Lista de Exercícios - Divisibilidade, MMC e MDC

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1. (Enem) Após o Fórum Nacional Contra a Pirataria (FNCP) incluir a linha de autopeças em 
campanha veiculada contra a falsificação, as agências fiscalizadoras divulgaram que os cinco 
principais produtos de autopeças falsificados são: rolamento, pastilha de freio, caixa de 
direção, catalisador e amortecedor. 
Disponível em: www.oficinabrasil.com.br. 
Acesso em: 25 ago. 2014 (adaptado). 
 
 
Após uma grande apreensão, as peças falsas foram cadastradas utilizando-se a codificação: 
1: rolamento, 2: pastilha de freio, 3: caixa de direção, 4: catalisador e 5: amortecedor. 
Ao final obteve-se a sequência: 
5,  4,  3,  2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2,  3,  4,  5,  4,  3,  2,  1,  2,  3,  4, … que apresenta um padrão de 
formação que consiste na repetição de um bloco de números. Essa sequência descreve a 
ordem em que os produtos apreendidos foram cadastrados. 
 
O 2015º item cadastrado foi um(a) 
a) rolamento. 
b) catalisador. 
c) amortecedor. 
d) pastilha de freio 
e) caixa de direção. 
 
2. (G1 - utfpr) Três vendedores viajam a serviço para uma empresa. O primeiro viaja de 12 em 
12 dias, o segundo de 16 em 16 dias e o terceiro de 20 em 20 dias. Se todos viajarem hoje, 
calcule daqui quantos dias eles voltarão a viajar no mesmo dia. 
a) 220 dias. 
b) 120 dias. 
c) 240 dias. 
d) 250 dias. 
e) 180 dias. 
 
3. (G1 - ifba) O Supermercado “Preço Baixo” deseja fazer uma doação ao Orfanato “Me Adote” 
e dispõe, para esta ação, 528 𝑘𝑔 de açúcar, 240 𝑘𝑔 de feijão e 2.016 𝑘𝑔 de arroz. Serão 
montados Kits contendo, cada um, as mesmas quantidades de açúcar, de feijão e de arroz. 
Quantos quilos de açúcar deve haver em cada um dos kits, se forem arrumados de forma a 
contemplar um número máximo para cada item? 
a) 20 
b) 11 
c) 31 
d) 42 
e) 44 
 
4. (Enem PPL) Uma loja decide premiar seus clientes. Cada cliente receberá um dos seis 
possíveis brindes disponíveis, conforme sua ordem de chegada na loja. Os brindes a serem 
distribuídos são: uma bola, um chaveiro, uma caneta, um refrigerante, um sorvete e um CD, 
nessa ordem. O primeiro cliente da loja recebe uma bola, o segundo recebe um chaveiro, o 
terceiro recebe uma caneta, o quarto recebe um refrigerante, o quinto recebe um sorvete, o 
sexto recebe um CD, o sétimo recebe uma bola, o oitavo recebe um chaveiro, e assim 
sucessivamente, segundo a ordem dos brindes. 
 
 
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O milésimo cliente receberá de brinde um(a) 
a) bola. 
b) caneta. 
c) refrigerante. 
d) sorvete. 
e) CD. 
 
5. (Fuvest) Sejam 𝑎 e 𝑏 dois números inteiros positivos. Diz-se que 𝑎 e 𝑏 são equivalentes se a 
soma dos divisores positivos de 𝑎 coincide com a soma dos divisores positivos de 𝑏. 
 
Constituem dois inteiros positivos equivalentes: 
a) 8 e 9. 
b) 9 e 11. 
c) 10 e 12. 
d) 15 e 20. 
e) 16 e 25. 
 
6. (G1 - ifal) Três linhas diferentes de ônibus, A, B e C, passam em um certo ponto a cada 
8 𝑚𝑖𝑛, 12 𝑚𝑖𝑛 e 20 𝑚𝑖𝑛, respectivamente. Se às 6 horas, essas três linhas chegam no mesmo 
instante a esse ponto, em qual horário do dia as três linhas chegarão novamente no mesmo 
instante a esse mesmo ponto? 
a) 6ℎ30𝑚𝑖𝑛. 
b) 7ℎ10𝑚𝑖𝑛. 
c) 7ℎ50𝑚𝑖𝑛. 
d) 8 ℎ. 
e) 9 ℎ. 
 
7. (Unigranrio - Medicina) Uma mulher tem três filhas matriculadas regularmente no ensino 
fundamental. O produto da sua idade com as idades de suas 3 filhas é 37.037. Desta forma, 
pode-se afirmar que a diferença entre as idades de sua filha mais velha e sua filha mais nova é 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 8 
 
8. (Uece) O número de divisores inteiros e positivos do número 20182 − 20172 é 
a) 8. 
b) 14. 
c) 10. 
d) 12. 
 
9. (Uece) O número de divisores positivos do produto das raízes da equação 2𝑥2 − 114𝑥 +
56 = 0 é 
a) 12. 
b) 10. 
c) 8. 
d) 6. 
 
10. (G1 - ifal) Considere a sequência infinita IFALMIFALMIFALMIFALMIFALM… 
 
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Qual é a 2017ª letra dessa sequência? 
a) 𝐼. 
b) 𝐹. 
c) 𝐴. 
d) 𝐿. 
e) 𝑀. 
 
11. (G1 - utfpr) Tenho 24 jogos de computador. Quantas são as possibilidades existentes 
(número máximo) para se dividir esses jogos em grupos com quantidades iguais de jogos? 
a) 2. 
b) 4. 
c) 6. 
d) 8. 
e) 12. 
 
12. (Enem 2ª aplicação) Em uma plantação de eucaliptos, um fazendeiro aplicará um 
fertilizante a cada 40 dias, um inseticida para combater as formigas a cada 32 dias e um 
pesticida a cada 28 dias. Ele iniciou aplicando os três produtos em um mesmo dia. 
 
De acordo com essas informações, depois de quantos dias, após a primeira aplicação, os três 
produtos serão aplicados novamente no mesmo dia? 
a) 100 
b) 140 
c) 400 
d) 1.120 
e) 35.840 
 
13. (Enem digital) Um jogo pedagógico é formado por cartas nas quais está impressa uma 
fração em uma de suas faces. Cada jogador recebe quatro cartas e vence aquele que primeiro 
consegue ordenar crescentemente suas cartas pelas respectivas frações impressas. O 
vencedor foi o aluno que recebeu as cartas com as frações: 
3
5
,  
1
4
,  
2
3
 e 
5
9
. 
 
A ordem que esse aluno apresentou foi 
a) 
1
4
; 
5
9
; 
3
5
; 
2
3
 
b) 
1
4
; 
2
3
; 
3
5
; 
5
9
 
c) 
2
3
; 
1
4
; 
3
5
; 
5
9
 
d) 
5
9
; 
1
4
; 
3
5
; 
2
3
 
e) 
2
3
; 
3
5
; 
1
4
; 
5
9
 
 
14. (Enem) O ciclo de atividade magnética do Sol tem um período de 11 anos. O início do 
primeiro ciclo registrado se deu no começo de 1755 e se estendeu até o final de 1765. Desde 
então, todos os ciclos de atividade magnética do Sol têm sido registrados. 
Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 27 fev. 2013. 
 
No ano de 2101, o Sol estará no ciclo de atividade magnética de número 
a) 32. 
b) 34. 
c) 33. 
 
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d) 35. 
e) 31. 
 
15. (Ebmsp) Um grupo de pesquisadores, composto por 6 médicos e seus 19 orientandos, 
recebeu, ao final de um projeto, como bonificação, uma quantia, em notas de 𝑅$ 100,00, a ser 
dividida entre eles de tal modo que metade fosse dividida, igualmente, entre os médicos e a 
outra metade fosse dividida, igualmente, entre os orientandos. 
 
Com base nessas informações, pode-se afirmar que a diferença entre os valores recebidos por 
um médico e um orientando foi, no mínimo, igual a 
a) 𝑅$ 1.300,00 
b) 𝑅$ 1.500,00 
c) 𝑅$ 2.000,00 
d) 𝑅$ 2.400,00 
e) 𝑅$ 3.000,00 
 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [E] 
 
Observe que os códigos se repetem de 8 em 8. Logo, sendo 2015 = 251 ⋅ 8 + 7, podemos 
concluir que a resposta é 3, ou seja, caixa de direção. 
 
Resposta da questão 2: 
 [C] 
 
Basta calcular o M.M.C.(12,16,20) = 240. 
 
 
 
Resposta da questão 3: 
 [B] 
 
Decompondo os valores em fatores primos, temos: 
528, 240, 2016
264, 120, 1008
132, 60, 504
66, 30, 252
33, 15, 126
11, 5, 42
|
|
2
2
2
2
3
 
 
Logo, o total de açúcar por kit é de 11 quilos. 
 
Resposta da questão 4: 
 [C] 
 
Desde que 1000 = 6 ⋅ 166 + 4, podemos concluir que o milésimo cliente receberá de brinde um 
refrigerante. 
 
Resposta da questão 5: 
 [E] 
 
Calculando os divisores: 
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 8 → {1,2,4,  8} → 𝑆𝑜𝑚𝑎 = 15 
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 9 → {1,3,  9} → 𝑆𝑜𝑚𝑎 = 13 
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 10 → {1,2,5,  10} → 𝑆𝑜𝑚𝑎 = 18 
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 11 → {1,11} → 𝑆𝑜𝑚𝑎 = 12 
 
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𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 12 → {1,2,3,  4,  6,  12} → 𝑆𝑜𝑚𝑎 = 28 
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 15 → {1,3,5,  15} → 𝑆𝑜𝑚𝑎 = 24 
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 16 → {1,2,4,  8,  16} → 𝑆𝑜𝑚𝑎 = 31 
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 25 → {1,5,25} → 𝑆𝑜𝑚𝑎 = 31 
 
Logo, 16 e 25 são dois inteiros positivos equivalentes. 
 
Resposta da questão 6: 
 [D] 
 
8 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2
12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3
20 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5
⟩ 𝑀𝑀𝐶 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 120 𝑚𝑖𝑛 = 2ℎ 𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 
 
Portanto, os ônibus chegarão novamente nesse mesmo ponto as 8 horas. 
 
Resposta da questão 7: 
 [C] 
 
Fatorando-se o produto das idades, tem-se: 
37037 
5291 
481 
37 
1 
|
|
7
11
13
37
 
 
Logo, a idade da mãe será 37 anos e das filhas 7,  11 e 13 anos. A diferença de idade entre a 
filha mais velha e a mais nova será de 6 anos. 
 
Resposta da questão 8: 
 [A] 
 
Calculando: 
20182 − 20172 
4072324 − 4068289 = 4035 
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 ⇒ 4035 = 31 ⋅ 51 ⋅ 2691 ⇒ (1 + 1) ⋅ (1 + 1) ⋅ (1 + 1) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 
 
Resposta da questão 9: 
 [D] 
 
Solução 1: 
Utilizando as Relações de Girard e a fatoração: 
𝑥1 ⋅ 𝑥2 =
𝑐
𝑎
=
56
2
→ 𝑥1 ⋅ 𝑥2 = 28 
 
Fatorando este número, tem-se: 28 = 22 ⋅ 71. Assim, o número de divisores será: (2 + 1) ⋅ (1 +
1) = 6 divisores. 
 
 
Solução 2: 
Simplificando a equação e calculando suas raízes, tem-se: 
2𝑥2 − 114𝑥 + 56 = 0 → 𝑥2 − 57𝑥 + 28 = 0 
 
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Δ = (−57)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 28 = 3137 
𝑥1,2 =
57 ± √3137
2
 
 
Assim, utilizando as propriedades dos produtos notáveis, o produto das raízes da equação 
será: 
𝑥1 ⋅ 𝑥2 = (
57 + √3137
2
) ⋅ (
57 − √3137
2
) = (
57
2
)
2
− (
√3137
2
)
2
=
3249
4
−
3137
4
=
112
4
→ 𝑥1 ⋅ 𝑥2
= 28 
 
Os divisores de 28 são: 1,  2,  4,  7,  14 e 28. São, portanto, 6 divisores. 
 
Resposta da questão 10: 
 [B] 
 
Observamos que as letras I, F, A, L, M, se repetem nesta ordem continuamente. Para obter a 
2017ª posição, basta dividir 2017 por 5 e seu resto indicara a qual das cinco letras está 
relacionada. Dividindo: 
 
2017    5   
     2   403 
 
Visto que o resto é dois, basta procurar a letra que ocupa a segunda posição da sequência I, F, 
A, L, M. Desta maneira, a letra da 2017ª posição é a letra F. 
 
Resposta da questão 11: 
 [D] 
 
O número 24 possui 8 divisores (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24). Temos, portanto 8 possibilidades 
para essa divisão. 
 
Resposta da questão 12: 
 [D] 
 
A resposta, em dias, é dada por 
3 5 2
5
mmc(40, 32, 28) mmc(2 5, 2 , 2 7)
2 5 7
1120.
=  
=  
=
 
 
Resposta da questão 13: 
 [A] 
 
Cálculo do mínimo múltiplo comum (mmc) entre os denominadores das frações: 
𝑚𝑚𝑐(3,  4,  5,  9) = 𝑚𝑚𝑐(3, 22,  5, 32) = 22 ⋅ 32 ⋅ 5 = 180 
 
Sendo assim, podemos reescrever as frações como: 
3
5
=
3 ⋅ 36
5 ⋅ 36
=
108
180
 
 
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1
4
=
1 ⋅ 45
4 ⋅ 45
=
45
180
 
2
3
=
2 ⋅ 60
3 ⋅ 60
=
120
180
 
5
9
=
5 ⋅ 20
9 ⋅ 20
=
100
180
 
 
Portanto, a ordem que o aluno apresentou foi: 
1
4
; 
5
9
; 
3
5
; 
2
3
 
 
Resposta da questão 14: 
 [A] 
 
A duração de cada ciclo é igual a 1765 − 1755 + 1 = 11 anos. Como de 1755 a 2101 se 
passaram 2101 − 1755 + 1 = 347 anos e 347 = 11 ⋅ 31 + 6, segue-se que em 2101 o Sol 
estará no ciclo de atividade magnética de número 32. 
 
Resposta da questão 15: 
 [A] 
 
O valor total em notas de 100 será representado por 100𝑛, onde 𝑛 é o número de notas. 
 
A diferença entre o valor recebido por um médico e o valor recebido por um orientando será 
dada por: 
50𝑛
6
−
50𝑛
19
=
(950 − 300) ⋅ 𝑛
114
=
650 ⋅ 𝑛
114
 
 
Considerando: 
𝑛 = 114 ⇒
650 ⋅ 𝑛
114
= 650  (𝑛ã𝑜 é 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 100) 
𝑛 = 228 ⇒
650 ⋅ 𝑛
114
= 1300  (𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 100) 
 
Portanto, a diferença pedida é no mínimo 𝑅$ 1.300,00.