Álgebra e geometria dos números complexos

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Álgebra e geometria dos números 
complexos
APRESENTAÇÃO
O advento da unidade imaginária i possibilitou, não só a representação algébrica de um 
número complexo, mas também a representação de raízes negativas de uma forma 
geométrica. A partir desse momento, mais aplicações para os números complexos surgiram. Foi 
possível que polinômios de raízes não reais fossem representados no plano cartesiano. A 
álgebra moderna também incorporou os números complexos para representar vetores e inúmeras 
outras utilizações surgiram para os números complexos.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você irá estudar as características algébricas e geométricas de 
um número complexo, além de aprofundar os seus conhecimentos sobre as operações com os 
números complexos e suas representações geométricas.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Identificar a álgebra dos números complexos.•
Efetuar as operações algébricas dos números complexos.•
Definir a geometria dos números complexos.•
DESAFIO
Os números complexos podem se apresentar em diferentes formas, a exemplo, uma forma 
algébrica e uma forma trigonométrica.
A representação de um número complexo pode ser dada de uma forma gráfica no plano de 
Argand-Gauss. Essa representação é muito útil para outros campos da matemática, como a 
álgebra vetorial.
Como você responde a este questionamento? Considerando um instante 
t0
, onde podemos desprezar suas órbitas e considerá-los em um mesmo plano de estudo, sem 
movimento. Determine o complexo T11/(i.M5) na sua forma algébrica, com base na figura a 
seguir, onde T e M são as representações da Terra e de Marte, respectivamente.
INFOGRÁFICO
Você deve conhecer bem os números complexos, para isso, confira o Infográfico a seguir:
CONTEÚDO DO LIVRO
Os números complexos têm representação geométrica no plano, trata-se do chamado Plano de 
Argand-Gauss. Ou seja, o Plano de Argand-Gauss é um plano cartesiano usado para representar 
números complexos geometricamente.
Dois eixos ordenados, centrados e perpendiculares na origem (0,0) definem o plano cartesiano. 
De forma semelhante definiremos um plano para representar os números complexos. Para todos 
os fins é similar ao plano cartesiano, porém o eixo x será chamado de eixo real (Re) e irá 
representar a coordenada real de um número complexo; e o eixo y será chamado de eixo 
imaginário (Im), representando a coordenada imaginária de um número complexo.
No livro Variáveis Complexas, leia o capítulo Álgebra e geometria dos números complexos, e 
aprofunde os seus conhecimentos sobre os conceitos envolvidos, estudando os exemplos 
trazidos na obra, para que assim você possa compreender como fazer cálculos utilizando o Plano 
de Argand-Gauss. Boa leitura. 
VARIÁVEIS
COMPLEXAS
Tiago Loyo Silveira
 
Álgebra e geometria dos 
números complexos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Identificar a álgebra dos números complexos.
  Efetuar as operações algébricas dos números complexos.
  Definir a geometria dos números complexos.
Introdução
O advento da unidade imaginária i possibilitou não apenas a representação 
algébrica de um número complexo, mas também a representação de 
raízes negativas de uma forma geométrica. Com isso, mais aplicações 
para os números complexos surgiram. Foi possível, por exemplo, que 
polinômios de raízes não reais fossem representados no plano cartesiano. 
A álgebra moderna também incorporou os números complexos para 
representar vetores.
Neste capítulo, você verá mais sobre as características algébricas e 
geométricas de um número complexo. Avançaremos em nossos estudos 
pelas operações com os números complexos e as suas representações 
geométricas.
Álgebra dos números complexos
Sejam m e n números reais, podemos escrever m e n na forma de pares orde-
nados (m, 0) e (n, 0). Observe que as operações abaixo entre os números reais 
m e n são fechadas, ou seja, conservam o resultado no conjunto dos reais.
Igualdade:
(m, 0) = (n, 0) se, e somente se, m = n
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Adição:
(m, 0) + (n, 0) + (m + n, 0 + 0) = (m + n, 0)
Multiplicação:
(m, 0).(n, 0) = (m.n – 0.0, m.0 + 0.n) = (m.n, 0)
Nas operações descritas acima, todas as coordenadas y nos pares ordenados 
são iguais a zero. Portanto, os números (m, 0) e (n, 0) podem ser representados 
no eixo das abscissas, que é a reta real, ou seja, os números (m, 0) e (n, 0) 
podem ser escritos simplesmente como m e n, respectivamente.
No entanto, se um par ordenado possui coordenada y ≠ 0, não pode ser 
representado no eixo das abscissas. Portanto, na forma algébrica a + bi, onde 
o coeficiente a representa a parte real, b a parte imaginária e i a unidade 
imaginária, com b ≠ 0, esse número será um complexo.
Operações com números complexos
Potências da unidade imaginária
A defi nição do comportamento das potências de i comtempla as potências 
dos complexos z = a + bi, uma vez que temos uma potência de um binômio, 
no que se segue. Observe:
, já que todo número elevado a zero é igual a 1;
, já que todo número elevado a 1 é igual a si mesmo;
, já que por definição, ;
;
;
;
;
;
.
[...]
Sendo , de um modo geral, temos:
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Ou seja, as potências , sendo , são obtidas por meio dos restos da 
divisão por 4, sendo possível apenas os resultados 1, i, -1, -i. Veja o exemplo 
abaixo.
Qual é o resultado de ?
Solução:
Adição e subtração
Sejam os números complexos e . A adição e sub-
tração são feitas entre as partes reais e as partes imaginárias separadamente. 
Dessa forma, temos:
Multiplicação
Sejam os números complexos e . O produto entre 
números complexos atende a defi nição de produto entre pares ordenados. 
Dessa forma, temos:
Outra maneira de realizar o produto é utilizando a propriedade distributiva 
e as propriedades de potência da unidade imaginária. Assim, temos:
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Acompanhe o exemplo abaixo.
(4 – i).(3 + i) = (4.3 – (– 1).1) + (4.1 + (–1).3)i = (12 + 1) + (4 – 3)i = 13 + i
Divisão
Para defi nir a divisão dos complexos, antes precisamos defi nir o conjugado de 
um número complexo. Seja um número complexo. Dizemos que 
a − bi é o conjugado de . Representamos com . Os conjugados possuem 
as propriedades a seguir.
O conjugado da soma é igual à soma dos conjugados:
O conjugado do produto é igual ao produto dos conjugados:
O produto de um número complexo pelo seu conjugado é um número real 
não negativo.
, 
que é um número real positivo.
O produto de um número complexo pelo seu conjugado é denominado 
norma de um número complexo. Portanto, dizemos que um número complexo 
z = a + bi foi normalizado, se ele foi escrito na forma:
.
Sejam dois números complexos e , sendo . Obter o quociente 
da divisão de por significa encontrar um número complexo , tal que 
. Dessa forma, escrevendo na sua forma algébrica, temos:
Veja o exemplo abaixo.
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Da igualdade de complexos, temos que:
Portanto, e .
Uma outra maneira de realizar a divisão de complexos e , sem precisar 
do uso de sistemas, é multiplicar e pelo conjugado de . Considere 
o exemplo abaixo.
Geometria dos números complexos
Dois eixos ordenados, centrados e perpendiculares na origem (0,0) defi nem o 
plano cartesiano. De forma semelhante, defi niremos um plano para representar 
os números complexos. Para todos os fi ns, é similar ao plano cartesiano, mas 
o eixo x será chamado de eixo real (Re) e vai representar a coordenada real 
de um número complexo, e o eixo y será chamado de eixo imaginário (Im), 
representando a coordenada imaginária de um número complexo.
O plano de representação dos números complexos é chamadode plano de 
Argand-Gauss. Dessa forma, cada número complexo z = a + bi representa um 
ponto P nesse plano. O plano de Argand-Gauss, ou plano complexo, também é 
muito utilizado para representar vetores bidimensionais. O ponto P é chamado 
de afixo do número complexo z.
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Figura 1. Plano de Argand-Gauss.
Módulo de um número complexo
A distância de um ponto P até a origem do plano é denominada módulo de um 
número complexo. Representamos por ou pela letra grega (rô).
Sendo , o módulo de um número complexo é dado por:
Figura 2. Módulo de um número complexo.
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O módulo do número complexo z = 5 +12i será:
Figura 3. Módulo de um número complexo.
Argumento de um número complexo
Sendo o módulo de um número complexo a distância entre a origem e um 
ponto P, então, se as coordenadas de P variam de forma que seja constante, 
então teríamos uma circunferência centrada na origem. Dessa forma, um 
número complexo pode ser representado ou parametrizado de acordo com 
o ângulo formado entre e o eixo real. Essa abertura recebe o nome de 
argumento de um número complexo, indicada por arg (z), com medida no 
intervalo . O argumento terá sentido anti-horário com o seu 
sentido positivo.
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Figura 4. Argumento de um número complexo.
Portanto, as coordenadas de um número complexo podem ser dadas em 
função do arco .
Qual é o argumento do número complexo z = −1 + i?
Solução:
Temos que 
Dessa forma, o arco com e é o arco de 135º ou .
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Forma trigonométrica de um número complexo
Como consequência do que vimos até aqui, os números complexos podem ser 
apresentados, além da sua forma algébrica, em uma forma trigonométrica. 
Das razões trigonométricas abaixo, temos que:
Aplicando as relações obtidas vindas do plano de Argand-Gauss na forma 
algébrica z = a + bi, obtemos:
, com 
A forma trigonométrica, também chamada de polar, possui aplicações 
diversas, além de facilitar os cálculos de potências de números complexos.
Figura 5. Representação de uma circunferência de 
raio |z|.
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Potenciação de um número complexo
Apesar de ser uma operação com número complexo, deixamos para descrevê-
-la somente agora, pois a forma trigonométrica nos facilitará sobremaneira 
nesse processo.
Para elevar um número complexo z ≠ 0 a um expoente , escrevemos 
z na sua forma trigonométrica. Elevamos o módulo ao expoente n, e os 
argumentos serão multiplicados por n. Dessa forma, temos:
Essa fórmula é denominada 1ª Lei de De Moivre, em homenagem ao 
matemático francês Abraham de Moivre. Se z = 0, então, qualquer que seja 
n, teremos .
Moivre formulou ainda, fórmulas para o produto, quociente e para raízes, todas utili-
zando sua forma polar (MAPLI, 2018; FÓRMULA, 2017):
https://goo.gl/BB4aXi
https://goo.gl/zpq7ui
Veja mais sobre o plano complexo e as suas peculiaridades (PLANO, 2016):
https://goo.gl/nFThNv
Assista a uma aula sobre produto de números complexos (O MATEMÁTICO, 2014):
https://goo.gl/pMoN5g
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1. Para que (6 – 3i).(k + 6i) seja um 
número real, o valor de k deverá ser:
a) k = 0.
b) k= -12.
c) k= 12.
d) k = 18.
e) k = -18.
2. Sendo i a unidade imaginária 
do conjunto dos números 
complexos, o valor da expressão 
 é:
a) 1024i.
b) 0.
c) -512i.
d) 512i.
e) -1024i.
3. Observe o plano de Argand-Gauss 
representado abaixo, onde A é afixo 
do número complexo z = a + bi. 
Qual é a diferença entre z e ?
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
4. Sendo , unidade 
imaginária do conjunto dos 
números complexos, qual o valor 
da expressão ?
a) 2i.
b) i.
c) –2i.
d) –i.
e) 0.
5. Qual o argumento do número 
complexo ?
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
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FÓRMULA DE DE MOIVRE. Wikipédia, Flórida, 2017. Disponível em: <https://pt.wikipedia.
org/wiki/F%C3%B3rmula_de_De_Moivre>. Acesso em: 21 fev. 2018. 
MAPLI. Fórmulas de De Moivre. Matika, Jundiaí, 2018. Disponível em: <http://www.
matika.com.br/numeros-complexos/formulas-de-de-moivre>. Acesso em: 21 fev. 2018.
O MATEMÁTICO. Grings - Aula 5 - Produto de Números Complexos. YouTube, 2014. 
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=ilNv7lVXpAY>. Acesso em: 21 
fev. 2018.
PLANO COMPLEXO. Wikipédia, Flórida, 2016. Disponível em: <https://pt.wikipedia.
org/wiki/Plano_complexo>. Acesso em: 21 fev. 2018.
Leituras recomendadas
BARRETO FILHO, B.; SILVA, C. X. Matemática aula por aula: volume único. São Paulo: 
FTD, 2005.
IEZZI, G. et al. Matemática: volume único. 6. ed. São Paulo: Atual, 2015. 
RIGONATTO, M. Plano de Argand-Gauss. Brasil Escola, Goiânia, 2018. Disponível em: 
<http://brasilescola.uol.com.br/matematica/plano-argand-gauss.htm>. Acesso em: 
21 fev. 2018.
Álgebra e geometria dos números complexos12
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Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
Conteúdo:
DICA DO PROFESSOR
Veja nesta Dica do Professor, o processo de transformação para a forma trigonométrica.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
EXERCÍCIOS
1) Para que (6−3i).(k+6i) seja um número real, o valor de k deverá ser: 
A) k = 0
B) k = - 12
C) k = 12 
D) k = 18 
E) k = - 18 
2) Sendo i a unidade imaginária do conjunto dos números complexos, o valor da 
expressão (2i + 2)6 - (2 - 2i)6 é: 
A) 1024i 
B) 0 
C) - 512i 
D) 512i 
E) - 1024i
3) Observe o plano de Argand-Gauss representado abaixo, onde A é afixo do número 
complexo z = a + bi. Qual a diferença entre ?
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
4) Sendo , unidade imaginária do conjunto dos números complexos, qual o 
valor da expressão ?
A) 2i 
B) i 
C) - 2i 
D) - i 
E) 0 
5) Qual o argumento do número complexo ?
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
NA PRÁTICA
Dentre as aplicações dos números complexos, vamos abordar aqui uma de suas aplicações 
geométricas.
Nas ciências que lidam com eletricidade, os números complexos são representados no Plano 
de Gauss como vetores, mas aqui iremos considerar somente os módulos e sua representação 
com argumentos.
Inicialmente veremos algumas definições: 
SAIBA +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Fórmulas de De Moivre
Confira no site Matika, algumas Fórmulas de De Moivre para o produto, o quociente e as raízes, 
todas utilizando sua forma polar.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Potenciação de números complexos
Este vídeo aborda o trabalho com a primeira fórmula de Moivre. Assista e veja como é mostrada 
a potenciação de números complexos em sua forma trigonométrica.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Plano complexo
Saiba mais sobre o plano complexo e suas peculiaridades lendo textos encontrados na Internet, 
como este aqui da Wikipedia.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Raizes Reais e Complexas
Acompanhe o vídeo onde é explorado as funções de segundo grau encontrando as raízes reais e 
complexas
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!