_Estudo Orientado (33) (2)

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MATEMÁTICA
e suas tecnologiasM
MATEMÁTICA
T
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CARO ALUNO
Desde 2010, o Hexag Medicina é referência na preparação pré-vestibular de candidatos às melhores 
universidades do Brasil.
Você está recebendo o livro Estudo Orientado 6 do Hexag Medicina. Com o objetivo de verificar se você 
aprendeu os conteúdos estudados, este material apresenta nove categorias de exercícios a serem trabalhados 
como Estudo Orientado (E.O.):
 § E.O. Aprendizagem: exercícios introdutórios de múltipla escolha para iniciar o processo de fixação da 
matéria dada em aula;
 § E.O. Fixação: exercícios de múltipla escolha que apresentam um grau de dificuldade médio, buscando 
a consolidação do aprendizado;
 § E.O. Complementar: exercícios de múltipla escolha com alto grau de dificuldade;
 § E.O. Dissertativo: exercícios dissertativos seguindo a forma da segunda fase dos principais vestibulares 
do Brasil;
 § E.O. Enem: exercícios que abordam a aplicação de conhecimentos em situações do cotidiano, preparan-
do o aluno para esse tipo de exame;
 § E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp): exercícios de múltipla escolha das faculdades 
públicas de São Paulo;
 § E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp): exercícios dissertativos da segunda fase 
das faculdades públicas de São Paulo;
 § E.O. Uerj (Exame de Qualificação): exercícios de múltipla escolha, buscando a consolidação do 
aprendizado para o vestibular da Uerj;
 § E.O. Uerj (Exame Discursivo): exercícios dissertativos nos moldes da segunda fase da Uerj.
A edição 2019 foi elaborada com muito empenho e dedicação, oferecendo ao aluno um material moder-
no e completo, um grande aliado para o seu sucesso nos vestibulares mais concorridos de Medicina.
Bons estudos!
Herlan Fellini
SUMÁRIO
MATEMÁTICA
NÚMEROS COMPLEXOS E POLINÔMIOS
MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES
GEOMETRIA ANALÍTICA
Aulas 45 e 46: Números complexos: representação geométrica e módulo 7
Aulas 47 e 48: Números complexos: forma trigonométrica 15
Aulas 49 e 50: Polinômios 23
Aulas 51 e 52: Operações com polinômios 31
Aulas 45 e 46: Matrizes e operações 41
Aulas 47 e 48: Matriz inversa e equações matriciais 55
Aulas 49 e 50: Determinantes 61
Aulas 51 e 52: Sistemas lineares 69
Aulas 45 e 46: Distância de ponto à reta, ângulos e áreas 85
Aulas 47 a 50: Circunferência: equações reduzida e normal 95
Aulas 51 e 52: Secções cônicas: elipse 111
FUVEST
Números complexos e polinômios são temas frequentemente cobrados na segunda fase. Domí-
nio pleno das formas trigonométricas, no caso dos números complexos e para os polinômios, as 
relações de Girard e pesquisas de raízes são temas comumente cobrados.
UNESP
Números complexos e polinômios são temas pouco cobrados. Das poucas ve-
zes que foram cobrados, os domínios de teorema do resto e das relações de 
Girard eram exigidos.
UNICAMP
Na primeira fase, polinômios passou a ser um tema frequentemente cobrado. Já na segunda 
fase, polinômios é um tema tradicionalmente cobrado, junto com progressões, determinantes e 
números complexos. Habilidade para trabalhar com as relações de Girard e pesquisas de raízes 
são fundamentais.
UNIFESP
Com baixa incidência em suas provas, polinômios e números complexos foram cobrados exigindo 
do candidato, para números complexos,: domínio da forma trigonométrica e, para polinômios,: 
teorema do resto e pesquisa de raízes.
ENEM/UFMG/UFRJ
Números complexos e polinômios nunca foram cobrados nas provas do Enem.
UERJ
Números complexos e polinômios são temas com baixa incidência nos vestibulares da Uerj, 
portanto, a abordagem é de difícil caracterização.
FA
CU
LD
ADE DE MEDICINA
BOTUCATU
1963
Abordagem de NÚMEROS COMPLEXOS e de POLINÔMIOS nos principais 
vestibulares.
45 46
M
MATEMÁTICA
T
Números complexos:
representação geométrica e 
módulo
Competência
5
Habilidades
20, 21 e 23
45 46
M
MATEMÁTICA
T
Números complexos:
representação geométrica e 
módulo
Competência
5
Habilidades
20, 21 e 23
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relaçõesentre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
9
E.O. AprEndizAgEm
 1. (UEL) A forma algébrica do número comple-
xo z = (1 + 3i)/(2 – i) é: 
a) 1/2 – 3i. 
b) 5/3 + (7i/3). 
c) –1/5 + (7i/5). 
d) –1/5 + 7i. 
e) 3/5 + (4i/5). 
 2. (FEI) Escrevendo o número complexo
z = 1 _____ 
1 – i
 + 1 _____ 
1 + i
 
na forma algébrica obtemos: 
a) 1 – i.
b) i – 1.
c) 1 + i.
d) i. 
e) 1. 
 3. (PUC-RS) O número complexo a + bi, dife-
rente de zero, está assinalado, no plano com-
plexo, sobre o eixo real. É correto afirmar 
que seu conjugado está situado: 
a) sobre o eixo real. 
b) sobre o eixo imaginário. 
c) no primeiro quadrante. 
d) no segundo quadrante. 
e) no terceiro quadrante. 
 4. (Espcex (Aman)) Seja o número complexo 
z = 
x + yi
 ______ 
3 + 4i
 , com x e y reais e i2 = –1.
Se x2 + y2 = 20, então o módulo de z é igual a: 
a) 0. 
b) dXX 5 .
c) 2 
dXX 5 ____ 5 .
d) 4.
e) 10.
 5. (Mackenzie) Se y = 2x, sendo x = 1+i _____ 
1–i
 e 
i = dXXX –1 , o valor de (x + y)2 é:
a) 9i. 
b) –9 + i. 
c) –9. 
d) 9. 
e) 9 – i. 
 6. (UFSM) Os edifícios “verdes” têm sido uma 
nova tendência na construção civil. Na exe-
cução da obra desses prédios, há uma preo-
cupação toda especial com o meio ambiente 
em que estão inseridos e com a correta uti-
lização dos recursos naturais necessários ao 
seu funcionamento, além da correta destina-
ção dos resíduos gerados por essa utilização.
A demarcação do terreno onde será cons-
truído um edifício “verde” foi feita 
através dos pontos P1, P2, P3 e P4, sendo o 
terreno delimitado pelas poligonais  P1P2 , 
 —— P2P3 , 

 P3P4 e 

 P4P1 , medidas em metros. Sa-
bendo que P1, P2, P3 e P4 representam, res-
pectivamente, a imagem dos complexos 
z1 = 20 + 40i, z2 = –15 + 50i, z3 = –15 – 10i e 
z4 = 
1 ___ 16 z1 – 
5 __ 4 
 z3 , qual é a área, em m
2, desse 
terreno?
a) 1.595. 
b) 1.750. 
c) 1.795. 
d) 1.925. 
e) 2.100. 
 7. (PUC-RS) Na figura abaixo, o ponto A é o afi-
xo de um número complexo z no plano de 
Argand-Gauss.
Se a distância do ponto A até a origem O é 4, 
então a diferença entre z e o seu conjugado 
é igual a: 
a) –4 dXX 2 – 4 dXX 2 i.
b) –4 dXX 2 + 4 dXX 2 i.
c) –4 dXX 2 i.
d) 4 dXX 2 i.
e) 4 dXX 2 .
 8. (Ufrgs) O argumento do número complexo z 
é p __ 6 , e o seu módulo é 2.
Então, a forma algébrica de z é: 
a) –i.
b) i.
c) dXX 3 i.
d) dXX 3 – i.
e) dXX 3 + i. 
 9. (UEPB) O módulo e o argumento do número 
complexo z = (1 + i)(1 – i)2 são respectiva-
mente: 
a) dXX 2 e 3p ___ 4 + 2kp, k [ Z.
b) dXX 2 e p __ 4 + 2kp, k [ Z.
c) 2 dXX 2 e 3p ___ 4 + 2kp, k [ Z.
d) 2 dXX 2 e 7p ___ 4 + 2kp, k [ Z.
e) 2 dXX 2 e 5p ___ 4 + 2kp, k [ Z.
10
 6. (PUC-RS) A área da figura representada no 
plano de Argand Gauss pelo conjunto de 
pontos {z [ C: |z| ≤ 1} é: 
a) 1 __ 2 .
b) 1.
c) p __ 2 .
d) p.
e) 2p.
 7. (UECE) Se x e y são números reais não nulos, 
pode-se afirmar corretamente que o módulo 
do número complexo z = 
x – iy
 ______ 
x + iy
 é igual a: 
a) 1.
b) 2.
c) x2 + y2
d) |xy|.
 8. (UFC) Seja z0 o número complexo que é raiz 
da equação 
iz + (1 – 3i)
 ___________ 
1 + i
 = 4i (lembre-se que 
i2 = –1).
Então, |z0| é igual a:
a) 2 dXXX 11 .
b) 3 dXX 6 .
c) 8.
d) dXXX 74 .
e) 2 dXXX 21 .
 9. (Espcex - AMAN) Sendo z o número comple-
xo obtido na rotação de 90°, em relação à 
origem, do número complexo 1 + i, determi-
ne z3 
a) 1 – i. 
b) – 1 + i. 
c) – 2i. 
d) – 1 – 2i. 
e) 2 + 2i.
 10. (UECE 2017) Se i é o número complexo cujo 
quadrado é igual a −1, então, o valor de 
5 − i227 + i6 − i13 é igual a:
a) i + 1.
b) 4i − 1.
c) −6i − 1.
d) − 6i.
E.O. COmplEmEntAr
 1. (UEPB) Dado o número complexo z = x + yi, 
o sistema 
|z| = 5
 
|iz – 3| = 2
 tem como solução: 
a) z = 5i. 
b) z = –5i. 
c) z = 5. 
d) z = −5. 
e) z = 5 + 5i.
 10. (IFSP) Sendo i a unidade imaginária, con-
sidere os números complexos z = 1 + i e 
w = z2 − z. Um argumento de w é: 
a) p __ 3 .
b) p __ 2 .
c) 2p ___ 3 .
d) 3p ___ 4 .
e) 5p ___ 4 .
E.O. FixAçãO
 1. (Ufrgs) A forma a + bi de z = (1 + 2i )/(1 – i) 
é: 
a) 1/2 + 3/2i.
b) –1/2 + 3/2i.
c) –1/2 + 2/3i.
d) –1/2 – 2/3i.
e) 1/2 – 3/2i.
 2. (Insper) Considere um número complexo z, 
de módulo 10, tal que z = (K + i)2, em que K 
é um número real. A parte real desse número 
complexo é igual a: 
a) 5 dXX 3 .
b) 8.
c) 5 dXX 2 .
d) 6.
e) 5.
 3. (UERN) Seja z = a + bi um número complexo, 
tal que 4z – zi + 5 = –1 + 10i. Assim, o mó-
dulo do complexo z é: 
a) dXX 2 .
b) 2 dXX 2 .
c) 3 dXX 2 .
d) 4 dXX 2 .
 4. O módulo do número complexo z = i2014 – i1987 
é igual a:
a) dXX 2 .
b) 0.
c) dXX 3 .
d) 1.
 5. (UEL) Seja z um número complexo de módu-
lo 2 e argumento principal 120°. O conjuga-
do de z é: 
a) 2 – 2i dXX 3 .
b) 2 + 2i dXX 3 .
c) –1 – i dXX 3 .
d) –1 + i dXX 3 .
e) 1 + i dXX 3 .
11
 2. (UFSJ) Na figura abaixo, estão representa-
dos os números complexos Z1 e Z2 por meio 
de seus afixos A e B, respectivamente.
Considerando essa figura, é CORRETO afir-
mar que:
a) o afixo de (Z1 · Z2) é um ponto do 2º qua-
drante.
b) (Z1)
2 = 2i. 
c) |Z1 + Z2| = dXX 3 .
d) o afixo de 
Z1 __ 
Z2
 é um ponto do 2º quadrante.
 3. A representação geométrica, no Plano de Ar-
gand-Gauss, do conjunto de pontos que satis-
fazem a condição |z + 2 – 3i| = |z – 1 + 4i|, 
com z = x + yi, sendo x e y números reais, é 
reta de equação: 
a) 2x – 3y + 7 = 0. 
b) 3x – 7y – 2 = 0. 
c) 2x – 3y + 3 = 0 
d) 4x – 3y + 3 = 0. 
e) 2x – y = 0. 
 4. (UECE) No plano complexo, o número 
z = 2 – 3i é o centro de um quadrado e 
w = 5 – 5i é um de seus vértices. O vértice 
do quadrado não consecutivo a w é o número 
complexo: 
a) 2 – 2i.
b) 1 – i.
c) –1 – i.
d) –2 – 2i.
 5. (FGV) Os quatro vértices de um quadrado no 
plano Argand-Gauss são números complexos, 
sendo três deles 1 + 2i, –2 + i e –1 – 2i. O 
quarto vértice do quadrado é o número com-
plexo: 
a) 2 + i.
b) 2 – i.
c) 1 – 2i.
d) –1 + 2i.
e) –2 – i.
E.O. dissErtAtivO
 1. (Ufrrj) Encontre o conjunto solução da equa-
ção (1 + i)x + (1 – i) = 0, onde i é a unidade 
imaginária. 
 2. (Ufrrj) Determine o módulo, o argumento e 
represente graficamente o número complexo 
z = 2 + 2( dXX 3 ) i. 
 3. (UFRJ) Seja z o número complexo 2 + 3i ______ 
a + i
 ; 
onde a = a + bi. Determineo valor de a para 
que z seja um imaginário puro. Justifique. 
 4. (FGV) Seja f uma função que, a cada número 
complexo z, associa f(z) = iz, onde i é a uni-
dade imaginária. Determine os complexos z 
de módulo igual a 4 e tais que f(z) =  z , onde 
 z é o conjugado de z.
 5. (UFSC 2017) Em circuitos elétricos como, 
por exemplo, o das instalações residenciais, 
as grandezas elétricas são analisadas com o 
auxílio dos números complexos. A relação 
U = Z·J fornece a tensão U em função da 
impedância Z e da corrente elétrica j. Nesses 
termos, essas variáveis são expressas atra-
vés de números complexos a + bi. Considere 
agora U = 110(cos0° + isen0°) e Z = 5 + 5i. 
Determine o valor da expressão 2a + b, sendo 
j = a + bi.
 6. (UFPR) Considere o número complexo 
z0 = 4i + 
13 ______ 
2 + 3i
 .
a) Determine a parte real e a parte imaginária 
de z0.
b) Determine a e b, de modo que z = 1 − i seja 
solução da equação z2 + az + b = 0.
 7. (FGV-RJ)
a) Considere os números complexos z1 = 1 + i; 
z2 = 2(1 + i) em que i é o número complexo 
tal que i2 = −1. Represente, no plano carte-
siano, o triângulo cujos vértices são os afi-
xos dos números complexos z1 + z2, z2 − z1 e 
z1z2. Calcule a sua área.
b) A razão de semelhança entre um novo triân-
gulo, semelhante ao triângulo original, e o 
triângulo original, é igual a 3. Qual é a área 
desse novo triângulo?
 8. (UFG) Considerando os números comple-
xos z e w tais que z + w = (9 − 3 √
__
 3 ) + 1 e 
z − w = (−3 + 3 √
__
 3 ) + i(3 − 3 √
__
 3 ), determi-
ne a área do paralelogramo de lados z e w 
sabendo-se que o ângulo entre eles é p __ 3 .
12
 9. (IME 2017) Sejam os complexos z = a + bi e 
w = 47 + ci, tais que z3 + w = 0. Determine o 
valor de a, b e c sabendo que esses números 
são inteiros e positivos.
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
 1. (UERJ) João desenhou um mapa do quintal 
de sua casa, onde enterrou um cofre. Para 
isso, usou um sistema de coordenadas re-
tangulares, colocando a origem O na base 
de uma mangueira, e os eixos OX e OY com 
sentidos oeste-leste e sul-norte, respecti-
vamente. Cada ponto (x, y), nesse sistema, 
é a representação de um número complexo 
z = x + iy, x [ R, y [ R e i2 = –1.
Para indicar a posição (x1, y1) e a distância d 
do cofre à origem, João escreveu a seguinte 
observação no canto do mapa:
x1 + iy1 = (1 + i)
9
Calcule:
a) as coordenadas (x1, y1);
b) o valor de d.
 2. (UERJ) Considere a equação a seguir, que se 
reduz a uma equação do terceiro grau:
(x + 2)4 = x4
Uma de suas raízes é real e as outras são 
imaginárias.
Determine as três raízes dessa equação. 
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
 1. (Fuvest) Sabendo que k é um número real e 
que a parte imaginária do número complexo 
(2 + i)/(k + 2i) é zero, então k é:
a) –4.
b) –2.
c) 1.
d) 2.
e) 4.
 2. (Unicamp 2016) Considere o número com-
plexo z = 1 + ai/a − i, onde a é um núme-
ro real e i é a unidade imaginária, isto é, 
i2 = − 1, O valor de z2016 é igual a:
a) a2016.
b) 1.
c) 1 + 2016i.
d) i.
 3. (Unicamp) Sejam x e y números reais tais 
que x + yi = √
______
 3 + 4i onde i é a unidade ima-
ginária. O valor de xy é igual a:
a) −2.
b) −1.
c) 1.
d) 2.
 4. (Unicamp) Chamamos de unidade imaginá-
ria e denotamos por i o número complexo tal 
que i2 = −1.
Então i0 + i1 + i2 + i3 +...+ i2013 vale:
a) 0.
b) 1.
c) i.
d) 1 + i
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
 1. (Fuvest)
a) Sendo i a unidade imaginária, determine as 
partes real e imaginária do número comple-
xo Z0 = 
1 ____ 
1 + i
 – 1 __ 
2i
 + i
b) Determine um polinômio de grau 2, com co-
eficientes inteiros, que tenha z0 como raiz.
c) Determine os números complexos w tais que 
z0 · w tenha módulo igual a 5 dXX 2 e tais que 
as partes real e imaginária de z0 · w sejam 
iguais.
d) No plano complexo, determine o número 
complexo z1 que é o simétrico de z0 com re-
lação à reta de equação y – x = 0. 
 2. (Fuvest) Nos itens abaixo, z denota um nú-
mero complexo e i a unidade imaginária 
(i2 = –1). Suponha z ≠ i.
a) Para quais valores de z tem-se z + i _____ 
1 + iz
 = 2?
b) Determine o conjunto de todos os valores de 
z para os quais z + i _____ 
1 + iz
 é um número real. 
 3. (Unesp) Considere os números complexos 
w = 4 + 2i e z = 3a + 4ai, onde a é um número 
real positivo e i indica a unidade imaginá-
ria. Se, em centímetros, a altura de um tri-
ângulo é |z| e a base é a parte real de z · w, 
determine a de modo que a área do triângulo 
seja 90 cm2.
 4. (Fuvest) Determine os números complexos z 
que satisfazem, simultaneamente, 
|z|= 2 e Im = z – 1 _____ 
1 + i
 = 1 __ 2 .
Lembretes: i2 = – 1, se w = a + bi, com a e 
b reais, então |w| = √
________
 (a2 + b2) e Im (w) = b.
13
 5. (Unesp) Considere os números complexos 
z = 2 – i e w = –3 – i, sendo i a unidade 
imaginária.
a) Determine z · w e |w – z|.
b) Represente z e w no plano complexo (Ar-
gand-Gauss) e determine b [ R, b ≥ 0, de 
modo que os números complexos z, w e 
t = bi sejam vértices de um triângulo, no 
plano complexo, cuja área é 20. 
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. C 2. E 3. A 4. C 5. C
6. D 7. D 8. E 9. D 10. D
E.O. Fixação
1. B 2. B 3. B 4. A 5. C
6. D 7. A 8. D 9. E 10. C
E.O. Complementar
1. B 2. A 3. B 4. C 5. B
E.O. Dissertativo
 1. S = {i}.
 2. |z| = 4; u = p __ 3 rad. 
 3. a = a − [ (2a + 3) ________ 3 ] i, a ≠ 0. 
 4. 2 dXX 2 – 2 dXX 2 i e –2 dXX 2 + 2 dXX 2 i.
 5. 11.
 6. 
a) Re(z0) = 2; Im (z0) = 1.
b) a = -2 e b = 2.
 7. 
a) 4 u.a.
b) 36 u.a.
 8. 18 · (2 √
__
 3 - 3).
 9. c = 52.
E.O. UERJ
Exame Discursivo
 1. 
a) (16, 16).
b) d = 16 dXX 2 u.c.
 2. x = −1 ou x = −1 ou x = −1 − i.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp
1. E 2. B 3. D 4. D
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
 1. 
a) Parte real = 1 __ 2 e parte imaginária = 1 · i
b) 4x2 – 4x + 5 = 0.
14
c) –6 + 2i ou 6 – 2i.
d) Z1 = 1 + 
1 __ 2 · i.
 2. 
a) z = (4/5) + (3/5 i).
b) {z [ C |  z  = 1 e z ≠ i}.
 3. a = 3 cm.
 4. z = 2i ou z = –2.
 5. 
a) z · w = –7 + i
 |w – z| = 5.
b) b = 7.
47 48
M
MATEMÁTICA
T
Números complexos:
forma trigonométrica
Competência
5
Habilidades
20, 21 e 23
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação degrandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
17
E.O. AprEndizAgEm
 1. (UEL) O número complexo [ 1 __ 2 + i √
__
 3 ___ 2 ] 
2
 escri-
to na forma trigonométrica a + bi = r[cos(q) 
+ isen(q)] é:
a) cos(0) + isen(0).
b) cos ( π __ 6 ) + isen ( π __ 6 ) . 
c) cos ( 2π ___ 3 ) + isen ( 2π ___ 3 ) .
d) 3cos ( 2π ___ 3 ) + isen ( 2π ___ 3 ) .
e) 2 [ cos ( 5π ___ 6 ) + isen ( 5π ___ 6 ) ] .
 2. (UFSM) Na iluminação da praça, três novas 
luminárias são instaladas do seguinte modo: 
uma dessas luminárias é instalada na bisse-
triz do primeiro quadrante; a distância de 
cada uma delas ao ponto de encontro das li-
nhas centrais dos dois passeios é 20 metros; 
a distância entre cada par dessas luminárias 
é a mesma. Quais números complexos a se-
guir representam os pontos onde foram ins-
taladas as três luminárias? 
a) z1 = 20 ( cos π __ 4 + i sen π __ 4 ) 
 z2 = 20 ( cos 11π ____ 12 + i sen 11π ____ 12 ) 
 z3 = 20 ( cos 19π ____ 12 + i sen 19π ____ 12 ) 
b) z1 = 20 ( cos π __ 4 + i sen π __ 4 ) 
 z2 = 20 ( cos π __ 6 + i sen π __ 6 ) 
 z3 = 20 ( cos 2π ___ 3 + i sen 2π ___ 3 ) 
c) z1 = cos 
π __ 4 + i sen 
π __ 4 
 z2 = cos 
11π ____ 12 + i sen 
11π ____ 12 
 z3 = cos 
19π ____ 12 + i sen 
19π ____ 12 
d) z1 = cos 
π __ 3 + i sen 
π __ 3 
 z2 = cos 
π ___ 12 + i sen 
π ___ 12 
 z3 = cos 
2π ___ 3 + i sen 
2π ___ 3 
e) z1 = 20 ( cos π __ 3 + i sen π __ 3 ) 
 z2 = 20 (cos π + i sen π)
 z3 = 20 ( cos 5π ___ 6 + i sen 5π ___ 6 ) 
 3. (UFC) Sabendo que i2 = –1 e que 0 < q < 
p
 __ 2 , o 
número complexo 
(cos q + isen q)
 ______________ 
(cos q - isen q)
 é igual a: 
a) cos(2q) + isen(2q).
b) 
(1 + i)
 ______ 
(1 - i)
 . 
c) cos ( q __ 2 ) + isen ( 
q
 __ 2 ) . 
d) 
(1 - i)
 ______ 
(1 + i)
 .
e) cos (q)2 + isen (q)2 .
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
Notações
: Conjunto dos números naturais;
R: Conjunto dos números reais;
R+: Conjunto dos números reais não nega-
tivos;
i: unidade imaginária; i2 = –1;
P(A): conjunto de todos os subconjuntos do 
conjunto A;
n(A): número de elementos do conjunto fi-
nito A;
  AB : segmento de reta unindo os pontos A e B;
arg z: argumento do número complexo z;
[ab] = x ∈ i: {a ≤ x ≤ b}
A/B = x { x ∈ A e x ∉ B}
AC: complementar do conjunto A;
∑ 
akx
k
k = 0
n
 = a0 + a1x + a2x
2 + ... + anx
n, n ∈ Z
Observação: Os sistemas de coordenadas con-
siderados são cartesianos retangulares. 
 4. (ITA) Sejam z = n2(cos45º + i sen 45°) e 
w = n(cos 15º + i sen 15º), em que n é o 
menor inteiro positivo tal que (1 + i)n é real. 
Então, z __ w é igual a: 
a) dXX 3 + i.
b) 2 ( dXX 3 + i).
c) 2 ( dXX 2 + i).
d) 2 ( dXX 2 – i).
e) 2 ( dXX 3 – i).
 5. Sendo o complexo z = 2 [cos(p/6) + sen (p/6) i], 
calculando z6 obtemos: 
a) –32i. 
b) –32. 
c) –64i. 
d) –64.
 6. (UFSM) Dados dois números complexos na 
forma
z = r(cosa + i sena)
w = s(cosb + i senb),
pode-se afirmar que z · w é igual a:
a) rs[cos(ab) – sen(ab)].
b) rs[cos(a + b) + i sen(a + b)].
c) rs[cos(a – b) – i sen(a - b)].
d) (r + s)(cosa · cosb – i sena · senb).
e) (r + s)[cos(a + b) + i sen(a + b)].
18
 7. (Ufrgs) Se w = cos 30° + i sen 30° e 
z = cos 120° + i sen 120°, então: 
a) w2+ z2 = 0.
b) w + z = 0. 
c) w2 − z2 = 0. 
d) w − z = 0. 
e) w4 + z4 = 0. 
 8. (PUC-RS) A superfície e os parafusos de afi-
nação de um tímpano da Orquestra da PUC-
-RS estão representados no plano complexo 
Argand-Gauss por um disco de raio 1, cen-
trado na origem, e por oito pontos uniforme-
mente distribuídos, respectivamente, como 
mostra a figura:
Nessa representação, os parafusos de afina-
ção ocupam os lugares dos números comple-
xos z que satisfazem a equação:
a) z8 = i. 
b) z8 = –i. 
c) z8 = 1. 
d) z8 = –1. 
e) z8 = 1 + i.
 9. (Ulbra) O produto das raízes cúbicas do nú-
mero complexo z = –1 é igual a: 
a) 1 – √
__
 3 i _______ 4 .
b) [ cos π __ 3 + i sen π __ 3 ] .
c) – 1 __ 2 + 
 dXX 3 ___ 4 i.
d) 1 + 
dXX 2 ______ 3 i.
e) -1.
 10. (IFAL 2016) O número complexo z = 1 + i 
representado na forma trigonométrica é:
a) 21/2 (cos 45º + isen 45º).
b) 2 (cos 90º + isen 90º).
c) 4 (cos 60º + isen 60º).
d) 4 (cos 60º + isen 60º).
e) 2 (cos 90º + isen 90º).
E.O. FixAçãO
 1. (Esc. Naval) Qual valor de n,n inteiro maior 
que zero, para que (1 + i)n seja um número 
real? 
a) 2. 
b) 3. 
c) 4. 
d) 5. 
e) 6. 
 2. A figura geométrica formada pelos afixos 
das raízes complexas da equação x3 – 8 = 0 
tem área igual a:
a) 7 dXX 3 .
b) 6 dXX 3 .
c) 5 dXX 3 .
d) 4 dXX 3 .
e) 3 dXX 3 .
 3. (UFSM) Observe a vista aérea do planetário e a 
representação, no plano Argand-Gauss, dos nú-
meros complexos z1, z2, ..., z12, obtida pela divi-
são do círculo de raio 14 em 12 partes iguais.
Considere as seguintes informações:
I. z2 = 7 dXX 3 + 14 i
II. z11 = 
 z 3
III. z5 = z4 · 
 z 11
Está(ão) correta(s): 
a) apenas I. 
b) apenas II. 
c) apenas III. 
d) apenas I e II. 
e) apenas II e III.
 4. (PUC-SP) Seja Sn = 
n ⋅ (n – 1)
 __________ 2 + 
n ⋅ (3 – n) ⋅ i
 ____________ 2 , 
em que n ∈ R* e i é a unidade imaginária, a 
expressão da soma dos n primeiros termos de 
uma progressão aritmética. Se an é o enésimo 
termo dessa progressão aritmética, então a 
forma trigonométrica da diferença a15 – a16 é:
a) 2 dXX 2 ( cos 3π ___ 4 + i ⋅ sen 3π ___ 4 ) .
b) 2 dXX 2 ( cos 5π ___ 4 + i ⋅ sen 5π ___ 4 ) .
c) 2 dXX 2 ( cos 7π ___ 4 + i ⋅ sen 7π ___ 4 ) .
d) dXX 2 ( cos 5π ___ 4 + i ⋅ sen 3π ___ 4 ) .
e) dXX 2 ( cos 3π ___ 4 + i ⋅ sen 3π ___ 4 ) .
19
 5. (Ufrgs) O menor número inteiro positivo n 
para o qual a parteimaginária do número 
complexo ( cos π __ 8 + i · sen π __ 8 ) 
n
 é negativa é:
a) 3.
b) 4.
c) 6.
d) 8.
e) 9.
 6. (UFC) A área do polígono cujos vértices são 
as representações geométricas das raízes do 
polinômio p(x) = x6 – 1 é: 
a) 3 
dXX 3 ____ 2 .
b) 2 
dXX 3 ____ 3 .
c) 3 
dXX 2 ____ 2 .
d) 2 
dXX 2 ____ 3 .
e) 3 
dXX 3 ____ 4 .
 7. (UEL) A potência (cos 60° + i sen 60°)601 é 
igual a: 
a) ( 1 __ 2 ) (1 – i dXX 3 ).
b) ( 1 __ 2 ) (– 1 + i dXX 3 ).
c) ( 1 __ 2 ) (1 + i dXX 3 ).
d) ( 1 __ 2 ) ( dXX 3 + i).
e) ( 1 __ 2 ) ( dXX 3 – i).
 8. (PUC-SP) Dado o número complexo 
z = cos π __ 6 + i · sen 
π __ 6 , então, se P1, P2 e P3 são 
as respectivas imagens de z, z2 e z3 no plano 
complexo, a medida do maior ângulo interno 
do triângulo P1P2P3 é:
a) 75°. 
b) 100°. 
c) 120°. 
d) 135°. 
e) 150°.
 9. (IME) As raízes cúbicas da unidade, no con-
junto dos números complexos, são represen-
tadas por 1, w e w2, onde w é um número 
complexo. O intervalo que contém o valor de 
(1 – w)6 é: 
a) (–∞, –30].
b) (–30, –10].
c) (–10, 10].
d) (10, 30].
e) (30, ∞).
 10. Considerando os números complexos z1 e z2, 
tais que:
 § z1 é a raiz cúbica de 8i que tem afixo no 
segundo quadrante;
 § z2 é raiz da equação x
4 + x2 – 12 = 0 e 
Im(z2) > 0.
Pode-se afirmar que |z1 + z2| é igual a: 
a) 2 dXX 3 .
b) 3 + dXX 3 .
c) 1 + 2 dXX 2 .
d) 2 + 2 dXX 2 .
E.O. COmplEmEntAr
 1. (Cefet-MG) Considere as raízes complexas 
w0, w1, w2, w3 e w4 da equação w
5 = z, onde 
z ∈  representadas graficamente por:
O número complexo z é:
a) 16i. 
b) 32i. 
c) 16 + 16i. 
d) 16 + 16 √
__
 3 i. 
e) 32 + 32 √
__
 3 i. 
 2. (Ufrgs) O polígono ABCDE da figura é um 
pentágono regular inscrito no círculo unitá-
rio de centro na origem.
As coordenadas polares p e q do vértice A 
são, respectivamente: 
a) 1 e π __ 5 .
b) 1 e π __ 6 .
c) 1 e π __ 8 .
d) 1 e π ___ 10 .
e) 1 e π ___ 12 .
20
 3. (UFC) Considere o número complexo z = (1 + i) · 
( dXX 3 – i). Assinale a opção na qual consta o 
menor inteiro positivo n, tal que zn seja um 
número real positivo. 
a) 6. 
b) 12. 
c) 18. 
d) 24. 
e) 30. 
 4. (Esc. Naval ) Seja p a soma dos módulos das 
raízes da equação x3 + 8 = 0 e q o módulo do 
número complexo Z, tal que Z  Z = 108, onde 
 Z é o conjugado de Z. Uma representação tri-
gonométrica do número complexo p + qi é:
a) 12 ( cos π __ 3 + i sen π __ 3 ) . 
b) 20 ( cos π __ 3 + i sen π __ 3 ) . 
c) 12 ( cos π __ 6 + i sen π __ 6 ) . 
d) 20 dXX 2 ( cos π __ 6 + i sen π __ 6 ) . 
e) 10 ( cos π __ 3 + i sen π __ 3 ) .
 5. (Unigranrio - Medicina 2017) Sejam x1, x2 e 
x3 as raízes da equação x
3 + 1 = 0 tomando 
como base o conjunto dos números comple-
xos. Ao representarmos geometricamente 
essas raízes no plano de Argand-Gauss, obte-
mos um triângulo, cujos vértices são os afi-
xos de x1, x2 e x3. A área do triângulo é:
a) √
__
 3 ___ 4 .
b) 3 __ 4 .
c) 2 √
__
 3 ____ 4 .
d) 3 √
__
 3 ____ 4 .
e) 3 __ 2 .
E.O. dissErtAtivO
 1. (UFPR) Considere os números complexos 
z = cos π ___ 18 + i sen 
π ___ 18 e w = 2 cos 
π __ 9 + i sen 
π __ 9 . 
a) Mostre que o produto z.w é igual a ( dXX 3 ) + i.
b) Mostre que z18 é igual a – 1. 
 2. (UFC) Os números complexos distintos z e w 
são tais que z + w = 1 e z · w = 1.
a) Calcule |z|.
b) Calcule o valor z4 + w4 sabendo-se que z está 
no primeiro quadrante do plano complexo. 
 3. (UFPE) Encontre o menor inteiro positivo n 
tal que a potência ( dXX 3 + i)n seja um número 
real.
 4. (UFBA) Sendo z1 e z2 números complexos tais 
que:
 § z1 é a raiz cúbica de 8i que tem afixo no 
segundo quadrante,
 § z2 satisfaz a equação x
4 + x2 − 12 = 0 e 
Im(z2) > 0, calcule | √__ 3 z1 __ z2 + z2 | 
 5. (UFPR) Considere os pontos z1, z2 e z3, indi-
cados no plano complexo abaixo, e que cor-
respondem às raízes cúbicas de 1.
a) Qual é o menor inteiro n > 1, de modo que 
(z2)
n = 1? Justifique sua resposta.
b) Calcule (z3)
100.
 6. (UnB) 
A figura acima ilustra um triângulo equi-
látero ABC inscrito em uma circunferência 
de raio 2 centrada na origem de um sistema 
de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, 
em que um ponto (x, y) é identificado com 
o número complexo z = x + iy. Esse triângulo 
foi obtido a partir da representação plana de 
uma molécula de amônia (NH3), na qual os 
três átomos de hidrogênio estão posiciona-
dos nos seus vértices e o átomo de nitrogê-
nio encontra-se na origem.
Com base nessas informações e consideran-
do o centímetro como a unidade de medida 
de comprimento, em ambos os eixos, julgue 
os itens a seguir.
a) Se z1 corresponde ao ponto C e se z2 corres-
ponde ao ponto B, então 
z1 __ z2
 = 
z2 __ 2 .
b) Considerando-se 10 pontos distintos sobre 
a circunferência em questão, com vértices 
nesses pontos, a quantidade de triângulos 
que é possível formar é superior à de heptá-
gonos convexos.
21
c) Os vértices A, B e C correspondem às raízes 
complexas do polinômio f(z) = z3 – 8.
d) A área do triângulo ABC é inferior a 5 cm2. 
 7. (ITA) Considere, no plano complexo, um po-
lígono regular cujos vértices são as soluções 
da equação z6 = 1. A área deste polígono, em 
unidades de área, é igual a:
E.O. ObjEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
 1. (Unesp) Considere o número complexo 
z = cos(p/6) + i sen (p/6). O valor de 
z3 + z6 + z12 é: 
a) –i.
b) 1 __ 2 + 
 dXX 3 ___ 2 i.
c) i – 2.
d) i.
e) 2i.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
 1. (Fuvest) Resolva os três itens abaixo.
a) Calcule cos(3p/8) e sen(3p/8). 
b) Dado o número complexo
 z = dXXXXXX 2 – dXX 2 + i dXXXXXX 2 + dXX 2 ,
 encontre o menor inteiro n > 0 para o qual 
zn seja real.
c) Encontre um polinômio de coeficientes in-
teiros que possua z como raiz e que não pos-
sua raiz real. 
 2. (Unicamp) Um número complexo z = x + iy, 
z ≠ 0, pode ser escrito na forma trigonométri-
ca: z = |z|(cosq + isenq), onde |z| = dXXXXXXX x2 + y2 , 
cos q = x ___ 
|z|
 e sen q = 
y
 ___ 
|z|
 . Essa forma de re-
presentar os números complexos não nulos 
é muito conveniente, especialmente para 
o cálculo de potências inteiras de números 
complexos, em virtude da fórmula de De 
Moivre:
[|z|(cos q + isen q)]t = |z|t(cos tq + isen tq)
que é válida para todo t ∈ Z . Use essas in-
formações para:
a) Calcular ( dXX 3 + i)12.
b) Sendo z = 
dXX 2 ___ 2 + i 
 dXX 2 ___ 2 , calcular o valor de 
1 + z + z2 + z2 + ... + z15.
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. C 2. A 3. A 4. B 5. D
6. B 7. A 8. C 9. E 10. A
E.O. Fixação
1. C 2. E 3. B 4. E 5. E
6. A 7. C 8. E 9. B 10. A
E.O. Complementar
1. D 2. D 3. D 4. A 5. D
E.O. Dissertativo
 1. 
a) z · w = 1 · 2 · {cos[(π/18) + (π/9)] + i · 
sen[(π/18) + (π/9)]}
 z · w = 2 · [cos(π/6) + i · sen(π/6)]
 z · w = dXX 3 + i.
b) z18 = 118 · {cos[18 · (π/18)] + i · sen[18 · 
(π/18)]
 z18 = cos π + i · sen π = –1. 
 2. 
a) |z| = 1.
b) z4 + w4 = z4 +  z 4 = –1.
 3. n = 6.
 4.  dXX 3 z1 __ z2 +  z2  = 1.
 5. 
a) n deverá ser 3, pois cos(3 · 120º) + i · 
sen(3 · 120º) = 1.
b) (z3)
100 = z3.
 6. 
22
a) Correto. Temos que A 
 ̂ 
 O B = 2p ___ 3 rad. 
 O complexo z1 pode ser obtido através de 
uma rotação de 2p ___ 3 rad no sentido anti-
-horário, do complexo z0 = 2, ou seja, 
z1 = z0 · ( cos 2p ___ 3 + isen 2p ___ 3 ) = –1 + i dXX 3 .
 Portanto, como z2 é o conjugado de z1, se-
gue que 
 z1/z2 = 
–1 + i √
__
 3 ________ 
–1 – i √
__
 3 
 
 = –1 + i √
__
 3 ________ 
–1 – i √
__
 3 
 = –1 + i √
__
 3 ________ 
–1 + i √
__
 3 
 
 = –1 – i √
__
 3 ________ 2 
 = 
z2 __ 2 .
b) Incorreto. O número de triângulos que é 
possível formar com 10 pontos distintos 
sobre a circunferência é dado por( 10 ___ 3 ) .
 Por outro lado, podemos formar ( 10 ___ 7 ) 
heptágonos convexos com os mesmos 10 
pontos. Portanto, como ( 10 ___ 3 ) e ( 10 ___ 7 ) são 
números binomiais complementares, se-
gue que ( 10 ___ 3 ) = ( 10 ___ 7 ) . 
c) Correto. Temos que f(z) = 0 ⇔ z3 = 8 ⇔ 
z = 3 dXXXXXXXX 8 + i · 0 .
 Pela segunda fórmula de De Moivre, seue 
que as raízes cúbicas de 8 + i · 0 são dadas 
por zk = 
3
 dXX 8 [ cos ( k · 2p ___ 3 ) + i sen ( k · 2p ___ 3 ) ] , 
com k ∈ Z. 
 Daí, z0 = 2, z1 = –1 + i dXX 3 e z2 = –1 – i dXX 3 
que são os resultados obtidos em [A].
d) Incorreto. A medida do lado do triângulo 
ABC é Im(z1) – Im(z2) = dXX 3 – (– dXX 3 ) = 2 dXX 3 
cm.
 Logo, a área de ABC é dada por:
 
(2 dXX 3 )2 · dXX 3 
 __________ 4 = 
dXXX 27 cm2 > dXXX 25 cm2 = 5 cm2.
 7. 
3 dXX 3 
 ____ 2 .
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp
1. D
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
 1. 
a) cos ( 3p ___ 8 ) = 
dXXXXXXX 2 – dXX 2 _______ 2 .
 sen ( 3p ___ 8 ) = 
dXXXXXXX 2 + dXX 2 _______ 2 .
b) n = 8.
c) z8 + 256 = 0.
 2. 
a) 4096.
b) 0.
49 50
M
MATEMÁTICA
T
Polinômios
Competência
5
Habilidades
20, 21 e 23
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
25
E.O. AprEndizAgEm
 1. (UEPB) O produto entre as raízes da equação 
x4 + 3x2 + 2 = 0 é: 
a) 2. 
b) 1. 
c) 2 . 
d) –1. 
e) 2i. 
 2. Sabendo-se que –5, a e b são raízes da equação 
x3 + 6x2 + 3x – 10 = 0, logo, o valor de a + b é: 
a) –3. 
b) –2. 
c) –1. 
d) 0. 
 3. (Ufrgs) Se 2 é raiz dupla do polinômio p(x) 
= 2x4 – 7x3 + 3x2 + 8x – 4, então a soma das 
outras raízes é 
a) –1. 
b) –0,5. 
c) 0. 
d) 0,5. 
e) 1. 
 4. (Ufrgs) As raízes do polinômio p(x) = x3 + + 
5x2 + 4x são: 
a) –4, –1 e 0. 
b) –4, 0 e 1 
c) –4, 0 e 4 
d) –1, 0 e 1. 
e) 0, 1 e 4. 
 5. Se 3 e 1 __ 3 são as raízes da equação ax
2 – 6x + p = 0, 
então o valor de a + p é: 
a) –5. 
b) –9 ___ 5 . 
c) 0. 
d) 18 ___ 5 . 
e) 4. 
 6. (FGV-RJ) A equação polinomial 
x3 – x2 – 16x – 20 = 0 tem raízes x1, x2 e 
x3. O valor da expressão 
1 __ x1
 + 1 __ x2
 + 1 __ x3
 é: 
a) 1. 
b) – 3 __ 4 . 
c) 4 __ 5 . 
d) 3 __ 4 . 
e) – 4 __ 5 . 
 7. (Ufrgs) Um polinômio de 5º grau com coefi-
cientes reais que admite os números comple-
xos –2 + i e 1 – 2i; como raízes, admite: 
a) no máximo mais uma raiz complexa. 
b) 2 – i e –1 + 2i como raízes. 
c) uma raiz real. 
d) duas raízes reais distintas. 
e) três raízes reais distintas. 
 8. (UECE) Se os números m, p e q são as solu-
ções da equação x3 – 7x2 + 14x – 8 = 0, então 
o valor da soma log2m + log2p + log2q é: 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
 9. (AMAN) Os polinômios A(x) e B(x) são tais 
que A(x) = B(x) + 3x3 + 2x2 + x + 1. Sabendo-
-se que –1 é raiz de A(x) e 3 é raiz de B(x), 
então A(3) – B(–1) é igual a: 
a) 98. 
b) 100. 
c) 102. 
d) 103. 
e) 105.
 10. (CPS 2017) No século XVI, divertidos duelos 
intelectuais entre professores das academias 
contribuíram para o avanço da Matemática.
Motivado por um desses duelos, o matemáti-
co italiano Niccólo Fontana (Tartaglia) (1500 
– 1557) encontrou uma fórmula para resol-
ver equações polinomiais de terceiro grau. 
No entanto, os outros matemáticos da época 
não tinham acesso a tal descoberta, tendo 
que encontrar formas alternativas para re-
solver aqueles problemas.
Uma dessas formas alternativas é a fatora-
ção, que facilita a observação das raízes (so-
luções), pois transforma a adição dos termos 
da equação em uma multiplicação igualada a 
zero. Veja o exemplo.
x3 + 6x2 + 5x - 12 = 0⇔(x - 1)·(x + 3)·(x + 4) = 0
Analisando o exemplo dado, é correto afir-
mar que essa equação:
a) possui três raízes naturais distintas.
b) possui três raízes inteiras distintas.
c) possui duas raízes naturais distintas e uma 
raiz irracional.
d) possui duas raízes irracionais distintas e 
uma raiz inteira.
e) não possui raízes reais.
26
E.O. FixAçãO
 1. (UEPB) Se uma das raízes dopolinômio 
p(x) = x3 + x2 + 4x + 4 é o número complexo 
z = –2i, as outras raízes são: 
a) 1 e –1. 
b) –1 e 2i. 
c) –1 e 2. 
d) –1 e 3. 
e) 2 e 2i. 
 2. (AFA) As raízes da equação algébrica 
2x3 – ax2 + bx + 54 = 0 formam uma progres-
são geométrica.
Se a, b ∈ R, b ≠ 0, então a __ 
b
 é igual a: 
a) 2 __ 3 . 
b) 3. 
c) – 3 __ 2 . 
d) – 1 __ 3 . 
 3. (Mackenzie) Se a, b e g são as raízes da 
equação x3 + x2 + px + q = 0, onde p e q são 
coeficientes reais e a = 1 – 2i é uma das raí-
zes dessa equação, então a ⋅ b ⋅ g é igual a: 
a) 15. 
b) 9. 
c) –15. 
d) –12. 
e) –9. 
 4. (Mackenzie) Se a, b e c são as raízes do po-
linômio p(x) = x3 – 5x2 + 2x + 8, tais que 
a = –2bc , o valor de a __ 
b
 + a __ c : 
a) 2. 
b) 1 __ 2 . 
c) –2. 
d) 3. 
e) – 1 __ 4 . 
 5. (Insper) A equação x5 = 8x2 possui duas raí-
zes imaginárias, cuja soma é: 
a) −2.
b) −1.
c) 0.
d) 1.
e) 2.
 6. (FGV 2017) A equação algébrica x3 − 7x2 + 
kx + 216 = 0, em que k é um número real, 
possui três raízes reais. Sabendo-se que o 
quadrado de uma das raízes dessa equação 
é igual ao produto das outras duas, então o 
valor de k é igual a.
a) -64.
b) -42.
c) -36.
d) 18.
e) 24.
 7. (UECE 2017) Se os números de divisores po-
sitivos de 6, de 9 e de 16 são as raízes da 
equação x3 + ax2 + bx + c = 0, onde os coefi-
cientes a, b e c são números reais, então, o 
valor do coeficiente b é:
a) 41.
b) 45.
c) 43.
d) 47.
 8. (UECE 2017) Sejam P(x) = x5 + x4 + x3 + x2 + 
x + 1 um polinômio e M o conjunto dos nú-
meros reais k tais que P(k) = 0. O número de 
elementos de M é:
a) 1.
b) 2.
c) 4.
d) 5.
 9. (Fac. Albert Einstein - Medicina 2017) Um 
polinômio de quinto grau tem 2 como uma 
raiz de multiplicidade 3. A razão entre o co-
eficiente do termo de quarto grau e o coefi-
ciente do termo de quinto grau é igual a -7. A 
razão entre o termo independente e o coefi-
ciente do termo de quinto grau é igual a 96.
A menor raiz desse polinômio vale:
a) 0.
b) -1.
c) -2.
d) -3.
 10. (Esc. Naval 2017) Seja P(x) = x6 + bx5 + cx4 
+ dx3 + ex2 + fx + g um polinômio de coefi-
cientes inteiros e que P( √
__
 2 + 3 3 ) = 0. O poli-
nômio R(x) é o resto da divisão de P(x) por 
x3 − 3x − 1. Determine a soma dos coeficien-
tes de R(x) e assinale a opção correta.
a) -51.
b) -52.
c) -53.
d) -54.
e) -55.
E.O. COmplEmEntAr
 1. (ITA) Considere os polinômios em x ∈ R da 
forma p(x) = x5 + a3x
3 + a2x
2 + a1x. As raízes 
de p(x) = 0 constituem uma progressão arit-
mética de razão 1 __ 2 quando (a1,a2,a3) é igual a: 
a) ( 1 __ 4 , 0, 5 __ 4 ) .
b) ( 1 __ 4 , 1, 5 __ 4 ) . 
c) ( 1 __ 4 , 0, – 5 __ 4 ) . 
d) ( 5 __ 4 , 0, 1 __ 4 ) . 
e) ( 1 __ 4 , –1, – 1 __ 4 ) . 
27
 2. (AFA) O polinômio P(x) = x4 – 75x2 + 250x 
tem uma raiz dupla.
Em relação à P(x) é correto afirmar que: 
a) apenas uma de suas raízes é negativa. 
b) a sua raiz dupla é negativa. 
c) três de suas raízes são negativas. 
d) nenhuma de suas raízes é negativa. 
 3. (Fatec) Se x = 2 é uma das raízes da equação 
x3 – 4x2 + mx – 4 = 0, m ∈ R, então as suas 
outras raízes são números: 
a) negativos. 
b) inteiros. 
c) racionais não inteiros. 
d) irracionais. 
e) não reais. 
 4. (FGV) A função polinomial P(x) = x3 + ax2 
+ bx + c tem a propriedade de que a mé-
dia aritmética dos seus zeros, o produto dos 
seus zeros e a soma dos seus coeficientes são 
todos iguais. Se o intercepto do gráfico de 
y = P(x) com o eixo y ocorre no ponto de 
coordenadas (0,2), b é igual a: 
a) 5. 
b) 1. 
c) –9. 
d) –10. 
e) –11. 
 5. (IFAL 2017) Podemos dizer que o polinômio 
p(x) = x3 - 2x2 - 5x + 6
a) tem três raízes reais.
b) tem duas raízes reais e uma imaginária.
c) tem uma raiz real e duas imaginárias.
d) não tem raiz real.
e) tem duas raízes reais e duas imaginárias.
E.O. dissErtAtivO
 1. (UFPE) Se as raízes da equação 
x3 – 7x2 – 28x + k = 0 são termos de uma 
progressão geométrica, determine e assinale 
o valor do termo constante k.
 2. (UFJF) Seja p(x) = x3 + ax2 + bx + c um poli-
nômio com coeficientes reais. Sabe-se que as 
três raízes desse polinômio são o quarto, o 
sétimo e o décimo sexto termos de uma pro-
gressão aritmética, cuja soma de seus vinte 
primeiros termos é igual a 80 ___ 3 e o seu décimo 
terceiro termo é igual a 3. Encontre os valo-
res de a, b e c. 
 3. (UFG) Com base no polinômio p(x) = x4 – 25:
a) determine os valores de x, no conjunto dos 
números reais, tais que p(x) < 0; 
b) escreva p(x) como um produto de três poli-
nômios com coeficientes reais; 
c) considerando-se a representação dos núme-
ros complexos em um plano cartesiano, cal-
cule a área do polígono cujos vértices são as 
raízes de p(x). 
 4. (IME) O polinômio P(x) = x5 – 3 x4 + 10x3 – 
30x2 + 81x – 243 possui raízes complexas 
simétricas e uma raiz com valor igual ao mó-
dulo das raízes complexas. Determine todas 
as raízes do polinômio. 
 5. (UFPE) O polinômio x3 + ax2 + bx + 19 tem co-
eficientes a, b números inteiros, e suas raízes 
são inteiras e distintas. Indique |a| + |b|.
 6. (UFPR 2017) Dada a função polinomial 
p(x) = x3 + 2x2 − 7x − 2, faça o que se pede:
a) Calcule p ( - 2 __ 5 ) .
b) Encontre as raízes de p(x).
 7. (UFJF-PISM) Considere o polinômio 
p(x) = 16x5 - 48x4 - 40x3 + 120x2 + 9x − 27.
a) Sabendo que p(x) possui uma raiz r natural 
menor que 5, determine r.
b) Determine o polinômio q(x) = 
p(x)
 ____ x - r .
c) Determine todas as raízes de q(x) especifi-
cando suas multiplicidades.
 8. (UFES) Considere o polinômio f(x) = 3x3 − 
7x2 + 8x − 2.
a) Verifique se f(x) possui raízes inteiras. Justi-
fique.
b) Verifique se f(x) possui raízes racionais não 
inteiras. Justifique.
c) Determine todas as raízes de f(x).
Informações:
1. Se um polinômio de grau n com coefi-
cientes inteiros anx
n + an-1x
n-1 +...+ a1x + 
a0 possui uma raiz da forma 
r _ s com r e s 
inteiros primos entre si, então r é um di-
visor de a0 e s é um divisor de an.
2. Dois inteiros r e s são primos entre si 
quando mdc(r,s) = 1.
3. Dados os inteiros a e b é divisor de b quan-
do existe um inteiro c tal que b = a·c.
 9. (PUC-RJ) O retângulo ABCD tem dois vérti-
ces no gráfico da função polinomial dada por 
f(x) = 5x3 − 65x2 + 235x − 155 e dois vérti-
ces no eixo x como na figura abaixo.
28
Sabendo que o vértice A = (1,0), faça o que 
se pede.
 
a) Determine as coordenadas do vértice D.
b) Determine as coordenadas do vértice C.
c) Calcule a área do retângulo ABCD. 
 10. (FGV) A editora aplicou o lucro obtido em 
2011, R$100.000,00, em um fundo de ren-
da fixa, a certa taxa de juro composta. 
Após 3 anos, deve receber um montante de 
R$172.000,00. 
a) A que taxa de juro anual aplicou seu dinheiro?
Use as informações do gráfico abaixo para 
justificar a sua resposta.
b) Qual é a soma das duas raízes complexas da 
equação x3 + 3x2 + 3x − 0,728 = 0, que não 
são números reais?
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
 1. (UERJ 2012) Considere a equação a seguir, 
que se reduz a uma equação do terceiro grau:
(x + 2)4 = x4
Uma de suas raízes é real e as outras são 
imaginárias.
Determine as três raízes dessa equação.
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
 1. (Unesp) Dado que as raízes da equação 
x3 – 3x2 – x + k = 0, onde k é uma constante 
real, formam uma progressão aritmética, o 
valor de k é: 
a) –5. 
b) –3. 
c) 0. 
d) 3. 
e) 5. 
 2. (Unesp) Sabe-se que, na equação x3 + 4x2 + 
x – 6 = 0, uma das raízes é igual à soma das 
outras duas. O conjunto solução (S) desta 
equação é: 
a) S = {–3, –2, –1}. 
b) S = {–3, –2, +1}. 
c) S = {+1, +2, +3}. 
d) S = {–1, +2, +3}. 
e) S = {–2, +1, +3}.
 3. (Unicamp) Sejam r, s e t as raízes do polinô-
mio p(x) = x3 + ax2 + bx + ( b __ a ) 
3
, em que a e 
b são constantes reais não nulas. Se s2 = rt, 
então a soma de r + t é igual a: 
a) b __ a + a.
b) – b __ a – a.
c) a – b __ a .
d) b __ a – a.
 4. (Fuvest) As três raízes de 9x3 – 31x– 10 = 0 
são p, q e 2. O valor de p2 + q2 é: 
a) 5/9.
b) 10/9.
c) 20/9.
d) 26/9.
e) 31/9.
 5. (Unifesp) Sejam p, q, r as raízes distintas 
da equação x3 – 2x2 + x – 2 = 0. A soma dos 
quadrados dessas raízes é igual a: 
a) 1.
b) 2.
c) 4.
d) 8.
e) 9.
 6. (Fuvest) Sabe-se que o produto de duas raí-
zes da equação algébrica 2x3 – x2 + kx + 4 = 
0 é igual a 1.
Então o valor de k é:
a) –8.
b) –4.
c) 0.
d) 4.
e) 8.
29
 7. (Unicamp) Considere o polinômio p(x) = x3 – x2 + 
ax – a, onde a é um número real. Se x = 1 é a única 
raiz real de p(x), então podemos afirmar que: 
a) a < 0.
b) a < 1.
c) a > 0.
d) a > 1.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
 1. (Fuvest) As raízes do polinômio 
p(x) = x3 – 3x2 + m, onde m é um número 
real, estão em progressão aritmética. Deter-
mine:
a) o valor de m;
b) as raízes desse polinômio.
 2. (Fuvest) Um polinômio de grau 3 possui três 
raízes reais que, colocadas em ordem cres-
cente, formam uma progressão aritmética 
em que a soma dos termos é igual a 9/5. A 
diferença entre o quadrado da maior raiz e o 
quadrado da menor raiz é 24/5.
Sabendo-se que o coeficiente do termo de 
maior grau do polinômio é 5, determine:
a) a progressão aritmética.
b) o coeficiente do termo de grau 1 desse poli-
nômio. 
 3. (Fuvest) O polinômio p(x) = x4 + ax3 + bx2 
+ cx – 8, em que a, b, c são números reais, 
tem o número complexo 1 + i como raiz, bem 
como duas raízes simétricas.
a) Determine a, b, c e as raízes de p(x).
b) Subtraia 1 de cada uma das raízes de p(x) 
e determine todos os polinômios com coe-
ficientes reais, de menor grau, que possuam 
esses novos valores como raízes. 
 4. (Unicamp) Dada a equação polinomial com 
coeficientes reais 
x3 – 5x2 + 9x – a = 0:
a) Encontre o valor numérico de a de modo que 
o número complexo 2 + i seja uma das raízes 
da referida equação.
b) Para o valor de a encontrado no item ante-
rior, determine as outras duas raízes da mes-
ma equação. 
 5. (Unesp) Seja z = 1 + i um número complexo.
a) Escreva z e z3 na forma trigonométrica.
b) Determine o polinômio de coeficientes reais, 
de menor grau, que tem z e |z|2 como raízes 
e coeficiente dominante igual a 1.
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. A 2. C 3. B 4. A 5. D
6. E 7. C 8. C 9. C 10. B
E.O. Fixação
1. B 2. D 3. C 4. C 5. A
6. B 7. D 8. A 9. D 10. E
E.O. Complementar
1. C 2. A 3. E 4. E 5. A
E.O. Dissertativo
 1. k = 64.
 2. a = –1, b = –17, c = –15.
 3. 
a) x ∈ R | – 5 < x < 5 .
b) Fatorando o polinômio, temos:
 p(x) = (x2)2 – 52 = (x2 + 5) ⋅ (x2 – 5 2) = (x2 
+ 5)⋅(x + 5 )⋅(x – 5 ) = 0.
c) A área do quadrilátero pedido é 10. 
 4. As raízes de P(x) são 3, 7 + 2 i, 7 – 2 i, – 7 + 
2 i e – 7 – 2 i.
 5. 20.
 6. 
a) 132 ____ 125 .
b) Logo, as raízes de P(x) são 2, −2 + √
__
 3 e 
−2 − √
__
 3 .
 7. 
a) Como 3 é a única raiz natural menor do 
que 5, segue que r = 3.
b) 16 ( x - 3 __ 2 ) ( x + 3 __ 2 ) ( x - 1 __ 2 ) . ( x + 1 __ 2 ) .
c) As raízes de q são − 3 __ 2 , − 
1 __ 2 , 
1 __ 2 e 
3 __ 2 , todas de 
multiplicidade um.
 8. 
a) Por inspeção, concluímos que nenhum 
dos possíveis candidatos a raiz inteira, 
x = ±1 e x = ±2, são raízes de f.
b) Por inspeção, tem-se que dos candidatos 
a raiz racional não inteira, apenas x = 1 __ 3 é 
raiz de f.
c) Sabendo que x = 1 __ 3 é raiz de f, pelo dispo-
sitivo de Briot-Ruffini, vem 1 − i e 1 + i.
 9. 
a) y0= 20.
b) xC = xB = 5.
c) 80 u.a.
30
 10. 
a) Assim, f(x) = (x - 0,2) · (x2 + 3,2x + 3,64). 
Daí, como x2 + 3,2x + 3,64 = 0 não possui 
raízes reais, concluímos que x = 0,2 = 20% 
é a única raiz real de f.
b) Das Relações de Girard e do item (a), se-
gue que a soma das raízes de f que não 
são números reais é -3,2.
E.O. UERJ
Exame Discursivo
 1. x = −1 ou x = −1 + i ou x = −1 −i.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp
1. D 2. B 3. D 4. D 5. B
6. A 7. C
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
 1. 
a) 2.
b) 1 – 3 , 1 e 1 + 3 . 
 2. 
a) (–7/5, 3/5, 13/5).
b) –73/5. 
 3. 
a) a = –2, b = –2 e c = 8. 
b) q(x) = k ⋅ (x2 + 1)⋅(x – 1)⋅(x + 3) (k ≠ 0).
 4. 
a) a = 5.
b) 2 – i e 1. 
 5. 
a) z = 2 [cos(p/4) + i sen(p/4)] e 
z3 = 2 2 [cos(3p/4) + i sen(3p/4)].
b) x3 – 4x2 + 6x – 4.
51 52
M
MATEMÁTICA
T
Operações com polinômios
Competência
5
Habilidades
20, 21 e 23
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(nãoem classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
33
E.O. AprEndizAgEm
 1. (ESPM) O resto da divisão do polinômio 
x5 – 3x2 + 1 pelo polinômio x2 – 1 é:
a) x – 1.
b) x + 2.
c) 2x – 1.
d) x + 1.
e) x – 2.
 2. (Cefet-MG) Os polinômios A(x) = x2 – 3x + 2 
e B(x) = x4 – 2x3 + kx2 – 3x – 2 têm uma úni-
ca raiz em comum. Os valores possíveis para 
k são números:
a) pares.
b) primos.
c) inversos.
d) ímpares.
e) simétricos.
 3. (UEG) A divisão do polinômio x3 + 2x2 – 5x – 6 
por (x + 1) (x – 2) é igual a: 
a) x – 3. 
b) x + 3. 
c) x – 6. 
d) x + 6.
 4. Quais são os polinômios que representam o 
quociente q(x) e o resto r(x) da divisão do 
polinômio p(x) = x3 + 5x2 + 6 pelo polinômio 
d(x) = x2 – 3?
a) q(x) = –(x + 5) e r(x) = 3x + 21.
b) q(x) = x + 5 e r(x) = –(3x + 21).
c) q(x) = x – 5 e r(x) = –3x + 21.
d) q(x) = –(x + 5) e r(x) = 3x – 21.
e) q(x) = x + 5 e r(x) = 3x + 21.
 5. (PUC-PR) Se (x – 2) é um fator do polinômio 
x3 + kx2 + 12x – 8, então, o valor de k é igual a: 
a) –3.
b) 2.
c) 3.
d) 6.
e) –6.
 6. (AMAN) O polinômio f(x) = x5 – x3 + x2 + 1, 
quando dividido por q(x) = x3 – 3x + 2 dei-
xa resto r(x).
Sabendo disso, o valor numérico de (r – 1) é: 
a) –10.
b) –4.
c) 0.
d) 4.
e) 10.
 7. (UFTM) Dividindo-se o polinômio p(x) = 3x4 
– 2x3 + mx + 1 por (x – 1) ou por (x + 1), os 
restos são iguais. Nesse caso, o valor de m é 
igual a: 
a) –2. 
b) –1. 
c) 1. 
d) 2. 
e) 3. 
 8. (PUC-RJ) Sabendo que 1 é raiz do polinômio 
p(x) = 2x3 – ax2 – 2x, podemos afirmar que 
p(x) é igual a: 
a) 2x2 (x – 2). 
b) 2x (x – 1) (x + 1). 
c) 2x (x2 – 2). 
d) x (x – 1)(x + 1). 
e) x(2x2 – 2x – 1). 
 9. Dividindo o polinômio p(x) pelo polinômio 
(x – 2)(x – 4)(x – 5) obtém-se resto x + 3. Se 
os restos das divisões de p(x) por x – 2, x – 4 
e x – 5 são, respectivamente, os números A, 
B e C, então ABC vale: 
a) 100. 
b) 180. 
c) 200. 
d) 280. 
e) 360. 
 10. (UPE) Para que o polinômio 6x3 – 4x2 + 2mx – 
–(m + 1) seja divisível por x – 3, o valor 
da raiz quadrada do módulo de m deve ser 
igual a: 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
e) 5. 
E.O. FixAçãO
 1. (UFJF) Dados dois polinômios A(x) e B(x), 
sabe-se que S(x) = A(x) + B(x) é um polinô-
mio de grau 8 e que D(x) = A(x) – B(x) é um 
polinômio de grau 5. É correto afirmar: 
a) O polinômio W(x) = B(x) – A(x) tem grau 8. 
b) Os polinômios A(x) e B(x) têm o mesmo 
grau. 
c) O polinômio C(x) = A(x) ⋅ B(x) tem grau 13. 
d) O polinômio A(x) tem grau 5. 
e) O grau do polinômio B(x) é menor que 7. 
 2. (IME) Seja ∆ o determinante da matriz 
1 2 3
x x2 x3
x x 1
. O número de possíveis va-
lores de x reais que anulam ∆ é:
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
e) 4. 
34
 3. (FGV) O quociente da divisão do polinômio 
P(x) = (x2 + 1)4 ⋅ (x3 + 1)3 por um polinômio 
de grau 2 é um polinômio de grau: 
a) 5. 
b) 10. 
c) 13. 
d) 15. 
e) 18. 
 4. (UECE) Se a expressão algébrica x2 + 9 se es-
creve identicamente como a(x + 1)2 + b(x + 1) 
+ c onde a, b e c são números reais, então o 
valor de a – b + c é: 
a) 9. 
b) 10. 
c) 12. 
d) 13. 
 5. Sejam p (x) = 2x2010 – 5x2 – 13x + 7 e q (x) = 
x2 + x + 1. Tomando r(x) como sendo o resto 
na divisão de p(x) por q(x), o valor de r(2) 
será: 
a) –8. 
b) –6. 
c) –4. 
d) –3. 
e) –2. 
 6. (UPF) Se o polinômio P(x) = x4 – 2x2 + mx + p 
é divisível por D(x) = x2 + 1, o valor de m – p é: 
a) –3. 
b) –1. 
c) 0. 
d) 2. 
e) 3.
 7. (ESPM) O trinômio x2 + ax + b é divisível por 
x + 2 e por x – 1. O valor de a – b é: 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
e) 4.
 8. (Ibmec-RJ) Se o resto da divisão do po-
linômio P(x) = x3 + ax + b pelo polinômio 
Q(x) = x2 + x + 2 é igual a 4, então podemos 
afirmar que a + b vale: 
a) 2. 
b) –2. 
c) 3. 
d) –3. 
e) 4.
 9. (ITA) Se 1 é uma raiz de multiplicidade 2 da 
equação x4 + x2 + ax + b = 0, com a, b ∈ R, 
então a2 – b3 é igual a: 
a) –64. 
b) –36. 
c) –28. 
d) 18. 
e) 27. 
 10. (PUC-RS 2017) Os polinômios p(x), q(x), 
f(x), h(x) em C, nessa ordem, estão com seus 
graus em progressão geométrica. Os graus de 
p(x) e h(x) são, respectivamente, 16 e 2. A 
soma do número de raízes de q(x) com o nú-
mero de raízes de f(x) é:
a) 24.
b) 16.
c) 12.
d) 8.
e) 4.
E.O. COmplEmEntAr
 1. (Udesc) Um polinômio p(x) dividido por 
x + 1 deixa resto 16; por x – 1 deixa resto 
12, e por x deixa resto –1. Sabendo que o 
resto da divisão de p(x) por (x + 1)(x – 1)
x é da forma ax2 + bx + c, então o valor nu-
mérico da soma das raízes do polinômio ax2 
+ bx + c é:
a) 3 __ 5 .
b) 2.
c) 2 ___ 15 .
d) 4.
e) –2.
 2. (AFA) Considere o polinômio p(x) = ax4 + bx3 
+ 2x2 + 1, {a, b} ∈ R e marque a alternativa 
FALSA. 
a) x = 0 não é raiz do polinômio p(x).
b) Existem valores distintos para a e b tais que 
x = 1 ou x = –1 são raízes de p(x).
c) Se a = 0 e b = 3, o resto da divisão de p(x) 
por 3x2 – x + 1 é zero.
d) Se a = b = 0, tem-se que x = – 1 __ 2 i é uma raiz 
de p(x), considerando que i2 = –1.
 3. (UEPB) Os valores de m e n para os quais a 
expressão 5x
4 + 8x2 + mx + n _________________ 
x2 + 2
 seja um polinô-
mio são, respectivamente:
a) 2 e –4.
b) 0 e –2.
c) 0 e –4.
d) 2 e 4.
e) 8 e –4.
 4. (UEL) O polinômio p(x) = x3 + x2 – 3ax – 4a 
é divisível pelo polinômio q(x) = x2 – x – 4. 
Qual o valor de a?
a) −2.
b) −1.
c) 0.
d) 1.
e) 2.
35
 5. (Udesc) Considere o polinômio f(x) = 8x3 – 
– 6x2 – 3x + 1. Sabe-se que as raízes de f(x) 
são os primeiros termos de uma progressão 
geométrica infinita, cujo primeiro termo é a 
maior raiz de f(x), e a soma desta progressão 
é raiz do polinômio g(x) = x + a. Então, o 
resto da divisão de f(x), por g(x) é: 
a) – 35 ___ 27 . 
b) – 1 __ 2 . 
c) – 2 __ 3 . 
d) –2. 
e) –81. 
E.O. dissErtAtivO
 1. (UFF) Considere o polinômio p(x) = x4 + 2x3 
+ 3x2 + 2x + 2.
a) Verifique se o número complexo i é raiz de 
p(x).
b) Calcule todas as raízes complexas de p(x). 
 2. (UFLA) O polinômio P(x) = 2x3 + px2 + 11x + q 
é divisível por x – 2, e P(1) = –4. Calcule os 
valores de p e q. 
 3. (UPE) Analise as afirmações abaixo e conclua: 
( ) Um polinômio de grau ímpar e coeficientes 
reais possui, necessariamente, pelo menos, 
uma raiz real. 
( ) Se todos os coeficientes de um polinômio 
são reais, suas raízes serão, necessariamen-
te, reais. 
( ) Se um polinômio possui raízes complexas 
não reais, então seu grau é, necessariamen-
te, um número par. 
( ) Se um polinômio possui raízes complexas 
não reais, então seu grau é, necessariamen-
te, um número ímpar. 
( ) Se um polinômio possui raízes complexas, e 
todos seus coeficientes são números intei-
ros, então os conjugados complexos de cada 
raiz, também, são raízes do mesmo polinô-
mio. 
 4. (UFV) O inteiro 2 é raiz do polinômio p(x) = 
4x3 – 4x2 – 11x + k, onde k é uma constante 
real.
a) Determine o valor de k.
b) Determine as outras raízes de p(x).
c) Determine os intervalos onde p(x) > 0.
 5. (UFJF-PISM 3 2017) O resto da divisão de um 
polinômio p(x) por um polinômio q(x) é o po-
linômio r(x) = x5 - 7x4 - 8x3 + 56x2 + 15x - 105.
Sabendo que 7 é raiz de p(x) e de q(x), de-
termine todas as raízes de r(x).
 6. (UFU 2017) Considere os polinômios p(x) = 
x3 + 2a + b e h(x) = x4 + a − 2b, em que a e b 
são constantes reais e x é uma variável real. 
Determine os valores de a e b para os quais 
esses polinômios sejam divisíveis por x - 4.
 7. (UFJF-PISM 3 2016) Sabendo que o polinô-
mio p(x) = ax3 + bx + 2 é divisível por (x + 
1)2, determine a e b.
 8. (UFPE) Determine o polinômio com coefi-
cientes reais p(x) = ax3 + bx2 + cx, tal que 
p(x + 1) − p(x) = 6x2 e indique a2 + b2 + c2.
 9. (UFTM) Seja o polinômio P(x) = x3 − 2x2 − 4x + 
m, sendo m um número real. Sabendo-se que 
P(x)é divisível por (x − 2) determine:
a) O valor de m.
b) Todas as raízes de P(x).
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
 1. (UERJ) Observe o gráfico da função polino-
mial de R em R definida por P(x) = 2x3 – 6x2 
+ 3x + 2:
Determine o conjunto solução da inequação 
P(x) > 0. 
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
 1. (Unesp) O polinômio P(x) = a ⋅ x3 + 2 ⋅ x + b 
é divisível por x – 2 e, quando divisível por 
x + 3, deixa resto –45. Nessas condições, os 
valores de a e b, respectivamente, são: 
a) 1 e 4.
b) 1 e 12.
c) –1 e 12.
d) 2 e 16.
e) 1 e –12.
36
 2. (Unicamp 2017) Considere o polinômio 
p(x) = xn + xm + 1, em que n > m ≥ 1. Se o 
resto da divisão de p(x) por x + 1 é igual a 
3, então:
a) n é par e m é par.
b) n é ímpar e m é ímpar.
c) n é par e m é ímpar.
d) n é ímpar e m é par.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
 1. (Fuvest) O produto de duas das raízes do po-
linômio p(x) = 2x3 – mx2 + 4x + 3 é igual a 
–1. Determinar: 
a) o valor de m.
b) as raízes de p.
 2. (Unicamp) O polinômio p(x) = x3 – 2x2 – 9x 
+ 18 tem três raízes: r, –r e s.
a) Determine os valores de r e s.
b) Calcule p(z) para z = 1 + i, onde i é a unidade 
imaginária. 
 3. (Unicamp) As três raízes da equação x3 – 3x2 
+ 12x – q = 0, onde q é um parâmetro real, 
formam uma progressão aritmética.
a) Determine q.
b) Utilizando o valor de q determinado no item 
(a), encontre as raízes (reais e complexas) 
da equação. 
 4. (Unicamp) Seja a um número real e seja:
a) Para a = 1, encontre todas as raízes da equa-
ção p(x) = 0.
b) Encontre os valores de a para os quais a 
equação p(x) = 0 tenha uma única raiz real. 
 5. (Unicamp) Determine o quociente e o resto 
da divisão de x100 + x + 1 por x2 – 1. 
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. E 2. A 3. B 4. E 5. E
6. A 7. D 8. B 9. D 10. E
E.O. Fixação
1. B 2. C 3. D 4. D 5. E
6. E 7. D 8. C 9. C 10. C
E.O. Complementar
1. C 2. D 3. C 4. E 5. A
E.O. Dissertativo
 1. 
a) i4 + 2 . i3 + 3 . i2 + 2 . i + 2 = 1 – 2i – 3 + 2i + 2 = 0, 
logo, i é raiz da equação.
b) Se i é raiz, –i também é raiz (teorema das 
raízes conjugadas).
Logo, p(x0 é divisível por (x + i) . (x – i) 
= x2 + 1
P(x) = (x2 + 1) . (x2 + 2x + 2)
Resolvendo a equação produto, temos:
x2 + 1 = 0
x = i ou x = –1
x2 + 2x + 2 = 0 
x = –1 – i ou x = –1 + i.
 2. p = –7 e q = –10.
 3. V-F-F-F-V.
(V) As raízes complexas aparecerão sempre 
aos pares;
(F) Poderá ter raízes não reais;
(F) Poderá ter grau par ou ímpar;
(F) Poderá ter grau par ou ímpar;
(V) Verdadeiro: as raízes complexas apare-
cem aos pares (a própria raiz e sua conju-
gada) para coeficientes reais. 
 4.
a) k = 2.
b) x = –3/2 e x = 1/2.
c) ]–3/2, 1/2[ e ]2, +∞[.
 5. 7, ± √
__
 3 , ± √
__
 5 .
 6. − 384 ____ 5 e 
448 ____ 5 .
 7. a = − 1 e b = 3.
 8. P(x) = 2x3 − 3x2 + x e a2 + b2 + c2 = 22 + (−3)2 
+ 12 = 14. 
 9. P(x) = x3 − 2x2 − 4x + 8 = (x − 2) (x2 − 4) = 
(x − 2)2 (x + 2), ou seja, as raízes de P(x) são 
2 e –2.
37
E.O. UERJ
Exame Discursivo
 1. O número 2 é raiz, pois p(2) = 0.
Dividindo p(x) por (x – 2), temos:
Logo, P(x) = (x – 2) . (2x2 + 2x + 1) 
Onde suas raízes são x = 2, x = 1 ± 
dXX 3 ______ 2 .
Resolvendo, agora a inequação P(x) > 0 atra-
vés do gráfico do polinômio P(x). 
Portanto, a solução da inequação será dada 
por: 
S = { x ∈ R | 1 – √
__
 3 ___ 2 ≤ x≤ 
1 + dXX 3 ______ 2 ou x ≥ 2 } 
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. E 2. A
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
 1.
a) m = 7.
b) 3/2; 1 – dXX 2 e 1 + dXX 2 .
 2.
a) Fatorando P(x), obtemos 
 p(x) = x3 – 2x2 – 9x + 18
 = x2 (x – 2) – 9 (x – 2)
 = (x – 2)(x2 – 9)
 Portanto, r = 3 e s = 2.
b) Se z = 1 + i, então z2 = (1 + i)2 = 2i. 
Logo, p(z) = (1 + i – 2) (2i – 9) 
 = 2i2 – 9i – 2i + 9 
 = 7 – 11i. 
 3. 
a) q = 10.
b) 1, 1 – 3i e 1 + 3i. 
 4.
a) 3; 1 – 2i; 1 + 2i.
b) {a ∈ R | –3 < a ≤ 5}. 
 5. quociente: Q(x) = x98 + x96 + ... + x2 + 1
resto: R(x) = x + 2.
FUVEST
Frequentemente cobrados, matrizes, determinantes e sistemas lineares aparecem nas duas fases 
do vestibular, exigindo do candidato domínio da teoria e das aplicações, com a resolução de 
questões interdisciplinares ou de outra área da própria matemática.
UNESP
Nos últimos anos, a Vunesp procurou cobrar matrizes, determinantes e sistemas lineares apenas 
na primeira fase, com questões teóricas de médio e alto grau de dificuldade.
UNICAMP
O vestibular da Comvest exige do candidato o domínio completo da teoria de matrizes, determinantes 
e sistemas lineares, com questões teóricas e de alto grau de abstração.
UNIFESP
Cobradas com baixíssima frequência, as questões de matrizes, sistemas lineares e determinantes 
são, em geral, teóricas, que visam apenas verificar o domínio formal teórico do candidato.
ENEM/UFMG/UFRJ
Matrizes é um tema pouquíssimo recorrente no Enem, mas, quando cobrado, é sempre com auxílio de 
tabelas para a disposição dos valores. No entanto, sistemas lineares possui mais incidência com aplicações 
em situações-problema.
UERJ
Matrizes e determinantes são cobrados com auxílios de tabelas nos exames de qualificação. Nas 
questões discursivas, a ênfase está no domínio teórico das fórmulas e resolução de sistemas 
lineares.
FA
CU
LD
ADE DE MEDICINA
BOTUCATU
1963
Abordagem de MATRIZES, DETERMINANTES 
e SISTEMAS LINEARES nos principais vestibulares.
45 46
M
MATEMÁTICA
T
Matrizes e operações
Competência
6
Habilidades
24, 25 e 26
45 46
M
MATEMÁTICA
T
Matrizes e operações
Competência
6
Habilidades
24, 25 e 26
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente