Cálculo Diferencial de uma Variável-Unidade II

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CálCulo DiferenCial De uma VariáVel
Unidade II
FUNÇÕES REAIS E LIMITES
5 OUTRAS FUNÇÕES REAIS
5.1 Função exponencial
Voce recebeu R$ 500,00 de bonificação e aplicou na poupança. O banco paga a taxa de juros de 0,5% 
ao mês. Como saber quanto voce terá daqui a alguns meses, se a taxa for mantida?
Quando aplicamos na poupança, temos que o capital acumulado (montante) é dado pela expressão 
M = C0 (1 + i)
n, juro composto, no qual M é o capital acumulado, C0 é o capital inicial (depósito inicial), 
i é a taxa de juros e n o período. No nosso exemplo, C0 = 500, i = 0,5% = 0,005 ao mês e n número de 
meses, assim, para saber o montante a cada mês, substituímos o valor de n e determinamos M.
Por exemplo, na tabela temos o montante para alguns meses:
t(mês) M = 500 ( 1 + 0,005)n (t, M)
1 M = 500 ( 1 + 0,005)1 (1, 502.5)
2 M = 500 ( 1 + 0,005)2 (2, 505.0)
3 M = 500 ( 1 + 0,005)3 (3, 507.54)
4 M = 500 ( 1 + 0,005)4 (4, 510.08)
A expressão M = C0 (1 + i)
n é uma exponencial, variável n está no expoente.
Estudaremos agora funções exponenciais, isto é, funções do tipo:
f(x) = c + b amx, (a > 0, a ≠ 1, b ≠ 0 e m ≠ 0)
Exemplos:
a) f(x) = 32x – 4
É uma função exponencial com base a = 3, b = 1, c = –4 e m = 2.
b) f(x) = –5x
É uma função exponencial com base a = 5, b = –1, c = e m = 1.
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c) f(x) = 4–2x + 2
É uma função exponencial com base a = 4, b = 1, c = 2 e m = –2.
5.1.1 Gráfico
Para fazer o gráfico da função exponencial, utilizaremos a tabela de pontos:
Exemplos:
Esboçar o gráfico das funções:
a) f(x) = 3x
Atribuindo valores para x e calculando 3x, temos:
x y = 3x (x,y)
-2 y = 3-2 = 1/9 (-2,1/9)
-1 y = 3-1 = 1/3 (-1,1/3)
0 y = 30 = 1 (0,1)
1 y = 31 = 3 (1,3)
2 y = 32 = 9 (2,9)
x
y
9
6
3
1 2-1-2
1
3
8
7
5
4
2
–1
-3-4-5
b) f x
x
( ) = 



1
3
Novamente, vamos esboçar o gráfico da função, atribuindo valores para x e calculando 
1
3




x
,assim:
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x y = (1/3)x (x, y)
–2 y = (1/3)–2 = 9 (–2, 9 )
–1 y = (1/3)–1 = 3 (–1, 3)
0 y = (1/3)0 = 1 (0, 1)
1 y = (1/3)1 = 1/3 (1, 1/3)
2 y = (1/3)2 = 1/9 (2, 1/9)
x
y9
1 2-1-2-3-4 3 4
8
7
6
5
4
3
2
1
—1
–2
Comparando as duas funções, notamos que em relação à base da função exponencial, temos:
a > 1, função crescente
0 < a < 1, função decrescente
c) Retornando ao nosso exemplo, vamos construir o gráfico da função utilizando a tabela de pontos. 
Temos:
t(mês) M = 500 ( 1 + 0,005)n (t, M)
1 M = 500 ( 1 + 0,005)1 (1, 502.5 )
2 M = 500 ( 1 + 0,005)2 (2, 505.0)
3 M = 500 ( 1 + 0,005)3 (3, 507.54)
4 M = 500 ( 1 + 0,005)4 (4, 510.08)
Representando os pontos no plano cartesiano, temos o gráfico da função:
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y
x3
510
1 4
507.5
505
502.5
500
2
 Lembrete
Esse gráfico só tem significado para valores no 1º quadrante, pois 
representa valores aplicados, o restante deve ser tracejado.
5.2 Função logarítmica
Voltando ao exemplo do item 5.1. Agora, você quer saber por quanto tempo deve deixar seu dinheiro 
aplicado para receber R$ 531,00.
Substituindo os valores na expressão, temos 531= 500 (1 + 0,005)n, e então
1,062 = 1,005 n, que para ser resolvida, utilizamos logaritmo.
Também encontramos logaritmos em várias áreas: na Física, na Química, na escala Richter, utilizada 
para medir a magnitude de um terremoto.
Uma função logarítmica é dada pela expressão:
f(x)=loga
x, com a > 0, a ≠ 1 e x > 0
As funções f(x)=loga
x e g(x) = ax são inversas uma da outra.
Para fazer o gráfico da função logarítmica, utilizaremos a tabela de pontos.
Exemplos:
1) Esboçar o gráfico das funções:
a) f(x)=log3
x
Atribuindo valores para x e calculando log3
x
, temos:
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x ƒ(x) = log3
x (x,y)
1
9 ƒ(x) = log3
1 /9 = -2 (1/9,-2)
1
3 ƒ(x) = log3
1 /3 = -1 (1/3,-1)
1 ƒ(x) = log3
1 = 0 (1,0)
3 ƒ(x) = log3
3 = 1 (3,1)
9 ƒ(x) = log3
9 = 2 (9,2)
Representando os pontos no plano cartesiano, temos:
y
9 x3
2
1
0 1
b) f(x)=log1/3
X
Atribuindo valores para x e calculando log1/3
X , temos:
x ƒ(x) = log1/3
x (x,y)
1
9 ƒ(x) = log1/3
1/9 = 2 (1/9,2)
1
3 ƒ(x) = log 1/3
1/3 = 1 (1/3,1)
1 ƒ(x) = log1/3
1 = 0 (1,0)
3 ƒ(x) = log1/3
3 = -1 (3,-1)
9 ƒ(x) = log1/3
9 = -2 (9,-2)
Colocando os pontos no plano, temos:
y
x3
2
1
1 9
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Comparando os dois gráficos, verificamos que:
a > 1 , função crescente
0 < a < 1, função decrescente
2) Retomando o exemplo inicial: “quanto tempo deve deixar seu dinheiro aplicado para receber 
R$ 531,00?”
Quando substituímos os valores na expressão, encontramos:
531 = 500 (1 + 0,005)n
1,062 = 1,005n
Aplicando o logaritmo nos dois lados da expressão, temos:
Ln 1,062 = Ln 1,005n, calculando o logaritmo vem 0,060 = 0,00498n, assim, chegamos a n = 12 
meses, que é a solução do nosso exemplo.
5.3 Função modular
Chamamos de função modular a função:
f(x) = | x |
Utilizando a definição de módulo, temos:
f x x
x
( ) | |= =
≥
<



 
 se x 0
-x se x 0
5.3.1 Gráfico
O gráfico da função modular será formado por duas semirretas que devem obedecer às condições 
acima.
Exemplos:
Construir o gráfico das funções:
a) y = | x |
Conforme a definição de modulo, temos y x
x
= =
≥
<



 
 se x 0
-x se x 0
| |
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Devemos fazer o gráfico das duas funções (1) y = x, para x ≥ 0 e (2) y = –x, para x < 0.
Construindo a tabela de pontos para cada uma das funções, temos:
(1) y = x, para x ≥ 0
x y = x (x,y)
0 y = 0 (0,0)
1 y = 1 (1,1)
y
0 1 x
y = x
(2) y = - x, para x < 0
x y = -x (x,y)
-2 y = 2 (-2,2)
-1 y = 1 (-1,1)
y
x
y = -x
0-1-2
1
2
Unindo as figuras, temos:
y
x
y = xy = -x
-1 0 1
b) y = | x | + 2
Conforme a definição de módulo, temos y x
x
= + =
+ ≥
+ <



 
 2 se x 
-x 2 se x 
| | 2
0
0
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Devemos fazer o gráfico das duas funções:
(1) y = x + 2, para x ≥ 0
(2) y = –x + 2, para x < 0
Construindo a tabela de pontos para cada uma das funções, temos:
y = x + 2, para x ≥ 0
x y = x + 2 (x,y)
0 y = 2 (0,2)
1 y = 3 (1,3)
(2) y = –x + 2, para x < 0
x y = -x + 2 (x,y)
-2 y = 4 (-2,4)
-1 y = 3 (1,3)
Construindo os dois gráficos no mesmo sistema:
y
x
y = -x+2
0-1-2 1
2
y = x+2
3
4
5.4 Funções trigonométricas
São funções periódicas, isto é, após um intervalo, seus valores se repetem.
Estudaremos algumas delas.1
5.4.1 Função seno
Consideremos o ciclo trigonométrico de centro O e raio 1, definimos como função seno a função f: 
IR → IR dada por f(x) = sen x.
1 –Mais funções trigonométricas, consultar: FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A – Funções, Limite, 
Derivação, Integração. São Paulo: Prentice Hall, 2006.
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O valor de seno de x é a medida OM, conforme veremos na figura a seguir:
+
10
-
-
1
eixo dos senos
x
(0,1)
(-1,0) (1,0)
(0,-1)
+
- -
M
10
-
-
1
eixo dos senos
x
(0,1)
(-1,0) (1,0)
(0,-1)
senx
O sinal de sen x será positivo, se x estiver no 1° e no 2° quadrantes, e negativo no 3° e 4° quadrantes.
Para a função seno, temos:
D(f) = IR
Im (f) = {y ∈ R / –1< y <1}
período: p = 2π
gráfico:
y
-1 1 2 3 4 5 6 7 8
1
-1
π
2π
x
π/2
3π/2
+ +
f(x)= senx
- -
5.4.2 Função cosseno
Definimos como função cosseno a função f: IR → IR dada por f(x) = cos x.
O valor do cosseno de x é a medida ON, conforme veremos no ciclo trigonométrico a seguir:
N 10
-1
-1
1
eixo dos 
cossenos
x
cosx
(0,1)
(-1,0) (1,0)
(0,-1)
10
-1
-1
1
eixo dos 
cossenos
(0,1)
(-1,0) (1,0)
+-
- +
(0,-1)
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O sinal do cosseno x será positivo, se x estiver no 1° e no 4° quadrantes, e negativo no 2° e 3° 
quadrantes.
Para a função cosseno, temos:
D(f) = IR
Im (f) = {y ∈ R / –1< y <1}
período p = 2π
gráfico:
y
-1 1 2 3 4 5 6 7 8
1
-1
π
2π
x
π/2
3π/2
+ + f(x)= cosx
- -
+ +
5.4.3 Função tangente
Definimos como função tangente a função f: D → IR dada por f(x) = tg x, no qual 
D x IR= ∈ ≠ + ∈{ / x (2k 1) 
2
 , k Z }
π
O valor da tangente de x é a medida OS, conforme veremos na figura a seguir:
10
-1
-
1
eixo das 
tangentes
tgx
0
S
x
O sinal da tg x será positivo, se x estiver no 1° e no 3° quadrantes, e negativo no 2° e 4° quadrantes.
Para a função tangente, temos:
D(f) = {x IR∈ ≠ + ∈ / x (2k 1) 
2
 , k Z }
π
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Im (f) = IR
período p = π
gráfico:
1 2 3 4 5 6 7 8-1
1
2
-1
-2
2ππ/2 3π/2
f(x)= tgx
π x
y
5.5 Assíntotas
Assíntotas são retas das quais o gráfico das funções se aproxima, porém, não corta e nem tem ponto 
comum com elas.
Podemos ter assíntotas horizontais, verticais ou inclinadas. Em nosso estudo, veremos as assíntotas 
verticais e as horizontais.
5.5.1 Assíntotas horizontais
São retas paralelas ao eixo x. As funções exponenciais e algumas funções racionais têm assíntotas 
horizontais. Votaremos a estudar esse tema na unidade III.
•	 Assíntota de uma exponencial:
Exponencial é uma função do tipo f(x) = c + b amx, com a > 0, a ≠1, b ≠ 0 e m ≠ 0. A família das 
funções exponenciais tem assíntota horizontal com equação y = c.
Exemplo:
a) y = 2x
x y = 2x (x,y)
-2 y = 2-2 (-2, 1/4)
-1 y = 2-1 (-1,1/2)
0 y = 20 (0,1)
1 y = 21 (1,2) 
2 y = 22 (2,4) 
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x
y
4
1
-1
3
-2-3-4
-1
1 2
2
Observando o gráfico da função, notamos que ele se aproxima do eixo x. Na medida em que vamos 
diminuindo os valores de x, os valores de y também diminuem se aproximando cada vez mais de zero. 
Assim, a assíntota horizontal de f(x) = 2 x será a reta y = 0.
b) f(x)=2+5x
Observando o gráfico, notamos que a assíntota horizontal é a reta y = 2:
x y = 2 + 5 x (x, y)
-2 2 + 5 -2 (-2, 2.04)
-1 2 + 5 -1 (-1, 2.2)
0 2 + 5 0 (0, 3)
1 2 + 5 1 (1, 7)
x
y
4
1
-1
3
-2-3-4
-1
1 2
2
-5
5
6
7
c) f(x) = –4 + 3 2x
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CálCulo DiferenCial De uma VariáVel
Não é necessário construir o gráfico para determinar a assíntota de uma função.
Genericamente, podemos encontrar a assíntota vertical de uma função exponencial com equação 
f(x) = c + b amx simplesmente fazendo y = c.
Em nosso exemplo, assíntota horizontal de f será a reta y = c, isto é, a reta y = –4.
d) y = 12 – 2 . 3–x
Nesse caso, a assíntota será a reta y = 12.
•	 Assíntota de funções racionais
Funções racionais são funções do tipo: f x
p x
q x
( )
( )
( )
=
Estas funções podem apresentar assíntotas horizontais e verticais.
Para determinar se uma função racional tem assíntota horizontal podemos observar o seu gráfico 
ou aplicar um conceito de limite que veremos mais adiante.
Exemplo:
Considerando a função racional f x x
( ) = 1 , podemos determinar se ela tem assíntota horizontal, 
construindo o seu gráfico. Veja a tabela de pontos:
x -6 -4 -2 -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 -0,18
f(x) =(1/x) -0,167 -0,250 -0,500 -1,000 -1,250 -1,667 -2,500 -5,000 -5,556
x -0,16 -0,14 -0,12 -0,1 -0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0
f(x) = (1/x) -6,250 -7,143 -8,333 -10,000 -12,500 -16,667 -25,000 -50,000
x 0 0,02 0,04 0,06 0,08 2 4 6
f(x) = (1/x) 50,000 25,000 16,667 12,500 0,500 0,250 0,167
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Assim:
x
y
4
1
-1
3
-2-3-4
-1
2
2
-5
5
6
7
-6-7-8-9
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
1 3 4 5 6 7 8 9
Observando o gráfico, vemos que a assíntota horizontal será a reta y = 0, ou seja, eixo x. Ela mostra 
o comportamento da função quando x é muito grande (x vai para +) ou muito pequeno (x vai para –).
5.5.2 Assíntotas verticais
São retas paralelas ao eixo y. As funções logarítmicas e algumas funções racionais têm assíntotas 
verticais.
Logarítmica: funções do tipo f(x)=loga
mx+n, com a > 0, a ≠ 1 e (m x + n) > 0
têm assíntota vertical com equação x
n
m
= −
Determinamos a reta assíntota vertical da função f(x)=loga
mx+n, determinando a solução da equação 
m x + n = 0.
Exemplos:
a) f(x)=log2
x tem assíntota vertical em x = 0
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Graficamente, temos:
x f(x)=log2
x (x,y)
1
2
f(x)=log2
1/2=–1 (1/2,–1)
2 f(x)=log2
2=1 (2,1)
4 f(x)=log2
4=2 (4,2) 
8 f(x)=log2
8=3 (8,3) 
y
x-1 2
2
3
1
4 8
b) f(x)=log4
(x+3)
Nesse caso, não faremos o gráfico da função, vamos determinar a assíntota vertical de f(x) por meio 
da solução de x + 3 = 0, isto é, x = –3.
Assim, a reta x = –3 é assíntota vertical da função.
Funções racionais: são funções do tipo f x
p x
q x
( )
( )
( )
=
Para determinar a assíntota vertical de uma função racional, devemos determinar as raízes de q(x); 
os valores encontrados serão as assíntotas.
Exemplos:
1) Observando o gráfico da função f x
x
( ) = 1 , notamos que, além da assíntota horizontal, ela também 
tem assíntota vertical em x = 0.
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-2
-3
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-5
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-7
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1 3 4 5 6 7 8 9
2) Para função racional f x
x x
x
( ) = +
−
2
2 5
, determinar se tem assíntota vertical:
Devemos encontrar as raízes do denominador, esses valores são os pontos que estão fora do domínio 
da função.
Assim, determinando as raízes de q(x), temos x 2 – 5 = 0 e então x = 5 e x = –5.
As assíntotas verticaisserão as retas x = 5 e x = –5.
Os gráficos de funções racionais serão feitos mais adiante, no módulo III. Para podermos entender 
melhor o comportamento da função, vamos tomar o gráfico pronto da função:
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y
x1
2
3
4
5
6
–1
–2
–3
–4
–5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10–1–2–3–4–5–6–7–8–9–10
assíntota vertical assíntota vertical
Note que o gráfico se aproxima das retas x = 5 e x = –5, mas não passa por elas. Nesse gráfico, temos 
ainda outra assíntota (horizontal) que estudaremos mais adiante.
 Saiba mais
Para saber mais sobre funções, leia o capítulo 2 de:
FLEMMING, D. M., GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, 
derivação, integração. São Paulo: Prentice Hall, 2006.
A seguir, você encontrará alguns exemplos para detalhar um pouco mais a teoria apresentada.
 Lembrete
Estude os exemplos e depois tente refazê-los.
5.6 Ampliando seu leque de exemplos
1) Seja f: IR → IR, tal que f(x) = –16 + 4x, determinar o valor de x para o qual f(x) = 0
Resolução:
Devemos igualar a expressão de f a zero e resolver a equação: –16 + 4 x = 0.
4x = 16, fatorando 16, temos 16 = 24, assim:
4x = 24 as bases ainda não são iguais, então, você deve fatorar a base 4 também para que possamos 
comparar as duas expressões, então, 22x = 24, logo, 2x = 4 e assim, x = 2.
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2) A função Cn = 1.000. (1 + 0,2)
n indica a capitalização composta de R$ 1.000,00 a uma taxa de 
juros de 20% a.a. (ao ano). Determinar o montante Cn, após 2 anos:
Resolução:
Devemos inicialmente verificar se a taxa de juros e o tempo estão na mesma unidade. Nesse caso, a 
taxa é anual e o período também.
Substituindo n = 2 na função Cn, encontramos:
Cn = 1.000. (1 + 0,2)
2
Cn = 1.000. (1,2)
2
Cn = 1.440,00 reais
3) A função logarítmica f(x) = 2.log2
(x–3) tem assíntota vertical, determine a equação desta 
assíntota.
Resolução:
A assíntota vertical indica que o domínio da função tem alguma restrição, isto é, valor que não pode 
ser substituído. No caso da função logarítmica, não podemos fazer o cálculo para valores negativos, ou 
seja, x – 3 ≠ 0.
Resolvendo a equação, temos x ≠ 3.
Logo, no domínio da função, temos um ponto que deve ser excluído, assim, a reta x = 3 é a assíntota 
vertical.
4) Sendo f(x) = |2x – 4|, determinar o valor de f(–5)
Resolução:
Para calcular o valor de f(–5), devemos substituir o valor de x na expressão da função:
f (–5) = |2. (–5) – 4| = |–10 – 4| = |–14| = 14.
 Lembrete
Observe que você deve efetuar todas as contas dentro do módulo e só 
depois utilizar a definição de módulo para encerrar o exercício.
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5) Esboçar o gráfico da função y = 3. sen x, a seguir, determinar o domínio e a imagem de f
Resolução:
Para esboçar o gráfico da função, vamos utilizar uma tabela de pontos:
x y = 3 . senx (x, y)
0 y = 3 . sen0 = 0 (0, 0)
π/2 y = 3. sen π/2 = 3 (π/2, 3)
π y = 3. sen π = 0 (π, 0)
3π/2 y = 3. sen (3π/2) = –3 (3π/2, –3)
2π y = 3. sen (2π) = 0 (2π, 0)
1 2 3 4 5 6 7 8-1
1
2
-1
-2
2π
π/2
3π/2π x
y
-3
-2
3
O domínio da função é Df = IR e Im f = { y ∈IR | –3 ≤ y ≤ 3}.
 Lembrete
O domínio da função não se altera por multiplicar o seno por 3, mas a 
imagem se altera ao multiplicarmos por um número, assim, a imagem foi 
multiplicada por 3.
6) Esboce o gráfico da função f(x) = cos(2x) e compare o período da nova função com o período de 
f(x) = cos x:
x y = cos(2x) (x, y)
0 y = cos 0 = 1 (0, 1)
π/2 y = cos 2. π/2 = cos π (π/2, –1)
π y = cos 2π = 1 (π, 1)
3π/2 y = cos (3π) = –1 (3π/2, –1)
2π y = cos (4π) = 1 (2π, 1)
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1 2 3 4 5 6 7-1
1
-1
2π
3π/2
π/2 π x
y
-2
Observando o gráfico da função e comparando com o gráfico de f(x) = cos x, notamos que o período 
da função f(x) = cos(2x) é igual a π, enquanto o período de f(x) = cos x é igual a 2 π.
7) Determine o domínio da função tg(4x)
Resolução:
Sabemos que o domínio da função g(x) = tg x é dado por:
D x IR x kg = ∈ ≠ +






| ,
π π
2
 k inteiro
Para determinar o domínio da função f(x) = tg 4x, devemos ter:
4
2 8 4
x k x
k≠ + ⇒ ≠ +π π π π com k inteiro,
Assim: D x IR x
k
f = ∈ ≠ +






| ,
π π
8 4
 k inteiro
6 LIMITE
6.1 Uma visão intuitiva
Estudaremos a noção intuitiva de limite. Você encontra a definição formal nos livros indicados na 
bibliografia.
Estudar o limite de uma função f é querer saber o comportamento de f(x) quando x está próximo de 
um determinado número, sem, no entanto, ser necessariamente igual a ele.
Tomemos a função f(x) = x + 3, isto é, y = x + 3, queremos saber o que ocorre com f(x) quando x se 
aproxima de x0 = 2. Para isso, vamos construir duas tabelas de pontos com valores de x próximos de 2, 
uma para valores maiores e outra para valores menores que 2.
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Considere as tabelas:
valores menores que 2 valores maiores que 2
x Y x y
1 4 2,001 5,001
1,3 4,3 2,01 5,01
1,5 4,5 2,08 5,08
1,7 4,7 2,1 5,1
1,8 4,8 2,2 5,2
1,9 4,9 2,4 5,4
1,93 4,93 2,7 5,7
1,99 4,99 2,9 5,9
A primeira tabela apresenta x se aproximando de 2 por valores menores que ele (pela esquerda) e a 
segunda tabela apresenta esta aproximação por valores maiores que 2 (pela direita).
Observando as duas tabelas, notamos que quanto mais próximo o valor de x está de 2 mais o valor 
de y se aproxima de 5.
Dizemos, então, que o limite de f(x) é 5, quando x tende a 2 por valores à direita, isto é, valores 
maiores que 2, e utilizamos a seguinte notação para indicar esse limite:
lim ( )
x 2 
 
→ +
+ =x 3 5
Lemos: limite de (x+3), quando x tende para 2 pela direita é 5.
Da mesma forma, temos que o limite de f(x) é 5, quando x tende a 2 por valores à esquerda e 
escrevemos:
lim ( ) 
x 2 -→
+ =x 3 5
Lemos: limite de (x+3), quando x tende para 2 pela esquerda é 5.
Chamamos esses limites de limites laterais.
Graficamente, temos:
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L
y
C x
L
y
C x
Dizemos que existe o limite da função para x tendendo a x0, quando existirem os limites laterais e 
eles forem iguais, isto é:
lim ( ) lim ( ) lim ( )
x x x
f x L f x f x L
 c c c -
 
→ → + →
= ⇔ = =
Exemplos:
1) 
x
x
→
+
 2
3lim( )
Conforme já vimos, os limites laterais existem e são iguais, assim, 
x
x
→
+ =
 2
3 5lim( ) .
2) 
x→
+ +
 
2 (-x 2x 3)
1
lim
Podemos também determinar o valor do limite, observando o gráfico da função.
Construindo o gráfico da função, temos:
y
x
-2 -1 0 1 2 3 4
4
3
2
1
Verificando o comportamento da função à direita e à esquerda de x0 = 1, temos:
lim ( ) lim ( ) lim
x x
x x x x
 1 - 1 
 logo 
→ → +
− + + = − + + =2 22 3 2 3 4
xx
x x
 1 →
− + + =( )2 2 3 4
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CálCulo DiferenCial De uma VariáVelA seguir, vamos relacionar alguns teoremas sobre limites; nesse texto não faremos a demonstração 
desses resultados, você pode encontrar as demonstrações nos livros indicados na bibliografia.
•	 Teoremas
- Unicidade do limite
 “Se o limite de f quando x tende para c existe, então, esse valor é único.”
- Teorema do confronto
 “Se em uma região próxima de c uma função f está entre outras duas g e h que têm o mesmo 
limite finito L, quando x tende para c, então o limite de f, quando x tende para c, também será 
igual a L.”
g x f x h x( ) ( ) ( )≤ ≤ = = ⇒
→ → →
 e lim g(x) lim h(x) L lim
x c x c x c
 f(x) L=
Graficamente, temos:
f(x)L
h(x)
g(x)
c
Limite do produto de uma função que tende a zero por outra que é limitada.
“O produto de uma função f que tem limite igual a zero, quando x tende para c, por uma função g 
limitada é igual a zero.”
Se a função g é limitada, isto é, –M ≤ g(x) ≤ M, então lim ( )x
g x M
 c→
≤ .
lim g(x) e lim f(x) lim f(x).g(
x c x c x c→ → →
≤ = ⇒M 0 xx) 0=
 Lembrete
Você pode encontrar as demonstrações desses teoremas nos textos 
indicados na bibliografia.
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6.1.1 Função contínua
Intuitivamente, uma função f não é contínua em x = x0, x0 um ponto do seu domínio, se 
seu gráfico apresenta um “salto” ou buraco nesse ponto. Do contrário, f é chamada função 
contínua.
Observe os gráficos das funções abaixo, todas com domínio IR:
x
ƒ(x)
ƒ(xo)
xo
a)
x
ƒ(x)
ƒ(xo)
xo
b)
x
ƒ(x)
ƒ(xo)
xo
c)
A função do item a não é contínua em x0, pois o gráfico apresenta um buraco nesse ponto, enquanto 
as funções dos itens b e c apresentam “saltos” no ponto x0.
Notemos que essas funções são contínuas em todos os outros pontos de seu domínio.
São exemplos de funções contínuas as funções polinomiais, exponenciais e logarítmicas.
Uma função f é contínua em x0, se e somente se o limite de f, quando x tende para x0, é igual ao valor 
da função no ponto, isto é:
f é contínua em 
x0
 0
⇔ =
→x x
f x f xlim ( ) ( )0
 Lembrete
Para verificar se uma função é contínua em um ponto x0, devemos 
verificar as 3 condições:
a) f(x0) existe, isto é, x0 ∈ Df.
b) O limite de f(x) quando x tende a x0 existe.
c) O limite for igual a f(x0).
Um resultado importante das funções contínuas é o teorema do valor intermediário. Esse teorema 
permite que se encontre um intervalo no qual temos, com certeza, uma raiz da função.
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•	 Teorema do valor intermediário
 “Se f(x) é contínua num intervalo fechado [a, b] e L, tal que f(a) ≤ L ≤ f(b), então existe c ∈ 
[a, b] com f(c) = L.”
L
a c b
 Observação
Para algum valor entre a e b, temos f(c) = L.
Exemplos:
1) A função f(x) = x2 – 1 é contínua em x0 = 2, pois, observando o gráfico de f, notamos que 
x
x
→
− =
 2
2 1 3lim( ) e f(2) = 2
2 – 1 = 3:
x0
3
y
xo=2–1
2) A função 
f x
x
( ) =
+ >
≤



1
2
 se x 3
 se x 3 não é contínua em x = 3, pois não existe limite para x tendendo 
a 3, conforme podemos ver no gráfico, os limites laterais são diferentes. Para valores maiores que 
3, a função tende a 4 e para valores menores que 3, a função tende a 2:
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y
f(x) = 2
x
4
2
f(x) = x+1
1 3
Vejamos agora alguns resultados importantes sobre funções contínuas.
Consideremos f e g funções contínuas em x0, x0 um ponto do intervalo I, sendo I um subconjunto 
de Df ∩ Dg, temos:
a) f + g é contínua em x0.
b) f – g é contínua em x0.
c) f. g é contínua em x0.
d) k. f é contínua em x0, com k ∈ IR.
e) 
f
g
 é contínua em x0, com g ≠ 0.
f) Uma função será contínua em um intervalo, se for contínua em todos os pontos do intervalo.
6.1.2 Propriedades operatórias dos limites
Com estas propriedades, poderemos calcular o limite das funções sem o uso de gráficos e também 
sem o uso de tabela de pontos, elas permitem que os cálculos sejam feitos mais rapidamente.
Sejam f e g funções contínuas em seu domínio, temos as propriedades:
1) f x k f x k
x x
( ) , ( )lim= ⇒ =
→
 k constante
0
Exemplos:
a) 
x→ 1
3lim
Note que queremos calcular o limite de f(x) = 3 que é uma função constante, logo, 
x→
=
 1
3 3lim .
b) limx 1
 
→
−10
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Novamente, queremos calcular o limite de uma função constante, assim:
lim
x 1
 
→
− = −10 10
2)
x x x x x x
f x a g x b
→ → →
= = ∈ ∈ ⇒
0 0 0
lim lim( ) ( ) , e com a IR e b IR llim ( )f x a b g(x)±[ ] = ±
Exemplos:
a) 
x
x
→
+
 1
1lim( )
Para calcular o limite da função f(x) = x + 1, você deve observar que ela é formada pela soma de 
duas funções, assim:
x x x
x x
→ → →
+ = + = + =
 1 1 1
1 1 1 1 2lim lim lim( )
b)
x
x x
→
− +
 0
2 2 3lim( )
x x x x
x x x x
→ → → →
− + = − + = − +
 
 . 0 3
0
2
0
2
0 0
22 3 2 3 0 2lim lim lim lim( ) == 3
c)
x
x x
→
− +
 0
2 2 3lim( )
x
x x
→ −
+ − = −( ) + − = − + − =
 1
2 . (-1)lim( )3 2 35 2 1 5 2 1 5 2 2
3) 
x x x x x x
f x a g x b
→ → →
= = ∈ ∈ ⇒
0 0
lim lim( ) ( ) , e com a IR e b IR 
00
lim ( ). .f x abg(x)[ ] =
Exemplos:
a) lim . (x-5)
x 2→
+ +( )2 12x x
Devemos calcular cada um dos limites e depois multiplicar os resultados, assim:
x x x
x x x x
→ → →
+ + = + + =
 
.(x-5) . (x-5) (2.2
2
2
2
2
2
2 1 2 1lim lim lim( ) ( ) 22 .(2-5) 11.(-3) -33+ + = =2 1)
b) lim .(x 2)
x -1→
− + +( )x x3 2 5
84
Unidade II
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Co
rr
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06
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7/
11
lim .(x 2) lim . lim
x -1 x -1 x → →
− + + = − +( ) ( )x x x x3 32 5 2 5
 -1
-2(-1) 5 .(-1 2) .1 6
→
+ =
= − +( ) + = =
( )
( )
x 2
1 63
4) 
x x x x
n nf x a f x a
→ →
= ∈ ∈ ⇒ =
0 0
lim lim( ) , [ ( )] com a IR e n IN*
Exemplos:
a) lim .2 6)
x 2
7
→
− + = − + = =( ) (2 6 2 2 1287 7x
b) lim 1)
x - 3
3
→
− + = − − + = =( ) ( ( )x 1 3 4 643 3
5) 
x x x x
f xf x a b b
→
+
→
= ∈ ⇒ =
0 0
lim lim( ) , ( ) com a IR f(x)
Exemplos:
a) lim
x 3→
= =4 4 643x
b) lim
x 4→
− = − =( ) ( )2 2 164x
6) 
x x x x
nf x a a
→
+
→
= ∈ ∈ ⇒ =
0 0
lim lim( ) , com a IR e n IN f(x)* n
Exemplos:
a) lim
x
x
 4→
+ = + = =2 29 4 9 25 5
b) lim ( )
x
x
 -1→
+ = − + = =2 23 1 3 4 2
7) 
x x x x
f x a
→
+ +
→
= ∈ ∈ ≠ ⇒
0 0
lim lim( ) , com a IR e b IR , b 1 log* * bf((x) = logba
Exemplos:
x
x
→
+
 7
2
1limlog( )
x
x
→
+ += = =
 
 
7
2
1
2
7 1
2
8 3limlog log log( ) ( )
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11
CálCulo DiferenCial De uma VariáVel
8) 
x x x x x x
f x a g x b
→ → →
= = ∈ ∈ ⇒
0 0 0
lim lim l( ) ( ) , e com a IR e b IR* iim
f(x)
g(x)




= a
b
Exemplos:
x
x
x
x
x
x
x→
→
→
−
+




=
−
+
= −
+
=
 
 
 
4
2
4
2
4
216
4
16
4
4 16
4 4lim
lim
lim
( )
( )
00
8
0=
Notemos que, em alguns casos, a substituição do valor de x0 gera uma indeterminação, nesses casos 
será necessário uma simplificação das funções para calcular o limite.
x
x
x→
−
+



 - 4
2 16
4lim
O valor x = –4 não pode ser substituído,pois gera uma indeterminação, isto é, 
0
0 . Devemos então 
fatorar o numerador e, após a simplificação, calcular o limite.
Como x2 – 16 = (x – 4). (x + 4), temos:
x x x
x
x
x
x→ → →
−
+




= − +
+
=
 - - - 
 . (x 4)
4
2
4 4
16
4
4
4lim lim
( )
llim ( )x − = − − = −4 4 4 8 
 Lembrete
Esse procedimento deve ser feito toda vez que chegarmos a uma 
indeterminação.
x
x
x→
−
− 4
4
2lim
O valor x = 4 não pode ser substituído, pois teremos uma indeterminação. Devemos então racionalizar 
o denominador e, após a simplificação, calcular o limite.
Para a racionalização, vamos multiplicar e dividir a função por x +( )2 , assim:
86
Unidade II
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11
x x x
x
x
x
x
x
x→ → →
−
−




= −
−
+
+




=
 
.
 (x-
4 4 4
4
2
4
2
2
2lim lim lim
44).
 
 (x-4).
( -4) 
x
x
x
xx
+( )
( ) − 










=
=
+( )
→
2
2
2
2 2
4
lim








= +( ) = + =
→x
x
 4
2 4 2 4lim
Esse procedimento deve ser feito toda vez que chegarmos a uma indeterminação envolvendo 
radicais.
6.1.3 Limites envolvendo infinito
Algumas vezes, precisamos calcular limites de funções com características especiais. Nesses casos, 
o estudo requer técnicas diferentes das que você estava utilizando até agora, devemos observar o 
comportamento das funções.
Estudaremos agora dois desses casos: limite quando x tende para + ∞ ou – ∞ e limites que têm como 
resultado infinito.
•	 1º caso: x tende para + ∞ ou – ∞.
Veremos agora alguns limites de funções reais, quando x tende para + ∞ ou – ∞. Dependendo da 
função, o resultado desses limites pode ser tanto um número real quanto + ∞ ou – ∞.
Estudaremos agora algumas destas funções:
x
nx→+ ∞




= >
 
 n 0lim ,
1
0
Exemplos:
1
1
) lim
x x→+ ∞



 
Para entender o resultado desse limite, vamos esboçar o gráfico da função e observar o seu 
comportamento quando x → + ∞.
Montando uma tabela de valores para x, notamos que como x tende para +∞, devemos colocar 
valores grandes para x, assim:
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CálCulo DiferenCial De uma VariáVel
x y = 1/x (x, y)
1 y = 1/1=1 (1, 1 )
10 y = 1/10 = 0,1 (10, 0.1)
100 y = 1/100 = 0,01 (100, 0.01)
1000 y = 1/1000 = 0,001 (1000, 0.001)
Graficamente:
x
3
y
x → ∞1
2
4
5
6
1 2 3 4 5 6 7
Quando calculamos os valores de f(x) para valores muito grandes, notamos que os resultados são 
cada vez menores, aproximando-se de zero, assim:
x x→+ ∞




=
 
lim
1
0
Como será o comportamento da função, quando x se aproxima de – ∞? Para saber, vamos esboçar o 
gráfico para valores de x muito pequenos, tendendo para – ∞:
x y = 1/x (x, y)
–1 y = 1/–1= –1 (–1, –1 )
–10 y = 1/–10 = – 0,1 (–10, – 0.1)
–100 y = 1/–100 = – 0,01 (–100, – 0.01)
–1000 y = 1/–1000 = – 0,001 (–1000, – 0.001)
Representando os pontos no plano, temos:
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11
x
y
x → –∞
1
1–2–3–4–5–6–7 –1
–1
–2
–3
–4
–5
Notamos que o mesmo ocorre, quando x tende para – ∞, isto é, lim
x - → ∞




=1 0
x
 Lembrete
Você não terá que fazer o gráfico da função em todos os exercícios, 
basta pensar no comportamento da função para valores muito grandes.
2) 
x x→+ ∞
+


 
lim 2
1
2
Quando x tende para + ∞, temos 1
2x
 tende para zero, logo, 2
1
2+



x
 tende para 2, isto é, 
x x→+ ∞
+



=
 
lim 2
1
22 .
 é par
 é ímpar 
x
n
x
n
x
x
→+ ∞
→ − ∞
= +∞ >
=
+∞
−∞
 
 
 n 0
 se n
 se 
lim
lim
,
,
, nn
 



Exemplos:
1) 
x→+ ∞ 
4 xlim 3
Como x tende a + ∞, temos 
x→+ ∞
= + ∞
 
4 x lim 3 .
2) 
x→ − ∞ 
3 xlim 5
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CálCulo DiferenCial De uma VariáVel
Como x tende a – ∞ e n = 3 é impar, temos 
x→ − ∞
= − ∞
 
3 x lim 5 .
3) 
x
x
x→+ ∞
−
+



 
lim
5
2 4
Para valores muito grandes, tanto o numerador quanto o denominador da função tendem para + ∞, 
temos o caso ∞
∞




, que é uma indeterminação. Para resolver, devemos colocar o x de maior grau do 
 
numerador e o x de maior grau do denominador em evidência. Após a simplificação, podemos calcular 
o limite:
x x
x
x
x
x
x
x
→+ ∞ →+ ∞
−
+




=
−


+



 
 
 
lim lim
5
2 4
1
5
2
4









=
−


+












=
→+ ∞x
x
x
 
 
 
lim
1
5
2
4
1
2
4) 
x
x
x→ ∞
− +
−



 - 
2
lim
 x3 7 10
8
Tanto o numerador quanto o denominador tendem para ∞.
Podemos resolver de forma diferente da que foi utilizada no exemplo anterior.
Tomamos apenas o termo de maior grau, simplificamos e calculamos o limite, assim:
x x x
x
x x→ ∞ → ∞ →
− +
−




=




=
 - 
2
 - 
2
 - 
lim lim
 x x3 7 10
8
3
∞∞
= −∞lim 3x
•	 2º caso – limites que têm como resultado infinito
Estudaremos agora limites cujo resultado será + ∞ ou – ∞. Vejamos alguns exemplos:
1) lim
x 
 
→



0
1
x
Vamos analisar o gráfico da função para valores próximos de zero e como 0 ∉ Df, devemos substituir 
valores pela direita e pela esquerda de zero.
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11
Para valores maiores que 0, isto é, à direita de 0, temos:
x y = 1/x (x, y)
0,5 y = 1/0,5 = 2 (0.5, 2 )
0,1 y = 1/0,1 = 10 (0.1, 10)
0,01 y = 1/0,01 = 100 (0,01, 100)
0,001 y = 1/0,001 = 1000 (0,001, 1000)
Representando os pontos no plano cartesiano:
x
3
y
+ ∞
1
2
4
5
6
1 2 3 4 5 6 7
Observando o gráfico e a tabela, notamos que quando x se aproxima de zero, a função vai para + ∞, 
logo, o limite pela direita é + ∞.
lim
x 
 
→ +




= + ∞
0
1
x
Devemos estudar agora os valores menores que 0, isto é, à esquerda de 0, temos:
x y = 1/x (x, y)
–0,5 y = 1/–0,5 = –2 (–0.5, –2 )
–0,1 y = 1/–0,1 = –10 (–0.1, –10)
–0,01 y = 1/–0,01 = –100 (–0,01, –100)
–0,001 y = 1/–0,001 = –1000 (–0,001, –1000)
Representando no plano cartesiano:
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CálCulo DiferenCial De uma VariáVel
x
y
–∞
1
1–2–3–4–5–6–7 –1
–1
–2
–3
–4
–5
–6
Observando o gráfico e a tabela, notamos que quando x se aproxima de zero, a função vai para – ∞, 
logo, o limite pela esquerda é – ∞, isto é, lim
x 
 
→
− 



= − ∞
0
1
x
.
Como os limites laterais são diferentes, temos que lim
x →



0
1
x não existe.
Juntando os dois gráficos, temos o gráfico da função f(x) = 1/x:
x
y
4
1
-1
3
-2-3-4
-1
2
2
-5
5
6
-2
-3
-4
-5
1 3 4 5 6 7
Vamos agora estudar o comportamento da função f(x) = 1 / x2, quando x tende a zero.
2) lim
x 
 
→



0 2
1
x
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Vamos analisar o gráfico da função para valores próximos de zero e como 0 ∉ Df, devemos substituir 
valores pela direita e pela esquerda de zero.
Para valoresmaiores que 0, isto é, à direita de 0, temos:
x y = 1/x2 (x, y)
0,5 y = 1/0,52 = 4 (0.5, 4 )
0,1 y = 1/0,12 = 100 (0.1, 100)
0,01 y = 1/0,012 = 10000 (0,01, 10000)
0,001 y = 1/0,0012 = 1000000 (0,001, 1000000)
Representando no plano cartesiano:
x
3
y
+ ∞
1
2
4
1 2 3 4 5 6 7
–1
Observando o gráfico e a tabela, notamos que quando x se aproxima de zero, a função vai para + ∞, 
logo, o limite pela direita é + ∞.
lim
x 
 
→ +




= + ∞
0
2
1
x
Devemos estudar agora os valores menores que 0, isto é, à esquerda de 0, temos:
x y = 1/x2 (x, y)
–0,5 y = 1/(–0,5)2 = 4 (–0.5, 4 )
–0,1 y = 1/(–0,1)2 = 100 (–0.1, 100)
–0,01 y = 1/(–0,01)2 = 10000 (–0,01, 10000)
–0,001 y = 1/(–0,001)2 = 1000000 (–0,001, 1000000)
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CálCulo DiferenCial De uma VariáVel
x
y
4
1
-1
3
-2-3-4
-1
2
-5
5
6
1
+ ∞
-6
Observando o gráfico e a tabela, notamos que quando x se aproxima de zero, a função vai para + ∞, 
logo, o limite pela esquerda é + ∞, isto é, lim
x -
 
→




= + ∞
0
2
1
x
.
Como os limites laterais são iguais e temos que lim
x 
 
→




= + ∞
0 2
1
x
 unindo os dois gráficos, temos 
o gráfico da função f(x) = 1/x2:
-1-2-3-4-5-6
x
3
y
1
2
4
1 2 3 4 5 6 7
–1
–2
5
6
3) lim
x x→− +




=
1
1
1
A função f(x) = 1/(x+1) terá o mesmo comportamento da função g(x) = 1/x, assim, temos que o 
limite para x tendendo a –1 não existe, logo:
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lim
x x→− +



1
1
1
não existe.
4) lim
x x→− +( )






1 2
1
1
A função f(x) = 1/(x+1)2 terá o mesmo comportamento da função g(x) = 1/x2, assim, temos que o 
limite para x tendendo a zero será igual a + ∞, isto é:
lim
( )x 
 
→ +




= + ∞
0 2
1
1x
6.1.4 Limites fundamentais
Temos alguns casos de indeterminações que não são facilmente eliminadas, como nos casos 
anteriormente estudados. Esses são os limites fundamentais, vejamos alguns deles:
1º caso: lim
x 
 
1
→




=
0
sen x
x
Exemplos:
1) lim
x 
 3
 
→



0
sen x
x
Para calcular o limite da função, vamos utilizar o limite fundamental, para isso precisamos ter o 
denominador igual ao arco, assim, devemos multiplicar e dividir por 3, temos:
lim lim
x x 
 3 3
.
3
3
 
→ →




= 


0 0
sen x
x
sen x
x
Arrumando o denominador, ficamos com:
lim lim
x x 
 
 3
 3 
 3
 → →




= 


0 0 3
sen x
x
sen x
x 
Temos, então, o limite fundamental multiplicado por 3, logo:
lim lim
x x 
 3 3
.1
→ →




= 



= =
0 0
3
3
3
sen x
x
sen x
x
33
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CálCulo DiferenCial De uma VariáVel
2) lim
x 
 3
 →



0 5
sen x
sen x
Para calcular o limite da função, vamos utilizar o limite fundamental. Como temos a função 
seno, tanto no numerador quanto no denominador precisamos multiplicar por 15x e dividir por 15x, 
então:
lim lim
x x 
 3
 5
 3
sen 5 → →




= 
0 0
sen x
sen x
sen x
x


.
5x
3x
.
3
5
 
Arrumando convenientemente os valores, temos:
lim lim
x x 
 3
 5
 3
 3 → →




= 


0 0
sen x
sen x
sen x
x 




.
5x
sen 5x
.
3
5
Temos, então, dois limites fundamentais multiplicados pela fração 3/5, assim:
lim lim
x x 
 3
 5
3
5
 3
 3 → →




=
0 0
sen x
sen x
sen x
x








= =
→
.
5x
sen 5x
3
5
.1.1
3
5 x 
lim
0
2º caso: lim lim
x 
x
x 
x
e; e
→ +∞ → −∞
+



= +



=1 1 1 1
x x
e = nº de euler.
Valem também os seguintes resultados:
lim lim
x 
a x
a
x 
x
ae ; e
→ ± ∞ → ± ∞
+



= +



=1 1 1
x
a
x
 Saiba mais
Para mais detalhes sobre número de euler e o limite fundamental, 
acesse:
<http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/numeroe.htm>.
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Exemplos:
1) lim
x 
5 x
→ + ∞
+



1
1
x
É um caso de limite fundamental no qual a = 5, logo:
lim
x 
5 x
5=e 
→ + ∞
+



1
1
x
2) lim
x 
 x
→ + ∞
+



1
4
x
É um caso de limite fundamental no qual a = 4, logo:
lim
x 
5 x
4e 
→ + ∞
+



=1 1
x
A seguir, vamos reunir as propriedades para facilitar o seu estudo:
Propriedades operatórias dos limites:
1) f x k f x k
x x
( ) , ( )lim= ⇒ =
→
 k constante
0
2) 
x x x x x x
f x a g x b com a e b IR f x
→ → →
= = ∈ ∈ ⇒
0 0 0
lim lim lim( ) , ( ) , e IR (( ) ± ( )  = ±g x a b
3) 
x x x x x x
f x a g x b com a e b IR f x
→ → →
= = ∈ ∈ ⇒ (
0 0 0
lim lim lim( ) ( ) , e IR ))⋅ ( )  = ⋅g x a b
4) 
x x x x
n
f x a com a e n IN f x a
→ →
= ∈ ∈ ⇒ ( )  =
0 0
lim lim( ) , * IR 
5) 
x x x x
f x f xf x a com a b b
→
+
→
( ) ( )= ∈ ⇒ =
0 0
lim lim( ) , IR
6) 
x x x x
nf x a a
→
+
→
= ∈ ∈ ⇒ =
0 0
lim lim( ) , com a IR e n IN f(x) * n
7) 
x x x x
b
f xf x a b lo
→
+ +
→
( )= ∈ ∈ ≠ ⇒ =
0 0
1lim lim( ) , , log* com a IR e n IR
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CálCulo DiferenCial De uma VariáVel
8) 
x x x x x
f x a g x b IR
→
+
→ →
= ∈ ( ) ∈ ∈ ⇒
0 0
lim lim( ) , * e IR e =b, com a IR e 
xx
f x
g x
a
b
0
lim
( )
( )





 =
Limites infinitos e fundamentais:
lim ,
x 
 n 0
→ ∞




= >1 0
xn
lim ,
x 
 n 0
→ ∞
= +∞ >xn
lim
,
,x → ∞
=
+∞
−∞



xn
 se n é par
 se n é ímpar
lim
x →




= +∞
0 2
1
x
lim
x 
 
1
→




=
0
sen x
x
lim
lim
x 
x
x 
x
=e
e
→ +∞
→ −∞
+



+



=
1
1
1
1
x
x
6.2 Ampliando seu leque de exemplos
1) Determinar o valor do limite 
x 
lim
→ +1
f x( ) , sendo f x
x
( ) =
+ >
≤



1 se x 1
3x se x 1
Resolução:
Como queremos o limite para x tendendo a 1 pela direita, devemos usar a expressão da função para 
esse intervalo, isto é, f(x) = x + 1 e calcular o limite.
Assim:
lim ( ) lim
x x
f x x
 1 - 1 -
1 1 2
→ →
= + = + =1
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2) Determine o valor de a para a função f x( ) =
+ >
=
+ <





x 2x se x 5
a se x 5
x 30 se x 5
2
, seja contínua em xo = 5
Resolução:
Para verificar se uma função é contínua em 5, devemos calcular o limite de f, quando x tende para 
5, e comparar com f(5). Se forem iguais à função, será contínua, caso contrário, não será contínua.
Para calcular o limite de f, devemos calcular os limites laterais, assim:
lim ( ) lim
x x
f x x
 5 - 5 -
5
→ →
= + =30 3
lim ( ) lim
x x
f x x x
 5 5 
25 .5 25 10 35
→ + → +
= + = + = + =2 2 2
Os limites laterais são iguais, logo existe o limite e lim ( )
x
f x
 5 
5
→
= 3
Para ser contínua em 5, ainda falta igualar f(5) ao valor do limite, assim:
f(5) = a = 35.
Logo, o valor de a para que a função seja contínua em x0 = 5 é a = 35.
3) Calcular valor do limite 
x 
2
lim
x x 20
x 5→
− −
−



5
Resolução:
Para se calcular o limite, a primeira providência é substituiro valor de x0 na função. Se a conta for 
possível, o limite está calculado, caso contrário, precisaremos utilizar outro procedimento para resolver 
o limite.
Substituindo o valor de x na expressão, temos uma indeterminação. Vamos fatorar o numerador e 
simplificar a fração para eliminar a indeterminação:
lim lim
) )
x x 5
2
 5
x x 20
x 5
(x .(x 5
x 5→ →
− −
−




= + −
−




=4 llim )
x 5
(x
→
+ = + =4 5 4 9
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4) Calcular o limite 
x - 
4
3lim
2x 5
x 2→ ∞
+ +
+ +




3
10
2
2
x x
x
Resolução:
Novamente, temos uma indeterminação do tipo ∞
∞




. Vamos calcular o limite utilizando o x de 
 
maior grau do denominador e o de maior grau do denominado. Assim:
lim lim
x xX - 
4 2
3 - 
4
3
2x 3x 5X
x
2x
x
 
→ ∞ → ∞
+ +
+ +




=
2 102
Simplificando a expressão, ficamos com:
lim
x→ ∞
= ∞
-
2 x -
Logo,
lim
x x→ ∞
+ +
+ +




= −∞
 -
4 2
3
2x 3x 5x
x 2 102
5) Calcular o valor do limite 
x 
lim
→ − +( )4 2
1
4x
Resolução:
Substituindo x por –4, encontramos uma indeterminação. Nesse caso, não conseguimos eliminar a 
indeterminação por meio de fatoração.
Será necessário outro procedimento.
Estudando o comportamento da função à direita e à esquerda de –4, notamos que é o mesmo da 
função f(x) = 1 / x2, isto é, tanto pela esquerda quanto pela direita, teremos o mesmo valor:
lim
( )
lim
x xx x - - 
1 1
→ →+




= 



= +∞
4 2 4 24
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 Resumo
Nessa unidade, estudamos mais algumas funções reais. Vamos agora 
destacar alguns itens importantes sobre elas:
Função exponencial: f(x) = c + b amx, (a > 0, a ≠1, b ≠ 0 e m ≠ 0)
Função logarítmica: f(x)=loga
x, com a > 0, a ≠ 1 e x > 0
Função modular: f(x) = | x |
y x
x
= =
≥
<



| |
 se x 0
-x se x 0
Função seno: f(x) = sen x
D(f) = IR
Im (f) = {y IR∈ ≤ ≤ / -1 y 1}
período p = 2π
y
-1 1 2 3 4 5 6 7 8
1
-1
π
2π
x
π/2
3π/2
+ +
f(x)= senx
- -
Função cosseno: f(x) = cos x
D(f) = IR
Im (f) = {y IR∈ ≤ ≤ / -1 y 1}
período p = 2π
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-1 1 2 3 4 5 6 7 8
1
-1
π
2π
x
π/2
3π/2
+ + f(x)= cosx
- -
+ +
Função tangente: f(x) = tg x
D(f) = {x IR∈ ≠ + ∈ / x (2k 1)
2
, k Z}
π
Im (f) = IR
período p = π
1 2 3 4 5 6 7 8-1
1
2
-1
-2
2ππ/2 3π/2
f(x)= tgx
π x
y
Assíntotas: retas das quais o gráfico das funções se aproxima, porém 
não corta nem tem ponto comum com elas.
Podemos ter assíntotas horizontais, verticais ou inclinadas.
Limites: alguns resultados importantes sobre limites:
•	 Teorema do confronto
— g x f x h x( ) ( ) ( )≤ ≤ = = ⇒
→ → →
 e lim g(x) lim h(x) L lim
x c x c x c
 f(x) L=
— lim g(x) e lim f(x) lim f(x).g(x)
x c x c x c→ → →
≤ = ⇒M 0 == 0
•	 Função contínua
f é contínua em x0
 0
⇔ =
→x x
f x f xlim ( ) ( )0
•	 Teorema do valor intermediário
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“se f(x) é contínua num intervalo fechado [a, b] e L, tal que f(a) ≤ L ≤ 
f(b), então existe c ∈ [a, b] com f(c) = L.”
•	 Propriedades
1) f x k f x k
x x
( ) , ( )lim= ⇒ =
→
 k constante
0
2) 
x x x x x x
f x a g x b com a e b IR f x
→ → →
= = ∈ ∈ ⇒
0 0 0
lim lim lim( ) , ( ) , e IR (( ) ± ( )  = ±g x a b
3) 
x x x x x x
f x a g x b com a e b IR f x
→ → →
= = ∈ ∈ ⇒ (
0 0 0
lim lim lim( ) ( ) , e IR ))⋅ ( )  = ⋅g x a b
4) 
x x x x
n
f x a com a e n IN f x a
→ →
= ∈ ∈ ⇒ ( )  =
0 0
lim lim( ) , * IR 
5) 
x x x x
f x f xf x a com a b b
→
+
→
( ) ( )= ∈ ⇒ =
0 0
lim lim( ) , IR
6) 
x x x x
nf x a a
→
+
→
= ∈ ∈ ⇒ =
0 0
lim lim( ) , com a IR e n IN f(x) * n
7) 
x x x x
b
f xf x a b lo
→
+ +
→
( )= ∈ ∈ ≠ ⇒ =
0 0
1lim lim( ) , , log* com a IR e n IR
8) 
x x x x x
f x a g x b IR
→
+
→ →
= ∈ ( ) ∈ ∈ ⇒
0 0
lim lim( ) , * e IR e =b, com a IR e 
xx
f x
g x
a
b
0
lim
( )
( )





 =
•	 Limites infinitos e fundamentais
lim ,
x 
 n 0
→ ∞




= >1 0
xn
lim ,
x 
 n 0
→ ∞
= +∞ >xn
lim
,
,x → ∞
=
+∞
−∞



xn
 se n é par
 se n é ímpar
lim
x →




= +∞
0 2
1
x
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lim
x 
 
1
→




=
0
sen x
x
lim
lim
x 
x
x 
x
=e
e
→ +∞
→ −∞
+



+



=
1
1
1
1
x
x
 Exercícios
Questão 1 No ano de 2005, uma empresa lançou um novo produto no mercado, com produção 
inicial de 2000 unidades. A quantidade P de unidades produzidas, a partir de 2005, segue a função 
p(t)=2000.(0,95)t, sendo que t representa o tempo em anos. Considerando-se que log(0,5)=–0,30 e 
log(0,95)=–0,02, após 2005, a produção será de 1000 unidades no ano de:
(A) 2010
(B) 2015
(C) 2020
(D) 2025
(E) 2030
Resposta correta: Alternativa (C)
Análise das alternativas:
Considerando-se que o ano de 2005 é t = 0, fazemos:
P(0)=2000.(0,95)0=2000.1=2000
O P(0) representa a quantidade de unidades do produto produzida no ano de 2005.
Para sabermos em que ano a quantidade de unidades produzidas será de 1000, fazemos:
P t t t t( ) .( , ) .( , ) ( , ) , (= ⇒ = ⇒ = ⇒ =2000 0 95 1000 2000 0 95 1000
2000
0 95 0 5 00 95, )t
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Podemos aplicar a definição de logaritmo em ambos os lados da equação (utilizar dica do enunciado). 
Logo:
0 5 0 95 0 5 0 95 0 5 0 95 0 30, ( , ) log( , ) log( , ) log( , ) .log( , ) ,= ⇒ = ⇒ = ⇒ −t t t == − ⇒
⇒ = −
−
⇒ =
0 02
0 30
0 02
15
,
,
,
t
t t
Então, em 15 anos, a quantidade de unidades produzidas será de 1000. Sendo assim, como o 
ano inicial é 2005, fazemos: 2005 + 15 = 2020. Logo, a produção será de 1000 unidades no ano de 
2020.
Então:
(A) Alternativa Incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
(B) Alternativa Incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
(C) Alternativa Correta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
(D) Alternativa Incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
(E) Alternativa Incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
Questão 2 (ENEM/2009) A população mundial está ficando mais velha, os índices de 
natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados 
dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito 
da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da 
direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas 
com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total 
nos países desenvolvidos.
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CálCulo DiferenCial De uma VariáVel
35
30
25
20
15
10
5
0
1950 1970 1990 2010 2030 2050
Países desenvolvidos
Países em 
desenvolvimentoEstimativas
1.592
461
269
Número em milhões
95
490
110
Fonte: “Perspectivas da popolação mundial”, ONU, 2009
Disponível em: www.economist.com. Acesso em: 9 jul. 2009 (adaptado).
Suponha que o modelo exponencial y=363.e0,03.x, em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 
corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes 
no ano, x seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em 
desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando e0,03=1,35, estima-se que a população 
com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre:
(A) 490 e 510 milhões.
(B) 550 e 620 milhões.
(C) 780 e 800 milhões.
(D) 810 e 860 milhões.
(E) 870 e 910 milhões.
Resolução desta questão na plataforma.
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