Cálculo Numérico 1 - prova 21-05-20

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Cálculo Numérico 
Questão 1) - 0,50 ponto(s) 
 
Uma equação linear é uma igualdade que satisfaz as seguintes 
condições: 
- todas as incógnitas possuem expoentes unitários (iguais a um); 
- os coeficientes de todos os termos contendo incógnitas são 
constantes (números reais); 
- entre as incógnitas aparecem apenas as operações de adição e 
de subtração; 
- as incógnitas não são argumentos de outras funções. 
 
Um conjunto de equações lineares é chamado de sistema de 
equações lineares ou, simplesmente, de sistema linear. Uma 
solução de um sistema linear é um conjunto de valores (um para 
cada incógnita) que torna todas as equações identicamente 
verdadeiras. A resolução de um sistema linear pode ser feita por 
vários métodos, entre os quais se destaca, pela simplicidade de 
aplicação, a Redução de Gauss-Jordan. 
 
Utilizando esse método, resolva o sistema a seguir. 
 
 
 
Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a solução 
desse sistema. 
A) 
O sistema é impossível, ou seja, não possui nenhuma solução. 
B) 
O sistema é determinado e sua solução é dada por: 
C) 
O sistema é determinado e sua solução é dada por: 
D) 
O sistema é indeterminado, ou seja, possui infinitas soluções. 
E) 
O sistema é determinado e sua solução é dada por: 
Cálculo Numérico 
Questão 2) - 0,50 ponto(s) 
 
Uma das formas de se isolar as raízes de uma função f(x) é 
tabelar f(x) para vários valores de x e analisar as mudanças de 
sinal de f(x) e o sinal da derivada nos intervalos em que f(x) 
mudou de sinal. 
Considere a função real de variável real definida 
por . 
 
Pode-se concluir que a função dada contém pelo menos um zero 
real no intervalo 
A) 
[2,3]. 
B) 
[-1,0]. 
C) 
[1,2]. 
D) 
[0,1]. 
E) 
[-2,-1]. 
Cálculo Numérico 
Questão 3) - 0,50 ponto(s) 
 
A resolução de equações do tipo f(x) = 0, onde x é uma variável 
real, tem diversas aplicações na ciência. No entanto, a obtenção 
das raízes nem sempre é possível por métodos puramente 
algébricos, quando então são utilizados métodos numéricos, 
dentre os quais pode-se citar o de Newton-Raphson. Este método 
procura iterativamente a solução de uma equação f(x) = 0 em um 
intervalo fechado [a, b], onde cada aproximação da raiz (xk+1) 
depende da aproximação anterior (xk), bem como do valor da 
função e da sua primeira derivada, como mostrado na equação 
abaixo: 
 
A primeira iteração do valor da raiz (x0) é dada por: 
 
 
Com base no texto apresentado, pode-se afirmar que a segunda 
iteração (isto é, x1) da raiz da equação y(x) = x3 + x + 2 no 
intervalo [0 ; 2] será 
A) 
0,75. 
B) 
0,25. 
C) 
0,68. 
D) 
1,00. 
E) 
1,25. 
Cálculo Numérico 
Questão 4) - 0,50 ponto(s) 
 
Analise o seguinte sistema de equações lineares: 
 
 
 
Pode-se afirmar que os valores de x e y, respectivamente, que 
são soluções desse sistema, são iguais a 
A) 
6/5 e 8/5 
B) 
8/5 e 6/5 
C) 
4/5 e 6/5 
D) 
4/5 e 8/5 
E) 
6/5 e 9/5 
Cálculo Numérico 
Questão 5) - 0,50 ponto(s) 
 
Um polinômio de grau n pode ser escrito na 
forma: . O termo é chamado de termo 
independente e o termo é o termo dominante. 
 
 são os coeficientes dos termos do polinômio. 
 
Uma informação normalmente muito útil são as raízes do 
polinômio, mas, para polinômios de grau mais alto, não existe um 
algoritmo que possibilite encontrá-las. O que se pode fazer é 
procurar uma das raízes, o que possibilita fatorar o polinômio e, 
dessa forma, transformá-lo em um produto. Então, tem-se um 
polinômio de grau menor (uma unidade a menos) sobre o qual 
deve-se continuar a procura pelas demais raízes. 
 
Para encontrar uma das raízes do polinômio, pode-se utilizar o 
seguinte teorema: se o polinômio possuir uma raiz racional, esta 
possui numerador, que é algum divisor do coeficiente do termo 
independente, e denominador, que é algum divisor do coeficiente 
do termo dominante. 
 
A partir dessas informações, pode-se afirmar que as raízes do 
polinômio são: 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
Cálculo Numérico 
Questão 6) - 0,50 ponto(s) 
 
Considere as matrizes [A], [B] e [C] apresentadas a seguir: 
 
 
 
Diante disso, assinale a alternativa que apresenta o resultado da 
seguinte expressão: 
 
2[A]+3[B]+[C] 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
Cálculo Numérico 
Questão 7) - 0,50 ponto(s) 
 
As matrizes possuem grande importância na matemática e no 
cotidiano das pessoas. São utilizadas nas áreas de Economia, 
Engenharias, Física, Biologia, Computação, entre outras. 
Matrizes são estruturas matemáticas organizadas na forma de 
tabela, com linhas e colunas, utilizadas na organização de dados 
e informações. O determinante de uma matriz quadrada é um 
número real associado a uma matriz segundo algumas regras. 
Para uma matriz quadrada de ordem 2, o determinante é obtido 
pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal 
principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. A 
Regra de Sarrus é um método muito utilizado para o cálculo de 
determinante de matriz quadrada de ordem 3. Já o teorema de 
Laplace, é normalmente utilizado para o cálculo de determinante 
de matriz de ordem superior ou igual a 4. 
 
De acordo com essas informações, responda. 
 
Se o determinante da matriz é -3, então o 
determinante da 
matriz é 
A) 
10 
B) 
13 
C) 
14 
D) 
11 
E) 
12 
Cálculo Numérico 
Questão 8) - 0,50 ponto(s) 
 
Sabe-se que: 
 
 
 
Assim, o produto entre as matrizes [A] e [B], nessa ordem, é igual 
a 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
Cálculo Numérico 
Questão 9) - 0,50 ponto(s) 
 
Considere as seguintes matrizes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabendo-se que [C]=[A]+[B], escolha a alternativa que apresenta 
de forma correta [C]. 
 
 
A) 
 
 
B) 
 
 
 
C) 
 
 
 
 
D) 
 
 
 
E) 
 
 
 
Cálculo Numérico 
Questão 10) - 0,50 ponto(s) 
 
Uma indústria fabrica farinhas enriquecidas com vários 
micronutrientes importantes. Para a sua confecção, são utilizados 
três ingredientes principais. As quantidades destes devem 
obedecer a algumas condições para que o produto final tenha 
boa aceitação (aparência satisfatória, sabor agradável e valor 
nutricional desejado). Para se chegar a uma formulação 
definitiva, são feitos vários ensaios em laboratório. Os produtos 
obtidos são submetidos a testes para confirmar, ou não, suas 
qualidades. 
 
Além de tudo isso, a empresa não pode parar com os testes de 
laboratório, pois, a todo instante, precisam ser analisadas 
amostras do produto final para verificar se está de acordo com o 
produto modelo e se não apresenta nenhum defeito 
(contaminação, impurezas etc.). Sempre que algum problema é 
detectado, todo o lote deve ser descartado. 
 
Diante disso, considere que as quantidades utilizadas de cada 
um dos três ingredientes da farinha sejam dadas por: , e e 
que estas devam obedecer ao seguinte sistema de equações: 
 
 
 
A partir dessas informações, pode-se afirmar que o valor da 
variável , correspondente à solução desse sistema, é: 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
Cálculo Numérico 
Questão 11 - (Enade, 2006) ) - 0,50 ponto(s) 
 
Um economista deseja verificar se as variações do consumo (C) 
são determinadas pelas variações da renda (R), segundo a 
fórmula . Para tal, coloca as variações do 
consumo no vetor y, e as variações da renda na segunda coluna 
da matriz X, abaixo, e implementa mínimo quadrados ordinários 
para estimar os coeficientes , onde o apóstrofo 
denota tranposição. Se , então a seguinte 
proposição está correta: 
 
A) 
o produto matricial X'y = . 
 
B) 
dadas as dimensões de X' e y, X' y não é um produto matricial 
possível. 
C) 
o determinante de X' X é igual a 14. 
 
D) 
o produto matricial X'X = . 
 
E) 
X' X não é inversível. 
 
Cálculo Numérico 
Questão 12) - 0,50 ponto(s) 
 
Sabe-se que a soma das raízes da equação x3- 9x2 + 27x - 27 = 0 
representa a base de um retângulo e que o produto dessas raízes 
representa a altura. 
 
 
 
De acordo com os dados informados, assinale a alternativa que 
apresenta, corretamente, o perímetro desse retângulo. 
A) 
P = 81 u.c. 
B) 
P = 108 u.c. 
C) 
P =72 u.c. 
D) 
P = 27 u.c. 
E) 
P = 36 u.c. 
Cálculo Numérico 
Questão 13) - 0,50 ponto(s) 
 
O valor que a variável assume em um polinômio de modo que 
seu valor numérico seja igual a zero é denominado raiz do 
polinômio, ou raiz da equação algébrica. Dessa forma, ao calcular 
a solução algébrica de um polinômio, busca-se encontrar seu 
conjunto solução, ou raízes da equação. As raízes de um 
polinômio têm grande importância na análise de gráficos, pois 
geometricamente indicam o(s) ponto(s) onde a curva da função 
irá tocar o eixo das abscissas. Considerando que o polinômio não 
possua raízes reais, isso implica verificar que a curva de seu 
gráfico não toca o eixo das abscissas. 
 
Com base nas informações acima, e considerando que 1 seja a 
raiz do polinômio , com , pode-se afirmar que o 
valor real de é 
A) 
- 2. 
B) 
- 4. 
C) 
- 6. 
D) 
- 1. 
E) 
- 5. 
Cálculo Numérico 
Questão 14) - 0,50 ponto(s) 
 
Uma das ferramentas que a estatística utiliza para fazer 
previsões com base em resultados passados é a regressão 
linear. Essa técnica procura relacionar duas variáveis x (variável 
independente) e y (variável dependente) pela equação y = mx + 
b, onde m e b são números reais que dependem do problema a 
ser tratado. A fim de obter os coeficientes m e b, é utilizado o 
método dos mínimos quadrados, no qual é minimizada a soma 
dos quadrados das distâncias entre cada dado observado e a 
reta de regressão linear. 
 
Um empresário solicitou a você um estudo estatístico para prever 
a quantidade semanal de vendas de um novo produto em função 
do número de anúncios publicados em um jornal. Durante dez 
semanas, você anotou o número semanal de anúncios (x) e a 
respectiva quantidade de produtos vendidos (y) (vide tabela a 
seguir), obtendo a equação de regressão pelo método dos 
mínimos quadrados: y = 3,24 · x + 1,83. 
 
Número de Anúncios Quantidade de Produtos Vendidos 
x Y 
13 41 
18 57 
14 46 
19 65 
18 61 
12 43 
15 52 
17 59 
16 55 
17 54 
 
Considerando que o empresário solicitou a previsão de vendas 
para uma semana onde publicaria 22 anúncios, avalie as 
asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
 
I. Os resultados apontam que, de acordo com a equação de 
regressão, o número previsto de produtos vendidos será de 
aproximadamente 73, embora este resultado não seja confiável. 
 
PORQUE 
 
II. O valor de 22 anúncios semanais está fora do intervalo do 
número de anúncios pesquisados durante as dez semanas. 
 
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta. 
A) 
As asserções I e II são proposições falsas. 
B) 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma 
justificativa da I. 
C) 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma 
proposição falsa. 
D) 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é 
uma justificativa da I. 
E) 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição 
verdadeira. 
Cálculo Numérico 
Questão 15) - 0,50 ponto(s) 
 
Analise o seguinte sistema de equações lineares: 
 
 
 
 
 
Com base nas equações, assinale os valores de x e y que 
solucionam o sistema. 
A) 
x = -13/5 e y = 22/5. 
B) 
x = 20 e y = -10. 
C) 
x = -4/5 e y = 6/5. 
D) 
x = -17/5 e y = 21/5. 
E) 
x = -17/3 e y = 27/3. 
Cálculo Numérico 
Questão 16) - 0,50 ponto(s) 
 
O método da redução de Gauss-Jordan é uma das melhores 
maneiras de se resolver um sistema de equações lineares. Além 
de resolver qualquer sistema linear, baseia-se em apenas três 
operações (chamadas de operações elementares sobre linhas), o 
que torna a sua aplicação bastante simples. 
 
As três operações elementares podem ser anunciadas como: 
I. trocar as posições de duas linhas; 
II. multiplicar todos os elementos de uma linha por um número 
qualquer; 
III. substituir uma linha pela soma dela com um múltiplo de outra 
linha. 
 
Utilizando-se as três operações elementares, é possível 
transformar o sistema original em um outro que possui a mesma 
solução e que se encontra em uma forma na qual a solução pode 
ser lida diretamente no próprio sistema. 
 
Diante disso, considere o sistema apresentado a seguir. 
 
 
 
A partir das informações apresentadas, assinale a alternativa que 
apresenta o valor correto da incógnita na solução do sistema 
dado. 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
Cálculo Numérico 
Questão 17) - 0,50 ponto(s) 
 
Um engenheiro, resolvendo um problema em sua prática 
profissional, modelou, matematicamente, a situação e precisou 
resolver um sistema de equações lineares com 4 equações e 4 
incógnitas. 
 
Sistemas lineares em que o número de incógnitas é igual ao 
número de equações podem ser resolvidos pela Regra de 
Cramer, desde que o determinante do sistema não seja nulo. 
Determinante do sistema é o nome dado ao determinante em que 
os elementos de cada linha são os coeficientes das equações do 
sistema linear. 
 
No sistema a seguir, o determinante do sistema é destacado. 
 
 
 
Os sistemas lineares são úteis na análise de situações 
envolvendo um número grande de variáveis e sua resolução não 
é muito complexa. A dificuldade aumenta com o número de 
variáveis. A resolução pela Regra de Cramer envolve o cálculo de 
determinantes e, caso o número de variáveis seja muito grande, 
pode necessitar de um número enorme de operações 
matemáticas, a ponto de inviabilizar seu uso. Quando, porém, o 
número de variáveis é um número pequeno (3 ou 4), o seu uso é 
bastante útil, pois, além de resolver o problema, apresenta os 
valores das variáveis de forma explícita. 
 
Diante disso, considere que o sistema linear que o engenheiro 
encontrou seja: 
 
 
 
Assim, pode-se afirmar que o valor do determinante do sistema é: 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
Cálculo Numérico 
Questão 18) - 0,50 ponto(s) 
 
Seja um 
polinômio de grau n organizado de forma decrescente de grau, 
para determinar a quantidade de raízes reais de pode-se 
aplicar a regra de Descartes, que considera um número de 
permutações de sinais de coeficientes em um determinado 
polinômio. Assim, segundo a regra de Descartes, P(x) = 0 tem 
 ou ou ou ou raízes positivas. 
 
 
Considerando a afirmação acima, pode-se afirmar que o 
polinômio tem quantas raízes 
positivas? 
A) 
1 ou 3 raízes reais positivas. 
B) 
1 ou 2 raízes reais positivas. 
C) 
1 raiz real positiva. 
D) 
1 ou 3 ou 4 raízes reais positivas. 
E) 
0 ou 2 ou 4 raízes reais positivas. 
Cálculo Numérico 
Questão 19) - 0,50 ponto(s) 
 
Em álgebra linear, a Regra de Cramer é muito utilizada para 
resolver sistemas lineares, em que o número de equações é igual 
ao número de incógnitas, e é necessária para uma série de 
cálculos teóricos. Por exemplo, ela pode ser usada para estudar 
como a solução de Ax = b se comporta quando as componentes 
de b variam. No entanto, a fórmula é ineficiente para cálculos 
manuais, com exceção do caso de matrizes de ordem 2 ou, 
talvez, de ordem 3. 
 
LAY, David C. Álgebra Linear e suas Aplicações. 2. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2011. Adaptado. 
 
De acordo com a Regra de Cramer, os valores das incógnitas de 
um sistema linear são dados por um quociente, em que o 
numerador é o determinante da matriz dos coeficientes das 
incógnitas após a substituição de cada coluna pela coluna que 
representa os termos independentes do sistema, e o 
denominador é o determinante da matriz dos coeficientes das 
incógnitas. 
 
Sendo assim, pode-se afirmar que a solução do sistema linear: 
 
 
 
utilizando-se a Regra de Cramer, é: 
A) 
S = (2,3,2) 
B) 
S = (1,2,0) 
C) 
S = (1,3,2) 
D) 
S = (1,2,3) 
E) 
S = (-1,2,-3) 
Cálculo Numérico 
Questão 20) - 0,50 ponto(s) 
 
Considere o seguinte sistema de equações lineares: 
 
 
 
Assinale a alternativa correta que apresenta os valores de x e y, 
respectivamente, que são as soluções desse sistema de 
equações lineares. 
A) 
1 e -2 
B) 
-1 e 4 
C) 
5 e - 1 
D) 
-2 e 3 
E) 
- 3 e 4