Livro-Texto- Unidade I

Prévia do material em texto

Autoras: Profa. Isabel Cristina de Oliveira Navarro Espinosa
 Profa. Valéria de Carvalho
Colaboradores: Profa. Thaís Cavalheri dos Santos
 Profa. Sabrina Martins Boto
 Prof. José Carlos Morilla
Cálculo Diferencial e Integral 
de Funções de uma Variável
2
Professoras conteudistas: Isabel Cristina de Oliveira Navarro Espinosa / 
Valéria de Carvalho
Isabel Cristina de Oliveira Navarro Espinosa, graduada em Matemática pela Faculdade Oswaldo Cruz e mestre 
em Educação Matemática pela Pontifícia Universidade Católica (PUC – SP), leciona no Ensino Superior desde 1981.
Professora do curso de Pós-Graduação lato sensu em Educação Matemática das Faculdades Oswaldo Cruz e 
professora da Universidade Paulista – UNIP na modalidade presencial e na modalidade EaD – Educação a Distância.
Coautora dos livros:
• Geometria analítica para computação, Editora LTC.
• Álgebra linear para computação, Editora LTC.
• Matemática: complementos e aplicações nas áreas de ciências contábeis, administração e economia, Editora Ícone.
Valéria de Carvalho, especialista em Matemática pelo IMECC (Instituto de Matemática Estatística e Computação 
Científica), mestre e doutora em Educação Matemática pela Faculdade de Educação – Unicamp, é professora do Ensino 
Superior desde 1988.
Trabalha com temas envolvendo Tecnologias da Informação e da Comunicação (TICs) em projetos de Educação 
Continuada, envolvendo docentes de Matemática, no LEM (Laboratório de Ensino de Matemática – IMECC) e na 
Faculdade de Educação, ambos na Unicamp, sempre como professora colaboradora.
Possui publicações em anais de congressos fora do Brasil e capítulos de livros em nossa língua, pensando o 
trabalho docente, a educação matemática crítica e a sociedade.
Atualmente é professora da Universidade Paulista – UNIP e coordenadora do curso de Matemática na modalidade 
EaD – Ensino a Distância.
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
E77c Espinosa, Isabel Cristina de Oliveira Navarro.
Cálculo Diferencial e Integral de Funções de uma Variável. / 
Isabel Cristina de Oliveira Navarro Espinosa, Valéria de Carvalho. – São 
Paulo: Editora Sol, 2020.
248 p., il.
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e 
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ISSN 1517-9230.
1. Cálculo diferencial. 2. Cálculo integral. 3. Funções de uma 
variável. I. Carvalho, Valéria de. II. Título.
CDU 517
U508.50 – 20
3
Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy 
Prof. Marcello Vannini
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
 Material Didático – EaD
 Comissão editorial: 
 Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
 Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
 Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
 Profa. Deise Alcantara Carreiro – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
 Revisão:
 Ana Luiza Fazzio
 Elaine Fares
 Carla Moro
Sumário
Cálculo Diferencial e Integral de Funções de uma Variável
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................9
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................9
Unidade I
1 REPRESENTAÇÃO DE PAR ORDENADO NO PLANO CARTESIANO E FUNÇÕES ........................ 11
1.1 Representação de par ordenado no plano cartesiano .......................................................... 11
1.1.1 Plano cartesiano ...................................................................................................................................... 12
1.1.2 Produto cartesiano ................................................................................................................................. 13
1.1.3 Relação ........................................................................................................................................................ 14
1.2 Função....................................................................................................................................................... 16
1.2.1 Elementos de uma função .................................................................................................................. 20
1.2.2 Operações com funções ....................................................................................................................... 23
1.2.3 Gráfico ......................................................................................................................................................... 26
1.2.4 Funções par e ímpar .............................................................................................................................. 30
1.2.5 Tipos de funções ...................................................................................................................................... 31
1.2.6 Função inversa ......................................................................................................................................... 32
1.2.7 Ampliando seu leque de exemplos .................................................................................................. 33
1.3 Funções polinomiais ............................................................................................................................ 39
1.3.1 Função de 1º grau ................................................................................................................................... 39
1.3.2 Função constante ................................................................................................................................... 45
1.4 Função quadrática (ou de 2º grau)................................................................................................ 46
1.4.1 Gráfico ......................................................................................................................................................... 47
1.4.2 Concavidade.............................................................................................................................................. 48
1.4.3 Sinais da função ...................................................................................................................................... 52
1.4.4 Ampliando seu leque de exemplos .................................................................................................. 54
2 OUTRAS FUNÇÕES REAIS E LIMITES ........................................................................................................ 56
2.1 Outras funções reais ............................................................................................................................ 56
2.1.1 Função exponencial ............................................................................................................................... 56
2.1.2 Função logarítmica ................................................................................................................................ 59
2.1.3 Função modular ...................................................................................................................................... 62
2.1.4 Funções trigonométricas .....................................................................................................................64
2.1.5 Assíntotas ................................................................................................................................................... 67
2.1.6 Ampliando seu leque de exemplos .................................................................................................. 73
2.2 Limite ......................................................................................................................................................... 76
2.2.1 Uma visão intuitiva ................................................................................................................................ 76
2.2.2 Ampliando seu leque de exemplos .................................................................................................. 98
Unidade II
3 DERIVADAS ......................................................................................................................................................109
3.1 Notações de derivada .......................................................................................................................111
3.2 Regras de derivação ..........................................................................................................................116
3.3 Derivadas de ordem superior.........................................................................................................122
3.4 Alguns teoremas .................................................................................................................................126
3.5 Ampliando seu leque de exemplos..............................................................................................130
4 APLICAÇÕES ....................................................................................................................................................133
4.1 Variação aproximada – diferencial ..............................................................................................133
4.2 Sinais da 1ª derivada – crescimento da função .....................................................................135
4.3 Concavidade da função – sinais da 2ª derivada ....................................................................138
4.4 Construção de gráficos ....................................................................................................................140
4.4.1 Assíntota horizontal ........................................................................................................................... 143
4.5 Regras de L’Hospital ..........................................................................................................................145
4.6 Logaritmo e exponencial .................................................................................................................147
4.7 Derivadas ...............................................................................................................................................153
4.8 Ampliando seu leque de exemplos..............................................................................................159
Unidade III
5 INTEGRAL – PRIMEIROS CONCEITOS .....................................................................................................171
5.1 Primitiva ou antiderivada ...............................................................................................................171
5.2 Integral indefinida .............................................................................................................................172
5.3 Integral imediata ................................................................................................................................173
5.4 Ampliando seu leque de exemplos..............................................................................................181
6 MÉTODOS PARA O CÁLCULO DE INTEGRAIS E INTEGRAIS DE RIEMANN ...............................183
6.1 Métodos para o cálculo de integrais (não imediatas) .........................................................183
6.1.1 Integração por substituição ............................................................................................................ 183
6.1.2 Integração por partes ......................................................................................................................... 188
6.1.3 Integração de algumas funções trigonométricas ................................................................... 192
6.1.4 Ampliando seu leque de exemplos ............................................................................................... 195
6.2 Integral de Riemann..........................................................................................................................198
6.3 Partição ...................................................................................................................................................199
6.4 Soma de Riemann ..............................................................................................................................200
6.5 Integral definida ou integral de Riemann ................................................................................200
6.6 Teorema Fundamental do Cálculo Integral (TFCI) .................................................................200
6.7 Ampliando seu leque de exemplos..............................................................................................204
Unidade IV
7 APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA ...................................................................................................214
7.1 Cálculo de áreas ..................................................................................................................................214
7.2 Comprimento de arco .......................................................................................................................220
7.3 Ampliando seu leque de exemplos..............................................................................................222
8 SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO ...........................................................................................................................224
8.1 Área de sólidos de revolução (rotação) .....................................................................................225
8.2 Volume de sólidos de revolução (rotação) ...............................................................................227
8.3 Ampliando seu leque de exemplos..............................................................................................231
9
APRESENTAÇÃO
Caros alunos,
O presente livro-texto tem como alvo o estudante das licenciaturas de Física e Química. Dessa maneira, 
os conteúdos foram selecionados de forma criteriosa, com o objetivo de apresentar ferramentas que 
efetivamente serão usadas durante o curso. 
Especificamente, neste livro-texto, serão estudados os aspectos iniciais do cálculo diferencial e 
integral de uma variável, servindo como base para o aprofundamento no estudo do cálculo diferencial 
e integral. 
As aplicações do cálculo passam por várias partes da Física, bem como da Química, Engenharia, 
Biologia, entre outras. Algumas aplicações serão encontradas nesta disciplina, facilitando o entendimento 
dos conceitos. São apresentadas situações-problema que se aproximam de fatos que despertam a 
atenção para o assunto a ser tratado, tornando o processo ensino-aprendizagem proveitoso. 
Atente-se para a dificuldade do cálculo diferencial e integral. Esta disciplina requer estudo 
intenso e grande dedicação. Dessa forma, é importante que aperfeiçoe os seus estudos com materiais 
didáticos complementares. 
A responsabilidade em estudar e compreender o cálculo diferencial e integral é de grande importância 
para o aprendizado em Física e Química. Assim, faz-se necessário estudá-lo a fundo, devendo ser muito 
bem fundamentados os teoremas e demais conceitos matemáticos.
Temos como objetivo principal preparar o nosso alunopara interpretar e agir nas mais diferentes 
situações envolvendo a Física e a Química.
Para se tornar um bom profissional de Ensino Fundamental, Médio ou mesmo Superior, que esteja sempre 
preocupado com o papel social na função que desempenha, é primordial que você, aluno, analise todos os 
dados fornecidos, imagine as hipóteses e aplique os conceitos matemáticos necessários a cada situação.
Para se tornar um professor de qualidade, você deverá ser capaz de trabalhar de forma integrada com 
professores da sua área e também de outras, contribuindo efetivamente com a proposta pedagógica 
da sua escola; ainda, é necessário que saiba reconhecer as dificuldades individuais do seu educando, 
sugerindo caminhos alternativos permitindo seu desenvolvimento e sucesso nos estudos.
INTRODUÇÃO
Os tópicos abordados na disciplina Cálculo Diferencial e Integral de Funções de uma Variável estão 
divididos em quatro unidades. 
Iniciaremos com a representação de par ordenado no plano cartesiano, discutindo plano 
cartesiano, produto cartesiano e relação. Ainda, apresentaremos os diversos tipos de funções como: 
10
par e ímpar, inversa polinomiais, quadrática, exponencial, logarítmica, modular, trigonométricas e 
assíntotas, juntamente com uma visão intuitiva da definição de limite; habilitando o aluno a iniciar 
seus estudos no cálculo.
Em seguida, são apresentados os conceitos de derivadas, abordando notações de derivada, regras 
de derivação, derivadas de ordem superior e alguns teoremas. Em adição, apresentaremos diversas 
aplicações, entre elas: variação aproximada, sinais de 1ª e 2ª derivadas, construção de gráficos, regras de 
L’Hospital, logaritmo e exponencial. 
Mostraremos os primeiros conceitos de integral, compreendendo antiderivada, integral indefinida 
e imediata. Em continuidade, elucidaremos os métodos para o cálculo de integrais e integrais de 
Riemann, e mais: partição, soma de Riemann, integral definida e Teorema Fundamental do Cálculo 
Integral (TFCI).
Finalizaremos com aplicações da integral definida traduzidas em cálculos de áreas e comprimento de 
arco e sólidos de revolução, compreendendo área e volume de sólidos de revolução.
Para o bom entendimento do conteúdo, este livro-texto apresenta exemplos resolvidos, testes, 
exemplos de aplicação e indicação de conteúdos complementares ao estudo do aluno.
11
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Unidade I
1 REPRESENTAÇÃO DE PAR ORDENADO NO PLANO CARTESIANO E FUNÇÕES
1.1 Representação de par ordenado no plano cartesiano
Muitas vezes, em nosso dia a dia, nos deparamos com situações que envolvem localização. Por 
exemplo, você marca uma consulta com um médico e como é a primeira vez que vai ao consultório, 
a atendente lhe informa o endereço. Como você não sabe chegar até lá, vai procurar a localização 
em sistemas como GPS (Sistema de Posicionamento Global) e Waze (aplicativos de localização para 
smartphones ou dispositivos móveis baseado na navegação por satélite). 
No jogo batalha naval, também utilizamos o plano cartesiano para localizar e destruir os navios do 
adversário, para isso, são indicadas as coordenadas linha e coluna.
Veja o exemplo a seguir, que é uma cartela do jogo batalha-naval.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
a a
b b
c c
d d
e e
f f
g g
h h
i i
j j
L L
m m
n n
o o
p p
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Figura 1
12
Unidade I
Nesse exemplo, se você escolher a2 conseguirá afundar o navio adversário que está na linha “a” 
coluna “2”. Porém, se escolher d3 será água, isto é, não conseguirá acertar o adversário.
A ideia de termos uma forma de localizar pontos num plano é utilizada desde a Antiguidade. Nós 
utilizamos, atualmente, o sistema cartesiano que estudaremos a seguir.
1.1.1 Plano cartesiano
O sistema cartesiano é baseado no sistema criado pelo matemático e filósofo francês René Descartes, 
cujo pseudônimo era Cartesius, daí o nome plano cartesiano.
O plano cartesiano é formado por duas retas perpendiculares (formam ângulo de 90º) e o ponto de 
encontro delas é denominado origem. Cada eixo representa um dos conjuntos do produto cartesiano, o 
eixo horizontal (x) é o eixo das abscissas e o eixo vertical (y) é o eixo das coordenadas.
Como você pode ver, os eixos coordenados dividem o plano em 4 quadrantes, conforme a figura a 
seguir. O eixo x será positivo no 1º e no 4º quadrantes, e negativo no 2º e 3º quadrantes, o eixo y será 
positivo no 1º e no 2º quadrantes, e negativo no 3º e 4º quadrantes:
y
2º Q
1º Q
4º Q3º Q
(ordenadas)
(abscissas)
x
Figura 2
Um par ordenado pode ser representado geometricamente como um ponto em um plano cartesiano.
Assim, para representarmos o par ordenado (2, 3) no plano cartesiano, devemos marcar 2 no eixo x 
e 3 no eixo y.
 Lembrete
As retas auxiliares utilizadas para localizar o ponto A devem ser paralelas 
aos eixos.
13
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
y
3 A (2,3)
2 x
Figura 3
Exemplo:
Represente os pontos A (1, 3), B (3, 1), C (–1, –3), D (0, 2), E (–2, 4) e F (2, –2):
y
A (1,3)
x
D (0,2)
B (3,1)
4
3
2
-1 1 2 3-2
1
-2
-3
E (-2,4)
F (2,-2)
(-1,-3) C
Figura 4
1.1.2 Produto cartesiano
Consideremos dois conjuntos A e B não vazios. Chamamos de produto cartesiano de A e B ao 
conjunto formado por todos os pares ordenados, com 1º elemento de A e 2º elemento de B.
Produto cartesiano de A e B:
A x B = {(x, y) | x ∈ A e y ∈ B}
Exemplo:
Se A = {0, 2} e B = {0, 2, 3} calculando A x B e B x A, temos:
A x B = {(0, 0), (0, 2), (0, 3), (2, 0), (2, 2), (2, 3)}
14
Unidade I
B x A = {(0, 0), (0, 2), (2, 0), (2, 2), (3, 0), (3, 2)}
Representando geometricamente, temos:
(2,3)
(2,2)
y (B)
(0,3)
(0,2)
(2,0)(0,0) x (A)
A x B B x A
y (A)
(3,2)(0,2)
(0,0) (2,0) (3,0) x (B)
(2,2)
Figura 5
Notemos que, como os pares são ordenados, o par (0, 2) é diferente do par (2, 0) e representam 
pontos diferentes no plano.
O número de elementos do produto cartesiano A x B, sendo A e B finitos, é dado pela multiplicação 
do número de elementos de A pelo número de elementos de B.
Assim, n(A x B) = n(A) . n(B)
Exemplo:
Sendo A = {–1, 0, 3, 4} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, temos:
• Número de elementos de A é n(A) = 4
• Número de elementos de B é n(B) = 6
Logo, o número de elementos de A x B é n(A x B) = 4 x 6 = 24
1.1.3 Relação
Em vários momentos, trabalhamos com conjuntos de pares ordenados. Por exemplo, quando 
estudamos o movimento de um carro em uma estrada, podemos construir uma tabela com a posição 
do carro (S) e o tempo (t):
t ( s) 0 1 2 3 4 5 6
S ( m ) 0 10 20 30 40 50 60
15
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Temos uma relação entre tempo (t) e distância (S) dada pelos pares ordenados:
{(0, 0), (1, 10), (2, 20), (3, 30), (4, 40), (5, 50), (6, 60)}.
Observando o que ocorre com os valores da tabela, podemos escrever uma expressão para encontrar 
a posição do carro em um dado tempo S = 10 t.
Definimos relação binária de A em B como todo subconjunto de A x B.
R é uma relação de A em B ⇔ R ⊂ A x B
Exemplo:
Considere os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 4}.
Determine o produto cartesiano A x B e a relação R dada pelos pares ordenados (x, y), tais que y = 2x
Temos:
A x B = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 4), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 0), (3, 1), 
(3, 2), (3, 4)}
Como a relação é dada por y = 2x, temos:
x y (x, y)
0 2 . 0 = 0 (0, 0)
1 2 . 1 = 2 (1, 2)
2 2 . 2 = 4 (2, 4)
3 2 . 3 = 6 (3, 6)
Assim, a relação é dada pelo conjunto R = {(0, 0), (1, 2), (2, 4)}.
Podemos também representar a relação por meio de um diagrama ou no plano cartesiano.
Observando o nosso exemplo, temos:
16
Unidade I
a) Representação por diagramas:
1
2
3
A B
0
1
2
4
0
Figura 6
Cada par ordenado é representado por uma flecha do 1º elemento do par para o 2º elemento do par.
b) Representação no plano cartesiano:
y (B)
4
(2,4)
2 x (A)
(1,2)
2
31(0,0)
Figura 7
1.2 Função
Uma locadora deautomóveis está com uma promoção para essa semana: “alugue um carro pagando 
R$ 50,00 por dia mais R$ 1,00 por Km rodado”.
Você precisa alugar um carro para uma pequena viagem e quer saber quanto pagaria por dia pelo 
aluguel, aproveitando a promoção.
Como saber esse valor, se ele depende dos quilômetros rodados?
Veremos, a seguir, um conceito que permitirá que você responda a questão anterior.
Função é uma relação f de A em B, indica-se f: A → B, que obedece às seguintes regras:
17
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
• Não há elemento em A sem representante em B.
• Qualquer elemento de A tem um único correspondente em B.
Note que no 2º conjunto podemos ter elementos sem correspondente e também elementos com 
mais de um correspondente.
A seguir, temos algumas situações para verificar se são funções ou não, isto é, se satisfazem as duas 
condições da definição.
Exemplos:
1) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3}; B = {0, 1} e a relação f de A em B dada pelo diagrama, 
verifiquemos se f é uma função:
Nesse exemplo, notamos que a relação f é uma função, pois obedece às duas regras dadas.
1
2
3
A B
1
0
f
Figura 8
2) Sejam A = {0, 1, 2, 3}; B = {0, 2, 4} e consideremos a relação f de A em B dada pelo diagrama a 
seguir, verifiquemos se f é uma função:
1
2
3
A B
0
2
4
0
f
Figura 9
18
Unidade I
Note que a relação f não é uma função, pois não satisfaz a primeira regra, o elemento x = 3 do 
conjunto A não tem correspondente no conjunto B.
3) Sejam A = {0, 1}; B = {–1, 0, 1} e a relação f de A em B dada pelo diagrama, verifiquemos se f é 
uma função:
1
A B
0
-1
1
0
f
Figura 10
A relação f não é uma função, pois não satisfaz a 2ª segunda regra, o elemento x = 1 do conjunto 
A tem 2 correspondentes em B.
Chamamos de lei de uma função f de A em B a sentença aberta y = f(x) que relaciona os elementos de A e B.
 Observação
Nem sempre é prático escrever a lei de uma função, nesses casos 
usaremos os pares ordenados.
Exemplos:
1) Sejam A = {–1, 0, 1, 2, 3}; B = {–3, 0, 3, 6, 9} e f a função de A em B dada pelo conjunto 
R = {(–1, –3), (0, 0), (1, 3), (2, 6), (3, 9)}, determinemos a lei da função f: A → B:
Notemos que o 2º número de cada par é o triplo do 1º número, assim, podemos escrever a lei de f, então:
y = 3x ou ƒ(x) = 3x
2) Sejam A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}; B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e f a função de A em B dada pelo diagrama a 
seguir, determinemos a lei da função f: A → B:
19
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
1
2
3
A B
0
2
4
f
4
5
3
5
1
6
Figura 11
Comparando os valores dos pares ordenados, notamos que cada elemento de B é o elemento de 
A mais 1, assim, podemos escrever a lei de f:
y=x+1 ou ƒ(x) = x+1
3) Sejam A = {1, 2, 3, 4}; B = {0, 5, 6, 10} e f a função de A em B dada pelo diagrama a seguir, 
determinemos a lei da função f: A → B:
1
2
3
A B
0
f
4
5
10
6
Figura 12
Comparando os pares ordenados, não encontramos facilmente uma relação entre os valores, nesse 
caso, não escrevemos a lei da função f.
Vamos retornar ao problema do aluguel do carro.
4) Uma locadora de automóveis está com uma promoção para essa semana:
“alugue um carro pagando R$ 50,00 por dia mais R$ 1,00 por quilômetro rodado”.
20
Unidade I
Você precisa alugar um carro para uma pequena viagem e quer saber quanto pagaria por dia pelo 
aluguel, aproveitando a promoção.
Como saber esse valor, se ele depende dos quilômetros rodados?
Notemos que o valor a ser pago depende do km rodado, isto é, “está em função do km rodado”. 
Temos, então, uma função e queremos estabelecer uma lei para ela, se for possível.
Pensemos inicialmente em alguns casos particulares:
• Andar 10 km – valor do aluguel 50 (fixo) + 1. (10) = 50 + 10 = 60 reais.
• Andar 20 km – valor do aluguel 50 (fixo) + 1. (20) = 50 + 20 = 70 reais.
• Andar 40 km – valor do aluguel 50 (fixo) + 1. (40) = 50 + 40 = 90 reais.
Observando os cálculos que foram feitos, notamos que uma parte é fixa e a outra é o produto de 1 
pelos km rodados, podemos, então, representar a quantidade de km rodados pela variável x.
Assim, teremos que a expressão V(x) = 50 + 1x indica, para nós, o valor em função de x, isto é, você 
muda o valor de x e, fazendo os cálculos, determina o valor do aluguel.
Por exemplo, se sua viagem for de 90 km, você deverá pagar por um dia de aluguel: 
V(90) = 50 + 1. 90 = 140 reais.
1.2.1 Elementos de uma função
Se f: A → B é uma função, chamamos o conjunto A de domínio de f e o conjunto B de contra 
domínio de f.
Indicamos o domínio de f por Dom f = D (f) = A e o contradomínio CD(f) = B.
Ao conjunto formado pelos elementos de B, que são correspondentes de algum elemento de A, 
chamamos de imagem de f e escrevemos Im (f).
Exemplos:
1) Consideremos a função f: A → B representada pelo diagrama a seguir:
21
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
1
2
3
A B
0
f
4
5
10
6
8
Figura 13
Observando o diagrama, notamos que:
D(f) = {1, 2, 3, 4} = A
CD (f) = {0, 5, 6, 8, 10} = B
Im (f) = {0, 5, 6, 8}
Nem todos os elementos de B são correspondentes de algum elemento de A, por exemplo, 10 está 
no contradomínio, mas não está na imagem de f.
 Observação
Mesmo sobrando um elemento no conjunto B, temos uma função e, 
nesse caso, temos CD (f) ≠ Im (f).
2) Consideremos a função f: A → B representada pelo diagrama a seguir:
1
2
4
A B
2
f
6
12
10
5
Figura 14
22
Unidade I
Novamente observando os diagramas, notamos que:
D(f) = {1, 2, 4, 6} = A
CD (f) = {2, 5, 10, 12} = B
Im (f) = {12}
 Observação
Como no exemplo anterior, vemos que existem elementos em B que não 
estão no conjunto imagem e novamente temos CD (f) ≠ Im (f).
3) Consideremos a função f: A → B representada pelo diagrama a seguir:
A
3
6
9
12
B
3
f
Figura 15
Notamos que:
D(f) = {3, 6, 9, 12} = A
CD (f) = {3} = B
Im (f) = {3} = B
Nesse caso, não sobram elementos em B, isto é, Im (f) = B.
23
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
1.2.2 Operações com funções
Dadas as funções f e g, podemos fazer as seguintes operações:
adição (ƒ + g) (x) = ƒ(x) + g(x)
subtração (ƒ - g) (x) = ƒ(x) - g(x)
multiplicação (ƒ . g) (x) = ƒ(x) . g(x)
divisão (f/g) (x) =
 
ƒ(x)
g(x)
Produto por número real (k f)(x) = kƒ(x)
Veja a seguir uma representação da função f composta com g (fog)(x). Calculamos, inicialmente, a 
função g em x e depois calculamos f no resultado obtido:
g f
x y = g(x) z = ƒ(g(x))
ƒog
Figura 16
 Lembrete
Para que possamos calcular a função (fog), devemos ter a imagem de g 
igual ao domínio de f.
Observemos que o domínio das funções f + g, f – g, f. g é a intersecção dos domínios de f e g.
O domínio de f / g é a intersecção dos domínios de f e g, menos os pontos no qual g(x) = 0.
O domínio de k f é o mesmo de f.
O domínio de fog é formado pelos pontos x do domínio de g, tais que g(x) está no domínio de f, isto 
é, D(fog) = {x ∈ D(g) | g(x) ∈ D(f)}.
Vejamos agora alguns exemplos, para que você entenda melhor como trabalhar com as funções e 
suas operações.
24
Unidade I
Exemplos:
1) Dadas as funções f(x) = –2x – 4 e g(x) = x + 5, determine as funções:
a) f+g
b) f-g
c) f.g
d) f/g
e) 3f
f) fog
g) gof
A seguir, determine o domínio de cada uma delas.
Resolução:
Calculando as funções, temos:
a) (f + g) (x) = f(x) + g(x) = (–2x – 4) + (x + 5) = –x + 1
b) (f – g) (x) = f(x) – g(x) = (–2x –4) – (x + 5) = – x – 4 – x – 5 = –3x – 9
c) (f . g) (x) = f(x) . g(x) = (–2x – 4) . (x + 5) = –2x2 – 14x – 20
d) (f / g) (x) =
f x
g x
x
x
( )
( )
= − −
+
2 4
5
e) (3 f) (x) = 3 f(x) = 3 (–2x – 4) = –6x – 12
f) (fog) (x) = f(g(x)) = f(x + 5) = –2 (x + 5) – 4 = –2x – 14
g) (gof) (x) = g(f(x)) = g(–2x – 4) = (–2x – 4) + 5 = –2x + 1
Como o domínio das funções f e g pertence ao conjunto dos números reais (R), temos:
D(f + g) = D(f – g) = D(f . g) = D(3 f)= D(f o g) = D(g o f) = IR
Para determinar o domínio da função (f / g), devemos observar os valores que anulam o denominador, 
isto é, resolvera equação x + 5 = 0 e excluir a solução do domínio.
25
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Resolvendo a equação, encontramos x = –5, logo, o domínio da função será todos os reais menos x = –5.
Assim, D(f / g) = IR – {–5}, ou D(f / g) = {x | x ≠ –5}.
2) Dadas as funções f(x) = 3x – 2 e g x x( ) = +1, determine as funções f + g,
f – g, f . g, f/g, 3f, fog e gof. A seguir, determine o domínio de cada uma delas:
Resolução:
(f + g) (x) = f(x) + g(x) = (3x – 2) + x +1
(f – g) (x) = f(x) – g(x) = (3x – 2) – x +1
(f. g) (x) = f(x) . g(x) = (3x – 2). x +1
f / g (x) =
f x
g x
x
x
( )
( )
= −
+
3 2
1
(3 f) (x) = 3 f(x) = 3 (3x – 2) = 9x – 6
(fog) (x) = f(g(x)) = f( x +1 ) = 3 x +1 – 2
(gof) (x) = g(f(x)) = g(3 x – 2) = ( )3 2 1 3 1x x� � � �
O domínio da função f é IR e o domínio da função g é D(g) = {x | x ≥ –1}, pois a função tem uma 
raiz quadrada e devemos ter a expressão x + 1 ≥ 0, isto é, x ≥ –1.
Assim, pelas expressões das funções f + g, f – g, f . g e fog, todas têm o mesmo domínio de g, isto é:
D(f+g) = D(f – g) = D(f. g) = D(fog) = {x | x ≥ –1}.
A função (3f) tem o mesmo domínio de f, isto é, D(3f) = IR.
A função gof tem em sua expressão a raiz quadrada de 3x – 1, assim, para determinar o seu domínio, 
devemos ter a expressão 3x – 1 ≥ 0, daí 3x ≥ 1, logo, D(g o f) = {x | x ≥ 1/3}.
A função (f / g) tem em seu denominador a raiz quadrada de x – 1, assim, a expressão x – 1 > 0, logo, 
D(f / g) = {x | x > –1}. Note que o valor x = –1 não está no domínio de f / g, pois zera o denominador.
26
Unidade I
1.2.3 Gráfico
Muitas vezes, encontramos em livros, jornais e revistas gráficos representando alguma situação. Veja 
os exemplos a seguir:
O PIB (Produto Interno Bruto) do Brasil mede o crescimento econômico do país e é calculado a partir 
da soma de todos os bens e serviços produzidos em um dado período. No Brasil, desde 1990, o IBGE 
(Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística) é o único responsável pelo cálculo desse índice.
A carga tributária é formada por impostos diretos – que incidem sobre a renda e o patrimônio – e 
por impostos indiretos – que incidem sobre o consumo.
O gráfico a seguir mostra a relação entre a carga tributária anual no Brasil e o nosso PIB:
37,00
29,60
22,20
14,80
7,40
0,00
19
39
19
52
19
58
19
64
19
70
19
76
19
82
19
88
19
94
20
00
20
07
% do PIB
Figura 17 - Gráfico 1: carga tributária anual – Brasil
Esse gráfico mostra a carga tributária no Brasil, indicando anualmente o percentual do PIB que ela 
representa, no período de 1939 a 2007.
A seguir, temos outro gráfico que também mostra como utilizar a representação gráfica para 
representar uma situação de forma simplificada:
27
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
13,00
10,40
7,80
5,20
2,60
0,00
1999 2000 2001 2003 2004 2005
Abrangência: Estados 
Unidade territorial: São Paulo 
Categorias: médio 
Unidade: percentual
Ta
xa
 d
e 
ev
as
ão
 e
sc
ol
ar
 (%
)
Ano
Figura 18 - Gráfico 2: taxa de evasão escolar no Ensino Médio de São Paulo
Nesse gráfico, temos dados sobre as taxas de abandono escolar nas turmas do Ensino Médio do 
estado se São Paulo, entre os anos de 1999 e 2005.
Observando o gráfico, é possível tirar várias informações, por exemplo, a taxa de abandono escolar em 
um determinado ano, ou se a taxa de abandono escolar diminuiu ou aumentou em determinado período.
Note que é uma forma prática de mostrar o que se quer, mesmo que não se saiba a expressão 
matemática relacionada ao gráfico. De forma simples, representamos o que queremos.
Vejamos, então, o que é e como construir o gráfico de uma função.
Ao conjunto dos pares ordenados que representam a função no plano cartesiano, chamamos de 
gráfico de f, isto é, a figura desenhada no plano cartesiano.
Exemplos:
1) Consideremos a função f de A em B, definida pela lei f(x) = x + 3, com
A = {–3, –2, –1, 0} e B = {–2, –1, 0, 1, 2, 3}. Construir o gráfico de f:
Resolução:
Para construir o gráfico da função, vamos determinar a imagem dos pontos do domínio montando 
a tabela de valores de x e y = f(x):
28
Unidade I
x y (x,y)
-3 -3 + 3 = 0 (-3,0)
-2 -2 + 3 = 1 (-2,1)
-1 -1 + 3 = 2 (-1,2)
0 -0 + 3 = 3 (0,3)
Colocando esses pares ordenados no plano cartesiano, temos:
y (B)
x (A)-3 -2 -1 0
1
2
3
Figura 19
 Lembrete
O domínio de f é um conjunto com 4 elementos, assim o gráfico de f 
será formado por 4 pontos isolados, não podemos unir os pontos.
Geralmente, trabalhamos com funções com domínio real e contradomínio real, então os seus gráficos 
serão linhas unindo os pontos do plano cartesiano.
Vejamos no próximo exemplo:
2) Seja f: IR → IR, dada pela expressão f(x) = 2 x, construir o gráfico de f:
Como o domínio de f é IR (infinitos valores), para encontrar o gráfico de f devemos montar uma 
tabela com alguns valores do domínio. Assim, escolhendo alguns valores de x para a nossa tabela, temos:
x y = ƒ(x) = 2 x (x,y)
-1 2 . (-1) = -2 (-1,-2)
0 2 . (0) = 0 (0,0)
1 2 . (1) = 2 (1,2)
2 2 . 2 = 4 (2,4)
29
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Representando no plano cartesiano e unindo os pontos, temos:
y
0 1 2-1
1
2
4
-1
-2
Figura 20
 Lembrete
O domínio de f é o conjunto dos reais, assim, no gráfico de f serão 
formados infinitos pontos.
Nesse caso, devemos unir os pontos do gráfico da função, que é uma reta.
3) Construir o gráfico da função y = x2, sendo seu domínio e seu contradomínio o conjunto dos reais.
Inicialmente, montemos uma tabela com alguns valores de x:
x y = x2 (x,y)
-2 (-2)2 = 4 (-2,4)
-1 (-1)2 = 1 (-1,1)
0 02 = 0 (0,0)
1 12 = 1 (1,1)
2 22 = 4 (2,4)
Substituindo os pontos no plano cartesiano e unindo os pontos, temos o gráfico da função f(x) = x2:
30
Unidade I
y
-2 -1 1 2
1
2
x
3 4 5
-1
3
4
y=x^2
Figura 21
 Lembrete
Novamente, unimos os pontos, pois o domínio da função é real.
Da mesma forma que podemos, por meio da lei da função ou de uma tabela de pontos, montar o 
gráfico, é possivel fazer o contrário também, isto é, dado um gráfico, montar uma tabela com os pontos 
da função.
1.2.4 Funções par e ímpar
Definimos como função par toda função, tal que f(–x) = f(x) para qualquer x do seu domínio. E 
função ímpar toda função, tal que f(–x) = –f(x), para qualquer x de seu domínio.
Uma função par tem seu gráfico simétrico em relação ao eixo y e uma função ímpar tem seu gráfico 
simétrico em relação à origem.
Exemplos:
Considere as funções a seguir e decida se são par ou ímpar:
a) f(x) = x2
Para saber se a função é par ou não, devemos calcular f(–x) e comparar com f(x).
Assim:
f(–x) = (–x)2 = x2 = f(x), temos que f(x) = x2 é uma função par.
31
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
b) f(x) = x3
f(–x) = (–x)3 = –x3 = –f(x), temos que f(x) = x3 é uma função ímpar.
c) f(x) = x3 + 1
f(–x) = (–x)3 + 1 = –x3 + 1, então a função f(x) = x3 + 1 não é par e não é ímpar.
1.2.5 Tipos de funções
• Função sobrejetora
f: A → B é sobrejetora, se e somente se Imf = CD f:
f sobrejetora ⇔ Imf = CD f
• Função injetora
f: A → B é injetora, se e somente se valores diferentes do domínio têm imagem diferentes:
f injetora ⇔ x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)
• Função bijetora
f: A → B é bijetora, se e somente se f é sobrejetora e injetora:
f bijetora ⇔ f é sobrejetora e injetora
Exemplos:
Determinar o tipo das funções a seguir:
a) f: IR → IR, f(x) = x + 3
A função tem domínio e contradomínio reais, como a imagem de f também é real, temos que 
f(x) = x + 3 é função sobrejetora.
Para determinarmos se f é injetora, consideremos a e b dois valores quaisquer do domínio, com 
a ≠ b, daí:
f(a) = a + 3 e f(b) = b + 3, mas logo f(a) ≠ f(b).
32
Unidade I
Então, f é injetora e, portanto, é bijetora.
b) f: IR → IR, f(x) = x2
Não é sobrejetora, pois Imf = { x | x > 0} = IR+ e CD f = IR, isto é, Imf ≠ CD f.
Não é injetora, pois para a = 1 e b = –1 são dois valores diferentes do domínio, temos:
f(a) = f(1) = 12 = 1 e f(b) = f(–1) = (–1)2 = 1, isto é,f(a) = f(b).
 Observação
Nossa função, então, não é injetora e não é sobrejetora.
 Lembrete
Notemos, no entanto, que se o contradomínio da função for alterado 
de forma conveniente, podemos transformar nossa função em uma função 
sobrejetora, basta definir a função de IR em IR+.
1.2.6 Função inversa
Seja f uma função bijetora de A em B, chamamos de inversa de f a função g bijetora de B em A, tal 
que fog (x) = x e gof (x) = x.
Notação: f –1(x) representa a inversa da função f.
Exemplos:
Determinar a inversa das funções:
 Observação
Para determinar a inversa de uma função, você deve isolar o valor 
de x e depois trocar as posições das letras x e y, a nova expressão será a 
função inversa.
a) f: IR → IR, definida por f(x) = 2x – 5 ou y = 2x – 5, função bijetora.
33
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Isolando o valor de x, temos:
2 x = y + 5 ⇒ = + x y 5
2
Trocando x e y de posição, temos: y 
x 5
2
= +
Logo, f (x) 
x 5
2
-1 = + é a inversa de f e f –1: IR → IR.
b) f: IR+ → IR+, definida por f(x) = x
2 ou y = x2
A função é bijetora.
Isolando o valor de x, temos:
x2 = y ⇒ = x y
Trocando x e y de posição, temos: y x=
Logo, f (x) x-1 = é a inversa de f e f –1: IR+ → IR+
A seguir, você encontrará alguns exemplos para que possa perceber melhor as várias possibilidades 
apresentadas na teoria.
 Lembrete
Estude atentamente os exemplos apresentados e, a seguir, tente refazê-los.
1.2.7 Ampliando seu leque de exemplos
1) Determinar o conjunto que representa os elementos do produto cartesiano A x B, sendo 
A = {–1, 0, 1} e B = {1, 2}
Resolução:
Lembrando que o produto cartesiano é formado pelos pares ordenados, no qual o primeiro elemento 
é do conjunto A e o segundo é do conjunto B, teremos:
A x B = {(–1, 1), (–1, 2), (0, 1), (0, 2), (1, 1), (1, 2)}
2) Determinar o domínio da função f(x) = 5
3 9
x
x −
34
Unidade I
Resolução:
Encontrar o domínio da função é indicar os valores que podem ser substituídos no lugar de x.
A nossa função possui uma fração e tem x tanto no numerador quanto no denominador. Observando 
o numerador, notamos que não há restrição, porém, o denominador deve ser diferente de zero.
3x – 9 ≠ 0 ⇒ 3 x ≠ 9 ⇒ x ≠ 3
Assim, o conjunto domínio de f será dado por:
Df = { x ∈ IR / x ≠ 3} ou podemos também escrever Df = IR – { 3 }.
3) Sendo f(x) =
1
1
x
x
+

 , calcular o valor de f (½)
Resolução:
Para calcular o valor de f (½), devemos substituir o valor x = ½ na expressão, teremos:
f( )12
1
2
1
2
1
2
1
1
2 1
3=
+




= + = = . 2 6 
Logo, f (½) = 6.
4) Sendo f(x) = –4x + 5 e g(x) = x2 + 2x, determinar a soma das funções, isto é, determinar o valor 
de (f + g) (x)
Resolução:
Sabemos que para determinar (f + g) (x), devemos somar os resultados de f e de g, então:
(f + g) (x) = –4x + 5 + x2 + 2x
Somando os termos correspondentes, ficamos com:
(f + g) (x) = x2 – 2x + 5
5) Sendo f(x) = –4x + 5 e g(x) = x2 + 2x, determinar o valor de (2f – g) (1)
35
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Resolução:
Agora, queremos saber não só o valor de 2f – g mas também quanto ele vale quando x = 1.
Para determinar 2f – g, vamos inicialmente determinar 2f, depois encontrar a expressão para 2f – g 
e só então substituir o valor de x.
Sabemos que para determinar (2f)(x), devemos multiplicar f(x) = –4x + 5 por 2, assim, ficamos com 
(2 f)(x) = 2. (–4x + 5) = – 8x + 10.
Temos:
(2 f – g)(x) = (2 f) (x) – g(x) = –8x + 10 – (x2 + 2x) = –x2 – 10x + 10
Não acabamos o exercício, ainda falta encontrar o valor da função para x = 1. Substituindo x 
por 1, temos:
(2 f – g)(1) = – (1)2 – 10. 1 + 10 = –1 – 10 + 10 = –1
 Observação
Poderíamos ter resolvido esse exercício, calculando o valor de (2f)(1) e 
o de g(1) e depois efetuando a conta (2f – g)(1). Refaça o exercício desta 
outra forma e compare o procedimento e o resultado.
6) Dadas as funções f(x) = 3x + 2 e g(x) = x2, determinar o valor de (f o g) (x)
Resolução:
Sabemos que a função composta (f o g) (x) é igual a f(g(x)), isto é, (f o g) (x) = f(g(x)), devemos 
substituir a expressão de g no lugar de x em f(x), assim, temos:
(f o g) (x) = f(g(x)) = f(x2) = 3 (x2) + 2 = 3x2 + 2
7) Uma função é par se f(–x) = f(x), verifique qual das funções é par:
a) f(x) = x + 5
b) f(x) = x2
c) f(x) = x2 + 5x
36
Unidade I
Resolução:
Conforme a definição, devemos calcular f(–x) e comparar com f(x) para podermos decidir se a função 
é par ou ímpar.
a) Para a função f(x) = x + 5, temos:
f(–x) = (–x) + 5 = – x + 5 ≠ f(x), logo, a função não é par.
b) Para a função f(x) = x2, temos:
f(–x) = (–x)2 = x2 = f(x), logo, a função é par.
c) Para a função f(x) = x2 + 5x, temos:
f(–x) = (–x)2 + 5 (–x) = x2 – 5x ≠ f(x), logo, a função não é par.
Assim, a única das funções que é par é f(x) = x2.
8) Sabendo que f(x – 1) = 2x, determine o valor de f(2)
Resolução:
Para determinar o valor de f(2), devemos descobrir qual o valor de x que torna x – 1 = 2. Resolvendo 
a equação, encontramos x = 3.
Calculando o valor de f(x – 1) quando x = 3, temos:
f (3 – 1) = 2. 3 = 6, logo, f(2) = 6.
 Lembrete
O mesmo procedimento se aplica a qualquer outro valor que você 
queira determinar, basta descobrir o valor de x e substituir na expressão.
9) Determinar a inversa da função f(x) = 5x + 1
Resolução:
Para determinar a inversa de uma função, devemos substituir f(x) por y e trocar as posições de x e y 
na lei que define a função, depois isolar o valor de y.
Assim:
f(x) = 5x + 1 ⇒ y = 5x + 1
37
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Trocando as posições de x e y, vem:
x = 5y + 1
Isolando y, encontramos:
x = 5y + 1 ⇒ – 5y = – x + 1 ⇒ x y y x y
x
y
x= + ⇒ − = − + ⇒ = − +
−
⇒ = −5 1 5 1 1
5 5
1
5
Logo, f –1 (x) = f x
x− = −1
5
1
5
( )
10) Sabendo que uma função é bijetora se for injetora e sobrejetora, verifique qual das funções a 
seguir é bijetora:
a) f: IR → IR, tal que f(x) = x2 + 2x
b) f: IR → IR, tal que f(x) = x + 1
c) f: IR → IR, tal que f(x) = 3
d) f: IR → IR, tal que f(x) = sen(x)
Resolução:
Lembrando: uma função é injetora se valores diferentes de x vão a valores diferentes de y, e uma 
função é sobrejetora se o seu contradomínio é igual ao seu conjunto imagem.
Vamos utilizar o gráfico das funções para saber se são injetoras e sobrejetoras.
Esboçando o gráfico das funções, temos:
a) f : IR → IR, f(x) = x2 + 2x
y
-2 -1 1
1
2
x
-1
y=x^2-2x
-3
Figura 22
38
Unidade I
Observando o gráfico da função, notamos que quando x = 0 e quando x = –2, temos f(0) = f(–2) = 0, 
logo, a função não pode ser injetora e, portanto, não será bijetora.
 Observação
Esta função também não é sobrejetora, pois seu contradomínio é IR, 
mas sua imagem é formada pelos valores de y maiores que o y do vértice, 
yv = –1, logo, Im f = { y ∈IR / y ≥ –1}.
b) f : IR → IR, f(x) = x + 1
y
0 x–1
Figura 23
Observando o gráfico da função, notamos que a função é injetora e também sobrejetora, logo, 
será bijetora.
c) f : IR → IR, f(x) = 3
y
0 x–1–2 2
3
Figura 24
A função é constante, logo seu gráfico é paralelo ao eixo x, passando em y = 3. Essa função não é 
injetora, pois para todos os valores de x, temos a mesma imagem, y = 3.
Logo, a função não pode ser bijetora.
39
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
 Observação
Nesse caso, a função também não é sobrejetora, pois seu contradominio 
é IR mas sua imagem é Im(f) = {3}.
d) f : IR → IR, f(x) = sen x
y
x
–1–2 2
2
–3
–1
1 3 4 5 6 7
1
π/2
–π
2 3π/2
2ππ
y=sen(x)
Figura 25
Observando o gráfico da função seno, notamos que não é injetora, pois existem vários valores 
de x que têm a mesma imagem, por exemplo, para x = 0 e x = π, temos a mesma imagem, isto é, 
f(0) = f(π) = 0.
Logo, não é bijetora.
 Observação
Nesse caso, a função também não é sobrejetora, pois seu contradomínio 
é IR, mas sua imagem é o intervalo [–1, 1], isto é, Im(f) = [–1, 1].
1.3 Funções polinomiais
Estudaremos agora algumas funções polinomiais importantes.1.3.1 Função de 1º grau
1.3.1.1 Função de 1º grau (ou função afim)
É toda função f: IR → IR, dada por:
f(x) = a x + b, com a ∈ IR, a ≠ 0 e b ∈ IR.
40
Unidade I
Os valores de a e b são chamados de coeficientes da função:
 a: coeficiente angular 
 b: coeficiente linear 
Quando b = 0, a função de 1º grau f(x) = ax é chamada função linear.
Quando b = 0 e a = 1, a função de 1º grau f(x) = x é chamada função identidade.
Exemplos:
Determinar se as funções a seguir são lineares ou afins, e identificar os coeficientes angular e linear:
1) A função f(x) = 4x + 5 é uma função afim:
a = 4, coefiente angular
b = 5, coeficiente linear
2) A função y = –3x é uma função linear:
a = –3, coeficiente angular
b = 0, coeficiente linear
3) A função y = – x – 3 é uma função afim:
a = –1, coeficiente angular
b = –3, coeficiente linear
1.3.1.2 Gráfico
O gráfico de uma função de 1º grau é sempre uma reta.
 Lembrete
Bastam 2 pontos para determinar uma reta, assim, você deve encontrar 
dois pontos da função, representar no plano cartesiano e unir os pontos.
41
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Exemplos:
1) Traçar o gráfico das funções lineares:
a) y = –2x
Você deve escolher pelo menos dois valores para x e calcular f(x), nesse caso, escolhemos x = 0 e x = 1:
x y = - 2x (x,y)
0 y = - 2 . 0 = 0 (0,0)
1 y = - 2 . 1 = -2 (1,-2)
y
10
-2
x
y = -2x
Figura 26
b) y = 3x
x y = 3x (x,y)
0 y = 3 . 0 = 0 (0,0)
1 y = 3 . 1 = 3 (1,3)
y
10
3
x
y = 3x
Figura 27
42
Unidade I
c) y = x
Nesse exemplo, vamos escolher outros valores para x, assim, você não vai concluir que só podemos 
colocar para x valores iguais a 0 e 1:
x y = x (x,y)
0 y = 0 = 0 (0,0)
1 y = 1 (1,1)
y
10 x
y = x
1
–1
Figura 28
 Observação
A reta que representa a função linear sempre passa na origem, isto é, 
no ponto (0, 0).
2) Traçar o gráfico das funções de 1º grau:
a) y = 2x + 4
Em vez de escolhermos dois valores quaisquer de x, vamos calcular os cortes da reta com os eixos, 
isto é:
x = 0 ⇒ y = 2. 0 + 4 = 4
y = 0 ⇒ 0 = 2x + 4 ⇒ 2x = –4 ⇒ x = –2
Logo, a reta corta o eixo x em x = –2 e o eixo y em y = 4.
43
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Graficamente, temos:
corte em y
corte em x
y = 2x + 4
x
y
-2 0 
4
Figura 29
b) y = –3x + 6
x = 0 ⇒ y = –3 . 0 + 6 = 6
y = 0 ⇒ 0 = 3 – x + 6 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2
Graficamente, temos:
corte em y
corte em x
y = 3x + 6
x
y
4
 2
Figura 30
1.3.1.3 Crescimento da função de 1º grau
O coeficiente angular da função de 1º grau indica se nossa função é crescente ou decrescente.
decrescente (a < 0) e crescente (a > 0)
Exemplos:
a) y = –4x + 5 é uma função decrescente, pois a = –4 < 0.
b) y = 3x – 6 é uma função crescente, pois a = 3 > 0.
44
Unidade I
c) y = 2x é uma função crescente, pois a = 2 > 0.
d) Graficamente, para verificar se uma função de 1º grau é crescente ou decrescente utilizando o seu 
gráfico, devemos observar a sua inclinação, assim:
y
x
y
x
decrescente
(inclinação à esquerda)
crescente
(inclinação à direita)
00
Figura 31
1.3.1.4 Sinais da função
Muitas vezes, queremos saber o intervalo no qual a função y = a x + b é positiva e no qual é negativa. 
Para isso, devemos determinar x0 raiz da equação ax + b = 0 e observar a inclinação da reta.
Temos:
+ -
X0 x
- +
X0 x
a < 0 - inclinação à 
esquerda; decrescente
a > 0 - inclinação à 
direita; crescente
Figura 32
Exemplos:
Determinar os sinais das funções:
a) y = –4x + 12
Determinando a raiz da função, temos:
–4x+12=0 ⇒ x=3
45
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Como a = –4 < 0, a reta tem inclinação para a esquerda, assim:
ƒ(x) > 0 se x < 3
ƒ(x) < 0 se x > 3
ƒ(x) = 0 se x = 3
+ -
3 x
b) y = 3x – 15
Determinando a raiz da função, temos:
3x–15=0 ⇒ x=5
Como a = 3 > 0, a reta tem inclinação para a direita, assim:
ƒ(x) > 0 se x > 5
ƒ(x) < 0 se x < 5
ƒ(x) = 0 se x = 5
 
- +
5 x
1.3.2 Função constante
Toda função dada por f(x) = c, no qual c é uma constante, é chamada função constante. Seu gráfico 
será uma reta paralela ao eixo x, passando pelo ponto (0, c).
Exemplos:
Esboçar o gráfico das funções:
a) f(x) = 2 (ou y = 2)
Vamos montar uma tabela com alguns valores de x, assim:
x y = 2 (x,y)
0 y = 2 (0,2)
1 y = 2 (1,2)
2 y = 2 (2,2)
3 y = 2 (3,2)
46
Unidade I
Quando colocados esses valores no sistema cartesiano, obtemos a reta paralela ao eixo x passando 
pelo ponto (0, 2):
y = 2
x
y
1 2 30
2
corte em y
Figura 33
b) f(x) = –3 (ou y = –3)
Notemos que não é necessária a construção da tabela de pontos, basta traçar uma reta paralela ao 
eixo x passando pelo ponto (0, –3):
x
y
0
-3
y = -3
Figura 34
 Saiba mais
Para ver uma aplicação de função do 1º grau em economia, assista ao vídeo:
http://www.youtube.com/watch?v=NsOLoXAIo7g
1.4 Função quadrática (ou de 2º grau)
Se jogamos para o alto um objeto a partir do chão e observamos a sua trajetória, notamos que o 
objeto sobe até um determinado ponto e depois começa a cair até retornar ao chão. Representando a 
sua trajetória graficamente, temos:
47
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
x x
α > 0 α < 0
y y
Figura 35
O gráfico fornece várias informações sobre o movimento do objeto, por exemplo: a altura máxima 
atingida, tempo para retornar ao solo, o tempo necessário para atingir a altura máxima.
Esse gráfico, uma parábola, é o gráfico de uma função do 2º grau.
Vamos agora estudar as funções quadráticas, ou de 2º grau, isto é, uma função dada pela relação:
y = ax2 + bx + c, com a, b, c números reais e a ≠ 0
Exemplos:
a) f(x) = 3x2 + 2x + 1 é uma função quadrática completa, com a = 3, b = 2 e c = 1.
b) y = –5x2 + 10x é uma função quadrática incompleta, pois tem a = –5, b = 10 e c = 0.
c) f(x) = 10x2 é uma função quadrática incompleta, pois tem a = 10, b = 0 e c = 0.
d) y = 2x2 – 6 é uma função quadrática incompleta, com a = 2, b = 0, c = –6.
1.4.1 Gráfico
O gráfico de uma função do 2º grau é sempre uma parábola que pode ser obtida por uma tabela de 
pontos ou por meio dos cortes nos eixos coordenados e de seu vértice.
Para determinarmos os cortes, devemos:
• No eixo x: ⇒ encontrar as raízes da equação de 2º grau correspondente.
• No eixo y: ⇒ determinar o valor de y, quando x = 0.
Para as coordenadas do vértice, usaremos a fórmula: x
b
 a
y
 av v
= − = −
2 4. .
e
∆
Onde ∆ é uma letra grega que significa delta.
48
Unidade I
1.4.2 Concavidade
A parábola terá concavidade para cima ou para baixo, dependendo do sinal de a. Assim:
a > 0 ⇔ concavidade para cima
a < 0 ⇔ concavidade para baixo 
a > 0 a < 0
Figura 36
Exemplos:
Esboçar o gráfico das funções de 2º grau:
a) y = –x2 + 2x + 3
Inicialmente, vamos destacar os valores de a, b e c, assim:
a = –1 < 0 (concavidade para baixo), b = 2 e c = 3
Utilizando a tabela de pontos, vamos determinar valores do gráfico de y, como é uma parábola, não 
bastam 2 pontos para a construção, serão necessários mais valores, assim, escolhemos 4 valores de x:
x y = –x2 + 2 . x + 3 (x, y)
–1 y = – (–1)2 + 2 . (–1) + 3 (–1, 0)
0 y = –(0)2 + 2 . 0 + 3 (0, 3)
1 y = –(1)2 + 2 . 1 + 3 (1, 4)
2 y = –(2)2 + 2 . 2 + 3 (2, 3)
49
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Colocando esses pontos nos eixos coordenados, temos:
y
1
x
-1
-1-2-3
2
4
(0,3)
1 2 3 4
(2,3)
(1,4)
(-1,0)
Figura 37
 Lembrete
Você pode escolher outros valores para x e também pode fazer a tabela 
com mais pontos e mais valores, melhor qualidade do gráfico.
b) y = x2 + 2x + 1
Agora, vamos esboçar o gráfico da função sem a utilização de tabela de pontos.
Inicialmente, devemos identificar os valores de a, b e c:
a = 1 > 0 (concavidade para cima), b = 2 e c = 1
Calculemos agora os cortes nos eixos:
Eixo x: ⇒ devemos resolver a equação x2 + 2 x + 1 = 0:
∆
∆
∆
= −
= − = − =
= − ± = − ± = −
b ac
x
b
a
2
2
4
2 4 1 1 4 4 0
2
2 0
2 1
1
. .
. .
. .
Corta o eixo no ponto (–1,0).
Eixo y: ⇒ para x = 0, temos y = 02 + 2. 0 + 1 = 1
50
Unidade I
Corta o eixo no ponto (0, 1).
Coordenadas do vértice ⇒ x
b
 av
= − = − = −
2
2
2
1
.
 y
 av
= − = − =∆
4
0
4
0
.
V = (–1, 0).
Colocando todos os dados no sistema cartesiano, temos:
y
-2 -1 1
1
2
x
3
2-3
Figura 38
c) y = x2 – 4
Inicialmente, devemos identificar os valores de a, b e c:
a = 1 > 0 (concavidade para cima), b = 0 e c = –4
Calculemos agora os cortes nos eixos:
Eixo x: ⇒ devemos resolver a equação x2 – 4 = 0:
∆
∆
∆
= −
= − − =
= − ± = − ± = ± = ±
b ac
x
b
a
2
2
4
0 4 1 4 16
2
0 16
2 1
4
2
2
. .
. .( )
. .
Corta o eixo nos pontos (–2, 0) e (2, 0).
Eixo y ⇒ para x = 0, temos y = 02 – 4 = –4
Corta o eixo no ponto (0, –4).
51
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Coordenadas do vértice ⇒ x
b
 av
= − = =
2
0
2
0
.
 y
 av
= − = − = −∆
4
16
4
4
.
V = (0, –4)
Substituindo todos os pontos no plano cartesiano, temos:
y
-2 -1 1
1
2
x
2-3 3
-1
-2
-3
-4
Figura 39
d) y = x2 + 3x
Identificando os valores de a, b e c, temos:
a = 1 > 0 (concavidade para cima), b = 3 e c = 0
Calculemos agora os cortes nos eixos:
Eixo x: ⇒ devemos resolver a equação x2 + 3 x = 0:
∆
∆
∆
= −
= − =
= − ± = − ± = − ± =
= − + =
b ac
x
b
a
x
2
2
1
4
3 4 1 0 9
2
3 9
2 1
3 3
2
3 3
2
0
. .
. .( )
. .
xx2
3 3
2
3= − − = −






52
Unidade I
Corta o eixo nos pontos (0, 0) e (–3, 0).
Eixo y: ⇒ para x = 0, temos y = 02 + 3. 0 = 0
Corta o eixo no ponto (0, 0).
Coordenadas do vértice ⇒ x
b
 av
= − = − = −
2
3
2
1 5
.
.
 y av
= − = − = −∆
4
9
4
2 25
.
.
V = (-1,5; -2,25)
y
-2 -1 1
1
x
-3
-1
-2
-1,5
-2,25
-4
Figura 40
 Saiba mais
Para saber mais sobre Baskara, acesse:
http://www.pucrs.br/edipucrs/erematsul/comunicacoes/26KAMILA 
CELESTINO.pdf
1.4.3 Sinais da função
Queremos saber o intervalo no qual a função y = ax2 + bx + c é positiva e negativa.
Inicialmente, resolvemos a equação a x2 + b x + c = 0 e determinamos as suas raízes:
∆ < 0 ⇒ não existe raiz real
mesmo sinal de a
x
53
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
∆ > 0 ⇒ duas raízes reais
mesmo sinal de a contrário de a mesmo sinal de a
x1 x2
∆ = 0 ⇒ existe 1 raiz real
mesmo sinal de a mesmo sinal de a
x1
Exemplos:
Determinar o sinal das funções:
a) y = x2 – 2x + 1
A equação tem uma raiz real x 1 = 1, pois ∆=0.
Como a = 1 > 0, temos:
+ +
1
Logo, 
f x x
f x x
( )
( )
> ⇔ ≠
= ⇔ =



0 1
0 1
b) y = x2 – x – 2
A equação tem duas raizes reais x1 = –1 e x2= 2, pois ∆=9>0.
Como a = 1 > 0, temos:
 + — +
—1 2 x
Logo, 
f x x
f x x
f x
( )
( )
( )
> ⇔ > <
= ⇔ = − =
< ⇔ − <
0 2
0 1
0 1
 ou x -1
 ou x 2
 x 2<




c) y = –x2 + 2 x – 2
A equação não tem raiz real, pois ∆= –4<0.
54
Unidade I
Como a = –1 < 0, temos:
— —
x
Logo, f(x) < 0 para todo x.
1.4.4 Ampliando seu leque de exemplos
1) Dada a função f(x) = 3x + 5, determine os zeros da função e seu crescimento:
Resolução:
Para determinar os zeros da função, devemos determinar o valor de x, tal que f(x) = 0.
Assim:
3x + 5 = 0 ⇒ 3x = –5 ⇒ x = –5/3. O zero da função será x = –5/3.
Segundo a teoria para verificar o crescimento da função, devemos ver o sinal de a, coeficiente de x, 
nesse caso, a = 3 > 0, logo, a função é crescente.
2) Seja f: IR → IR, tal que f(x) = –x 2 + mx + n, se o gráfico de f passa pelos pontos (0, 2) e (1, 3), 
determinar os valores de m e n:
Resolução:
Sabemos que se o gráfico da função passa por um ponto, podemos substituir os valores na expressão 
de f(x) e o resultado será verdadeiro, isto é:
Ponto (0, 2) significa que para x = 0, temos f(0) = 2.
Ponto (1, 3) significa que quando x = 1, temos f(1) = 3, substituindo esses valores na expressão de 
f(x), encontramos o sistema:
− + + =
− + + =




⇒
=
− + + =
0
1
2
1 3
2
2
m
m
n
m n
 . 0 n 2
 . 1 n 3
 



Resolvendo o sistema, temos n = 2 e m = 2.
55
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
 Observação
A expressão –x2 indica que somente o valor de x será elevado ao 
quadrado, o sinal de menos permanece.
3) Considere a função y = x 2 – 8x + 15, determine o intervalo no qual y < 0:
Resolução:
Para determinar os sinais da função, devemos inicialmente encontrar os zeros de f, para isso, vamos 
igualar a expressão a zero.
Resolvendo a equação x 2 – 8x + 15 = 0, temos:
∆=b2 –4 . a . c = (–8)2 –4 . 1 . 15 = 64 – 60 = 4
Calculando as raízes:
x
b
a
= − ± = − − ± = ±∆
2
8 2
2
8 2
2
( )
Teremos: x e x1 2
8 2
2
10
2
5
8 2
2
6
2
3= + = = = − = =
Vamos agora colocar esses valores na reta e estudar os sinais de f conforme o sinal de a. Nesse caso, 
a = 1 > 0:
 + — +
m/m a contrário de a m/m a
3 5
Figura 41
Assim, teremos y < 0 para valores de x entre as raízes (zeros da função), isto é, no intervalo aberto ]3, 5[.
 Lembrete
O intervalo deve ser aberto, pois nos pontos x = 3 e x = 5, temos y = 0.
56
Unidade I
2 OUTRAS FUNÇÕES REAIS E LIMITES
2.1 Outras funções reais
2.1.1 Função exponencial
Voce recebeu R$ 500,00 de bonificação e aplicou na poupança. O banco paga a taxa de juros de 0,5% 
ao mês. Como saber quanto você terá daqui a alguns meses, se a taxa for mantida?
Quando aplicamos na poupança, temos que o capital acumulado (montante) é dado pela expressão 
M = C0 (1 + i)
n, juro composto, no qual M é o capital acumulado, C0 é o capital inicial (depósito inicial), 
i é a taxa de juros e n o período. No nosso exemplo, C0 = 500, i = 0,5% = 0,005 ao mês e n número de 
meses, assim, para saber o montante a cada mês, substituímos o valor de n e determinamos M.
Por exemplo, na tabela temos o montante para alguns meses:
t(mês) M = 500 . (1 + 0,005)n (t, M)
1 M = 500 . (1 + 0,005)1 (1, 502.5)
2 M = 500 . (1 + 0,005)2 (2, 505.0)
3 M = 500 . (1 + 0,005)3 (3, 507.54)
4 M = 500 . (1 + 0,005)4 (4, 510.08)
A expressão M = C0 (1 + i)
n é uma função exponencial, a variável período definida como n está 
no expoente. 
Estudaremos agora funções exponenciais, isto é, funções do tipo:
f(x) = c + b amx, (a > 0, a ≠ 1, b ≠ 0 e m ≠ 0)
Exemplos:
a) f(x) = 32x – 4
É uma função exponencial com base a = 3, b = 1, c = –4 e m = 2.
b) f(x) = –5x
É uma função exponencial com base a = 5, b = –1, c = 0 e m = 1.
c) f(x) = 4–2x + 2
É uma função exponencial com base a = 4, b = 1, c = 2 e m = –2.
57
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
2.1.1.1 Gráfico
Para fazer o gráfico da função exponencial, utilizaremos a tabela de pontos:
Exemplos:
Esboçar o gráfico das funções:
a) f(x) = 3x
Atribuindo valores para x e calculando 3x, temos:
x y = 3x (x,y)
-2 y = 3-2 = 1/9 (-2,1/9)
-1 y = 3-1 = 1/3 (-1,1/3)
0 y = 30 = 1 (0,1)
1 y = 31 = 3 (1,3)
2 y = 32 = 9 (2,9)
x
y
9
6
3
1 2-1-2
1
3
8
7
5
4
2
–1
-3-4-5
Figura 42
58
Unidade I
b) f x
x
( ) = 



1
3
Novamente, vamos esboçar o gráfico da função, atribuindo valores para x e calculando 
1
3




x
,assim:
x y = (1/3)x (x,y)
–2 y = (1/3)–2 (–2,9)
–1 y = (1/3)–1 (–1,3)
0 y = (1/3)0 (0,1)
1 y = (1/3)1 (1,1/3)
2 y = (1/3)2 (2,1/9)
x
y9
1 2-1-2-3-4 3 4
8
7
6
5
4
3
2
1
—1
–2
Figura 43
Comparando as duas funções, notamos que em relação à base da função exponencial, temos:
a > 1, função crescente
0 < a < 1, função decrescente
c) Retornando ao nosso exemplo, vamos construir o gráfico da função utilizando a tabela de 
pontos. Temos:
t(mês) M = 500 . (1 + 0,005)n (t, M)
1 M = 500 . (1 + 0,005)1 (1, 502.5 )
2 M = 500 . (1 + 0,005)2 (2, 505.0)
3 M = 500 . (1 + 0,005)3 (3, 507.54)
4 M = 500 . (1 + 0,005)4 (4, 510.08)
59
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Representando os pontos no plano cartesiano, temos o gráfico da função:
y
x3
510
1 4
507.5
505
502.5
500
2
Figura 44
 Lembrete
Esse gráfico sótem significado para valores no 1º quadrante, pois 
representa valores aplicados, o restante deve ser tracejado.
2.1.2 Função logarítmica
Voltando ao exemplo do item 2.1. Agora, você quer saber por quanto tempo deve deixar seu dinheiro 
aplicado para receber R$ 531,00.
Substituindo os valores na expressão, temos 531= 500 (1 + 0,005)n, e então
1,062 = 1,005 n, que para ser resolvida, utilizamos logaritmo.
Também encontramos logaritmos em várias áreas: na Física, na Química, na escala Richter, utilizada 
para medir a magnitude de um terremoto.
Uma função logarítmica é dada pela expressão:
f(x)=logax, com a > 0, a ≠ 1 e x > 0
As funções f(x)=logax e g(x) = a
x são inversas uma da outra.
Para fazer o gráfico da função logarítmica, utilizaremos a tabela de pontos.
Exemplos:
1) Esboçar o gráfico das funções:
60
Unidade I
a) f(x)=log3x
Atribuindo valores para x e calculando log3x, através da função inversa da função logarítmica:
Loga b = x ⇔ ax =b
Logaritimando Logaritimo
Base
Onde o logaritmo de um número é definido como o expoente ao qual se deve elevar a base a para 
obter o número x.
Exemplo: y = log3⁡
1
9




1) escrever a fração na forma de potência: (1/9) = 9-1
2) colocar a potência na base 3: 9-1 = 3-2
3) aplicando a função exponencial: 3y = 3-2 → y = -2
Temos:
x ƒ(x) = log3x (x, y)
1
9




ƒ(x) = log3
1
9



 
→ 3
y = 3-2 = -2 1
9
2, −



1
3




ƒ(x) = log3
1
3




 → 3
y = 3-1 = -1 1
3
2, −



1 ƒ(x) = log31 → 3
y = 30 = 0 (1, 0)
3 ƒ(x) = log33 → 3
y = 31 = 1 (3, 1)
9 ƒ(x) = log39 → 3
y = 32 = 2 (9, 2)
Representando os pontos no plano cartesiano, temos:
y
9 x3
2
1
0 1
Figura 45
61
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
b) f(x)= log1/3x
Atribuindo valores para x e calculando log1/3x, temos:
x ƒ(x) = log1/3x (x,y)
1
9
ƒ(x) = log1/3 1
9




(1/9,2)
1
3
ƒ(x) = log1/3 1
3




(1/3,1)
1 ƒ(x) = log1/31 (1,0)
3 ƒ(x) = log1/33 (3,-1)
9 ƒ(x) = log1/39 (9,-2)
Colocando os pontos no plano, temos:
y
x3
2
1
1 9
Figura 46
Comparando os dois gráficos, verificamos que:
a > 1 , função crescente
0 < a < 1, função decrescente
2) Retomando o exemplo inicial: “quanto tempo deve deixar seu dinheiro aplicado para receber 
R$ 531,00?”
Quando substituímos os valores na expressão, encontramos:
531 = 500 (1 + 0,005)n
1,062 = 1,005n
Aplicando o logaritmo nos dois lados da expressão, temos:
Ln 1,062 = Ln 1,005n, calculando o logaritmo vem 0,060 = 0,00498n, assim, chegamos a n = 12 
meses, que é a solução do nosso exemplo.
62
Unidade I
 Observação
O Lnx é uma função matemática que significa logaritmo natural de x.
2.1.3 Função modular
Chamamos de função modular a função:
f(x) = | x |
Utilizando a definição de módulo, temos:
f x x
x
( ) | |= =
≥
<



 
 se x 0
-x se x 0
2.1.3.1 Gráfico
O gráfico da função modular será formado por duas semirretas que devem obedecer às 
condições anteriores.
Exemplos:
Construir o gráfico das funções:
a) y = | x |
Conforme a definição de modulo, temos y x
x
= =
≥
<



 
 se x 0
-x se x 0
| |
Devemos fazer o gráfico das duas funções (1) y = x, para x ≥ 0 e (2) y = –x, para x < 0.
Construindo a tabela de pontos para cada uma das funções, temos:
(1) y = x, para x ≥ 0
x y = x (x,y)
0 y = 0 (0,0)
1 y = 1 (1,1)
y
0 1 x
y = x
Figura 47
63
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
(2) y = - x, para x < 0
x y = -x (x,y)
-2 y = 2 (-2,2)
-1 y = 1 (-1,1)
y
x
y = -x
0-1-2
1
2
Figura 48
Unindo as figuras, temos:
y
x
y = xy = -x
-1 0 1
Figura 49
b) y = | x | + 2
Conforme a definição de módulo, temos y x
x
= + =
+ ≥
+ <



 
 2 se x 
-x 2 se x 
| | 2
0
0
Devemos fazer o gráfico das duas funções:
(1) y = x + 2, para x ≥ 0
(2) y = –x + 2, para x < 0
Construindo a tabela de pontos para cada uma das funções, temos:
y = x + 2, para x ≥ 0
64
Unidade I
x y = x + 2 (x,y)
0 y = 2 (0,2)
1 y = 3 (1,3)
(2) y = –x + 2, para x < 0
x y = -x + 2 (x,y)
-2 y = 4 (-2,4)
-1 y = 3 (-1,3)
Construindo os dois gráficos no mesmo sistema:
y
x
y = -x+2
0-1-2 1
2
y = x+2
3
4
Figura 50
2.1.4 Funções trigonométricas
São funções periódicas, isto é, após um intervalo, seus valores se repetem.
Estudaremos algumas delas.
2.1.4.1 Função seno
Consideremos o ciclo trigonométrico de centro O e raio 1, definimos como função seno a função 
f: IR → IR dada por f(x) = sen x.
O valor de seno de x é a medida OM, conforme veremos na figura a seguir (A):
+
10
-
-
1
eixo dos senos
x
(0,1)
(-1,0) (1,0)
(0,-1)
+
- -
M
10
-
-
1
eixo dos senos
x
(0,1)
(-1,0) (1,0)
(0,-1)
senx
A) B)
Figura 51
65
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
O sinal de sen x será positivo, se x estiver no 1º e no 2º quadrantes, e negativo no 3º e 4º quadrantes, 
como pode ser visto na figura anterior (B).
Para a função seno, temos:
D(f) = IR
Im (f) = {y ∈ R / –1< y <1}
período: p = 2π
gráfico:
y
-1 1 2 3 4 5 6 7 8
1
-1
π
2π
x
π/2
3π/2
+ +
f(x)= senx
- -
Figura 52
2.1.4.2 Função cosseno
Definimos como função cosseno a função f: IR → IR dada por f(x) = cos x.
O valor do cosseno de x é a medida ON, conforme veremos no ciclo trigonométrico da figura (A) a seguir:
N 10
-1
-1
1
eixo dos 
cossenos
x
cosx
(0,1)
(-1,0) (1,0)
(0,-1)
10
-1
-1
1
eixo dos 
cossenos
(0,1)
(-1,0) (1,0)
+-
- +
(0,-1)
A) B)
Figura 53
O sinal do cosseno x será positivo, se x estiver no 1º e no 4º quadrantes, e negativo no 2º e 3º 
quadrantes, como pode ser visto na figura anterior (B).
Para a função cosseno, temos:
D(f) = IR
66
Unidade I
Im (f) = {y ∈ R / –1< y <1}
período p = 2π
gráfico:
y
-1 1 2 3 4 5 6 7 8
1
-1
π
2π
x
π/2
3π/2
+ + f(x)= cosx
- -
+ +
Figura 54
2.1.4.3 Função tangente
Definimos como função tangente a função f: D → IR dada por f(x) = tg x, no qual 
D x IR= ∈ ≠ + ∈{ / x (2k 1) 
2
 , k Z }
π
O valor da tangente de x é a medida OS, conforme veremos na figura a seguir:
10
-1
-
1
eixo das 
tangentes
tgx
0
S
x
Figura 55
O sinal da tg x será positivo, se x estiver no 1º e no 3º quadrantes, e negativo no 2º e 4º quadrantes.
Para a função tangente, temos:
D(f) = {x IR∈ ≠ + ∈ / x (2k 1) 
2
 , k Z }
π
Im (f) = IR
período p = π
67
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
gráfico:
1 2 3 4 5 6 7 8-1
1
2
-1
-2
2ππ/2 3π/2
f(x)= tgx
π x
y
Figura 56
2.1.5 Assíntotas
Assíntotas são retas das quais o gráfico das funções se aproxima, porém, não corta e nem tem ponto 
comum com elas.
Podemos ter assíntotas horizontais, verticais ou inclinadas. Em nosso estudo, veremos as assíntotas 
verticais e as horizontais.
2.1.5.1 Assíntotas horizontais
São retas paralelas ao eixo x. As funções exponenciais e algumas funções racionais têm assíntotas 
horizontais. Votaremos a estudar esse tema na unidade III.
• Assíntota de uma exponencial:
Exponencial é uma função do tipo f(x) = c + b amx, com a > 0, a ≠1, b ≠ 0 e m ≠ 0. A família das 
funções exponenciais tem assíntota horizontal com equação y = c.
Exemplo:
a) y = 2x
x y = 2x (x,y)
-2 y = 2-2 (-2, 1/4)
-1 y = 2-1 (-1,1/2)
0 y = 20 (0,1)
1 y = 21 (1,2) 
2 y = 22 (2,4) 
68
Unidade I
x
y
4
1
-1
3
-2-3-4
-1
1 2
2
Figura 57
Observando o gráfico da função, notamos que ele se aproxima do eixo x. Na medida em que vamos 
diminuindo os valores de x, os valores de y também diminuem se aproximando cada vez mais de zero. 
Assim, a assíntota horizontal de f(x) = 2 x será a reta y = 0.
b) f(x)=2+5x
Observando o gráfico, notamos que a assíntota horizontal é a reta y = 2:
x y = 2 + 5 x (x, y)
-2 2 + 5 -2 (-2, 2.04)
-1 2 + 5 -1 (-1, 2.2)
0 2 + 5 0 (0, 3)
1 2 + 5 1 (1, 7)
x
y
4
1
-1
3
-2-3-4
-1
1 2
2
-5
5
6
7
Figura 58
69
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
c) f(x) = –4 + 3 2x
Não é necessário construir o gráfico para determinar a assíntota de uma função.Genericamente, podemos encontrar a assíntota horizontal de uma função exponencial com equação 
f(x) = c + b amx simplesmente fazendo y = c.
Em nosso exemplo, assíntota horizontal de f será a reta y = c, isto é, a reta y = –4.
d) y = 12 – 2 . 3–x
Nesse caso, a assíntota será a reta y = 12.
• Assíntota de funções racionais
Funções racionais são funções do tipo: f x
p x
q x
( )
( )
( )
=
Estas funções podem apresentar assíntotas horizontais e verticais.
Para determinar se uma função racional tem assíntota horizontal podemos observar o seu gráfico 
ou aplicar um conceito de limite que veremos mais adiante.
Exemplo:
Considerando a função racional f x x
( ) = 1 , podemos determinar se ela tem assíntota horizontal, 
construindo o seu gráfico. Veja a tabela de pontos:
x -6 -4 -2 -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 -0,18
f(x) =(1/x) -0,167 -0,250 -0,500 -1,000 -1,250 -1,667 -2,500 -5,000 -5,556
x -0,16 -0,14 -0,12 -0,1 -0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0
f(x) = (1/x) -6,250 -7,143 -8,333 -10,000 -12,500 -16,667 -25,000 -50,000
x 0 0,02 0,04 0,06 0,08 2 4 6
f(x) = (1/x) 50,000 25,000 16,667 12,500 0,500 0,250 0,167
70
Unidade I
Assim:
x
y
4
1
-1
3
-2-3-4
-1
2
2
-5
5
6
7
-6-7-8-9
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
1 3 4 5 6 7 8 9
Figura 59
Observando o gráfico, vemos que a assíntota horizontal será a reta y = 0, ou seja, eixo x. Ela mostra 
o comportamento da função quando x é muito grande (x → ∞) ou muito pequeno (x → –∞).
2.1.5.2 Assíntotas verticais
São retas paralelas ao eixo y. As funções logarítmicas e algumas funções racionais têm 
assíntotas verticais.
Logarítmica: funções do tipo f(x)=logamx+n, com a > 0, a ≠ 1 e (mx + n) > 0
têm assíntota vertical com equação x
n
m
= −
Determinamos a reta assíntota vertical da função f(x)=logamx+n, determinando a solução da 
equação mx + n = 0.
Exemplos:
a) f(x)=log2x tem assíntota vertical em x = 0
71
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Graficamente, temos:
x f(x)=log2
x (x,y)
1
2
f(x)=log2
1
2



 (1/2,–1)
2 f(x)=log22 (2,1)
4 f(x)=log24 (4,2) 
8 f(x)=log28 (8,3) 
y
x-1 2
2
3
1
4 8
Figura 60
b) f(x)=log4(x+3)
Nesse caso, não faremos o gráfico da função, vamos determinar a assíntota vertical de f(x) por meio 
da solução de x + 3 = 0, isto é, x = –3.
Assim, a reta x = –3 é assíntota vertical da função.
Funções racionais: são funções do tipo f x
p x
q x
( )
( )
( )
=
Para determinar a assíntota vertical de uma função racional, devemos determinar as raízes de q(x); 
os valores encontrados serão as assíntotas.
Exemplos:
1) Observando o gráfico da função f x
x
( ) = 1 , notamos que, além da assíntota horizontal, ela também 
tem assíntota vertical em x = 0.
72
Unidade I
x
y
4
1
-1
3
-2-3-4
-1
2
2
-5
5
6
7
-6-7-8-9
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
1 3 4 5 6 7 8 9
Figura 61
2) Para função racional f x
x x
x
( ) = +
−
2
2 5
, determinar se tem assíntota vertical:
Devemos encontrar as raízes do denominador, esses valores são os pontos que estão fora do domínio 
da função.
Assim, determinando as raízes de q(x), temos x 2 – 5 = 0 e então x = 5 e x = − 5 .
As assíntotas verticais serão as retas x = 5 e x = − 5 .
Os gráficos de funções racionais serão feitos mais adiante. Para podermos entender melhor o 
comportamento da função, vamos tomar o gráfico pronto da função:
73
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
y
x1
2
3
4
5
6
–1
–2
–3
–4
–5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10–1–2–3–4–5–6–7–8–9–10
assíntota vertical assíntota vertical
Figura 62
Note que o gráfico se aproxima das retas x = √5 e x = - √5, mas não passa por elas. Nesse gráfico, 
temos ainda outra assíntota (horizontal) que estudaremos mais adiante.
 Saiba mais
Para saber mais sobre funções, leia o capítulo 2 de:
FLEMMING, D. M., GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, 
derivação, integração. São Paulo: Prentice Hall, 2006.
A seguir, você encontrará alguns exemplos para detalhar um pouco mais a teoria apresentada.
 Lembrete
Estude os exemplos e depois tente refazê-los.
2.1.6 Ampliando seu leque de exemplos
1) Seja f: IR → IR, tal que f(x) = –16 + 4x, determinar o valor de x para o qual f(x) = 0
Resolução:
Devemos igualar a expressão de f a zero e resolver a equação: –16 + 4 x = 0
4x = 16, fatorando 16, temos 16 = 24, assim:
74
Unidade I
4x = 24 as bases ainda não são iguais, então, você deve fatorar a base 4 também para que possamos 
comparar as duas expressões, então, 22x = 24, logo, 2x = 4 e assim, x = 2.
2) A função Cn = 1.000. (1 + 0,2)
n indica a capitalização composta de R$ 1.000,00 a uma taxa de 
juros de 20% a.a. (ao ano). Determinar o montante Cn, após 2 anos:
Resolução:
Devemos inicialmente verificar se a taxa de juros e o tempo estão na mesma unidade. Nesse caso, a 
taxa é anual e o período também.
Substituindo n = 2 na função Cn, encontramos:
Cn = 1.000. (1 + 0,2)
2
Cn = 1.000. (1,2)
2
Cn = 1.440,00 reais
3) A função logarítmica f(x) = 2.log2
(x–3) tem assíntota vertical, determine a equação desta assíntota.
Resolução:
A assíntota vertical indica que o domínio da função tem alguma restrição, isto é, valor que não pode 
ser substituído. No caso da função logarítmica, não podemos fazer o cálculo para valores negativos, ou 
seja, x – 3 ≠ 0.
Resolvendo a equação, temos x ≠ 3.
Logo, no domínio da função, temos um ponto que deve ser excluído, assim, a reta x = 3 é a assíntota vertical.
4) Sendo f(x) = |2x – 4|, determinar o valor de f(–5)
Resolução:
Para calcular o valor de f(–5), devemos substituir o valor de x na expressão da função:
f (–5) = |2. (–5) – 4| = |–10 – 4| = |–14| = 14
 Lembrete
Observe que você deve efetuar todas as contas dentro do módulo e só 
depois utilizar a definição de módulo para encerrar o exercício.
75
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
5) Esboçar o gráfico da função y = 3. sen x, a seguir, determinar o domínio e a imagem de f
Resolução:
Para esboçar o gráfico da função, vamos utilizar uma tabela de pontos:
x y = 3 . senx (x, y)
0 y = 3 . sen0 = 0 (0, 0)
π/2 y = 3. sen π/2 = 3 (π/2, 3)
π y = 3. sen π = 0 (π, 0)
3π/2 y = 3. sen (3π/2) = –3 (3π/2, –3)
2π y = 3. sen (2π) = 0 (2π, 0)
1 2 3 4 5 6 7 8-1
1
2
-1
-2
2π
π/2
3π/2π x
y
-3
-2
3
Figura 63
O domínio da função é Df = IR e Im f = { y ∈IR | –3 ≤ y ≤ 3}
 Lembrete
O domínio da função não se altera por multiplicar o seno por 3, mas a 
imagem se altera ao multiplicarmos por um número, assim, a imagem foi 
multiplicada por 3.
6) Esboce o gráfico da função f(x) = cos(2x) e compare o período da nova função com o período de 
f(x) = cos x:
x y = cos(2x) (x, y)
0 y = cos 0 = 1 (0, 1)
π/2 y = cos 2. π/2 = cos π (π/2, –1)
π y = cos 2π = 1 (π, 1)
76
Unidade I
x y = cos(2x) (x, y)
3π/2 y = cos (3π) = –1 (3π/2, –1)
2π y = cos (4π) = 1 (2π, 1)
1 2 3 4 5 6 7-1
1
-1
2π
3π/2
π/2 π x
y
-2
Figura 64
Observando o gráfico da função e comparando com o gráfico de f(x) = cos x, notamos que o período 
da função f(x) = cos(2x) é igual a π, enquanto o período de f(x) = cos x é igual a 2 π.
7) Determine o domínio da função tg(4x)
Resolução:
Sabemos que o domínio da função g(x) = tg x é dado por:
D x IR x kg = ∈ ≠ +






| ,
π π
2
 k inteiro
Para determinar o domínio da função f(x) = tg 4x, devemos ter:
4
2 8 4
x k x
k≠ + ⇒ ≠ +π π π π com k inteiro,
Assim: D x IR x
k
f = ∈ ≠ +






| ,
π π
8 4
 k inteiro
2.2 Limite
2.2.1 Uma visão intuitiva
Estudaremos a noção intuitiva de limite. Você encontra a definição formal nos livros indicados 
na bibliografia.
Estudar o limite de uma função f é querer saber o comportamento de f(x) quando x está próximo de 
um determinado número, sem, no entanto, ser necessariamente igual a ele.
77
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Tomemos a função f(x) = x + 3, isto é, y = x + 3, queremos saber o que ocorre com f(x) quando x se 
aproxima de x0 = 2. Para isso, vamos construir duas tabelas de pontos com valores de x próximos de 2,