Análise Matemática - Ta4 - Aula Atividade Tutor

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AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
AULA 
ATIVIDADE 
TUTOR 
 
 
 
AULA ATIVIDADE TUTOR 
Disciplina: Análise Matemática 
Teleaula: 04 
 
Título: A derivada e a integral de uma função 
 
Prezado(a) tutor(a), 
 
A aula atividade tem a finalidade de promover o autoestudo das competências e 
conteúdos relacionados à Unidade de Ensino: A derivada e a integral de uma função. Ela 
está organizada em dois momentos. Oriente os alunos seguindo todas as instruções 
indicadas e estimule-os a tirar as dúvidas que surgirem. 
Bom trabalho! 
 
 
 
Resolução de exercícios 
 
Questão 1 
Demonstre a regra do produto para derivadas utilizando a definição formal via limites 
considerando funções 𝑓 e 𝑔 diferenciáveis em um ponto 𝑥. 
Gabarito: 
Vejamos que (𝑓𝑔)′(𝑥) = 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) ou (𝑓𝑔)′(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) +
𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥), sendo 𝑓 e 𝑔 funções deriváveis em um ponto 𝑥. Como 𝑓 e 𝑔 são 
diferenciáveis em 𝑥 é válido que: 
lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
= 𝑓′(𝑥) 
lim
ℎ→0
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
ℎ
= 𝑔′(𝑥) 
Além disso, observe que: 
 
 
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𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)
ℎ
=
𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)
ℎ
=
[𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥)] + [𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)]
ℎ
= 𝑓(𝑥 + ℎ) ⋅
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
ℎ
+
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
⋅ 𝑔(𝑥) 
Calculando o limite quando ℎ → 0, e considerando que 𝑓′(𝑥) e 𝑔′(𝑥) estão definidas, 
obtemos: 
lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
(𝑓(𝑥 + ℎ)
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
ℎ
+
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
𝑔(𝑥))
= lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) ⋅
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
ℎ
+ lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
⋅ 𝑔(𝑥)
= lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) ⋅ lim
ℎ→0
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
ℎ
+ lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
𝑔
⋅ lim
ℎ→0
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) + 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) 
Portanto, 𝑓𝑔 é diferenciável em 𝑥, com (𝑓𝑔)′(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) + 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥). 
 
Questão 2 
Seja 𝑓: [0,∞) → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = √𝑥. Mostre que para todo 𝑎 > 0 é válido que 
𝑓′(𝑎) =
1
2√𝑎
. 
Além disso, mostre que 𝑓 não é derivável na origem. 
Gabarito: 
Para 𝑎 > 0 temos que: 
lim
ℎ→0
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
= lim
ℎ→0
√𝑎 + ℎ − √𝑎
ℎ
= lim
ℎ→0
(
√𝑎 + ℎ − √𝑎
ℎ
⋅
√𝑎 + ℎ + √𝑎
√𝑎 + ℎ + √𝑎
)
= lim
ℎ→0
1
√𝑎 + ℎ + √𝑎
=
1
2√𝑎
 
Logo, 𝑓′(𝑎) =
1
2√𝑎
 para 𝑎 > 0. 
 
 
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No caso da origem, ou 𝑎 = 0, observe que devemos avaliar a derivada à direita e, 
nesse caso: 
lim
ℎ→0+
𝑓(0 + ℎ) − 𝑓(0)
ℎ
= lim
ℎ→0+
1
√0 + ℎ + √0
= lim
ℎ→0+
1
√ℎ
 
o qual não existe, pois tende a infinito. Logo, 𝑓 não é diferenciável em 𝑎 = 0. 
 
Questão 3 
Construa uma interpretação para o teorema do valor médio considerando uma função 
real cujo domínio seja descrito por um intervalo na forma [𝑎, 𝑏], com 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ. 
Gabarito: 
Podem ser construídas diversas funções, desde que atendam ao critério de serem 
contínuas em [𝑎, 𝑏] e deriváveis em (𝑎, 𝑏). Seja, por exemplo, a função 𝑓: [0,2] → ℝ 
definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥2. A função 𝑓 atende às hipóteses do teorema do valor médio, 
logo, existe algum número 𝑐 ∈ (0,2) cuja derivada seja dada por: 
𝑓′(𝑐) =
𝑓(2) − 𝑓(0)
2 − 0
=
4 − 0
2 − 0
= 2 
Para esse exemplo, veja que 𝑐 = 1, pois nesse ponto temos que 𝑓′(1) = 2 ⋅ 1 = 2. Note 
que a reta tangente ao gráfico de 𝑓 em 𝑥 = 1 é paralela ao segmento de reta que une 
os pontos (0,0) e (2,4), que são os extremos do gráfico de 𝑓 identificados a partir de 
seu domínio. 
 
Questão 4 
A tabela a seguir apresenta a velocidade de uma locomotiva em miniatura que se 
desloca por um trilho durante 10 segundos. Sabendo que a distância pode ser 
determinada a partir da integral da função velocidade, construa uma estimativa para a 
distância percorrida por esse brinquedo no intervalo considerado. A estimativa deve ser 
identificada por meio do cálculo da soma de Riemann tomando os valores 𝑚𝑘 em cada 
subintervalo, a partir dos extremos inferiores de cada subintervalo. 
Tempo (s) Velocidade (cm/s) Tempo (s) Velocidade (cm/s) 
0 0 6 11 
1 12 7 6 
2 22 8 2 
3 10 9 6 
 
 
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4 5 10 0 
5 13 
 
Gabarito: 
Para determinar a soma de Riemann devemos avaliar as somas que envolvem os 
produtos do comprimento de cada subintervalo com as imagens dos extremos inferiores 
de cada subintervalo pela função velocidade, conforme os dados presentes na tabela. 
Desse modo, como Δ𝑥 = 1 para todo subintervalo, totalizando dez subintervalos, 
teremos: 
𝑅𝐼 = 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ 12 + 1 ⋅ 22 + 1 ⋅ 10 + 1 ⋅ 5 + 1 ⋅ 13 + 1 ⋅ 11 + 1 ⋅ 6 + 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 6
= 0 + 12 + 22 + 10 + 5 + 13 + 11 + 6 + 2 + 6 = 87 
Portanto, a estimativa para a distância percorrida nesse intervalo de tempo é 87 cm. 
 
Elaborando um blog sobre derivadas 
 
Em disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral, muitas vezes a apresentação dos 
conceitos costumam ser feitas de maneira intuitiva e informal, com foco nas técnicas e 
estratégias de cálculo, bem como na resolução de problemas correspondentes. Por 
outro lado, na Análise Real, o objetivo é observar como essas técnicas e ferramentas são 
justificadas, conhecer as demonstrações que permitiram justificar a validade de grande 
parte dos resultados estudados em Cálculo Diferencial e Integral. Porém, é importante 
associar esses campos do conhecimento entre si, de modo a estabelecer relações entre 
os fundamentos teóricos, apresentados pela Análise, com os procedimentos práticos, 
de interesse do Cálculo. 
Nesse sentido, a proposta para essa parte é realizar um estudo a respeito de derivadas 
tomando por base algumas das abordagens presentes em livros de Cálculo, visto que já 
nesse momento são introduzidos procedimentos e justificativas da Análise, ainda que 
de forma incompleta. 
Diante desse tema, a proposta é que você estude os seguintes materiais, os quais podem 
ser acessados na Biblioteca Digital, desde que seja feito o login antes de acessar esses 
livros: 
 
 
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• Livro: Cálculo – Volume 1. Autor: James Stewart. Esse livro está disponível na 
Minha Biblioteca a partir do link: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/cfi/167!/4/4@0.0
0:34.3 (acesso em 02 fev. 2022) 
Consulte especificamente a seção 2.8 (entre as páginas 131 e 142), a qual discute a 
respeito da definição formal de derivada e da identificação da lei de formação de 
derivadas a partir do cálculo de limites. Procure explorar também os exercícios 
disponíveis nessa seção. 
• Livro: Cálculo – Volume 1. Autor: Jon Rogawski. Esse livro está disponível na 
Minha Biblioteca a partir do link: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582604601/cfi/136!/4/4@0.0
0:0.00 (acesso em 02 fev. 2022) 
Consulte especificamente a seção 3.2 (entre as páginas 121 e 135), a qual discute a 
respeito da definição formal de derivada e da identificação da lei de formação de 
derivadas a partir do cálculo de limites, bem como algumas regras de derivação. Procure 
explorar também os exercícios disponíveis nessa seção. 
Após o estudo do material, faça um resumo dos principais conceitos abordados no 
estudo das derivadas. Também selecione, ao menos, três exercícios propostos nesses 
livros, ou em outros, e resolva-os. Organize todo esse material em um blog, utilizando, 
por exemplo, uma página no Blogger. Acesse o site <https://www.blogger.com/about/> 
(acesso em 02 fev. 2022), faça uma conta gratuita e publique os conteúdos elaborador 
por você no formato de um blog. A estrutura do blog fica a seu critério, porém, ela deve 
contemplar os aspectos indicados na orientação dessa atividade (resumo dos conceitos 
e exercícios resolvidos). 
 
Orientações para o desenvolvimento da atividade: 
A proposta é que os alunos possam aprofundar seus estudos por meio da retomada de 
procedimentos aplicados no estudo do Cálculo Diferencial e Integral, mas que também 
estão presentes no estudo da Análise Real, principalmente no que se refere à definiçãode derivada a partir dos limites e a justificativa, por exemplo, das regras de derivação 
obtidas a partir do cálculo de limites. É importante que os alunos relacionem os 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/cfi/167!/4/4@0.00:34.3
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/cfi/167!/4/4@0.00:34.3
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582604601/cfi/136!/4/4@0.00:0.00
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582604601/cfi/136!/4/4@0.00:0.00
https://www.blogger.com/about/
 
 
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conteúdos presentes nas seções dos livros sugeridos com os temas abordados na quarta 
unidade do livro da disciplina, de modo a obter outras conclusões e favorecer a 
aprendizagem principalmente dos conceitos envolvendo derivadas. Se necessário, 
outros livros de Cálculo Diferencial e Integral podem ser consultados, principalmente os 
primeiros volumes das coleções mais comuns, por se tratar de um conteúdo estudado 
geralmente no Cálculo Diferencial e Integral I. Ao final, é importante que o aluno elabore 
o blog com os conteúdos estudados por ele, de tal forma a familiarizar-se com esse tipo 
de tecnologia.