen 53,13° = 0 → 𝑁𝐴𝐷 = 0 (desprezível) 
Podemos então determinar a máxima carga P que pode ser aplicada a esta treliça: 
Dados: 𝐴 = 1,25 𝑖𝑛²; 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 20 𝑘𝑠𝑖 = 20.000
𝑙𝑏
𝑖𝑛²
⁄ ; 𝑃𝑚á𝑥 = ? 
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝑁𝐵𝐷
𝐴
 → 20.000 =
1,66𝑃
1,25
 → 𝑷 = 𝟏𝟓. 𝟎𝟎𝟔 𝒍𝒃 
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝑁𝐵𝐶
𝐴
 → 20.000 =
1,33𝑃
1,25
 → 𝑃 = 18.797 𝑙𝑏 
𝑷 = 𝟏𝟓. 𝟎𝟎𝟔 𝒍𝒃 que é a carga máxima que todas as barras da treliça podem suportar 
com segurança. 
 
 
EXEMPLO 9 
(Adaptado de POPOV, 1978) Dimensionar as barras FC e CB da 
treliça representada na figura de modo a resistir à ação de uma força 
indicada P de 650 kN. Admitir para a tensão admissível um valor de 
140 MPa. 
 
 
46 
 
 
www.redentor.edu.br 
 
(DCL) 
SOLUÇÃO: 
Para determinar as forças nos membros a serem projetados, primeiramente vamos 
calcular as reações de apoio. O ângulo da força P com a horizontal é: 
𝛼 = tan−1 ( 
3
4
) = 36,86° 
∑𝐹𝑥 = 0: 𝐷𝑥 − 650 cos 36,86° = 0 → 𝐷𝑥 = 520 𝐾𝑁 
∑𝑀𝐷 = 0: 𝐸𝑦(3) + 650 cos 36,86° (1,5) − 650 sen 36,86° (2,5) = 0 → 𝐸𝑦 = 65 𝐾𝑁 
∑𝐹𝑦 = 0: 𝐷𝑦 + 𝐸𝑦 − 650 sen 36,86° = 0 → 𝐷𝑦 + 65 − 650 sen 36,86° = 0 
𝐷𝑦 = 325 𝐾𝑁 
O próximo passo é analisar as barras de interesse e utilizar o método das seções, pois 
pelo método nos nós seria bem mais trabalhoso. Devemos atentar que uma seção 
passando pelas duas barras a serem dimensionadas, FC e CB, não resolveria o 
problema. 
Seção 1: passando pelas barras FC, AC e AB e analisando a esquerda essa seção 
temos: 
 
47 
 
 
www.redentor.edu.br 
Como a barra de interesse é a barra FC, basta fazermos somatório de momentos no 
ponto A e encontrar o carregamento em FC: 
∑𝑀𝐵 = 0: − 𝑁𝐹𝐶(0,75) + 𝐷𝑥(0,75) − 𝐷𝑦(1) = 0 
−𝑁𝐹𝐶(0,75) + 520(0,75) − 325(1) = 0 → 𝑁𝐹𝐶 = 86,66 𝐾𝑁 
 
Assim, dados: 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 140 𝑀𝑃𝑎; 𝑁𝐹𝐶 = 86,66 𝐾𝑁; 𝐴𝐹𝐶 = ? 
 
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝑁𝐹𝐶
𝐴𝐹𝐶
 → 140 ×106 =
86,66×103
𝐴𝐴𝐵
 → 𝑨𝑨𝑩 = 𝟔𝟏𝟗×𝟏𝟎
−𝟔𝒎 
 𝑨𝑨𝑩 = 𝟔𝟏𝟗 𝒎𝒎² 
 
Da mesma forma a seção 2 vai passar nas barras CG, CB e AB e fazemos a análise 
à direita da seção: 
 
Como a barra de interesse é a barra BC, basta fazermos somatório de forças 
verticais e encontrar o carregamento em CB: 
𝛽𝐶𝐵 = tan
−1 (
0,75
0,5
) = 56,31° 
∑𝐹𝑦 = 0: 𝑁𝐶𝐵 sen 56,31° + 𝐸𝑦 − 650 sen 36,86° = 0 
𝑁𝐶𝐵 sen 56,31° + 65 − 650 sen 36,86° = 0 → 𝑁𝐶𝐵 = 390,49 𝐾𝑁 
 
Dados: 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 140 𝑀𝑃𝑎; 𝑁𝐹𝐶 = 390,49 𝐾𝑁; 𝐴𝐶𝐵 = ? 
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝑁𝐶𝐵
𝐴𝐶𝐵
 → 140 ×106 =
390,49×103
𝐴𝐶𝐵
 → 𝑨𝑪𝑩 = 𝟐𝟕𝟖𝟗×𝟏𝟎
−𝟔𝒎𝟐 
𝑨𝑨𝑩 = 𝟐𝟕𝟖𝟗 𝒎𝒎² 
 
 
 
48 
 
 
www.redentor.edu.br 
EXEMPLO 10 
(BEER, 2006) Para a treliça e o carregamento mostrados na figura, 
determinar a tensão normal na barra AD indicando se é de tração 
ou de compressão. Sabe-se que a área da seção transversal desta 
barra é igual a 1200 mm². 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
No ponto F temos um vínculo de segundo gênero e no ponto G um de primeiro 
gênero. Então vamos calcular as reações de apoio: 
∑𝐹𝑥 = 0: 𝐹𝑥 + 75 = 0 → 𝐹𝑥 = −75 𝐾𝑁 
∑𝑀𝐹 = 0: 𝐺𝑦(10) − 75(8) − 200(2,5) = 0 → 𝐺𝑦 = 110 𝐾𝑁 
∑𝐹𝑦 = 0: 𝐹𝑦 + 110 − 200 = 0 → 𝐹𝑦 = 90 𝐾𝑁 
 
Fazemos passar uma seção cortando as barras BA, DA e DE. 
49 
 
 
www.redentor.edu.br 
 
 
Analisando a estrutura à direita da seção, para encontrar o valor do 
carregamento da barra DA, uma das opções é fazer primeiramente o somatório de 
momentos no ponto A com o objetivo de encontrar a força na barra DE, para depois 
fazer o somatório de momentos no ponto B encontrar a força na barra DA. 
 
Como a força na barra DA é positiva e está tracionando como indicado na seção, a 
tensão nessa barra será de tração. 
 
Outra opção para encontrar o valor do carregamento da barra DA, seria fazer 
primeiramente o somatório de momentos no ponto D com o objetivo de encontrar a 
força na barra BA, para depois fazer o somatório de forças verticais para encontrar o 
esforço na barra DA. 
 
Dados: 𝜎𝑎𝑑𝑚𝐴𝐷 =? 𝐴𝐴𝐷 = 1200 𝑚𝑚²; 𝑁𝐷𝐴 = 190,15 𝐾𝑁 
 
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝑁𝐴𝐷
𝐴𝐴𝐷
=
190,15×103
1200×10−6
 → 𝝈𝒂𝒅𝒎 = 𝟏𝟓𝟖, 𝟑𝟑 𝑴𝑷𝒂 
 
50 
 
 
www.redentor.edu.br 
 
 
Nesta aula, abordamos: 
 
✓ Exemplos aplicados na análise de estruturas de sustentação; 
✓ Aplicações em estruturas do tipo vigas e treliças com cálculo das forças 
internas pelo método das seções e uso das equações de equilíbrio; 
✓ Exemplos com aplicações dos conceitos de tensões admissíveis e tensões 
últimas; 
✓ Exemplos com aplicações do conceito de coeficiente de segurança e critérios 
para sua escolha; 
✓ Exemplos com aplicações dos conceitos de tensões de tração e de 
compressão. 
 
 
 
 
Resumo 
51 
 
 
www.redentor.edu.br 
 
 
Para enriquecer seu conhecimento é importante que você: 
 
✓ Revise os tópicos abordados nesta aula em bibliografia 
presente na Biblioteca Digital e material complementar; 
 
✓ Resolva exemplos resolvidos 1.12 a 1.15 do HIBBELER (2010) 
– Biblioteca Digital e outros que julgar necessários da 
bibliografia básica; 
 
✓ Refazer os exercícios da lista de exercícios 1. 
 
 
 
 
 
Complementar 
52 
 
 
www.redentor.edu.br 
 
 
Básica: 
BEER, F. P. Resistência dos Materiais, 3ª ed. São Paulo: McGraw Hill, 2006. 
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2010. 
POPOV, E.P. Introdução à Mecânica dos Sólidos. São Paulo: Ed. Edgard Blucher, 
1978. 
 
Complementar: 
ASSAN, A. E. Resistência dos Materiais. São Paulo, UNICAMP, 2010. 
BOTELHO, M. H. Resistência dos Materiais para entender e gostar. São Paulo: 
Studio Nobel, 1998. 
DI BLASI, C.G. Resistência dos Materiais. Ed. Freitas Bastos. 1990. 
GERE, J. M. Mecânica dos Materiais. Tradução da 7ª Edição Norte-Americana, 
2011. 
MELCONIAN, S. Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais. Ed. Érica, 2002. 
NASH, W. A. Resistência dos Materiais. São Paulo. McGraw-Hill do Brasil. 2° ed. 
2003. 
 
 
Referências Bibliográficas53 
 
 
www.redentor.edu.br 
 
 
1 – (Adaptado de POPOV, 1978) Determinar a tensão no mastro do guincho 
representado na figura. Todos os elementos estruturais situam-se no mesmo plano 
vertical e estão ligados por articulações. O mastro é constituído por um tubo de aço 
com área da seção transversal de 6000 mm2. Desprezar o peso próprio dos elementos 
estruturais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 2,5 MPa. 
 
2 – (HIBBELER, 2010) O arganéu da âncora suporta uma força de cabo de 3 KN. Se 
o pino tiver diâmetro de 6 mm, qual será a tensão média de cisalhamento no pino? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 53,05 MPa. 
 
 
Exercícios 
 
54 
 
 
www.redentor.edu.br 
3 – (HIBBELER, 2010) Cada uma das barras da treliça tem área de seção transversal 
de 780 mm². Se a tensão normal média máxima em qualquer barra não pode 
ultrapassar 140 MPa, determine o valor máximo P das cargas que podem ser 
aplicadas a treliça. 
 
Resposta: 29,78 KN. 
 
4 – (HIBBELER, 2010) Os dois elementos de aço estão interligados por uma solda de 
topo de angulada de 60°. Determine a tensão de cisalhamento médio e a tensão 
normal média suportada no plano da solda. 
 
Resposta: 4,62 MPa e 8 MPa. 
 
5 – (HIBBELER, 2010) Se a tensão de apoio admissível para o material sob os apoios 
em A e B for de 2,8 MPa, determine o tamanho das chapas de apoio quadradas A’ e 
B’ exigidos para suportar a carga. A dimensão da chapa deve ter aproximação de 
múltiplos de 10 mm. As reações nos apoios são verticais. Considere P = 7,5 KN. 
 
Resposta: 90 mm e 110 mm 
55 
 
 
www.redentor.edu.br 
6 – (Adaptado de POPOV, 1978) Uma torre utilizada em uma linha de alta tensão é 
representada na figura. Sabendo-se que a mesma está submetida a uma força 
horizontal de 540 kN e que as tensões admissíveis valem 100 MPa à compressão e 
140 MPa à tração, respectivamente, qual a área necessária para a seção transversal 
das barras AB e AD? Todas as barras são articuladas. 
 
Resposta: 3660 mm² e 5284 mm² 
 
 
56 
 
 
www.redentor.edu.br 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
O capítulo 2, apresentado nas aulas 3 e 4, está voltado para a introdução do 
conceito de deformação específica, referente à relação tensão deformação, em vários 
tipos de materiais, e para a determinação de deformações de componentes estruturais 
sob carregamento axial. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
➢ Aplicar o conceito de deformação em uma viga, barra ou placa, submetida a 
carregamento axial; 
➢ Relacionar tensão e deformação; 
➢ Conhecer os métodos experimentais de ensaios de tração e compressão em 
corpo de provas; 
➢ Diferenciar materiais frágeis de materiais dúcteis por meio dos ensaios de 
tração em corpos de prova, conhecendo algumas propriedades mecânicas dos 
materiais; 
➢ Interpretar um diagrama tensão-deformação; 
➢ Aplicar a Lei de Hooke; 
➢ Calcular deformações em estruturas de sustentação carregadas axialmente; 
➢ Determinar o coeficiente de Poisson, que relaciona deformação específica axial 
e transversal; 
➢ Aplicar o conceito de tensões térmicas. 
 
Aula 3 
CAPÍTULO 2: TENSÃO E DEFORMAÇÃO – CARREGAMENTO AXIAL 
 
 
 
57 
 
 
www.redentor.edu.br 
2 TENSÃO E DEFORMAÇÃO - CARREGAMENTO AXIAL 
2.1 INTRODUÇÃO 
 
 Toda a vez que um corpo tende a mudar de forma e de tamanho pela aplicação 
de uma força ou carregamento, dizemos que o corpo sofre uma deformação. É 
importante que as deformações sejam controladas para evitarmos que as 
deformações excedam os valores admissíveis e que a estrutura venha a falhar no fim 
ao qual estava destinada. Por meio da análise de deformações podemos também 
determinar as tensões. 
 
2.2 DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA NORMAL SOB CARREGAMENTO AXIAL 
 
 Considere a barra BC de comprimento L e seção transversal uniforme de área 
A. Quando a barra é submetida a uma carga axial P, ocorre uma deformação  (delta), 
ou seja, a barra se alonga (Figura 2.1). Assi, teremos uma diagrama carga-
deformação (Figura 2.2). A deformação específica normal  da barra á a deformação 
 por unidade de comprimento L: 
 
A
P
 e 
L

  (2.1) 
 
 
Figura 2.1 Figura 2.2 
Fonte: BEER, 2010 
 
 
58 
 
 
www.redentor.edu.br 
 Quando a barra for de seção variável, a tensão normal  varia ao longo da barra 
e é necessário definirmos a deformação específica normal , em um dado ponto Q, 
considerando-se um pequeno elemento da barra em torno do ponto Q, e expressando-
se o comprimento do elemento por x (Figura 2.3) e por  sua deformação devido 
ao carregamento, da seguinte forma: 
 lim
dx
d
x

 


 (2.2) 
 
Figura 2.3 
Fonte: BEER, 2010 
 
2.3 DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO 
 
 Muitas propriedades de um material podem ser determinadas a partir de um 
ensaio de tração ou compressão, a partir de uma amostra do material (corpo de 
prova), como ilustrado na Figura 2.4. O resultado desse ensaio pode ser representado 
num diagrama tensão-deformação. 
 O diagrama tensão-deformação é executado num corpo-de-prova padronizado, 
tendo como dimensões originais, a seção transversal A0 e o comprimento L0. 
A máquina de teste (Figura 2.5) é utilizada para aplicar a carga. 
 
59 
 
 
www.redentor.edu.br 
 
Figura 2.4 Figura 2.5 
 Fonte: http://www.gdace.uem.br/ 
 
 
 A tensão considerada no diagrama é a força aplicada 
P na seção transversal original A0. Da mesma forma, a 
deformação é obtida diretamente da leitura do 
extensômetro, ou pela divisão da variação de comprimento 
ΔL pelo comprimento original L0: 
 
0A
P
 e 
0L
L
 
 
Este tipo de extensômetro (Figura 2.6) é denominado 
de extensômetro axial, capaz de medir a deformação ao 
longo do eixo longitudinal do corpo de prova. 
Existem vários tipos de 
extensômetros para 
diferentes aplicações de 
teste, assim como 
diferentes sistemas de 
fixação. Os mais comuns 
são os extensômetros 
mecânicos, que permitem 
a medição pelo simples 
afastamento entre suas 
pontas ou facas. Em 
algumas aplicações são 
usados extensômetros 
eletrônicos, que 
funcionam por variação 
da tensão elétrica, 
provocada pela 
deformação