PROBABILIDADES CONDICIONADAS

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 Nampula, Maio de 2021 
UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MOÇAMBIQUE 
Faculdade de Educação e Comunicação 
Estatística 
PROBABILIDADES 
As possibilidades de ocorrência de diversos eventos ao meio que nos encontramos é medida por 
um número chamado de probabilidade. A probabilidade é um termo que mede o grau de 
possibilidade de um acontecimento incerto se realizar. Apesar da existência de diversos tipos de 
probabilidade ou acontecimentos, o presente ensaio tem como foco de abordagem: as 
probabilidades condicionadas; os acontecimentos independentes; o teorema das probabilidades 
totais e no final falar-se-á acerca do teorema de Bayes. 
O trabalho conta com uma pesquisa bibliográfica, cuja a mesma foi elaborada com base nas Normas 
APA 6ª edição. Assim sendo: 
Conforme o foco do trabalho, sente-se a necessidade de apresentar alguns conceitos pertinentes 
que de algum modo preenchem os tópicos a serem abordado neste ensaio. Assim inicia-se pelo 
conceito de probabilidade, que por sua vez existem diversas definições de acordo com Pestana e 
Veloso (2006), mas de forma geral entende-se por probabilidade como sendo um termo que mede 
o grau de possibilidade de um acontecimento incerto se realizar. Com base nesse simples conceito, 
matematicamente a probabilidade é dada por: 
𝑃(𝐴) =
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑎 𝐴
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑣𝑒𝑖𝑠
. 
A formula traduz que, a probabilidade de um acontecimento A é o quociente entre o número de 
casos que lhe são favoráveis e o número de casos possíveis. Por exemplo: imaginemos que se jogue 
um dado não viciado, qual a probabilidade de sair face par? Com base na fórmula dada acima pelo 
Pestana e Veloso (2006), tem-se como resposta: 𝑃(𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑝𝑎𝑟) =
3
6
=
1
2
. 
Dado a definição de probabilidade, entenda-se por probabilidade condicionada como aquela em 
que, tende-se a calcular a probabilidade de A sabendo que outro acontecimento B já ocorreu, isto 
se deduz na ideia dos autores Murteira, Ribeiro, Silva e Pimenta (2010), Murteira, Ribeiro, Silva e 
Pimenta (2008) que ensinam que “sejam dois acontecimentos, A e B, subconjuntos do mesmo 
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espaço de resultados Ω. A probabilidade de A se realizar sabendo-se que B se realizou – ou 
probabilidade de A condicionada por B, designada por P(A\B)” p. (81). A expressão matemática 
da probabilidade condicionada de acordo com os autores acima é dada por: 𝑃(𝐴\𝐵) =
𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐵)
 se 
𝑃(𝐵) > 0. Acrescenta Costa Neto e Cymbalista (2006), Pestana e Veloso (2006) que a expressão 
acima, nesse caso 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) resulta a regra do produto, que se refere ao cálculo da probabilidade 
do evento de intercepção . Assim tem-se: 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴\𝐵)𝑥𝑃(𝐵). Para esses autores, a 
probabilidade condicionada pode ser interpretada como uma reavaliação da probabilidade de um 
acontecimento quando se tem a informação de que outro acontecimento se realizou. 
Exemplo: duas cartas são selecionadas em sequência de um baralho normal. Encontre a 
probabilidade condicional de que a segunda carta seja uma dama, dado que a primeira carta seja 
um rei, assumindo que o rei está em reposição. 
Resolução: em razão da primeira carta ser um rei e não ser resposta, o baralho restante tem 51 
cartas, 4 das quais são damas. Então, 𝑃(𝐴\𝐵) =
4
51
≈ 0,078. Então, a probabilidade de que a 
segunda carta seja uma dama, dado que a primeira seja um rei, é de aproximadamente 0,078. 
Além dos eventos condicionadas, em alguns experimentos, um evento não afecta a probabilidade 
do outro. Para esse tipo de evento, chama-se de acontecimento independente. Dois acontecimentos 
são independentes se a ocorrência de um deles não afecta a probabilidade de ocorrência do outro 
evento (Larson & Farber, 2010). Para esse autor, dois eventos são independentes se: 
𝑃(𝐵\𝐴) = 𝑃(𝐴\𝐵) = 𝑃(𝐴). 
A seguir tem-se o exemplo de um acontecimento independente de acordo com o autor acima. 
Exemplo: jogar uma moeda e tirar cara (A) e então jogar um dado de seis lados e tirar um 6 (B). 
Com base nesse exemplo de um evento independente, tem-se como resolução: 𝑃(𝐵\𝐴) =
1
6
 e 
𝑃(𝐵\𝐴) =
1
6
. Com base nessa resolução, pode notar que o primeiro evento não mudou ou não 
influenciou a ocorrência do segundo evento (lançamento de um dado). Eventos semelhantes a estes 
são chamados de eventos ou acontecimentos independentes. A simples definição da probabilidade 
condicionada e acontecimentos independentes arrastam um dos resultados mais fecundos do 
teorema da probabilidade total (Pestana & Veloso, 2006; Murteira, Ribeiro, Silva e Pimenta, 2010). 
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Para esses autores o teorema da probabilidade total é entendido da seguinte forma: Se 
{𝐴1, 𝐴2, … 𝐴𝑚,…} é uma partição de Ω (espaço amostral) e se 𝑃(𝐴𝑗) > 0 (𝑗 = 1,2, … , 𝑚, … ), vem, 
para qualquer acontecimento B, 𝑃(𝐵) = ∑ 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵\𝐴𝑗𝑗 ). 
Exemplo: existem três parques industriais, A1; A2; A3, cuja as mesmas dedicam-se à actividade 
têxtil, respectivamente, 10%, 40% e 25% das empresas. Escolhido ao acaso um parque, e nele 
também ao acaso, uma empresa, qual a probabilidade de que esta seja têxtil? Considerando duas 
provas a seguir: 1º escolha do parque, em que, 𝑃(𝐴1) = 𝑃(𝐴2) = 𝑃(𝐴3) = 1 3⁄ . E 2º escolha de 
uma empresa no parque obtido 1). Conhecendo as probabilidades do evento B: 
 𝑃(𝐵\𝐴1) = 0,1; 𝑃(𝐵\𝐴2) = 0,4 𝑒 𝑃(𝐵\𝐴3) = 0,25. 
A probabilidade pedida: 𝑃(𝐵) = 
1
3
𝑥0,1 +
1
3
𝑥0,4 +
1
3
𝑥0,25 = 0,25 
Para a teorema de Bayes têm-se como definição de acordo com Murteira, Ribeiro, Silva e Pimenta 
(2008): Se {𝐴1, 𝐴2, … 𝐴𝑚,…} é uma partição de Ω, e se 𝑃(𝐴𝑗) > 0 (𝑗 = 1,2, … , 𝑚, … ), vem, para 
qualquer acontecimento B, a verificar 𝑃(𝐵) > 0, 𝑃(𝐴𝑗\𝐵) =
𝑃(𝐴𝑗)𝑃(𝐵\𝐴𝑗)
∑ 𝑃(𝐴𝑖)𝑃(𝐵\𝐴𝑖)𝑖=1
 (𝑗 = 1, 2, … , 𝑚, … ). 
Os dois últimos teoremas, a de probabilidade total e de Bayes, são particularmente úteis no estudo 
de situações que se processam em duas etapas. O primeiro teorema ensina como calcular a 
propriedade incondicional do evento que possa ter ocorrido, e o segundo teorema, nesse caso o de 
Bayes, mostra como calcular a probabilidade de que tenha sido o particular evento daquele que 
ocorreu dada a informação de que o evento “X” ocorreu (Costa Neto & Cymbalista, 2006). 
Em suma, as probabilidades existem vários tipos, cada uma delas focada sobre um certo tipo de 
evento sejam elas associadas nas probabilidades condicionadas ou em certos teoremas como a 
teoremas de Bayes. Apenas entenda-se que a probabilidade estuda em si só eventos improváveis, 
como vimos nos exemplos dado. Mas para cada evento há que levar em consideração se é ou não 
dependente ou mesmo condicionada como vimos. 
 
 
Referências Bibliográficas 
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 Nampula, Maio de 2021 
Costa Neto, P. L. O. & Cymbalista, M. (2006). Probabilidades (2ª ed.). São Paulo, Brasil: Blucher. 
Larson, R. & Farber, B. (2010). Estatística aplicada (4ª ed.). São Paulo, Brasil. Pearson Prentice 
 Hall. 
Murteira, B., Ribeiro, S. C., Silva, J. A. & Pimenta, C. (2008). Introdução à estatística (2ª ed.). 
 Lisboa, Portugal: McGraw-Hill. 
Murteira, B., Ribeiro, S. C., Silva, J. A. & Pimenta, C. (2010). Introdução à estatística. 
 Lisboa, Portugal: Escolar Editora. 
Pestana, D. D. & Veloso, S. F. (2006). Introdução à probabilidade e à estatística (4ª ed.). Lisboa, 
 Portugal: FCG.