Q2 - Centro de Massa, Momento Linear, Impulso e Colisões

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FORÇAS CONSERVATIVAS, NÃO CONSERVATIVAS E ENERGIA POTENCIAL
TUTORIA DE MECÂNICA 1 – LICENCIATURA EM FÍSICA EAD – UAB/UNB
PROF. DR. VINÍCIUS RICARDO
Escreva os vetores F (em N) e d (em m) na forma matricial:
a) F = (210cos30° ; 210 sen30°)		d = (18 ; 0)
T = F.d
T = 18*210*cos30° + 0*210*sen30°
T = 3,3 kJ
b) F = (160 ; - 40)		d = (14 ; 11)
T = F.d
T = 160*14 – 40*11
T = 1,8 kJ
Escreva os vetores F (em N) e d (em m) na forma matricial:
a) F = (5000cos36,9° ; 5000sen36,9°)	d = (20 ; 0)
T = F.d
T = 20*5000*cos36,9° + 0*5000*cos36,9°
T = 80 kJ
b) Fat = (- 3500 ; 0)		d = (20 ; 0)
T = F.d
T = - 3500*20 + 0*0
T = - 70 kJ
c) Ft = F + Fat => Ft = 10 kJ
(As forças normal e peso são perpendiculares ao movimento e, portanto, os trabalhos delas são nulos)
Escreva os vetores F (em N) e d (em m) na forma matricial:
F = (5000cos36,9° ; 5000sen36,9°)	d = (20 ; 0)
Fat = (- 3500 ; 0)
FR = F + Fat => FR = (- 3500+5000cos36,9° ; 5000sen36,9°)
FR = m.a (m = 14.700/9,8 kg)
Como o deslocamento ocorre em x (dy = 0 m), teremos:
ax = (- 3500 + 5000cos36,9°)(9,8/14.700)
vx² = v0x² + 2.ax.dx
vx = 4,2 m/s
Escreva os vetores P e Fat (em N) e d (em m) (y+ para baixo):
a) P = (0 ; 200*9,8)		d1 = (0 ; 3,0)		Fat = (0 ; - 60)
FR = P + Fat => FR = (0 ; 200*9,8 - 60)
T = FR.d1
T = 3,0*(200*9,8 - 60)
T = K = mv²/2 => v = √2T/m
v = 7,6 m/s
b) T = F.d2
F = T/d2
n = F + P - Fat
n = T/d2 + P - Fat
n = 79 kN
(mais de 40 x o peso do martelo!)
F = 600 N		x = 0,01 m
F = kx => k = F/x
K = 60 kN/m
T = kx²/2
T = 3,0 J
m = 0,100 kg	k = 20,0 N/m	v = 1,50 m/s
a) Epm = Ec
kx²/2 = mv²/2
x = √(mv²/k)
x = 10,6 cm
b) Epm + Fatd = Ec
kd²/2 + μmgd = mv²/2
kd²/2 + μmgd - mv²/2 = 0
d² + (2μmg/k)d + (- mv²/k) = 0
d² + Ad + B = 0 (A=2μmg/k) (B = - mv²/k)
d = 8,6 cm ou d = - 13 cm
P = F.v
P = 322.000*250
P = 80,5 MW (1 hp = 746 W)
P = 108 khp
P = E/t = mgh/t
P = 50,0*9,8*443/(15*60)
P = 241 W (1 hp = 746 W)
P = 0,323 hp
Escreva os componentes em y dos vetores F1 e F2 (em MN) e d (em m):
F1y = 1*cos14,5°	 F2y = 1*cos14,5° 		dy = 900 m
T = (F1y + F2y)* dy 
T = 2*900*cos14,5°
T = 1.742,67 MJ
Escreva os módulos dos vetores F1 e F2 (em N) e v (em m/s):
(F1 + F2) = 170 N => F1 = F2 = (170/2) N
v = 11 m/s
P1 = P2 = F1* v 
P1 = 935 W
P/100 = 9,35 W
Dados:
m = 31 kg		h = 1,1 m		t = 60 s		P = 117 W		g = 9,8 m/s²
P = E/t => P = Nmgh/t
N =Pt/mgh 
N = 21,01
Ei = mvi²/2 + αxi/xi²
Ef = mvf²/2 + αxf/xf²
Ei = Ef => mvi²/2 + αxi/xi² = mvf²/2 + αxf/xf²
mvi²/2 + α/xi = mvf²/2 + α/xf
vf = √{[(mvi²/2 + α/xi) - α/xf]*(2/m)}
vf/100 = 3,61 km/s
Escreva os vetores: F(em N); O e C (em m):
F = (2y ; x²)		O = (0 ; 0)		C = (9,5 ; 9,5) = (α , α)
No trecho OA temos: F = (0 ; x²) => Fx = 0 N
TOA = ∫Fxdx = ∫0.dx = 0 => TOA = 0 J
No trecho AC temos: F = (2y ; α²) => Fy = α² N
TAC = ∫Fy.dy = ∫α²dy = α²y (0 a α) = α²(α – 0) => TAC = α.α2
TAC = α³ J 
TAC = TT = 857,4 J 
A velocidade final pode ser obtida por:
TT = mv²/2 => v = √(2TT/m)
v = 18,7 m/s
O trabalho é dado pela área do gráfico:
T = (xf.yf)/2
T = 84,09 J
A velocidade final pode ser obtida por:
T = mv²/2 => v = √(2T/m)
v = 4,10 m/s
m = 1,7 kg		k = 262 N/m		v = 14 m/s		μ= 0,54			g = 9,8 m/s²
Epm + Fatd = Ec
kd²/2 + μmgd = mv²/2
kd²/2 + μmgd - mv²/2 = 0
d² + (2μmg/k)d + (- mv²/k) = 0
d² + Ad + B = 0 (A=2μmg/k) (B = - mv²/k)
d = 109,39 cm ou d = - 116,26 cm
m = 4.000 kg		t = 5 s		v0 = 20 m/s		 v5 = 15 m/s
a = (15 – 20)/5 => a = - 1,0 m/s² (praticamente constante)
F = m.a
P = F.v
P = m.a.v
P = - 60.000 W
P = - 60 kW
Dados:
m = 0,145 kg		h = ? m		v = 20,0 s			g = 9,80 m/s²
Ep = Ec => mgh = mv²/2
h = v²/2g
h = 20,4 m
Dados:
m = 0,145 kg		d’ = 15,0 m
v0 = 20,0 m/s		d = 0,50 m 		g = 9,80 m/s²
a) Ep = Ec => - mgd + Fd = mv0²/2
F = (v0²/2 + gd)(m/d) 
F = 59 N
b) v² = v0² - 2gd’
v = ± 10 m/s
Dados:
m = 25,0 kg		v0 = 0,00 m/s		R = 3,00 m 		g = 9,80 m/s²
a) Ep = Ec => mgR = mv²/2
v² = 2gR 
v = 7,67 m/s
b) a = v²/R => a = 2g
N = P’ = m(g + a) = m(g + 2g) = 3mg
N = 735 N
Dados:
m = 12 kg		v0 = 5,0 m/s		d = 2,5 m		 d’ = 1,6 m 		θ = 30°			g = 9,80 m/s²
a) TT = Ec => Fatd + mgh = mv0²/2
Fat = (v0²/2 - gh)(m/d) = (v0²/2 – gd’sen30°)(m/d) 
Fat = 35 N
b) TT = Ec => mv0²/2 - 2Fatd + mgh - mgh = mv²/2
v² = (mv0²/2 - 2Fatd)*(2/m)
v = 2,5 m/s
Dados:
m = 0,200 kg		v0 = 0,000 m/s		
k = 5,00 N/m		d = 0,100 m 		x = 0,080 m
a) ET1 = ET2 => mv0²/2 + kd²/2 = mv²/2 + kx²/2 (v0 = 0,000 m/s)
v² = (k/m)(d² - x²)
v = ± 0,30 m/s
v = - 0,30 m/s (sentido – x)
b) T = ET => Fx = mv²/2 + kx²/2
v² = (Fx – kx²/2)(2/m)
v = ± 0,600 m/s
v = 0,600 m/s (sentido + x)
Dados:
m = 2.000 kg		v0 = 4,0 m/s		Fat = 17.000 N		 P = 19.600 N	
k = ? N/m		d = 2,0 m 		x = 0,080 m
a) ET1 = ET2
mv0²/2 + mgh = kd²/2 + Fatd
k = (mgh + mv0²/2 - Fatd)(2/d²)
k = 1,06*104 N/m
Dados:
m = 40,0 kg		μc = 0,200		g = 9,80 m/s²
d1 = 2,50 m		 d2 = 2,00 m		 d3 = 1,50 m
a) T1 = Fatd1 = μcmgd1
T1 = 196 J
b) T2 = Fat(d2 + d3)= μcmg(d2 + d3)
T2 = 274 J
c) T2 – T1 = 78,4 J (força de atrito não é conservativa!)
Dados:
F = (0 ; C.x)		 C > 0 
dl1 = (dx ; 0)		 dl2 = (L ; dy)		dl3 = (dx ; L)		 dl4 = (0 ; dy)
T1 = ∫F.dl1 = 0 (F e dl1 são perpendiculares) => T1 = 0 J
T2 = ∫F.dl2 = ∫(0.L + C.x.dy) = ∫CLdy (0 a L) => T2 = CL² J
T3 = ∫F.dl3= 0 (F e dl3 são perpendiculares) => T3 = 0 J
T4 = ∫F.dl4 = ∫(0.0 + C.x.dy) = ∫C.0.dy (L a 0) => T4 = 0 J
TT = T1 + T2 + T3 + T4 
TT = CL² J (como ponto inicial = ponto final, então F é não conservativa)
Dados:
m = 1,9 kg			L = 0,58 m		θ = 23,5° 	
v = ? km/h 		g = 9,80 m/s²
β = 180-23,5/2 => β = 78,25° => γ = 11,75°
b = L*sen11,75°
h = 2b*sen11,75°
Ep = Ec => mgh = mv²/2 
v = √(2gh) = √(4gbsen11,75°) = √(4gLsen²11,75)
v = 0,97 m/s ou v = 3,5 km/h
Uma pedra com massa de 1,9 kg está presa a um fio de 0,58 m de comprimento, de massa desprezível, formando um pêndulo. O pêndulo oscila até um ângulo de 23,5° com a vertical. Despreze a resistência do ar. Qual é a velocidade da pedra, em km/h, quando ela passa pela posição mais próxima ao solo? (utilize g = 9,8 m/s²)
Dados:
m = 57,0 kg		v0 = 0,00 m/s		R = 2,8 m 		g = 9,8 m/s²
Ep = Ec => mgR = mv²/2
v² = 2gR 
a = v²/R => a = 2g
N = P’ = m(g + a) = m(g + 2g) = 3mg
N = 1675,8 N
Um jovem pratica skate deslocando-se para baixo em uma rampa de skate de formato circular. Se considerarmos o jovem e seu skate como uma partícula, seu centro se move ao longo de um quarto de círculo vertical de raio R = 2,8 m. A massa total do jovem e seu skate é igual a 57,0 kg. Ele parte do repouso e não existe nenhum atrito. Considerando o módulo da aceleração da gravidade no local igual a 9,8 m/s2, DETERMINE, em N, o módulo da força normal total que atua sobre o skate na parte inferior da curva.
Dados:
m = 44,6 kg		v = 4,8 m/s		R = 6,9 m 		g = 9,80 m/s²
a) Ei = Ef => mgR = mv²/2 - T
T = mv²/2 - mgR = m(v²/2 – gR)
T = - 2.502,06 J
|T| = 2.502,06 J
Um jovem pratica skate deslocando-se para baixo em uma rampa de skate de formato circular. Se considerarmos o jovem e seu skate como uma partícula, seu centro se move ao longo de um quarto de círculo vertical de raio R = 6,9 m. A massa total do jovem e seu skate é igual a 44,6 kg. Ele parte do repouso e chega à base da rampa com velocidade de módulo igual a 4,8 m/s. Considerando o módulo da aceleração da gravidade no local igual a 9,8 m/s2, DETERMINE, em J, o módulo do trabalho realizado pela força de atrito sobre o skate. (Resposta: 2502,06 J)
Dados:
Mbalde = 65 kg			mcaixa = 80,0 kg		msaco = 50,0 kg
μs = 0,700				 μk = 0,400 		h = 2,0 m			g = 9,80 m/s²
Ep-balde = Ec-balde + Ec-caixa + Tfat-caixa
Mgh = Mv²/2 + mv²/2 + μkmgh
gh(M – μkm) = (M + m)v²/2
v² = 2gh(M – μkm)/(M + m)
v = 2,99 m/s
Em um canteiro de obras, um balde de concreto de 65,0 kg está suspenso por um cabo leve (porém forte), que passa sobre uma polia leve sem atrito e está conectado a uma caixa de 80,0 kg sobre um teto horizontal. O cabo puxa horizontalmente a caixa e um saco de cascalho de 50,0 kg repousa sobre o topo da caixa. O coeficiente de atrito cinético entrea caixa e o teto é 0,400. Subitamente, um operário apanha o saco de cascalho. Use a conservação de energia para determinar a velocidade, em m/s, do balde após ele ter descido 2,00 m partindo do repouso.
FORÇAS CONSERVATIVAS E NÃO CONSERVATIVAS
TIRA-DÚVIDAS
Tutoria de Mecânica 1 – Licenciatura em Física EaD – UAB/UnB
Prof. Dr. Vinícius Ricardo
A força peso é perpendicular (θ = 90°) à trajetória (T = P.d.cosθ => T = 0 J), portanto, o trabalho da força peso é nulo ao longo de toda a trajetória.
m = 10 kg		r = 2 m		μ = 0,25		θ = 180°		g = 9,8 m/s²
T = Fat.d.cosθ => T = -μmg2πr
T = - 308 J
T = ∫F.dl => T = ∫(- αx²)dx => T = - (α.0,30³/3 – α.0,10³/3)
TA-B = - 0,10 J 
T = ∫F.dx => T = ∫(- αx²)dx => T = - (α.0,10³/3 – α.0,30³/3)
TB-A = 0,10 J 
Fx = - dUx/dx => ∫dUx = - ∫Fx.dx => Ux = αx³/3 (Uy = 0)
 U = αx³/3
T = ∫F.dx => T = ∫(- αx²)dx => T = - (α.0,10³/3 – α.0,10³/3)
T = 0,00 J 					(∫Fy.dy = 0 J)
TA-B = - 0,10 J ; TB-A = 0,10 J
TA-B + TB-A = 0,00 J
 
Tf-i = - 20 J ; Tj-i = 20 J 
Tf-j = Tf-i + Ti-j = Tf-i – Tj-i => Tf-j = - 20 – 20 
Tf-j = - 40 J
Tf-i = - 20 J ; Tj-i = 20 J 
Tj-f = Tj-i + Ti-f = Tj-i – Tf-i => Tj-f = 20 + 20 
Tj-f = 40 J
ECB = 4,00 J		 UB = 12,00 J		=> EMB = 16,00 J
Em x = 3,5 m, temos:
UA = 9,00 J => ECA = 7,00 J
mv²/2 = 7,00 => v² = 14,00/0,200
v = 8,37 m/s
Em x = 6,5 m, temos:
U = 0,00 J => ECA = 16,00 J
mv²/2 = 16,00 => v² = 32,00/0,200
v = 12,6 m/s
	
MUITO OBRIGADO PELA ATENÇÃO
Prof. Dr. Vinícius Ricardo
(61) 98165-7544