EsPCEx 3 Apostila Matemática 3LalineWinter

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MATEMÁTICA 
 
CADERNO 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª EDIÇÃO - 2018 
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3 MATEMÁTICA 1 
Agradecimentos, 
Em primeiro lugar, meu agradecimento especial e minha 
consideração a dois professores extraordinários – aqueles 
que me levaram a gostar de ensinar com excelência – 
Dometildes Tinoco e Euzébio Cidade. (Olá, Mamãe e Papai! 
In Momorian) 
Um agradecimento sincero aos meus queridos alunos e a 
excelente e dedicada equipe de professores do Preparatório 
para a EsPCEx, profissionais liderada pelo Prof. Murilo Robalo 
e que reúnem as qualidades de verdadeiros líderes e que me 
apoiaram nesse trabalho. 
 
Agradeço também à prestativa colaboradora de todas as 
horas a Srta Laura Maciel, Gerente Operacional do Curso e 
coordenadora da equipe de TI do curso que executou 
excelente trabalho de formatação e diagramação desta 
Apostila de Matemática. 
Esperamos que você utilize esta obra, exercitando com 
atenção cada redação proposta para que possa obter um 
excelente desempenho no concurso. 
Aceite nossa companhia nesta viagem de treinamento Rumo 
à EsPCEx. 
Bons Estudos!! 
Luiz Cidade 
 Diretor
Prezado aluno do Módulo de Matemática, 
O conhecimento, o entendimento e o perfeito domínio da 
Matemática em suas diversas vertentes são ferramentas 
essenciais para o sucesso em qualquer concurso – 
especialmente no âmbito da carreira militar, com propostas 
cada dia mais seletivas que abordam diversas 
particularidades e singularidades das exatas. 
Tendo em vista, essencial e prioritariamente, o sucesso de 
seus alunos, o Curso Cidade, por intermédio de sua equipe 
da Cadeira de Matemática, apresenta este Caderno de 
Matemática, confeccionado em três partes, a partir de um 
sólido embasamento teórico, calcado na Bibliografia do 
concurso, a presente apostila traz vários temas cobrados em 
concursos anteriores, sempre com o intuito de fortalecer e 
solidificar a teoria aprendida em sala. Trabalharemos nesta 
apostila com a prática de Matemática, cujo objetivo é ajudar 
a pensar com fluidez as contas, sem recorrer a estratégias 
mnemônicas ineficazes e ideias generalizadas, desprovidas 
de lógica. 
Aproveite! Esta Apostila é sua arma. Faça um ótimo uso 
dele! 
Temos certeza de que aquele que se dedicar com afinco à 
resolução das questões aqui apresentados irá melhorar 
sobremaneira o seu desempenho no concurso da EsPCEx. 
Nosso principal objetivo com este material é contribuir para 
melhorar o desempenho de todo candidato que, de fato, 
queira aprender. 
Estamos aqui torcendo e trabalhando pelo seu sucesso! 
Bom trabalho e bom estudo! 
Equipe de Matemática. 
 
 
 
 
 
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4 MATEMÁTICA 1 
E Q U I P E 
 
Diretor Geral 
Luiz Alberto Tinoco Cidade 
 
Diretora Executiva 
Clara Marisa May 
 
Diretor de Artes 
Fabiano Rangel Cidade 
 
Gerente Operacional 
Laura Maciel Cruz 
 
Coordenação Geral dos Cursos Preparatórios 
Profº Luiz Alberto Tinoco Cidade 
 
Coordenação dos Cursos de Idiomas EAD 
Profº Dr. Daniel Soares Filho 
 
Secretarias 
Evelin Drunoski Mache 
 
Suporte Técnico 
Jefferson de Araújo e Fernnanda Moreira Teodoro da Silva 
 
Editoração Gráfica 
Edilva de Lima do Nascimento 
 
Fonoaudióloga e Psicopedagoga 
Mariana Ramos – CRFa 12482-RJ/T-DF 
 
Assessoria Jurídica (Consultora) 
Luiza May Schmitz – OAB/DF – 24.164 
 
Assessoria de Línguas Estrangeiras 
Monike Rangel Cidade (Poliglota-Suíça) 
 
Assessoria de Negócios 
Conrado Caiado 
 
Assessoria de Educação Física 
Lucas May Schmitz 
 
 
 
 
 
Professores dos Concursos 
 
Dr. Adriano Andrade – Geografia geral e do Brasil 
Dr. Daniel Soares Filho – Espanhol (EAD) 
Dr. Evilásio dos Santos Moura – Direito 
Enio Botelho – Geografia Geral e do Brasil 
Atila Abiorana – Língua Portuguesa 
Valber Freitas Santos – Gramática (EAD) 
Adriana Marques – Redação e Literatura 
Sormany Fernandes – História Geral e do Brasil 
Djalma Augusto – História Geral e do Brasil 
Luiz Alberto Tinoco Cidade – Espanhol 
Maristella Mattos Silva – Espanhol (EAD) 
Monike Cidade – Espanhol e Alemão (EAD) 
Ivana Mara Ferreira Costa- Inglês 
Edson Antonio S. Gomes – Administração de Empresas 
Ellen Mara Teles Lopes – Administração de Empresas 
Tomé de Souza – Administração de Empresas (EAD) 
Alexandre Santos de Oliveira – Direito 
Genilson Vaz Silva Sousa – Ciências Contábeis 
Rodrigo Flórido Brum – Ciências Contábeis 
Ricardo Sant'Ana – Informática 
Max Campos – Informática 
Rômulo – Informática 
Fladmy Alves – Informática 
Cintia Lobo César – Enfermagem 
Maria Luiza Rego Bezerra - Enfermagem 
Sara Delfino da Silva – Enfermagem 
Marcelo Herculano – Enfermagem 
Lacerda – Enfermagem 
Murilo Roballo – Matemática 
Bruno Luke– Matemática 
Marcos Massaki - Física I, II e III 
Jônatas Gonçalves – Química 
Antenor Passamani - Química 
Andrei Buslik - Matemáica e Física 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5 
 
5 MATEMÁTICA 1 
CONTEÚDO 
MATEMÁTICA 1 .................................................................................................................. 6 
1 - BINÔMIO DE NEWTON ............................................................................................................................... 6 
2 - NÚMEROS COMPLEXOS ......................................................................................................................... 19 
3 – POLINÔMIOS ............................................................................................................................................ 44 
 .............................................................. 44 
4 - EQUAÇÕES POLINOMIAIS ...................................................................................................................... 60 
MATEMÁTICA 2 ................................................................................................................ 81 
1 - GEOMETRIA ANALÍTICA ......................................................................................................................... 81 
2 - ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA ........................................................................................................... 112 
3- CÔNICAS .................................................................................................................................................. 132 
1 2 2
1 2 2 1 0( ) ...
n n n
n n nP x a x a x a x a x a x a
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6 MATEMÁTICA 1 
MATEMÁTICA 1 
1 - BINÔMIO DE NEWTON 
 
1. FATORIAL 
 
Define-se fatorial de n através da expressão: 
n! = n (n-1) (n-2)... 3.2.1 
 
Em que 
Adotam-se as seguintes definições especiais: 
0!=1 
1!=1 
 
2. Número binomial 
 
Denomina-se número binomial todo numero definido por: 
 
Em que 
Se n<p, então, por definição . 
3. Binomiais complementares 
 
Dois números binomiais são chamados complementares quando a soma dos denominadores é igual ao numerador. 
Os números são complementares, pois p+n-p=n. 
4 . Propriedades 
1ª) Dois números binomiais complementares são iguais. 
 
 
1
! :
n en
n lê se n fatorial oufatorial den
!
!( )!
n n
p p n p
n e p
n p
0
n
p
n n
e
p n p
 n n
p n p
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7 MATEMÁTICA 1 
 
Observação: 
Se
n n
p q
   
=   
   
 , então (p+q=n ou p=q). 
2ª) Relação de Stiffel 
 
 
5. Triângulo de Pascal 
É um triângulo formado por números binomiais de tal forma que: 
 
· Binomiais de mesmo numerador estão colocados na mesma linha; 
· Binomiais de mesmo denominador estão colocadosna mesma coluna; 
 
 
Propriedades do triângulo de Pascal 
1ª) Todos os elementos da 1ª coluna são iguais a 1, pois . 
2ª) O último elemento de cada linha é igual a 1, pois . 
3ª) Numa linha qualquer, dois binomiais eqüidistantes dos extremos são iguais: 
 
1 1
1 
n n n
p p p
0
 1
0
1 1
 1 1
0 1
2 2 2
 
0 1 2
 1 2 1
3 3 3 3
 1 3 3 1
0 1 2 3
4 4 4 4 4
 1 
0 1 2 3 4
 4 6 4 1
 1 5 10 10 5 1
 1 6 15 20 
0 1 2 3 4
n n n n n n
n
 15 6 1
 
1
0
n
1
n
n
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8 MATEMÁTICA 1 
 
4ª) Cada binomial da linha n é igual à soma de dois binomiais da linha 
(n-1): aquele que está na coluna p com aquele que está na coluna (p-1) (relação de Stiffel). 
 
 
 
5ª) A soma dos números binomiais de uma mesma linha é uma potência de base 2 cujo expoente é a ordem da linha (dada 
pelo numerador). 
 
n
p
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9 MATEMÁTICA 1 
6. Binômio de Newton 
 
Sendo ,demonstra-se que: 
 
 
 
 
Formula do binômio de Newton 
 
Observe que: 
· O desenvolvimento de possui (n+1) temos; 
· As potências de x decrescem de n até zero; 
· As potências de a crescem de zero até n; 
· Os coeficientes binomiais dos termos do desenvolvimento constituem uma linha do triângulo de Pascal. 
No caso de ,temos: 
 
 
 
 
Os sinais de cada termo do desenvolvimento são alternados, isto é, os termos de ordem par (2°, 4°, 6°...) são negativos e os 
de ordem ímpar (1°,3°,5°,...) são positivos. 
Essas fórmulas podem ser escritas da seguinte forma: 
 
 
 
1. Fórmula do termo geral 
 
Qualquer termo de ordem (p+1) do binômio é dado por: 
 
 
,x a e n
x a
, , ,...
0 1 2
n n n n
n
n
x a
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10 
 
10 MATEMÁTICA 1 
 
 
 
 
 
1. Resolva 
 
Resolução: 
 
 
2. Calcule p, p>3, sendo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 ! 1 1 !
16
1 1 !
n n n
n n
1 1
2 3 5
1 3
2 1
p p
p p
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11 MATEMÁTICA 1 
Resolução: 
 
 
3. Calcule o valor de m: 
 
a) 
 
Resolução: 
 
 
b) 
Resolução 
 
Lembrem-se que: 
 
4. Calcule o 10° termo no desenvolvimento de . 
Resolução: 
6
6 6 6
...
0 1 6
2 64
64
m
m
m
0
2 729
m
p
p
m
p
0
0
6
.
log : 2 1 2 729
3 3
6
n
n n p p
p
m
mp
p
m
n
a b a b
p
m
o
p
m
 
6
0
6
k
m
k
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12 MATEMÁTICA 1 
 
5. Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de 
Resolução: 
 
 
 
 
1. (V.UNIF.RS) A expressão
1 ! !
1 ! !
n n
n n
+ − 
 
− + 
, com n natural estritamente positivo, vale: 
 
a) 
b) 
c) 
1
12 9 92 9
10
6 9
15
15
10
 . . 1
12
2 . . 1
9
12!
.8 . 1
9!3!
12.11.10
.8 1
3.2
1760
pn p p
p
n
T a b
p
T x x
x x
x
T x
10
1
x
x
10
1
10
2 2
5 0
6
6
10 1
. . 1
10
. . . 1
10 2
0 5
2
10
1 . 
5
10.9.8.7.6
. 1 252
5.4.3.2
252
p
p p
p
p p
p
T x
p x
x x
p
p
p
T x
T
2
1
n n
n
2
1
n n
n
1
n
n
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13 MATEMÁTICA 1 
d) 
e) 
2. (U.F.PA) A forma mais simples da expressão é: 
 
a) n(n+2) 
b) n! 
c) (n-1)! 
d) n+1 
e) n 
3. (VUNESP) A soma é igual a: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
4. (U.F.RN) No desenvolvimento de , o coeficiente de x3 é igual a: 
 
a) 60 
b) 120 
c) 240 
d) 720 
e) 1440 
 
5. (U.MACK) No desenvolvimento de (2x+b)5, , o coeficiente numérico do termo em x4 é oito vezes aquele do termo 
em x3. Então b vale: 
 
2 1
2
n n
2
1
n
n+
( ) ( )( )
( )( )
2 ! 1 1 !
1 1 !
n n n
n n
+ + + −
+ −
( )
2
1n+
2 3 ...
1 2 3
n n n n
n
n
       
+ + + +       
       
1. 2nn −
2n
. 2nn
( ) 11 .2nn ++
1.2nn +
( )
5
3 2x+
0b 
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14 MATEMÁTICA 1 
a) 
b) 
c) 
d) 32 
e) 16 
 
6. (U.C.SALVADOR) O 5° termo do desenvolvimento do binômio
2 12
n
x
x
 
+ 
 
, segundo as potências decrescentes de x, é 
1.120x4. O número natural: 
 
a) Primo. 
b) Divisível por 3. 
c) Múltiplo de 5. 
d) Quadrado perfeito. 
e) Cubo perfeito. 
 
7. (U.C.SALVADOR) No desenvolvimento do binômio , segundo as potências decrescentes de x, o coeficiente 
do quinto termo é: 
 
a) 1 
b) 448 
c) 1120 
d) 1440 
e) 1792 
8. (U.E.BA) No desenvolvimento do binômio , o coeficiente do termo médio é: 
 
a) -224 
b) -70 
c) -28 
1
8
1
4
1
2
8
2 12x
x
 
+ 
 
8
22
2
y
x
 
− 
 
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int
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15 
 
15 MATEMÁTICA 1 
d) 28 
e) 70 
 
9. (U.F.SE) No desenvolvimento do binômio (1+x)8, a soma dos coeficientes é: 
 
a) 0 
b) 9 
c) 18 
d) 64 
e) 256 
10. (U.F.RS) O termo independente de x no desenvolvimento do binômio é: 
a) 5! 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
1. (FUEM-PR) Se e m>3, então o valor de é: 
2. Ache o conjunto solução da equação: . 
3. Os números binomiais , nesta ordem, estão em progressão aritmética. Calcule n. 
4. Calcule p na equação: 
10
1
x
x
 
+ 
 
10!
5!5!
10!
5!
5!
10!
5!5!
10!
1
4
2
m
m
− 
= 
−  ( )
1
0
3
m
m
 −
+ 
− 
( )
( )
1 ! 1
1 ! 4
n
n n
−
=
+
1 2
, ,
0 1 2
n n n
e n
+ +     
     
     
14 14
3 6p p
   
=   
+   
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16 
 
16 MATEMÁTICA 1 
5. Resolva a equação: 
6. Sabendo que e também que b = 2a , o valor de a é: 
 
a) 1 
b) 
c) 
d) 
e) 
7. Calcule ( )
6
6
0
6
.3 1
pp
p p
−
=
 
− 
 
 . 
8. Calcule ( )
10
0
10
. 1
p
p p=
 
− 
 
 . 
 
9. O termo independente de x de é: 
a) 20 
b) 60 
c) 120 
d) 160 
e) 180 
 
10. Qual é o coeficiente de x4 no desenvolvimento de ? 
a) 10 
b) -10 
c) 15 
d) -15 
e) 20 
 
 
 
12 12
1 3 3n n
   
=   
+ +   
7 6 5 2 6 7
7 7 7
... 128
1 2 6
a a b a b ab b
1
3
2
3
4
3
1
2
6
1
2x
x
5
1
2x
x
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17 
 
17 MATEMÁTICA 1 
11. Se um dos termos do desenvolvimento do binômio (2x+a)6, com , é 2160x4, então o valor de a pode ser: 
 
a) 5 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
e) 1 
 
12. Desenvolvendo ( )
8
2 2x y+ segundo potencias de expoentes decrescentes de x, o terceiro termo é igual a: 
 
a) 14x12y2 
b)28 x12y4 
c)56x10y4 
d)28x14y4 
e) 56x10y6 
 
13. (U.F.BA) A soma do segundo e terceiro termos do desenvolvimento de ( )
4
2 2x+ é: 
 
a) 32x (2+3x) 
b) ( )16 2 3x x+ 
c) ( )16 2 6x x+ 
d) ( )8 6 6x x+ 
e) ( )4 6 6x x+ 
 
14. (EAESP-FGV) A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x+3y)6 é: 
 
a) 15.625 
b) 7.776 
c) 6.225 
d) 4.225 
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18 
 
18 MATEMÁTICA 1 
e) 2.048 
 
15. (U.F.UBERLÂNDIA) Se n é o número de termos do desenvolvimento ( )
55
5 10x y+ que não contenham radicais, então n 
é: 
 
a) 8 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 4 
 
16. (U.MAK) A soma dos coeficientes numéricos do desenvolvimento de (2x-5y)n é 81. Ordenando os termos segundo 
potências decrescentes de x, o termo cujo módulo do coeficiente numérico é máximo é: 
 
a) O segundo 
b) O terceiro 
c) O quarto 
d) O quinto 
e) O sexto 
 
17. (U.F.PA) No desenvolvimento do binômio , qual o termo independente? 
a) 2° 
b) 3° 
c) 4° 
d) 5° 
e) 6° 
 
18. (F.C.M.STA.CASA) A soma dos coeficientes do primeiro, segundo e terceiro termos do desenvolvimento de ( )2 1
m
x x−+ é 
igual a 46. O termo independente de x vale: 
 
a) 36 
b) 126 
c) 84 
d) 1685
2
3
1
x
x
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19 
 
19 MATEMÁTICA 1 
e) N.d.a 
 
19. (EAESP-FGV) Sabendo que , então é igual a: 
a)x + y 
b)x - y 
c)y - x 
d)x - p 
e) y - p 
 
20. (F.M.ABC) Assinale a verdadeira: 
a) ( )
1
n
n k n k
k
a x a x −
=
+ = 
b) 
c) 
d) 
( ) 22 3 2
!
n
n n
n
+
= + + 
e) ( )2 ! 2! !n n= 
 
21. Calcule n 
 
a) 
b) 
c) 
 
2 - NÚMEROS COMPLEXOS 
 
1. Definição 
 
Denomina-se número complexo toda expressão da forma a+bi, onde a e b são números reais, e i2=-1. 
Em que: i é a unidade imaginária. 
 
1
1
m m
xe y
p p 1
m
p
!
pp
n n
p CA
! !p q p q
(n+2)! + (n+1)(n-1)!
25
( 1)( 1)!n n
=
+ −
(n+2)! (n-2)!
4
( 1)!( 1)!n n
=
+ −
(n+2)! +(n+1)!
5( 1)
!
n
n
= +
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
20 
 
20 MATEMÁTICA 1 
2. Forma algébrica 
 
Todo número complexo pode ser escrito na forma z=a+bi, denomina-se forma algébrica. 
 
Em que: 
a é a parte real de z. 
b é a parte imaginária de z. 
3. Álgebra dos números complexos 
 
Igualdade 
Dois números complexos, z1=a+bi e z2=c+di, são iguais quando suas partes reais e imaginárias são respectivamente iguais, 
isto é: 
 
 
 
Multiplicação 
Multiplicando dois números complexos de acordo com a regra da multiplicação de binômios e sabendo que i2=-1, temos: 
 
 
Conjugação de z 
Sendo z=a+bi, defina-se como complexo conjugado de z o complexo , isto é: 
 
 
 
Divisão 
A divisão de dois números complexos, z1=a+bi e z2=c+di, pode ser obtida escrevendo-se o quociente sob a forma de fração. A 
seguir, procedendo-se de modo análogo ao utilizado na racionalização do denominador de uma fração, multiplicam-se ambos os 
termos da fração pelo número complexo conjugado do denominador. 
Isto é: 
 
 
Potências de i 
Re( )
Im( )
a z
z a bi
b z
1 2
a c
z z a bi c di
b d
z a bi= −
z a bi z a bi
1 1 2
2 2 2
.
.
z z z
z z z
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
21 
 
21 MATEMÁTICA 1 
Geralmente, para todo ,temos: 
 
 
Então, para calcular o resultado de uma potência inteira de i, divide-se o expoente por 4 e, observando-se o valor do resto, 
obtém-se o resultado através da tabela ao lado: 
 
4. Representação geométrica 
 
Todo número complexo z=a+bi pode ser associado a um ponto P(a,b) do plano cartesiano da seguinte forma: 
O ponto P é denominado afixo ou imagem de z. 
Assim, no eixo das abscissas, representa-se a parte real de z e, no eixo das ordenadas, a parte imaginária de z. 
A distância de P até a origem O é denominada módulo de z e indicamos: 
 
 
n
4
4 1
4 2
4 3
1
1
n
n
n
n
i
i i
i
i i
2 2z a bi a b
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
22 
 
22 MATEMÁTICA 1 
 
Denomina-se argumento do complexo z a medida do ângulo , formado por com o eixo real Ox, medido no sentido anti-
horário, conforme indica a figura. 
 
 
Esse ângulo deve satisfazer a condição . 
 
Observe que: 
e 
 
5. Forma trigonométrica ou polar 
 
Considere o complexo z=a+bi, representado pelo ponto P(a,b), indicado na figura. 
 
 
OP
arg z
0 2
cos
a b
e sen
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
23 
 
23 MATEMÁTICA 1 
 
Substituindo-se em z=a+bi: 
 
 
 
 
6. Operações na forma trigonométrica 
 
Considere dois números complexos z1 e z2, não-nulos, representados na forma trigonométrica e . 
e 
 
Multiplicação 
 
 
Observe que o módulo do produto é o produto dos módulos, e o argumento do produto é a soma dos argumentos dos 
complexos dos fatores. 
 
 
 
Divisão 
 
 
 
Observe que o módulo do quociente é o quociente dos módulos, e o argumento do quociente é a diferença dos argumentos dos 
complexos dividendo e divisor. 
 
cos cos
 
a
a
b
sen b sen
1 1 1 1cos .z i sen 2 2 2 2cos .z i sen
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
24 
 
24 MATEMÁTICA 1 
Potenciação 
 
 
 
 
Observe que, para obter zn, elevamos o módulo de z à potência n e multiplicamos o argumento . 
 
Radiciação 
√𝒛
𝒏
= √𝒑
𝒏 (𝒄𝒐𝒔
𝜽 + 𝟐𝒌𝝅
𝒏
+ 𝒊𝒔𝒆𝒏
𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝟐𝒌𝝅
𝒏
) 
 
Observe que as raízes enésimas têm módulo igual a e seus argumentos são obtidos da expressão , fazendo k= 0, 
1, 2, 3, …, n-1. 
 
1. (MACK–SP) Com relação ao número complexo , x real, pode-se afirmar que se trata de um número: 
a) Real, para qualquer valor de x. 
b) Real, para um único valor de x. 
c) Imaginário puro, para qualquer valor de x. 
d) Imaginário puro, para um único valor de x. 
e) De representação gráfica no 2° quadrante. 
 
Resolução: 
n
2k
n
3
1 3
x i
z
xi
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
25 
 
25 MATEMÁTICA 1 
 
 
2. (FATEC-SP) Sejam os números complexos . O argumento de é: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Resolução: 
 
1 2
1 1
1
2 2
z ie z i 1 2z z
3
4
5
4
7
4
4
8
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
26 
 
26 MATEMÁTICA 1 
 
 
 
 
 
 
3. (IBMEC-SP) A quantidade de números complexos que têm o seu quadrado igual ao seu conjugado é: 
 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
Resolução: 
2
1 2
1 ,
2
1
: 1
2 2
1 1 1 1
1 , 2
2 2 2 2 2 2
1
2 1
1
2
3
4
Resposta:A
i
z
i
Logo z z i
i i
i quadrante
b
tg
a
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
27 
 
27 MATEMÁTICA 1 
 
 
4. (UEL-PR) Se cos
4 4
z i sen , então o conjugado de z2 é igual a: 
 
a) 2 2i− 
b) 2 2i− − 
c) 2 2i− + 
d) 4 
e) -4i 
 
Resolução: 
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
28 
 
28 MATEMÁTICA 1 
2 2
2
2
2
2 cos 
4 4
2 cos2. 
4 2
4 cos 
2 2
4 0 4
logo: 4
resposta:E
z i sen
z i sen
z i sen
z i i
z i
 
5. (IBMEC-SP) Os afixos (imagens) dos números complexos que são raízes da equação 
4 81 0z − = são vértices do 
polígono convexo de área igual a: 
 
a) 36 
b) 27 
c) 25 
d) 18 
e) 16 
 
Resolução: 
4
4
81
81
z
z
=
=
 
 
logo 1 3 (3,0)z= = = 
o polizono é um quadrado cujo lado mede 3 2 . 
( )
2
2 3 2 18A = = = 
Resposta D 
 
 
 
 
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
29 
 
29 MATEMÁTICA 1 
 
 
 
 
 
1. (UEL-PR) Seja o número complexo z=x+yi, no qual ,x y . Se 
2
1 1z i i , então: 
 
a) x=y 
b) x-y=2 
c) xy=1 
d) x+y=0 
e) y=2x 
 
2. (UFV-MG) Os números complexos z e w são tais que w+iz=-2-i e z+iw=5+2i. Então z e w são respectivamente: 
 
a) -2+2i e 3i 
b) 2+2i e 3i 
c) -2-2i e 3i 
d) -2-2i e -3i 
e) 2+2i e -3i 
 
3. (MACK-SP) Considere os números complexos tais que 1z . O número imaginário puro w, quando 1 2w z , pode ser: 
a) 3 i 
b) 2 i 
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
30 
 
30 MATEMÁTICA 1 
c) i 
d) -2i 
e) -3i 
4. (MACK-SP) O valor de
102
1
, 1
1
i
i
i
, é: 
a) i 
b) –i 
c) 1 
d) 1+i 
e) -1 
5. (UFRN) Se 
2
1
1
i
z
i
+ 
=  
− 
, então o argumento de z é: 
a)
3
4

− 
b)
4

− 
c)
4

 
d)
2

 
e)
3
4

 
 
6. (FGV-SP) Seja o número complexo ( )
2
2z x i= − , no qual x é um número real. Se o argumento de z é 90°, então 
1
z
é 
igual a: 
 
a)
1
z
 
b) -8i 
c) 4i 
d) -1+4i 
e) 4-i 
 
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
31 
 
31 MATEMÁTICA 1 
7. (PUC-SP) ( ) ( )
12 12
1 1i i+ − − , em que 
2 1i = , é igual a: 
a) -128i 
b) -128 
c) 128 
d) 128i 
e) 0 
8. (CESGRANRIO-90) O complexo 
6
3
2 2
i 
− 
 
 equivale a: 
a) 6i 
b) I 
c) –i 
d) -6i 
e) -1 
 
9. (PUC-SP) Quantos são os números complexos z que satisfazem as condições 
4 1z = e 0z z+ = ? 
 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
10. (U.F.BA) Sendo z=2-i, o inverso de z2 é: 
 
a) 
5 4
41
i+
 
b) 
c) 
d) 
 z conjugado de z
2
5
i+
4 3
25 25
i−
3 3
25 25
i+
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
32 
 
32 MATEMÁTICA 1 
e) 
 
11. As representações gráficas dos complexos1 + i, (1 + i)2, -1 e (1 – i)2, com i2 = -1, são vértices de um polígono de área: 
 
a) 2 
b) 1 
c) 
3
2
 
d) 3 
e) 4 
 
12. Na figura abaixo está representando o afixo p de uma raiz cúbica de um número complexo Z. Determine a única raiz 
cúbica de Z que é real. 
 
13. Em relação ao número complexo z = a + bi, sabe-se que a< 0, b< 0 e |z| < 1. Nessas condições, dos pontos indicados na 
figura, aquele que pode representar o afixo de z2 é 
 
 
a) A. 
b) B. 
c) C. 
d) D. 
3 4
25 25
i−
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
33 
 
33 MATEMÁTICA 1 
e) E. 
 
14. Considere a equação 
2 ( 1)z z z = + − em que  é um número real e z indica o cojugado do número complexo z. 
a) Determine os valores de  para os quais a equação tem quatro raízes distintas. 
b) Representar, no plano complexo, as raízes dessa equação quando = 0. 
15.O número complexo z = + bi, i = , com a e b inteiros, é tal que (a,b) pertence à reta x – 2 y + 1 = 0 Dado que z . 
 = 2, determine . 
 
16.Sejam números complexos tais que = 3 e = 4. Logo podemos concluir que: 
 
a) 1 < |z + W| < 7 
b) 1 
c) 0< |Z + W| < 5 
d) 0 
e) 
 
1. (CESGRANRIO) O complexo é igual a: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 

 1−
z z
z e W | |z | |W
| | 7Z W + 
| | 5Z W + 
| | 12Z W+ =
( )
2
1
1 i−
1
64
−
1
32
−
( )
2
1 i+
1
12
1
12i
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
34 
 
34 MATEMÁTICA 1 
2. (U.F.GO) Se i é a unidade imaginária, então é igual a: 
 
a) 1+i 
b) 0 
c) 1-i 
d) i 
e) 1 
 
3. (U.F.PR) Dados os números complexos e , efetuando-se obtemos: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
4. (VUNESP) O número complexo é igual a: 
 
a) –i 
b) i 
c) -1 
d) 1 
e) 2i 
 
5. (U.E.BA) O módulo do número complexo é: 
a) 
14 25
1 1 1
1
tsi i i
+ + +
1 4 3z i 2 1 3z i
1
2
z
z
8 3 2
7 7
i
5 3i
7 32 3
5 5
i
12 34 3 3
10 10
i
3 5 3
8 8
i
1987
1
1
i
i
1 3
2 2 3
i
z
i
1
6
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
35 
 
35 MATEMÁTICA 1 
b) 
c) 
d) 
e) 2 
 
6. (F.C.M.STA.CASA) Os valores de w que satisfazem a igualdade são: (obs.: é o módulo do número complexo 
w.) 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e)n.d.a 
 
7. (U.F.SE) O módulo de um número complexo é e seu argumento principal é 45°. A sua forma algébrica é: 
 
a) 4+4i 
b) 2+2i 
c) 2-2i 
d) 
e) 
 
8. (U.MACK) A função f associa a cada complexo seu argumento. O valor de cotg(f(-1-i)) é: 
 
a) -1 
b) 0 
c) 1 
d) 
e) 
1
8
1
4
1
2
2 0w w w
1,0, i
0, i i
1,0, i
0, 2,i
2 2
2 2i
2 2i
2
3
3
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
36 
 
36 MATEMÁTICA 1 
 
9. (U.F.PE) Considere o seguinte gráfico que representa o número complexo z=a+bi. 
 
Sabendo-se que o segmento mede duas unidades de comprimento, assinale a alternativa correta:¨ 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
10. (ITA) Considere a familia de curvas do plano complexo, definida por , onde z é um complexo não nulo e C é 
uma constante real positiva. Para cada C temos uma: 
 
a) Circunferência com centro no eixo real igual a C. 
b) Circunferência com centro no eixo real e raio igual a . 
c) Circunferência tangente ao eixo real e raio igual a . 
d) Circunferência tangente ao eixo imaginário e raio igual a . 
e) Circunferência com centro na origem do plano complexo e raio igual a. 
11. (FATEC) Se , então , 
 
a) 
OZ
2z i
3z i
1 3z i
2 2z i
1 3z i
1
Re C
z
1
C
1
2C
1
2C
cos .z i sen
z z
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
37 
 
37 MATEMÁTICA 1 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
12.(U.C.MG) A forma trigonométrica do número complexo é: 
 
a) 8 (cos 30° + i sen 30°) 
b) 8 (cos 45° + i sen 45°) 
c) 8 (cos 60° + i sen 60°) 
d) 8 (cos 120° + i sen 120°) 
e) 8 (cos 150° + i sen 150°) 
 
13.(U.E.LONDRINA) Sejam z1 e z2 os números complexos 
e . O produto de z1 por z2 é o número complexo: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
14. (F.C.M.STA.CASA) Seja o número complexo em que . Se z=512, então o número n é: 
 
a) Primo 
b) Quadrado perfeito 
c) Divisível por 5 
1
z
z
2 2z z
2arg argz z
2
2
1
z
z
4 3 4y i
( )2 3. cos30º . 30ºz i sen= +
( )2 5. cos 45º . 45ºz i sen= +
( )15. cos1350º 1350i sen+ 
( )8. cos75º 75i sen+ 
( )8. cos1350º 1350i sen+ 
( )15. cos15º 15i sen+ 
( )15. cos15º 15i sen+ 
( )2 2
n
z i= −
*n
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
38 
 
38 MATEMÁTICA 1 
d) Múltiplo de 4 
e) Divisível por 3 
15. (VUNESP) A expressão , em que i é a unidade imaginária dos complexos, é igual a: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 1 
 
16. (F.C.M.STA.CASA) O menor valor de n inteiro e positivo para o qual ( )2 2 3!
n
y = + seja real e positivo é: (Obs.:
 .) 
 
a) 3 
b) 12 
c) 6 
d) 9 
e) n.d.a 
 
17. (FATEC) Seja i2 = - 1. Se z é um número complexo tal que z3 = 1, então z é igual a: 
 
a) 1, i ou -i 
b) 
c) 
d) 
109
2 2
2 2
i
 
+  
 
2 2
2 2
i+
2 2
2 2
i−
2 2
2 2
i− +
2 2
2 2
i− −
1i = −
1 1
1, ( 1 3) (1 3)
2 2
i ou i− + +
1 1
1, (1 3) ( 1 3)
2 2
i ou i− − −
1 1
1, (1 3) (1 3)
2 2
i ou i+ −
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
39 
 
39 MATEMÁTICA 1 
e 
 
18. (CESGRANRIO) Seja 1 uma das raízes cúbicas da unidade. Então 1 + z + z2 vale: 
 
a) 0 
b) 3 
c) 1 
d) 3 
e) 1 + 
 
19. (VUNESP) O O diagrama que melhor representa as raízes cúbicas de - i é: 
 
20. (U. F. GO) As raízes quadradas do número complexo i são: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
1 1
1, ( 1 3) ( 1 3)
2 2
i ou i− + − −
z
3i
1 3
2 2
3 1 3 1
2 2 2 2
ie i
3 1 3 1
2 2 2 2
i e i
3 1 1
2 2 2
i e i
3 1 3 1
2 2 2 2
i e i
3 1 3 1
2 2 2 2
i e i
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
40 
 
40 MATEMÁTICA 1 
 
21. (U.F.BA) No plano cartesiano abaixo, os complexos z1, z2 e z3 são as raízes cúbicas de um determinado complexo z, tal 
que |z| = 8, pode-se afirmar: 
 
a) O argumento de z2 é . 
b) z3
987 = 2987 . 
c) . 
d) A distância entre z1 e z3 é . 
e) 1z é simétrico de z2 em relação à origem. 
f) z2 e i z2 são simétricos em relação à 1ª bissetriz. 
g) O lugar geométrico dos afixos dos complexos z para os quais Re(z) = lm(z1 + z2) é a reta x = 2. 
 
 
 
 
22. (U.C. SALVADOR) Considere o número complexo z tal que z6 = -64. O número z pode ser: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
6
1
1
3
2
iz i
z
3
3 i
1 3 i
3 
2
i
2 6
2 2
i
CP
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41 
 
41 MATEMÁTICA 1 
e) -i 
 
23. (F. C. M. STA. CASA) O número complexo 
 z = é uma das raízes quartas do número complexo: 
 
a) 1 - i 
b) 1 + i 
c) 
d) 
 
24. (ITA) Seja w = a + bi com b 0 e a, b, c . O conjunto dos números complexos z que verificam a equação wz + 
+ c = 0 descreve: 
 
a) Um par de retas paralelas. 
b) Uma circunferência. 
c) Uma elipse. 
d) Uma reta com coeficiente angular m = . 
e) n.d.a. 
 
25. (UnB) Existe uma associação simples entre os pontos do plano cartesiano xOy e os números complexos, em que cada par 
de números reias (x, y) do plano cartesianocorrespondente ao número complexo x = x + iy. Fazendo associação para o 
plano xOy apresentado ao lado, considere que o canavial III mostrado nesse texto tenha a forma de um paralelogramamo 
cujos vértices, no plano complexo, sejam a ordem e os pontos z1, z2 e z1 + z2, em que z1 = 2(cos + i sen ) e z2 
= 2(cos + i sen ).¨Julgue os itens. 
 
8 2 cos 
16 16
i sen
1 1
2 2
i
2 2
1
2 2
i
wz
a
b
8
 
 
  8
 
 
 
4
 
 
  4
 
 
 
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42 MATEMÁTICA 1 
 
(1) Os quatro lados do canavial III têm comprimentos iguais. 
(2) Os números complexos cos + i sem e cos + i sem são raízes da equação z16 = 1. 
(3) Os números complexos z1 e z2 satisfazem à identidade z12 = 3z2. 
(4) A área do canavial III é igual a 2. 
 
26.O número complexo z = x + Yi pode ser representado no plano, como abaixo: 
 
 
Considere , o módulo de z 
 
8
 
 
  8
 
 
  4
 
 
  4
 
 
 
cos .
4 4
i isen
  
− + 
 
2 2r x y= +
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43 
 
43 MATEMÁTICA 1 
O número complexo z pode ser escrito como: 
 
a) z = r(cos + isen ) 
b) z = r(cos - isen ) 
c) z = r(sen + icos ) 
d) ) z = r(sen - icos ) 
e) z = r(cos + isen ) 
 
27. O ângulo formado pelas representação geométricas dos números complexos z = + i e z4 é 
 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
e) . 
 
28. Sejam x, y e z = x + Yi um número complexo. 
 
a) Calculo o produto (x + Yi).(1 + i). 
b) Determine x ey, para que se tenha (x +Yi).(1 + i) = 2. 
 
29. No plano cartesiano, seja r uma reta de equação Sabendo que P = (1, - 1) é um ponto de r. 
 
a) O valor de ; 
b) o coeficiente angular de r 
 
30. Se a e b são inteiros positivos, e o número complexo (a + bi)3 – 11i também é inteiro, calcule a e b . 
 
31. Seja z um número complexo. 
 
Considere este sistema: 
 
 
 
 
 
3
6

4

3

2



2 2 0.ax y+ − =
a
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44 
 
44 
 
Determine para que esse sistema tenha solução única. 
 
32. Determine no plano de argand-Gaus, o lugar geométrico dos números complexos z representados pela equação: 
 
, sendo . 
 
3 – POLINÔMIOS 
1. Definição 
 
Denomina-se função polinomial ou polinômio toda função definida pela relação: 
 
 
Em que: 
são números reais chamados coeficientes; 
; 
 é a variável. 
 
Observações: 
1ª) Se na o , o expoente máximo n é dito grau do polinômio e indicamos gr(P)=n. 
2ª) Se P(x)=0, não se define o grau do polinômio. 
3ª) P(a) é denominado valor numérico de P(x) para x=a. 
4ª) Se P(a)=0, o número a é denominado raiz ou zero de P(x). 
 
2. Polinômios idênticos 
 
Dois polinômios A(x) e B(x) são iguais ou idênticos quando assumem valores numéricos iguais para qualquer valor comum 
atribuído à variável x. 
 
 
4
.
z
z i 
 =

− =

. . . 25 0z z W z W z− − + = 2 5W i= − +
1 2 2
1 2 2 1 0( ) ...
n n n
n n nP x a x a x a x a x a x a
1 2 2 1 0, , ,..., , ,n n na a a a a a
n
x
( ) ( ) ( ) ( ),A x B x A a B a a
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45 
 
45 
 
Teorema 
 
A condição necessária e suficiente para que dois polinômios A e B sejam idênticos é que os coeficientes dos termos 
semelhantes sejam dois a dois iguais. 
Algebricamente: 
 
 
 
 
3. Polinômio identicamente nulo 
 
Denomina-se polinômio identicamente nulo o polinômio que tem todos os seus coeficientes nulos. 
Indicamos por (lê-se: P(x) é idêntico a zero). 
Seja o polinômio 
 
 
 
 
 
4. Divisão de polinômios 
 
Efetuar a divisão de um polinômio A(x) por outro B(x) é determinar dois polinômios Q(x) e R(x) que satisfaçam as seguintes 
condições: 
 
 
 
Em que: 
 
A (x) é o dividendo; 
B (x) é o divisor; 
Q (x) é o quociente; 
R (x) é o resto. 
 
 
5. Divisão de um polinômio por um binômio da forma ax+b 
( ) ( ) , 0,1,2,...,i iA x B x a b i n
1 2 2
1 2 2 1 0( ) ...
n n n
n n nP x a x a x a x a x a x a
1
2
2
1
0
0
0
0
( ) 0 
0
0
0
n
n
n
a
a
a
SeP x
a
a
a
( ) ( ) 1ª ) ( ) ( ). ( ) ( )
( ) ( ) 2ª ) ( ) ( ) ( ) 0
A x B x A x Q x B x R x
R x Q x gr R gr B ouR x
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46 
 
46 
 
O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio da forma (ax+b) é igual ao valor numérico do polinômio P(x) se x for 
à raiz do divisor., 
 
 
 
 
 
Teorema do resto 
 
 
O resto da divisão de um polinômio P(x) pela 
diferença é igual a . 
 
 
 
 
Teorema de D’ Alembert 
 
Se r = 0, então , isto é, P(x) é divisível 
por e é raiz de P(x). 
 
 
Teorema 
 
Se P(x) for divisível por e por , 
com , também será divisível 
por . 
 
Generalizando, temos: 
Se P(x) é divisível por n fatores distintos . 
 
 
 
6. Dispositivo de Briot-Ruffini 
 
( ) 
 ( )
b
P x ax b r P
a
r Q x
x P
( ) ( )
 ( )
P x x r P
r Q x
0P
x − 
( )x − ( )x −
 
( )( )x x − −
1 2 ... nx x x
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47 
 
47 
É um dispositivo que permite determinar o quociente e o resto da divisão de um polinômio 
por um binômio da forma . 
 
 
 
 
Quociente: 
Resto: 
 
1. Seja f(x) um polinômio do 2° grau de coeficiente dominante igual a 2. Determine f(x) sabendo que f(1)=0 e f(-x)=f(x-1). 
Determine o resto da divisão de f(x) por x+2. 
 
Resolução: 
 
Coeficiente dominante a=2 
f(x)=ax2+bx+c 
f(1)=2+b+c=0 b+c=-2 
f(x-1)=a(x-1)2+b(x-1)+c 
Como f(-x)=f(x-1): 
ax2-bx+c=a(x2-2x+1)+bx-b+c 
ax2-bx+c= ax2-2ax+a+bx-b+c 
ax2-bx+c= ax2+x(-2a+b)+a-b+c 
 
Então: 
a=a 
-b=-2a+b a=b b=2 
c=a-b+ca=b 
1
0 1 1( ) ...
n n
n np x a x a x a x a
−
−= + + + + ( cosan )x a a te−
1 2
0 1 1...
n n
nq x q x q
− −
−+ + +
1n na q −+
→

CP
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48 
 
48 
como b+c=-2c=-4 
Então: 
f(x)=2x2+2x-4 
 
R= f(-2)=2(-2)2+2(-2)-4 
 f(-2)=8-4-4=0 
 
2. Dividindo-se o polinômio p(x)=x3-4x2+7x-3 por D(x), obtém-se quociente x-1 e resto 2x-1. Determine as raízes de D(x). 
 
Resolução: 
 
 
3. Determine a+b de modo que 
 seja divisível por (x+1)2. 
Resolução: 
Como , a divisão pode ser feita por Ruffini: 
 
 
 
3 2
3 2
2
 ( ) ( ) ( ). ( )
( )
 ( )
4 7 3 2 1
( )
1
4 5 2
( )
1
 :
1 1 4 5 2
 1 3 2 0
( ) 3 2 0
3
2
Como p x D x D x Q R p x
p x R
R Q D x
Q
x x x x
D x
x
x x x
D x
x
Dividindo por Ruffini
D x x x
S
P
 2 1
Resposta : 2 1
e
e
3 2( ) 2 2p x ax x bx= + − +
( )2( 1) 1 ( 1)x x x+ = + +
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49 
 
49 
4. Calcule o resto R(x) da divisão de p(x) por (x+1)(x-2) sabendo-se que o resto da divisão de p(x) por x+1 é 3 e por x-2 
também é 3. 
 
Resolução: 
 
 
 
5. Calcule A+B em 
Resolução: 
 
 
 
1. (Esan-SP) Sendo P(x)=Q(x)+x2+x+1 e sabendo-se que 2 é raiz de P(x) e 1 é raiz de Q(x), então P(1)-Q(2) vale: 
 
a) 0 
b) 2 
c) 3 
d) 6 
e) 10 
 
2. (FGV-SP) Se o polinômio P(X)=x3-kx2+6x-1 for divisível por (x-1), ele também será divisível por: 
 
a) x2-5x+1 
2
 ( ) 1 ( ) 2
3 ( 1) 3 3 (2) 3
: ( ) 1 2
 ( ) ( )
( ) ( ) 1 2
Se p x x e p x x
r p r p
então p x x x
r x ax b Q x
p x Q x x x ax b
2
1
1
x A B
x x x x
2
11
1
1
1
1
1 2
3
A x Bxx
x x x x
A Ax Bx x
x A B A x
A B
A B
A B
0
0
: ( 1) ( 1) 1 1 1 2 3
 (2) (2)(2 1)(2 2) 2 3
2 3
3
0 3
( ) 3
como p Q a b
e
p Q a b
a b
a b
a e b
R x
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50 
 
50 
b) x2-5x+3 
c) x2+5x+1 
d) x2+5x+3 
e) x2-5x+5 
 
3. (PUC/Campinas-SP) Dado o polinômio 
, se n ímpar, então P(-1) vale: 
 
a) -1 
b) 0 
c) 2 
d) 1 
e) 3 
 
4. (U.E.Londrina-PR) Sejam os polinômios f e g, de graus 4 e 2, respectivamente. Se o polinômio f+g2 é não-nulo, então seu 
grau será sempre: 
 
a) 8 
b) 6 
c) 4 
d) Um número par. 
e) Menor ou igual a 4. 
 
5. (Mackenzie-SP) Seja P(x) um polinômio do primeiro grau tal que P(2x+1)=x. Então P(1)+P(2) é igual a: 
 
a) 0 
b) 
c) 1 
d) 
e) 2 
 
6. (Fuvest-SP) Um polinômio P(x)=x3+ax2+bx+c satisfaz às seguintes condições: P(1)=0, P(x)+P(-x)=0, qualquer que seja x 
real. Qual o valor de P(2)? 
1 2( ) ... 3n np x x x x x−= + + + + +
1
2
3
2
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51 
 
51 
 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
7. (PUC-SP) Os valores de m, n e p de modo que sejam idênticos os polinômios: 
 
 
 e são respectivamente: 
 
a) 1,2,-3 
b) 2,3,1 
c) -1,2,2 
d) 2,1,-3 
e) 1,-3,2 
 
8. (PUC-SP) O valor dea para que o resto da divisão do polinômio 
3( ) 2 1p x ax x= − + por x-3 seja 4 é: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 1 
 
9. (Cesgranrio) O polinômio é divisível por x-2. Então, a constante k é: 
 
a) -9 
b) -6 
4 3 2
1( ) 1P x m n p x p x mx n p x n
3 2
2( ) 2 (2 7) 5 2p x mx p x mx m= + + + +
2
3
1
3
1
2
3
2
3 2( ) 2 9 13P x x x x k= − + +
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52 
 
52 
c) 0 
d) 2 
e) 12 
10. (Mackenzie-SP) Se 
2( ) 8p x x x kx m= − + − é divisível por (x-2) (x+1), então , , vale: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
11. Considere o polinômio P (x), do segundo grau, tal que P(x) – P(x) – P(x + 1) = x, qualquer que seja x real. Sabendo que 
P(0) = 0, assinale dentro as alternativas, o melhor esboço gráfico de y = p (x). 
 
12. Julgue os itens. 
 
1. O polinômio 2x3 + 5x2 – x – 6 é divisível por x – 1 e também por 2x + 3. 
2. O polinômio p(x) = x3 + x2 + 4x + 4 Não pode ser escrito como um produto de polinômios de grau 1 com coeficientes 
reais. 
4. A solução da equação sem x = tg x é constituída dos arcos x para os quais sem x = 0 ou cós x = 1. 
8. A inequação tem solução S = . 
( )0
k
com m
m

2
5
5
2
7
2
2
1
1
2
2 2
1 1
3 9
x x−
   
   
   
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53 
 
53 
13. Seja o polinômio , em que o resto da divisão 
de P(x) por x – 1 é 55. 
 
Determine o grau de p(x). 
 
14. Considere dois polinômios, f(x) e g(x). tais que o grau de f(x) é n + 2 e o grau de g(x) é n – 1. 
Sejam q(x) e r(x) (r(x) 0), respectivamente, o quociente e o resto da divisão de f(x) por g(x). 
 
O que se pode afirmar a respeito dos graus dos polinômios q(x) e r(x)? 
 
15. Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s) proposição(ões) correta(s) 
 
1. Para que o polinômio p(x) = (a + b) x2 + (a – b +c) x + (b + 2c – 6) seja indenticamente nulo, o valor de c é 4. 
2. O resto da divisão do polinômio x6 – x4 + x2 por x + 2 é 52. 
4. Dado o polinômio p(x) = x4 + 8x3 + 23x2 + 28x + 12 é correto afirmar que -2 é raiz de multiplicidade 3 para p(x) 
8. A equação polinomial x3 -2x2 – 4x + 1 = 0 possui as raízes a, b e c. 
 
Logo, a soma a2 + b2 + c2 é igual a 12. 
 
16. Sobre funções polinomiais e polinômios com coeficiente reais, assinale o que for correto. 
 
1.Se são raízes do polinômio 
P(x) = anxn+...+a1x + a0, então 
P(x) = an(x - )(x - )...(x - ). 
2. Dividindo-se p(x) = x5- 5x2 + 7x – 9 por 
Q(x) = x – 1, obtem-se um resto igual a 3. 
4. Todo polinômio de grau impar tem, pelo menos, uma raiz real negativa. 
8. Se a área de um retângulo é dada em função do comprimento x de um de seus lados por A(x) = 100x –x2, x em metros, 
então o valor de x, para que o retângulo tenha área máxima, é de 25. 
16. Se o grau do polinômio p(x) é m e o grau do polinômio q(x) é n, então o grau de p(x). q(x) é m + n e o grau de p(x) + q(x) 
m + n. 
32. Os pontos x onde os gráficos das funções polinomiais p e q se interceptam são precisamente as raízes de p(x) – q(x). 
64 Todo polinômio de grau n tem n raizes reais. 
 
17. Sabendo-se que o polinômio x4 + 4x3 + px2 + qx + r é divisível por x3 + 3x2 + 9x + 3, segue que p é igual a. 
 
2 3 1
1
( ) ( 1 ) ( 1) ( 2) ... 2
n
j n n
j
P x n j x nx n x n x x x−
=
= + − = + − + − + + +

1 2, ,..., n  
1 2 n

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54 
 
54 
a) 3. 
b) 6. 
c) 9. 
d) 12. 
e) 15. 
 
18. A soma dos coeficientes do polinômio (x2+3x-3)50 é. 
 
a) 0. 
b) 1. 
c) 5. 
d) 25 
e) 50. 
 
19. Um polinômio P(x) com coeficiente reais, é tal que P(1) = 1 e P(2) = -1. 
Calcule R(-11/2), Se R(x) é o resto da divisão de P(x) por x2 – 3x + 2. 
 
20. Seja o polinômio P(x) = x2 +3 x - tal que P( ) = P( ) = 0, em que < 1 < . 
 
Então podemos concluir que 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
1. (Mackenzie-SP) Se o polinômio , com , for divisível por x - a, então será igual a: 
 
a) 
b) 1 
c) 2 
 ( 1) −    
1 
0 
1  −
1  −
1 
5 4 3 3( ) 4 3P x x ax x a a
2 1a
10
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W
int
er
 
 
55 
 
55 
d) 
e) 
 
2. (U.E. Londrina-PR) Sabe-se que dividindo o polinômio por g, obtêm-se quociente e resto -2x. 
nessas condições, o polinômio g é: 
 
a) x2 + x 
b) x2 - x 
c) x2 + x + 1 
d) x2 - x + 1 
e) x2 - x - 1 
 
3. (Fuvest-SP) Dividindo-se em polinômio P(x) por 2x2 - 3x + 1, obtêm-se quociente 3x2 + 1 e resto - x + 2. Nessas 
condições, o resto da divisão de P(x) por x - 1 é: 
 
a) 2 
b) 1 
c) 0 
d) -1 
e) -2 
 
4. (Fuvest-SP) Determinar um polinômio P(x) de grau 4, divisível por , sabendo que P(0) = 0 e que 
o resto dsa divisão de P(x) por x + 2 é 48. 
 
5. (Vunesp) Considere a função polinomial de 3° grau, P(x) = x3 -3x2 +1. 
 
a) Calcule P(-2), P(0), P(1),P(2) e esboce o gráfico. 
b) Com base no item a, determine, justificando sua resposta, quantas raízes reais e quantasraízes complexas (não-reais) têm 
P(x). 
 
6. (Fuvest-SP) P(x) é um polinômio de grau 2 e tal queP(1) = 2 e P(2) = 1. Sejam D(x) = ( x- 2)(x - 1) e o quociente 
da divisão P(X) por D(x). 
 
a) Determine o resto da divisão de P(x) por D(x). 
b) Sabendo que o termo independente de P(x) é 8, determineo termo independente de . 
 
2
26
4 2f x x 2 2x x
( ) ( 1)( 1)( 2)Q x x x x
( )Q x
( )Q x
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56 
 
56 
7. (U. F. VIÇOSA) Para que o polinômio do segundo grau P(x) = ax2 - bx + c seja o quadrado do polinômio = dx + e é 
necessário que: 
 
a) b2 = 4c 
b) b2 = 4ac 
c) b2 = 4a 
d) b2 = 4a2c 
e) b2 = 4a2 
 
8. Dado o polinômio p(x) do 2° grau que admite 2 como raiz, p(1) = -2 e quando dividido por x - 3 apresenta resto igual a 4. 
Logo, p(-2)é: 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
9. (U. E. CE) Se 2x + 5 (x + m)2 - (x -n)2, então m3 - n3 é igual a: 
 
a) 19 
b) 28 
c) 35 
d) 37 
 
10. (U.C.SALVADOR) Sejam f,g e h polinômios de graus 2, 3 e 4, respectivamente. O grau do polinômio f. (g-h) é: 
 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 8 
e) 14 
 
 
 
( )Q x
CP
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57 
 
57 
11. (PUC) Se p e q são polinômios de graus 4 e 5 respectivamente, então o grau de: 
 
a) p+q é 5. 
b) pq é 20. 
c) p+q é 9. 
d) pq é 10. 
e) q-p é 4. 
 
 
12. (U.F.MG) O quociente da divisão de por 
3( ) 4 1q x x= + é: 
 
a) x-5 
b) x-1 
c) x+5 
d) 4x-5 
e) 4x+8 
 
13. (FATEC) Se um fator do polinômio 
3 2( ) 5 2p x x x zx= − + − é 
2( ) 3 1q x x x= − , então o outro fator é: 
 
a) x-2 
b) x+2 
c) –x-2 
d) –x+2 
e) x+1 
 
14. (U.F.GO) Se o polinômio é divisível pelo polinômio , então o quociente é: 
 
a) x-3 
b) x+3 
c) x-1 
d) x+1 
e) x+2 
 
15. (F.C.M.STA.CASA) Dividindo-se um polinômio f por obtém-se quociente x+1 e resto 2x+1. O resto da divisão de 
f por x+1 é: 
4 3( ) 4 4 1p x x x x
3 2 2 3x kx x 2 1x x
2 3 1x x
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58 
 
58 
 
a) -2 
b) -1 
c) 3 
d) 2x-1 
e) 2x+1 
 
16. (U.F.PA) O polinômio 
3 25x x mx n− + − é divisível por
2 3 6x x− + . Então, os números m e n são tais que m+n é 
igual a: 
 
a) 0 
b) 12 
c) 24 
d) 18 
e) 28 
 
17. (CESGRANRIO) Se o polinômio é divisível por x-2, então o valor de k é: 
 
a) 0 
b) 8 
c) -6 
d) -8 
e) -14 
 
18. (U.E.CE) Seja o polinômio . Se p(x) é divisível por x-2 e 
2( ) 2q x x nx= + + é o quociente da 
divisão de p(x) por x-2, então m+p+n é igual a: 
 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
 
19. (U.F.R.PE) Seja p(x) um polinômio com coeficientes reais. Assinale a alternativa certa para o resto da divisão de p(x) por
2 5 6x x− + 0 , sabendo-se que p(2)=2 e p(3)=3. 
 
2 22x x x k
2 2( ) 9p x x x mx p
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59 
 
59 
a) 2x+1 
b) x+1 
c) x-3 
d) x-2 
e) x 
 
 
 
 
20. (FGV) O polinômio 
3 22x x px q+ − + é divisível por . Podemosconcluir que: 
 
a) p=-2 
b) q=1 
c) p+q=0 
d) 
e) 
 
21. (FGV) Para que o polinômio 
3
8x x mx n− + − seja divisível por (x+1)(x-2) o produto m.n deve ser igual a: 
 
a) -8 
b) 10 
c) -10 
d) 8 
e) -6 
 
22. (PUC-SP) Sejam -1 e 2,respectivamente, os restos das divisões de um polinômio f por x-1 e x-2. O resto da divisão de f por 
(x-1)(x-2) é: 
 
a) 0 
b) -2 
c) –x+2 
d) x-1 
2 1x −
1
2
p
q
= −
7
.
5
p q =
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60 
 
60 
e) 3x-4 
 
 
 
23. (U.E.CE) Um polinômio P(x) dividido por x-1 dá resto 3, dividido por x+1, dá resto 1. A soma dos coeficientes do resto 
deste mesmo polinômio quando dividido por (x-1) (x+1) é: 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
24. Quais devem ser os valores de A, B e C para que 
 
seja uma identidade? 
 
25. Sabendo que: 
 
então A+B+C+D é: 
 
a) -2 
b) -1 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
 
4 - EQUAÇÕES POLINOMIAIS 
 
Uma equação polinomial é toda igualdade redutível à forma P(x) = 0, sendo P(x) um polinômio qualquer. 
 
1. TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA 
 
2
3
2 5 1
1 1
x x A B C
x x x x x
2 2 22 1 11 1 1
x A B Cx D
x xx x x
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61 
 
61 
Toda equação de grau n, com , possui pelo menos uma raiz complexa. 
 
Desse teorema, apresentado por Gauss no final do século XVIII, decorre: 
 
Toda equação de grau n, com , possui exatamente n raízes complexas. 
 
Rebaixamento de ordem 
 
O teorema de D’ Alembert afirma que um polinômio P(x) é divisível por (x-r) se, e somente se, P(r)=0, ou seja, se r é raiz de 
P(x). Podemos, então, escrever: 
 
 
 
2. TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO 
 
Seja , com . P(x) pode ser decomposto em n fatores do 1° grau na forma: 
 
em que 
são as n raízes de P(x). 
3. MULTIPLICIDADE 
 
Dizemos que r é raiz com multiplicidade m, com , de P(x) se: 
 
e 
 
4. PESQUISA DE RAÍZES 
 
Teorema 
Seja a equação com coeficientes inteiros e . 
1n 
1n 
( ) . ( )P x x r Q x
1
1 0( ) ...
n n
n nP x a x a x a 0na
1 2( ) . ...n nP x a x r x r x r
1 2, ,..., nr r r
m
( ) ( )
m
P x x r Q x ( ) 0Q r
1
1 0( ) ...
n n
n nP x a x a x a
−
−= − + + + 0na 
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62 
 
62 
Se é uma raiz racional dessa equação e p e q primos entre si, então: 
 
 
 
Observação: 
 
Do teorema anterior, decorre que se é raiz inteira da equação P(x)=0, então p é divisor de a0. 
5. EXISTÊNCIA DE RAÍZES REAIS 
 
Sejam P(x)=0 uma equação polinomial com coeficientes reais e o intervalo real ]a;b[. 
Se , há ao menos uma raiz real no intervalo ]a; b[. 
 
Tal proposição é conhecida como teorema de Bolzano. 
 
Observações 
 
Note que se não poderemos garantir nem descartar a existência de raízes reais nesse intervalo. 
 
Veja essas situações: 
 
p
q
( , *)com p q
p
( ). ( ) 0p a p b 
( ). ( ) 0p a p b 
p é divisor de 0a q é divisor de 
 
na
CP
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63 
 
63 
 
Pode-se também dizer que se , há um número par (inclusive zero) de raízes no intervalo ]a; b[. 
 
 
 
6. RAÍZES COMPLEXAS IMAGINÁRIAS 
 
Teorema 
 
Seja P(x) um polinômio de grau n com coeficientes reais. Se o número imaginário z=a+bi, com e , é uma 
raiz de equação P(x)=0, então o imaginário (conjugado de z) também é raiz dessa equação. 
 
 
7. RELAÇÃO DE GIRARD 
 
Equação quadrática 
Seja a equação , com ,r1 e r2 suas raízes. 
O teorema da decomposição permite-nos escrever: 
 
Dividindo-se os dois membros por a: 
 
Resulta, então, o sistema: 
( ). ( ) 0p a p b 
*a *b
z a bi= −
2 0ax bx c+ + = 0a 
2
1 2
2 2
1 2 1 2
ax bx c a x r x r
ax bx c a x r r x rr
2 2
1 2 1 2
b c
x x x r r x rr
a a
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64 
 
64 
 
 
Com essas igualdades obtemos a soma e o produto das raízes diretamente dos coeficientes equação. 
 
Equação cúbica 
 
Seja a equação: 
 
 
Desenvolvendo-se e agrupando-se o segundo membro, temos: 
 
 
 
Dividindo ambos os membros por a e identificando-se os coeficientes correspondentes, resulta o sistema: 
 
Generalizando para uma equação de grau n, temos: . 
 
1 2
1 2
b
r r
a
c
r r
a
3 2
1 2 3ax bx cx d a x r x r x r
( ) ( )
3 2
3 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3
ax bx cx d a
x r r r x r r r r r r x r r r
+ + + 
 − + + + + + − 
1 2 3
1 2 1 3 2 3
1 2 3
b
r r r
a
c
r r r r r r
a
d
r r r
a
1
1 1 0... 0( 0)
n n
n na x a x a x a com a
−
−+ + + + = 
1
1 2
2
1 2 1 3 2
3
1 2 3 1 2 4 2 1
0
1 2 3
...
...
...
... 1
n
n
n
n
n n
n
n
n n n
n
n
n
n
a
r r r
a
a
r r r r r r
a
a
r r r r r r r r r
a
a
r r r r
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65 
 
65 
 
1. Sabendo que -1 é raiz encontre as demais raízes e o decomponha em fatores do 1° grau. 
 
Resolução 
Se -1 for raiz, o polinômio P(x) é divisível por [x-(-1)]. Apliquemos o dispositivo de Briot-Ruffini para efetuar a divisão. 
 
 
Teremos: e 
As outras raízes de P(x) serão as raízes da equação Q(x)=0. 
 
Podemos escrever: 
 
Ou ainda: 
 
 
As raízes são 
 
 
3 2( ) 3 4 5 2p x x x x= − − +
3( ) 3 7 2Q x x x= − + ( )2( ) ( 1) 3 7 2p x x x x= + − +
2
1
3
3 7 2
2
x
x x ou
x
1
1 3 2
3
P x x x x
 1
1 3 1 2
Fatores do grau
P x x x x
1
1, 2, 1 3 1 2,
3
e e P x x x x
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66 
 
66 
2. Escreva um polinômio real P(x) de menor grau possível, com coeficientes predominantes igual a 2, que admita 1 e -2 como 
raízes simples e 3 como raiz dupla (multiplicidade 2). 
 
Resolução: 
 
1 e -2 são raízes simples. 3 é raiz com multiplicidade 2 (raiz dupla). 
Podemos escrever: 
 
 
Desenvolvendo e simplificando, vem: 
 
 
 
3. Resolva a equação , sabendo-se que 1+i é raiz. 
 
Resolução: 
Se 1+i é raiz, 1-i também será. Chamando as outras raízes de x1 e x2 e usando Girard: 
 
 
 
Resolvendo obtêm-se as outras raízes 
 
 
4. Calcule a soma das inversas das raízes de . 
 
Resolução: 
 
Chamando-se as raízes de a, b e c, têm-se: 
( ) ( )
2
( ) 2( 1) 2 3p x x x x= − − − −  
4 3 2( ) 2 10 2 42 36p x x x x x= − + + −
4 2 2 6 0x x x+ − + =
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1 0
2
1 1 6
2 6
3
2
S i i x x
x x
P i i x x
x x
x x
x x
1 2i
1 , 1 , 1 2 , 1 2S i i i i
3 27 4 1 0x x x− + − =
CP
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67 
 
67 
 
 
5. Resolva a equação sabendo que uma raiz é o dobro da soma das outras duas. 
 
Resolução: 
 
Raízes: a, b, c 
 
 
6. Resolva a equação sabendo que as raízes estão em P.G. 
 
Resolução: 
 
3
1 1 1 4
4
1 1
bc ac ab
a b c abc
3 29 20 12 0x x x− + − =
2
2
9
9 6
2
Por Ruffini: 6 1 9 20 12
 1 3 2 0
3 2 0
3
2 1
2
1,2,6
a b c
S a b c
a
a a
x x
S
e
P
S
3 264 56 14 1 0x x x− + − =
3
3
2
, ,
1
1
64
1
64
1
4
Por Ruffini:
1
64 56 14 1
4
 64 40 4 0
64 40 4 0
1 1
resolvendo obtemos: 
2 8
1 1 1
, ,
2 4 8
x
x xq
q
x
P x xq
q
x
x
x x
e
S
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68 
 
68 
 
1. (FGV-SP) A equação admite -2 como raiz. As outras raízes satisfazem à equação: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
2. (Vunesp) Uma das raízes da equação é 2. Pode-se afirmar que: 
 
a) As outras raízes são imaginárias. 
b) As outras raízes são 17 e -19. 
c) As outras raízes são iguais. 
d) As outras raízes estão entre -2 e 0. 
e) Só uma das outras raízes é real. 
 
3. (PUC/Campinas-SP) Considerando que algumas raízes reais do polinômio 
pertencem ao conjunto {-2;-1;0;1}, é correto afirmar que esse polinômio admite: 
 
a) cinco raízes reais. 
b) cinco raízes não-reais. 
c) três raízes reais e duas não-reais. 
d) duas raízes reais e três não-reais. 
e) uma raiz real e quatro não-reais. 
 
4. (U.E.Londrina-PR) Sabe-se que a equação admite umaraiz racional. A maior das raízes é um 
número. 
 
a) ímpar. 
b) divisível por 4. 
3 23 4 28 0x x x− + + =
2 4 14 0x x− + =
2 5 14 0x x− + =
2 6 14 0x x− + =
2 7 14 0x x− + =
2 8 14 0x x− + =
3 22 7 6 0x x x− − − =
5 4 3 23 3 4 4f x x x x x= − − + − +
3 22 4 2 0x x x+ − − =
CP
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69 
 
69 
c) irracional. 
d) quadrado perfeito. 
e) não-real. 
 
5. (Mackenzie-SP) Se k e p são, respectivamente, a soma e o produto das raízes da equação , 
então k+p vale: 
 
a) 
b) 
c) 
d) -4 
e) 
 
6. (Fuvest-SP) Se a equação: 
tem raízes reais 2 e –1, então o valor de k é: 
 
a) 
b) -2 
c) 
d) 
e) 
 
7. (U.E.Londrina-PR) Seja a equação , cujas raízes são a, b e c na qual k é uma constante real. Se 
, então k é igual a: 
 
a) -4 
5 3 24 2 1 0x x x x− + − + =
1
4
1
4
−
5
2
2
5
−
4 3 28 18 9 0ax x kx x+ + − + =
9
4
89
4
−
3
17
−
76
9
−
3 22 4 0x x x k+ − + =
1 1 1
2
a b c
+ + = −
CP
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70 
 
70 
b) -2 
c) -1 
d) 2 
e) 4 
 
8. (Mackenzie-SP) Na equação
3 25 5 2 0x x x− + + = , de raízes a, b, e c, o produto (a+2) (b+2) (c+2) vale: 
 
a) 35 
b) 30 
c) 25 
d) 45 
e) 40 
 
9. (Fuvest-SP) Seja 
4 3 2( )p x x bx cx dx e= + + + + um polinômio com coeficientes inteiros. Sabe-se que as quatro 
raízes de P(x) são inteiras e que três delas são pares e uma é ímpar. Quantos coeficientes pares têm o polinômio P(x)? 
 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
10. (Vunesp) A equação 
3 22 5 4 0x x x− − + = tem raízes x1, x2 e x3. Calcule valores numéricos para os coeficientes a, b, 
c e d, sabendo que as raízes de são x1-2, x2-2, x3-2. 
 
11. (ITA-SP) Sejam a, b e c raízes da equação , em que r é um número real. Podemos afirmar que o valor 
de é: 
 
a) -60 
b) 62+r 
c) 62+r2 
d) 62+r3 
e) 62-r 
 
12. (Vunesp) Os coeficientes do polinômio são números inteiros. Supondo que f(x) tenha duas 
raízes racionais positivas distintas: 
3 2 0ax bx cx d+ + + =
3 20 0x rx− + =
3 3 3a b c+ +
3 2( ) 3f x x ax bx= + + +
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
71 
 
71 
 
a) Encontre todas as raízes desse polinômio. 
b) Determine os valores de a e b. 
 
13. (Fuvest-SP) 
 
a) Quais são as raízes inteiras do polinômio 
b) Decomponha o polinômio P(x) em um produto de dois polinômios, um de grau 1 e outro de grau 2. 
c) Resolva a inequação: P(x)<4(x-2) 
 
14. (Unicamp-SP) Considere o polinômio: 
 
 
a) Verifique se o número complexo 2+3i é raiz desse polinômio. 
b) Prove que P(x)>0, para todo número real x>-2. 
 
15. (U.F.Uberaba-MG) Se a, b, c são raízes de , então: 
 
a) 
2 2 2 9a b c+ + = 
b) 
c) 
2 2 2 6a b c+ + = 
d) 
 
16. (UFRJ) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são dadas pelas raízes do polinômio . Em 
relação a esse paralelepípedo, determine a razão entre a sua área total e o seu volume. 
 
 
1. (U.F.RN) Uma das soluções da equação é: 
 
3 2( ) 4?p x x x= − −
3 2( ) 2 5 26f x x x x= − + +
3 23 1 0x x x+ − + =
1 1 1
1
a b c
+ + =
1 1 1
1
a b c
+ + = −
3 23 13 7 1x x x− + −
4 28 16 0x x− + =
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
72 
 
72 
a) -1 
b) -2 
c) -3 
d) -4 
e) -5 
 
2. (U.C.SALVADOR) É verdade que a equação 
3 2( 4 )( 2 1)x x x x− + + , no universo , 
 
a) Tem quatro soluções distintas. 
b) Tem uma solução que é número irracional. 
c) Tem cinco soluções distintas. 
d) Não tem soluções. 
e) Tem apenas duas soluções distintas. 
 
3. (U.C.SALVADOR) Sabe-se que o polinômio é divisível por . Se q é o 
quociente da divisão de f por g, quais são as raízes de q? 
 
a) 1 e -1 
b) 3 e -3 
c) 1 e -3 
d) -1 e 3 
e) -1 e -3 
 
4. (U.F.RS) Se os números -3, a e b são as raízes da equação , então o valor de a+b é: 
 
a) -6 
b) -2 
c) -1 
d) 2 
e) 6 
 
5. (FATEC) Se a, b e são as raízes da equação , então ab é igual a: 
 
4 3 24 4 9f x x x= − + − 2 2 3g x x= − +
3 25 2 24 0x x x+ − − =
1
2
− 3 22 3 3 2 0x x x+ − − =
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
73 
 
73 
a) -1 ou 0 
b) 2 ou 2 
c) 2 
d) ou 
e) -2 ou 1 
 
6. (PUC-SP) Em relação ao polinômio , o que se pode afirmar sobre o número 1? 
 
a) É raiz simples. 
b) É raiz dupla. 
c) É raiz tripla. 
d) É raiz quádrupla. 
e) Não é raiz. 
 
7. (U.MACK) A soma das raízes da equação é: 
 
a) -1 
b) 0 
c) 0 
d) 2 
e) 3 
 
8. (FGV) Dada a equação , determinar p de modo que uma das raízes seja o dobro da outra. 
 
a) 
b) 
c) 
d) p = 10 
e) n.d.a 
 
1
2
−
1
2
1
2
−
2 2( ) ( 1) ( 1)p x x x= − −
3 22 7.2 14.2 8 0x x x− + − =
3 7 0x x p− + =
6p = 
3p = 
5p = 
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
74 
 
74 
9. (U.F.PELOTAS) A soma dos inversos das raízes da equação é igual a: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 2 
 
10. (U.C.MG) O valor de m, para que a equação
3 1 0x mx+ − = tenha duas raízes iguais, é: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
11. (U.Mack) Uma raiz da equação 
3 24 6 0x x x− + + = é igual à soma das outras duas. As raízes dessa equação são: 
 
a) 2, -2, 1 
b) 2, -1, 3 
c) 3, -2, 1 
d) 1, -1, -2 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
3 22 3 4 0x x x− + − =
3
4
−
1
2
−
3
4
4
3
2−
3
1
2
−
3
1
4
−
3
2
4
−
3
3
4
−
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
75 
 
75 
12. (EAESP-FGV) Determinar as raízes da equação: , sabendo que uma das raízes é a média 
aritmética das outras duas. 
 
a) 3, 9, 6 
b) 1, 9, 5 
c) 0, 12, 6 
d) 1, 7, 4 
e) 3, 13, 8 
 
13. (U.Mack) As raízes da equação formam uma P.A. de razão 3. Então: 
 
a) n=3 e m=6 
b) n=18 e m=0 
c) n=3 e m= 
d) m+n=9 
e) n 0 e m.n=9 
 
14. (U.F.PR) A condição para que as três raízes da equação estejam em progressão geométrica é: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
15. (ITA) Os valores de m, de modo que a equação tenha duas raízes somando um, são: 
 
a) 0 
b) e 3 
c) 1 e -1 
d) 2 e -2 
3 212 39 28 0x x x− + − =
3 29 0x x nx m+ + + =
1
18

3 2 0x ax bx c+ + + =
b
a
c
=
3 3 0b c a− =
3ba c=
3 3 0c a b− =
3 3 0a c b− =
3 2 26 30 0x x m x− − + =
3
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
76 
 
76 
e) n.d.a 
 
16. (F.SANTANA) Se a equação 2x3+ 11x2+ 14x + 8 = 0 admite duas raízes recíprocas, a terceira raiz é um número: 
 
a) ímpar 
b) maior que 2 
c) negativo 
d) não real 
e) não inteiro 
 
17. (VUNESP) O gráfico da figura representa o polinômio real . Se o produto das raízes de 
f(x)=0 é igual à soma dessas raízes, então a+b+c é igual a: 
 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 3 
e) 
 
 
 
18. (PUC-SP) Se o número complexo a+bi é raiz de uma equação algébrica com coeficientes reais, então a-bi também é raiz 
dessa equação. Qual é a raiz real de
3 23 7 8 2 0x x x− + − = , se uma de suas raízes é 1-i? 
 
a) 
b) 
c) 
d) -3 
e) -1 
 
3 2( ) 2f x x ax bx c= − + + +
9
2
1
3
1
3
−
2
3
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
77 
 
77 
19. (U.F.RS) O módulo das raízes complexas não reais da equação é é , com . A 
soma de todas as raízes é: 
 
a) 1 
b) 2 
c) 4 
d) 5 
e) 9 
20. (PUC-RS) O gráfico na figura é de uma função em que f(x) é um polinômio do 3° grau. Para a equação 
f(x)=0, afirmamos: 
 
II) O termo independente de x é igual a 2. 
II) Suas raízes são -2, 2 e 1. 
III) Suas raízes são -2, -2 e 1. 
IV) Suas raízes são -2, 1 e 1. 
 
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s): 
a) II 
b) III 
c) I e II 
d) I e III 
e) I e IV 
 
21. Resolva a equação , sabendo que uma das raízes é . 
 
22. O polinômio de grau 3 cujo gráfico está esboçado na figura abaixo tem: 
 
a) Uma raiz igual a -2, uma raiz igual a 3 e uma raiz complexa. 
b) Termo independente igual a -3. 
c) Uma raiz real e duas complexas. 
3 2 9 5 0x mx x− + − = 5 m
:f →
4 24 8 35 0x x x− + + = 2 3i+
CP
F 0
67
.10
9.841
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
78 
 
78 
 
Qual das proposições acima é correta? 
 
23. O gráfico abaixo é o de um polinômio cujos zeros reais estão todos no trecho desenhado. 
 
 
Qual das proposições abaixo, sobre o polinômio acima, é correta? 
 
a) Pode ser do 3° grau. 
b) Pode ser do 5° grau. 
c) Pode ser do 6° grau. 
24. Resolva a equação . 
 
25. Determine as raízes da equação . 
 
26. Resolva a equação . 
 
27. Qual dos graficos a seguir é o gráfico de uma função f tal que a equação f(x) = 1 tenha exatamente 3 soluções e tal que a 
equação f(x) = 0 tenha exatamente 2 soluções? 
3 22 2 0x x x− − + =
5 3 28 6 7 6 0x x x x− − + − =
3 215 7 7 1 0x x x+ − + =
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
79 
 
79 
 
28. Considere o gráfico abaixo. 
 
 
Esse gráfico pode representar a função definida por 
 
a) f(x) = x3 + 5x2 – 20x. 
b) f(x) = x3 + 5x2 – 4x - 20. 
c) f(x) = x4 + 5x3 – 20x - 4. 
d) f(x) = x4 + 5x3 – 4x - 20. 
e) f(x) = x4 + 5x3 – 4x2 - 20x. 
 
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
80 
 
80 
29. O inteiro 2 é raiz do polinômio p(x) = 4x3 – 4x2 – 11 x + k, em que k é uma costante real. 
 
a) Determine o valor de k. 
b) Determine as outras raízes de p(x). 
c) Determine os intervalor onde p(x) > 0. 
 
30. O produto de duas raízes do polinômio p(x) = 2x3- mx3 + 4x + 3 é igual a – 1. Determinar 
 
a) O valor de m. 
b) As raízes de p. 
 
31. Resolva a equação x5 + x4 + 4x3 + 4x2 + 3x +3 = 0 no conjunto dos números complexos. 
 
32. Considerando o polinômio p(x) = x4 – 2x3 + 4x2 – 2x + 3, mostre que z1 = i é uma rais de p(x), que, juntamente com as 
demais raízes z2, z3 e z4, satisfaz à equação 
 
33. A equação x3 – 10x2 + ax + b = 0 tem uma raiz igual a 3 + 2i. Nela a e b são número reais. Sobre essa equação, é 
correto afirmar: 
 
a) -3 + 2i também é raiz da equação. 
b) A equação não possui raizes reais. 
c) A equação possui uma raiz irracional. 
d) O valor de a é -37. 
e) O valor de é -52. 
 
34. Considere que 2i é raiz do polinômio 
 
P(x) = 5x5 – 5x4-80x + 80, a soma das raízes desse polinômio vale 
a) 5. 
b) 4. 
c) 3. 
d) 2 
e) 1. 
 
 
 
 
2 2 2 2
1 2 3 4 10.z z z z+ = −

b
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
81 
 
81 MATEMÁTICA 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA 2 
1 - GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
Parte I - Estudo de Ponto e Reta 
 
1. Sistema cartesiano ortogonal 
 
É constituído por duas retas, x e y, perpendiculares entre si. 
 
 
 
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
82 
 
82 MATEMÁTICA 2 
Em que: 
 
A reta x é chamada eixo das abscissas; 
A reta y é chamada eixo das ordenadas; 
 
O ponto O é chamado origem; 
O número real a é denominado abscissa de P; 
O número real b é denominado ordenada de P; 
O par ordenado (a,b) representa as coordenadas de P. 
 
2. Distância entre dois pontos na reta 
 
A distância entre os pontos A e B de coordenadas a e b, respectivamente, é dada por: 
 
 
 
Em que d(A,B) é a distancia entre A e B. O número real não-negativo d(A,B) é denominado, também, comprimento do 
segmento . 
 
3. Distância entre dois pontos no plano 
 
A distancia entre os pontos A(xA, ya) e B(xB, yB) é dada por: 
( ),d A B b a= −
AB
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
83 
 
83 MATEMÁTICA 2 
 
 
 
4. Ponto Médio 
 
 
 
Em que xM é a abscissa do ponto M e yM é a ordenada do ponto M. 
 
5. Baricentro de um triângulo 
( ) ( ) ( )
2 2
, B A B Ad A B x x y y= − + −
,
2 2 2
 
2
A B A B A B
M
A B
M
x x y y x x
M x
y y
y
+ + + 
 = 
 
+
=
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
84 
 
84 MATEMÁTICA 2 
 
O baricentro G de um triângulo ABC de coordenadas A(xA, ya), B(xB, yB) e C(xC, yC) é dado por: 
 
 
 
 
Baricentro é o ponto de encontro das medianas. 
 
 
 
6. Alinhamento de três pontos 
 
Sejam os pontos da figura: 
 
,
3 3 3
 
3
A B C A B C A B C
G
A B C
G
x x x y y y x x x
G x
y y y
y
+ + + + + + 
 = 
 
+ +
=
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
85 
 
85 MATEMÁTICA 2 
 
 
 
 
 
 
7. Estudo da reta 
 
Equação geral 
Se a reta r passa pelos pontos A(xA, ya), B(xB, yB) e P(x, y), temos: 
 
 
0 , são colineares, isto é, estão alinhados.
0 , formam triângulo.
D A B e C
D A B e C
= 
 
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
86 
 
86 MATEMÁTICA 2 
 
 
Em que: 
 
 
 
Observações: 
 
 
O coeficiente angular ou declividade m da reta é dado por: 
 
 
Reta que passa por um ponto dado e declividade conhecida 
Seja a reta r que passa pelo ponto A(xA, ya) e com declividade m; então: 
 
 
Equação reduzida 
 
A equação reduzida da reta r da figura é dada por: 
 
 1
 1 0 0
 1
A A
B B
X Y
X Y ax by c
X Y
=  + + =
A B
A B
A A B B
a y y
b x x
c x y x y
= −

= −
 = −
0 
0 
0 0 
c
a y reta horizontal
b
c
b x reta vertical
a
c ax by reta que passa pela origem
=  = −
=  = −
=  + =
 B A
B A
y y a
tg m m
x x b

−
=  = = −
−
( )A Ay y m x x− = −
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
87 
 
87 MATEMÁTICA 2 
 
 
 
 
Equação segmentária 
 
A equação segmentária da reta r que passa pelos pontos A(a,0) e B(0,b) da figura é dada por: 
 
 
Equações paramétricas 
 
São equações que não relacionam diretamente entre si as coordenadas x e y. 
Essas equações são dadas em função de uma terceira variável, t, chamada parâmetro. 
 
 
 
 
 
 
coeficiente
linear
y mx b
coeficiente
angular
= + 

CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
88 
 
88 MATEMÁTICA 2 
 
Exemplo: 
 
8. Posições relativas de duas retas 
 
Sejam as retas: 
 
 
 
4 2
3
x t
y t
= +

= − +
:
:
r r r
s s s
reta r y m x b
reta s y m x b
= +

= +
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
89 
 
89 MATEMÁTICA 2 
 
 
 
 
 
 
9. Ângulo entre duas retas 
 
 e são concorrentes.
 e 
 e são paralelas distintas.
 e 
 e são paralelas coincidentes.
1
 e são perpendiculares.
r s
r s r s
r s r s
r
s
m m
r s
m m b b
r s
m m b b
r s
m
m
r s

= 
= =
= −
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
90 
 
90 MATEMÁTICA 2 
Sejam as retas r1 e r2 indicadas nas figuras. O ângulo agudo entre elas é tal que: 
 
 
 
 
 
10. Distância entre ponto e reta 
 
Dados um ponto P(xp, yp) e uma reta r de equação ax+by+c=0, a distância entre P e r é dada por: 
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
91 
 
91 MATEMÁTICA 2 
 
11. Área de um triângulo 
 
Dados três pontos não-colineares A,B e C, indicados na figura, a área S do triângulo ABC formado por esses pontos é dada por: 
 
 
 
 
Dado os pontos B(2,3) e C(-4,1) determinar o vértice A do triângulo ABC, sabendo que é o ponto do eixo das ordenadas do 
qual se vê BC sob ângulo reto. 
 
Resulução: 
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
92 
 
92 MATEMÁTICA 2 
 
 
 
2. Dados A(1,5) e B(3,-1) obtenha o ponto em que a reta intercepta a bissetriz dos quadrantes ímpares. 
 
Resolução: 
 
Pela condição de alinhamento: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pela condição de alinhamento: 
 
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2 22 2
2 2
2
2 4 3 1 4 1 2 3
16 2 1 4 9 6 36 4
4 5 0
1
5
resposta: 0, 1 ou 0,5
BC AC ABd d d
y y
y y y y
y y
y
ou
y
A
= +
+ + − = + − + + −
+ − + + + − + = +
− − =
= −
=
−
AB
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
93 
 
93 MATEMÁTICA 2 
 
 
3. Qual e a reta que passa por P(3,1) intercepta (r) 3x-y=0 em A e (s) x+5y=0 em B tais que P é médio de . 
 
Resolução: 
 
 
 
 
Resolvendo o sistema temos:a=1 b=-1 
 
Logo A(1,3) e B(5,-1) 
Então a equação da reta : 
 
 
 
 
AB
5
3 5 6
2 2
A B
P
X X a b
X a b
+ −
=  =  − =
3 23
1
5 62 2
A B
P
a bY Y a b
Y
a b
+ =+ +
=  =  
− =
AB
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
94 
 
94 MATEMÁTICA 2 
4. Obtenha uma reta paralela a (r) 2x+y=0 e que define com os eixos um triângulo cuja área é 16. 
 
Resolução: 
 
 
(s) 2x+y+c=0 
(0,q) q=-c 
(p,0) 2p=-c 
Como: 
 
 
5. Qual a equação da reta que passa por A (1,1) e é paralela à reta (r) y = - 2 x + 1. 
 
Resolução: 
Reta procurada (s) 
mr=ms 
mr=-2, logo 
 
→
→ →
2
c
P = −
16
2
2 16 8
2
Resp: 2 8 0
2 8 0
bh
A
c
c
c
x y
x y
= =
−
− = → = 
+ + =
+ − =
16
2
bh
A = =
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
95 
 
95 MATEMÁTICA 2 
 
6. Determine o ponto Q, simétrico de P(-3,2) em relação à reta (r) x+y-1=0. 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
Reta (s): 
mr=-1 
ms= 
 
 
1. Na figura, os pontos M, N e P dividem em quatro segmentos congruentes. Se A=(4,1) e B=(10,5), determine as 
coordenadas de M, N e P. 
 
( )
( )
2 2
(1,1)
1 1
2 3 0
s
o o
m
y y m x x
A
y x
x y
−
− = −
− = − −
+ − =
1
1
rm
− =
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
3,2
2 1 3
5 0 ( )
5 0
 : 2 e 3
1 0
2,3
Como M é médio de PQ:
x 2 2 3 1
2
2 3 2 4
2
1,4
s
o o
P Q
M Q
P Q
M Q
m
s y y m x x
y x
x y s
x y
Ponto m x y
x y
M
x x
x
y y
y y
Q
 =
− = −
−
− = +
− + =
− + =
 = − =
+ − =
−
+
=  = − + = −
+
=  =  − =
−
AB
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
96 
 
96 MATEMÁTICA 2 
 
 
2. O ponto A pertence ao eixo Ox e B pertence ao eixo Ou. Se M=(4,1) é o ponto médio de , determine as coordenadas 
de A e B. 
 
3. Três vértices de um paralelogramo PQRS são P=(-3,-2), Q=(1,-5) e R=(9,-1), com P e R diagonalmente opostos. A soma 
das coordenadas do vértice S é: 
 
a) 13 
b) 12 
c) 7 
d) 10 
e) 9 
 
4. As diagonais de um paralelogramo ABCD interceptam-se no ponto M. Determine as coordenadas de C e D, sabendo que 
A=(1,3), B=(5,5) e M=(2,-1). 
 
5 Na figura seguinte, M é o ponto médio de . Obtenha as coordenadas do baricentro do triângulo OAB. 
 
 
6. Num triângulo ABC, em que A=(-5,11), o baricentro é o ponto G=(2,6). As coordenadas do ponto médio de são: 
 
a) (4,1) 
AB
AB
BC
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
97 
 
97 MATEMÁTICA 2 
b) 
c) (-1,3) 
d) 
e) 
 
7. Sejam A=(3,2), B=(1,-5) e C(-7,-7) os vértices de um triângulo ABC. O comprimento da mediana relativa ao lado 
desse triângulo é: 
 
a) 5 
b) 10 
c) 
d) 
e) 13 
 
8. O ponto P pertence à reta bissetriz dos quadrantes ímpares e é eqüidistantes dos pontos Q=(3,1) e R=(-1,2). Quais são as 
coordenadas de P? 
 
9. Determine x, para que o triângulo de vértices A=(x,2x), B=(2,1) e C=(4,5) seja retângulo em A. 
 
10. Calcule, se existir, o coeficiente angular da reta AB nos seguintes casos: 
 
a) A=(4,1) e B=(4,5) 
b) A=(2,-1) e B=(-2,-3) 
c) 
 
11 7
,
2 2
 
 
 
1 2
,
3 3
 
 
 
3 17
,
2 2
 
 
 
BC
5
10
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
98 
 
98 MATEMÁTICA 2 
11. A equação da reta r desta figura é: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
12. As retas r e s desta figura são paralelas. 
 
 
Obtenha uma equação de r. 
 
( )5 3 1y x+ = − −
( )5 3 1y x− = − +
( ) ( )3 5 3 1y x+ = − +
( ) ( )3 5 3 1y x− = − +
( ) ( )3 5 3 1y x− = +
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
99 
 
99 MATEMÁTICA 2 
 
1. Para que os pontos A=(2x,x), B=(2,2) e C=(3,-2) sejam os vértices de um triângulo ABC, devemos ter: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
2. Dê as equações das retas, r, s, t e u da figura. 
 
 
 
3. Uma equação da reta r desta figura é: 
 
10
9
x 
0x 
1
3
x  −
5x 
4
5
x 
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
100 
 
100 MATEMÁTICA 2 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
4. As retas r e s da figura a seguir são paralelas. 
 
 
( )2 3 1y x− = −
( )2 3 2y x− = −
( )2 3 1y x− = − −
( )1 3 1y x− = − −
( )1 3 2y x+ = − +
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
101 
 
101 MATEMÁTICA 2 
Uma equação de r é: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
5. Qual é a equação da reta r desta figura? 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
 
 
 
3 3 0x y− + =
3 6 0x y− − =
3 6 0x y− + =
3 12 0x y+ − =
3 3 1 0x y+ − =
3 2 6x y+ =
3 2 6x y− = −
2 3 6x y+ =
2 3 6x y− = −
6 4 5x y+ =
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
102 
 
102 MATEMÁTICA 2 
6. (VUNESP-SP) O gráfico mostra o resultado de uma experiência relativa à absorção de potássio pelo tecido da folha de um 
certo vegetal, em função do tempo e em condições diferentes de iluminosidade. 
 
 
 
Nos dois casos, a função linear y=mx ajustou-se razoavelmente bem aos dados, daí a referencia a m como taxa de absorção 
(geralmente medida em moles por unidade de peso por hora). Com base no gráfico, sem m1 é a taxa de absorção no claro, e 
m2 a taxa de absorção no escuro, a relação entre duas taxas é: 
a) m1=m2 
b) m2=2m1 
c) m1.m2=1 
d) m1.m2=-1 
e) m1=2 m2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
103 
 
103 MATEMÁTICA 2 
7. (VUNESP-SP) Os pontos O, A e B, do plano cartesiano da figura a seguir, são os vértices de um triângulo equilátero cuja 
medida dos lados é dada por . As equações da reta AB e OB são, respectivamente: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
8. (UFMG) A relação entre m e n, para que as retas de equações e sejam paralelas é: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
9. (CESGRANRIO-RJ) A reta r é perpendicular a e contém o ponto (1,1). Então, uma equação de r é: 
 
3
2 3 2y x e y x= − = −
3 2 3y x e y x= − = −
3 3 3y x e y x= − = −
3y x e y x= + = −
3 3 3y x e y x= + = −
2 1 0x my− + = 3 5 0nx y+ + =
3
2
m
n
=
2
3
m
n
= −
2
3
m
n
=
. 6mn = −
. 6m n =
3 5 0x y+ − =
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
104 
 
104 MATEMÁTICA 2 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
10. (FUVEST-SP) As retas r e s são perpendiculares e interceptam-se no ponto (2, 4). A reta s passa pelo ponto (0,5). Uma 
equação da reta r é: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
11. (MACK-SP) Uma reta t passa pelos pontos (1,4) e (6,0). A equação da reta s, simétrica de t em relação à reta , 
é: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
12. (UFPR) Em um sistema cartesiano ortogonal, qual é a área do triângulo determinado pelas retas de equação x=5, e 
1 0 5x y e x− − = = pelo eixo das abcissas? 
 
a)5 u.a 
b)8 u.a 
c)10 u.a 
d)15 u.a 
0x y− =
2 3 0x y+ − =
4 3 0x y− + =
2 1 0x y− − =
3 2 0x y− − =
2 10y x+ =
2y x= +
2 6y x− =
2 8x y+ =
2y x=
6 0x− =
5 4 30 0x y− − =
4 5 24 0x y− − =
4 24 0x y− − =
5 30 0x y− − =
6 36 0x y− − =
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
105 
 
105 MATEMÁTICA 2 
e) 16 u.a 
 
13. (MACK-SP) Os vértices de um triângulo são os pontos A=(1, k), B=(3,0) e C=(2,1); M é o ponto médio de AB, e N é o 
ponto médio de BC. Se a área do triângulo MCN é 0,20, então k pode ser: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 4 
e) 5 
14. (FUVEST-SP) Na figura a seguir, A é um ponto do plano cartesiano , com coordenadas (x,y). 
 
Sabendo que A está localizado abaixo da reta r e acima da reta s, tem-se: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
6
5
12
5
18
5
1
2
x
y e y x  − +
1
2
x
y e y x  − +
1
2
x
y e y x  − +
1
2
x
x y− +  
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
106 
 
106 MATEMÁTICA 2 
e) 
 
15. (FGV-SP) A representação gráfica da sentença é: 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
1
2
x
y x  − +
5x y+ 
CP
F 0
67
.10
9.8
41
-17
 - L
ali
ne
W
int
er
 
 
107 
 
107 MATEMÁTICA 2 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
16. (UFMG) A equação da