ICMS-RJ - Mat Fin e Estatística - aula 02

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1
Aula 2 – Probabilidade e variáveis aleatórias 
I PROBABILIDADE ...................................................................................................................................... 2 
1 Probabilidade: exercícios iniciais ............................................................................................................... 2 
2 Probabilidade condicional ........................................................................................................................... 5 
3 Fórmula da probabilidade condicional e da probabilidade da intersecção ............................................ 9 
4 Probabilidade da união de dois eventos ................................................................................................... 18 
5 Probabilidade do evento complementar ................................................................................................... 29 
6 Teorema de Bayes. ..................................................................................................................................... 39 
7 Probabilidade e análise combinatória ...................................................................................................... 44 
8 Outros exercícios de probabilidade. ......................................................................................................... 49 
II VARIÁVEIS ALEATÓRIAS .................................................................................................................... 54 
1 Esperança, variância e covariância. ......................................................................................................... 54 
2 Função densidade de probabilidade ......................................................................................................... 63 
3 Função distribuição de probabilidade ...................................................................................................... 70 
III OUTROS EXERCÍCIOS .......................................................................................................................... 75 
1 Esperança para variáveis contínuas ......................................................................................................... 76 
2 Distribuições conjuntas de probabilidade ................................................................................................ 82 
IV LISTA DAS QUESTÕES DE CONCURSO ............................................................................................ 86 
V GABARITO DAS QUESTÕES DE CONCURSO ................................................................................ 101 
 
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Antes de começarmos a aula, gostaríamos de corrigir um erro cometido na aula passada. 
Na aula anterior, no EC 21, nós erramos na hora de calcular os valores que delimitam os 
outliers. 
A gente fez assim: 
=+ dQ 5,12 2,124 
=− dQ 5,12 -0,676 
Mas isto está errado. O correto seria: 
=+ dQ 5,13 2,494 
=− dQ 5,11 -1,239 
O restante da análise do exercício está correto. 
Agradecemos aos alunos que perceberam o erro e nos avisaram por meio do fórum. 
 
I PROBABILIDADE 
1 Probabilidade: exercícios iniciais 
EP 1 Qual a probabilidade de, lançando uma moeda honesta, obtermos um resultado 
“coroa”? 
 
Resolução: 
Probabilidade tem a ver com a chance de um dado evento ocorrer. Assim, quando lançamos 
uma moeda, dizemos que as chances de sair cara são 50%. Ou ainda, a probabilidade de sair 
cara é de 50%. 
Uma interpretação muito comum para a probabilidade é aquela faz a associação com 
freqüências relativas. Se lançarmos uma moeda honesta um número muito grande de vezes, é 
razoável esperar que, em metade das vezes, o resultado será coroa. Por isso dizemos que a 
probabilidade de “coroa” é 50%. A probabilidade corresponde à freqüência relativa que seria 
obtida num número muito grande de experimentos. Esta é a chamada abordagem frequentista 
da probabilidade. 
Probabilidade de cara = freqüência relativa num número muito grande de experimentos 
= 50% 
 
EP 2 Qual a probabilidade de, lançando um dado honesto, obtermos um múltiplo de 3? 
 
Resolução: 
Observe que o nosso evento de interesse é formado por todos os múltiplos de 3. 
Quais são os múltiplos de 3 presentes nas faces de um dado? 
São: 3, 6. 
Podemos representar esse evento com um conjunto: 
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3
A: {3, 6} 
O conjunto A representa nosso evento. Observe que o conjunto A pode ser subdividido em 
conjuntos menores. Podemos escrever: 
B: {3} 
C: {6} 
CBA ∪= 
O evento “A” (sair múltiplo de 3) foi decomposto nos eventos B e C (respectivamente, sair o 
número 3 e sair o número 6). 
Os eventos “B” e “C” não podem mais ser decompostos. Dizemos que são eventos 
elementares. 
Chamamos de espaço amostral ao conjunto de todos os resultados possíveis. No caso do 
lançamento do dado, o espaço amostral é dado por: 
S: {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
O espaço amostral é composto de 6 elementos (que representam 6 eventos elementares). 
Todos eles são equiprováveis (têm a mesma chance de ocorrer). 
Quando isso acontece, a probabilidade pode ser expressa como a relação entre o número de 
elementos do evento e o número de elementos do espaço amostral. 
 
Probabilidade = 
3
1
6
2
___
__
==
amostralespacoelementosnumero
eventoelementosnumero 
Muita gente conhece esta mesma relação expressão com “nomes diferentes”. 
A idéia é a mesma. Só mudam os nomes. 
Como o evento comporta todos os casos em que estamos interessados, chamamos os 
elementos do evento de “casos favoráveis”. 
Como o espaço amostral comporta todos os casos que podem ocorrer, chamamos os 
elementos do espaço amostral de “casos possíveis”. 
No lançamento de um dado, se quisermos calcular a probabilidade de sair um múltiplo de 3, 
temos: 
- dois casos favoráveis: 3 e 6 
- seis possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6 
A probabilidade é dada por: 
3
1
6
2
==P 
Bastou dividir o número de casos favoráveis pelo número de casos possíveis, pois todas as 
faces do dado são equiprováveis. 
Como a probabilidade em questão é referente ao evento A, indicamos isso por: 
3
1)( =AP 
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4
 
EC 1. TCE RO 2007 [CESGRANRIO] 
Em um jogo, apresentam-se ao participante 3 fichas voltadas para baixo, estando 
representadas em cada uma delas as letras T, C e E. As fichas encontram-se alinhadas em uma 
ordem qualquer. O participante deve ordenar as fichas, mantendo as letras voltadas para 
baixo, tentando obter a sigla TCE. Ao desvirá-las, para cada letra que esteja na posição 
correta, ganhará um prêmio de R$ 500,00. 
A probabilidade de o participante não ganhar qualquer prêmio é igual a: 
(A) 0 
(B) 1/6 
(C) 1/4 
(D) 1/3 
(E) 1/2 
 
Resolução: 
São 6 formas de se disporem as 3 letras: 
TCE, TEC, CTE, CET, ETC, ECT 
Para que o participante não ganhe qualquer prêmio, nenhuma letra pode estar no seu lugar 
correto. Isso acontece nos seguintes casos: 
ETC, CET 
Temos dois casos favoráveis em seis possíveis. 
3
1
6
2
==P 
Gabarito: D 
 
EC 2. MPE Amazonas 2002 [FGV] 
A análise dos dados obtidos das Declarações de Ajuste do Imposto de Renda, em um sistema 
econômico hipotético, mostrou o seguinte resultado, relativamente à renda anual dos 
contribuintes: 
 
Se uma pessoa for selecionada aleatoriamente para verificação de suas informações pela 
autoridade fiscal, a probabilidade de que essa pessoa tenha renda anual superior a R$ 8 000,00 
será igual a: 
(A) 0,03 
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5
(B) 0,05 
(C) 0,25 
(D) 0,30 
(E) 0,70 
 
Resolução: 
São casos favoráveis os contribuintes com renda superior a 8.000. Estão nessa situação os 
15.000 contribuintes da segunda classe e os 3.000 contribuintes da terceira classe. 
Casos favoráveis: 15.000 + 3.000 = 18.000 
 
O número de casos possíveis é dado por: 
000.60000.3000.15000.42 =++ 
A probabilidade fica: 
==
000.60
000.18P 0,3 
Gabarito: D 
 
→ 
PROBABILIDADE 
)()|()( BPBAPBAP ×=∩ 
Corresponde à freqüência relativa de um dado evento, num número muito grande de 
experimentos (abordagem frequentista). 
Se todos os eventos forem equiprováveis, a probabilidade pode ser expressa como uma 
relação entre casos favoráveis e casos possíveis.
 
2 Probabilidade condicional 
EP 3 No lançamento de um dado, qual a probabilidade de se obter um múltiplo de 3, dado 
que o resultado é maior que 4? 
 
Resolução: 
No EP 2, vimos que a probabilidade de obtermos um múltiplo de 3 no lançamento de um dado 
é de 
3
1 . 
Agora, temos uma ligeira modificação, extremamente importante. É dado que o resultado é 
maior que 4. 
Este “é dado que” é chamado de condição. Há uma condição a ser obedecida (resultado maior 
que 4). Esta condição é uma informação adicional, que acaba mudando o cálculo de 
probabilidade. 
Inicialmente, antes de sabermos desta condição, tínhamos: 
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6
- casos favoráveis: 3, 6 
- casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6. 
Mas temos uma condição a ser obedecida (resultado maior que 4). Com isso, devemos alterar 
a nossa listagem de casos favoráveis e possíveis. Atualizando nossa lista, já obedecendo à 
condição, temos: 
- casos favoráveis: 3, 6 
- casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6 
 
Riscamos todos os casos que não obedecem à condição. Riscamos todos os casos que não são 
maiores que 4. 
Com isso, sobraram 2 casos possíveis e 1 caso favorável. A nova probabilidade fica: 
%50
2
1
==P 
EC 3. MPU – 2004 [ESAF] 
Carlos diariamente almoça um prato de sopa no mesmo restaurante. A sopa é feita de forma 
aleatória por um dos três cozinheiros que lá trabalham: 40% das vezes a sopa é feita por João; 
40% das vezes por José, e 20% das vezes por Maria. João salga demais a sopa 10% das vezes, 
José o faz em 5% das vezes e Maria 20% das vezes. Como de costume, um dia qualquer 
Carlos pede a sopa e, ao experimentá-la, verifica que está salgada demais. A probabilidade de 
que essa sopa tenha sido feita por José é igual a 
a) 0,15. 
b) 0,25. 
c) 0,30. 
d) 0,20. 
e) 0,40. 
 
Resolução: 
São três cozinheiros que fazem a sopa. Se a chance de cada um deles fazer a sopa fosse igual, 
teríamos: 
 
Casos possíveis: José faz a sopa, João faz a sopa, Maria faz a sopa. 
Casos favoráveis: José faz a sopa. 
 
A probabilidade de José fazer a sopa seria de 
3
1 . 
Mas a chance de cada um deles ter feito a sopa, num dado dia, não é igual. Maria faz sopa 
menos vezes que João e José. 
Neste tipo de questão, em que os casos não têm a mesma chance de acontecer, não podemos 
simplesmente utilizar a relação entre casos possíveis e casos favoráveis. Temos que adotar um 
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artifício que reflita o fato de Maria fazer a sopa menos vezes. É aí que entra a abordagem 
frequentista da probabilidade. 
Podemos pensar que, a cada 100 dias em que o Carlos freqüente o restaurante, temos que: em 
40 dias a sopa é feita por João, em 40 dias a sopa é feita por José, em 20 dias a sopa é feita 
por Maria. 
Para tornar o exemplo mais claro, vamos supor que o Carlos tenha freqüentado o tal 
restaurante do dia 01/01/09 até o dia 10/04/09, totalizando os 100 dias. Daí, pegamos o 
calendário e escolhemos um desses 100 dias aleatoriamente. A pergunta é: qual a chance de, 
no dia escolhido, a sopa ter sido feita por José, sabendo que estava salgada? 
 
Nestes 100 dias, vamos ver como cada cozinheiro se comporta. 
 
João fez a sopa 40 vezes. Em 10% dessas 40 vezes, ele salgou demais a sopa. 
José fez a sopa 40 vezes. Em 5% dessas 40 vezes, ele salgou demais a sopa. 
Maria fez a sopa 20 vezes. Em 20% dessas 20 vezes, ela salgou demais a sopa. 
 
Resumindo: 
Em 36 dias o João fez uma sopa normal. 
Em 4 dias o João fez uma sopa salgada. 
Em 38 dias o José fez uma sopa normal 
Em 2 dias o José fez uma sopa salgada. 
Em 16 dias a Maria fez uma sopa normal 
Em 4 dias a Maria fez uma sopa salgada. 
 
Com este artifício, contornamos o problema citado no começo da resolução. Quando listamos 
o que acontece em cada um dos cem dias, conseguimos levar em conta o fato de Maria fazer 
sopa menos vezes que João e José. 
Dentre os cem dias, selecionamos um ao acaso. Agora sim. Estamos focando nos dias, não 
nos cozinheiros. Todos os cem dias são equiprováveis. Todos têm a mesma chance de serem 
escolhidos. 
Continuemos com a resolução do problema. 
Se não soubéssemos que a sopa está salgada, teríamos: 
Casos possíveis: 100 dias, assim discriminados: 
36 dias o João fez uma sopa normal. 
4 dias o João fez uma sopa salgada. 
38 dias o José fez uma sopa normal 
Em 2 dias o José fez uma sopa salgada. 
Em 16 dias a Maria fez uma sopa normal 
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Em 4 dias a Maria fez uma sopa salgada. 
 
Estamos interessados nos dias em que José faz a sopa. Estes dias são nossos casos favoráveis. 
 
Casos favoráveis: 40, assim discriminados: 
38 dias em que o José fez uma sopa normal 
2 dias em que o José fez uma sopa salgada. 
 
Contudo, temos a informação de que a sopa está salgada (condição!). Temos que rever nossa 
lista de casos possíveis e favoráveis. 
 
Casos possíveis: 10, assim discriminados: 
36 dias o João fez uma sopa normal. 
4 dias o João fez uma sopa salgada. 
38 dias o José fez uma sopa normal 
Em 2 dias o José fez uma sopa salgada. 
Em 16 dias a Maria fez uma sopa normal 
Em 4 dias a Maria fez uma sopa salgada. 
 
Casos favoráveis: 2, assim discriminados: 
38 dias em que o José fez uma sopa normal 
2 dias em que o José fez uma sopa salgada 
 
A probabilidade fica: 
2,0
10
2
_
_
==⇒= P
possíveiscasos
favoráveiscasosP 
Gabarito: D 
 
EC 4. Minc 2006 [FGV] 
Lança-se um dado não-tendencioso. Se o resultado é par, qual é a probabilidade de que tenha 
sido um "quatro"? 
(A) 1/2 
(B) 1/3 
(C) 1/4 
(D) 1/5 
(E) 1/6 
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Resolução. 
A pergunta pode ser resumida como: qual a probabilidade de sair o número 4, dado que o 
resultado é par. 
Inicialmente temos o seguinte: 
- caso favorável: 4 
- casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6. 
Mas temos uma condição a ser obedecida. É dado que o resultado é par. Assim, precisamos 
rever nossa lista de casos possíveis e favoráveis. Devemos excluir todos os resultados que são 
ímpares. 
- caso favorável: 4 
- casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6. 
 
E a probabilidade fica: 
3
1
__
__
==
possiveiscasosnumero
favoraveiscasosnumeroP 
Gabarito: B 
 
3 Fórmula da probabilidade condicional e da probabilidade da intersecção 
Uma outra forma de resolver exercícios de probabilidade condicional é por meio de uma 
fórmula. 
Considere o lançamento de um dado. Antes de ver o resultado, queremos calcular a 
probabilidade de ter saído um múltiplo de 3. Qual a probabilidade deste evento? 
A probabilidade é de 2/6. Certo? Temos dois casos favoráveis (3 e 6) em seis casos possíveis. 
Vamos mudar um pouco o exemplo. O dado é lançado. Antes de vermos o resultado, alguém 
nos informa: saiu um número maior que 4. 
Pronto. Agora temos uma informação nova. 
Queremoscalcular a probabilidade de ter saído um múltiplo de 3 DADO que saiu um número 
maior que 4. Temos uma informação nova, que devemos utilizar. 
Agora a probabilidade muda. Temos apenas dois casos possíveis (5 e 6). E, dentre os casos 
possíveis, apenas um nos é favorável (6). Neste segundo caso, a probabilidade é igual a 1/2. 
Se fôssemos resumir isto em uma fórmula, ficaria assim: 
)(
)()|(
BP
BAPBAP ∩= 
Nosso espaço amostral pode ser representado pelo seguinte conjunto: 
{1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Temos dois eventos. 
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Se lançarmos o dado e obtivermos uma face múltipla de 3, temos o evento ‘A’. O evento ‘A’ 
é um subconjunto do espaço amostral. 
A = {3, 6} 
Se lançarmos o dado e obtivermos uma face maior que 4, temos o evento ‘B’. 
B = {5, 6}. 
A intersecção dos dois conjuntos acima é dada por: 
A ∩ B = {6} 
O símbolo que parece um ‘U’ de cabeça pra baixo indica a intersecção. Neste exemplo, está 
associado ao resultado do lançamento do dado que é, simultaneamente, maior que 4 e 
múltiplo de 3. 
As probabilidades relacionadas são: 
· )(AP é a probabilidade de o evento A ocorrer. 
· )(BP é a probabilidade de o evento B ocorrer. 
· )( BAP ∩ é a probabilidade de A e B ocorrerem simultaneamente. O símbolo que parece 
um “U” de cabeça para baixo indica intersecção. Ou seja, estamos interessados nos casos 
em que os dois eventos ocorrem simultaneamente. 
· )|( BAP é a probabilidade de o evento A ocorrer, DADO que o evento B ocorreu. É a 
probabilidade de A, condicionada ao acontecimento de B. 
No caso do lançamento do dado, ficamos com: 
6
2)( =AP (casos favoráveis: 3, 6; casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6) 
6
2)( =BP (casos favoráveis: 5, 6; casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6) 
6
1)( =∩ BAP (caso favorável: 6 – só o número 6 é, ao mesmo tempo, maior que 4 e múltiplo 
de 3; casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6) 
Aplicando a fórmula: 
)(
)()|(
BP
BAPBAP ∩= 
2
1
6
2
6
1)|( =÷=BAP 
Portanto, a probabilidade de sair um múltiplo de 3 dado que saiu um número maior que 4 é de 
50%. 
 
Um diagrama destes conjuntos ajuda a entender melhor a fórmula. 
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O nosso espaço amostral é representado pelo retângulo azul. Nele, temos todos os possíveis 
resultados do lançamento do dado {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
Dentro do espaço amostral temos dois conjuntos destacados. O conjunto vermelho representa 
o evento A (múltiplos de 3). O conjunto verde representa o evento B (maiores que 4). 
É dado que o resultado do lançamento do dado é maior que 4. Ou seja, já sabemos que o 
resultado, qualquer que seja, deve estar dentro do conjunto verde. 
Todos os resultados fora do conjunto verde são descartados. É como se a condição 
estabelecida modificasse nosso espaço amostral. 
Nosso espaço amostral modificado se reduziria ao conjunto verde. 
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Agora, a única possibilidade de o evento A ter ocorrido corresponde ao número que, além de 
ser múltiplo de 3, também é maior que 4. Ou seja, corresponde ao elemento que está na 
intersecção entre A e B. 
 
Ou seja, temos uma condição (o resultado é maior que 4, ou seja, ocorreu o evento B). Graças 
a esta condição, os casos favoráveis estão relacionados à intersecção e os casos possíveis 
estão relacionados ao conjunto B. 
Logo, a probabilidade fica “casos favoráveis” sobre “casos possíveis”. 
Vou indicar por “n( )” o número de elementos de cada conjunto. 
A probabilidade condicional fica: 
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13
)(
)()|(
Bn
BAnBAP ∩= 
Dividindo o numerador e o denominador pelo número de elementos do espaço amostral (S): 
)()(
)()()|(
SnBn
SnBAnBAP
÷
÷∩
= 
O que conduz a: 
)(
)()|(
BP
BAPBAP ∩= 
Dizemos que o evento ‘A’ é independente do evento ‘B’ quando )()|( APBAP = . Ou seja, o 
fato de ‘B’ ter ocorrido não influi em nada na probabilidade de ‘A’. 
 
→ 
FÓRMULA DA PROBABILIDADE CONDICIONAL: 
)(
)()|(
BP
BAPBAP ∩= 
Se A e B são independentes, então: 
)()|( APBAP = e )()|( BPABP = 
 
É interessante observar que, a partir da fórmula da probabilidade condicional, podemos 
chegar à fórmula da probabilidade da intersecção de dois eventos: 
)()|()(
)(
)()|( BPBAPBAP
BP
BAPBAP ×=∩⇒∩= 
Na situação de independência entre os eventos, chegamos ao seguinte: 
⇒
⎭
⎬
⎫
=
×=∩
)()|(
)()|()(
APBAP
BPBAPBAP
)()()( BPAPBAP ×=∩ 
 
Quando dois eventos são independentes, a probabilidade da intersecção é igual ao produto das 
probabilidades. 
→ 
PROBABILIDADE DA INTERSECÇÃO DE DOIS EVENTOS 
)()|()( BPBAPBAP ×=∩ 
Quando os eventos são independentes, a probabilidade da intersecção é igual ao produto das 
probabilidades. A fórmula se reduz a: 
)()()( BPAPBAP ×=∩ 
 
EC 5. MPU/2004 [ESAF] 
Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações que dispõe, 
ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a 
probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambas, Ana e 
Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos, então, recebe um telefonema de Ana informando 
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que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora 
estima corretamente que a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a 
a) 2/3 
b) 1/7 
c) 1/3 
d) 5/7 
e) 4/7 
 
Resolução: 
Primeiro vamos resolver sem a fórmula. 
Vamos imaginar a seguinte situação, bem esdrúxula. 
 
Ana sempre vai a Paris na segunda, terça e quarta. 
Beatriz sempre vai a Paris na quarta e quinta. 
 
Carlos sabe dessas informações. Só que Carlos é concurseiro. Ficou tanto tempo estudando 
para concurso, sem parar, que perdeu a noção do tempo e não sabe que dia é hoje. 
Para ele, a probabilidade de hoje ser segunda é de 1/7. E de ser terça também é 1/7. Idem para 
qualquer outro dia da semana. 
E mais. 
A probabilidade de Ana estar hoje em Paris é de 3/7 (casos favoráveis: segunda, terça e 
quarta). 
A probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é de 2/7 (casos favoráveis: quarta e quinta). 
A probabilidade de ambas estarem hoje em Paris é de 1/7 (caso favorável: quarta) 
 
Ana informa a Carlos: hoje estou em Paris. 
Aí Carlos conclui: com certeza hoje só pode ser ou segunda, ou terça ou quarta. 
Ou seja, agora temos três casos possíveis: 
Segunda, terça, quarta. 
E Carlos está interessado nos dias em que Beatriz também vai estar em Paris. Só tem um caso 
favorável: quarta feira. 
Caso favorável: 
Quarta. 
 
Logo, a probabilidade de Beatriz estar em Paris, dado que Ana está em Paris, é: 
3
1
=P 
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15
Gabarito: C 
 
Agora vamos usar a fórmula. 
Seja “A” o evento que ocorre quando, escolhendo-se um dia da semana ao acaso, ele é um dia 
em que Ana está em Paris. 
Seja “B” o evento análogo, referente aos dias em que Beatriz está em Paris. 
O exercício disse que: 
7/3)( =AP 
7/2)( =BP 
7/1)( =∩ BAP 
E foi pedido: 
?)( =ABP 
Usando a fórmula: 
3
1
7/3
7/1
)(
)()( ==∩=
AP
ABPABP 
 
EC 6. Sefaz RJ 2009 [FGV] 
Os eventos A e B são tais que P(A) = 0,4 e P(B) = 0,9. Assinale a única alternativa que 
apresenta um possível valor para P(A ∩ B). 
(A) 0,13. 
(B) 0,22. 
(C) 0,31. 
(D) 0,49. 
(E) 0,54. 
 
Resolução: 
Como vimos no começo deste tópico, a representação dos conjuntos em um diagrama acaba 
guardando perfeitarelação com as probabilidades envolvidas. Podemos, portanto, representar 
nos diagramas diretamente as probabilidades. 
Seja x a probabilidade da intersecção entre A e B. Temos: 
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16
 
Todas as regiões acima correspondem a probabilidades. Como não existe probabilidade 
negativa, então: 
4,004,0 ≤⇒≥− xx 
Se somarmos todas as probabilidades acima, devemos ter, no máximo, 100% (não existe 
probabilidade superior a 1). 
1)9,0()4,0( ≤−++− xxx 
13,1 ≤− x 
3,0≥x 
Com isso, concluímos que x dever ser maior ou igual a 30%, para que a soma das 
probabilidades não supere 100%. Além disso, x deve ser menor ou igual a 40%, para que não 
haja probabilidades negativas. 
4,03,0 ≤≤ x 
A única alternativa possível é a letra C (pois 31% está entre 30% e 40%) 
Gabarito: C 
 
EC 7. Sefaz RJ 2009 [FGV] 
Um torneio será disputado por 4 tenistas (entre os quais A e B) de mesma habilidade, isto é, 
em qualquer jogo entre dois dos quatro jogadores, ambos têm a mesma chance de ganhar. Na 
primeira rodada, eles se enfrentarão em dois jogos, com adversários definidos por sorteio. Os 
vencedores disputarão a final. A probabilidade de que o torneio termine com A derrotando B 
na final é: 
(A) 1/2. 
(B) 1/4. 
(C) 1/6. 
(D) 1/8. 
(E) 1/12. 
 
Resolução: 
Podemos pensar que este torneio é realizado muitas e muitas vezes. Todo final de semana 
estes quatro tenistas jogam entre si (sábado são as semifinais e domingo são as finais). 
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Seja Q o evento que ocorre quando, escolhido um destes torneios aleatoriamente, “A” inicia 
jogando com “C” ou “D”. 
A probabilidade de isso acontecer é de 2/3 (são dois casos favoráveis em 3 possíveis). 
3/2)( =QP 
Seja R o evento que ocorre quando “A” ganha sua primeira partida. 
2/1)( =QRP 
Seja S o evento que ocorre quando “B” ganha sua primeira partida. 
2/1),( =RQSP 
Seja “T” o evento que ocorre quando “A” derrota “B” na final 
2/1),,( =SRQTP 
Queremos que todos estes eventos ocorram. Ou seja, queremos que “A” inicie jogando com 
“C” ou “D”, queremos que “A” ganhe sua primeira partida, que “B” ganhe sua primeira 
partida e, finalmente, que “A” derrote “B” na final. 
?)( =∩∩∩ TSRQP 
Vimos a fórmula da probabilidade da intersecção para dois eventos. Ela pode ser estendida 
para mais eventos, assim: 
( ) ( )TSRQPTSRQP ∩∩∩=∩∩∩ )( 
Com isso, chegamos a: 
( ) ),,()()( SRQTPSRQPTSRQP ×∩∩=∩∩∩ 
2
1)( ×∩∩= SRQP 
Agora precisamos calcular a probabilidade da intersecção de Q, R e S. Basta aplicar o mesmo 
raciocínio: 
( )SRQP ∩∩= )(
2
1
× 
= ),()( RQSPRQP ×∩
2
1
× 
= )( RQP ∩
2
1
×
2
1
× 
Finalmente, precisamos calcular a probabilidade da intersecção de Q e R. 
= )( RQP ∩
2
1
×
2
1
× 
= )()( QRPQP ×
2
1
×
2
1
× 
= 
2
1
3
2
×
2
1
×
2
1
× 
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18
= 
12
1 
Gabarito: E 
 
4 Probabilidade da união de dois eventos 
Nós até já vimos alguns exercícios em que calculamos a probabilidade da união de dois 
eventos. Só que não usamos nenhuma fórmula. Lembram do exemplo do dado, lá do começo 
da aula? Queríamos calcular a probabilidade de sair um múltiplo de 3. Pois bem, seja ‘A’ o 
evento que ocorre quando, lançando um dado honesto, obtém-se uma face múltipla de 3. 
Sabemos que: 
A= {3, 6}. 
O espaço amostral é dado por: 
{1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Na ocasião, para calcularmos a probabilidade de ‘A’, dividimos o número de elementos do 
evento (=2) pelo número de elementos do espaço amostral (=6). 
 
Haveria uma outra possibilidade de realizarmos este cálculo. Observe que o conjunto ‘A ainda 
pode ser decomposto em mais conjuntos. 
Seja ‘B’ o evento que ocorre quando, lançando o dado, obtém-se a face 3. Seja ‘C o evento 
que ocorre quando se obtém a face ‘6’. 
B = {3} 
C = {6} 
 
Podemos dizer que: 
CBA ∪= 
O evento ‘A’ é igual à união entre os eventos ‘B e ‘C’. Ou seja, a probabilidade de sair um 
múltiplo de 3 (=evento A) é equivalente à probabilidade da união dos eventos “sair 3” e “sair 
6”. 
Assim, em vez de calcularmos diretamente a probabilidade do evento A, poderíamos ter 
calculado as probabilidades de ‘B’ e ‘C’ e, em seguida, usando a probabilidade da união de 
dois eventos, obtido a probabilidade de ‘A’. 
Logo abaixo veremos que existe uma fórmula para o cálculo da união de dois eventos. Nem 
sempre a gente precisa dela. Aliás, em grande parte dos exercícios, dá para ir bem sem ela. 
Mas é bom saber que existe. 
 
EP 4 Uma escola de ensino fundamental oferece cursos de idiomas. São disponibilizados 
cursos de inglês e espanhol. Os alunos podem optar por fazer nenhum, um ou os dois cursos. 
Atualmente temos a seguinte situação: 
· 30 alunos fazem inglês. 
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· 20 alunos fazem inglês e espanhol. 
· 35 alunos fazem espanhol. 
· 25 alunos não fazem nem inglês nem espanhol. 
Sorteamos um aluno dessa escola. Qual a probabilidade de o aluno sorteado cursar inglês ou 
espanhol? 
 
Resolução: 
Sorteia-se aleatoriamente um aluno. Quando o aluno sorteado cursa inglês, temos o evento ‘I’. 
Quando o aluno sorteado cursa espanhol, temos o evento ‘E’. 
Queremos calcular a probabilidade do aluno fazer inglês ou espanhol. Ou seja, estamos 
interessados naqueles alunos que fazem só inglês, que fazem só espanhol e que fazem inglês e 
espanhol. 
Estamos interessados na união dos eventos “E” e “I”. 
?)( =∪ IEP 
Esse símbolo que parece um “U” é o símbolo de união. Indica que estamos interessados nos 
casos em que pelo menos um dos dois eventos ocorra. Neste exemplo, estamos interessados 
nos alunos que fazem pelo menos um dos dois idiomas. 
Vamos representar graficamente os alunos dessa escola. 
alunos que fazem 
espanholalunos que 
fazem ingles
10 20 15
25 
Dentro do círculo azul temos os trinta alunos que fazem inglês. Dez deles estão dentro do 
circulo azul, mas não estão dentro do círculo vermelho. 
Dentro do círculo vermelho temos os trinta e cinco que fazem espanhol. Quinze deles estão 
dentro do círculo vermelho, mas não estão dentro do círculo azul. 
Outros vinte estão nos dois círculos simultaneamente. São os que fazem inglês e espanhol. 
E os 25 que estão de fora dos dois círculos não fazem inglês nem espanhol. 
Casos favoráveis são aqueles que estão em pelo menos um dos dois círculos. Ou seja, são os 
alunos que fazem pelo menos um dos dois idiomas. São 45 casos favoráveis. 
E casos possíveis são todos os alunos da escola. São 45, que fazem pelo menos um curso de 
idioma, e mais 25, que não fazem nenhum curso de idioma, totalizando 70 alunos. 
A probabilidade de o aluno ser sorteado fazer inglês ou espanhol é: 
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20
70
45)( =∪ IEP 
Ok, agora vejamos a fórmula para calcular a probabilidade da união de dois eventos. 
A probabilidade do aluno sorteado cursar inglês é: 
70
30)( =IP 
A probabilidade do aluno sorteado cursar espanhol é: 
70
35)( =EP 
A probabilidade do aluno sorteado cursar inglês e espanhol, simultaneamente, é: 
70
20)( =∩ IEP 
Para encontrar a probabilidade do aluno sorteado cursar inglês ou espanhol, precisamos saber 
quantos são os casos favoráveis. 
São 30 alunos que fazem inglês. São 35 que fazem espanhol. Portanto, para saber quantos 
alunos fazem inglês ou espanhol, somamos esses dois valores. 
 
Número de alunos que fazem inglês ou espanhol: 30 + 35 = 65 
Só que tem um problema. Quando fazemos esta conta, estamos ignorando que há alunos que 
fazem, ao mesmo tempo, inglês e espanhol. Esses alunosforam contados duas vezes. São 20 
alunos que foram contados em duplicidade. Portanto, do total acima, temos que tirar 20. 
 
Número de alunos que fazem inglês ou espanhol: 30 + 35 – 20 
 
Pronto. Achamos o total de casos favoráveis. Se dividirmos esse valor pelo total de casos 
possíveis, achamos a probabilidade procurada. 
70
203530)( −+=∪ IEP 
70
20
70
35
70
30)( −+=∪ IEP 
)()()()( IEPIPEPIEP ∩−+=∪ 
 
Resumindo, quando temos dois eventos quaisquer A e B, a probabilidade da união dos dois 
eventos é: 
)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪ 
 
Quando ‘A’ e ‘B’ não têm elementos em comum, isto é, quando a intersecção entre ambos é 
nula, dizemos que são eventos mutuamente excludentes. 
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Se os dois eventos forem mutuamente excludentes, temos: 
0)( =∩ BAP 
Neste caso, a probabilidade da união fica: 
)()()( BPAPBAP +=∪ 
 
→ 
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DE DOIS EVENTOS A e B 
)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪ 
Se A e B forem mutuamente excludentes, a fórmula se reduz a: 
)()()( BPAPBAP +=∪ 
 
EP 5 Calcule a probabilidade de, ao lançarmos um dado honesto, sair um número par. 
 
Resolução: 
Queremos calcular a probabilidade da união dos eventos “sair 2”, “sair 4” e “sair 6”. 
Todos esses eventos são mutuamente exclusivos. Por quê? 
Porque não tem como o lançamento de um dado resultar, simultaneamente, em 2 e 4, ou em 2 
e 6, ou em 4 e 6. 
Nestes casos, a probabilidade da soma é igual à soma das probabilidades dos eventos. 
%506/33/13/13/1)6()4()2()_( ==++=++= PPPparsairP 
 
Outra forma de resolver é escrevendo os casos possíveis e os casos favoráveis. 
São 6 casos possíveis: 
1, 2, 3, 4, 5, 6 
São 3 casos favoráveis: 
2, 4, 6 
%506/3 ==P 
 
EP 6 No lançamento de dois dados honestos: 
a) qual a probabilidade de sair um número par no primeiro dado e de sair o número 5 no 
segundo? 
b) qual a probabilidade de sair um número par no primeiro dado ou sair o número 5 no 
segundo dado? 
 
Resolução: 
Agora temos lançamentos de dois dados. O espaço amostral, que é o conjunto de todos os 
resultados possíveis, fica: 
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{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), 
(3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), 
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} 
 
Seja ‘A’ o evento “sair número par no primeiro dado”. 
Seja ‘B’ o evento “sair o número 5 no segundo dado”. 
 
Vamos escrever os dois eventos: 
A = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,1), (6,2), 
(6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} 
 
B = {(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)} 
 
‘A’ tem 18 elementos. ‘B’ tem 6 elementos. O espaço amostral tem 36 elementos. 
36/18)( =AP 
36/6)( =BP 
 
Letra a). 
Queremos que os dois eventos ocorram simultaneamente. Estamos interessados na intersecção 
dos eventos ‘A’ e ‘B’. 
A intersecção de ‘A’ e ‘B’ tem 3 elementos: 
)}5,6(),5,4(),5,2{(=∩ BA 
A probabilidade da interseção fica: 
36/3)( =∩ BAP 
Interessante observar que o resultado do lançamento de um dado em nada influi no resultado 
do outro dado. Os resultados dos dois lançamentos são independentes. Os eventos ‘A’ e ‘B’ 
são independentes. 
Note que: 
)()()( BPAPBAP ×=∩ 
 
Letra b) 
A união entre os dois eventos é dada por: 
A ∪ B = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,1), 
(6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (1,5), (3,5), (5,5)} 
A união tem 21 elementos. 
12/736/21)( ==∪ BAP 
 
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Outra forma de resolução seria usar a fórmula da união. 
)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪ 
12
7
36
21
36
3
36
6
36
18)( ==−+=∪ BAP 
 
EC 8. Potigas 2006 [FGV] 
Uma moeda não-tendenciosa é lançada até que ocorram dois resultados sucessivos iguais. A 
probabilidade de que ela seja lançada quatro vezes é: 
(A) 1/8. 
(B) 3/8. 
(C) 1/2. 
(D) 5/8. 
(E) 2/3 
 
Resolução: 
Vou representar coroa por K e cara por C. 
Considere a seguinte seqüência: 
C, K, C, K, K 
A moeda precisou ser lançada 5 vezes para ocorrerem dois resultados iguais e sucessivos. Do 
jeito que o enunciado está escrito, esta seqüência atende ao comando da questão. Se a moeda 
foi lançada cinco vezes, então ela foi lançada quatro vezes. Assim, do jeito que está escrito, 
teríamos que calcular a probabilidade de a moeda ser lançada 4 ou mais vezes. 
E aí vem o problema: fazendo desta forma, não encontramos nenhuma alternativa. 
 
Aí vem o que eu sempre digo. Não brigue com o enunciado. Não durante a prova. Deixe para 
brigar com o enunciado na fase dos recursos. 
Lá na hora da prova, tente entender o que o examinador quer. Neste caso, houve uma 
imprecisão. O que a questão quer é que a moeda seja lançada exatamente 4 vezes. Ou seja, 
ela quer que os dois resultados sucessivos e iguais ocorram no terceiro e no quarto 
lançamentos. 
Existem duas seqüências que satisfazem esta condição: 
C, K, C, C 
K, C, K, K 
Vamos calcular a probabilidade de a primeira seqüência ocorrer. 
Seja A o evento que ocorre quando o primeiro lançamento resulta em cara. 
Analogamente, sejam B, C e D os eventos que ocorrem quando o segundo, o terceiro e o 
quarto lançamento resultam, respectivamente, em coroa, cara e cara. 
Queremos calcular a seguinte probabilidade: 
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?)( =∩∩∩ DCBAP 
Os lançamentos são independentes. O resultado de um lançamento em nada interfere no 
resultado dos demais. Quando isso ocorre, a probabilidade da intersecção é igual ao produto 
das probabilidades. 
)()()()()( DPCPBPAPDCBAP ×××=∩∩∩ 
Todos os eventos têm probabilidade de 50%. 
42
1
2
1
2
1
2
1
2
1)( =×××=∩∩∩ DCBAP 
Para a sequencia K, C, K, K as contas são análogas. A probabilidade também será de 42
1 . 
Ok, já sabemos que: 
C, K, C, C tem probabilidade 42
1 
K, C, K, K tem probabilidade 42
1 
Para que a moeda seja lançada exatamente 4 vezes, deve ocorrer a primeira seqüência ou a 
segunda. Ou seja, queremos a probabilidade da união destas duas seqüências. Como são 
eventos mutuamente excludentes, a probabilidade da união é igual à soma das probabilidades. 
42
1 + 42
1 = =× 42
12 32
1 
 Gabarito: A 
 
EC 9. Sefaz RJ 2007 [FGV] 
Sejam A e B dois eventos definidos em um espaço amostral S de modo que P(A) = 0,70, P(B) 
= 0,20 e P(A ∩ B) = 0,14. Então, pode-se dizer que A e B são eventos: 
(A) mutuamente exclusivos. 
(B) complementares. 
(C) independentes. 
(D) condicionais. 
(E) elementares. 
 
Resolução. 
Letra A: Para que A e B sejam mutuamente exclusivos, a intersecção deveria ser nula (o que 
implica em probabilidade zero). Não é o que ocorre, pois P(A ∩ B) = 0,14. 
 
Letra B: Ainda não estudamos eventos complementares. Por hora, fiquem com a informação 
de que, se A e B são complementares, então a soma de suas probabilidades é igual a 100%. 
Não é o que ocorre (0,7 + 0,2 = 0,9). 
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25
 
Letra C: Para que A e B sejam independentes, a probabilidade da intersecção é igual ao 
produto das probabilidades. 
2,07,0)()( ×=× BPAP 
= 0,14 
= )( BAP ∩ 
Concluímos que os dois eventos são independentes. 
 
Letra D: não faz sentido falar em eventos condicionais. 
 
Letra E: Se A e B fossem elementares, eles não poderiam ser divididos em outros eventos 
menores. Mas, como a própria questão informou, existe o evento BA∩ , com probabilidade 
não nula.Este evento tem probabilidade inferior às probabilidades de A e de B. Logo, é um 
evento contido nos anteriores. Isso já permite concluir que A e B não são elementares. 
Gabarito: C 
 
EC 10. Sefaz RJ 2008 [FGV] 
Sejam A, B e C três eventos quaisquer definidos em um espaço amostral S. Então, P(A) + 
P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) refere-se à probabilidade da ocorrência de: 
(A) um ou dois dos eventos. 
(B) exatamente um dos eventos. 
(C) pelo menos um dos eventos. 
(D) no máximo dois eventos. 
(E) pelo menos dois eventos. 
 
Resolução: 
Vamos novamente fazer um diagrama das probabilidades. 
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Vamos calcular cada parcela da soma: 
- P(A): fedb +++ 
- P(B): gfdc +++ 
- P(C): dcba +++ 
- P(A ∩ B): fd + 
- P(A ∩ C): db + 
- P(B ∩ C): dc + 
 
Fazendo a soma, temos: 
Parte positiva Parte negativa 
fedb +++ 
gfdc +++ 
dcba +++ 
fd + 
db + 
dc + 
Após as simplificações, temos: 
bagcfe +++++ 
Vamos destacar esta área no diagrama. 
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27
 
O único pedaço que ficou de fora foi a intersecção dos três eventos. Ou seja, a probabilidade 
acima corresponde à probabilidade de ocorrer exatamente um evento ( gea ++ ) ou 
exatamente dois eventos ( fcb ++ ). Não há alternativa que contemple esta resposta. 
Estamos diante de outra imprecisão. Novamente: não brigue com o enunciado. Aceitando 
imprecisões, a alternativa mais adequada seria a letra A, que menciona a probabilidade de 
ocorrerem um ou dois eventos. 
 
Qual o problema desta redação? O problema é que, se ocorrem três eventos, então ocorrem 
dois eventos. Ou seja, a probabilidade indicada na letra A deveria contemplar, também, a 
intersecção dos três eventos. 
É exatamente o mesmo problema de redação da questão EC 8, o que já é um importante sinal 
de que a banca não liga muito para este tipo de detalhe. Se na próxima prova você se deparar 
com algo semelhante, já saberá como fazer a interpretação. 
Gabarito: A 
 
EC 11. Sefaz RJ 2007 [FGV] 
A tabela abaixo apresenta a distribuição de 1.000 pessoas classificadas por Sexo (Masculino e 
Feminino) e Estado Civil (Solteiro, Casado e Viúvo). 
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28
 
Uma pessoa é selecionada ao acaso. A probabilidade de que ela seja do sexo Feminino ou 
Viúva é igual a: 
(A) 0,6. 
(B) 0,2. 
(C) 0,4. 
(D) 0,7. 
(E) 0,5. 
 
Resolução. 
Seja A o evento que ocorre quando, selecionando aleatoriamente uma pessoa, ela é do sexo 
feminino. 
Seja B o evento que ocorre quando, selecionando aleatoriamente uma pessoa, ela é viúva. 
A partir da tabela, temos: 
000.1
400)( =AP 
000.1
200)( =BP 
000.1
100)( =∩ BAP 
Logo: 
)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪ 
5,0
000.1
100200400)( =−+=∪ BAP 
Gabarito: E 
 
EC 12. Senado 2008 [FGV] 
A tabela a seguir apresenta o número estimado da população em cada região brasileira no ano 
de 2007 (fonte: IBGE), a porcentagem estimada de pessoas por região que possuem aparelho 
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29
de telefone celular (fonte: TIC Domicílios do NIC.br), e a multiplicação dessas duas 
quantidades por região (pop x cel), com duas casas decimais de precisão: 
 
De acordo com a tabela acima, a probabilidade aproximada de um brasileiro que possui 
aparelho celular viver na região Norte ou na região Sul é: 
(A) 12,4%. 
(B) 20,2%. 
(C) 24,1%. 
(D) 35,8%. 
(E) 42,6%. 
 
Resolução: 
É dado que o brasileiro escolhido tem aparelho celular. Ou seja, os casos possíveis são os 
93,66 milhões de brasileiros que possuem celular. 
Os casos favoráveis são aqueles que possuem celular e moram na região Norte ou Sul. Estão 
nesta condição: 
=+ 29,1628,6 22,57 milhões de habitantes. 
A probabilidade fica: 
==
66,93
57,22P 0,241 
Gabarito: C 
 
5 Probabilidade do evento complementar 
Quando temos um experimento, dizemos que o conjunto de todos os resultados possíveis é o 
espaço amostral. 
Por exemplo, o lançamento de um dado pode resultar em 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. 
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30
O espaço amostral é: 
{1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
Outro exemplo. Temos um tetraedro com faces 1, 2, 3, 4. Lançamo-lo duas vezes. O espaço 
amostral é: 
{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), 
(4,4)} 
 
Dizemos que dois eventos são complementares quando, simultaneamente, temos: 
· a união dos dois eventos resulta no espaço amostral 
· os dois eventos são mutuamente excludentes (eles não têm elementos em comum; a 
intersecção entre ambos é vazia) 
Ou seja, qualquer resultado possível estará contido em dos dois eventos. Os dois eventos, 
juntos, conseguem englobar todos os resultados possíveis. E mais que isso: não há nenhum 
resultado que satisfaça, simultaneamente, aos dois eventos. 
Com alguns exemplos fica mais fácil. 
Novamente, considere o resultado do lançamento de um dado. 
Seja ‘A’ o evento “sair número par”. Seja ‘B’ o evento “sair número ímpar”. 
Os eventos ‘A’ e ‘B’, unidos, englobam todas as possibilidades. Não tem como lançar um 
dado e dar um resultado que não seja um número par e não seja um número ímpar. 
Além disso, não há intersecção entre os dois eventos. Não tem nenhum resultado de um dado 
que seja, ao mesmo tempo, par e ímpar. 
Dizemos que os eventos ‘A’ e ‘B’ são complementares. 
 
Ainda em relação ao lançamento do dado. 
Seja ‘C’ o evento “sair um número maior ou igual a 4”. Seja ‘D’ o evento “sair um número 
menor que 4”. 
Esses dois eventos, unidos, englobam todos casos possíveis. Não dá para lançar um dado e 
obter um resultado que não seja maior ou igual a 4 nem menor que 4. 
Além disso, não há nenhum resultado que pertença ao mesmo tempo aos dois eventos. 
Os eventos ‘C’ e ‘D’ são complementares. 
 
Continuemos com o lançamento do dado. 
Seja ‘E’ o evento “sair um número menor que 5”. Seja ‘F’ o evento “sair um número maior 
que 3”. 
Os dois eventos, juntos, englobam todos os casos possíveis. 
Mas os dois eventos não são complementares. Existe um resultado que pertence aos dois 
eventos. O resultado “4” é maior que 3 e também é menor que 5. 
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31
 
Ainda em relação ao lançamento do dado. 
Seja ‘G’ o evento “sair um número menor que 4”. Seja ‘H’ o evento “sair um número maior 
que 4”. 
‘G’ e ‘H’ não têm elementos em comum. Só que não englobam todos os casos possíveis. O 
resultado 4 não é nem menor que 4 nem maior que 4. Este resultado não está contemplado em 
nenhum dos dois eventos. ‘G’ e ‘H’ não são complementares. 
 
Geralmente o evento complementar é indicado por uma barra. 
Continuemos com o lançamento do dado. Seja Z o evento “sair um múltiplo de 3”. O evento 
complementar de Z é indicado por: Z 
Z é o evento “não sair um múltiplo de 3”. 
Note que Z e Z , juntos, englobam todos os casos. Além disso, não têm elementos em 
comum. São eventos complementares. 
 
Agora vem o que interessa pra gente. Sejam A e A dois eventos complementares. 
Vamos calcular a probabilidade da união desses dois eventos. Usando a fórmula da 
probabilidade da união, temos: 
)()()()( AAPAPAPAAP ∩−+=∪ 
Mas nós vimos que a intersecção entre eventos complementares é vazia. Sua probabilidade é 
nula. 
0)()()( −+=∪ APAPAAP 
)()()( APAPAAP +=∪ 
E nós vimos também que a união entre eventos complementares é justamente o espaço 
amostral. A probabilidade deocorrer o espaço amostral é sempre igual a 1. 
Ficou em dúvida? 
Considere o lançamento do dado. 
O espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
Considere o evento que ocorre quando lançamos o dado e sai um número de 1 a 6. Qual a 
probabilidade deste evento? É de 100%. Com certeza, quando lançarmos o dado, vai sair um 
número de 1 a 6. Isto porque esse evento é simplesmente igual ao espaço amostral. A 
probabilidade de ocorrer o espaço amostral é de 100%. 
)()()( APAPAAP +=∪ 
)()(1 APAP += 
E é esse resultado que nos interessa. 
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→ 
PROBABILIDADE DA UNIÃO DO EVENTO COMPLEMENTAR 
Sejam A e A dois eventos complementares. Então: 
)()(1 APAP += 
 
EC 13. MPU/2004 [ESAF] 
Quando Lígia pára em um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir para verificar o 
nível de óleo é 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é 0,11 e a 
probabilidade de ela pedir para verificar ambos, óleo e pneus, é 0,04.Portanto, a probabilidade 
de Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem para verificar o nível de óleo e nem 
para verificar a pressão dos pneus é igual a 
a) 0,25 
b) 0,35 
c) 0,45 
d) 0,15 
e) 0,65. 
 
Resolução: 
Primeiro vamos usar a fórmula. 
Vamos calcular a probabilidade de Lígia verificar pelo menos um dos dois (óleo/pneu). 
Dizendo de outra forma: vamos calcular a probabilidade de Lígia verificar o óleo ou o pneu. 
Lígia vai ao posto de gasolina em diversos dias. Selecionando-se ao acaso um desses dias, 
ocorre o evento ‘A’ quando, no dia escolhido, ela verifica o óleo. Ocorre o evento ‘B’ quando, 
no dia sorteado, ela verifica o pneu. 
Temos: 
)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪ 
O enunciado disse que: 
28,0)( =AP 
11,0)( =BP 
04,0)( =∩ BAP 
 
Portanto: 
)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪ 
35,004,011,028,0)( =−+=∪ BAP 
A probabilidade de Lígia verificar pelo menos um dos dois (óleo ou pneu) é de 35%. 
Concluímos que a probabilidade de ela não verificar nenhum dos dois é: 
%6535,01 =−=P 
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Notem como a probabilidade do evento complementar é bem intuitiva. Ora, ou Lígia verifica 
alguma coisa (pneu, óleo ou ambos, pneu e óleo) ou não verifica nada. Não tem outra 
possibilidade. Portanto, se há 35% de chance de ela verificar alguma coisa, então há 65% de 
chance de ela não verificar nada. 
São dois eventos complementares. Somando os dois, tem que dar 100%. 
 
Antes de passarmos ao próximo exercício, destaco que dava para resolver este sem fórmula, 
apenas com diagramas. 
 
Lígia foi ao posto durante 100 dias. 
Em 28 ela chegou o óleo. Em 11 ela checou os pneus. Em 4 ela checou os dois juntos. 
Vamos representar graficamente o que ocorreu. 
24 74
dias em que 
verificou óleo dias em que 
verificou pneu
 
Ao todo são 100 dias. Já assinalamos 35. Faltam 65, em que Lígia não verifica nem pneus 
nem óleo. 
 
24 74
dias em que 
verificou óleo dias em que 
verificou pneu
65
 
Em 65 dos 100 dias ela não verifica nem pneus nem óleo. A probabilidade procurada, 
portanto, é de 65%. 
Gabarito: E. 
 
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EC 14. Besc 2004 [FGV] 
Dois jogadores, X e Y, apostaram em um jogo de cara-e-coroa, combinando que o primeiro a 
conseguir 6 vitórias ganharia a aposta. X já obteve 5 vitórias e Y, apenas 3. Qual é a 
probabilidade de X ganhar o jogo? 
(A) 7/8 
(B) 4/5 
(C) 3/4 
(D) 3/5 
(E) 1/2 
 
Resolução: 
Para que X ganhe o jogo, há várias combinações possíveis. Dá um certo trabalho calcular a 
probabilidade para todas elas. 
Vamos então focar em Y, que é bem mais fácil. Para que Y ganhe o jogo, ele necessariamente 
deve ganhar as três próximas jogadas. A probabilidade de se ganhar uma jogada é de 1/2. 
Como os lançamentos da moeda são independentes, a probabilidade da intersecção é o 
produto das probabilidades. 
Com isso, a probabilidade de Y ganhar a aposta é de: 
8
1
2
1
2
1
2
1
=×× 
Sabemos que ou X ganha a aposta, ou Y ganha a aposta. Não tem outra opção. São dois 
eventos complementares. Se a probabilidade de Y ganhar é de 1/8, então a probabilidade de X 
ganhar a aposta é de 7/8. 
Gabarito: A 
Esta é uma das cobranças mais comuns do evento complementar. Às vezes, a probabilidade 
do evento solicitado é meio trabalhosa de ser calculada. Nestes casos, pode ser muito mais 
simples trabalharmos com o evento complementar, como fizemos acima. 
Neste exercício em particular, quem tentasse calcular diretamente a probabilidade de X até 
que não demoraria tanto tempo assim. Mas há questões que só são viáveis se utilizarmos o 
evento complementar. 
 
EP 7 Lançamos um dado seis vezes. Qual a probabilidade de sair pelo menos uma vez o 
número 5? 
 
Resolução: 
Seja A o evento que ocorre quando, em pelo menos um dos 6 lançamentos, temos o resultado 
5. 
Uma primeira forma de resolução seria listar todos os casos possíveis e todos os casos 
favoráveis. 
Casos possíveis: 
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35
1; 1; 1; 1; 1; 1 
1; 1; 1; 1; 1; 2 
1; 1; 1; 1; 1; 3 
[...] 
E a lista continuaria com inúmeras linhas. Ficar listando todos os casos possíveis não dá. 
 
Poderíamos tentar resolver considerando que o evento ‘A’ é, na verdade, uma união de vários 
eventos. 
Precisaríamos calcular a probabilidade de: 
· Sair o número 5 exatamente 1 vez 
· Sair o número 5 exatamente 2 vezes 
· Sair o número 5 exatamente 3 vezes 
· Sair o número 5 exatamente 4 vezes 
· Sair o número 5 exatamente 5 vezes 
· Sair o número 5 exatamente 6 vezes 
Depois fazemos a união de todos esses eventos. A probabilidade da união de todos esses 
eventos é o resultado procurado. 
Só que isso dá um trabalhão. Só para que fique claro como os eventos acima são difíceis de 
lidar, tomemos o segundo deles. Trata-se do evento que ocorre quando, lançando o dado seis 
vezes, obtém-se o resultado 5 exatamente duas vezes. Para calcular a probabilidade 
relacionada, teríamos que dividir este evento em diversos outros eventos: 
· Sair o número 5 apenas no primeiro e no segundo lançamento; 
· Sair o número 5 apenas no primeiro e no terceiro lançamento; 
· Sair o número 5 apenas no primeiro e no quarto lançamento; 
· Sair o número 5 apenas no primeiro e no quinto lançamento; 
· Sair o número 5 apenas no primeiro e no sexto lançamento; 
· Sair o número 5 apenas no segundo e no terceiro lançamento; 
· Sair o número 5 apenas no segundo e no quarto lançamento; 
· Sair o número 5 apenas no segundo e no quinto lançamento; 
· Sair o número 5 apenas no segundo e no sexto lançamento; 
· Sair o número 5 apenas no terceiro e no quarto lançamento; 
· Sair o número 5 apenas no terceiro e no quinto lançamento; 
· Sair o número 5 apenas no terceiro e no sexto lançamento; 
· Sair o número 5 apenas no quarto e no quinto lançamento; 
· Sair o número 5 apenas no quarto e no sexto lançamento; 
· Sair o número 5 apenas no quinto e no sexto lançamento. 
 
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Depois, teríamos que fazer um procedimento análogo para todos os outros eventos (sair 5 
exatamente 1 vez; sair 5 exatamente três vezes; etc). 
Vamos procurar outra saída. 
O evento pedido no enunciado foi “sair 5 pelo menos 1 vez”. 
Qual seu evento complementar? 
Seu evento complementar é “não sair 5 nenhuma vez”. Vamos chamá-lo de A 
Ah, para esse evento complementar é bem mais fácil de calcularmos a probabilidade. 
Ele é a intersecção dos seguintes eventos: 
· Não sai 5 no primeiro lançamento 
· Não sai 5 no segundo lançamento· Não sai 5 no terceiro lançamento 
· Não sai 5 no quarto lançamento 
· Não sai 5 no quinto lançamento 
· Não sai 5 no sexto lançamento 
Todos os eventos acima têm probabilidade de 5/6. E todos eles são independentes. Isto porque 
o resultado de um lançamento não interfere em nada no resultado de qualquer outro 
lançamento. Vimos que, quando os eventos são independentes, a probabilidade da intersecção 
é igual ao produto das probabilidades. 
Ficamos com: 
6
6
5
6
5
6
5
6
5
6
5
6
5
6
5)( ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=×××××=AP 
Portanto: 
6
6
51)( ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−=AP 
A utilização do evento complementar facilitou muito as contas. 
O enunciado típico de utilização do evento complementar geralmente contém expressões 
como: “calcule a probabilidade de tal resultado ocorrer pelo menos uma vez.” 
Sempre que você se deparar com algo semelhante, lembre-se de verificar se a utilização do 
evento complementar facilita o cálculo. 
 
EC 15. MPU/2007 [FCC] 
A resistência (em toneladas) de vigas de concreto produzidas por uma empresa, comporta-se 
conforme a função de probabilidade abaixo: 
Resistência (toneladas) 2 3 4 5 6 
Probabilidade 0,1 0,1 0,4 0,2 0,2 
Admite-se que essas vigas são aprovadas para uso em construções se suportam pelo menos 4 
toneladas. De um grande lote de vigas fabricado pela empresa escolhemos ao acaso 4 vigas. 
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37
A probabilidade de pelo menos uma ser apta para construções é: 
a) 0,0016 
b) 0,1036 
c) 0,8800 
d) 0,9984 
e) 0,9990 
 
Resolução: 
Seja A o evento “pelo menos uma viga é apta”. Como de costume vejamos o evento 
complementar ( A ), qual seja, “nenhuma viga é apta”. 
Esse evento complementar é uma intersecção dos seguintes eventos, que devem ocorrer 
simultaneamente: 
· E1 - A primeira viga escolhida não é apta 
· E2 - A segunda viga escolhida não é apta 
· E3 - A terceira viga escolhida não é apta 
· E4 - A quarta viga escolhida não é apta 
4321 EEEEA ∩∩∩= 
Para uma viga não ser apta, ela deve apresentar resistência de 2 ou 3 toneladas. A 
probabilidade de uma viga não ser apta é de 20% (=0,1 + 0,1). 
Desse modo, todos os 4 eventos têm probabilidade de 20%. E todos eles são independentes. 
Assim, a probabilidade da intersecção se reduz a um produto das probabilidades. 
)4()3()2()1()4321( EPEPEPEPEEEEP ×××=∩∩∩ 
42,02,02,02,02,0)4321( =×××=∩∩∩ EEEEP 
Portanto: 
42,0)( =AP 
E a probabilidade de A fica: 
9984,00016,012,01)( 4 =−=−=AP 
Gabarito: D. 
 
EC 16. Minc 2006 [FGV] 
A probabilidade de uma tentativa ser bem-sucedida é 1/3. Qual é a probabilidade de, em três 
tentativas independentes, haver pelo menos uma bem-sucedida? 
(A) 7/27 
(B) 8/27 
(C) 19/27 
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38
(D) 20/27 
(E) 1 
 
Resolução: 
Podemos pensar que uma pessoa está praticando tiro ao alvo. A cada tiro, ela tem 1/3 de 
chance de acertar. Se ela atirar 3 vezes, qual a probabilidade de acertar o alvo pelo menos uma 
vez? 
 
Seja A o evento que ocorre quando, em três tiros, pelo menos um acerta o alvo. O evento 
complementar ocorre quando, em três tiros, todos erram o alvo. 
O evento complementar corresponde à intersecção dos três eventos abaixo: 
- o primeiro tiro erra o alvo 
- o segundo tiro erra o alvo 
- o terceiro tiro erra o alvo 
Como os tiros são independentes, a probabilidade da intersecção é o produto das 
probabilidades. 
27
8
3
2
3
2
3
2)( =××=AP 
Logo: 
27
19
27
81)( =−=AP 
Gabarito: C 
 
EC 17. Minc 2006 [FGV] 
Lança-se uma moeda não-tendenciosa até que seja obtido, pela segunda vez, o resultado cara. 
Qual é a probabilidade de serem feitos mais de quatro lançamentos? 
(A) 3/16 
(B) 5/16 
(C) 7/16 
(D) 9/16 
(E) 11/16 
 
Resolução: 
Vou representar coroa por K e cara por C. 
Seja “A” o evento que ocorre quando são feitos mais de 4 lançamentos para obtermos a 
segunda cara. 
Vamos pensar no evento complementar de A. 
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39
A ocorre quando obtemos a segunda cara no segundo, no terceiro, ou no quarto lançamento. 
O evento A corresponde às seguintes seqüências: 
C, C 
C, K, C 
K, C, C 
C, K, K, C 
K, K, C, C 
K, C, K, C 
Como, em cada lançamento, a probabilidade de C é igual à probabilidade de K, que é igual a 
1/2, temos que: 
- a primeira seqüência tem probabilidade 1/4. 
- a segunda e a terceira seqüência têm probabilidade 1/8. 
- a quarta, a quinta e a sexta seqüência têm probabilidade 1/16. 
Somando todas as probabilidades, ficamos com: 
16
11
16
344
16
3
8
2
4
1)( =++=++=AP 
Logo: 
16
5
16
111)( =−=AP 
Gabarito: B 
 
6 Teorema de Bayes. 
EC 18. BACEN 2001 [ESAF] 
Os registros de uma instituição financeira indicam que 90% das contas de empréstimo 
consideradas inadimplentes apresentaram pagamentos com mais de duas semanas de atraso 
em pelo menos duas prestações. Sabe-se também que 10% de todas as contas de empréstimo 
tornam-se inadimplentes e que 40% das contas de empréstimo integralmente liquidadas 
mostram pelo menos duas prestações com atraso no pagamento em mais de duas semanas. 
Assinale a opção que corresponde à probabilidade de que uma conta de empréstimo com duas 
ou mais prestações pagas com atraso de duas semanas torne-se inadimplente. 
a) 20% 
b) 10% 
c) 9% 
d) 15% 
e) 18% 
 
Resolução: 
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40
A pergunta pode ser traduzida como: qual a probabilidade de uma conta ser inadimplente, 
dado que apresenta pagamentos com atraso de mais de duas semanas em pelo menos duas 
prestações? 
Primeiramente, vamos resolver sem usar qualquer fórmula (como já fizemos em outros 
exercícios semelhantes). 
Vamos supor que são 100 contas de empréstimo. 
Como 10% das contas tornam-se inadimplentes, então 10 contas são inadimplentes e 90 são 
liquidadas. 
Das 10 contas inadimplentes, 90% apresentam pelo menos dois pagamentos com mais de duas 
semanas de atraso. Ou seja, 9 contas são inadimplentes e apresentam pelo menos dois 
pagamentos com mais de duas semanas de atraso. Consequentemente, 1 conta é inadimplente 
e não apresenta pelo menos dois pagamentos com mais de duas semanas de atraso. 
Das 90 contas liquidadas, 40% (=36 contas) apresentam pelo menos dois pagamentos com 
mais de duas semanas de atraso. Portanto, 54 contas são liquidadas e não apresentam pelo 
menos dois pagamentos com mais de duas semanas de atraso. 
Desse modo, temos 100 contas, assim discriminadas: 
· 9 têm pelo menos dois pagamentos com mais de duas semanas de atraso e são 
inadimplentes 
· 36 têm pelo menos dois pagamentos com mais de duas semanas de atraso e são 
liquidadas 
· 1 não tem pelo menos dois pagamentos com mais de duas semanas de atraso e é 
inadimplente 
· 54 não têm pelo menos dois pagamentos com mais de duas semanas de atraso e são 
liquidadas 
 
Estamos interessados nas contas que são inadimplentes. São 10, assim discriminadas: 
· 9 têm pelo menos dois pagamentos com mais de duas semanas de atraso e são 
inadimplentes 
· 1 não tem pelo menos dois pagamentos com mais de duas semanas de atraso e é 
inadimplente 
 
Contudo, há uma condição a ser obedecida. A condição é que a conta apresente pagamentos 
com mais de duas semanas de atraso. 
Vamos atualizar nossos casos possíveis e favoráveis. Os casos possíveis ficam: 
· 9 têm pelo menos dois pagamentos com mais de duas semanas de atraso e são 
inadimplentes 
· 36 têm pelo menos dois pagamentos com mais de duas semanas de atraso e são 
liquidadas 
 1 não tem pelo menos dois pagamentos com mais de duas semanas de atraso e é 
inadimplente 
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41
· 54 não têm pelo menos dois pagamentos com mais de duas semanas de atraso e são 
liquidadas 
 
Os casos favoráveis ficam: 
· 9 têm pelo menos dois pagamentos com mais de duas semanas de atraso e são 
inadimplentes 
 1 não tem pelo menos dois pagamentos com mais de duas semanas de atraso e é 
inadimplente 
E a probabilidade procurada é: 
%202,0
45
9
== 
Gabarito: A. 
 
Vamos resolver o exercício novamente, agora usando o teorema de Bayes. 
O teorema de Bayes nada mais é que uma fórmula para cálculo de probabilidades. Ele 
possibilita que, a partir da probabilidade de A dado B, se calcule a probabilidade de B dado A. 
Para os exercícios de concursos, a fórmula é totalmente desnecessária. Dá para resolver do 
jeito que vimos acima, sem fórmula. Mas, pelo sim pelo não, vamos ver a tal da fórmula. 
 
Escolhe-se uma conta ao acaso. 
Seja A o evento que ocorre quando a conta escolhida é inadimplemente. Seja A o evento que 
ocorre quando a conta escolhida não é inadimplente. São dois eventos complementares. 
Seja B o evento que ocorre quando a conta escolhida tem pelo menos dois pagamentos com 
mais de duas semanas de atraso. 
O exercício pede: 
?)( =BAP 
E para isso informa que: 
10,0)( =AP . 
Portanto, concluímos que: 
90,0)( =AP 
O enunciado informa ainda que: 
90,0)( =ABP e 40,0)( =ABP . 
 
Vamos usar a fórmula da probabilidade condicional: 
)(
)()(
BP
BAPBAP ∩= (equação I) 
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42
Sabemos também que: 
)()()(
)(
)()( APABPBAP
AP
BAPABP ×=∩⇒∩= (equação II). 
Substituindo a equação II na equação I: 
)(
)()(
)(
BP
APABP
BAP
×
= (equação III) 
Lembrando que P(B) é a probabilidade de termos uma conta com pelo menos dois 
pagamentos com mais de duas semanas de atraso. Esse evento pode ocorrer tanto com contas 
inadimplentes quanto com contas não inadimplentes (eventos complementares). 
Portanto: 
)()()()()( APABPAPABPBP ×+×= (equação IV) 
Substituindo a equação IV na equação III, temos o resultado a que chamamos de teorema de 
Bayes: 
 
)()()()(
)()(
)(
APABPAPABP
APABP
BAP
×+×
×
= 
Vamos fazer as contas, pra ver como fica: 
)()()()(
)()(
)(
APABPAPABP
APABP
BAP
×+×
×
= 
%20
45,0
09,0
9,04,01,09,0
10,09,0)( ==
×+×
×
=BAP 
 
EC 19. SEFAZ MG 2005 [ESAF] 
Ana precisa chegar ao aeroporto para buscar uma amiga. Ela pode escolher dois trajetos, A ou 
B. Devido ao intenso tráfego, se Ana escolher o trajeto A, existe uma probabilidade de 0,4 de 
ela se atrasar. Se Ana escolher o trajeto B, essa probabilidade passa para 0,30. As 
probabilidades de Ana escolher os trajetos A ou B são, respectivamente, 0,6 e 0,4. Sabendo-se 
que Ana não se atrasou, então a probabilidade de ela ter escolhido o trajeto B é igual a: 
a) 6/25 
b) 6/13 
c) 7/13 
d) 7/25 
e) 7/16 
 
Resolução: 
Podemos pensar assim. Ana é uma mulher que vai muito ao aeroporto. Ela já foi 100 vezes, 
em 100 dias diferentes. 
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Em 60 desses dias, ela escolheu o trajeto A. E se atrasou em 40% desses dias. Ou seja, em 24 
desses 60 dias ela se atrasou. 
Em 40 dias ela escolheu o trajeto B. E se atrasou em 30% desses dias. Ou seja, em 12 desses 
40 dias ela se atrasou. 
Os casos possíveis são: 
24 vezes ela vai pelo trajeto A e se atrasa 
36 vezes ela vai pelo trajeto A e não se atrasa 
12 vezes ela vai pelo trajeto B e se atrasa 
28 vezes ela vai pelo trajeto B e não se atrasa. 
 
Estamos interessados nos dias em que ela escolhe o trajeto B. Os casos favoráveis são: 
12 vezes ela vai pelo trajeto B e se atrasa 
28 vezes ela vai pelo trajeto B e não se atrasa. 
 
Escolhemos um desses 100 dias ao acaso. Queremos calcular a probabilidade de Ana ter 
escolhido o trajeto B. Foi dada uma condição. A condição é ela não ter se atrasado. Vamos 
rever os casos possíveis e favoráveis. 
 
Ficamos com 64 casos possíveis: 
24 vezes ela vai pelo trajeto A e se atrasa 
36 vezes ela vai pelo trajeto A e não se atrasa 
12 vezes ela vai pelo trajeto B e se atrasa 
28 vezes ela vai pelo trajeto B e não se atrasa. 
 
Os casos favoráveis ficam: 
12 vezes ela vai pelo trajeto B e se atrasa 
28 vezes ela vai pelo trajeto B e não se atrasa. 
 
A probabilidade de Ana ter escolhido o trajeto B, dado que se atrasou, é: 
16
7
64
28
==P 
Gabarito: E. 
 
Agora a resolução com a fórmula: 
Seja “A” o evento “Ana escolhe o trajeto A”. Seja “B” o evento “Ana escolhe o trajeto B”. A 
e B são complementares. 
 Seja “L” o evento “Ana se atrasa”. 
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Seja L o evento “Ana não se atrasa” 
O exercício disse que: 
4,0)( =ALP 
3,0)( =BLP 
6,0)( =AP 
4,0)( =BP 
E a pergunta é: 
?)( =LBP 
Temos: 
6,0)(4,0)( =⇒= ALPALP 
7,0)(3,0)( =⇒= BLPBLP 
Usando o teorema de Bayes: 
)()()()(
)()(
)(
BPBLPAPALP
BPBLP
LBP
×+×
×
= 
16
7
64
28
28,036,0
28,0
4,07,06,06,0
4,07,0)( ==
+
=
×+×
×
=LBP 
 
7 Probabilidade e análise combinatória 
O enunciado a seguir refere-se às questões de números EC 20 e EC 21. 
Quatro mulheres marcaram um encontro na porta do Mercado Central. Há 4 portas no 
Mercado Central, e, como se esqueceram de especificar em qual das portas se encontrariam, 
cada uma delas se dirige a uma porta escolhida ao acaso. 
 
EC 20. Minc 2006 [FGV] 
Qual é a probabilidade de as quatro se dirigirem a quatro portas diferentes? 
(A) 1/16 
(B) 3/16 
(C) 1/24 
(D) 1/32 
(E) 3/32 
 
Resolução: 
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Em diversos exercícios anteriormente resolvidos, para cálculo da probabilidade a gente fazia 
assim. Contávamos quanto eram os casos possíveis. Contávamos quanto eram os casos 
favoráveis. E dividíamos um valor pelo outro, obtendo a probabilidade. 
Pois bem, há situações em que listar todos os casos possíveis, para depois contá-los, dá muito 
trabalho. Em situações assim, pode ser útil utilizarmos ferramentas de análise combinatória. 
São ferramentas que possibilitam uma contagem com rapidez, sem que precisemos listar todos 
os casos. 
A mais importante ferramenta de análise combinatória é o princípio fundamental da contagem 
(PFC). Ele nos diz que, se pudermos separar uma dada tarefa em etapas, e contarmos de 
quantas formas cada etapa pode ser realizada, o número de maneiras de execução da tarefa 
será igual ao produto dos números associados às etapas. 
Vamos aplicar o PFC neste exercício, que vocês verão que é bem simples. 
Temos que escolher uma porta para cada mulher. Esta é a nossa tarefa. De quantas formas é 
possível executa-la? 
Vamos dividir esta tarefa em etapas. Em cada etapa, escolhemos a porta correspondente a 
cada uma das mulheres. 
 
1ª etapa: para a primeira mulher, temos 4 opções de porta. 
2ª etapa: para a segunda mulher, temos 4 opções de porta. 
3ª etapa: para a terceira mulher, temos 4 opções de porta. 
4ª etapa: para a quarta mulher, temos 4 opções de porta. 
 
Colocando todos estes dados num quadro: 
 
Cada etapa pode ser executada de 4 formas diferentes. Para calcular de quantos modos 
podemos executar a tarefa inteira, basta multiplicar os números acima: 
2564444 =××× 
São 256 maneiras de se escolher uma porta para cada mulher. 
 
Agora vamos aos casos favoráveis. Queremos saber de quantos modos é possível escolher 
uma porta para cada mulher, de tal modo que cada uma seja alocada em uma porta diferente 
das demais. 
Vamos novamente dividir a tarefa em etapas. 
1ª etapa: para a primeira mulher, temos 4 opções de porta. 
2ª etapa: já alocada a primeira mulher, para a segunda mulher, sobram 3 opções de porta.3ª etapa: já usamos duas portas; para a terceira mulher sobram 2 opções de porta. 
4ª etapa: já usamos 3 portas; para a quarta mulher sobra uma única opção de porta. 
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Aplicando o PFC: 
241234 =××× 
Assim, há 24 maneiras de colocarmos as 4 mulheres em portas distintas. 
A probabilidade fica: 
==
256
24P
32
3 
Gabarito: E 
 
EC 21. Minc 2006 [FGV] 
Qual é a probabilidade de três delas se dirigirem a uma mesma porta e a mulher restante se 
dirigir a outra porta? 
(A) 1/16 
(B) 3/16 
(C) 1/24 
(D) 1/32 
(E) 3/32 
 
Resolução: 
Vamos recalcular os casos favoráveis. 
Sejam A, B, C e D as mulheres. 
Vamos supor que as três primeiras mulheres (A, B, C) vão para uma dada porta e a quarta 
mulher (D) vai para uma porta diferente. 
1ª etapa: para a primeira mulher, temos 4 opções de porta. 
2ª etapa: já alocada a primeira mulher, para a segunda mulher só temos uma opção, pois ela 
deve ir para a mesma porta da primeira mulher. 
3ª etapa: a terceira mulher também vai para a mesma porta da primeira mulher; logo, só temos 
uma opção. 
4ª etapa: a quarta mulher deve ir para uma porta diferente das demais; temos 3 opções. 
 
Aplicando o PFC: 
123114 =××× 
Há 12 formas de A, B e C irem para a mesma porta e D ir para outra diferente. 
Analogamente: 
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- há 12 formas de A, B, D irem para a mesma porta e C ir para outra diferente 
- há 12 formas de A, C, D irem para a mesma porta e B ir para outra diferente 
- há 12 formas de B, C, D irem para a mesma porta e A ir para outra diferente. 
 
Somando tudo, há 48 maneiras de três mulheres irem para a mesma porta e a outra ir para uma 
porta diferente. 
A probabilidade fica: 
16
3
256
48
==P 
Gabarito: B 
 
EC 22. CGU/2008 [ESAF] 
Uma empresa de consultoria no ramo de engenharia de transportes contratou 10 profissionais 
especializados, a saber: 4 engenheiras e 6 engenheiros. Sorteando-se, ao acaso, três desses 
profissionais para constituírem um grupo de trabalho, a probabilidade de os três profissionais 
sorteados serem do mesmo sexo é igual a: 
a) 0,10 
b) 0,12 
c) 0,15 
d) 0,20 
e) 0,24 
 
Resolução: 
Quando temos n elementos e queremos escolher p, sem repetição, onde a ordem de escolha 
dos elementos não é relevante, temos um caso de combinação. 
A combinação de n elementos, tomados p a p, é dada por: 
!)!(
!
, ppn
nC pn ×−
= 
Primeiro vejamos o número de casos possíveis. Queremos escolher 3 profissionais em 10 
possíveis, sendo que a ordem de escolha não é relevante. Temos uma combinação de 10 
engenheiros, tomados 3 a 3. O número de casos possíveis é dado por: 
( ) ( ) ( ) ( ) 120123
8910
!7!3
!78910
!7!3
!10
3,10 =××
××
=
×
×××
=
×
=C 
São 120 casos possíveis. 
 
Vamos aos casos favoráveis. São duas possibilidades. Ou são escolhidas três mulheres ou são 
escolhidos três homens. 
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Vejamos de quantas formas podemos escolher três homens. Queremos formar um grupo de 3 
engenheiros a partir de 6 disponíveis. Temos uma combinação de 6, tomados 3 a 3. 
O número de maneiras de se escolherem os 3 engenheiros é: 
20
!3
456
!3!3
!3456
!3!3
!6
3,6 =
××
=
×
×××
=
×
=C 
 
Analogamente, o número de maneiras de se escolherem as 3 engenheiras é: 
4
!1!3
!34
!1!3
!4
3,4 =×
×
=
×
=C 
 
Temos um total de 24 casos favoráveis (=20+4). E temos 120 casos possíveis. A 
probabilidade procurada fica: 
%20
120
24
==P 
Gabarito: D 
 
EC 23. Sefaz RJ 2008 [FGV] 
Os jogadores A e B se encontram para jogar uma partida de tênis em no máximo cinco sets, 
na qual será vencedor aquele que primeiro ganhar três sets. Por exemplo, partidas terminadas 
poderão ter como resultado: AAA, AABA, BABAB, etc. Então, o número de possíveis 
resultados para uma partida terminada é: 
(A) 4. 
(B) 10. 
(C) 6. 
(D) 20. 
(E) 8. 
 
Resolução. 
A questão não é de probabilidade. É pura e simplesmente de análise combinatória. 
Vamos pensar apenas nos casos em que A vence a partida. 
São, no máximo, 5 sets. 
Temos que escolher 3 deles para atribuir ao jogador “A”. 
10
12
45
!2!3
!5
3,5 =×
×
=
×
=C 
Ou seja, há 10 formas de A ganhar a partida. 
De forma análoga, há 10 modos de B ganhar a partida. 
Somando tudo, há 20 resultados possíveis para a partida. 
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Gabarito: D 
 
EC 24. SAD Pernambuco 2008 [FGV] 
Numa sala estão reunidos quatro pernambucanos e quatro paraibanos. Se escolhermos ao 
acaso duas pessoas distintas desse grupo, a probabilidade de que os dois sejam 
pernambucanos é igual a: 
(A) 1/4. 
(B) 2/5. 
(C) 3/14. 
(D) 4/15. 
(E) 5/16. 
 
Resolução. 
Temos 8 pessoas e queremos escolher 2. O número de maneiras de fazer isso é: 
28
2
78
!2!6
!8
2,8 =
×
=
×
=C 
São 28 casos possíveis. 
Os casos favoráveis são aqueles em que as duas pessoas escolhidas são pernambucanas. 
Temos 4 pernambucanos e queremos escolher 2. 
6
2
34
!2!2
!4
2,4 =
×
=
×
=C 
A probabilidade fica: 
14
3
28
6
==P 
Gabarito: C 
 
8 Outros exercícios de probabilidade. 
EC 25. Sefaz RJ 2008 [FGV] 
Em um país, a probabilidade de um contribuinte cometer erro na declaração anual de ajuste de 
rendimentos aumenta na medida em que o valor do imposto final também aumenta. Estudos 
indicam que a probabilidade de um contribuinte cometer erro na declaração anual de ajuste (Y 
= 1) é expressa por meio de: 
X
X
e
eXYP 02,048,0
02,0048,0
1
)1( +−
+−
+
== 
onde X é um número real que representa o valor do ajuste do imposto (diferença entre o 
imposto pago ao longo do ano e o que deveria pagar de acordo com os rendimentos, retenções 
e abatimentos), em R$1.000. 
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Se X > 0, o contribuinte tem imposto devido a pagar; se X < 0, tem imposto a ser restituído; e, 
se X = 0, o imposto retido ao longo do ano foi igual ao imposto total devido. A esse respeito, 
é correto afirmar que: 
(A) a cada acréscimo de R$1.000 no imposto, a probabilidade de o contribuinte cometer erro 
na declaração de ajuste aumenta em 2%. 
(B) a probabilidade de a declaração de ajuste apresentar erro (Y = 1) é maior do que a 
probabilidade de não haver erro (Y = 0), para todos os contribuintes com X > 0. 
(C) essa função de probabilidade tem seu ponto de inflexão em X = 0. 
(D) o logaritmo neperiano da razão entre a probabilidade de haver erro na declaração e a de 
não haver é uma função linear em X, expressa por −0,048 + 0,02X. 
(E) contribuintes com imposto devido têm probabilidade 0,5 de cometer erro na declaração. 
 
Resolução. 
Em todas as questões anteriormente vistas, não foi fornecida qualquer função. A 
probabilidade era sempre determinada intuitivamente, com base no senso comum de 
experimentos que podem ser repetidos. 
Quando lançamos um dado, sabemos que a probabilidade de o resultado ser igual a 2 é de 1/6. 
Isso é intuitivo. É normal pensar que todas as faces têm a mesma chance de sair. 
 
Outros tipos de experimento apresentam probabilidades mais complicadas, expressas por 
determinadas funções matemáticas. É exatamente o caso acima. 
A variável Y só pode assumir os valores zero e 1. Cada um deles tem uma certa 
probabilidade. 
Ela assume o valor zero quando a declaração de imposto de renda não apresenta erro. E 
assume o valor 1 quando a declaração apresenta erro. 
 
A variável X indica o valor do imposto a pagar, em R$ 1.000,00. 
E a probabilidade de Y, para cada valor de X, foi fornecida na questão. É uma função