ESTATÍSTICAE PROBABILIDADE

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ESTATÍSTICA E 
PROBABILIDADE
Professor Me. Edimar Izidoro Novaes
Professora Me. Ivnna Gurniski de Oliveira
Professora Me. Renata Cristina de Souza
GRADUAÇÃO
Unicesumar
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. Núcleo de Educação a 
Distância; OLIVEIRA, Ivnna Gurniski de; SOUZA, Renata Cristina 
de; NOVAES, Edimar Izidoro. 
Estatística e probabilidade. Ivnna Gurniski de Oliveira; Renata 
Cristina de Souza; Edimar Izidoro Novaes. 
Maringá-Pr.: UniCesumar, 2016. Reimpresso em 2021.
186 p.
“Graduação - EaD”.
1. Estatística. 2. Probabilidade . 3. EaD. I. Título.
ISBN 978-85-459-0507-3
 CDD - 22 ed. 519
CIP - NBR 12899 - AACR/2
Ficha catalográfica elaborada pelo bibliotecário 
João Vivaldo de Souza - CRB-8 - 6828
Impresso por:
Reitor
Wilson de Matos Silva
Vice-Reitor
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Pró-Reitor de Administração
Wilson de Matos Silva Filho
Pró-Reitor Executivo de EAD
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Pró-Reitor de Ensino de EAD
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Presidente da Mantenedora
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NEAD - Núcleo de Educação a Distância
Diretoria Executiva
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James Prestes
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Diretoria de Design Educacional
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Diretoria de Graduação e Pós-graduação 
Kátia Coelho
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Gerência de Projetos Especiais
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de Materiais
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Ivnna Gurniski de Oliveira
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Ilustração Capa
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Editoração
Matheus Felipe Davi
Ana Carolina Martins Prado
Qualidade Textual
Daniela Ferreira dos Santos
Hellyery Agda G. Silva
Kaio Vinicius Cardoso Gomes
Ilustração
Marcelo Goto
Em um mundo global e dinâmico, nós trabalhamos 
com princípios éticos e profissionalismo, não so-
mente para oferecer uma educação de qualidade, 
mas, acima de tudo, para gerar uma conversão in-
tegral das pessoas ao conhecimento. Baseamo-nos 
em 4 pilares: intelectual, profissional, emocional e 
espiritual.
Iniciamos a Unicesumar em 1990, com dois cursos 
de graduação e 180 alunos. Hoje, temos mais de 
100 mil estudantes espalhados em todo o Brasil: 
nos quatro campi presenciais (Maringá, Curitiba, 
Ponta Grossa e Londrina) e em mais de 300 polos 
EAD no país, com dezenas de cursos de graduação e 
pós-graduação. Produzimos e revisamos 500 livros 
e distribuímos mais de 500 mil exemplares por 
ano. Somos reconhecidos pelo MEC como uma 
instituição de excelência, com IGC 4 em 7 anos 
consecutivos. Estamos entre os 10 maiores grupos 
educacionais do Brasil.
A rapidez do mundo moderno exige dos educa-
dores soluções inteligentes para as necessidades 
de todos. Para continuar relevante, a instituição 
de educação precisa ter pelo menos três virtudes: 
inovação, coragem e compromisso com a quali-
dade. Por isso, desenvolvemos, para os cursos de 
Engenharia, metodologias ativas, as quais visam 
reunir o melhor do ensino presencial e a distância.
Tudo isso para honrarmos a nossa missão que é 
promover a educação de qualidade nas diferentes 
áreas do conhecimento, formando profissionais 
cidadãos que contribuam para o desenvolvimento 
de uma sociedade justa e solidária.
Vamos juntos!
Pró-Reitor de 
Ensino de EAD
Diretoria de Graduação 
e Pós-graduação
Seja bem-vindo(a), caro(a) acadêmico(a)! Você está 
iniciando um processo de transformação, pois quando 
investimos em nossa formação, seja ela pessoal ou 
profissional, nos transformamos e, consequentemente, 
transformamos também a sociedade na qual estamos 
inseridos. De que forma o fazemos? Criando oportu-
nidades e/ou estabelecendo mudanças capazes de 
alcançar um nível de desenvolvimento compatível com 
os desafios que surgem no mundo contemporâneo. 
O Centro Universitário Cesumar mediante o Núcleo de 
Educação a Distância, o(a) acompanhará durante todo 
este processo, pois conforme Freire (1996): “Os homens 
se educam juntos, na transformação do mundo”.
Os materiais produzidos oferecem linguagem dialógica 
e encontram-se integrados à proposta pedagógica, con-
tribuindo no processo educacional, complementando 
sua formação profissional, desenvolvendo competên-
cias e habilidades, e aplicando conceitos teóricos em 
situação de realidade, de maneira a inseri-lo no mercado 
de trabalho. Ou seja, estes materiais têm como principal 
objetivo “provocar uma aproximação entre você e o 
conteúdo”, desta forma possibilita o desenvolvimento 
da autonomia em busca dos conhecimentos necessá-
rios para a sua formação pessoal e profissional.
Portanto, nossa distância nesse processo de cresci-
mento e construção do conhecimento deve ser apenas 
geográfica. Utilize os diversos recursos pedagógicos 
que o Centro Universitário Cesumar lhe possibilita. 
Ou seja, acesse regularmente o Studeo, que é o seu 
Ambiente Virtual de Aprendizagem, interaja nos fóruns 
e enquetes, assista às aulas ao vivo e participe das dis-
cussões. Além disso, lembre-se que existe uma equipe 
de professores e tutores que se encontra disponível para 
sanar suas dúvidas e auxiliá-lo(a) em seu processo de 
aprendizagem, possibilitando-lhe trilhar com tranqui-
lidade e segurança sua trajetória acadêmica.
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Professora Me. Ivnna Gurniski de Oliveira
Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática pela Universidade 
Estadual de Londrina (UEL/2013). Especialista em Docência no Ensino 
Superior pelo Centro Universitário Cesumar (Unicesumar/2011). Graduação 
em Licenciatura em Matemática pela Universidade Estadual de Maringá 
(UEM/2007). Tem experiência como professora de matemática no ensino 
médio e no ensino superior. Atua também como coordenadora do curso de 
graduação em licenciatura de matemática no Unicesumar.
Professora Me. Renata Cristina de Souza
Mestrado em Engenharia Urbana pela Universidade Estadual de Maringá 
(UEM/2012). Especialista em Gestão Ambiental pela Faculdade Estadual 
de Ciências e Letras de Campo Mourão (FECILCAM/2005). Graduação em 
Tecnologia Ambiental pelo Centro Federal de Educação Tecnológica do 
Paraná (CEFET-PR/2005). Tem experiência em pesquisa na área de Sistema 
de Gestão de Qualidade, na Área Ambiental, com ênfase em Tecnologias 
Avançadas de Tratamento, de Efluentes, Gestão e Tratamento de Resíduos 
Sólidos. Trabalha como professora formadora no curso de Gestão Ambiental, 
Gestão de Recursos Humanos, Gestão de Negócios Imobiliários e Segurança 
do Trabalho; professora da pós-graduação EAD no Centro Universitário 
Cesumar (Unicesumar). Coordenadora do Curso de Tecnologia em Gestão 
Ambiental e professora no curso de graduação em Administração, da 
disciplina de Indústria e Meio Ambiente; professora da pós-graduação em 
Gestão Ambiental na Faculdade Metropolitana de Maringá (FAMMA).
Professor Me. Edimar Izidoro Novaes
Mestrado em Biometria pelo departamento de Bioestatística da Universidade 
Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho (UNESP/2014). Especialista em 
Ensino a Distância pela Faculdade de Apucarana (FAP/2012). Especialista em 
Educação Matemática pela Universidade Estadual de Londrina (UEL/2010). 
Graduação em Matemática com Ênfase em Informática pela Faculdade de 
Apucarana (FAP/2008). Foi coordenador e professor do curso de Matemática 
da FAP, professor de Física no Colégio Prisma em Arapongas. Atualmente 
é professor de Estatística do Centro Universitário Cesumar (Unicesumar), 
professor de Estatística e Matemática na Universidade Estadual do Paraná 
(UNESPAR) campus de Apucarana, professor de Matemática no colégio Platão 
e colégio Nossa Senhora da Glória, ambos de Apucarana. 
SEJA BEM-VINDO(A)!
Olá, caro(a) aluno(a)! É com muito prazer que apresentamos a você o livro que fará parte 
da disciplina de Estatística, que é uma ciência que se dedica ao desenvolvimento e aouso de métodos para a coleta, resumo, organização, apresentação e análise de dados. 
Um exemplo do uso da estatística está na previsão do tempo de uma região, em ten-
dências em uma eleição, a posição dos bancos dos trens em certa linha e até o hábito de 
lavar as mãos após usar o banheiro.
Fazendo uma pequena viagem pelo tempo, em 3000 a. C., registrava-se os primeiros 
indícios de censos na Babilônia, na China e no Egito. No Velho Testamento, Livro 4° (Nú-
meros), registra-se uma instrução de Moisés: “fazer levantamento dos homens de Israel 
aptos a guerrear” (TOREZANI, 2004, p. 2).
A palavra Censo deriva do verbo latino censere, que significa taxar. O objetivo inicial 
da realização dos censos era buscar informações sobre as populações para orientar a 
taxação de impostos. Era, portanto, uma atividade que interessava, particularmente, aos 
governos, ao Estado. Daí deriva a palavra Estatística (de status). Trata-se da ferramenta 
de trabalho dos estadistas.
Em 1805, Guilherme, o Conquistador, determinou que se fizesse, na Inglaterra, um le-
vantamento, buscando obter informações sobre posse de terras, sua utilização, seus 
proprietários, número de empregados, posse de animais etc. para taxação de impostos.
No século XVII, John Grant publicou “Aritmética Política”, uma análise sobre nascimentos 
e óbitos, a partir das chamadas Tábuas de Mortalidade. Já, no século XVIII (1797), surgiu, 
na Enciclopédia Britânica, o verbete “statistics” pela primeira vez.
O termo “Estatística” é usado, hoje, com alguns significados diferentes. Ele pode se referir 
a: meros registros de eventos que interessem ao administrador em geral; uma simples 
medida estatística que seja obtida de uma amostra; métodos estatísticos padronizados 
utilizados em pesquisa por amostragem; ciência estatística em geral, hoje, grandemente 
desenvolvida e com aplicação disseminada como auxiliar em diferentes áreas do conhe-
cimento.
De forma simplificada, podemos admitir que a Ciência Estatística tem como objetivo 
obter informações confiáveis sobre determinado fenômeno de interesse. 
A Estatística está de forma muito presente na mídia, seja em jornais, revistas ou meios 
de comunicação. Além disso, uma vez que está diretamente envolvida com pesquisa, 
é a partir dela que as decisões são tomadas. Podemos dizer que a Estatística é uma 
ferramenta para qualquer pesquisador na busca pelas respostas aos vários problemas 
relacionados ao meio em que trabalha. Entretanto, para que ela seja bem utilizada, é 
necessário conhecer os seus fundamentos, seus princípios e suas ferramentas para que 
possamos utilizá-la de forma adequada.
Esse material foi separado em cinco unidades, sendo iniciado com a importância da Es-
tatística básica, passando por contagem, probabilidades e finalizando com medidas de 
associação.
APRESENTAÇÃO
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE
A unidade I abrangerá a interpretação e construção de tabelas e gráficos, assim 
como as distribuições de frequências com abordagem para variáveis qualitativas e 
quantitativas.
Logo, na unidade II mostrará as medidas de posição e de dispersão. Essas medidas 
são, amplamente, empregadas dentro de pesquisas em nível científico e, também, 
nos problemas mais simples do cotidiano. 
Já na unidade III abordará o princípio fundamental da contagem e a análise combi-
natória, sendo a permutação, o arranjo e a combinação. 
A unidade IV tratará sobre probabilidades que podem tratar de eventos simples a 
extremamente complexos. De forma abrangente, elas tratam das chances de deter-
minados fenômenos ocorrerem. A importância de se estudar probabilidades está na 
verificação de que alguns eventos ocorrem com uma facilidade maior que outros e, 
assim, podemos prever situações futuras sobre esses eventos. 
Ainda nessa unidade, falaremos das probabilidades de forma geral mostrando des-
de os cálculos mais simples, passando por suas propriedades até as probabilidades 
condicionais e distribuições de probabilidades. As principais distribuições são aque-
las que utilizamos com maior frequência, uma vez que existem inúmeros tipos. Es-
sas distribuições do comportamento da variável com a qual estamos trabalhando é 
importante, pois, por meio delas é que determinamos como calcular probabilidades 
de forma correta. 
Finalizando o material, a unidade V tratará das medidas de associação, mais especifi-
camente, a correlação e a análise de regressão. Essas medidas nos mostram o grau de 
relação entre duas variáveis. A correlação informa a intensidade da relação e a análise 
de regressão mostra a quantidade de variação em uma por meio da variação em outra. 
Esse material está bastante sintetizado focando os pontos principais da Estatística 
de modo a proporcionar encaminhamentos que possibilitem a compreensão dos 
conceitos, ao contrário do que muitas vezes é posto em se tratando de estudar Ma-
temática e, especificamente, Estatística. 
A resolução de tarefas é importante desde que você, caro(a) aluno(a), procure fa-
zê-la à luz da teoria que ela contempla. Com isso, será necessário, também, muito 
empenho de sua parte para a realização desse intenso trabalho. No decorrer de suas 
leituras, procure interagir com os textos, fazer anotações, responder as atividades de 
estudo, anotar suas dúvidas, ver as indicações de leitura e realizar novas pesquisas 
sobre os assuntos tratados, pois com certeza não será possível esgotá-los em ape-
nas um livro. 
Desejamos a você um ótimo estudo!
Professora Me. Ivnna Gurniski de Oliveira
Professora Me. Renata Cristina de Souza
Professor Me. Edimar Izidoro Novaes
APRESENTAÇÃO
SUMÁRIO
09
UNIDADE I
CONCEITOS E IMPORTÂNCIA DA ESTATÍSTICA
15 Introdução
16 A Importância da Disciplina de Estatística 
17 Definições e Conceitos Estatísticos 
21 Estatística Descritiva 
26 Gráficos 
35 Distribuição de FrequÊncia 
42 Considerações Finais 
48 Referências 
49 Gabarito 
UNIDADE II
MEDIDAS DESCRITIVAS ASSOCIADAS A VARIÁVEIS QUANTITATIVAS
55 Introdução
56 Medidas Descritivas 
66 Medidas Separatrizes 
71 Medidas de Dispersão 
80 Considerações Finais 
87 Referências 
88 Gabarito 
SUMÁRIO
10
UNIDADE III
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM E ANÁLISE 
COMBINATÓRIA
93 Introdução
94 Princípio Fundamental da Contagem 
98 Análise Combinatória 
105 Considerações Finais 
111 Referências 
112 Gabarito 
UNIDADE IV
PROBABILIDADES
115 Introdução
116 Probabilidade 
126 Probabilidade Condicional 
133 Distribuições de Probabilidade 
141 Distribuição Discreta e Contínua de Probabilidade 
150 Considerações Finais 
156 Referências 
157 Gabarito 
SUMÁRIO
11
UNIDADE V
CORRELAÇÃO LINEAR E REGRESSÃO
161 Introdução
162 Correlação Linear 
162 Coeficiente de Correlação Linear de Pearson 
167 Análise de Regressão 
168 Regressão Linear Simples 
175 Considerações Finais 
182 Referências 
183 Gabarito 
 
186 CONCLUSÃO
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Professor Me. Edimar Izidoro Novaes 
Professora Me. Ivnna Gurniski de Oliveira
Professora Me. Renata Cristina de Souza
CONCEITOS E IMPORTÂNCIA 
DA ESTATÍSTICA
Objetivos de Aprendizagem
 ■ Entender o que significa Estatística.
 ■ Compreender a importância da Estatística.
 ■ Assimilar os principais conceitos dentro da Estatística.
 ■ Compreender as principais formas de apresentação de dados 
estatísticos.
 ■ Entender a importância dos gráficos e das tabelas.
 ■ Aprender a construir gráficos e tabelas para variáveis qualitativas e 
quantitativas.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
 ■ A Importância da Disciplina de Estatística
 ■ Definições e Conceitos Estatísticos
 ■ Estatística Descritiva 
 ■ Gráficos
 ■ Distribuição de Frequência
INTRODUÇÃO
Caro(a) aluno(a), normalmente, as pessoas imaginam que a Estatística é simples-
mente uma coleção de números, ou que tem a ver apenas com censo demográfico, 
com a construção de tabelas ou de gráficos. Podemos afirmar que a Estatística 
vai muito além disso e que, na verdade, elaé muito frequente em nossa vida. 
Como exemplos de aplicações de técnicas estatísticas, temos: a pesquisa elei-
toral, a pesquisa de mercado, o controle de qualidade, os índices econômicos, 
o desenvolvimento de novos medicamentos, as novas técnicas cirúrgicas e de 
tratamento médico, as sementes mais eficientes, as previsões meteorológicas, as 
previsões de comportamento do mercado de ações dentre outros, isto é, tudo 
que se diz cientificamente comprovado, por algum momento, passa por proce-
dimentos estatísticos.
Portanto, podemos definir Estatística como sendo medidas obtidas por meio 
de dados coletados em amostras. Também é a ciência que estuda os processos de 
coleta, de organização, de análise e de interpretação de dados relevantes e refe-
rentes a uma área particular de investigação.
Você verá que a Estatística permite fazer uma análise de dados em todas as 
áreas e que fornece ferramentas para que sejamos capazes de transformar dados 
brutos em informações acessíveis e de fácil compreensão, de modo que possa-
mos compará-los com outros resultados ou, ainda, verificar sua adequação com 
alguma teoria pronta. 
Abordaremos que a Estatística tem uma base na formação do(a) aluno(a), 
pois é de extrema importância para o seu desenvolvimento saber observar as 
tabelas e os gráficos e, usar essa ferramenta para a tomada de decisões. 
Nesta unidade, serão apresentados conceitos básicos em Estatística, que são 
subsídios para o desenvolvimento de todo o estudo proposto neste livro. Então, 
aproveite bem essa unidade, e se lembre de que ela será um subsídio para toda 
nossa disciplina. 
Bons estudos!
Introdução
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CONCEITOS E IMPORTÂNCIA DA ESTATÍSTICA
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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A IMPORTÂNCIA DA DISCIPLINA DE ESTATÍSTICA
Caro(a) aluno(a), a palavra Estatística deriva do latim “status”, que significa 
estado. Os primeiros usos da Estatística se deram com base no conhecimento da 
população em relação às suas riquezas e na coleta de impostos. Posteriormente, 
foi empregada no manuseio de dados que descreviam aspectos de um Estado ou 
país, daí a origem da palavra estar relacionada a Estado. 
A Estatística está presente no dia a dia de qualquer indivíduo, seja na abor-
dagem governamental em que somos questionados, como o censo demográfico, 
ou então quando somos abordados sobre qual candidato votaremos na próxima 
eleição, quando nasce um indivíduo, ou quando estamos consumindo algum 
tipo de produto; em todas essas situações, dentre tantas outras, estamos fazendo 
parte da Estatística. 
A análise estatística tem, assim, por objetivo a resolução de problemas, bem 
como a produção de conhecimentos que geram novos problemas e, portanto, 
podemos dizer que está envolvida diretamente em um processo iterativo, sendo 
seu principal objetivo auxiliar na tomada de decisão. 
A Estatística é uma ciência que estuda e pesquisa tanto o levantamento de 
dados quanto o processamento destes para a quantificação da incerteza existente 
na resposta para um determinado problema; e a tomada de decisões sob condi-
ções de incerteza, sob o menor risco possível. 
Definições e Conceitos Estatísticos
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A importância da Estatística está presente em todos os segmentos ligados 
à pesquisa, de forma geral e abrangente. A maioria desses órgãos possui depar-
tamentos oficiais destinados à realização de estudos estatísticos. A Estatística 
tornou-se responsável, nos últimos tempos pelo desenvolvimento científico e tec-
nológico, sendo que é a partir dela que analisamos dados e tomamos as decisões. 
Ainda, podemos dizer que ela fornece meios precisos e rigorosos na veri-
ficação e na análise dos dados, transformando-os em informações claras e a 
partir das quais tomamos nossas decisões baseados em comprovações científi-
cas, e não em “achismos”. 
Dentre outros atributos, podemos dizer ainda que o estudo da Estatística jus-
tifica-se pela necessidade de desenvolver pesquisas e pela utilização dos resultados 
buscando a comprovação de alguma hipótese e à solução de algum problema.
Ademais, atualmente, as empresas têm procurado admitir profissionais que 
tenham certo nível de conhecimento em Estatística, pois esse tem resultado em 
diferença significativa nos processos decisórios. Torna-se fundamental para qual-
quer indivíduo ter conhecimentos básicos e saber aplicá-los de maneira coerente, 
utilizando técnicas estatísticas nos diferentes casos que podem surgir.
DEFINIÇÕES E CONCEITOS ESTATÍSTICOS
Estatística é uma parte da matemá-
tica aplicada que fornece métodos para 
a coleta, a organização, a descrição, 
a análise e a interpretação de dados 
experimentais buscando tomada de 
decisões. Quando se fala em estatística 
tem-se a necessidade de definir, enten-
der alguns conceitos importantes que 
são mencionados a seguir.
CONCEITOS E IMPORTÂNCIA DA ESTATÍSTICA
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E18
POPULAÇÃO
O termo população se refere a todos os indivíduos ou todos os objetos do grupo 
com mesmas características. Exemplos: a totalidade dos habitantes de uma deter-
minada região, população de parafusos, livros, árvores etc.
AMOSTRA
É um subconjunto de uma população. Esse subconjunto pode ou não ser repre-
sentativo da população. A amostra pode ser probabilística (aleatória) ou não 
probabilística. Veja a representação, a seguir, na figura 1. 
Aleatória (casual) simples
Sistemática
Estrati�cada
Por conglomerados
Por cotas
Bola de neve
Intencional
A esmo
Amostragem probabilística
(aleatória)
Amostragem não probabilística
(não aleatória)
Figura 1 - Tipos de amostragem
Fonte: adaptado de Reis ([2016], on-line)1.
A amostra probabilística significa que podemos associar aos resultados uma pro-
babilidade de que estejam corretos, ou seja, uma medida da confiabilidade das 
conclusões obtidas. Dentre as probabilísticas, temos:
Definições e Conceitos Estatísticos
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Amostra Casual Simples
É aquela em que todos os elementos da população têm igual probabilidade de 
pertencer à amostra. Pode ser obtida sorteando os elementos a partir da popu-
lação de estudo.
Amostra Sistemática
É uma forma simplificada da amostragem casual simples, podendo ser utilizada 
quando os elementos da população se apresentam ordenados, sendo a retirada 
dos elementos para compor a amostra feita com certa periodicidade. 
Amostra Estratificada
É uma amostra em que a população é separada em grupos ou estratos e, dentro 
de cada estrato, os indivíduos são sorteados, devendo ser semelhantes entre si 
dentro de cada estrato.
Amostra por Conglomerado
É uma amostra em que a população é dividida em diferentes conglomerados, 
extraindo-se uma amostra apenas dos conglomerados selecionados, e não de 
toda a população.
Se a amostra não for probabilística não há como saber se há 95% ou 0% 
de probabilidade de que os resultados sejam corretos. Falado sobre os tipos de 
amostras, agora se tem as Estatísticas que são os tópicos que, junto com os tipos 
de amostras, compõem todo o trabalho estatístico. 
CONCEITOS E IMPORTÂNCIA DA ESTATÍSTICA
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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ESTATÍSTICAS
São medidas obtidas por meio de dados coletados em amostras.
PARÂMETROS
São medidas populacionais que podem ser obtidas por um censo ou estimadas 
por meios de dados amostrais.
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Parte da estatística que procura somente descrever e analisar certo grupo, sem 
tirar quaisquerconclusões ou inferências sobre um grupo maior.
ESTATÍSTICA INDUTIVA
Parte da estatística que utiliza métodos científicos para fazer afirmações e tirar 
conclusões sobre características ou parâmetros de uma população baseando-se 
em resultados de uma amostra.
VARIÁVEIS
É o que está sendo analisado no interior de uma população e que possibilita a 
geração de dados distintos ao longo dessa mesma população. Podem ser:
Estatística Descritiva
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Variáveis Qualitativas
Quando seus valores forem expressos por atributos (não numéricos). Podem ser:
a. Nominais: Ex.: sexo, estado civil etc.
b. Ordinais: Ex.: cultura: ensino fundamental 1, ensino fundamental 2, 
ensino médio, ensino superior etc.
Variáveis Quantitativas
São as inerentemente numéricas. Podem ser:
a. Contínuas: quando podem assumir qualquer valor em certo intervalo da 
reta real. Ex.: peso, altura etc.
b. Discretas: quando assumem valores pontuais, geralmente de números 
inteiros. Ex.: número de filhos, números de erros em um livro etc.
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Caro(a) aluno(a), observe, a seguir, os passos a serem seguidos em um traba-
lho estatístico:
Crítica
dos dados
Coleta de
dados
Apresentação
dos dados
Tabelas
Grá�cos
Análise e
conclusões
Figura 2 – Passos de um trabalho estatístico
Fonte: os autores.
CONCEITOS E IMPORTÂNCIA DA ESTATÍSTICA
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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COLETA DE DADOS
Após a definição do problema a ser estudado e o estabelecimento do planeja-
mento da pesquisa (forma pelo qual os dados serão coletados; cronograma das 
atividades; custos envolvidos, exames das informações disponíveis e delinea-
mento da amostra), o passo seguinte é a coleta de dados, que consiste na busca 
ou compilação dos dados das variáveis, componentes do fenômeno a ser estu-
dado. Podem ser classificadas como:
Quanto ao tempo:
a. Contínua: quando realizada permanentemente (nascimento, casamen-
tos, óbitos etc.).
b. Periódica: quando é feita em intervalos de tempo (censo).
c. Ocasional: quando efetuada sem época preestabelecida (epidemias, 
catástrofe).
Estatística Descritiva
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Quanto à forma:
a. Direta: quando os dados são obtidos na fonte originária (nascimentos 
registrados nos cartórios, opiniões obtidas em pesquisa de opinião pública, 
vendas registradas em notas da empresa etc.).
b. Indireta: quando os dados obtidos provêm da coleta direta (pesquisa 
agrícola obtida em uma secretaria específica do governo ou no Instituto 
Brasileiro de Geografia e Estatística – IBGE – etc).
CRÍTICA DOS DADOS
Objetivando a eliminação de erros capazes de provocar futuros enganos de apre-
sentação e análise, procede-se a uma revisão crítica dos dados, suprimindo os 
valores estranhos ao levantamento.
Podem ser:
a. Crítica Externa: quando visa às causas dos erros por parte do infor-
mante, tais como: a distração ou má interpretação das perguntas de um 
questionário.
b. Crítica Interna: quando se observa o material constituído pelos dados 
coletados. Verificação de cópias e somas de valores anotados.
APRESENTAÇÃO DOS DADOS
Após a crítica, convém organizarmos os dados de maneira prática e racional, 
para o melhor entendimento do fenômeno que se está estudando. Sua apresen-
tação pode ocorrer por meios de tabelas ou gráficos.
CONCEITOS E IMPORTÂNCIA DA ESTATÍSTICA
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E24
Tabela
É uma matriz na qual se registra os dados de um evento. É composta em:
a. Cabeçalho: é a apresentação do que a tabela está procurando representar. 
Deve conter o suficiente para que sejam respondidas as seguintes ques-
tões: O quê? Onde? Quando?
b. Corpo: é a parte da tabela composta por colunas e subcolunas dentro das 
quais são colocados os dados apurados.
c. Rodapé: parte inferior no qual se registra a fonte dos dados.
Exemplos:
Tabela Simples: 
É a representação de valores de uma única variável.
Tabela 1 - Vendas de imóveis realizadas pelas maiores imobiliárias da cidade 
de São Paulo em 1998
IMOBILIÁRIA UNIDADES VENDIDAS
Altaplan
Lopes
Nosso Teto
Procasa
5186
4273
4992
3426
TOTAL 17877
Fonte: adaptado de Secovi/SP ([2016], on-line)2.
Tabela de dupla entrada ou de contigência
É a representação, em uma única tabela, de valores de mais de uma variável, isto 
é, a conjunção de duas tabelas.
Estatística Descritiva
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ão
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19
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e 
19
98
.
25
Tabela 2 - Taxa de desemprego Grande São Paulo – 92/97
MÊS/ANO PORCENTAGEM (%)
DEZEMBRO MASCULINO FEMININO
1992
1993
1994
1995
1996
1997
13,0
12,4
10,7
12,0
12,6
14,4
16,3
14,6
15,3
15,1
16,4
19,4
TOTAL 75,1 97,1
Fonte: os autores. 
Tabela 3 - Média geral dos alunos segundo o sexo. Colégio São Paulo – 1º bimestre - 2001
SEXO
MÉDIAS MASCULINO FEMININO TOTAL
40|---50 1 0 1
50|---60 3 0 3
60|---70 14 6 20
70|---80 11 16 27
80|---90 2 8 10
90|--100 0 4 4
TOTAL 31 34 65
Fonte: os autores.
Sempre é preciso, antes de fazer teorias, fazer uma análise sobre os dados.
CONCEITOS E IMPORTÂNCIA DA ESTATÍSTICA
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E26
GRÁFICOS
Caro(a) aluno(a), a representação gráfica dos dados de um fenômeno tem por 
finalidade dar uma ideia, a mais imediata possível, dos resultados obtidos, per-
mitindo chegar-se a conclusões sobre a evolução do fenômeno ou sobre como 
se relacionam os valores da série. Não há apenas uma maneira de representar 
graficamente uma série estatística. A escolha do gráfico mais apropriado ficará 
a critério do analista.
CARACTERÍSTICAS DO GRÁFICO
 ■ Simplicidade.
 ■ Clareza.
 ■ Veracidade.
Gráficos
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27
ELEMENTOS E NORMAS
 ■ Título: acima do gráfico, completo, claro e conciso.
 ■ Fonte: abaixo do gráfico.
 ■ Moldura: para dar efeito estético ao gráfico.
 ■ Legenda: não deve prejudicar a leitura do gráfico.
 ■ Desenho: no desenho incluem-se apenas as coordenadas necessárias para 
guiar a leitura do gráfico. 
 ■ Escala: a escala horizontal deve ser lida da esquerda para a direita e a ver-
tical de baixo para cima.
 ■ Cor: o colorido não deve causar ilusões de ótica.
 ■ Forma: a altura do gráfico deve ter, aproximadamente, 75 % da largura, 
de modo que, incluindo o título e o rodapé, a moldura do gráfico assuma 
mais ou menos, a forma quadrada.
TIPOS DE GRÁFICOS
 ■ Diagramas: construídos com o auxílio de figuras geométricas em duas 
dimensões.
 ■ Cartogramas: é a representação sobre cartas geográficas.
 ■ Esteriogramas: gráficos representados por meio de volumes.
 ■ Pictogramas: é a representação gráfica por meio de figuras.
Os gráficos mais utilizados na Estatística são os diagramas, dentre os quais se 
destacam:
 ■ Gráficos em colunas ou em barras: é a representação de uma série por 
meio de retângulos, dispostos verticalmente (em colunas) ou horizon-
talmente (em barras).
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IU N I D A D E28
 ■ Gráficos de linhas: é a representação de uma série por meio de uma 
linha poligonal.
 ■ Gráfico de setores: é constituído com base em um círculo e é empregado 
sempre que se deseja ressaltar a participação do dado no total.
 ■ Gráficos comparativos: é a representação de mais de uma variável em 
um mesmo gráfico.
GRÁFICOS DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
 ■ Histogramas
 ■ Polígonos de Frequência
Exemplos:Gráficos de Colunas
Gráfico 1 - Estimativas de sub-registro de nascimentos – Brasil – 2002/2012 
2002
20,3 18,8 17,6
14,5 15,4 15,5 12,9 12,7 11,5
8,2
2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
6,7
Fonte: IBGE (2013, on-line)6.
Gráficos
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Gráfico de Barras
Gráfico 2 - Brasileiros residentes no exterior – 1996
PAIS Nº DE BRASILEIROS
África
Alemanha
Argentina
Espanha
Estados Unidos
Itália
Japão
Paraguai
3.126
36.096
15.404
10.361
598.526
40.118
201.139
460.846
Fonte: adaptado de Receita Federal ([2016], on-line)3.
Gráfico 3 - Brasileiros residentes no exterior 1996
Pa
ís
es
Paraguai
Japão
Itália
Estados Unidos
Espanha
Argentina
Alemanha
África
Pa
ís
es
0 700600500400300200
Nº de Brasileiros (1000)
100
Fonte: adaptado de Receita Federal ([2016], on-line)3.
CONCEITOS E IMPORTÂNCIA DA ESTATÍSTICA
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E30
Gráfico de Linhas
Gráfico 4 - Taxa de crescimento da população, por década Brasil – anos 40/anos 90
ANOS TAXA DE CRESCIMENTO (%)
40
50
60
70
80
90*
26,2
34,9
32,9
27,7
22,0
14,5
Fonte: adaptado de IBGE ([2016], on-line)⁴.
Gráfico 5 - Taxa de crescimento da população por década - Brasil - anos 40/ anos 90
40
15
35
30
25
20
10
5
0
40 50 60 70 80 90
PE
RC
EN
TU
A
L
ANOS
Fonte: adaptado de IBGE ([2016], on-line)⁴.
Gráficos
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31
Gráfico de Setores
Gráfico 6 - Primeiro atendimento que os moradores de Apucarana procuram em caso de doenças – 2000
4,17%
60,33%16,49%
10,51%
8,51%
Posto de Saúde/PAM Médico ou Hospital Particular Convênio de Saúde
Trata por conta própria Outras
Fonte: os autores.
Os diversos tipos de gráficos sempre têm o mesmo objetivo: mostrar os da-
dos de forma resumida.
CONCEITOS E IMPORTÂNCIA DA ESTATÍSTICA
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E32
Gráficos Comparativos
Gráfico 7 - Migração rural, em milhões, por década, em alguns Estados Brasileiros - Anos 70 e 80
ESTADOS
ANOS
70 80
BAHIA
RIO GRANDE DO SUL
PARANÁ
MINAS GERAIS
0,7
1,4
2,4
2,4
1,0
1,1
1,5
1,6
Fonte: adaptado de Abep ([2016], on-line)5.
Gráfico 8 - Migração rural em alguns Estados Brasileiros – Anos 70 e 80
2,5
2
1,5
1
0,5
0
BA
Estados
M
ilh
õe
s
RS PR MG
Anos 70 
Anos 80 
Fonte: adaptado de Abep ([2016], on-line)5.
Gráficos
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33
Histograma
Gráfico 9 - Média geral dos alunos 
COLÉGIO SÃO PAULO – 1º BIMESTRE - 2001
MÉDIAS Nº DE ALUNOS
40|--- 50 1
50|--- 60 3
60|--- 70 20
70|--- 80 27
80|--- 90 10
90|---100 4
TOTAL 65
Fonte: os autores.
Gráfico 10 - Média geral dos alunos - Colégio São Paulo - 2001
30
25
20
15
10
5
0
40 50 60
Médias
N
º d
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A
lu
no
s
8070 90 100
Fonte: os autores.
CONCEITOS E IMPORTÂNCIA DA ESTATÍSTICA
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E34
Polígono de Frequência
Gráfico 11 - Média geral dos alunos 
COLÉGIO SÃO PAULO – 1º BIMESTRE - 2001
MÉDIAS Nº DE ALUNOS
40|--- 50 1
50|--- 60 3
60|--- 70 20
70|--- 80 27
80|--- 90 10
90|---100 4
TOTAL 65
Fonte: os autores.
Gráfico 12 - Média Geral dos Alunos - Colégio São Paulo 2001
30
25
20
15
10
5
0
40 50 60
Médias
N
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A
lu
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s
8070 90 100
Fonte: os autores.
Caro(a) aluno(a), a interpretação adequada de um gráfico ou tabela é fundamen-
tal para o entendimento da pesquisa. Ler o título de forma minuciosa e observar 
valores máximos, mínimos e suas variações são pontos fundamentais para uma 
interpretação adequada.
©shutterstock
Distribuição de FrequÊncia
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35
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
Para se fazer a representação de dados de informações, é possível usar 
a distribuição de frequência. Sua utilidade é a de poder representar 
grande quantidade de informação em poucas classes, linhas, quando se 
usa a distribuição de frequência contínua e até mesmo a discreta. 
Os conceitos necessários que envolvem a distribuição e fre-
quência são:
Conceito: é uma série estatística específica no qual os 
dados se encontram dispostos em classes ou categorias, 
juntamente com as frequências correspondentes.
Dados Brutos: são os dados coletados que ainda não foram numericamente 
organizados. Exemplo: Idade dos alunos.
Rol: é o conjunto de dados brutos ordenados de forma crescente ou decrescente.
Para variáveis quantitativas contínuas ou discretas, com elevado número 
de valores diferentes, a distribuição de frequências apropriadas é apresentar os 
dados em classes de valores.
Para esse procedimento, primeiramente, precisamos determinar o número 
de classes. Uma classe é uma linha da distribuição de frequências.
Podemos fazer gráficos utilizando o Excel, esses gráficos são gerados a partir 
de dados apresentados em tabelas que, por sua vez, estão inseridas dentro 
de planilhas eletrônicas. O interessante de se gerar gráficos a partir de plani-
lhas eletrônicas é que ao se alterar os valores contidos na planilha, o gráfico 
correspondente a esses dados, é automaticamente atualizado. 
A Microsoft Excel possui um assistente para facilitar a geração de gráficos, 
no qual divide este processo em quatro etapas subsequentes, apresentan-
do a cada etapa apenas as opções, diretamente, relacionadas e necessárias 
para a conclusão do gráfico.
Fonte: os autores. 
CONCEITOS E IMPORTÂNCIA DA ESTATÍSTICA
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E36
NÚMEROS DE CLASSES
Não há regras absolutas para a escolha do número de classes, geralmente entre 5 
e 20 classes serão satisfatórias para a maior parte dos conjuntos de dados. 
Uma regra prática razoável é:
≈K número de observações
Usar um número pequeno de classes poderia concentrar a maioria das observa-
ções em uma ou duas classes. Se for usado um número grande de classes, muitas 
delas terão frequências iguais à zero.
AMPLITUDE TOTAL E AMPLITUDE DAS CLASSES
Para determinar a variação dos dados dentro de cada classe será preciso encon-
trar a amplitude total:
AT= maior valor – menor valor (Xmáx – Xmín)
Com o valor de AT, a variação de cada classe que chamaremos de amplitude das 
classes (AC ou h) é determinada pela relação:
AC = AT
K
Portanto AC ou h é a divisão entre a amplitude total (AT) pelo número das clas-
ses (K). 
Distribuição de FrequÊncia
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37
CONSTRUÇÃO DAS CLASSES
O menor valor da classe é denominado limite inferior (Li) e o maior valor da 
classe, limite superior (Ls). 
Para obtenção da primeira classe, tomar como Li o menor valor. Ao Li somar 
o valor da AC (ou h) e assim se obtém o Ls. Para construção da segunda classe, 
repetir o Ls da primeira classe, sendo que este na segunda classe passa a ser o 
Li. A este valor adicionar o valor de AC (ou h) e se obtém o Ls. Para a terceira 
classe, repetir o procedimento. O Ls da segunda classe é repetido na terceira 
classe e se torna o Li. A esse Li adicionar o valor de AC e se obtém o Ls. Esse 
definido procedimento deve ser repetido até que se obtenha o número de clas-
ses. O Ls da última classe deve, obrigatoriamente, ultrapassar o maior valor do 
conjunto de dados.
PONTO MÉDIO DAS CLASSES
O ponto médio de uma classe é dado por:
2
LsLi +Xi =
Caro(a) aluno(a), veremos na próxima unidade,que o ponto médio de uma 
classe é utilizado para calcular a média aritmética ponderada para um conjunto 
de dados agrupados.
Exemplo:
Em uma pesquisa, foram coletados dados referentes aos clientes que pro-
curam uma determinada imobiliária para a compra de um imóvel residencial:
CONCEITOS E IMPORTÂNCIA DA ESTATÍSTICA
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E38
Tabela 4: Clientes e visitas a imóveis para a compra 
CLIENTES QUANTIDADE DE IMÓVEIS VISITADOS
1 7
2 16
3 24
4 2
5 24
6 11
7 34
8 44
9 13
10 4
11 6
Fonte: os autores.
Vamos construir a tabela de frequência para a quantidade de imóveis visitados. 
Para isso, precisamos determinar:
 ■ O número de classes (k), dado pela raiz quadrada do número de 
observações.
K = n = ≈≈ 3 classes11 3,31
 ■ A amplitude total (AT), dada pela diferença entre o maior e o menor 
valor observado.
 =AT 44 - 2 = 42.
 ■ A amplitude das classes (h), dada pela razão entre a amplitude total e o 
número de classes.
AT = =
k
42 14
3
 h =
Distribuição de FrequÊncia
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39
Conhecendo os valores de k, AT e h, montamos as classes da tabela da seguinte 
forma:
 ■ Primeira classe: o limite inferior (Li ) é dado pelo menor valor da plani-
lha de dados referente ao número de imóveis visitados, neste caso, Li = 2. 
A este valor somamos a amplitude das classes (h = 14) e obtemos o limite 
superior da primeira classe, Ls = 2 + 14 = 16. 
 ■ Segunda classe: o limite superior da primeira classe se torna o limite 
inferior da segunda classe, isto é, Li = 16. A este valor somamos a ampli-
tude das classes (h = 14) e obtemos o limite superior da segunda classe, 
Ls = 16 + 14 = 30. 
 ■ Terceira classe: o limite superior da segunda classe se torna o limite infe-
rior da terceira classe, isto é, Li = 30. A este valor somamos a amplitude 
das classes (h = 14), e obtemos o limite superior da segunda classe, Ls = 
30 + 14 = 44.
Assim, montamos as três classes, abrangendo todos os valores da planilha de 
dados. Conhecendo os limites inferior e superior de cada classe, calculamos o 
ponto médio de cada classe como:
2
LsLi +Xi =
Para as colunas de frequências, temos que a frequência absoluta é dada pela 
contagem do número de valores encontrados dentro dos limites das classes; a fre-
quência relativa será a razão da frequência absoluta da classe pelo número total 
de investimentos; a frequência percentual será a frequência relativa multiplicada 
por cem e a frequência acumulada será a soma da frequência absoluta das classes.
Portanto, a tabela de distribuição de frequência será:
Tabela 5 - Distribuição de frequências para a quantidade de imóveis visitados por clientes de uma
imobiliária para efetuar uma compra
Classes Fi Fr Fr% Fac, Xi
2 |---- 16 6 0,545 54,5 6 9
16 |---- 30 3 0,273 27,3 9 23
30 |----| 44 2 0,182 18,2 11 37
Total 11 1 100 - -
Fonte: os autores.
CONCEITOS E IMPORTÂNCIA DA ESTATÍSTICA
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E40
Observe que, na primeira classe da tabela, temos o intervalo 2|---16 e, na terceira 
classe, temos o intervalo 30|---|44, vamos entender o que significa essa repre-
sentação de intervalos:
 ■ Li|---Ls: o limite inferior está incluído na contagem da frequência abso-
luta da classe e o limite superior não. 
 ■ Li---| Ls: o limite superior está incluído na contagem da frequência abso-
luta da classe e o limite inferior não.
 ■ Li |---| Ls: os limites inferior e superior estão incluídos na contagem da 
frequência absoluta da classe.
 ■ Li---Ls: os limites inferior e superior não estão incluídos na contagem da 
frequência absoluta da classe.
Na Tabela 5 se observa outra coluna representada por “Xi”; esta é chamada de 
ponto médio da classe, obtido da seguinte maneira:
2
LsLi +Xi =
De acordo com a tabela, os pontos médios foram dados da seguinte maneira:
X1 = = 9
2
162 +
X2 = = 23
 
2
3016 +
X3 = = 37
 
2
4430 +
Outro exemplo: os dados relacionados a seguir referem-se a uma pesquisa reali-
zada a respeito do sexo e da idade, em anos, de um grupo de estudantes de uma 
Instituição de Ensino Superior (IES).
Distribuição de FrequÊncia
Re
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19
98
.
41
Tabela 6 - Pesquisa realizada em um grupo de estudantes em uma IES
INDIVÍDUO SEXO IDADE (ANOS)
1 Masculino 34
2 Feminino 32
3 Feminino 47
4 Feminino 17
5 Masculino 21
6 Masculino 25
7 Masculino 34
8 Feminino 39
9 Masculino 52
10 Masculino 41
11 Masculino 22
Fonte: os autores.
Logo, para a variável idade, temos:
= 11,7 12
3
1752 −
AC = ≈
Tabela 7 - Distribuição de frequências para a idade de um grupo de estudantes
Classes Fi Fr Fr% Fac Xi
17|---29 4 0,364 36,4 4 23
29|---41 4 0,364 36,4 8 35
41|---53 3 0,272 27,2 11 47
Total 11 1,000 100,0 - -
Fonte: os autores.
Note que o número 41 apareceu na planilha de dados. Optamos por colocá-lo 
na classe em que ele representa o Li na tabela anterior.
CONCEITOS E IMPORTÂNCIA DA ESTATÍSTICA
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E42
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Prezado(a) aluno(a), nesta unidade, tratamos da necessidade de que a apresenta-
ção dos dados seja feita de forma precisa. As duas formas vistas, nesta unidade, 
foram tabelas e gráficos. Enfatizamos que o uso correto das formas de apresen-
tação dos dados é fundamental para o sucesso da pesquisa.
Vimos que os gráficos são formas de sintetizar as informações coletadas. São 
importantes para dispormos as informações de forma clara e para que consiga-
mos enxergar o que aconteceu na nossa pesquisa. 
Conhecemos os diversos tipos de gráficos, por exemplo, os tipos mais comuns, 
como os de barras e colunas, os de linha, de setores ou pizza, histograma e 
polígono de frequência. De forma geral, os gráficos demonstram dados quanti-
tativos associados a alguma variável qualitativa. Todos os gráficos têm o mesmo 
objetivo, que é o de demonstrar de forma clara e rápida os dados da pesquisa. 
A escolha do tipo adequado fica a critério do pesquisador ou a critério do obje-
tivo da pesquisa estudada.
Nessa etapa, o interesse maior consiste em tirar conclusões que auxiliem o 
pesquisador a resolver seu problema. Portanto, além da organização e da tabu-
lação dos dados, as tabelas e os gráficos nos apresentam de uma forma clara, 
sucinta e objetiva os resultados de uma pesquisa, para tirarmos conclusões e nos 
ajudarem na tomada de decisões. 
Também observamos que podemos construir gráficos e tabelas por meio 
de programas computacionais, por exemplo, a Microsoft Excel, que é uma pla-
nilha de dados que dispõe de ferramentas para construção de gráficos, a partir 
de tabelas. Esse programa é fácil de usar, tem inúmeras ferramentas que podem 
ser úteis ao gestor. 
Esperamos que você, caro(a) aluno(a), tenha compreendido essa unidade, 
porque ela é de extrema importância aos futuros profissionais, pois tabelas e 
gráficos estão presentes no nosso cotidiano. Assim, cabe a nós entendê-los, inter-
pretá-los e avaliar os dados que nos são apresentados..
43 
1. Defina Estatística, Estatística Descritiva e Estatística Inferencial.
2. Apresente os conceitos para os termos a seguir relacionados e dê um exemplo 
para cada um deles:
 ■ População.
 ■ Amostra.
 ■ Estimação.
 ■ Variáveis.
3. Explique os principais tipos de amostras.
4. As notas dos alunos do 2º ano de Comércio Exterior de uma determinada insti-
tuição de ensino, no 1º Bimestre de 2004, estão relacionadas a seguir:
25 25 25 27 28 30 35
35 37 39 39 43 43 44
45 46 46 48 49 49 49
50 50 50 50 50 55 55
55 58 63 63 64 65 65
65 67 67 68 69 70 70
70 70 73 73 73 74 74
76 82 82 82 84 84 84
87 87 87 88 89 90 90
90 93 93 9395 95 95
Fonte: os autores.
Organizando os dados em uma distribuição de frequência contínua, determine e 
interprete:
a. A frequência absoluta da 1ª classe. 
b. A frequência absoluta acumulada da 3ª classe.
c. A frequência relativa da 4ª classe.
44 
5. Considere a seguinte planilha de dados quanto às topologias de rede de compu-
tadores na resposta do tempo ao usuário:
INFORMAÇÃO TOPOLOGIA TEMPO DE RESPOSTA
1 C1 6,0
2 C2 7,0
3 C3 5,0
4 C1 6,3
5 C2 6,8
6 C2 7,2
7 C1 6,0
8 C2 6,7
9 C1 5,7
10 C2 6,5
11 C3 6,4
12 C1 5,7
13 C3 7,2
14 C3 6,8
15 C3 6,5
16 C2 7,5
a. Construa uma tabela de distribuição de frequências para Topologia.
b. Construa um gráfico de setores para Topologia.
c. Construa uma tabela de distribuição de frequências para a variável tempo de 
resposta em quatro classes.
d. Demonstre um histograma para a variável tempo de resposta.
e. Demonstre um polígono de frequências para a variável tempo de resposta.
45 
6. A patrulha rodoviária escolheu um ponto nas imediações da cidade para instalar 
um radar e verificou a velocidade em km/h de uma amostra de 50 carros que 
passaram por esse ponto.
40 45 45 48 50 50 51 52 52 53
55 55 55 55 55 60 60 63 63 63
64 64 64 65 65 65 65 65 65 65
65 66 66 66 67 68 68 68 70 70
70 71 71 74 75 76 76 77 80 81
Fonte: os autores.
Ao organizar os dados da tabela em uma distribuição de frequência contínua, quan-
tas classes a distribuição terá? E qual será a amplitude das classes? 
7. Os pesos de um grupo de alunos da escola X, em Curitiba, no ano de 2003 estão 
relacionados a seguir:
45 45 46 47 49 49
49 49 50 50 51 51
53 54 54 57 59 59
60 60 60 60 60 60
62 62 65 65 65 65
66 66 67 67 68 70
70 70 70 70 73 73
75 76 77 78 78 78
78 78 84 85 85 85
87 88 88 89 90 90
Com base nos pesos desses alunos, qual é a interpretação da frequência relativa da 
terceira classe?
8. Comente as vantagens de apresentar resultados de pesquisa por meio de tabe-
las e gráficos.
46 
Arredondamento de Números
Em trabalhos relacionados à área de Estatística, de Matemática, além de outras situações 
que estão relacionadas com o nosso dia a dia, utilizamos o arredondamento de núme-
ros. Muitas vezes, é conveniente suprimir unidades inferiores às de determinada ordem. 
Essa técnica é denominada arredondamento de dados ou valores, que é mais compre-
ensível para entendimento de quem terá essa informação. 
Quem determina o arredondamento de dados é a Resolução nº 886/66 do IBGE. De acor-
do com o número de casas após a vírgula, podemos classificar os números em:
a. Decimais: uma casa após a vírgula – 0,1; 0,3; 3,2; 5,4.
b. Centesimais: duas casas após a vírgula – 0,12; 2,14; 5,23; 7,89; 15,24.
c. Milesimais: três casas após a vírgula – 45,123; 56,789; 1,002.
As regras para o arredondamento de dados são:
Se o Algarismo a ser suprimido for:
a. Menor que 5: basta suprimi-lo.
Ex.: 5,052 (Para um número centesimal) – 5,05 
Ex.: 213,123 (Para um número decimal) – 213,1
Ex.: 77, 5342 (Para um número milesimal) – 77,534 
b. Maior que 5: basta suprimi-lo, acrescentando uma unidade ao algarismo que o 
precede.
Ex.: 5,057 (Para um número centesimal) – 5,06
Ex.: 213,173 (Para um número decimal) – 213,2
Ex.: 77, 5348 (Para um número milesimal) – 77,535 
c. Igual que 5: basta suprimi-lo, acrescentando uma unidade ao algarismo que pre-
cede. 
Ex.: 5,055 (Para um número centesimal) – 5,06
Ex.: 34,954 (Para um número decimal) – 35,0
Ex.: 34,654 (Para um número decimal) – 34,7
Fonte: adaptado de Portal Educação (2013, on-line)6. 
Material Complementar
MATERIAL COMPLEMENTAR
Estatística Básica
Autor: Geraldo Luciano Toledo e Ivo Izidoro Ovalle.
Editora: Atlas
Ano: 2010
Sinopse: esse livro contém a matéria fundamental para estudos 
subsequentes no campo da estatística inferencial, além disso, aborda 
os tópicos mais importantes da estatística básica.
subsequentes no campo da estatística inferencial, além disso, aborda 
REFERÊNCIASREFERÊNCIAS
TOREZANI, W. Apostila de Estatística I. Vila Velha: Faculdade Univila, 2004.
Referências On-Line
1Em: <http://www.inf.ufsc.br/~marcelo/Cap7.pdf>. Acesso em: 20 set. 2016.
2Em: <http://www.secovi.com.br/pesquisa-mensal-do-mercado-imobiliario/>. 
Acesso em: 20 set. 2016.
3Em: <http://normas.receita.fazenda.gov.br/>. Acesso em: 20 set. 2016.
⁴Em: <http://www.ibge.gov.br/home/presidencia/noticias/29092003estatisticase-
cxxhtml.shtm>. Acesso em: 20 set. 2016.
⁵Em: <http://www.abep.nepo.unicamp.br/>. Acesso em: 20 set. 2016.
⁶Em: <http://www.portaleducacao.com.br/educacao/artigos/30568/regras-de-ar-
redondamento>. Acesso em: 20 set. 2016.
⁷Em: <http://www.ibge.gov.br/home/presidencia/noticias/imprensa/ppts/0000001
586431219201343361992738.pdf>. Acesso em: 30 set. 2016.
48
REFERÊNCIAS
49
GABARITO
1. A Estatística pode ser definida como uma parte da matemática que se preocupa 
em coletar, organizar, descrever, analisar e interpretar um conjunto de dados. 
A estatística descritiva se preocupa em descrever os dados.
A estatística inferencial se preocupa com a análise dos dados e sua interpreta-
ção. Ela analisa os dados com base na amostra e, então, estende as conclusões 
desta amostra à população. 
2. População: conjunto de elementos que possuem alguma característica em co-
mum.
Amostra: parte da população, devendo ser representativa dela.
Estimação: obtenção de valores de uma amostra.
Variáveis: características tomadas em uma população ou amostra, por exemplo: 
sexo, idade, região de procedência, peso etc.
3. Amostra Casual Simples: é aquela em que todos os elementos da população têm 
igual probabilidade de pertencer à amostra. Pode ser obtida sorteando os ele-
mentos a partir da população de estudo.
Amostra Sistemática: é uma forma simplificada da amostragem casual simples, 
podendo ser utilizada quando os elementos da população se apresentam orde-
nados, sendo a retirada dos elementos para compor a amostra feita com certa 
periodicidade. 
Amostra Estratificada: é uma amostra em que a população é separada em gru-
pos ou estratos e, dentro de cada estrato, os indivíduos são sorteados, devendo 
ser semelhantes entre si dentro de cada estrato.
Amostra por Conglomerado: é uma amostra em que a população é dividida em 
diferentes conglomerados, extraindo-se uma amostra apenas dos conglomera-
dos selecionados, e não de toda a população. 
4. a) 6 alunos têm nota maior ou igual 25 e menor que 34 pontos. 
b) 26 alunos têm nota maior ou igual a 25 e menor que 52 pontos.
c) 5,7% dos alunos têm nota maior ou igual a 52 e menor que 61 pontos. 
GABARITO
5. a) 
Tabela - Distribuição de frequências para a variável topologia
Topologia Fi Fr% Fac
C1 5 31,25 5
C2 6 37,50 11
C3 5 31,25 16
Total 16 100,00 -
Fonte: os autores.
b)
Gráfico - Porcentagem de clientes para a variável topologia
C1 C2 C3
31,25%
37,50%
31,25%
Fonte: os autores.
c)
Tabela - Distribuição de frequências para a variável tempo de resposta
AC = 
4
0,55,7 − = 0,63
Tempo Fi Fr% Fac Xi
5,00 |--5,63 1 6,25 1 5,32
5,63--6,26 4 25,00 5 5,95
6,26--6,89 7 43,75 12 6,58
6,89--7,52 4 25,00 16 7,21
Total 16 100,00 - -
Fonte: os autores.
GABARITO
51
d)
Gráfico: Porcentagem de clientes para a variável tempo de resposta ao usuário
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
6,25
%
 d
e 
cl
ie
nt
es 25
5,00 | --5,63 5,63 | --6,26
Classes
6,26 | --6,89 6,89 | --7,52
25
43,75
Fonte: os autores.
Gráfico - Porcentagem de clientes para a variável tempo de resposta
0
5,32 5,95 6,58 7,21
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Ponto médio das classes
%
 d
e 
cl
ie
nt
es
Fonte: os autores.
6. 7 classes com amplitude igual a 6. 
7. 11 alunos da escola X em Curitiba no ano de 2003 têm peso maior ou igual a 57 
e menor que 63 quilos. 
8. Representar os dados por meio de tabelas e gráficos, possibilita que os dados se-
jam apresentados de forma resumida, que ocorra uma visualização mais rápida 
e fácil para o leitor e com isso um melhor entendimento dos dados, ficando mais 
fácil de saber o que está ocorrendocom os dados coletados.
U
N
ID
A
D
E II
Professor Me. Edimar Izidoro Novaes 
Professora Me. Ivnna Gurniski De Oliveira 
Professora Me. Renata Cristina de Souza
MEDIDAS DESCRITIVAS 
ASSOCIADAS A VARIÁVEIS 
QUANTITATIVAS
Objetivos de Aprendizagem
 ■ Compreender as principais medidas estatísticas de posição, dispersão 
e separatrizes.
 ■ Entender a aplicação das medidas estatísticas de posição, dispersão e 
separatrizes.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
 ■ Medidas Descritivas
 ■ Medidas Separatrizes
 ■ Medidas de Dispersão
INTRODUÇÃO
Olá, caro(a) aluno(a)! Quando estamos realizando uma pesquisa, podemos 
fazer a apresentação dos dados por meio de gráficos, tabelas ou fazendo o uso 
de medidas que resumem as informações obtidas na coleta dos dados, chama-
das medidas descritivas.
Nesta unidade, estudaremos as medidas de posição e de dispersão utiliza-
das para descrever dados quantitativos. Essas medidas são muito importantes 
na representação dos dados. 
As medidas de posição ou de tendência central mostram o centro de uma 
distribuição de dados, dando-nos uma noção do que está ocorrendo com eles. 
Por meio dessas medidas, podemos localizar a maior concentração de valores 
em uma distribuição, ou seja, se ela localiza-se no início, no meio ou no centro, 
ou ainda, se há uma distribuição por igual. As medidas de tendência centrais 
mais importantes são a média aritmética, a mediana e a moda. Vale salientar, 
que temos outras medidas de posição que são as separatrizes, que englobam: a 
própria mediana, os quartis e os percentis.
Já as medidas de dispersão são utilizadas para avaliar o grau de variabilidade 
do conjunto de dados, mostrando se o mesmo é homogêneo ou heterogêneo. 
Essas medidas servem para analisar o quanto os dados são semelhantes, des-
crevem o quanto os dados distanciam do valor central, portanto, as medidas de 
dispersão servem também para avaliar o grau de representação da média. As 
medidas de dispersão mais utilizadas são: a amplitude total, a variância, o des-
vio padrão e o coeficiente de variação.
Assim, para descrevermos um conjunto de dados, é de bom grado sempre 
termos uma medida de posição e uma de dispersão para representá-lo. A de 
posição, para dizer o que está ocorrendo com a pesquisa e a de dispersão, para 
dizer se há alta ou baixa variabilidade.
Nesta unidade, vamos estudar as principais medidas de posição e medidas 
de dispersão utilizadas nas pesquisas para descrever e representar o conjunto 
de dados. 
Vamos em frente. Bons estudos!
Introdução
Re
pr
od
uç
ão
 p
ro
ib
id
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 A
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Có
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55
MEDIDAS DESCRITIVAS ASSOCIADAS A VARIÁVEIS QUANTITATIVAS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IIU N I D A D E56
MEDIDAS DESCRITIVAS
Caro(a) aluno(a), para sumarizar as informações de um conjunto de observa-
ções, muitas vezes, é necessário utilizar medidas que resumem em um só número 
certas características. Assim, temos as medidas de posição, de dispersão, de assi-
metria e de curtose. Se as medidas são calculadas para dados a partir de uma 
amostra, são chamadas de estatísticas da amostra; se são calculadas a partir de 
uma população, são chamadas de parâmetros da população.
As principais medidas de posição e as principais medidas separatrizes são:
Média Aritmética
Mediana
Moda
Mediana
Quartis
Decis
Percentis
Medidas de Posição
Medidas de tendência central
Separatrizes
Medidas Descritivas
Re
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uç
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 A
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fe
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57
As principais medidas de dispersão são:
Amplitude Total
Variância
Desvio - Padrão
Coe�ciente de Variação
Medidas de Dispersão
MEDIDAS DE POSIÇÃO
As medidas de posição servem para representar o ponto central de equilíbrio 
de um conjunto de observações ordenadas segundo suas grandezas. Dentre as 
medidas de posição, destacamos: média, mediana e moda, sendo que a medida 
a ser escolhida para representar coerentemente os dados depende das caracte-
rísticas deles.
MÉDIA ARITMÉTICA
A média de uma variável é a medida mais importante e mais simples de ser cal-
culada. Essa fornece uma medida de posição central. Se os dados são de uma 
amostra, a média é denotada por x ; se os dados são de uma população, a média 
é denotada pela letra grega µ .
A média de um conjunto de dados é encontrada somando seus valores e 
dividindo pelo número de observações. Seja x1x2,...,xn, um conjunto de dados a 
média será dada por:
População Amostra
N
x
ì
N
1i
i∑
==
 
n
x
x
n
1i
i∑
==
MEDIDAS DESCRITIVAS ASSOCIADAS A VARIÁVEIS QUANTITATIVAS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IIU N I D A D E58
Exemplo:
Suponha que estamos estudando a idade de cinco indivíduos de uma família. 
As idades observadas foram: 5, 10, 12, 35, 38. Logo, a idade média dessa família é:
�=
=
+ � +⋯+�
�
�1 2 ��1 i
∑�i=_
�
= =
5
205+10+12+35+38�
Exemplo:
Calcule a média para a quantidade de atendimentos realizados em um mês 
pelos corretores de uma imobiliária:
18, 19, 20, 21, 21, 22, 24, 34, 35, 37
R: 25,1
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
Existem situações em que não temos todos os dados disponíveis ou então temos 
“pesos” diferentes para os dados considerados. Nesses casos, utilizamos o que 
chamamos de média aritmética ponderada para obtermos a média, cujas fórmu-
las para População e para Amostra são dadas da seguinte maneira:
População Amostra
N
xF
ì ii.∑=
 n
xF
x ii.∑=
Se a situação for de dados agrupados, a média é obtida a partir de uma ponde-
ração em que os pesos são as frequências absolutas (Fi) de cada classe e xi é o 
ponto médio da classe i. Observe o exemplo a seguir:
Medidas Descritivas
Re
pr
od
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
Có
di
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59
Tabela 1 - Distribuição de frequências para a quantidade de imóveis visitados por clientes de uma
imobiliária para efetuar uma compra
Classes Fi Fr Fr% Fac Xi
2 |---- 16 6 0,545 54,5 6 9
16 |---- 30 3 0,273 27,3 9 23
30 |----| 44 2 0,182 18,2 11 37
Total 11 1 100 - -
Fonte: os autores.
A média ponderada será dada por:
91,17
11
37) x (223) x 3(9) x(6
x =
++
= imóveis visitados
Exemplo:
Calcule a média ponderada para a seguinte situação:
Tabela 2 - Distribuição de frequências para a idade dos clientes de uma imobiliária para efetuar uma 
compra
Classes Fi Fr Fr% Fac Xi
17 |---- 29 4 0,364 36,4 4 23
29 |---- 41 4 0,364 36,4 8 35
41 |----| 53 3 0,273 27,3 11 47
Total 11 1 100 - -
Fonte: os autores.
Resposta: 33,91
Existem situações em que os dados não estão agrupados, mas existem “pesos” 
diferentes para cada um deles. Vejamos um exemplo:
A média da nota bimestral dos alunos do Centro Universitário Cesumar 
(Unicesumar) é composta pela nota de uma prova (com peso 8) e pela nota dos tra-
balhos (com peso 2). Calcule a média bimestral do aluno que tirou as seguintes notas:
Prova: 7 (peso 8) Trabalho: 9 (peso 2)
MEDIDAS DESCRITIVAS ASSOCIADAS A VARIÁVEIS QUANTITATIVAS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IIU N I D A D E60
A média será dada por:
 
=
+
+
=
28
9) x (27) x (8
x 7,4
Exercício:
Calcule as médias ponderadas das notas bimestrais dos alunos a seguir:
Tabela 3 - Médias bimestrais dos alunos da Escola X
ALUNO PROVA TRABALHO
João 5,0 3,0
Antônio 7,0 4,0
*Considere que o peso da prova seja igual a 9,0 e o peso do trabalho seja igual a 1,0. 
Fonte: os autores. 
Resposta: 4,8 e 6,7
A média é a medida mais importante dentro de um conjunto de dados e possui 
algumas propriedades importantes. São elas:
1. Amédia é única em um conjunto de dados.
2. A média é afetada por valores extremamente pequenos ou grandes.
3. A média depende de todos os valores observados. Assim, qualquer modi-
ficação nos dados fará que a média fique alterada.
4. A soma das diferenças dos valores observados em relação à média é 
zero: 
=−∑ )x(x i 0
A propriedade 2 é importante, pois, em um conjunto de dados muito heterogê-
neo, a média torna-se uma medida não apropriada para representar os dados, 
devendo o pesquisador optar por uma outra medida.
A propriedade 4 é importante na definição de variância, uma medida de dis-
persão que veremos ainda nesta unidade.
Medidas Descritivas
Re
pr
od
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
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Có
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 P
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al
 e
 L
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fe
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re
iro
 d
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19
98
.
61
MODA
Chamamos de moda o valor que aparece com maior frequência em um con-
junto de dados. Para o caso de valores individuais, a moda pode ser determinada 
observando-se o rol dos dados.
Exemplos:
Observe as notas da prova de estatística da turma de Negócios Imobiliários: 
4; 5; 6; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 8.
A moda é 6, pois esse é o valor que ocorreu com maior frequência.
Essa sequência é unimodal, pois tem apenas uma moda.
Veja essa outra sequência:
4; 5; 5; 5; 6; 7; 7; 7; 8; 9.
Nesta existem duas modas (5 e 7), ela é bimodal.
Essa outra:
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10.
Não existe moda, nenhum valor aparece com maior frequência, é amodal ou 
antimodal.
A ideia de média está sempre relacionada com a soma dos valores de um 
determinado conjunto de medidas, dividindo-se o resultado da soma pela 
quantidade dos valores que foram somados. Tal ação é o que se define como 
média aritmética simples, que estamos acostumados a aplicar nas estimati-
vas que fazemos diariamente. 
Não faltam brincadeiras em relação a esse tipo de cálculo quando, ironica-
mente, calculamos a média salarial de, por exemplo, determinada empre-
sa, somando o maior salário com o menor e dividindo por dois. A média 
aritmética simples produz a média ponderada em função da repetição das 
medidas. Geralmente, a média ponderada é apresentada com regras pré-es-
tabelecidas para os seus pesos, dando a aparência de que se trata de outra 
fórmula, muito diferente da média aritmética. 
Fonte: os autores. 
MEDIDAS DESCRITIVAS ASSOCIADAS A VARIÁVEIS QUANTITATIVAS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IIU N I D A D E62
Quando os dados estão agrupados em classes, primeiramente é necessário 
identificar a classe modal que apresenta a maior frequência e calcular, então, a 
moda da seguinte maneira:
)F(F)F(F
)Fh(F
 I
1ii1ii
1ii
i
+−
−
−+−
−
+Mo =
Em que:
i é a ordem da classe modal.
li é o limite inferior da classe modal.
h é a amplitude da classe modal.
Fi é a frequência absoluta da classe modal.
Fi-1 é a frequência absoluta da classe anterior à classe modal.
Fi+1 é a frequência absoluta da classe posterior à classe modal.
Se o conjunto de dados apresentar todos seus elementos com a mesma frequência 
absoluta, não existirá a Moda. Se ocorrer várias frequências iguais, então, teremos 
uma distribuição com mais de uma moda. A Moda tem o atributo de não ser 
afetada pelos valores extremos no conjunto de dados.
Exemplo:
Tabela 4 - Teor de oxigênio (mg/L) em vários rios da região Norte do Brasil
Classes Fi Fr Fr% Fac Xi
0,5|---0,8 4 0,2500 25,00 4 0,65
0,8|---1,1 4 0,2500 25,00 8 0,95
1,1|---1,4 7 0,4375 43,75 15 1,25
1,4|---1,7 1 0,0625 6,25 16 1,55
Total 16 1,0000 100,00 - -
Fonte: os autores.
Para isso, devemos determinar a classe modal que é a classe com a maior frequ-
ência absoluta, nesse caso, é a terceira classe, pois essa possui o maior valor de 
Fi . Determinada a classe modal, vamos calcular a moda por meio da fórmula 
para dados agrupados. Assim,
Medidas Descritivas
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63
)F(F)F(F
)Fh(F
 I
1ii1ii
1ii
i
+−
−
−+−
−
+Mo = = 1,1 + = 1,2 
1) - (74) - (7
4) - (7 . 0,3
+
Portanto, a moda para o conjunto de dados da Tabela 13 é 1,2 mg/L.
Exemplo:
Calcular a Moda para o seguinte conjunto de dados:
Tabela 5 - Distribuição de frequências para a idade de um grupo de estudantes
Classes Fi Fr Fr% Fac Xi
17 |----29 4 0,364 36,4 4 18
29 |----41 4 0,364 36,4 8 35
41 |----|53 3 0,273 27,3 11 47
Total 11 1 100 - -
Fonte: os autores.
)F(F)F(F
)Fh(F
 I
1ii1ii
1ii
i
+−
−
−+−
−
+Mo = = 29 + = 29 anos
 
3) - (44) - (4
4) - (4 . 12
+
Resposta: 29 anos
MEDIANA
Corresponde ao valor central ou à média aritmética dos dois valores centrais de 
um conjunto de observações organizadas em ordem crescente. Ou seja, 50% das 
observações são inferiores à mediana e 50% superiores.
Exemplo:
Uma pesquisa em uma empresa apresentou os seguintes dados relacionados 
ao tempo de trabalho de seus funcionários:
5, 13, 12, 3, 15, 17, 8, 15, 6, 16, 9.
Para encontrarmos a mediana, primeiramente, devemos ordenar os dados bru-
tos transformando-os em um rol, ou seja, organizando os dados:
3, 5, 6, 8, 9, 12,13, 15, 15, 16, 17
MEDIDAS DESCRITIVAS ASSOCIADAS A VARIÁVEIS QUANTITATIVAS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IIU N I D A D E64
Identificamos a posição da mediana, após verificar que o conjunto de dados é 
ímpar, pois n = 11 elementos. Utilizamos a fórmula:
Se n for ímpar: Md = 
2
1n + , portanto: 
2
111+ = 
2
12 = 6. 
Nesse caso, a mediana é o 6º elemento do conjunto de dados. Depois localiza-
mos o elemento central, no caso 12, pois à esquerda dele temos 5 elementos e à 
direita também. Assim temos:
Md = 12.
3, 5, 6, 8, 9, 12, 13, 15, 15, 16, 17
Quando o rol tiver número par de elementos, a mediana será a média aritmética 
entre os dois elementos centrais. Vejamos, por exemplo, um rol com 10 elemen-
tos (número par de elementos):
3, 5, 6, 8, 9, 13, 14, 15, 15, 16.
 
2
13 9 +
Md = = 11
Assim, considerando n o número de elementos da série, o valor mediano será 
dado pelo termo de ordem dado pelas seguintes fórmulas:
Se n for ímpar: Md = 
2
1n + 
Se n for par: Md = 
2
1.1
2
n 
2
n











 ++




 (média entre dois números)
Exemplo:
Calcule a mediana para as notas dos alunos nas duas situações seguintes:
 ■ 6.0, 4.5, 5.0, 7.0, 6.5;
 ■ 4.8, 6.3, 8.9, 9.5, 6.0, 7,8;
Resposta: 6.0 e 7.05
Medidas Descritivas
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Para os dados agrupados em distribuição de frequências em classes tem-se:
 
i
1ac
i F
)Fh(p
I −
−
+Md =
Em que:
li é o limite inferior da classe da mediana.
h é a amplitude da classe da mediana.
p indica a posição da mediana, onde p = n2 , sendo n o número total de 
elementos.
Fac-1 é a frequência acumulada da classe anterior a da mediana.
Fi é a frequência absoluta da classe da mediana.
Exemplo:
Vamos encontrar a mediana para o seguinte conjunto de dados:
Tabela 6 - Distribuição de frequências de indivíduos que acessam certo site quanto ao número de acessos
Classes Fi Fr Fr% Fac Xi
10|---29 4 0,364 36,4 4 19,5
29|---48 6 0,545 54,5 10 38,5
48|---67 1 0,091 9,1 11 57,5
Total 11 1,000 100,0 - -
Fonte: os autores.
Primeiramente, devemos determinar em qual classe a mediana está, para isso, 
calculamos o valor de p.
2
11p = = 5,5 ≈ 6
Quando o valor de p for decimal, sempre aproximamos seu valor para “cima”. 
Para saber qual é a classe da mediana, devemos olhar na coluna da frequência 
acumulada, de modo que p ≤ Fac. Logo, a mediana está na 2ª classe, pois 6 ≤ 10 
e corresponde à:
 
i
1ac
i F
)Fh(p
I −
−
+Md = ==
6
)46(19
29
−
+ 35,3 acessos.
MEDIDAS DESCRITIVAS ASSOCIADAS A VARIÁVEIS QUANTITATIVAS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IIU N I D A D E66
Exemplo:
Calcule a mediana para aseguinte situação:
Tabela 7 - Distribuição de frequências para a idade dos clientes de uma imobiliária para efetuar uma
compra
Classes Fi Fr Fr% Fac Xi
17 |---- 29 4 0,364 36,4 4 23
29 |---- 41 4 0,364 36,4 8 35
41 |----| 53 3 0,273 27,3 11 47
Total 11 1 100 - -
Fonte: os autores.
Md = = = 35 acessos
 
i
1ai
i F
)Fh(p
I −
−
+
4
)46.(12
29
−
+
Resposta: 35
MEDIDAS SEPARATRIZES
Caro(a) aluno(a), as separatrizes são os valores que dividem as séries em par-
tes iguais. As principais medidas separatrizes são: a mediana (já estudada) e os 
quartis, os decis e os percentis.
Para qualquer assunto que trate de dados numéricos, sempre trabalhamos 
com uma medida de posição. Normalmente, usamos a média, que é a medi-
da mais conhecida. Observe também como essas medidas são importantes 
no seu cotidiano.
Medidas Separatrizes
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67
QUARTIS
Chamamos de quartis os valores que dividem a distribuição em 4 partes iguais, 
e podem ser obtidos da seguinte maneira:
Temos três quartis:
 ■ Primeiro quartil (Q1): é o valor que tem 25% dos dados a sua esquerda 
e o restante (75%) à direita.
 ■ Segundo quartil (Q2): tem 50% dos dados de cada lado, coincide com 
a mediana.
 ■ Terceiro quartil (Q3): tem 75% dos dados à sua esquerda e 25% à direita.
Fórmulas:
1º Quartil (Q1) P=0,25(n +1)
2º Quartil (Q2) P=0,50(n +1)
3º Quartil (Q3) P=0,75(n +1)
DECIS
Chamamos de decis os valores que dividem uma série em dez partes iguais. Portanto, 
temos nove decis, o primeiro tem 10% dos dados a sua esquerda e 90% a sua direita, 
o segundo tem 20% dos dados a sua esquerda e 80% a sua direita e assim por diante 
até o nono decil, que tem 90% dos dados a sua esquerda e 10% a sua direita.
1º Decil (D1) P=0,10(n +1)
2º Decil (D2) P=0,20(n +1)
3º Decil (D3) P=0,30(n +1)
4º Decil (D4) P=0,40(n +1)
5º Decil (D5) P=0,50(n +1)
6º Decil (D6) P=0,60(n +1)
7º Decil (D7) P=0,70(n +1)
8º Decil (D8) P=0,80(n +1)
9º Decil (D9) P=0,90(n +1)
MEDIDAS DESCRITIVAS ASSOCIADAS A VARIÁVEIS QUANTITATIVAS
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rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IIU N I D A D E68
PERCENTIS
Chamamos de percentis os noventa e nove valores que separam uma série em 
100 partes iguais. O cálculo dos percentis está relacionado com percentagem.
No quadro a seguir são mostrados alguns percentis:
5º Percentil (P5) P=0,05(n +1)
25º Percentil (P25) P=0,25(n +1)
50º Percentil (P50) P=0,50(n +1)
75º Percentil (P75) P=0,75(n +1)
90º Percentil (P90) P=0,90(n +1)
Em que, a letra n nas fórmulas de calcular a posição dos quartis, dos decis e dos 
percentis representa o número total de elementos da amostra.
Quando o valor de p for inteiro temos que a medida separatriz está na posi-
ção de número p, caso contrário, o cálculo das medidas separatrizes, para os 
dados em rol, é dado por:
kS = +iX ( p – i ) ( Xi +1 – Xi )
Em que:
Sk é a medida separatriz a ser utilizada, pode ser os quartis, os decis ou os 
percentis.
Xi e Xi+1 são as posições dos dados no rol.
p é a posição da medida separatriz adotada.
i é a parte inteira de p.
Calcule o 3º quartil (Q3) e o 90º percentil (P90) para a idade média de um grupo 
de indivíduos que têm as seguintes idades: 18, 19, 20, 21, 21, 22, 24, 24, 25, 27, 
30, 33, 38.
Primeiramente, verifique se os dados do rol estão ordenados, caso não este-
jam ordenados coloque-os em ordem crescente. Em seguida, calcule a posição 
do dado e, por fim, substitua os valores numéricos na fórmula:
kS = +iX ( p – i ) ( Xi +1 – Xi )
Medidas Separatrizes
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 ■ Para o (Q3) tem-se:
p = 0,75(13+1)=10,5 k = 10
Assim,
Q3 = X10 + (p – k) (X11 – X10)
Q3 = 27 + (10,5 – 10) (30 – 27)
Q3 = 27 + (0,5 . 3)
Q3 = 28,5 anos.
Portanto, pode-se afirmar que 75% dos indivíduos têm idade inferior a 28,5 anos.
 ■ Para o (P90) tem-se:
p = 0,90(13+1)=12,6 k = 12
Assim,
P90 = X12 + (p – k) (X13 – X12)
P90 = 33 + (12,6 – 12) (38 – 33)
P90 = 33 + (0,6 . 5)
P90 = 36 anos.
Portanto, 90% dos indivíduos têm idade inferior a 36 anos. 
Para os dados agrupados, o cálculo das medidas separatrizes é dado por:
kS
 
F
Fph
I aci
)( 1−−+=
i
Em que:
Sk é a medida separatriz a ser utilizada, pode ser os quartis, os decis ou os 
percentis.
li é o limite inferior da classe da separatriz.
h é a amplitude da classe da separatriz.
p é a posição da medida separatriz adotada. Sendo que para os quartis p = nk
4
, 
k = 1,2,3; para os decis p = nk
10
, k = 1,2,...,9; para os percentis p = nk
100
, k = 1,2,...,99; 
onde n é a quantidade de elementos da amostra.
Fac-1 é a frequência acumulada da classe anterior a da separatriz.
Fi é a frequência absoluta da classe da separatriz.
MEDIDAS DESCRITIVAS ASSOCIADAS A VARIÁVEIS QUANTITATIVAS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IIU N I D A D E70
Exemplo: 
Vamos determinar o Q3 e o D7 para o seguinte conjunto de dados:
Tabela 8 - Teor de oxigênio (mg/L) em vários rios da região Norte do Brasil
Classes Fi Fr Fr% Fac Xi
0,5|---0,8 4 0,2500 25,00 4 0,65
0,8|---1,1 4 0,2500 25,00 8 0,95
1,1|---1,4 7 0,4375 43,75 15 1,25
1,4|---1,7 1 0,0625 6,25 16 1,55
Total 16 1,0000 100,00 - -
Fonte: os autores.
 ■ Para o Q3 :
Primeiro, vamos determinar a posição da medida e, em seguida, determinar 
qual é a sua classe.
p = ==
nk
4 4
1216.3
Para saber qual é a classe do devemos olhar na coluna da frequência acumulada, 
de modo que . Logo, o está na 3ª classe, pois e corresponde à:
Q = =+
7
1,1 1, 270,3 (12-8)
3
Portanto, pode-se afirmar que 75% dos rios da região norte do Brasil têm teor 
de oxigênio inferior a 1,27 mg/L.
 ■ Para o D7 :
Primeiro, vamos determinar a posição da medida e, em seguida, determinar 
qual é a sua classe.
p = ==
nk
10 10
11,216.7
Medidas de Dispersão
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71
Para saber qual é a classe do D7 devemos olhar na coluna da frequência acumulada, 
de modo que p ≤ Fac. Logo, o D7 está na 3ª classe, pois 11,2 ≤ 15 e corresponde à:
Q = =+
7
1,1 1, 240,3 (11,2-8)
3
Portanto, pode-se afirmar que 70% dos rios da região norte do Brasil têm teor 
de oxigênio inferior a 1,24 mg/L.
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Caro(a) aluno(a), as medidas de dispersão mostram a variabilidade de um con-
junto de observações em relação à região central. Essas medidas indicam se um 
conjunto de dados é homogêneo ou heterogêneo. Além disso, mostram se a 
medida de tendência central escolhida representa bem o conjunto de dados que 
está sendo trabalhado pelo pesquisador. Vejamos um exemplo:
Considere as idades de três grupos de pessoas A, B e C:
A: 15; 15; 15; 15; 15
B: 13; 14; 15; 16; 17
C: 5; 10; 15; 20; 25
A média aritmética do conjunto A é 15, do B é 15 e do C também é 15.
A média aritmética é a mesma para os três conjuntos acima, porém, o grau 
de homogeneidade entre eles é muito diferente, ou seja, a variação dos seus ele-
mentos em relação à média é bem distinta. O conjunto A não tem dispersão, o 
B tem certo grau de variabilidade e o conjunto C tem grande variabilidade. Por 
isso, devemos estudar as medidas de dispersão, pois conjuntos de dados dife-
rentes podem ter médias iguais, porém, isso não indica que são iguais, uma vez 
que a variabilidade entre eles pode ser diferente.
MEDIDAS DESCRITIVAS ASSOCIADAS A VARIÁVEIS QUANTITATIVAS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IIU N I D A D E72
AMPLITUDE TOTAL
A amplitude total de um conjunto de dados é a diferença entre o maior e o menor 
valor. Essa medida nos diz pouco, pois embora fácil de ser calculada, é baseada em 
somente duas observações, sendo altamente influenciada