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Celso Albino 
 
 1 
 FACULDADE DE CIÊNCIAS NATURAIS E MATEMÁTICA 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
Campus de Lhanguene, Av. de Moçambique, km 1, Tel: +258 21401078, Fax: +258 21401082, Maputo 
Cursos de Licenciatura em Ensino de Matemática e de EGI 
Teoria de Probabilidade 
 
AULA IV: Probabilidade condicional. Acontecimentos independentes. Probabilidade total e 
fórmula de Bayes 
 
RESUMO TEÓRICO 
_____________________________________________________________________________ 
Probabilidade condicional 
 
Consideremos o lançamento de um dado equilibrado. O espaço amostral desta 
experiência é {1, 2,3, 4,5,6}Ω = . Seja A o acontecimento “sair a face 2”. 1( )
6
P A = . 
Suponhamos, agora, que o dado tenha sido lançado e seja dada a seguinte informação: “saiu 
face par”. Qual é a probabilidade de ter saído a face 2? Note a diferença: agora temos uma 
informação parcial sobre a experiência e devemos usá-la para reavaliar a nossa estimativa. 
Mais precisamente, sabemos que ocorreu o evento B “face par”. Com essa informação, 
podemos nos concentrar no acontecimento {2, 4,6}B = uma vez que as faces 1, 3, 5 ficam 
descartadas em função da informação dada. Dentro dessas três possibilidades, a 
probabilidade do acontecimento A passa a ser 
1
3
. Calculamos assim, a probabilidade do 
evento A sabendo que ocorreu o acontecimento B. Essa probabilidade é denotada ( | )P A B 
(lê-se probabilidade de A dado B). 
 
Seja ( , , )X PΩ um espaço de probabilidade. Se B X∈ e ( ) 0P B > , a probabilidade 
condicional de A dado B é definida por 
( )( | )
( )
P A BP A B
P B
∩
= , A X∈ . (Observa a figura 
abaixo). 
 
Celso Albino 
 
 2 
#) ( )
#
Aa P A =
Ω
#( )) ( | )
#
A Bb P A B
B
∩
=
 
 
 Quando calculamos ( )P A estamos calculando a chance de estarmos em A sabendo 
que estamos em Ω. Quando calculamos ( \ )P A B , estamos calculando a chance de estarmos 
em A, sabendo que estamos em B. Neste caso, o nosso espaço amostral se reduz a B, uma 
vez que o evento B ocorreu. 
Pode-se mostrar que ( | )P A B é uma medida de probabilidade, isto é, satisfaz os três 
axiomas de Kolmogorov. Ademais, todas as propriedades de probabilidade, vistas 
anteriormente são também válidas para ( | )P A B , algumas propriedades são descritas a 
seguir: 
 
1. ( | ) 0P B∅ = 
2. ( | ) 1 ( | )P A B P A B= − 
3. ( | ) ( | )A C P A B P C B⊆ ⇒ ≤ 
4. ( ) ( \ ) 1A B B P A B∩ ⊆ ⇒ ≤ 
5. [( ) \ ] ( | ) [( ) \ ]P A C B P A B P A C B− = − ∩ 
6. [( ) \ ] ( | ) ( \ ) [( ) \ ]P A C B P A B P C B P A C B∪ = + − ∩ 
 
Regra do Produto 
 
Note que a partir da fórmula da probabilidade condicional pode-se definir a 
probabilidade da intersecção de acontecimentos: 
( ) ( ) ( \ ) ( ) ( \ )P A B P A P B A P B P A B∩ = × = × , conhecida também como regra de 
multiplicação: Para três e n acontecimentos temos respectivamente que 
( ) ( ) ( | ) [ | ( )]P A B C P A P B A P C A B∩ ∩ = × × ∩ e 
1 2 1 2 1 3 2 1 1 2 1
1
( ) ( ... ) ( ) ( \ ) [ | ( )]... [ \ ( ... )]
n
i n n n
i
P A P A A A P A P A A P A A A P A A A A −
=
= ∩ ∩ ∩ = ∩ ∩ ∩∩ 
 
Acontecimentos independentes 
 
Dois acontecimentos A e B X∈ (X é sigma-álgebra) são independentes se 
( | ) ( )P A B P A= . Intuitivamente a chance de A ocorrer não é alterada mesmo quando se 
sabe que o acontecimento b ocorreu. Pode-se mostrar que Se A e B são independentes 
( | ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B A P B P A B P A P B= ⇔ = ⇔ ∩ = , esta última usando a regra de 
produto. 
Celso Albino 
 
 3 
Teorema de Probabilidade Total 
 
Considere a figura abaixo, onde 1 2 3, , ,..., nA A A A é uma partição
1 de Ω e B um 
acontecimento qualquer de Ω. 
1A
7A 6A
5A
4A
3A2A
8A
 
 
Como a união de todos iA ’s é o espaço amostral, segue que 
1 2( ) ( ) ... ( )nB A B A B A B= ∩ ∪ ∩ ∪ ∪ ∩ . Como ,i jA A i j∩ = ∅ ∀ ≠ , pois constituem 
uma partição, então ( ) ( ) ,i jA B A B i j∩ ∩ ∩ = ∅ ∀ ≠ . Posto isto, 
1 2 1 2( ) [( ) ( ) ... ( )] ( ) ( ) ... ( )n nP B P A B A B A B P A B P A B P A B= ∩ ∪ ∩ ∪ ∪ ∩ = ∩ + ∩ + + ∩ 
= 1 1 2 2( ) ( | ) ( )( ( | ) ... ( ) ( | )n nP A P B A P A P B A P A P B A+ + + (usando a regra do produto) 
 
Se 1 2 3, , ,..., nA A A A é uma partição de Ω e B um acontecimento qualquer em Ω , 
então, 
1
( ) ( ) ( | )
n
i i
i
P B P A P B A
=
= ∑ . Esta fórmula é conhecida como Teorema de Probabilidade 
Total. 
 
Teorema de Bayes 
 
Consideremos a figura do contexto anterior. Neste contexto, ( )iP A é denominada 
probabilidade a priori do acontecimento iA .Suponhamos agora que B tenha ocorrido. 
Vamos usar essa informação para calcular a probabilidade a posteriori do evento iA , ou seja, 
vamos calcular ( | )iP A B . 
Por definição 
1
( ) ( ) ( | )( | )
( ) ( ) ( | )
i i i
i n
j j
j
P A B P A P B AP A B
P B P A P B A
=
∩
= =
∑
, expressão esta conhecida 
como teorema de Bayes. 
 
 
1 Os conjuntos 1 2,, ... nA A A formam uma partição do espaço amostral Ω se: 1) os acontecimentos iA são disjuntos 
dois a dois, isto é, ,i jA A i j∩ = ∅ ∀ ≠ e 2) a união dos iA é o espaço amostral Ω, isto é 
1
n
i
i
A
=
= Ω∪ . 
Celso Albino 
 
 4 
CONTACTO 
_____________________________________________________________________________ 
 
1. Um número é escolhido ao acaso no conjunto {1, 2,3,...,50} . Sabendo que é múltiplo 
de 5, qual a probabilidade de ser par? 
 
2. Sendo ( ) 0,5P A = e ( ) 0,7P A B∪ = determine: 
 ( )P B sendo A e B independentes; 
 ( )P B sendo A e B mutuamente exclusivos; 
 ( )P B sendo ( \ ) 0,5P A B = 
 
3. Um estudante ao entrar numa universidade foi informado que tem 30% de 
possibilidade de vir a receber uma bolsa de estudo. No caso de a receber, a 
probabilidade de licenciar-se é 85%, enquanto no caso de não a obter, a probabilidade 
de licenciar-se é de apenas 45%. 
a) Determine a probabilidade de que o estudante licencie-se. 
b) Se daqui a uns anos encontrar o estudante licenciado, qual a probabilidade de 
que tenha recebido a bolsa? 
 
4. O gerente de um restaurante classifica seus clientes em três categorias: Bem vestidos 
(50%); moderadamente vestidos (40%) e mal vestidos (10%). 70% dos bem vestidos, 
50% dos moderadamente vestidos e 30% dos mal vestidos pedem um vinho ao entrar 
no restaurante. 
a) Qual a probabilidade de que um cliente escolhido ao acaso peça um vinho? 
b) Se pedir-se um vinho, qual é a probabilidade de que o cliente que o pede 
esteja bem vestido? 
 
5. Numa universidade um velho e irascível professor faz exames orais que constam de 5 
perguntas. Se o professor se encontra de bom humor, o que acontece com 
probabilidade 2/3, o aluno só precisa de responder certo a uma pergunta para passar. 
Mas se o professor está de mau humor, então o aluno só passa se responder certo a 
pelo menos 3 perguntas. 
Um aluno, que responde certo a cada pergunta (independentemente das outras) 
com probabilidade 1/3, ao acabar de reprovar no exame oral afirma ter reprovado 
devido ao mau humor do professor nesse dia. Qual a probabilidade do aluno estar a 
dizer a verdade? 
 
6. Considere dois acontecimentos, A e B. Mostre que, se ( ) ( )ABPABP = , então 
A e B são independentes. 
 
Celso Albino 
 
 5 
7. Sejam A e B acontecimentos possíveis de um mesmo espaço amostral. Se ( | ) 1P A B = 
verifique a veracidade das seguintes afirmações, justificando sua resposta: 
a) A e B são independentes. 
b) A e B são mutuamente exclusivos. 
 
 
ESTUDO 
_____________________________________________________________________________ 
 
1. Suponha que temos dois eventos, A e B que são mutuamente exclusivos. Suponha, 
além disso, que conhecemos ( ) 0,30P A = e ( ) 0, 40P B = 
a) Determine ( )P A B∩ ? 
b) Determine ( \ )P A B ? 
c) Um estudante em estatística argumenta que os conceitos de eventos 
mutuamente exclusivos e de eventos independentes são realmente os 
mesmos e que, se os eventos são mutuamente exclusivos, eles precisam ser 
independentes. Você concorda com essa declaração? Neste problema, use a 
informação de probabilidadepara justificar sua resposta. 
d) Dados os resultados desse problema, que conclusão geral você tira sobre 
eventos mutuamente exclusivos e eventos independentes? 
 
2. Para se destruírem os produtos deteriorados, analisa-se periodicamente certa 
produção. No processo, que não é infalível, 10% dos artigos não deteriorados são 
destruídos e 5% dos produtos deteriorados não são destruídos, destruindo-se na 
totalidade 27% da produção. 
a) Qual a percentagem de artigos deteriorados e destruídos? 
b) Qual a percentagem da produção em boas condições? 
a) Qual a percentagem de artigos deteriorados e não destruídos? 
 
3. Em uma joalharia, cada um dos três armários idênticos tem duas gavetas. Em cada 
gaveta do primeiro armário há um relógio de ouro. Em cada gaveta do segundo 
armário há um relógio de prata. Em uma gaveta do terceiro armário há um relógio de 
ouro, enquanto na outra gaveta há um relógio de prata. Escolhido ao acaso um 
armário, e aberta uma das gavetas, verifica-se conter um relógio de prata. Qual a 
probabilidade de a outra gaveta do armário escolhido conter um relógio de ouro? 
 
4. No trajecto de um avião de guerra há duas estações de radar inimigas equipadas com 
baterias antiaéreas, que só são accionadas se o avião for detectado. O avião tem uma 
probabilidade de 0,25 de ser detectado pela primeira estação e, sendo detectado, 
Celso Albino 
 
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tem três hipóteses em cinco de não ser abatido por essa estação. Se o avião não é 
detectado pela primeira estação, aproxima-se da segunda nas mesmas condições que 
da primeira. Por outro lado, se a primeira estação o detecta sem o abater, será 
certamente detectado e abatido pela segunda estação. 
a) Qual a probabilidade do avião não ser abatido pela primeira estação? 
b) Qual a probabilidade do avião não ser abatido? 
c) O avião foi abatido. Qual a probabilidade de ter sido a primeira estação a 
abatê-lo? 
 
5. Num estudo sobre novos hábitos dos alunos observa-se que: 10% costumam tomar o 
pequeno-almoço durante a aula; outros 30% acham ser a melhor altura para pôr a 
conversa em dia, dos quais 90% nunca têm dúvidas; 30% tanto dos que tomam 
pequeno-almoço como dos restantes, têm por hábito apresentar dúvidas sobre a 
matéria leccionada. 
a) Sabendo que um aluno apresentou uma dúvida sobre a matéria, qual a 
probabilidade de estar a tomar pequeno-almoço. 
b) Pode afirmar-se que mais de 80% dos alunos não apresentam dúvidas na aula? 
 
DESAFIO 
_____________________________________________________________________________ 
1. A uma pessoa A se passa um papel que marca com o sinal +, com probabilidade 1/3, 
ou com sinal -, com probabilidade 2/3. A passa o papel a B, que pode trocar ou não o 
sinal antes de passar a C que pode trocar ou não o sinal antes de passar a D, que 
também pode trocar ou não o sinal antes de passar a um árbitro. A probabilidade 
com que cada uma das pessoas B, C e D trocam o sinal é de 2/3. Se o árbitro viu um 
sinal + no papel, qual é a probabilidade de que A tenha escrito o sinal +? 
 
 
FIM