lista0 - Números Complexos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPT. DE ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO E AUTOMAÇÃO
Lista de Exerćıcios – Revisão de Números Complexos
DISCIPLINA: Análise de Sinais e Sistemas – DCA0103
PROFESSOR: Francisco Mota
Problema 1 Responda às questões abaixo:
(a) Plote no plano complexo os seguintes números complexos:
z1 = 2 + j3, z2 = −1 + j3, z3 = 4− j, z4 = 1− j, z5 = −1− j. z6 = 2, z7 = 3j
(b) Plote o complexo conjugado z̄ para cada um dos números complexos apresentados no item (a)
Obs.: O complexo conjugado de z = a+ jb é z̄ = a− jb. Verifique que z × z̄ = |z|2, onde “|z|”é o módulo de z
(c) Obtenha o módulo e fase (em graus e radianos) dos números complexos apresentados no item (a).
(d) Escreva cada número complexo no formato (polar ou exponencial) zi = re
jθ onde “r” é seu módulo e “θ” é sua
fase em radianos.
(e) Realize as seguintes operações com os números no formato (retangular) apresentados no item (a):
z1 + z2, z1 − z3, z2 × z5, z2/z4, z6/z7
Apresente os resultados no formato retangular, i.e., como “a+ jb”
(f) Realize as seguintes operações com os números no formato (exponencial) obtido no item (d):
z1 × z2 × z3, (z2)5, (z1 × z2)/(z3 × z4), (z5)10
Apresente os resultados no formato exponencial, i.e., como “rejθ”
Problema 2 Responda às questões abaixo:
(a) Plote no plano complexo os seguintes números complexos:
z1 = 4e
jπ/12, z2 = 7e
−jπ/6, z3 = 9e
j0, z4 = 6e
jπ, z5 = 8e
jπ/4, z6 = 3e
jπ/2, z7 = e
(π/4+jπ/4)
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(b) Plote o conjugado z̄ para cada um dos números complexos do item (a)
Obs.: verifique que se z = rejθ então z̄ = re−jθ.
(c) Reescreva cada número complexo do item (a) no formato retangular zi = ai + jbi
(d) Obtenha o resultado das seguintes operações:
z1 × z2, z1 + z2, z4/z2, z4/z3, z3 + z6
Problema 3 Obtenha o valor das expressões abaixo para G(s) substituindo o valor s = 1 + j2:
G(s) = s+ 2, G(s) = s2 + 5, G(s) =
2s+ 3
s− 1
, G(s) =
s2 − 2
s3
Obs.: Escreva o resultado no formato “a+ jb”.
Problema 4 Plote os gráficos (módulo e fase) para as seguintes funções exponenciais complexas f : R→ C mostradas
abaixo:
f(t) = ejt, g(t) = 2ejt, h(t) = ej2t
Obs.: Considere a fase de como sendo um número entre “−π”e “π”radianos.
Problema 5 Seja uma equação polinomial de ordem n ≥ 2 com coeficientes reais
xn + an−1x
n−1 + an−2x
n−2 + · · · a2x2 + a1x+ a0 = 0, ai ∈ R, com ak 6= 0 para algum k
(a) Mostre que se o número complexo “z”for uma raiz da equação então seu complexo conjugado “z̄”também será
Obs.: Verifique (e entenda!) que (z̄)n = zn e z̄1 + z̄2 = z1 + z2.
(b) Considere a equação abaixo de ordem 3
x3 + j = 0, com j2 = −1
verifique que z = j é uma raiz dessa equação enquanto seu conjugado z̄ = −j não é raiz. Você teria uma
justificativa do porquê o complexo conjugado de uma raiz não ser raiz nesse caso (diferentemente do caso
anterior)? Obtenha as outras duas raizes dessa equação.
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