IME-ITA_ap_de_provas_2017

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2006 À 2016
APOSTILA DE PROVAS
IME-ITA
Índice
Apostila de Provas
Instituto Militar de Engenharia – IME
Instituto Tecnológico de Aeronáutica – ITA
Matemática
 IME – objetiva (2006 a 2016) 3
 IME – discursiva (2013 a 2016) 25
 ITA – objetiva/discursiva (2013 a 2016) 29
Física
 IME – objetiva (2006 a 2016) 44
 IME – discursiva (2013 a 2016) 82
 ITA – objetiva/discursiva (2013 a 2016) 95
Química
 IME – objetiva (2006 a 2016) 114
 IME – discursiva (2013 a 2016) 135
 ITA – objetiva/discursiva (2013 a 2016) 144
Língua Portuguesa e Redação
 IME – objetiva (2006 a 2016) 161
 ITA – objetiva (2006 a 2016) 203
Inglês
 IME – objetiva (2006 a 2016) 253
 ITA – objetiva (2006 a 2016) 287
3Apostila de provas IME/ITA
IME – Matemática: Provas objetivas
Apostila de provas IME/ITA
Prova 2016/2017
 01 Assinale a alternativa verdadeira:
(A) 2016 2015 2017 2016 2 2016
1
− < − < ( )−
(B) 2017 2016 2016 2015 2 2016
1
− < − <( )−
(C) 2017 2016 2 2016 2016 2015
1
− <( ) < −−
(D) 2016 2015 2 2016 2017 2016
1
− <( ) < −−
(E) 2 2016 2017 2016 2016 2015
1( ) < − < −−
 02 O sistema de inequações abaixo admite k soluções inteiras. Pode-se 
afirmar que:
x x
x
x
2 2 14
3
12
− −
>
≤




(A) 0 ≤ k < 2
(B) 2 ≤ k < 4
(C) 4 ≤ k < 6
(D) 6 ≤ k < 8
(E) k ≥ 8
 03 Sejam Z1 e Z2 números complexos tais que Z2 é imaginário puro e 
|Z1 – Z2| = |Z2|. Para quaisquer valores de Z1 e Z2 que atendam a essas 
condições tem-se que:
(A) Im(Z2) > 0
(B) Im(Z2) ≤ 0
(C) |Z1| ≤ 2 |Z2|
(D) Re(Z1) ≥ 0
(E) Re(Z1) ≤ Im(Z2)
 04 No desenvolvimento de
x
x
⋅ +




sen cos2
1
2
10
β β
valor do termo independente de x é igual a 63/256 . 
Considerando que β é um número real, com 0 < β < π/8 
e x ≠ 0, o valor de β é:
(A) π/9
(B) π/12
(C) π/16
(D) π/18
(E) π/24
 05 Calcule o valor de 
sen
sen
4 4
6 6
α α
α α
+
+
cos
cos
, sabendo-se que senα αcos .=
1
5
(A) 
22
21
 
(B) 
23
22
 
(C) 25
23
(D) 13
12
(E) 26
25
 06 Seja A
a
a=
−
−
−










1 2
2 1 1
2 3 1
 com a ∈ ℜ. Sabe-se que det(A2 – 2A + 
I) = 16. A soma dos valores de a que satisfazem essa condição é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
Obs.: det(X) denota o determinante da matriz X
 07 Seja a equação
y ylog3 3 = y ylog3 3 − 6 , y > 0
O produto das raízes reais desta equação é igual a:
(A) 1
3
. 
(B) 1
2
. 
(C) 3
4
.
(D) 2.
(E) 3.
 08 Seja f(x) = |x |x |x |x− + − + − + + −1 2 3 2017| | | ... | . O valor 
mínimo de f(x) está no intervalo:
(A) (−∞,1008]
(B) (1008,1009]
(C) (1009,1010]
(D) (1010,1011]
(E) (1011,+∞)
 09 Sejam x, y e z números complexos que satisfazem ao sistema de 
equações abaixo:
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =







7
25
1 1 1 1
4
2 2 2
Apostilas de provas IME/ITA
IME – Matemática: Provas objetivas
4 Apostila de provas IME/ITA
O valor da soma x3 + y3 + z3 é:
(A) 210
(B) 235
(C) 250
(D) 320
(E) 325
 10 Um hexágono é dividido em 6 triângulos equiláteros. De quantas formas 
podemos colocar os números de 1 a 6 em cada triângulo, sem repetição, 
de maneira que a soma dos números em três triângulos adjacentes seja 
sempre múltiplo de 3? Soluções obtidas por rotação ou reflexão são 
diferentes, portanto as figuras abaixo mostram duas soluções distintas.
(A) 12.
(B) 24.
(C) 36.
(D) 48.
(E) 96.
 11 Sejam uma progressão aritmética (a1, a2, a3, a4, ...) e uma progressão 
geométrica (b1, b2, b3, b4, ...) de termos inteiros, de razão r e razão q, 
respectivamente, onde r e q são inteiros positivos, com q > 2 e b1 > 0. 
Sabe-se, também, que a1 + b2 = 3, a4 + b3 = 26. O valor de b1 é:
(A) 1. 
(B) 2. 
(C) 3.
(D) 4.
(E) 5.
 12 Sejam os pontos A(0,0), B( –1,1), C(1,2), D(4,1) e E(3, 1
2
). A reta r 
passa por A e corta o lado CD, dividindo o pentágono ABCDE em dois 
polígonos de mesma área. Determine a soma das coordenadas do ponto 
de interseção da reta r com a reta que liga C e D.
(A) 
25
7
(B) 51
14
(C) 26
7
(D) 53
14
(E) 27
7
 13 Dado um quadrado ABCD, de lado a, marcam-se os pontos E sobre 
o lado AB, F sobre o lado BC, G sobre o lado CD e H sobre o lado AD, de 
modo que os segmentos formados AE, BF, CG e DH tenham comprimento 
igual a 3
4
a. A área do novo quadrilátero formado pelas interseções dos 
segmentos AF, BG, CH, e DE mede:
1
2
5
4
3
6
2
6
3
5
1
4
(A) a²
25
(B) a²
18
(C) a²
16
(D) a²
9
(E) 2
9
a²
 14 Um tronco de pirâmide regular possui 12 vértices. A soma dos 
perímetros das bases é 36 cm, a soma das áreas das bases é 30 3 2cm 
e sua altura mede 3 cm. Calcule o volume do tronco de pirâmide.
(A) 50 cm3
(B) 42
3
3
3cm
(C) 43
3
2
3cm
(D) 43 2 3cm
(E) 42 3 3cm
 15 O polinômio P(x) = x3 – bx2 + 80x – c possui três raízes inteiras positivas 
distintas. Sabe-se que duas das raízes do polinômio são divisoras de 80 e 
que o produto dos divisores positivos de c menores do que c é c2. Qual é o 
valor de b?
(A) 11
(B) 13
(C) 17
(D) 23
(E) 29
Prova 2015/2016
 01 Dados três conjuntos quaisquer F, G e H. O conjunto G – H é igual ao 
conjunto:
(A) (G ∪ F) – (F – H)
(B) (G ∪ H) – (H – F)
(C) (G ∪ (H – F)) ∩ H
(D) ∪ ∩G (H F)
(E) ( H ∩ G) ∩ (G – F)
 02 O polinômio x3 + ax2 + bx + c tem raízes α, – α e 1
α
. Portanto o 
valor da soma b + c2 + ac + 2
b
c
 é:
(A) –2
(B) –1
(C) 0
(D) 1
(E) 2
Apostila de provas IME/ITA
IME – Matemática: Provas objetivas
5Apostila de provas IME/ITA
 03 Sabendo-se que m e n são inteiros positivos tais que 3m + 14400 = n2, 
determine o resto da divisão de m + n por 5.
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
 04 O valor do somatório abaixo é:
15
2 1
1
Img cis
36
k
k
−
=
π 
 
 
∑
(A) 
2 3
4sen
36
+
π
(B) 
2 3
4sen
36
−
π
(C) 
1
4sen
36
π
(D) sen
36
π
(E) 1
4
Observação: Img(w) é a parte imaginária de w.
 05 Seja P(x) = x2 + ax + b. Sabe-se que P(x) e P(P(P(x))) têm uma raiz 
em comum. Pode-se afirmar que para todo valor a e b
(A) P(–1) P(1) < 0
(B) P(–1) P(1) = 0
(C) P(–1) + P(1) = 2
(D) P(0) P(1) = 0
(E) P(0) + P(1) = 0
 06 Sabendo-se que os números reais positivos a, b e c formam uma 
progressão geométrica e 5 3log , log e log
5 3
c b a
a c b
     
     
     
 formam uma 
progressão aritmética, ambas nessa ordem, então pode-se afirmar que 
a, b e c
(A) formam os lados de um triângulo obtusângulo.
(B) formam os lados de um triângulo acutângulo não equilátero.
(C) formam os lados de um triângulo equilátero.
(D) formam os lados de um triângulo retângulo.
(E) não podem formar os lados de um triângulo.
 07 O valor da soma abaixo é:
2016 2017 2018 2019 2020 2016
5 5 5 5 5 6
           
+ + + + +           
           
(A) 
2020
6
 
 
 
(B) 
2020
7
 
 
 
(C) 
2021
5
 
 
 
(D) 
2021
6
 
 
 
(E) 
2022
5
 
 
 
 08 Os inteiros n e m são sorteados do conjunto {1,2,3,...,2016}, podendo 
haver repetição. Qual a probabilidade do produto n × m ser múltiplo de 12?
(A) 5
12
(B) 5
18
(C) 5
24
(D) 5
36
(E) 5
144
 09 Seja A
a b
b a
 
=  − 
. O maior valor de a, com a≠1, que satisfaz 
A24 = I é:
(A) 1
2
.
(B) 2
2
.
(C) 3
2
.
(D) 2 ( 3 1)
4
− .
(E) 2 ( 3 1)
4
+ .
Observação: I é a matriz identidade 2x2.
 10 Quantos inteiros k satisfazem à desigualdade 
1
1/ 4
10 102 log 1 10log 3 0k k−− + + > ?
(A) 10.
(B) 89.
(C) 90.
(D) 99.
(E) 100.
Apostilas de provas IME/ITA
IME – Matemática: Provas objetivas
6 Apostila de provas IME/ITA
 11 ‘Seja a equação sen(2 ) 1.
tg 2
x
x
= As soluções dessa equação para 
,
2
x
π ∈ − π  
 formam um polígono no círculo trigonométrico de área
(A) 3
2
.
(B) 3 .
(C) 5 3
8
.
(D) 1
2
.
(E) 1.
 12 O lugar geométrico dos pontos em ℝ2 equidistantes às retas de 
equações
4x + 3y – 2 = 0 e 12x – 16y + 5 = 0
é
(A) 4x + 28y + 13 = 0
(B) 8x – 7y – 13 = 0
(C) 28x – 4y – 3 = 0
(D) 56x2 + 388xy – 184x – 56y2 – 16y + 19 =0
(E) 112x2 + 768xy – 376x – 112y2 – 32y + 39 =0
 13 Considere quatro pontos distintos coplanares. Das distâncias entre 
esses pontos, quatro delas valem a e duas delas valem b. Ovalor máximo 
da relação 
2
b
a
 
 
 
 é
(A) 2.
(B) 1 3+ .
(C) 2 3+ .
(D) 1 2 2+ .
(E) 2 2 3+ .
 14 Em um triângulo ABC, o ponto D é o pé da bissetriz relativa ao ângulo 
Â. Sabe-se que 
AC AD= , r
AB
AC
= e que C = α
Portanto o valor de sen² α é:
(A) −3 1
2
r .
(B) 3 – 1
4
r
r
.
(C) +   3
4
r .
(D) +3  1
4
r
r
.
(E) +3  1
4
r .
 15 Sejam dois quadrados de lado a situados em planos distintos que 
são paralelos entre si e situados a uma distância d, um do outro. A reta 
que liga os centros dos quadrados é perpendicular a esses planos. Cada 
diagonal de um quadrado é paralela a dois lados do outro quadrado. 
Liga-se cada vértice de cada quadrado aos dois vértices mais próximos 
do outro quadrado. Obtêm-se, assim, triângulos que, conjuntamente com 
os quadrados, formam um sólido S. Qual a distância entre estes planos 
distintos em função de a, de modo que os triângulos descritos acima sejam 
equiláteros?
(A) 
2
a .
(B) 3
2
a .
(C) 10
8
a .
(D) 
4 8
2
a .
(E) ( )4 3 2
2
a −
.
Apostila de provas IME/ITA
IME – Matemática: Provas objetivas
7Apostila de provas IME/ITA
Prova 2014/2015
 01 Os lados a, b e c de um triângulo estão em PA nesta ordem, sendo 
opostos aos ângulos internos, A , B e C , respectivamente. Determine o 
valor da expressão:
cos
cos
A C
A C
 
 
−
+
2
2
(A) 2
(B) 2
(C) 2 2
(D) 3
(E) 4
 02 Sejam x e y números reais não nulos tais que:
log log
log log
x y
e
y x
e
y x a
x y
b
π
π
+ =
− =




 − −
1 1
1 1
O valor de x
y
a b e
a b
+ +
− +
2
2π
é:
(A) 1
(B) 
e
π
(C) a e
b
⋅
⋅ π
(D) a – b
(E) a b
e
+( )π
π
 03 A função f : ℜ → ℜ é definida por:
f x
x x
x x x
( ) = + −
− +
ln
cos
8 3 3
8 4 2 2
sen sen
sen sen
Marque a opção verdadeira:
(A) f não tem raízes reais
(B) f é uma função ímpar
(C) f é uma função par
(D) |f(x)| ≤ 1
(E) f é sobrejetora
 04 A soma dos termos de uma progressão aritmética é 244. O primeiro 
termo, a razão e o número de termos formam, nessa ordem, outra progressão 
aritmética de razão 1. Determine a razão da primeira progressão aritmética.
(A) 7
(B) 8
(C) 9
(D) 10
(E) 11
 05 Determine o produto dos valores máximo e mínimo de y que satisfazem 
às inequações dadas para algum valor de x.
2x2 – 12x + 10 ≤ 5y ≤ 10 – 2x
(A) –3,2
(B) –1,6
(C) 0
(D) 1,6
(E) 3,2
 06 Qual o resto da divisão do polinômio x26 – x25 – 6x24 + 5x4 – 16x3 + 3x2 
pelo polinômio x3 – 3x2 – x + 3? 
(A) x2 + x – 2
(B) 6x2 – 4x + 3
(C) 3x – 9
(D) 6x2 – 17x – 3
(E) 6x + 1
 07 Quantos restos diferentes são possíveis da divisão de n2 por 11, sendo 
n um número natural?
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
 08 O número de soluções da equação cos(8x) = sen(2x) + tg2(x) + 
cotg2(x) no intervalo [ 0, 2π ) é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 4
(E) 8
 09 Dada a matriz A, a soma do módulo dos valores de x que tornam o 
determinante da matriz A nulo é:
A
x
x x
x
x x
=
−
+
− −












1 2 0 0
1 1 2
1 4 0 0
1 1 2
²
(A) 7
(B) 8
(C) 9
(D) 10
(E) 11
 10 Sejam Γ a circunferência que passa pelos pontos (6,7), (4,1) e (8,5) 
e t a reta tangente à Γ, que passa por (0,–1) e o ponto de tangência tem 
ordenada 5. A menor distância do ponto P (–1,4) à reta t é: 
(A) 3 2.
(B) 4.
(C) 2 3.
(D) 3.
(E) 4 10 5/ .
Apostilas de provas IME/ITA
IME – Matemática: Provas objetivas
8 Apostila de provas IME/ITA
 11 O lugar geométrico no plano complexo de w = z + 1/z, sendo z 
número complexo tal que |z| = k e k > 1, é um(a): 
(A) segmento de reta.
(B) circunferência.
(C) hipérbole.
(D) elipse.
(E) parábola.
 12 O time de futebol “X” irá participar de um campeonato no qual 
não são permitidos empates. Em 80% dos jogos, “X” é o favorito. A 
probabilidade de “X” ser o vencedor do jogo quando ele é o favorito é 0,9. 
Quando “X” não é o favorito, a probabilidade de ele ser o vencedor é 0,02. 
Em um determinado jogo de “X” contra “Y”, o time “X” foi o vencedor. 
Qual a probabilidade de “X” ter sido o favorito nesse jogo? 
(A) 0,80.
(B) 0,98.
(C) 180/181.
(D) 179/181.
(E) 170/181.
 13 Seja um trapézio retângulo de bases a e b com diagonais 
perpendiculares. Determine a área do trapézio.
(A) ab
2
(B) a b+




2
2
(C) 
a b
ab
+




2
(D) 
2
2
a b
ab
+





(E) 
a b
a b
+




2
2
 14 Em um prisma oblíquo ABCDEFA’B’C’D’E’F’, cuja base ABCDEF é um 
hexágono regular de lado a, a face lateral EFF’E’ está inclinada 45° em 
relação à base, e a projeção ortogonal da aresta F’E’ sobre a base ABCDEF 
coincide com a aresta BC. O volume do prisma é:
(A) 3 3
2
3a
(B) 9
4
3a
(C) 5 3
3
3a
(D) 9
2
3a
(E) 5
2
3a
 15 Seja um tetraedro regular ABCD de aresta a e um octaedro inscrito no 
tetraedro, com seus vértices posicionados nos pontos médios das arestas 
do tetraedro. Obtenha a área da seção do octaedro formada pelo plano 
horizontal paralelo à base do tetraedro BCD, distando desta base de um 
quarto da altura do tetraedro.
(A) 3
192
2a
(B) 3
96
2a
(C) 3 3
32
2a
(D) 3 3
64
2a
(E) 9 3
64
2a
Apostila de provas IME/ITA
IME – Matemática: Provas objetivas
9Apostila de provas IME/ITA
Prova 2013/2014
 01 Qual é o menor número?
(A) π ⋅ 8!.
(B) 99.
(C) 22
22 .
(D) 33
3
.
(E) 213 ⋅ 53.
 02 Seja a matriz A
a b c
b c a
c a b
=










, em que a, b e c são números reais 
positivos satisfazendo abc = 1. Sabe-se que AT A = I, em que AT é a matriz 
transposta de A e I é a matriz identidade de 3a ordem. O produto dos 
possíveis valores de a³ + b³ + c³ é:
(A) 2.
(B) 4.
(C) 6.
(D) 8.
(E) 10.
 03 Sejam W = {y ∈ ℜ|2k + 1 ≤ y ≤ 3k − 5} e S = {y ∈ ℜ|3 ≤ y ≤ 22}. 
Qual é o conjunto dos valores de k ∈ ℜ para o qual W ≠ ∅ e 
W ⊆ (W ∩ S)?
(A) {1 ≤ k ≤ 9}
(B) {k ≤ 9}
(C) {6 ≤ k ≤ 9}
(D) {k ≤ 6}
(E) ∅
 04 Sabe se y z z x x y z
x
z y z
e⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
⋅ ⋅
=3 2 , em que e é a 
base dos logaritmos naturais. O valor de x + y + z é:
(A) e3 + e2 + 1
(B) e2 + e–1 + e
(C) e3 + 1
(D) e3 + e–2 + e
(E) e3 + e–2 + e–1
 05 Uma elipse cujo centro encontra-se na origem e cujos eixos são 
paralelos ao sistema de eixos cartesianos possui comprimento da semi- 
-distância focal igual a 3 e excentricidade igual a 3
2
. Considere que os 
pontos A, B, C e D representam as interseções da elipse com as retas de 
equações y = x e y = – x. A área do quadrilátero ABCD é:
(A) 8
(B) 16
(C) 16
3
(D) 16
5
(E) 16
7
 06 Em um quadrilátero ABCD, os ângulos ABC e CDA são retos. 
Considere que sen BDC( ) e sen BCA( ) sejam as raízes da equação 
x² + bx + c = 0, em que b, c ∈ ℜ. Qual a verdadeira relação satisfeita 
por b e c?
(A) b2 + 2c2 = 1.
(B) b4 + 2c² =b²c.
(C) b² + 2c = 1.
(D) b² − 2c² = 1.
(E) b² − 2c = 1.
 07 Sejam uma circunferência C com centro O e raio R, e uma reta r 
tangente a C no ponto T. Traça-se o diâmetro AB oblíquo a r. A projeção 
de AB sobre r é o segmento PQ. Sabendo que a razão entre OQ e o raio R 
é 7
2
, o ângulo, em radianos, entre AB e PQ é:
(A) ≠
4
.
(B) ≠
6
.
(C) 5
18
≠ .
(D) 
≠
3
.
(E) 
7
18
≠
.
 08 Seja SABCD uma pirâmide, cuja base é um quadri látero 
convexo ABCD. A aresta SD é a altura da pirâmide. Sabe-se que 
AB BC AD DC AC SA SB= = = = = + =5 2 2 7, , .e O volume da 
pirâmide é
(A) 5.
(B) 7.
(C) 11.
(D) 13.
(E) 17.
 09 Seja ƒ: ℜ → ℜ uma função real definida por ƒ(x) = x2 – πx. Sejam 
também a, b, c e d números reais tais que: a = sen– 1 
1
3





; b = tan– 1 
5
4





; 
c = cos– 1 −






1
3 e d = cotg
– 1 −






5
4 . A relação de ordem, no conjunto 
dos reais, entre as imagens ƒ(a), ƒ(b), ƒ(c) e ƒ(d) é:
Apostilas de provas IME/ITA
IME – Matemática: Provas objetivas
10 Apostila de provas IME/ITA
(A) ƒ(b) > ƒ(a) > ƒ(d) > ƒ(c)
(B) ƒ(d) > ƒ(a) > ƒ(c) > ƒ(b)
(C) ƒ(d) > ƒ(a) > ƒ(b) > ƒ(c)
(D) ƒ(a) > ƒ(d) > ƒ(b) > ƒ(c)
(E) ƒ(a) > ƒ(b) > ƒ(d) > ƒ(c)
 10 Sabe-se que o valor do sexto termo da expansão em binômio de Newton 
de 2
1
2
2
9 1 7
2
3 1 11
5
7
log
log
( )
( ( ) )
x
x
− +
− +
+







 é 84. O valor da soma dos possíveis 
valores de x é:
(A) 1.
(B) 2.
(C) 3.
(D) 4.
(E) 5.
 11 Para o número complexo z que descreve o lugar geométrico 
representado pela desigualdade |z − 26i| ≤ 10, sejam α1 e α2 os valores 
máximo e mínimo de seu argumento. O valor de |α1 − α2| é:
(A) π −






−tan 1
5
12
(B) 2
5
13
1⋅ 





−tan
(C) tan− 





1 5
13
(D) 2
5
12
1⋅ 





−tan
(E) 2
12
5
1⋅ 





−tan
 12 Em uma progressão aritmética crescente, a soma de três termos 
consecutivos é S1 e a soma de seus quadrados é S2. Sabe-se que os dois 
maiores desses três termos são raízes da equação x S x S2 1 2
1
2
0− + −




 = .
A razão desta PA é
(A) 1
6
(B) 
6
6
(C) 6
(D) 6
3
(E) 1
 13 Sabe-se que uma das raízes da equação y2 – 9y + 8 = 0 
pode ser representada pela expressão e x x x( ...) .sen sen sen
2 4 6 2+ + + ln 
Sendo 0 < x < 
≠
2
, o valor da razão 
cos
cos
x
x x+ sen
é:
(A) 3 1
2
−
.
(B) 3 1− .
(C) 3.
(D) 3 1
2
+
.
(E) 3 1+ .
Obs.: ln2 representa o logaritmo neperiano de 2.
 14 Sejam ƒ(x) = sen(logx) e g(x) = cos(logx) duas funções reais, nas 
quais logx representa o logaritmo decimal de x. O valor da expressão 
f x f y g
x
y
g x y( ) ( ) ( )⋅ −





 − ⋅






1
2
é:
(A) 4
(B) 3
(C) 2
(D) 1
(E) 0
 15 Em uma festa de aniversário estão presentes n famílias com pai, mãe 
e 2 filhos, além de 2 famílias com pai, mãe e 1 filho. Organiza-se uma 
brincadeira que envolve esforço físico, na qual uma equipe azul enfrentará 
uma equipe amarela. Para equilibrar a disputa, uma das equipes terá apenas 
o pai de uma das famílias, enquanto a outra equipe terá 2 pessoas de uma 
mesma família, não podendo incluir o pai. É permitido que o pai enfrente 2 
pessoas de sua própria família. Para que se tenha exatamente 2014 formas 
distintas de se organizar a brincadeira, o valor de n deverá ser:
(A) 17
(B) 18
(C) 19
(D) 20
(E) 21
Apostila de provas IME/ITA
IME – Matemática: Provas objetivas
11Apostila de provas IME/ITA
Prova 2012/2013
 01 Os polinômios P(x) = x3 + ax2 + 18 e Q(x) = x3 + bx + 12 possuem 
duas raízes comuns, Sabendo que a e b são números reais, pode-se afirmar 
que satisfazem a equação:
(A) a=b.
(B) 2a=b.
(C) a=2b.
(D) 2a=3b.
(E) 3a=2b.
 02 Assinale a alternativa que apresenta o mesmo valor da expressão 
[4cos² (9º) – 3][4cos² (27º) – 3]:
(A) sen (9º).
(B) tg (9º).
(C) cos (9º).
(D) sec (9º).
(E) cossec (9º).
 03 Considere a equação 23x 3
3
log (log x) 1.
x
+ = A soma dos quadrados 
das soluções reais dessa equação está contida no intervalo.
(A) [0, 5)
(B) [5, 10)
(C) [10, 15)
(D) [15, 20)
(E) [20, ∞)
 04 Considere as inequações abaixo:
I. a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
II. a3 + b3 ≥ a2b + ab2
III. (a2 – b2) ≥ (a – b)4
Esta(ão) correta(s), para quaisquer valores reais positivos de a, b e c, 
a(s) equação(ões):
(A) II apenas.
(B) I e II apenas.
(C) I e III apenas.
(D) II e III apenas.
(E) I, II e III.
 05 Considere o sistema de equações 



ax + by = c
px + qy = d
, com a, b, c, d, p e 
q reais, abcd ≠ 0, a + b = m e
d = nc. Sabe-se que o sistema é indeterminado. O valor de p + q é:
(A) m.
(B) 
m
n
.
(C) m2 − n2.
(D) mn.
(E) m + n.
 06 O coeficiente de x4 y4 no desenvolvimento de (1 + x + y)10 é:
(A) 3150
(B) 6300
(C) 75600
(D) 81900
(E) 151200
 07 Seja um triângulo ABC. AH é a altura relativa de BC, com H localizado 
entre B e C. Seja BM a mediana relativa de AC. Sabendo que BH = AM = 
4, a soma dos possíveis valores inteiros de BM é:
(A) 11.
(B) 13.
(C) 18.
(D) 21.
(E) 26.
 08 Seja ∆ o determinante da matriz 2 3
1 2 3
x x x .
x x 1
 
 
 
  
O número de possíveis 
valores de x reais que anulam ∆ é:
(A) 0.
(B) 1.
(C) 2.
(D) 3.
(E) 4.
 09 Seja o número complexo 2(1 )
a
z
ib ib
=
+
, em que a e b são números 
reais positivos e – 1i = . Sabendo que o módulo e o argumento de z 
valem, respectivamente, 1 e (– π) rd, o valor de a é:
(A) 1/4.
(B) 1/2.
(C) 1.
(D) 2.
(E) 4.
 10 Entre os números 3 e 192 insere-se igual número de termos de uma 
pregressão aritimética e de uma progressão geométrica com razão r e 
q, repectivamente, em que r e q são números inteiros . O número 3 e o 
número 192 participam destas duas progressões. Sabe-se que o terceiro 
termo de 
 
+ 
 
8
1
1
q
, em potências crescentes de 
1
q
, é 
9
r
q
. O segundo 
termo da progressão aritimética é:
(A) 12.
(B) 48.
(C) 66.
(E)129.
(D)99.
Apostilas de provas IME/ITA
IME – Matemática: Provas objetivas
12 Apostila de provas IME/ITA
 11 Um menino, na cidade do Rio de janeiro, lança uma moeda. Ele andará 
1 m para leste se o resultado for cara ou 1 m para oeste se o resultado 
for coroa. A probabilidade deste menino estar a 5 m de distância de sua 
posição inicial, após 9 lançamentos da moeda, é:
(A) 
6
9
2
(B) 
6
35
2
(C) 
2
9!
(D) 
9
35
2
(E) 
9
9!
2
 12 Considere uma haste AB de comprimento 10 m. Seja um ponto P 
localizado nesta haste a 7 m da extremidade A. A posição inicial desta haste 
é horizontal sobre o semieixo x positivo, com a extremidade A localizada na 
origem do plano cartesiano. A haste se desloca de forma que a extremidade 
A percorra o eixo y, no sentido positivo, e a extremidade B percorra o eixo 
x, no sentido negativo, até que a extemidade B esteja sobre a origem do 
plano cartesiano. A equação do lugar geométrico, no primeiro quadrante, 
traçado pelo ponto P ao ocorrer o deslocamento descrito é:
(A) 49x2 + 9y2 – 280x + 120y – 441 = 0
(B) 49x2 – 406x – 49y2 + 441 = 0
(C) 9x2 + 49y2 – 441 = 0
(D) 9x2 + 9y2 + 120 – 441 = 0
(E) 9x2 – 49y2 – 441 = 0
 13 Considere uma pirâmide regular de base hexagonal e altura h. Uma 
esfera de raio R está inscrita nesta pirâmide. O volume desta pirâmide é:
(A) 
−
22 3
3 2
h R h
h R
.
(B) 
+
23
3 2
h R h
h R
.
(C) 
+
22 3
3 2
h R h
h R
.
(D) 
−
23
3 2
h R h
h R
.
(E) −
22 3
3
h R h
h R .
 14 Considere a figura abaixo formada por arcos de circunferência 
tangentes cujos centros formam um pentágono regular inscritível em uma 
circunferência de raio R. O perímetro da figura é:
(A) 7 10 2 5
2
−
Rπ .
(B) 7 10 2 5
4
+
Rπ .
(C) 
7
10 2 5
2
+
Rπ
.
(D) 7 10 2 5
4
+
Rπ .
(E) 
7
10 2 5
4
−
Rπ
.
 15 Considere os conjuntos A, B, C e D, não vazios, contidos no mesmo 
conjunto universo U. A simbologia F representa o complemento de um 
conjunto F em relação ao conjunto U. Assinale a opção correta:
(A) Se A ∩ D ⊂ C e B ∩ D ⊂ C então A ∩ B ⊂ C
(B) ( ) ( ) ( ) ( ) ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ = ∩ A B C A B C A B C A B
(C) ( ) ( ) ( ) ( )∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ = ∩ ∩A B C A B C A B C A B C
(D) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B C A B C A B C A B B C A C∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ = ∩ ∪ ∩ ∪ ∩
(E) Se A ⊂ C e B ⊂ C então ∪ ⊂A B C
Apostila de provas IME/ITA
IME – Matemática: Provas objetivas
13Apostila de provas IME/ITA
Prova 2011/2012
 01 As dimensões dos lados de um paralelepípedo reto retângulo, em 
metros, valem a, b e c. Sabe-se que a, b e c são raízes da equação 6x3 
– 5x2 + 2x – 3 = 0. Determine, em metros, o comprimento da diagonal 
deste paralelepípedo.
(A) 
1
.
6
(B) 1.
3(C) 1.
2
(D) 2 .
3(E) 1.
 02 São dadas as matrizes quadradas inversíveis A, B e C, de ordem 3. 
Sabe-se que o determinante de C vale (4 – x ), em que x é um número 
real, o determinante da matriz inversa de B vale 
1
3
− e que (CAt)t = P-1BP, 
em que P é uma matriz inversível. Sabendo que 
0 0 1
A 3 x 0 ,
1 0 0
 
 = 
 
 
 , determine 
os possiveis valores de x:
Obs.: (M)t é a matriz transposta de M.
(A) – 1 e 3.
(B) 1 e – 3.
(C) 2 e 3.
(D) 1 e 3.
(E) – 2 e – 3.
 03 São dados os ponto P0 e P1 distantes 1 cm entre si. A partir destes 
dois pontos são obtidos os demais pontos Pn, para todo n inteiro maior 
do que um, de forma que:
– o segmento PnP(n–1) é 1 cm maior do que o segmento P(n–1)P(n–2); e
– o segmento PnP(n–1) é perpendicular a P0P(n–1).
Determine o comprimento do segmento P0P24.
(A) 48.
(B) 60.
(C) 70.
(D) 80.
(E) 90.
 04 Seja arcsenx + arcseny + arcsenz = 
3
2π
, em que x, y e z são 
números reais pertencentes ao intervalo [– 1, 1]. Determine o valor de 
x100 + y100 + z100 – 101 101 101
9
x y z+ +
.
(A) – 2.
(B) – 1.
(C) 0.
(D) 1.
(E) 2.
 05 Em um aeroporto existem 12 vagas numeradas de 1 a 12, conforme 
a figura. Um piloto estacionou sua aeronave em uma vaga que não se 
encontrava nas extremidades, isto é, distintas da vaga 1 e da vaga 12. 
Após estacionar, o piloto observou que exatamente 8 das 12 vagas estavam 
ocupadas, incluindo a vaga na qual sua aeronave estacionou. Determine a 
probabilidade de que ambas as vagas vizinhas a sua aeronave estejam vazias.
1 2 3 ... 10 11 12
(A) 
1
55
.
(B) 
2
55
.
(C) 
3
55
.
(D) 4
55
.
(E) 6
55
.
 06 As raízes cúbicas da unidade, no conjunto dos números complexos, 
são representadas por 1, w e w2, em que w é um número complexo. O 
intervalo que contém o valor de (1 – w )6 é:
(A) (– ∞,– 30].
(B) (– 30,– 10].
(C) (– 10, 10].
(D) (10,30].
(E) (30,∞).
 07 Uma pirâmide regular possui como base um dodecágono de aresta a. 
As faces laterais fazem um ângulo de 15° com o plano da base. Determine 
o volume desta pirâmide em função de a.
(A) 
3a 3 2
2 2 3
+
−
.
(B) 
3 3 2a
2 2 3
−
+
.
(C) 3
3 2
a
2 3
+
−
.
(D) 
3 3 2a
2 3
−
+
(E) 3 2 3a
3 2
−
+
Apostilas de provas IME/ITA
IME – Matemática: Provas objetivas
14 Apostila de provas IME/ITA
 08 Os triângulos ABC e DEF são equiláteros com lados iguais a m. A área 
da figura FHCG é igual à metade da área da figura ABHFG. Determine a 
equação da elipse de centro na origem e eixos formados pelos segmentos 
FC e GH.
(A) 48x² + 36y² – 2 m² = 0.
(B) 8x² + 16y² – 3 m² = 0.
(C) 16x² + 48y² – 3m² = 0.
(D) 8x² + 24y² – m² = 0.
(E) 16x² – 24y² – m² = 0.
 09 O valor de y = sen70° cos50° + sen260° cos280° é:
(A) 3.
(B) 3
2
.
(C) 3
3
. 
(D) 3
4
.
(E) 3
5
.
 10 A equação da reta tangente à curva de equação x2 + 4y2 – 100 = 0 
no ponto P(8,3) é:
(A) 2x + 3y – 25 = 0.
(B) x + y – 11 = 0.
(C) 3x – 2y – 18 = 0.
(D) x + 2y – 14 = 0.
(E) 3x + 2y – 30 = 0.
 11 Considere o polinômio 5x3 – 3x2 – 60x + 36 = 0. Sabendo que ele 
admite uma solução da forma n , em que n é um número natural, pode 
se afirmar que:
(A) 1 ≤ n < 5.
(B) 6 ≤ n < 10.
(C) 10 ≤ n < 15.
(D) 15 ≤ n < 20.
(E) 20 ≤ n < 30.
 12 Se log102 = x e log103 = y, então log518 vale:
(A) x 2y
1 x
+
−
(B) x y
1 x
+
−
(C) 
2x y
1 x
+
+
(D) x 2y
1 x
+
+
(E) 3x 2y
1 x
+
−
 13 Seja a, b e c números reais e distintos. Ao simplificar a função real, de 
variável real, f(x) = 2 2 2
(x b)(x c) (x c)(x a) (x a)a(x b)
a b c ,
(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b)
− − − − − −
+ +
− − − − − −
obtém-se f(x) igual a:
(A) x2 – (a + b + c) x + abc.
(B) x2 + x – abc.
(C) x2.
(D) – x2.
(E) x2 – x + abc.
 14 Um curso oferece as disciplinas A, B, C e D. Foram feitas as matrículas 
dos alunos da seguinte forma:
• 6 alunos se matricularam na disciplina A;
• 5 alunos se matricularam na disciplina B;
• 5 alunos se matricularam na disciplina C; e
• 4 alunos se matricularam na disciplina D.
Sabe-se que cada aluno se matriculou em, no mínimo, 3 disciplinas. 
Determine a quantidade mínima de alunos que se matricularam nas 4 
disciplinas.
(A) 0.
(B) 1.
(C) 2.
(D) 3.
(E) 4.
 15 Seja F o conjunto cujos elementos são os valores de n!, em que n é um 
número natural. Se G é subconjunto de F que NÃO CONTÉM elementos que 
são múltiplos de 27.209, determine o número de elementos do conjunto G.
(A) 6.
(B) 12.
(C) 15.
(D) 22.
(E) 25.
Apostila de provas IME/ITA
IME – Matemática: Provas objetivas
15Apostila de provas IME/ITA
Prova 2010/2011
 01 Seja o triângulo retângulo ABC com os catetos medindo 3 cm e 4 cm. 
Os diâmetros dos três semicírculos, traçados na figura abaixo, coincidem 
com os lados do triângulo ABC. A soma das áreas hachuradas, em cm2, é:
(A) 6.
(B) 8.
(C) 10.
(D) 12.
(E) 14.
 02 O valor de x que satisfaz a equação sen(arccotg(1 + x)) = 
cos(arctg(x)) é:
(A) 3/2.
(B) 1/2.
(C) 1/4.
(D) – 1/2.
(E) – 3/2.
 03 A base de uma pirâmide é um retângulo de área S. Sabe-se que duas de 
suas faces laterais são perpendiculares ao plano da base. As outras duas 
faces formam ângulos de 30° e 60° com a base. O volume da pirâmide é:
(A) 
3
S S
(B) 
6
S S
(C) 2
3
S S
(D) 2
5
S S
(E) 
22
3
S
 04 Sejam x1, ..., xn os n primeiros termos de uma progressão aritmética. 
O primeiro termo e a razão desta progressão são os números reais x1 e r, 
respectivamente. O determinante 
1 1 1 1
1 2 2 2
1 2 3 3
1 2 3
...
...
...
... n
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
    
 é:
(A) 1 .
n nx r .
(B) 1 .
nx r .
(C) 1
1 .
n nx r − .
(D) x1.r
n.
(E) x1.r
n–1.
 05 Uma reta, com coeficiente angular a1, passa pelo ponto (0,–1). Uma 
outra reta, com coeficiente angular a2, passa pelo ponto (0,1). Sabe-se 
que 2 21 2 2.a a+ = O lugar geométrico percorrido pelo ponto de interseção 
das duas retas é uma:
(A) hipérbole de centro (0,0) e retas diretrizes 
2
.
2
y = ±
(B) circunferência de centro (a1,a2) e raio 
2 2
1 2a a+
(C) hipérbole de centro (0,0) e retas diretrizes 2 .
2
x = ±
(D) elipse de centro (0,0) e retas diretrizes 
2
.
2
x = ±
(E) elipse de centro (a1,a2) e retas diretrizes 
2
.
2
y = ±
 06 O valor de y real positivo na equação 
5 7log log(5 ) – (7 ) 0,x xy y = em 
que x é um número real maior do que 1 é:
(A) 70.
(B) 35.
(C) 1.
(D) 1/35.
(E) 1/70.
 07 O pipoqueiro cobra o valor de R$ 1,00 por saco de pipoca. Ele começa 
seu trabalho sem qualquer dinheiro para troco. Existem oito pessoas na fila 
do pipoqueiro, das quais quatro têm uma moeda de R$ 1,00 e quatro uma 
nota de R$ 2,00. Supondo uma arrumação aleatória para a fila formada 
pelas oito pessoas e que cada uma comprará exatamente um saco de 
pipoca, a probabilidade de que o pipoqueiro tenha troco para as quatro 
pessoas que pagarão com a nota de R$ 2,00 é:
(A) 1/8.
(B) 1/5.
(C) 1/4.
(D) 1/3.
(E) 1/2.
 08 O valor de 2 4 6 1cos cos cos
7 7 7 2
π π π
+ + + é:
(A) – 1.
(B) – 0,5
(C) 0.
(D) 0,5.
(E) 1.
 09 Sejam x e y números reais. Assinale a alternativa correta:
(A) Todo x e y satisfaz 2 22x y x y+ ≤ +
(B) Existe x e y que não satisfaz |x+y| ≤ ||x| + |y||
(C) Todo x e y satisfaz 2 22x y x y+ ≤ +
(D) Todo x e y satisfaz |x – y| ≤ |x + y|
(E) Não existe x e y que não satisfaz 2 23x y x y+ ≤ +
Apostilas de provas IME/ITA
IME – Matemática: Provas objetivas
16 Apostila de provas IME/ITA
 10 Em relação à teoria dos conjuntos, considere as seguintes afirmativas 
relacionadas aos conjuntos A, B e C:
I. Se A ∈ B e B ⊆ C,então A ∈ C.
II. Se A ⊆ B e B ∈ C,então A ∈ C.
III. Se A ⊆ B e B ∈ C,então A ⊆ C.
Está(ão) correta(s):
(A) nenhuma das alternativas.
(B) somente a alternativa I.
(C) somente as alternativas I e II.
(D) somente as alternativas II e III.
(E) todas as alternativas.
 11 Seja p(x) uma função polinomial satisfazendo a relação 
1 1
( ) ( ) .p x p p x p
x x
   = +   
   
Sabendo que p(3) = 28, o valor de p(4) é:
(A) 10.
(B) 30.
(C) 45.
(D) 55.
(E) 65.
 12 Uma progressão aritmética {an}, em que ∈ IN*, tem a1>0 e 3a8 = 
5a13. Se Sn é a soma dos n primeiros termos desta progressão, o valor de 
n para que Sn seja máxima é:
(A) 10.
(B) 11.
(C) 19.
(D) 20.
(E) 21.
 13 Um trem conduzindo 4 homens e 6 mulheres passa por seis estações. 
Sabe-se que cada um destes passageiros irá desembarcar em qualquer 
uma das seis estações e que não existe distinção dentre os passageiros 
de mesmo sexo. O número de possibilidades distintas de desembarque 
destes passageiros é:
(A) 1.287.
(B) 14.112.
(C) 44.200.
(D) 58.212.
(E) 62.822.
 14 Considere o sistema de equações lineares representado abaixo:
1 3 0 2 1 0 13
0 2 0 3 0 0 11
1 5 0 0 0 0 7
3 1 2 0 0 0 9
4 0 0 0 0 0 8
2 0 0 1 0 2 13
a
b
c
x
d
e
f
     
     
     
     
=     
     
     
          
     
Os valores de a e d são, respectivamente:
(A) 1 e 2.
(B) 2 e 3..
(C) 3 e 2
(D) 2 e 2..
(E) 3 e 1
 15 Seja f(x) = a senx + b 3 x + 4, em que a eb são números 
reais diferentes de zero. Sabendo que f(log10(log310)) = 5, o valor de 
f(log10(log103)) é:
(A) 5.
(B) 3.
(C) 0.
(D) – 3.
(E) – 5.
Apostila de provas IME/ITA
IME – Matemática: Provas objetivas
17Apostila de provas IME/ITA
Prova 2009/2010
 01 Sejam r, s, t e v números inteiros positivos tais que .
r t
s v
< Considere 
as seguintes relações:
I. ( ) ( )r s t v
s v
+ +
<
II. 
( ) ( )
r t
r s t v
<
+ +
III. ( )
( )
r r t
s s v
+
<
+
IV. ( ) ( )r t r t
s v
+ +
<
O número total de relações que estão corretas é:
(A) 0.
(B) 1.
(C) 2.
(D) 3.
(E) 4.
 02 Considere o determinante de uma matriz de ordem n definido por:
1 1 1 1 ... 1 1
1 3 0 0 ... 0 0
0 1 3 0 ... 0 0
0 0 1 3 ... 0 0
... ... ... ... ... ... ...
0 0 0 0 ... 3 0
0 0 0 0 ... 1 3
n
−
−
∆ = −
−
Sabendo que Δ1 = 1, o valor de Δ10 é:
(A) 59.049.
(B) 48.725.
(C) 29.524.
(D) 9.841.
(E) 364.
 03 O valor da expressão 2 2
1 1
arccos
1 1
y sen arcsen
a a
    = +    − −    
 
em que a é um número real e a ∈(– 1, 0), é:
(A) – 1.
(B) 0.
(C) 1
2
.
(D) 3
2
.
(E) 1.
 04 Seja ABC um triângulo de lados AB, BC e AC iguais a 26, 28 e 18, 
respectivamente. Considere o círculo de centro O inscrito nesse triângulo. 
A distância AO vale:
(A) 104
6
.
(B) 104
3
.
(C) 2 104
3
.
(D) 104 .
(E) 3 104 .
 05 Considere o sistema 3 2 2 3 2 2
5
2 2 6
xy x y
x y x y x y xy
+ − =
 − − + =
, em que x e y 
são números inteiros. O valor de x3 + y2 + x2 + y é:
(A) 14.
(B) 18.
(C) 20.
(D) 32.
(E) 38.
 06 Seja S = 12 + 32 + 52 + 72+ ....+ 792. O valor de S satisfaz:
(A) S < 7x104. 
(B) 7x104 ≤ S < 8x104. 
(C) 8x104 ≤ S < 9x104. 
(D) 9x104 ≤ S <105.
(E) S ≥ 105.
 07 Seja o polinômio p(x) = x3+ (ln a) x +eb, em que a e b são números reais 
positivos diferentes de zero. A soma dos cubos das raízes de p(x) depende
(A) apenas de a, e é positiva.
(B) de a e b, e é negativa.
(C) apenas de b, e é positiva.
(D) apenas de b, e é negativa.
(E) de a e b, e é positiva.
Obs.: e representa a base do logaritmo neperiano e ln a função logaritmo 
neperiano.
 08 A quantidade k de números naturais positivos, menores do que 1000, 
que não são divisíveis por 6 ou 8, satisfaz a condição:
(A) k < 720.
(B) 720 ≤ k < 750.
(C) 750 ≤ k < 780.
(D) 780 ≤ k < 810.
(E) k ≥ 810.
Apostilas de provas IME/ITA
IME – Matemática: Provas objetivas
18 Apostila de provas IME/ITA
 09 Uma hipérbole de excentricidade 2 tem centro na origem e passa 
pelo ponto ( 5 ,1). A equação de uma reta tangente a esta hipérbole e 
paralela a y = 2x é:
(A) 3 y = 2 3 x + 6.
(B) y = –2x + 3 3 .
(C) 3y = 6x + 2 3 .
(D) 3 y = 2 3 x + 4.
(E) y = 2x + 3 .
 10 Sejam as funções f: R → R, g: R → R, h: R → R. A alternativa que 
apresenta a condição necessária para que se f(g(x)) = f(h(x)), então 
g(x)=h(x) é:
(A) f(x) = x.
(B) f(f(x)) = f(x).
(C) f é bijetora.
(D) f é sobrejetora.
(E) f é injetora.
 11 Considere o sistema abaixo, em que x1, x2, x3 e Z pertencem ao conjunto 
dos números complexos.
( )
( )
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 0
2
2 2 0
i x ix ix
ix x x Z
i x ix ix
 + − + =
 − − =
 − + − =
O argumento de Z, em graus, para que x3 seja um número real positivo é:
(A) 0°.
(B) 45°.
(C) 90°.
(D) 135°.
(E) 180°.
Obs.: i = 1−
 12 Seja f(x) – |3 − log(x)|, x ∈R. Sendo n um número inteiro positivo, a 
desigualdade 
3
1
( ) 2 ( ) 4 ( ) 2 ( ) 9
... ...
4 12 36 3 4
n
n
f x f x f x f x−
−+ + + + + ≤ somente 
é possível se:
(A) 0 ≤ x ≤ 106.
(B) 10-6 ≤ x ≤ 108.
(C) 103 ≤ x ≤ 106.
(D) 100 ≤ x ≤ 106.
(E) 10-6 ≤ x ≤ 106.
Obs.: log representa a função logarítmica na base 10.
 13 Sejam ABC um triângulo equilátero de lado 2 cm e r uma reta situada 
no seu plano, distante 3 cm do seu baricentro. Calcule a área da superfície 
gerada pela rotação deste triângulo em torno da reta r.
(A) 8π cm2.
(B) 9π cm2.
(C) 12π cm2.
(D) 16π cm2.
(E) 36π cm2.
 14 Seja M um ponto de uma elipse com centro O e focos F e F’. A reta r 
é tangente à elipse no ponto M e s é uma reta, que passa por O, paralela 
a r. As retas suportes dos raios vetores MF e MF’ interceptam a reta s 
em H e H’, respectivamente. Sabendo que o segmento FH mede 2 cm, o 
comprimento F’H’ é:
(A) 0,5 cm.
(B) 1,0 cm.
(C) 1,5 cm.
(D) 2,0 cm.
(E) 3,0 cm.
 15 
Cada um dos quatro quadrados menores da figura acima é pintado 
aleatoriamente de verde, azul, amarelo ou vermelho. Qual é a probabilidade 
de que ao menos dois quadrados, que possuam um lado em comum, 
sejam pintados da mesma cor?
(A) 1
2
.
(B) 5
8
.
(C) 7
16
.
(D) 23
32
.
(E) 43
64
.
Apostila de provas IME/ITA
IME – Matemática: Provas objetivas
19Apostila de provas IME/ITA
Prova 2008/2009
 01 Sejam dois conjuntos, X e Y, e a operação ∆, definida por 
X ∆ Y = (X – Y) ∪ (Y – X). Pode-se afirmar que:
(A) (X ∆ Y) ∩ (X ∩ Y) = Ø
(B) (X ∆ Y) ∩ (X – Y) = Ø
(C) (X ∆ Y) ∩ (Y – X) = Ø
(D) (X ∆ Y) ∪ (X – Y) = X
(E) (X ∆ Y) ∪ (Y – X) = X
 02 Seja z = ρ · eiθ um número complexo em que ρ e θ são, respectivamente, 
o módulo e o argumento de z e i é a unidade imaginária. Sabe-se que 
ρ = 2acosθ, em que a é uma constante real positiva. A representação de 
z no plano complexo é:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
 03 Seja A uma matriz quadrada inversível de ordem 4 tal que o resultado da 
soma (A4 + 3A3) é uma matriz de elementos nulos. O valor do determinante 
de A é:
(A) – 81. (D) 27.
(B) – 27. (E) 81.
(C) – 3.
 04 Seja log 5 = m, log 2 = p e N = 3
5
1562,5
125 .
2
 O valor de log5N, em 
função de m e p, é:
(A) 75 6
15
m p
m
+ .
(B) 70 6
15
m p
m
− .
(C) 75 6
15
m p
m
− .
(D) 70 6
15
m p
m
+ .
(E) 70 6
15
m p
p
+ .
 05 Sabe-se que y = 
( )2
cos2
sen
2 2
2 1 4
x
x
+
+
, ∀ x ∈ ¡. Uma outra expressão para y é:
(A) 2.
(B) 
2sen2 x− .
(C) 
22sen2 x− .
(D) 
2cos2 x− .
(E) 
22cos2 x− .
 06 Um triângulo ABC apresenta lados a, b e c. Sabendo que B e C são, 
respectivamente, os ângulos opostos aos lado b e c, o valor de 


tg
tg
B
C
 é:
(A) 
2 2 2
2 2 2
·
a b c c
ba b c
− +
+ −
.
(B) 
2 2 2
2 2 2
a b c
a b c
+ −
− +
.
(C) 
2 2 2
2 2 2
a b c
a b c
− +
+ −
.
(D) 
2 2 2
2 2 2
·
a b c c
ba b c
+ −
− +
.
(E) b
c
.
 07 Os centros das faces de um tetraedro regular são os vértices de um 
tetraedro interno. Se a razão entre os volumes dos tetraedros interno e 
original vale m/n, em que m e n são inteiros positivos primos entre si, o 
valor de m + n é:
Apostilas de provas IME/ITA
IME – Matemática: Provas objetivas
20 Apostila de provas IME/ITA
(A) 20.
(B) 24.
(C) 28.
(D) 30.
(E) 32.
 08 Os raios dos círculos circunscritos aos triângulos ABD e ACD de um 
losango ABCD são, respectivamente, 25/2 e 25. A área do losango ABCD 
é:
(A) 100.
(B) 200.
(C) 300.
(D) 400.
(E) 500.
 09 Seja A(a, b) o ponto da cônica x2 – y2 = 27 mais próximo da reta 
4x – 2y + 3 = 0. O valor de a + b é:
(A) 9.
(B) 4.
(C) 0.
(D) –4.
(E) –9.
 10 Seja o sistema de equações lineares dadas por 
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
6 10
6 20
.6 40
6 80
6 160
y y y y y
y y y y y
y y y y y
y y y y y
y y y y y
+ + + + =
 + + + + = + + + + =
 + + + + =
 + + + + =
O valor de 7y1 + 3y5 é:
(A) 12.
(B) 24.
(C) 36.
(D) 48.
(E) 60.
 11 Uma urna contém cinco bolas numeradas de 1 a 5. Retiram-se, com 
reposição, 3 bolas desta urna, sendo α o número da primeira bola, β o da 
segunda e λ o da terceira. Dada a equação quadrática αx2 + βx + λ = 0, 
a alternativa que expressa a probabilidade de as raízes desta equação serem 
reais é:
(A) 19
125
.
(B) 23
60
.
(C) 26
125
.
(D) 26
60
.
(E) 25
60
.
 12 É dada uma PA de razão r. Sabe-se que o quadrado de qualquer número 
par x, x > 2, pode ser expresso como a soma dos n primeiros termos 
desta PA, em que n é igual à metade de x. O valor de r é:
(A) 2.
(B) 4.
(C) 8.
(D) 10.
(E) 16.
 13 Se as curvas y = x2 + ax + b e x = y2 + cy + d se interceptam em 
quatro pontos distintos, a soma das ordenadas destes quatro pontos:
(A) depende apenas do valor de c.
(B) depende apenas do valor de a.
(C) depende apenasdos valores de a e c.
(D) depende apenas dos valores de a e b.
(E) depende dos valores de a, b, c e d.
 14 O par ordenado (x, y), com x e y inteiros positivos, satisfaz a equação 
5x2 + 2y2 = 11 (xy – 11). O valor de x + y é:
(A) 160.
(B) 122.
(C) 81.
(D) 41.
(E) 11.
 15 Sejam f uma função bijetora de uma variável real, definida para todo 
conjunto dos números reais e as relações h e g, definidas por:
h: 2 → 2: (x, y) → (x2, x – f(y)) e g: 2 → 2: (x, y) → (x3, x – f(y))
Pode-se afirmar que:
(A) h e g são sobrejetoras.
(B) h é injetora e g, sobrejetora.
(C) h e g não são bijetoras.
(D) h e g não são sobrejetoras.
(E) h não é injetora e g é bijetora.
Apostila de provas IME/ITA
IME – Matemática: Provas objetivas
21Apostila de provas IME/ITA
Prova 2007/2008
 01 De quantas maneiras n bolas idênticas podem ser distribuídas em três 
cestos de cores verde, amarelo e azul?
(A) 2
2
n + 
 
 
.
(B) 
3
n 
 
 
.
(C) !
3!
n .
(D) (n – 3)!.
(E) 3n.
 02 Um plano corta um cubo com aresta de comprimento 1 passando pelo 
ponto médio de três arestas concorrentes no vértice A e formando uma 
pirâmide, conforme a figura a seguir. Este processo é repetido para todos 
os vértices. As pirâmides obtidas são agrupadas formando um octaedro 
cuja área da superfície externa é igual a:
(A) 3
2
.
(B) 3 .
(C) 1.
(D) 2.
(E) 2 2 .
 03 Na figura seguinte ABCD é um quadrado de lado 1 e BCE é um triângulo 
equilátero. O valor de tg
2
α 
 
 
 é igual a:
(A) 31
2
− .
(B) 
6
2
2
− .
(C) 31
3
− .
(D) 
2
1
5
− .
(E) 31
5
− .
 04 Assinale a opção correspondente ao valor da soma das raízes reais 
da equação:
2
log log log
log6 log3 cos 0
1 1 log
x x x
x x x
x
=
(A) 1,0.
(B) π.
(C) 10,0.
(D) 11,0.
(E) 11,1.
 05 Assinale a opção correspondente ao valor da soma das raízes da 
equação: y3/2 + 5y + 2y1/2 = 0 .
(A) 5.
(B) 2.
(C) 21.
(D) 51/2.
(E) 0,5.
 06 Uma série de Fibonacci é uma sequência de valores definida da 
seguinte maneira:
– Os dois primeiros termos são iguais à unidade, ou seja, T1 = T2 = 1
– Cada termo, a partir do terceiro, é igual à soma dos dois termos 
anteriores, isto é: TN = TN – 2 + TN – 1
Se T18 = 2.584 e T21 = 10.946, então T22 é igual a:
(A) 12.225.
(B) 13.530.
(C) 17.711.
(D) 20.412.
(E) 22.121.
 07 Assinale a opção correspondente ao valor de m que faz com que a 
equação (1+m)s3 + 6s2 + 5s + 1 = 0 possua raízes no eixo imaginário. 
(A) 0.
(B) 6.
(C) 14.
(D) 29.
(E) 41.
 08 Assinale a opção correspondente ao número de possíveis valores 
de α ∈ [0, 2π) tais que o lugar geométrico representado pela equação 
3x2 + 4y2 – 16y – 12x + tgα + 27 = 0 seja um único ponto. 
(A) Nenhum valor.
(B) Apenas 1 valor.
(C) 2 valores.
(D)4 valores.
(E)Um número infinito de valores.
Apostilas de provas IME/ITA
IME – Matemática: Provas objetivas
22 Apostila de provas IME/ITA
 09 Sendo o ponto A(8, – 2) um vér tice de um losango ABCD e 
2x + y + 1 = 0 a reta que contém os vértices B e D, assinale a opção 
correspondente ao vértice C.
(A) (–2 , –8).
(B) (0 , – 4).
(C) (4, 3).
(D) (–4 , –8).
(E) (–1, 7).
 10 Sejam L, D e U matrizes quadradas de ordem n cujos elementos da 
i-ésima linha e j-ésima coluna Ii,j , di,j e ui,j, respectivamente, são dados por:
2
, , ,
21 , para , para , para 
, e ·
0, para 0, para 0, para 
i j i j i j
ii i i ji j i j
l d u i ji j i
i j i ji j
 + ≤≥ =  = = = +  
  ≠ ><  
O valor do determinante de A = LDU é igual a:
(A) 0.
(B) 1.
(C) n.
(D) n + 1.
(E) 1n
n
+ .
 11 Assinale a opção correspondente aos valores de k para os quais o 
sistema de equações dado por:
,
x y x ye e e
x y k
+ + =

+ =
admite solução real.
(A) 0 ≤ k ≤ 2.
(B) 0 ≤ k ≤ ln 2.
(C) k ≥ e–2.
(D) k > ln 4.
(E) 0 ≤ k ≤ 1.
 12 A soma dos números inteiros positivos de quatro algarismos que 
admitem 3, 5 e 7 como fatores primos é:
(A) 11.025.
(B) 90.300.
(C) 470.005.
(D) 474.075.
(E) 475.105.
 13 Seja x um número real ou complexo para o qual 
1
1x
x
 + = 
 
. O valor 
de 6
6
1
x
x
 + 
 
é:
(A) 1.
(B) 2.
(C) 3.
(D) 4.
(E) 5.
 14 Sejam 1( ) , ( ) e ( ) ( ( )).
x x
x
x x
e e
f x g x e h x g f x
e e
−
−
−
−
= = =
+
 Se os valores 
da base e da altura de um triângulo são definidos por h(0,5) e h(0,75) 
respectivamente, a área desse triângulo é igual a: 
(A) 
2
e .
(B) 7
2
.
(C) 21
2
.
(D) 10 .
(E) e.
 15 Seja ai um dos termos da progressão geométrica com oito elementos 
1 1
2, 1, , ,...
2 4
 
 
 
, e S = log2a1 + log2a2 + ... + log2a8.
Se 
5
S
b =
−
 e f(x) = |x + 2b| + |2x – b|, o valor de f(1) será:
(A) −7. 
(B) 7.
(C) 11.
(D) −11.
(E) 1.
Apostila de provas IME/ITA
IME – Matemática: Provas objetivas
23Apostila de provas IME/ITA
Prova 2006/2007
 01 Sejam z e w números complexos tais que:
2 2 4 12
2 4
w z i
z w i
 − = +

− = +
em que z– e w– representam, respectivamente, os números complexos 
conjugados de z e w. O valor de z + w é:
(A) 1− i.
(B) 2 + i. 
(C) −1 + 2i.
(D) 2 − 2i.
(E) −2 + 2i.
 02 Seja N um número inteiro de 5 algarismos. O número P é construído 
agregando-se o algarismo 1 à direita de N e o número Q é construído 
agregando-se o algarismo 1 à esquerda de N. Sabendo-se que P é o triplo 
de Q, o algarismo das centenas do número N é:
(A) 0.
(B) 2.
(C) 4.
(D) 6.
(E) 8.
 03 Um quadrado de lado igual a um metro é dividido em quatro quadrados 
idênticos. Repete-se esta divisão com os quadrados obtidos e assim 
sucessivamente por n vezes. A figura abaixo ilustra as quatro primeiras 
etapas desse processo. Quando n → ∞, a soma em metros dos perímetros 
dos quadrados hachurados em todas as etapas é:
(A) 4.
(B) 6.
(C) 8.
(D) 10.
(E) 12.
 04 Se r1 e r2 são raízes reais distintas de x
2 + px + 8 = 0, é correto 
afirmar que:
(A) |r1 + r2|>4 2 .
(B) |r1 + r2|< 2 .
(C) |r1|≥ 2 e |r2|≥ 2.
(D) |r1|≥ 3 e |r2|≤ 1.
(E) |r1|< 1 e |r2|< 2.
 05 Considere o sistema de equações dado por:
1
2
3
2
2 3
5
x y z b
x y z b
x y az b
+ + =
 − + =
 − + =
Sendo b1, b2 e b3 valores reais quaisquer, a condição para que o sistema 
possua solução única é: 
(A) a = 0.
(B) a ≠ 2.
(C) a ≠ 8.
(D) a ≠ b1 + b2 – b3.
(E) a = 2b1 – b2 + 3b3.
 06 Seja f : ¡ → ¡, em que ¡ é o conjunto dos números reais, tal que:
(4) 5
( 4) ( )· (4)
f
f x f x f
=
 + =
O valor de f(–4) é:
(A) – 4/5.
(B) – 1/4.
(C) – 1/5.
(D) 1/5.
(E) 4/5.
 07 Um grupo de nove pessoas, sendo duas delas irmãos, deverá formar 
três equipes, com respectivamente dois, três e quatro integrantes. Sabendo 
que os dois irmãos não podem ficar na mesma equipe, o número de equipes 
que podem ser organizadas é:
(A) 288.
(B) 455.
(C) 480.
(D) 910.
(E) 960.
 08 Seja a matriz D dada por:
  
1 1 1
sen( ) sen( ) sen( )
D p q r
P Q R
 
 
=  
 
 
Apostilas de provas IME/ITA
IME – Matemática: Provas objetivas
24 Apostila de provas IME/ITA
na qual p, q e r são lados de um triângulo cujos ângulos opostos são, 
respectivamente,   , e .P Q R O valor do determinante de D é: 
(A) −1.
(B) 0.
(C) 1.
(D) π.
(E) p + q + r.
 09 Sabendo que log 2 = 0,3010, log 3 = 0,4771 e log 5 = 0,6989, o 
menor número entre as alternativas abaixo é:
(A) 430.
(B) 924.
(C) 2540.
(D) 8120.
(E) 62515.
 10 Considere os conjuntos A = {(1,2),(1,3),(2,3)} e B = {1,2,3,4,5}, 
e seja a função f : A → B tal que:
f(x,y) = x + y
É possível afirmar que f é uma função:
(A) injetora.
(B) sobrejetora
(C) bijetora.
(D) par.
(E) ímpar.
 11 O volume do octaedro cujos vértices são os pontos médios das arestas 
de um tetraedro regular de volume V é:
(A) 
2
V .
(B) 
4
V .
(C) 
8
V .
(D) 
2
2
V .
(E) 3
2
V .
 12 Seja um p(x) = αx3 + βx2 + γx + δ um polinômio do terceiro 
grau cujas raízes são termos de uma progressão aritmética de razão 2. 
Sabendo que p(−1) = −1, p(0) = 0 e p(1) = 1, os valores de α e γ são, 
respectivamente: 
(A) 2 e −1.
(B) 3 e −2.
(C) −1 e 2.
(D) –1/3 e 4/3.
(E) 1/2 e 1/2.
 13 Seja p(x) = x5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f um polinômio com 
coeficientes inteiros. Sabe-seque as cinco raízes de p(x) são números 
inteiros positivos, sendo quatro deles pares e um ímpar. O número de 
coeficientes pares de p(x) é:
(A) 0.
(B) 1.
(C) 2.
(D) 3.
(E) 4.
 14 Considere uma circunferência C fixa de raio R. A partir de dois pontos 
A e B pertencentes a C, traçam-se retas tangentes a C que se interceptam 
num ponto P, tal que .PA PB k= = Sendo k um valor constante, o lugar 
geométrico de P é uma:
(A) reta.
(B) circunferência.
(C) parábola.
(D) hipérbole.
(E) elipse.
 15 Um homem nascido no século XX diz a seguinte frase para o filho: “seu 
avô paterno, que nasceu trinta anos antes de mim, tinha x anos no ano x2”. 
Em consequência, conclui-se que o avô paterno nasceu no ano de:
(A) 1892.
(B) 1898.
(C) 1900.
(D) 1936.
(E) 1942.
25Apostila de provas IME/ITA
IME – Matemática: Provas discursivas
Apostila de provas IME/ITA
Prova 2016/2017
 01 Seja M uma matriz real 2 × 2. Defina uma função f na qual cada 
elemento da matriz se desloca para a posição seguinte no sentido horário, 
ou seja, se M
a b
c d
=





, implica que f M
c a
d b
( ) .=





 Encontre todas as 
matrizes simétricas 2 × 2 reais na qual M2 = f(M).
 02 Resolva a inequação, onde x ∈ ¡.
9
1 3 1
4
2
2
x
x( )− +
>
 03 Resolva o sistema de equações, onde x ∈ ¡ e y ∈ ¡.
log (log ) log (log )
( )
3 3 3 3
3 2 143
1
3
x y
y x
− =
=




 04 Classifique o sistema abaixo como determinado, possível indeterminado 
e impossível de acordo com os valores reais de m.
m x y z m
x my z m
mx m y m z m
−( ) + − = +
+ + = +
+ +( ) + +( ) = +






2 2 1
2 2 2
2 2 1 1 3
2
3
 05 Sejam os complexos z = a + bi e w = 47 + ci, tais que z3 + w = 0. 
Determine o valor de a, b e c, sabendo que esses números são inteiros 
e positivos.
 06 Um triângulo ABC tem o seu vértice A na origem do sistema cartesiano, 
seu baricentro é o ponto D(3,2) e seu circuncentro é o ponto E(55/18,5/6). 
Determine:
• a equação da circunferência circunscrita ao triângulo ABC;
• as coordenadas dos vértices B e C.
 07 Se 
cos
cos
,
x
y
x
y
+ = −
sen
sen
1 calcule o valor S.
S
y y
x
y y
x
=
+
+
−3 3 3 3cos cos
cos
sen sen
sen
 08 Seja A = {1,2,3,4}.
• Quantas funções de A para A têm exatamente 2 elementos em seu 
conjunto imagem?
• Entre as 256 funções de A para A, sorteiam-se as funções f e g, 
podendo haver repetição. Qual a probabilidade da função composta 
f  g ser uma função constante?
 09 Em um triângulo ABC, a medida da bissetriz interna AD é a média 
geométrica entre as medidas dos segmentos BD e DC, e a medida da 
mediana AM é a média geométrica entre os lados AB e AC. Os pontos D 
e M estão sobre o lado BC de medida a. Pede-se determinar os lados AB 
e AC do triângulo ABC em função de a.
 10 Em um cone equilátero são inscritas duas esferas de raios 
3 1
3 1
−
+
 
R e R, conforme a figura abaixo. Um plano secante ao cone é traçado de 
forma que este seja tangente às duas esferas. Determine em termos de 
R o maior segmento possível que une dois pontos da curva formada pela 
interseção do referido plano com o cone.
Apostilas de provas IME/ITA
IME – Matemática: Provas discursivas
26 Apostila de provas IME/ITA
Prova 2015/2016
 01 Os inteiros a1, a2, a3, ... a25 estão em PA com razão não nula. Os termos 
a1, a2 e a10 estão em PG, assim como a6, aj, e a25. Determine j.
 02 Sejam as funções fn, para n ∈ {0, 1, 2, 3, ...}, tais que 
f x
x
f x f f xn n0 0 1
1
1
( ) =
−( ) ( )
= ( )( )−e , para n ≥ 1.
Calcule f2016(2016).
 03 Seja Z um número complexo tal que 
2Z
Zi
 possui argumento igual a 
3π
4
 
e log3(2Z + 2Z + 1) = 2. 
Determine o número complexo Z.
 04 Define-se A como a matriz 2016 × 2016, cujos elementos satisfazem 
à igualdade:
ai j
i j
j,
,= 





+ −
−
2
1
 para i, j ∈ {1, 2, ..., 2016}.
Calcule o determinante de A.
 05 Determine o conjunto solução da equação:
sen tg tg cotgx x
x
x( ) +




 = −1 2
4
 06 Seja a equação n2 – 7m2 = (5m – 2n)2 + 49. Determine todos os 
pares inteiros (m, n) que satisfazem a esta equação.
 07 Três jogadores sentam ao redor de uma mesa e jogam, alternadamente, 
um dado não viciado de seis faces. O primeiro jogador lança o dado, 
seguido pelo que está sentado à sua esquerda, continuando neste sentido 
até o jogo acabar. Aquele que jogar o dado e o resultado for 6, ganha e 
o jogo acaba. Se um jogador obtiver o resultado 1, o jogador seguinte 
perderá sua vez, isto é, a vez passará ao jogador sentado à direita de quem 
obteve 1. O jogo seguirá até que um jogador ganhe ao tirar um 6. Qual é 
a probabilidade de vitória do primeiro jogador a jogar?
 08 A circunferência C tem equação x2 + y2 = 16. Seja C’ uma 
circunferência de raio 1 que se desloca tangenciando internamente a 
circunferência C, sem escorregamento entre os pontos de contato, ou 
seja, C’ rola internamente sobre C.
Figura a
C
C’
P
Figura b
C
C’
P
α
Define-se o ponto P sobre C’ de forma que no início do movimento de C’ 
o ponto P coincide com o ponto de tangência (4,0), conforme figura a. 
Após certo deslocamento, o ângulo de entre o eixo x e a reta que une o 
centro das circunferências é α, conforme figura b.
• Determine as coordenadas do ponto P marcado sobre C’ em função 
do ângulo α.
• Determine a equação em coordenadas cartesianas do lugar geométrico 
do ponto P quando α varia no intervalo [0, 2π).
 09 Uma corda intercepta o diâmetro de um círculo de centro O no ponto 
C’ segundo um ângulo de 45°. Sejam A e B os pontos extremos desta 
corda, e a distância AC’ igual a 3 + 1 cm. O raio do círculo mede 2 cm, 
e C é a extremidade do diâmetro mais distante de C’. O prolongamento do 
segmento AO intercepta BC em A’. Calcule a razão em que A’ divide BC.
 10 Um cone é inscrito em um cubo ABCDEFGH de forma que a base do 
cone é o círculo inscrito na base ABCD. O vértice do cone é o centro da 
face oposta do cubo. A projeção do vértice H na base ABCD coincide com 
o vértice D. Determine a área da seção do cone pelo plano ABH em função 
de a, a medida da aresta do cubo.
Apostila de provas IME/ITA
IME – Matemática: Provas discursivas
27Apostila de provas IME/ITA
Prova 2014/2015
 01 Determine os valores reais de x que satisfazem a inequação:
+ >
−23
4 1
log 1
log 2 9xx
 02 Encontre as soluções reais da equação:
x x x x x+ − + − − = +4 4 4 4 3
 03 Descreva o lugar geométrico do número complexo z que atende à 
equação
arg(z − z1) − arg(z − z2) − arg(z − z3) = kπ,
em que z1 é real, z2 e z3 são complexos conjugados com parte imaginária 
não nula e k é um número inteiro.
Obs.: arg(z) é o argumento do número complexo z.
 04 Seja n um inteiro positivo cuja representação decimal é am...a1a0 
e f a função que troca a posição dos dígitos a2i e a2i+1, de forma que 
f(a2k+1 a2k...a1a0) = a2ka2k+1...a0a1. Por exemplo:
f(123456) = 214365
f(1034) = 143
f(123) = 1032
f(10) = 1
Determine o menor número maior que 99 que satisfaça à equação 
x2 = 9x + 9f(x) + (f(x))2
 05 Um tetraedro regular, com arestas de comprimento igual a d, é 
cortado por 2 planos paralelos entre si e a uma das bases, dividindo-o 
em 3 sólidos de volumes iguais. Determine a altura de cada um destes 
3 sólidos em função de d.
 06 Pelo ponto P de coordenadas (–1,0) traçam-se as tangentes t e s à 
parábola y² = 2x. A reta t intercepta a parábola em A e a reta s intercepta 
a parábola em B. Pelos pontos A e B traçam-se paralelas às tangentes 
encontrando a parábola em outros pontos C e D, respectivamente. Calcule 
o valor da razão AB/CD.
 07 segmento de reta que une o seu ortocentro H a seu baricentro G. O 
segmento de reta AG é menor que o segmento de reta AH. Os comprimentos 
dos segmentos de reta HI e IG são iguais a d. Determine o perímetro e a 
área desse triângulo em função de d.
 08 De quantas maneiras podemos decompor um eneágono convexo em 
triângulos traçando suas diagonais, de forma que essas diagonais não se 
cortem.
 09 Sejam S = a+b+c e P = a.b.c. Calcule o determinante abaixo 
unicamente em função deS e P.
a b c b a b c
a a c b a b c
a b a b
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2
2
+ +( ) +( ) +
+( ) + +( ) +
+( )
 10 Os coeficientes a0, ..., a2014 do polinômio P(x) = x
2015 + a2014x
2014 + 
... + a1x + a0 são tais que ai ∈ {0,1}, para 0 ≤ i ≤ 2014.
a. Quais são as possíveis raízes inteiras de P(x)?
b. Quantos polinômios da forma acima têm duas raízes inteiras distintas?
Apostilas de provas IME/ITA
IME – Matemática: Provas discursivas
28 Apostila de provas IME/ITA
Prova 2013/2014
 01 O polinômio P(x) = x5 – 3x4 + 10x3 – 30x2 + 81x – 243 possui raízes 
complexas simétricas e uma raiz com valor igual ao módulo das raízes 
complexas. Determine todas as raízes do polinômio.
 02 Calcule o determinante abaixo, no qual w = cis
2
3
≠
 e i = −1 .
1 w 0 i
i 1 – i w2
1 – i w i – 1 1
0 w 1 i
 03 Determine o(s) valor(es) de x, inteiro(s) e positivo(s), que satisfaz(em) 
a equação x y z
y
x
z
y
2
1 0
1
= ∑ −


= =
−
Π ( )
 04 Resolva a equação (logcosx sen
2x) . (logcos2x senx) = 4
 05 Seja ABCDA’B’C’D’ um prisma reto de base retangular ABCD. Projeta-se 
o ponto médio M da maior aresta da base sobre a diagonal AC, obtendo-se 
o ponto P. Em seguida projeta-se o ponto P na face oposta, obtendo-se 
o ponto N. Sabe-se que NA NC k
2 2
− = . Determine o comprimento da 
menor aresta da base. 
 06 Calcular o valor da expressão abaixo
370370 037 11 1 00... ... ..
89 algarísmos 30 algs "1"
� ������ ������ �− .. 03
30 algs "0"
� ��� ���
Obs: algs=algarismos
 07 O lado BC de um triângulo ABC é fixo e tem comprimento α. O 
ortocentro H do triângulo percorre uma reta paralela à reta suporte de BC 
e distante 4
a da mesma.
(A) Determine o lugar geométrico do ponto A quando H varia.
(B) Determine o valor mínimo da área do triângulo ABC quando A e H estão 
no mesmo semi-plano definido pela reta suporte de BC .
 08 Um professor dá um teste surpresa para uma turma de 9 alunos, e diz 
que o teste pode ser feito sozinho ou em grupos de 2 alunos. De quantas 
formas a turma pode ser organizar para fazer o teste? (Por exemplo, uma 
turma de 3 alunos pode se organizar de 4 formas e uma turma de 4 alunos 
pode se organizar de 10 formas)
 09 Resolver o sistema de equações 
x y
y
x
x x y
− =
+ =




+
log
.
3
22 8 5 4
 10 Sejam p o perímetro de um triângulo, S sua área, r e R os raios de 
suas circunferências inscrita e circunscrita, respectivamente. Demonstre 
que vale a seguinte desigualade 
22 3 2
.
9 27
p
S r R≤ ≤
29Apostila de provas IME/ITA
ITA – Matemática: Provas objetivas/discursivas
Apostila de provas IME/ITA
Prova 2016/2017
Notações
: conjunto dos números reais
: conjunto dos números complexos
i: unidade imaginária i2 = –1
det M: determinante da matriz M
M–1: inversa da matriz M
MN: produto das matrizes M e N
AB: segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = { x ∈: a ≤ x ≤ b}
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos 
retangulares.
 01 Sejam X e Y dois conjuntos finitos com X ⊂ Y e X ≠ Y. Considere as 
seguintes afirmações:
I. Existe uma bijeção f : X → Y.
II. Existe uma função injetora g: Y → X.
III. O número de funções injetoras f: X → Y é igual ao número de funções 
sobrejetoras g: Y → X.
É (são) verdadeira( s)
A ( ) nenhuma delas.
B ( ) apenas I.
C ( ) apenas III.
D ( ) apenas I e II.
E ( ) todas.
 02 O número de soluções da equação (1 + secθ)(1 + cossecθ) = O, 
com θ ∈ [–π, π], é
A ( ) 0. 
B ( ) 1. 
C ( ) 2.
D ( ) 3.
E ( ) 4.
 03 Sejam a, b, c, d ∈ ¡. Suponha que a, b, c, d formem, nesta ordem, 
uma progressão geométrica e que a, b/2, c/4, d–140 formem, nesta ordem, 
uma progressão aritmética. Então, o valor de d – b é:
A ( ) –140. D ( ) 120.
B ( ) –120. E ( ) 140.
C ( ) 0.
 04 O maior valor de tg x, com x x= 




 ∈




1
2
3
5
0
2
arcsen e é, ,
π
A ( ) 1/4. 
B ( ) 2. 
C ( ) 1/3.
D ( ) 3.
E ( ) 1;2.
 05 Considere a reta r : y = 2x. Seja A = (3, 3) o vértice de um quadrado 
ABCD, cuja diagonal BD está contida em r. A área deste quadrado é
A ( ) 
9
5
. D ( ) 21
5
.
B ( ) 
12
5
. E ( ) 24
5
.
C ( ) 18
5
. 
 06 Considere o sistema de equações
S
x y z
x y z
x y z
1 27 8
3
4 81 40
1
2 54 24
7
2 3
2 3
2 3
+ + =
+ + =
+ + =









.
Se (x, y, z) é uma solução real de S, então |x| + |y| + |z| é igual a
A ( ) 0. D ( ) 9.
B ( ) 3. E ( ) 12.
C ( ) 6.
 07 O número de soluções inteiras da inequação 0 ≤ x2 – |3x2 + 8x| ≤ 2 
é
A ( ) 1.
B ( ) 2.
C ( ) 3.
D ( ) 4.
E ( ) 5.
 08 Sejam A= {1, 2, 3, 4, 5} e B = {–1, –2, –3, –4, –5}. Se C = {xy: 
x ∈ A e y ∈ B}, então o número de elementos de C é
A ( ) 10.
B ( ) 11.
C ( ) 12.
D ( ) 13.
E ( ) 14.
 09 Sejam S1 = {(x, y) ∈ ¡
2 : y ≥ ll x l – 1|} e S2 = {(x, y) ∈ ¡
2 : x2 + 
(y + 1)2 ≤ 25}. A área da região S1 ∩ S2 é
A ( ) 
25
4
2π − . C ( ) π
25
.
4
B ( ) 25
4
1π − . D ( ) 
75
4
1π − .
Apostilas de provas IME/ITA
ITA – Matemática: Provas objetivas/discursivas
30 Apostila de provas IME/ITA
 10 Sejam a, b, c, d números reais positivos e diferentes de 1. Das 
afirmações:
I. a bc cb a(log ) (log ) = .
II. 
a
b
b
c
c
a
d d dc a b
















 =
log log log
.1
III. logab(bc) = logac 
A ( ) apenas I.
B ( ) apenas II.
C ( ) apenas I e II.
D ( ) apenas II e III.
E ( ) todas.
 11 Sejam D e P=










=










1 0 0
0 2 0
0 0 3
7 0 2
0 1 0
2 0 5
.
Considere A = P–1DP. O valor de det(A2 + A) é:
A ( ) 144. D ( ) 324.
B ( ) 180. E ( ) 360.
C ( ) 240.
 12 Considere dois círculos no primeiro quadrante:
• C1 com centro (x1, y1), raio r1 e área 16
π
.
• C2 com centro (x2, y2), raio r2 e área 144π
Sabendo que (x1, y1, r1) e (x2, y2, r2) são duas progressões geométricas 
com somas dos termos iguais a 7
4
 e 21, respectivamente, então a 
distância entre os centros de C1 e C2 é igual a
A ( ) 123
2
. D ( ) 
135
2
.
B ( ) 129
2
. E ( ) 137
2
.
C ( ) 131
2
.
 13 Das afirmações:
I. Todo número inteiro positivo pode ser escrito, de maneira única, na 
forma 2k – 1(2m – 1), em que k e m são inteiros positivos.
II. Existe um número x ∈ [O, π/2] de tal modo que os números a1 = sen 
x, a2 = sen (x + π/4),
 a3 = sen (x + π/2) e a4 = sen (x + 3π/4) estejam, nesta ordem, em 
progressão geométrica.
III. Existe um número inteiro primo p tal que p é um número racional.
é(são) verdadeira(s)
A ( ) apenas I.
B ( ) apenas lI. 
C ( ) apenas III.
D ( ) apenas I e II.
E ( ) todas.
 14 Com os elementos 1, 2, ... , 10 são formadas todas as sequências 
(a1, a2, ... , a7 ). Escolhendo-se aleatoriamente uma dessas sequências, a 
probabilidade de a sequência escolhida não 
conter elementos repetidos é
A ( ) 7
10 37
!
· !
 D ( ) 10
10 73
!
· !
B ( ) 10
10 37
!
· !
 E ( ) 10
107
!
C ( ) 3
10 77
!
· !
 15 Considere a equação a bi
a bi
a b
−( ) = +( )
+( ) +
501
2 2
2
250 1
. O número de 
pares ordenados (a,b) ∈ ¡2 que satisfazem a equação é
A ( ) 500. 
B ( ) 501.
C ( ) 502.
D ( ) 503.
E ( ) 504.
 16 Seja ABC um triângulo cujos lados AB, AC, e BC medem 6 cm, 8 cm 
e 10 cm, respectivamente. Considere os pontos M e N sobre o lado BC 
tais que AM é a altura relativa a BC e N é o ponto médio de BC. A área do 
triângulo AMN, em cm2 é
A ( ) 2,36. D ( ) 4,48.
B ( ) 3,60. E ( ) 6,72.
C ( ) 4,20.
 17 Seis circunferências de raio 5 cm são tangentes entre si duas a 
duas e seus centros são vértices de um hexágono regular, conforme a 
figura abaixo. O comprimento de uma correia tensionada que envolve 
externamente as seis circunferências mede, em cm, 
A ( ) 18 + 3π.
B ( ) 30 + 10π.
C ( ) 18 + 6π.
D ( ) 60 + 10π.
E ( ) 36 + 6π.
Apostila de provas IME/ITA
ITA – Matemática: Provas objetivas/discursivas
31Apostila de provas IME/ITA
 18 O lugar geométrico dos pontos (a, b) ∈¡2 tais que a equação, em 
z∈,
z2 + z + 2 – (a + ib) = O
possua uma raiz puramente imaginária é
A ( ) uma circunferência.
B ( ) uma parábola.
C ( ) uma hipérbole. 
D ( ) uma reta.
E ( ) duas retas paralelas.
 19Um atirador dispõe de três alvos para acertar. O primeiro deste 
encontra-se a 30 m de distância; o segundo, a 40 m; o terceiro alvo, a 60 
m. Sabendo que a probabilidade de o atirador acertar o alvo é inversamente 
proporcional ao quadrado da distância e que a probabilidade de ele acertar 
o primeiro alvo é de 2/3, então a probabilidade de acertar ao menos um 
dos alvos é:
A ( ) 120
160
B ( ) 119
154
C ( ) 110
144
D ( ) 105
135
E ( ) 119
114
 20 Considere o triângulo ABC, em que os segmentos AC, CB e AB medem, 
respectiva mente, 10 cm, 15 cm e 20 cm. Seja D um ponto do segmento 
AB de tal modo que CD é bissetriz do ângulo ACB e seja E um ponto do 
prolongamento de CD, na direção de D, tal que DBE DCE = . A medida, em 
cm, de CE é
A ( ) 
11 6
3
. D ( ) 
20 6
3
.
B ( ) 13 6
3
. E ( ) 
25 6
3
.
C ( ) 
17 6
3
.
 21 Considere as retas de equações
r: y = 2x + a e s: y = bx + c,
em que a, b, c são reais. Sabendo que r e s são perpendiculares entre si, 
com r passando por (O, 1) e s, por ( 2, 4), determine a área do triângulo 
formado pelas retas r, s e o eixo x.
 22 Determine todos os valores reais de x que satisfazem a inequação 
43x – 1 > 34x.
 23 Considere o polinômio
p x x x x x( ) = − +( ) + +( ) − +( ) +4 3 21 2 3 3 2 3 1 4 3 2.
a) Determine os números reais a e b tais que p(x) = (x2 + ax + 1) 
(x2 + bx + 2).
b) Determine as raízes de p(x).
 24 Sejam A e B dois conjuntos com 3 e 5 elementos, respectivamente. 
Quantas funções sobrejetivas ƒ : B → A existem?
 25 Sejam A= {1, 2, ... , 29, 30} o conjunto dos números inteiros de 1 
a 30 e (a1, a2, a3) uma progressão geométrica crescente com elementos 
de A e razão q > 1. 
a) Determine todas as progressões geométricas (a1, a2, a3) de razão 
q = 
3
2
.
b) Escreva q = 
m
n
, com m, n ∈  e mdc(m, n) = 1. Determine o maior 
valor possível para n.
 26 Esboce o gráfico da função f : ¡ → ¡ dada por f x x( ) = −−2 1
2
.
 27 Determine todos os valores reais de a para os quais o seguinte sistema 
linear é impos sível:
x ay z
x y z
x az
+ + =
− − + = −
+ =





2
2 3 1
3 5
.
 28 Um triângulo retângulo com hipotenusa c = +2 1 6( ) está circunscrito 
a um círculo
de raio unitário. Determine a área total da superfície do cone obtido ao 
girar o triângulo em torno
do seu maior cateto.
 29 Determine o conjunto das soluções rea is da equação 
3
2
12 2cossec tg
x
x




 − = .
 30 Considere o cubo ABCDEFGH de aresta 2 tal que: ABCD é o quadrado 
da base inferior; EFGH, o quadrado da base superior e AE BF CG DH, , e 
são as arestas verticais. Sejam L, M e N os pontos médios das arestas 
AB CG GH, ,e respectivamente. Determine a área do triângulo LMN.
Apostilas de provas IME/ITA
ITA – Matemática: Provas objetivas/discursivas
32 Apostila de provas IME/ITA
Prova 2015/2016
Notações
¡ : conjunto de números reais
 : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i2 = –1
|z| : Módulo do número z ∈ 
Re(z) : parte real do número z ∈ 
Im (z) : parte imaginária do número z ∈ 
det M : determinante da matriz M
MT : transposta da matriz M
M–1 : inversa da matriz M
In : matriz identidade n × n
MN : produto das matrizes M e N
d(P,r) : distância do ponto P à reta r
AB : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = {x ∈ ¡ : a ≤ x ≤ b}
[a, b[ = {x ∈ ¡ : a ≤ x < b}
]a, b] = {x ∈ ¡ : a < x ≤ b}
]a, b[ = {x ∈ ¡ : a < x < b}
X \ Y = {x ∈ X e x ∉ Y}
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os 
cartesianos retangulares.
 01 Considere as seguintes afirmações:
I. A função f(x) = log10 
x
x
−





1 é estritamente crescente no intervalo 
]1, +∞[.
II. A equação 2x + 2 = 3x – 1 possui uma única solução real.
III. A equação (x + 1)x = x admite pelo menos uma solução real positiva.
É(são) verdadeira(s)
A ( ) apenas I.
B ( ) apenas I e II.
C ( ) apenas II e III.
D ( ) I, II e III.
E ( ) apenas III.
 02 Se x é um número natural com 2015 dígitos, então o número de dígitos 
da parte inteira de x7 é igual a
A ( ) 285
B ( ) 286
C ( ) 287
D ( ) 288
E ( ) 289
 03 Escolhendo-se, aleatóriamente, três números inteiros distintos no 
intervalo [1,20], a probabilidade de que eles estejam, em alguma ordem, 
em progressão geométrica é igual a
A ( ) 
2
285
B ( ) 
2
217
C ( ) 
1
190
D ( ) 
4
225
E ( ) 
1
380
 04 Se tgx = 7 e x ∈ π
π
,
3
2




, então sen3x é igual a
A ( ) −
14
8
.
B ( ) 14
8
.
C ( ) 14
4
.
D ( ) −
14
4
.
E ( ) 14
6
.
 05 Seja (a1, a2, a3 ....) a sequência definida da seguinte forma: a1 = 1000 
e an = log10(1 + an–1) para n ≥ 2. Considere as afirmações a seguir:
I. A sequência (an) é descrecente.
II. an > 0 para todo n ≥ 1.
III. an < 1 para todo n ≥ 3.
É(são) verdadeira(s)
A ( ) apenas I.
B ( ) apenas I e II.
C ( ) apenas II e III.
D ( ) I, II e III.
E ( ) apenas III.
 06 Seja Pn um polígono convexo regular de n lados, com n ≥ 3. Considere 
as afirmações a seguir:
I. Pn é inscritível numa circunferência.
II. Pn é circuncristível a uma circunferência.
III. Se n é o comprimento de um lado de Pn e an é o comprimento de uma 
apótema de Pn, então ≤�
1n
n
a
 para todo n ≥ 3.
Apostila de provas IME/ITA
ITA – Matemática: Provas objetivas/discursivas
33Apostila de provas IME/ITA
É (são) verdadeira(s)
A ( ) apenas I. 
B ( ) apenas II.
C ( ) apenas III.
D ( ) apenas I e II.
E ( ) apenas I, II e III.
 07 Um triângulo está inscrito numa circunferência de raio 1 cm. O seu 
maior lado mede 2 cm e sua área é de 
1
2
 cm2. Então, o menor lado do 
triângulo, em cm, mede
A ( ) 1
1
2
− .
B ( ) 2 2− .
C ( ) 
1
2
.
D ( ) 
2
6
.
E ( ) 
3
6
.
 08 Se o sistema de equações
 
x + y + 4z = 2
x + 2y + 7z = 3
3x + y + az = b
é impossível, então os valores de a e b são tais que
A ( ) a = 6 e b ≠ 4.
B ( ) a ≠ 6 e b ≠ 4.
C ( ) a ≠ 6 e b = 4.
D ( ) a = 6 e b = 4.
E ( ) a é arbritário e b ≠ 4.
 09 Se P e Q são pontos que pertencem à circunferência x2 + y2 = 4 e à 
reta y = 2(1 – x), então o valor do cosseno do ângulo PÔQ é igual a
A ( ) −
3
5
.
B ( ) −
3
7
.
C ( ) −
2
5
.
D ( ) −
4
5
.
E ( ) −
1
7
.
 10 Um triângulo retângulo tem perímetro igual a 
 5 , em que  é o 
comprimento da hipotenusa. Se α e β são seus ângulos agudos, com α 
< β, então sen(β – α) é igual a:
A ( ) 5 2 5−
B ( ) − +6 3 5
C ( ) 16 5 35−
D ( ) 20 5 44−
E ( ) 18 5 40−
 11 Se M N=
−




 −






1 1
2 0
2 1
1 3
e = , então MNT – M–1N é igual a
A ( ) 
3
2
5
2
5
2
3
2
−
−












B ( ) 
3
2
1
2
7
2
5
2
−
−












C ( ) 
3
2
11
2
13
2
5
2
−
−












D ( ) 
3
2
5
2
13
2
3
2
−
−












E ( ) 
3
2
11
2
13
2
3
2
−
−












 12 Considere as afirmações a seguir:
I. Se z e w são números complexos tais que z – iw = 1 – 2i e w – z = 2 + 3i, então 
z² + w² = –3 + 6i.
II. A soma de todos os números complexos z que satisfazem 2|z|² + 
z² = 4 + 2i é igual a zero.
III. Se z = 1 – i, então z59 = 229 (–1 + i).
É (são) verdadeira(s)
A ( ) apenas I.
B ( ) apenas I e II.
C ( ) apenas I e III.
D ( ) apenas II e III.
E ( ) I, II e III.
Apostilas de provas IME/ITA
ITA – Matemática: Provas objetivas/discursivas
34 Apostila de provas IME/ITA
 13 Sejam λ uma circunferência de raio 4 cm e PQ uma corda em λ 
de comprimento 4 cm. As tangentes a λ em P e em Q interceptam-se no 
ponto R exterior a λ. Então, a àrea do triângulo PQR, em cm2 , é igual a:
A ( ) 
2 3
3
B ( ) 
3 2
2
C ( ) 
6
2
D ( ) 
2 3
5
E ( ) 
4 3
3
 14 Se a reta de equação x = a divide o quadrilátero cujos vértices são 
(0,1), (2,0), (4,0) e (6,4) em duas regiões de mesma área, então o valor 
de a é igual a
A ( ) 2 5 1− .
B ( ) 2 6 1− .
C ( ) 3 5 4− .
D ( ) 2 7 2− .
E ( ) 3 7 5− .
 15Seja p o polinômio dado por p(x) = x8 + xm – 2xn, em que os expoentes 
8, m, n formam, nesta ordem, uma progressão geométrica cuja soma dos 
termos é igual a 14. Considere as seguintes afirmações:
I. x = 0 é uma raiz dupla de p.
II. x = 1 é uma raiz dupla de p.
III. p tem quatro raízes com parte imaginária não nula.
Destas, é(são) verdadeira(s)
A ( ) apenas I.
B ( ) apenas I e II.
C ( ) apenas I e III.
D ( ) apenas II e III.
E ( ) I, II e III.
 16 Seja ABC um triângulo equilátero e suponha que M e N são pontos 
pertencentes ao lado BC
—
 tais que BM = MN = NC. Sendo α a medida, 
em radianos, do ângulo MÂN, então o valor de cos α é
A ( ) 
13
14
.
B ( ) 
14
15
.
C ( ) 
15
16
.
D ( ) 
16
17
.
E ( ) 
17
18
.
 17 Uma esfera S1, de raio R > 0, está inscrita num cone circular reto K. 
Outra esfera, S2 de raio r, com 0 < r < R, está contida no interior de K e é 
simultaneamente tangente à esfera S1 e à superfície lateral de K. O volume 
de K é igual a
A ( ) 
π
−
5
.
3 ( )
R
r R r
B ( ) 
π
−
52
.
3 ( )
R
r R r
C ( ) 
π
−
5
.
( )
R
r R r
D ( ) 
π
−
54
.
3 ( )
R
r R r
E ( ) 
π
−
55
.
3 ( )
R
r R r
 18 Considere o polinômio p com coeficientes complexos definido por
p(z) = z4 + (2 + i) z3 + (2 + i) z2 + (2 + i) z + (1 + i).
Podemos afirmar que
A ( ) nenhuma das raízes de p é real.
B ( ) não existem raizes de p que sejam complexas conjugadas.
C ( ) a soma dos módulos de todas as raízes de p é igual a 2 + 2.
D ( ) o produto dos módulos de todas as raízes de p é igual a 2 2.
E ( ) o módulo de uma das raízes de p é igual a 2.
 19 Pintam-se N cubos iguais utilizando-se 6 cores diferentes, uma para 
cada face. Considerando que cada cubo pode ser perfeitamente distinguido 
dos demais, o maior valor possível de N é igual a
A ( ) 10
B ( ) 15
C ( ) 20
D ( ) 25
E ( ) 30
 20 Em um triângulo equilátero ABC de lado 2, considere os pontos P, M 
e N pertencentes aos ladosAB BC AC, e , respectivamente, tais que
a) P é o ponto médio AB;
b) M é o ponto médio de BC;
c) PN é a bissetriz do ângulo APC
Então, o comprimento do segmento MN é igual a
A ( ) 10 4 3−
B ( ) 5 2 3−
C ( ) 6 3 3−
D ( ) 10 5 3−
E ( ) 5 3 5−
Apostila de provas IME/ITA
ITA – Matemática: Provas objetivas/discursivas
35Apostila de provas IME/ITA
 21 Seja f função definida por f(x) = logx+1(x
2 – 2x – 8). Determine:
a) O domínio Df da função f.
b) O conjunto de todos os valores de x ∈ Df tais que f(x) = 2.
c) O conjunto de todos os valores de x ∈ Df tais que f(x) > 1.
 22 Sejam x e y pertencentes ao intervalo [0, π]. Determine todos os pares 
ordenados (x, y) tais que 
2
1
2
2 3
1
2
cos
cos .
x y
x y
− =
+ = −






sen 
 sen 
 23 Um hexágono convexo regular H e um triângulo equilátero T estão 
inscritos em circunferências de raios RH e RT, respectivamente. Sabendo-se 
que H e T têm mesma área, determine a razão H
T
R
R
 .
 24 Seja A a matriz de ordem 3 × 2, dada por
 
 =
 
 
1 0
0 1 .
1 1
A
a) Determine todas as matrizes B tais que BA = l2.
b) Existe uma matriz B com BA = l2 que satisfaça BB
T = l2? Se sim, dê 
um exemplo de uma dessas matrizes.
 25 Numa certa brincadeira, um menino dispõe de uma caixa contendo 
quatro bolas, cada qual marcada com apenas uma destas letras: N, S, L 
e O. Ao retirar aleatoriamente uma bola, ele vê a letra correspondente e 
devolve a bola à caixa. Se essa letra for N, ele dá um passo na direção 
Norte; se S, em direção Sul, se L, na direção Leste e se O, na direção 
Oeste.
Qual a probabilidade de ele voltar para a posição inicial no sexto passo?
 26 Sejam S um subconjunto de ¡2 e P = (a, b) um ponto de ¡2. Define-se 
distância de P a S, d (P, S), como a menor das distâncias d(P, Q), com Q 
∈ S: 
d(P, S) = min{d(P, Q) : Q ∈ S}.
Sejam S1 = {(x, y) ∈ ¡
2 : x = 0 e y ≥ 2} e S2 = {(x, y) ∈ ¡
2 : y = 0}.
a) Determine d(P, S1) quando P = (1, 4) e d(Q, S1) quando Q = (–3, 0).
b) Determine o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes de 
S1 e de S2.
 27 Sejam a, b, c números reais com a ≠ 0.
a) Mostre que a mudança x + 
1
x
 = z transforma a equação ax4 + bx3 
+ cx2 + bx + a = 0 numa equação de segundo grau.
b) Determine todas as raízes da equação x4 + 3x3 – 2x2 + 3x + 1 = 0.
 28 Considere as circunferências
λ1: x
2 + y2 – 8x + 4y = 20
e
λ2: x
2 + y2 – 2x – 8y = 8.
O triângulo ABC satisfaz as seguintes propriedades:
a) o lado AB
—
 coincide com a corda comum a λ1 e λ2;
b) o vértice B pertence ao primeiro quadrante;
c) o vértice C pertence a λ1 e a reta que contém AC
—
 é tangente a λ2 .
Determine as coordenadas do vértice C.
 29 Determine o termo constante do resto da divisão do polinômio (1 + 
x + x2)40 por (1 + x)3.
 30 Em um cone circular reto de altura 1 e raio da base 1 inscreve-se um 
tetraedro regular com uma de suas faces paralela à base do cone, e o 
vértice oposto coincidindo com o centro da base do cone. Determine o 
volume do tetraedro.
Apostilas de provas IME/ITA
ITA – Matemática: Provas objetivas/discursivas
36 Apostila de provas IME/ITA
Prova 2014/2015
Notações
 : conjunto dos números reais.
 : conjunto dos números complexos.
i : unidade imaginária; i2 = −1.
|z| : módulo do número z, z ∈ .
Re (z): parte real do número z ∈ 
Im(z): parte imaginária do número z ∈ 
det A : determinante da matriz A.
trA: traço da matriz quadrada A, que é definido como a soma dos 
elementos da diagonal principal de A.
Potência de matriz: A1 = A, A2 = A · A, ..., Ak = Ak–1 · A, sendo A matriz 
quadrada e k inteiro positivo.
d(P, r): distância do ponto P à reta r
AB: segmento das extremidades nos pontos A e B.
[a, b]= {x ∈ ; a ≤ x ≤ b}
[a, b[ = {x ∈ ; a ≤ x < b}
]a, b] = {x ∈ ; a < x ≤ b}
]a, b[ = {x ∈ ; a < x < b}
X\Y = {x ∈ X e x ∉ Y} .
ak
k
n
=
∑
0
= a0 + a1 + a2 + ... + an, sendo n inteiro não negativo
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os 
cartesianos retangulares.
 01 Considere as seguintes afirmações sobre números reais:
I. Se a expressão decimal de x é infinita e periódica, então x é um número 
racional
II. 1
2 1 2
2
1 2 20 ( )−
=
−=
∞
∑ n
n
III. ln e23 + (log32)(log49) é um número racional.
É (são) verdadeira(s):
(A) ( ) nenhuma.
(B) ( ) apenas II.
(C) ( ) apenas I e II.
(D) ( ) apenas I e III.
(E) ( ) I, II e III.
 02 Sejam A, B e C os subconjuntos de  definidos por:
A z z i= ∈ + − <{ } : 2 3 19 , B z z i= ∈ + <{ } : /7 2 e
C z z z= ∈ + + ={ } : 2 6 10 0 . Então, A B C\( ) ∩ é o conjunto
(A) ( ) {– 1 – 3i, – 1 + 3i}.
(B) ( ) {– 3 – i, – 3 + i}.
(C) ( ) {– 3 + i}.
(D) ( ) {– 3 – i}.
(E) ( ) {– 1 + 3i}.
 03 Se z
i
i
=
+
−






1 3
1 3
10
, então o valor de 2 arcsen (Re(z)) + 5 arctg 
(2lm(z)) é igual a
(A) ( ) −
2
3
π
.
(B) ( ) −
π
3
.
(C) ( ) 2
3
π
.
(D) ( ) 
4
3
π
.
(E) ( ) 
5
3
π
.
 04 Seja C uma circuferência tangente simultaneamente às retas r : 3x + 
4y – 4 = 0 e s: 3x + 4y – 19 = 0. 
A área do círculo determinado por C é igual a
(A) ( ) 5
7
π
.
(B) ( ) 
4
5
π
.
(C) ( ) 3
2
π
.
(D) ( ) 
8
3
π
.
(E) ( ) 
9
4
π
.
 05 Seja (a1, a2, a3, ...) a sequência definida da seguinte forma: 
a1 = 1, a2 = 1 e an = an – 1 + an – 2 para n ≥ 3. Considere as afirmações 
a seguir:
I. Existem três termos consecutivos, ap, ap+1, ap+2, que, nesta ordem, 
formam uma progressão geométrica.
II. a7 é número primo.
III. Se n é múltiplo de 3, então an é par.
É (são) verdadeira(s)
(A) ( ) apenas II.
(B) ( ) apenas I e II.
(C) ( ) apenas I e III.
(D) ( ) apenas II e III.
(E) ( ) I, II e III.
 06 Considere a equação a
x
b
x1 1 2
52−
−
−
=
/
, com a e b números 
inteiros positivos. Das afirmações:
I. Se a = 1 e b = 2, então x = 0 é uma solução da equação.
II. Se x é solução da equação, então x ≠ 1
2
, x ≠ – 1 e x ≠ 1
III. x =
2
3
 não pode ser solução da equação.
Apostila de provas IME/ITA
ITA – Matemática: Provas objetivas/discursivas
37Apostila