Fisica Conceitual Cap 3

Prévia do material em texto

1
2
3
4
1 Joan Lucas move-se com velocidade crescente quando seu cavalo 
percorre distâncias maiores a cada segundo. 2 Igualmente para 
Sue Johnson e sua tripulação, que ganharam medalhas pela alta 
velocidade de seu barco de corrida. 3 Carl Anger, da Universidade 
de Oslo, faz o que Galileu fez cerca de 400 anos atrás, mas usando uma 
fotocélula para medir a velocidade da bola. 4 Chelcie Liu pede a 
seus estudantes para trocarem ideias com seus vizinhos a fim de prever 
qual das bolas chegará primeiro ao final de dois trilhos de mesmo 
comprimento.
 3.1 O movimento é relativo
 3.2 Rapidez
 3.3 Velocidade
 3.4 Aceleração
 3.5 Queda livre
 3.6 Vetores velocidade
Movimento 
Retilíneo
3C A P Í T U L O 3
3.1 O movimento é relativo
Tudo se move. Mesmo as coisas que parecem estar em repouso. Elas se movem em 
relação ao Sol e às estrelas. Enquanto você está lendo isto, está se movendo a apro-
ximadamente 107.000 quilômetros por hora em relação ao Sol. E está se movendo 
ainda com mais rapidez em relação ao centro de nossa galáxia. Quando discutimos o 
movimento de algo, descrevemos o movimento em relação a alguma outra coisa. Se 
você caminha no corredor de um ônibus em movimento, sua rapidez em relação ao 
piso do ônibus provavelmente é diferente de sua rapidez relativa ao asfalto. Quando 
dizemos que um carro de corrida alcança uma rapidez de 300 quilômetros por hora, 
queremos dizer que tal rapidez é relativa à estrada. A menos que outra coisa seja dita, 
sempre que nos referirmos à rapidez com que se movem as coisas em nosso ambiente, 
estaremos supondo-a relativa à superfície da Terra. O movimento é relativo.
PAUSA PARA TESTE
Um mosquito faminto o vê repousando em uma rede de dormir enquanto sopra 
uma brisa a 3 m/s. Com que rapidez, e em que direção e sentido, o mosquito de-
veria voar a fim de manter-se flutuando sobre seu almoço?
VERIFIQUE SUA RESPOSTA
O mosquito deveria voar em sua direção dentro da brisa. Quando ele estivesse exa-
tamente acima de você, deveria voar a 3 m/s a fim de conseguir ficar flutuando, em 
repouso. A menos que ele consiga se segurar firmemente à sua pele depois de aterrissar, 
ele deveria continuar voando a 3 m/s para impedir de ser levado pelo vento. É por isso 
que uma simples brisa constitui um impedimento eficaz contra picadas de mosquito.
3.2 Rapidez
Antes da época de Galileu, as pessoas descreviam os objetos em movimento sim-
plesmente como “lento” ou “rápido”. Tratava-se de descrições vagas. Cabe a Galileu 
Neste capítulo, continuaremos a discutir as ideias de um homem que foi submetido à prisão domiciliar por causa de suas ideias, o cientista italiano Galileu 
Galilei, que faleceu no mesmo ano do nascimento de 
Newton. Tais ideias constituíram um alicerce para Isaac 
Newton, o qual, ao ser indagado sobre seu sucesso na ciên-
cia, respondeu que se devia ao fato de ele estar em pé sobre 
os ombros de gigantes. O mais notável destes foi Galileu.
Desde cedo, Galileu desenvolveu interesse pelo movi-
mento e logo se colocou em oposição a seus contemporâ-
neos, que sustentavam as ideias Aristotélicas a respeito dos 
corpos em queda e acreditavam que o Sol girava em torno da 
Terra. Galileu deixou Pisa para lecionar na Universidade de 
Pádua e tornou-se um defensor da nova teoria de Copérnico 
do Sistema Solar. Ele foi o primeiro a descobrir montanhas 
na Lua e as luas de Júpiter. Uma vez que publicou seus re-
sultados em italiano, a linguagem do povo, em vez de em 
latim, que era a linguagem dos estudiosos, e por causa da 
recente invenção da imprensa, suas ideias alcançaram uma 
ampla gama de leitores. Rapidamente entrou em rota de co-
lisão com a Igreja e foi advertido para não ensinar ou sus-
tentar os pontos de vista de 
Copérnico. Ele conteve-se 
publicamente por cerca de 
15 anos e, então, de forma 
desafiadora, publicou suas 
observações e conclusões, 
que iam contra a doutrina 
da Igreja. O resultado foi 
um julgamento em que ele 
foi considerado culpado, 
sendo forçado a negar sua 
descoberta de que a Terra se 
move. Quando saía da cor-
te, ele teria sussurrado “mas 
ela se move”. Já então um 
homem idoso, abalado em 
sua saúde e em seu espírito, foi sentenciado à prisão domici-
liar perpétua. Apesar disso, completou seus estudos sobre o 
movimento, e seus escritos foram contrabandeados para fora 
da Itália e publicados na Holanda. Suas ideias a respeito do 
movimento constituem o assunto deste capítulo.
F I G U R A 3 . 1
Quando você está sentado numa cadeira, 
sua rapidez é nula com relação à Terra, 
mas é de 30 km/s em relação ao Sol.
Se você olhar pela janela de um avião 
e vir outro avião voando com velo-
cidade de mesmo módulo, mas em 
sentido contrário, o registrará como 
duas vezes mais rápido – uma boa 
ilustração de movimento relativo.
CAPÍTULO 3 � MOVIMENTO RETILÍNEO 41
o crédito por ter sido o primeiro a medir velocidades levando em conta a distância 
percorrida e o tempo decorrido. Ele definiu rapidez* como a distância percorrida 
por unidade de tempo.
Rapidez
Um ciclista que percorre 16 metros em um tempo de 2 segundos, por exem-
plo, tem uma rapidez de 8 metros por segundo. Galileu podia medir a distância 
facilmente, mas, naquela época, medir curtos intervalos de tempo era algo muito 
difícil. Algumas vezes, ele usou sua própria pulsação, ou o pingar de gotas de um 
relógio d’água (ou clepsidra) que ele mesmo construíra.
Qualquer combinação de unidades de distância e de tempo é válida para medir 
rapidez: para veículos motorizados (ou distâncias grandes), as unidades de quilôme-
tros por hora (km/h) ou milhas por hora (mi/h ou mph) são usadas frequentemente. 
Para distâncias mais curtas, metros por segundo (m/s) são unidades geralmente mais 
adequadas. O símbolo da barra (/) é lido como por e significa “dividido por”. Ao 
longo deste livro, usaremos principalmente metros por segundo (m/s). A Tabela 3.1 
mostra alguns valores comparativos de rapidez em diferentes unidades.1
Rapidez instantânea
Objetos em movimento frequentemente sofrem variações em sua rapidez. Um carro 
pode se deslocar numa rua a 50 km/h, diminuir para 0 km/h num sinal vermelho, 
e aumentar sua rapidez para 30 km/h apenas, devido ao tráfego. Você pode verificar 
a rapidez do carro em cada instante olhando o velocímetro. A rapidez em cada ins-
tante é a rapidez instantânea. Um carro viajando a 50 km/h geralmente se mantém 
com esta rapidez por menos de 1 hora. Se ele se mantivesse com essa rapidez por 
uma hora inteira, cobriria 50 km. Se continuasse com a mesma rapidez por meia 
hora, cobriria a metade daquela distância: 25 km. Se continuasse por apenas 1 mi-
nuto, cobriria menos de 1 km.
Rapidez média
Ao planejar uma viagem de carro, o motorista geralmente quer saber o tempo que 
ela irá durar. O motorista está interessado na rapidez média durante a viagem. A 
rapidez média é definida como:
A rapidez do carro pode ser calculada muito facilmente. Por exemplo, se dirigirmos 
por uma distância de 80 quilômetros no tempo de 1 hora, dizemos que nossa rapi-
dez média é de 80 quilômetros por hora. Analogamente, se viajarmos 320 quilôme-
tros em 4 horas,
Vemos que, quando dividimos uma distância em quilômetros (km) por um deter-
minado tempo em horas (h), a resposta será em quilômetros por hora (km/h).
Uma vez que a rapidez média é a distância total percorrida dividida pelo tem-
po total da viagem, ela não revela os diferentes valores de rapidez e as variações que 
podem ter ocorrido em intervalos de tempo mais curtos. Na maioria das vezes, 
experimentamos uma variedade de valores de rapidez, de modo que a rapidez média 
com frequência é completamente diferente dos valores da rapidez instantânea.
* N. de T.: Este termo, nos livros brasileiros, normalmente é traduzido como velocidade escalar.
** N. de T.: Nos carros brasileiros, os velocímetros marcam apenas em km/h.
1 A conversão é baseada em 1 h � 3.600 s, 1 mi � 1.609,344 m.
Se você for multado por velocidade 
alta, o que o policial escreverá na 
multa, sua rapidez instantânea ou 
suarapidez média?
VIDEO: Definition of Speed
TABELA 3.1 Valores aproximados 
de rapidez em diferentes unidades
5 m/s � 11 mi/h � 18 km/h
10 m/s � 22 mi/h � 36 km/h
20 m/s � 45 mi/h � 72 km/h
30 m/s � 67 mi/h � 107 km/h
40 m/s � 89 mi/h � 142 km/h
50 m/s � 112 mi/h � 180 km/h
F I G U R A 3 . 2
Um velocímetro dá leituras tanto em 
quilômetros por hora quanto em milhas 
por hora**.
SCREENCAST: Linear Motion 
Definitions
VIDEO: Average Speed
42 PARTE I � MECÂNICA
Se conhecemos a rapidez média e o tempo de viagem, a distância viajada é 
facilmente encontrada. Um simples rearranjo na definição acima fornece
Distância total percorrida � rapidez média � tempo
Se sua rapidez média é de 80 quilômetros por hora numa viagem de 4 horas, 
por exemplo, você cobrirá uma distância total de 320 quilômetros (80 km/h � 4 h).
PAUSA PARA TESTE
 1. Qual é a rapidez média de um leopardo que corre 100 m em 4 s? Se ele, cor-
rendo o máximo que pode, percorre 50 m em 2 s?
 2. Se um carro se move com uma rapidez média de 60 km/h durante uma hora, 
ele percorrerá uma distância de 60 km.
 a. Quão longe ele viajaria se continuasse se movendo nesta rapidez por 4 
horas?
 b. E por 10 h?
 3. Além do velocímetro, no painel de cada carro existe um hodômetro, que 
registra a distância percorrida. Se a marcação do mesmo for zerada no início 
de uma viagem, e uma leitura de 40 km for feita meia hora depois, qual 
terá sido sua rapidez média?
 4. Seria possível atingir essa rapidez média e jamais ultrapassar 80 km/h?
VERIFIQUE SUA RESPOSTA
(Você está lendo isto antes de ter respondido mentalmente às questões? Como foi men-
cionado no Capítulo 2, quando você encontrar questões deste tipo ao longo do livro, 
teste a você mesmo e pense antes de ler as respostas. Você não apenas aprenderá mais; 
você se divertirá aprendendo mais.)
 1. Em ambos os casos, a resposta é 25 m/s:
 2. A distância percorrida é a rapidez média � tempo da viagem, tal que
 a. Distância � 60 Km/h � 4 h � 240 km
 b. Distância � 60 km/h � 10 h � 600 km
 3. 
 4. Não, não se a viagem começa do repouso e termina no repouso. Existem instantes em 
que os valores de rapidez instantânea são menores do que 80 km/h, logo o motorista 
deverá dirigir em certos intervalos de tempo com rapidez maior do que 80 km/h para 
alcançar a média de 80 km/h. Na prática, os valores de rapidez média são geralmente 
muito menores do que os valores altos de rapidez instantânea alcançados.
3.3 Velocidade
Quando conhecemos tanto a rapidez quanto a orientação do movimento de um ob-
jeto, conhecemos sua velocidade. Por exemplo, se um carro se desloca a 60 km/h, 
conhecemos sua rapidez. Mas se dissermos que ele se move a 60 km para o norte, 
estaremos especificando sua velocidade. A rapidez é a medida de quão rápido ele é; a 
velocidade significa quão rápido e em que direção e sentido (orientação).Uma gran-
deza tal qual a velocidade, que especifica a orientação juntamente com o valor ab-
soluto (módulo), é chamada de grandeza vetorial. Lembre-se, do Capítulo 2, que 
a força é uma grandeza vetorial, exigindo tanto um módulo quanto uma orientação 
para ser descrita de forma completa. Analogamente, a velocidade é uma grandeza 
vetorial. Em contraste, uma grandeza que requeira apenas um módulo para sua 
especificação é denominada grandeza escalar. A rapidez é uma grandeza escalar.
VIDEO: Velocity
VIDEO: Changing Velocity
CAPÍTULO 3 � MOVIMENTO RETILÍNEO 43
Velocidade constante
Rapidez constante significa rapidez uniforme. Algo que se mova com uma rapidez 
constante não aumenta nem diminui sua rapidez. Velocidade constante, por outro 
lado, significa que a rapidez e a orientação são constantes. Orientação constante 
significa em linha reta – a trajetória do objeto não possui curvas. Assim, velocidade 
constante significa movimento retilíneo com rapidez constante.
Velocidade variável
Se a rapidez ou a orientação variar (ou ambas variarem), a velocidade variará. Um 
vagão que se desloca sobre um trilho em curva, por exemplo, pode ter rapidez cons-
tante, todavia, uma vez que sua orientação de movimento está variando, sua ve-
locidade não será constante. Na próxima seção, veremos que, neste caso, ele está 
acelerando.
PAUSA PARA TESTE
 1. “Ela se move com uma rapidez constante e numa direção constante”. Diga 
a mesma sentença com menos palavras.
 2. O velocímetro de um carro movendo-se para o leste marca 100 km/h. Ele 
passa por outro carro que se move para o oeste a 100 km/h. Ambos têm a 
mesma rapidez? Possuem a mesma velocidade?
 3. Durante um certo período de tempo, o velocímetro de um carro marca cons-
tantemente 60 km/h. Isso indica que a rapidez é constante? E a velocidade, 
é constante?
VERIFIQUE SUA RESPOSTA
 1. “Ela se move com velocidade constante”.
 2. Ambos os carros possuem a mesma rapidez, mas suas velocidades são opostas, 
porque eles estão se movendo em sentidos opostos.
 3. A leitura invariável no velocímetro de um carro indica uma rapidez constante, mas 
não uma velocidade constante, pois o carro pode não estar se movendo ao longo 
de um caminho retilíneo, caso em que ele está acelerando.
3.4 Aceleração
Podemos alterar a velocidade de alguma coisa mudando a rapidez de seu movimen-
to, sua orientação ou ambos, rapidez e orientação. Esta mudança na velocidade 
chama-se aceleração:2
Estamos todos familiarizados com a aceleração num automóvel. Quando um 
motorista pisa no pedal do acelerador, os passageiros experimentam uma aceleração 
ao serem pressionados contra o encosto de seus assentos. A ideia-chave que define a 
aceleração é variação. Suponha que estejamos dirigindo e que em 1 segundo aumen-
tamos uniformemente nossa velocidade de 30 quilômetros por hora para 35 quilô-
metros por hora, e daí para 40 quilômetros por hora no segundo seguinte, depois 
2 Os termos “variação de” e “diferença em” podem ser representados pela letra grega delta, �. Dessa 
forma, podemos expressar a aceleração como onde �v é a variação de velocidade e �t é o correspon-
dente intervalo do tempo. A expressão fornece a aceleração média. A maioria dos movimentos acelerados 
abordados neste livro será com aceleração constante.
Velocidade é rapidez com orientação.
F I G U R A 3 . 3
O carro percorrendo a pista circular pode 
ter rapidez constante, mas sua velocidade 
está variando a cada instante. Por quê?
SCREENCAST: Bikes-and-Bee 
Problem
SCREENCAST: Unit Conversion
F I G U R A 3 . 4
Dizemos que um corpo está acelerando 
quando sua velocidade muda.
44 PARTE I � MECÂNICA
para 45 quilômetros por segundo durante o próximo segundo e assim por diante. 
Estamos variando nossa velocidade em 5 quilômetros por hora a cada segundo. Essa 
mudança na velocidade é o que chamamos de aceleração.
Neste caso, a aceleração é de 5 quilômetros por hora por segundo (abreviado 
para 5 km/h�s). Observe que a unidade de tempo aparece duas vezes: uma na uni-
dade de velocidade e outra para o intervalo de tempo em que ocorreu a variação 
da velocidade. Note também que a aceleração não é apenas a variação total da 
velocidade; ela é igual à taxa de variação com o tempo, ou variação por segundo, da 
velocidade.
PAUSA PARA TESTE
 1. Um determinado carro pode sair do repouso e atingir 90 km/h em 10 segun-
dos. Qual é a sua aceleração?
 2. Em 2,5 s, um carro aumenta sua rapidez de 60 km/h para 65 km/h, enquanto 
uma bicicleta vai do repouso para 5 km/h. Qual deles possui maior acelera-
ção? Qual é a aceleração de cada um deles?
VERIFIQUE SUA RESPOSTA
 1. Sua aceleração é de 9 km/h·s. A rigor, essa seria a sua aceleração média, pois po-
dem ter ocorrido variações na sua taxa de crescimento da rapidez.
 2. As acelerações do carro e da bicicleta são as mesmas: 2 km/h�s.
Embora as velocidades envolvidas sejam completamente diferentes, as taxas de va-
riação da velocidade são as mesmas. Eis porque as acelerações são iguais.
O termo aceleração aplica-se tanto para diminuição como para aumento na 
velocidade. Dizemos que os freios do carro, por exemplo, produzem grandesvalores 
de aceleração retardadora; isto é, uma grande diminuição por segundo na veloci-
dade do carro. Com frequência, também chamamos isso de desaceleração. Experi-
mentamos uma desaceleração quando tendemos a ser jogados para a frente no carro.
Estamos acelerados sempre que nos movimentamos numa trajetória curva, 
ainda que nos movamos com uma rapidez constante, porque nossa direção está 
mudando – daí que nossa velocidade está mudando também. Experimentamos esse 
tipo de aceleração quando somos jogados para a parte de fora da curva. Por essa 
razão, fizemos a distinção entre velocidade e rapidez, e definimos a aceleração como 
sendo a taxa com que varia a velocidade, englobando as mudanças tanto na rapidez 
como na direção.
Qualquer um que tenha ficado em pé num ônibus lotado já experimentou a 
diferença entre velocidade e aceleração. Exceto pelos efeitos de uma estrada sacole-
jante, você consegue ficar em pé no ônibus sem fazer qualquer esforço adicional se 
ele se move com velocidade constante, não importa quão rápido ele seja. Você pode 
atirar uma moeda para cima e apanhá-la de volta em suas mãos, da mesma maneira 
que faria se o ônibus estivesse parado. Apenas quando o ônibus acelera – torna-se 
mais rápido, mais lento ou faz curva – é que você experimenta dificuldades.
Você consegue perceber que um 
carro possui três controles capazes 
de alterar a velocidade – o pedal do 
acelerador, o de freio e o volante de 
direção?
VIDEO: Definition of Acceleration
VIDEO: Numerical Example of 
Acceleration
F I G U R A 3 . 5
Uma rápida desaceleração é sentida pelo 
motorista, que é jogado para frente (de 
acordo com a primeira lei de Newton).
CAPÍTULO 3 � MOVIMENTO RETILÍNEO 45
Em boa parte deste livro, estaremos tratando apenas do movimento ao longo 
de uma linha reta. Quando este for o caso, é comum se usar os termos rapidez e 
velocidade indiferentemente. Quando não está variando a direção e sentido da velo-
cidade, a aceleração pode ser expressa como a taxa com a qual varia a rapidez.
PAUSA PARA TESTE
 1. Qual é a aceleração de um carro de corrida que passa zunindo por você com 
uma rapidez constante de 400 km/h?
 2. Quem tem a maior aceleração, um avião que vai de 1.000 km/h para 
1.005 km/h em 10 segundos, ou um skate que vai de zero a 5 km/h em 
1 segundo?
VERIFIQUE SUA RESPOSTA
 1. Zero, pois sua velocidade não varia.
 2. Ambos ganham 5 km/h, mas o skate consegue isso em um décimo do tempo. Ele 
tem, portanto, maior aceleração, na verdade, 10 vezes maior. Um cálculo rápido 
mostrará que a aceleração do avião vale 0,5 km/h·s, enquanto a do skate mais len-
to vale 5 km/h·s. Velocidade e aceleração são dois conceitos muito diferentes. Ser 
capaz de distingui-las é muito importante.
A aceleração nos planos inclinados de Galileu
Galileu desenvolveu o conceito de aceleração em seus experimentos com planos 
inclinados. Ele estava interessado na queda de objetos, e como lhe faltavam instru-
mentos precisos para medir tempo, usou planos inclinados para tornar efetivamente 
mais lentos os movimentos acelerados e assim poder investigá-los de forma mais 
detalhada.
Galileu descobriu que uma bola rolando para baixo em um plano inclinado 
ganha o mesmo valor de velocidade em sucessivos segundos de duração; isto é, a 
bola rolará com aceleração constante. Por exemplo, uma bola rolando para baixo em 
um plano inclinado num certo ângulo podia aumentar sua rapidez de 2 metros por 
segundo a cada segundo de seu movimento. Este ganho por segundo é a sua acele-
ração. Com esta aceleração, sua velocidade instantânea em intervalos de 1 segundo 
cada é, então, 0, 2, 4, 6, 8, 10 e assim por diante, em metros por segundo. Pode-se 
ver que a rapidez instantânea ou a velocidade da bola, em qualquer instante de tem-
po após ela ter sido solta a partir do repouso, é simplesmente igual à sua aceleração 
multiplicada pelo tempo3:
Velocidade adquirida � aceleração � tempo
Se substituímos a aceleração da bola nesta relação (2 metros por segundo ao 
quadrado), podemos ver que, ao final de 1 segundo, a bola estará viajando a 2 me-
tros por segundo; ao final de 2 segundos, estará viajando a 4 metros por segundo; ao 
final de 10 segundos, estará a 20 metros por segundo e assim por diante. A rapidez 
instantânea ou a velocidade em qualquer instante de tempo é igual à aceleração 
multiplicada pelo número de segundos durante os quais ela foi acelerada.
3 Observe que esta relação segue da definição de aceleração. Para uma bola que parte do repouso, 
a � �v/�t pode ser reescrita como a � v/t e, então, rearranjada (multiplicando-se por t ambos os mem-
bros da equação) como v � at.
46 PARTE I � MECÂNICA
Galileu descobriu que quanto mais inclinadas eram as rampas usadas, maiores 
eram as acelerações. A bola possui uma aceleração máxima quando a rampa é ver-
tical. Neste caso, a aceleração torna-se igual àquela de um objeto em queda (Figura 
3.6). Sem importar o peso ou o tamanho, Galileu descobriu que todos os objetos 
caem com a mesma aceleração invariável, desde que a resistência do ar seja pequena 
o bastante para que possa ser desprezada.
3.5 Queda livre
Quão rápido
As coisas caem por causa da força da gravidade. Quando um objeto está caindo 
sem enfrentar qualquer impedimento – sem atrito com o ar ou qualquer outro – e 
cai sob influência exclusiva da gravidade, o objeto encontra-se em estado de queda 
livre. (Iremos considerar os efeitos da resistência do ar sobre a queda dos corpos no 
Capítulo 4.) A Tabela 3.2 mostra os valores instantâneos da rapidez de um corpo 
em queda livre, em intervalos de 1 segundo. É importante notar, nesses números, a 
maneira como muda a rapidez. Durante cada segundo de queda, o objeto torna-se 10 
m/s mais rápido. Este ganho por segundo é a aceleração. A aceleração da queda livre 
é aproximadamente igual a 10 metros por segundo a cada segundo, ou, em notação 
abreviada, m/s2 (lê-se 10 metros por segundo ao quadrado). Note que a unidade de 
tempo, o segundo, aparece duas vezes – na unidade de rapidez e de novo no interva-
lo de tempo durante o qual ocorreu a variação da rapidez.
No caso de objetos em queda livre, é costume usar a letra g para representar 
esta aceleração (porque ela se deve à gravidade). O valor de g é muito diferente na 
superfície da Lua e na superfície de outros planetas. Aqui na Terra, g varia ligeira-
mente em diferentes locais, com um valor médio de 9,8 metros por segundo a cada 
segundo, ou, em notação abreviada, 9,8 m/s2. Arredondamos isso para 10 m/s2 em 
nossa presente discussão e na Tabela 3.2, para deixar mais claras as ideias envolvidas; 
múltiplos de 10 são mais óbvios do que múltiplos de 9,8. Onde for importante a 
precisão, deveremos usar o valor de 9,8 m/s2.
Note, na Tabela 3.2, que os valores instantâneos de rapidez ou velocidade 
de um objeto em queda livre a partir do repouso são coerentes com a equação que 
Galileu deduziu com seus planos inclinados:
Velocidade adquirida � aceleração � tempo
A velocidade instantânea v de um objeto em queda livre a partir do repouso4, 
depois de um tempo t, pode ser expressa em notação abreviada como
v � gt
4 Se, em vez de ser solto a partir do repouso, o objeto for arremessado para baixo com uma velocidade v0, 
a velocidade depois de decorrido um tempo t será v � v0 � at � v0 – gt, sendo considerado positivo o 
sentido de baixo para cima.
F I G U R A 3 . 6
Quanto mais inclinada for a rampa, maior 
será a aceleração da bola. Qual será sua 
aceleração se a rampa for vertical?
Rigorosamente, a aceleração gravita-
cional é cerca de 10 m/s a cada segun-
do, para baixo, em todo lugar. Para 
saber por que isso ocorre, para qual-
quer massa, aguarde o Capítulo 4.
SCREENCAST: Free Fall
TABELA 3.2 Queda livre a partir 
do repouso
Tempo da queda 
(em segundos)
Velocidade 
adquirida 
(metros/segundo)
0 0
1 10
2 20
3 30
4 40
5 50
· ·
· ·
· ·
t 10t
CAPÍTULO 3 � MOVIMENTO RETILÍNEO 47
Para ver que essa equação faz sentido, confronte-a com a Tabela 3.2. Observe 
que a rapidez ou velocidadeinstantânea em metros por segundo é simplesmente a 
aceleração g � 10 m/s2 multiplicada pelo tempo t em segundos.
A aceleração de queda livre é mais facilmente compreendida quando conside-
ramos um objeto em queda livre equipado com um velocímetro (Figura 3.7). Supo-
nha que o objeto seja um pedaço de rocha abandonado do alto de um penhasco e 
que você acompanha com um telescópio. Com o telescópio focado no velocímetro, 
você notaria um crescimento na rapidez com o passar do tempo. Mas de quanto? A 
resposta é 10 m/s a cada segundo que passa.
PAUSA PARA TESTE
O que marcaria o velocímetro da Figura 3.7, preso ao pedaço de rocha em que-
da, 5 segundos depois de solta? E 6 segundos depois de solta? E depois de 6,5 s?
VERIFIQUE SUA RESPOSTA
As leituras do velocímetro seriam 50 m/s, 60 m/s e 65 m/s, respectivamente. Você pode 
obter isso na Tabela 3.2 ou usar a equação v � gt, onde g vale 10 m/s2.
Até aqui, temos considerado objetos que estão se movendo em linha reta 
para baixo sob ação da gravidade. E um objeto arremessado diretamente para 
cima? Uma vez liberado, ele continua a mover-se para cima por algum tempo e 
depois retorna. No ponto mais alto, quando ele está mudando o sentido de seu 
movimento de ascendente para descendente, sua rapidez instantânea é nula. Então 
ele inicia seu movimento para baixo, exatamente como se tivesse sido solto do repouso 
naquela altura.
Durante a parte ascendente de seu movimento, o objeto torna-se gradual-
mente mais lento enquanto sobe. Não deveria causar surpresa que ele se torna 10 
m/s mais lento a cada segundo decorrido – a mesma aceleração que você experi-
menta quando está caindo. Assim, como mostra a Figura 3.8, a rapidez instantâ-
nea em pontos de sua trajetória que se encontram na mesma altura é a mesma, 
esteja o corpo subindo ou descendo. As velocidades são opostas, é claro, porque 
ele se move então em sentidos contrários. Note que as velocidades para baixo 
possuem sinal negativo, indicando o sentido para baixo (é costumeiro atribuir 
sinal positivo ao que aponta para cima, e negativo ao que aponta para baixo). Seja 
movendo-se para cima ou para baixo, a aceleração vale aproximadamente 10 m/
s2 o tempo todo.
PAUSA PARA TESTE
Uma bola é atirada diretamente para cima e sai de sua mão a 20 m/s. Que pre-
visões você pode fazer sobre a bola? (Por favor, pense sobre isso antes de ler as 
previsões sugeridas.)
VERIFIQUE SUA RESPOSTA
Existem várias. Uma previsão é que a rapidez da bola diminua para 10 m/s um segundo 
após abandonar sua mão e que a bola estará momentaneamente parada dois segundos 
após, quando chegar ao topo de seu caminho ascendente. Isso porque ela perde 10 m/s 
a cada segundo decorrido. Outra previsão é que um segundo mais tarde, 3 segundos no 
total, ela estará se movendo para baixo a 10 m/s. Outro segundo depois, ela terá retor-
nado ao seu ponto de partida com rapidez de 20 m/s. Assim, ela gasta 2 segundos em 
cada parte do movimento e o tempo total de voo é de 4 segundos. A distância que ela 
percorre para cima e para baixo será tratada na próxima seção.
t = 0 s
t = 1 s
t = 2 s
t = 3 s
t = 4 s
t = 5 s
F I G U R A 3 . 7
Suponha que uma pedra em queda es-
teja equipada com um velocímetro. Você 
descobrirá que, a cada segundo decorri-
do, a rapidez da pedra sempre aumenta-
rá aproximadamente 10 m/s. Desenhe a 
agulha do velocímetro que está faltando 
na figura correspondente a t � 3s, t � 4s 
e t � 5 s. (A Tabela 3.2 mostra os valores 
de rapidez que leríamos nos vários se-
gundos da queda.)
VIDEO: Free Fall: How Fast?
VIDEO: v � gt
VIDEO: Free Fall: How Far?
48 PARTE I � MECÂNICA
Quanto cai
A que distância um objeto cai é completamente diferente de quão rápido ele cai. 
Com seus planos inclinados, Galileu descobriu que a distância que um objeto uni-
formemente acelerado percorre é proporcional ao quadrado do tempo. A distância 
percorrida por um objeto uniformemente acelerado que parte do repouso é
Essa relação se aplica à distância percorrida por algo em queda. Para o caso de um 
objeto em queda livre, podemos expressá-la numa notação mais condensada, como
onde d é a distância de queda quando o tempo de queda em segundos é substituído 
por t e elevado ao quadrado.5 Se usarmos 10 m/s2 para o valor de g, a distância de 
queda para vários instantes de tempo será como mostrado na Tabela 3.3.
Observe que um objeto cai por uma distância de apenas 5 metros durante o 
primeiro segundo de queda, muito embora sua rapidez seja de 10 m/s. Isso pode 
parecer confuso, pois podemos achar que o objeto deveria cair 10 metros no pri-
meiro segundo de queda. Mas, para isso, ele teria de cair com uma rapidez média de 
10 metros por segundo durante o segundo todo. Ele inicia sua queda com 0 metros 
por segundo, e sua rapidez é de 10 metros por segundo somente no último instante 
do intervalo de 1 segundo. Sua rapidez média durante este intervalo é a média arit-
mética entre sua rapidez inicial e sua rapidez final, 0 e 10 metros por segundo. Para 
obter a média aritmética desses dois números, simplesmente somamos e dividimos 
o resultado por 2. Isso dá 5 metros por segundo, que, ao longo do intervalo de 1 
segundo, dá uma distância de 5 metros. Enquanto o objeto continua caindo nos 
segundos subsequentes, ele cairá por distâncias cada vez maiores em cada um dos 
segundos, porque sua rapidez está continuamente aumentando.
PAUSA PARA TESTE
Um gato sobe num parapeito e salta até o chão em meio segundo.
 a. Qual é a sua rapidez ao atingir o chão?
 b. Qual é a sua rapidez média durante o meio segundo de queda?
 c. A que altura em relação ao chão está o parapeito?
VERIFIQUE SUA RESPOSTA
 a. Rapidez: v � gt � 10 m/s2 � 1/2 s � 5 m/s.
 b. Rapidez média: 
inicial
Usamos uma barra sobre o símbolo da rapidez para denotar a rapidez média: .
 c. Distância: d � t � 2,5 m/s � 1/2 s � 1,25 m.
Ou, de maneira equivalente,
Note que podemos encontrar a distância por qualquer dessas duas relações.
5 Distância de queda a partir do repouso:
 
(Veja o Apêndice B para explicações adicionais.)
3 s
2 s
1 s
4 s
5 s
6 s0 s
v = 10 m/s
v = 20 m/s v = –20 m/s
v = –30 m/s
7 s
v = –40 m/s
v = 30 m/s
v = –10 m/s
Velocidade = 0
F I G U R A 3 . 8
A taxa com a qual a velocidade varia a 
cada segundo é sempre a mesma.
TABELA 3.3 Distância percorrida 
em queda livre
Tempo da queda 
(em segundos)
Distância 
percorrida 
(metros)
0 0
1 5
2 20
3 45
4 80
5 125
· ·
· ·
· ·
t 10t2
CAPÍTULO 3 � MOVIMENTO RETILÍNEO 49
É muito comum observar muitos objetos caí-
rem com acelerações diferentes. Uma folha de árvo-
re, uma pena ou uma folha de papel podem esvoaçar 
até o chão lentamente. O fato de que a resistência 
do ar seja responsável por essas diferenças nas ace-
lerações pode ser demonstrado de maneira muito 
divertida com um tubo de vidro lacrado, em cujo 
interior estão objetos leves e pesados – uma pena e 
uma moeda, por exemplo. Na presença de ar, os dois 
caem com acelerações completamente diferentes. 
Mas se o ar é removido do tubo por uma bomba 
de vácuo e depois invertido, a pena e a moeda caem 
com a mesma aceleração (Figura 3.10). Embora a 
resistência do ar altere sensivelmente o movimento 
de coisas como folhas de árvore em queda, o movi-
mento de objetos mais pesados, como pedras e bolas 
de beisebol em velocidades ordinárias baixas, quase 
não é afetado pelo ar. As relações v � gt e d � 1/2 gt2 
podem ser usadas com muito boa aproximação para 
a maioria dos objetos caindo no ar, partindo do re-
pouso de suas posições iniciais.
t = 0 s
t = 1 s
t = 2 s
t = 3 s
t = 4 s
t = 5 s
t = 6 s
F I G U R A 3 . 9
Suponha que uma pedra em 
queda esteja equipada com 
um velocímetro e com um 
hodômetro. Em cada segun-
do, as leituras da rapidez 
aumentam por 10 m/s e as de 
distância crescem segundo 1/2 
gt2. Você consegue completar 
as leituras do velocímetro e do 
hodômetro?
F I G U R A 3 . 1 0
Uma pena e uma moeda caem com a 
mesma aceleração no vácuo.
Tempo � 1 hora
Livermore
S. Francisco
S. Francisco
Rapidez � distânciatempo
Aceleração �
Aceleração � devido à
Aceleração �
m/s
variação em velocidade
tempo
Rapidez � � 80 km/h80 km
1 h
E
Velocidade � 300 km/h, leste
Velocidade �
rapidez e
orientação
Taxa de
variação da
velocidade
variação em rapidez
e/ou orientação
Variação em rapidez,
mas não em orientação
Variação em rapidez
e orientação
Variação em orientação,
mas não em rapidez
40 km/h 80 km/h 0 km/h 40 km/h
40 km/h
Tempo � 0, velocidade � 0
Tempo � 1 s, velocidade � 10 m/s
Tempo � 2 s, velocidade � 20 m/s
20
a �
m/s
s10
a � 10 m/s�s
a � 10 m/s2
2 s
VIDEO: Air Resistance and Falling 
Objects
VIDEO: Falling Distance
F I G U R A 3 . 1 1
Análise do movimento.
50 PARTE I � MECÂNICA
Quão rapidamente muda a rapidez
Grande parte da confusão ao se analisar o movimento de objetos em queda provém 
da facilidade em confundir “quão rápido” com “quanto cai”. Quando desejamos es-
pecificar o quão rápido algo está caindo, falamos sobre rapidez ou velocidade, o que 
é expresso como v � gt. Quando desejamos especificar o quanto algo cai, falamos 
sobre distância, o que é expresso como d � 1/2 gt2. Rapidez ou velocidade (quão 
rápido) e distância (quão longe) são inteiramente diferentes uma da outra.
Um conceito mais difícil, provavelmente o mais difícil encontrado neste livro, 
é “quão rapidamente muda a rapidez” – ou seja, a aceleração. O que a torna tão 
complexa é que ela é uma taxa de uma taxa. Frequentemente ela é confundida com 
a velocidade, que, por si só, é uma taxa (a taxa de variação da posição). A aceleração 
não é a velocidade, nem mesmo é uma variação da velocidade. Uma aceleração é a 
taxa com a qual a própria velocidade varia.
Alguns atletas e dançarinos possuem grande habilidade em saltar. Ao pularem diretamente para cima, parecem “man-ter-se no ar”, desafiando a gravidade. Peça a seus colegas 
para estimarem o “tempo de voo“ de alguns grandes saltadores – 
o tempo durante o qual um saltador está no ar com os pés fora do 
chão. Eles poderão dizer 2 ou 3 segundos. Mas, surpreendente-
mente, o tempo de voo dos maiores saltadores é quase sempre 
menor do que 1 segundo! Um tempo aparentemente maior é 
uma das muitas ilusões que temos sobre a natureza.
Uma ilusão relacionada é a altura vertical que um homem 
consegue pular. A maioria de seus colegas de turma provavelmen-
te não consegue saltar mais alto do que 0,5 metro. Eles conse-
guem saltar por cima de uma cerca de 0,5 metro, mas, ao faze-
rem isso, seus corpos se elevarão apenas ligeiramente. A altura da 
barreira é diferente da altura que atinge o “centro de gravidade” 
de um saltador. Muitas pessoas podem saltar por cima de uma 
cerca de 1 metro, mas raramente aparece alguém capaz de ele-
var seu “centro de gravidade” em 1 metro. Mesmo no melhor da 
forma, estrelas do basquete como Michael Jordan e Kobe Bryant 
não conseguiriam elevar seu corpo mais de 1,25 m, embora eles 
pudessem alcançar facilmente uma cesta de altura consideravel-
mente maior do que 3 m.
A habilidade de saltar é melhor medida por meio de um 
salto vertical. Fique perto de uma parede com os pés plantados no 
chão e os braços esticados para cima. Faça uma marca na parede 
no lugar mais alto que sua mão alcança. Em seguida, salte para 
cima e faça uma marca na parede no lugar mais alto que sua mão 
alcançar. A distância entre essas duas marcas mede seu salto verti-
cal. Se ele mede mais de 0,6 metros, você é excepcional.
Aqui está a física. Quando você salta para cima, a força 
do salto é aplicada apenas enquanto seus pés fazem contato com 
o chão. Quanto maior a força, maior será a sua velocidade de 
lançamento e mais alto será o salto. Quando seus pés deixam o 
chão, sua velocidade para cima começa imediatamente a decres-
cer a uma taxa constante de g � 10 m/s2. No topo do salto, ela 
terá se tornado nula. Então você inicia sua queda, tornando-se 
mais rápido exatamente na mesma razão, g. Se você aterrizar 
como decolou, de pé com as pernas estendidas, então o tempo 
de subida será igual ao de descida; e o tempo de voo é a soma 
dos dois. Enquanto está no ar, nenhum impulso de perna ou 
braço ou qualquer outro movimento do corpo pode mudar seu 
tempo de voo.
A relação entre 
o tempo de subida 
ou de descida e a al-
tura vertical atingida 
é dada por
Se conhecemos a 
altura vertical d, po-
demos reescrever esta 
expressão como
O recorde mundial 
de salto vertical dire-
tamente para cima é 
de 1,25 metros6. Va-
mos usar a altura 
1,25 metros de seu salto para d, e usar o valor mais preciso de 
9,8 m/s2 para g. Resolvendo para t, que é a metade do tempo de 
voo, obtemos
Multiplicamos isso por dois (porque este é o tempo de subida, 
que é igual ao de descida) e vemos que o recorde para o tempo 
de voo é 1 segundo (porque o tempo de voo é o tempo gasto na 
jornada de ida e volta).
Estamos falando aqui de movimento vertical. E sobre sal-
tos realizados correndo? No Capítulo 10, veremos que o tempo 
de voo depende apenas da rapidez vertical do saltador no instante 
do lançamento. Enquanto estiver no ar, a rapidez do saltador na 
horizontal permanecerá constante, ao passo que a rapidez vertical 
estará submetida à aceleração. A física é interessante!
TEMPO DE VOO
6 Para um salto realizado correndo, a velocidade de decolagem pode ser 
aumentada, e o tempo de permanência no ar também, quando o pé bate 
no solo, antes do salto. Isso será discutido no Capítulo 10.
CAPÍTULO 3 � MOVIMENTO RETILÍNEO 51
3.6 Vetores velocidade
Enquanto que a rapidez é uma medida de “quão veloz” algo é, a velocidade é uma 
medida de “quão veloz” e de “qual é a orientação”. Se o velocímetro de um carro 
marca 100 quilômetros por hora (km/h), você sabe quanto é sua rapidez. Se existir 
também uma bússola no painel, indicando que o carro se move para o norte, por 
exemplo, você sabe sua velocidade – 100 km/h rumo ao norte. Saber sua velocidade 
é saber sua rapidez e orientação do movimento. Rapidez é uma grandeza escalar, e 
velocidade, uma grandeza vetorial.
Considere um aeroplano que voa para o norte a 80 km/h em relação ao ar cir-
cundante. Suponha que o aeroplano esteja sujeito a um vento de 60 km/h e trans-
versal (vento que sopra em uma direção que forma um ângulo reto com a direção do 
aeroplano), que o afasta do curso pretendido. Este exemplo é representado por meio 
de vetores na Figura 3.12, com os vetores velocidade desenhados em uma escala tal 
que 1 centímetro (cm) equivale a 20 km/h. Dessa forma, a velocidade de 80 km/h 
do aeroplano é representada por um vetor de 4 cm, e a do vento transversal, por um 
vetor de 3 cm. A diagonal do paralelogramo construído (neste caso, um retângulo) 
mede 5 cm, o que equivale a 100 km/h. Assim o aeroplano se move a 100 km/h em 
relação ao solo, em uma direção que forma 37o a leste do norte.
(Escala 1 cm: 20 km/h)
80 km/h 100 km/h
60 km/h
Resultante
F I G U R A 3 . 1 2
O vento transversal de 60 km/h empurra o aeroplano a 80 km/h para fora do curso a 100 km/h.
PAUSA PARA TESTE
Considere um bote a motor que normalmente se desloca a 10 km/h em água pa-
rada. Se a orientação do bote é transversal a um rio, que também flui a 10 km/h, 
qual será a velocidade do bote em relação à margem?
VERIFIQUE SUA RESPOSTA
Quando um bote está orientado transversalmente (formando um ângulo reto com o 
fluxo do rio), sua velocidade é de 14,1 km/h, com uma orientação que forma 45o com 
a correnteza. Do Capítulo 2, lembre-se de que o paralelogramo formado por um par 
de vetores de mesmo comprimento, formando um ângulo reto um com o outro, é um 
quadrado que possui uma diagonal de vezes o comprimento de cada lado (veja a 
Figura 2.9).
Por favor, lembre-se de que levou quase 2.000 anos desde a época de Aristóte-
les para que as pessoas alcançassem uma compreensão clara do movimento, assim, 
seja paciente consigo mesmo se precisar de algumas horas para adquirir uma igual!
SCREENCAST: Velocity Vectors
Um par de vetores com 6 e 8 unidades 
de comprimento que formam um ân-
gulo reto um com o outro, diz: “Nós 
podemos medir um seis e um oito, 
masjuntos formamos um dez exato”.
52 PARTE I � MECÂNICA
T E R M O S - C H A V E ( C O N H E C I M E N T O )
Rapidez Quão rapidamente alguma coisa se move. A distância per-
corrida por unidade de tempo.
Rapidez instantânea A rapidez em cada instante.
Rapidez média A distância total percorrida dividida pelo tempo de 
viagem.
Velocidade A rapidez junto com a direção e o sentido do movimen-
to de um objeto.
Grandeza vetorial Grandeza que possui tanto módulo quanto 
orientação (direção e sentido).
Grandeza escalar Grandeza que pode ser especificada apenas por 
seu valor, sem precisar de uma orientação.
Aceleração A taxa de variação da velocidade com o tempo. A varia-
ção na velocidade pode ser em valor ou em direção e sentido, 
ou em ambos.
Queda livre Movimento sob influência apenas da gravidade.
Q U E S T Õ E S D E R E V I S Ã O ( C O M P R E E N S Ã O )
3.1 O movimento é relativo
 1. Quando você lê isso, quão rapidamente está se movendo em 
relação à cadeira em que está sentado? E em relação ao Sol?
3.2 Rapidez
 2. Para descrever a rapidez, que duas unidades de medida são 
necessárias?
 3. Que tipo de rapidez é registrada pelo velocímetro de um auto-
móvel, a rapidez média ou a rapidez instantânea?
 4. Qual é a rapidez média em quilômetros por hora de um cava-
lo que galopa 15 km em 30 min?
 5. Que distância percorrerá um cavalo se ele galopar por 30 mi-
nutos com rapidez média de 25 km/h?
3.3 Velocidade
 6. Faça a distinção entre rapidez e velocidade.
 7. Se um carro se move com velocidade constante, ele também 
tem rapidez constante?
 8. Se um carro está se movendo a 90 km/h e dobra uma esquina, 
também a 90 km/h, ele mantém uma rapidez constante? Uma 
velocidade constante? Justifique sua resposta.
3.4 Aceleração
 9. Qual é a aceleração de um carro que aumenta sua velocidade 
de 0 para 100 km/h em 10 s?
 10. Qual é a aceleração de um carro que mantém uma velocidade 
constante de 100 km/h por 10 s? (Por que alguns de seus colegas 
de turma que acertaram as questões anteriores erraram esta?)
 11. Quando você está num veículo em movimento, em que situa-
ção tem mais consciência do movimento – quando ele está se 
movendo uniformemente em linha reta ou quando ele está 
acelerando? Se um carro se move com velocidade absoluta-
mente constante (nenhum tipo de sacolejo), você está ciente 
do movimento?
 12. A aceleração é definida de forma geral como a taxa temporal 
de variação da velocidade. Quando ela pode ser definida 
como a taxa temporal de variação da rapidez?
 13. O que Galileu descobriu sobre o valor da rapidez adquirida 
por uma bola a cada segundo de sua descida num plano incli-
nado? O que isso revela sobre a aceleração da bola?
 14. Que relação Galileu descobriu entre a aceleração de uma bola 
e a declividade de um plano inclinado? Que aceleração ocorre 
quando o plano é vertical?
3.5 Queda livre
 15. O que exatamente significa dizer que um objeto “está caindo 
livremente”?
 16. Qual é o aumento por segundo da rapidez para um objeto em 
queda livre?
 17. Qual é a velocidade adquirida por um objeto caindo livre-
mente 5 s após ter sido solto a partir do repouso? Quanto ela 
vale 6 s após?
 18. A aceleração de queda livre é aproximadamente 10 m/s2. Por 
que o segundo aparece duas vezes na unidade?
 19. Quando um objeto é arremessado para cima, em quanto di-
minui a rapidez a cada segundo?
 20. Qual a relação que Galileu descobriu entre o tempo e a dis-
tância percorrida por um objeto acelerado?
 21. Qual é a distância de queda para um objeto em queda livre 
1 s após ser solto a partir do repouso? Qual é esta distância 4 s 
após?
 22. Qual é o efeito da resistência do ar sobre a aceleração de ob-
jetos em queda?
 23. Considere estas medidas: 10 m, 10 m/s e 10 m/s2. Qual delas 
é a medida de distância, de rapidez e de aceleração?
3.6 Vetores velocidade
 24. Qual é a rapidez em relação ao solo de um aeroplano que voa 
a 100 km/h em relação ao ar numa direção que forma um 
ângulo reto com o vento?
CAPÍTULO 3 � MOVIMENTO RETILÍNEO 53
P E N S E E FA Ç A ( A P L I C A Ç Ã O )
 25. A vovó está interessada em sua formação educacional. Escreva 
uma carta para ela, sem usar equações, explicando-lhe a dife-
rença entre velocidade e aceleração.
 26. Experimente isso com seus 
colegas: segure uma cédula de 
dinheiro de modo que o ponto 
médio dela esteja posicionado 
entre os dedos de um colega, e 
o desafie a pegá-la fechando os 
dedos quando você soltá-la. Ele 
não será capaz de pegá-la! Ex-
plicação: a partir de d � ½ gt2, 
a cédula cairá uma distância de 
8 centímetros (cerca da metade 
do comprimento da cédula) em 
um tempo de 1/8 de segundo, 
porém o tempo requerido para 
os impulsos necessários irem 
dos olhos até os dedos de seu 
colega é de pelo menos 1/7 de segundo.
 27. Você pode comparar seu tempo de reação com o de seu colega 
agarrando uma régua solta entre seus de-
dos. Peça a um colega para segurar a ré-
gua como indicado e feche seus dedos 
logo que enxergar a régua ser solta. O 
número de centímetros que passa através 
de seus dedos depende de seu tempo de 
reação. Você pode expressar o resultado 
em frações de um segundo rearranjando 
a equação d � ½ gt2. Isolando o tempo, 
ela torna-se t � d/g � 0,045 
onde d está em centímetros.
 28. Fique em pé próximo a uma parede 
com os pés plantados no chão e faça 
uma marca no ponto mais alto da pa-
rede que você consegue alcançar. Então salte verticalmente 
e marque seu ponto mais alto atingido. A distância entre as 
marcas é a sua distância de salto vertical. Use-a para calcular 
seu tempo de voo.
P E G U E E U S E ( F A M I L I A R I Z A Ç Ã O C O M E Q U A Ç Õ E S )
Essas atividades são do tipo “substitua os dados” e têm como objetivo 
familiarizá-lo com as equações deste capítulo. Trata-se principalmente de 
substituições de uma etapa, menos desafiadoras do que as do tipo Pense 
e Resolva.
 29. Mostre que a rapidez média de um coelho que corre uma dis-
tância de 30 m em um tempo de 2 s é de 15 m/s.
 30. Calcule a rapidez que você atinge ao caminhar 1 metro a cada 
0,5 segundo.
 31. Calcule a aceleração de um carro (em km/h.s) capaz de partir 
do repouso e atingir 100 km/h em 10 s.
 32. Mostre que, quando um hamster aumenta sua velocidade, des-
de o repouso, até 10 m/s, em 2 s, sua aceleração é de 5 m/s2.
Distância � rapidez média � tempo
 33. Mostre que o hamster da questão anterior percorre uma dis-
tância de 22,5 m em 3s.
 34. Mostre que uma pedra percorre uma distância de 45 m quan-
do, partindo do repouso, cai em queda livre durante 3 s.
P E N S E E R E S O LVA ( A P L I C A Ç Ã O M AT E M ÁT I C A )
 35. Uma bola é arremessada diretamente para cima com uma 
rapidez inicial de 30 m/s. Quão alto ela subirá e por quanto 
tempo ficará no ar (desprezando a resistência do ar)?
 36. Uma bola é arremessada diretamente para cima com tamanha 
rapidez que fica no ar por vários segundos. (a) Qual é a velo-
cidade da bola quando ela chega a seu ponto mais alto? (b) 
Qual é a sua velocidade 1 s antes de alcançar este ponto? (c) 
Qual é a variação de sua velocidade durante este intervalo de 
1 segundo? (d) Qual é a sua velocidade 1 s depois de alcançar 
seu ponto mais alto? (e) Qual é a variação de sua velocidade 
durante este intervalo de 1 s? (f ) Qual é a variação de sua 
velocidade durante o intervalo de 2 s? (Cuidado!) (g) Qual é a 
aceleração da bola durante qualquer desses intervalos de tem-
po e no momento em que a bola tem velocidade nula?
 37. Qual é a velocidade instantânea de um objeto em queda 
livre 10 s após ele ter sido liberado de uma posição de re-
pouso? Qual é sua velocidade média durante este intervalo 
de 10 s? Quanto ele cairá durante este intervalo de tempo?
 38. Um carro leva 10 s para ir de v � 0 para v � 30 m/s com ace-
leração aproximadamente constante. Se você quer encontrar a 
distância percorrida usando a equação d � 1/2 at2, qual valor 
deveria usar para a?
 39. É surpreendente, mas poucos atletas podem saltar mais do que 
0,6 m diretamentepara cima. Use d � 1/2 gt2 e encontre o tem-
po gasto por alguém durante um salto vertical de 0,6 m. Multi-
plique por dois e ache o “tempo de voo” – o intervalo de tempo 
durante o qual os pés do saltador permanecem fora do chão.
 40. Um dardo sai do cano de uma espingarda de brinquedo com 
uma rapidez v. O comprimento do cano da arma é L. Considere 
que a aceleração do dardo dentro do cano seja uniforme.
 a. Mostre que o dardo se move no interior do cano durante 
um tempo igual a 2L/v.
 b. Se a rapidez de saída do dardo for de 15,0 m/s e o 
comprimento do cano for igual a 1,4 m, mostre que o 
tempo durante o qual o dardo se move dentro do cano é 
de 0,19 s.
54 PARTE I � MECÂNICA
P E N S E E O R D E N E ( A N Á L I S E )
 41. Jake corre lentamente sobre uma vagonete ferroviária que se 
desloca com as velocidades indicadas nas figuras A-D. Ordene 
a velocidade de Jake, em relação a um observador estacionário 
no solo, da maior para a menor. (Considere o sentido para a 
direita como positivo.)
A
4 m/s 6 m/s
4 m/s 6 m/s
B
C
6 m/s 18 m/s
8 m/s 10 m/s
D
 42. Um canalete é feito com um pedaço de ferro dobrado como 
mostrado na figura. Uma bola solta da extremidade esquerda 
do canalete passa pelos pontos indicados. Ordene em sentido 
decrescente a rapidez da bola nos pontos A, B, C e D. (Aten-
ção para os empates.)
A
B
C
D
 43. Uma bola é solta da extremidade esquerda destes diferentes 
trilhos. Eles foram confeccionados a partir de pedaços de ca-
naletes de ferro de mesmo comprimento.
A
B
C
 a. Da mais rápida para a mais lenta, ordene a rapidez da bola 
ao chegar à extremidade direita do trilho.
 b. Ordene os trilhos quanto ao tempo decorrido para a bola 
chegar à extremidade direita, do maior para o menor.
 c. Ordene os trilhos quanto à rapidez média da bola, da 
maior para a menor. Ou será que todas as bolas possuem a 
mesma rapidez média sobre os três trilhos?
 44. Três bolas de massas diferentes são arremessadas diretamente 
para cima com os valores de velocidade indicados na figura.
1,0 kg
10 m/s
15 m/s
3 m/s
1,5 kg 0,8 kg
A B C
 a. Ordene os módulos das velocidades das bolas 1 s após terem 
sido lançadas, do maior para o menor valor absoluto.
 b. Ordene os módulos das acelerações das bolas 1 s após te-
rem sido lançadas, do maior para o menor valor absoluto. 
(Ou será que seus módulos são iguais?)
 45. Aqui temos uma vista superior de um aeroplano sendo tirado 
do curso por ventos que sopram com três orientações diferen-
tes. Use um lápis e a regra do paralelogramo para esboçar os 
vetores que representam as velocidades em cada caso. Ordene, 
em ordem decrescente, os módulos das velocidades do aero-
plano em relação ao solo.
A Bvento
ven
to
ventoC
 46. Aqui temos uma vista superior de três botes a motor que 
atravessam um rio. Todos desenvolvem a mesma rapidez em 
relação à água, e todos estão sujeitos ao mesmo fluxo do rio. 
Construa os vetores resultante que representem a rapidez e a 
orientação de cada bote. Ordene os módulos das velocidades 
em ordem decrescente no caso
 a. em que os botes levem o mesmo tempo para chegar à 
margem oposta.
 b. em que a travessia é feita no menor tempo possível.
A
B
C
CAPÍTULO 3 � MOVIMENTO RETILÍNEO 55
P E N S E E E X P L I Q U E ( S Í N T E S E )
 47. Na atividade do tipo Pense e Faça do Exercício 27, Mo mede 
seu tempo de reação e obtém um valor de 0,18 s. Jo mede seu 
tempo de reação e obtém 0,20 s. Quem tem o melhor tempo 
de reação? Explique.
 48. Jo, que tem um tempo de reação de 0,20 s, pedala em sua bici-
cleta com uma rapidez de 6,0 m/s. Ela se depara com uma si-
tuação de emergência e “imediatamente” aperta os freios. Que 
distância Jo percorrerá antes de realmente acionar os freios?
 49. Qual é a rapidez no impacto de um carro movendo-se a 100 
km/h que bate na traseira de outro carro viajando no mesmo 
sentido a 98 km/h?
 50. Suzie Surefoot pode remar em uma canoa em água parada a 
8 km/h. Que sucesso ela terá ao tentar subir um rio que flui 
a 8 km/h?
 51. É melhor para a aceleração basear-se na rapidez média ou na 
rapidez instantânea? Explique.
 52. Um avião dirige-se para o norte a 300 km/h, enquanto outro 
dirige-se para o sul, também a 300 km/h. A rapidez dos dois é 
a mesma? Suas velocidades são as mesmas? Explique.
 53. A luz viaja em linha reta com rapidez constante de 300.000 
km/s. Qual é a aceleração da luz?
 54. Você se encontra em um carro que se desloca com a rapidez 
limite especificada para a estrada. Você vê outro carro que 
se desloca com a mesma rapidez, mas em sentido contrário. 
Quanto vale a rapidez com a qual este carro se aproxima de 
você, comparada à rapidez limite?
 55. Numa rodovia, você está dirigindo em direção ao norte. 
Então, sem alterar a rapidez, você faz uma curva e passa a se 
dirigir para o leste. (a) Sua velocidade varia? (b) Você acelera? 
Explique.
 56. Jacob afirma que a aceleração é quão rápido você vai. Emily 
afirma que a aceleração é quão rápido você consegue rapi-
dez. Eles olham para você pedindo confirmação. Quem está 
correto?
 57. Partindo do repouso, um carro acelera até uma rapidez de 50 
km/h enquanto outro carro acelera até 60 km/h. Você pode-
ria decidir qual carro foi submetido a uma aceleração maior? 
Por que?
 58. Qual é a aceleração de um carro que se move com velocidade 
uniforme de 100 km/h durante 100 segundos? Explique sua 
resposta.
 59. Qual é maior, uma aceleração de 25 km/h para 30 km/h ou 
uma de 96 km/h para 100 km/h, se ambas ocorrem durante o 
mesmo tempo?
 60. Galileu realizou experimentos com bolas rolando sobre planos 
inclinados com ângulos que variavam desde 0° até 90°. Qual 
é o intervalo das acelerações correspondentes a esta faixa de 
valores de ângulos?
 61. Suponha que um objeto caindo em queda livre fosse equipado 
com um velocímetro. Quanto aumentariam as leituras de sua 
rapidez a cada segundo de queda?
 62. Suponha que o objeto em queda livre do exemplo anterior 
seja também equipado com um hodômetro. As leituras da dis-
tância de queda a cada segundo indicam distâncias de queda 
iguais ou diferentes para sucessivos segundos?
 63. Para um objeto em queda livre partindo do repouso, qual é a 
aceleração ao final do quinto segundo de queda? E ao final do 
décimo segundo? Justifique suas respostas.
 64. Se a resistência do ar pode ser desprezada, como se comparam 
as acelerações de uma bola que foi atirada para cima com sua 
aceleração quando ela é simplesmente solta?
 65. Quando um jogador arremessa uma bola diretamente para 
cima, como decresce a rapidez da bola a cada segundo de 
sua subida? Na ausência de resistência do ar, em quanto ela 
aumenta a cada segundo de sua descida? Quanto tempo leva a 
subida comparada com a descida?
 66. Alguém de pé junto à beira de um penhasco (como da Figura 
3.8) atira uma bola verticalmente para cima com uma certa 
rapidez, e outra bola verticalmente para baixo com a mesma 
rapidez inicial. Se a resistência do ar for desprezível, que bola 
terá maior rapidez ao atingir o chão?
 67. Responda à questão anterior para o caso em que a resistência 
do ar não é desprezível – em que a resistência aerodinâmica 
afeta o movimento.
 68. Enquanto as bolas descem um plano inclinado rolando, Gali-
leu observa que a bola rola um cúbito* (a distância do cotove-
lo até a ponta dos dedos) enquanto ele conta até 10. Quão 
longe a bola terá rolado a partir de seu ponto inicial quando 
ele tiver contado até 20?
 69. Considere um projétil lançado verticalmente para cima quan-
do a força de resistência aerodinâmica for desprezível. Quan-
do a aceleração da gravidade é maior: na subida, no topo ou 
na descida? Justifique sua resposta.
 70. Estenda as Tabelas 3.2 e 3.3 para incluir tempos de queda en-
tre 6 e 10 segundos, supondo que não exista resistência do ar.
 71. Se não fosse pela resistência do ar, por que seria perigoso sair 
para o descampado em dias chuvosos?
 72. Quando aumenta a rapidez de um objeto em queda livre, sua 
aceleração também aumenta?
 73.Uma bola arremessada para cima retornará ao ponto de par-
tida com a mesma rapidez do início se a resistência do ar for 
desprezível. Quando ela não for desprezível, como a rapidez 
de retorno se comparará com a rapidez inicial?
 74. O tempo de voo de uma certa pessoa seria sensivelmente 
maior na Lua. Por quê?
 75. Por que o filamento de água que sai de uma torneira fica mais 
afilado enquanto cai?
 76. Caindo verticalmente, a chuva deixa linhas inclinadas sobre o 
vidro da janela lateral de um automóvel em movimento. Se as 
linhas formam um ângulo de 45o, como se compara a veloci-
dade do carro com a das gotas de chuva?
 77. Elabore uma questão de múltipla escolha que avalie a com-
preensão da diferença entre rapidez e velocidade.
 78. Elabore duas questões de múltipla escolha para testar a com-
preensão dos colegas de turma a respeito da distinção que 
existe entre velocidade e aceleração.
* N. de T.: Antiga unidade de comprimento equivalente a cerca de 50 cm.
56 PARTE I � MECÂNICA
P E N S E E D I S C U TA ( A V A L I A Ç Ã O )
 79. Um automóvel com velocidade apontando para o norte pode 
simultaneamente ter uma aceleração apontando para o sul? 
Explique.
 80. Um objeto pode inverter seu sentido de movimento manten-
do uma aceleração constante? Se sim, dê um exemplo disto. 
Se não, explique por quê.
 81. Para um movimento retilíneo, como o velocímetro de um 
carro indica se existe aceleração ou não?
 82. Corrija seu amigo que afirma: “o carro de corrida fez a curva 
com uma velocidade constante de 100 km/h”.
 83. Cite um exemplo de algo que se mova com uma rapidez cons-
tante e que também possua uma velocidade variável. Você 
poderia citar um exemplo de algo que se move com uma ve-
locidade constante, mas com uma rapidez variável? Justifique 
suas respostas.
 84. Cite um instante em que sua rapidez poderia ser nula enquan-
to sua aceleração não é nula.
 85. Cite um exemplo de algo que está acelerado enquanto se 
move com rapidez constante. Você poderia também dar um 
exemplo de algo que acelera enquanto está se movendo com 
velocidade constante? Explique.
 86. (a) Um objeto pode estar se movendo quando sua aceleração é 
nula? Se sim, dê um exemplo. (b) Um objeto pode estar acele-
rando quando sua rapidez é nula? Se sim, dê um exemplo.
 87. Você pode citar um exemplo em que a aceleração de um cor-
po tem o sentido oposto ao de sua velocidade? Se sim, qual é 
o exemplo?
 88. Sobre qual dessas rampas a bola rola descendo com rapidez 
crescente e aceleração decrescente? (Use este exemplo se deseja 
explicar para alguém a diferença entre rapidez e aceleração.)
 89. Suponha que as três bolas mostradas no exercício anterior par-
tem simultaneamente do repouso do topo das rampas. Qual 
delas chegará primeiro à base? Explique.
 90. Seja meticuloso e corrija seu colega que diz que “em queda 
livre, a resistência do ar é mais efetiva em frear uma pena que 
uma moeda”.
 91. Se você solta um objeto, ele acelera para baixo a 10 m/s2. Se, 
em vez disso, você o atirar para baixo, sua aceleração subse-
quente seria maior do que 10 m/s2? Justifique sua resposta, 
seja ela positiva ou negativa.
 92. No exercício anterior, você pode pensar numa razão pela qual 
a aceleração do objeto atirado para baixo no ar possa ser sensi-
velmente menor do que 10 m/s2?
 93. Um colega afirma que, se um carro estiver se movendo para 
leste, ele não poderá simultaneamente acelerar para oeste. O 
que você responderia?
 94. Madison atira uma bola diretamente para cima. Anthony 
deixa cair uma bola. Seu colega afirma que ambas as bolas 
possuem a mesma aceleração. Qual é sua resposta?
 95. Duas bolas são liberadas simultaneamente a partir do repou-
so, da extremidade esquerda dos trilhos A e B, de mesmo 
comprimento, mostrados na figura. Qual bola alcança primei-
ro o final de seu trilho?
A
B
 96. Referente ao par de trilhos acima: (a) Para qual deles a rapidez 
média é maior? (b) Por que os valores de rapidez das bolas no 
final dos trilhos são iguais?
 97. Um barco a remo se move com uma rapidez de 3 m/s e apon-
ta exatamente na direção transversal a um rio. Convença seu 
colega de classe de que, se o rio fluir a 4 m/s, a rapidez do 
barco com relação à margem do rio será de 5 m/s.
 98. Se gotas de chuva caem verticalmente a 3 m/s, e você estiver 
correndo horizontalmente a 4 m/s, convença seus colegas de 
classe de que as gotas atingirão sua face com uma velocidade 
de 5 m/s.
 99. Um aeroplano com uma velocidade em relação ao ar de 120 
km/h depara-se com um vento transversal de 90 km/h. Con-
vença seus colegas de classe de que a velocidade do aeroplano 
com relação ao solo é de 150 km/h.
 100. Neste capítulo, estudamos casos idealizados de bolas que 
rolavam para baixo de planos inclinados lisos e de objetos que 
caíam sem resistência do ar. Suponha que um colega de turma 
se queixe de que toda a atenção dispensada a casos idealiza-
dos é sem valor, pois esses casos simplesmente não ocorrem 
no mundo cotidiano. Como você responderia a essa queixa? 
Como você imagina que o autor deste livro responderia?
Lembre-se de que as Questões de Revisão 
lhe proporcionam uma autoavaliação das 
ideias centrais deste capítulo. Questões do 
tipo Pegue e Use e Pense e Resolva focam a 
natureza matemática do material do capítulo. 
Você pode empregar seu pensamento crítico 
em Pense e Ordene. Exercícios do tipo Pense e 
Explique e Pense e Discuta 
complementam o conteúdo abordado 
no material do capítulo.